5.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

A,ω,φ对f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0)的影响

$A$ 影响函数 $f(x)$ 的最值，$ω$ 影响函数 $f(x)$ 周期 $(T=\dfrac{2\pi}{ω})$，$φ$ 影响函数 $f(x)$ 水平位置.

$\qquad$ $\qquad$

解释
对 $A$,$ω$,$φ$ 的理解，想象下把 $y=\sin ⁡x$ 看成一个人，
$\left(1\right)$$A$ 影响他的身高，$A>1$ 时就 “个子长高”，$0<A<1$ 时就 “浓缩精华” 了；

$\qquad$ $\qquad$

$\left(2\right)$$ω$ 影响他的 “腰围”(周期)，$ω>1$ 时就 “减肥成功”，$0<ω<1$ 时就 “减肥失败” 了；

$\qquad$ $\qquad$

$\left(3\right)$$φ$ 影响他的站位，$φ>0$ 时就 “向左平移”，$φ<0$ 时就 “向右平移” 了.

$\qquad$ $\qquad$
 

函数的变换

$\left(1\right)$ 平移变换
① $y=f(x)⟶ y=f(x±a)(a>0)$ 将 $y=f(x)$ 图像沿 $x$ 轴向左 (右) 平移 $a$ 个单位 (左加右减)；
② $y=f(x)⟶y=f(x)± b (b>0)$ 将 $y=f(x)$ 图像沿 $x$ 轴向上 (下) 平移 $b$ 个单位 (上加下减).
解释
$f(x)=3\sin (2x+\dfrac{\pi}{3} )$ 向左平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位，得到的函数不是 $f(x)=3\sin (2x+\dfrac{\pi}{4} +\dfrac{\pi}{3} )$， 而是 $f(x)=3\sin \left[2(x+\dfrac{\pi}{4} )+\dfrac{\pi}{3} \right]$.
 

(2) 伸缩变换
① $y=f(x)⟶ y=A f(x)(A>0)$
将 $y=f(x)$ 图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的 $A$ 倍 ($A>1$ 伸长，$A<1$ 缩短).
② $y=f(x)⟶ y=f(ω x)(ω>0)$
将 $y=f(x)$ 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 $\dfrac{1}{\omega}$ 倍 ( $ω>1$ 缩短，$ω<1$ 伸长)；
问题 怎么理解呢？例：若将 $f(x)=3 \sin ⁡(x+\dfrac{\pi}{3} )$ 图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍，那得到的函数是 $f(x)=3 \sin ⁡(2x+\dfrac{\pi}{3} )$ 还是 $f(x)=3 \sin ⁡(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{3} )$ 呢？
解释 我们把 $f(x)=3 \sin ⁡(x+\dfrac{\pi}{3} )$ 的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍，那说明弹簧被压缩了，则周期变小，$ω$ 变大 ($T=\dfrac{2\pi}{ω}$,$T$ 与 $ω$ 成反比)，即变换后的函数应该是 $f(x)=3 \sin ⁡(2x+\dfrac{\pi}{3} )$.
 

基本方法

【题型1】 三角函数图象的变换

【典题 1】 用 “五点法” 作函数 $y=2\sin (2x+\dfrac{\pi}{4} )$ 在一个周期上的图象．
解析 $\left(1\right)$ 列出五个关键点如下：

$2x+\dfrac{\pi}{4}$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$π$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2π$
$x$	$-\dfrac{\pi}{8}$	$\dfrac{\pi}{8}$	$\dfrac{3\pi}{8}$	$\dfrac{5\pi}{8}$	$\dfrac{7\pi}{8}$
$y$	$0$	$2$	$0$	$－2$	$0$

$\left(2\right)$描点画图：

 

【典题 2】 函数 $f(x)=3 \sin ⁡(2x-\dfrac{\pi}{6} )$ 的图象可以看成由函数 $y=\sin ⁡x$ 的图象如何变换得到的？
解析 方法 1
$y=\sin x \stackrel {\text { 向右平移} \dfrac {\pi}{6} \text { 个单位 }}{\longrightarrow} y=\sin \left (x-\dfrac {\pi}{6}\right) \stackrel {\text { 纵坐标不变，横坐标变为原来的 } \dfrac {1}{2} \text { 倍 }}{\longrightarrow}$
$y=\sin \left (2 x-\dfrac {\pi}{6}\right) \stackrel {\text { 横坐标不变，纵坐标变为原来的 } 3 \text { 倍 }}{\longrightarrow} y=\sin \left (2 x-\dfrac {\pi}{6}\right)$.
具体图象变换显示如下

方法 2
$y=\sin x \stackrel {\text { 纵坐标不变，横坐标变为原来的竩倍}}{\longrightarrow} y=\sin 2 x \stackrel {\text { 向右平移 } \dfrac {\pi}{12} \text { 个单位 }}{\longrightarrow} y=\sin \left (2 x-\dfrac {\pi}{6}\right)$
$\stackrel {\text { 横坐标不变，纵坐标变为原来的} 3 \text { 倍 }}{\longrightarrow} y=\sin \left (2 x-\dfrac {\pi}{6}\right)$.
具体图象变换显示如下

点拨 函数的 $f(x)=A\sin (ωx+φ)(A>0,ω>0)$ 的图象由其他三角函数变换得到，先变换 $A$ 还是 $ω$，或 $φ$ 均可以.
 

【典题 3】 已知函数 $y=f(x)$, 将 $y=f(x)$ 的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 $2$ 倍，然后把所得的图象沿着 轴向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位，这样得到的是 $y=\dfrac{1}{2} \sin x$ 的图象，那么函数 $y=f(x)$ 的解析式是 ( )
  A. $f(x)=\dfrac{1}{2} \sin \left(\dfrac{x}{2} -\dfrac{\pi}{2} \right)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $f(x)=\dfrac{1}{2} \sin ⁡\left(2 x+\dfrac{\pi}{2} \right)$
  C. $f(x)=\dfrac{1}{2} \sin \left(\dfrac{x}{2} +\dfrac{\pi}{2} \right)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $f(x)=\dfrac{1}{2} \sin ⁡\left(2 x-\dfrac{\pi}{2} \right)$
解析 由题意曲线与 $y=\dfrac{1}{2} \sin x$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位，再纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半即可得到 $y=f(x)$ 的图形，故 $y=\dfrac{1}{2} \sin x$ 的图形沿 $x$ 轴向右平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位所得图形对应的函数解析式为 $y=\dfrac{1}{2} \sin \left(x-\dfrac{\pi}{2} \right)$，然后再将所得的曲线上的点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的一半，所得的图形对应的解析式为 $f(x)=\dfrac{1}{2} \sin \left(2x-\dfrac{\pi}{2} \right)$.
 

【巩固练习】

1. 用五点法画出函数 $f(x)=3\sin \left(\dfrac{x}{2} +\dfrac{\pi}{6} \right)+3$ 在一个周期内的闭区间上的图象；
 
 

2. 把函数 $y=\cos 2x+1$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变)，然后向左平移 $1$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度，得到的图象是 (　　)
$\qquad \qquad$
 

3. 为了得到函数 $f(x)=\sin \left(2x+\dfrac{3\pi}{4} \right)$ 的图象，可以将函数 $g(x)=\cos 2x$ 的图象 (　　)
 A．向右平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．向左平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位
 C．向右平移 $\dfrac{\pi}{8}$ 个单位 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．向左平移 $\dfrac{\pi}{8}$ 个单位
 

4. 将函数 $y=\cos x$ 的图象先左移 $\dfrac{\pi}{4}$，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的 $\dfrac{1}{2}$，所得图象的解析式为 (　　)
 A．$y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$y=\sin \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3\pi}{4} \right)$
 C．$y=\sin \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{4} \right)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$y=\sin \left (2x+\dfrac{3\pi}{4} \right)$
 

5. 将函数 $f(x)=\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{6} \right)(ω>0)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再向右平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，若 $y=g(x)$ 为奇函数，则 $ω$ 的最小值为 (　　)
 A. $4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B.$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C. $2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $1$
 

参考答案

1. 解析 列表

$x$	$-\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{5\pi}{3}$	$\dfrac{8\pi}{3}$	$\dfrac{11\pi}{3}$
$\dfrac{x}{2} +\dfrac{\pi}{6}$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$π$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2π$
$y$	$3$	$6$	$3$	$0$	$3$

其函数图象如下，

2. 答案 $A$
   解析 $y=\cos 2x+1$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍得 $y_1=\cos x+1$，再向左平移 $1$ 个单位长度得 $y_2=\cos (x+1)+1$，再向下平移 $1$ 个单位长度得 $y_3=\cos (x+1)$，故相应图象为 $A$．

3. 答案 $D$
   解析 为了得到函数 $f(x)=\sin \left(2x+\dfrac{3\pi}{4} \right)$ 的图象，可以将函数 $g(x)=\cos 2x=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{2} \right)$ 的图象向左平移 $\dfrac{\pi}{8}$ 个单位，$\sin \left[2\left(x+\dfrac{\pi}{8} \right)+\dfrac{\pi}{2} \right]=\sin \left(2x+\dfrac{3\pi}{4} \right)$．
   故选：$D$．

4. 答案 $D$
   解析 函数 $y=\cos x=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2} \right)$，其图象先左移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位，得 $y=\sin \left(x+\dfrac{3\pi}{4} \right)$ 的图象；
   再纵坐标不变，横坐标缩为原来的 $\dfrac{1}{2}$，得函数 $y=\sin \left(2x+\dfrac{3\pi}{4}\right)$ 的图象；
   所以函数 $y$ 的解析式为 $y=\sin \left(2x+\dfrac{3\pi}{4} \right)$．
   故选：$D$．

5. 答案 $C$
   解析 由题意，将函数 $f(x)=\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{6} \right)(ω>0)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再向右平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，
   得到 $g(x)=\sin \left[\dfrac{\omega}{2}\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{6}\right]=\sin \left(\dfrac{\omega}{2} x+\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\omega \pi}{12}\right)$，
   因为 $y=g(x)$ 为奇函数，
   所以 $\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\omega \pi}{12}=k \pi(k \in Z)$，解得 $ω=2-12k(k∈Z)$，
   又 $ω>0$，
   所以当 $k=0$ 时，$ω$ 取得最小值 $2$．
   故选：$C$．
    

【题型2】 求y＝A\sin (ωx+φ)的解析式

【典题 1】 已知函数 $f(x)=A\sin (ωx+φ)\left(A>0,ω>0,0<|φ|<\dfrac{\pi}{2} \right)$ 的部分图象如图所示，下述四个结论：
①$ω=2$；②$φ=-\dfrac{\pi}{3}$；③$f\left(x+\dfrac{\pi}{12} \right)$ 是奇函数；④$f\left(x-\dfrac{\pi}{12} \right)$ 是偶函数中，其中所有正确结论的编号是 $\underline{\quad \quad}$ .

解析 由函数图象的最值可得 $A=1$，
由 $\dfrac{3}{4} T=\dfrac{\pi}{6} -\left(-\dfrac{7\pi}{12} \right)=\dfrac{3\pi}{4}$，解得 $T=π$，所以 $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}=2$，
此时 $f(x)=\sin ⁡(2x+φ)$，
代入 $\left(-\dfrac{7\pi}{12} ,1\right)$ 得 $f\left(-\dfrac{7\pi}{12} \right)=\sin \left(-\dfrac{7\pi}{6} +φ\right)=1$，
$\therefore -\dfrac{7\pi}{6} +φ=\dfrac{\pi}{2} +2kπ⇒φ=\dfrac{5\pi}{3} +2kπ$，
又 $\because 0<|φ|<\dfrac{\pi}{2}$ ，$\therefore φ=-\dfrac{\pi}{3}$ ，
$\therefore f(x)=\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{3} \right)$，
$\therefore$ ①、②正确；
$\because f\left(x+\dfrac{\pi}{12} \right)=\sin \left[2\left(x+\dfrac{\pi}{12} \right)-\dfrac{\pi}{3} \right]=\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)$ 不是奇函数，$\therefore$③错误；
$\because f\left(x-\dfrac{\pi}{12} \right)=\sin \left[2\left(x-\dfrac{\pi}{12} \right)-\dfrac{\pi}{3} \right]=\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{2} \right)=-\cos 2x$，
$\therefore f(x-\dfrac{\pi}{12} )$ 为偶函数，④正确．
综上知，正确的命题序号是①②④．
点拨 由函数 $y=A\sin (ωx+φ)+B(A>0,ω>0)$ 的部分图象求解析式的方法
$\left(1\right)$ 求 $A$,$B$：通过函数最值求解，由 $\left\{\begin{array}{c} f_{\max }=A+B \\ f_{\min }=-A+B \end{array}\right.$ 得 $A=\dfrac{f_{\max }-f_{\min }}{2}$， $B=\dfrac{f_{\max }+f_{\min }}{2}$；
$\left(2\right)$ 求 $ω$：根据图象求出周期 $T$，再利用 $T=\dfrac{2\pi}{ω}$ 求出 $ω$；
$\left(3\right)$ 求 $φ$：求出 $A$,$ω$ 后代入函数图象一最值点，求出 $φ$.
 

【巩固练习】

1. 函数 $f\left(x\right)=A\sin \left(ωx+φ\right)$$(A,ω,φ$ 为常数 $,A>0,ω>0 )$ 的部分图象如图所示，则 $f\left(0\right)$ 的值是 $\underline{\quad \quad}$．

 

2. 若函数 $y=A\sin ⁡\left(ωx+φ\right)+B\left(A>0,ω>0\right)$ 在其一个周期内的图象上有一个最高点 $\left(\dfrac{\pi}{12} ,3\right)$ 和一个最低点 $\left(\dfrac{7\pi}{12} ,-5\right)$，求这个函数的解析式．
 
 

参考答案

1. 答案 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
   解析 由图可知：$A=\sqrt{2}$， $\dfrac{T}{4}=\dfrac{7 \pi}{12}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{4}$，
   所以 $T=π$, $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}=2$，
   又函数图象经过点 $\left(\dfrac{\pi}{3} ,0\right)$，所以 $2×\dfrac{\pi}{3} +φ=π$，则 $φ=\dfrac{\pi}{3}$ ，
   故函数的解析式为 $f\left(x\right)=\sqrt{2} \sin ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)$，
   所以 $f\left(0\right)=\sqrt{2} \sin ⁡\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$．

2. 答案 $y=4\sin ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)-1$
   解析 由已知，$y_{\max}=3$，$y_{\min}=-5$，则
   ①$A=\dfrac{y_{\max }-y_{\min }}{2}=\dfrac{3-(-5)}{2}=4$；
   ② $B=\dfrac{y_{\max }+y_{\min }}{2}=\dfrac{3+(-5)}{2}=-1$；
   ③由 $\dfrac{T}{2}=\dfrac{7 \pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{2}$，$\therefore T=π$，得 $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}=\dfrac{2 \pi}{\pi}=2$；
   ④函数的解析式 $y=A\sin \left(ωx+φ\right)+B=4\sin\left(2x+φ\right)－1$．
   将点 $\left(\dfrac{\pi}{12} ,3\right)$ 代入，得 $4\sin ⁡\left(2×\dfrac{\pi}{12} +φ\right)-1=3$，
   即 $\sin ⁡\left(\dfrac{\pi}{6} +φ\right)=1$，
   所以 $\dfrac{\pi}{6} +φ=2kπ+\dfrac{\pi}{2}$,$k∈Z$，这里对 $φ$ 没有限制，
   应该说 $φ=2kπ+\dfrac{\pi}{3}$ ，$k∈Z$ 的任意一个解都满足题意，一 般取 $|φ|<\dfrac{\pi}{2}$ ，
   故所求的函数解析式为 $y=4\sin ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)-1$．
    

【题型3】函数$y＝A\sin \left(ωx+φ\right)$性质的综合应用

【典题 1】 已知函数 $f\left(x\right)=\sin ^2 ωx+\sqrt{3} \sin ωx\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{2} \right)\left(ω>0\right)$ 的最小正周期为 $π$．
 $\left(1\right)$ 求 $ω$ 的值；
 $\left(2\right)$ 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0 ,\dfrac{2\pi}{3} \right]$ 上的取值范围．
 $\left(3\right)$ 求函数 $f(x)$ 的最大值，并且求使 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合．
解析 $\left(1\right)f\left(x\right)=\sin ^2 ωx+\sqrt{3} \sin ωx\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{2} \right)=\sin ^2 ωx+\sqrt{3} \sin ωx\cos ωx$
$=\dfrac{1-\cos 2 \omega x}{2}+\dfrac{\sqrt{3} \sin 2 \omega x}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3} \sin 2 \omega x}{2}-\dfrac{\cos 2 \omega x}{2}$
$=\dfrac{1}{2} +\sin \left(2ωx-\dfrac{\pi}{6} \right)$，
$\because$ 函数 $f\left(x\right)=\sin ^2 ωx+\sqrt{3} \sin ωx\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{2} \right)\left(ω>0\right)$ 的最小正周期为 $π$，
$\therefore ω$ 的值为 $1$；
$\left(2\right)$ 由 $\left(1\right)$ 得 $f\left(x\right)=\dfrac{1}{2} +\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)$，
由 $x∈\left[0 ,\dfrac{2\pi}{3} \right]$ 得 $2x-\dfrac{\pi}{6} ∈\left[-\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{7\pi}{6} \right]$ ，
所以 $\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)∈\left[-\dfrac{1}{2} ,1\right]$，
$\therefore$ 函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0 ,\dfrac{2\pi}{3} \right]$ 上的取值范围是 $\left[0 ,\dfrac{3}{2} \right]$，
$\left(3\right)\because f\left(x\right)=\dfrac{1}{2} +\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)$，
$\therefore$ 函数的最大值为 $\dfrac{3}{2}$，此时有 $2x-\dfrac{\pi}{6} =2kπ+\dfrac{\pi}{2}$ ,$k∈Z$，
解得 $x=kπ+\dfrac{\pi}{3}$ ，$k∈Z$．
即使 $f(x)$ 取得最大值的 x 的集合是 $\{x|x=kπ+\dfrac{\pi}{3},k∈Z\}$．
点拨 通过各种公式 (两角和差公式、倍角公式、积化和差公式等) 转化，最终把函数的解析式转化为 $f\left(x\right)=A\sin \left(ωx+φ\right)+B$ 或 $f\left(x\right)=A\cos \left(ωx+φ\right)+B$ 的形式求解函数的各性质 (单调性、对称性、周期、最值等).
 

【巩固练习】

1. 已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin x\cos x-\sin ^2 x$．
 $\left(1\right)$ 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；
 $\left(2\right)$ 求函数 $f(x)$ 的单调增区间；
 $\left(3\right)$ 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[0 ,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 上的最大值．
 
 

2. 已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin ωx+\cos ωx\left(ω>0\right)$ 图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为 $\dfrac{\pi}{4}$．
 $\left(1\right)$ 求 $f(x)$ 的单调递增区间；
 $\left(2\right)$ 当 $x∈\left[-\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{7\pi}{12} \right]$ 时，求 $f(x)$ 的值域．
 
 

参考答案

1. 答案 $\left(1\right) π$；$\left(2\right) \left[-\dfrac{\pi}{3} +kπ ,\dfrac{\pi}{6} +kπ\right]\left(k∈Z\right)$;$\left(3\right) \dfrac{1}{2}$ .
   解析 $\text { (1) } f(x)=\sqrt{3} \sin x \cos x-\sin ^2 x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x-\dfrac{1-\cos 2 x}{2}$
   $=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x+\dfrac{1}{2} \cos 2 x-\dfrac{1}{2}=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{1}{2}$，
   $\left(1\right)$ 最小正周期 $T=\dfrac{2\pi}{2} =π$；
   $\left(2\right)$ 令 $-\dfrac{\pi}{2} +2kπ≤2x+\dfrac{\pi}{6} ≤\dfrac{\pi}{2} +2kπ$，$k∈Z$，
   则 $-\dfrac{\pi}{3} +kπ≤x≤\dfrac{\pi}{6} +kπ$，$k∈Z$，
   故单调增区间为：$\left[-\dfrac{\pi}{3} +kπ ,\dfrac{\pi}{6} +kπ\right]$，$\left(k∈Z\right)$，
   $\left(3\right)$ 当 $x∈\left[0 ,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 时，$2x+\dfrac{\pi}{6} ∈\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{7\pi}{6} \right]$ ，
   则 $f\left(x\right)=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right)-\dfrac{1}{2} ∈\left[-1 ,\dfrac{1}{2} \right]$，
   所以函数 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0 ,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 上的最大值为 $\dfrac{1}{2}$ ．

2. 答案 $\left(1\right) \left[kπ-\dfrac{\pi}{3} ,kπ+\dfrac{\pi}{6} \right]$，$k∈Z$ ；$\left(2\right) \left[-\sqrt{3},2\right]$.
   解析 $\left(1\right)\because$ 函数 $f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin ωx+\cos ωx=2\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{6} \right)\left(ω>0\right)$
   图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为 $\dfrac{1}{4} ×\dfrac{2\pi}{ω}=\dfrac{\pi}{4}$，
   $\therefore ω=2$，$f\left(x\right)=2\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right)$．
   令 $2kπ-\dfrac{\pi}{2} ≤2x+\dfrac{\pi}{6} ≤2kπ+\dfrac{\pi}{2}$ ，$k∈Z$，
   求得 $kπ-\dfrac{\pi}{3} ≤x≤kπ+\dfrac{\pi}{6}$，
   可得函数的增区间为 $\left[kπ-\dfrac{\pi}{3} ,kπ+\dfrac{\pi}{6} \right]$，$k∈Z$．
   $\left(2\right)$ 当 $x∈\left[-\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{7\pi}{12} \right]$ 时，$2x+\dfrac{\pi}{6} ∈\left[-\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{4\pi}{3} \right]$，
   $\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right)∈\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2} ,1\right]$，$f\left(x\right)∈\left[-\sqrt{3},2\right]$，
   故函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-\sqrt{3},2\right]$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 为了得到函数 $y=\cos 3x$ 的图象，只需把函数 $y=\cos \left(3x-\dfrac{\pi}{4} \right)$ 的图象 (　　)
 A．向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．向右平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度
 C．向左平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D．向右平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度
 

2. 把函数 $y=\sin 2x\left(x∈R\right)$ 的图象上所有的点向左平行移动 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍 (纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是 (　　)
 A. $y=\sin ⁡\left(4x+\dfrac{\pi}{6} \right),x∈R$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $y=\sin ⁡\left(4x-\dfrac{\pi}{6} \right),x∈R$
 C. $y=\sin ⁡\left(4x+\dfrac{\pi}{3} \right),x∈R$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $y=\sin ⁡\left(4x-\dfrac{\pi}{3} \right),x∈R$
 

3. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是 (　　)

 A．$y=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6} \right)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$y=\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)$
 C．$y=\cos \left(4x-\dfrac{\pi}{3} \right)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$y=\cos \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)$
 

4. 将函数 $f\left(x\right)=A\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{6} \right)\left(A>0,ω>0\right)$ 的图象上的点的横坐标缩短为原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位得到函数 $g\left(x\right)=2\cos \left(2x+φ\right)$ 的图象，则下列说法正确的是 (　　)
 A．函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $π$
 B．函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[2kπ-\dfrac{2\pi}{3} ,2kπ+\dfrac{\pi}{3} \right]\left(k∈Z\right)$
 C．函数 $f(x)$ 的图象有一条对称轴为 $x=\dfrac{2\pi}{3}$
 D．函数 $f(x)$ 的图象有一个对称中心为 $\left(\dfrac{2\pi}{3} ,0\right)$
 

5. 如图，函数 $y=A\sin \left(ωx+φ\right)\left(A>0,ω>0,|φ|≤\dfrac{\pi}{2} \right)$ 与坐标轴的三个交点 $P$、$Q$、$R$ 满足 $P\left(1,0\right)$，$∠PQR=\dfrac{\pi}{4}$ ，$M$ 为 $QR$ 的中点， $P M=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$，则 $A$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$ .

 

6. 给出下列六种图象变换的 方法：
 ①图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$；
 ②图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 $2$ 倍；
 ③图象向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位长度；
 ④图象向左平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位长度；
 ⑤图象向右平移 $\dfrac{2\pi}{3}$ 个单位长度；
 ⑥图象向左平移 $\dfrac{2\pi}{3}$ 个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数 $y=\sin x$ 的图象变换为函数 $y=\sin \left(\dfrac{x}{2} +\dfrac{\pi}{3} \right)$ 的图象，那么这两种变换正确的标号是 $\underline{\quad \quad}$ (要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．
 

7. 已知函数 $f\left(x\right)=\sin \left(ωx+φ\right)\left(ω>0,0≤φ≤π\right)$ 是 $R$ 上的偶函数，其图象关于点 $M\left(\dfrac{3\pi}{4} ,0\right)$ 对称，且在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 上是单调函数，求 $φ$ 和 $ω$ 的值．
 

8. 函数 $f\left(x\right)=A\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{6} \right)+1\left(A>0,ω>0\right)$ 的最大值为 $3$，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\dfrac{\pi}{2}$．
 $\left(1\right)$ 求函数 $f(x)$ 的解析式；
 $\left(2\right)$ 设 $α∈\left(0,\dfrac{\pi}{2} \right)$，$f\left( \dfrac{α}{2}\right)=2$，求 $α$ 的值．
 
 

9. 已知函数 $f\left(x\right)=A\sin \left(ωx+φ\right)+B\left(A>0,ω>0,|φ|<\dfrac{\pi}{2} \right)$ 的部分图象如图所示．
 $\left(1\right)$ 求 $f(x)$ 的解析式；
 $\left(2\right)$ 求 $f(x)$ 的单调递增区间和对称中心坐标；
 $\left(3\right)$ 将 $f(x)$ 的图象向左平移 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位，再讲横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移 $1$ 个单位，得到函数 $g\left(x\right)$ 的图象，求函数 $y=g\left(x\right)$ 在 $x∈\left[0,\dfrac{7\pi}{6} \right]$ 上的最大值和最小值．

 
 

10. 函数 $f\left(x\right)=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right)+\cos 2x$．
 $\left(1\right)$ 求 $f\left(0\right)$，$f\left(\dfrac{\pi}{12} \right)$；
 $\left(2\right)$ 求函数 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{4} \right]$ 上的最大值与最小值．
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 函数 $y=\cos \left(3x-\dfrac{\pi}{4} \right)=\cos \left[3\left(x-\dfrac{\pi}{12} \right)\right]$，
   所以只需把函数 $y=\cos \left(3x-\dfrac{\pi}{4} \right)$ 的图象，向左平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个长度单位，
   即可得到函数 $y=\cos \left[3\left(x+\dfrac{\pi}{12} -\dfrac{\pi}{12} \right)\right]=\cos 3x$ 的图象．
   故选：$C$．

2. 答案 $C$
   解析 函数 $y=\sin 2x\left(x∈R\right)$ 的图象上所有的点向左平行移动 $\dfrac{\pi}{6}$ 个单位长度得到 $y=\sin ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)$ 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍 (纵坐标不变)，得到 $y=\sin ⁡\left(4x+\dfrac{\pi}{3} \right)，x∈R$．
   故选：$C$．

3. 答案 $D$
   解析 “五点法” 对应解方程．设 $y=A\sin \left(ωx+φ\right)$，显然 $A=1$,
   又图象过点 $\left(-\dfrac{\pi}{6} ,0\right),\left(\dfrac{\pi}{12} ,1\right)$
   所以 $ω×\left(-\dfrac{\pi}{6} \right)+φ=0$， $ω×\dfrac{\pi}{12} +φ=\dfrac{\pi}{2}$ 解得 $ω=2$,$φ=\dfrac{\pi}{3}$ ．
   所以函数解析式为 $y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)=\cos \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)$．故选 $D$．

4. 答案 $B$
   解析 函数 $f\left(x\right)=A\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{6} \right)\left(A>0,ω>0\right)$ 的图象上的点的横坐标缩短为原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍，再向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位得到：$g\left(x\right)=A\sin \left(2ωx+\dfrac{\pi}{6} -\dfrac{2πω}{3}\right)$ 的图象．
   与 $g\left(x\right)=2\cos \left(2x+φ\right)=2\sin \left(2x+φ+\dfrac{\pi}{2} \right)$ 比较，
   又由于 $A>0$，$ω>0$，所以 $A=2$，$ω=1$．
   故 $\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{2} \right)=\cos \left(2x-π\right)=\cos \left(2x+φ\right)$，
   得到：$φ=2kπ-π$，$k∈Z$，
   所以：$f\left(x\right)=2\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6} \right)$，$g\left(x\right)=-2\cos 2x$．
   故函数 $f(x)$ 的周期为 $2π$，$A$ 错误；
   令 $2kπ-\dfrac{\pi}{2} ≤x+\dfrac{\pi}{6} ≤2kπ+\dfrac{\pi}{2}$，$k∈Z$，
   解得 $2kπ-\dfrac{2\pi}{3} ≤x≤2kπ+\dfrac{\pi}{3}$,$k∈Z$，
   函数 $f(x)$ 单调递增区间为 $\left[2kπ-\dfrac{2\pi}{3} ，2kπ+\dfrac{\pi}{3} \right]\left(k∈Z\right)$，故 $B$ 正确；
   由于 $f\left(\dfrac{2\pi}{3} \right)=2\sin \dfrac{5\pi}{6} =1$，可得 $C$,$D$ 错误．
   故选：$B$．

5. 答案 $5\sqrt{2}$
   解析 由 $∠PQR=\dfrac{\pi}{4}$，所以 $OQ=OR$，设 $Q\left(m,0\right)$，则 $R\left(0,-m\right)$，
   又 $M$ 为 $QR$ 的中点，所以 $M\left(\dfrac{m}{2},-\dfrac{m}{2}\right)$；
   又 $P M=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$，即 $\sqrt{\left(1-\dfrac{m}{2}\right)^2+\left(0+\dfrac{m}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{34}}{2}$；
   整理得 $m^2-2m-15=0$，解得 $m=5$ 或 $m=-3$(不合题意，舍去)；
   所以 $R\left(0,-5\right)$，$Q\left(5,0\right)$；
   所以 $\dfrac{1}{2} T=4$，解得 $T=8$，所以 $\dfrac{2\pi}{ω}=8$，解得 $ω=\dfrac{\pi}{4}$；
   把 $P\left(1,0\right)$ 代入 $f\left(x\right)=A\sin \left(\dfrac{\pi}{4} x+φ\right)$，即 $A\sin \left(\dfrac{\pi}{4} +φ\right)=0$，
   由 $|φ|≤\dfrac{\pi}{2}$，得 $φ=-\dfrac{\pi}{4}$；
   把 $R\left(0,-5\right)$，代入 $f\left(x\right)=A\sin \left(\dfrac{\pi}{4} x-\dfrac{\pi}{4} \right)$
   得 $A\sin\left (-\dfrac{\pi}{4} \right)=-5$，解得 $A=5\sqrt{2}$．

6. 答案 ④②或②⑥　
   解析 $y=\sin x \stackrel{④}{\rightarrow} y=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right) \stackrel{②}{\rightarrow} y=\sin \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{3}\right)$
   或 $y=\sin x \stackrel{②}{\rightarrow} y=\sin \dfrac{x}{2} \stackrel{⑥}{\rightarrow} y=\sin \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right)$．

7. 答案 $φ=\dfrac{\pi}{2}$，$ω=2$ 或 $\dfrac{2}{3}$
   解析 由 $f\left(x\right)$ 是偶函数，得 $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$，即函数 $f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，
   $\therefore f\left(x\right)$ 当 $x=0$ 时取得最值，即 $\sin φ=1$ 或 $-1$．
   依题设 $0≤φ≤π$，解得 $φ=\dfrac{\pi}{2}$ ．
   由 $f(x)$ 的图象关于点 $M$ 对称，
   可知 $\sin \left(\dfrac{3\pi}{4} ω+\dfrac{\pi}{2} \right)=0$，解得 $\omega=\dfrac{4 k}{3}-\dfrac{2}{3}$ ,$k∈Z$．
   又 $f(x)$ 在 $\left[0,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 上是单调函数，$\therefore T≥π$，即 $\dfrac{2\pi}{ω}≥π$，$\therefore ω≤2$．
   又 $ω>0$，
   $\therefore$ 当 $k=1$ 时，$ω=\dfrac{2}{3}$；当 $k=2$ 时，$ω=2$．
   $\therefore φ=\dfrac{\pi}{2}$，$ω=2$ 或 $\dfrac{2}{3}$．

8. 答案 $\left(1\right) y=2\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)+1$；$\left(2\right) \dfrac{\pi}{3}$.
   解析 $\left(1\right)\because$ 函数 $f(x)$ 的最大值为 $3$，$\therefore A+1=3$，即 $A=2$．
   $\because$ 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\dfrac{\pi}{2}$ ，
   $\therefore$ 最小正周期 $T=π$．
   $\therefore ω=2$．
   故函数 $f(x)$ 的解析式为 $y=2\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)+1$．
   $\left(2\right) \therefore f\left( \dfrac{α}{2}\right)=2\sin \left(α-\dfrac{\pi}{6} \right)+1=2$，
   即 $\sin \left(α-\dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{1}{2}$，
   $\because 0<α<\dfrac{\pi}{2}$ ，$\therefore -\dfrac{\pi}{6} <α-\dfrac{\pi}{6} <\dfrac{\pi}{3}$ ．
   $\therefore α-\dfrac{\pi}{6} =\dfrac{\pi}{6}$．故 $α=\dfrac{\pi}{3}$．

9. 答案 $\left(1\right)f\left(x\right)=2\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)-1$；$\left(2\right)\left(\dfrac{k\pi}{2} -\dfrac{\pi}{6} ,-1\right)$,$k∈Z$；$\left(3\right)$ 最小值 $-2$，最大值 $\sqrt{3}$ .
   解析 $\left(1\right)$ 由图象可知 $\left\{\begin{array}{l} A+B=1 \\ -A+B=-3 \end{array}\right.$，可得：$A=2$，$B=-1$，
   又由于 $\dfrac{T}{2}=\dfrac{7 \pi}{12}-\dfrac{\pi}{12}$ ，可得：$T=π$，所以 $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}=2$，
   由图象及五点法作图可知： $2 \times \dfrac{\pi}{12}+\varphi=\dfrac{\pi}{2}$ ，所以 $φ=\dfrac{\pi}{3}$，
   所以 $f\left(x\right)=2\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)-1$．
   $\left(2\right)$ 由 $\left(1\right)$ 知，$f\left(x\right)=2\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)-1$，
   令 $2kπ-\dfrac{\pi}{2} ≤2x+\dfrac{\pi}{3} ≤2kπ+\dfrac{\pi}{2}$，$k∈Z$，
   得 $kπ-\dfrac{5\pi}{12} ≤x≤kπ+\dfrac{\pi}{12}$，$k∈Z$，
   所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[kπ-\dfrac{5\pi}{12} ,kπ+\dfrac{\pi}{12} \right]$,$k∈Z$，
   令 $2x+\dfrac{\pi}{3} =kπ$，$k∈Z$，得 $x=\dfrac{k\pi}{2} -\dfrac{\pi}{6}$ ，$k∈Z$，
   所以 $f(x)$ 的对称中心的坐标为 $\left(\dfrac{k\pi}{2} -\dfrac{\pi}{6} ,-1\right)$,$k∈Z$．
   $\left(3\right)$ 由已知的图象变换过程可得：$g\left(x\right)=2\sin \left(x+\dfrac{2\pi}{3} \right)$，
   因为 $0≤x≤\dfrac{7\pi}{6}$，所以 $\dfrac{2\pi}{3} ≤x+\dfrac{2\pi}{3} ≤\dfrac{11\pi}{6}$，
   所以当 $x+\dfrac{2\pi}{3} =\dfrac{3\pi}{2}$，得 $x=\dfrac{5\pi}{6}$ 时，$g\left(x\right)$ 取得最小值 $g\left(\dfrac{5\pi}{6} \right)=-2$，
   当 $x+\dfrac{2\pi}{3} =\dfrac{2\pi}{3}$，即 $x=0$ 时，$g\left(x\right)$ 取得最大值 $g\left(0\right)=\sqrt{3}$．

10. 答案 $\left(1\right) f\left(0\right)=\dfrac{3}{2}$ ，$f\left(\dfrac{\pi}{12} \right)=\sqrt{3}$；$\left(2\right)$ 最大值为 $\sqrt{3}$，最小值为 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
    解析 $\left(1\right)$ 因为 $f(x)=\sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos 2 x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x+\dfrac{1}{2} \cos 2 x+\cos 2 x$
    $=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x+\dfrac{3}{2} \cos 2 x=\sqrt{3} \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)$，
    所以 $f\left(0\right)=\sqrt{3} \sin \left(2×0+\dfrac{\pi}{3} \right)=\dfrac{3}{2}$，$f\left(\dfrac{\pi}{12} \right)=\sqrt{3} \sin \left(2×\dfrac{\pi}{12} +\dfrac{\pi}{3} \right)=\sqrt{3}$；
    $\left(2\right)f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)$，
    因为 $x∈\left[-\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{4} \right]$，所以 $-\dfrac{\pi}{6} ≤2x+\dfrac{\pi}{3} ≤\dfrac{5\pi}{6}$，
    故 $-\dfrac{1}{2} ≤\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)≤1$，所以 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leq f(x) \leq \sqrt{3}$，
    所以函数 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{4} \right]$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$，最小值为 $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ．
     

【B组---提高题】

1. 已知函数 $f\left(x\right)=\sin ⁡\left(ωx+φ\right)\left(ω>0,0<φ<π\right)$，$f\left(0\right)=f\left(\dfrac{2 \pi}{9}\right)=-f\left(\dfrac{\pi}{3} \right)$，且 $f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{4\pi}{9}\right)$ 上单调，则函数 $y=f(x)$ 的解析式是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

2. 如图是函数 $f\left(x\right)=A \sin \left(ωx+φ\right)\left(A>0,ω>0,0<φ<\dfrac{\pi}{2} \right)$ 的部分图象，$M$、$N$ 是它与 $x$ 轴的两个不同交点，$D$ 是 $M$、$N$ 之间的最高点且横坐标为 $\dfrac{\pi}{4}$，点 $F\left(0,1\right)$ 是线段 $DM$ 的中点．
 $\left(1\right)$ 求函数 $f(x)$ 的解析式及 $\left[π,2π\right]$ 上的单调增区间；
 $\left(2\right)$ 若 $x∈\left[-\dfrac{\pi}{12} ,\dfrac{5\pi}{12} \right]$ 时，函数 $h\left(x\right)=f^2 \left(x\right)-a f\left(x\right)+1$ 的最小值为 $\dfrac{1}{2}$ , 求实数 $a$ 的值．

 
 

参考答案

1. 答案 $f\left(x\right)=\sin ⁡\left(3x+\dfrac{\pi}{6} \right)$
   解析 对于函数 $f\left(x\right)=\sin \left(ωx+φ\right) \left (ω>0,0<φ<π\right)$，
   由 $f\left(0\right)=f\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)$，可得函数的图象关于直线 $x=\dfrac{1}{2} \left(0+\dfrac{2\pi}{9}\right)=\dfrac{\pi}{9}$ 对称；
   又 $f\left(\dfrac{2\pi}{9}\right)=-f\left(\dfrac{\pi}{3} \right)$，可得函数的图象关于点 $\left(\dfrac{\dfrac{2 \pi}{9}+\dfrac{\pi}{3}}{2}，0\right).$ 对称，即 $\left(\dfrac{5 \pi}{18},0\right)$；
   $\therefore \dfrac{T}{4}+k T=\dfrac{5 \pi}{18}-\dfrac{\pi}{9}=\dfrac{\pi}{6}$ ，$k∈Z$, 解得 $T=\dfrac{2 \pi}{3(4 k+1)}$，
   $\therefore \omega=\dfrac{2 \pi}{T}=3(4 k+1)$；
   $\because f\left(x\right)$ 在 $\left(\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{4\pi}{9}\right)$ 上单调，$\therefore \dfrac{T}{2} \geq \dfrac{4 \pi}{9}-\dfrac{\pi}{6}$，解得 $T>\dfrac{5\pi}{9}$，
   $\therefore 0<\omega \leq \dfrac{18}{5} \text {, }$，
   又 $\omega=\dfrac{2 \pi}{T}=3(4 k+1)$， $\therefore ω=3$，
   $\because \left(\dfrac{5 \pi}{18}，0\right)$ 是对称中心，$\therefore f\left(\dfrac{5 \pi}{18}\right)=0$，
   即 $\sin \left(3 \times \dfrac{5 \pi}{18}+\varphi\right)=0$，
   又 $\because 0<φ<π$ , $\therefore φ=\dfrac{\pi}{6}$，
   $\therefore f\left(x\right)=\sin ⁡\left(3x+\dfrac{\pi}{6} \right)$.

2. 答案 $\left(1\right) f\left(x\right)=2\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)$，$\left[\dfrac{5\pi}{4} ,2π\right]$；$\left(2\right) \dfrac{3}{2}$.
   解析 $\left(1\right)$ 取 $MN$ 的中点为 $H$，则 $DH⊥MN$，
   因为 $F$ 为 $DM$ 的中点，且 $F$ 在 $y$ 轴上，
   则 $OF//DH$ 且 $OF=\dfrac{1}{2} DH$，则 $OM=OH$，
   所以 $D\left(\dfrac{\pi}{4} ,2\right)$，$M\left(-\dfrac{\pi}{4} ,0\right)$，则 $A=2$，
   $T=\dfrac{2 \pi}{\omega}=4\left[\dfrac{\pi}{4}-\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]=2 \pi$，所以 $ω=1$，
   所以 $f\left(x\right)=2\sin \left(x+φ\right)$，
   由 $f\left(\dfrac{\pi}{4} \right)=2$，解得 $φ=2kπ+\dfrac{\pi}{4}$,$k∈Z$，
   由 $0<φ<\dfrac{\pi}{2}$ ，所以 $φ=\dfrac{\pi}{4}$ ，
   即 $f\left(x\right)=2\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)$，
   令 $-\dfrac{\pi}{2} +2kπ≤x+\dfrac{\pi}{4} ≤\dfrac{\pi}{2} +2kπ$, 解得 $-\dfrac{3\pi}{4} +2kπ≤x≤\dfrac{\pi}{4} +2kπ$，
   又 $x∈\left[π,2π\right]$，
   所以函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[π,2π\right]$ 上的单调增区间为:$\left[\dfrac{5\pi}{4} ,2π\right]$；
   $\left(2\right)$ 因为 $-\dfrac{\pi}{12} ≤x≤\dfrac{5\pi}{12}$，所以 $\dfrac{\pi}{6} ≤x+\dfrac{\pi}{4} ≤\dfrac{2\pi}{3}$，
   所以 $\dfrac{1}{2} ≤\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)≤1$，所以 $1≤f\left(x\right)≤2$，
   令 $t=f\left(x\right)$，则 $t∈\left[1,2\right]$，
   则 $g(t)=t^2-a t+1=\left(t-\dfrac{a}{2}\right)^2+1-\dfrac{a^2}{4}$，
   ①当 $\dfrac{a}{2} ≤1$，即 $a≤2$ 时， $g(t)_{\min }=g(1)=\dfrac{1}{2}$，解得:$a=\dfrac{3}{2}$ ，
   ②当 $1<\dfrac{a}{2} <2$，即 $2<a<4$ 时， $g(t)_{\min }=g\left(\dfrac{a}{2}\right)=1-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{1}{2}$，解得:$a=±\sqrt{2}$(舍)，
   ③当 $\dfrac{a}{2} ≥2$ 即 $a≥4$ 时， $g(t)_{\min }=g(2)=\dfrac{1}{2}$，解得 $a=\dfrac{9}{4}$(舍)，
   综合①②③得实数 $a$ 的值为 $\dfrac{3}{2}$ ．
    

【C组---拓展题】

1. 已知函数 $f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin \left(2ωx+φ\right)+1\left(ω>0，-\dfrac{\pi}{2} <φ<\dfrac{\pi}{2} \right)$，函数 $f(x)$ 的图象经过点 $\left(-\dfrac{\pi}{12} ,1\right)$ 且 $f(x)$ 的最小正周期为 $\dfrac{\pi}{2}$．
 $\left(1\right)$ 求函数 $f(x)$ 的解析式；
 $\left(2\right)$ 将函数 $y=f(x)$ 图象上所有的点向下平移 $1$ 个单位长度，再函数图象上所有点的横坐标变为原来的 $2$ 倍，纵坐标不变，再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 $\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$ 倍，得到函数 $y=h\left(x\right)$ 图象，令函数 $g\left(x\right)=h\left(x\right)+1$，区间 $[a ,b ] (a ,b∈R$ 且 $a<b )$ 满足：$y=g\left(x\right)$ 在 $\left[a ,b\right]$ 上至少有 $30$ 个零点，在所有满足上述条件的 $\left[a ,b\right]$ 中，求 $b-a$ 的最小值．
 $\left(3\right)$ 若 $m\left[1+\sqrt{3}\left(f\left(\dfrac{x}{8}-\dfrac{\pi}{12} \right)－1\right)\right]+\dfrac{1}{2} +\dfrac{3}{2} \cos x≤0$ 对任意 $x∈\left[0 ,2π\right]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．
 
 

参考答案

1. 答案 $\left(1\right) f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin \left(4x+\dfrac{\pi}{3} \right)+1$；$\left(2\right) \dfrac{43\pi}{3}$；$\left(3\right) \left(-∞ ,-2\right]$.
   解析 $\left(1\right)\because f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin \left(2ωx+φ\right)+1$，
   又函数 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $\dfrac{\pi}{2}$，$\therefore \dfrac{2\pi}{2} ω=\dfrac{\pi}{2}$，$\therefore ω=2$．
   $\therefore f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin \left(4x+φ\right)+1$．
   又函数 $f(x)$ 经过点 $\left(-\dfrac{\pi}{12} ,1\right)$，
   所以 $f\left(-\dfrac{\pi}{12} \right)=\sqrt{3} \sin \left(-\dfrac{\pi}{3} +φ\right)+1=1$，
   于是 $\left(4×\left(-\dfrac{\pi}{12} \right)+φ\right)=kπ$,$k∈Z$
   因为 $-\dfrac{\pi}{2} <ϕ<\dfrac{\pi}{2}$，所以 $ϕ=\dfrac{\pi}{3}$．
   故 $f\left(x\right)=\sqrt{3} \sin \left(4x+\dfrac{\pi}{3} \right)+1$．
   $\left(2\right)$ 由题意，$h(x)=2 \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right) g(x)=2 \sin \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)+1$．
   令 $g\left(x\right)=0$ 得：$\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)=-\dfrac{1}{2}$，
   $\therefore 2x+\dfrac{\pi}{3} =2kπ+\dfrac{7\pi}{6}$ 或 $2x+\dfrac{\pi}{3} =2kπ+\dfrac{11\pi}{6}$ ，$k∈Z$
   解得：$x=kπ+\dfrac{5\pi}{12}$ 或 $x=kπ+\dfrac{3\pi}{4}$ ,$k∈Z$
   $\therefore$ 相邻两个零点之间的距离为 $\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\dfrac{2\pi}{3}$．
   若 $b-a$ 最小，则 $a$ ,$b$ 均为 $g\left(x\right)$ 的零点，
   此时在区间 $\left[a ,π+a\right]$,$\left[a ,2π+a\right]$,… ,$\left[a ,mπ+a\right]\left(m∈N^*\right)$ 分别恰有 $3$，$5$，…，$2m+1$ 个零点．
   $\therefore$ 在区间 $\left[a ,14π+a\right]$ 恰有 $2×14+1=29$ 个零点．
   $\therefore \left(14π+a ,b\right]$ 至少有一个零点．
   $\therefore b-\left(14π+a\right)≥\dfrac{\pi}{3}$，即 $b-a≥14π+\dfrac{\pi}{3} =\dfrac{43\pi}{3}$．
   检验可知，在 $\left[\dfrac{5\pi}{12} ,\dfrac{5\pi}{12} +\dfrac{43\pi}{4} \right]$ 恰有 $30$ 个零点，满足题意 (可有可无)
   $\therefore b-a$ 的最小值为 $\dfrac{43\pi}{3}$ ．
   $\left(3\right)$ 由题意得 $m\left(3\sin \dfrac{x}{2} +1\right)≤3\sin ^2 \dfrac{x}{2} -2$．
   $\because x∈\left[0 ,2π\right]$，$\therefore \dfrac{x}{2} ∈\left[0 ,π\right]$，
   $\therefore \sin \dfrac{x}{2} ∈\left[0 ,1\right]$，$m \leq \dfrac{3 \sin ^2 \dfrac{x}{2}-2}{3 \sin \dfrac{x}{2}+1}$．
   设 $t=3\sin \dfrac{x}{2} +1$，$t∈\left[1 ,4\right]$．则 $\sin \dfrac{x}{2}=\dfrac{t-1}{3}$．
   设 $y=\dfrac{3 \sin ^2 \dfrac{x}{2}-2}{3 \sin \dfrac{x}{2}+1}$．
   则 $y=\dfrac{3 \cdot \dfrac{1}{9}(t-1)^2-2}{t}=\dfrac{t^2-2 t-5}{3 t}=\dfrac{1}{3}\left(t-\dfrac{5}{t}-2\right)$ 在 $t∈\left[1 ,4\right]$ 上是增函数．
   $\therefore$ 当 $t=1$ 时， $y_{\min }=-2$，$\therefore m≤-2$．
   故实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-∞ ,-2\right]$．