5.3.2(1) 导数与函数的极值

${\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}$
[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
( https://www.zxxk.com/docpack/2875423.html)
${\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}$

选择性第二册同步巩固，难度2颗星！

基础知识

极值的概念

若在点$x=a$附近的左侧$f'(x)<0$，右侧$f'(x)>0$，则$a$称为函数$y=f(x)$的极小值点，$f(a)$称为函数$y=f(x)$的极小值；若在点$x=b$附近的左侧$f'(x)>0$，右侧$f'(x)<0$，则$b$称为函数$y=f(x)$的极大值点，$f(b)$称为函数$y=f(x)$的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

解释
① 把函数图象看成一座“山脉”，极大值就是“山峰”，极小值就是“山谷”，如下图；
② 极值是“函数值$y$”，极值点是“自变量$x$值”，如下图有极大值$f(-1)$和$f(1)$，极小值$f(-2)$和$f(2)$，极大值点$-1$和$1$，极小值点$-2$和$2$.

③ 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质；

④ 对于极值还有特别强调一下，看例题：
【例】设$x_0$是函数$y=f(x)$的极值点，则下列说法准确的是( )
A. 必有$f'(x_0 )=0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad$ B.$f'(x_0 )$不存在
C. $f'(x_0 )=0$或$f'(x_0 )$不存在 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $f'(x_0 )$存在但可能不为$0$
解析函数$f(x)=x^3$，

$f'(x)=3x^2$，$f'(0)=0$，但$x<0$时，$f'(x)>0$；$x>0$时，$f'(x)>0$；故根据极值的定义，$0$不是函数$f(x)=x^3$的极值点，这个从函数图象也很容易知道. 又如函数$g(x)=|x|$，

当$x<0$时，$g'(x)=-1<0$；当$x>0$时，$g'(x)=1>0$；
所以$g(x)$在$x=0$处取到极值，但在导数不存在；故选$C$.
总结
① 若$f(x)$可导，且$x_0$是$y=f(x)$的极值，则$x_0$是$f'(x)=0$的解；
② 若$x_0$是$f'(x)=0$的解，$x_0$ 不一定是$y=f(x)$的极值点；
③ 定义很重要.
【例】判断$x=0$是否$f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2$的极大值点.
解 $\because f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2$，$\therefore f'(x)=x^2-2x$，
当$x>0$时，$f'(x)<0$；当$x<0$时，$f'(x)>0$；
所以$x=0$是$f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2$的极大值点.

求函数的极值的方法

解方程$f'(x)=0$ ，当$f'(x_0)=0$时：
(1) 如果在$x_0$附近的左侧$f'(x)>0$，右侧$f'(x)<0$，那么$f(x_0)$是极大值；
(2) 如果在$x_0$附近的左侧$f'(x)<0$，右侧 $f'(x)>0$，那么$f(x_0)$是极小值．

基本方法

【题型1】极值的概念

【典题1】(多选)设函数$f(x)$的定义域为$R$，$x_0 (x_0≠0)$是$f(x)$的极大值点，以下结论错误的是(　　)
A．$∀x∈R$，$f(x)≤f(x_0)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-x_0$是$f(-x)$的极小值点
C．$-x_0$是$-f(x)$的极小值点 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$-x_0$是$-f(-x)$的极小值点
解析 $A$．$∀x∈R$，$f(x)≤f(x_0)$，错误．$x_0 (x_0≠0)$是$f(x)$)的极大值点，并不是最大值点；
$B$．$-x_0$是$f(-x)$的极小值点，错误．$f(-x)$相当于$f(x)$关于$y$轴的对称图象，故$-x_0$应是$f(-x)$的极大值点；
$C$．$-x_0$是$-f(x)$的极小值点，错误．$-f(x)$相当于$f(x)$关于$x$轴的对称图象，故$x_0$应是$－f(x)$的极小值点．跟$-x_0$没有关系；
$D$．$-x_0$是$-f(-x)$的极小值点，正确．$-f(-x)$相当于$f(x)$先关于$y$轴的对称，再关于$x$轴的对称图象．故$D$正确．
故选：$ABC$．
点拨结合图象分析.

【典题2】若函数 $f(x)=x^3-\left(\dfrac{a}{2}+3\right) x^2+2 a x+3$在$x=2$处取得极小值，则实数$a$的取值范围是(　　)
A．$(-∞，-6)$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$(-∞，6)$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$(6，+∞)$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$(-6，+∞)$
解析 $f(x)=x^3-\left(\dfrac{a}{2}+3\right) x^2+2 a x+3$，
则$f'(x)=3x^2-(a+6)x+2a$，
由题意得：$f'(2)=0$，即$12-2a-12+2a=0$，$f'(2)$恒为$0$，
$\because f(2)$是极小值，$\therefore x<2$时，函数单调递减，$x>2$时，函数单调递增，
结合二次函数的性质$f'(x)$的对称轴在$x=2$的左侧，
即$\dfrac{a+6}{6}<2$，故$a<6$，
又$△=(a+6)^2-24a=(a-6)^2>0$，故$a<6$，
故选：$B$．
点拨本题依题意得$f'(2)=0$，由于等式恒成立，求不出$a$，则利用极值的概念求出$a$的取值范围.

【巩固练习】

1.已知函数$y=f(x)$的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．$-4$是函数$f(x)$的极小值点 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-1$是函数$f(x)$的极小值点
C．函数$f(x)$在区间$(-4，1)$上单调递减 $\qquad \qquad$ D．函数$f(x)$在区间$(-4，-1)$上先增后减

2.函数$f(x)=4x^3-ax^2-2bx+2$在$x=1$处有极值，则$a+b$的值等于(　　)
A．$9$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$6$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$2$

3.已知函数$f(x)=x^3+2ax^2+bx+a^2$在$x=1$处的极小值为$6$，则数对$(a，b)$为(　　)
A．$(-2，5)$ $\qquad \qquad$ B．$(-19，4)$ $\qquad \qquad$ C．$(4，-19)$ $\qquad \qquad$ D．$(-2，5)$或$(4，-19)$

4.(多选)已知函数$f(x)= \dfrac{1}{3} x^3+x^2-2ax+1$，当实数$a$为下列(　　)的值时，函数$f(x)$在$(1，2)$上有极值．
A．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$4$

参考答案

答案 $A$
解析结合导函数的图象，可知$f(x)$在$(-∞，-4)$单调递减，在$(-4，+∞)$单调递增，
所以$-4$是函数$f(x)$的极小值点，故$A$正确；
$-1$不是$f(x)$的极值点，故$B$错误；
函数$f(x)$在区间$(-4，1)$上单调递增，故$C$错误；
函数$f(x)$在区间$(-4，-1)$上单调递增，故$D$错误；
故选：$A$．
答案 $B$
解析函数$f(x)=4x^3-ax^2-2bx+2$在$x=1$处有极值，可知$f'(1)=0$，
而$f'(x)=12x^2-2ax-2b$，故$12-2a-2b=0$ ，故$a+b=6$，
故选：$B$．
答案 $C$
解析由$f(x)=x^3+2ax^2+bx+a^2$，得$f'(x)=3x^2+4ax+b$，
$\because f(x)$在$x=1$处的极小值为$6$，$\therefore f'(1)=0$且$f(1)=6$，
$\therefore 3+4a+b=0$且$1+2a+b+a^2=6$，
$\therefore a=-2$，$b=5$或$a=4$，$b=-19$，
经检验当$a=-2$，$b=5$时，$f(x)$在$x=1$处取不到极小值$6$，
$\therefore a=4$，$b=-19$， $\therefore$数对$(a，b)$为$(4，-19)$．
故选：$C$．
答案 $BC$
解析 $f'(x)=x^2+2x-2a$，
因为函数$f(x)$在$(1，2)$上有极值，所以$f'(x)=0$在$(1，2)$上有根，
所以$y=f'(x)$在$(1，2)$上有变号零点，
又因为$f'(x)=x^2+2x-2a$，在$(1，2)$上单调递增，
所以$\left\{\begin{array}{l} f^{\prime}(1)=3-2 a<0 \\ f^{\prime}(2)=8-2 a>0 \end{array}\right.$，解得$\dfrac{3}{2}<a<4$，
故选：$BC$．

【题型2】不含参函数的极值

【典题1】 已知曲线$f(x)=ax^3-bx^2+2$在点$(1，f(1))$处的切线方程为$y=1$．
(1)求$a$、$b$的值；$\qquad \qquad$ (2)求$f(x)$的极值．
解析 (1)由函数的解析式可得$f'(x)=3ax^2-2bx$，
由切线方程可知切点坐标为$(1，1)$，切线的斜率为$0$，
从而有 $\left\{\begin{array}{l} f(1)=a-b+2=0 \\ f^{\prime}(1)=3 a-2 b=0 \end{array}\right.$，求解方程组可得 $\left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=3 \end{array}\right.$，
故$a=2$，$b=3$．
(2)由题意可得$f(x)=2x^3-3x^2+2$，$f'(x)=6x^2-6x$，
当$x∈(-∞，0)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增，
当$x∈(0，1)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减，
当$x∈(1，+∞)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增，
故函数的极大值为$f(0)=2$，函数的极小值为$f(1)=1$．

点拨求函数极值先求函数单调性，解题步骤与思路差不多；借助导函数的“穿线图”更好得到结论.

【巩固练习】

1.下列函数中，不存在极值点的是(　　)
A．$y=x+ \dfrac{1}{x}$ $\qquad \qquad$ B． $y=2^{|x|}$ $\qquad \qquad$ C．$y=x⋅\ln ⁡x$ $\qquad \qquad$ D．$y=-2x^3-x$

2.函数$y=1+3x-x^3$有(　　)
A．极小值$-1$，极大值$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．极小值$-1$，极大值$3$
C．极小值$-2$，极大值$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．极小值$2$，极大值$3$

3.函数$f(x)=\cos⁡ 2x+\sin ⁡ ⁡x$，$x \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)$的极值点为$x_0$，则$\tan⁡ x_0$的值为(　　)
A．$\dfrac{\sqrt{15}}{15}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\sqrt{15}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\sqrt{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

4.已知函数$f(x)=a\ln ⁡x- \dfrac{1}{2} x^2$，$(a∈R)$在$x=1$处的切线与直线$y=x+1$平行．
(1)求实数a的值；$\qquad \qquad$ (2)求函数$f(x)$的极值．

参考答案

答案 $D$
解析 $y=x+ \dfrac{1}{x}$，$x=-1$时，函数取得极大值，$x=1$时，函数取得极小值，所以$A$不正确；
$y=2^{|x|}$是偶函数，$x=0$时，函数取得极小值，所以$B$不正确；
$y=x⋅\ln ⁡x$可得$y'=\ln ⁡x+1$， $x>\dfrac{1}{e}$时，$y'>0$，函数是增函数，
$x \in\left(0， \dfrac{1}{e}\right)$时，$y'<0$，函数是减函数，$x=\dfrac{1}{e}$时，函数取得极小值，所以$C$不正确．
$y=-2x^3-x$，可得$y'=-6x^2-1<0$恒成立，函数是减函数，
所以函数没有极小值，所以$D$正确．
故选：$D$．
答案 $B$
解析 $y'=3-3x^2$，
令$y'=0$，解得$x=±1$，
$x∈(-∞，-1)$，$(1，+∞)$时，$y'<0$，$x∈(-1，1)$时，$y'>0$，
$\therefore$函数$y=1+3x-x^3$有在$(-∞，-1)$，$(1，+∞)$上递减，在$(-1，1)$递增，
$\therefore x=1$，函数取得极大值$1+3×1-1^3=3$，
$x=-1$时，函数取得极小值$1+3×(-1)-(-1)^3=-1$，
故选：$B$．
答案 $A$
解析函数$f(x)=\cos⁡ 2x+\sin ⁡ ⁡x$，$x \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)$，
所以 $f^{\prime}(x)=-2 \sin 2 x+\cos x=\cos x(1-4 \sin x)$，
令$f'(x)=0$，$\cos⁡ x(1-4\sin ⁡ ⁡x)=0$，
因为$x \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)$，所以$\cos⁡ x≠0$，
所以$1-4\sin ⁡ ⁡x=0$，即$\sin ⁡ ⁡x= \dfrac{1}{4}$，
因为函数$f(x)=\cos⁡ 2x+\sin ⁡ ⁡x$，$x \in\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)$的极值点为$x_0$，
所以$\sin ⁡ ⁡x_0= \dfrac{1}{4}$， $\cos x_0=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$， $\therefore \tan x_0=\dfrac{\sqrt{15}}{15}$，
故选：$A$．
答案 (1) $a=2$；(2) 极大值为$\ln ⁡2-1$，无极小值．
解析 (1)由题意可知，$f'(1)=1$，
$\because f^{\prime}(x)=\dfrac{a}{x}-x$，$\therefore f'(1)=a-1=1$，$\therefore a=2$．
(2) $\because f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x}-x=\dfrac{2-x^2}{x}$，
$\therefore f'(x)>0⇒0<x<\sqrt{2}$，$f'(x)<0⇒x>\sqrt{2}$，
即函数$f(x)$在$(0，\sqrt{2})$上单调递增，在$(\sqrt{2}，+∞)$上单调递减，
故函数$f(x)$的极大值为$f(\sqrt{2})=2\ln ⁡\sqrt{2}-1=\ln ⁡2-1$，无极小值．

【题型3】含参函数的极值

【典题1】讨论函数$f(x)=e^x-2ax-a$的极值.
解析 $f'(x)=e^x-2a$，
当$a≤0$时，$f'(x)= e^x-2a>0$，$f(x)$在$R$上为单调增函数，无极值，
当$a>0$时，
由$f'(x)= e^x-2a>0$，$x>\ln (2a)$，$f(x)$在$(\ln (2a)，+∞)$上为单调增函数，
由$f'(x)= e^x-2a<0$，$x<\ln (2a)$，$f(x)$在$(-∞，\ln (2a))$上为单调减函数，
所以 $f_{\text {极小值 }}=f(\ln (2 a))=a-2 a \ln (2 a)$，无极大值．
综上所述：当$a≤0$时，无极值，
当$a>0$时， $f_{\text {极小值 }}=a-2 a \ln (2 a)$，无极大值.

【巩固练习】

1.讨论$f(x)=x^3-ax^2+2$的极值.

2.讨论$f(x)=\ln x+ \dfrac{1}{2} x^2+ax(a∈R)$的极值点的个数.

参考答案

答案当$a≤0$时，$f(x)$无极值；当$a>0$时，极小值$-\dfrac{4 a^3}{27}+2$，无极大值．
解析定义域$x∈(0，+∞)$，$f'(x)=3x^2-2ax=x(3x-2a)$，
当$a≤0$时，$f'(x)≥0$，$f(x)$在$(0，+∞)$上单增，无极值，
当$a>0$时， $f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow x>\dfrac{2 a}{3}$，
$\therefore f(x)$单减区间是$\left(0， \dfrac{2 a}{3}\right)$，单增区间是$\left(\dfrac{2 a}{3}，+\infty\right)$，
所以 $f(x)_{\text {极小 }}=f\left(\dfrac{2 a}{3}\right)=-\dfrac{4 a^3}{27}+2$，无极大值．
综上所述，当$a≤0$时，$f(x)$无极值；当$a>0$时，极小值$-\dfrac{4 a^3}{27}+2$，无极大值．
答案当$a≥-2$时，函数$f(x)$无极值点；当$a<-2$时，$f(x)$有两个极值点.
解析由题意得： $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}+x+a=\dfrac{x^2+a x+1}{x}(x>0)$，
令$f'(x)=0$，即$x^2+ax+1=0$，$△=a^2-4$，
①当$△=a^2-4≤0$，即$-2≤a≤2$时，
$x^2+ax+1≥0$对任意的$x>0$恒成立，
即$f^{\prime}(x)=\dfrac{x^2+a x+1}{x} \geq 0$对任意$x>0$恒成立，此时$f(x)$没有极值点；
②当$△=a^2-4>0$，即$a<-2$或$a>2$时，
若$a<-2$，设方程的两根不同实根$x_1$，$x_2$，
不妨设$x_1<x_2$，
则$x_1+x_2=-a$，$x_1 x_2=1>0$，故$x_2>x_1>0$，
当$0<x<x_1$ 或$x>x_2$时，$f'(x)>0$，
当$x_1<x<x_2$时，$f'(x)<0$，
故$x_1$，$x_2$是函数$f(x)$的两个极值点．
若$a>2$，设方程$x^2+ax+1=0$的两个不同的实根$x_1$，$x_2$，
则$x_1+x_2=-a<0$，$x_1 x_2=1$，故$x_1<0$，$x_2<0$，
所以当$x>0$时，$f'(x)>0$，故函数$f(x)$没有极值点，
综上当$a≥-2$时，函数$f(x)$无极值点；当$a<-2$时，$f(x)$有两个极值点.

分层练习

【A组---基础题】

1.已知函数$f(x)$的导函数为$f'(x)$，函数$g(x)=(x-1)f'(x)$的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．$f(x)$在$(-∞，-2)$，$(1，2)$上为减函数 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$f(x)$在$(-2，1)$，$(2，+∞)$上为增函数
C．$f(x)$的极小值为$f(-2)$，极大值为$f(2)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$f(x)$的极大值为$f(-2)$，极小值为$f(2)$

2.函数$f(x)= \dfrac{1}{2} x^2+\ln ⁡x-2x$的极值点的个数是(　　)
A．$0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．无数个

3.若函数$f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-x+a\ln x$有两个不同的极值点，则实数$a$的取值范围是(　　)
A．$a> \dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$- \dfrac{1}{4}<a<0$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$a< \dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$0<a< \dfrac{1}{4}$

4.已知函数$f(x)=x\ln ⁡x+x^2$，且$x_0$是函数$f(x)$的极值点．给出以下几个问题：
①$x_0> \dfrac{1}{e}$；②$0<x_0< \dfrac{1}{e}$；③$f(x_0 )+x_0<0$；④$f(x_0 )+x_0>0$
其中正确的命题是(　　)
A．①③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．①④ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．②③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．②④

5.已知函数$f(x)=x^3+3ax^2+1(a<0)$，$f(x)$极小值点为$x_0$，若$f(x_1 )=f(x_0 )$且$x_1≠x_0$，则$x_1⋅f(x_1+x_0 )$的最小值为(　　)
A．$- \dfrac{3}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $- \dfrac{3}{8}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{3}{8}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{3}{4}$

6.若函数$f(x)=m\cdot e^x-x^2+2x(m<0)$在$(0，1)$上有极值点，则$m$的取值范围为$\underline{\quad \quad}$．

7.设$x_1$和$x_2$是函数$f(x)=x^3+2ax^2+x+1$的两个极值点．若$x_2-x_1=2$，则$a^2=$$\underline{\quad \quad}$．

8.设函数$f(x)=2x^3+3x^2+ax+b$，曲线$y=f(x)$在点$(0，f(0))$处的切线方程为$y=-12x+1$．
(1)求$f(x)$的解析式；$\qquad \qquad$ (2)求$f(x)$的极值．

9.设$a$为实数，函数$f(x)= \dfrac{1}{3} x^3- \dfrac{1}{2}(a-1)x^2-ax(x∈R)$．
(1)当$a=1$时，求$f(x)$的单调区间；
(2)求$f(x)$在$R$上的极大值与极小值．

参考答案

答案 $D$
解析当$x∈(-∞，-2)$时，$x-1<0$，由图象可得$g(x)=(x-1)f'(x)<0$，
则$f'(x)>0$，$f(x)$为增函数；
当$x∈(-2，1)$时，$x-1<0$，由图象可得$g(x)=(x-1)f'(x)>0$，
则$f'(x)<0$，$f(x)$为减函数；
当$x∈(1，2)$时，$x-1>0$，由图象可得$g(x)=(x-1)f'(x)<0$，
则$f'(x)<0$，$f(x)$为减函数；
当$x∈(2，+∞)$时，$x-1>0$，由图象可得$g(x)=(x-1)f'(x)>0$，
则$f'(x)>0$，$f(x)$为增函数，
所以$f(x)$的极大值为$f(-2)$，极小值为$f(2)$，
结合选项可知，只有选项$D$正确．
故选：$D$．
答案 $A$
解析 $f^{\prime}(x)=x+\dfrac{1}{x}-2=\dfrac{(x-1)^2}{x} \geqslant 0$，
故原函数单调递增，$f(x)$无极值点．
故选：$A$．
答案 $D$
解析因为$f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-x+a\ln x$有两个不同的极值点，
所以$f^{\prime}(x)=x-1+\dfrac{a}{x}=\dfrac{x^2-x+a}{x}=0$在$(0，+∞)$有$2$个不同的零点，
所以$x^2-x+a=0$在$(0，+∞)$有$2$个不同的零点，
所以$\left\{\begin{array}{l} \triangle=1-4 a>0 \\ a>0 \end{array}\right.$，解可得，$0<a< \dfrac{1}{4}$．
故选：$D$．
答案 $C$
解析$f(x)$的定义域为$x>0$，$f'(x)=\ln ⁡x+2x+1$，
所以有$f'(x_0 )=\ln ⁡x_0+2x_0+1=$0，
所以有$2x_0=-(\ln ⁡x_0+1)>0$，即$\ln ⁡x_0<-1$，
即 $\ln x_0<\ln e^{-1}$，所以有$0<x_0< \dfrac{1}{e}$；故①错误，②正确；
$f(x_0 )+x_0=x_0 \ln ⁡x_0+x_0^2+x_0=x_0 (\ln ⁡x_0+x_0+1)$，
因为$2x_0=-(\ln ⁡x_0+1)$，
所以有$f(x_0 )+x_0=x_0 \ln ⁡x_0+x_0^2+x_0=x_0 (\ln ⁡x_0+x_0+1)=-x_0^2<0$，
故③正确，④错误．
故选：$C$．
答案 $B$
解析 $f'(x)=3x^2+6ax=3x(x+2a)$，
$\because a<0$，
当$x>-2a$或$x<0$时，$f'(x)>0$，函数单调递增，
当$0<x<-2a$时，$f'(x)<0$，函数单调递减，
故极小值点为$x_0=-2a$，
由$f(x_1 )=f(x_0 )=1+4a^3$可得$x_1=a$，
则$x_1⋅f(x_1+x_0 )=af(-a)=a(2a^3+1)=2a^4+a$，
设$g(a)=2a^4+a(a<0)$，$g'(a)=8a^3+1$，
当$a \in\left(-\infty，-\dfrac{1}{2}\right)$，$g'(a)<0$; $a \in\left(-\dfrac{1}{2}，+\infty\right)$，$g'(a)>0$
所以$g(a)$在$\left(-\infty，-\dfrac{1}{2}\right)$上单调递减，在$\left(-\dfrac{1}{2}，+\infty\right)$上单调递增，
故$g(a)_{\min }=g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{8}$．
故选：$B$．
答案 $(-2，0)$
解析 $f'(x)=m\cdot e^x-2x+2(m<0)$，
所以$f'(x)$在$(0，1)$上为减函数，
所以$\left\{\begin{array}{l} f^{\prime}(0)=m+2>0 \\ f^{\prime}(1)=m e<0 \end{array}\right.$，解得$-2<m<0$，
故答案为：$(-2，0)$．
答案 $3$
解析 $\because$函数$f(x)=x^3+2ax^2+x+1$， $\therefore f'(x)=3x^2+4ax+1$，
又$x_1$和$x_2$是函数$f(x)=x^3+2ax^2+x+1$的两个极值点，
则$x_1$和$x_2$是方程$3x^2+4ax+1=0$的两根，
故 $x_1+x_2=-\dfrac{4 a}{3}$， $x_1 \cdot x_2=\dfrac{1}{3}$，
又$x_2-x_1=2$，则$(x_1-x_2 )^2=(x_1+x_2 )^2-4x_1 x_2=4$，
即 $\dfrac{16 a^2}{9}-\dfrac{4}{3}=4$，则$a^2=3$.
答案 (1)$y=2x^3+3x^2-12x+1$；(2) 极大值$21$，极小值$-6$.
解析 (1)$f'(x)=6x^2+6x+a$， $k_{\text {切 }}=f^{\prime}(0)=a$，
又因为切线方程为$y=-12x+1$，
所以 $k_{\text {切 }}=-12$，得$a=-12$，
因为切点在切线上也在曲线上，
所以$\left\{\begin{array}{l} f(0)=-12 \times 0+1=1 \\ f(0)=b \end{array}\right.$，所以$b=1$，
所以$f(x)$的解析式为$y=2x^3+3x^2-12x+1$．
(2)$f(x)$定义域为$R$，$f'(x)=6x^2+6x-12$
令$f'(x)=0$得，$x=-2$或$1$，
所以在$(-∞，-2)$，$(1，+∞)$上单调递增，在$(-2，1)$上单调递减，
所以$f(x)_{\text {极大值 }}=f(-2)=21$， $f(x)_{\text {极小植 }}=f(1)=-6$．
答案 (1) 在$(-∞，-1)$，$(1，+∞)$上单调递增，在$(-1，1)$上单调递减；
(2) 当$a=-1$时，无极值；当$a>-1$时，极大值为$\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}$，极小值为$-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2$；
当$a<-1$时，极小值为$\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}$，极大值为$-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2$．
解析 (1)当$a=1$时，$f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x$，$\therefore f'(x)=x^2-1$，
令$f'(x)=0$，解得$x=1$，或$x=-1$，
当$f'(x)>0$时，即$x>1$，或$x<-1$时，函数为增函数，
当$f'(x)<0$时，即$-1<x<1$，函数为减函数，
$\therefore f(x)$$在(-∞，-1)$，$(1，+∞)$上单调递增，在$(-1，1)$上单调递减；
(2) $f'(x)=x^2-(a-1)x-a=(x-a)(x+1)$，
令$f'(x)=0$，解得$x=-1$或$x=a$，
①当$a=-1$时，$f'(x)⩾0$恒成立，$\therefore f(x)$单调递增，函数无极值，
②当$a>-1$时，
当$f'(x)>0$时，即$x>a$，或$x<-1$时，函数为增函数，
当$f'(x)<0$时，即$-1<x<a$，函数为减函数，
$\therefore$当$x=-1$时，函数有极大值，极大值为$f(-1)=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}(a-1)+a=\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}$，
当$x=a$时，函数有极小值，极小值为$f(a)=\dfrac{1}{3} a^3-\dfrac{1}{2}(a-1) a^2+a^2=-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2$，
③当$a<-1$时，
当$f'(x)>0$时，即$x>-1$，或$x<a$时，函数为增函数，
当$f'(x)<0$时，即$a<x<-1$，函数为减函数，
$\therefore$当$x=-1$时，函数有极小值，极小值为$f(-1)=\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}$，
当$x=a$时，函数有极大值，极大值为$f(a)=-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2$．
综上所述，当$a=-1$时，无极值；
当$a>-1$时，极大值为$\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}$，极小值为$-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2$；
当$a<-1$时，极小值为$\dfrac{1}{2} a+\dfrac{1}{6}$，极大值为 $-\dfrac{1}{6} a^3+\dfrac{3}{2} a^2$．

【B组---提高题】

1.(多选)如图，已知直线$y=kx+m$与曲线$y=f(x)$相切于两点，则$F(x)=f(x)-kx$有(　　)

A．$1$个极大值点，$2$个极小值点 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2$个零点 $\qquad \qquad \qquad \qquad$
C．$0$个零点 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$2$个极小值点，无极大值点

2.已知函数$f(x)=e^x-a\sin ⁡ x$在区间 $\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)$上有极值，则实数$a$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$ .

3.讨论函数$f(x)=x\ln x- \dfrac{1}{2} x^2+(a-1)x(a∈R)$的极值点的个数.

参考答案

答案 $AC$
解析由原图可知，$k<0$，$m>0$，设原图中的两切点横坐标为$a$，$b$．
再在同一坐标系中做出$y=f(x)$与$y=kx$的图象如图：
由图可知，$y=f(x)$与$y=kx$没有公共点，
故函数$F(x)$没有零点．
直线$x=n$与$y=f(x)$、$y=kx$分别交于点$A$、$B$，
则$F(x)$的函数值可以理解为线段$AB$长度；
由图可知：当$x∈(-∞，a)$时，$F(x)$单调递减；当$x∈(a，c)$，$F(x)$单调递增；
当$x∈(c，b)$时，$F(x)$单调递减；当$x∈(b，+∞)$时，$F(x)$单调递增．
故$a$，$b$是函数$F(x)$的极小值点，$c$是$F(x)$)的极大值点．
故选：$AC$．
答案 $\left(1，2 e^{\frac{\pi}{3}}\right)$
解析 $f(x)=e^x-\operatorname{asin} x$， $x \in\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)$，
则$f'(x)=e^x-a\cos⁡ x$
由题意得$e^x-a\cos⁡ x=0$在 $\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)$上有解，
即$a=\dfrac{e^x}{\cos x}$在 $\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)$上有解，
记$a=\dfrac{e^x}{\cos x}$， $x \in\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)$，
则$g^{\prime}(x)=\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{\cos ^2 x}$，
当$x \in\left(0， \dfrac{\pi}{3}\right)$时，$g'(x)>0$，$g(x)$递增，
而$g(0)=1$， $g\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 e^{\frac{\pi}{3}}$，故 $1<a<2 e^{\frac{\pi}{3}}$.
答案当$a≤1$时，$f(x)$没有极值点；当$a>1$时，$f(x)$有$2$个极值点．
解析 $f'(x)=\ln x-x+a$， $f^{\prime \prime}(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}$，
当$x∈(0，1)$时，$f'' (x)>0$，$f'(x)$单调递增；
当$x∈(1，+∞)$时，$f'' (x)<0$，$f'(x)$单调递减，
所以当$x=1$时，$f'(x)$有极大值，$f'(1)=a-1$，
当$a≤1$时，$f'(1)≤0$，
所以$f(x)$在$(0，+∞)$上单调递减，此时$f(x)$无极值，
当$a>1$时，$f'(1)=a-1>0$，
$f^{\prime}\left[\left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}\right]=\ln \left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}-\left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}+a$$=-a-1-\left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}+a=-1-\left(\dfrac{1}{e}\right)^{a+1}<0$，
易证$x>1$时，$e^x>2x$，
所以$a>1$，$f'(e^a)=2a-e^a<0$，
故存在$x_1$，$x_2$满足$0<( \dfrac{1}{e})^{a+1}<x_1<1<x_2<e^a$，$f'(x_1)=f'(x_2)=0$，
当$x∈(0，x_1)$时，$f(x)$单调递减，当$x∈(x_1，x_2)$时，$f(x)$单调递增，
当$x∈(x_2，+∞)$时，$f(x)$单调递减，
所以$f(x)$在$x=x_1$处有极小值，在$x=x_2$处有极大值．
综上所述，当$a≤1$时，$f(x)$没有极值点；当$a>1$时，$f(x)$有$2$个极值点．

【C组---拓展题】

1.已知函数 $f(x)=\dfrac{e^x}{x}+k(\ln x-x)$，若$x=1$是函数$f(x)$的唯一极值点，则实数$k$的取值范围是$\underline{\quad \quad}$．

参考答案

答案$(-∞，e]$
解析 $\because$函数 $f(x)=\dfrac{e^x}{x}+k(\ln x-x)$的定义域是$(0，+∞)$，
$\therefore f^{\prime}(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}+\dfrac{k(1-x)}{x}=\dfrac{\left(e^x-k x\right)(x-1)}{x^2}$ ，
$x=1$是函数$f(x)$的唯一一个极值点，
$\therefore x=1$是导函数$f'(x)=0$的唯一根，
$\therefore e^x-kx=0$在$(0，+∞)$无变号零点，
令$g(x)=e^x-kx$，则$g'(x)=e^x-k$，
①$k≤0$时，$g'(x)>0$恒成立，$g(x)$在$(0，+∞)$时单调递增，
$g(x)$的最小值为$g(0)=1$，$g(x)=0$无解，
②$k>0$时，$g'(x)=0$有解，为：$x=\ln k$，
$0<x<\ln k$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减，
$\ln k<x$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增，
$\therefore g(x)$的最小值为$g(\ln k)=k-k\ln k$，
$\therefore k-k\ln k>0$，$\therefore k<e$，
画出函数$y=e^x$和$y=ex$的图象，如图示：

由$y=e^x$和$y=ex$图象，它们切于$(1，e)$，
综上所述$k≤e$，
故答案为：$(-∞，e]$．

posted @ 2022-12-06 20:36 贵哥讲数学阅读(144) 评论(0) 编辑收藏举报

会员力量，点亮园子希望

刷新页面返回顶部

贵哥讲数学

自由教师一枚，乐于探讨数学、分享数学！

5.3.2(1) 导数与函数的极值

基础知识

极值的概念

求函数的极值的方法

基本方法

【题型1】极值的概念

【巩固练习】

【题型2】不含参函数的极值

【巩固练习】

【题型3】含参函数的极值

【巩固练习】

分层练习

【A组---基础题】

【B组---提高题】

【C组---拓展题】

公告

贵哥讲数学

自由教师一枚，乐于探讨数学、分享数学！

5.3.2(1) 导数与函数的极值

基础知识

极值的概念

求函数的极值的方法

基本方法

【题型1】 极值的概念

【巩固练习】

【题型2】 不含参函数的极值

【巩固练习】

【题型3】含参函数的极值

【巩固练习】

分层练习

【A组---基础题】

【B组---提高题】

【C组---拓展题】

公告

【题型1】极值的概念

【题型2】不含参函数的极值