5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

两角和差的正弦，余弦与正切公式

(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)
1 余弦两角和差公式
$$\cos (α±β)=\cos α\cdot \cos β∓ \sin α\cdot \sin β$$
推导如下
如图，设单位圆与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $A(1 ,0)$，以 $x$ 轴为非负半轴为始边作角 $α$，$β$，$α-β$，它们的终边分别与单位圆相较于点 $P_1 (\cos α ,\sin α)$，$A_1 (\cos β ,\sin β)$，$P(\cos ⁡(α-β) ,\sin ⁡(α-β) )$，连接 $A_1 P_1$，$AP$，若把扇形 $OAP$ 绕点 $O$ 旋转 $β$ 角，则点 $A$，$P$ 分别与 $A_1$ ,$P_1$ 重合。根据圆的旋转对称性可知， $\widehat{A P}$ 与 $\widehat{A_1 P_1}$ 重合，从而 $\widehat{A P}=\widehat{A_1 P_1},$，所以 $AP=A_1 P_1$.

根据两点间的距离公式，得
$[\cos ⁡(α-β)-1]^2+ \sin ^2⁡ (α-β)=(\cos α-\cos β) ^2+(\sin α-\sin β)^2$
化简得 $\cos ⁡(α-β)=\cos α\cdot \cos β+ \sin α\cdot \sin β$
而 $\cos (α+β)=\cos [α-(-β)]=\cos α\cdot \cos β- \sin α\cdot \sin β$
 

2 正弦两角和差公式
$$\sin (α±β)=\sin α\cdot \cos β± \cos α\cdot \sin β$$
推导如下
$\sin ⁡(α+β)=\cos \left[\dfrac{\pi}{2}-(α+β) \right] =\cos \left[\left(\dfrac{\pi}{2}-α\right)-β\right]$
$=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-α\right)\cos β+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-α\right)\sin β=\sin α\cos β+ \cos α\sin β$
$\sin (\alpha-\beta)=\cos \left[\dfrac{\pi}{2}-(\alpha-\beta)\right]=\cos \left[\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\beta\right]$
$=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-α\right)\cos β-\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-α\right)\sin β=\sin α\cos β- \cos α\sin β$
 

3 正切两角和差公式
$$\tan (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$$
(由 $S_{(\alpha \pm \beta)}$、 $C_{(\alpha \pm \beta)}$ 可推导正切的和差角公式)
 

4 对公式的理解
公式中 $α$、$β$ 的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子
Eg
① $\sin 75^{\circ}=\sin \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
对应公式 $\sin (α±β)=\sin α \cos β± \cos α \sin β$，把 $α$ 看成数字 $45^{\circ}$ ,$β$ 看成数字 $30^{\circ}$；
② $\cos ⁡(x+\dfrac{\pi}{3} )=\cos x\cdot \cos \dfrac{\pi}{3}-\sin x\cdot \sin \dfrac{\pi}{3}$
对应公式 $\cos (α+β)=\cos α \cos β-\sin α \sin β$，把 $α$ 看成字母 $x$， $β$ 看成数字 $\dfrac{\pi}{3}$ ；
③$\tan \dfrac{\pi}{4}=\tan \left[\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)+\left(\dfrac{\pi}{8}-x\right)\right]=\dfrac{\tan \left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)+\tan \left(\dfrac{\pi}{8}-x\right)}{1-\tan \left(x+\dfrac{\pi}{8}\right) \tan \left(\dfrac{\pi}{8}-x\right)}$，
对应公式 $\tan (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$，把 $α$、$β$ 分别看成式子 $x+\dfrac{\pi}{8}$ 、$x-\dfrac{\pi}{8}$ .
对应公式的运用，注意整体变换的思想.
 

辅助角公式

$$a\sin ⁡x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2} \sin ⁡(x+φ)$,，其中 $\tan \varphi=\dfrac{b}{a}$$. 熟记两个特殊角的化简过程 $a:b=1:1$型，配$\dfrac{\pi}{4}$ $$\sin x±\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x±\dfrac{\pi}{4}\right)$$

$a:b=\sqrt{3}:1$ 型，配 $\dfrac{\pi}{6}$ 或 $\dfrac{\pi}{3}$

$$\sin x±\sqrt{3} \cos x=2 \sin \left(x±\dfrac{\pi}{3} \right)$$

$$\sqrt{3} \sin x±\cos x=2 \sin \left(x±\dfrac{\pi}{6} \right)$$

 

基本方法

【题型1】 给角求值问题

【典题 1】 化简下列各式：
  (1) $\sin 70^∘·\sin 65^∘-\sin 20^∘·\sin 25^∘$；
  (2) $\sin (54^∘-x)·\cos (36^∘+x)+\cos (54^∘-x)·\sin (36^∘+x)$；
  (3) $\dfrac{\sqrt{3}-\tan 15^{\circ}}{1+\sqrt{3} \tan 15^{\circ}}$；
  (4) $\tan 23^∘+\tan 37^∘+\sqrt{3} \tan 23^∘·\tan 37^∘$．
解析 (1) 原式 $=\sin 70^∘·\cos 25^∘-\cos 70^∘·\sin 25^∘=\sin ⁡(70^∘-25^∘ )=\sin 45^∘=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
(2) 原式 $=\sin ⁡[(54^∘-x)+(36^∘+x)]=\sin 90^∘=1$．
(3) 原式 $=\dfrac{\tan 60^{\circ}-\tan 15^{\circ}}{1+\tan 60^{\circ} \tan 15^{\circ}}=\tan 45^{\circ}=1$．
(4) 原式 $=\tan (23^∘+37^∘ )(1-\tan 23^∘·\tan 37^∘ )+\sqrt{3} \tan 23^∘·\tan 37^∘$
$=\sqrt{3}-\sqrt{3} \tan 23^∘·\tan 37^∘+\sqrt{3} \tan 23^∘·\tan 37^∘=\sqrt{3}$．
点拨 第 (1) 问，使用两角和差公式时，注意函数名与角度的变换；
第 (2) 问，使用公式时，注意 “整体思想”，把 $54^∘-x$ 看成 $α$，$36^∘+x$ 看成 $β$；
第 (4) 问是对 $\tan (\alpha \pm \beta)=\dfrac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$ 的变式 $\tan α± \tan β=\tan (α±β)(1 ∓ \tan α \tan β)$ 的运用.
 

【典题 2】 $\dfrac{\sin 47^{\circ}-\sin 17^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}}=$ (　　)
 A．$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{\sqrt{1}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析 原式 $=\dfrac{\sin \left(17^{\circ}+30^{\circ}\right)-\sin 17^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}}$
$=\dfrac{\sin 17^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 17^{\circ} \sin 30^{\circ}-\sin 17^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}}$
$=\dfrac{\cos 17^{\circ} \sin 30^{\circ}}{\cos 17^{\circ}}$
$=\sin 30^∘=\dfrac{\sqrt{1}}{2}$．
点拨 注意观察角度之间和、差或倍数等的关系.
 

【巩固练习】

1.$\sin 59^∘·\cos 89^∘-\cos 59^∘·\sin 89^∘$ 的值为 (　　)
 A．$-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$-\sqrt{3}$
 

2. 求 $\cos 15°$，$\sin ⁡ 105°$ 的值.
 
 

3. 求 $\dfrac{2 \cos 10^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$ 的值.
 
 

4. 求 $\dfrac{1+\tan 15^{\circ}}{1-\tan 15^{\circ}}$ 的值.
 
 

5. 求值：$\dfrac{\sin 7^{\circ}+\cos 15^{\circ} \cdot \sin 8^{\circ}}{\cos 7^{\circ}-\sin 15^{\circ} \cdot \sin 8^{\circ}}$．
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 $\sin 59^∘·\cos 89^∘-\cos 59^∘·\sin 89^∘=\sin (59^∘-89^∘ )=\sin (-30^∘ )=-\dfrac{1}{2}$．

2. 答案 $\cos 15^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$； $\sin 105^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
   解析 $\cos 15°=\cos ⁡(45°-30°)=\cos ⁡ 45° \cos 30°+\sin ⁡ 45° \sin ⁡ 30°$ $=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$；
   $\sin ⁡ 105° =\sin ⁡ (60°+45°) =\sin ⁡ 60° \cos ⁡ 45° +\cos ⁡ 60° \sin ⁡ 45°$$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

3. 答案 $\sqrt{3}$
   解析 $\dfrac{2 \cos 10^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}=\dfrac{2 \cos \left(30^{\circ}-20^{\circ}\right)-\sin 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}=\dfrac{2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ}+\dfrac{1}{2} \sin 20^{\circ}\right)-\sin 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}$$=\dfrac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}=\sqrt{3}$.

4. 答案 $\sqrt{3}$
   解析 $\dfrac{1+\tan 15^{\circ}}{1-\tan 15^{\circ}}=\dfrac{\tan 45^{\circ}+\tan 15^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \cdot \tan 15^{\circ}}=\tan \left(45^{\circ}+15^{\circ}\right)=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}$.

5. 答案 $2-\sqrt{3}$
   解析 原式 $=\dfrac{\sin \left(15^{\circ}-8^{\circ}\right)+\cos 15^{\circ} \cdot \sin 8^{\circ}}{\cos \left(15^{\circ}-8^{\circ}\right)-\sin 15^{\circ} \cdot \sin 8^{\circ}}=\dfrac{\sin 15^{\circ} \cdot \cos 8^{\circ}}{\cos 15^{\circ} \cdot \cos 8^{\circ}}=\tan 15^{\circ}$
   $=\tan \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=\dfrac{\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ} \tan 30^{\circ}}=\dfrac{1-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}}=2-\sqrt{3}$．
    

【题型2】 给值求值问题

【典题 1】 已知 $\sin ⁡α=\dfrac{4}{5}$，$α∈(\dfrac{\pi}{2},π)$，$\cos β=-\dfrac{5}{13}$，$β$ 是第三象限角，求 $\cos (α+β)$，$\tan (α+β)$ 的值．
解析 由 $\sin α=\dfrac{4}{5}$，$α∈(\dfrac{\pi}{2},π)$，得 $\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin ^2 \alpha}=-\sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2}=-\dfrac{3}{5}$．
又由 $\cos β=-\dfrac{5}{13}$，$β$ 为第三象限角，得 $\sin \beta=-\sqrt{1-\cos ^2 \beta}=-\sqrt{1-\left(-\dfrac{5}{13}\right)^2}=-\dfrac{12}{13}$，
$\therefore \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta=\left(-\dfrac{3}{5}\right) \times\left(-\dfrac{5}{13}\right)-\dfrac{4}{5} \times\left(-\dfrac{12}{13}\right)=\dfrac{63}{65}$，
$\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta=\dfrac{4}{5} \times\left(-\dfrac{5}{13}\right)+\left(-\dfrac{3}{5}\right) \times\left(-\dfrac{12}{13}\right)=\dfrac{16}{65}$，
$\therefore \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}=\dfrac{16}{63}$．
也可由 $\cos α=-\dfrac{3}{5}$，$\sin α=\dfrac{4}{5}$，得 $\tan α=-\dfrac{4}{3}$．
由 $\sin β=-\dfrac{12}{13}$，$\cos β=-\dfrac{5}{13}$，得 $\tan \beta=\dfrac{12}{5}$，
$\therefore \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\dfrac{16}{63}$．
点拨 注意结合三角形函数的关系 $\sin ^2⁡x+\cos ^2⁡x=1$、 $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ .
 

【典题 2】 已知 $\sin \left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{4}{5}$，且 $α+\dfrac{\pi}{4}$ 为第二象限角，求 $\cos α$ 的值.
解析 依题意可得 $\cos \left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{3}{5}$，
$\therefore \cos \alpha=\cos \left[\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\pi}{4}\right]=\cos \left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) \cos \dfrac{\pi}{4}-\sin \left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right) \sin \dfrac{\pi}{4}$
$=-\dfrac{3}{5} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{4}{5} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$.
点拨 本题注意到了 $α+\dfrac{\pi}{4}$ 与 $α$ 的关系：$α=\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)-\dfrac{\pi}{4}$，解题过程挺顺畅的，若把 $\sin \left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 展开得到 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\sin ⁡α+co s⁡α)=\dfrac{4}{5}$，也可求 $\cos α$，但略显麻烦.
 

【典题 3】 已知 $\cos ⁡(α-β)=-\dfrac{12}{13}$，$\cos (α+β)=\dfrac{12}{13}$，且 $α-β∈\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$，$α+β∈\left(\dfrac{3\pi}{2},2π \right)$，求角 $β$ 的值．
解析 由 $α-β∈\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$，且 $\cos ⁡(α-β)=-\dfrac{12}{13}$，得 $\sin (α-β)=\dfrac{5}{13}$．
由 $α+β∈\left(\dfrac{3\pi}{2},2π \right)$，且 $\cos (α+β)=\dfrac{12}{13}$, 得 $\sin (α+β)=-\dfrac{5}{13}$．
$∴\cos ⁡2β=\cos ⁡[(α+β)-(α-β)]=\cos ⁡(α+β) ·\cos ⁡(α-β)+\sin ⁡(α+β)·\sin ⁡(α-β)$
$=-\dfrac{12}{13}×\dfrac{12}{13}+\left(-\dfrac{5}{13} \right)×\dfrac{5}{13}=-1$．
又 $α-β∈\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$，$α+β∈\left(\dfrac{3\pi}{2},2π \right)$，$∴2β∈\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2} \right)$，
$∴2β=π$，$∴β=\dfrac{\pi}{2}$．
点拨
1. 注意已知角 $α-β$、$α+β$ 与所求角 $β$ 之间的关系：$2β=(α+β)-(α-β)$，往它们的和、差或倍数的关系去思考；
2.$\cos ⁡2β=-1$ 得 $2β=(2k+1)π$，注意角度的取值范围.
 

【巩固练习】

1. 若 $\sin α=\dfrac{3}{5}$，且 $α∈\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$，则 $\tan \left(α+\dfrac{\pi}{4} \right)=$(　　)
 A．$-\dfrac{3}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{3}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$7$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{7}$
 

2. 已知 $α∈(0,π)$，$\cos \left(α+\dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{3}{5}$，则 $\sin α$ 的值为 (　　)
 A．$\dfrac{4 \sqrt{3}-3}{10}$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{3 \sqrt{3}-4}{10}$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{7}{10}$ $\qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{2 \sqrt{3}}{5}$
 

3. 已知 $\sin θ+\sin \left(θ+\dfrac{\pi}{3} \right)=1$，则 $\sin \left(θ+\dfrac{\pi}{6} \right)=$(　　)
 A．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
 

4. 在 $△ABC$ 中，已知 $\cos B=\dfrac{4}{5}$，$\sin C=\dfrac{5}{13}$，$\cos A=$(　　)
 A．$\dfrac{63}{65}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{33}{65}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{63}{65}$ 或 $-\dfrac{33}{65}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．以上答案都不对
 
5. 已知 $α$，$β$ 是锐角，且 $\sin \alpha=\dfrac{4 \sqrt{3}}{7}$， $\cos (\alpha+\beta)=-\dfrac{11}{14}$，求 $\sin β$ 的值．
 
 

6. 已知 $\tan α=2$，$\tan β=3$，且 $α$，$β$ 都是锐角，求 $α+β$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 若 $\sin α=\dfrac{3}{5}$，且 $α∈\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$，
   则 $\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin ^2 \alpha}=-\sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2}=-\dfrac{4}{5}$，
   所以 $\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{-\dfrac{4}{5}}=-\dfrac{3}{4}$，
   所以 $\tan \left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \dfrac{\pi}{4}}{1-\tan \alpha \tan \dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{-\dfrac{3}{4}+1}{1-\left(-\dfrac{3}{4}\right) \times 1}=\dfrac{1}{7}$．
   故选：$D$．

2. 答案 $A$
   解析 $∵α∈(0,π)$,$\cos \left(α+\dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{3}{5}$，$∴\sin \left(α+\dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{4}{5}$，
   $\therefore \sin \alpha=\sin \left[\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)-\dfrac{\pi}{6}\right]=\dfrac{4}{5} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5}=\dfrac{4 \sqrt{3}-3}{10}$．
   故选：$A$．

3. 答案 $B$
   解析 $∵\sin θ+\sin \left(θ+\dfrac{\pi}{3} \right)=1$，$∴\sin θ+\dfrac{1}{2} \sin θ+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos θ=1$，
   即 $\dfrac{3}{2} \sin θ+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos θ=1$，得 $\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{2} \cos θ+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin θ \right)=1$，
   即 $\sqrt{3} \sin \left(θ+\dfrac{\pi}{6} \right)=1$，得 $\sin \left(θ+\dfrac{\pi}{6} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
   故选：$B$．

4. 答案 $B$
   解析 在 $△ABC$ 中，由 $\cos B=\dfrac{4}{5}$，得 $\sin B=\sqrt{1-\cos ^2 B}=\dfrac{3}{5}$，
   又 $\sin C=\dfrac{5}{13}$，且 $\sin B>\sin C$，
   $∴$ 角 $C$ 为锐角，得 $\cos C=\sqrt{1-\sin ^2 C}=\dfrac{12}{13}$，
   $\therefore \cos A=-\cos (B+C)=-[\cos B \cos C-\sin B \sin C]=-\left[\dfrac{4}{5} \times \dfrac{12}{13}-\dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{13}\right]=-\dfrac{33}{65}$．
   故选：$B$．

5. 答案 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
   解析 $∵α$ 是锐角，且 $\sin \alpha=\dfrac{4 \sqrt{3}}{7}$，
   $\therefore \cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^2 \alpha}=\sqrt{1-\left(\dfrac{4 \sqrt{3}}{7}\right)^2}=\dfrac{1}{7}$．
   又 $\cos (\alpha+\beta)=-\dfrac{11}{14}$，$α$，$β$ 均为锐角，
   $\therefore \sin (\alpha+\beta)=\sqrt{1-\cos ^2(\alpha+\beta)}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{14}$，
   $∴\sin ⁡β=\sin ⁡(α+β-α)=\sin ⁡(α+β)·\cos ⁡α-\cos ⁡(α+β)·\sin ⁡α$
   $=\dfrac{5 \sqrt{3}}{14} \times \dfrac{1}{7}-\left(-\dfrac{11}{14}\right) \times \dfrac{4 \sqrt{3}}{7}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．

6. 答案 $135°$
   解析 $\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\dfrac{2+3}{1-2 \times 3}=-1$．
   又 $α$，$β$ 均为锐角，$∴0^∘<α+β<180^∘$，
   $∴α+β=135°$．
    

【题型3】辅助角公式

【典题 1】 化下列代数式为一个角的三角函数
  (1) $\sqrt{3} \sin ⁡α+\cos ⁡α$； $\qquad \qquad$ (2)$2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right)-2\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right)$；
解析 (1)$\sqrt{3} \sin ⁡α+\cos ⁡α=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin ⁡α+\dfrac{1}{2} \cos ⁡α \right)$
$=2\left(\sin ⁡α \cos ⁡ \dfrac{\pi}{6} +\cos ⁡α \sin ⁡ \dfrac{\pi}{6} \right)=2 \sin ⁡ \left(α+\dfrac{\pi}{6} \right)$；
(2) $2 \sin \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right)-2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right)=2\left[\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right)-2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right) \right]$
$=4\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right)-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right) \right]=4\left[\sin \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right) \cos ⁡ \dfrac{\pi}{4} -\cos ⁡ \left(\dfrac{\pi}{4}-α \right) \sin ⁡ \dfrac{\pi}{4} \right]$
$=4 \sin ⁡\left(\dfrac{\pi}{4}-α-\dfrac{\pi}{4} \right) =4 \sin ⁡ (-α) =-4 \sin ⁡α$.
点拨 注意辅助角公式常见的特殊角情况
$a:b=1:1$ 型，配 $\dfrac{\pi}{4}$：$\sin x±\cos x=\sqrt{2} \sin \left(x±\dfrac{\pi}{4}\right)$
$a:b=\sqrt{3}:1$ 型，配 $\dfrac{\pi}{6}$ 或 $\dfrac{\pi}{3}$：$\sin x±\sqrt{3} \cos x=2 \sin \left(x±\dfrac{\pi}{3} \right)$，$\sqrt{3} \sin x±\cos x=2 \sin \left(x±\dfrac{\pi}{6} \right)$.
 

【典题 2】 已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 3ωx-\cos 3ωx(ω>0)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\dfrac{\pi}{2}$，则 $f\left(\dfrac{\pi}{3} \right)=$ $\underline{\quad \quad}$．
解析 $f(x)=\sqrt{3} \sin 3ωx-\cos 3ωx=2\sin \left(3ωx-\dfrac{\pi}{6} \right)$，
又 $∵$ 函数 $f(x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\dfrac{\pi}{2}$，
$\therefore \dfrac{2 \pi}{3 \omega}=\pi$，解得： $\omega=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=2 \sin \left(3 \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right)=2$．
点拨 处理函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x$ 的基本性质，先转化为 $f(x)=A\sin (x+φ)$ 的形式.
 

【巩固练习】

1. 化下列代数式为一个角的三角函数
  (1)$\sin ⁡α+\cos ⁡α$；$\qquad \qquad$ (2) $\sin \left(\dfrac{\pi}{6}+α \right)+\sqrt{3} \cos \left(\dfrac{\pi}{6}+α \right)$；

 
 

2. 已知函数 $f(x)=\left|\sqrt{3} \sin ωx-\cos ωx \right|(ω>0)$ 的最小正周期为 $π$，则 $ω=$ $\underline{\quad \quad}$ .
 

3. 求 $f(x)=\sin ⁡x-\sqrt{3} \cos ⁡x$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{2},π \right]$ 的值域 .
 
 

4. 已知 $f(x)=\sin ⁡(π-2x)+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+2x \right)$．
(1) 化简 $f(x)$ 并求函数 $f(x)$ 图象的对称轴方程；
(2) 当 $x∈\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4} \right]$ 时，求函数 $f(x)$ 的最大值和最小值．
 
 

参考答案

1. 答案 (1) $\sin ⁡ \left(α+\dfrac{\pi}{4}\right)$；(2) $2 \cos ⁡α$
   解析 (1)$\sin ⁡α+\cos ⁡α=\sqrt{2} \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin ⁡α+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos ⁡α \right)$
   $=\sqrt{2} \left(\sin ⁡α \cos ⁡ \dfrac{\pi}{4} +\cos ⁡α \sin ⁡ \dfrac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2} \sin ⁡ \left(α+\dfrac{\pi}{4} \right)$；
   (2) $\sin ⁡\left(\dfrac{\pi}{6}+α \right)+\sqrt{3} \cos ⁡\left(\dfrac{\pi}{6}+α \right)=2[\dfrac{1}{2} \sin ⁡\left(\dfrac{\pi}{6}+α \right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos ⁡\left(\dfrac{\pi}{6}+α) \right]$
   $=2\left[\sin \left(\dfrac{\pi}{6}+α \right) \cos ⁡\dfrac{\pi}{3} +\cos ⁡ \left(\dfrac{\pi}{6}+α \right) \sin ⁡\dfrac{\pi}{3} \right]=2 \sin ⁡ \left(\dfrac{\pi}{6}+α+\dfrac{\pi}{3} \right)$$=2 \sin ⁡ \left(\dfrac{\pi}{2}+α \right) =2 \cos ⁡α$.

2. 答案 $1$
   解析 因为函数 $f(x)=\left|\sqrt{3} \sin ωx-\cos ωx \right|=\left|2\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{6} \right) \right|$；
   故其最小正周期为 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2 \pi}{\omega}=\pi \Rightarrow \omega=1$.

3. 答案 $(-1,2]$
   解析 $f(x)=\sin ⁡x-\sqrt{3} \cos ⁡x=2 \sin ⁡ \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right)$
   $∵-\dfrac{\pi}{2}<x<π$，$∴-\dfrac{5\pi}{6}<x-\dfrac{\pi}{3} <\dfrac{2\pi}{3}$，
   $∴-\dfrac{1}{2}<\sin ⁡ \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) ≤1$，$∴-1<2 \sin ⁡ \left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) ≤2$，
   即函数 $y=f(x)$ 的值域为 $(-1,2]$.

4. 答案 (1)$f(x)=\sqrt{2} \sin ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$，$x=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}$ ,$k∈Z$；
   (2) $f(x)_{\max} =1$， $f(x)_{\min}=-\sqrt{2}$.
   解析 (1) 由已知可得 $f(x)=\sin ⁡2x+\cos ⁡2x=\sqrt{2} \sin ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{4} \right)$，
   令 $2x+\dfrac{\pi}{4}=kπ+\dfrac{\pi}{2}$,$k∈Z$，解得 $x=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}$,$k∈Z$，即为函数 $f(x)$ 的对称轴方程；
   (2) 当 $x∈\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4} \right]$ 时，$2x+\dfrac{\pi}{4}∈\left[\dfrac{3\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4} \right]$，
   所以当 $2x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$，即 $x=\dfrac{\pi}{4}$ 时， $f(x) \max =\sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=1$，
   当 $2x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}$，即 $x=\dfrac{5\pi}{8}$ 时， $f(x) \min =\sqrt{2} \times(-1)=-\sqrt{2}$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1.$\sin 80^{\circ} \cos 50^{\circ}+\cos 140^{\circ} \sin 10^{\circ}=$(　　)
 A．$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{1}{2}$
 

2. 设 $α∈\left(0,\dfrac{\pi}{2} \right)$，若 $\sin ⁡α=\dfrac{3}{5}$，则 $\sqrt{2} \cos \left(α+\dfrac{\pi}{4} \right)=$ (　　)
 A．$\dfrac{7}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{7}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$-\dfrac{1}{5}$
 

3. 在 $△ABC$ 中，$A=\dfrac{\pi}{4}$， $\cos B=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，则 $\sin C=$(　　)
 A．$-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
 

4. 已知 $0<α<β<\dfrac{\pi}{2}$，且 $\cos (\alpha-\beta)=\dfrac{63}{65}$, $\sin \beta=\dfrac{12}{13}$，则 $\sin α=$(　　)
 A．$-\dfrac{3}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{3}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{4}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{4}{5}$
 

5. 已知：$α$,$β$ 均为锐角，$\tan α=\dfrac{1}{2}$，$\tan β= \dfrac{1}{3}$，则 $α+β=$(　　)
 A．$\dfrac{\pi}{6}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\pi}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{\pi}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{5\pi}{12}$
 

6. 若 $0<α<\dfrac{\pi}{2}$，$-\dfrac{\pi}{2}<β<0$，$\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+α \right)= \dfrac{1}{3}$ ，$\cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{β}{2} \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，则 $\cos \left(α+\dfrac{β}{2} \right)=$ (　　)
 A．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{5 \sqrt{3}}{9}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $-\dfrac{\sqrt{6}}{9}$
 

7.$A$,$B$,$C$ 是 $△ABC$ 的内角，其中 $B=\dfrac{2\pi}{3}$ ，则 $\sin A+\sin C$ 的取值范围 $\underline{\quad \quad}$ .
 

8. 已知 $\tan ⁡α= \dfrac{1}{3}$，$\tan ⁡(β-α)=-2$，且 $\dfrac{\pi}{2}<β<π$，则 $β=$$\underline{\quad \quad}$．
 

9. 已知 $\tan (α+β)=3$，$\tan \left(α+\dfrac{\pi}{4} \right)=2$，那么 $\tan β=$$\underline{\quad \quad}$　　．
 

10. 若函数 $f(x)=\sin 2x-\sqrt{3} \cos 2x$ 在 $[0,t]$ 上的值域为 $[-\sqrt{3},2]$，则 $t$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$．
 

11. 已知函数 $f(x)=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right)+\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{6} \right)+\cos ⁡2x-1$．
  (1) 求 $f(x)$ 的最小正期；
  (2) 当 $x∈\left[0,\dfrac{\pi}{4} \right]$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
  (3) 在 (2) 的件下，求 $f(x)$ 的最小值，以及取得最小值时相应自变量 $x$ 的取值范围.
 
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $\sin 80^{\circ} \cos 50^{\circ}+\cos 140^{\circ} \sin 10^{\circ}=\cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ}-\sin 50^{\circ} \sin 10^{\circ}$$=\cos (50^{\circ}+10^{\circ})=\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$．
   故选：$D$．

2. 答案 $B$
   解析 $\cos α=\sqrt{1-\sin ^2⁡α}=\dfrac{4}{5}$，原式 $=\cos α-\sin α=\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{5}$．

3. 答案 $D$
   解析 $\sin B=\dfrac{3 \sqrt{10}}{10}$，$\sin C=\sin ⁡(A+B)=\sin A·\cos B+\cos A·\sin B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$．

4. 答案 $D$
   解析 $∵$ 已知 $0<α<β<\dfrac{\pi}{2}$，且 $\cos (\alpha-\beta)=\dfrac{63}{65}$, $\sin \beta=\dfrac{12}{13}$，
   $∴α-β∈\left(-\dfrac{\pi}{2},0 \right)$， $\sin (\alpha-\beta)=-\sqrt{1-\cos ^2(\alpha-\beta)}=-\dfrac{16}{65}$， $\cos \beta=\sqrt{1-\sin ^2 \beta}=\dfrac{5}{13}$．
   $∴\sin α=\sin [(α-β)+β]=\sin (α-β)\cos β+\cos (α-β)\sin β$
   $=-\dfrac{16}{65} \cdot \dfrac{5}{13}+\dfrac{63}{65} \cdot \dfrac{12}{13}=\dfrac{676}{845}=\dfrac{4}{5}$，
   故选：$D$．

5. 答案 $B$
   解析 由于 $α$,$β$ 均为锐角，$\tan α=\dfrac{1}{2}$，$\tan β= \dfrac{1}{3}$，
   所以 $0<α+β<\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}=π$．
   所以 $\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{6}}=1$，所以 $α+β=\dfrac{\pi}{4}$．
   故选：$B$．

6. 答案 $C$
   解析 $∵\cos (\dfrac{\pi}{4}+α)= \dfrac{1}{3}$ ，$0<α<\dfrac{\pi}{2}$， $\therefore \sin \left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$，
   又 $∵\cos (\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{β}{2})=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$-\dfrac{\pi}{2}<β<0$，
   $\therefore \sin \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，
   $\therefore \cos \left(\alpha+\dfrac{\beta}{2}\right)=\cos \left[\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)-\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)\right]$
   $=\cos ⁡ \left(\dfrac{\pi}{4}+α \right)\cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{β}{2} \right) +\sin \left(\dfrac{\pi}{4}+α \right) \sin \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{β}{2} \right)$
   $=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{\sqrt{3}}{3}+\dfrac{2 \sqrt{2}}{3} \times \dfrac{\sqrt{6}}{3}=\dfrac{5 \sqrt{3}}{9}$，故选 $C$．

7. 答案 $(\dfrac{\sqrt{3}}{2},1]$
   解析 $\sin A+\sin C=\sin A+\sin \left(\dfrac{\pi}{3} -A \right)=\sin A+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos A-\dfrac{1}{2} \sin A$
   $=\dfrac{1}{2} \sin A+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos A=\sin \left(A+\dfrac{\pi}{3} \right)$．
   $∵A∈\left(0,\dfrac{\pi}{3} \right )$，$∴A+\dfrac{\pi}{3} ∈\left(\dfrac{\pi}{3} ,\dfrac{2\pi}{3} \right)$，
   $∴\sin \left(A+\dfrac{\pi}{3} \right)∈\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},1 \right]$.

8. 答案 $\dfrac{3\pi}{4}$
   解析 $\tan \beta=\tan [\alpha+(\beta-\alpha)]=\dfrac{\tan \alpha+\tan (\beta-\alpha)}{1-\tan \alpha \cdot \tan (\beta-\alpha)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}-2}{1+\dfrac{2}{3}}=-1$．
   又 $∵\dfrac{\pi}{2}<β<π$，$∴β=\dfrac{3\pi}{4}$．

9. 答案 $\dfrac{4}{3}$
   解析 $∵\tan \left(α+\dfrac{\pi}{4} \right)=2$， $\therefore \dfrac{1+\tan \alpha}{1-\tan \alpha}=2$，解得 $\tan α= \dfrac{1}{3}$；
   又 $\tan (α+β)=3$，$\tan \left(α+\dfrac{\pi}{4} \right)=2$，
   $\therefore \tan \beta=\tan [(\alpha+\beta)-\alpha]=\dfrac{\tan (\alpha+\beta)-\tan \alpha}{1+\tan (\alpha+\beta) \tan \alpha}=\dfrac{3-\dfrac{1}{3}}{1+3 \times \dfrac{1}{3}}=\dfrac{4}{3}$．

10. 答案 $\left [\dfrac{5\pi}{12},\dfrac{5\pi}{6} \right]$
    解析 $f(x)=\sin 2x-\sqrt{3} \cos 2x=2\sin \left(2x-\dfrac{\pi}{3} \right)$
    当 $x=0$ 时，函数值是 $-\sqrt{3}$；当 $x=\dfrac{5\pi}{12}$ 时，函数值是 $2$；当 $x=\dfrac{5\pi}{6}$ 时，函数值是 $-\sqrt{3}$；
    又函数在 $\left[0,\dfrac{5\pi}{12} \right]$ 上增，在 $\left[\dfrac{5\pi}{12},\dfrac{5\pi}{6} \right]$ 上减，可得 $t$ 的取值范围 $\left[\dfrac{5\pi}{12},\dfrac{5\pi}{6} \right]$．

11. 答案 (1) $π$；(2) 单调递增区间为 $\left[0,\dfrac{\pi}{6} \right]$，单调递减区间为 $\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4} \right]$；(3) 在 $x=0$ 时取得最小值 $0$.
    解析 (1)$f(x)=\sin ⁡2x\cos ⁡\dfrac{\pi}{6}+\cos ⁡2x\sin ⁡\dfrac{\pi}{6}+\sin ⁡2x\cos ⁡\dfrac{\pi}{6}-\cos ⁡2x\sin ⁡\dfrac{\pi}{6}+\cos ⁡2x-1$
    $=\sqrt{3} \sin ⁡2x+\cos ⁡2x-1=2\sin ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{6} \right)-1$，
    $T=\dfrac{2 \pi}{|\omega|}=\dfrac{2 \pi}{2}=\pi$，故 $f(x)$ 的最小正周期为 $π$．
    (2) 先求出增区间，即：令 $-\dfrac{\pi}{2}+2kπ≤2x+\dfrac{\pi}{6}≤\dfrac{\pi}{2}+2kπ,(k∈Z)$，
    解得 $x∈\left[-\dfrac{\pi}{3} +kπ,\dfrac{\pi}{6}+kπ \right]$，
    $∴f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\dfrac{\pi}{3} +kπ,\dfrac{\pi}{6}+kπ \right]$，
    $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[\dfrac{\pi}{6}+kπ,\dfrac{2\pi}{3} +kπ \right]$，
    所以在区间 $\left[0,\dfrac{\pi}{4} \right]$ 上，当 $x∈\left[0,\dfrac{\pi}{6} \right]$ 时，函数 $f(x)$ 单调递增，
    当 $x∈\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4} \right]$ 时，函数 $f(x)$ 单调递减；
    所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[0,\dfrac{\pi}{6} \right]$，单调递减区间为 $\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4} \right]$．
    (3) 由 (2) 所得到的单调性可得 $f(0)=2\sin ⁡\dfrac{\pi}{6}-1=0$，$f\left(\dfrac{\pi}{4} \right)=2\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6} \right)-1=\sqrt{3}$,
    所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 时取得最小值 $0$．
     

【B组---提高题】

1. 已知 $α$,$β∈(0,2π)$，且满足 $\sin α-\cos α=\dfrac{1}{2}$，$\cos β-\sin β=\dfrac{1}{2}$，则 $\sin (α+β)=$(　　)
 A．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{3}{4}$ 或 $1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$1$ 或 $-1$
 

2. 设 $α$,$β∈\left(0,\dfrac{\pi}{2} \right)$，$\sin α\cos β=3\sin β\cos α$，则 $α-β$ 的最大值为 (　　)
 A． $\dfrac{\pi}{12}$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\pi}{6}$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{\pi}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{\pi}{3}$
 

3. 设当 $x=θ$ 时，函数 $f(x)=\sin x+3\cos x$ 取得最大值，则 $\cos \left(θ-\dfrac{\pi}{4} \right)=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $∵\sin α-\cos α=\dfrac{1}{2}$，$\sin ^2 α+\cos ^2 α=1$，
   $∴8\sin ^2 α-4\sin α-3=0$，$8\cos ^2 α+4\cos α-3=0$
   又 $\cos β-\sin β=\dfrac{1}{2}$，$\sin ^2⁡β+\cos ^2⁡β=1$，
   $∴8 \cos ^2⁡β-4\cos β-3=0$，$8 \sin ^2⁡β+4\sin β-3=0$，
   ①若 $\sin α=\cos β$，则 $α+β=\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{5\pi}{2}$，此时 $\sin (α+β)=1$，
   ②若 $\sin α≠\cos β$，
   则 $\sin α$，$\cos β$ 是方程 $8x^2-4x-3=0$ 的根，故 $\sin α\cos β=-\dfrac{3}{8}$，
   同时 $\cos α$，$\sin β$ 是方程 $8x^2+4x-3=0$ 的根，故 $\cos α\sin β=-\dfrac{3}{8}$，
   故 $\sin (α+β)=\sin α\cos β+\cos α\sin β=-\dfrac{3}{4}$，
   故 $\sin (α+β)$ 的值是 $1$ 或 $-\dfrac{3}{4}$，
   故选：$C$．

2. 答案 $B$
   解析 由 $\sin α\cos β=3\sin β\cos α$ 可得 $\tan α=3\tan β$，
   $∵α$,$β∈\left(0,\dfrac{\pi}{2} \right)$，
   所以 $\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\dfrac{2 \tan \beta}{1+3 \tan ^2 \beta}=\dfrac{2}{3 \tan \beta+\dfrac{1}{\tan \beta}}$$\leq \dfrac{2}{2 \sqrt{3 \tan \beta \cdot \dfrac{1}{\tan \beta}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
   当且仅当 $3 \tan \beta=\dfrac{1}{\tan \beta}$ 即 $\tan β=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan α=\sqrt{3}$ 时取等号，
   此时 $α-β$ 取得最大值 $\dfrac{\pi}{6}$．
   故选：$B$．

3. 答案 $\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$
   解析 $∵$ 当 $x=θ$ 时，函数 $f(x)=\sin x+3 \cos x=\sqrt{10}\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}} \sin x+\dfrac{3}{\sqrt{10}} \cos x\right)$ 取得最大值，
   $\therefore \cos \theta=\dfrac{3}{\sqrt{10}}$， $\sin \theta=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$，
   $\therefore \sin \theta+3 \cos \theta=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$，
   则 $\cos \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos \theta+\sin \theta) \dfrac{\sqrt{2}}{2} \times \dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$．
    

【C组---拓展题】

1. 在钝角三角形 $ABC$ 中， $\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+2 \tan C=0$，则 $\tan C$ 的最大值是 $\underline{\quad \quad}$．
 
 

2. 已知锐角 $α$,$β$ 满足 $α-β=\dfrac{\pi}{3}$，则 $\dfrac{1}{\cos \alpha \cos \beta}+\dfrac{1}{\sin \alpha \sin \beta}$ 的最小值为 $\underline{\quad \quad}$．
 
 

参考答案

1. 答案 $-\sqrt{3}$
   解析 在钝角三角形 $ABC$ 中， $\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan B}+2 \tan C=0$，
   可得 $\dfrac{\tan A+\tan B}{\tan A \tan B}=-2 \tan C$，
   即 $\tan A+\tan B=-2\tan A\tan B\tan C$，
   则 $\tan (A+B)(1-\tan A\tan B)=-2\tan A\tan B\tan C$，
   即 $-\tan C(1-\tan A\tan B)=-2\tan A\tan B\tan C$，
   所以 $\tan A\tan B= \dfrac{1}{3}$，
   则 $\tan C=-\tan (A+B)=-\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}=-\dfrac{3}{2}(\tan A+\tan B)$
   $\leq-\dfrac{3}{2} \times 2 \sqrt{\tan A \tan B}=-\sqrt{3}$．
   当且仅当 $\tan A=\tan B$ 时，取等号，故 $\tan C$ 的最大值是 $-\sqrt{3}$．
   故答案为：$-\sqrt{3}$．

2. 答案 $8$
   解析 因为锐角 $α$,$β$ 满足 $α-β=\dfrac{\pi}{3}$，
   所以 $\cos (α-β)=\cos α\cos β+\sin α\sin β=\dfrac{1}{2}$，
   令 $x=\cos α\cos β$，$y=\sin α\sin β$，
   则 $x+y=\dfrac{1}{2}$，
   由题意得 $x>0$，$y>0$，
   则 $\dfrac{1}{\cos \alpha \cos \beta}+\dfrac{1}{\sin \alpha \sin \beta}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=2(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$$=2\left(2+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right) \geq 2\left(2+2 \sqrt{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x}}\right)=8$，
   当且仅当 $x=y$ 时取等号，此时 $\dfrac{1}{\cos \alpha \cos \beta}+\dfrac{1}{\sin \alpha \sin \beta}$ 的最小值 $8$．