5.3.1 (1) 函数的单调性
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[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019)]
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基础知识
函数单调性与导数
在某个区间\((a ,b)\)内,若\(f'(x)>0\),则函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递增;
若\(f'(x)<0\) ,则函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递减.
解释
(1) 如下图,导数\(f' (x_0)\)表示函数\(y=f(x)\)的图象在点\((x_0,f(x_0))\)处的切线的斜率,可发现,
在\(x=x_0\)处,\(f' (x_0 )>0\),切线是“左下右上”的上升式,函数\(f(x)\)的图象也是上升的,函数\(f(x)\))在\(x=x_0\)附近单调递增;
在\(x=x_1\)处,\(f' (x_1 )<0\),切线是“左上右下”的下降式,函数\(f(x)\)的图象也是下降的,函数\(f(x)\)在\(x=x_1\)附近单调递减.
(2) 若函数\(y=f(x)\)在某个区间\((a ,b)\)内单调递增,则\(∀x∈(a ,b)\) ,\(f' (x)≥0\)(含等号)恒成立,但不存在一区间\((c ,d)⊆(a ,b)\)内使得\(f' (x)=0\);
假如存在一区间\((c ,d)⊆(a ,b)\)内使得\(f' (x)=0\),那原函数\(y=f(x)\)在区间\((c ,d)\)内恒等于一个常数,即\(f(x)=m\)(\(m\)是个常数),则原函数不可能在\((a ,b)\)内单调递增.
\(\qquad \qquad\)
函数\(y=f(x)\)在某个区间\((a ,b)\)内单调递减有类似结论!
(3)导函数“穿线图”与原函数“趋势图”
① 导函数“穿线图”关注导函数在各区间的正负,故特别注意函数与x轴的交点情况,
如\(f'(x)=x\)与\(f' (x)=e^x-1\)的“穿线图”视为一样的,它们在\((-∞,0)\)上为负,在\((0,+∞)\)上为正.
\(\qquad \qquad\)
② 原函数“趋势图”仅关注函数在各区间上的单调性,没顾及其最值或曲线形状等,
如由导函数\(f' (x)=x-1\)的“穿线图”易得原函数\(y=f(x)\)在\((-∞,0)\)上递减,在\((0,+∞)\)上为递增,趋势图可如下图,
③ 后面涉及到函数单调性均可通过分析导函数“穿线图”得出原函数的单调性.
函数增长快慢
一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.
【例】
对数函数\(y=\ln x\) |
幂函数\(y=x^3\) |
指数函数\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) |
|
---|---|---|---|
导数 | \(y^{\prime}=\dfrac{1}{x}(x>0)\) | \(y'=3x^2\) | \(y^{\prime}=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \cdot \ln 2\) |
导数绝对值变化 | 在\((0,1)\)上较大 在\((1,+∞)\)上较小 |
在原点附近较小 离原点越远越大 |
在\((-∞,0)\)上较大 在\((0,+∞)\)上较小 |
图象变化 | 在\((0,1)\)上陡峭 在\((1,+∞)\)上平缓 |
在原点附近平缓 离原点越远越陡峭 |
在\((-∞,0)\)上陡峭 在\((0,+∞)\)上平缓 |
图象 | ![]() |
![]() |
![]() |
基本方法
【题型1】 导函数的“穿线图”与原函数的“趋势图”
【典题1】 若定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)的图象如图所示,\(f'(x)\)为函数\(f(x)\)的导函数,则不等式\((x+2)f'(x)>0\)的解集为( )
A.\((-∞,-3)∪(-2,-1)∪(1,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\((-3,-1)∪(1,+∞)\)
C.\((-3,-1)∪(0,1)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\((-3,-2)∪(-1,1)\)
解析 根据函数\(f(x)\)的图象,
\(f(x)\)在\((-∞,-3)\)递减,在\((-3,-1)\)递增,在\((-1,1)\)递减,在\((1,+∞)\)递增,
故\(x∈(-∞,-3)\),\((-1,1)\)时,\(f'(x)<0\),
\(x∈(-3,-1)\),\((1,+∞)\)时,\(f'(x)>0\),
由\((x+2) f'(x)>0\),
得 \(\left\{\begin{array}{l}
x+2>0 \\
f^{\prime}(x)>0
\end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l}
x+2<0 \\
f^{\prime}(x)<0
\end{array}\right.\),
解得:\(x<-3\)或\(-2<x<-1\)或\(x>1\),
故选:\(A\).
点拨 题中给出的图是原函数的图象,可得其导函数的“穿线图”
由图也很容易得到不等式\((x+2) f'(x)>0\)的解集,只要\(x+2\)与\(f'(x)\)同号便可.
【巩固练习】
1.设函数\(f(x)\)在定义域内可导,\(y=f(x)\)的图象如图所示,则导函数\(y=f'(x)\)的图象为( )
A. B.
C.
D.
2.如图是\(y=f' (x)\)的图像,则函数\(y=f(x)\)的单调递减区间是\(\underline{\quad \quad}\).
3.函数\(f(x)\)的图象如图所示,则不等式\((x+2)f' (x)<0\)的解集\(\underline{\quad \quad}\) .
参考
-
答案 \(C\)
解析 由图可知,函数\(f(x)\)在\((-∞,0)\)上单调递减,
所以\(y=f'(x)<0\)在\((-∞,0)\)上恒成立,排除选项\(B\)和\(D\);
函数\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上先递减后递增再递减,
所以\(y=f'(x)\)在\((0,+∞)\)上应为负、正、负的趋势,即选项\(A\)错误.
故选:\(C\). -
答案 \((-2,0)\),\((2,+∞)\)
解析 由\(y=f' (x)\)的图像可知,当\(x∈(-2,0)∪(2,+∞)\)时,\(f' (x)<0\),
\(\therefore\) 函数\(y=f(x)\)的单调递减区间是\((-2,0)\),\((2,+∞)\). -
答案 \((-∞,-2)∪(-1,1)\)
解析 根据题意,由\(f(x)\)的图象可得,\(f(x)\)在区间\((-∞,-1)\)上为增函数,有\(f'(x)>0\),
在区间\((-1,1)\)上,\(f(x)\)为减函数,有\(f'(x)<0\),
在区间\((1,+∞)\)上,\(f(x)\)为增函数,有\(f'(x)>0\),
\((x+2) f^{\prime}(x)<0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x<-2 \\ f^{\prime}(x)>0 \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l} x>-2 \\ f^{\prime}(x)<0 \end{array}\right.\),
则有\(x<-2\)或\(-1<x<1\),
即不等式的解集为\((-∞,-2)∪(-1,1)\).
【题型2】 求不含参函数的单调性
【典题1】 求函数\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2-3x+1\)的单调区间.
解析 函数\(f(x)= \dfrac{1}{3} x^3-x^2-3x+1\)的定义域为\(R\),
其导数\(f'(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\),
令\(f'(x)=0\)得\(x=-1\)或\(x=3\),
\(x=-1\)或\(x=3\)把函数定义域分成三个区间,\(f'(x)\)在各区间上的正负,以及\(f(x)\)的单调性如下表.
\(x\) | \((-∞,-1)\) | \(-1\) | \((-1,3)\) | \(3\) | \((3,+∞)\) |
---|---|---|---|---|---|
\(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
\(f(x)\) | 单调递增 | \(f(1)=\dfrac{8}{3}\) | 单调递减 | \(f(2)=-8\) | 单调递增 |
所以\(f(x)\)在\((-∞,-1)\)和\((3,+∞)\)上单调递增,在\((-1,3)\)上单调递减.
PS 本题的导函数“穿线图”与原函数的“趋势图”如下
\(\qquad \qquad\)
点拨
一般情况下,求函数\(y=f(x)\)的单调性的步骤如下:
① 确定函数的定义域;
② 求出导数\(f'(x)\)的零点;
③ 用\(f'(x)\)的零点将\(f(x)\)的定义域划分为若干个区间,列表给出\(f'(x)\)在各区间上的正负,由此得出函数\(y=f(x)\)在定义域内的单调性(利用导函数“穿线图”与原函数的“趋势图”去理解,可简化解题思路).
【典题2】 已知函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-2a\ln x+(a-2)x\),其中\(a∈R\),且曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线平行于\(x\)轴.
(1)求实数\(a\)的值;\(\qquad \qquad\) (2)求函数\(f(x)\)的单调区间.
解析 (1)由题知曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线平行于\(x\)轴,
\(\therefore\)曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线斜率为\(0\),
而 \(f^{\prime}(x)=x-\dfrac{2 a}{x}+a-2\),
\(\therefore f'(1)=1-2a+a-2=0\),所以\(a=-1\),
(2)由(1)知,\(a=-1\),
\(f^{\prime}(x)=x+\dfrac{2}{x}-3=\dfrac{x^2-3 x+2}{x}=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x}(x>0)\),
令\(f'(x)>0\),则解得\(x∈(0,1)∪(2,+∞)\);
令\(f'(x)<0\),则解得\(x∈(1,2)\),
所以函数单调增区间为\((0,1)\),\((2,+∞)\),函数单调减区间为\((1,2)\).
点拨 对于对数函数\(y=\log _ax\)要注意其定义域\(x∈(0,+∞)\),研究函数的性质优先考虑其定义域.
【巩固练习】
1.已知函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-\ln x\),则其单调增区间是( )
A.\((1,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\((0,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\((0,1]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\([0,1]\)
2.函数\(f(x)=2\cos x+\sin 2x\)的一个单调递减区间是( )
A. \(\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\) B. \(\left(0, \dfrac{\pi}{6}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\) C. \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\) D. \(\left(\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)\)
3.已知函数\(f(x)=(x^2+2x-3) e^x\);
(1)求\(f(x)\)在\(x=0\)处的切线;\(\qquad \qquad\) (2)求\(f(x)\)的单调区间.
4.已知函数 \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x}-1\).
(1)求函数在点\((1,f(1))\)处的切线方程.
(2)试判断函数\(f(x)\)的单调性.
5.求函数\(f(x)=3x^2+\sin x(x>0)\)的单调性.
参考
-
答案 \(A\)
解析 函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} x^2-\ln x\)的定义域为\((0,+∞)\),
\(f^{\prime}(x)=x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x}\),
令\(f'(x)>0\),解得\(x>1\),所以\(f(x)\)的单调增区间为\((1,+∞)\).
故选:\(A\). -
答案 \(A\)
解析 函数\(f(x)=2\cos x+\sin 2x\),
则\(f'(x)=-2\sin x+2\cos 2x=-2\sin x+2-4\sin ^2x=-2(2\sin x-1)(\sin x+1)\),
令\(f'(x)≤0\),可得\(2\sin x-1≥0\),
解得 \(2 k \pi+\dfrac{\pi}{6} \leq x \leq 2 k \pi+\dfrac{5 \pi}{6}\),\(k∈Z\),
所以\(f(x)\)的单调递减区间为 \(\left[2 k \pi+\dfrac{\pi}{6}, 2 k \pi+\dfrac{5 \pi}{6}\right]\),\(k∈Z\),
当\(k=0\)时,\(f(x)\)的一个单调递减区间为 \(\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{5 \pi}{6}\right]\),
结合选项可知\(A\)符合题意.
故选:\(A\). -
答案 (1) \(x+y+3=0\);
(2)增区间为 \((-\infty,-2-\sqrt{5})\), \((-2+\sqrt{5},+\infty)\),减区间为 \((-2-\sqrt{5},-2+\sqrt{5})\).
解析 (1) \(f'(x)=(2x+2)e^x+(x^2+2x-3) e^x=e^x (x^2+4x-1)\),
\(f'(0)=-1\),\(f(0)=-3\),
故所求切线方程为\(y+3=-x\),即\(x+y+3=0\);
(2)由(1)得\(f'(x)=e^x (x^2+4x-1)\),
令\(f'(x)>0\),解得\(x<-2-\sqrt{5}\)或\(x>-2+\sqrt{5}\);
令\(f'(x)<0\),解得\(-2-\sqrt{5}<x<-2+\sqrt{5}\);
故函数\(f(x)\)的增区间为\((-\infty,-2-\sqrt{5})\), \((-2+\sqrt{5},+\infty)\),减区间为 \((-2-\sqrt{5},-2+\sqrt{5})\). -
答案 (1)\(y=x-2\), (2)函数在区间\((0,e)\)上单调递增,在\((e,+∞)\)上单调递减.
解析 (1)由题可知: \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\);
所以\(f'(1)=1\),\(f(1)=-1\);
\(\therefore\)函数在点\((1,f(1))\)处的切线方程为\(y-(-1)=x-1\),即\(y=x-2\).
(2)因为函数的定义域\((0,+∞)\)且 \(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\);
令\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}>0\)得\(0<x<e\),\(f^{\prime}(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}<0\)得\(x>e\),
因此函数在区间\((0,e)\)上单调递增,在\((e,+∞)\)上单调递减. -
答案 函数\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上单调递增.
解析 方法一 \(f(x)=6x+\cos x\),
设\(h(x)=6x+\cos x(x>0)\),则\(h'(x)=6-\sin x>0\),
所以\(h(x)=6x+\cos x\)在区间\((0,+∞)\)上单调递增,
故\(f'(x)=h(x)>h(0)=1>0\),
于是\(f(x)=3x^2+\sin x\)在区间\((0,+∞)\)上单调递增,
即函数\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上单调递增..
方法二:当\(x>1\)时,显然有\(f'(x)>0\),
当\(0<x≤1\)时,\(\cos x>0\),所以\(f'(x)>0\),
故当\(x>0\)时,恒有\(f'(x)>0\),
即函数\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上单调递增.
【题型3】 不含参函数单调性的运用
【典题1】 已知函数\(f(x)=\sin x+\cos x-2x\),\(a=f(-π)\),\(b=f(2^e )\),\(c=f(\ln 2)\),则\(a\),\(b\),\(c\)的大小关系是( )
A.\(a>c>b\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.\(a>b>c\) \(\qquad \qquad \qquad\) C.\(b>a>c\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.\(c>b>a\)
解析 因为函数\(f(x)=\sin x+\cos x-2x\),
所以\(f^{\prime}(x)=\cos x-\sin x-2=\sqrt{2} \cos \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)-2<0\),
所以\(f(x)\)为\(R\)上的减函数,
因为\(-π<\ln 2<2^e\),
所以\(f(-π)>f(\ln 2)>f(2^e )\),即\(a>c>b\).
故选:\(A\).
点拨 利用函数的单调性判断数值的大小.
【典题2】 已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\),其导函数为\(f'(x)\),满足\(f'(x)>2\),且\(f(2)=1\),则不等式\(f(x)>2x-3\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\).
解析 令\(g(x)=f(x)-2x+3\),则有\(g'(x)=f'(x)-2\),
又因这\(f'(x)>2\),所以\(g'(x)=f'(x)-2>0\),
所以\(g(x)\)在\(R\)上单调递增,
又因为\(g(2)=f(2)-4+3=0\),
所以当\(x>2\)时,\(g(x)>0\),
即\(f(x)-2x+3>0⇒f(x)>2x-3\),
所以\(f(x)>2x-3\)的解集为:\((2,+∞)\).
故答案为:\((2,+∞)\).
点拨 该题利用求导法则构造函数\(g(x)=f(x)-2x+3\),需要善于观察已知条件的形式.
那如何构造呢?角度有二
① 从已知条件\(f'(x)>2⇒f'(x)-2>0\)入手,
思考\([\)某函数\(g(x)]'=f'(x)-2\),
这需要熟悉求导法则的逆运用,下表举例供参考(其中\(c\)是常数):
(1) \(f'(x)+h'(x)\)形式,构造函数\(g(x)=f(x)+h(x)+c\);
(2) \(xf'(x)+f(x)\)形式,构造函数 \(g(x)=xf(x)+c\);
(3) \(xf'(x)-f(x)\)形式,构造函数 \(g(x)=\dfrac{f(x)}{x}+c\);
(4) \(f'(x)+f(x)\)形式,构造函数\(g(x)=e^x f(x)+c\);
形式多样,不需要死记,要灵活运用.
② 从求证入手,要求不等式\(f(x)>2x-3\),变形得\(f(x)-2x+3>0\),想到构造函数\(g(x)=f(x)-2x+3\)不难.
【巩固练习】
1.已知函数\(f(x)=e^x-e^{-x}\),则\(a=f\left(0.4^{0.6}\right)\), \(b=f\left(0.6^{0.6}\right)\), \(c=f\left(0.4^{0.4}\right)\)的大小关系为( )
A.\(b<a<c\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad \qquad\) C.\(c<a<b\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.\(a<c<b\)
2.已知函数\(f(x)=2 \ln x+\dfrac{1}{x}-x\),则不等式\(f(2x-1)<f(1-x)\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\).
3.已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(1)=3\),对\(∀x∈R\)恒有\(f'(x)<2\),则\(f(x)≥2x+1\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
参考
-
答案 \(D\)
解析 \(f'(x)=e^x+e^{-x}>0\),故\(f(x)\)在\(R\)上单调递增,
构造\(f(x)=0.4^x\),易知\(f(x)\)在\(R\)上单调递减,故 \(0.4^{0.4}>0.4^{0.6}\),
构造\(g(x)=x^{0.6}\),易知 \(g(x)\)在\(R\)上单调递增,故 \(0.6^{0.6}>0.4^{0.6}\),
构造\(h(x)=x^5\),易知\(h(x)\)在\((0,+∞)\)单调递增,且\(\left(0.6^{0.6}\right)^5=0.6^3=0.216\), \(\left(0.4^{0.4}\right)^5=0.16\),
\(∵0.216>0.16\),所以 \(0.6^{0.6}>0.4^{0.4}\),
故\(0.6^{0.6}>0.4^{0.4}>0.4^{0.6}\),
又因为\(f(x)\)在\(R\)上递增,故\(a<c<b\),
故选:\(D\). -
答案 \(\left(\dfrac{2}{3}, 1\right)\)
解析 \(x>0\), \(f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}-1=\dfrac{-x^2+2 x-1}{x^2}=-\dfrac{(x-1)^2}{x^2} \leqslant 0\),
故\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上单调递减,
由\(f(2x-1)<f(1-x)\)得\(2x-1>1-x>0\),解得 \(\dfrac{2}{3}<x<1\). -
答案 \((-∞,1]\)
解析 令\(F(x)=f(x)-2x-1\),
则\(F'(x)=f'(x)-2\),
又\(\because\)对\(∀x∈R\)恒有\(f'(x)<2\),
\(\therefore F'(x)=f'(x)-2<0\)恒成立,
\(\therefore F(x)=f(x)-2x-1\)是\(R\)上的减函数,
又\(\because F(1)=f(1)-2-1=0\),
\(\therefore\)当\(x≤1\)时,\(F(x)≥F(1)=0\),即\(f(x)-2x-1≥0\),
即不等式\(f(x)≥2x+1\)的解集为\((-∞,1]\).
分层练习
【A组---基础题】
1.已知函数\(y=f(x)\)的图象如图所示,则函数\(y=f'(x)\)的图象可能是图中的( )
A. \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.
C. \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.
2.下列函数中,在\((1,+∞)\)上为增函数的是( )
A.\(y=x^3-3x\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=\ln x-x\) \(\qquad \qquad\) C. \(y=x+\dfrac{4}{x}\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=x^2-3x+1\)
3.判断函数\(y=x\cos x-\sin x\)在下面哪个区间内是增函数( )
A. \(\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C.\((π,2π)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\((0,π)\)
4.已知函数\(f(x)=3x^2-ax+\ln x\)在其定义域内为增函数,则\(a\)的最大值为( )
A.\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2 \sqrt{6}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(2 \sqrt{7}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(6\)
5.函数\(f(x)=e^x-e^{-x}-2\sin x\),若\(a=5\),\(b=2\),\(c=3\),则有( )
A.\(f(a)>f(b)>f(c)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(f(a)>f(c)>f(b)\)
C.\(f(b)>f(a)>f(c)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(f(b)>f(c)>f(a)\)
6.函数\(f(x)\)的定义域为\(R\),且函数\(f(x)\)的图象如图所示,则不等式\(xf'(x)<0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
7.函数\(f(x)=x^2-5\ln x-3x-1\)的单调递减区间为\(\underline{\quad \quad}\).
8.若函数\(f(x)=(x^2-4ax+2) e^x\)在\(R\)上单调递增,则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
9.定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\),满足\(f(-1)=2020\),且对任意的\(x∈R\),都有\(f'(x)-3x^2>0\)成立,则不等式\(f(x)<x^3+2021\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
10.确定函数\(f(x)=\cos 2x+4\cos x\),\(x∈(0,2π)\)的单调区间.
11.已知函数\(f(x)=x\ln x+ax+b\)在\((1,f(1))\)处的切线为\(2x-2y-1=0\).
(1)求实数\(a\),\(b\)的值;
(2)求\(f(x)\)的单调区间.
参考
-
答案 \(C\)
解析 由\(y=f(x)\)的图象可知,
当\(x∈(-1,b)\)时,\(f(x)\)单调递减,所以\(f'(x)<0\),排除选项\(B\)和\(D\);
当\(x∈(b,a)\)时,\(f(x)\)单调递增,所以\(f'(x)>0\),排除选项\(A\),
故选:\(C\). -
答案 \(A\)
解析 根据题意,依次分析选项:
对于\(A\),\(y=x^3-3x\),其导数\(y'=3x^2-3\),
在区间\((1,+∞)\)上,\(y'>0\),函数为增函数,符合题意,
对于\(B\),\(y=\ln x-x\),其导数 \(y^{\prime}=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}\),
在区间\((1,+∞)\)上,\(y'<0\),函数为减函数,不符合题意,
对于\(C\), \(y=x+\dfrac{4}{x}\),其导数 \(y^{\prime}=1-\dfrac{4}{x^2}\),
在区间\((1,2)\)上,\(y'<0\),函数为减函数,不符合题意,
对于\(D\),\(y=x^2-3x+1\)是二次函数,在区间 \(\left(1, \dfrac{3}{2}\right)\)上为减函数,不符合题意,
故选:\(A\). -
答案 \(C\)
解析 \(y'=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x\)
欲使导数为正,只需\(x\)与\(\sin x\)符号总相反,
分析四个选项知,\(C\)选项符合条件,
故选:\(C\). -
答案 \(B\)
解析 函数\(f(x)=3x^2-ax+\ln x\)的定义域为\((0,+∞)\), \(f^{\prime}(x)=6 x-a+\dfrac{1}{x}\),
因为函数\(f(x)\)在定义域内为增函数,
所以\(f'(x)≥0\)对\(x∈(0,+∞)\)恒成立,
即\(a \leq 6 x+\dfrac{1}{x}\)对\(x∈(0,+∞)\)恒成立,
因为\(6 x+\dfrac{1}{x} \geq 2 \sqrt{6}\),当且仅当 \(x=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\)时等号成立,
所以\(a \leq 2 \sqrt{6}\),所以\(a\)的最大值为 \(2 \sqrt{6}\).
故选:\(B\). -
答案 \(B\)
解析 由题意\(f(x)=e^x-e^{-x}-2\sin x\),
由 \(e^x+e^{-x}=e^x+\dfrac{1}{e^x} \geqslant 2\),\(\cos x⩽1\),
则\(f'(x)=e^x+e^{-x}-2\cos x⩾2-2=0\),
所以\(f(x)\)在\(R\)上单调递增.
又因为\(a=5\),\(b=2\),\(c=3\),所以\(f(a)>f(c)>f(b)\).
故选:\(B\). -
答案 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) \cup\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)
解析 由图可知,\(f(x)\)在 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\)和 \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)上单调递增,在 \(\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)上单调递减,
\(\therefore\)当 \(x \in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)时,\(f'(x)>0\);
当 \(x \in\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)时,\(f'(x)<0\).
\(\because\)不等式\(xf'(x)<0\)可等价于 \(\left\{\begin{array}{l} x>0 \\ f^{\prime}(x)<0 \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{l} x<0 \\ f^{\prime}(x)>0 \end{array}\right.\),
\(\therefore\)当\(x>0\)时,有\(x \in\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\),即 \(x \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\);
当\(x<0\)时,有 \(x \in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\),即 \(x \in\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\),
综上所述,不等式的解集为 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right) \cup\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\). -
答案 \(\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\)
解析 \(f^{\prime}(x)=2 x-\dfrac{5}{x}-3=\dfrac{2 x^2-3 x-5}{x}=\dfrac{(x+1)(2 x-5)}{x},(x>0)\),
当 \(x \in\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\)时,\(f'(x)<0\),所以\(f(x)\)在\(\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\)上单调递减,
所以单减区间为: \(\left(0, \dfrac{5}{2}\right)\). -
答案 \(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\)
解析 对函数求导:\(f'(x)=(x^2-4ax+2x+2-4a)⋅e^x\),
由已知有\(f'(x)≥0\)在\(R\)上恒成立,
又因为\(e^x>0\)恒成立,
故仅需\(x^2+(2-4a)x+2-4a⩾0\)恒成立,
故\(△=(2-4a)^2-4(2-4a)⩽0\),解得\(-\dfrac{1}{2} \leqslant a \leqslant \dfrac{1}{2}\). -
答案 \((-∞,-1)\)
解析 设\(g(x)=f(x)-x^3\),
则\(g'(x)=f'(x)-3x^2>0\),\(\therefore g(x)\)在\(R\)上为增函数,
\(\because f(-1)=2020\),\(\therefore g(-1)=f(-1)-(-1)^3=2021\),
\(\therefore\)不等式\(f(x)<x^3+2021\)等价于\(f(x)-x^3<g(-1)\),
即\(g(x)<g(-1)\),
\(\therefore x<-1\),
即不等式的解集为\((-∞,-1)\). -
答案 \(f(x)\)的单调增区间为\((π,2π)\),单调减区间为\((0,π)\).
解析 函数的导数\(f'(x)=-2\sin 2x-4\sin x=-4\sin x(\cos x+1)\),
令\(f'(x)>0\),\(\sin x<0\),又\(x∈(0,2π)\),所以\(π<x<2π\);
令\(f'(x)<0\),\(\sin x>0\),又\(x∈(0,2π)\),所以\(0<x<π\).
故\(f(x)\)的单调增区间为\((π,2π)\),单调减区间为\((0,π)\). -
答案 (1)\(a=0\),\(b= \dfrac{1}{2}\);
(2)\(f(x)\)的单调减区间为 \(\left(0, \dfrac{1}{e}\right)\),\(f(x)\)的单调增区间为 \(\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)\).
解析 (1)依题意可得:\(2-2f(1)-1=0\),即\(f(1)= \dfrac{1}{2}\),
\(\because f(x)=x\ln x+ax+b\),\(\therefore f'(x)=\ln x+a+1\),
又\(\because\)函数\(f(x)\)在\((1,f(1))\)处的切线为\(2x-2y-1=0\),\(f(1)= \dfrac{1}{2}\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} f^{\prime}(1)=a+1=1 \\ f(1)=a+b=\dfrac{1}{2} \end{array}\right.\),解得:\(\left\{\begin{array}{l} a=0 \\ b=\dfrac{1}{2} \end{array}\right.\).
(2)由(1)可得:\(f'(x)=1+\ln x\),
当 \(x \in\left(0, \dfrac{1}{e}\right]\)时,\(f'(x)⩽0\),\(f(x)\)单调递减;
当 \(x \in\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)\)时,\(f'(x)>0\),\(f(x)\)单调递增,
\(\therefore f(x)\)的单调减区间为\(\left(0, \dfrac{1}{e}\right)\),\(f(x)\)的单调增区间为\(\left(\dfrac{1}{e},+\infty\right)\).
【B组---提高题】
1.已知函数\(f(x)=x^3-\dfrac{2}{2^x+1}\),且\(f(a)+f(b)+2<0\),则( )
A.\(a+b<0\) \(\qquad \qquad\) B.\(a+b>0\) \(\qquad \qquad\) C.\(a-b+1>0\) \(\qquad \qquad\) D.\(a+b+2<0\)
2.\(f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的非负可导函数,且满足\(xf'(x)+f(x)≤0\).对任意正数\(a\),\(b\),若\(a<b\),则必有( )
A.\(f(b)≤f(a)\) \(\qquad \qquad\) B.\(af(a)≤bf(b)\) \(\qquad \qquad\) C.\(bf(a)≤af(b)\) \(\qquad \qquad\) D.\(af(a)>bf(b)\)
3.求函数\(f(x)=e^{x-1}-x\ln x\)的单调性.
参考
-
答案 \(A\)
解析 令 \(g(x)=f(x)+1=x^3-\dfrac{2}{2^x+1}+1=x^3+\dfrac{2^x-1}{2^x+1}\),
则 \(g(-x)=(-x)^3+\dfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=-x^3-\dfrac{2^x-1}{2^x+1}=-g(x)\),
则\(g(x)\)是奇函数,
由 \(g^{\prime}(x)=3 x^2+\dfrac{2^{x+1} \cdot \ln 2}{\left(2^x+1\right)^2}>0\),得\(g(x)\)在\(R\)递增,
则\(f(a)+f(b)+2=f(a)+1+f(b)+1=g(a)+g(b)<0\),
\(\therefore g(a)<-g(b)=g(-b)\),即\(a<-b\),得\(a+b<0\).
故选:\(A\). -
答案 \(D\)
解析 设\(g(x)=xf(x)\),\(x∈(0,+∞)\),
则\(g'(x)=xf'(x)+f(x)≤0\),
\(\therefore g(x)\)在区间\(x∈(0,+∞)\)单调递减,
\(\because a<b\),\(\therefore g(a)>g(b)\),即\(af(a)>bf(b)\),
故选:\(D\). -
答案 函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((0,+∞)\),无单调递减区间.
解析 \(f(x)\)的定义域为\((0,+∞)\),
\(f^{\prime}(x)=e^{x-1}-\ln x-1\), \(f^{\prime \prime}(x)=e^{x-1}-\dfrac{1}{x}\),
因为\(f''(x)\)在\((0,+∞)\)上单调递增,且\(f''(1)=0\),
所以当\(x∈(0,1)\)时,\(f''(x)<0\),\(f'(x)\)单调递减,
当\(x∈(1,+∞)\)时,\(f''(x)>0\),\(f'(x)\)单调递增,
从而当\(x∈(0,+∞)\)时,\(f'(x)≥f'(1)=0\),\(f(x)\)单调递增,
故函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((0,+∞)\),无单调递减区间.
【C组---拓展题】
1.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数,其导函数为\(f'(x)\),且对任意实数\(x\)都有\(f(x)+f'(x)>1\),则不等式\(e^x f(x)>e^x-1\)的解集为( )
A.\((-∞,0)\) \(\qquad \qquad\) B.\((0,+∞)\) \(\qquad \qquad\) C.\((-∞,1)\) \(\qquad \qquad\) D.\((1,+∞)\)
2.\(\sin 10^∘\)的值落在区间( )中.
A. \(\left(\dfrac{1}{7}, \dfrac{1}{6}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\)B. \(\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{5}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\) C. \(\left(\dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{4}\right)\) \(\qquad \qquad \qquad\)D. \(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{6}, \dfrac{\sqrt{3}}{6}\right)\)
参考
-
答案 \(B\)
解析 设\(g(x)=e^x [f(x)-1]\),
则\(g'(x)=e^x f(x)+e^x f'(x)-e^x=e^x [f(x)+f'(x)-1]>0\).
故\(g(x)\)在\(R\)上单调递增,
因为\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数,所以\(f(0)=0\),
所以\(g(0)=-1\),不等式\(e^x f(x)>e^x-1⇒e^x [f(x)-1]>-1\),
即\(g(x)>g(0)\),又\(\because g(x)\)在\(R\)上单调递增,\(\therefore x>0\).
故选:\(B\). -
答案 \(B\)
解析 因为 \(\dfrac{1}{2}=\sin 30^∘ =\sin (20^∘+10^∘ )=\sin 10^∘ \cos 20^∘ +\sin 20^∘ \cos 10^∘\)
\(=\sin 10^∘ (1-2\sin ^210^∘ )+2\sin 10^∘ (1-\sin ^210^∘ )=3\sin 10^∘-4\sin 30^∘\),
设\(f(x)=4x^3-3x+ \dfrac{1}{2}\),则\(f(\sin 10^∘ )=0\),
所以\(f'(x)=12x^2-3=3(2x-1)(2x+1)<0\)对\(0<x< \dfrac{1}{2}\)恒成立,
故\(f(x)\)在 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)上单调递减且\(0<\sin 10^∘<\sin 30^∘= \dfrac{1}{2}\),
因为 \(f\left(\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{1}{54}>0\),\(f\left(\dfrac{1}{5}\right)=-\dfrac{17}{250}<0\),
由零点判定定理可知, \(\sin 10^{\circ} \in\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{5}\right)\).
故选:\(B\).