5.1.2 弧度制

${\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}$  

【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
${\color {Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}$

必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

弧度的定义

弧长等于半径时，所对的圆心角为 $1$ 弧度的圆心角，记作 $1\mathrm{rad}$.
即：半径为 $r$ 的圆中，弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha \mathrm{rad}$，那么 $|\alpha|=\dfrac{l}{r}$.
解释
(1) 如下图，设 $α=n^{\circ}$，$OP=r$，圆弧 $\widehat{P P}_1$ ̂的长为 $l$，$OQ=r_1$，圆弧 $\widehat{Q Q}_1$ 的长为 $l_1$.
由初中所学的弧长公式 $l=\dfrac{n \pi r}{180}$，可得 $\dfrac{l}{r}=n \dfrac{\pi}{180}$.
同理 $\dfrac{l_1}{r_1}=n \dfrac{\pi}{180}$，则 $\dfrac{l_1}{r_1}=\dfrac{l}{r}$，即圆心角 $α$ 所对的弧长与半径的比值，只与 $α$ 的大小有关.

(2) $|\alpha|=\dfrac{l}{r}$，其中 $α$ 的正负由角 $α$ 的终边旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.
 

角度与弧度的转化

(1) $180^{\circ}=\pi \mathrm{rad} \Rightarrow 1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \approx 0.01745 \mathrm{rad}$， $1 \mathrm{rad}=\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx 57.30^{\circ}$.
(2) 特殊角的角度与弧度对应表

角度	$0^∘$	$30^∘$	$45^∘$	$60^∘$	$90^∘$	$120^∘$	$135^∘$	$150^∘$	$180^∘$	$270^∘$	$360^∘$
弧度	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\dfrac{3\pi}{4}$	$\dfrac{5\pi}{6}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

注 在弧度制下，角的集合与实数集之间建立一一对应关系；以后弧度制单位 $\mathrm{rad}$ 可省略不写.
 

【例】 $\dfrac{2\pi}{5}$ 化成角度为 $\underline{\quad \quad}$．
解 $\dfrac{2 \pi}{5}=\dfrac{2}{5} \cdot 180^{\circ}=72^{\circ}$.
 

弧长与扇形面积计算公式

弧长 $l=α\cdot R$； 扇形面积 $S=\dfrac{1}{2} l R=\dfrac{1}{2} \alpha R^2$， 其中 $R$ 是圆的半径，$α(0<α<2π)$ 为圆心角.

证明
由公式 $|\alpha|=\dfrac{l}{r}$ 可得 $l=αR$，
由于初中所学可知 $l=\dfrac{n \pi R}{180}$，$S=\dfrac{n \pi R^2}{360}$，
所以 $S=\dfrac{n \pi R^2}{360}=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{n \pi R}{180} \cdot R=\dfrac{1}{2} l R=\dfrac{1}{2} \cdot \alpha R \cdot R=\dfrac{1}{2} \alpha R^2$.
 

【例】 一扇形中，圆心角为 $\dfrac{π}{3}$，半径 $r=2$，求圆心角所对的弧长和扇形面积.
解 $l=2\cdot \dfrac{π}{3}=\dfrac{2π}{3}$，$S=\dfrac{1}{2} αR^2=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{π}{3}\cdot 4=\dfrac{2π}{3}$.
 

基本方法

【题型1】弧度制的概念

【典题 1】 圆弧长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 (　　)
 A． $\dfrac{\pi}{3}$　$\qquad \qquad$　B． $\dfrac{2\pi}{3}$　$\qquad \qquad$　　C．$\sqrt{3}$　$\qquad \qquad$ D．$2$
解析 设圆的半径为 $R$，则圆的内接正三角形的边长为 $\sqrt{3}R$，
所以圆心角的弧度数为 $\dfrac{\sqrt{3} R}{R}=\sqrt{3}$．
点拨 考核弧度的定义：半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 $α rad$，那么 $|\alpha|=\dfrac{l}{r}$.
 

【巩固练习】

1. 在圆心角均为 $1$ 弧度的若干个圆中，下列结论正确的是 (　　)
  A．所对的弧长相等 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．所对的弦长相等
  C．所对的弧长等于各自圆的半径 $\qquad \qquad$ D．所对的弦长等于各自圆的半径
 
2. 下面各命题中，是假命题的为 (　　)．
 A．“度” 与 “弧度” 是度量 角的两种不同的度量单位；
 B．$1$ 度的角是周角的 $\dfrac{1}{360}$，$1$ 弧度的角是周角的 $\dfrac{1}{2 \pi}$；
 C．根据弧度的定义，$180°$ 一定等于 $π$ 弧度；
 D．不论是用角度制 还是用弧度制度量角，它们均与所在圆的半径长短有关．
 
3. 圆弧长度等于其圆内接正四边形的边长，则其圆心角的弧度数为 (　　)
 A．$\dfrac{\pi}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\dfrac{\pi}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\sqrt{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$2$

 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $∵l=θR$，$θ=1$，$∴l=R$，故选 $C$．

2. 答案 $D$
   解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与所在圆的半径长短无关，
   而是与弧长和半径的比值有关，所以 $D$ 是假命题．

3. 答案 $C$

【题型2】弧度制与角度制的换算

【典题 1】 设 $α_1=510^{\circ}$，$α_2=-750^{\circ}$， $\beta_1=\dfrac{4}{5} \pi$， $\beta_2=-\dfrac{11}{6} \pi$.
  (1) 将 $α_1$，$α_2$ 用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
  (2) 将 $β_1$，$β_2$ 用角度表示出来，并在 $[-2π,2π)$ 内找出与它们终边相同的所有的角．
解析 (1) $\because 1^{\circ}=\dfrac{\pi}{180} \mathrm{rad}$，
$\therefore \alpha_1=510^{\circ}=510 \times \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{17}{6} \pi=2 \pi+\dfrac{5}{6} \pi$；
$\alpha_2=-750^{\circ}=-750 \times \dfrac{\pi}{180}=-\dfrac{25}{6} \pi=-3 \times 2 \pi+\dfrac{11}{6} \pi$．
$∴α_1$ 的终边在第二象限，$α_2$ 的终边在第四象限．
(2) $\beta_1=\dfrac{4}{5} \pi=\dfrac{4 \pi}{5} \times\left(\dfrac{180}{\pi}\right)^{\circ}=144^{\circ}$．
设 $θ_1=k·360^{\circ}+144^{\circ}(k∈Z)$．
$∵-360^{\circ}≤θ_1<360^{\circ}$，
$∴-360^{\circ}≤k·360^{\circ}+144^{\circ}<360^{\circ}$．
$∴k=-1$ 或 $k=0$．
$∴$ 在 $[-2π,2π)$ 内与 $β_1$ 终边相同的角是 $－216^{\circ}$ 角．
$\beta_2=-\dfrac{11}{6} \pi=-\dfrac{11 \pi}{6} \times\left(\dfrac{180}{\pi}\right)=-330^{\circ}$．
设 $θ_2=k·360^{\circ}-330^{\circ}(k∈Z)$．
$∵-360^{\circ}≤θ_2<360^{\circ}$，
$∴-360^{\circ}≤k·360^{\circ}-330^{\circ}<360^{\circ}$．
$∴k=0$ 或 $k=1$．
$∴$ 在 $[-2π,2π)$ 内与 $β_2$ 终边相同的角是 $30^{\circ}$ 角．
 

【巩固练习】

1. 下列各式中正确的是 (　　)
 A．$\dfrac{\pi}{6} \mathrm{rad}=60^{\circ}$ $\qquad \qquad$ B．$\dfrac{3 \pi}{4} \mathrm{rad}=120^{\circ}$ $\qquad \qquad$ C．$150^{\circ}=\dfrac{5 \pi}{6} \mathrm{rad}$ $\qquad \qquad$ D．$180^∘=2π \mathrm{rad}$
 
2.$3$ 弧度的角终边在 (　　)
 A．第一象限 $\qquad \qquad \qquad$ B．第二象限 $\qquad \qquad \qquad$ C．第三象限 $\qquad \qquad \qquad$ D．第四象限
 
3. 已知角 $α=1200^{\circ}$
  (1) 将 $α$ 改写成 $β+2kπ(k∈Z,0≤β≤2π)$ 的形式，并指出 $α$ 是第几象限的角；
  (2) 在区间 $[-4π,π]$ 上找出与 $α$ 终边相同的角．

 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $\therefore \pi \mathrm{rad}=180^{\circ}$， $\therefore \dfrac{\pi}{6} \mathrm{rad}=\dfrac{1}{6} \times 180^{\circ}=30^{\circ}$， $\dfrac{3 \pi}{4} \mathrm{rad}=\dfrac{3}{4} \times 180^{\circ}=135^{\circ}$，
   $\dfrac{5 \pi}{6} \mathrm{rad}=\dfrac{5}{6} \times 180^{\circ}=150^{\circ}$，故选：$C$．

2. 答案 $B$
   解析 因为 $\dfrac{\pi}{2}<3<\pi$，所以 $3$ 弧度的角终边在第二象限．故选：$B$．

3. 答案 (1) $\alpha=3 \times 2 \pi+\dfrac{2 \pi}{3}$, 第二象限角； (2) $-\dfrac{10 \pi}{3},-\dfrac{4 \pi}{3}$.
   解析 (1) $\because \alpha=1200^{\circ}=1200 \times \dfrac{\pi}{180} \mathrm{rad}=\dfrac{20 \pi}{3}=3 \times 2 \pi+\dfrac{2 \pi}{3} \mathrm{rad}$，
   又 $\because \dfrac{\pi}{2}<\dfrac{2 \pi}{3}<\pi$，
   $∴$ 角 $α$ 与 $\dfrac{2 \pi}{3}$ 的终边相同，角 $α$ 是第二象限角．
   (2)$∵$ 与角 $α$ 终边相同的角（含角 $α$ 在内）为 $2 k \pi+\dfrac{2 \pi}{3}$,$k∈Z$，
   $∴$ 由 $-4 \pi \leq 2 k \pi+\dfrac{2 \pi}{3} \leq \pi$，得 $-\dfrac{14 \pi}{3} \leq 2 k \pi \leq-\dfrac{\pi}{3}$，
   $k=-2$，$k=-1$ 时，不等式成立．                 
   $∴$ 在区间 $[-4π,π]$ 上与角 $α$ 终边相同的角是 $-\dfrac{10 \pi}{3},-\dfrac{4 \pi}{3}$．

 

【题型3】扇形的弧长与面积公式的应用

【典题 1】 半径为 $12cm$ 的轮子，每 $3$ 分钟转 $1000$ 圈，试求：
  (1) 它的平均角速度 ($1$ 秒钟转过的弧度数)；
  (2) 轮沿上一点 $1$ 秒经过的距离；
  (3) 轮沿上一点转过 $1000°$ 所经过的距离．
解析 (1) 每 $3$ 分钟转 $1000$ 圈，则它的平均角速度为 $\omega=\dfrac{1000 \times 2 \pi}{3 \times 60}=\dfrac{100 \pi}{9}$ (弧度 / 秒)；
(2) 轮沿上一点 $1$ 秒经过的距离为 $s=v t=\omega r t=\dfrac{100 \pi}{9} \times 12 \times 1=\dfrac{400 \pi}{3}(\mathrm{~cm})$；
(3) 轮沿上一点转过 $1000°$ 所经过的距离为 $1000 \times \dfrac{2 \pi}{360} \times 12=\dfrac{200 \pi}{3}(\mathrm{~cm})$．
 

【典题 2】已知扇形 $AOB$ 的圆心角为 $α$，周长为 $14$．
  (1) 若这个扇形面积为 $10$，且 $α$ 为锐角，求 $α$ 的大小；
  (2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角 $α$ 的大小和弦长 $AB$．
解析 设扇形 $AOB$ 的半径为 $r$，弧长为 $l$，圆心角为 $α$，
(1) 由题意知 $\left\{\begin{array}{l} 2 r+l=14 \\ \dfrac{1}{2} l r=10 \end{array}\right.$，解得： $\left\{\begin{array}{l} r=5 \\ l=4 \end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l} r=2 \\ l=10 \end{array}\right.$，
$\therefore \alpha=\dfrac{l}{r}=\dfrac{4}{5}$ 或 $5$；
$∵α$ 为锐角， $\therefore \alpha=\dfrac{4}{5}$．
(2)$∵2r+l=14$，
$\therefore S=\dfrac{1}{2} l r=\dfrac{1}{4} \cdot l \cdot 2 r \leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{l+2 r}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4} \times 7^2=\dfrac{49}{4}$，
当且仅当 $2r=l$，即 $\alpha=\dfrac{l}{r}=2$ 时，面积取得最大值 $\dfrac{49}{4}$，
$\therefore r=\dfrac{7}{2}$， $\therefore$ 弦长 $A B=\dfrac{7}{2} \sin 1 \times 2=7 \sin 1$．
 

【巩固练习】

1. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 $2cm$，圆心角为 $\dfrac{2 \pi}{3}$ 的扇形，则此圆锥的高为 $\underline{\quad \quad}$$cm$．
 
2. 若扇形 $OAB$ 的面积是 $1 cm^2$，它的周长是 $4 cm$，求扇形圆心角的弧度数．
 
 

3. 已知 $2rad$ 的圆心角所对的弦长为 $2$，求这个圆心角所对的弧长．
 
 

4. 已知扇形 $AOB$ 的周长为 $8$．
  (1) 若这个扇形的面积为 $3$，求圆心角的大小；
  (2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 $AB$．

 
 

参考答案

1. 答案 $\dfrac{4 \sqrt{2}}{3}$
   解析 设此圆的底面半径为 $r$，高为 $h$，母线为 $l$，
   ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为 $2cm$，圆心角为 $\dfrac{2 \pi}{3}$ 的扇形，
   $∴l=2$，得 $2 \pi r=\dfrac{2 \pi}{3} \times l=\dfrac{4 \pi}{3}$，解之得 $r=\dfrac{2}{3}$，
   因此，此圆锥的高 $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{2^2-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}=\dfrac{4 \sqrt{2}}{3} \mathrm{~cm}$．
   故答案为： $\dfrac{4 \sqrt{2}}{3}$．
   

2. 答案 $2$
   解析 设扇形的半径为 $R$，弧长为 $l$，
   由已知得 $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{2} l R=1 \\ 2 R+l=4 \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} l=2 \\ R=1 \end{array}\right.$，
   $∴$ 扇形圆心角的弧度数是 $\dfrac{l}{R}=2$．

3. 答案 $\dfrac{2}{\sin 1}$
   解析 如图，
   
   $∠AOB=2$，过 $O$ 点作 $OC⊥AB$ 于 $C$，并延长 $OC$ 交于 $D$.$∠AOD=∠BOD=1$，
   且 $AC= AB=1.$ 在 $Rt△AOC$ 中， $A O=\dfrac{A C}{\sin \angle A O C}=\dfrac{1}{\sin 1}$，
   从而弧 $AB$ 的长为 $l=|\alpha| \cdot r=\dfrac{2}{\sin 1}$.

4. 答案 (1) $θ=6$ 或 $\dfrac{2}{3}$； (2) $θ=2$，$AB=4\sin1$.
   解析 设扇形的半径为 $r$，中心角为 $θ$，则 $2r+θr=8$,$θ∈[0,2π]$．
   (1) 由题意可得：$S=\dfrac{1}{2} \theta r^2=3$，
   又 $2r+θr=8$,
   联立解得 $θ=6$ 或 $\dfrac{2}{3}$．
   (2) $S=\dfrac{1}{2} \theta r^2=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{8-2 r}{r} \times r^2=(4-r) r \leq\left(\dfrac{4-r+r}{2}\right)^2=4$，
   当且仅当 $r=2$，$θ=2$．
   $∴AB=2×2\sin1=4\sin1$．

 

分层练习

【A组---基础题】

1. $\dfrac{7}{12} \pi=$(　　)
    A．$70^{\circ}$ $\qquad \qquad\qquad \qquad$ B．$75^{\circ}$ $\qquad \qquad\qquad \qquad$ C．$80^{\circ}$ $\qquad \qquad\qquad \qquad$ D．$105^{\circ}$

2. 若 $α=5 rad$，则角 $α$ 的终边所在的象限为 (　　)
 A．第一象限 $\qquad \qquad \qquad$ B．第二象限 $\qquad \qquad \qquad$ C．第三象限 $\qquad \qquad \qquad$ D．第四象限
 
3. 终边在 $y$ 轴的非负半轴上的角的集合是 (　　)
  A．$\{α|α=kπ,k∈Z\}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$\left\{\alpha \mid \alpha=k \pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in Z\right\}$
 C．$\{α|α=2kπ,k∈Z\}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D． $\left\{\alpha \mid \alpha=2k \pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in Z\right\}$
 
4. 若弧度为 $2 \alpha\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的圆心角所对弦长为 $m$，则该圆心角所对的弧长为 (　　)
  A． $\dfrac{a m}{\sin \alpha}$ $\qquad \qquad \qquad$ B． $\dfrac{a m}{\cos \alpha}$ $\qquad \qquad \qquad$ C．$\dfrac{a m}{2\sin \alpha}$ $\qquad \qquad \qquad$ D． $\dfrac{a m}{2\cos \alpha}$
 
5. 已知圆 $O$ 与直线 $l$ 相切于点 $A$，点 $P,Q$ 同时从 $A$ 点出发，$P$ 沿着直线 $l$ 向右、$Q$ 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 $Q$ 运动到点 $A$ 时，点 $P$ 也停止运动，连接 $OQ$,$OP$(如图)，则阴影部分面积 $S_1$,$S_2$ 的大小关系是 (　　)

 A．$S_1=S_2$
 B．$S_1≤S_2$
 C．$S_1≥S_2$
 D．先 $S_1<S_2$，再 $S_1=S_2$，最后 $S_1>S_2$
 
6. 在直径为 $20cm$ 的圆中，圆心角为 $150^{\circ}$ 时所对的弧长为 $\underline{\quad \quad}$．
 
7. 若 $α$ 角与 $-\dfrac{8 \pi}{5}$ 角终边相同，则在 $[0,2π]$ 内终边与 $-\dfrac{\alpha}{4}$ 角终边相同的角是 $\underline{\quad \quad}$ ．
 
8.(1) 把 $-1480^{\circ}$ 写成 $α+2kπ(k∈Z)$ 的形式，其中 $0≤α<2π$；
(2) 若 $β∈[-4π,0]$，且 $β$ 与 (1) 中 $α$ 的终边相同，求 $β$．
 
 

9. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 $60$ 齿，小轮有 $45$ 齿．
(1) 当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
(2) 当小轮的转速是 $120 \mathrm{r} / \mathrm{min}$ 时，大轮上每 $1s$ 转过的弧长是 $60πcm$，求大轮的半径．
 
 

10. 如下图所示，已知扇形 $AOB$ 的圆心角为 $120^{\circ}$，半径长为 $6$，求弓形 $ACB$ 的面积．

 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $\dfrac{7}{12} \pi=\dfrac{7}{12} \times 180^{\circ}=105^{\circ}$．故选：$D$．

2. 答案 $D$

3. 答案 $D$
   解析 $A$ 选项表示的角的终边在 $x$ 轴上；$B$ 选项表示的角的终边在 $y$ 轴上；
   $C$ 选项表示的角的终边在 $x$ 轴非负半轴上；$D$ 选项表示的角的终边在 $y$ 轴非负半轴上，
   故选 $D$．

4. 答案 $A$
   解析 设圆的半径为 $r$，由弧度为 $2 \alpha\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)$ 的圆心角所对弦长为 $m$，
   则 $\sin \alpha=\dfrac{\dfrac{m}{2}}{r}=\dfrac{m}{2 r}$，$r=\dfrac{m}{2 \sin \alpha}$；
   该圆心角所对的弧长为 $l=2 \alpha r=\dfrac{m \alpha}{\sin \alpha}$．
   故选：$A$．

5. 答案 $A$
   解析 如图所示，
   
   $∵$ 直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，$∴OA⊥AP$，
   $\therefore S_{\text {扇形} A O Q}=\dfrac {1}{2} \cdot \widehat {A Q} \cdot r=\dfrac {1}{2} \cdot \widehat {A Q} \cdot O A$， $S_{\triangle A O P}=\dfrac{1}{2} \cdot O A \cdot A P$，
   $\because \widehat{A Q}=A P$，
   $\therefore S_{\text {扇形} \mathrm {AOQ}}=S_{\triangle A O P}$，即 $S_{\text {扇形} \mathrm {AOQ}}-S_{\text {扇形 } \mathrm {AOB}}=S_{\triangle A O P}-S_{\text {扇形 AOB }}$，
   $∴S_1=S_2$．
   故选：$A$．

6. 答案 $\dfrac{25 \pi}{3} \mathrm{~cm}$
   解析 $150^{\circ}=150 \times \dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5 \pi}{6}, \quad \therefore l=\dfrac{5 \pi}{6} \times 10=\dfrac{25 \pi}{3} \mathrm{~cm}$.

7. 答案 $\dfrac{2 \pi}{5}, \dfrac{9 \pi}{10}, \dfrac{7 \pi}{5}, \dfrac{19 \pi}{10}$
   解析 依题意， $\alpha=2 k \pi+\dfrac{8 \pi}{5}, k \in z$， $\therefore \dfrac{\alpha}{4}=\dfrac{k \pi}{2}+\dfrac{2 \pi}{5}, k \in z$，
   又 $\dfrac{\alpha}{4} \in[0,2 \pi]$， $\therefore k=0, \alpha=\dfrac{2 \pi}{5}$； $k=1, \alpha=\dfrac{9 \pi}{10}$； $k=2, \alpha=\dfrac{7 \pi}{5}$； $k=3, \alpha=\dfrac{19 \pi}{10}$；
   故 答案为 $\dfrac{2 \pi}{5}, \dfrac{9 \pi}{10}, \dfrac{7 \pi}{5}, \dfrac{19 \pi}{10}$.

8. 答案 (1) $-1480^{\circ}=\dfrac{16}{9} \pi-2 \times 5 \pi$ (2)$-\dfrac{2 \pi}{9},-\dfrac{20}{9} \pi$
   解析 (1) $\because-1480^{\circ}=-\dfrac{74}{9} \pi=-8 \pi-\dfrac{2}{9} \pi=-10 \pi+\dfrac{16}{9} \pi$，
   又 $\because 0 \leq \dfrac{16}{9} \pi<2 \pi$，
   故 $-1480^{\circ}=\dfrac{16}{9} \pi-2 \times 5 \pi$．
   (2)$∵β$ 与 $α$ 终边相同，
   $\therefore \beta=\alpha+2 k \pi=\dfrac{16}{9} \pi+2 k \pi$，$k∈Z$．
   又 $∵β∈[－4π,0]$，
   $\therefore \beta_1=\dfrac{16}{9} \pi-2 \pi=-\dfrac{2 \pi}{9}$，$\beta_2=\dfrac{16}{9} \pi-4 \pi=-\dfrac{20}{9} \pi$．

9. 答案 (1)$\dfrac{3 \pi}{2}$； (2)$20$
   解析 (1) 当小轮转动一周时，求大轮转动的周数为 $x$，
   则 $45=60x$, 即 $x=\dfrac{3}{4}$，
   大轮转动的弧度数 $\dfrac{3}{4} \times 2 \pi=\dfrac{3 \pi}{2}$；
   (2) 设大轮的半径为 $R$，则大轮的速度为 $120 \times \dfrac{45}{60}=90(\mathrm{r} / \mathrm{min})$，
   所以大轮上每 $1s$ 转过的周数为 $\dfrac{90}{60}=1.5$，
   大轮上每 $1s$ 转过的弧长是 $1.5×2πR=60πcm$，
   所以 $R=20$，
   故大轮的半径为 $20$．

10. 答案 $12 \pi-9 \sqrt{3}$
    解析 $S_{\text {扇形} A O B}=\dfrac {1}{2} \times \dfrac {120}{180} \pi \times 6^2=12 \pi$， $S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} \times 6^2 \times \sin 120^{\circ}=9 \sqrt{3}$，
    $\therefore S_{\text {弓形} A C B}=S_{\text {扇形 } A O B}-S_{\triangle A O B}=12 \pi-9 \sqrt {3}$．
     

【B组---提高题】

1. 已知扇形的周长为 $C$，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为 (　　)
 A． $\dfrac{1}{2} r a d$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$1rad$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C． $\dfrac{3}{2} r a d$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$2rad$
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 设扇形的圆心角大小为 $α(rad)$，半径为 $r$，
   根据扇形的面积为 $S_{\text {扇形}}=\dfrac {1}{2} a r^2$，周长为 $2r+αr=C$，
   得到 $r=\dfrac{C}{2+\alpha}$，且 $0<α<2π$，
   $\therefore S_{\text {扇形}}=\dfrac {1}{2} \alpha\left (\dfrac {C}{2+\alpha}\right)^2=\dfrac {C^2 \alpha}{2 \alpha^2+8 \alpha+8}=\dfrac {C^2}{8+\left (2 \alpha+\dfrac {8}{\alpha}\right)}$，
   又 $2 \alpha+\dfrac{8}{\alpha} \geq 2 \sqrt{2 \alpha \cdot \dfrac{8}{\alpha}}=8$，当且仅当 $2 \alpha=\dfrac{8}{\alpha}$，即 $α=2$ 时，$“=”$ 成立，
   此时 $S_{\text {扇形}}$ 取得最大值为 $\dfrac{C^2}{16}$，对应圆心角为 $α=2$．
   故选：$D$．