5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

正弦函数的图象

解释
(1) 画正弦函数 $y=\sin x$ 在 $x∈[0,2π]$ 的图象
如下图，在直角坐标系中画出以原点 $O$ 为圆心的单位圆，$⊙O$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $A(1,0)$，在单位圆上，将点 $A$ 绕着点 $O$ 旋转 $x_0$ 弧度至点 $B$，根据正弦函数的定义，点 $B$ 的纵坐标 $y_0=\sin ⁡x_0$. 由此，以 $x_0$ 为横坐标，$y_0$ 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 $T(x_0,\sin ⁡x_0 )$.

若把 $x$ 轴上从 $0$ 到 $2π$ 这一段分成 $12$ 等份，使 $x_0$ 的值分别为 $0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$,⋯,$2π$，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 $12$ 等分，再按上述画点 $T(x_0,\sin ⁡x_0 )$ 的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.

若使 $x_0$ 区间 $[0,2π]$ 上取到足够多的值而画出足够多的点 $T(x_0,\sin ⁡x_0 )$, 将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 $y=\sin ⁡x$,$x∈[0,2π]$ 的图象.

由于诱导公式 $\sin ⁡(x+2kπ)=\sin ⁡x (k∈Z)$，即把函数 $y=\sin ⁡x$,$x∈[0,2π]$ 的图象不断向左右平移 (每次平移 $2π$ 个单位长度)，就可得到正弦函数 $y=\sin ⁡x$,$x∈R$ 的图象.
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条 “波浪起伏” 的连续光滑曲线.

 

余弦函数的图象

解释
由诱导公式可知 $y=\cos ⁡x=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$，即余弦函数的图象可视为正弦函数向左平移 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位长度得到，如下图.

余弦函数 $y=\cos ⁡x$,$x∈R$ 的图象叫做余弦曲线，它是与正弦函数具有相同形状的 “波浪起伏” 的连续光滑曲线.
 

基本方法

【题型1】 五点画法

【典题 1】 画出下列函数的简图
  (1) $y=\sin ⁡x-1$，$x∈[0,2π]$；$\qquad \qquad$ (2) $y=-\cos ⁡x$ ，$x∈[0,2π]$.
解析 (1) 按五个关键点列表得

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin ⁡x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$\sin ⁡x-1$	$-1$	$0$	$-1$	$-2$	$-1$

描点并将它们用光滑的曲线连接起来.

(2) 按五个关键点列表得

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\cos ⁡x$	$1$	$0$	$-1$	$0$	$1$
$-\cos ⁡x$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$-1$

描点并将它们用光滑的曲线连接起来

点拨 $y=\sin ⁡x-1$,$x∈[0,2π]$ 的图象由 $y=\sin ⁡x$,$x∈[0,2π]$ 的图象向下平移一个单位长度，$y=-\cos ⁡x$ ,$x∈[0,2π]$ 的图象由 $y=\cos ⁡x$,$x∈[0,2π]$ 的图象作关于 $x$ 轴作对称.
 

【巩固练习】

1. 画出下列函数的简图
  (1) $y=-\sin ⁡x$，$x∈[0,2π]$ $\qquad \qquad$ (2)$y=\cos ⁡x+1$，$x∈[-π,π]$

 
 

参考答案

1. 解析 (1) 按五个关键点列表得

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin ⁡x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$-\sin ⁡x$	$0$	$-1$	$0$	$1$	$1$

描点并将它们用光滑的曲线连接起来

(2) 按五个关键点列表得

$x$	$-\pi$	$-\dfrac{\pi}{2}$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$
$\cos ⁡x$	$-1$	$0$	$1$	$0$	$-1$
$\cos ⁡x+1$	$0$	$1$	$2$	$1$	$0$

描点并将它们用光滑的曲线连接起来

 

【题型2】 函数图象变换

【典题 1】 画函数 $y=|\cos ⁡x |$ 的简图.
解析 函数 $y=|\cos ⁡x |$ 的图象可以看成是将函数 $y=\cos ⁡x$ 的图象 $x$ 轴上方保持不变，$x$ 轴下方的图象作关于 $x$ 轴对称，其图象如下图，

点拨 $y=f (x) \stackrel {x \text { 轴上方图象不变，} x \text { 轴下方图象作关于 } x \text { 对称 }}{\longrightarrow} y=|f (x)|$.
 

【典题 2】 画函数 $y=\sin ⁡|x|-2$ 的简图.
解析 删去函数 $y=\sin ⁡x$ 在 $y$ 轴左边图象，右边图象不变，再作关于 $y$ 轴对称得到函数 $y=\sin ⁡|x|$ 的图象，再将图象向下平移 $2$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin ⁡|x|-2$ 图象如下图，

点拨 $y=f (x) \stackrel {\text { 删去 } y \text { 轴左边图象，} y \text { 轴右边不变，再作关于 y 轴对称 }}{\longrightarrow} y=f (|x|)$.
 

【典题 3】 画函数 $y=\left|\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\right|+1$ 的简图.
解析 将函数 $y=\sin ⁡x$ 向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位长度得到 $y=\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象，再将其图象 $x$ 轴上方保持不变，$x$ 轴下方图象作关于 $x$ 轴对称得到 $y=\left|\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\right|$ 的图象，最后再向上平移一个单位长度得到函数 $y=\left|\sin \left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)\right|+1$ 的图象.

 

【巩固练习】

1. 画函数 $y=|\sin ⁡x |$ 的简图.
 
 

2. 画函数 $y=\cos ⁡\left|x-\dfrac{\pi}{4} \right|$ 的简图.
 
 

3. 画函数 $y=1-⁡\left|\cos ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|$ 的简图.
 
 

参考答案

1. 解析 函数 $y=|\sin ⁡x |$ 的图象可以看成是将函数 $y=\sin ⁡x$ 的图象在 $x$ 轴上方保持不变，$x$ 轴下方的图象作关于 $x$ 轴对称，其图象如下图，
   

2. 解析 函数 $y=\cos ⁡|x|$ 的图象与函数 $y=\cos ⁡x$ 的图象一样，再将图象向右平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位长度，其图象如下图，
   

3. 解析 将函数 $y=\cos ⁡x$ 向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位长度得到 $y=\cos ⁡⁡\left(x-\dfrac{\pi}{3} ⁡\right)$ 的图象，再将图象 $x$ 轴上方保持不变，$x$ 轴下方图象作关于 $x$ 轴对称得到 $y=⁡\left|\cos ⁡⁡\left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|$ 的图象，再将图象关于 $x$ 轴对称，最后再向上平移 $1$ 个单位长度得到函数 $y=1-⁡\left|\cos ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|$ 的图象.
   

 

【题型3】 函数图象的应用

【典题 1】 方程 $\cos ⁡x=\lg⁡x$ 的实根的个数是 ( )
 A．$1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．无数
解析 方程 $\cos ⁡x=\lg⁡x$ 的实根的个数，即函数 $y=\cos ⁡x$ 的图象和 $y=\lg⁡x$ 的图象的交点个数，
数形结合可得函数 $y=\cos ⁡x$ 的图象和 $y=\lg⁡x$ 的图象的交点个数为 3，
故选：$C$．

点拨 方程与函数的关系，方程 $f(x)=g(x)$ 解的问题可转化为函数 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 的图象交点问题。多数形结合，要注意一些特殊点.
 

【典题 2】 函数 $f(x)=\cos ⁡(π-x)⋅\lg⁡|x|$ 在区间 $\left[-\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{\pi}{2} \right]$ 内的图象是 (　　)
 A． $\qquad \qquad \qquad$ B．
 C． $\qquad \qquad \qquad$ D．
解析 $∵$ 函数 $f(x)=\cos ⁡(π-x)⋅\lg⁡|x|=-\cos ⁡x⋅\lg⁡|x|$
$∴f(-x)=-\cos ⁡(-x)⋅\lg⁡|-x|=-\cos ⁡x⋅\lg⁡|x|=f(x)$
$∴$ 函数 $f(x)$ 为偶函数，排除 $B$,$D$
$∵f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\cos \dfrac{1}{2}⋅lg⁡\left|\dfrac{1}{2}\right|>0$，排除 $C$,
故选：$A$．
点拨 已知函数解析式，判断函数图象，多采取排除法，比如代入特殊点，利用函数的定义域、奇偶性、正负性等等.
 

【巩固练习】

1. 函数 $y=1+\cos ⁡x$ 的图象 (　　)
 A．关于 $x$ 轴对称 $\qquad \qquad$ B．关于 $y$ 轴对称 $\qquad \qquad$ C．关于原点对称 $\qquad \qquad$ D．关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称
 

2. 若 $\sin ⁡x=2m+3$，且 $x∈\left[-\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{\pi}{6}\right ]$，则 $m$ 的取值范围是 (　　)
  A．$\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$\left[-\dfrac{5}{4},-\dfrac{1}{2}\right]$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$\left[-\dfrac{7}{4},-\dfrac{5}{4}\right]$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$\left[-\dfrac{7}{4},\dfrac{1}{2}\right]$
 

3. 方程 $|x|=\cos ⁡x$ 在 $(-∞,+∞)$ 内 (　　)
 A. 没有根 $\qquad \qquad$ B. 有且仅有一个根 $\qquad \qquad$ C. 有且仅有两个根 $\qquad \qquad$ D. 有无穷多个根
 

4. 在 $[0,2π]$ 内满足 $\sin x \geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 的 $x$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $∵$ 余弦函数 $y=\cos ⁡x$ 是偶函数，
   $∴$ 函数 $y=1+\cos ⁡x$ 是偶函数，故关于 $y$ 轴对称，
   故选：$B$．

2. 答案 $C$
   解析 由正弦函数 $y=\sin ⁡x$ 的图象可知在 $\left[-\dfrac{\pi}{6} ,\dfrac{\pi}{6}\right ]$ 上递增，则 $\sin x \in\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$，
   $∴2m+3∈\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$，$∴m∈\left[-\dfrac{7}{4},-\dfrac{5}{4}\right]$．
   故选：$C$．

3. 答案 $C$
   解析 方程 $|x|=\cos ⁡x$ 在 $(-∞,+∞)$ 内根的个数，就是函数 $y=|x|$，$y=\cos ⁡x$ 在 $(-∞,+∞)$ 内交点的个数，
   如图，可知只有 $2$ 个交点，故选 $C$.
   

4. 答案 $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]$
   解析 $∵$ 当 $x∈[0,2π]$ 时， $\sin \dfrac{\pi}{4}=\sin \dfrac{3 \pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，结合正弦函数的图象可得 $x∈\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]$，
   故答案为 $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 对于正弦函数 $y=\sin ⁡x$ 的图象，下列说法错误的是 (　　)
 A．图象过点 $(6π,0)$ $\qquad \qquad \qquad$ B．与 $y=\cos ⁡x$ 的图象形状相同，只是位置不同
 C．与 $y$ 轴只有 $1$ 个交点 $\qquad \qquad$ D．关于 $y$ 轴对称
 

2. 函数 $y=\cos ⁡x-2$ 在 $x∈[-π,π]$ 上的大致图象是 (　　)
 A． $\qquad \qquad$ B．

 C． $\qquad \qquad$ D．
 

3. 下列关于函数 $f(x)=\sin ⁡|x|$ 和函数 $g(x)=|\sin ⁡x|$ 的结论，正确的是 (　　)
 A．$f(x)⩾0$ $\qquad \qquad$ B．$f(x+2π)=f(x)$ $\qquad \qquad$ C．$g(x)$ 值域是 $[-1,1]$ $\qquad \qquad$ D．$g(x+π)=g(x)$
 
4. 下列区间是函数 $y=2|\cos ⁡x|$ 的单调递减区间的是 (　　)
 A．$(0,π)$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$(-\dfrac{\pi}{2} ,0)$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$(\dfrac{3\pi}{2} ,2π)$ $\qquad \qquad \qquad$ D．$(-π,-\dfrac{\pi}{2} )$
 

5. 关于三角函数的图象，有下列说法：
 ①$y=\sin ⁡|x|$ 与 $y=\sin ⁡x$ 的图象关于 $y$ 轴对称；
 ②$y=\cos ⁡(-x)$ 与 $y=\cos ⁡|x|$ 的图象相同；
 ③$y=|\sin ⁡x|$ 与 $y=\sin ⁡(-x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称；
 ④$y=\cos ⁡x$ 与 $y=\cos ⁡(-x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称．
其中正确的序号是 (　　)
  A．①③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．②④ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．②③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．①④
 

6. 函数 $f(x)=\cos x \cdot \ln \dfrac{\pi+x}{\pi-x}$ 在 $(-π,π)$ 上的图象大致为 (　　)
 A. $\qquad \qquad$ B.
 C. $\qquad \qquad$ D.
 

7. 当 $x \in[0,2 \pi]$ 时，满足 $2\cos ⁡x-1<0$ 的解集为 $\underline{\quad \quad}$ ．
 

8. 不等式 $\cos ⁡x<0$, $x \in[0,2 \pi]$ 的解集为 $\underline{\quad \quad}$．
 

9. 画出下列函数的简图
(1) $y=2-\sin ⁡x$，$x∈[0,2π]$ $\qquad \qquad$ (2) $y=1-\cos ⁡x$ ，$x∈\left[-\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{2} \right]$
 
 

10. 画函数 $y=-\cos ⁡x$ 的简图.
 
 

11. 画函数 $y=\sin ⁡\left|x+\dfrac{\pi}{4} \right|$ 的简图.
 
 

12. 画函数 $y=\sin ⁡\left(|x|+\dfrac{\pi}{4} \right)$ 的简图.
 
 

13. 画函数 $y=1-\left|\cos ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|$ 的简图.
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 对于 $A$，由 $\sin ⁡6π=0$，可知选项 $A$ 正确；
   对于 $B$，$y=\cos ⁡x$ 的图象相当于 $y=\sin ⁡x$ 的图象向左移动了 $\dfrac{\pi}{2}$ 个单位，选项 $B$ 正确；
   对于 $C$，由正弦函数的图象可知，其与 轴仅有一个交点 $(0,0)$，选项 $C$ 正确；
   对于 $D$，函数 $y=\sin ⁡x$ 为奇函数，图象关于原点对称，选项 $D$ 错误．
   故选：$D$．

2. 答案 $A$
   解析 函数 $y=\cos ⁡x-2$ 在 $x∈[-π,π]$ 上的图象是余弦函数 $y=\cos ⁡x$
   在 $x∈[-π,π]$ 上的图象向下平移 $2$ 个单位，所以函数 $y=\cos ⁡x-2$ 在 $x∈[-π,π]$ 上的大致图象是 $A$．
   故选：$A$．

3. 答案 $D$
   解析 $f(x)=\sin |x|= \begin{cases}\sin x, & x \geqslant 0 \\ -\sin x, & x<0\end{cases}$，函数 $f(x)∈[-1,1]$，$f(x)$ 是偶函数，
   不具备周期性，故 $A$,$B$ 错误，
   $g(x)=|\sin ⁡x|⩾0$，即函数 $g(x)$ 的值域是 $[0,1]$，故 $C$ 错误，
   $g(x+π)=|\sin ⁡(x+π)|=|-\sin ⁡x|=|\sin ⁡x|=g(x)$，故 $D$ 正确，
   故选：$D$．

4. 答案 $D$
   解析 结合函数 $y=2|\cos ⁡x|$ 的图象可选项 $D$ 正确，故选：$D$．
   

5. 答案 $B$
   解析 ① $y=\sin |x|=\left\{\begin{array}{l} \sin x, \quad x \geqslant 0 \\ -\sin x, x<0 \end{array}\right.$，则 $y=\sin ⁡|x|$ 与 $y=\sin ⁡x$ 的图象关于 $y$ 轴不对称，
   故①错误，
   ②$y=\cos ⁡(-x)=\cos ⁡x$,$y=\cos ⁡|x|=\cos ⁡x$，
   即 $y=\cos ⁡(-x)$ 与 $y=\cos ⁡|x|$ 的图象相同；故②正确，
   ③$f(-x)=|\sin ⁡(-x)|=|\sin ⁡x|$，$y=\sin ⁡(-x)=-\sin ⁡x$，
   则 $y=|\sin ⁡x|$ 与 $y=\sin ⁡(-x)$ 的图象关于 $x$ 轴不对称，故③错误；
   ④$y=\cos ⁡(-x)=\cos ⁡x$，则 $y=\cos ⁡x$ 与 $y=\cos ⁡(-x)$ 的图象相同，且是偶函数，
   即两个函数图象关于 $y$ 轴对称，故④正确，
   故选：$B$．

6. 答案 $B$
   解析 因为 $f(-x)=\cos x \cdot \ln \dfrac{\pi-x}{\pi+x}=-f(x)$，所以 $f(x)$ 是奇函数，排除 $A$,$D$，
   当 $x∈(0,\dfrac{\pi}{2})$ 时，$\cos ⁡x>0$， $\ln \dfrac{\pi-x}{\pi+x}>0$，所以 $f(x)>0$，排除 $C$，
   故选 $B$.

7. 答案 $\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3}\right]$
   解析 方程 $2\cos ⁡x-1<0$ 可化为 $\cos ⁡x<\dfrac{1}{2}$ ，
   $∵$ 当 $x \in[0,2 \pi]$ 时， $\cos \dfrac{\pi}{3}=\cos \dfrac{5 \pi}{3}=\dfrac{1}{2}$，
   结合余弦函数的图象可得 $x∈\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3}\right]$，
   故答案 为： $\left[\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{5 \pi}{3}\right]$．

8. 答案 $\left(\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{2} \right)$
   解析 由函数 $y=\cos ⁡x$, $x \in[0,2 \pi]$ 的图象可得原不等式的解集为 $\left(\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{2} \right)$．
   故答案 为： $\left(\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{2} \right)$．

9. 解析 (1) 按五个关键点列表得

$x$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$
$\sin ⁡x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$2-\sin ⁡x$	$2$	$1$	$2$	$3$	$2$

描点并将它们用光滑的曲线连接起来

(2) 按五个关键点列表得

$x$	$-\dfrac{\pi}{2}$	$0$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$
$\cos ⁡x$	$0$	$1$	$0$	$-1$	$0$
$1-\cos ⁡x$	$1$	$0$	$1$	$2$	$1$

描点并将它们用光滑的曲线连接起来

10. 解析 函数 $y=-\cos ⁡x$ 的图象可以看成是将函数 $y=\cos ⁡x$ 的图象作关于 $x$ 轴对称，其图象如下图，
    

11. 解析 将函数 $y=\sin ⁡x$ 的图象 $y$ 轴左边删除，$y$ 轴右边不变，再作关于 $y$ 轴对称得到函数 $y=\sin ⁡|x|$ 的图象，再向左平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位长度得到函数 $y=\sin \left|x+\dfrac{\pi}{4} \right|$ 的图象，其图象如下图，
    

12. 解析 将函数 $y=\sin ⁡x$ 的图向左平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位长度得到函数 $y=\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)$ 的图象，再将 $y$ 轴左边图象删除，$y$ 轴右边图象不变，再作关于 $y$ 轴对称得到函数 $y=\sin \left|x+\dfrac{\pi}{4} \right|$ 的图象，其图象如下图，
    

13. 解析 将函数 $y=\cos ⁡x$ 向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位长度得到 $y= \cos ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{3} \right)$ 的图象，再将图象 $x$ 轴上方保持不变，$x$ 轴下方图象作关于 $x$ 轴对称得到 $y=\left|\cos ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|$ 的图象，再将图象关于 $x$ 轴对称，最后再向上平移 $1$ 个单位长度得到函数 $y=1-\left|\cos ⁡\left(x-\dfrac{\pi}{3} \right) \right|$ 的图象.
    
     

【B组---提高题】

1. 下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$ 上为减函数的是 (　　)
 A．$y=2|\sin ⁡x|$ $\qquad \qquad$ B．$y=\cos ⁡x$ $\qquad \qquad$ C．$y=\sin ⁡2x$ $\qquad \qquad$ D．$y=|\cos ⁡x|$
 

2.(多选) 已知函数 $f(x)=|\cos ⁡x|+\cos ⁡|x|$，则下列结论正确的是 (　　)
 A．$f(x)$ 是周期函数 $\qquad \qquad$ B．$f(x)$ 在 $[0,π]$ 上单调递减
 C．$f(x)$ 是奇函数 $\qquad \qquad$ D．$f(x)$ 的图象关于直线 $x=π$ 对称
 

3. 关于函数 $f(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}$ 有如下四个命题
 ①$f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；
 ②$f(x)$ 的图象关于原点对称；
 ③$f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称；
 ④$f(x)$ 的最小值为 $2$.
其中所有真命题的序号是 $\underline{\quad \quad}$.
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 满足 $π$ 为最小正周期，且在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$ 上为减函数：
   对于 $A$：$y=2|\sin ⁡x|$ 的图象是把 $y=2\sin ⁡x$ 的图象 $x$ 轴下方翻折得到的，周期为 $π$，在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2},π \right)$ 上为减函数，$∴A$ 对；
   对于 $B$:$y=\cos ⁡x$ 的周期为 $2π$，$∴B$ 不对；
   对于 $C$:$y=\sin ⁡2x$ 的周期为 $π$，在 $\left(\dfrac{\pi}{2} ,\dfrac{3\pi}{4} \right)$ 上为减函数，$\left(\dfrac{3\pi}{4} ,π \right)$ 上为增函数，$∴C$ 不对．
   对于 $D:y=|\cos ⁡x|$ 的图象是把 $y=\cos ⁡x$ 的图象 $x$ 轴下方翻折得到的，周期为 $π$，在区间 $\left(\dfrac{\pi}{2} ,π \right)$ 上为增函数，$∴D$ 对；
   故选：$A$．

2. 答案 $AD$
   解析 因为 $f(x+2π)=|\cos ⁡(x+2π)|+\cos ⁡|x+2π|=|\cos ⁡x|+\cos ⁡|x|=f(x)$，
   所以 $2π$ 是函数 $f(x)$ 的一个周期，即函数 $f(x)$ 是周期函数；所以 $A$ 正确；
   $B$ 项，当 $x∈\left(\dfrac{\pi}{2} ,π \right)$ 时，$f(x)=|\cos ⁡x|+\cos ⁡|x|=-\cos ⁡x+\cos ⁡x=0$，
   此时 $f(x)$ 为常函数，不单调，所以 B 不正确；
   $C$ 项，因为 $f(-x)=|\cos ⁡(-x)|+\cos ⁡|-x|=|\cos ⁡x|+\cos ⁡|x|=f(x)$ 是偶函数，
   所以 $C$ 不正确；
   $D$ 项，因为 $f(π+x)-f(π-x)=|\cos ⁡(π+x)|+\cos ⁡|π+x|-\cos ⁡|(π-x)|-\cos ⁡|π-x|$
   $=|\cos ⁡x|+\cos ⁡|π+x|-|\cos ⁡x|-\cos ⁡|π-x|$
   $=\cos ⁡|π+x|-\cos ⁡|π-x|$
   $=-\cos ⁡x-(-\cos ⁡x)=0$，
   所以 $∀x∈R$,$f(π+x)=f(π-x)$，
   所以 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=π$ 对称，所以 $D$ 正确，
   故选：$AD$．

3. 答案 ②③.
   解析 对于命题①， $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}$， $f\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}$，
   则 $f\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \neq f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$；
   所以 $f(x)$ 的图象不关于 $y$ 轴对称，所以命题①错误；
   对于命题②，函数的定义域 $\{x∣x≠kπ,k∈Z\}$，定义域关于原点对称，
   $f(-x)=\sin (-x)+\dfrac{1}{\sin (-x)}=-\sin x-\dfrac{1}{\sin x}=-\left(\sin x+\dfrac{1}{\sin x}\right)=-f(x)$，
   所以的图象关于原点对称，所以命题②正确；
   对于命题③， $\because f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)+\dfrac{1}{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}=\cos x+\dfrac{1}{\cos x}$，
   所以的图象关于直线 $x=\dfrac{\pi}{2}$ 对称，所以命题③正确；
   对于命题④，当 $-π<x<0$ 时，$\sin ⁡x<0$，则 $f(x)=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}<0<2$，
   所以命题④错误；
   故答案为②③.
    

【C组---拓展题】

1. 设函数 $f(x)=\sin ⁡x$,$x∈[a,b]$，值域为 $\left[-1, \dfrac{1}{2}\right]$，则以下结论错误的是 (　　)
 A．$b-a$ 的最小值为 $\dfrac{2\pi}{3}$ $\qquad \qquad$ B．$a$ 不可能等于 $2kπ-\dfrac{\pi}{6}$ ,$k∈Z$
 C．$b-a$ 的最大值为 $\dfrac{4\pi}{3}$ $\qquad \qquad$ D．$b$ 不可能等于 $2kπ-\dfrac{\pi}{6}$ , $k∈Z$
 

2. 画函数 $y=1-2|\cos ⁡(x+\dfrac{\pi}{4} ) |$ 的简图.
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 若 $a=2kπ-\dfrac{\pi}{2}$,$b=2kπ+\dfrac{\pi}{6}$,$k∈Z$，则 $b-a$ 取最小值为 $\dfrac{2\pi}{3}$ ，$A$ 对，
   若 $a=2kπ-\dfrac{5\pi}{6}$ ,$b=2kπ+\dfrac{\pi}{6}$，$k∈Z$，则 $b-a$ 取最大值为 $\dfrac{4\pi}{3}$，$C$ 对，
   若 $a=2kπ-\dfrac{\pi}{6}$,$k∈Z$，则 $\sin ⁡a=- \dfrac{1}{2}$，若存在 $x∈[a,b]$，使 $f(x)=-1$，
   则存在 $x∈[a,b]$，使 $f(x)=1$，与值域矛盾，
   则 $a$ 不可能等于 $2kπ-\dfrac{\pi}{6}$ ,$k∈Z$，$B$ 对，
   若 $a=-\dfrac{7\pi}{6} ,b=-\dfrac{\pi}{6}$ ，则值域为 $\left[-1, \dfrac{1}{2}\right]$，则 $D$ 错，
   故选：$D$．

2. 解析 将函数 $y=\cos ⁡x$ 向左平移 $\dfrac{\pi}{4}$ 个单位长度得到 $y=\cos ⁡\left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)$ 的图象，再将图象 $x$ 轴上方保持不变，$x$ 轴下方图象作关于 $x$ 轴对称得到 $y=\left|\cos ⁡\left(x+\dfrac{\pi}{4} \right) \right|$ 的图象，横坐标 $x$ 不变纵坐标 $y$ 扩大 $2$ 倍，得到 $y=2 \left|\cos ⁡\left(x+\dfrac{\pi}{4} \right) \right|$，再将图象作关于 $x$ 轴对称得到 $y=-2\left|\cos ⁡\left(x+\dfrac{\pi}{4} \right) \right|$ 的图象，最后向上平移 $1$ 个单位长度得到函数 $y=1-2\left|\cos ⁡\left(x+\dfrac{\pi}{4} \right) \right|$ 的图象，其图象如下图，