5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1(周期性与奇偶性)

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

周期函数

一般地，对于函数 $f(x)$，如果存在一个非零常数 $T$，使得定义域内的每一个 $x$ 值，都满足 $f(x+T)=f(x)$，那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数，$T$ 叫做该函数的周期.
解释
(1) 从解析式 $f(x+T)=f(x)$ 来看：任一自变量 $x$ 对应函数值 $y$ 与 $x$ 增加 $T$ 后对应函数值相等；
(2) 从图象看：整体函数图象是由一部分图象像 “分身术” 一样向两边延申，而那一部分图象的水平长度就是其正周期！

周期函数的周期不止一个，可正可负，比如上面第 $2$ 图对应的函数 $f(x)$ 的周期有 $-2$,$-4$,… 及其 $2$,$4$,… 等.
(3) 如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做 $f(x)$ 的最小正周期.

【例】 若 $f(x-4)=f(x)$，那 $f(x)$ 的一个正周期是多少？
解 $∵f(x-4)=f(x)$，$∴f(x)=f(x+4)$，所以 $f(x)$ 的一个正周期是 $4$.
 

正弦函数，余弦函数的图像与性质

注 表中的 $k∈Z$

	$y=\sin ⁡x$	$y=\cos ⁡x$
图像
定义域	$R$	$R$
值域	$[-1 ,1]$	$[-1 ,1]$
周期性	$2π$	$2π$
对称中心	$(kπ ,0)$	$\left(kπ+\dfrac{\pi}{2},0\right)$
对称轴	$x=kπ+\dfrac{\pi}{2}$	$x=kπ$

解释
(1) 周期
根据周期的定义，由于 $\sin ⁡(x+2kπ)=\sin ⁡x$ ，$\cos ⁡(x+2kπ)=\cos ⁡x$ 可知 $2π$，$4π$，$-2π$，$-4π$…. 都是正弦函数、余弦函数的周期，其中 $2π$ 是最小正周期.
三角函数 $f(x)=A \sin ⁡(ωx+φ)$ 或 $f(x)=A \cos ⁡(ωx+φ)$ 的最小正周期 $T=\dfrac{2 \pi}{|\omega|}$.
(2) 奇偶性
由 $\sin ⁡(-x)=-\sin ⁡x$，$\cos ⁡(-x)=\cos ⁡x$，或者看正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于 $y$ 轴对称，均可知正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
(3) 如何理解三角函数的对称轴、对称中心？
主要是结合图象及其周期性，比如如何理解正弦函数 $f(x)=\sin ⁡x$ 对称中心 $(kπ ,0)$？
① 在一个周期 $[0,2π)$ 内，找到一个对称中心 $(0,0)$；
② 接着每隔半个周期 $π$ 个单位就有一个对称中心，则 $(0+kπ,0)$ 即 $(kπ ,0)$ 是其对称中心.
类似可得到正弦函数的对称轴方程，余弦函数的对称轴方程与对称中心.

【例】判断函数 $f(x)=\cos ⁡|x|$ 的奇偶性.
解析 函数 $f(x)=\cos ⁡|x|$ 的定义域是 $R$，且 $\cos ⁡|-x|=\cos ⁡|x|$，故 $f(x)=\cos ⁡|x|$ 是偶函数.
 

基本方法

【题型1】周期性

【典题 1】 求下列函数的周期：
  (1)$y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)(x∈R)$； $\qquad \qquad$(2)$y=\left|\sin x\right|(x∈R)$．
解析 (1) 方法 1 令 $z=2x+\dfrac{\pi}{3}$，
$∵x∈R$，$∴z∈R$，函数 $y=\sin z$ 的最小正周期是 $2π$，就是说变量 $z$ 只要且至少要增加到 $z+2π$，
函数 $y=\sin z(z∈R)$ 的值才能重复取得，而 $z+2π=2x+\dfrac{\pi}{3}+2π=2(x+π)+\dfrac{\pi}{3}$，
$∴$ 自变量 $x$ 只要且至少要增加到 $x+π$，函数值才能重复取得，
从而函数 $y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)(x∈R)$ 的周期是 $π$．
方法 2 $y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)(x∈R)$ 中，$ω=2$， $\therefore T=\dfrac{2 \pi}{|2|}=\pi$．
(2) 作出 $y=|\sin x|$ 的图象如图：

由图象易知 $y=|\sin x|$ 的周期为 $π$．
点拨 求函数周期的方法：
1. 定义法 $f(x+T)=f(x)$；
2. 三角函数 $f(x)=A \sin ⁡(ωx+φ)$ 或 $f(x)=A \cos ⁡(ωx+φ)$ 的最小正周期 $T=\dfrac{2 \pi}{|\omega|}$；
3. 数形结合，注意函数图象的各种变换.
 

【典题 2】 函数 $f(x)=\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 在区间 $\left[0,2π\right]$ 上至少存在 $5$ 个不同的零点，则正整数 $ω$ 的最小值为 (　　)
  A．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$5$
解析 函数 $f(x)=\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 在区间 $[0,2π]$ 上至少存在 $5$ 个不同的零点，
则 $2 T+\dfrac{3 T}{4}<2 \pi$，整理得： $\dfrac{11}{4} \cdot \dfrac{2 \pi}{\omega}<2 \pi$，解得： $\omega>\dfrac{11}{4}$，
故选：$B$．
 

【巩固练习】

1. 下列函数中，周期为 $π$ 的函数为 (　　)
  A．$y=\sin \left(\dfrac{1}{4} x+\dfrac{\pi}{6}\right)$　 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$y=\sin \left(\dfrac{1}{2} x+\dfrac{\pi}{3}\right)$
  C．$y=\cos \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$y=\cos \left(4x+\dfrac{\pi}{4}\right)$
 

2. 下列函数中，周期为 $\dfrac{\pi}{2}$ 的是 (　　)
  A． $y=\sin \dfrac{x}{2}$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$y=\cos 2x$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$y=|\sin 2x|$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$y=\sin |x|$
 

3. 若函数 $y=2\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{4}\right)(ω>0)$ 的周期为 $4π$，则 $ω=$$\underline{\quad \quad}$．
 

4. 设函数 $f(x)=2\cos \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}\right)$，若对任意 $x∈R$ 都有 $f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)$ 成立，则 $|x_1-x_2 |$ 的最小值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 利用周期公式 $T=\dfrac{2\pi}{ω}$，可知 $C$ 中函数周期 $T=\dfrac{2\pi}{2}=π$．故选 $C$．

2. 答案 $C$
   解析 对于选项 $A$：函数 $y=\sin \dfrac{x}{2}$ 的最小正周期为 $4π$，故正确．
   对于选项 $B$：函数的最小正周期为 $π$．故错误．
   对于选项 $C$：函数的最小正周期为 $\dfrac{\pi}{2}$．故错误．
   对于选项 $D$：函数不为周期函数，故错误．
   故选：$C$．

3. 答案 $\dfrac{1}{2}$
   解析 由 $T=\dfrac{2\pi}{ω}$ 得 $\dfrac{2\pi}{ω}=4π$，$∴ω=\dfrac{1}{2}$．

4. 答案 $2π$
   解析 函数 $f(x)=2\cos \left(\dfrac{1}{2} x-\dfrac{\pi}{3}\right)$，若对于任意的 $x∈R$，都有 $f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)$，
   $∴f(x_1)$ 是函数的最小值，$f(x_2)$ 是函数的最大值，
   $|x_1-x_2 |$ 的最小值就是函数的半周期 $\dfrac{T}{2}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=2 \pi$.
    

【题型2】 奇偶性

【典题 1】 判断下列函数的奇偶性：
  (1)$f(x)=\sin x\cdot\cos x$； $\qquad \qquad$ (2) $f(x)=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$； $\qquad \qquad$ (3) $f(x)=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{\cos x-1}$．
解析 (1) 函数的定义域为 $R$，关于原点对称．
$∵f(-x)=\sin (-x)\cos (-x)=-\sin x\cos x=-f(x)$，
$∴f(x)=\sin x\cos x$ 为奇函数．
(2) 函数应满足 $1-\sin x≠0$，
$∴$ 函数的定义域为 $\{x∣x≠2kπ+\dfrac{\pi}{2},k∈Z\}$，显然定义域不关于原点对称，
$∴f(x)=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}$ 为非奇非偶函数．
(3) 由 $\left\{\begin{array}{l} 1-\cos x \geq 0 \\ \cos x-1 \geq 0 \end{array}\right.$ 得 $\cos x=1$，
$∴$ 函数的定义域为 $\{x∣x=2kπ,k∈Z\}$，定义域关于原点对称．
当 $\cos x=1$ 时，$f(-x)=0$，$f(x)=±f(-x)$．
$∴f(x)=\sqrt{1-\cos x}+\sqrt{\cos x-1}$ 既是奇函数又是偶函数．
点拨 判断函数奇偶性先确定定义域是否关于原点对称，再利用定义法、图象法或性质法判断。性质法：
奇 + 奇 = 奇，偶 + 偶 = 偶，奇 × 奇 = 偶，偶 × 偶 = 偶，奇 × 偶 = 奇.
 

【典题 2】 函数 $y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象 (　　)
  A．关于点 $\left(\dfrac{\pi}{6} ,0\right)$ 对称 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．关于点 $\left(\dfrac{\pi}{3} ,0\right)$ 对称
  C．关于直线 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 对称 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．关于直线 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 对称
解析 方法 1 对于函数 $y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$，
(求出函数的所有对称轴和对称中心再判断)
令 $2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+kπ$，则 $x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2}$ , 则函数的对称轴是 $x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2} (k∈N^*)$，
若 $\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2} =\dfrac{\pi}{6}$，解得 $k= \dfrac{1}{6}∉N^*$；若 $\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k\pi}{2} =\dfrac{\pi}{3}$，解得 $k=\dfrac{1}{2}∉N^*$，故排除 $C$ ,$D$；
令 $2x+\dfrac{\pi}{3}=kπ$，则 $x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}$ , 则函数的对称中心是 $\left(-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2},0\right) (k∈N^*)$，
若 $-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}=\dfrac{\pi}{6}$，解得 $k= \dfrac{2}{3}∉N^*$，可排除 $A$；
若 $-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}=\dfrac{\pi}{3}$，解得 $k=1∈N^*$，故关于点 $\left(\dfrac{\pi}{3} ,0\right)$ 对称.
故选：$B$．
方法 2 对于函数 $y=\sin \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$，
当 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 时，$2x+\dfrac{\pi}{3}=2\dfrac{\pi}{3}$，而 $\left(\dfrac{2\pi}{3} ,0\right)$ 不是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称中心，故 $A$ 错误；
当 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 时，$2x+\dfrac{\pi}{3}=π$，而 $(π,0)$ 是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称中心，故 $B$ 正确；
当 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 时，$2x+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}$，而 $x=\dfrac{2\pi}{3}$ 不是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称轴，故 $C$ 错误；
当 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 时，$2x+\dfrac{\pi}{3}=π$，而 $x=π$ 不是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称轴，故 $D$ 错误；
故选：$B$．
点拨 本题两种方法，
方法 1 是求出三角函数的全部对称轴或对称中心 (此时把 $ωx+φ$ 看成整体)，再判断；
方法 2 是把问题转化正弦函数 $y=\sin x$ 的性质判断；
对于三角函数 $f(x)=A\sin (ωx+φ)+B$
① 若 $x=x_0$ 是其对称轴，则 $ωx_0+φ$ 是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称轴；
② 若 $(x_0 ,B)$ 是其对称中心，则 $(ωx_0+φ ,B)$ 满足函数 $y=A\sin x+B$ 的对称中心.
对于三角函数 $f(x)=A\cos (ωx+φ)+B$ 类似.
 

【典题 3】 已知函数 $f(x)=\cos ⁡\left(ωx+\dfrac{\pi}{3}\right)(ω>0)$ 的一条对称轴为 $x=\dfrac{\pi}{3}$，一个对称中心为点 $\left(\dfrac{\pi}{12},0\right)$，则 $ω$ 最小值 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 由于函数的对称轴方程为 $x=\dfrac{\pi}{3}$，
所以 $\dfrac{\pi}{3} ω+\dfrac{\pi}{3}=k_1 π$,$(k∈Z)$，整理得 $ω=3k_1-1(k∈Z)$；
函数的一个对称中心为点 $\left(\dfrac{\pi}{12},0\right)$，
所以 $\dfrac{\pi}{12}ω+\dfrac{\pi}{3}=k_2 π+\dfrac{\pi}{2}$，整理得 $ω=12k_2+2$，$(k∈Z)$，
由于 $ω>0$，
所以当 $k_1=1$ 或 $k_2=0$ 时，$ω$ 取到最小值为 $2$．
故答案为：$2$．
 

【巩固练习】

1. 函数 $f(x)=\sin (-x)$ 的奇偶性是 (　　)
  A ．奇函数 $\qquad \qquad d \qquad$ B．偶函数 $\qquad \qquad \qquad$ C．既是奇函数，又是偶函数 $\qquad \qquad \qquad$ D．非奇非偶函数
 

2. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，函数 $y=2\sin ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的图象 ( )
  A. 关于直线 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 对称 $\qquad \qquad \qquad$ B. 关于点 $⁡\left(\dfrac{\pi}{6},0\right)$ 对称
  C. 关于直线 $x=-\dfrac{\pi}{6}$ 对称 $\qquad \qquad \qquad$ D. 关于点 $⁡\left(-\dfrac{\pi}{6},0\right)$ 对称
 

3. 已知函数 $f(x)=\cos \left(\omega x+\dfrac{7}{8} \pi\right)(\omega>0)$ 的图象关于点 $⁡\left(\dfrac{\pi}{4},0\right)$ 对称，则 $f(x)$ 的最小正周期 $T$ 的最大值为 (　　)
  A. $\dfrac{2 \pi}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $\dfrac{3 \pi}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C. $\dfrac{4 \pi}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $\dfrac{6\pi}{5}$
 

4. 已知点 $(2,0)$ 为函数 $f(x)=2 \cos \left(\dfrac{\pi}{3} x+\varphi\right)\left(|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 图象的一个对称中心，则实数 $φ=$(　　)
  A．$-\dfrac{\pi}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\pi}{6}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{\pi}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$-\dfrac{\pi}{6}$
 

5. 已知直线 $x=x_1$,$x=x_2$ 分别是曲线 $f(x)=2 \sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 与 $g(x)=-\cos x$ 的对称轴，则 $f(x_1-x_2)=$ $\underline{\quad \quad}$ .
 

6. 已知直线 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 和 $x=\dfrac{5\pi}{6}$ 是曲线 $y=\sin ⁡(ωx+φ)(ω>0)$ 的相邻的两条对称轴，则满足条件的一个 $φ$ 的值是 $\underline{\quad \quad}$．
 

7. 若函数 $f(x)=4\cos ⁡(3x+φ)\left(|φ|<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{11 \pi}{12}$ 对称，且当 $x_1,x_2∈\left(-\dfrac{7 \pi}{12},-\dfrac{\pi}{12}\right)$，$x_1≠x_2$ 时，$f(x_1 )=f(x_2 )$，则 $f(x_1+x_2 )=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 $∵f(x)=\sin (-x)=-\sin x$，
   $∴f(-x)=-\sin (-x)=\sin x=-f(x)$．
   $∴f(x)$ 是奇函数．

2. 答案 $B$
   解析 利用排除法和代入法求解，当 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 时，$y=2\sin ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=0$，故选：$B$．

3. 答案 $C$
   解析 函数 $f(x)=\cos \left(\omega x+\dfrac{7}{8} \pi\right)(\omega>0)$ 的图象关于点 $⁡\left(\dfrac{\pi}{4},0\right)$ 对称，
   故 $\dfrac{\pi}{4} \omega+\dfrac{7 \pi}{8}=k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in Z)$，整理得： $\omega=4 k-\dfrac{3}{2}(k \in Z)$，
   当 $k=1$ 时，$ω=\dfrac{5}{2}$，
   所以周期的最大值为 $\dfrac{2 \pi}{\frac{5}{2}}=\dfrac{4 \pi}{5}$，故选 $C$.

4. 答案 $D$
   解析 根据题意，得 $2 \cos \left(\dfrac{\pi}{3} \times 2+\varphi\right)=0$， $\therefore \dfrac{2 \pi}{3}+\varphi=k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in Z)$，
   $\thereforeφ=kπ-\dfrac{\pi}{6}(k∈Z)$，
   又 $\because|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}$，$\therefore$ 取 $k=0$，可得 $φ=-\dfrac{\pi}{6}$．
   故选：$D$．

5. 答案 $±2$
   解析 由 $x+\dfrac{\pi}{3}=kπ+\dfrac{\pi}{2}$ 得 $x=kπ+\dfrac{\pi}{6}$，即 $f(x)$ 的对称轴为 $x=kπ+\dfrac{\pi}{6}$，$k∈Z$，
   $y=-cox$ 的对称轴为 $x=k_1 π$，$k_1∈Z$，
   $\because$ 直线 $x=x_1$，$x=x_2$ 分别是曲线 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的对称轴，
   $\therefore x_1=kπ+\dfrac{\pi}{6}$，$k∈Z$，$x_2=k_1 π$，$k_1∈Z$，
   则 $x_1-x_2=kπ+\dfrac{\pi}{6}-k_1 π=(k-k_1)π+\dfrac{\pi}{6}$，$k∈Z$，$k_1∈Z$，
   则 $f\left(x_1 x_2\right)=2 \sin \left[\left(k-k_1\right) \pi+\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right]=2 \sin \left[\left(k-k_1\right) \pi+\dfrac{\pi}{2}\right]$$=-2 \cos \left[\left(k-k_1\right) \pi\right]=\pm 2$.

6. 答案 $-\dfrac{\pi}{6}$
   解析 直线 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 和 $x=\dfrac{5\pi}{6}$ 是曲线 $y=\sin ⁡(ωx+φ)(ω>0)$ 的相邻的两条对称轴，
   故当 $\dfrac{T}{2}=\dfrac{5 \pi}{6}-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$,
   故 $T=π$，解得 $ω=2$，故 $f(x)=\sin (2x+φ)$，
   当 $x=\dfrac{\pi}{3}$ 时， $f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}+\varphi\right)=\pm 1$,
   故 $\dfrac{2\pi}{3}+φ=kπ+\dfrac{\pi}{2}$，整理得 $φ=kπ-\dfrac{\pi}{6}(k∈Z)$，
   当 $k=0$ 时，$φ=-\dfrac{\pi}{6}$.

7. 答案 $2 \sqrt{2}$
   解析 $\because$ 函数 $f(x)=4\cos ⁡(3x+φ)\left(|φ|<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{11 \pi}{12}$ 对称
   $\therefore 3 \times \dfrac{11 \pi}{12}+\varphi=k \pi$,$k∈Z$，
   $\thereforeφ=\dfrac{\pi}{4}$，$f(x)=4 \cos \left(3 x+\dfrac{\pi}{4}\right)$，
   且当 $x\in\left(-\dfrac{7 \pi}{12},-\dfrac{\pi}{12}\right)$ 时，$3x+\dfrac{\pi}{4}\in \left(-\dfrac{3\pi}{2},0\right)$，
   当 $x_1,x_2∈\left(-\dfrac{7 \pi}{12},-\dfrac{\pi}{12}\right)$，$x_1≠x_2$ 时，$f(x_1 )=f(x_2 )$，
   则 $f\left(x_1+x_2\right)=4 \cos \left[3\left(-\dfrac{5 \pi}{6}\right)+\dfrac{\pi}{4}\right]=4 \cos \left(-\dfrac{9 \pi}{4}\right)$$=4 \cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=4 \cos \dfrac{\pi}{4}=2 \sqrt{2}$.

分层练习

【A组---基础题】

1. 函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \left(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)$，$x∈R$ 的最小正周期为 (　　)
 A．$\dfrac{\pi}{2}$　　 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ 　B．$π$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2π$　$\qquad \qquad \qquad \qquad$ 　 　D．$4π$
 

2. 下列函数中周期 为 $\dfrac{\pi}{2}$，且为偶函数的是 (　　)
  A．$y=\sin 4x$ $\qquad \qquad$ B．$y=\cos \dfrac{1}{4} x$ $\qquad\qquad$ C．$y=\sin \left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ $\qquad \qquad$ D． $y=\cos \left(\dfrac{1}{4} x-\dfrac{\pi}{2}\right)$
 

3. 若函数 $f(x)=\sin \dfrac{x+\varphi}{3}(\varphi \in[0,2 \pi])$ 是偶函数，则 $φ=$(　　)
  A．$\dfrac{\pi}{2}$　　　$\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{2\pi}{3}$　　$\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{3\pi}{2}$　　$\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{5\pi}{3}$
 

4. 下列函数中，关于直线 $x=-\dfrac{\pi}{6}$ 对称的是 (　　)
  A．$y=\sin (x+\dfrac{\pi}{3})$ $\qquad \qquad$ B．$y=\sin (2x+\dfrac{\pi}{3})$ $\qquad \qquad$ C．$y=\cos (x+\dfrac{\pi}{3})$ $\qquad\qquad$ D．$y=\cos (2x+\dfrac{\pi}{3})$
 

5. 已知 $\left(\dfrac{\pi}{6},0 \right)$ 为 $f(x)=\sin ⁡(-2x+φ)\left(|φ|<\dfrac{\pi}{2} \right)$ 的一个对称中心，则 $f(x)$ 的对称轴可能为 (　　)
  A. $x=\dfrac{\pi}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $x=\dfrac{2\pi}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C. $x=-\dfrac{\pi}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D.$x=-\dfrac{\pi}{12}$
 

6.(多选) 已知函数 $f(x)=\sin x\cos 2x$, 下列结论错误的是 (　　)
  A．$y=f(x)$ 的图象关于 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称 $\qquad \qquad$ B. $y=f(x)$ 的图象关于 $(\dfrac{\pi}{2},0)$ 对称 $\qquad \qquad$
  C.$y=f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 $\qquad\qquad \qquad$ D. $y=f(x)$ 不是周期函数
 

7. 函数 $f(x)=\left|\sin (x+\dfrac{\pi}{3})\right|$ 的最小正周期是 $\underline{\quad \quad}$.
 

8. 函数 $f(x)=2\cos (2x+θ)$ 的图象关于原点对称，则 $θ$ 的最大负值为 $\underline{\quad \quad}$ ．
 

9. 已知曲线 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 关于 $(-1,0)$ 对称，则 $|ω|$ 的最小值为 ．
 

10. 已知 $f(n)=\sin \dfrac{⁡n\pi}{4}$,$n∈Z$，则 $f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f(2019)=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

11. 已知函数 $f(x)=\cos (2 x+\varphi)\left(|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{11 \pi}{10}$ 对称，则 $φ=$$\underline{\quad \quad}$ .
 

12. 已知函数 $f(x)=\cos (3 x+\varphi)\left(-\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 图象关于直线 $x=\dfrac{5 \pi}{18}$ 对称，则函数 $f(x)$ 在区间 $[0,π]$ 上零点的个数为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 易知 $T=\dfrac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4 \pi$，故选 $D$．

2. 答案 $C$
   解析 显然周期为 $\dfrac{\pi}{2}$ 的有 $A$ 和 $C$，又因为 $y=\sin \left(4x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ 是偶函数，故选 $C$．

3. 答案 $C$
   解析 $\because f(x)=\sin \dfrac{x+\varphi}{3}$ 是偶函数，
   $\therefore \sin \dfrac{\varphi}{3}=\pm 1$, $\therefore \dfrac{\varphi}{3}=k \pi+\dfrac{\pi}{2}(k \in Z)$．
   $\thereforeφ=3kπ+\dfrac{3\pi}{2}(k∈Z)$．
   又 $\because φ∈[0,2π]$，$\therefore$ 当 $k=0$ 时，$φ=\dfrac{3\pi}{2}$．故选 $C$．

4. 答案 $D$
   解析 将 $x=-\dfrac{\pi}{6}$ 代入 $y=\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3} \right)$，得函数值为 $1$，
   故 $x=-\dfrac{\pi}{6}$ 是 $y=\cos \left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的一条对称轴，
   故选：$D$．

5. 答案 $D$
   解析 因为 $\left(\dfrac{\pi}{6},0 \right)$ 为 $f(x)=\sin \left(-2x+φ\right) \left(|φ|<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的一个对称中心，
   所以 $f \left(\dfrac{\pi}{6}\right)=0$，即 $\sin ⁡\left(-\dfrac{\pi}{3}+φ\right)=0$，$\therefore-\dfrac{\pi}{3}+φ=kπ$,$k∈Z$，
   $\thereforeφ=\dfrac{\pi}{3}+kπ$,$k∈Z$，$\therefore f(x)=\sin \left(-2 x+\dfrac{\pi}{3}+k \pi\right)$,$k∈Z$
   由 $-2x+\dfrac{\pi}{3}+kπ=\dfrac{\pi}{2}+nπ$,$k,n∈Z$,
   得 $x=-\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{k-n}{2} \pi$,$k,n∈Z$，
   当 $k=n$ 时，$x=-\dfrac{\pi}{12}$.

6. 答案 $BCD$
   解析 对于函数 $f(x)=\sin x\cos 2x$,
   $\because f(π-x)=\sin (π-x)\cos 2(π-x)=\sin x\cos 2x=f(x)$，
   $\therefore f(x)$ 关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称，故 $A$ 正确，$B$ 不正确．
   根据 $f(-x)=-\sin x\cos 2x=-f(x)$，
   故函数为奇函数，它的图象关于 $x$ 轴对称，故排除 $C$．
   $\because f(x+2π)=\sin (2π+x)\cos 2(2π+x)=\sin x\cos 2x=f(x)$，
   $\therefore2π$ 是函数 $y=f(x)$ 的周期，故 $D$ 错误．
   故选：$BCD$．

7. 答案 $π$
   解析 对于 $f(x)=\left|\sin (x+\dfrac{\pi}{3})\right|$，$T=2π$，
   函数 $f(x)=\left|\sin (x+\dfrac{\pi}{3})\right|$ 是函数 $y=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象 $x$ 轴上方的图象不动，将 $x$ 轴下方的图象向上对折得到的，故 $T^{\prime}=\dfrac{T}{2}=\pi$．

8. 答案 $-\dfrac{\pi}{2}$
   解析 $\because$ 函数 $f(x)=2\cos (2x+θ)$ 的图象关于原点对称，
   $\thereforeθ=kπ+\dfrac{\pi}{2}$,$k∈Z$，
   令 $k=-1$，可得 $θ$ 的最大负值为 $-\dfrac{\pi}{2}$，
   故答案为：$-\dfrac{\pi}{2}$．

9. 答案 $\dfrac{\pi}{6}$
   解析 因为曲线 $y=\sin \left(\omega x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ 关于 $(-1,0)$ 对称，所以 $\sin ⁡(-ω+\dfrac{\pi}{6})=0$，
   可得 $-ω+\dfrac{\pi}{6}=kπ$,$k∈Z$，解得 $ω=\dfrac{\pi}{6}-kπ$,$k∈Z$，则 $|ω|$ 的最小值为 $\dfrac{\pi}{6}$.

10. 答案 $1+\sqrt{2}$
    解析 $\because f(n)=\sin \dfrac{⁡n\pi}{4}$,$n∈Z$，$\therefore$ 函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\dfrac{2 \pi}{\dfrac{\pi}{4}}=8$，
    $\because f(1)=\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $f(2)=\sin \dfrac{\pi}{2}=1$, $f(3)=\sin \dfrac{3 \pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$f(4)=\sin ⁡π=0$, $f(5)=\sin \dfrac{5 \pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $f(6)=\sin \dfrac{3 \pi}{2}=-1$, $f(7)=\sin \dfrac{7 \pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,$f(8)=\sin ⁡2π=0$，
    $\therefore f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(8)=0$，
    $\therefore f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2019)=252×0+f(1)+f(2)+f(3)$
    $=0+\dfrac{\sqrt{2}}{2}+1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}$.

11. 答案 $-\dfrac{\pi}{5}$
    解析 $\because$ 函数 $f(x)=\cos (2 x+\varphi)\left(|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{11 \pi}{10}$ 对称，
    $\therefore 2 \times \dfrac{11 \pi}{10}+\varphi=k \pi(k \in Z)$,
    即 $φ=kπ-\dfrac{11 \pi}{5}(k∈Z)$，又 $|φ|<\dfrac{\pi}{2}$，
    $\therefore \varphi=-\dfrac{\pi}{5}$.

12. 答案 三
    解析 $\because$ 函数 $f(x)=\cos (3 x+\varphi)\left(-\dfrac{\pi}{2}<\varphi<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 图象关于直线 $x=\dfrac{5 \pi}{18}$ 对称
    $\therefore 3 \times \dfrac{5 \pi}{18}+\varphi=k \pi$，($y=\cos x$ 的对称轴是 $x=kπ$)
    $\therefore φ=-\dfrac{5\pi}{6}+kπ$，$k∈Z$，
    由 $-\dfrac{\pi}{2}<φ<\dfrac{\pi}{2}$ 知，$k=1$ 时，$φ=\dfrac{\pi}{6}$，
    故 $f(x)=\cos (3x+\dfrac{\pi}{6})$，
    令 $f(x)=0$ 得 $3x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+kπ$,$k∈Z$，$\therefore x=\dfrac{\pi}{9}+\dfrac{k\pi}{3}$,$k∈Z$．
    因为 $x∈[0,π]$，所以 $k=0,1,2$ 时， $\varphi=\dfrac{\pi}{9}$, $\dfrac{4 \pi}{9}$, $\dfrac{7 \pi}{9}$ 满足条件，
    故零点有三个．

【B组---提高题】

1.$f(x)=|\sin x|+|\cos x|$ 的最小正周期是 (　　)
  A.$\dfrac{\pi}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B.$π$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C.$2π$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D.$3π$
 

2. 已知函数 $f(x)=\sin \left(ωx+\dfrac{\pi}{6}\right)(ω>0)$ 的图象在 $(0,π)$ 上有且仅有两条对称轴，则 $ω$ 的取值范围为 (　　)
  A． $\left[1, \dfrac{3}{2}\right)$ $\qquad \qquad \qquad$ B． $\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{3}{2}\right)$ $\qquad \qquad \qquad$ C． $\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{7}{3}\right]$ $\qquad \qquad \qquad$ D． $\left[1, \dfrac{7}{3}\right]$
 

3. 已知 $f(x)=2\sin (ωx+φ)\left(ω>0,0<φ<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 对称，若存在 $x_1$,$x_2∈R$，使得对于任意 $x$ 都有 $f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)$，且 $|x_1-x_2 |$ 的最小值为 $\dfrac{\pi}{2}$，则 $φ$ 等于 (　　)
  A．$\dfrac{\pi}{12}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\pi}{6}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{\pi}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{\pi}{3}$
 

4.(多选) 已知函数 $f(x)=2\sin ⁡\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)(x∈R)$，则下列命题正确的有 (　　)
  A. $y=f(x)$ 的图象关于直 $x=\dfrac{2\pi}{3}$ 对称
  B. $y=f(x)$ 的图象关于点 $(\dfrac{\pi}{12},0)$ 中心对称
  C. $y=f(x)$ 的表达式可改写为 $y=2\cos ⁡\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)$
  D. 若 $f(x_1 )=f(x_2 )=0$，则 $x_1-x_2=\dfrac{k\pi}{2}(k∈Z)$
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 $f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\left|\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right|+\left|\cos \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\right|=|\cos x|+|\sin x|=f(x)$,
   故 $\dfrac{\pi}{2}$ 是 $y=f(x)$ 的周期，由选项可知选 $A$.

2. 答案 $C$
   解析 令 $ωx+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$,$\dfrac{3\pi}{2}$,$\dfrac{5\pi}{2}$，解得 $x=\dfrac{\pi}{3ω}$,$x=\dfrac{4\pi}{3ω}$,$x=\dfrac{7\pi}{3ω}$，
   分别为 $y=f(x)$ 的 $y$ 轴右侧由左往右最近的三条对称轴．
   要满足图象在 $(0,π)$ 上有且仅有两条对称轴，
   只需 $\left\{\begin{array}{l} 0<\dfrac{\pi}{3 \omega}<\pi \\ 0<\dfrac{4 \pi}{3 \omega}<\pi \\ \dfrac{7 \pi}{3 \omega} \geq \pi \end{array}\right.$，解得 $\dfrac{4}{3}<\omega \leq \dfrac{7}{3}$．
   故选：$C$．

3. 答案 $B$
   解析 对于函数 $f(x)=2\sin (ωx+φ)$，
   $\because$ 对任意 $x∈R$，都有 $f(x_1)≤f(x)≤f(x_2)$，且 $|x_1-x_2 |$ 的最小值为 $\dfrac{\pi}{2}$．
   $\therefore \dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi}{2}$，则 $T=π$，
   $\therefore \omega=\dfrac{2 \pi}{T}=\dfrac{2 \pi}{\pi}=2$，可得 $f(x)=2\sin (2x+φ)$，
   又 $\because f(x)=2\sin (ωx+φ)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{6}$ 对称，
   $\therefore 2×\dfrac{\pi}{6}+φ=2kπ+\dfrac{\pi}{2}$，$k∈Z$，可得 $φ=2kπ+\dfrac{\pi}{6}$，$k∈Z$，
   $\because 0<φ<\dfrac{\pi}{2}$，$\therefore φ=\dfrac{\pi}{6}$，
   故选：$B$．

4. 答案 $BD$
   解析 函数 $f(x)=2\sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{6}\right)(x\in R)$，
   对于 $A$：当 $x=\dfrac{2\pi}{3}$ 时，$f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=2\sin ⁡\left(\dfrac{8\pi}{6}-\dfrac{\pi}{6}\right)≠2$，故 $A$ 错误；
   对于 $B$：当 $x=\dfrac{\pi}{12}$ 时，$f\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=2\sin ⁡0=0$，故 $B$ 正确；
   对于 $C$：由于函数 $f(x)=2 \sin \left(2 x-\dfrac{\pi}{6}\right)=2 \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-2 x+\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=2 \cos \left(2 x-\dfrac{2 \pi}{3}\right)=-2 \cos \left(2 x+\dfrac{\pi}{3}\right)$，故 $C$ 错误；
   对于 $D$：由于 $f(x_1 )=f(x_2 )=0$，所以 $2\sin ⁡\left(2x_1-\dfrac{\pi}{6}\right)=0$，
   整理得 $2x_1-\dfrac{\pi}{6}=k_1 π$，故 $x_1=\dfrac{k_1 π}{2}+\dfrac{\pi}{12} (k_1∈Z)$，同理 $x_2=\dfrac{k_2 \pi}{2}+\dfrac{\pi}{12}\left(k_2 \in Z\right)$，
   故 $x_1-x_2=\dfrac{(k_1-k_2 )\pi}{2} (k_1,k_2∈Z)$， 故 $x_1-x_2=\dfrac{k\pi}{2}(k∈Z)$，故 $D$ 正确；
   故选 $BD$.
    

【C组---拓展题】

1. 已知 $ω>0$，函数 $f(x)=\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{4}\right)$ 的图象在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$ 上有且仅有一条对称轴，则实数 $ω$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$.
 

2. 关于函数 $f(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos x}$ ，有如下四个命题：
 ①$f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称；$\qquad \qquad \qquad \quad$ ②$f(x)$ 的图像关于原点对称；
 ③$f(x)$ 的图像关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称；$\qquad \qquad$④$f(x)$ 的图像关于点 $\left(\dfrac{\pi}{2},0 \right)$ 对称．
其中所有真命题的序号是 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $\left(\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{2}\right) \cup\left(\dfrac{7}{4}, \dfrac{11}{4}\right] \cup\left[\dfrac{7}{2}, \dfrac{15}{4}\right]$
   解析 函数数 $f(x)=\sin \left(ωx-\dfrac{\pi}{4} \right)$ 的图象在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$ 上有且仅有一条对称轴，
   根据正弦函数的对称轴性质，
   可得 $\omega \cdot \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}<k \pi+\dfrac{\pi}{2}<\omega \pi-\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow \dfrac{4 k+3}{4}<\omega<\dfrac{4 k+3}{2}$,$k∈z$，①
   又因为：$π-\dfrac{\pi}{2}≤T=\dfrac{2\pi}{ω}⇒ω≤4$；②
   $\because ω>0$；③
   因为有且仅有一条对称轴；
   所以还需满足：$ωπ-\dfrac{\pi}{4}≤(k+1)π+\dfrac{\pi}{2}$ 且 $(k－1)π-\dfrac{\pi}{2}≤ \dfrac{ω\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4}$；
   即 $\dfrac{4 k-1}{2} \leq \omega \leq \dfrac{4 k+7}{4}$ ④
   联立①②③④解得： $\omega \in\left(\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{2}\right) \cup\left(\dfrac{7}{4}, \dfrac{11}{4}\right] \cup\left[\dfrac{7}{2}, \dfrac{15}{4}\right]$．
   故答案为： $\left(\dfrac{3}{4}, \dfrac{3}{2}\right) \cup\left(\dfrac{7}{4}, \dfrac{11}{4}\right] \cup\left[\dfrac{7}{2}, \dfrac{15}{4}\right]$.

2. 答案 ①④
   解析 函数 $f(x)=\cos x+\dfrac{1}{\cos x}$ ，
   对于①，函数 $f(-x)=f(x)$，故函数为偶函数，
   故 $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，故①正确；
   对于②，由于函数 $f(x)$ 的图像关于 $y$ 轴对称，
   故函数 $f(x)$ 的图象不关于原点对称，故②错误；
   对于③，函数 $f(\pi-x)=\cos (\pi-x)+\dfrac{1}{\cos (\pi-x)}=-\cos x-\dfrac{1}{\cos x} \neq f(x)$，
   故函数 $f(x)$ 的图像不关于 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称，故③错误；
   对于④， $f(\pi-x)=\cos (\pi-x)+\dfrac{1}{\cos (\pi-x)}=-\cos x-\dfrac{1}{\cos x}=-f(x)$，
   故函数 $f(x)$ 图像关于点 $\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$ 对称，故④正确．
   故答案为：①④．