5.3.1 (1) 函数的单调性
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[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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基础知识
函数单调性与导数
在某个区间\((a ,b)\)内，若\(f'(x)>0\)，则函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递增；
若\(f'(x)<0\) ，则函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递减．
解释
(1) 如下图，导数\(f' (x_0)\)表示函数\(y=f(x)\)的图象在点\((x_0，f(x_0))\)处的切线的斜率，可发现，
在\(x=x_0\)处，\(f' (x_0 )>0\)，切线是“左下右上”的上升式，函数\(f(x)\)的图象也是上升的，函数\(f(x)\))在\(x=x_0\)附近单调递增；
在\(x=x_1\)处，\(f' (x_1 )<0\)，切线是“左上右下”的下降式，函数\(f(x)\)的图象也是下降的，函数\(f(x)\)在\(x=x_1\)附近单调递减.
(2) 若函数\(y=f(x)\)在某个区间\((a ,b)\)内单调递增，则\(∀x∈(a ,b)\) ,\(f' (x)≥0\)(含等号)恒成立，但不存在一区间\((c ,d)⊆(a ,b)\)内使得\(f' (x)=0\)；
假如存在一区间\((c ,d)⊆(a ,b)\)内使得\(f' (x)=0\)，那原函数\(y=f(x)\)在区间\((c ,d)\)内恒等于一个常数，即\(f(x)=m\)(\(m\)是个常数)，则原函数不可能在\((a ,b)\)内单调递增.
\(\qquad \qquad\) 
函数\(y=f(x)\)在某个区间\((a ,b)\)内单调递减有类似结论！
(3)导函数“穿线图”与原函数“趋势图”
① 导函数“穿线图”关注导函数在各区间的正负，故特别注意函数与x轴的交点情况，
如\(f'(x)=x\)与\(f' (x)=e^x-1\)的“穿线图”视为一样的，它们在\((-∞,0)\)上为负，在\((0,+∞)\)上为正.
\(\qquad \qquad\) 
② 原函数“趋势图”仅关注函数在各区间上的单调性，没顾及其最值或曲线形状等，
如由导函数\(f' (x)=x-1\)的“穿线图”易得原函数\(y=f(x)\)在\((-∞,0)\)上递减，在\((0,+∞)\)上为递增，趋势图可如下图，
③ 后面涉及到函数单调性均可通过分析导函数“穿线图”得出原函数的单调性.
函数增长快慢
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
【例】
对数函数\(y=\ln x\) |
幂函数\(y=x^3\) |
指数函数\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) |
|
|---|---|---|---|
| 导数 | \(y^{\prime}=\dfrac{1}{x}(x>0)\) | \(y'=3x^2\) | \(y^{\prime}=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \cdot \ln 2\) |
| 导数绝对值变化 | 在\((0,1)\)上较大 在\((1,+∞)\)上较小 |
在原点附近较小 离原点越远越大 |
在\((-∞,0)\)上较大 在\((0,+∞)\)上较小 |
| 图象变化 | 在\((0,1)\)上陡峭 在\((1,+∞)\)上平缓 |
在原点附近平缓 离原点越远越陡峭 |
在\((-∞,0)\)上陡峭 在\((0,+∞)\)上平缓 |
| 图象 |  |
 |
 |
基本方法
【题型1】 导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图”
【典题1】 若定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)的图象如图所示，\(f'(x)\)为函数\(f(x)\)的导函数，则不等式\((x+2)f'(x)>0\)的解集为( )
A．\((-∞,-3)∪(-2,-1)∪(1,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\((-3,-1)∪(1,+∞)\)
C．\((-3,-1)∪(0,1)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\((-3,-2)∪(-1,1)\)
解析 根据函数\(f(x)\)的图象，
\(f(x)\)在\((-∞,-3)\)递减，在\((-3,-1)\)递增，在\((-1,1)\)递减，在\((1,+∞)\)递增，
故\(x∈(-∞,-3)\)，\((-1,1)\)时，\(f'(x)<0\)，
\(x∈(-3,-1)\)，\((1,+∞)\)时，\(f'(x)>0\)，
由\((x+2) f'(x)>0\)，
得 \(\left\{\begin{array}{l}
x+2>0 \\
f^{\prime}(x)>0
\end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l}
x+2<0 \\
f^{\prime}(x)<0
\end{array}\right.\)，
解得：\(x<-3\)或\(-2<x<-1\)或\(x>1\)，
故选：\(A\)．
点拨 题中给出的图是原函数的图象，可得其导函数的“穿线图”
由图也很容易得到不等式\((x+2) f'(x)>0\)的解集，只要\(x+2\)与\(f'(x)\)同号便可.
【巩固练习】
1.设函数\(f(x)\)在定义域内可导，\(y=f(x)\)的图象如图所示，则导函数\(y=f'(x)\)的图象为( )
A．
B．
C．
D． 
2.如图是\(y=f' (x)\)的图像，则函数\(y=f(x)\)的单调递减区间是\(\underline{\quad \quad}\).
3.函数\(f(x)\)的图象如图所示，则不等式\((x+2)f' (x)<0\)的解集\(\underline{\quad \quad}\) .
参考
-
答案 \(C\)
解析 由图可知，函数\(f(x)\)在\((-∞,0)\)上单调递减，
所以\(y=f'(x)<0\)在\((-∞,0)\)上恒成立，排除选项\(B\)和\(D\)；
函数\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上先递减后递增再递减，
所以\(y=f'(x)\)在\((0,+∞)\)上应为负、正、负的趋势，即选项\(A\)错误．
故选：\(C\)． -
答案 \((-2,0)\),\((2,+∞)\)
解析 由\(y=f' (x)\)的图像可知，当\(x∈(-2,0)∪(2,+∞)\)时，\(f' (x)<0\)，
\(\therefore\) 函数\(y=f(x)\)的单调递减区间是\((-2,0)\),\((2,+∞)\)． -
答案 \((-∞,-2)∪(-1,1)\)
解析 根据题意，由\(f(x)\)的图象可得，\(f(x)\)在区间\((-∞,-1)\)上为增函数，有\(f'(x)>0\)，
在区间\((-1,1)\)上，\(f(x)\)为减函数，有\(f'(x)<0\)，
在区间\((1,+∞)\)上，\(f(x)\)为增函数，有\(f'(x)>0\)，
\((x+2) f^{\prime}(x)<0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x<-2 \\ f^{\prime}(x)>0 \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l} x>-2 \\ f^{\prime}(x)<0 \end{array}\right.\)，
则有\(x<-2\)或\(-1<x<1\)，
即不等式的解集为\((-∞,-2)∪(-1,1)\).
【题型2】 求不含参函数的单调性
【典题1】 求函数\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2-3x+1\)的单调区间.
解析 函数\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2-3x+1\)的定义域为\(R\)，
其导数\(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\)，
令\(f'(x)=0\)得\(x=-1\)或\(x=3\)，
\(x=-1\)或\(x=3\)把函数定义域分成三个区间，\(f'(x)\)在各区间上的正负，以及\(f(x)\)的单调性如下表.
| \(x\) | \((-∞,-1)\) | \(-1\) | \((-1,3)\) | \(3\) | \((3,+∞)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | 单调递增 | \(f(1)=\dfrac{8}{3}\) | 单调递减 | \(f(2)=-8\) | 单调递增 |
所以\(f(x)\)在\((-∞,-1)\)和\((3,+∞)\)上单调递增，在\((-1,3)\)上单调递减.
PS 本题的导函数“穿线图”与原函数的“趋势图”如下
\(\qquad \qquad\) 
点拨
一般情况下，求函数\(y=f(x)\)的单调性的步骤如下：
① 确定函数的定义域；
② 求出导数\(f'(x)\)的零点；
③ 用\(f'(x)\)的零点将\(f(x)\)的定义域划分为若干个区间，列表给出\(f'(x)\)在各区间上的正负，由此得出函数\(y=f(x)\)在定义域内的单调性(利用导函数“穿线图”与原函数的“趋势图”去理解，可简化解题思路).
【典题2】 已知函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-2a\ln x+(a-2)x\)，其中\(a∈R\)，且曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线平行于\(x\)轴．
(1)求实数\(a\)的值；\(\qquad \qquad\) (2)求函数\(f(x)\)的单调区间．
解析 (1)由题知曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线平行于\(x\)轴，
\(\therefore\)曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线斜率为\(0\)，
而 \(f^{\prime}(x)=x-\dfrac{2 a}{x}+a-2\)，
\(\therefore f'(1)=1-2a+a-2=0\)，所以\(a=-1\)，
(2)由(1)知，\(a=-1\)，
\(f^{\prime}(x)=x+\dfrac{2}{x}-3=\dfrac{x^2-3 x+2}{x}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x}(x>0)\)，
令\(f'(x)>0\)，则解得\(x∈(0,1)∪(2,+∞)\)；
令\(f'(x)<0\)，则解得\(x∈(1,2)\)，
所以函数单调增区间为\((0,1)\),\((2,+∞)\)，函数单调减区间为\((1,2)\).
点拨 对于对数函数\(y=\log _ax\)要注意其定义域\(x∈(0，+∞)\)，研究函数的性质优先考虑其定义域.
【巩固练习】
1.已知函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-\ln x\)，则其单调增区间是( )
A．\((1,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\((0,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\((0,1]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\([0,1]\)
2.函数\(f(x)=2\cos x+\sin 2x\)的一个单调递减区间是( )
A． \(\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\) B． \(\left(0, \dfrac{\pi}{6}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\) C． \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\) D． \(\left(\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)\)
3.已知函数\(f(x)=(x^2+2x-3) e^x\)；
(1)求\(f(x)\)在\(x=0\)处的切线；\(\qquad \qquad\) (2)求\(f(x)\)的单调区间．
4.已知函数 \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-1\)．
(1)求函数在点\((1,f(1))\)处的切线方程．
(2)试判断函数\(f(x)\)的单调性.
5.求函数\(f(x)=3x^2+\sin x(x>0)\)的单调性.
参考
-
答案 \(A\)
解析 函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-\ln x\)的定义域为\((0,+∞)\)，
\(f^{\prime}(x)=x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\)，
令\(f'(x)>0\)，解得\(x>1\)，所以\(f(x)\)的单调增区间为\((1,+∞)\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 函数\(f(x)=2\cos x+\sin 2x\)，
则\(f'(x)=-2\sin x+2\cos 2x=-2\sin x+2-4\sin ^2x=-2(2\sin x-1)(\sin x+1)\)，
令\(f'(x)≤0\)，可得\(2\sin x-1≥0\)，
解得 \(2 k \pi+\dfrac{\pi}{6} \leq x \leq 2 k \pi+\dfrac{5 \pi}{6}\)，\(k∈Z\)，
所以\(f(x)\)的单调递减区间为 \(\left[2 k \pi+\dfrac{\pi}{6}, 2 k \pi+\dfrac{5 \pi}{6}\right]\)，\(k∈Z\)，
当\(k=0\)时，\(f(x)\)的一个单调递减区间为 \(\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5 \pi}{6}\right]\)，
结合选项可知\(A\)符合题意．
故选：\(A\)． -
答案 (1) \(x+y+3=0\)；
(2)增区间为 \((-\infty,-2-\sqrt{5})\), \((-2+\sqrt{5},+\infty)\)，减区间为 \((-2-\sqrt{5},-2+\sqrt{5})\)．
解析 (1) \(f'(x)=(2x+2)e^x+(x^2+2x-3) e^x=e^x (x^2+4x-1)\)，
\(f'(0)=-1\),\(f(0)=-3\)，
故所求切线方程为\(y+3=-x\)，即\(x+y+3=0\)；
(2)由(1)得\(f'(x)=e^x (x^2+4x-1)\)，
令\(f'(x)>0\)，解得\(x<-2-\sqrt{5}\)或\(x>-2+\sqrt{5}\)；
令\(f'(x)<0\)，解得\(-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}\)；
故函数\(f(x)\)的增区间为\((-\infty,-2-\sqrt{5})\), \((-2+\sqrt{5},+\infty)\)，减区间为 \((-2-\sqrt{5},-2+\sqrt{5})\)． -
答案 (1)\(y=x-2\)， (2)函数在区间\((0,e)\)上单调递增，在\((e,+∞)\)上单调递减．
解析 (1)由题可知： \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)；
所以\(f'(1)=1\),\(f(1)=-1\)；
\(\therefore\)函数在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(y-(-1)=x-1\)，即\(y=x-2\)．
(2)因为函数的定义域\((0,+∞)\)且 \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)；
令\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}>0\)得\(0<x<e\)，\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}<0\)得\(x>e\)，
因此函数在区间\((0,e)\)上单调递增，在\((e,+∞)\)上单调递减． -
答案 函数\(f(x)\)在\((0，+∞)\)上单调递增．
解析 方法一 \(f(x)=6x+\cos x\)，
设\(h(x)=6x+\cos x(x>0)\)，则\(h'(x)=6-\sin x>0\)，
所以\(h(x)=6x+\cos x\)在区间\((0，+∞)\)上单调递增，
故\(f'(x)=h(x)>h(0)=1>0\)，
于是\(f(x)=3x^2+\sin x\)在区间\((0，+∞)\)上单调递增，
即函数\(f(x)\)在\((0，+∞)\)上单调递增．．
方法二：当\(x>1\)时，显然有\(f'(x)>0\)，
当\(0<x≤1\)时，\(\cos x>0\)，所以\(f'(x)>0\)，
故当\(x>0\)时，恒有\(f'(x)>0\)，
即函数\(f(x)\)在\((0，+∞)\)上单调递增．
【题型3】 不含参函数单调性的运用
【典题1】 已知函数\(f(x)=\sin x+\cos x-2x\)，\(a=f(-π)\)，\(b=f(2^e )\)，\(c=f(\ln 2)\)，则\(a\),\(b\),\(c\)的大小关系是( )
A．\(a>c>b\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(a>b>c\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(b>a>c\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(c>b>a\)
解析 因为函数\(f(x)=\sin x+\cos x-2x\)，
所以\(f^{\prime}(x)=\cos x-\sin x-2=\sqrt{2} \cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-2<0\)，
所以\(f(x)\)为\(R\)上的减函数，
因为\(-π<\ln 2<2^e\)，
所以\(f(-π)>f(\ln 2)>f(2^e )\)，即\(a>c>b\)．
故选：\(A\)．
点拨 利用函数的单调性判断数值的大小.
【典题2】 已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)，其导函数为\(f'(x)\)，满足\(f'(x)>2\)，且\(f(2)=1\)，则不等式\(f(x)>2x-3\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 令\(g(x)=f(x)-2x+3\)，则有\(g'(x)=f'(x)-2\)，
又因这\(f'(x)>2\)，所以\(g'(x)=f'(x)-2>0\)，
所以\(g(x)\)在\(R\)上单调递增，
又因为\(g(2)=f(2)-4+3=0\)，
所以当\(x>2\)时，\(g(x)>0\)，
即\(f(x)-2x+3>0⇒f(x)>2x-3\)，
所以\(f(x)>2x-3\)的解集为：\((2,+∞)\)．
故答案为：\((2,+∞)\)．
点拨 该题利用求导法则构造函数\(g(x)=f(x)-2x+3\)，需要善于观察已知条件的形式.
那如何构造呢？角度有二
① 从已知条件\(f'(x)>2⇒f'(x)-2>0\)入手，
思考\([\)某函数\(g(x)]'=f'(x)-2\)，
这需要熟悉求导法则的逆运用，下表举例供参考(其中\(c\)是常数)：
(1) \(f'(x)+h'(x)\)形式，构造函数\(g(x)=f(x)+h(x)+c\)；
(2) \(xf'(x)+f(x)\)形式，构造函数 \(g(x)=xf(x)+c\)；
(3) \(xf'(x)－f(x)\)形式，构造函数 \(g(x)=\dfrac{f(x)}{x}+c\)；
(4) \(f'(x)+f(x)\)形式，构造函数\(g(x)=e^x f(x)+c\)；
形式多样，不需要死记，要灵活运用.
② 从求证入手，要求不等式\(f(x)>2x-3\)，变形得\(f(x)-2x+3>0\)，想到构造函数\(g(x)=f(x)-2x+3\)不难.
【巩固练习】
1.已知函数\(f(x)=e^x-e^{-x}\)，则\(a=f\left(0.4^{0.6}\right)\)， \(b=f\left(0.6^{0.6}\right)\)， \(c=f\left(0.4^{0.4}\right)\)的大小关系为( )
A．\(b<a<c\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(a<b<c\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(c<a<b\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(a<c<b\)
2.已知函数\(f(x)=2 \ln x+\dfrac{1}{x}-x\)，则不等式\(f(2x-1)<f(1-x)\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\).
3.已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(1)=3\)，对\(∀x∈R\)恒有\(f'(x)<2\)，则\(f(x)≥2x+1\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
参考
-
答案 \(D\)
解析 \(f'(x)=e^x+e^{-x}>0\)，故\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，
构造\(f(x)=0.4^x\)，易知\(f(x)\)在\(R\)上单调递减，故 \(0.4^{0.4}>0.4^{0.6}\)，
构造\(g(x)=x^{0.6}\)，易知 \(g(x)\)在\(R\)上单调递增，故 \(0.6^{0.6}>0.4^{0.6}\)，
构造\(h(x)=x^5\)，易知\(h(x)\)在\((0,+∞)\)单调递增，且\(\left(0.6^{0.6}\right)^5=0.6^3=0.216\), \(\left(0.4^{0.4}\right)^5=0.16\)，
\(∵0.216>0.16\)，所以 \(0.6^{0.6}>0.4^{0.4}\)，
故\(0.6^{0.6}>0.4^{0.4}>0.4^{0.6}\)，
又因为\(f(x)\)在\(R\)上递增，故\(a<c<b\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(\left(\dfrac{2}{3}, 1\right)\)
解析 \(x>0\)， \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}-1=\dfrac{-x^2+2 x-1}{x^2}=-\dfrac{(x-1)^2}{x^2} \leqslant 0\)，
故\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上单调递减，
由\(f(2x-1)<f(1-x)\)得\(2x-1>1-x>0\)，解得 \(\dfrac{2}{3}<x<1\)． -
答案 \((-∞，1]\)
解析 令\(F(x)=f(x)-2x-1\)，
则\(F'(x)=f'(x)-2\)，
又\(\because\)对\(∀x∈R\)恒有\(f'(x)<2\)，
\(\therefore F'(x)=f'(x)-2<0\)恒成立，
\(\therefore F(x)=f(x)-2x-1\)是\(R\)上的减函数，
又\(\because F(1)=f(1)-2-1=0\)，
\(\therefore\)当\(x≤1\)时，\(F(x)≥F(1)=0\)，即\(f(x)-2x-1≥0\)，
即不等式\(f(x)≥2x+1\)的解集为\((-∞，1]\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.已知函数\(y=f(x)\)的图象如图所示，则函数\(y=f'(x)\)的图象可能是图中的( )
A．
\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．
C．
\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D． 
2.下列函数中，在\((1,+∞)\)上为增函数的是( )
A．\(y=x^3-3x\) \(\qquad \qquad\) B．\(y=\ln x-x\) \(\qquad \qquad\) C． \(y=x+\dfrac{4}{x}\) \(\qquad \qquad\) D．\(y=x^2-3x+1\)
3.判断函数\(y=x\cos x-\sin x\)在下面哪个区间内是增函数( )
A． \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\((π,2π)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\((0,π)\)
4.已知函数\(f(x)=3x^2-ax+\ln x\)在其定义域内为增函数，则\(a\)的最大值为( )
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2 \sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C． \(2 \sqrt{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(6\)
5.函数\(f(x)=e^x-e^{-x}-2\sin x\)，若\(a=5\),\(b=2\),\(c=3\)，则有( )
A．\(f(a)>f(b)>f(c)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f(a)>f(c)>f(b)\)
C．\(f(b)>f(a)>f(c)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(f(b)>f(c)>f(a)\)
6.函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且函数\(f(x)\)的图象如图所示，则不等式\(xf'(x)<0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
7.函数\(f(x)=x^2-5\ln x-3x-1\)的单调递减区间为\(\underline{\quad \quad}\).
8.若函数\(f(x)=(x^2-4ax+2) e^x\)在\(R\)上单调递增，则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
9.定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)，满足\(f(-1)=2020\)，且对任意的\(x∈R\)，都有\(f'(x)-3x^2>0\)成立，则不等式\(f(x)<x^3+2021\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
10.确定函数\(f(x)=\cos 2x+4\cos x\)，\(x∈(0,2π)\)的单调区间．
11.已知函数\(f(x)=x\ln x+ax+b\)在\((1,f(1))\)处的切线为\(2x-2y-1=0\)．
(1)求实数\(a\),\(b\)的值；
(2)求\(f(x)\)的单调区间．
参考
-
答案 \(C\)
解析 由\(y=f(x)\)的图象可知，
当\(x∈(-1,b)\)时，\(f(x)\)单调递减，所以\(f'(x)<0\)，排除选项\(B\)和\(D\)；
当\(x∈(b,a)\)时，\(f(x)\)单调递增，所以\(f'(x)>0\)，排除选项\(A\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)，\(y=x^3-3x\)，其导数\(y'=3x^2-3\)，
在区间\((1,+∞)\)上，\(y'>0\)，函数为增函数，符合题意，
对于\(B\)，\(y=\ln x-x\)，其导数 \(y^{\prime}=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}\)，
在区间\((1,+∞)\)上，\(y'<0\)，函数为减函数，不符合题意，
对于\(C\)， \(y=x+\dfrac{4}{x}\)，其导数 \(y^{\prime}=1-\dfrac{4}{x^2}\)，
在区间\((1,2)\)上，\(y'<0\)，函数为减函数，不符合题意，
对于\(D\)，\(y=x^2-3x+1\)是二次函数，在区间 \(\left(1, \dfrac{3}{2}\right)\)上为减函数，不符合题意，
故选：\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 \(y'=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x\)
欲使导数为正，只需\(x\)与\(\sin x\)符号总相反，
分析四个选项知，\(C\)选项符合条件，
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 函数\(f(x)=3x^2-ax+\ln x\)的定义域为\((0,+∞)\)， \(f^{\prime}(x)=6 x-a+\dfrac{1}{x}\)，
因为函数\(f(x)\)在定义域内为增函数，
所以\(f'(x)≥0\)对\(x∈(0,+∞)\)恒成立，
即\(a \leq 6 x+\dfrac{1}{x}\)对\(x∈(0,+∞)\)恒成立，
因为\(6 x+\dfrac{1}{x} \geq 2 \sqrt{6}\)，当且仅当 \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\)时等号成立，
所以\(a \leq 2 \sqrt{6}\)，所以\(a\)的最大值为 \(2 \sqrt{6}\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 由题意\(f(x)=e^x-e^{-x}-2\sin x\)，
由 \(e^x+e^{-x}=e^x+\dfrac{1}{e^x} \geqslant 2\)，\(\cos x⩽1\)，
则\(f'(x)=e^x+e^{-x}-2\cos x⩾2-2=0\)，
所以\(f(x)\)在\(R\)上单调递增．
又因为\(a=5\),\(b=2\),\(c=3\)，所以\(f(a)>f(c)>f(b)\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) \cup\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)
解析 由图可知，\(f(x)\)在 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\)和 \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)上单调递增，在 \(\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)上单调递减，
\(\therefore\)当 \(x \in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)时，\(f'(x)>0\)；
当 \(x \in\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)时，\(f'(x)<0\)．
\(\because\)不等式\(xf'(x)<0\)可等价于 \(\left\{\begin{array}{l} x>0 \\ f^{\prime}(x)<0 \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l} x<0 \\ f^{\prime}(x)>0 \end{array}\right.\)，
\(\therefore\)当\(x>0\)时，有\(x \in\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)，即 \(x \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)；
当\(x<0\)时，有 \(x \in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)，即 \(x \in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\)，
综上所述，不等式的解集为 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) \cup\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)． -
答案 \(\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\)
解析 \(f^{\prime}(x)=2 x-\dfrac{5}{x}-3=\dfrac{2 x^2-3 x-5}{x}=\dfrac{(x+1)(2 x-5)}{x},(x>0)\)，
当 \(x \in\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\)时，\(f'(x)<0\)，所以\(f(x)\)在\(\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\)上单调递减，
所以单减区间为： \(\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\). -
答案 \(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\)
解析 对函数求导：\(f'(x)=(x^2-4ax+2x+2-4a)⋅e^x\)，
由已知有\(f'(x)≥0\)在\(R\)上恒成立，
又因为\(e^x>0\)恒成立，
故仅需\(x^2+(2-4a)x+2-4a⩾0\)恒成立，
故\(△=(2-4a)^2-4(2-4a)⩽0\)，解得\(-\dfrac{1}{2} \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{2}\). -
答案 \((-∞，-1)\)
解析 设\(g(x)=f(x)-x^3\)，
则\(g'(x)=f'(x)-3x^2>0\)，\(\therefore g(x)\)在\(R\)上为增函数，
\(\because f(-1)=2020\)，\(\therefore g(-1)=f(-1)-(-1)^3=2021\)，
\(\therefore\)不等式\(f(x)<x^3+2021\)等价于\(f(x)-x^3<g(-1)\)，
即\(g(x)<g(-1)\)，
\(\therefore x<-1\)，
即不等式的解集为\((-∞，-1)\)． -
答案 \(f(x)\)的单调增区间为\((π,2π)\)，单调减区间为\((0,π)\)．
解析 函数的导数\(f'(x)=-2\sin 2x-4\sin x=-4\sin x(\cos x+1)\)，
令\(f'(x)>0\)，\(\sin x<0\)，又\(x∈(0,2π)\)，所以\(π<x<2π\)；
令\(f'(x)<0\)，\(\sin x>0\)，又\(x∈(0,2π)\)，所以\(0<x<π\)．
故\(f(x)\)的单调增区间为\((π,2π)\)，单调减区间为\((0,π)\)． -
答案 (1)\(a=0\),\(b= \dfrac{1}{2}\)；
(2)\(f(x)\)的单调减区间为 \(\left(0, \dfrac{1}{e}\right)\)，\(f(x)\)的单调增区间为 \(\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)\)．
解析 (1)依题意可得：\(2-2f(1)-1=0\)，即\(f(1)= \dfrac{1}{2}\)，
\(\because f(x)=x\ln x+ax+b\)，\(\therefore f'(x)=\ln x+a+1\)，
又\(\because\)函数\(f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线为\(2x-2y-1=0\)，\(f(1)= \dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} f^{\prime}(1)=a+1=1 \\ f(1)=a+b=\dfrac{1}{2} \end{array}\right.\)，解得：\(\left\{\begin{array}{l} a=0 \\ b=\dfrac{1}{2} \end{array}\right.\)．
(2)由(1)可得：\(f'(x)=1+\ln x\)，
当 \(x \in\left(0, \dfrac{1}{e}\right]\)时，\(f'(x)⩽0\)，\(f(x)\)单调递减；
当 \(x \in\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
\(\therefore f(x)\)的单调减区间为\(\left(0, \dfrac{1}{e}\right)\)，\(f(x)\)的单调增区间为\(\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)\)．
【B组---提高题】
1.已知函数\(f(x)=x^3-\dfrac{2}{2^x+1}\)，且\(f(a)+f(b)+2<0\)，则( )
A．\(a+b<0\) \(\qquad \qquad\) B．\(a+b>0\) \(\qquad \qquad\) C．\(a-b+1>0\) \(\qquad \qquad\) D．\(a+b+2<0\)
2.\(f(x)\)是定义在\((0，+∞)\)上的非负可导函数，且满足\(xf'(x)+f(x)≤0\)．对任意正数\(a\)，\(b\)，若\(a<b\)，则必有( )
A．\(f(b)≤f(a)\) \(\qquad \qquad\) B．\(af(a)≤bf(b)\) \(\qquad \qquad\) C．\(bf(a)≤af(b)\) \(\qquad \qquad\) D．\(af(a)>bf(b)\)
3.求函数\(f(x)=e^{x-1}-x\ln x\)的单调性.
参考
-
答案 \(A\)
解析 令 \(g(x)=f(x)+1=x^3-\dfrac{2}{2^x+1}+1=x^3+\dfrac{2^x-1}{2^x+1}\)，
则 \(g(-x)=(-x)^3+\dfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=-x^3-\dfrac{2^x-1}{2^x+1}=-g(x)\)，
则\(g(x)\)是奇函数，
由 \(g^{\prime}(x)=3 x^2+\dfrac{2^{x+1} \cdot \ln 2}{\left(2^x+1\right)^2}>0\)，得\(g(x)\)在\(R\)递增，
则\(f(a)+f(b)+2=f(a)+1+f(b)+1=g(a)+g(b)<0\)，
\(\therefore g(a)<-g(b)=g(-b)\)，即\(a<-b\)，得\(a+b<0\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 设\(g(x)=xf(x)\)，\(x∈(0，+∞)\)，
则\(g'(x)=xf'(x)+f(x)≤0\)，
\(\therefore g(x)\)在区间\(x∈(0，+∞)\)单调递减，
\(\because a<b\)，\(\therefore g(a)>g(b)\)，即\(af(a)>bf(b)\)，
故选：\(D\)． -
答案 函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((0,+∞)\)，无单调递减区间.
解析 \(f(x)\)的定义域为\((0,+∞)\)，
\(f^{\prime}(x)=e^{x-1}-\ln x-1\)， \(f^{\prime \prime}(x)=e^{x-1}-\dfrac{1}{x}\)，
因为\(f''(x)\)在\((0,+∞)\)上单调递增，且\(f''(1)=0\)，
所以当\(x∈(0,1)\)时，\(f''(x)<0\)，\(f'(x)\)单调递减，
当\(x∈(1,+∞)\)时，\(f''(x)>0\)，\(f'(x)\)单调递增，
从而当\(x∈(0,+∞)\)时，\(f'(x)≥f'(1)=0\)，\(f(x)\)单调递增，
故函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((0,+∞)\)，无单调递减区间.
【C组---拓展题】
1.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，其导函数为\(f'(x)\)，且对任意实数\(x\)都有\(f(x)+f'(x)>1\)，则不等式\(e^x f(x)>e^x-1\)的解集为( )
A．\((-∞，0)\) \(\qquad \qquad\) B．\((0，+∞)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-∞，1)\) \(\qquad \qquad\) D．\((1，+∞)\)
2.\(\sin 10^∘\)的值落在区间( )中．
A． \(\left(\dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{6}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\)B． \(\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{5}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\) C． \(\left(\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{4}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\)D． \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{6}, \dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)\)
参考
-
答案 \(B\)
解析 设\(g(x)=e^x [f(x)-1]\)，
则\(g'(x)=e^x f(x)+e^x f'(x)-e^x=e^x [f(x)+f'(x)-1]>0\)．
故\(g(x)\)在\(R\)上单调递增，
因为\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，所以\(f(0)=0\)，
所以\(g(0)=-1\)，不等式\(e^x f(x)>e^x-1⇒e^x [f(x)-1]>-1\)，
即\(g(x)>g(0)\)，又\(\because g(x)\)在\(R\)上单调递增，\(\therefore x>0\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 因为 \(\dfrac{1}{2}=\sin 30^∘ =\sin (20^∘+10^∘ )=\sin 10^∘ \cos 20^∘ +\sin 20^∘ \cos 10^∘\)
\(=\sin 10^∘ (1-2\sin ^210^∘ )+2\sin 10^∘ (1-\sin ^210^∘ )=3\sin 10^∘-4\sin 30^∘\)，
设\(f(x)=4x^3-3x+ \dfrac{1}{2}\)，则\(f(\sin 10^∘ )=0\)，
所以\(f'(x)=12x^2-3=3(2x-1)(2x+1)<0\)对\(0<x< \dfrac{1}{2}\)恒成立，
故\(f(x)\)在 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)上单调递减且\(0<\sin 10^∘<\sin 30^∘= \dfrac{1}{2}\)，
因为 \(f\left(\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{1}{54}>0\)，\(f\left(\dfrac{1}{5}\right)=-\dfrac{17}{250}<0\)，
由零点判定定理可知， \(\sin 10^{\circ} \in\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{5}\right)\)．
故选：\(B\)．
