5.3.1 (3) 函数的单调性（运用）

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[【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019）]
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选择性第二册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

函数单调性与导数

在某个区间 $(a ，b)$ 内，若 $f'(x)>0$，则函数 $y=f(x)$ 在这个区间内单调递增；
若 $f'(x)<0$ ，则函数 $y=f(x)$ 在这个区间内单调递减．
解释
(1) 若函数 $y=f(x)$ 在某个区间 $(a ，b)$ 内单调递增，则 $∀x∈(a ，b)$ ，$f' (x)≥0$(含等号) 恒成立，但不存在一区间 $(c ，d)⊆(a ，b)$ 内使得 $f' (x)=0$；
假如存在一区间 $(c ，d)⊆(a ，b)$ 内使得 $f' (x)=0$，那原函数 $y=f(x)$ 在区间 $(c ，d)$ 内恒等于一个常数，即 $f(x)=m$($m$ 是个常数)，则原函数不可能在 $(a ，b)$ 内单调递增.
$\qquad \qquad$
函数 $y=f(x)$ 在某个区间 $(a ，b)$ 内单调递减有类似结论！

(2) 导函数 “穿线图” 与原函数 “趋势图”
① 导函数 “穿线图” 关注导函数在各区间的正负，故特别注意函数与 x 轴的交点情况，
如 $f'(x)=x$ 与 $f' (x)=e^x-1$ 的 “穿线图” 视为一样的，它们在 $(-∞，0)$ 上为负，在 $(0，+∞)$ 上为正.
$\qquad \qquad$
② 原函数 “趋势图” 仅关注函数在各区间上的单调性，没顾及其最值或曲线形状等，
如由导函数 $f' (x)=x-1$ 的 “穿线图” 易得原函数 $y=f(x)$ 在 $(-∞，0)$ 上递减，在 $(0，+∞)$ 上为递增，趋势图可如下图，

③ 后面涉及到函数单调性均可通过分析导函数 “穿线图” 得出原函数的单调性.
 

基本方法

【题型1】已知函数单调性求参数范围

【典题 1】 若函数 $f(x)=x^3-3kx+1$ 在区间 $(1，+∞)$ 上单调递增，则实数 $k$ 的取值范围是 (　　)
 A．$(-∞，1)$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$(-∞，1]$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$[-1，+∞)$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$[1，+∞)$
解析 因为 $f(x)=x^3-3kx+1$，所以 $f'(x)=3x^2-3k$，
当 $k⩽0$ 时，$f'(x)⩾0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $R$ 单调递增，满足题意；
当 $k>0$ 时，令 $f'(x)=3x^2-3k⩾0$，
则 $x \leqslant-\sqrt{k}$ 或 $x⩾\sqrt{k}$，
因为 $f(x)$ 在区间 $(1，+∞)$ 上单调递增，
所以 $\sqrt{k}⩽1$，即 $0<k⩽1$，
综上所述，实数 $k$ 的取值范围是 $(-∞，1]$．
故选：$B$．
点拨 $f(x)$ 在 $(a，b)$ 上递增 $⇒f'(x)≥0$ 在 $(a，b)$ 上恒成立，等号是否成立有时需要检验； $f(x)$ 在 $(a，b)$ 上递减 $⇒f'(x)≤0$ 在 $(a，b)$ 上恒成立，等号是否成立有时需要检验.
 

【巩固练习】

1. 若函数 $f(x)=(x^2-4ax+2) e^x$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$.
 

2. 已知函数 $f(x)=\sin ⁡ ⁡x+a\cos ⁡ ⁡x$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{4}， \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

3. 已知函数 $f(x)=(x-a)\ln⁡ x$，$a∈R$．若函数 $f(x)$ 在 $(0，+∞)$ 上为增函数，则 $a$ 的取值范围 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1. 答案 $\left[-\dfrac{1}{2}， \dfrac{1}{2}\right]$
   解析 对函数求导：$f'(x)=(x^2-4ax+2x+2-4a)⋅e^x$，
   由已知有 $f'(x)≥0$ 在 $R$ 上恒成立，
   又因为 $e^x>0$ 恒成立，故仅需 $x^2+(2-4a)x+2-4a⩾0$ 恒成立，
   故 $△=(2-4a)^2-4(2-4a)⩽0$，解得 $-\dfrac{1}{2} ⁡ ⩽a⩽\dfrac{1}{2}$ ⁡ .

2. 答案 $[1，+∞)$
   解析 由题意得 $f'(x)=\cos ⁡ ⁡x-a\sin ⁡ ⁡x⩽0$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{4}， \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上恒成立，
   所以 $a \geqslant \dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\tan x}$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{4}， \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上恒成立，
   因为当 $x \in\left(\dfrac{\pi}{4}， \dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$0<\dfrac{1}{\tan x}<1$，所以 $a⩾1$．

3. 答案 $\left(-\infty，-e^{-2}\right]$
   解析 函数 $f(x)=(x-a)\ln⁡ x$，$a∈R$，则 $f^{\prime}(x)=\ln x+1-\dfrac{a}{x}$，
   函数 $f(x)$ 在 $(0，+∞)$ 上为增函数，转化为 $f'(x)⩾0$ 在 $(0，+∞)$ 上恒成立，
   即 $a⩽x\ln⁡ x+x$ 在 $(0，+∞)$ 上恒成立，
   令 $g(x)=x\ln⁡ x+x$，$x∈(0，+∞)$，则 $g'(x)=\ln⁡ x+2$，
   由 $g'(x)=0$ 得 $x=e^{-2}$，由 $g'(x)>0$ 得 $x>e^{-2}$，由 $g'(x)<0$ 得 $0<x<e^{-2}$，
   $\therefore g(x)$ 在 $(0，e^{-2})$ 上单调递减，在 $(e^{-2}，+∞)$ 上单调递增，
   $\therefore$ 当 $x=e^{-2}$ 时，$g(x)$ 取得极小值也是最小值，且 $g(e^{-2})=-e^{-2}$，
   $\therefore a⩽-e^{-2}$，
   故实数 $a$ 的取值范围为 $(-∞，-e^{-2}]$.

 

【题型2】比较大小

【典题 1】 若 $1<x<y<2$，则 (　　)
 A．$e^x+3y<e^y+3x$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$e^x+3y>e^y+3x$
 C．$x^3+3y^2<y^3+3x^2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$x^3+3y^2>y^3+3x^2$
解析 令 $f(x)=e^x-3x$，$x∈(1，2)$，
则 $f'(x)=e^x-3$，由 $f'(x)=0$，可得 $x=\ln⁡ 3$，
所以当 $x∈(1，\ln⁡ 3)$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，
当 $x∈(\ln⁡ 3，2)$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，
所以当 $1<x<y<\ln⁡ 3$ 时，$e^x-3x>e^y-3y$，即 $e^x+3y>e^y+3x$，
当 $\ln⁡ 3<x<y<2$ 时，$e^x-3x<e^y-3y$，
即 $e^x+3y<e^y+3x$，故 $A$，$B$ 错误；
令 $g(x)=x^3-3x^2$，$x∈(1，2)$，
则 $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)<0$，
所以 $g(x)$ 在 $(1，2)$ 上单调递减，
因为 $1<x<y<2$，所以 $x^3+3y^2>y^3+3x^2$，故 $C$ 错误，$D$ 正确．
故选：$D$．
点拨 需要根据不等式构造函数，再通过函数单调性判断大小.
 

【巩固练习】

1. 若 $x， y \in\left[-\dfrac{\pi}{2}， \dfrac{\pi}{2}\right]$，且 $x\sin ⁡ x-y\sin ⁡ y>0$，则下列不等式一定成立的是 (　　)
 A．$x<y$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$x>y$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$|x|<|y|$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$|x|>|y|$
 

2. 若对于任意的 $0<x_1<x_2<a$，都有 $\dfrac{\ln x_1}{x_1}-\dfrac{\ln x_2}{x_2}<\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}$，则 $a$ 的最大值为 (　　)
 A．$2e$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$e$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{2}$ ⁡
 

3. 若 $0<x_1<x_2<1$，则下列结论正确的是 (　　)
 A．$\ln \dfrac{x_1}{x_2}<e^{x_1}-e^{x_2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\ln \dfrac{x_1}{x_2}>e^{x_1}-e^{x_2}$
 C．$\dfrac{x_1}{x_2}>\sqrt{e^{x_1-x_2}}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{x_1}{x_2}<\sqrt{e^{x_1-x_2}}$
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 令 $f(x)=x\sin ⁡ x$，$x \in\left[-\dfrac{\pi}{2}， \dfrac{\pi}{2}\right]$，则 $f(x)$ 为偶函数，
   当 $x>0$ 时，$f'(x)=\sin ⁡ x+x\cos ⁡ x>0$，即 $f(x)$ 在 $\left[0， \dfrac{1}{2} \pi\right]$ 上单调递增，
   根据偶函数的对称性可知，$f(x)$ 在 $\left[-\dfrac{1}{2} \pi， 0\right)$ 上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，
   由 $x\sin ⁡ x-y\sin ⁡ y>0$，可得 $x\sin ⁡ x>y\sin ⁡ y$，即 $f(x)>f(y)$，
   从而可得 $|x|>|y|$．
   故选：$D$．

2. 答案 $C$
   解析 $\because \dfrac{\ln x_1}{x_1}-\dfrac{\ln x_2}{x_2}<\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}$，$\therefore \dfrac{\ln x_1+1}{x_1}<\dfrac{\ln x_2+1}{x_2}$，
   据此可得函数 $f(x)=\dfrac{\ln x+1}{x}$ 在定义域 $(0，a)$ 上单调递增，
   其导函数：$f^{\prime}(x)=\dfrac{1-(\ln x+1)}{x^2}=-\dfrac{\ln x}{x^2} \geq 0$ 在 $(0，a)$ 上恒成立，
   据此可得：$0<x≤1$，
   即实数 $a$ 的最大值为 $1$．
   故选：$C$．

3. 答案 $D$
   解析 对于 $A$：由 $\ln \dfrac{x_1}{x_2}<e^{x_1}-e^{x_2}$ ，
   得 $\ln x_1-\ln x_2<e^{x_1}-e^{x_2}$，得：$e^{x_1}-\ln x_1>e^{x_2}-\ln x_2$，
   令 $f(x)=e^x-\ln x$，则 $f(x_1)>f(x_2)$，
   由函数 $f(x)=e^x-\ln x$，得：$f'(x)=e^x-\dfrac{1}{x} ⁡$，$f'(x)$ 在 $(0，1)$ 递增，
   而 $f'(1)=e-1>0$，$x→0$ 时，$f'(x)→-∞$，
   故存在 $x_0∈(0，1)$，使得 $f'(x_0)=0$，
   故 $f(x)$ 在 $(0，x_0)$ 递减，在 $(x_0，1)$ 递增，
   ①若 $x_0<x_1<x_2<1$，则 $f(x_1 )<f(x_2 )$，
   ②若 $0<x_1<x_2<x_0$，则 $f(x_1 )>f(x_2 )$，
   ③若 $x_1<x_0<x_2$，则 $f(x_1 )$ 和 $f(x_2 )$ 无法比较大小，故 $A$ 错误；
   同理 $B$ 错误；
   对于 $C$：令 $g(x)=x^2 e^x$，$(0<x<1)$，
   则 $g'(x)=e^x (x^2+2x)>0$，
   故 $g(x)$ 在 $(0，1)$ 递增，由 $0<x_1<x_2<1$，得 $g(x_1 )<g(x_2 )$，
   即 $x_1^2 e^{x_1}<x_2^2 e^{x_2}$，即 $\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^2<\dfrac{e^{x_2}}{e^{x_1}}$，
   故 $\dfrac{x_1}{x_2}<\sqrt{e^{x_2-x_1}}$，
   故 $C$ 错误，$D$ 正确；
   故选：$D$．
    

【题型3】比较数值大小

【典题 1】 若 $a=\dfrac{\ln 4}{4}$， $b=\dfrac{\ln 5.3}{5.3}$， $c=\dfrac{\ln 6}{6}$，则 $a$、$b$、$c$ 的大小是 (　　)
 A．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ B．$c<b<a$ $\qquad \qquad$ C．$c<a<b$ $\qquad \qquad$ D．$b<a<c$
解析 设 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$， $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$，
令 $f'(x)>0$，可得 $0<x<e$，令 $f'(x)<0$，可得 $x>e$，
所以 $f(x)$ 在 $(0，e)$ 上单调递增，在 $(e，+∞)$ 上单调递减，
因为 $e<4<5.3<6$，
所以 $f(4)>f(5.3)>f(6)$，
即 $\dfrac{\ln 4}{4}>\dfrac{\ln 5.3}{5.3}>\dfrac{\ln 6}{6}$，即 $a>b>c$．
故选：$B$．
点拨 需要数值的结构特点构造函数，再通过函数单调性判断大小.
 

【典题 2】 已知 $a=e^{0.1}-1$，$b=\sin ⁡ ⁡0.1$，$c=\ln ⁡1.1$，则 (　　)
 A．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ B．$b<c<a$ $\qquad \qquad$ C．$c<a<b$ $\qquad \qquad$ D．$c<b<a$
解析 令 $f(x)=e^x-x-1$，则 $f'(x)=e^x-1$，
当 $x∈(0，+∞)$ 时，$f'(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $(0，+∞)$ 上是增函数，
故 $f(0.1)>f(0)$，即 $e^{0.1}-0.1-1>0$，故 $a=e^{0.1}-1>0.1$，
令 $g(x)=\sin ⁡ ⁡x-x$，则 $g'(x)=\cos ⁡ ⁡x-1<0$ 在 $(0，1)$ 上恒成立，
故 $g(x)=\sin ⁡ ⁡x-x$ 在 $(0，1)$ 上单调递减，
故 $g(0.1)<g(0)$，即 $\sin ⁡ ⁡0.1-0.1<0$，即 $b=\sin ⁡ ⁡0.1<0.1$，
令 $h(x)=\ln ⁡ (x+1)-\sin ⁡ ⁡x$，
则 $h^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x+1}-\cos x=\dfrac{1-(x+1) \cos x}{x+1}$，
令 $m(x)=1-(x+1)\cos ⁡ ⁡x$，
则 $m'(x)=-\cos ⁡ ⁡x+(x+1)\sin ⁡ ⁡x$，
易知 $m'(x)$ 在 $\left(0， \dfrac{\pi}{6}\right)$ 上是增函数，
且 $m^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\left(1+\dfrac{\pi}{6}\right) \dfrac{1}{2}=\dfrac{-6 \sqrt{3}+6+\pi}{12}<0$，
故 $m'(x)<0$ 在 $\left(0， \dfrac{\pi}{6}\right)$ 上恒成立，故 $m(x)$ 在 $\left(0， \dfrac{\pi}{6}\right)$ 上是减函数，
又 $\because m(0)=1-1=0$，故 $m(x)<0$ 在 $\left(0， \dfrac{\pi}{6}\right)$ 上恒成立，
故 $h'(x)<0$ 在 $\left(0， \dfrac{\pi}{6}\right)$ 上恒成立，故 $h(x)$ 在 $\left(0， \dfrac{\pi}{6}\right)$ 上是减函数，
故 $h(0.1)<h(0)=0$，即 $\ln ⁡ 1.1-\sin ⁡ ⁡0.1<0$，即 $c<b$，
故 $c<b<a$，
故选：$D$．
 

【巩固练习】

1. 已知 $a=\dfrac{\ln \sqrt{2}}{4}$， $b=\dfrac{1}{e^2}$， $c=\dfrac{\ln \pi}{2 \pi}$，则 $a$、$b$、$c$ 的大小关系为 (　　)
 A.$a<c<b$ $\qquad \qquad$ B. $b<a<c$ $\qquad \qquad$ C. $a<b<c$ $\qquad \qquad$ D. $c<a<b$
 

2. 已知 $a=\dfrac{3}{\ln 3}$，$b=e$， $c=\dfrac{e^2}{2}$($e$ 为然对数的底数)，则 $a$、$b$、$c$ 的大小关系为 (　　)
 A．$c>a>b$ $\qquad \qquad$ B．$c>b>a$ $\qquad \qquad$ C．$a>c>b$ $\qquad \qquad$ D．$b>c>a$
 

3. 设 $a=e^{-1}$ ， $b=\dfrac{1}{2} e^{-\frac{1}{2}}$，$c=\ln ⁡ 2$，则 $a$、$b$、$c$ 的大小关系为 (　　)
 A.$b<c<a$ $\qquad \qquad$ B.$a<b<c$ $\qquad \qquad$ C. $b<a<c$ $\qquad \qquad$ D. $c<a<b$
 

4. 设 $a=\dfrac{10}{11}$， $b=\dfrac{1}{e^{0.1}}$，$c=0.9$，则 (　　)
 A．$c<b<a$ $\qquad \qquad$ B．$c<a<b$ $\qquad \qquad$ C．$b<c<a$ $\qquad \qquad$ D．$a<c<b$
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 因为 $a=\dfrac{\ln \sqrt{2}}{4}=\dfrac{\ln 2}{8}=\dfrac{2 \ln 2}{16}=\dfrac{\ln 4}{16}$，$b=\dfrac{1}{e^2}=\dfrac{\ln e}{e^2}$，$c=\dfrac{\ln \pi}{2 \pi}=\dfrac{\ln \sqrt{\pi}}{\pi}$，
   所以构造函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}$，
   则 $f^{\prime}(x)=\dfrac{x-2 x \ln x}{x^4}=\dfrac{1-2 \ln x}{x^3}$，
   令 $f'(x)>0$ 得 $0<x<\sqrt{e}$；令 $f'(x)<0$ 得 $x>\sqrt{e}$；
   所以函数 $f(x)$ 在 $(0，\sqrt{e})$ 上单调递增，在 $(\sqrt{e}，+∞)$ 上单调递减，
   因为 $\sqrt{e}<\sqrt{\pi}<e<4$，
   所以 $f(\sqrt{\pi})>f(e)>f(4)$，即 $c>b>a$.
   故选：$C$．

2. 答案 $A$
   解析 $\because a=\dfrac{3}{\ln 3}$， $b=e=\dfrac{e}{\ln e}$， $c=\dfrac{e^2}{2}=\dfrac{e^2}{\ln e^2}$，
   $\therefore$ 令 $f(x)=\dfrac{x}{\ln x}$，则 $f^{\prime}(x)=\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$，
   $\therefore$ 当 $x∈(e，+∞)$ 时，$f'(x)>0$，
   $\therefore f(x)$ 在 $[e，+∞)$ 上是增函数，
   而 $a=\dfrac{3}{\ln 3}=f(3)$，$b=e=\dfrac{e}{\ln e}=f(\mathrm{e})$，$c=\dfrac{e^2}{2}=\dfrac{e^2}{\ln e^2}=f\left(e^2\right)$，
   且 $e<3<e^2$，则 $c>a>b$，
   故选：$A$．

3. 答案 $C$
   解析 设 $\text { 没} f (x)=x e^{-x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=(1-x) e^{-x}$，
   当 $x≤1$ 时，$f'(x)≥0$，$f(x)$ 单调递增，
   当 $x>1$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 单调递减，
   $\therefore f(1)>f(\dfrac{1}{2} ⁡ )$，即 $a>b$，
   $\because c=\ln 2>\ln \sqrt{e}=\dfrac{1}{2}>\dfrac{1}{e}=a$，$\therefore b<a<c$，
   故选：$C$．

4. 答案 $A$
   解析 令 $f(x)=e^x-(x+1)$，则 $f'(x)=e^x-1$，
   当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$，
   $\therefore$ 当 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最小值，即 $f(x)⩾f(0)=0$，
   $\therefore e^x⩾x+1$，$\therefore e^{0.1}>0.1+1=1.1$，
   $\therefore \dfrac{1}{e^{0.1}}<\dfrac{1}{1.1}=\dfrac{10}{11}$，即 $b<a$，
   $\therefore \dfrac{1}{e^{0.1}}=e^{-0.1}>-0.1+1=0.9$，即 $b>c$，
   综上，可得 $c<b<a$．
   故选：$A$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 已知函数 $f(x)=(x^2-4x+a) e^x$ 在区间 $[-2，3]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是 (　　)
 A．$(-∞，-4]$ $\qquad \qquad$ B．$(-∞，5]$ $\qquad \qquad$ C．$(-∞，1]$ $\qquad \qquad$ D．$(-∞，-8]$
 

2. 已知 $a=\dfrac{\ln 3}{3}$，$b=\dfrac{1}{e}$，$c=\dfrac{\ln 5}{5}$，则以下不等式正确的是 (　　)
 A．$c>b>a$ $\qquad \qquad$ B．$a>b>c$ $\qquad \qquad$ C．$b>a>c$ $\qquad \ \qquad$ D．$b>c>a$
 

3. 已知 $a=\dfrac{1}{e}$，$b=\dfrac{\ln 5}{5}$，$c=\dfrac{2}{5}$，则 $a$、$b$、$c$ 的大小关系为 (　　)
 A．$b<c<a$$\qquad \qquad$ B．$c<a<b$ $\qquad \qquad$ C．$c<b<a$ $\qquad \qquad$ D．$b<a<c$
 

4. 下列不等式正确的是 (　　)
 A．$\dfrac{\ln 2}{2}>\dfrac{\ln 4}{4}$ $\qquad \qquad$ B．$\dfrac{2 \ln 3}{3}>\ln 2$ $\qquad \qquad$ C．$e\ln ⁡ 10>10$ $\qquad \qquad$ D． $2^{\sqrt{6}}>6$
 

5. 设 $a=e^{0.5}$，$b=\dfrac{3}{e}$，$c=\ln ⁡ 3$，其中 $e$ 为自然对数的底数，则 $a$、$b$、$c$ 的大小关系是 (　　)
 A.$c<a<b$ $\qquad \qquad$ B. $b<c<a$ $\qquad \qquad$ C. $a<c<b$ $\qquad \qquad$ D. $c<b<a$
 

6. 已知 $a=\ln \sqrt[3]{3}$，$b=e^{-1}$，$c=\ln ⁡ (e+1)-1$，则 (　　)
 A.$a<b<c$ $\qquad \qquad$ B. $c<a<b$ $\qquad \qquad$ C. $a<c<b$ $\qquad \qquad$ D. $b<c<a$
 

7. 若 $\ln x-\ln y<\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{\ln y}(x>1， y>1)$，则 (　　)
 A． $e^{y-x}>1$ $\qquad \qquad$ B． $e^{y-x}<1$ $\qquad \qquad$ C． $e^{y-x-1}>1$ $\qquad \qquad$ D． $e^{y-x-1}<1$
 

8. 若 $\alpha， \beta \in\left[-\dfrac{\pi}{2}， \dfrac{\pi}{2}\right]$，且 $α\sin ⁡ α-β\sin ⁡ β>\cos ⁡ α-\cos ⁡ β$，则下列结论中必定成立的是 (　　)
 A．$α>β$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$α>-β$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$α<β$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$|α|>|β|$
 

9. 已知 $0<\alpha<\beta<\dfrac{\pi}{2}$，则下列不等式中恒成立的是 (　　)
 A．$α^α<β^β$$\qquad \qquad \qquad$ B．$α^α≤β^β$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$α^β>β^α$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$α^β<β^α$
 

10. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{2} ⁡ x^2+2ax-\ln ⁡ x$，若 $f(x)$ 在区间 $[1，3]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 因为函数 $f(x)=(x^2-4x+a) e^x$ 在 $[-2，3]$ 上单调递减，
   所以 $f'(x)=(x^2-2x+a-4) e^x⩽0$ 在 $[-2，3]$ 上恒成立，
   则 $x^2-2x+a-4⩽0$ 在 $[-2，3]$ 上恒成立，
   即 $a \leqslant\left(-x^2+2 x+4\right)_{\text {min }}$，
   又 $-x^2+2x+4$ 的最小值为 $-4$，所以 $a⩽-4$，
   故选：$A$．

2. 答案 $C$
   解析 令 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则 $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$，
   当 $x>e$ 时，$f'(x)<0$，函数单调递减，
   因为 $5>3>e$，所以 $f(5)<f(3)<f(e)$，
   即 $\dfrac{\ln 5}{5}<\dfrac{\ln 3}{3}<\dfrac{\ln e}{e}$，即 $b>a>c$．
   故选：$C$．

3. 答案 $D$
   解析 $\because a-c=\dfrac{1}{e}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{5-2 e}{5 e}<0$，$\therefore a<c$，
   令 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则 $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$，
   故当 $x∈(e，+∞)$ 时， $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}<0$，
   故 $f(x)$ 在 $[e，+∞)$ 上是减函数，
   而 $a=\dfrac{1}{e}=f(\mathrm{e})$， $b=\dfrac{\ln 5}{5}=f(5)$，
   故 $b<a$，故 $b<a<c$，
   故选：$D$．

4. 答案 $B$
   解析 因为 $\dfrac{\ln 4}{4}=\dfrac{2 \ln 2}{4}=\dfrac{\ln 2}{2}$，$A$ 错误；
   $2\ln ⁡ 3=\ln ⁡ 9$，$3\ln ⁡ 2=\ln ⁡ 8$，$\ln ⁡ 9>\ln ⁡ 8$，故 $2\ln ⁡ 3>3\ln ⁡ 2$，
   所以 $\dfrac{2 \ln 3}{3}>\ln 2$，$B$ 正确；
   令 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则 $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$，
   易得，当 $0<x<e$ 时，$f'(x)>0$，函数单调递增，
   当 $x>e$ 时，$f'(x)<0$，函数单调递减，
   故 $f(10)<f(e)$，
   所以 $\dfrac{\ln 10}{10}<\dfrac{1}{e}$，即 $e\ln ⁡ 10<10$，$C$ 错误；
   根据二次函数与幂函数性质可知，当 $2<x<4$ 时，$2^x<x^2$，
   所以 $2^{\sqrt{6}}<\sqrt{6}^2=6$，$D$ 错误．
   故选：$B$．

5. 答案 $D$
   解析 易知 $a=e^{0.5}>\left(\dfrac{9}{4}\right)^{0.5}=1.5$，$b=\dfrac{3}{e}<\dfrac{3}{2}=1.5$，$c=\ln 3<\ln \sqrt{e^3}=1.5$，
   令 $f(x)=\ln x-\dfrac{x}{e}$，则 $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e}$，
   故当 $x∈(e，+∞)$ 时，$f'(x)<0$，
   故 $f(x)$ 在 $(e，+∞)$ 上是减函数，
   而 $f(e)=0$，故 $f(3)<0$，
   即 $\ln 3-\dfrac{3}{e}<0$，即 $\ln 3<\dfrac{3}{e}$，
   故 $c<b<a$，
   故选：$D$．

6. 答案 $B$
   解析 令 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}(x \geq e)$，
   则 $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}<0$，即 $f(x)$ 在 $[e，+∞)$ 上单调递减，
   所以 $a=\ln \sqrt[3]{3}=\dfrac{1}{3} \ln 3=f(3)$，$b=e^{-1}=\dfrac{1}{e}=f(e)$，所以 $a<b$，
   因为 $c=\ln (e+1)-1=\ln \dfrac{e+1}{e}=\ln \left(1+\dfrac{1}{e}\right)$，
   因为 $\sqrt[3]{3}>1+\dfrac{1}{e}$，所以 $\ln \sqrt[3]{3}>\ln \left(1+\dfrac{1}{e}\right)$，即 $a>c$，
   综上，$b>a>c$.
   故选：$B$．

7. 答案 $A$
   解析 依题意， $\ln x-\dfrac{1}{\ln x}<\ln y-\dfrac{1}{\ln y}$，
   令 $f(t)=t-\dfrac{1}{t}$，则 $f^{\prime}(t)=1+\dfrac{1}{t^2}>0$，
   $\therefore$ 函数 $f(t)$ 在 $R$ 上单调递增，
   $\because \ln x-\dfrac{1}{\ln x}<\ln y-\dfrac{1}{\ln y}$，即 $f(\ln x)<f(\ln y)$，
   $\therefore \ln x<\ln y$，
   $\therefore 1<x<y$，
   $\therefore y-x>0$，
   $\therefore e^{y-x}>e^0=1$．
   故选：$A$．

8. 答案 $D$
   解析 不等式 $α\sin ⁡ α-β\sin ⁡ β>\cos ⁡ α-\cos ⁡ β$，可整理为 $α\sin ⁡ α-\cos ⁡ α>β\sin ⁡ β-\cos ⁡ β$，
   令 $f(x)=x\sin ⁡ x-\cos ⁡ x$， $x \in\left[-\dfrac{\pi}{2}， \dfrac{\pi}{2}\right]$，
   上述不等式等价于 $f(α)>f(β)$，
   $\because f(-x)=(-x)\sin ⁡ (-x)-\cos ⁡ (-x)=x\sin ⁡ x-\cos ⁡ x=f(x)$，
   $\therefore f(x)$ 为偶函数．
   又 $f'(x)=2\sin ⁡ x+x\cos ⁡ x$，
   $\therefore$ 当 $0<x≤\dfrac{\pi}{2} ⁡$ 时，$\sin ⁡ x>0$，$x\cos ⁡ x≥0$，$\therefore f'(x)>0$，
   $\therefore f(x)$ 在 $\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[-\dfrac{\pi}{2}， 0\right)$ 上单调递减．
   结合 $f(x)$ 的单调性和奇偶性可作出函数 $f(x)$ 的大致草图如下：
   
   $\because f(α)>f(β)$， $\therefore |α|>|β|$．
   故选：$D$．

9. 答案 $D$
   解析 构造函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$，则 $f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x}$，
   令 $f'(x)>0$，解得 $0<x<e$，令 $f'(x)<0$，解得 $x>e$，
   $\therefore$ 函数 $f(x)$ 在 (0，e) 上单调递增，在 (e，+∞) 上单调递减，
   $\therefore$ 函数 $f(x)$ 在 $\left(0， \dfrac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，
   $\therefore f(α)<f(β)$，即 $\dfrac{\ln \alpha}{\alpha}<\dfrac{\ln \beta}{\beta}$，
   $\therefore β\ln α<α\ln β$，即 $\ln α^β<\ln β^α$，
   $\therefore α^β<β^α$，
   故选：$D$．

10. 答案 $[0，+∞)$
    解析 由题意知，$f'(x)=x+2a-\dfrac{1}{x} ⁡ ⩾0$ 在 $[1，3]$ 上恒成立，
    即 $2a⩾\dfrac{1}{x} ⁡ -x$，
    又函数 $y=\dfrac{1}{x} ⁡ -x$ 在 $[1，3]$ 上单调递减，
    所以当 $x=1$ 时，函数 $y$ 取得最大值，为 $0$，
    所以 $2a≥0$，即 $a≥0$．
     

【B组---提高题】

1. 若 $x，y∈(0，+∞)$，$x+\ln ⁡ x=e^y+\sin ⁡ ⁡y$，则 (　　)
 A．$\ln ⁡ (x-y)<0$ $\qquad \qquad$ B．$\ln ⁡ (y-x)>0$ $\qquad \qquad$ C．$x<e^y$ $\qquad \qquad$ D．$y<\ln ⁡ x$
 

2. 已知 $a=8^{10}$，$b=9^9$，$c=10^8$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为 (　　)
 A．$b>c>a$ $\qquad \qquad$ B．$b>a>c$ $\qquad \qquad$ C．$a>c>b$ $\qquad \qquad$ D．$a>b>c$
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 设 $f(x)=x-\sin ⁡ ⁡x(x>0)$，则 $f'(x)=1-\cos ⁡ ⁡x⩾0$(不恒为零)，
   故 $f(x)$ 在 $(0，+∞)$ 上为增函数，故 $f(x)>f(0)=0$，
   所以 $x>\sin ⁡ ⁡x$，故 $y>\sin ⁡ ⁡y$ 在 $(0，+∞)$ 上恒成立，
   所以 $x+\ln ⁡ x<e^y+y=e^y+\ln ⁡ e^y$，
   但 $g(x)=x+\ln ⁡ x$ 为 $(0，+∞)$ 上的增函数，
   故 $x<e^y$，即 $\ln ⁡ x<y$，
   所以 $C$ 成立，$D$ 错误．
   取 $x=e$，考虑 $1+e=e^y+\sin ⁡ ⁡y$ 的解，若 $y⩾e+1$，
   则 $e^y⩾e^{e+1}>5>e+2⩾1+e-\sin ⁡ ⁡y$，矛盾，
   故 $y<e+1$，即 $y-x<1$，
   此时 $\ln ⁡ (y-x)<0$，故 $B$ 错误．
   取 $y=1$，考虑 $x+\ln ⁡ x=e+\sin ⁡ ⁡1$，
   若 $x⩽2$，则 $x+\ln ⁡x⩽2+\ln ⁡2<3<e+\dfrac{1}{2}<e+\sin ⁡1$，矛盾，
   故 $x>2$，此时 $x-y>1$，此时 $\ln ⁡ (x-y)>0$，故 $A$ 错误，
   故选：$C$．

2. 答案 $D$
   解析 令 $f(x)=(18-x)\ln ⁡ x$，
   则 $f^{\prime}(x)=-\ln x+\dfrac{18}{x}-1$ 在 $x⩾8$ 时单调递减，
   又 $f^{\prime}(8)=\dfrac{5}{4}-\ln 8<\dfrac{5}{4}-\ln e^2<0$，
   所以 $f'(x)<0$ 在 $x⩾8$ 时恒成立，
   故 $f(x)$ 在 $x⩾8$ 时单调递减，所以 $f(8)>f(9)>f(10)$．
   所以 $10\ln ⁡ 8>9\ln ⁡ 9>8\ln ⁡ 10$，故 $8^{10}>9^9>10^8$．
   故 $a>b>c$．
   故选：$D$．
    

【C组---拓展题】

1. 若 $x+\dfrac{3}{2} y-2=e^x+3 \ln \dfrac{y}{2}$，其中 $x>2$，$y>2$，则 (　　)
 A．$e^x<y$ $\qquad \qquad$ B．$2x>y$ $\qquad \qquad$ C． $4 e^{\frac{x}{2}}>y$ $\qquad \qquad$ D．$2e^x>y$
 

2. 若实数 $a$，$b$ 满足 $2 \ln a+\ln (2 b) \geq \dfrac{a^2}{2}+4 b-2$，则 (　　)
 A．$a+b=\sqrt{2}+\dfrac{1}{4}$ ⁡ $\qquad \qquad$ B．$a-2b=\sqrt{2}-\dfrac{1}{4} ⁡$ $\qquad \qquad$ C．$a^2+b>3$ $\qquad \qquad$ D．$a^2-4b<1$
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 因为 $x+\dfrac{3}{2} y-2=e^x+3 \ln \dfrac{y}{2}$，
   所以 $e^x-x=\dfrac{3}{2} y-2-3 \ln \dfrac{y}{2}=2\left(\dfrac{y}{2}-1-\ln \dfrac{y}{2}\right)+\dfrac{y}{2}-\ln \dfrac{y}{2}$，
   令 $f(x)=x-1-\ln ⁡ x$，则 $f^{\prime}(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$，
   当 $x>1$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 为增函数，
   所以 $f(x)>f(1)=0$，
   因为 $y>2$，所以 $\dfrac{y}{2}-1-\ln \dfrac{y}{2}>0$，
   所以 $e^x-x>\dfrac{y}{2}-\ln \dfrac{y}{2}=e^{\ln \dfrac{y}{2}}-\ln \dfrac{y}{2}$，$x>2$， $\ln \dfrac{y}{2}>0$，
   令 $g(x)=e^x-x$，则 $g'(x)=e^x-1$，
   当 $x>0$ 时，$g'(x)>0$，$g(x)$ 单调递增，
   所以 $\text { 以} e^x-x>\dfrac {y}{2}-\ln \dfrac {y}{2}=e^{\ln \dfrac {y}{2}}-\ln \dfrac {y}{2}$，等价于 $x>\ln \dfrac{y}{2}$，
   所以 $e^x>\dfrac{y}{2}$，即 $2e^x>y$．
   故选：$D$．

2. 答案 $A$
   解析 根据题意，若实数 $a$，$b$ 满足 $2 \ln a+\ln (2 b) \geq \dfrac{a^2}{2}+4 b-2$，
   则 $a>0$ 且 $b>0$，
   又由 $\dfrac{a^2}{2}+4 b-2 \geq 2 \times \sqrt{\dfrac{a^2}{2} \times 4 b}-2=2 \sqrt{2 a^2 b}-2$，当且仅当 $a^2=8b$ 时等号成立，
   则有 $2 \ln a+\ln (2 b) \geq 2 \sqrt{2 a^2 b}-2$，变形可得 $\ln \left(2 a^2 b\right)-2 \sqrt{2 a^2 b}+2 \geq 0$，
   设 $g(x)=\ln x-2 \sqrt{x}+2$，
   则其导数 $g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1-\sqrt{x}}{x}$，
   当 $0<x≤1$ 时，$g'(x)≥0$，则 $g(x)$ 在区间 $(0，1]$ 上为增函数，
   当 $x≥1$ 时，$g'(x)≤0$，则 $g(x)$ 在区间 $[1，+∞)$ 上为减函数，
   则有 $g(x)≤g(1)=0$，
   若 $\ln \left(2 a^2 b\right)-2 \sqrt{2 a^2 b}+2 \geq 0$，
   即 $g(2a^2 b)≥0$，必有 $2a^2 b=1$，
   又 $a^2=8b$，所以 $a=\sqrt{2}$，$b=\dfrac{1}{4} ⁡$ ，
   据此分析选项：对于 $A$，$a+b=\sqrt{2}+\dfrac{1}{4} ⁡$，$A$ 正确；
   对于 $B$，$a-2b=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2} ⁡$，$B$ 错误；
   对于 $C$， $a^2+b=\dfrac{9}{4}$，$C$ 错误；
   对于 $D$，$a^2-4b=1$，$D$ 错误；
   故选：$A$．