5.2.1 三角函数的概念

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

任意角的三角函数的概念

设 $α$ 是一个任意角， $α∈R$ ，它的终边 $OP$ 与单位圆相交于点 $P(x,y)$ .
① 把点 $P$ 的纵坐标 $y$ 叫做 $α$ 的正弦函数，记作 $\sinα$ ，即 $y=\sinα$ ；
② 把点 $P$ 的纵坐标 $x$ 叫做 $α$ 的余弦函数，记作 $\cosα$ ，即 $x=\cosα$ ；
③ 把点 $P$ 的纵坐标 $\dfrac{y}{x}$ 叫做 $α$ 的正切函数，记作 $\tanα$ ，即 $\dfrac{y}{x}=\tan \alpha(x \neq 0)$ .

正弦函数 $f(x)=\sin x$ , $x∈R$ ；余弦函数 $f(x)=\cos x$ , $x∈R$ ；
正切函数 $f(x)=\tan x$ , $x \neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)$ ，它们统称三角函数.
解释
(1) 一般地，任意给定一个角 $α∈R$ ，它的终边 $OP$ 与单位圆的交点是确定的，则点 $P$ 的横坐标 $x$ 、纵坐标 $y$ 都是角 $α$ 的函数；
(2) 当 $α=\dfrac{\pi}{2}+kπ(k∈Z)$ 时， $α$ 的终边在 $y$ 轴上，这时点 $P$ 横坐标 $x=0$ ，此时 $\dfrac{y}{x}=\tan \alpha$ 没意义.
(3) 设 $α$ 是一个任意角，它的终边上任意一点 $P$ (不与原点 $O$ 重合) 的坐标为 $(x,y)$ ，点 $P$ 与原点的距离为 $r$ ，
则 $\sin \alpha=\dfrac{y}{r}$ ， $\cos \alpha=\dfrac{x}{r}$ ， $\tan \alpha=\dfrac{y}{x}$ . 显然其中 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ .

【例】 求 $\sin \dfrac{2 \pi}{3}$ ， $\cos \dfrac{2 \pi}{3}$ ， $\tan \dfrac{2 \pi}{3}$ .
解析下图中， $\dfrac{2 \pi}{3}$ 的终边 $OP$ 与单位圆交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PH⊥x$ 轴，
在 $Rt∆OPH$ 中， $OP=1$ ， $\angle P O H=\dfrac{\pi}{3}$ ，
则 $O H=\dfrac{1}{2}$ ， $P H=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，即 $P\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ，
则 $\sin \dfrac{2 \pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\cos \dfrac{2 \pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ ， $\tan \dfrac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3}$ .

三角函数在各个象限的符号

判断三角函数在各个象限的符号的方法
(1) 三角函数定义
设 $α$ 的终边上一点 $P(x,y)$ ， $\sinα$ 符号看 $y$ ， $\cos α$ 符号看 $x$ ， $\tan α$ 符号看 $\dfrac{y}{x}$ .

各象限点坐标的符号	$α$	第一象限	第二象限	第三象限	第四象限
	$\sinα$	$+$	$+$	$－$	$－$
	$\cos α$	$+$	$－$	$－$	$+$
	$\tan α$	$+$	$－$	$+$	$-$

(2) 巧记方法： $QSRC$ -- 全是天才
如下图，第一象限是 $Q$ ，第二象限是 $S$ ，第一象限是 $T$ ，第一象限是 $C$ ； $QSRC$ 是 “全是天才” 各字拼音首字母. $S$ 代表 " $\sin$ "， $T$ 代表 " $\tan$ "， $C$ 代表 " $\cos$ "， $Q$ 代表全部三种函数.
则第一象限中三个函数符号都是正，第二象限中只有 $\sinα$ 的符号是正，第三象限中只有 $\tan α$ 的符号是正，第四象限只有 $\cos α$ 的符号是正.

PS 建议学数学还是要有 “逻辑性” 地系统建立起知识体系，方法 1 好；方法 2 这种 “取巧” 的分式不太建议，但挺佩服想到这方法那个人的想象能力.

特殊角的三角函数值表

$α$	$0$	$\dfrac{π}{6}$	$\dfrac{π}{4}$	$\dfrac{π}{3}$	$\dfrac{π}{2}$	$\dfrac{2π}{3}$	$\dfrac{3π}{4}$	$\dfrac{5π}{6}$	$π$	$\dfrac{3π}{2}$	$2π$
$\sin⁡ α$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$
$\cos ⁡α$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-\dfrac{1}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$1$
$\tan ⁡α$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	无	$-\sqrt{3}$	$-1$	$-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	无	$0$

利用三角函数的定义求 $α=0$ 、 $\dfrac{π}{2}$ 、 $π$ 、 $2π$ 时对应的三角函数值.
PS 对特殊角的三角函数值，要理解切忌死记，后面学到诱导公式也可理解.

【例】 如图所示， $α=π$ 的终边在 $x$ 轴的负半轴，与 $x$ 轴交点为 $P(-1,0)$ ，
则 $\sinπ=0$ ， $\cos π=-1$ ， $\tan π=0$ .

终边相等的角的三角函数值

由三角函数的定义，易得：终边相等的角的同一三角函数的值相等.
即 $\sin⁡ (α+k⋅2π)=\sinα$ ， $\cos ⁡(α+k⋅2π)=\cos α$ ， $\tan ⁡(α+k⋅2π)=\tan α$ ，其中 $k∈Z$ .
这组公式属于诱导公式的公式一，后面我们还会学其他的公式二至六.

【例】 求 $\cos \dfrac{9 \pi}{4}$ ， $\tan \left(-\dfrac{11 \pi}{3}\right)$ .
解 $\cos \dfrac{9 \pi}{4}==\cos \left(\dfrac{\pi}{4}+2 \pi\right)=\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\tan \left(-\dfrac{11 \pi}{3}\right)=\tan \left(-4 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=\tan \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

基本方法

【题型1】利用定义求角的三角函数值

【典题 1】 已知点 $M$ 是单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的点，以射线 $OM$ 为终边的角 $α$ 的正弦值为 $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
求 $\cos α$ 和 $\tan α$ 的值．
解析设点 $M$ 的坐标为 $(x_1,y_1)$ ．
由题意可知， $\sin \alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，即 $y_1=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ．
$∵$ 点 $M$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上的点，
$∴x_1^2+y_1^2=1$ ，即 $x_1^2+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=1$ ，解得 $x_1= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，或 $x_1=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ．
即 $M\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 或 $M\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，
$\therefore \cos \alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan \alpha=-1$ ，或 $\cos \alpha=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\tan \alpha=1$ ．
点拨注意三角函数的定义，点 $M$ 是否在单位圆上，若不是，则 $\sin \alpha=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$ ，
$\cos \alpha=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ ， $\tan \alpha=\dfrac{y}{x}$ .

【典题 2】 求 $\sin \dfrac{3 \pi}{4}$ ， $\cos \dfrac{3 \pi}{4}$ ， $\tan \dfrac{3 \pi}{4}$ .
解析 $\dfrac{3 \pi}{4}$ 的终边 $OP$ 与单位圆交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PH⊥x$ 轴，
在 $Rt∆OPH$ 中， $OP=1$ ， $\angle P O H=\dfrac{\pi}{4}$ ，
则 $O H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，即 $P\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，
则 $\sin \dfrac{3 \pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\cos \dfrac{3 \pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\tan \dfrac{3 \pi}{4}=-1$ .

【巩固练习】

1. 求 $\sin \dfrac{\pi}{2}=$ $\underline{\quad \quad}$ ， $\cos \dfrac{\pi}{2}=$ $\underline{\quad \quad}$ ，

2. 已知角 $α$ 的终边过点 $P(-4m,3m)(m≠0)$ ，则 $2\sinα+\cos α$ 的值是 (　　)
A． $1$ 或 $-1$ $\qquad \qquad$ B． $\dfrac{2}{5}$ 或 $-\dfrac{2}{5}$ $\qquad \qquad$ C． $1$ 或 $-\dfrac{2}{5}$ $\qquad \qquad$ D． $－1$ 或 $\dfrac{2}{5}$

3. 求 $\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ ， $\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ ， $\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ .

参考答案

答案 $1$ ， $0$
解析利用单位圆，得到 $\sin⁡ \dfrac{\pi}{2}=1$ ， $\cos \dfrac{\pi}{2}=0$ .
答案 $B$
解析 $r=\sqrt{(-4 m)^2+(3 m)^2}=5|m|$ ， $\therefore \sin \alpha=\dfrac{3 m}{5|m|}$ ， $\cos \alpha=\dfrac{-4 m}{5|m|}$ ，
$\therefore 2 \sin \alpha+\cos \alpha=\dfrac{6 m-4 m}{5|m|}=\dfrac{2 m}{5|m|}=-\dfrac{2}{5}$ 或 $\dfrac{2}{5}$ ，故选 $B$ ．
答案 $\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$ .
解析 $-\dfrac{\pi}{4}$ 的终边 $OP$ 与单位圆交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PH⊥x$ 轴，
在 $Rt∆OPH$ 中， $OP=1$ ， $\angle P O H=\dfrac{\pi}{4}$ ，
则 $O H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P H=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，即 $P\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，
则 $\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\cos \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\tan \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$ .

【题型2】三角函数值的符号问题

【典题 1】 判断下列各式的符号：
(1) $\sinα⋅\tan α$ ，其中 $α$ 是第四象限角；(2) $\sin 3 \cdot \cos 4 \cdot \tan \left(-\dfrac{23 \pi}{4}\right)$ .
解析 (1) $∵α$ 是第四象限角， $∴\sinα<0$ ， $\tan α<0$ ，
$∴\sinα·\tan α>0$ ．
(2) $\because \dfrac{\pi}{2}<3<\pi$ ， $\pi<4<\dfrac{3 \pi}{2}$ ， $∴\sin3>0$ ， $\cos 4<0$ ．
$\because-\dfrac{23 \pi}{4}=-6 \pi+\dfrac{\pi}{4}$ ， $\therefore-\dfrac{23 \pi}{4}$ 的终边与 $\dfrac{\pi}{4}$ 的终边相同，
$\because \tan \dfrac{\pi}{4}>0$ ， $\therefore \tan \left(-\dfrac{23 \pi}{4}\right)>0$
$\therefore \sin 3 \cdot \cos 4 \cdot \tan \left(-\dfrac{23 \pi}{4}\right)<0$ ．
点拨判断角 $α$ 的三角函数的符号，先确定 $α$ 终边在第几象限；设 $α$ 的终边所在象限点坐标 $(x,y)$ ，
$\sinα$ 符号看 $y$ ， $\cos α$ 符号看 $x$ ， $\tan α$ 符号看 $\dfrac{y}{x}$ .

【巩固练习】

1. 已知 $\sin4\cdot \tan 2$ 的值 (　　)
A．不大于 $0$ $\qquad \qquad \qquad$ B．大于 $0$ $\qquad \qquad \qquad$ C．不小于 $0$ $\qquad \qquad \qquad$ D．小于 $0$

2. 已知 $\{x∣x≠\dfrac{kπ}{2},k∈Z\}$ ，则函数 $y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}$ 的值可能是 (　　)
A. $1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $-4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C. $4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $-2$

3. 若 $\cos θ<0$ 且 $\tan θ<0$ ，则 $\dfrac{θ}{2}$ 终边在 (　　)
A．第一象限 $\qquad \qquad$ B．第二象限 $\qquad \qquad$ C．第一或第三象限 $\qquad \qquad$ D．第三或第四象限

参考答案

答案 $B$
解析 $4rad$ 在第三象限， $\sin4<0$ ; $2rad$ 在第二象限， $\tan 2<0$ , 则 $\sin4\tan 2>0$ . 故选 $B$ .
答案 $B$
解析当 $x$ 在第一象限时： $y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}=1+1-2=0$ ；
当 $x$ 在第二象限时： $y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}=1-1+2=2$ ；
当 $x$ 在第三象限时： $y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}=-1-1-2=-4$ ；
当 $x$ 在第四象限时： $y=\dfrac{|\sin x|}{\sin x}+\dfrac{|\cos x|}{\cos x}-\dfrac{2|\tan x|}{\tan x}=-1+1+2=2$ ．
故选： $B$ ．
答案 $C$
解析 $∵\cos θ<0$ , $∴θ$ 是第二或三象限，
$∵\tan θ<0$ ， $∴θ$ 是第二或四象限，
$∴θ$ 是第二象限，即 $2 k \pi+\dfrac{\pi}{2}<\theta<2 k \pi+\pi$ ，
$\therefore k \pi+\dfrac{\pi}{4}<\dfrac{\theta}{2}<k \pi+\dfrac{\pi}{2}$ ，
$∴$ 可得 $\dfrac{θ}{2}$ 终边在第一或第三象限．
故选： $C$ ．

【题型3】诱导公式一的应用

【典题 1】 求值 $\cos \dfrac{7 \pi}{3}+\sin \dfrac{25 \pi}{6}+\tan \left(-\dfrac{15 \pi}{4}\right)$ .
解析 $\cos \dfrac{7 \pi}{3}+\sin \dfrac{25 \pi}{6}+\tan \left(-\dfrac{15 \pi}{4}\right)=\cos \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin \left(4 \pi+\dfrac{\pi}{6}\right)+\tan \left(-4 \pi+\dfrac{\pi}{4}\right)$
$=\cos \dfrac{\pi}{3}+\sin \dfrac{\pi}{6}+\tan \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+1=2$ .
点拨 $\sin⁡ (α+k⋅2π)=\sinα$ ， $\cos ⁡(α+k⋅2π)=\cos α$ ， $\tan ⁡(α+k⋅2π)=\tan α$ ，
其中 $k∈Z$ . 即终边相等的角的同一三角函数的值相等.

【典题 2】 角 $α$ 终边与单位圆交于点 $A\left(-\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)$ ，则 $\sin (\alpha+4 \pi)+2 \tan (-2 \pi+\alpha)=$ $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $∵$ 角 $α$ 终边与单位圆交于点 $A\left(-\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)$ ，
$\therefore \sin \alpha=\dfrac{4}{5}$ ， $\tan \alpha=-\dfrac{4}{3}$ ，
$\therefore \sin (\alpha+4 \pi)+2 \tan (-2 \pi+\alpha)=\sin \alpha+2 \tan \alpha=\dfrac{4}{5}+2 \cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)=-\dfrac{28}{15}$ ．

【巩固练习】

1. 求值 $\cos \dfrac{13 \pi}{6}+\sin \dfrac{7 \pi}{3}+\tan \left(-\dfrac{7 \pi}{4}\right)$ .

2. 已知角 $α$ 终边上点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)$ ，则 $3 \sin (\alpha-2 \pi)-2 \cos (6 \pi+\alpha)=$ $\underline{\quad \quad}$ .

参考答案

答案 $\sqrt{3}+1$
解析 $\cos \dfrac{13 \pi}{6}+\sin \dfrac{7 \pi}{3}+\tan \left(-\dfrac{7 \pi}{4}\right)=\cos \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{6}\right)+\sin \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)+\tan \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{4}\right)$ $=\cos \dfrac{\pi}{6}+\sin \dfrac{\pi}{3}+\tan \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\sqrt{3}+1$ .
答案 $-\dfrac{17}{5}$
解析 $∵$ 角 $α$ 终边上点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}\right)$ ，
$\therefore x=\dfrac{4}{5}$ ， $y=-\dfrac{3}{5}$ ， $r=|OA|=1$ ．
$\therefore \sin \alpha=-\dfrac{3}{5}$ ， $\cos \alpha=\dfrac{4}{5}$ ，
$\therefore 3 \sin (\alpha-2 \pi)-2 \cos (6 \pi+\alpha)=3 \sin \alpha-2 \cos \alpha=-\dfrac{9}{5}-\dfrac{8}{5}=-\dfrac{17}{5}$ ．

分层练习

【A组---基础题】

1. 有下列命题，其中正确的个数是 (　　)
①终边相同的角的同名三角函数值相等；
②同名三角函数值相等的角也相等；
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等；
④不相等的角，同名三角函数值也不相等．
A． $0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $3$

2. 已知角 $α$ 的项点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，若点 $P(2,-1)$ 在角 $α$ 的终边上，则 $\tan α=$ (　　)
A． $2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $-2$

3. 已知 $\sin \alpha=\dfrac{3}{5}$ , $\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}$ ，则角 $α$ 所在的象限是 (　　)
A．第一象限 $\qquad \qquad \qquad$ B．第二象限 $\qquad \qquad \qquad$ C．第三象限 $\qquad \qquad \qquad$ D．第四象限

4. 已知 $\alpha=\dfrac{16 \pi}{5}$ ，则下列结论正确的是 (　　)
A. , $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $\sin⁡ α<0$ , $\cos ⁡α<0$
C. $\sin⁡ α<0$ , $\cos ⁡α<0$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $\sin⁡ α>0$ , $\cos ⁡α>0$

5. 若 $\sinα·\cos α<0$ ，则 $α$ 的终边在 (　　)
A．第一或第二象限 $\qquad \qquad$ B．第一或第三象限 $\qquad \qquad$ C．第一或第四象限 $\qquad \qquad$ D．第二或第四象限

6. $\sin495°=$ (　　)
A. $1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

7. 已知角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P\left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)$ ，则 $2\cos α+\tan α=$ $\underline{\quad \quad}$ .

8. 已知 $P\left(\sin \dfrac{5 \pi}{4}, \cos \dfrac{3 \pi}{4}\right)$ 落在角 $θ$ 的终边上，且 $θ∈[0,2π)$ ，则 $θ$ 是第 $\underline{\quad \quad}$ 象限角．

9. 已知函数 $f(x)=a \sin (\pi x+\alpha)+b \cos (\pi x+\beta)$ ，且 $f(2)=2$ ，则 $f(2020)$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$ .

10. 求值 $\sin \left(-\dfrac{11 \pi}{6}\right)+\cos \dfrac{7 \pi}{3}+\tan \left(-\dfrac{5 \pi}{3}\right)$ .

11. 已知角 $α$ 终边上点 $P$ 的坐标为 $(2,-1)$ ，求 $3 \tan (\alpha+2 \pi)+\sin (-4 \pi+\alpha)$ .

参考答案

答案 $B$
解析对于①，由诱导公式一可得正确；
对于②，由 $\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ ，但 $30°≠150°$ ，所以②错误；
对于③，如 $α=60°$ ， $β=120°$ 的终边不相同，但 $\sin 60^{\circ}=\sin 120^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，
所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误．
答案 $C$
解析 $∵$ 点 $P(2,-1)$ 在角 $α$ 的终边上， $\therefore \tan \alpha=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$ ，故选： $C$ ．
答案 $B$
解析由 $\sin \alpha=\dfrac{3}{5} >0$ 得角 $α$ 的终边在第一或第二象限；
由 $\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}<0$ 得角 $α$ 的终边在第二或第三象限．
综上，角 $α$ 所在的象限是第二象限．
答案 $C$
解析 $\because \alpha=\dfrac{16 \pi}{5}=2 \pi+\pi+\dfrac{\pi}{5}$ ，终边落在第三象限，
$∴\sin⁡ α<0$ , $\cos ⁡α<0$ ，故选： $C$ .
答案 $D$
解析 $∵\sinα·\cos α<0$ ， $∴\sinα$ 与 $\cos α$ 异号，
$∴α$ 的终边在第二或第四象限．
答案 $D$
解析 $\sin⁡ 495^∘=\sin⁡ (360^∘+135^∘ )=\sin⁡ 135^∘=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，故选 $D$ .
答案 $\dfrac{9}{20}$
解析角 $α$ 的终边与单位圆的交点为 $P\left(-\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{5}\right)$ ，则 $\cos \alpha=-\dfrac{4}{5}$ ，
则 $2 \sin \alpha+\tan \alpha=\dfrac{6}{5}+\dfrac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=\dfrac{9}{20}$ ．
答案三
解析 $\because \sin \dfrac{5 \pi}{4}<0$ ， $\cos \dfrac{3 \pi}{4}<0$ ， $∴P$ 在第三象限， $∴θ$ 在第三象限角.
答案 $2$
解析 $∵f(2)=a \sin⁡ (2π+α)+b \cos ⁡(2π+β)=a\sin⁡ α+b\cos ⁡β$ ， $∴a \sin⁡ α+b \cos ⁡β=2$
$f(2020)=a \sin⁡ (2020x+α)+b \cos ⁡(2020x+β)=a \sin⁡ α+b \cos ⁡β=2$ .
答案 $\sqrt{3}+1$
解析 $\sin \left(-\dfrac{11 \pi}{6}\right)+\cos \dfrac{7 \pi}{3}+\tan \left(-\dfrac{7 \pi}{3}\right)=\sin \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{6}\right)+\cos \left(2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)+\tan \left(-2 \pi+\dfrac{\pi}{3}\right)$
$=\sin \dfrac{\pi}{6}+\cos \dfrac{\pi}{3}+\tan \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$ .
答案 $-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
解析 $∵$ 角 $α$ 终边上点 $P$ 的坐标为 $(2,-1)$ ，
$∴x=2$ ， $y=-1$ ， $r=|O A|=\sqrt{5}$ ，
$\therefore \sin \alpha=\dfrac{y}{r}=-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\tan \alpha=\dfrac{y}{x}=-\dfrac{1}{2}$ ，
$\therefore 3 \tan (\alpha+2 \pi)+\sin (-4 \pi+\alpha)=3 \tan \alpha+\sin \alpha=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ ．

【B组---提高题】

1. 若 $θ$ 为第二象限角，则下列结论一定成立的是 (　　)
A． $\sin \dfrac{\theta}{2}>0$ $\qquad \qquad \qquad$ B． $\cos \dfrac{\theta}{2}>0$ $\qquad \qquad \qquad$ C． $\tan \dfrac{\theta}{2}>0$ $\qquad \qquad \qquad$ D． $\sin \dfrac{\theta}{2} \cos \dfrac{\theta}{2}<0$

2. 若 $\sin \left(-\dfrac{7 \pi}{3}+\theta\right)=-\dfrac{3}{5}$ ，则 $\sin \left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=$ $\underline{\quad \quad}$ .

参考答案

答案 $C$
解析 $∵θ$ 为第二象限角， $\therefore \dfrac{\pi}{2}+2 k \pi<\theta<\pi+2 k \pi$ ， $k∈Z$ ．
则 $\dfrac{\pi}{4}+k \pi<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{2}+k \pi$ ， $k∈Z$ ，
$∴θ$ 为一或三象限角，得 $\tan \dfrac{\theta}{2}>0$ ．
故选： $C$ ．
答案 $-\dfrac{3}{5}$
解析 $\sin \left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin \left[2 \pi+\left(-\dfrac{7 \pi}{3}+\theta\right)\right]=\sin \left(-\dfrac{7 \pi}{3}+\theta\right)=-\dfrac{3}{5}$ .