5.2.3 简单复合函数的导数
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[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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选择性第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
复合函数
对于两个函数\(y=f(u)\)和\(u=g(x)\)，若通过变量\(u\) ，\(y\) 可以表示成\(x\)的函数，则称这个函数为函数\(y=f(u)\)和\(u=f(x)\)的复合函数，记作\(y=f(g(x))\)．
【例】 函数 \(y=e^{2 x^2-1}\)可看成由\(y=e^u\)与\(u=2x^2-1\)复合而成的函数；
函数 \(y=\cos \left(2 x-\dfrac{\pi}{3}\right)\)可看成由\(y=\cos u\)与\(u=2 x-\dfrac{\pi}{3}\)复合而成的函数.
简单复合函数的导数
复合函数\(y=f(g(x))\)的导数与函数\(y=f(u)\) ，\(u=f(x)\)的导数间的关系是\(y_x^{\prime}=y_u^{\prime} \cdot u_x^{\prime}\)．
即\(y\)对\(x\)的导数等于\(y\)对\(u\)的导数与\(u\)对\(x\)的导数的乘积.
【例】 若\(f(x)=\ln(x^2+2x+3)\)，设\(y=\ln u\)，\(u=x^2+2x+3\)，
则 \(f^{\prime}(x)=(\ln u)^{\prime} \cdot\left(x^2+2 x+3\right)=\dfrac{1}{u} \cdot(2 x+2)=\dfrac{2 x+2}{x^2+2 x+3}\).
性质
(1)若函数\(y=f(x)\)为可导的偶函数，则\(y=f'(x)\)为奇函数；
(2) 若函数\(y=f(x)\)为可导的奇函数，则\(y=f'(x)\)为偶函数.
证明
(1) 方法1 若\(f(x)\)为可导的偶函数，则\(f(-x)=f(x)\)，
两边求导得\(-f' (-x)=f' (x)\)，所以\(y=f'(x)\)为奇函数；
方法2 \(g^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g[x+(-\Delta x)]-g(x)}{-\Delta x}，\)，
\(\because y=g(x)\)是偶函数，\(\therefore g[(-x)+Δx]-g(-x)=g(x-Δx)-g(x)\)
\(\therefore g^{\prime}(-x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g[(-x)+\Delta x]-g(-x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g(x-\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\)
\(=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}-\dfrac{g(x-\Delta x)-g(x)}{-\Delta x}=-\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{g[x+(-\Delta x)]-g(x)}{-\Delta x}=-g^{\prime}(x)\)，
\(\therefore g' (-x)=-g' (x)\)，所以\(y=f'(x)\)为奇函数.
(2) 类似(1)的证明.
基本方法
【题型1】 复合函数的导数
【典题1】 求下列函数的导数：
(1) \(y=\left(2 x^3-x+\dfrac{1}{x}\right)^4\)；\(\qquad \qquad\) (2) \(y=\sin ^2\left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)；\(\qquad \qquad\) (3) \(y=\sqrt{1+x^2}\)．
解析 (1) \(y^{\prime}=4\left(2 x^3-x+\dfrac{1}{x}\right)^3\left(6 x^2-1-\dfrac{1}{x^2}\right)\)；
(2) \(y^{\prime}=2 \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right) \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right) \cdot 2=2 \sin \left(4 x+\dfrac{2 \pi}{3}\right)\)；
(3) \(y^{\prime}=\dfrac{1}{2}\left(1+x^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\).
【巩固练习】
1.函数\(f(x)=\cos (x^2+x)\)导数是( )
A．\(-\sin (x^2+x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(-(2x+1)\sin (x^2+x)\)
C．\(-2x\sin (x^2+x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \quad\) D．\((2x+1)\sin (x^2+x)\)
2.函数\(y=4(2-x+3x^2 )^2\)的导数是( )
A．\(8(2-x+3x^2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2(-1+6x)^2\)
C．\(8(2-x+3x^2)(6x-1)\) \(\qquad \qquad \qquad \quad\) D．\(4(2-x+3x^2)(6x-1)\)
3.设\(f(x)=\ln (2x-1)\)，若\(f(x)\)在\(x_0\)处的导数\(f' (x_0 )=1\)，则\(x_0\)的值为( )
A. \(\dfrac{e+1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(\dfrac{3}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\dfrac{3}{4}\)
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 函数的导数为\(f' (x)=-\sin (x^2+x)⋅(x^2+x)'=-(2x+1)\sin (x^2+x)\)，故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 函数\(y=4(2-x+3x^2 )^2\)，
所以\(y'=8(2-x+3x^2 )⋅(-1+6x)=8(2-x+3x^2 )(6x-1)\)．
故选： \(C\)． -
答案 \(B\)
解析 由\(f(x)=\ln (2x-1)\)，得\(f^{\prime}(x)=\dfrac{2}{2 x-1}\)．
由\(f^{\prime}\left(x_0\right)=\dfrac{2}{2 x_0-1}=1\)，解得\(x_0=\dfrac{3}{2}\)．故选：\(B\)．
【题型2】 运用
【典题1】 若函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} \sin 2x+\sin x\)，则\(f' (x)\)是( )
A. 仅有最小值的奇函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B. 仅有最大值的偶函数
C. 既有最大值又有最小值的偶函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. 非奇非偶函数
解析 \(\because\)函数\(f(x)= \dfrac{1}{2} \sin 2x+\sin x\)，
\(\therefore f^{\prime}(x)=\cos 2 x+\cos x=2 \cos ^2 x+\cos x-1=2\left(\cos x+\dfrac{1}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\)，
当\(\cos x=- \dfrac{1}{4}\)时，\(f' (x)\)取得最小值 \(-\dfrac{9}{8}\)；当\(\cos x=1\)时，\(f' (x)\)取得最大值2．
且\(f' (-x)=f' (x)\)．即\(f' (x)\)是既有最大值，又有最小值的偶函数．
故选：\(C\)．
【典题2】 已知函数\(f(x)\)与\(g(x)\)的定义域均为R，\(f' (x)\)，\(g' (x)\)分别为\(f(x)\)，\(g(x)\)的导函数，\(f(x)+g' (x)=5\)，\(f(2-x)-g' (2+x)=5\)，若\(g(x)\)为奇函数，则下列等式一定成立的是( )
A.\(f(-2)=5\) \(\qquad \qquad\) B. \(g(x+4)=g(x)\) \(\qquad \qquad\) C.\(g' (8-x)=g' (x)\) \(\qquad \qquad\) D. \(f' (x+8)=f' (x)\)
解析 由 \(\left\{\begin{array}{l}
f(x)+g^{\prime}(x)=5 \\
f(2-x)-g^{\prime}(2+x)=5
\end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l}
f(2-x)+g^{\prime}(2-x)=5 \\
f(2-x)-g^{\prime}(2+x)=5
\end{array}\right.\)，
\(\therefore g' (2-x)=-g' (2+x)\)，
\(\therefore g' (x)\)关于\((2，0)\)中心对称，则\(g' (4+x)=-g' (-x)\)，
\(\because g(x)\)为奇函数，\(\therefore g(-x)=-g(x)\)，左右求导得: \(-g' (-x)=-g' (x)\)，
\(\therefore g' (x+8)=-g' (-(x+4))=-g' (x+4)=-[-g' (-x)]=g' (-x)=g' (x)\)，
\(\therefore g' (x)\)是周期为\(8\)的周期函数，
\(\therefore g' (8-x)=g' (x-8)=g' (x)\)，\(C\)正确，
\(\because f(x)+g' (x)=5，\therefore f(-2)+g' (-2)=5\)，
又\(g' (-2)=g' (2)=0\)，
\(\therefore f(-2)=5\)，\(A\)正确，
令 \(h(x)=g^{\prime}(x)\)，则\(h(x+8)=h(x)\)，\(\therefore h' (x+8)=h' (x)\)，
又\(h(x)=5-f(x)\)，\(h(x+8)=5-f(x+8)\)，\(\therefore -f' (x+8)=-f' (x)\)，
即\(f' (x+8)=f' (x)\)，\(D\)正确，
\(\because g' (x+4)=-g' (x)\)，\(\therefore g' (x+4)+g' (x)=0\)，
设\(F(x)=g(x+4)+g(x)\)，则\(F(x)=g' (x+4)+g' (x)=0\)，
\(\therefore F(x)=C(C∈R)\)，
又\(g(x)\)为奇函数，\(\therefore F(-2)=g(2)+g(-2)=0，\therefore F(x)=0\)，
即\(g(x+4)=-g(x)\)， \(B\)错误，
故选\(ACD\).
点拨 函数的周期性、对称性的常见结论
① 若\(f(x+a)=-f(x)\) ，则\(y=f(x)\)的周期是\(T=2a\)；
② 若 \(f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}\)，则\(y=f(x)\)的周期是\(T=2a\).
③ 若\(f(x+a)=f(b-x)\)， 则\(y=f(x)\)有对称轴 \(x=\dfrac{a+b}{2}\).
④ 若函数\(y=f(x)\)定义域为\(R\)，且满足条件\(f(a+x)+f(b-x)=c\)(\(a ，b ，c\)为常数)，则函数\(y=f(x)\)的图象关于点 \(\left(\dfrac{a+b}{2}， \dfrac{c}{2}\right)\)对称.
【巩固练习】
1.一个小球作简谐振动，其运动方程为 \(x(t)=2 \sin \left(\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，其中\(x(t)\)(单位: \(cm\))是小球相对于平衡点的位移，\(t\)(单位: \(s\)为运动时间，则小球在\(t=2\)时的瞬时速度为\(\underline{\quad \quad}\)\(cm/s\).
2.1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定末定式值的方法. 如： \(\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{(\sin x)^{\prime}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos x}{1}=1\)，按此方法则有\(\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}=\)\(\underline{\quad \quad}\).
3.已知函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f' (\dfrac{\pi}{3}) \sin 2x-\cos 2x\)，则\(f' (\dfrac{\pi}{3})=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
4.(多选)已知函数\(f(x)\)在\(R\)上有定义，记\(f' (x)\)为函数\(f(x)\)的导函数，又\(f(2x-1)\)是奇函数，则以下判断一定正确的有( )
A.\(f(4x-2)\)是奇函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(f(x-1)+f(3x-1)\)是奇函数
C. \(f(4x^2-2)\)是偶函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(f' (-5x-1)\)是偶函数
5.(多选)已知函数\(f(x)\)及其导函数\(f' (x)\)的定义域均为\(R\)，若\(f(2-x)\)， \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)\)均为奇函数，则( )
A.\(f(2)=0\) \(\qquad \qquad\) B. \(f' (1)=f' (0)\) \(\qquad \qquad\) C.\(f(3)=f(2)\) \(\qquad \qquad\) D. \(f' (2022)=-f' (-1)\)
参考答案
-
答案 \(π\)
解析 \(\because x^{\prime}(t)=2 \pi \cos \left(\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，
\(\therefore x^{\prime}(2)=2 \pi \cos \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \pi \cos \dfrac{\pi}{3}=\pi\)，
即小球在\(t=2\)时的瞬时速度为\(π cm/s\). -
答案 \(2\)
解析 由题意可得: \(\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left(\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}\right)^{\prime}}{(\sin x)^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}{\cos x}=2\). -
答案 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
解析 因为\(f(x)=f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+ \sin 2x-\cos 2x\)，
所以\(f' (x)=2f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos 2x+2\sin 2x\)，
则\(f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \cos \dfrac{2 \pi}{3}+2 \sin \dfrac{2 \pi}{3}=-f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\sqrt{3}\)，
即\(f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). -
答案 \(BCD\)
解析 若\(f(x)=x+1\)，则\(f(2x-1)=2x\)为奇函数，
而\(f(4x-2)=4x-1\)为非奇非偶函数，所以\(A\)选项错误，
由于\(f(2x-1)\)是奇函数，所以\(f(-2x-1)=-f(2x-1)\)，
对于函数\(f(x-1)+f(3x-1)\)，
\(f(-x-1)+f(-3x-1)=-f(x-1)-f(3x-1)=-[f(x-1)+f(3x-1)]\)，
所以\(f(x-1)+f(3x-1)\)是奇函数，\(B\)选项正确，
对于函数\(f(4x^2-2)\)，\(f(4(-x)^2-2)=f(4x^2-2)\)，
所以函数\(f(4x^2-2)\)是偶函数，\(C\)选项正确，
对于\(D\)选项，先证明奇函数的导数是偶函数，
若\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，则\(f(-x)=-f(x)\)，
两边求导得\([f(-x)]'=[-f(x)]'\)，即\(-f' (-x)=-f' (x)\)，
即\(f' (-x)=f' (x)\)，所以奇函数的导数是偶函数，
然后证明\(f(-5x-1)\)为奇函数，
由于\(f(5x-1)=-f(-5x-1)\)，所以\(f(-5x-1)\)为奇函数，
所以\(f' (-5x-1)\)是偶函数，\(D\)选项正确，
故选\(BCD\). -
答案 \(ACD\)
解析 因为若\(f(2-x)\)， \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)\)为奇函数，
所以\(f(2-x)=-f(2+x)\)， \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}+2 x\right)\)，
令\(x=0\)得\(f(2)=-f(2)\)， \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}\right)\)，
即 \(f(2)=0\)，\(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}\right)=0\)，\(A\)选项正确；
所以\(-f' (2-x)=-f' (2+x)\)，即\(f' (2-x)=f' (2+x)\)，
所以函数\(f' (x)\)关于\(x=2\)对称，\(\left(\dfrac{5}{2}， 0\right)\)对称，
所以\(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}+x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{3}{2}-x\right)\)，
即\(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{3}{2}-x\right)\)，
所以\(f' (x+1)=-f' (x)\) ，
所以\(f' (x+2)=-f' (x+1)=f' (x)\)，
即函数\(f' (x)\)为周期函数，周期为\(2\)，
所以\(f' (2022)=f' (0)=-f' (-1)\)，\(f' (1)=-f' (0)\)，
故\(D\)选项正确，\(B\)选项错误：
对于\(C\)选项，由 \(f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)=-f^{\prime}\left(\dfrac{5}{2}+2 x\right)\)可得 \(-\dfrac{1}{2} f\left(\dfrac{5}{2}-2 x\right)+C_1=-\dfrac{1}{2} f\left(\dfrac{5}{2}+2 x\right)+C_2\)，其中\(C_1\)，\(C_2\)为常数，
所以\(f\left(\dfrac{5}{2}\right)-2 C_1=f\left(\dfrac{5}{2}\right)-2 C_2\)，所以\(C_1=C_2\)，
故令\(x= \dfrac{1}{4}\)得\(f(2)-2C_1=f(3)-2C_2\)，
即\(f(2)=f(3)\)，故\(C\)选项正确，
故选\(ACD\).
分层练习
【A组---基础题】
1.已知\(f(x)=\cos 2x+e^{2x}\)，则\(f'(x)=\) ( )
A．\(-2\sin 2x+2e^{2x}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\sin 2x+e^{2x}\)
C．\(2\sin 2x+2e^{2x}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(-\sin 2x+e^{2x}\)
2.定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f'(x)-2f(x)=0\)(其中\(f'(x)\)为\(f(x)\)的导函数)，则这样的函数个数为( )
A.\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. 无数个
3.下列直线中，与曲线 \(y=x \mathrm{e}^{2 x-1}\)在点\((1，e)\)处的切线平行的直线是 ( )
A. \(y=2ex-1\) \(\qquad \qquad\) B. \(y=3ex+1\) \(\qquad \qquad\) C. \(y=2ex-e\) \(\qquad \qquad\) D. \(y=3ex-2e\)
4.已知函数\(f(x)\)及其导函数\(f' (x)\)的定义域都为\(R\)，且\(f(1-2x)\)为偶函数，\(f(x+2)\)为奇函数，则( )
A.\(f(1)=0\) \(\qquad \qquad\) B. \(f' (2)=0\) \(\qquad \qquad\) C. \(f' (2022)+f(2021)=0\) \(\qquad \qquad\) D. \(f(2022)+f' (2021)=0\)
5.已知函数\(f(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，则\(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\)等于 \(\underline{\quad \quad}\) .
6.已知函数\(f(x)=f' (0)\ln (2x+1)-2x+\cos x\)，则\(f' (0)=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
7.某铁球在\(0^∘ C\)时，半径为\(1dm\). 当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为\(t^∘ C\)时铁球的半径为\((1+at)dm\)，其中\(a\)为常数，则在\(t=0\)时，铁球体积对温度的瞬时变化率为\(\underline{\quad \quad}\) (参考公式: \(V_{\text {球 }}=\dfrac{4}{3} \pi R^3\) ).
8.若曲线 \(y=x \mathrm{e}^{a-x}+b x\)在\(x=2\)处的切线方程为\(y=(e-1)x+4\)，则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\)，\(b=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
9.设函数 \(f(x)=\cos (\sqrt{3} x+\varphi)\)，其中常数\(φ\)满足\(-π<φ<0\)，若函数\(g(x)=f(x)+f' (x)\)(其中\(f' (x)\)是函数\(f(x)\)的导数)是偶函数，则\(φ\)等于\(\underline{\quad \quad}\).
10.英国数学家泰勒发现了一个恒等式 \(\mathrm{e}^{2 x}=\sum_{i=0}^n a_i x^i\)，则 \(a_1+2a_2+3a_3+⋯+na_n=\) \(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(\because f(x)=\cos 2x+e^{2x}\)，\(\therefore f' (x)=-2\sin 2x+2e^{2x}\)．故选：\(A\)． -
答案 \(D\)
解析 \((e^{2x} )'=2e^{2x}\)，满足\(f' (x)-2f (x)=0\)，\(\therefore f(x)=e^{2x}\)，
\((ke^{2x} )'=2ke^{2x}\)，\(k\)为非零常数，也满足\(f^{\prime}(x)-2 f(x)=0\)，
\(\therefore\)满足\(f'(x)-2f(x)=0\)的函数有无数个，故选：\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 \(y^{\prime}=(x)^{\prime} \mathrm{e}^{2 x-1}+x\left(\mathrm{e}^{2 x-1}\right)^{\prime}=(2 x+1) \mathrm{e}^{2 x-1}\)，则\(\left.y\right|_{x=1}=3 e\)，
平行的直线的斜率为\(k=3e\)，排除\(A\)，\(C\)，
\(y=3ex-2e\)过切点\((1，e )\)，斜率为\(3e\)，
即\(y=3ex-2e\)为曲线 \(y=x \mathrm{e}^{2 x-1}\)在点\((1，e )\)处的切线，\(D\)错误；
\(y=3ex+1\)的斜率为\(3e\)，且不与\(y=3ex-2e\)重合，\(B\)正确
故选\(B\). -
答案 \(D\)
解析 由\(f(1-2x)\)为偶函数知，\(f(1-2x)=f(1+2x)\)，
即\(f(1-x)=f(1+x)\)，
即函数\(f(x)\)关于\(x=1\)对称， 则\(f(x)=f(2-x)\)，
由\(f(x+2)\)是奇函数知，\(f(x+2)=-f(-x+2)\)，
即函数\(f(x)\)关于点\((2，0)\)对称
则\(f(x)=-f(4-x)\)， 且\(f(2)=0\)，
所以\(f(2-x)=-f(4-x)\)，即\(f(x)=f(x+4)\)，
即函数\(f(x)\)的周期是\(4\)，
则\(f(2022)=f(2+505×4)=f(2)=0\)，
又\(f(1-2x)=f(1+2x)⇒[f(1-2x)]'=[f(1+2x)]'\)，
所以\(-2f' (1-2x)=2f' (1+2x)\)，则\(-f' (1-2x)=f' (1+2x)\)，
即\(-f' (1-x)=f' (1+x)\)，
所以\(f' (x)=-f' (2-x)\)，
即函数\(f' (x)\)关于点\((1，0)\)对称，且\(f' (1)=0\)，
由\(f(x)=f(x+4)⇒f' (x)=f' (x+4)\)，即导函数\(f' (x)\)的周期是\(4\)，
则\(f' (2021)=f' (1+505×4)=f' (1)=0\)，所以\(f' (2021)+f(2022)=0\)，
故选\(D\). -
答案 \(-2\)
解析 由 \(f(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，得 \(f^{\prime}(x)=2 \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，
所以 \(f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \cos \left(2 \times \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \cos \pi=-2\)． -
答案 \(2\)
解析 因为\(f(x)=f' (0)\ln (2x+1)-2x+\cos x\)，
所以 \(f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0) \times \dfrac{2}{2 x+1}-2-\sin x\)，
令\(x=0\)，\(f' (0)=f' (0)×2-2\)，解得\(f' (0)=2\). -
答案 \(4πa\)
解析 \(V_{\text {球 }}=\dfrac{4}{3} \pi R^3=\dfrac{4}{3} \pi(1+a t)^3\)，
则 \(V_{\text {球 }}=\dfrac{4}{3} \pi \times 3(1+a t)^2 \times a=4 \pi a(1+a t)^2\)，
则 \(\left.V_{\text {球 }}\right|_{t=0}=4 \pi a(1+a \times 0)^2=4 \pi a\)，
即在\(t=0\)时，铁球体积对温度的瞬时变化率为\(4πa\). -
答案 \(b=e\)，\(a=2\)
解析 因为 \(y=x \mathrm{e}^{a-x}+b x\)，所以 \(y=(1-x) \mathrm{e}^{a-x}+b\)，
又函数\(x=2\)处的切线方程为\(y=(e-1)x+4\) ，
所以 \(\left.y\right|_{x=2}=(1-2) \mathrm{e}^{a-2}+b=\mathrm{e}-1\)，且 \(2(\mathrm{e}-1)+4=2 \mathrm{e}^{x-2}+2 b\)
解得 \(b=e\)，\(a=2\). -
答案 \(-\dfrac{\pi}{3}\)
解析 由题意得 \(g(x)=f(x)+f^{\prime}(x)=\cos (\sqrt{3} x+\varphi)-\sqrt{3} \sin (\sqrt{3} x+\varphi)\)
\(=2 \cos \left(\sqrt{3} x+\varphi+\dfrac{\pi}{3}\right)\)，
\(\because\)函数 \(g(x)\)为偶函数，\(\therefore φ+\dfrac{\pi}{3}=kπ\)，\(k∈Z\)，
又\(-π<φ<0\)，\(\therefore φ=-\dfrac{\pi}{3}\). -
答案 \(2e^2\)
解析 由题意可知， \(\mathrm{e}^{2 x}=\sum_{i=0}^n a_i x^i=a_0+a_1 x^1+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4 \cdots+a_n x^n\)，
两边同时求导，得 \(2 e^{2 x}=a_1+2 a_2 \mathrm{x}+3 a_3 x^2+4 a_4 x^3 \cdots+n a_n x^{n-1}\)，
令\(x=1\)得，\(a_1+2a_2+3a_3+⋯+na_n=2e^2\).
【B组---提高题】
1.已知函数 \(f(x)=\dfrac{\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+x+1}{2+\cos x}\)，\(f' (x)\)为\(f(x)\)的导函数，则\(f(-2023)+f' (-2023)+f(2023)-f' (2023)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
2.(多选)已知函数\(f(x)\)，\(g(x)\)的定义域为 R，\(g' (x)\)为\(g(x)\)的导函数，且\(f(x)+g' (x)-5=0\)，\(f(x)-g' (4-x)-5=0\)，若\(g(x)\)为偶函数，则 ( )
A.\(f(4)=5\) \(\qquad \qquad\) B. \(g(2)=0\) \(\qquad \qquad\) C. \(f(-1)=f(-3)\) \(\qquad \qquad\) D. \(f(1)+f(3)=10\)
参考答案
-
答案 \(1\)
解析 \(f(x)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\dfrac{1}{2} \cos x+x+1}{2+\cos x}=\dfrac{\sqrt{3} \sin x+2 x}{4+2 \cos x}+\dfrac{1}{2}\)，其定义域为\(R\)，
令 \(g(x)=\dfrac{\sqrt{3} \sin x+2 x}{4+2 \cos x}\)，
显然 \(g(-x)=\dfrac{\sqrt{3} \sin (-x)+2(-x)}{4+2 \cos (-x)}=-\dfrac{\sqrt{3} \sin x+2 x}{4+2 \cos x}=-g(x)\)，
即函数\(g(x)\)是\(R\)上的奇函数
\(f(x)=g(x)+ \dfrac{1}{2}\)，
因此\(f(-x)+f(x)=g(-x)+ \dfrac{1}{2}+g(x)+ \dfrac{1}{2}=1\)，\(f(-2023)+f(2023)=1\)
由\(g(-x)=-g(x)\)两边求导得:\(-g' (-x)=-g' (x)\) ，
即 \(g' (-x)=g' (x)\)
而\(f' (x)=g' (x)\)，
于是得\(f' (x)-f' (-x)=g' (x)-g' (-x)=0\)，\(f' (-2023)-f' (2023)=0\)
所以\(f(-2023)+f' (-2023)+f(2023)-f' (2023)=1\). -
答案 \(AD\)
解析 \(g(x)\)是偶函数，则\(g(-x)=g(x)\)，两边求导得\(-g' (-x)=g' (x)\)，
所以\(g' (x)\)是奇函数，
由\(f(x)+g' (x)-5=0\)，\(f(x)-g' (4-x)-5=0\)，
得\(f(x)-5=-g' (x)=g(4-x)\)，即\(g' (-x)=g' (-x+4)\)，
所以\(g' (x)\)是周期函数，且周期为\(4\)，\(g' (0)=g' (4)=0\)，
在\(f(x)+g' (x)-5=0\)，\(f(x)-g' (4-x)-5=0\)中
令\(x=4\)得\(f(4)+g' (4)-5=0\)，\(f(4)=5\)，\(A\)正确，
没法求得\(g(2)\)的值，\(B\)错，
令\(x=-1\)得，\(f(-1)-g' (5)-5=0\)，\(g' (5)=g' (1)=-g' (-1)\)，
则\(f(-1)+g' (-1)-5=0\)，无法求得\(f(-1)\)，
同理令\(x=-3\)得，\(f(-3)+g' (-3)-5=0\)，\(g' (-3)=g' (1)=-g' (-1)\)，
因此\(f(-3)-g' (-1)-5=0\)，
相加得\(f(-1)+f(-3)=10\)，
只有在\(g' (-1)=0\)时，有\(f(-1)=f(-3)\)，
但\(g' (-1)\)不一定为\(0\)，因此\(C\)错 ，
在\(f(x)+g' (x)-5=0\)中令\(x=1\)得，\(f(1)+g(1)-5=0\)，
在\(f(x)-g' (4-x)-5=0\)中令\(x=3\)得，\(f(3)-g(1)-5=0\)，
两式相加得\(f(1)+f(3)-10=0\)，即\(f(1)+f(3)=10\)，\(D\)正确，
故选\(AD\).
【C组---拓展题】
1.(多选)设定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)与\(g(x)\)的导函数分别为\(f' (x)\)和\(g' (x)\)，若\(f(x+2)-g(1-x)=2\)，\(f' (x)=g' (x+1)\)，且\(g(x+1)\)为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )
A. \(g(1)=0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad\) B.函数\(g' (x)\)的图象关于\(x=2\)对称
C. \(\sum_{k=1}^{2022} g(k)=0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(\sum_{k=1}^{2021} f(k) g(k)=0\)
参考答案
- 答案 \(AD\)
解析 因为\(g(x+1)\)为奇函数，所以\(g(x+1)=-g(-x+1)\)，
取\(x=0\)可得\(g(1)=0\)，\(A\)对，
因为\(f(x+2)-g(1-x)=2\)，所以\(f' (x+2)+g' (1-x)=0\)，
所以\(f' (x)+g' (3-x)=0\)，又\(f' (x)=g' (x+1)\)，
\(g' (x+1)+g' (3-x)=0\)，故\(g' (2+x)+g' (2-x)=0\)，
所以函数\(g' (x)\)的图象关于点\((2，0)\)对称， \(B\)错，
因为\(f' (x)=g' (x+1)\)，所以\([f(x)-g(x+1)]'=0\)，
所以\(f(x)-g(x+1)=c\)， \(c\)为常数，
因为\(f(x+2)-g(1-x)=2\)，所以 \(f(x)-g(3-x)=2\)，
所以\(g(x+1)-g(3-x)=2-c\)，取\(x=1\)可得\(c=2\)，
所以\(g(x+1)=g(3-x)\)，又\(g(x+1)=-g(-x+1)\)，
所以\(g(3-x)=-g(-x+1)\)， 所以\(g(x)=-g(x-2)\)，
所以\(g(x+4)=-g(x+2)=g(x)\)，故函数\(g(x)\)为周期为\(4\)的函数，
因为\(g(x+2)=-g(x)\)，所以\(g(3)=-g(1)=0，g(4)=-g(2)\).
所以\(g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0\)，
所以 \(\sum_{k=1}^{2022} g(k)=[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+[g(5)+g(6)+g(7)+g(8)]+\cdots\)
\(+[g(2017)+g(2018)+g(2019)+g(2020)]+g(2021)+g(2022)\)
所以 \(\sum_{k=1}^{2022} g(k)=505 \times 0+g(2021)+g(2022)=g(1)+g(2)=g(2)\)
由已知无法确定\(g(2)\)的值，故 \(\sum_{k=1}^{2022} g(k)\)的值不一定为 \(0\)，\(C\)错
因为\(f(x+2)-g(1-x)=2\)，
所以\(f(x+2)=2-g(x+1)\)，\(f(x+6)=2-g(x+5)\)
所以\(f(x+2)=f(x+6)\)，故函数\(f(x)\))为周期为\(4\)的函数，
\(f(x+4)g(x+4)=f(x)g(x)\)，
所以函数\(f(x)g(x)\)为周期为\(4\)的函数
又\(f(1)=2-g(0)\)，\(f(2)=2-g(1)=2\)，\(f(3)=2-g(2)=2+g(0)\)，
\(f(4)=2-g(3)=2\)，
所以\(f(1)g(1)+f(2)g(2)+f(3)g(3)+f(4)g(4)=0+2g(2)+2g(4)=0\)，
所以 \(\sum_{k=1}^{2021} f(k) g(k)=505[f(1) g(1)+f(2) g(2)+f(3) g(3)+f(4) g(4)]\)
\(+f(2021) g(2021) \sum_{k=1}^{2021} f(k) g(k)=f(1) g(1)=0\)，\(D\)对，
故选\(AD\).
