4.3.1 等比数列的概念1(概念、通项公式)
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[ 【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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基础知识
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比，记为\(q\).
代数形式： \(\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q\)\(( q\)是常数，\(n≥2)\) 或 \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\)\(( q\)是常数，\(n∈ N^* )\)
解释
(1) 公比是每一项与它的前一项的比，常数指的是与\(n\)无关;
(2) 等比数列中\(a_n≠0\) ，\(q≠0\)(否则数列会出现\(0\)，不可能符合等边数列定义)；
(3) \(\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=2(n \geq 2) \Rightarrow\left\{a_n\right\}\)是公比为\(2\)的等比数列；
\(\qquad\)\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=-3 \Rightarrow\left\{a_n\right\}\)是公比为\(-3\)的等比数列；
\(\qquad\)\(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=4 n \Rightarrow\left\{a_n\right\}\)不是等比数列.
【例】 以下数列是等比数列的\(\underline{\quad \quad}\).
(1)\(2，4，8，16\)；\(\qquad \qquad\) (2)\(a，a，a，a\)；\(\qquad \qquad\) (3)数列\(\{a_n \}\)满足 \(\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=-2(n \geq 2)\).
答案 (1)(3).当\(a=0\)时，(2)不是等比数列
等比中项
若\(a\)，\(b\) ，\(c\)成等比数列，则\(b\)称\(a\)与\(c\)的等差中项，则\(b^2=ac\)；
证明 若\(a\)，\(b\) ，\(c\)成等比数列，由等比数列的定义可得\(\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}\)，即\(b^2=ac\).
【例】 若\(2x\)是\(1\)与\(x+3\)的等比中项，则\(x=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
解 依题意得\(4x^2=1\cdot (x+3)\)，解得\(x=1\)或 \(-\dfrac{3}{4}\).
通项公式
等比数列\(\{a_n \}\)的首项为\(a_1\)，公比为\(q\)，则\(a_n=a_1 q^{n-1}\).(由定义与累乘法可得)
解释
(1) 证明 由等比数列的定义可得， \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q\)，
所以\(\dfrac{a_2}{a_1}=q\)， \(\dfrac{a_3}{a_2}=q\)， \(\dfrac{a_4}{a_3}=q\)，\(…\)\(\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q(n \geq 2)\)，
把以上\(n-1\)个等式累乘可得\(\dfrac{a_n}{a_1}=q^{n-1}(n \geq 2)\)，即\(a_n=a_1 q^{n-1} (n≥2)\)，
当\(n=1\)时，\(a_1=a_1 q^0=a_1 q^{1-1}\)，即当\(n=1\)时上式也成立，
故\(a_n=a_1 q^{n-1} (n∈N^*)\).
以上的方法称之为累乘法 .
(2) 通项公式\(a_n=a_1 q^{n-1}\)告诉你：已知等比数列的首项\(a_1\)与公比\(q\)可求得任何一项
(3)等比数列的通项公式可整理为\(a_n=a_1 q^{n-1}=\dfrac{a_1}{q} \cdot q^n\)，当\(q>0\)，且\(q≠1\)时，可以看成\(n\)的指数函数型函数.
比如等比数列\(\{2^n\}\)的各点都在指数函数\(y=2^x\)上.
(4)偶数项的正负、奇数项的正负相同(\(\dfrac{a_{2 n}}{a_{2(n-1)}}= q^2>0\)，故\(a_{2n}\)，\(a_{2(n-1)}\)同号，即偶数项的正负相同；奇数项同理).
【例1】 若\(-1\) ，\(b_1\) ，\(b_2\) ，\(b_3\)，\(-4\)成等比数列，则\(b_2=\)\(\underline{\quad \quad}\).
解：\(b_2^2=-1×(-4)=4⇒b_2=±2\)，而\(b_2=-1\cdot q^2<0\)，故\(b_2=-2\).
(\(b_2\)与\(-1\) ，\(-4\)均是奇数项，符号相同\()\)
【例2】 等比数列\(\{a_n \}\)中，\(a_1=2\)，\(q=3\)，则\(a_n\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
答案 \(2×3^{n-1}\)
证明一个数列是等比数列的方法
① 定义法： \(\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q\)\(( q\)是常数，\(n≥2)⇒\{a_n\}\)是等比数列；
② 中项法：\(a_{n+1}^2=a_n a_{n+2} (a_n≠ 0 ，n∈ N^*)⇒\{a_n\}\)是等比数列；
③ 通项公式法：若数列的通项公式是形如\(a_n=k\cdot q^n\) \((k ，q\)是不为\(0\)常数\()\)， 则数列\(\{a_n \}\)是等比数列.
基本方法
【题型1】等比数列的判定和证明
【典题1】 (多选)已知数列\(\{a_n \}\)是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )
A．\(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(\{ \log_2a_n \}\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(\{a_n\cdot a_{n+1}\}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(\{a_n+a_{n+1}+a_{n+2}\}\)
解析 由题意，可设等比数列\(\{a_n \}\)的公比为\(q(q≠0)\)，则\(a_n=a_1 q^{n-1}\)．
对于\(A\)： \(\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{a_1 q^{n-1}}=\dfrac{1}{a_1}\left(\dfrac{1}{q}\right)^{n-1}\)．
\(\therefore\)数列 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)是一个以 \(\dfrac{1}{a_1}\)为首项， \(\dfrac{1}{q}\)为公比的等比数列；
对于\(B\)： \(\log _2 a_n=\log _2\left(a_1 q^{n-1}\right)=\log _2 a_1+(n-1) \log _2 q\)．
\(\therefore\)数列\(\{ \log_2a_n \}\)是一个以\(\log_2a_1\)为首项，\(\log_2q\)为公差的等差数列；
对于\(C\)： \(\because \dfrac{a_{n+1} \cdot a_{n+2}}{a_n \cdot a_{n+1}}=\dfrac{a_{n+2}}{a_n}=\dfrac{a_1 \cdot q^{n+1}}{a_1 \cdot q^{n-1}}=q^2\)，
\(\therefore\)数列\(\{a_n a_{n+1}\}\)是一个以\(q^2\)为公比的等比数列；
对于\(D\)： \(\because \dfrac{a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}}{a_n+a_{n+1}+a_{n+2}}=\dfrac{q\left(a_n+a_{n+1}+a_{n+2}\right)}{a_n+a_{n+1}+a_{n+2}}=q\)，
\(\therefore\)数列\(\{a_n+a_{n+1}+a_{n+2}\}\)是一个以\(q\)为公比的等比数列．
故选：\(ACD\)．
点拨 证明\(\{a_n \}\)是等比数列常见的方法是定义法： \(\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q\)\(( q\)是常数，\(n≥2)\)；
选择题也可采取排除法，检验前三项是否成等比数列.
【典题2】已知数列\(\{a_n \}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足 \(S_n=\dfrac{3}{2} a_n+b\)\(\left(n \in N^*， b \in R， b \neq 0\right)\)．
(1)求证：\(\{a_n \}\)是等比数列；\(\qquad \qquad\) (2)求证：\(\{a_n+1\}\)不是等比数列．
证明 (1)因为 \(S_n=\dfrac{3}{2} a_n+b\)，所以当\(n≥2\)时 \(S_{n-1}=\dfrac{3}{2} a_{n-1}+b\)，
两式相减得 \(S_n-S_{n-1}=\dfrac{3}{2} a_n+b-\dfrac{3}{2} a_{n-1}-b\)，
\(\therefore a_n=\dfrac{3}{2} a_n-\dfrac{3}{2} a_{n-1}\)，
\(\therefore a_n=3a_{n-1}\)，
故\(\{a_n \}\)是公比为\(q=3\)的等比数列．
(2)假设：\(\{a_n+1\}\)是等比数列，则有：\((a_n+1)^2=(a_{n+1}+1)( a_{n-1}+1)\)，
即：\(a_n^2+2a_n+1=a_{n+1} a_{n-1}+a_{n+1}+a_{n-1}+1\)，
由(1)知\(\{a_n \}\)是等比数列，所以\(a_n^2=a_{n+1} a_{n-1}\)，
于是\(2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}\)，即\(6a_n=a_{n-1}+9a_{n-1}\)，解得\(a_{n-1}=0\)，
这与\(\{a_n \}\)是等比数列相矛盾，
故假设错误，即：\(\{a_n+1\}\)不是等比数列．
【巩固练习】
1.根据下列通项能判断数列为等比数列的是( )
A．\(a_n=n\) \(\qquad \qquad \qquad\) B． \(a_n=\sqrt{n}\) \(\qquad \qquad \qquad\) C．\(a_n=2^{-n}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D．\(a_n= \log_2n\)
2.已知数列\(\{a_n \}\)是等比数列，则下列数列中：①\(\{a_n^3\}\)；②\(\{2^{a_n}\}\)；③ \(\left\{\dfrac{1}{2 a_n}\right\}\)，等比数列的个数是( )
A．\(0\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(3\)个
3.已知数列\(\{a_n \}\)满足\(\lga_n=3n+5\)，求证：\(\{a_n \}\)是等比数列．
4.已知数列\(\{a_n \}\)满足\(a_1=1\)，\(2a_{n+1}=3a_n+1\)．证明：\(\{a_n+1\}\)是等比数列.
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 在\(A\)中，\(a_n=n\)是等差数列，不是等比数列，故\(A\)错误；
在\(B\)中， \(a_n=\sqrt{n}\)既不是等差数列，又不是等比数列，故\(B\)错误；
在\(C\)中，\(a_n=2^{-n}\)是等比数列，故\(C\)正确；
在\(D\)中，\(a_n= \log_2n\)既不是等差数列，又不是等比数列，故\(D\)错误．
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 \(\because\)数列\(\{a_n \}\)是等比数列，设公比为\(q\)，则\(q\)为常数．
则 \(a_n^3=a_1^3 q^{3 n-3}\)，则 \(\dfrac{a_{n+1^3}}{a_n^3}=q^3\)，为常数，故：①\(\{a_n^3\}\)为等比数列．
\(\because \dfrac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_n}}=2^{a_{n+1}-a_n}\)，不是常数，故② \(\{2^{a_n}\}\)不是等比数列．
\(\because \dfrac{\frac{1}{2 a_{n+1}}}{\frac{1}{2 a_n}}=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{q}，\)，为常数，故③ \(\left\{\dfrac{1}{2 a_n}\right\}\)为等比数列，
故选：\(C\)． -
证明 \(\because \lg a_n=3 n+5\)， \(\therefore a_n=10^{3 n+5}\).
\(\therefore a_{n+1}=10^{3(n+1)+5}=10^{3 \mathrm{n}+8}\).
\(\therefore \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{10^{3 n+8}}{10^{3 n+5}}=1000\).
\(\therefore\) 数列\(\{a_n \}\)是等比数列． -
证明 由\(2a_{n+1}=3a_n+1\)，得\(a_{n+1}=\dfrac{3}{2} a_n+\dfrac{1}{2}\)，即\(a_{n+1}+1=\dfrac{3}{2}\left(a_n+1\right)\)，
故\(\dfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=\dfrac{3}{2}\)．
又\(a_1+1=2\)，
所以\(\{a_n+1\}\)是首项为\(2\)，公比为 \(\dfrac{3}{2}\)的等比数列．
【题型2】 等比数列的通项公式
【典题1】 在等比数列\(\{a_n \}\)中，\(a_5-a_1=15\)，\(a_4-a_2=6\)，则\(a_3=\)( )
A．\(-4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(-4\)或\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(-8\)或\(8\)
解析 设等比数列的公比为\(q\)，则
\(\because a_5-a_1=15\)，\(a_4-a_2=6\)，
\(\therefore\left\{\begin{array} { l }
{ a _ { 1 } q ^ { 4 } - a _ { 1 } = 1 5 } \\
{ a _ { 1 } q ^ { 3 } - a _ { 1 } q = 6 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array} { c }
{ a _ { 1 } ( q ^ { 4 } - 1 ) = 1 5 } \\
{ a _ { 1 } ( q ^ { 3 } - q ) = 6 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}
a_1\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)=15 \\
a_1 q\left(q^2-1\right)=6
\end{array}\right.\right.\right.\)，
\(\therefore q^2+1=\dfrac{5}{2} q\)， \(\therefore q=2\)或 \(q=\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore a_1=1\)或\(a_1=-16\)，\(\therefore a_3=±4\)，
故选：\(C\)．
点拨 本题采取基本量法，\(a_1\)，\(q\)是等比数列的基本量，在等比数列中遇到\(a_n\)采取通项公式 \(a_n=a_1q^{n-1}\)；
由通项公式由已知条件得到关于\(a_1\)，\(q\)的方程组，再通过因式分解消元解方程.
【典题2】已知数列\(\{a_n \}\)中，\(a_1=7\)，\(a_3=1\)，若 \(\left\{\dfrac{1}{a_n+1}\right\}\)是等比数列，则\(a_{11}\)等于( )
A．\(-\dfrac{31}{32}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(-\dfrac{63}{64}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(-\dfrac{127}{128}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(-\dfrac{255}{256}\)
解析 设等比数列 \(\left\{\dfrac{1}{a_n+1}\right\}\)的公比为\(q\)，\(a_1=7\)，\(a_3=1\)，
则 \(\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{1+7} \cdot q^2\)，解得\(q^2=4\)．
\(\therefore \dfrac{1}{a_{11}+1}=\dfrac{1}{a_1+1} \cdot q^{10}=\dfrac{1}{8} \times 2^{10}=2^7=128\)，解得\(a_{11}=-\dfrac{127}{128}\)，
故选：\(C\).
【巩固练习】
1.已知数列\(\{a_n \}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n (n∈N^* )\)，则\(a_4=\)( )
A.\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(2\)
2.设\(\{a_n \}\)是等比数列，下列结论中不正确的是( )
A．若\(a_1 a_2>0\)，则\(a_2 a_3>0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．若\(a_1+a_3<0\)，则\(a_5<0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)
C．若\(a_1 a_2<0\)，则\(a_1 a_5<0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．若\(0<a_1<a_2\)，则\(a_1+a_3>2a_2\)
3.已知\(-1\)，\(a_1，\)\(a_2\)，\(-4\)成等差数列，且\(-1\)，\(b_1\)，\(b_2\)，\(b_3\)，\(-4\)成等比数列，则 \(\dfrac{a_1+a_2}{b_2}\) 的值为\(\underline{\quad \quad}\).
4.\(\{a_n \}\)是各项均为正数的等差数列，\(\{b_n\}\)是等比数列，已知\(\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=1\)， \(\dfrac{a_3}{b_3}=\dfrac{8}{9}\)，那么 \(\dfrac{a_4}{b_4}=\)\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 因为\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n (n∈N^* )\)，
所以 \(\dfrac{a_n+1}{a_n}=2\)，即数列\(\{a_n \}\)是以\(1\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，
所以\(a_n=2^{n-1}\)，可得\(a_4=2^3=8\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 设等比数列\(\{a_n \}\)的公比为\(q\)，
\(A\)．\(\because a_1 a_2>0\)，\(\therefore a_1^2 q>0\)，\(\therefore q>0\)，则\(a_2 a_3=a_1^2 q^3>0\)，正确．
\(B\)．\(\because a_1+a_3<0\)，\(\therefore a_1 (1+q^2)<0\)，\(\therefore a_1<0\)，则\(a_5=a_1 q^4<0\)，正确．
\(C\)．\(\because a_1 a_2<0\)，\(\therefore a_1^2 q<0\)，\(\therefore q<0\)，则\(a_1 a_5=a_1^2 q^4>0\)，因此不正确．
\(D\)．\(\because 0<a_1<a_2\)，\(\therefore 0<a_1<a_1 q\)，\(\therefore a_1>0\)，\(q>0\)，\(q≠1\)．
则\(a_1+a_3=a_1 (1+q^2)>2a_1 q=2a_2\)，正确．
故选：\(C\)． -
答案 \(\dfrac{5}{2}\)
解析 以题意得\(a_1+a_2=-1+(-4)=-5\)，\(b^2=-1×(-4)=4⇒b=±2\)，
因\(-1\)，\(b_1\)，\(b_2\)成等比数列，\(\therefore b_1^2=-b_2>0⇒b_2<0\)，
\(\therefore b_2=-2\)，则 \(\dfrac{a_1+a_2}{b_2}=\dfrac{5}{2}\). -
答案 \(\dfrac{20}{27}\)
解析 设等差数列\(\{a_n \}\)的公差为\(d\)，等比数列\(\{b_n\}\)的公比为\(q\)，
则\(a_1+d=a_1 q\)，\(9(a_1+2d)=8a_1 q^2\)，
联立可得\(8q^2-18q+9=0\)，解得： \(q=\dfrac{3}{2}\)或 \(q=\dfrac{3}{4}\)．
\(\because \{a_n\}\)是各项均为正数，则\(d>0\)，\(\therefore q>1\)，则 \(q=\dfrac{3}{2}\)，
\(\therefore b_4=a_1 \times\left(\dfrac{3}{2}\right)^3=\dfrac{27}{8} a_1\)， \(\therefore \dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{3}{2} a_1\)，
则\(d=\dfrac{3}{2} a_1-a_1=\dfrac{1}{2} a_1\)，
\(\therefore a_4=a_1+3 d=\dfrac{5}{2} a\)， \(\therefore \dfrac{a_4}{b_4}=\dfrac{\frac{5}{2} a_1}{\frac{27}{8} a_1}=\dfrac{20}{27}\)．
【题型3】应用问题
【典题1】 某工厂\(2022\)年\(1\)月的生产总值为\(a\)万元，计划从\(2022\)年\(2\)月起，每个月生产总值比上一个月增长\(m\%\)，那么到\(2023\)年\(8\)月底该厂的生产总值为多少万元？
解析 设从\(2022\)年\(1\)月开始，第\(n\)个月该厂的生产总值是\(a_n\)万元，则\(a_{n+1}=a_n+a_n m\%\)，
\(\therefore \dfrac{a_{n+1}}{a_n}= 1+m\%\)，
\(\therefore\)数列\(\{a_n \}\)是首项\(a_1=a\)，公比\(q=1+m\%\)的等比数列．
\(\therefore a_n=a\left(1+m\%\right)^{n-1}\).
\(\therefore 2023\)年\(8\)月底该厂的生产总值为 \(a_{20}=a(1+m \%)^{20-1}=a(1+m \%)^{19}\) (万元)．
【典题2】已知数列\(\{a_n \}\)满足\(S_n=n-a_n\)．
(1)求证：数列\(\{a_n-1\}\)是等比数列；\(\qquad \qquad\) (2)求\(a_n\)．
解析 (1)证明：\(\because\) 数列\(\{a_n \}\)满足\(S_n=n-a_n\)．
\(\therefore S_{n+1}=n+1-a_{n+1}\)，两式相减可得\(S_{n+1}-S_n={n+1}-n-a_{n+1}+a_n\)，
\(\therefore a_{n+1}=1-a_{n+1}+a_n\)， \(\therefore a_{n+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} a_n，\)，
\(\therefore \dfrac{a_{n+1}-1}{a_n-1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} a_n-1}{a_n-1}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(a_n-1\right)}{a_n-1}=\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore\) 数列\(\{a_n-1\}\)是\(\dfrac{1}{2}\)为公比的等比数列；
(2)由(1)可得数列\(\{a_n-1\}\)是\(\dfrac{1}{2}\)为公比的等比数列，
由\(S_n=n-a_n\)可得\(a_1=S_1=1-a_1\)，解得\(a_1=\dfrac{1}{2}\)，
故\(a_1-1=-\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore a_n-1=\dfrac{1}{2}×\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)，
\(\therefore a_n=1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)．
【巩固练习】
1.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共\(8\)层，它们构成一幅优美的图案．各层浮雕数成等比数列，第二层浮雕数为\(6\)，第\(5\)层浮雕数为\(48\)，则第\(7\)层浮雕数为( )
A.\(96\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(128\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(192\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(384\)
2.我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根\(9\)节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，最上面\(3\)节的容积之积为\(3\)升，最下面\(3\)节的容积之积为\(243\)升，则第\(5\)节的容积是\(\underline{\quad \quad}\)升.
3.已知等比数列\(\{a_n \}\)的各项均为正数，且\(a_1>1\)，前\(n\)项之积为\(T_n\)，设 \(T_{10}=T_{20}\)，
(1)当\(n\)为何值时，\(T_n\)最大？
(2)是否存在自然数\(n\)，使得\(T_n=1\)？
4.在数列\(\{a_n \}\)中．已知\(a_1=2\)， \(a_{n+1}=\dfrac{2 a_n}{a_n+1}\)．
(1)求证： \(\left\{\dfrac{1}{a_n}-1\right\}\)是等比数列，
(2)若对任意\(n∈N_+\)，\(a_n>m\)恒成立，求\(m\)的最大值．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 设第\(2\)层浮雕数为\(a_2\)，第\(5\)层浮雕数为\(a_5\)，公比为\(q\)，
则\(a_2=6\)，\(a_5=48\)，
\(\because\)各层浮雕数成等比数列，
\(\therefore 48=6×q^3\)，\(\therefore q=2\)，
\(\therefore\) 第\(7\)层浮雕数为\(a_7=a_5⋅q^2=48×4=192\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(3\)
解析 设第\(n(n≤9，n∈N^* )\)节的容积为\(a_n\)，则\(\{a_n \}\)是等比数列，
\(\because\)最上面\(3\)节的容积之积为\(3\)升，最下面\(3\)节的容积之积为\(243\)升，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} a_1 \cdot a_1 q^{\prime} a_1 q^2=3 \\ a_1 q^6 \cdot a_1 q^7 \cdot a_1 q^8=243 \end{array}\right.\)，解得 \(a_1 q=3^{\frac{1}{3}}\)， \(q^3=9^{\frac{1}{3}}\)，
\(\therefore\)第\(5\)节的容积 \(a_5=a_1 q^4=a_1 q \cdot q^3=3^{\frac{1}{3}} \cdot 9^{\frac{1}{3}}=3\)(升). -
答案 (1) 当\(n=10\)时，\(T_n\)最大 ；(2) 当\(n=20\)时，\(T_{20}=1\)．
解析 (1)设等比数列\(\{a_n \}\)的公比为\(q>0\)，且\(a_1>1\)，\(\because T_{10}=T_{20}\)，
\(\therefore a_{11} a_{12} \cdot \ldots \cdot a_{20}=1\)，
\(\therefore a_1^{10} q^{10+11+\cdots+19}=a_1^{10} q^{145}=1\)，
\(\therefore a_1^2 q^{19}=1\)．
\(\therefore T_n=a_1^n \cdot q^{1+2+\cdots+(n-1)}=a_1^n q^{\frac{n(n-1)}{2}}=a_1^{\frac{n(20-n)}{19}}\)．
可知：当\(n=10\)时，指数\(\dfrac{n(20-n)}{19}\)取得最大值 \(\dfrac{100}{19}\)，
\(\therefore\) 当\(n=10\)时，\(T_n\)最大．
(2)由 \(T_n=a_1^{\frac{n(20-n)}{19}}\)，可知：当\(n=20\)时，\(T_{20}=1\)． -
答案 (1)略 ；(2) \(1\) .
解析 证明：(1)\(\because a_1=2\)， \(a_{n+1}=\dfrac{2 a_n}{a_n+1}\)，
\(\therefore a_n>0\)恒成立；\(a_{n+1} a_n+a_{n+1}=2a_n\)，
\(\therefore 1+\dfrac{1}{a_n}=2 \dfrac{1}{a_{n+1}}\) ，
\(\therefore \dfrac{1}{a_n}-1=2\left(\dfrac{1}{a_{n+1}}-1\right)\)，
\(\therefore \dfrac{1}{a_{n+1}}-1=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a_n}-1\right)\)，
又 \(\because \dfrac{1}{a_1}-1=-\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore\left\{\dfrac{1}{a_n}-1\right\}\)是以\(-\dfrac{1}{2}\)为首项，\(\dfrac{1}{2}\)为公比的等比数列；
(2) \(\therefore\left\{\dfrac{1}{a_n}-1\right\}\)是以\(-\dfrac{1}{2}\)为首项，\(\dfrac{1}{2}\)为公比的等比数列，
\(\therefore \dfrac{1}{a_n}-1=-\dfrac{1}{2} \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\)，
\(\therefore a_n=\dfrac{2^n}{2^n-1}=1+\dfrac{1}{2^n-1}\)，
\(\therefore\)数列\(\{a_n \}\)是递减数列，且当\(n→+∞\)时，\(a_n→1\)；
\(\therefore a_n>1\)恒成立，
\(\therefore m\)的最大值为\(1\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.在等比数列\(\{a_n \}\)中，已知\(a_1=\dfrac{9}{8}\)，\(a_n=\dfrac{1}{3}\)，\(q=\dfrac{2}{3}\)，则\(n\)的值为( )
A.\(3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(6\)
2.在等比数列\(\{a_n \}\)中，已知\(a_1=2\)，\(a_1-a_3+a_5=26\)，则\(a_3=\)( )
A.\(20\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(12\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(4\)
3.已知数列\(\{a_n \}\)是等比数列，下列四个命题中不正确的命题有( )
A．数列\(\{|a_n |\}\)是等比数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．数列\(\{a_n a_{n+1}\}\)是等比数列
C．数列 \(\left\{\dfrac{1}{a_n}\right\}\)是等比数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．数列\(\{\lg a_n^2\}\)是等比数列
4.标准对数视力表采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表由\(14\)行开口方向各异的正方形\(“E”\)形视标所组成，从上到下分别对应视力\(4.0，4.1，…，5.2，5.3\)，且从第一行开始往下，每一行\(“E”\)形视标边长都是下一行\(“E”\)形视标边长的\(\sqrt[10]{10}\)倍，若视力\(4.1\)的视标边长为\(a\)，则视力\(4.9\)的视标边长为( )
A. \(10^{\frac{2}{5}} a\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(10^{-\frac{2}{5}} a\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(10^{\frac{4}{5}} a\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(10^{-\frac{4}{5}} a\)
5.(多选)已知等比数列\(\{a_n \}\)中，满足\(a_1=1\)，公比\(q=-2\)，则( )
A．数列\(\{2a_n+a_{n+1}\}\)是等比数列 \(\qquad \qquad \qquad \quad\) B．数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)是等比数列
C．数列\(\{a_n a_{n+1}\}\)是等比数列 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．数列\(\{ \log_2|a_n |\}\)是递减数列
6.一批设备价值\(a\)万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低\(b\%\)，则\(n\)年后这批设备的价值为\(\underline{\quad \quad}\) .
7.设公差不为零的等差数列\(\{a_n \}\)满足\(a_3=7\)，且\(a_1-1\)，\(a_2－1\)，\(a_4-1\)成等比数列，则\(a_{10}\)等于\(\underline{\quad \quad}\).
8.\(△ABC\)，若\(\sin A\)，\(\cos \dfrac{B}{2}\)，\(\sin C\)成等比数列，则\(△ABC\)的形状为\(\underline{\quad \quad}\).
9.已知数列\(\{a_n \}\)中，\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，\((n∈N^*)\)．求证：数列\(\{a_n+1\}\)是等比数列.
10.已知等比数列\(\{a_n \}\)， \(a_1 a_2=-\dfrac{1}{2}\)， \(a_3=\dfrac{1}{4}\)．
(1)求数列\(\{a_n \}\)的通项公式；
(2)证明：对任意\(k∈N^*\)，\(a_k\)，\(a_{k+2}\)， \(a_{k+1}\)成等差数列．
11.数列\(\{a_n \}\)满足 \(a_{n+1}=\dfrac{1}{2} a_n+1\)，\(a_1=1\)，若\(b_n=a_n-2\)．
(1)求证：数列\(\{b_n \}\)是等比数列；\(\qquad \qquad\) (2)求数列\(\{a_n \}\)的通项公式．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(\because\)在等比数列\(\{a_n \}\)中，已知 \(a_1=\dfrac{9}{8}\)， \(a_n=\dfrac{1}{3}\)， \(q=\dfrac{2}{3}\)，
\(\therefore a_n=\dfrac{9}{8} \times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{3}\)， \(\therefore\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{8}{27}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\)，
\(\therefore n-1=3\)，可得\(n=4\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 根据题意，设等比数列\(\{a_n \}\)的公比为\(q\)，
已知\(a_1=2\)，\(a_1-a_3+a_5=26\)，
则有\(a_1-a_3+a_5=a_1-a_1 q^2+a_1 q^4=2(1-q^2+q^4 )=26\)，
解得\(q^2=4\)或\(-3\)(舍)，
所以\(a_3=a_1 q^2=8\)，
故选：\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 由\(\{a_n \}\)是等比数列可得 \(\dfrac{a_n}{a_{n-1}}=q\)\((q\)为常数，\(q≠0)\)，
\(\dfrac{\left|a_n\right|}{\left|a_{n-1}\right|}=\left|\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\right|=|q|\)为常数，故是等比数列；\(A\)正确．
\(\dfrac{a_n a_{n+1}}{a_{n-1} a_n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n-1}}=q^2\)为常数，故是等比数列；\(B\)正确．
\(\dfrac{\frac{1}{a_n}}{\frac{1}{a_{n-1}}}=\dfrac{a_{n-1}}{a_n}=\dfrac{1}{q}\)常数，故是等比数列；\(C\)正确．
数列\(a_n=1\)是等比数列，但是\(\lg a_n^2=0\)不是等比数列；\(D\)不正确．
故选：\(D\)． -
答案 \(D\)
解析 根据题意可知视际边长从上到下是以 \(\sqrt[10]{10}\)为公比的等比数列，
记视力\(4.1\)的视标边长为\(a_1=a\)，
则视力\(4.9\)的视标边长为 \(a_9=a \cdot\left(10^{-\frac{1}{10}}\right)^8=10^{-\frac{4}{5}} a\).
故选：\(D\)． -
答案 \(BC\)
解析 \(\because\) 等比数列\(\{a_n \}\)中，满足\(a_1=1\)，公比\(q=-2\)，
\(\therefore a_n=1×(-2)^{n-1}=(-2)^{n-1}\)．
由此可得\(2a_n+a_{n+1}=2(-2)^{n-1}+(-2)^n=0\)，故\(A\)错误；
\(a_{n+1}-a_n=(-2)^n-(-2)^{n-1}=-3(-2)^{n-1}\)，
故数列\(\{a_{n+1}-a_n\}\)是等比数列，故\(B\)正确；
\(a_n a_{n+1}=(-2)^{n-1} (-2)^n=(-2)^{2n-1}\)，故数列\(\{a_n a_{n+1}\}\)是等比数列，故\(C\)正确；
\(\log _2\left|a_n\right|=\log _2 2^{n-1}=n-1\)，故数列\(\{ \log_2|a_n | \}\)是递增数列，故\(D\)错误，
故选：\(BC\)． -
答案 \(a(1-b\%)^n\)
解析 依题意可知第一年后的价值为\(a(1-b\%)\)，第二年价值为\(a(1-b\%)^2\)，
依此类推可知每年的价值成等比数列，其首项\(a(1-b\%)\)，公比为\(1-b\%\)，
进而可知\(n\)年后这批设备的价值为\(a(1-b\%)^n\). -
答案 \(21\)
解析 设等差数列\(\{a_n \}\)的公差为\(d\)，则\(d≠0\)，
则\(a_1=a_3-2d=7-2d\)，\(a_2=a_3-d=7-d\)，\(a_4=a_3+d=7+d\)，
由于\(a_1-1\)，\(a_2－1\)，\(a_4-1\)成等比数列，则\((a_2-1)^2=(a_1-1)(a_4-1)\)，
即\((6-d)^2=(6－2d)(6+d)\)，化简得\(d^2-2d=0\)，由于\(d≠0\)，解得\(d=2\)，
因此\(a_{10}=a_3+7d=7+7×2=21\)．
故答案为：\(21\)． -
答案 等腰三角形
解析 \(\because \sin A\)，\(\cos \dfrac{B}{2}\)，\(\sin C\)成等比数列， \(\therefore \cos ^2 \dfrac{B}{2}=\sin A \sin C\)，
\(\therefore \dfrac{1}{2}(1+\cos B)=-\dfrac{1}{2}[\cos (A+C)-\cos (A-C)]\)，
\(\therefore 1+\cos B=-[-\cos B-\cos (A-C)]\)，
化为 \(\cos (A-C)=1\)，又\(A\)，\(C∈(0，π)\)，
\(\therefore A=C\)，可得\(a=c\)．
则\(△ABC\)的形状为等腰三角形． -
证明 \(\because a_{n+1}=2a_n+1\)，\((n∈N^*)\)，
\(\therefore a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，
\(\therefore \dfrac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2\)，
\(\therefore\)数列\(\{a_n+1\}\)是以\(2\)为公比的等比数列. -
答案 (1) \(a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)；(2) 略.
解析 (1)根据题意，设等比数列\(\{a_n \}\)的公比为\(q\)，则\(a_n=a_1 q^{n-1}\)，
若\(a_1 a_2=-\dfrac{1}{2}\)，则 \(a_1^2 q=-\dfrac{1}{2}\)，
若\(a_3=\dfrac{1}{4}\)，则\(a_1 q^2=\dfrac{1}{4}\)，变形可得\(\dfrac{a_1}{q}=-2\)，解可得\(a_1^3=1\)，则\(a_1=1\)，
则有\(q=-\dfrac{1}{2}\) ；故\(a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\);
(2)证明：根据题意， \(a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)，
则\(a_k=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{k-1}\)，\(a_{k+1}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^k\)，\(a_{k+2}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\)；
则\(a_k+a_{k+1}-2 a_{k+2}=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{k-1}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^k-2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\)\(=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^k\left[-2+1-2 x\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right]=0\)，
则有\(a_k+a_{k+1}=2 a_{k+2}\)
故\(a_k\)，\(a_{k+2}\)， \(a_{k+1}\)成等差数列． -
答案 (1)略 ；(2) \(a_n=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\).
解析 (1)证明： \(\because a_{n+1}=\dfrac{1}{2} a_n+1，\)，
\(\therefore a_n-2=\dfrac{1}{2}\left(a_{n-1}-2\right)\)，又\(b_n=a_n-2\)，
\(\therefore b_n=\dfrac{1}{2} b_{n-1}\)，
\(\therefore \{b_n \}\)是公式为\(\dfrac{1}{2}\)的等比数列；
(2)解：\(b_1=a_1-2=-1\)， \(b_n=(-1) \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)，
即\(a_n-2=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)， \(\therefore a_n=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}\) ．
【B组---提高题】
1.已知实数\(a>0\)，\(b>0\)，\(\sqrt{2}\)是\(8^a\)与\(2^b\)的等比中项，则\(\dfrac{6}{a}+\dfrac{2}{b}\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．
2.设数列\(\{a_n \}\)的首项\(a_1\)为常数，且\(a_n=3^{n-1}-2a_{n-1} (n≥2)\)．
(1) 判断数列\(\left\{a_n-\dfrac{3^n}{5}\right\}\)是否为等比数列，请说明理由；
(2) \(S_n\)是数列\(\{a_n \}\)的前\(n\)项的和，若\(\{S_n\}\)是递增数列，求\(a_1\)的取值范围．
参考答案
-
答案 \(32\)
解析 因为\(\sqrt{2}\)是\(8^a\)与\(2^b\)的等比中项，所以 \(8^a 2^b=(\sqrt{2})^2=2\)，
即\(2^{3a+b}=2\)，所以\(3a+b=1\)，
所以\(\dfrac{6}{a}+\dfrac{2}{b}=\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{2}{b}\right)(3 a+b)=20+\dfrac{6 b}{a}+\dfrac{6 a}{b} \geq 20+2 \sqrt{\dfrac{6 b}{a} \cdot \dfrac{6 a}{b}}=32\)，
当且仅当\(\dfrac{6 b}{a}=\dfrac{6 a}{b}\)，即\(a^2=b^2\)，\(a=b\)时，等号成立．
所以\(\dfrac{6}{a}+\dfrac{2}{b}\)的最小值是\(32\)．
故答案为：\(32\)． -
答案 (1) 略；(2) \(-\dfrac{3}{4}<a_1<\dfrac{3}{2}\) .
解析 (1)当\(n≥2\)时， \(a_n-\dfrac{3^n}{5}=3^{n-1}-2 a_{n-1}-\dfrac{3^n}{5}=2 \cdot \dfrac{3^{n-1}}{5}-2 a_{n-1}=-2\left(a_{n-1}-\dfrac{3^{n-1}}{5}\right)\)
(定义法证明等比数列，要注意首项\(a_1-\dfrac{3}{5}\)是否等于\(0\))
当\(a_1-\dfrac{3}{5} \neq 0\)，即\(a_1 \neq \dfrac{3}{5}\)时，\(\dfrac{a_n-\dfrac{3^n}{5}}{a_{n-1}-\dfrac{3^{n-1}}{5}}=-2\)
\(\therefore a_1 \neq \dfrac{3}{5}\)时， \(\left\{a_n-\dfrac{3^n}{5}\right\}\)为等比数列，公比为\(-2\)．
当\(a_1-\dfrac{3}{5}=0\)，即 \(a_1=\dfrac{3}{5}\)时，数列\(\left\{a_n-\dfrac{3^n}{5}\right\}\)不是等比数列．
(2) \(a_1=\dfrac{3}{5}\)时， \(a_n=\dfrac{3^n}{5}\)，为单调递增数列，满足条件．
\(a_1 \neq \dfrac{3}{5}\)时，由(1)可得： \(a_n-\dfrac{3^n}{5}=\left(a_1-\dfrac{3}{5}\right)(-2)^{n-1}\)，
若\(\{S_n\}\)是递增数列，则\(S_n-S_{n-1}>0(n≥2)\)，即\(a_n>0(n≥2\))，
\(\therefore a_n=\left(a_1-\dfrac{3}{5}\right)(-2)^{n-1}+\dfrac{3^n}{5}>0\)，
(问题变成恒成立问题，可想到分离参数法，遇到 \((-2)^{n-1}\)想到分\(n\)奇偶数讨论)
当\(n\)为偶数，则 \(-2^n\left(a_1-\dfrac{3}{5}\right)+\dfrac{3^n}{5}>0 \Rightarrow a_1<\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^n+\dfrac{3}{5}\)，
故\(a_1<\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{2}\)，( \(f(n)=\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^n+\dfrac{3}{5}\)是增数列， \(f_{\min }=f(2)\))
当\(n\)为奇数，则 \(2^n\left(a_1-\dfrac{3}{5}\right)+\dfrac{3^n}{5}>0 \Rightarrow a_1<-\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^n+\dfrac{3}{5}\)，
故 \(a_1>-\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^3+\dfrac{3}{5}=-\dfrac{3}{4}\)，( \(f(n)=-\dfrac{2}{5} \cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^n+\dfrac{3}{5}\)是减数列， \(f_{\max }=f(3)\))
\(\therefore-\dfrac{3}{4}<a_1<\dfrac{3}{2}\)．且 \(a_1 \neq \dfrac{3}{5}\)．
综上可得： \(-\dfrac{3}{4}<a_1<\dfrac{3}{2}\)．
【C组---拓展题】
1.数字\(1，2，3，…，n(n≥2)\)的任意一个排列记作\((a_1，a_2，…，a_n)\)，设\(S_n\)为所有这样的排列构成的集合．集合\(A_n=\{(a_1，a_2，…，a_n)∈S_n |\)任意整数\(i\)，\(j\)，\(1≤i<j≤n\)，都有\(a_i-i≤a_j-j\}\)；集合\(B_n=\{(a_1，a_2，…，a_n\}∈S_n |\)任意整数\(i\)，\(j\)，\(1≤i<j≤n\)，都有\(a_i+i≤a_j+j\}\)．
(1)用列举法表示集合\(A_3\)，\(B_3\)
(2)求集合\(A_n∩B_n\)的元素个数；
(3)记集合\(B_n\)的元素个数为\(b_n\)．证明：数列\(\{b_n\}\)是等比数列．
参考答案
- 答案 (1)\(A_3=\{(1，2，3)\}\)，\(B_3=\{(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(3，2，1)\}\) ；
(2) \(1\) ；(3) 略.
解析 (1) (列出\(S_n\)所有项逐一检验，对于集合\(A_n\)可理解\(f(n)=a_n-n\)不是减数列，
对于集合\(B_n\)可理解\(f(n)=a_n+n\)不是减数列)
\(A_3=\{(1，2，3)\}\)，\(B_3=\{(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(3，2，1)\}\)．
(2)考虑集合\(A_n\)中的元素\((a_1，a_2，…，a_n)\)．
由已知，对任意整数\(1≤i<j≤n\)，都有\(a_i-i≤a_j-j\)，
所以\((a_i-i)+i<(a_j-j)+j\)，
所以\(a_i<a_j\)．
由\(i\)，\(j\)的任意性可知，\((a_1，a_2，…，a_n)\)是\(1，2，3，…，n\)的单调递增排列，
所以\(A_n=\{(1，2，3，…，n)\}\)．
又因为当\(a_k=k(k∈N^*，1≤k≤n)\)时，对任意整数\(i\)，\(j\)，\(1≤i<j≤n\)，
都有\(a_i+i≤a_j+j\)．
所以\((1，2，3，…，n)∈B_n\)，所以\(A_n⊆B_n\)．
所以集合\(A_n∩B_n\)的元素个数为\(1\)．
(3)由(2)知，\(b_n≠0\)．
因为\(B_2=\{(1，2)，(2，1)\}\)，所以\(b_2=2\)．
当\(n≥3\)时，考虑\(B_n\)中的元素\((a_1，a_2，…，a_n)\)．
(讨论\(n\)在\(B_n\)中的位置)
(1)假设\(a_k=n(1≤k<n)\)．由已知，\(a_k+k≤a_{k+1}+(k+1)\)，
所以\(a_{k+1}≥a_k+k-(k+1)=n-1\)，
又因为\(a_{k+1}≤n－1\)，所以\(a_{k+1}=n-1\)．
依此类推，若\(a_k=n\)，则\(a_{k+1}=n-1\)，\(a_{k+2}=n-2\)，…，\(a_n=k\)．
①若\(k=1\)，则满足条件的\(1，2，3，…，n\)的排列\((a_1，a_2，…，a_n)\)有\(1\)个．
②若\(k=2\)，则\(a_2=n\)，\(a_3=n-1\)，\(a_4=n－2\)，…，\(a_n=2\)．
所以\(a_1=1\)．
此时满足条件的\(1，2，3，…，n\)的排列\((a_1，a_2，…，a_n)\)有\(1\)个．
③若\(2<k<n\)，
只要\((a_1，a_2，a_3，…a_{k-1})\)是\(1，2，3，…，k-1\)的满足条件的一个排列，就可以相应得到\(1，2，3，…，n\)的一个满足条件的排列．
(把问题转化为\(n=k-1\)的情况，这方法巧妙，可得到\(b_n\)的一递推公式)
此时，满足条件的\(1，2，3，…，n\)的排列\((a_1，a_2，…，a_n)\)有\(b_{k-1}\)个．
(2)假设\(a_n=n\)，只需\((a_1，a_2，a_3，…a_{n-1})\)是\(1，2，3，…，n-1\)的满足条件的排列，此时满足条件的\(1，2，3，…，n\)的排列\((a_1，a_2，…，a_n)\)有\(b_{n-1}\)个．
综上\(b_n=1+1+b_2+b_3+⋯+b_{n-1}\)，\(n≥3\)．
因为\(b_3=1+1+b_2=4=2b_2\)，
且当\(n≥4\)时，\(b_n=(1+1+b_2+b_3+⋯+b_{n-2})+ b_{n-1}=2b_{n-1}\)，
所以对任意\(n∈N^*\)，\(n≥3\)，都有 \(\dfrac{b_n}{b_{n-1}}=2\)．
所以\(\{b_n\}\)成等比数列．
