5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (2)

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

二倍角的正弦余弦正切公式

(1) $\sin 2α=2\sin α\cdot \cos α$;
(2) $\cos ⁡2α=\cos ^2 α-\sin ^2 α=1-2\sin ^2 α=2\cos ^2 α-1$;
(3) $\tan 2 \alpha=\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}$;
(由 $S_{(\alpha \pm \beta)}$、 $C_{(\alpha \pm \beta)}$、 $T_{(\alpha \pm \beta)}$ 可推导出 $\sin 2α$，$\cos 2α$，$\tan 2α$ 的公式)
推导
(1) $\sin 2α=\sin (α+α) =\sin α \cos ⁡α+\cos ⁡α \sin α=2\sin α\cos α;$
(2) $\cos ⁡2α=\cos ⁡(α+α)=\cos ^2 α-\sin ^2 α$;
$\cos ⁡2α=\cos ^2 α-\sin ^2 α=1-\sin ^2 α-\sin ^2 α=1-2\sin ^2 α$;
$\cos ⁡2α=\cos ^2 α-\sin ^2 α=\cos ^2 α-(1-\cos ^2 α)=2\cos ^2 α-1$;
(3) $\tan 2 \alpha=\tan (\alpha+\alpha)=\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}$.
 

【例】 求 $\sin 15 ^{\circ}\cdot \cos 15 ^{\circ}$，$\cos ^2⁡ 75 ^{\circ} -\sin ^2⁡ 75 ^{\circ}$, $\dfrac{\tan 15^{\circ}}{1-\tan ^2 15^{\circ}}$ 的值.
解 $\sin 15 ^{\circ}\cdot \cos 15 ^{\circ}=\dfrac{\sin 30^{\circ}}{2}=\dfrac{1}{4}$，$\cos ^2⁡ 75 ^{\circ} -\sin ^2⁡ 75 ^{\circ} =\cos ⁡ 150 ^{\circ} =-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$\dfrac{2 \tan 15^{\circ}}{1-\tan ^2 15^{\circ}}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \dfrac{\tan 15^{\circ}}{1-\tan ^2 15^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$.
 

降幂公式

$\cos ^2 \alpha=\dfrac{1+\cos 2 \alpha}{2}$ $\sin ^2 \alpha=\dfrac{1-\cos 2 \alpha}{2}$
(由余弦倍角公式可得)
推导
$\cos 2 \alpha=1-2 \sin ^2 \alpha \Rightarrow 2 \sin ^2 \alpha=1-\cos 2 \alpha \Rightarrow \sin ^2 \alpha=\dfrac{1-\cos 2 \alpha}{2}$；
$\cos 2 \alpha=2 \cos ^2 \alpha-1 \Rightarrow 2 \cos ^2 \alpha=\cos 2 \alpha-1 \Rightarrow \cos ^2 \alpha=\dfrac{1+\cos 2 a}{2}$.
 
【例】 求 $\cos ^2 15 ^{\circ}$、$\sin ^2⁡ 67.5 ^{\circ}$ 的值.
解 $\cos ^2 15^{\circ}=\dfrac{1+\cos 30^{\circ}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4}$， $\sin ^2 67.5^{\circ}=\dfrac{1-\cos 135^{\circ}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$.
 

基本方法

【题型1】 给角求值

【典题 1】 求下列各式的值：
  (1) $2 \cos ^2 \dfrac{25 \pi}{12}-1$；$\qquad \qquad$ (2) $\dfrac{1-\tan ^2 \dfrac{\pi}{8}}{\tan \dfrac{\pi}{8}}$ ；$\qquad \qquad$ (3) $\dfrac{1}{\sin 10^{\circ}}-\dfrac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}$ ；
解析 (1) 原式 $=\cos \dfrac{25 \pi}{6}=\cos \left(4 \pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=\cos \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
(2) $\because \dfrac{2 \tan _{\dfrac{\pi}{8}}}{1-\tan ^2 \dfrac{\pi}{8}}=\tan \dfrac{\pi}{4}=1$， $\therefore \dfrac{\tan \dfrac{\pi}{8}}{1-\tan ^2 \dfrac{\pi}{8}}=\dfrac{1}{2}$， $\therefore \dfrac{1-\tan ^2 \dfrac{\pi}{8}}{\tan _{\dfrac{\pi}{8}}^8}=2$．
(3) 原式 $=\dfrac{\cos 10^{\circ}-\sqrt{3} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ}}=\dfrac{2\left(\dfrac{1}{2} \cos 10^{\circ}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^{\circ}\right)}{\sin 10^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ}}$
$=\dfrac{4\left(\sin 30^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ}-\cos 30^{\circ} \cdot \sin 10^{\circ}\right)}{2 \sin 10^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ}}=\dfrac{4 \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=4$．
 

【巩固练习】

1.$\left(\cos \dfrac{\pi}{12}-\sin \dfrac{\pi}{12}\right)\left(\cos \dfrac{\pi}{12}+\sin \dfrac{\pi}{12}\right)$ 的值为 (　　)
 A．$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{2}$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
 
2. 求下列各式的值：
  (1) $\cos ^2 15^∘-\sin ^2 15^∘$； $\qquad \qquad$ (2)$\cos \dfrac{\pi}{12} ·\cos \dfrac{5}{12} π$．
 
 

3. 求 $\dfrac{1}{\sin 50^{\circ}}+\dfrac{\sqrt{3}}{\cos 50^{\circ}}$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 原式 $=\cos ^2 \dfrac{\pi}{12}-\sin ^2 \dfrac{\pi}{12}=\cos \dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．

2. 答案 (1)$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$；(2)$\dfrac{1}{4}$.
   解析 (1) 原式 $=\cos ⁡(2×15^∘ )=\cos 30^∘=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
   (2) 原式 $=\cos \dfrac{\pi}{12} ·\sin \dfrac{\pi}{12} =\dfrac{1}{2} \sin \dfrac{\pi}{6} =\dfrac{1}{4}$．

3. 答案 $4$
   解析 原式 $=\dfrac{\cos 50^{\circ}+\sqrt{3} \sin 50^{\circ}}{\sin 50^{\circ} \cdot \cos 50^{\circ}}=\dfrac{2\left(\dfrac{1}{2} \cos 50^{\circ}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin 50^{\circ}\right)}{\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin 50^{\circ} \cdot \cos 50^{\circ}}=\dfrac{2 \sin 80^{\circ}}{\dfrac{1}{2} \sin 100^{\circ}}$$=\dfrac{2 \sin 80^{\circ}}{\dfrac{1}{2} \sin 80^{\circ}}=4$．

【题型2】 给值化简求值问题

【典题 1】 设 $\tan α=\dfrac{1}{2}$，$\cos (π+β)=-\dfrac{4}{5}(β∈(0,π))$，则 $\tan (2α－β)$ 的值为 (　　)
 A．$-\dfrac{7}{24}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{5}{24}$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{5}{24}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{7}{24}$
解析 $∵\tan α=\dfrac{1}{2}$， $\therefore \tan 2 \alpha=\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}=\dfrac{1}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=\dfrac{4}{3}$，
$\cos (π+β)=-\cos β=-\dfrac{4}{5}$，$β∈(0,π)$，
$∴\cos β=\dfrac{4}{5}$,$\sin β=\dfrac{3}{5}$, $\tan \beta=\dfrac{3}{4}$，
$\therefore \tan (2 \alpha-\beta)=\dfrac{\tan 2 \alpha-\tan \beta}{1+\tan 2 \alpha \cdot \tan \beta}=\dfrac{7}{24}$．
故选：$D$．
 

【典题 2】 已知 $\sin \left(\dfrac{\pi}{4} -x\right)=\dfrac{5}{13}$，$0<x<\dfrac{\pi}{4}$，求 $\dfrac{\cos 2 x}{\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}$ 的值．
解析 方法 1 $∵\sin \left(\dfrac{\pi}{4} -x \right)=\dfrac{5}{13}$，
$∴\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos ⁡x-\sin x)=\dfrac{5}{13}$，即 $\cos x-\sin x=\dfrac{5 \sqrt{2}}{13}$，
两边平方得 $1-2 \sin x \cos x=\dfrac{50}{169}$，则 $2 \sin x \cos x=\dfrac{119}{169}$，
$\therefore(\cos x+\sin x)^2=1+2 \sin x \cos x=\dfrac{288}{169}$，
$\therefore \cos x+\sin x=\pm \dfrac{12 \sqrt{2}}{13}$，
$∵0<x<\dfrac{\pi}{4}$ ，$∴\cos ⁡x+\sin x>0$，
$\therefore \cos x+\sin x=\dfrac{12 \sqrt{2}}{13}$，
$\therefore \dfrac{\cos 2 x}{\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}=\dfrac{\cos ^2 x-\sin ^2 x}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x)}=\sqrt{2}(\cos x+\sin x)=\dfrac{24}{13}$.
方法 2 原式 $=\dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+2 x\right)}{\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}=\dfrac{2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right) \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}{\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}=2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)$．
$\because \sin \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=\dfrac{5}{13}$，且 $0<x<\dfrac{\pi}{4}$ ，
$\therefore \dfrac{\pi}{4} +x∈\left(\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{\pi}{2} \right)$，
$\therefore \sin \left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)=\sqrt{1-\cos ^2\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)}=\dfrac{12}{13}$，
$\therefore$ 原式 $=2 \times \dfrac{12}{13}=\dfrac{24}{13}$．
点拨 解题的方法很多，解题过程中注意以下几点
1. 多观察各个角的关系，比如是否存在两角和、差是一定值 ($\dfrac{\pi}{3}$、$\dfrac{\pi}{2}$、$π$ 之类)，两角存在倍数关系等等；
2. 多注意常用公式 $A+B=π⇒\sin A=\sin B$,$\cos ⁡A=-\cos ⁡B$ 、$A+B=\dfrac{\pi}{2} ⇒\sin A=\cos ⁡B$、$(\cos ⁡x±\sin x )^2=1±2 \cos ⁡x \sin x$；
3. 最重要的是多尝试，对已经条件与求证的式子多变式，懂得分析法与综合法处理问题.
 

【典题 3】 已知 $\dfrac{\cos 2 \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，则 $\cos ^2\left(\dfrac{3}{4} \pi+\alpha\right)$ 的值是 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $\because \dfrac{\cos 2 \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}=\dfrac{(\cos \alpha+\sin \alpha)(\cos \alpha-\sin \alpha)}{\sin \alpha+\cos \alpha}=\cos \alpha-\sin \alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，
$\therefore$ 两边平方，可得 $1-\sin 2 \alpha=\dfrac{1}{8}$，可得 $\sin 2 \alpha=\dfrac{7}{8}$，
$\therefore \cos ^2\left(\dfrac{3}{4} \pi+\alpha\right)=\dfrac{\cos \left(\dfrac{3 \pi}{2}+2 \alpha\right)-1}{2}=\dfrac{\sin 2 \alpha-1}{2}=-\dfrac{1}{16}$．
点拨 遇到平方，可利用降幂公式起到 “降幂” 的作用.
 

【典题 4】 若 $\sin \left(θ+\dfrac{\pi}{8} \right)=\dfrac{1}{3}$，则 $\sin \left(2θ-\dfrac{\pi}{4} \right)=$ $\underline{\quad \quad}$.
解析 $∵2θ-\dfrac{\pi}{4} =2\left(θ+\dfrac{\pi}{8} \right)-\dfrac{\pi}{2}$ ，
$\therefore \sin \left(2 \theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin \left[2\left(\theta+\dfrac{\pi}{8}\right)-\dfrac{\pi}{2}\right]=-\cos 2\left(\theta+\dfrac{\pi}{8}\right)$$=-\left[1-2 \sin ^2\left(\theta+\dfrac{\pi}{8}\right)\right]=-\dfrac{7}{9}$．
点拨
1. 因为已知角 $θ+\dfrac{\pi}{8}$ 和所求角 $2θ-\dfrac{\pi}{4}$ 中 $θ$ 的系数是 $2$ 倍的关系，故想到 $2\left(θ+\dfrac{\pi}{8} \right)$ 与 $2θ-\dfrac{\pi}{4}$ 的差 $\dfrac{\pi}{2}$ 是特殊角为关键，则有 $2θ-\dfrac{\pi}{4} =2\left(θ+\dfrac{\pi}{8} \right)-\dfrac{\pi}{2}$.
2. 常见的角变换有：$α=2\cdot \dfrac{\alpha }{2}$， $α=(α+β)-β=β-(α+β)$，$\dfrac{\pi}{4} +α=\dfrac{\pi}{2} -\left(\dfrac{\pi}{4} -α \right)$，$β=\dfrac{1}{2}\left[(α+β)-(α-β) \right]$ 等.
 

【巩固练习】

1. 若 $\tan \alpha+\dfrac{1}{\tan \alpha}=3$，则 $\cos 4α=$(　　)
 A．$- \dfrac{7}{9}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{1}{9}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{7}{9}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{9}$
 

2. 已知 $α∈\left(0,\dfrac{\pi}{2} \right)$，若 $\sin 2α-2\cos 2α=2$，则 $\sin α=$(　　)
 A．$\dfrac{1}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
 

3. 已知 $α∈\left(\dfrac{\pi}{2} ,π \right)$, $\tan 2 \alpha=\dfrac{3}{4}$, 则 $\sin 2α+\cos ^2⁡α=$(　　)
 A．$\dfrac{3}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$-\dfrac{3}{2}$
 

4. 如果 $\dfrac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}=2013$，那么 $\dfrac{1}{\cos 2 \alpha}+\tan 2 \alpha=$$\underline{\quad \quad}$ .
 

5. 已知 $\tan θ$ 是方程 $x^2-6x+1=0$ 的一根，则 $\cos ^2 \left(θ+\dfrac{\pi}{4} \right)=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

6. 若 $\cos \left(α+\dfrac{\pi}{12} \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，则 $\sin \left(\dfrac{\pi}{3} -2α \right)$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $\because \tan \alpha+\dfrac{1}{\tan \alpha}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{2}{\sin 2 \alpha}=3$， $\therefore \sin 2 \alpha=\dfrac{2}{3}$，
   $\therefore \cos 4 \alpha=1-2 \sin ^2 2 \alpha=\dfrac{1}{9}$．
   故选：$D$．

2. 答案 $D$
   解析 $∵\sin 2α-2\cos 2α=2$，
   $\therefore \sin 2α=2(\cos 2α+1)=4 \cos ^2⁡α$，可得 $\sin α\cos α=2 \cos ^2⁡α$，
   $∵α∈(0,\dfrac{\pi}{2} )$，可得 $\cos α≠0$，$\therefore \sin α=2\cos α$，
   $∵\sin ^2⁡α+\cos ^2⁡α=\sin ^2⁡α+\dfrac{1}{4} \sin ^2⁡α=1$，解得 $\sin ^2⁡α=\dfrac{4}{5}$，
   可得 $\sin \alpha=\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$．
   故选：$D$．

3. 答案 $C$
   解析 $\because \tan 2 \alpha=\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}=\dfrac{3}{4}$，$α∈\left(\dfrac{\pi}{2} ,π \right)$，
   $\therefore \tan α=-3$ 或 $\dfrac{1}{3}$(舍去)，
   $\therefore \sin 2 \alpha+\cos ^2 \alpha=\dfrac{2 \sin \alpha \cos \alpha+\cos ^2 \alpha}{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}=\dfrac{2 \tan \alpha+1}{\tan ^2 \alpha+1}=-\dfrac{1}{2}$．
   故选：$C$．

4. 答案 $2013$
   解析 $\because \dfrac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}=2013$，
   $\therefore \dfrac{1}{\cos 2 \alpha}+\tan 2 \alpha=\dfrac{\cos ^2 \alpha+\sin ^2 \alpha}{\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha}+\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}=\dfrac{1+\tan ^2 \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}+\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}$$=\dfrac{(1+\tan \alpha)^2}{1-\tan ^2 \alpha}=\dfrac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}=2013$．

5. 答案 $\dfrac{1}{3}$
   解析 $\because \tan θ$ 是方程 $x^2-6x+1=0$ 的一根，
   $\therefore \tan ^2⁡θ-6\tan θ+1=0$，则 $\dfrac{\sin ^2 \theta}{\cos ^2 \theta}-6 \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}+1=0$，
   可得 $\sin ^2⁡θ-6\sin θ\cos θ+\cos ^2⁡θ=0$，可得 $\sin θ\cos θ= \dfrac{1}{6}$，
   $\therefore \sin 2θ=2\sin θ\cos θ=\dfrac{1}{3}$，
   $\therefore \cos ^2\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1+\cos \left(2 \theta+\dfrac{\pi}{2}\right)}{2}=\dfrac{1-\sin 2 \theta}{2}=\dfrac{1-\dfrac{1}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}$．

6. 答案 $- \dfrac{5}{9}$
   解析 $\because \cos (α+\dfrac{\pi}{12} )=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，
   $\therefore \cos \left[2\left(\alpha+\dfrac{\pi}{12}\right)\right]=2 \cos ^2\left(\alpha+\dfrac{\pi}{12}\right)-1=2 \times\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\right)^2-1=-\dfrac{5}{9}$，
   即 $\cos \left(2 \alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{5}{9}$，
   即 $\cos \left[\dfrac{\pi}{2} -\left(\dfrac{\pi}{3} -2α \right) \right]=\sin \left(\dfrac{\pi}{3} -2α \right)=- \dfrac{5}{9}$．
    

【题型3】关于三角函数式的证明问题

【典题 1】 证明 $\dfrac{1+2 \sin x \cos x}{\cos 2 x}=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}$.
证明 左边 $=\dfrac{(\sin x+\cos x)^2}{\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha}=\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x-\sin x}$，右边 $=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}=\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x-\sin x}$，
$\therefore \dfrac{1+2 \sin x \cos x}{\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha}=\dfrac{1+\tan x}{1-\tan x}$.
点拨 证明三角恒等式，可同时左右两边同时化简，统一角度 (本题中 2x 化为 x) 和函数名 (本题中用 “切化弦”) 便可.
 

【巩固练习】

1. 化简 $1+\cos 2α+2\sin ^2 α=$$\underline{\quad \quad}$．
 

2. 求证： $\dfrac{3-4 \cos 2 A+\cos 4 A}{3+4 \cos 2 A+\cos 4 A}=\tan ^4 A$．
 
 

参考答案

1. 答案 $2$
   解析 原式 $=2\cos ^2 α+2\sin ^2 α=2(\sin ^2 α+\cos ^2 α)=2$．

2. 证明 $\because$ 左边 $=\dfrac{3-4 \cos 2 A+2 \cos ^2 2 A-1}{3+4 \cos 2 A+2 \cos ^2 2 A-1}=\left(\dfrac{1-\cos 2 A}{1+\cos 2 A}\right)^2$$=\left(\dfrac{2 \sin ^2 A}{2 \cos ^2 A}\right)^2=\left(\tan ^2 A\right)^2=\tan ^4 A=$ 右边，
   $\therefore\dfrac{3-4 \cos 2 A+\cos 4 A}{3+4 \cos 2 A+\cos 4 A}=\tan ^4 A$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1.$\dfrac{1}{2} \sin 15^∘ \cos 15^∘$ 的值等于 (　　)
 A．$\dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{8}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{16}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{2}$
 

2. 若 $\tan \theta+\dfrac{1}{\tan \theta}=4$，则 $\sin 2θ=$ (　　)
 A．$\dfrac{1}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{2}$
 

3. 已知 $\cos \left(\dfrac{\pi}{4} -x \right)=\dfrac{3}{5}$，则 $\sin 2x=$ (　　)
 A．$\dfrac{18}{25}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{7}{25}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{7}{25}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$-\dfrac{16}{25}$
 

4.$\dfrac{\sqrt{3}-\tan 12^{\circ}}{\left(2 \cos ^2 12^{\circ}-1\right) \sin 12^{\circ}}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

5. 已知 $α∈\left(\dfrac{\pi}{2} ,π \right)$，$\sin α=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，则 $\tan 2α=$$\underline{\quad \quad}$．
 

6. 已知 $\tan \left(\dfrac{\pi}{4} +α \right)=2$，则 $\sin 2α＝$$\underline{\quad \quad}$．
 

7. 已知 $\tan α=-\dfrac{1}{3}$，则 $\dfrac{\sin 2 \alpha-\cos ^2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

8. 已知 $\cos \left(α+\dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{3}{5}$，$α∈\left(0，\dfrac{\pi}{2} \right)$, 则 $\cos \left(2α+\dfrac{7\pi}{12} \right)=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

9. 已知 $\dfrac{\pi}{2} <β<α<\dfrac{3\pi}{4}$ ，且 $\cos (α-β)=\dfrac{12}{13}$，$\sin (α+β)=-\dfrac{3}{5}$，求 $\cos 2α$ 的值．
 
 

10. 化简 $\cos ^2⁡(α+β)+\cos ^2⁡(α-β)-\cos 2α\cos 2β$.
 
 

11. 求证 $\dfrac{\sin 2 x}{(\sin x-\cos x+1)(\sin x+\cos x-1)}=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}$.
 
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $\dfrac{1}{2} \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}=\dfrac{1}{4} \times 2 \sin 15^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}=\dfrac{1}{4} \times \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{8}$．

2. 答案 $D$
   解析 $\because \tan \theta+\dfrac{1}{\tan \theta}=4$， $\therefore \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}+\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}=4$．
   $\therefore \dfrac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\cos \theta \cdot \sin \theta}=4$，即 $\dfrac{2}{\sin 2 \theta}=4$,$\therefore \sin 2θ=\dfrac{1}{2}$．

3. 答案 $C$
   解析 法一：$\because \cos \left(\dfrac{\pi}{4} -x \right)=\dfrac{3}{5}$，$\therefore \dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos x+\sin x)=\dfrac{3}{5}$，
   $\therefore \dfrac{1}{2}(1+2\sin x·\cos x)= \dfrac{9}{25}$,$\therefore \sin 2x=-\dfrac{7}{25}$．
   法二：$\sin 2x=\cos \left(\dfrac{\pi}{2} -2x \right)=2\cos ^2 \left(\dfrac{\pi}{4} -x \right)-1=2× \dfrac{9}{25}-1=-\dfrac{7}{25}$．

4. 答案 $8$
   解析 原式 $=\dfrac{\sqrt{3}-\dfrac{\sin 12^{\circ}}{\cos 12^{\circ}}}{\cos 24^{\circ} \sin 12^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3} \cos 12^{\circ}-\sin 12^{\circ}}{\cos 24^{\circ} \sin 12^{\circ} \cos 12^{\circ}}$$=\dfrac{2 \sin \left(60^{\circ}-12^{\circ}\right)}{\dfrac{1}{4} \sin 48^{\circ}}=\dfrac{2 \sin 48^{\circ}}{\dfrac{1}{4} \sin 48^{\circ}}=8$．

5. 答案 $-\dfrac{4}{3}$
   解析 由已知可得 $\cos \alpha=-\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$，$\therefore \tan α=-\dfrac{1}{2}$，$\therefore \tan 2 \alpha=\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}=-\dfrac{4}{3}$．

6. 答案 $\dfrac{3}{5}$
   解析 由 $\tan \left(\dfrac{\pi}{4} +α \right)=2$，即 $\dfrac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}=2$，解得 $\tan α=\dfrac{1}{3}$，
   所以 $\sin 2 \alpha=\dfrac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha}=\dfrac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^2 \alpha}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{1+\dfrac{1}{9}}=\dfrac{3}{5}$．

7. 答案 $- \dfrac{5}{6}$
   解析 $\dfrac{\sin 2 \alpha-\cos ^2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}=\dfrac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha-\cos ^2 \alpha}{1+2 \cos ^2 \alpha-1}$$=\dfrac{2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha-\cos ^2 \alpha}{2 \cos ^2 \alpha}=\tan \alpha-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{5}{6}$．

8. 答案 $-\dfrac{31 \sqrt{2}}{25}$
   解析 $\because\cos \left(α+\dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{3}{5}$，$α∈\left(0，\dfrac{\pi}{2} \right)$,
   $\therefore \left(α+\dfrac{\pi}{6} \right)∈\left(0,\dfrac{\pi}{2} \right)$，$\left(2α+\dfrac{\pi}{3} \right)∈(0,π)$．
   $\cos \left(2α+\dfrac{\pi}{3} \right)=2\cos ^2 \left(α+\dfrac{\pi}{6} \right)-1=2×\left(\dfrac{3}{5} \right)^2-1=-\dfrac{7}{25}$．
   $\therefore \sin \left(2 \alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{1-\cos ^2\left(2 \alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{24}{25}$．
   $\therefore \cos \left(2 \alpha+\dfrac{7 \pi}{12}\right)=\cos \left(2 \alpha+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos \left(2 \alpha+\dfrac{\pi}{3}\right) \cos \dfrac{\pi}{4}-\sin \left(2 \alpha+\dfrac{\pi}{3}\right) \sin \dfrac{\pi}{4}$
   $=-\dfrac{7}{25} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{24}{25} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\dfrac{31 \sqrt{2}}{25}$．

9. 答案 $-\dfrac{33}{65}$
   解析 $\because \dfrac{\pi}{2} <β<α<\dfrac{3\pi}{4}$ ，$\therefore 0<α-β<\dfrac{\pi}{2}$ ，$π<α+β<\dfrac{3\pi}{2}$，
   $\because \cos (α-β)=\dfrac{12}{13}$，$\sin (α+β)=-\dfrac{3}{5}$，
   $\therefore \sin (\alpha-\beta)=\sqrt{1-\left(\dfrac{12}{13}\right)^2}=\dfrac{5}{13}$， $\cos (\alpha+\beta)=-\sqrt{1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2}=-\dfrac{4}{5}$，
   则 $\cos 2α=\cos [(α-β)+(α+β)]=\cos (α-β)\cos (α+β)-\sin (α-β)\sin (α+β)$
   $=\dfrac{12}{13} \times\left(-\dfrac{4}{5}\right)-\left(-\dfrac{3}{5}\right) \times \dfrac{5}{13}=-\dfrac{33}{65}$．

10. 答案 $1$
    解析 $\cos ^2⁡(α+β)+\cos ^2⁡(α-β)-\cos 2α \cos ⁡2β$
    $=\dfrac{1}{2}\left[1+\cos 2(α+β) \right]+\dfrac{1}{2}\left[1+\cos 2⁡(α-β) \right] -\cos 2α \cos ⁡2β$
    $=1+\dfrac{1}{2}(\cos (2α+2β)+\cos (2α-2β)) -\cos 2α \cos ⁡2β$
    $=1+\dfrac{1}{2}×2\cos 2α \cos ⁡2β-\cos 2α \cos ⁡2β=1$.

11. 证明 左边 $=\dfrac{\sin 2 x}{\sin ^2 x-(\cos x-1)^2}=\dfrac{2 \sin x \cos x}{\sin ^2 x-1-\cos ^2 x+2 \cos x}$
    $=\dfrac{2 \sin x \cos x}{2 \cos x(1-\cos x)}=\dfrac{\sin x}{1-\cos x}=\dfrac{1+\cos x}{\sin x}=$ 右边.
     

【B组---提高题】

1. 计算 $4 \cos 50^{\circ}-\tan 40^{\circ}=$$\underline{\quad \quad}$ .
 

2. 在 $∆ ABC$ 中，若 $3 \cos ^2 \dfrac{A-B}{2}+5 \sin ^2 \dfrac{A+B}{2}=4$，求 $\tan A \tan B$.
 
 

3. 已知 $\sin \left(α+\dfrac{3\pi}{4} \right)=\dfrac{4}{5}$，$\cos \left(\dfrac{\pi}{4} -β \right)=\dfrac{3}{5}$，且 $-\dfrac{\pi}{4} <α<\dfrac{\pi}{4}$ ,$\dfrac{\pi}{4} <β<\dfrac{3\pi}{4}$ ，求 $\cos 2(α－β)$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $\sqrt{3}$
   解析 $4 \cos 50^{\circ}-\tan 40^{\circ}=4 \cos 50^{\circ}-\dfrac{\sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}=\dfrac{4 \cos 50^{\circ} \cos 40^{\circ}-\sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}$
   $=\dfrac{4 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}-\sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}=\dfrac{2 \sin 80^{\circ}-\sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}=\dfrac{2 \cos 10^{\circ}-\sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}$
   $=\dfrac{2 \cos \left(40^{\circ}-30^{\circ}\right)-\sin 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3} \cos 40^{\circ}}{\cos 40^{\circ}}=\sqrt{3}$.

2. 答案 $\dfrac{1}{4}$
   解析 在 $∆ ABC$ 中，若 $3 \cos ^2 \dfrac{A-B}{2}+5 \sin ^2 \dfrac{A+B}{2}=4$，
   $\therefore 3 \times \dfrac{1+\cos (A-B)}{2}+5 \times \dfrac{1-\cos (A+B)}{2}=4$，
   即 $\dfrac{3}{2} \cos (A-B)-\dfrac{5}{2} \cos (A+B)=0$，
   即 $3(\cos A \cos B+\sin A \sin B)=5(\cos A \cos B-\sin A \sin B)$，
   即 $2 \cos A \cos B=8 \sin A \sin B$ ,$\therefore \tan A \tan B=\dfrac{1}{4}$.

3. 答案 $-\dfrac{527}{625}$
   解析 由 $-\dfrac{\pi}{4} <α<\dfrac{\pi}{4}$ 得，$\dfrac{\pi}{2}<\alpha+\dfrac{3}{4} \pi<\pi$，
   所以 $\cos \left(\alpha+\dfrac{3}{4} \pi\right)=-\sqrt{1-\sin ^2\left(\alpha+\dfrac{3}{4} \pi\right)}=-\dfrac{3}{5}$，
   由 $\dfrac{\pi}{4} <β<\dfrac{3}{4} \pi$ 得，$-\dfrac{\pi}{2} <\dfrac{\pi}{4} -β<0$，
   所以 $\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-\beta\right)=-\sqrt{1-\cos ^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\beta\right)}=-\dfrac{4}{5}$，
   所以 $\cos \left[\left(\alpha+\dfrac{3}{4} \pi\right)+\left(\dfrac{\pi}{4}-\beta\right)\right]$
   $=\cos \left(\alpha+\dfrac{3}{4} \pi\right) \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\beta\right)-\sin \left(\alpha+\dfrac{3}{4} \pi\right) \sin \left(\dfrac{\pi}{4}-\beta\right)$
   $=\left(-\dfrac{3}{5} \right)×\dfrac{3}{5}-\dfrac{4}{5}×\left(-\dfrac{4}{5} \right)=\dfrac{7}{25}$
   即 $－\cos (α－β)=\dfrac{7}{25}$，
   所以 $\cos 2(\alpha-\beta)=2 \cos ^2(\alpha-\beta)-1=2 \times\left(-\dfrac{7}{25}\right)^2-1=-\dfrac{527}{625}$.

【C组---拓展题】

1. 求 $\cos \dfrac{\pi}{11} \cos \dfrac{2 \pi}{11} \cos \dfrac{3 \pi}{11} \cos \dfrac{4 \pi}{11} \cos \dfrac{5 \pi}{11}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

2. 设 $a$,$b$ 是非零实数，$x∈R$，若 $\dfrac{\sin ^4 x}{a^2}+\dfrac{\cos ^4 x}{b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}$，则 $\dfrac{\sin ^{2008} x}{a^{2006}}+\dfrac{\cos ^{2008} x}{b^{2006}}=$$\underline{\quad \quad}$.
 

3. 在 $△ABC$ 中，若 $\sin B+\cos B= \sqrt{2}$，则 $\dfrac{\sin 2 A}{\tan B+\tan C}$ 的最大值为 $\underline{\quad \quad}$.
 

参考答案

1. 答案 $\dfrac{1}{32}$
   解析 $\cos \dfrac{\pi}{11} \cos \dfrac{2 \pi}{11} \cos \dfrac{3 \pi}{11} \cos \dfrac{4 \pi}{11} \cos \dfrac{5 \pi}{11}=-\cos \dfrac{\pi}{11} \cos \dfrac{2 \pi}{11} \cos \dfrac{8 \pi}{11} \cos \dfrac{4 \pi}{11} \cos \dfrac{5 \pi}{11}$
   $=\dfrac{2 \sin \dfrac{\pi}{11} \cos \dfrac{\pi}{11} \cos \dfrac{2 \pi}{11} \cos \dfrac{4 \pi}{11} \cos \dfrac{8 \pi}{11} \cos \dfrac{5 \pi}{11}}{2 \sin \dfrac{\pi}{11}}=\dfrac{\dfrac{1}{8} \cdot \sin \dfrac{16 \pi}{11} \cos \dfrac{5 \pi}{11}}{2 \sin \dfrac{\pi}{11}}$
   $=\dfrac{-\sin \dfrac{5 \pi}{11} \cdot \cos \dfrac{5 \pi}{11}}{16 \sin \dfrac{\pi}{11}}=\dfrac{\dfrac{1}{2} \sin \dfrac{10 \pi}{11}}{16 \sin \dfrac{\pi}{11}}=\dfrac{1}{32}$.

2. 答案 $\left(a^2+b^2\right) \dfrac{1}{\left(a^2+b^2\right)^{1004}}=\dfrac{1}{\left(a^2+b^2\right)^{1003}}$
   解析 由已知 $\dfrac{\sin ^4 x}{a^2}+\dfrac{\cos ^4 x}{b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}$ 得 $1=\sin ^4 x+\cos ^4 x+\dfrac{b^2}{a^2} \sin ^4 x+\dfrac{a^2}{b^2} \cos ^4 x$
   而 $1=\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)^2=\sin ^4 x+\cos ^4 x+2 \sin ^2 x \cos ^2 x$
   所以有 $\left(\dfrac{b}{a} \sin ^2 x-\dfrac{a}{b} \cos ^2 x\right)^2=0$
   即 $\dfrac{\sin ^4 x}{a^4}=\dfrac{\cos ^4 x}{b^4}$，将该值记为 $C$.
   则由 (1) 知， $a^2 C+b^2 C=\dfrac{1}{a^2+b^2}$，则 $C=\dfrac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}$,
   而 $\dfrac{\sin ^{2008} x}{a^{2006}}+\dfrac{\cos ^{2008} x}{b^{2006}}=a^2 C^{502}+b^2 C^{502}=\left(a^2+b^2\right) \dfrac{1}{\left(a^2+b^2\right)^{1004}}=\dfrac{1}{\left(a^2+b^2\right)^{1003}}$.

3. 答案 $\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$
   解析 $\because \sin B+\cos B= \sqrt{2}$，即 $\sqrt{2}\sin \left(B+\dfrac{\pi}{4} \right)= \sqrt{2}$，
   $\therefore \sin \left(B+\dfrac{\pi}{4} \right)=1$，
   $\because B∈(0,π)$，$B+\dfrac{\pi}{4} \in \left(\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{5\pi}{4} \right)$，$\therefore B+\dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\pi}{2}$，
   $\therefore$ 可得 $B=\dfrac{\pi}{4}$，$C=\dfrac{3\pi}{4} -A$，
   $\therefore \dfrac{\sin 2 A}{\tan B+\tan C}=\dfrac{\sin 2 A}{1+\tan \left(\dfrac{3 \pi}{4}-A\right)}=\dfrac{\dfrac{2 \tan A}{1+\tan { }^2 A}}{1+\dfrac{-1-\tan A}{1-\tan A}}=\dfrac{\tan A-1}{\tan ^2 A+1}=\dfrac{\dfrac{\sin A}{\cos A}-1}{\left(\dfrac{\sin A}{\cos A}\right)^2+1}$
   $=\sin A \cos A-\cos ^2 A=\dfrac{1}{2} \sin 2 A-\dfrac{1+\cos 2 A}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 A-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2}$，
   $\because A∈\left(0,\dfrac{3\pi}{4} \right)$，可得 $2A-\dfrac{\pi}{4} ∈\left(-\dfrac{\pi}{4} ,\dfrac{5\pi}{4} \right)$，
   可得 $\sin \left(2A-\dfrac{\pi}{4} \right)∈\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},1 \right]$，
   $\therefore \dfrac{\sin 2 A}{\tan B+\tan C}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 A-\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{1}{2} \in\left(-1, \dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\right]$，
   $\therefore \dfrac{\sin 2 A}{\tan B+\tan C}$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$．