4.1 数列的概念1(概念、通项公式)

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[【基础过关系列】高二数学同步精品讲义与分层练习 (人教 A 版 2019）]
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选择性第二册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

数列的概念

(1) 定义：数列是按照一定次序排列的一列数；
(2) 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；
(3) 数列的表示：数列的一般形式可以写成 $a_1$,$a_2$,… ,$a_n$,…，简记 $\{a_n\}$.
解释
与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同)
②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同) 如数列 $1$,$1$,$1$，而由 $1$,$1$,$1$ 组成的集合是 $\{1\}$．
③有序性：一个数列不仅与构成数列的 “数” 有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)
如 $1$,$3$,$4$ 与 $1$,$4$,$3$ 代表不同的数列，而集合 $\{1,3,4\}$ 与 $\{1,4,3\}$ 却是相同的．
【例】 下列说法错误的是 (　　)
 A．数列 $4,7,3,4$ 的首项是 $4$
 B．数列 $\{a_n \}$ 中，若 $a_1=3$，则从第 $2$ 项起，各项均不等于 $3$
 C．数列 $-1,0,1,2$ 与数列 $0,1,2,-1$ 不相同
 D．数列 $\{2n-1\}$ 的第 $k$ 项 $a_k=2k-1$
答案 $B$
 

数列的分类

分类标准	名称	含义	例子
按项的个数	有穷数列	项数有限的数列	$1 ,2 ,3 ,4 ,….,n$
	无穷数列	项数无限的数列	$1 ,2 ,3 ,4 ,… ,n ,….$
按项的大小	递增数列	$a_n>a_{n-1} (n≥2)$	$2 ,4 ,8 ,… ,2n ,…$
	递减数列	$a_n < a_{n-1} (n≥2)$	$1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots, \dfrac{1}{n}, \ldots$
	常数列	每项都相等的数列	$1 ,1 ,1 ,…$
	摆动数列	每项的大小忽大忽小的数列	$1 ,-2 ,3 ,-4 ,5 ,…$

【例】 判断以下数列的类型
  (1) $2,4,8,16,…,2^n$； $\qquad \qquad$ (2) $\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16}, \ldots, \dfrac{1}{2^n},$；$\qquad \qquad$ (3)$a,a,a,a,…$

答案 (1) 递增数列，有穷数列；(2) 递减数列，无穷数列；(3) 常数列，无穷数列
 

通项公式

如果数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项与序号 $n$ 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
解释
(1)$a_n$ 与 $\{a_n\}$ 是不同的概念，$\{a_n\}$ 表示数列 $a_1$ ,$a_2$,⋯，而 $a_n$ 表示的是数列的第 $n$ 项；
(2) 数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.
(3) 一个数列的通项公式可以有不同的形式，比如数列 $1 ,0 ,1 ,0，…$，其通项公式可以是 $\dfrac{1+(-1)^{n+1}}{2}$ , $a_n=\sin ^2 \dfrac{n \pi}{2}$ 等.

【例 1】 已知数列 $1,2,3,4,…$，则这个数列的一个通项公式是 (　　)
A．$a_n=1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$a_n=n^2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$a_n=n$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $a_n=\sqrt{n}$
答案 $C$

【例 2】 数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n=3^n+n-1$，则 $a_2$ 等于 $\underline{\quad \quad}$.
答案 $10$
 

数列与函数的关系

数列就是定义在正整数集 $N^*$(或它的有限子集 $\{1 ,2 ,3....n\})$ 上的函数 $f(n)$，其图象是一系列有限或无限孤立的点.
如
数列 $a_n=n^2$ 与函数 $y=x^2$ 的比较

	$a_n=n^2$	$y=x^2$
定义域	$N^*$	$R$
图象
增减性	递增数列	在$(-∞,0)$递减，在$(0,+∞)$递增
最值	最小项$1$，无最大项	最小值$0$，无最大值

日后研究数列性质可以从函数角度出发，比如单调性，最值等.
 

基本方法

【题型1】数列的概念

【典题 1】 下列叙述正确的是 (　　)
 A．数列 $1,3,5,7$ 与 $7,5,3,1$ 是同一数列
 B．数列 $0,1,2,3,…$ 的通项公式是 $a_n=n$
 C．$-1,1,-1,1,…$ 是常数列
 D．$1,2,2^2,2^3,…$ 是递增数列，也是无穷数列
解析 根据题意，依次分析选项：
对于 $A$、数列 $1,3,5,7$ 与数列 $7,5,3,1$ 中顺序不同，不是同一数列，故 $A$ 错误；
对于 $B$、数列 $0,1,2,3,…$ 的通项公式是 $a_n=n-1$，故 $B$ 错误；
对于 $C$、常数列的通项为 $a_n=a$，则 $-1,1,-1,1,…$ 不是常数列，故 $C$ 错误；
对于 $D$、$1,2,2^2,2^3,…$ 是递增数列，也是无穷数列，故 $D$ 正确．
故选：$D$．
 

【巩固练习】

1. 下列说法不正确的是 (　　)
 A．数列不一定有通项公式 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．数列的通项公式不一定唯一
 C．数列可以用一群孤立的点表示 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．数列的项不能相等
 

2. 下列说法正确的是 (　　)
 A．数列 $1,-2,3,-4,…$ 是一个摆动数列
 B．数列 $-2,3,6,8$ 可以表示为 $\{-2,3,6,8\}$
 C．$\{a_n\}$ 和 $a_n$ 是相同的概念
 D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 根据题意，依次分析选项：
   对于 $A$，数列不一定有通项公式，如某班级每天消耗的文具数量，$A$ 正确；
   对于 $B$，数列的通项公式可以有多个，不一定唯一，$B$ 正确；
   对于 $C$，数列中 $n$ 为正整数，可以用一群孤立的点表示，$C$ 正确；
   对于 $D$，数列的项的可以相等，$D$ 错误；
   故选：$D$．

2. 答案 $A$
   解析 根据摆动数列的概念，$A$ 正确；
   数列 $-2,3,6,8$ 不能表示为集合 $\{-2,3,6,8\}$，
   数列和元素顺序有关，集合和元素顺序无关，故 $B$ 错误．
   $\{a_n\}$ 表示数列的全部的项，而 $a_n$ 表示数列的第 $n$ 项，不是同一概念，故 $C$ 错；
   数列的通项公式可以有多个，$D$ 错误．
   故选：$A$．
    

【题型2】 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

【典题 1】 写出下列数列 $\{a_n\}$ 的一个通项公式：
  (1)$-7 ,14 ,-21 ,28，…$； $\qquad \qquad$ (2) $\dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{32} \ldots$；
  (3)$2 ,5 ,10 ,17 ,26 ,…$； $\qquad \qquad$ (4)$2 ,32 ,332 ,3332 ,33332 ,….$
解析 分解结构法
(1) 数列 $-7 ,14 ,-21 ,28，…$ 每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到，

序号	$1$	$2$	$3$	$4$	$…$	$n$
符号	$-$	$+$	$-$	$+$		$(-1)^n$
绝对值	$7$	$14$	$21$	$28$		$7n$
项						$(-1)^n 7n$

故 $a_n=(-1)^n 7n$； (奇偶性的符号变换规律可考虑 $(-1)^n$ 或 $(-1)^{n-1}$).
(2) 数列 $\dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{32} \ldots$ 每项可分解成分子和分母相除得到，

序号	$1$	$2$	$3$	$4$	$…$	$n$
分子	$1$	$3$	$5$	$7$		$2n-1$
绝对值	$4$	$8$	$61$	$32$		$2^{n+1}$
项						$(2n-1)2^{n+1}$

(分子相邻数之间的差是 $2$，是等差数列；分母相邻数之间是 $2$ 倍的关系，是等比数列)
故 $a_n=(2n-1)2^{n+1}$.
变形法
(3) 数列 $2 ,5 ,10 ,17 ,26 ,…$ 中若每项减去 $1$，则变成 $1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,…$，
这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是 $n^2$，
则原数列只需要在这基础上加回 $1$ 便可，即 $a_n=n^2+1$.
(4) 数列 $2 ,32 ,332 ,3332 ,33332 ,….$ 中若每项加上 $1$，
则变成 $3 ,33 ,333 ,3333 ,33333 ,…$，
再每项乘以 $3$，变成 $9 ,99 ,999 ,9999 ,99999 ,…$
其中 $9=10-1$,$99=10^2-1$，$999=10^3-1$，$9999=10^4-1$，$99999=10^5-1$，
则其通项 $b_n=10^{n+1}-1$，
要求原数列的通项公式，
则 “逆回去”，除以 $3$ 再减 $1$ 可得 $a_n=\dfrac{b_n}{3}-1=\dfrac{10^{n+1}-1}{3}-1=\dfrac{10^{n+1}-4}{3}$.
 

【巩固练习】

1. 下列可作为数列 $1,2,1,2,1,2,…$ 的通项公式的是 (　　)
 A． $a_n=\dfrac{1+(-1)^{n-1}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \quad$ B． $a_n=\dfrac{3+(-1)^n}{2}$
 C． $a_n=2-\sin \dfrac{n \pi}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $a_n=2-\cos [(n-1) \pi]$
 

2. 写出下面各数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
  (1) $7,14,21,28$； $\qquad \qquad \qquad \qquad$ (2) $\dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{32}$；
  (3) $\dfrac{5}{2}, \dfrac{8}{3}, \dfrac{11}{4}, \dfrac{14}{5}$； $\qquad \qquad \qquad \quad$ (4) $1 \dfrac{1}{2},-3 \dfrac{1}{4}, 5 \dfrac{1}{8},-7 \dfrac{1}{16}$；
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 根据题意，数列 $1,2,1,2,1,2,…$
   其奇数项为 $1$，可以看作 $\dfrac{3+(-1)}{2}$，偶数项为 $2$，可以看作 $\dfrac{3-(-1)}{2}$；
   其通项公式可以为： $a_n=\dfrac{3+(-1)^n}{2}$；
   故选：$B$．

2. 答案 (1)$a_n=7n$；(2) $a_n=\dfrac{2 n-1}{2^{n+1}}$ ；(3) $a_n=\dfrac{3 n+2}{n+1}$；(4) $a_n=(-1)^{n+1}\left(2 n-1+\dfrac{1}{2^n}\right)$.
   解析 (1) 数列 $7,7×2,7×3,7×4$，所以通项公式为 $a_n=7n$．
   (2) 数列 $\dfrac{2 \times 1-1}{2^2}, \dfrac{2 \times 2-1}{2^3}, \dfrac{2 \times 3-1}{2^4}, \dfrac{2 \times 4-1}{2^5}$，
   所以数列通项公式为 $a_n=\dfrac{2 n-1}{2^{n+1}}$．
   (3) 数列 $1 \dfrac{3 \times 1+2}{1+1}, \dfrac{3 \times 2+2}{2+1}, \dfrac{3 \times 3+2}{3+1}, \dfrac{3 \times 4+2}{4+1}$，
   所以数列通项公式 $a_n=\dfrac{3 n+2}{n+1}$．
   (4) 数列 $(-1)^{1+1}\left[2 \times 1-1+\dfrac{1}{2}\right]$， $(-1)^{2+1}\left[2 \times 2-1+\dfrac{1}{2^2}\right]$， $(-1)^{3+1}\left[2 \times 3-1+\dfrac{1}{2^3}\right]$，
   $(-1)^{4+1}\left[2 \times 4-1+\dfrac{1}{2^4}\right]$，所以数列通项公式 $a_n=(-1)^{n+1}\left(2 n-1+\dfrac{1}{2^n}\right)$．
    

【题型3】 通项公式的应用

【典题 1】 已知数列 $\{a_n \}$ 的通项公式为 $a_n=3n^2-28n$.
  (1) 写出数列的第 $4$ 项和第 $6$ 项；
  (2)$-49$ 是否是该数列的一项？如果是，是哪一项？68 是否是该数列的一项呢？
解析 (1)$a_4=3×16－28×4=-64$，$a_6=3×36－28×6=-60$.
(2) 设 $3n^2-28n=-49$，解得 $n=7$ 或 $n=\dfrac{7}{3}$(舍去)，
$\therefore n=7$，即 $-49$ 是该数列的第 $7$ 项．
设 $3n^2-28n=68$，解得 $n=\dfrac{34}{3}$ 或 $n=-2$.
$\because \dfrac{34}{3}∉N^*$，$－2∉N^*$，$\therefore 68$ 不是该数列的项．
 

【巩固练习】

1. 设数列 $\sqrt{2}, \sqrt{5}, 2 \sqrt{2}, \sqrt{11}$，则 $2\sqrt{5}$ 是这个数列的 (　　)
 A．第 $6$ 项 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．第 $7$ 项 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．第 $8$ 项 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．第 $9$ 项
 

2. 下列数列中，$156$ 是其中一项的是 (　　)
 A．$\{n^2+1\}$ $\qquad \qquad \qquad \quad$ B．$\{n^2-1\}$ $\qquad \qquad \qquad \quad$ C．$\{n^2+n\}$ $\qquad \qquad \qquad \quad$ D．$\{n^2+n-1\}$
 

3. 已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n=5n-3$.
  (1) 求 $a_5$； $\qquad \qquad$(2) 判断 $27$ 是否为数列 $\{a_n\}$ 的一项．
 
 

4. 已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\dfrac{3 n-2}{3 n+1}$．
  (1) 求 $a_{10}$．
  (2) 判断 $\dfrac{7}{10}$ 是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由．
  (3) 求证：$0<a_n<1$．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$

2. 答案 $C$
   解析 根据题意，依次分析选项：
   对于 $A$，若数列为 $\{n^2+1\}$，则有 $n^2+1=156$，无正整数解，不符合题意；
   对于 $B$，若数列为 $\{n^2－1\}$，则有 $n^2－1=156$，无正整数解，不符合题意；
   对于 $C$，若数列为 $\{n^2+n\}$，则有 $n^2+n=156$，解可得 $n=12$ 或 $－13$(舍)，有正整数解 $n=12$，符合题意，
   对于 $D$，若数列为 $\{n^2+n-1\}$，则有 $n^2+n-1=156$，无正整数解，不符合题意；
   故选：$C$．

3. 答案 (1) $22$；(2) $27$ 是数列 $\{a_n\}$ 的第 $6$ 项．
   解析 (1)$a_5=5×5－3=22$
   (2) 令 $5n－3=27$，解得 $n=6$，即 $27$ 是数列 $\{a_n\}$ 的第 $6$ 项．

4. 答案 (1) $\dfrac{28}{31}$．(2) $\dfrac{7}{10}$ 为数列 $\{a_n\}$ 中的项，为第 $3$ 项．(3) 略.
   解析 (1) 解：根据题意可得 $a_{10}=\dfrac{3 \times 10-2}{3 \times 10+1}=\dfrac{28}{31}$．
   (2) 解：令 $a_n=\dfrac{7}{10}$，即 $\dfrac{3 n-2}{3 n+1}=\dfrac{7}{10}$，解得 $n=3$，
   $\therefore \dfrac{7}{10}$ 为数列 $\{a_n\}$ 中的项，为第 $3$ 项．
   (3) 证明：由题知 $a_n=\dfrac{3 n-2}{3 n+1}=1-\dfrac{3}{3 n+1}$，
   $\because n∈N^*$， $\therefore 0<\dfrac{3}{3 n+1}<1$，
   $\therefore 3n+1>3$，即 $0<a_n<1$．
    

【题型4】 数列与函数的关系

【典题 1】 数列 $\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}$ 是增数列还是减数列？
解析 方法 1 作差法
$a_{n+1}-a_n=\dfrac{n+1}{n+3}-\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{2}{(n+3)(n+2)}>0$，所以 $a_{n+1}>a_n$，
故数列 $\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}$ 是增数列.
方法 2 作商法
$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+1}{n+3} \cdot \dfrac{n+2}{n}=\dfrac{n^2+3 n+2}{n^2+3 n}>1$，
又 $\because a_n>0$，所以 $a_{n+1}>a_n$，
故数列 $\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}$ 是增数列.
方法 3 函数法
$a_n=\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{1}{1+\frac{2}{n}}$，
$\because f(x)=\dfrac{1}{1+\frac{2}{x}}$ 在 $(0,+∞)$ 递增，
$\therefore a_n=\dfrac{1}{1+\frac{2}{n}}$ 也是随着 $n$ 的增大而增大，
故数列 $\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}$ 是增数列.
点拨 求证数列单调性，常用方法有三：
① 作差法，比较 $a_{n+1}-a_n$ 与 $0$ 的大小；
② 作商法，比较 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$ 与 $1$ 的大小，此时要注意 $a_n$ 的正负性；
③ 视通项公式为函数解析式，用讨论函数单调性的方法处理.
 

【典题 2】 已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=－2n^2+λn(n∈N^*,λ∈R)$，若 $\{a_n\}$ 是递减数列，则 $λ$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $\because$ 数列 $\{a_n\}$ 是递减数列， $\therefore a_n>a_{n+1}$，
$\therefore -2n^2+λn>-2(n+1)^2+λ(n+1)$，解得 $λ<4n+2$，
$\because$ 数列 $\{4n+2\}$ 单调递增，$\therefore n=1$ 时取得最小值 $6$，
$\therefore λ<6$．
 

【典题 3】 已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=(2 n+1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n$，$n∈N^*$，则 $\{a_n\}$ 中的最大项的序号是 $\underline{\quad \quad}$．
解析 方法 1
$a_{n+1}-a_n=(2 n+3)\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n+1}-(2 n+1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n$$=\left(\dfrac{9}{10}\right)^n\left[\dfrac{9(2 n+3)}{10}-(2 n+1)\right]=\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \dfrac{17-2 n}{10}$，
令 $a_{n+1}-a_n≥0$，即 $\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \dfrac{17-2 n}{10} \geq 0$，可得 $n≤8.5$．
令 $a_{n+1}-a_n≤0$，即 $\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \dfrac{17-2 n}{10} \leq 0$，可得 $n≥8.5$．
即当 $n<9$ 时，$\{a_n\}$ 递增；$n≥9$ 时，$\{a_n\}$ 递减.
$\therefore \{a_n\}$ 中的最大项的序号是 $9$．
方法 2
由 $\left\{\begin{array}{l} a_n \geq a_{n+1} \\ a_n \geq a_{n-1} \end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} (2 n+1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \geq(2 n+3)\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n+1} \\ (2 n+1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n \geq(2 n-1)\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n-1} \end{array}\right.$，
解得 $\dfrac{17}{2} \leq n \leq \dfrac{19}{2}$，
又 $\because n∈N^*$，$\therefore n=9$，
即 $\{a_n\}$ 中的最大项的序号是 $9$．
点拨 方法 1 利用函数的思路，求最大值先判断其单调性.
 

【巩固练习】

1. 下列数列中，为递减数列的是 (　　)
 A．$\{1+5^n \}$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$\{-n^2+6n\}$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$\{3n+6\}$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$\{1-\log_2 n\}$
 

2. 数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\dfrac{n}{n^2+90}$，则数列 $\{a_n\}$ 中的最大值是 (　　)
 A． $3 \sqrt{10}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$19$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{1}{19}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{\sqrt{10}}{60}$
 

3. 求数列 $\{-2n^2+29n+3\}$ 中的最大项是 $\underline{\quad \quad}$．
 

4. 已知 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=(n-λ) 2^n (n∈N^*)$，若 $\{a_n\}$ 是递增数列，则实数 $λ$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

5. 设 $a_n=n^2-2kn+6(n∈N^*,k∈R)$
  (1) 证明：$k≤1$ 是 $\{a_n\}$ 为递增数列的充分不必要条件；
  (2) 若 $∀n∈N^*$, $\dfrac{a_n}{n} \geq 1$，求 $k$ 的取值范围．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 根据题意，依次分析选项：
   对于 $A$，对于数列 $\{1+5^n \}$，有 $a_1=1+5=6$,$a_2=1+25=16$，
   不是递减数列，不符合题意；(或由函数 $f(x)=1+5^x$ 是增函数排除)
   对于 $B$，对于数列 $\{-n^2+6n\}$，有 $a_1=-1+6=5$,$a_2=-4+12=8$，
   不是递减数列，不符合题意；(或由函数 $f(x)=-x^2+6x$ 在 $(0,3)$ 上递增排除)
   对于 $C$，对于数列 $\{3n+6\}$，有 $a_1=3+6=9$,$a_2=6+6=12$，
   不是递减数列，不符合题意；(或由函数 $f(x)=3x+6$ 是增函数排除)
   对于 $D$，对于数列 $\{1-\log_2 n\}$，有 $a_{n+1}-a_n=1-\log_2⁡(n+1)-(1-\log_2⁡n)=\log _2 \dfrac{n}{n+1}$，
   当 $n≥1$ 时，有 $a_{n+1}-a_n<0$，数列 $\{1-\log_2⁡n\}$ 是递减数列，符合题意，
   (或由函数 $f(x)=1-\log_2 x$ 是减函数可知)
   故选：$D$．

2. 答案 $C$
   解析 $a_n=\dfrac{n}{n^2+90}=\dfrac{1}{n+\dfrac{90}{n}}$，
   $\because f(n)=n+\dfrac{90}{n}$ 在 $(0,3\sqrt{10})$ 上单调递减，在 $(3\sqrt{10},+∞)$ 上单调递增，
   $\therefore$ 当 $n=9$ 时，$f(9)=9+10=19$，当 $n=10$ 时，$f(10)=9+10=19$，
   即 $f(9)=f(10)$ 为最小值，
   此时 $a_n=\dfrac{n}{n^2+90}$ 取得最大值为 $a_9=a_{10}=\dfrac{1}{19}$，
   故选：$C$．

3. 答案 $108$
   解析 由已知，得 $a_n=-2 n^2+29 n+3=-2\left(n-\dfrac{29}{4}\right)^2+108 \dfrac{1}{8}$
   由于 $n∈N^*$，故当 $n$ 取距离 $\dfrac{29}{4}$ 最近的正整数 7 时，$a_n$ 取得最大值 $108$.
   故数列 $\{-2n^2+29n+3\}$ 中的最大项为 $a_7=108$.

4. 答案 $(-∞,3)$
   解析 $\because \{a_n\}$ 是递增数列，$\therefore a_{n+1}>a_n$，
   $\therefore (n+1-λ) 2^{n+1}>(n-λ) 2^n$，化为：$λ<n+2$，对 $∀n∈N^*$ 都成立．
   $\therefore λ<3$．
   故答案为：$(-∞,3)$．

5. 答案 (1) 略；(2) $k≤2$.
   解析 (1) 证明：若 $\{a_n\}$ 为递增数列，
   则 $a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-2k(n+1)+6-[n^2-2kn+6]=2n+1-2k>0$，
   解得 $k<\dfrac{2 n+1}{2}$， $\therefore k<\dfrac{3}{2}$．
   $\therefore k≤1$ 是 $\{a_n\}$ 为递增数列的充分不必要条件；
   (2) 解：$∀n∈N^*$,$\dfrac{a_n}{n} \geq 1$，
   $\therefore n+\dfrac{6}{n}-2 k \geq 1$，即 $n+\dfrac{6}{n} \geq 2 k+1$，
   $\because n+\dfrac{6}{n}≥5$，$\therefore 2k+1≤5$，
   $\therefore k≤2$．
   $\therefore k$ 的取值范围是 $k≤2$．
    
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 下列有关数列的说法正确的是 (　　)
 ①数列 $1,2,3$ 可以表示成 $\{1,2,3\}$；$\qquad \qquad \qquad$ ②数列 $-1,0,1$ 与数列 $1,0,-1$ 是同一数列；
 ③数列 $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}$ 的第 $k-1$ 项是 $\dfrac{1}{k-1}$；$\qquad \qquad$ ④数列中的每一项都与它的序号有关．
 A．①② $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．③④ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．①③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．②④
 

2. 在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_n=\dfrac{n^2+n-1}{3}$,$n∈N^*$，则 $\dfrac{19}{3}$ 是数列中的第 (　　) 项，
 A．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$5$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$6$
 
3. 已知数列 $\{a_n\}$ 中， $a_n=\dfrac{n}{n+1}$，则 $\{a_n\}$ 是 (　　)
 A．常数列 $\qquad \qquad \qquad$ B．递减数列 $\qquad \qquad \qquad$ C．递增数列 $\qquad \qquad \qquad$ D．摆动数列
 
4. 数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，则 $\{a_n\}$ 的通项公式可以是下面的 (　　)
 A． $a_n=-\dfrac{1}{n}$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$a_n=n^2-3n$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$a_n=2^{-n}$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$a_n=(-n)^n$
 

5. 数列 $\left\{\dfrac{1}{2^n-2022}\right\}$(　　)
 A．既无最大项，又无最小项 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．有最大项，无最小项
 C．无最大项，有最小项 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D．既有最大项，又有最小项
 

6. 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=(n+2)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n$，那么在此数列中 (　　)
 A．$a_7=a_8$ 最大 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B ．$a_8=a_9$ 最大
 C．有唯一项 $a_8$ 最大 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D．有唯一项 $a_7$ 最大
 

7. 数列 $1,3,7,15,31,…$ 的一个通项公式为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

8. 数列 $\sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{13}, \sqrt{18}, \cdots, 7 \sqrt{2}$ 是其第 $\underline{\quad \quad}$ 项.
 

9. 数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=－3n^2+2020n+1$，当 $a_n$ 取最大值时，$n=$$\underline{\quad \quad}$.
 

10. 已知数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，且对于任意 $n∈N^*$,$a_n=n^2+2λn+1$，则实数 $λ$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$.
 

11. 已知数列 $\{a_n\}$，$a_n=n^2-pn+q$，且 $a_1=0$,$a_2=-4$．
  (1) 求 $a_5$．
  (2) 判断 $150$ 是不是该数列中的项？若是，是第几项？
 
 

12. 在数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_n=\dfrac{a n}{b n+1}$，且 $a_2=\dfrac{6}{5}$，$a_3=\dfrac{9}{7}$．
  (1) 求通项公式 $a_n$；
  (2) 求证：$\{a_n\}$ 是递增数列；
  (3) 求证： $1 \leq a_n<\dfrac{3}{2}$．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 对于①，$\{1,2,3\}$ 是集合，不是数列，故选项①错误；
   对于②，数列是有序的，故数列 $-1,0,1$ 与数列 $1,0,-1$ 是不同的数列，故选项②错误；
   对于③，数列 $\left\{\dfrac{1}{n}\right\}$ 的第 $k-1$ 项是 $\dfrac{1}{k-1}$，故选项③正确；
   对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
   故选：$B$．

2. 答案 $B$
   解析 根据题意，数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_n=\dfrac{n^2+n-1}{3}$,
   若 $\dfrac{n^2+n-1}{3}=\dfrac{19}{3}$，即 $n^2+n－1=19$，解可得：$n=4$ 或 $－5$(舍)；
   故选：$B$．

3. 答案 $C$

4. 答案 $A$
   解析 根据题意，依次分析选项：
   对于 $A$， $a_n=-\dfrac{1}{n}$，有 $a_n-a_{n-1}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{n(n-1)}$，
   又由 $n≥2$，则 $a_n-a_(n-1)>0$，数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，符合题意；
   对于 $B$，$a_n=n^2-3n$, 则 $a_1=1-3=-2$,$a_2=4-6=-2$，
   数列 $\{a_n\}$ 不是递增数列，不符合题意；
   对于 $C$，$a_n=2^{-n}$，有 $a_1=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$, $a_2=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$，
   数列 $\{a_n\}$ 不是递增数列，不符合题意；
   对于 $D$，$a_n=(-n)^n$，有 $a_2=(-2)^2=4$,$a_3=(-3)^3=-27$ ，
   数列 $\{a_n\}$ 不是递增数列，不符合题意；
   故选：$A$．

5. 答案 $D$
   解析 $\because 2^{10}=1024$,$2^{11}=2048$，
   $\therefore$ 根据指数函数的单调性知，$\left\{\dfrac{1}{2^n-2022}\right\}$ 在 $1≤n≤10$ 时为减数列且为负，
   在 $n≥11$ 时为减数列且为正，
   $\therefore$ 数列 $\left\{\dfrac{1}{2^n-2022}\right\}$ 的最小项为第 $10$ 项，最大项为 $11$ 项．
   故选：$D$．

6. 答案 $A$
   解析 $a_n=(n+2)\left(\dfrac{9}{10}\right)^n$， $a_{n+1}=(n+3)\left(\dfrac{9}{10}\right)^{n+1}$，
   所以 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{n+3}{n+2} \cdot \dfrac{9}{10}$，
   令 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1$ 即 $\dfrac{n+3}{n+2} \cdot \dfrac{9}{10} \geq 1$，解得 $n≤7$，
   即 $n≤7$ 时递增，$n>7$ 递减，
   所以 $a_1<a_2<a_3<⋯<a_7=a_8>a_9>⋯$
   所以 $a_7=a_8$ 最大．
   故选：$A$．

7. 答案 $a_n=2^n-1$

8. 答案 $20$
   解析 根据题意，数列 $\sqrt{3}, \sqrt{8}, \sqrt{13}, \sqrt{18}, \cdots, 7 \sqrt{2}$，
   可写成 $\sqrt{5-2}, \sqrt{5 \times 2-2}, \sqrt{5 \times 3-2}, \ldots \ldots, \sqrt{5 n-2}$，
   对于 $7 \sqrt{2}$，即 $\sqrt{98}=\sqrt{5 \times 20-2}$，为该数列的第 $20$ 项.

9. 答案 $337$
   解析 依题意，$a_n=－3n^2+2020n+1$，
   表示抛物线 $f(n)=3n^2+2020n+1$ 当 $n$ 为正整数时对应的函数值，
   又 $y=3n^2+2020n+1$ 为开口向下的抛物线，
   故到对称轴 $n=-\dfrac{2020}{2 \times(-3)}=\dfrac{1010}{3}$ 距离越近的点，函数值越大，
   故当 $n=337$ 时，$a_n=f(n)$ 有最大值，
   方法二 根据题意，$a_{n-1}=-3(n-1)^2+2020(n-1)+1$，
   则 $a_n-a_{n-1}=-6n+2023$，
   当 $1≤n≤336$ 时，$a_n-a_{n-1}>0$，即 $a_n>a_{n-1}$，
   当 $n≥337$ 时，$a_n-a_{n-1}<0$，即 $a_n<a_{n-1}$，
   而 $a_{337}>a_{336}$，
   故数列 $\{a_n\}$ 各项中最大项是第 $337$ 项.

10. 答案 $\left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)$
    解析 $\because$ 数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，$\therefore$ 对于任意 $n∈N^*$，$a_{n+1}>a_n$，
    $\therefore (n+1)^2+2λ(n+1)+1>n^2+2λn+1$，化为： $\lambda>-\dfrac{2 n+1}{2}$，
    $\because$ 数列 $\left\{-\dfrac{2 n+1}{2}\right\}$ 单调递减， $\therefore \lambda>-\dfrac{3}{2}$．

11. 答案 (1) $-4$；(2) $150$ 是该数列的第 $16$ 项.
    解析 (1) 根据题意，数列 $\{a_n\}$，$a_n=n^2-pn+q$，且 $a_1=0$,$a_2=-4$．
    则有 $\left\{\begin{array}{l} 1-p+q=0 \\ 4-2 p+q=-4 \end{array}\right.$，解可得 $\left\{\begin{array}{l} p=7 \\ q=6 \end{array}\right.$，
    则 $a_n=n^2-7n+6$，
    故 $a_5=25－35+6=-4$，
    (2) 由 (1) 的结论，$a_n=n^2-7n+6$，
    若 $a_n=n^2-7n+6=150$，解可得：$n=16$ 或 $-9$(舍)，
    故 $n=16$，
    $150$ 是该数列的第 $16$ 项．

12. 答案 (1) $a_n=\dfrac{3 n}{2 n+1}$；(2) 略；(3) 略.
    解析 (1) 解：由题意，可知 $a_2=\dfrac{2 a}{2 b+1}=\dfrac{6}{5}$， $a_3=\dfrac{3 a}{3 b+1}=\dfrac{9}{7}$，
    整理联立方程组，得 $\left\{\begin{array}{l} 5 a-6 b=3 \\ 7 a-9 b=3 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} a=3 \\ b=2 \end{array}\right.$，
    $\therefore a_n=\dfrac{3 n}{2 n+1}$．
    (2) 证明：由 (1)，知 $a_{n+1}=\dfrac{3(n+1)}{2(n+1)+1}=\dfrac{3(n+1)}{2 n+3}$，
    则 $a_{n+1}-a_n=\dfrac{3(n+1)}{2 n+3}-\dfrac{3 n}{2 n+1}=\dfrac{3(n+1)(2 n+1)-3 n(2 n+3)}{(2 n+1)(2 n+3)}$$=\dfrac{3}{(2 n+1)(2 n+3)}>0$，
    $\therefore$ 数列 $\{a_n\}$ 是递增数列．
    (3) 证明：由 (2)，可知
    当 $n=1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 取得最小值 $a_1=1$，
    当 $n→+∞$ 时， $a_n=\dfrac{3 n}{2 n+1}=\dfrac{3}{2+\frac{1}{n}} \rightarrow \dfrac{3}{2}$，
    $\therefore 1 \leq a_n<\dfrac{3}{2}$，故得证．
     

【B组---提高题】

1. 对于项数都为 $m$ 的数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，记 $b_k$ 为 $a_1,a_2,…,a_k$$(k=1,2,…,m)$ 中的最小值，给出下列命题：
 ①若数列 $\{b_n\}$ 的前 $5$ 项依次为 $5,5,3,3,1$，则 $a_4=3$；
 ②若数列 $\{b_n\}$ 是递减数列，则数列 $\{a_n\}$ 也是递减数列；
 ③数列 $\{b_n\}$ 可能是先递减后递增的数列；
 ④若数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，则数列 $\{b_n\}$ 是常数列．
其中，是真命题的为 (　　)
 A．①④ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．①③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．②③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．②④
 

2. 数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2 n-4}-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-2}$，则数列 $\{a_n\}$ (　　)
 A．有最大项，无最小项 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．有最小项，无最大项
 C．既有最大项又有最小项 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D．既无最大项又无最小项
 

3. 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{2 n}$．
  (1) 数列 $\{a_n\}$ 是递增数列还是递减数列？为什么？
  (2) 证明：$a_n \geq \dfrac{1}{2}$ 对一切正整数恒成立．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 ①由数列 $\{b_n\}$ 的前 $5$ 项依次为 $5,5,3,3,1$，
   可知 $a_1=5$，$a_2≥5$，$a_3=3$，$a_4≥3$，$\therefore$①错误；
   ②若数列 $\{b_n\}$ 是递减数列，则数列 $\{a_n\}$ 也是递减数列是正确的；
   若数列 $\{a_n\}$ 是递增数列或常数列时，则 $\{b_n\}$ 是常数列，
   若数列 $\{a_n\}$ 是递减数列时，则 $\{b_n\}$ 是递减的，
   $\therefore$③是错误的；④是正确的．
   故选：$D$．

2. 答案 $C$
   解析 由已知，设 $t=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-2}$，
   则 $a_n=t^2-t=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}$，$(0<t \leq \dfrac{5}{4}$ 且随着 $n$ 的增大，$t$ 的值一直在减小 $)$，
   画出其图象如下：
   
   图象开口向上，且对称轴为 $t=\dfrac{1}{2}$，据图可知，
   当 $n=1$，即 $t=\dfrac{5}{4}$ 时，$a_n$ 取得最大值 $a_1$，又当 $n=5$ 时 $t=\left(\dfrac{4}{5}\right)^3>\dfrac{1}{2}$，
   当 $n=6$ 时 $t=\left(\dfrac{4}{5}\right)^4<\dfrac{1}{2}$，且 $n=5$ 时，$t$ 的值更接近 $\dfrac{1}{2}$，
   所以当 $n=5$ 时，$a_n$ 的值最小．
   故选：$C$．

3. 答案 (1) 略；(2) 略.
   解析 (1) $\because a_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{2 n}$，
   $\therefore a_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)+1}+\dfrac{1}{(n+1)+2}+\dfrac{1}{(n+1)+3}+\cdots+\dfrac{1}{2(n+1)}$
   $=\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\dfrac{1}{n+4}+\cdots+\dfrac{1}{2 n}+\dfrac{1}{2 n+1}+\dfrac{1}{2 n+2}$，
   $\therefore a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{2 n+1}+\dfrac{1}{2 n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{2 n+1}-\dfrac{1}{2(n+1)}$，
   又 $n∈N^*$，$\therefore 2n+1<2(n+1)$，$\therefore a_{n+1}-a_n>0$，
   $\therefore$ 数列 $\{a_n\}$ 是递增数列．
   (2) 由 (1) 知数列 $\{a_n\}$ 为递增数列，
   所以数列 $\{a_n\}$ 的最小项是 $a_1=\dfrac{1}{2}$，
   所以即 $a_n \geq \dfrac{1}{2}$ 对一切正整数恒成立．
    

【C组---拓展题】

1. 数列 $\{a_n\}$ 为从 $a_0$ 开始的非负整数有限数列，$a_i$ 表示在这个数列中 $i$ 出现的次数．那么数列的项数不可能是 (　　)
 A．$4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$5$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$6$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$7$
 

2.(多选) 对于数列 $\{a_n\}$，定义： $b_n=a_n-\dfrac{1}{a_n}\left(n \in N^*\right)$，称数列 $\{b_n\}$ 是 $\{a_n\}$ 的 “倒差数列”．下列叙述正确的有 (　　)
 A．若数列 $\{a_n\}$ 单调递增，则数列 $\{b_n\}$ 单调递增
 B．若数列 $\{b_n\}$ 是常数列，数列 $\{a_n\}$ 不是常数列，则数列 $\{a_n\}$ 是周期数列
 C．若 $a_n=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，则数列 $\{b_n\}$ 没有最小值
 D．若 $a_n=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，则数列 $\{b_n\}$ 有最大值
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $\because a_i$ 表示在这个数列中 $i$ 出现的次数．
   $\therefore a_0≠0$，且 $a_0≠n$，且 $a_0≠n+1$，
   若 $a_1=1$，则当 $i≠1$ 时，$a_i≠1$，$a_n=0$，
   用排除法解答此题；
   当 $a_0=2$，$a_1=0$,$a_2=2$,$a_3=0$ 时，满足条件，此时数列有 $4$ 项，故排除 $A$；
   当 $a_0=2$,$a_1=1$,$a_2=2$,$a_3=0$,$a_4=0$ 时，满足条件，此时数列有 $5$ 项，故排除 $B$；
   当 $a_0=3$,$a_1=2$,$a_2=1$,$a_3=1$,$a_4 =0$,$a_5=0$,$a_6=0$ 时，满足条件，此时数列有 $7$ 项，故排除 $D$；
   故选：$C$．

2. 答案 $BD$
   解析 对于 $A$：函数 $f(x)=x-\dfrac{1}{x}$ 在 $(-∞,0)$ 和 $(0,+∞)$ 上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，
   可知数列 $\{a_n\}$ 单调递增，则数列 $\{b_n\}$ 不是单调递增，
   例如： $a_n=n-\dfrac{5}{2}$，则 $b_2=-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{3}{2}$， $b_3=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}$，故 $A$ 错误；
   对于 $B$：数列 $\{b_n\}$ 是常数列，可设 $b_n=a_n-\dfrac{1}{a_n}=t$，则 $a_{n+1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}=t$，
   $\therefore a_{n+1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}-a_n-\dfrac{1}{a_n}=\left(a_{n+1}-a_n\right)\left(1+\dfrac{1}{a_n a_{n+1}}\right)=0$，
   $\because$ 数列 $\{a_n\}$ 不是常数列，
   $\therefore a_{n+1}－a_n≠0$，
   $\therefore 1+\dfrac{1}{a_n a_{n+1}}=0$，整理可得 $a_{n+1}=-\dfrac{1}{a_n}$，
   $\therefore a_{n+2}=-\dfrac{1}{a_{n+1}}=a_n$，
   $\therefore$ 数列 $\{a_n\}$ 是以 $2$ 为周期的周期数列，故 $B$ 正确；
   对于 $CD$，若 $a_n=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$，则 $b_n=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n-\dfrac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n}$，
   ①当 $n$ 为偶数时， $a_n=1-\dfrac{1}{2^n} \in(0,1)$ 且 $\{a_n\}$ 单调递增，
   $\therefore \dfrac{1}{a_n}>1>a_n$，
   $\therefore b_n<0$，且数列 $\{b_n\}$ 单调递增，
   此时 $\left(b_n\right)_{\min }=b_2=1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{1-\frac{1}{4}}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{4}{3}=-\dfrac{7}{12}$，
   ①当 $n$ 为奇数时， $a_n=1+\dfrac{1}{2^n}>1$ 且 $\{a_n\}$ 单调递减，
   $\therefore a_n>1>\dfrac{1}{a_n}$ ，
   $\therefore b_n>0$，且数列 $\{b_n\}$ 单调递减，
   此时 $\left(b_n\right)_{\max }=b_1=1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{6}$，
   综上所述列 $\{b_n\}$ 既有最大值 $\dfrac{5}{6}$，也有最小值 $-\dfrac{7}{12}$，
   故 $C$ 错误，$D$ 正确．
   故选：$BD$．