5.2.3 简单复合函数的导数
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[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019)]
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选择性第二册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
复合函数
对于两个函数\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\),若通过变量\(u\) ,\(y\) 可以表示成\(x\)的函数,则称这个函数为函数\(y=f(u)\)和\(u=f(x)\)的复合函数,记作\(y=f(g(x))\).
【例】 函数 \(y=e^{2 x^2-1}\)可看成由\(y=e^u\)与\(u=2x^2-1\)复合而成的函数;
函数 \(y=\cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)可看成由\(y=\cos u\)与\(u=2 x-\dfrac{\pi}{3}\)复合而成的函数.
简单复合函数的导数
复合函数\(y=f(g(x))\)的导数与函数\(y=f(u)\) ,\(u=f(x)\)的导数间的关系是\(y_x^{\prime}=y_u^{\prime} \cdot u_x^{\prime}\).
即\(y\)对\(x\)的导数等于\(y\)对\(u\)的导数与\(u\)对\(x\)的导数的乘积.
【例】 若\(f(x)=\ln(x^2+2x+3)\),设\(y=\ln u\),\(u=x^2+2x+3\),
则 \(f^{\prime}(x)=(\ln u)^{\prime} \cdot\left(x^2+2 x+3\right)=\dfrac{1}{u} \cdot(2 x+2)=\dfrac{2 x+2}{x^2+2 x+3}\).
性质
(1)若函数\(y=f(x)\)为可导的偶函数,则\(y=f'(x)\)为奇函数;
(2) 若函数\(y=f(x)\)为可导的奇函数,则\(y=f'(x)\)为偶函数.
证明
(1) 方法1 若\(f(x)\)为可导的偶函数,则\(f(-x)=f(x)\),
两边求导得\(-f' (-x)=f' (x)\),所以\(y=f'(x)\)为奇函数;
方法2 \(g^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g[x+(-\Delta x)]-g(x)}{-\Delta x},\),
\(\because y=g(x)\)是偶函数,\(\therefore g[(-x)+Δx]-g(-x)=g(x-Δx)-g(x)\)
\(\therefore g^{\prime}(-x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g[(-x)+\Delta x]-g(-x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x-\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\)
\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}-\dfrac{g(x-\Delta x)-g(x)}{-\Delta x}=-\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g[x+(-\Delta x)]-g(x)}{-\Delta x}=-g^{\prime}(x)\),
\(\therefore g' (-x)=-g' (x)\),所以\(y=f'(x)\)为奇函数.
(2) 类似(1)的证明.
基本方法
【题型1】 复合函数的导数
【典题1】 求下列函数的导数:
(1) \(y=\left(2 x^3-x+\dfrac{1}{x}\right)^4\);\(\qquad \qquad\) (2) \(y=\sin ^2\left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\);\(\qquad \qquad\) (3) \(y=\sqrt{1+x^2}\).
解析 (1) \(y^{\prime}=4\left(2 x^3-x+\dfrac{1}{x}\right)^3\left(6 x^2-1-\dfrac{1}{x^2}\right)\);
(2) \(y^{\prime}=2 \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right) \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right) \cdot 2=2 \sin \left(4 x+\dfrac{2 \pi}{3}\right)\);
(3) \(y^{\prime}=\dfrac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).
【巩固练习】
1.函数\(f(x)=\cos (x^2+x)\)导数是( )
A.\(-\sin (x^2+x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(-(2x+1)\sin (x^2+x)\)
C.\(-2x\sin (x^2+x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \quad\) D.\((2x+1)\sin (x^2+x)\)
2.函数\(y=4(2-x+3x^2 )^2\)的导数是( )
A.\(8(2-x+3x^2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2(-1+6x)^2\)
C.\(8(2-x+3x^2)(6x-1)\) \(\qquad \qquad \qquad \quad\) D.\(4(2-x+3x^2)(6x-1)\)
3.设\(f(x)=\ln (2x-1)\),若\(f(x)\)在\(x_0\)处的导数\(f' (x_0 )=1\),则\(x_0\)的值为( )
A. \(\dfrac{e+1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\dfrac{3}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\dfrac{3}{4}\)
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 函数的导数为\(f' (x)=-\sin (x^2+x)⋅(x^2+x)'=-(2x+1)\sin (x^2+x)\),故选:\(B\). -
答案 \(C\)
解析 函数\(y=4(2-x+3x^2 )^2\),
所以\(y'=8(2-x+3x^2 )⋅(-1+6x)=8(2-x+3x^2 )(6x-1)\).
故选: \(C\). -
答案 \(B\)
解析 由\(f(x)=\ln (2x-1)\),得\(f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2 x-1}\).
由\(f^{\prime}\left(x_0\right)=\dfrac{2}{2 x_0-1}=1\),解得\(x_0=\dfrac{3}{2}\).故选:\(B\).
【题型2】 运用
【典题1】 若函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} \sin 2x+\sin x\),则\(f' (x)\)是( )
A. 仅有最小值的奇函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B. 仅有最大值的偶函数
C. 既有最大值又有最小值的偶函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. 非奇非偶函数
解析 \(\because\)函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} \sin 2x+\sin x\),
\(\therefore f^{\prime}(x)=\cos 2 x+\cos x=2 \cos ^2 x+\cos x-1=2\left(\cos x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\),
当\(\cos x=- \dfrac{1}{4}\)时,\(f' (x)\)取得最小值 \(-\dfrac{9}{8}\);当\(\cos x=1\)时,\(f' (x)\)取得最大值2.
且\(f' (-x)=f' (x)\).即\(f' (x)\)是既有最大值,又有最小值的偶函数.
故选:\(C\).
【典题2】 已知函数\(f(x)\)与\(g(x)\)的定义域均为R,\(f' (x)\),\(g' (x)\)分别为\(f(x)\),\(g(x)\)的导函数,\(f(x)+g' (x)=5\),\(f(2-x)-g' (2+x)=5\),若\(g(x)\)为奇函数,则下列等式一定成立的是( )
A.\(f(-2)=5\) \(\qquad \qquad\) B. \(g(x+4)=g(x)\) \(\qquad \qquad\) C.\(g' (8-x)=g' (x)\) \(\qquad \qquad\) D. \(f' (x+8)=f' (x)\)
解析 由 \(\left\{\begin{array}{l}
f(x)+g^{\prime}(x)=5 \\
f(2-x)-g^{\prime}(2+x)=5
\end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l}
f(2-x)+g^{\prime}(2-x)=5 \\
f(2-x)-g^{\prime}(2+x)=5
\end{array}\right.\),
\(\therefore g' (2-x)=-g' (2+x)\),
\(\therefore g' (x)\)关于\((2,0)\)中心对称,则\(g' (4+x)=-g' (-x)\),
\(\because g(x)\)为奇函数,\(\therefore g(-x)=-g(x)\),左右求导得: \(-g' (-x)=-g' (x)\),
\(\therefore g' (x+8)=-g' (-(x+4))=-g' (x+4)=-[-g' (-x)]=g' (-x)=g' (x)\),
\(\therefore g' (x)\)是周期为\(8\)的周期函数,
\(\therefore g' (8-x)=g' (x-8)=g' (x)\),\(C\)正确,
\(\because f(x)+g' (x)=5,\therefore f(-2)+g' (-2)=5\),
又\(g' (-2)=g' (2)=0\),
\(\therefore f(-2)=5\),\(A\)正确,
令 \(h(x)=g^{\prime}(x)\),则\(h(x+8)=h(x)\),\(\therefore h' (x+8)=h' (x)\),
又\(h(x)=5-f(x)\),\(h(x+8)=5-f(x+8)\),\(\therefore -f' (x+8)=-f' (x)\),
即\(f' (x+8)=f' (x)\),\(D\)正确,
\(\because g' (x+4)=-g' (x)\),\(\therefore g' (x+4)+g' (x)=0\),
设\(F(x)=g(x+4)+g(x)\),则\(F(x)=g' (x+4)+g' (x)=0\),
\(\therefore F(x)=C(C∈R)\),
又\(g(x)\)为奇函数,\(\therefore F(-2)=g(2)+g(-2)=0,\therefore F(x)=0\),
即\(g(x+4)=-g(x)\), \(B\)错误,
故选\(ACD\).
点拨 函数的周期性、对称性的常见结论
① 若\(f(x+a)=-f(x)\) ,则\(y=f(x)\)的周期是\(T=2a\);
② 若 \(f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}\),则\(y=f(x)\)的周期是\(T=2a\).
③ 若\(f(x+a)=f(b-x)\), 则\(y=f(x)\)有对称轴 \(x=\dfrac{a+b}{2}\).
④ 若函数\(y=f(x)\)定义域为\(R\),且满足条件\(f(a+x)+f(b-x)=c\)(\(a ,b ,c\)为常数),则函数\(y=f(x)\)的图象关于点 \(\left(\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)对称.
【巩固练习】
1.一个小球作简谐振动,其运动方程为 \(x(t)=2 \sin \left(\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)\),其中\(x(t)\)(单位: \(cm\))是小球相对于平衡点的位移,\(t\)(单位: \(s\)为运动时间,则小球在\(t=2\)时的瞬时速度为\(\underline{\quad \quad}\)\(cm/s\).
2.1696年,洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法,用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限,法则的大意为:在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定末定式值的方法. 如: \(\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{(\sin x)^{\prime}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos x}{1}=1\),按此方法则有\(\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}=\)\(\underline{\quad \quad}\).
3.已知函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f' (\dfrac{\pi}{3}) \sin 2x-\cos 2x\),则\(f' (\dfrac{\pi}{3})=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
4.(多选)已知函数\(f(x)\)在\(R\)上有定义,记\(f' (x)\)为函数\(f(x)\)的导函数,又\(f(2x-1)\)是奇函数,则以下判断一定正确的有( )
A.\(f(4x-2)\)是奇函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(f(x-1)+f(3x-1)\)是奇函数
C. \(f(4x^2-2)\)是偶函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(f' (-5x-1)\)是偶函数
5.(多选)已知函数\(f(x)\)及其导函数\(f' (x)\)的定义域均为\(R\),若\(f(2-x)\), \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)\)均为奇函数,则( )
A.\(f(2)=0\) \(\qquad \qquad\) B. \(f' (1)=f' (0)\) \(\qquad \qquad\) C.\(f(3)=f(2)\) \(\qquad \qquad\) D. \(f' (2022)=-f' (-1)\)
参考答案
-
答案 \(π\)
解析 \(\because x^{\prime}(t)=2 \pi \cos \left(\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)\),
\(\therefore x^{\prime}(2)=2 \pi \cos \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \pi \cos \dfrac{\pi}{3}=\pi\),
即小球在\(t=2\)时的瞬时速度为\(π cm/s\). -
答案 \(2\)
解析 由题意可得: \(\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}\right)^{\prime}}{(\sin x)^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{\cos x}=2\). -
答案 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
解析 因为\(f(x)=f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+ \sin 2x-\cos 2x\),
所以\(f' (x)=2f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos 2x+2\sin 2x\),
则\(f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \cos \dfrac{2 \pi}{3}+2 \sin \dfrac{2 \pi}{3}=-f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}\),
即\(f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). -
答案 \(BCD\)
解析 若\(f(x)=x+1\),则\(f(2x-1)=2x\)为奇函数,
而\(f(4x-2)=4x-1\)为非奇非偶函数,所以\(A\)选项错误,
由于\(f(2x-1)\)是奇函数,所以\(f(-2x-1)=-f(2x-1)\),
对于函数\(f(x-1)+f(3x-1)\),
\(f(-x-1)+f(-3x-1)=-f(x-1)-f(3x-1)=-[f(x-1)+f(3x-1)]\),
所以\(f(x-1)+f(3x-1)\)是奇函数,\(B\)选项正确,
对于函数\(f(4x^2-2)\),\(f(4(-x)^2-2)=f(4x^2-2)\),
所以函数\(f(4x^2-2)\)是偶函数,\(C\)选项正确,
对于\(D\)选项,先证明奇函数的导数是偶函数,
若\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数,则\(f(-x)=-f(x)\),
两边求导得\([f(-x)]'=[-f(x)]'\),即\(-f' (-x)=-f' (x)\),
即\(f' (-x)=f' (x)\),所以奇函数的导数是偶函数,
然后证明\(f(-5x-1)\)为奇函数,
由于\(f(5x-1)=-f(-5x-1)\),所以\(f(-5x-1)\)为奇函数,
所以\(f' (-5x-1)\)是偶函数,\(D\)选项正确,
故选\(BCD\). -
答案 \(ACD\)
解析 因为若\(f(2-x)\), \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)\)为奇函数,
所以\(f(2-x)=-f(2+x)\), \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}+2 x\right)\),
令\(x=0\)得\(f(2)=-f(2)\), \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}\right)\),
即 \(f(2)=0\),\(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}\right)=0\),\(A\)选项正确;
所以\(-f' (2-x)=-f' (2+x)\),即\(f' (2-x)=f' (2+x)\),
所以函数\(f' (x)\)关于\(x=2\)对称,\(\left(\dfrac{5}{2}, 0\right)\)对称,
所以\(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}+x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{3}{2}-x\right)\),
即\(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{3}{2}-x\right)\),
所以\(f' (x+1)=-f' (x)\) ,
所以\(f' (x+2)=-f' (x+1)=f' (x)\),
即函数\(f' (x)\)为周期函数,周期为\(2\),
所以\(f' (2022)=f' (0)=-f' (-1)\),\(f' (1)=-f' (0)\),
故\(D\)选项正确,\(B\)选项错误:
对于\(C\)选项,由 \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}+2 x\right)\)可得 \(-\dfrac{1}{2} f\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)+C_1=-\dfrac{1}{2} f\left(\dfrac{5}{2}+2 x\right)+C_2\),其中\(C_1\),\(C_2\)为常数,
所以\(f\left(\dfrac{5}{2}\right)-2 C_1=f\left(\dfrac{5}{2}\right)-2 C_2\),所以\(C_1=C_2\),
故令\(x= \dfrac{1}{4}\)得\(f(2)-2C_1=f(3)-2C_2\),
即\(f(2)=f(3)\),故\(C\)选项正确,
故选\(ACD\).
分层练习
【A组---基础题】
1.已知\(f(x)=\cos 2x+e^{2x}\),则\(f'(x)=\) ( )
A.\(-2\sin 2x+2e^{2x}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\sin 2x+e^{2x}\)
C.\(2\sin 2x+2e^{2x}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(-\sin 2x+e^{2x}\)
2.定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f'(x)-2f(x)=0\)(其中\(f'(x)\)为\(f(x)\)的导函数),则这样的函数个数为( )
A.\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. 无数个
3.下列直线中,与曲线 \(y=x \mathrm{e}^{2 x-1}\)在点\((1,e)\)处的切线平行的直线是 ( )
A. \(y=2ex-1\) \(\qquad \qquad\) B. \(y=3ex+1\) \(\qquad \qquad\) C. \(y=2ex-e\) \(\qquad \qquad\) D. \(y=3ex-2e\)
4.已知函数\(f(x)\)及其导函数\(f' (x)\)的定义域都为\(R\),且\(f(1-2x)\)为偶函数,\(f(x+2)\)为奇函数,则( )
A.\(f(1)=0\) \(\qquad \qquad\) B. \(f' (2)=0\) \(\qquad \qquad\) C. \(f' (2022)+f(2021)=0\) \(\qquad \qquad\) D. \(f(2022)+f' (2021)=0\)
5.已知函数\(f(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\),则\(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)等于 \(\underline{\quad \quad}\) .
6.已知函数\(f(x)=f' (0)\ln (2x+1)-2x+\cos x\),则\(f' (0)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
7.某铁球在\(0^∘ C\)时,半径为\(1dm\). 当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁球的半径会发生变化,且当温度为\(t^∘ C\)时铁球的半径为\((1+at)dm\),其中\(a\)为常数,则在\(t=0\)时,铁球体积对温度的瞬时变化率为\(\underline{\quad \quad}\) (参考公式: \(V_{\text {球 }}=\dfrac{4}{3} \pi R^3\) ).
8.若曲线 \(y=x \mathrm{e}^{a-x}+b x\)在\(x=2\)处的切线方程为\(y=(e-1)x+4\),则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\),\(b=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
9.设函数 \(f(x)=\cos (\sqrt{3} x+\varphi)\),其中常数\(φ\)满足\(-π<φ<0\),若函数\(g(x)=f(x)+f' (x)\)(其中\(f' (x)\)是函数\(f(x)\)的导数)是偶函数,则\(φ\)等于\(\underline{\quad \quad}\).
10.英国数学家泰勒发现了一个恒等式 \(\mathrm{e}^{2 x}=\sum_{i=0}^n a_i x^i\),则 \(a_1+2a_2+3a_3+⋯+na_n=\) \(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(\because f(x)=\cos 2x+e^{2x}\),\(\therefore f' (x)=-2\sin 2x+2e^{2x}\).故选:\(A\). -
答案 \(D\)
解析 \((e^{2x} )'=2e^{2x}\),满足\(f' (x)-2f (x)=0\),\(\therefore f(x)=e^{2x}\),
\((ke^{2x} )'=2ke^{2x}\),\(k\)为非零常数,也满足\(f^{\prime}(x)-2 f(x)=0\),
\(\therefore\)满足\(f'(x)-2f(x)=0\)的函数有无数个,故选:\(D\). -
答案 \(B\)
解析 \(y^{\prime}=(x)^{\prime} \mathrm{e}^{2 x-1}+x\left(\mathrm{e}^{2 x-1}\right)^{\prime}=(2 x+1) \mathrm{e}^{2 x-1}\),则\(\left.y\right|_{x=1}=3 e\),
平行的直线的斜率为\(k=3e\),排除\(A\),\(C\),
\(y=3ex-2e\)过切点\((1,e )\),斜率为\(3e\),
即\(y=3ex-2e\)为曲线 \(y=x \mathrm{e}^{2 x-1}\)在点\((1,e )\)处的切线,\(D\)错误;
\(y=3ex+1\)的斜率为\(3e\),且不与\(y=3ex-2e\)重合,\(B\)正确
故选\(B\). -
答案 \(D\)
解析 由\(f(1-2x)\)为偶函数知,\(f(1-2x)=f(1+2x)\),
即\(f(1-x)=f(1+x)\),
即函数\(f(x)\)关于\(x=1\)对称, 则\(f(x)=f(2-x)\),
由\(f(x+2)\)是奇函数知,\(f(x+2)=-f(-x+2)\),
即函数\(f(x)\)关于点\((2,0)\)对称
则\(f(x)=-f(4-x)\), 且\(f(2)=0\),
所以\(f(2-x)=-f(4-x)\),即\(f(x)=f(x+4)\),
即函数\(f(x)\)的周期是\(4\),
则\(f(2022)=f(2+505×4)=f(2)=0\),
又\(f(1-2x)=f(1+2x)⇒[f(1-2x)]'=[f(1+2x)]'\),
所以\(-2f' (1-2x)=2f' (1+2x)\),则\(-f' (1-2x)=f' (1+2x)\),
即\(-f' (1-x)=f' (1+x)\),
所以\(f' (x)=-f' (2-x)\),
即函数\(f' (x)\)关于点\((1,0)\)对称,且\(f' (1)=0\),
由\(f(x)=f(x+4)⇒f' (x)=f' (x+4)\),即导函数\(f' (x)\)的周期是\(4\),
则\(f' (2021)=f' (1+505×4)=f' (1)=0\),所以\(f' (2021)+f(2022)=0\),
故选\(D\). -
答案 \(-2\)
解析 由 \(f(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\),得 \(f^{\prime}(x)=2 \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\),
所以 \(f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \cos \left(2 \times \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \cos \pi=-2\). -
答案 \(2\)
解析 因为\(f(x)=f' (0)\ln (2x+1)-2x+\cos x\),
所以 \(f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0) \times \dfrac{2}{2 x+1}-2-\sin x\),
令\(x=0\),\(f' (0)=f' (0)×2-2\),解得\(f' (0)=2\). -
答案 \(4πa\)
解析 \(V_{\text {球 }}=\dfrac{4}{3} \pi R^3=\dfrac{4}{3} \pi(1+a t)^3\),
则 \(V_{\text {球 }}=\dfrac{4}{3} \pi \times 3(1+a t)^2 \times a=4 \pi a(1+a t)^2\),
则 \(\left.V_{\text {球 }}\right|_{t=0}=4 \pi a(1+a \times 0)^2=4 \pi a\),
即在\(t=0\)时,铁球体积对温度的瞬时变化率为\(4πa\). -
答案 \(b=e\),\(a=2\)
解析 因为 \(y=x \mathrm{e}^{a-x}+b x\),所以 \(y=(1-x) \mathrm{e}^{a-x}+b\),
又函数\(x=2\)处的切线方程为\(y=(e-1)x+4\) ,
所以 \(\left.y\right|_{x=2}=(1-2) \mathrm{e}^{a-2}+b=\mathrm{e}-1\),且 \(2(\mathrm{e}-1)+4=2 \mathrm{e}^{x-2}+2 b\)
解得 \(b=e\),\(a=2\). -
答案 \(-\dfrac{\pi}{3}\)
解析 由题意得 \(g(x)=f(x)+f^{\prime}(x)=\cos (\sqrt{3} x+\varphi)-\sqrt{3} \sin (\sqrt{3} x+\varphi)\)
\(=2 \cos \left(\sqrt{3} x+\varphi+\dfrac{\pi}{3}\right)\),
\(\because\)函数 \(g(x)\)为偶函数,\(\therefore φ+\dfrac{\pi}{3}=kπ\),\(k∈Z\),
又\(-π<φ<0\),\(\therefore φ=-\dfrac{\pi}{3}\). -
答案 \(2e^2\)
解析 由题意可知, \(\mathrm{e}^{2 x}=\sum_{i=0}^n a_i x^i=a_0+a_1 x^1+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4 \cdots+a_n x^n\),
两边同时求导,得 \(2 e^{2 x}=a_1+2 a_2 \mathrm{x}+3 a_3 x^2+4 a_4 x^3 \cdots+n a_n x^{n-1}\),
令\(x=1\)得,\(a_1+2a_2+3a_3+⋯+na_n=2e^2\).
【B组---提高题】
1.已知函数 \(f(x)=\dfrac{\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+x+1}{2+\cos x}\),\(f' (x)\)为\(f(x)\)的导函数,则\(f(-2023)+f' (-2023)+f(2023)-f' (2023)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
2.(多选)已知函数\(f(x)\),\(g(x)\)的定义域为 R,\(g' (x)\)为\(g(x)\)的导函数,且\(f(x)+g' (x)-5=0\),\(f(x)-g' (4-x)-5=0\),若\(g(x)\)为偶函数,则 ( )
A.\(f(4)=5\) \(\qquad \qquad\) B. \(g(2)=0\) \(\qquad \qquad\) C. \(f(-1)=f(-3)\) \(\qquad \qquad\) D. \(f(1)+f(3)=10\)
参考答案
-
答案 \(1\)
解析 \(f(x)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\dfrac{1}{2} \cos x+x+1}{2+\cos x}=\dfrac{\sqrt{3} \sin x+2 x}{4+2 \cos x}+\dfrac{1}{2}\),其定义域为\(R\),
令 \(g(x)=\dfrac{\sqrt{3} \sin x+2 x}{4+2 \cos x}\),
显然 \(g(-x)=\dfrac{\sqrt{3} \sin (-x)+2(-x)}{4+2 \cos (-x)}=-\dfrac{\sqrt{3} \sin x+2 x}{4+2 \cos x}=-g(x)\),
即函数\(g(x)\)是\(R\)上的奇函数
\(f(x)=g(x)+ \dfrac{1}{2}\),
因此\(f(-x)+f(x)=g(-x)+ \dfrac{1}{2}+g(x)+ \dfrac{1}{2}=1\),\(f(-2023)+f(2023)=1\)
由\(g(-x)=-g(x)\)两边求导得:\(-g' (-x)=-g' (x)\) ,
即 \(g' (-x)=g' (x)\)
而\(f' (x)=g' (x)\),
于是得\(f' (x)-f' (-x)=g' (x)-g' (-x)=0\),\(f' (-2023)-f' (2023)=0\)
所以\(f(-2023)+f' (-2023)+f(2023)-f' (2023)=1\). -
答案 \(AD\)
解析 \(g(x)\)是偶函数,则\(g(-x)=g(x)\),两边求导得\(-g' (-x)=g' (x)\),
所以\(g' (x)\)是奇函数,
由\(f(x)+g' (x)-5=0\),\(f(x)-g' (4-x)-5=0\),
得\(f(x)-5=-g' (x)=g(4-x)\),即\(g' (-x)=g' (-x+4)\),
所以\(g' (x)\)是周期函数,且周期为\(4\),\(g' (0)=g' (4)=0\),
在\(f(x)+g' (x)-5=0\),\(f(x)-g' (4-x)-5=0\)中
令\(x=4\)得\(f(4)+g' (4)-5=0\),\(f(4)=5\),\(A\)正确,
没法求得\(g(2)\)的值,\(B\)错,
令\(x=-1\)得,\(f(-1)-g' (5)-5=0\),\(g' (5)=g' (1)=-g' (-1)\),
则\(f(-1)+g' (-1)-5=0\),无法求得\(f(-1)\),
同理令\(x=-3\)得,\(f(-3)+g' (-3)-5=0\),\(g' (-3)=g' (1)=-g' (-1)\),
因此\(f(-3)-g' (-1)-5=0\),
相加得\(f(-1)+f(-3)=10\),
只有在\(g' (-1)=0\)时,有\(f(-1)=f(-3)\),
但\(g' (-1)\)不一定为\(0\),因此\(C\)错 ,
在\(f(x)+g' (x)-5=0\)中令\(x=1\)得,\(f(1)+g(1)-5=0\),
在\(f(x)-g' (4-x)-5=0\)中令\(x=3\)得,\(f(3)-g(1)-5=0\),
两式相加得\(f(1)+f(3)-10=0\),即\(f(1)+f(3)=10\),\(D\)正确,
故选\(AD\).
【C组---拓展题】
1.(多选)设定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)与\(g(x)\)的导函数分别为\(f' (x)\)和\(g' (x)\),若\(f(x+2)-g(1-x)=2\),\(f' (x)=g' (x+1)\),且\(g(x+1)\)为奇函数,则下列说法中一定正确的是( )
A. \(g(1)=0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad\) B.函数\(g' (x)\)的图象关于\(x=2\)对称
C. \(\sum_{k=1}^{2022} g(k)=0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\sum_{k=1}^{2021} f(k) g(k)=0\)
参考答案
- 答案 \(AD\)
解析 因为\(g(x+1)\)为奇函数,所以\(g(x+1)=-g(-x+1)\),
取\(x=0\)可得\(g(1)=0\),\(A\)对,
因为\(f(x+2)-g(1-x)=2\),所以\(f' (x+2)+g' (1-x)=0\),
所以\(f' (x)+g' (3-x)=0\),又\(f' (x)=g' (x+1)\),
\(g' (x+1)+g' (3-x)=0\),故\(g' (2+x)+g' (2-x)=0\),
所以函数\(g' (x)\)的图象关于点\((2,0)\)对称, \(B\)错,
因为\(f' (x)=g' (x+1)\),所以\([f(x)-g(x+1)]'=0\),
所以\(f(x)-g(x+1)=c\), \(c\)为常数,
因为\(f(x+2)-g(1-x)=2\),所以 \(f(x)-g(3-x)=2\),
所以\(g(x+1)-g(3-x)=2-c\),取\(x=1\)可得\(c=2\),
所以\(g(x+1)=g(3-x)\),又\(g(x+1)=-g(-x+1)\),
所以\(g(3-x)=-g(-x+1)\), 所以\(g(x)=-g(x-2)\),
所以\(g(x+4)=-g(x+2)=g(x)\),故函数\(g(x)\)为周期为\(4\)的函数,
因为\(g(x+2)=-g(x)\),所以\(g(3)=-g(1)=0,g(4)=-g(2)\).
所以\(g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0\),
所以 \(\sum_{k=1}^{2022} g(k)=[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+[g(5)+g(6)+g(7)+g(8)]+\cdots\)
\(+[g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)]+g(2021)+g(2022)\)
所以 \(\sum_{k=1}^{2022} g(k)=505 \times 0+g(2021)+g(2022)=g(1)+g(2)=g(2)\)
由已知无法确定\(g(2)\)的值,故 \(\sum_{k=1}^{2022} g(k)\)的值不一定为 \(0\),\(C\)错
因为\(f(x+2)-g(1-x)=2\),
所以\(f(x+2)=2-g(x+1)\),\(f(x+6)=2-g(x+5)\)
所以\(f(x+2)=f(x+6)\),故函数\(f(x)\))为周期为\(4\)的函数,
\(f(x+4)g(x+4)=f(x)g(x)\),
所以函数\(f(x)g(x)\)为周期为\(4\)的函数
又\(f(1)=2-g(0)\),\(f(2)=2-g(1)=2\),\(f(3)=2-g(2)=2+g(0)\),
\(f(4)=2-g(3)=2\),
所以\(f(1)g(1)+f(2)g(2)+f(3)g(3)+f(4)g(4)=0+2g(2)+2g(4)=0\),
所以 \(\sum_{k=1}^{2021} f(k) g(k)=505[f(1) g(1)+f(2) g(2)+f(3) g(3)+f(4) g(4)]\)
\(+f(2021) g(2021) \sum_{k=1}^{2021} f(k) g(k)=f(1) g(1)=0\),\(D\)对,
故选\(AD\).