5.4.3 正切函数的性质与图象

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

正切函数的定义域

根据正切函数的定义，$\tan α=\dfrac{y}{x}$($α$ 的终边与单位圆交于点 $P(x，y)$，当交点 $P(x，y)$ 在 $y$ 轴上时，$x=0$，
即当 $x=\dfrac{\pi}{2}+kπ$，$k∈Z$，则 $\tan α$ 没意义.
故 $y=\tan⁡ x$ 的定义域是 $x≠\dfrac{\pi}{2}+kπ$，$k∈Z$.

正切函数的周期性

由诱导公式 $\tan⁡ (x+π)=\tan⁡ x$,$x∈R$，且 $x≠\dfrac{\pi}{2}+kπ$,$k∈Z$，
可知道，正切函数是周期函数，周期是 $π$.
注 三角函数 $y=\tan⁡ (ωx+φ)$ 的最小正周期 $T=\dfrac{\pi}{|\omega|}$.

正切函数的奇偶性

由诱导公式 $\tan⁡ (-x)=-\tan⁡ x$,$x∈R$，且 $x≠\dfrac{\pi}{2}+kπ$,$k∈Z$，
可知，正切函数是奇函数.

正切函数的图象

设 $x∈\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，在直角坐标系中画出角 $x$ 的终边与单位圆的角度 $B(x_0,y_0)$，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足是 $M$；
过点 $A(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线与角 $x$ 的终边交于点 $T$，则 $\tan x=\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{M B}{O M}=\dfrac{A T}{O A}=A T$.

由此可见，当 $x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，线段 $AT$ 的长度就是相应角 $x$ 的正切值，
我们可以利用线段 $AT$ 画出函数 $y=\tan⁡ x$,$x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的图象，如下图；
当 $x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，随着 $x$ 的增大，线段 $AT$ 的长度也在增大，而且当 $x$ 趋向于 $\dfrac{\pi}{2}$ 时，$AT$ 的长度趋向于无穷大.
相应地，函数 $y=\tan⁡ x$, $x\in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的图象从左到右呈不断上升的趋势，且向右上方无限逼近直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$.

又因为正切函数是奇函数，且周期为 $π$，
所以我们可以得到正切函数 $y=\tan⁡ x$,$x\in R$,$x≠\dfrac{\pi}{2}+kπ$,$k∈Z$ 的图象，把它叫做正切曲线.

正切函数的单调性

观察正切曲线可知，正切函数在 $\left(-\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增.
由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 $\left(-\dfrac{\pi}{2}+kπ，\dfrac{\pi}{2}+kπ\right)(k\in Z)$ 上都单调递增.

正切函数的值域

当 $x\in\left (-\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时，$\tan⁡ x$ 在 $(-∞,+∞)$ 内可取到任意实数值， 但没有最大值、最小值.
因此，正切函数的值域是实数集 $R$.

正切函数的图像与性质汇总

注 表中的 $k∈Z$

	$y=\tan⁡ x$
图像
定义域	$\{x│x≠kπ+\dfrac{\pi}{2}\}$
值域	$R$
最值	既无最大值也无最小值
周期性	$π$
对称中心	$\left (\dfrac{k\pi}{2},0\right)$
对称轴	无对称轴
单调性	在$\left(kπ-\dfrac{\pi}{2} ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)$上是增函数

 

基本方法

【题型1】正切函数的图象及应用

【典题 1】 画出函数 $y=|\tan x|$ 的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
解析 由 $y=|\tan x|$ 得， $y=\left\{\begin{array}{l} \tan x, k \pi \leq x<k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in \mathrm{Z}) \\ -\tan x,-\dfrac{\pi}{2}+k \pi<x<k \pi(k \in \mathrm{Z}) \end{array}\right.$，
其图象如图所示．

由图象可知，函数 $y=|\tan x|$ 是偶函数，单调递增区间为 $\left[kπ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)(k\in Z)$，
单调递减区间为 $\left(-\dfrac{\pi}{2}+kπ,kπ\right](k\in Z)$，周期为 $π$．

【巩固练习】

1. 作出函数 $f(x)=\tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 在一个周期内的简图．
 
 

参考答案

1. 解析 令 $\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}=0$，则 $x=\dfrac{2\pi}{3}$；令 $\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$，则 $x=\dfrac{5\pi}{3}$．
   令 $\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{2}$，则 $x=-\dfrac{\pi}{3}$．
   $\therefore$ 函数 $f(x)=\tan\left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点坐标是 $\left(\dfrac{2\pi}{3},0\right)$，
   在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 $x=-\dfrac{\pi}{3}$,$x=\dfrac{5\pi}{3}$，
   从而得函数 $y=f(x)$ 在一个周期 $\left(-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right)$ 内的简图 (如图)．
   
    

【题型2】正切函数的定义域

【典题 1】 求下列函数的定义域：
  (1) $y=\dfrac{1}{1+\tan x}$；$\qquad \qquad$ (2) $y=\lg (\sqrt{3}-\tan x)$．
解析 (1) 要使函数 $y=\dfrac{1}{1+\tan x}$ 有意义，必须且只需 $\left\{\begin{array}{l} 1+\tan x \neq 0 \\ x \neq k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in \mathrm{Z}) \end{array}\right.$
所以函数的定义域为 $\{x∣x\in R$ 且 $x≠kπ-\dfrac{\pi}{4},x≠kπ+\dfrac{\pi}{2},k\in Z\}$．
(2) 因为 $\sqrt{3} -\tan x>0$，所以 $\tan x<\sqrt{3}$ ．
又因为 $\tan x=\sqrt{3}$ 时，$x=\dfrac{\pi}{3}+kπ(k\in Z)$，
根据正切函数图象，得 $kπ-\dfrac{\pi}{2}<x<kπ+\dfrac{\pi}{3}(k\in Z)$，
所以函数的定义域是 $\{x∣kπ-\dfrac{\pi}{2}<x<kπ+\dfrac{\pi}{3},k\in Z\}$．
 

【巩固练习】

1. 函数 $y=\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)$ 的定义域为 (　　)
 A．$\{x∣x≠\dfrac{\pi}{4},x\in R\}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\{x∣x≠-\dfrac{\pi}{4},x\in R\}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$
 C．$\{x∣x≠kπ+\dfrac{\pi}{4},x\in R,k\in Z\}$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$\{x∣x≠kπ+\dfrac{3\pi}{4},x\in R,k\in Z\}$
 

2. 求函数 $y=\sqrt{\tan x+1}+\lg (1-\tan x)$ 的定义域．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 由 $\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)=-\tan\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)$，
   $\therefore x-\dfrac{\pi}{4}≠kπ+\dfrac{\pi}{2}$,$k∈Z$，从而 $x≠kπ+\dfrac{3\pi}{4}$,$x\in R$,$k∈Z$．

2. 答案 $\left[kπ-\dfrac{\pi}{4},kπ+\dfrac{\pi}{4}\right)(k\in Z)$
   解析 由题意得 $\left\{\begin{array}{l} \tan x+1 \geq 0 \\ 1-\tan x>0 \end{array}\right.$，即 $－1≤\tan x<1$．
   在 $\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内，满足上述不等式的 $x$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)$，
   又 $y=\tan x$ 的周期为 $π$，
   所以函数的定义域是 $\left[kπ-\dfrac{\pi}{4},kπ+\dfrac{\pi}{4}\right)(k\in Z)$．
    

【题型3】 正切函数的性质

【典题 1】 已知函数 $f(x)=\tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$，则下列关于 $f(x)$ 的判断正确的是 (　　)
 A．在区间 $\left(\dfrac{\pi}{6},π\right)$ 上单调递增 $\qquad \qquad \qquad \quad \qquad$ B．最小正周期是 $π$
 C．图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 成轴对称 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{6},0 \right)$ 成中心对称
解析 $A$．$x\in \left(\dfrac{\pi}{6},π\right)⇒x+\dfrac{\pi}{3}\in \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{4\pi}{3}\right)$；故单调递增， $A$ 正确；
$B$．函数 $f(x)$ 的最小正周期是 $π$，故 $B$ 正确，
$C$．正切函数没有对称轴，故 $C$ 错误，
$D$．令 $x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{k\pi}{2}⇒x=\dfrac{k\pi}{2}-\dfrac{\pi}{3}$，$k∈Z$；
则 $f(x)$ 图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)$ 成中心对称，故 $D$ 正确，
故选：$ABD$．
 

【典题 2】 比较大小：$\tan\left(-\dfrac{7\pi}{4}\right)$ $\underline{\quad \quad}$ $\tan \left(-\dfrac{9}{5} \pi\right)$．
解析 $\because \tan \left(-\dfrac{7}{4} \pi\right)=-\tan \left(2 \pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\tan \dfrac{\pi}{4}$，
$\tan \left(-\dfrac{9}{5} \pi\right)=-\tan \left(2 \pi-\dfrac{\pi}{5}\right)=\tan \dfrac{\pi}{5},$，
又 $0<\dfrac{\pi}{5}<\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}$，$y=\tan x$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 内单调递增，
$\therefore \tan \dfrac{\pi}{5}<\tan \dfrac{\pi}{4}$，
$\therefore \tan \left(-\dfrac{7}{4} \pi\right)>\tan \left(-\dfrac{9}{5} \pi\right)$．
 

【典题 3】 若函数 $y=\tan⁡ \left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减，且在 $\left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$ ，
则 $ω$ 的值为 (　　)
 A. $-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C. $-1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D.$1$
解析 $∵y=\tan⁡ \left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right]$ 上单调递减，
$\therefore T=\dfrac{\pi}{|\omega|} \geq \dfrac{2 \pi}{3}$，$\therefore |ω|≤\dfrac{3}{2}$；
又 $y=\tan⁡ \left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 在 $\left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt{3}$ ，
$\therefore$ 当 $x=-\dfrac{\pi}{3}$ 时，$y_{\max} =\sqrt{3}$，即 $\tan⁡ \left(-\dfrac{\pi}{3} ω+\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}$，
$\therefore -\dfrac{\pi}{3} ω+\dfrac{\pi}{6}=kπ+\dfrac{\pi}{3}$，
$\therefore-\dfrac{\pi}{3} \omega+\dfrac{\pi}{6}=k \pi+\dfrac{\pi}{3}$，
$\therefore-\dfrac{1}{3} \omega=\dfrac{1}{6}+k(k \in Z)$，又 $|ω|≤\dfrac{3}{2}$，
$\therefore ω=-\dfrac{1}{2}$．
故选：$A$．
 

【巩固练习】

1. 函数 $y=\tan \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的图象 (　　)
 A．关于原点对称 $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B．关于点 $\left (-\dfrac{\pi}{2},1\right)$ 对称
 C．关于直线 $x=-\dfrac{\pi}{8}$ 对称 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．关于点 $\left(\dfrac{\pi}{8},0\right)$ 对称
 

2. 已知函数 $f(x)=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$，则下列说法错误的是 (　　)
 A. 函数 $f(x)$ 的周期为 $\dfrac{\pi}{2}$
 B. 函数 $f(x)$ 的值域为 $R$
 C. 点 $\left(\dfrac{\pi}{6}，0\right)$ 是函数 $f(x)$ 的图象一个对称中心
 D. $f\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<f\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)$
 

3. 方程 $\tan(2x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}$ 在区间 $\left[0,2π\right)$ 上的解的个数是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

4. 已知函数 $f(x)=\tan(ωx+φ)(ω≠0,|φ|<\dfrac{\pi}{2})$，点 $\left(\dfrac{\pi}{3},0\right)$ 和 $\left(\dfrac{5\pi}{6},0\right)$ 是其相邻的两个对称中心，
且在区间 $\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)$ 内单调递减，则 $φ=$ $\underline{\quad \quad}$ .
 
 

5. 设函数 $f(x)=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$．
  (1) 求 $f(x)$ 的定义域、周期和单调区间；
  (2) 求不等式 $-1≤f(x)≤\sqrt{3}$ 的解集；
  (3) 求 $f(x)$,$x\in \left[0，π\right]$ 的值域．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 函数 $y=\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 中，令 $2x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{k\pi}{2}$，$k∈Z$；
   解得 $x=\dfrac{k\pi}{4}-\dfrac{\pi}{8}$，$k∈Z$；
   令 $k=1$，得 $x=\dfrac{\pi}{8}$，
   所以 $y=\tan\left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的图象关于原点 $\left(\dfrac{\pi}{8} ,0\right)$ 对称，$D$ 正确．
   故选：$D$．

2. 答案 $D$
   解析 $∵f(x)=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$，
   $\therefore$ 函数 $f(x)$ 的周期 $T=\dfrac{\pi}{2}$，故 $A$ 正确；
   由正切函数的图象和性质可知函数 $f(x)$ 的值域为 $R$，故 $B$ 正确；
   由 $2x-\dfrac{\pi}{3}=kπ$，$k∈Z$ 可解得：$x=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{6}$，$k∈Z$，
   则解得当 $k=0$ 时，点 $\left(\dfrac{\pi}{6}，0\right)$ 是函数 $f(x)$ 的图象一个对称中心，故 $C$ 正确；
   由 $f\left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)=\tan \left(2 \times \dfrac{2 \pi}{5}-\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan \dfrac{7 \pi}{15}>0$; $f\left(\dfrac{3 \pi}{5}\right)=\tan \left(2 \times \dfrac{3 \pi}{5}-\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan \dfrac{13 \pi}{15}<0$，
   从而 $f\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>f\left(\dfrac{3\pi}{5}\right)$，故 $D$ 不正确．
   故选：$D$．

3. 答案 $4$
   解析 方程 $\tan(2x+\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}$ ，
   $\therefore 2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+kπ$，$k∈Z$，$x=\dfrac{k\pi}{2}$，$k∈Z$；
   $k=0$，$k=1$，$k=2$，$k=3$，
   求得方程在区间 $[0,2π)$ 上的解为 $0$，$\dfrac{\pi}{2}$，$π$，$\dfrac{3\pi}{2}$ 共 $4$ 个．

4. 答案 $\dfrac{\pi}{3}$
   解析 根据题意可得 $\left(\dfrac{\pi}{3},0\right)$ 和 $\left(\dfrac{5\pi}{6},0\right)$ 是其相邻的两个对称中心得 $\dfrac{T}{2}=\dfrac{5 \pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$，$\therefore T=π$；
   又因为在区间 $\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)$ 内单调递减，$\therefore ω=-1$；
   则 $f(x)=\tan(-x+φ)$；
   当 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 时，$f(\dfrac{\pi}{3})=0$，又 $∵|φ|<\dfrac{\pi}{2}⇒φ=\dfrac{\pi}{3}$．

5. 答案 (1)$\left(\dfrac{k \pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}\right)$，$k∈Z$；(2) $\left[\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{24}，\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right]$，$k∈Z$；(3) $R$.
   解析 (1)$\because$ 函数 $f(x)=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$，它的周期为 $\dfrac{\pi}{2}$．
   根据函数的解析式可得 $2x-\dfrac{\pi}{3}≠kπ+\dfrac{\pi}{2}$，$k∈Z$. 求得 $x \neq \dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}$，
   故函数的定义域为 $\{x∣x≠\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}，k\in z\}$．
   由 $kπ-\dfrac{\pi}{2}<2x-\dfrac{\pi}{3}<kπ+\dfrac{\pi}{2}$，$k∈Z$ 求得 $\dfrac{k \pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}<x<\dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}$，
   故函数的增区间为 $\left(\dfrac{k \pi}{2}-\dfrac{\pi}{12}, \dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{5 \pi}{12}\right)$，$k∈Z$.
   (2) 由不等式 $-1≤f(x)≤\sqrt{3}$，可得 $kπ-\dfrac{\pi}{4}≤2x-\dfrac{\pi}{3}≤kπ+\dfrac{\pi}{3}$，
   求得 $\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{24}≤x≤\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}$，
   故不等式的解集为 $\left[\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{24}，\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right]$，$k∈Z$.
   (3)$\because x\in \left[0，π\right]$，$\therefore 2x-\dfrac{\pi}{3}\in \left[-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{5\pi}{3}\right]$，
   故 $\tan \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)\in R$.
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 函数 $f(x)=\tan\left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的最小正周期为 $2π$，则 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=$ (　　)
 A．$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$　$\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$1$　$\qquad \qquad \qquad \qquad$　C．$\sqrt{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$　　D．$0$
 

2. 现有下列四个命题：
 ①函数 $y=\tan x$ 在定义域内是增函数；
 ②函数 $y=\tan(2x+1)$ 的最小正周期是 $π$；
 ③函数 $y=\tan x$ 的图象关于点 $(π,0)$ 成中心对称；
 ④函数 $y=\tan x$ 的图象关于点 $\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)$ 成中心对称．
其中正确命题的个数是 (　　)
 A．$0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$  C．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$3$
 

3. 函数 $f(x)=\tan \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的单调区间为 (　　)
 A．$\left(kπ-\dfrac{\pi}{2},kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)$,$k∈Z$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\left(kπ,(k+1)π\right)$,$k∈Z$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$
C．$\left(kπ-\dfrac{3\pi}{4},kπ+\dfrac{\pi}{4}\right)$,$k∈Z$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\left(kπ-\dfrac{\pi}{4},kπ+\dfrac{3\pi}{4}\right)$,$k∈Z$
 

4. 下列关于函数 $y=\tan⁡ \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的说法正确的是 (　　)
 A. 在区间 $\left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{5\pi}{6}\right)$ 上单调递增
 B. 最小正周期是 $π$
 C. 图象关于点 $\left(\dfrac{\pi}{4}，0\right)$ 成中心对称
 D. 图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 成轴对称
 

5. 关于函数 $f(x)=|\tan x|$ 的性质，下列叙述不正确的是 (　　)
 A．$f(x)$ 的最小正周期为 $\dfrac{\pi}{2}$
 B．$f(x)$ 是偶函数
 C．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{k\pi}{2}(k\in Z)$ 对称
 D．$f(x)$ 在每一个区间 $\left(kπ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)(k\in Z)$ 内单调递增
 

6.(多选) 下列关于函数 $y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的说法正确的是 (　　)
 A. 在区间 $\left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{7\pi}{24}\right)$ 上单调递增
 B. 最小正周期是 $π$
 C. 图象关于 $\left(\dfrac{\pi}{3}，0\right)$ 成中心对称
 D. 图象关于 $\left(\dfrac{\pi}{12}, 0\right)$ 成中心对称
 

7. 函数 $y=\tan \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)$，$x\in \left(0,\dfrac{\pi}{6}\right]$ 的值域是 $\underline{\quad \quad}$ ．
 

8. 已知函数 $f(x)=\tan x+\dfrac{1}{\tan x}$，若 $f(a)=5$，则 $f(-a)=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

9. 若 $f(n)=\tan⁡ \dfrac{n\pi}{3}$，$(n\in N^* )$，则 $f(1)+f(2)+⋯+f(100)=$ $\underline{\quad \quad}$.
 

10. 在 $(0,2π)$ 内，使 $\tan x>1$ 成立的 x 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

11. 已知函数 $y=3\tan ωx+1$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{4}\right)$ 内是减函数，则 $ω$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

12. 已知函数 $f(x)=3\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}\right)$．
  (1) 求 $f(x)$ 的定义域和值域．(2) 讨论 $f(x)$ 的周期和单调区间．(3) 求 $f(x)$ 的对称中心．
 
 

13. 设函数 $f(x)=\tan⁡ (ωx+φ)(ω>0，0<φ<\dfrac{\pi}{2})$，已知函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴相邻两个交点的距离为 $\dfrac{\pi}{2}$，
且图象关于点 $M\left(-\dfrac{\pi}{8}, 0\right)$ 对称．
  (1) 求 $f(x)$ 的解析式；
  (2) 求 $f(x)$ 的单调区间；
  (3) 求不等式 $-1≤f(x)≤\sqrt{3}$ 的解集．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 由已知 $\dfrac{\pi}{\omega}=2 \pi$，$\therefore ω=\dfrac{1}{2}$，$\therefore f(x)=\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{6}\right)$，
   $\therefore f(\dfrac{\pi}{6})=tan(\dfrac{1}{2}×\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{6})=\tan⁡ \dfrac{\pi}{4}=1$．

2. 答案 $C$
   解析 ①函数 $y=\tan x$ 在定义域内不是单调函数；故①错误，
   ②函数 $y=\tan(2x+1)$ 的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{2}$；故②错误
   ③函数 $y=\tan x$ 的图象关于点 $\left(\dfrac{k\pi}{2},0\right)$ 成中心对称，
   当 $k=2$ 时，对称中心为 $(π,0)$；故③正确，
   ④函数 $y=\tan x$ 的图象关于点 $\left(\dfrac{k\pi}{2},0\right)$ 成中心对称，
   当 $k=-1$ 时，关于 $\left(-\dfrac{\pi}{2},0\right)$ 成中心对称．故④正确，
   故正确是③④，
   故选：$C$．

3. 答案 $C$
   解析 由 $-\dfrac{\pi}{2}+kπ<x+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}+kπ$,$k∈Z$，
   得 $-\dfrac{3\pi}{4}+kπ<x<\dfrac{\pi}{4}+kπ$,$k∈Z$．故选 $C$．

4. 答案 $B$
   解析 对于 $A$，由 $kπ-\dfrac{\pi}{2}<x+\dfrac{\pi}{3}<kπ+\dfrac{\pi}{2}$，$k∈Z$，
   即 $kπ-\dfrac{5\pi}{6}<x<kπ+\dfrac{\pi}{6}$，$k∈Z$，
   当 $k=0$ 时，函数的单调递增区间为 $\left(-\dfrac{5\pi}{6}，\dfrac{\pi}{6}\right)$，
   当 $k=1$ 时，函数的单调递增区间为 $\left(\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{7\pi}{6}\right)$，
   故 $f(x)$ 在区间 $\left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{5\pi}{6}\right)$ 上单调递增错误，$A$ 错误；
   对于 $B$，函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=π$，命题正确；
   对于 $C$，由 $x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{k\pi}{2}$， 得 $x=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}$，$k∈Z$，
   即函数 $f(x)$ 的对称中心为 $\left(-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}，0\right)$，
   当 $k=1$ 时，对称中心为 $\left(\dfrac{\pi}{6}，0\right)$，$f(x)$ 图象不关于点 $\left(\dfrac{\pi}{4}，0\right)$ 成中心对称，$C$ 错误；
   对于 $D$，正切函数是奇函数，图象没有对称轴，$D$ 错误．
   故选：$B$．

5. 答案 $A$
   解析 对于函数 $f(x)=|\tan x|$ 的性质，根据该函数的图象知，其最小正周期为 $π$，$A$ 错误；
   又 $f(-x)=|\tan(-x)|=|\tan x|=f(x)$，所以 $f(x)$ 是定义域上的偶函数，$B$ 正确；
   根据函数 $f(x)$ 的图象知，$f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{k\pi}{2}(k\in Z)$ 对称，$C$ 正确；
   根据 $f(x)$ 的图象知，$f(x)$ 在每一个区间 $\left(kπ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)(k\in Z)$ 内单调递增，$D$ 正确．
   故选：$A$．

6. 答案 $ACD$
   解析 当 $x\in \left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{7\pi}{24}\right)$ 时，$2x-\dfrac{\pi}{6}\in \left(-\dfrac{\pi}{2}，\dfrac{5\pi}{12}\right)$，
   所以 $y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 在区间 $\left(-\dfrac{\pi}{6}，\dfrac{7\pi}{24}\right)$ 上单调递增，故 $A$ 正确；
   函数 $y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{2}$，故 $B$ 错误；
   当 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 时，$2x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$，所以函数 $y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图象关于 $\left(\dfrac{\pi}{3}，0\right)$ 成中心对称，故 $C$ 正确；
   当 $x=\dfrac{\pi}{12}$ 时 $2x-\dfrac{\pi}{6}=0$，所以函数 $y=\tan⁡ \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图象关于 $\left(\dfrac{\pi}{12}，0\right)$ 成中心对称，故 $D$ 正确．
   故选：$ACD$．

7. 答案 $\left(1,\sqrt{3} \right]$
   解析 由 $x\in \left(0,\dfrac{\pi}{6}\right]$，$\therefore \dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\in \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}\right]$，结合正切函数的性质可得：$1<y≤\sqrt{3}$．
   故答案为：$\left(1,\sqrt{3} \right]$．

8. 答案 $-5$
   解析 $f(x)$ 的定义域为 $\left(kπ-\dfrac{\pi}{2},kπ\right)∪\left(kπ,kπ+\dfrac{\pi}{2}\right)(k\in Z)$．
   可知 $f(x)$ 的定义域关于原点对称．
   又 $f(-x)=\tan (-x)+\dfrac{1}{\tan (-x)}=-\left(\tan x+\dfrac{1}{\tan x}\right)=-f(x)$．
   $\therefore f(x)$ 是奇函数．$\therefore f(-a)=-f(a)=-5$．

9. 答案 $\sqrt{3}$
   解析 $\because f(n)=\tan⁡ \dfrac{n\pi}{3}$，$(n\in N^* )$，
   根据正切函数的性质可得其周期 $T=\dfrac{\pi}{\frac{\pi}{3}}=3$，
   $\therefore f(1)=\sqrt{3}$，$f(2)=-\sqrt{3}$ ，$f(3)=0$．
   可得：$f(1)=f(2)+f(3)=0$．
   $\therefore f(1)+f(2)+⋯+f(100)=33\left[f(1)+f(2)+f(3)\right]+f(1)=f(1)=\sqrt{3}$．

10. 答案 $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)∪\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)$
    解析 由 $\tan x>1$，可得 $kπ+\dfrac{\pi}{2}>x>kπ+\dfrac{\pi}{4}$，$k∈Z$．
    再根据 $x\in (0,2π)$，求得 $x\in \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)∪\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)$．

11. 答案 $\left[-\dfrac{3}{2}，0\right)$
    解析 $\because$ 函数 $y=3\tan⁡ ωx+1$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{4}\right)$ 内是减函数，
    $\therefore ω<0$ 且函数 $y=3\tan⁡ ωx+1$ 在 $\left(-\dfrac{\pi}{3}，\dfrac{\pi}{3}\right)$ 内也是减函数，
    $\therefore T=\left|\dfrac{\pi}{\omega}\right|≥\dfrac{\pi}{3}-(-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{2\pi}{3}$，
    $\therefore |ω|≤\dfrac{3}{2}$，$\therefore -\dfrac{3}{2}≤ω≤\dfrac{3}{2}$，
    又 $ω<0$，$\therefore -\dfrac{3}{2}≤ω<0$．
    故答案为：$\left[-\dfrac{3}{2}，0\right)$．

12. 答案 (1) 定义域为 $\{x∣x≠2kπ+\dfrac{5\pi}{3}，k\in Z\}$，值域为 $R$；
    (2) $2π$，$\left(-\dfrac{\pi}{3}+2kπ，\dfrac{5\pi}{3}+2kπ\right)$，$k∈Z$；
    (3)$\left (\dfrac{2\pi}{3}+2kπ，0\right)$，$k∈Z$.
    解析 (1)$\because$ 函数 $f(x)=3\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}\right)$，
    $\therefore \dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}≠kπ+\dfrac{\pi}{2}$，$k∈Z$，即 $x≠2kπ+\dfrac{5\pi}{3}$，$k∈Z$，
    $\therefore f(x)$ 的定义域为 $\{x∣x≠2kπ+\dfrac{5\pi}{3}，k\in Z\}$，值域为 $R$；
    (2) $f(x)$ 的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{\dfrac{1}{2}}=2 \pi$，
    又令 $-\dfrac{\pi}{2}+kπ<\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}+kπ$，$k∈Z$，
    $\therefore -\dfrac{\pi}{3}+2kπ<x<\dfrac{5\pi}{3}+2kπ$，$k∈Z$
    $\therefore f(x)$ 的单调增区间为 $\left(-\dfrac{\pi}{3}+2kπ，\dfrac{5\pi}{3}+2kπ\right)$，$k∈Z$；
    (3) 令 $\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}=kπ$，$k∈Z$，解得 $x=\dfrac{2\pi}{3}+2kπ$，$k∈Z$，
    此时 $y=f(x)=0$，
    $\therefore$ 函数 $f(x)$ 的对称中心为 $\left(\dfrac{2\pi}{3}+2kπ，0\right)$，$k∈Z$.

13. 答案 (1) $f(x)=\tan⁡ \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$；
    (2) 单调增区间为 $\left(-\dfrac{3 \pi}{8}+\dfrac{k \pi}{2}, \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k \pi}{2}\right)$，$k∈Z$．无单调减区间；
    (3) $\left\{x \mid-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k \pi}{2} \leq x \leq \dfrac{\pi}{24}+\dfrac{k \pi}{2}, \quad k \in Z\right\}$.
    解析 (1)$\because$ 函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴相邻两交点的距离为 $\dfrac{\pi}{2}$，
    即 $T=\dfrac{\pi}{2}$，$\therefore ω=2$，
    $\therefore f(x)=\tan(2x+φ)$，
    $\because$ 图象关于点 $M\left(-\dfrac{\pi}{8}, 0\right)$ 对称．$\therefore -2×\dfrac{\pi}{8}+φ=\dfrac{k\pi}{2}$，$k∈Z$，
    $\because 0<φ<\dfrac{\pi}{2}$，$\therefore φ=\dfrac{\pi}{4}$，
    则 $f(x)=\tan⁡ (2x+\dfrac{\pi}{4})$．
    (2) 令 $-\dfrac{\pi}{2}+kπ<2x+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\pi}{2}+kπ$，$k∈Z$，
    得 $-\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k\pi}{2}$，$k∈Z$，
    $\therefore$ 函数的单调增区间为 $\left(-\dfrac{3 \pi}{8}+\dfrac{k \pi}{2}, \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{k \pi}{2}\right)$，$k∈Z$．无单调减区间．
    (3) 由 (1) 知，$f(x)=\tan⁡ \left(2x+\dfrac{\pi}{4}\right)$．
    由 $-1≤\tan⁡ (2x+\dfrac{\pi}{4})≤\sqrt{3}$，得 $-\dfrac{\pi}{4}+kπ≤2x+\dfrac{\pi}{4}≤\dfrac{\pi}{3}+kπ$，$k∈Z$，
    即 $-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}≤x≤\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{k\pi}{2}$，$k∈Z$，
    $\therefore$ 不等式 $-1≤f(x)≤\sqrt{3}$ 的解集为 $\{x∣-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}≤x≤\dfrac{\pi}{24}+\dfrac{k\pi}{2}，k\in Z\}$.
     

【B组---提高题】

1.(多选) 已知函数 $f(x)=\left |\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{6}\right) \right|$，则下列说法正确的是 (　　)
 A. $f(x)$ 的周期是 $2π$；
 B. $f(x)$ 的值域是 $\{y|y\in R，$ 且 $y≠0\}$；
 C. 直线 $x=\dfrac{5\pi}{3}$ 是函数 $f(x)$ 图象的一条对称轴；
 D. $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(2kπ-\dfrac{2\pi}{3}，2kπ+\dfrac{\pi}{3}\right]$，$k∈Z$；
 
2. 下列不等式中，正确的是 (　　)
 A. $\tan \dfrac{4 \pi}{7}>\tan \dfrac{3 \pi}{7}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $\tan \dfrac{2 \pi}{5}<\tan \dfrac{3 \pi}{5}$
 C. $\tan \left(-\dfrac{13 \pi}{7}\right)>\tan \left(-\dfrac{15 \pi}{8}\right)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $\tan \left(-\dfrac{13 \pi}{4}\right)<\tan \left(-\dfrac{12 \pi}{5}\right)$
 

参考答案

1. 答案 $AD$
   解析 $A$．$f(x)$ 的周期和 $y=\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 周期相同，即 $T=\dfrac{\pi}{\dfrac{1}{2}}=2 \pi$，故 $A$ 正确，
   $B$．$\because y=\tan⁡ \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的值域为 $R$，
   $\therefore f(x)≥0$，即函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[0，+∞\right)$，故 $B$ 错误，
   $C$．由绝对值的意义知当 $\dfrac{1}{2}-x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{k\pi}{2}$，即对称轴为 $x=kπ+\dfrac{\pi}{3}$，$k∈Z$，
   则直线 $x=\dfrac{5\pi}{3}$ 不是函数 $f(x)$ 图象的一条对称轴，故 $C$ 错误，
   $D$．由 $kπ-\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{6}≤kπ$，$k∈Z$ 得 $2kπ-\dfrac{2\pi}{3}<x≤2kπ+\dfrac{\pi}{3}$，$k∈Z$，
   即函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $\left(2kπ-\dfrac{2\pi}{3}，2kπ+\dfrac{\pi}{3}\right]$，$k∈Z$，故 $D$ 正确，
   故选：$AD$．
   

2. 答案 $C$
   解析 根据正切函数的单调性与周期性，得
   对于 $A$， $\tan \dfrac{4 \pi}{7}<0<\tan \dfrac{3 \pi}{7}$，$A$ 错误；
   对于 $B$， $\tan \dfrac{2 \pi}{5}>0>\tan \dfrac{3 \pi}{5}$，$B$ 错误；
   对于 $C$， $\tan \left(-\dfrac{13 \pi}{7}\right)=\tan \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{7}\right)=\tan \dfrac{\pi}{7}$，
   $\tan \left(-\dfrac{15 \pi}{8}\right)=\tan \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{8}\right)=\tan \dfrac{\pi}{8}$，
   $\dfrac{\pi}{2}>\dfrac{\pi}{7}>\dfrac{\pi}{8}>0$， $\therefore \tan \dfrac{\pi}{7}>\tan \dfrac{\pi}{8}$，$C$ 正确；
   对于 $D$， $\tan \left(-\dfrac{13 \pi}{4}\right)=\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\tan \dfrac{\pi}{4}$，
   且 $\tan \left(-\dfrac{12 \pi}{5}\right)=\tan \left(-\dfrac{2 \pi}{5}\right)=-\tan \dfrac{2 \pi}{5}$，$D$ 错误．
   故选：$C$．