5.3 诱导公式

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

诱导公式

利用以上 6 组公式，最好结合图象，利用对称性和全等三角形进行理解消化.
(1) 公式 (一) $\sin ⁡(α+2kπ)=\sin ⁡α$;$\cos (α+2kπ)=\cos α$ ;$\tan (α+2kπ)=\tan α$.
由三角函数的定义易得.
(2) 公式 (二) $\sin (π+α)=-\sin α$;$\cos (π+α)=-\cos α$; $\tan (π+α)=\tan α$.
证明 如下图，$α$ 的终边与单位圆交于 $P_1 (x ,y)$，则 $π+α$ 的终边与单位圆交于 $P_2 (x ,y)$，
显然 $P_2$ 与 $P_1$ 关于原点对称，则 $P_2 (-x ,-y)$.
由三角函数的定义，可知 $\sin α=y$,$\cos α=x$, $\tan \alpha=\dfrac{y}{x}$;
$\sin ⁡(π+α)=-y$,$\cos ⁡(π+α)=-x$,$\tan ⁡(π+α)=\dfrac{y}{x}$；
故 $\sin (π+α)=-\sin α$ ; $\cos (π+α)=-\cos α$ ; $\tan (π+α)=\tan α$.

(3) 公式 (三) $\sin (-α)=-\sin α$ ; $\cos (-α)=\cos α$ ;$\tan (-α)=-\tan α$.
若 $P_1 (x ,y)$，则 $P_3 (x ,-y)$.
(4) 公式 (四) $\sin (π-α)=\sin α$ ;$\cos (π-α)=-\cos α$ ; $\tan (π-α)=-\tan α$.
若 $P_1 (x ,y)$，则 $P_4 (-x ,y)$.
(5) 公式 (五) $\sin (\dfrac{\pi}{2} -α)=\cos α$ ; $\cos (\dfrac{\pi}{2} -α)=\sin α$.
若 $P_1 (x ,y)$，则 $P_5 (y ,x)$.
(6) 公式 (六) $\sin (\dfrac{\pi}{2} +α)=\cos α$ ; $\cos (\dfrac{\pi}{2} +α)=-\sin α$.
若 $P_1 (x ,y)$，则 $P_6 (-y ,x)$.
 

诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限

(奇偶指的是 $\dfrac{\pi}{2} \cdot n+α$ 中整数 $n$ 是奇数还是偶数，看象限时把 $α$ 看作锐角)
$\qquad$ $\sin \left (\frac {\pi}{2} \cdot n+\alpha\right)=\left\{\begin {array}{l} (-1)^{\frac {\pi}{2}} \sin \alpha, n \text { 为偶数 } \\ (-1)^{\frac {n+1}{2}} \cos \alpha, n \text { 为奇数 } \end {array}\right.$ $\qquad \qquad$ $\cos \left (\dfrac {\pi}{2} \cdot n+\alpha\right)=\left\{\begin {array}{l} (-1)^{\frac {n}{2}} \cos \alpha, n \text { 为偶数 } \\ (-1)^{\frac {n+1}{2}} \sin \alpha, n \text { 为奇数 } \end {array}\right.$
 

【例】 利用诱导公式化简以下式子：(1) $\sin (x+π)$； (2) $\cos (\dfrac{\pi}{2} -x)$，(3) $\sin (-x)$.
解析 (1)

(2)

(3)

 

常见结论

(1) $A+B=π⇒\sin ⁡A=\sin ⁡B$，$\cos ⁡A=-\cos ⁡B$；
(2) $A+B=\dfrac{\pi}{2} ⇒\sin ⁡A=\cos ⁡B$.
【例】 求 $\cos ⁡150°$、 $\sin ⁡120°$ 的值.
解 $\cos ⁡150°=-\cos ⁡30°=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin ⁡120°=\sin ⁡60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
 

基本方法

【题型1】求值与化简

【典题 1】 求下列各三角函数值：
  (1)$\sin ⁡(-945^∘ )$；(2)$\cos (-\dfrac{16\pi}{3} )$.
解析 (1) 方法 1
$\sin \left(-945^{\circ}\right)=-\sin 945^{\circ}=-\sin \left(225^{\circ}+2 \times 360^{\circ}\right)=-\sin 225^{\circ}$
$=-\sin ⁡(180^∘+45^∘ )=\sin ⁡45^∘=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
方法 2 $\sin ⁡(-945^∘ )=\sin ⁡(135^∘-3×360^∘ )=\sin ⁡135^∘$$=\sin ⁡(180^∘-45^∘ )=\sin ⁡45^∘=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
(2) 方法 1 $\cos \left(-\dfrac{16 \pi}{3}\right)=\cos \dfrac{16 \pi}{3}=\cos \left(\dfrac{4 \pi}{3}+4 \pi\right)=\cos \dfrac{4 \pi}{3}=\cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos \dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$．
方法 2 $\cos \left(-\dfrac{16 \pi}{3}\right)=\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}-6 \pi\right)=\cos \dfrac{2 \pi}{3}=\cos \left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos \dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$．
点拨 角度负角化正角，大角化小角，小角化锐角.
 

【典题 2】化简： $\dfrac{\cos (\theta+4 \pi) \cdot \cos ^2(\theta+\pi) \cdot \sin ^2(\theta+3 \pi)}{\sin (\theta-4 \pi) \cdot \sin (5 \pi+\theta) \cdot \cos ^2(-\pi+\theta)}$.
解析 原式 $=\dfrac{\cos \theta \cdot \cos ^2 \theta \cdot \sin ^2 \theta}{\sin \theta \cdot \sin (\pi+\theta) \cdot \cos ^2 \theta}=\dfrac{\cos ^3 \theta \cdot \sin ^2 \theta}{\sin \theta \cdot(-\sin \theta) \cdot \cos ^2 \theta}$$=\dfrac{\cos \theta \cdot \sin ^2 \theta}{-\sin ^2 \theta}=-\cos \theta$．
 

【巩固练习】

1. 若 $f(\cos x)=\cos 2x$，则 $f(\sin 15°)=$(　　)
 A．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
 

2. 已知函数 $f(x)=\cos \dfrac{x}{2}$，则下列四个等式中成立的个数是 $\underline{\quad \quad}$．
 ①$f(2π-x)=f(x)$；②$f(2π+x)=f(x)$；③$f(-x)=-f(x)$；④$f(-x)=f(x)$．
 

3. 化简 $\dfrac{\tan (\pi-\alpha) \cos \left(-\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) \cos (6 \pi-\alpha)}{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) \cos \left(\dfrac{3 \pi}{2}-\alpha\right)}=$ $\underline{\quad \quad}$.
 

4. 化简 $\dfrac{\cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)}{\sin \left(270^{\circ}+\alpha\right)} \cdot \sin \left(180^{\circ}-\alpha\right) \cdot \cos \left(360^{\circ}-\alpha\right)=$ $\underline{\quad \quad}$.
 

5. 化简： $\sin \left(2 n \pi+\dfrac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(n \pi+\dfrac{4 \pi}{3}\right)(n \in \mathrm{Z})$．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $f(\sin ⁡15^∘ )=f(\cos ⁡75^∘ )=\cos 150^∘=\cos (180^∘-30^∘ )$$=-\cos 30^∘=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．

2. 答案 $1$
   解析 $f(2 \pi-x)=\cos \dfrac{2 \pi-x}{2}=\cos \left(\pi-\dfrac{x}{2}\right)=-\cos \dfrac{x}{2}=-f(x)$，①不成立；
   $f(2 \pi+x)=\cos \dfrac{2 \pi+x}{2}=\cos \left(\pi+\dfrac{x}{2}\right)=-\cos \dfrac{x}{2}=-f(x)$，②不成立；
   $f(-x)=\cos \left(-\dfrac{x}{2}\right)=\cos \dfrac{x}{2}=f(x)$，③不成立；④成立．

3. 答案 $-\tan α$
   解析 原式 $=\dfrac{-\tan \alpha \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) \cos (-\alpha)}{\cos \alpha \cos \left[\pi+\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\right]}=\dfrac{\tan \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{-\cos \alpha \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)}=-\dfrac{\tan \alpha \cdot \sin \alpha}{\sin \alpha}=-\tan \alpha$．

4. 答案 $-\sin ^2 α$
   解析 原式 $=\dfrac{\sin \alpha}{-\cos \alpha} \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha=-\sin ^2 \alpha$．

5. 答案 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ 或 $-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
   解析 (1) 当 $n$ 为奇数时，
   原式 $=\sin \dfrac{2}{3} \pi \cdot\left(-\cos \dfrac{4}{3} \pi\right)=\sin \left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) \cdot\left[-\cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$$=\sin \dfrac{\pi}{3} \cdot \cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$．
   (2) 当 n 为偶数时，
   原式 $=\sin \dfrac{2}{3} \pi \cdot \cos \dfrac{4}{3} \pi=\sin \left(\pi-\dfrac{\pi}{3}\right) \cdot \cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)$$=\sin \dfrac{\pi}{3} \cdot\left(-\cos \dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$．
    

【题型2】诱导公式的应用

【典题 1】 已知 $\cos ⁡(α-75^∘ )=-\dfrac{1}{3}$，且 $α$ 为第四象限角，求 $\sin (105°+α)$ 的值．
解析 $∵\cos ⁡(α-75^∘ )=-\dfrac{1}{3}<0$，且 $α$ 为第四象限角，
$∴α-75°$ 是第三象限角．
$\therefore \sin \left(\alpha-75^{\circ}\right)=-\sqrt{1-\cos ^2\left(\alpha-75^{\circ}\right)}=-\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2}=-\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$．
$\therefore \sin \left(105^{\circ}+\alpha\right)=\sin \left[180^{\circ}+\left(\alpha-75^{\circ}\right)\right]=-\sin \left(\alpha-75^{\circ}\right)=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$．
点拨
1. 注意已知角 $α-75^∘$ 与所求角 $105°+α$ 之间的关系，比如它们的和或差、倍数的和差是否为特殊值 ( $\dfrac{\pi}{3}$,$π$ 等).
2. 由诱导公式可知：$A+B=π⇒\sin ⁡A=\sin ⁡B$，$\cos ⁡A=-\cos ⁡B$；$A+B=\dfrac{\pi}{2} ⇒\sin ⁡A=\cos ⁡B$.
 

【典题 2】已知 $α∈(\dfrac{\pi}{2} ,π)$，且 $\sin (π-α)+\cos (2π+α)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$．求值：
  (1)$\sin α-\cos α$．$\qquad \qquad$ (2)$\tan α$．
解析 已知 $α∈(\dfrac{\pi}{2} ,π)$，且 $\sin (π-α)+\cos (2π+α)=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，即 $\sin α+\cos α=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$，
平方可得 $1+2\sin α\cos α=\dfrac{2}{9}$，即 $2\sin α\cos α=-\dfrac{7}{9}$．
$\therefore \sin \alpha-\cos \alpha=\sqrt{(\sin \alpha-\cos \alpha)^2}=\sqrt{1-2 \sin \alpha \cos \alpha}=\dfrac{4}{3}$．
(2) $\because \sin \alpha+\cos \alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$， $\sin \alpha-\cos \alpha=\dfrac{4}{3}$， $\therefore \sin \alpha=\dfrac{4+\sqrt{2}}{6}$， $\cos \alpha=\dfrac{\sqrt{2}-4}{6}$，
$\therefore \tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{4+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-4}=-\dfrac{9+4 \sqrt{2}}{7}$．
 

【典题 3】证明 $\dfrac{\sin \left(\alpha+\dfrac{3 \pi}{2}\right) \sin \left(\dfrac{3 \pi}{2}-\alpha\right) \cdot \tan ^2(-\alpha) \cdot \tan (\pi-\alpha)}{\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)}=\tan \alpha$.
证明 左边 $=\dfrac{-\cos \alpha \cdot(-\cos \alpha) \tan ^2 \alpha \cdot(-\tan \alpha)}{\sin \alpha \cdot(-\sin \alpha)}=\dfrac{\tan ^2 \alpha \tan \alpha}{\tan ^2 \alpha}=\tan \alpha=$ 右边．
$∴$ 原式成立．
 

【巩固练习】

1. 已知 $α∈(0,π)$，且 $\cos ⁡(π+α)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\sin ⁡α=$ (　　)
  A. $\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
 

2. 若 $\cos \left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=-\dfrac{1}{3}$，那么 $\sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}+\alpha\right)$ 的值为 (　　)
 A．$-\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$-\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$
 

3. 已知 $\sin \left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)=\dfrac{1}{2}$，求 $\cos \left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=$ $\underline{\quad \quad}$．
 
 

4. 证明： $\dfrac{\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos (\pi+\alpha)}-\dfrac{\sin (2 \pi-\alpha) \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\sin (\pi-\alpha)}=2 \sin \alpha$.
 
 

5. 已知函数 $f(\alpha)=\dfrac{\sin \left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right) \cos \left(\dfrac{3 \pi}{2}+\alpha\right) \tan (2 \pi-\alpha)}{\tan (\alpha+\pi) \sin (\alpha+\pi)}$.
(1) 化简 $f(α)$；
(2) 若 $f(\alpha) \cdot f\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{8}$，且 $\dfrac{\pi}{4} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$，求 $f(\alpha)+f\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)$；
(3) 若 $f\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=2 f(\alpha)$，求 $f(\alpha) \cdot f\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)$.
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 因为 $α∈(0,π)$，且 $\cos ⁡(π+α)=-\cos ⁡α=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，可得 $\cos ⁡α=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
   所以可得 $\sin ⁡α=\sqrt{1-\cos ^2⁡α}=\dfrac{1}{2}$，故选 $A$.

2. 答案 $A$
   解析 $\sin \left(\dfrac{2 \pi}{3}+\alpha\right)=\sin \left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)\right]=\cos \left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=-\dfrac{1}{3}$．

3. 答案 $\dfrac{1}{2}$
   解析 $\cos \left(\dfrac{\pi}{6}+\alpha\right)=\cos \left[\dfrac{\pi}{2}-\left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)\right]=\sin \left(\dfrac{\pi}{3}-\alpha\right)=\dfrac{1}{2}$．

4. 证明 左边 $=\dfrac{\cos \alpha(-\sin \alpha)}{-\cos \alpha}-\dfrac{\sin (-\alpha) \sin \alpha}{\sin \alpha}=\sin \alpha-(-\sin \alpha)=2 \sin \alpha=$ 右边，所以原式成立．

5. 答案 (1) $-\cos α$ $\qquad$ (2) $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad$ (3) $\dfrac{2}{5}$
   解析 (1) $f(\alpha)=\dfrac{(-\cos \alpha) \sin \alpha(-\tan \alpha)}{\tan \alpha(-\sin \alpha)}=-\cos \alpha$；
   (2) $f\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\cos \left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin \alpha$，
   因为 $f(\alpha) \cdot f\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{1}{8}$，所以 $\cos \alpha \cdot \sin \alpha=\dfrac{1}{8}$，
   可得 $(\sin \alpha-\cos \alpha)^2=\dfrac{3}{4}$，结合 $\dfrac{\pi}{4} \leq \alpha \leq \dfrac{\pi}{2}$,$\cos α>\sin α$，
   所以 $f(\alpha)+f\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin \alpha-\cos \alpha=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
   (3) 若 $f(α+\dfrac{\pi}{2})=2f(α)$，则 $\sin ⁡α=-2 \cos ⁡α$，代入 $\sin ^2⁡α+\cos ^2⁡α=1$，
   解得 $\cos ^2 \alpha=\dfrac{1}{5}$，
   所以 $f(\alpha) \cdot f\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin \alpha \cos \alpha=2 \cos ^2 \alpha=\dfrac{2}{5}$.
    

分层练习

【A组---基础题】

1.$\cos 300°=$(　　)
  A．$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
 

2. 已知 $f(x)=\sin x$，下列式子成立的是 (　　)
 A．$f(x+π)=\sin x$ $\qquad$ B．$f(2π-x)=\sin x$ $\qquad$ C．$f(x-\dfrac{\pi}{2})=-\cos x$ $\qquad$ D．$f(π-x)=-f(x)$
 

3. 设 $\tan (5π+α)=m$，则 $\dfrac{\sin (\alpha-3 \pi)+\cos (\pi-\alpha)}{\sin (-\alpha)-\cos (\pi+\alpha)}$ 的值为 (　　)
 A． $\dfrac{m+1}{m-1}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\dfrac{m-1}{m+1}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$－1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$1$
 

4. 若 $\text { isin }\left(\alpha+\dfrac{3 \pi}{2}\right)=\dfrac{3}{5}$，且 $α$ 是第三象限角，则 $\cos \left(\alpha+\dfrac{2021 \pi}{2}\right)=$ (　　)
  A. $\dfrac{3}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $-\dfrac{3}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C. $\dfrac{4}{5}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $-\dfrac{4}{5}$
 

5. 已知 $\sin \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{3}$，则 $\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)$ 的值等于 (　　)
 A．$\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$-\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$-\dfrac{1}{3}$
 

6. 已知 $\cos α=\dfrac{1}{5}$，且 $α$ 为第四象限角，那么 $\cos \left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=$ $\underline{\quad \quad}$$\underline{\quad \quad}$.
 

7. 化简 $\sin (\pi+\alpha) \cos \left(\dfrac{3 \pi}{2}+\alpha\right)+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right) \cos (\pi+\alpha)=$ $\underline{\quad \quad}$.
 
 
8. 若 $\sin (3 \pi+\theta)=\dfrac{1}{4}$，求 $\dfrac{\cos (\pi+\theta)}{\cos (-\pi+\theta)[\cos (\pi+\theta)-1]}-\dfrac{\cos (\theta-2 \pi)}{\cos (\theta+2 \pi) \cos (\theta+\pi)+\cos (-\theta)}$ 的值．
 
 

9. 已知 $\cos \left(\dfrac{\pi}{6}-\alpha\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，求 $\cos \left(\dfrac{5 \pi}{6}+\alpha\right)-\sin ^2\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的值．
 
 

10. 已知 $\sin (\alpha+\pi)=\dfrac{4}{5}$，且 $\sin α \cdot \cos α<0$，求 $\dfrac{2 \sin (\alpha-\pi)+3 \tan (3 \pi-\alpha)}{4 \cos (\alpha-3 \pi)}$ 的值．
 
 
 

参考答案

1. 答案 $C$

2. 答案 $C$

3. 答案 $A$

4. 答案 $C$
   解析 $\because \sin \left(\alpha+\dfrac{3 \pi}{2}\right)=-\cos \alpha=\dfrac{3}{5}$， $\therefore \cos \alpha=-\dfrac{3}{5}$，
   又 $α$ 是第三象限角， $\therefore \sin \alpha=-\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}=-\dfrac{4}{5}$，
   $\therefore \cos \left(\alpha+\dfrac{2021 \pi}{2}\right)=-\sin \alpha=\dfrac{4}{5}$.
   故选 $C$.

5. 答案 $D$
   解析 $\because \dfrac{\pi}{4}+\alpha-\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{2}$，
   $\therefore \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos \left[\dfrac{\pi}{2}+\left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]=-\sin \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{1}{3}$．故选 $D$．

6. 答案 $\dfrac{2 \sqrt{6}}{5}$
   解析 $∵α$ 为第四象限 角， $\therefore \sin \alpha=-\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}=-\dfrac{2 \sqrt{6}}{5}$，
   从而 $\cos \left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin \alpha=\dfrac{2 \sqrt{6}}{5}$．

7. 答案 $-1$
   解析 原式 $=-\sin α·\sin α-\cos α·\cos α=-1$．

8. 答案 $-32$
   解析 $\because \sin (3 \pi+\theta)=\dfrac{1}{4}$， $\therefore \sin (\pi+\theta)=\dfrac{1}{4}$．
   $\therefore \sin (\theta)=-\dfrac{1}{4}$．
   $\therefore \dfrac{\cos (\pi+\theta)}{\cos (-\pi+\theta)[\cos (\pi+\theta)-1]}-\dfrac{\cos (\theta-2 \pi)}{\cos (\theta+2 \pi) \cos (\theta+\pi)+\cos (-\theta)}$
   $=\dfrac{\cos \theta}{\cos (\pi-\theta)(1+\cos \theta)}-\dfrac{\cos \theta}{\cos \theta-\cos ^2 \theta}$
   $=\dfrac{-1}{1+\cos \theta}-\dfrac{1}{1-\cos \theta}=-\dfrac{2}{1-\cos ^2 \theta}=-\dfrac{2}{\sin ^2 \theta}=-32$．

9. 答案 $-\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}$
   解析 $\cos \left(\dfrac{5 \pi}{6}+\alpha\right)=\cos \left[\pi-\left(\dfrac{\pi}{6}-\alpha\right)\right]=-\cos \left(\dfrac{\pi}{6}-\alpha\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
   而 $\sin ^2\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)=1-\cos ^2\left(\dfrac{\pi}{6}-\alpha\right)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$，
   $∴$ 原式 $=\dfrac{-\sqrt{3}}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2+\sqrt{3}}{3}$．

10. 答案 $-\dfrac{7}{3}$
    解析 $\because \sin (\alpha+\pi)=\dfrac{4}{5}$， $\therefore \sin \alpha=-\dfrac{4}{5}$．
    又 $\sin α\cos ⁡α<0$，$∴\cos α>0$， $\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^2 \alpha}=\dfrac{3}{5}$，
    $\therefore \tan \alpha=-\dfrac{4}{3}$．
    原式 $=\dfrac{-2 \sin \alpha-3 \tan \alpha}{-4 \cos \alpha}=\dfrac{2 \times\left(-\dfrac{4}{5}\right)+3 \times\left(-\dfrac{4}{3}\right)}{4 \times \dfrac{3}{5}}=-\dfrac{7}{3}$．

 

【B组---提高题】

1. 设 $f(n)=\cos \left(\dfrac{n \pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)$，则 $f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2018)$ 等于 $\underline{\quad \quad}$．
 

2. 已知 $g(\theta)=\dfrac{\cos \left(-\theta-\dfrac{\pi}{2}\right) \cdot \sin \left(\dfrac{7 \pi}{2}+\theta\right)}{\sin (2 \pi-\theta)}$．
(1) 化简 $g(θ)$；
(2) 若 $g\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)=\dfrac{1}{3}$, $\theta \in\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{7 \pi}{6}\right)$，求 $g\left(\dfrac{5 \pi}{6}+\theta\right)$ 的值；
(3) 若 $g\left(\dfrac{3}{2} \pi-\theta\right)-g(\theta)=\dfrac{1}{3}$ , $\theta \in\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$，求 $g(\theta)-g\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $- \sqrt{2}$
   解析 $\because f(n+4)=\cos \left[\dfrac{(n+4) \pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right]=\cos \left(\dfrac{n \pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)$ ,
   $∴f(n)$ 是以 $4$ 为周期的函数，
   又 $f(1)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $f(2)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $f(3)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $f(4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ,
   $∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2018)$
   $=504[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=- \sqrt{2}$．

2. 答案 (1)$g(θ)=-\cos θ$； (2) $\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$ 或 $-\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$； (3) $\dfrac{\sqrt{17}}{3}$
   解析 (1) $g(\theta)=\dfrac{\cos \left(\theta+\dfrac{\pi}{2}\right) \sin \left(4 \pi-\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)}{\sin (-\theta)}=\dfrac{-\sin \theta(-\cos \theta)}{-\sin \theta}=-\cos \theta$；
   (2)$∵ \theta \in\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{7 \pi}{6}\right)$， $\therefore \dfrac{\pi}{3}+\theta \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2}\right)$，
   $\because g\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)=-\cos \left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)=\dfrac{1}{3}$ ，即 $\cos \left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)=-\dfrac{1}{3}$；
   $\therefore g\left(\dfrac{5 \pi}{6}+\theta\right)=-\cos \left(\dfrac{5 \pi}{6}+\theta\right)=-\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)$；
   $∴$ 当 $\dfrac{\pi}{3}+\theta \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$ 时，
   $g\left(\dfrac{5 \pi}{6}+\theta\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)=\sqrt{1-\cos ^2\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)}=\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$；
   当 $\dfrac{\pi}{3}+\theta \in\left(\pi, \dfrac{3 \pi}{2}\right)$，
   $g\left(\dfrac{5 \pi}{6}+\theta\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)=-\sqrt{1-\cos ^2\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)}=-\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$；
   (3) $g(\theta)-g\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=-\cos \theta+\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta-\cos \theta$
   由 $g\left(\dfrac{3}{2} \pi-\theta\right)-g(\theta)=\dfrac{1}{3}$，得 $-\cos \left(\dfrac{3}{2} \pi-\theta\right)+\cos \theta=\dfrac{1}{3}$，
   整理得 $\sin \theta+\cos \theta=\dfrac{1}{3}$，
   两边平方得： $(\sin \theta+\cos \theta)^2=1+2 \sin \theta \cos \theta=\dfrac{1}{9}$，即 $2 \sin \theta \cos \theta=-\dfrac{8}{9}<0$，
   $\therefore(\sin \theta-\cos \theta)^2=1-2 \sin \theta \cos \theta=\dfrac{17}{9} \Rightarrow \sin \theta-\cos \theta=\pm \dfrac{\sqrt{17}}{3}$，
   $\because \theta \in\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$，
   $∴\cos θ>0$ ,$\sin θ<0$，即 $\sin θ-\cos θ <0$，
   则 $g(\theta)-g\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\dfrac{\sqrt{17}}{3}$．
    

【C组---拓展题】

1. $\sin ^2 1^{\circ}+\sin ^2 2^{\circ}+\sin ^2 3^{\circ}+\cdots+\sin ^2 89^{\circ}=$$\underline{\quad \quad}$.
    
    

参考答案

1. 答案 $\dfrac{89}{2}$
   解析 设 $S=\sin ^2 1^{\circ}+\sin ^2 2^{\circ}+\sin ^2 3^{\circ}+\cdots+\sin ^2 89^{\circ}=$ ①
   又 $\because \mathrm{S}=\sin ^2 89^{\circ}+\sin ^2 88^{\circ}+\sin ^2 87^{\circ}+\cdots+\sin ^2 1^{\circ}$
   $=\cos ^2 1^{\circ}+\cos ^2 2^{\circ}+\cos ^2 3^{\circ}+\cdots+\cos ^2 89^{\circ}$ ②
   由①+②得 $2S=89$，则 $S=\dfrac{89}{2}$．