6.2.1 向量的加法运算

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[【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019）]
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必修第二册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

向量加法的三角形法则

已知向量非零向量 $\vec{a}$， $\vec{b}$，在平面内取任意一点 $A$ ， 作 $\overrightarrow{A B}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{B C}=\vec{b}$，则向量 $\overrightarrow{A C}$ 叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和，记作 $\vec{a}+\vec{b}$，即 $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$.

解释
(1) 物理知识告诉我们，质点经过 $\overrightarrow{A B}$，$\overrightarrow{B C}$ 两次位移，相当于从点 $A$ 直接到点 $C$ 的位移 $\overrightarrow{A C}$ 结果相同，位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；

(2) 若质点超过两个呢？若下图，同理可得 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{A F}$， 相当于” 首尾相接”.

 

向量加法的平行四边形法则

以同一点 $O$ 为起点的两个已知向量 $\vec{a}$， $\vec{b}$，以 $OA$，$OB$ 为邻边作 $◻OACB$，则以 $O$ 为起点的向量 $\overrightarrow{O C}$
（$OC$ 是 $◻OACB$ 的对角线）就是向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的和.
如下图， $\overrightarrow{O A}=\vec{a}， \overrightarrow{O B}=\vec{b}$，则 $\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{O C}$；

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
解释
一个物体同时收到两个外力 $\overrightarrow{F_1}$ 与 $\overrightarrow{F_2}$ 的作用，那如何确定合力 $\overrightarrow{F}$ 呢？由物理知识可知，合力 $\overrightarrow{F}$ 在以 $OA$，$OB$ 为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长。力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.

【例】 已知向量 $\vec{a}$， $\vec{b}$，求作向量 $\vec{a}+\vec{b}$.

解 作法 1 如图，在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{A B}=\vec{b}$，则 $\overrightarrow{O B}=\vec{a}+\vec{b}$;

作法 2 如图，在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{O A}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{A B}=\vec{b}$，以 $OA$，$OB$ 为邻边作 $◻OACB$，连接 $OC$，则 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\vec{a}+\vec{b}$.

 

向量三角不等式

一般地 ， 我们有

$$|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$$

当且仅当 $\vec{a}$， $\vec{b}$ 方向相同时等号成立.
解释
当 $\vec{a}$， $\vec{b}$ 不共线时，由三角形三边关系 $AC+BC>AB$，可得 $|\vec{a}|+|\vec{b}|>|\vec{a}+\vec{b}|$;

当 $\vec{a}$， $\vec{b}$ 反向时， $|\vec{a}+\vec{b}|=|| \vec{a}|-| \vec{b}||<|\vec{a}|+|\vec{b}|$，
当 $\vec{a}$， $\vec{b}$ 同向时， $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$，
综上 $|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$，当且仅当 $\vec{a}$， $\vec{b}$ 方向相同时等号成立.
同理易得 $|\vec{a}+\vec{b}| \geq|| \vec{a}|-| \vec{b}||$，
故 $|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \leq|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
 

运算律

向量的加法满足交换律和结合律，即 $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$， $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$.
 

基本方法

【题型1】 向量加法的理解

【典题 1】如图，在正六边形 $ABCDEF$ 中，$O$ 是其中心．

则① $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=$$\underline{\quad \quad}$；② $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{B C}=$$\underline{\quad \quad}$；③ $\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{E F}=$$\underline{\quad \quad}$　．
解析 ①$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O D}$；
②$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F D}=\overrightarrow{A D}$；
③$\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{D O}=\overrightarrow{O C}$．
点拨 利用平行四边形法则或三角形法则求向量加法.
 

【典题 2】向量 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{M A})+(\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{A C})+\overrightarrow{O M}$ 化简后等于 $\underline{\quad \quad}$．
解析 向量 $(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{M A})+(\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{A C})+\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{M A}+\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{P O}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{P C}$．
点拨 利用首尾相接法.
 

【典题 3】$O$ 是平行四边形 $ABCD$ 外一点，求证： $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}$．

解析 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{O D}+\overrightarrow{D C}=(\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D})+(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D C})$，
因为 $ABCD$ 是平行四边形，所以 $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{0}$，
所以 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}$.
 

【巩固练习】

1. 在 $△ABC$ 中，下列四个结论中正确的是 (　　)
① $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}>\overrightarrow{A C}$ $\qquad \qquad$ ② $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$
③ $|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{B C}|>|\overrightarrow{A C}|$ $\qquad \qquad$④ $|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{A C}|$．
 A．①③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．②③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．①④ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．②④
 

2. 在四边形 $ABCD$ 中，若 $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$，则四边形 $ABCD$ 的形状一定是 (　　)
 A．平行四边形 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．菱形 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．矩形 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．正方形
 

3. 化简 $(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{M B})+(\overrightarrow{B O}+\overrightarrow{B C})+\overrightarrow{O M}=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

4. 若 $\vec{a}=$“向北走 $8 km$”， $\vec{b}=$“向东走 $8 km$”，则 $|\vec{a}+\vec{b}|=$ $\underline{\quad \quad}$ ； $\vec{a}+\vec{b}$ 的方向是 $\underline{\quad \quad}$ ．
 

5. 如图所示，中心为 $O$ 的正八边形 $A_1 A_2…A_7 A_8$ 中， $\overrightarrow{a_{\imath}}=\overrightarrow{A_{\imath} A_{\imath+1}}(i=1，2， \ldots， 7)$， $\overrightarrow{b_J}=\overrightarrow{O A_J}(j=1，2， \ldots， 8)$，试化简 $\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_5}+\overrightarrow{b_2}+\overrightarrow{b_5}+\overrightarrow{b_7}$．

 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$；$∴$ 结论②正确；
   两边之和大于第三边， $\therefore|\overrightarrow{A B}|+|\overrightarrow{B C}|>|\overrightarrow{A C}|$；即结论③正确；
   $∴$ 结论正确的是②③．
   故选：$B$．

2. 答案 $A$
   解析 在四边形 ABCD 中， $\because \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$，且 $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}$， $\therefore \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$；
   即 $AD//BC$，且 $AD=BC$，如图所示；
   $∴$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形．
   故选：$A$．

   

3. 答案 $\overrightarrow{A C}$
   解析 原式 $=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B O})+(\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{M B})+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}$．

4. 答案 $8 \sqrt{2}$，东北方向.
   解析 由向量加法的平行四边形法则，知 $|\vec{a}+\vec{b}|=8 \sqrt{2}$，方向为东北方向.

5. 答案 $\overrightarrow{b_6}$
   解析 因为 $\overrightarrow{a_{\imath}}=\overrightarrow{A_{\imath} A_{\imath+1}}(i=1，2， \ldots， 7)$， $\overrightarrow{b_J}=\overrightarrow{O A_J}(j=1，2， \ldots， 8)$，
   所以 $\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_5}+\overrightarrow{b_2}+\overrightarrow{b_5}+\overrightarrow{b_7}=\overrightarrow{A_2 A_3}+\overrightarrow{A_5 A_6}+\overrightarrow{O A_2}+\overrightarrow{O A_5}+\overrightarrow{O A_7}$$=\overrightarrow{O A_3}+\overrightarrow{O A_6}+\overrightarrow{O A_7}=\overrightarrow{O A_3}+\overrightarrow{O A_6}-\overrightarrow{O A_3}=\overrightarrow{O A_6}=\overrightarrow{b_6}$．
    

【题型2】 向量三角不等式

【典题 1】 已知向量 $|\vec{a}|=2$， $|\vec{b}|=8$，则 $|\vec{a}+\vec{b}|$ 的最大值是 $\underline{\quad \quad}$ ，最小值是 $\underline{\quad \quad}$．
解析 因为 $|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \leq|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$，所以 $6 \leq|\vec{a}+\vec{b}| \leq 10$，
当 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 方向相同，$|\vec{a}+\vec{b}|$ 取到最小值 $6$；
当 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 方向相反，$|\vec{a}+\vec{b}|$ 取到最大值 $10$.
点拨 向量三角不等式 $|| \vec{a}|-| \vec{b}|| \leq|\vec{a}+\vec{b}| \leq|\vec{a}|+|\vec{b}|$.
 

【典题 2】对于任意向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，下列说法正确的是 (　　)
 A． $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|-|\vec{b}|-|\vec{c}|$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|-|\vec{c}|$
 C． $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|+|\vec{b}|$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|-|\vec{b}|$
解析 对于 $A$，任意向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$，都有 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| \geqslant|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{c}| \geqslant|\vec{a}|-|\vec{b}|-|\vec{c}|$，$A$ 正确；
对于 $B$，当向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 是非零向量，且互为相反向量，$\vec{c}=\overrightarrow{0}$ 时， $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|<|\vec{a}|+| \vec{b}|-| \vec{c} \mid$，$B$ 错误；
对于 $C$，当向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 是非零向量，且互为相反向量，$\vec{c}=\overrightarrow{0}$ 时， $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$，$C$ 错误；
对于 $D$，当向量 $\vec{a}$，$\vec{c}$ 是非零向量，且互为相反向量，$\vec{b}=\overrightarrow{0}$ 时， $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|<|\vec{a}|-|\vec{b}|$，$D$ 错误．
故选：$A$．
 

【巩固练习】

1. 下列各等式或不等式中，一定不能成立的个数是 (　　)
①$|\vec{a}|-|\vec{b}|<|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$；② $|\vec{a}|-|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$；
③ $|\vec{a}|-|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|<|\vec{a}|+|\vec{b}|$；④ $|\vec{a}|-|\vec{b}|<|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$．
 A．$0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$3$
 

2. 向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=8$，$|\vec{b}|=12$，则 $|\vec{a}+\vec{b}|$ 的最大值是 $\underline{\quad \quad}$．
 

3. 已知 $|\vec{a}|=2$，$|\vec{b}|=1$，则 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 如图：在边长为 $1$ 的正方形中，设 $\vec{a}=\overrightarrow{A C}$，$\vec{b}=\overrightarrow{A B}$，
   则有 $|\vec{a}|-|\vec{b}|=0$， $|\vec{a}+\vec{b}|=|\overrightarrow{A D}|=\sqrt{2}$，$|\vec{a}|+|\vec{b}|=2$，故①可能正确；
   当 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 都是 $\vec{0}$ 时，②正确，
   如果在同一条直线上．两个向量相反③正确，
   当 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 同向且都不为 $\vec{0}$ 时，④正确
   综合选项，一定不能成立的个数是 $0$，
   故选：$A$．

   

2. 答案 $20$
   解析 由性质 $\text { 卋}|\vec {a}+\vec {b}| \leqslant|\vec {a}|+|\vec {b}|$，
   可知当 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 方向相同时，$|\vec{a}+\vec{b}|$ 取得最大值 $|\vec{a}|+|\vec{b}|=20$．
   故答案为：$20$．

3. 答案 $[1，3]$
   解析 由 $|\vec{b}|=1$，得 $|-\vec{b}|=1$，
   由 $|| \vec{a}|-|-\vec{b}|| \leqslant|\vec{a}+(-\vec{b})| \leqslant|\vec{a}|+|-\vec{b}|$，
   得 $1 \leqslant|\vec{a}-\vec{b}| \leqslant 3$．
    

【题型3】 向量加法的运用

【典题 1】 用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．
证明 根据向量加法的三角形法则有 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}$， $\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{D O}+\overrightarrow{O C}$．

又 $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O C}$， $\overrightarrow{D O}=\overrightarrow{O B}$，
$\therefore \overrightarrow{A O}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{D O}+\overrightarrow{O C}$，
$\therefore \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$．
$∴AB∥DC$ 且 $AB=DC$，
即 $AB$ 与 $DC$ 平行且相等．
$∴$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形．
 

【典题 2】在长江某渡口上，江水以 $2 km/h$ 的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为 $2 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}$，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
解析 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，
设渡船速度为 $\overrightarrow{v_1}$，水流速度为 $\overrightarrow{v_2}$，船实际航行的速度为 $\overrightarrow{v}$，则 $\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}$．
依题意作出平行四边形，如图．

在 $Rt△ABC$ 中 ，$|\overrightarrow{B C}|=\left|\overrightarrow{v_1}\right|=2 \sqrt{3}$， $|\overrightarrow{A B}|=\left|\overrightarrow{v_2}\right|=2$，
$\therefore|\overrightarrow{A C}|=|\vec{v}|=\sqrt{|\overrightarrow{A B}|^2+|\overrightarrow{B C}|^2}=\sqrt{2^2+(2 \sqrt{3})^2}=4$，
$\tan \theta=\dfrac{|\overrightarrow{B C}|}{|\overrightarrow{A B}|}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．
$\therefore \theta=60^{\circ}$．
$∴$ 渡船实际航行的速度大小为 $4 km/h$，方向为东偏北 $60°$．
 

【巩固练习】

1. 一艘船以 $4km/h$ 的速度沿着与水流方向成 $120^∘$ 的方向航行，已知河水流速为 $2km/h$，则经过 $\sqrt{3} h$，该船实际航程为 $\underline{\quad \quad}$ $km$．
 

2. 一条河两岸平行，河的宽度为 $240 \sqrt{2}$ 米，一个人从岸边游向对岸，已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟 $12 \sqrt{3}$ 米，水流速度大小为每分钟 $12$ 米．
 ①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为每分钟 $\underline{\quad \quad}$ 米；
 ②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要 $\underline{\quad \quad}$ 分钟．
 

参考答案

1. 答案 $6$
   解析 根据题意，画出示意图，如图所示，$\overrightarrow{O A}$ 表示水流速度，$\overrightarrow{O B}$ 表示船在静水中的速度，
   则 $\overrightarrow{O C}$ 表示船的实际速度，
   又 $|\overrightarrow{O A}|=2$， $|\overrightarrow{O B}|=4$， $\angle A O B=120^{\circ}$，
   则 $∠CBO=60^∘$，
   所以 $|\overrightarrow{O C}|=2 \sqrt{3}$，$∠AOC=∠BCO=90^∘$．
   所以实际速度为 $2 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}$，则实际航程为 $2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}=6 \mathrm{~km}$．
   故答案为：$6$．

   

2. 答案 ①$24$，②$20$．
   解析 ①由题意作图如下，

   
   由图可知，他实际前进速度的大小为每分钟 $\sqrt{(12 \sqrt{3})^2+12^2}=24 m$，
   ②由题意作图如下，
   
   此时实际前进速度的大小为 $\sqrt{(12 \sqrt{3})^2-12^2}=12 \sqrt{2} \mathrm{~m}$，
   故他游到河对岸需要 $\dfrac{240 \sqrt{2}}{12 \sqrt{2}}=20$ 分钟，
   故答案为：①$24$，②$20$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1.$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F A}=$ (　　)

 A．$0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\overrightarrow{0}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $2 \overrightarrow{A D}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $-2 \overrightarrow{A D}$
 

2. 如图，正六边形 $ABCDEF$ 中， $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{F E}=$(　　)

 A．$\overrightarrow{0}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\overrightarrow{B E}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\overrightarrow{AD}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\overrightarrow{DF}$
 

3. 如图所示，点 $O$ 是正六边形 $ABCDEF$ 的中心，则 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}=$(　　)

 A．$\overrightarrow{0}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$C． $\overrightarrow{A E}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\overrightarrow{ EA}$
 

4. 当两人共提重为 $|G|$ 的书包时，夹角为 $θ$，用力为 $|F|$，则三者的关系为 (　　)
A． $|F|=\dfrac{|G|}{2 \cos \theta}$ $\qquad \qquad$ B． $|F|=\dfrac{|G|}{2 \sin \theta}$ $\qquad \qquad$ C． $|F|=\dfrac{|G|}{2 \cos \dfrac{\theta}{2}}$ $\qquad \qquad$ D． $|F|=\dfrac{|G|}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}}$
 

5. 河中水流自西向东每小时 $10km$，小船自南岸 $A$ 点出发，想要沿直线驶向正北岸的 $B$ 点，并使它的实际速度达到每小时 $10 \sqrt{3} \mathrm{~km}$，该小船行驶的方向和静水速度分别为 (　　)
 A．西偏北 $30^∘$，速度为 $20km/h$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$B．北偏西 $30^∘$，速度为 $20km/h$
 C．西偏北 $30^∘$，速度为 $20 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$D．北偏西 $30^∘$，速度为 $20 \sqrt{3} \mathrm{~km} / \mathrm{h}$
 

6. 在平行四边形 $ABCD$ 中， $\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

7. 如图所示的方格纸中有定点 $O$，$P$，$Q$，$E$，$F$，$G$，$H$，则 $\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}=$$\underline{\quad \quad}$ ．

 

8. 一艘船在静水中的航行速度为 $5km/h$，河水的流速为 $3km/h$，则船的实际航行的速度范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

9.2012 年全国中学生机器人大赛选选拔赛中，机器人刚开始在原点位置，为了让机器人完成某项任务，学生给机器人设置了以下指令：先逆时针旋转 $α$ 角，然后向前进 $1$ 米，将该指令进行一次称为一次操作，试用向量解决以下问题．
  (1) 当 $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ 时，经过几次操作才能回到原点？
  (2) 是否存在 $α$，使机器人经过 $10$ 次操作，能首次回到原点？
 
 

10. 在平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 的延长线及反向延长线上，分别取点 $F$，$E$，使 $BE=DF$(如图)，用向量的方法证明四边形 $AECF$ 也是平行四边形．

 
 

11. 已知桥是南北方向，受落潮影响，海水以 $12.5km/h$ 的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是 $25km/h$，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？
 
 
12. 某人在静水中游泳的速度为 $4 \sqrt{3}$ 千米 时，他现在水流速度为 $4$ 千米 时的河中游泳．
  (1) 如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
  (2) 他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 由向量加法的运算法则可知 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}+\overrightarrow{F A}=\overrightarrow{0}$．

2. 答案 $B$
   解析 如图，正六边形 $ABCDEF$ 中， $\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A F}+\overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B F}+\overrightarrow{F E}=\overrightarrow{B E}$．
   故选：$B$．

   

3. 答案 $A$
   解析 连接 $OB$，由正六边形的性质可得：四边形 $AOCB$ 是平行四边形，
   $\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}$ ， $\overrightarrow{O B}=-\overrightarrow{O E}$，
   $\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O E}=\overrightarrow{0}$ ，
   故选：$A$．

   

4. 答案 $C$
   解析 书包受到重力和两人的拉力，
   当两人共提重为 $|G|$ 的书包时，人的胳膊与垂直方向的夹角为 $\dfrac{\theta}{2}$，
   根据力的合成法则，则 $|F| \cdot \cos \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{|G|}{2}$，
   $\therefore|F|=\dfrac{|G|}{2 \cos \dfrac{\theta}{2}}$，
   故选：$C$．

5. 答案 $B$
   解析 如图，设水流速度为 $\overrightarrow{A C}$，静水速度为 $\overrightarrow{A D}$，实际速度为 $\overrightarrow{A B}$，
   则四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$∠BAC=90^∘$，
   $A B=10 \sqrt{3}$，$AC=BD=10$，
   $\therefore \tan \angle B A D=\dfrac{B D}{A B}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$， $\therefore \angle B A D=30^{\circ}$，$A D=\sqrt{A B^2+B D^2}=20$．
   $∴$ 小船行驶方向为北偏西 $30^∘$，速度为 $20km/h$．
   故选：$B$．

   

6. 答案 $\overrightarrow{0}$
   解析 $\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{0}$，故答案为： $\overrightarrow{0}$．

7. 答案 $\overrightarrow{F O}$
   解析 设 $\vec{a}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}$，以 $OP$、$OQ$ 为邻边作平行四边形，
   则夹在 $OP$、$OQ$ 之间的对角线对应的向量即为向量 $\vec{a}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}$，
   由 $\vec{a}$ 和 $\overrightarrow{F O}$ 长度相等，方向相同，
   $\therefore \vec{a}=\overrightarrow{F O}$.

8. 答案 $[2，8](\mathrm{km} / \mathrm{h})$
   解析 一艘船在静水中的航行速度为 $5km/h$，河水的流速为 $3km/h$，
   则船的实际航行的速度可能为 $[2，8](\mathrm{km} / \mathrm{h})$．

9. 答案 (1) $6$；(2) $\dfrac{\pi}{5}$.
   解析 (1) 如图所示，
   当 $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ 时，经过 $1$ 次操作到 $A_1$ 点，经过 $2$ 次操作到 $A_2$ 点，
   $6α=2π$(多边形外角和定理)．
   $\therefore \overrightarrow{O A_1}+\overrightarrow{A_1 A_2}+\cdots+\overrightarrow{A_5 A_6}=\overrightarrow{0}$，
   因此当 $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ 时，经过 $6$ 次操作才能回到原点．
   (2) 根据多边形外角和定理 $\alpha=\dfrac{2 \pi}{10}=\dfrac{\pi}{5}$．
   $∴$ 存在 $\alpha=\dfrac{\pi}{5}$，使机器人经过 $10$ 次操作，能首次回到原点．

   

10. 证明 $\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}$， $\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D C}$，
    又 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}$， $\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{F D}$，
    $\therefore \overrightarrow{A E}=\overrightarrow{F C}$ ，即 $AE$，$FC$ 平行且相等．
    故四边形 $AECF$ 是平行四边形．

11. 答案 北偏西 $30^∘$
    解析 如图，设渡艇速度为 $\overrightarrow{O B}$，水流速度为 $\overrightarrow{OA}$，
    则艇实际垂直过江的速度为 $\overrightarrow{O D}$，
    由题意知， $|\overrightarrow{O A}|=12.5$， $|\overrightarrow{O B}|=25$，
    $∵$ 四边形 $OADB$ 为平行四边形，
    $\therefore|\overrightarrow{B D}|=|\overrightarrow{O A}|$，
    又 $∵OD⊥BD$，
    $∴$ 在 $Rt△OBD$ 中，$∠BOD=30^∘$，
    则航向为北偏西 $30^∘$．

    

12. 答案 (1) 与河岸成 $60^∘$ 角的方向前进，实际前进速度的大小为 $18km/h$;
    (2) 与水流方向成 $90^∘+θ$(锐角 $θ$ 满足 $\tan \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，或 $\sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 等) 方向航行，实际前进速度的大小为 $4 \sqrt{2}(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$．
    解析 (1) 如图①，由于 $V_{\text {实}}=V_{\text {水 }}+V_{\text {人 }}$，
    $\therefore\left|V_{\text {买}}\right|=\sqrt {(4 \sqrt {3})^2+4^2}=8 (\mathrm {~km} / \mathrm {h})$，
    又 $\tan \theta=\dfrac {\left|v_{\text {人}}\right|}{\left|v_{\text {水 }}\right|}=\dfrac {4 \sqrt {3}}{4}=\sqrt {3}$，
    $∴θ=60^∘$，
    $∴$ 他必须沿与河岸成 $60^∘$ 角的方向前进，实际前进速度的大小为 $18km/h$．
    (2) 如图②，解直角三角形可得 $\left|v_{\text {实}}\right|=\sqrt {(4 \sqrt {3})^2-4^2}=4 \sqrt {2}(\mathrm {~km} / \mathrm {h})$，
    又 $\tan \theta=\dfrac {\left|v_{\text {人}}\right|}{\left|v_{\text {实 }}\right|}=\dfrac {4}{4 \sqrt {2}}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，
    $∴$ 他必须沿与水流方向成 $90^∘+θ$(锐角 $θ$ 满足 $\tan \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，或 $\sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 等) 方向航行，实际前进速度的大小为 $4 \sqrt{2}(\mathrm{~km} / \mathrm{h})$．

    
     

【B组---提高题】

1. 点 $O$ 是 $△ABC$ 所在平面上一点，且满足 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$，则点 $O$ 为 $△ABC$ 的 (　　)
 A．外心 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．内心 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．重心 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．垂心
 

2. 已知向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}+3 \vec{b}|=2$，则 $|\vec{a}|$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

3. 平面上三个力 $F_1，F_2，F_3$ 作用一点 $O$， $\left|F_1\right|=1 N$， $\left|F_2\right|=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} N$， $\left|F_3\right|=(\sqrt{3}+1) N$，若使这三个力作用于点 $O$ 处于平衡状态，则三个力之间的夹角分别为多少？
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 作 $BD//OC$，$CD//OB$，连结 $OD$，$OD$ 与 $BC$ 相交于 $G$，则 $BG=CG$，
   $\therefore \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O D}$，
   又 $\because \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$，可得： $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=-\overrightarrow{O A}$，
   $\therefore \overrightarrow{O D}=-\overrightarrow{O A}$ ，
   $∴A，O，G$ 在一条直线上，可得 $AG$ 是 $BC$ 边上的中线，
   同理：$BO$，$CO$ 的延长线也为 $△ABC$ 的中线．
   $∴O$ 为三角形 $ABC$ 的重心．
   故选：$C$．

   

2. 答案 $[1，2]$
   解析 $\because|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}+3 \vec{b}|=2$， $\therefore|3 \vec{a}-3 \vec{b}|=6$，
   $\therefore 2+6=|\vec{a}+3 \vec{b}|+|3 \vec{a}-3 \vec{b}| \geqslant|\vec{a}+3 \vec{b}+3 \vec{a}-3 \vec{b}| \geqslant|4 \vec{a}|$， $\therefore|\vec{a}| \leqslant 2$，
   $\because|3 \vec{b}-3 \vec{a}|-|\vec{a}+3 \vec{b}| \leqslant|3 \vec{b}-3 \vec{a}-\vec{a}-3 \vec{b}|=|3 \vec{b}-\overrightarrow{3 a}| \leqslant|4 \vec{a}|$，
   $\therefore|\vec{a}| \geqslant 1$，
   $\therefore|\vec{a}|$ 的取值范围是 $[1，2]$，
   故答案为： $[1，2]$．

3. 答案 $\vec{F_1 }$ 与 $\vec{F_2 }$ 的夹角为 $45^∘$， $\vec{F_1 }$ 与 $\vec{F_3}$ 的夹角为 $150^∘$．
   解析 如图所示，
   分别作 $\overrightarrow{O A}=\vec{F_1 }$，$\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{F_2}$， $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{F_3}$． $\angle A O B=\alpha$， $\angle A O C=\beta$．
   假设这三个力作用于点 $O$ 处于平衡状态，
   $\therefore \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \cos \alpha+(\sqrt{3}+1) \cos \beta+1=0$， $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \sin \alpha-(\sqrt{3}+1) \sin \beta=0$，
   化为 $\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2+(\sqrt{3}+1)^2+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)^2 \cos (\alpha-\beta)=1 \cdot \dfrac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\sqrt{2}$．
   $\therefore \cos (\alpha+\beta)=\dfrac{-5-3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}(2+\sqrt{3})}=-\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\cos 195^{\circ}$，
   $∴α+β=195^∘$，
   $\therefore \sin \left(195^{\circ}-\beta\right)=\sqrt{2} \sin \beta$，化为 $\tan \beta=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，解得 $β=150^∘$，$α=45^∘$．
   $∴\vec{F_1 }$ 与 $\vec{F_2 }$ 的夹角为 $45^∘$， $\vec{F_1 }$ 与 $\vec{F_3}$ 的夹角为 $150^∘$．