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3.3.1 抛物线及其标准方程


【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019)
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选择性必修第一册同步巩固,难度 2 颗星!

基础知识

抛物线的定义

平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线,定点 F 称为抛物线的焦点,定直线 l 称为抛物线的准线.
如图,P 在抛物线上,PH=PF.

抛物线的标准方程

标准方程 y2=2px y2=2px x2=2py x2=2py
图形
焦点 F(p2,0) F(p2,0) F(0,p2) F(0,p2)
准线方程 x=p2 x=p2 y=p2 y=p2
其中p>0.

 

解释
(1) 求解焦点在 x 轴正半轴上的抛物线方程
取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴,垂足为 K,并使原点与线段 KF 的中点重合,建立平面直角坐标系 xOy
KF=p(p>0),那么焦点 F 的坐标为 F(p2,0),准线 l 的方程为 x=p2
P(x,y) 是抛物线上任意一点,点 M 到准线 l 的距离为 d,由抛物线的定义,
因为 |PF|=(xp2)2+y2,d=|x+p2|,所以 (xp2)2+y2=|x+p2|
化简得 y2=2px(p>0).

(2) 涉及抛物线,先看一次项的取值范围确定开口方向,比如 y2=2x 中一次项 x0 则该抛物线开口向左;再确定 p 值、焦点和准线位置.
可想象下抛物线是鱼缸里的一条鱼,焦点是它眼睛,准线是鱼缸玻璃壁 .
 

【例】 画出以下抛物线的图象,写出相应的焦点坐标和准线方程.
  (1)y2=4x (2) y2=2x(3)x2=6y(4) x2=4y
解析

方程 y2=4x y2=2x x2=6y x2=4y
图象 image.png image.png image.png image.png
焦点坐标 (1,0) (12,0) (0,32) (0,1)
准线方程 x=1 x=12 x=12 y=1

 

基本方法

【题型1】抛物线的定义

【典题 1】 若点 P 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 x+6=0 的距离少 2,求动点 P 的轨迹的形状.
解析 P 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 x+6=0 的距离少 2,即 PF=PG2
P 到直线 x=4 的距离和它到点 (4,0) 的距离相等,即 PF=PH

根据抛物线的定义可得点 P 的轨迹是以点 (4,0) 为焦点,以直线 x=4 为准线的抛物线.
 

【典题 2】与圆 (x2)2+y2=1 外切,且与直线 x+1=0 相切的动圆圆心 P 的轨迹方程是 _
解析 由圆 (x2)2+y2=1 可得:圆心 F(2,0),半径 r=1
设所求动圆圆心为 P(x,y),过点 P PM 直线 lx=1M 为垂足.
因为圆 P 与圆 F 外切,则 |PF|r=|PM|,可得 |PF|=|PM|+1

过点 P PM 直线 Lx=2H 为垂足,则 PF=PH
即点 P 的轨迹是到定点 F(2,0) 的距离和到直线 Lx=2 的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知:
P 的轨迹是抛物线,定点 F(2,0) 为焦点,定直线 Lx=2 是准线.
抛物线的方程为:y2=8x
与圆 (x2)2+y2=1 外切,且与直线 x+1=0 相切的动圆圆心的轨迹方程是 y2=8x
 

巩固练习

1. 已知定点 A(1,1) 和直线 l:x+y2=0,则到定点 A 的距离和到定直线 l 的距离相等的点的轨迹为 (  )
 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
 

2. 动点 P(x,y) 到点 F(3,0) 的距离比它到直线 x+2=0 的距离大 1,则动点 P 的轨迹是 (  )
 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线
 

3. 一个动圆的圆心在抛物线 y2=8x 上,且动圆恒与直线 x+2=0 相切,则动圆必过定点 (  )
 A.(0,2) B.(0,2) C.(2,0) D.(4,0)
 

参考答案

  1. 答案 D
    解析 因为定点 A(1,1) 在直线 l:x+y2=0 上,
    所以到定点 A 的距离和到定直线 l 的距离相等的点的轨迹是直线,
    就是经过定点 A 与直线 l:x+y2=0 垂直的直线.
    故选:D
  2. 答案 D
    解析 动点 P 到点 (3,0) 的距离比它到直线 x=2 的距离大 1
    将直线 x=2 向左平移 1 个单位,得到直线 x=3
    可得点 P 到点 (3,0) 的距离等于它到直线 x=3 的距离.
    因此点 P 的轨迹是以 (3,0) 为焦点、x=3 为准线的抛物线,
    设抛物线的方程为 y2=2px(p>0),可得 p2=3,得 2p=12
    抛物线的方程为 y2=12x,即为点 P 的轨迹方程.
    故选:D
  3. 答案 C
    解析 抛物线 y2=8x 的准线方程为 x=2
    由题可知动圆的圆心在 y2=8x 上,且恒与抛物线的准线相切,
    由定义可知,动圆恒过抛物线的焦点 (2,0)
    故选:C
     

【题型2】求抛物线的标准方程

【典题 1】抛物线 y2=2px(p>0) 的准线经过椭圆 x29+y25=1 的右焦点,则抛物线的焦点到准线的距离为 _
解析 椭圆 x29+y25=1 的右焦点 (2,0)
抛物线 y2=2px(p>0) 的准线经过椭圆 x29+y25=1 的右焦点,
可得 p2=2,解得 p=4
则抛物线的焦点到准线的距离为 p=4.
点拨 抛物线的焦点与准线均与 p2 有关.
 

【典题 2】根据下列条件,求抛物线的标准方程.
  (1) 焦点坐标为 (2,0);(2) 准线方程为 y=1;(3) 过点 (1,2)
解析 (1)∵抛物线的焦点坐标为 (-2,0),
p2=2,则 p=4,且抛物线的开口向左,故抛物线方程为 y2=8x
(2)∵抛物线准线方程为 y=1
p2=1,则 p=2,且抛物线的开口向上,故抛物线方程为 x2=4y
(3) 抛物线过点 (1,2)
可设抛物线方程为 y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)
把点 (1,2) 代入 y2=2px,得 p=2,故抛物线方程为 y2=4x
代入 x2=2py,得 p=14,故抛物线方程为 x2=12y
∴所求抛物线方程为 y2=4xx2=12y
点拨
1. 求抛物线方程的方法主要是定义法和待定系数法;
2. 明确了抛物线的焦点或准线的位置,可确定抛物线的开口方向,其标准方程便可设定.
 

巩固练习

1. 抛物线 y2=2x 的焦点到其准线的距离是 (  )
 A.1 B.2 C.3 D.4
 

2. 焦点在 x 轴的正半轴上,且焦点到准线的距离为 2 的抛物线的标准方程是 (  )
 A.x2=4y B.y2=8x C.x2=8y D.y2=4x
 

3. 已知抛物线的准线方程为 x=1,则此抛物线的标准方程为 (  )
 A.x2=2y B.x2=4y C.y2=2x D.y2=4x
 

4. 已知圆 x2+y26x7=0 与抛物线 y2=2px(p>0) 的准线相切,则 p=_
 

5. 若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 x24y2=1 的右顶点重合,则 p=_
 

6. 抛物线 y2=2px(p>0) 上一点 M 的纵坐标为 42,该点到准线的距离为 6,则抛物线方程为 _
 

参考答案

  1. 答案 A
    解析 由抛物线 y2=2x 的方程可得 2p=2,所以 p=1
    焦点到其准线的距离是 p=1
    故选:A
  2. 答案 D
    解析 由题意可设抛物线方程为 y2=2px(p>0)
    p=2,则抛物线方程为 y2=4x
    故选:D
  3. 答案 D
    解析 因为抛物线的准线方程为 x=1
    所以设抛物线方程为 y2=2px(p>0)
    p2=1,得 p=2
    所以抛物线方程为 y2=4x
    故选:D
  4. 答案 2
    解析 x2+y26x7=0 的圆心为 (3,0),半径为 4
    抛物线 y2=2px 的准线为 x=p2.由 |3+p2|=4,得 p=2 14(舍).
  5. 答案 4
    解析 双曲线 x24y2=1 的右顶点坐标为 (2,0)
    抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 x24y2=1 的右顶点重合,
    p2=2p=4
  6. 答案 y2=16x y2=8x
    解析 由于抛物线的准线方程是 x=p2,而点 M 到准线的距离为 6
    所以 M 点的横坐标是 6p2,于是 M(6p2,42)
    代入方程得 32=2p(6p2),解得 p=8 p=4
    故方程为 y2=16x y2=8x
     

分层练习

【A组---基础题】

1. 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 是侧面 BCC1B1 上的一个动点,若点 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹是下列哪种曲线的一部分 (  )
image.png
  A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
 

2. 已知点 P 到点 F(0,1) 的距离比它到直线 l:y+2=0 的距离小 1,则点 P 的轨迹方程为 (  )
 A.x2=4y B.x2=4y C.y2=4x D.y2=4x
 

3. 若抛物线 y2=4mx 的焦点与椭圆 x27+y23=1 的左焦点重合,则 m 的值为 (  )
 A. 12 B. 12 C.2 D.2
 

4. 抛物线 y2=8x 上一点 P x 轴的距离为 12,则点 P 到抛物线焦点 F 的距离为 (  )
  A.8 B.20 C.22 D.24
 

5. 已知点 P(m,n) 为抛物线 C:y2=4x 上的点,且点 P 到抛物线 C 的焦点 F 的距离为 3,则 m=_
 

6. 点 M 与点 F(4,0) 的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1,则点 M 的轨迹方程是 _
 

7. 抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 _
 

参考答案

  1. 答案 D
    解析 由正方体的性质知,C1D1 平面 BCC1B1
    所以点 P 到直线 C1D1 的距离与到点 C1 的距离相等,
    又点 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等,
    所以点 P 到直线 BC 与到点 C1 的距离相等,
    根据抛物线的定义,可得动点 P 的轨迹是抛物线.
    故选:D
  2. 答案 B
    解析 由题意,点 P 到点 F(0,1) 的距离等于它到直线 y=1 的距离,
    可得点 P 的轨迹是以 F 为焦点,y=1 为准线的抛物线,
    则点 P 的轨迹方程为 x2=4y
    故选:B
  3. 答案 A
    解析 抛物线 y2=4mx 的焦点坐标为 (1m,0)
    椭圆 x27+y23=1a2=7b2=3
    c2=a2b2=4
    椭圆的左焦点坐标为 (2,0)
    抛物线 y2=4mx 的焦点与椭圆 x27+y23=1 的左焦点重合,
    1m=2, m=12
    故选:A
  4. 答案 B
    解析 由抛物线的方程可得焦点 F(2,0),准线方程为:x=2
    P(m,n),由题意可得 8m=n2,由 P x 轴的距离为 12 可得 |n|=12,所以 m=18
    再由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离,
    所以点 P 到抛物线焦点 F 的距离为 18+2=20
    故选:B
  5. 答案 2
    解析 抛物线 C:y2=4x 的焦点为 (1,0),准线为 x=1
    因为点 P(m,n) 为抛物线 C:y2=4x 上的点,且点 P 到抛物线 C 的焦点 F 的距离为 3
    所以 m+1=3,得 m=2
  6. 答案 y2=16x
    解析 依题意可知:点 M 与点 F(4,0) 的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1
    转化为点 M 与点 F(4,0) 的距离与它到直线 l:x+4=0 的距离相等,
    满足抛物线的定义,所以 $P=8My^2=16x$.
  7. 答案 1516
    解析 根据抛物线的定义可知 M 到焦点的距离为 1,则其到准线距离也为 1
    抛物线的准线为 y=116
    M 点的纵坐标为 1116=1516

【B组---提高题】

1. 如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2,点 P 是平面 ABCD 上的动点,点 M 在棱 AB 上,且 AM=13,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 4,则动点 P 的轨迹是 (  )
image.png
 A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
 

2. 已知点 P(x,y) 在以原点为圆心的单位圆上运动,则点 Q(x+y,xy) 的轨迹是 (  )
 A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
 

3. 已知抛物线的顶点在原点,焦点 F x 轴正半轴 上.若抛物线上一动点 PA(2,32)F 两点距离之和的最小值为 4,且 A 为抛物线内一点,求抛物线方程.
 
 

参考答案

  1. 答案 B
    解析 如图所示:正方体 ABCDA1B1C1D1 中,作 PQADQ 为垂足,则 PQ ADD1A1
    image.png
    过点 Q QRD1A1
    D1A1 PQRPR 即为点 P 到直线 A1D1 的距离,由题意可得 PR2PQ2=RQ2=4
    又已知 PR2PM2=4
    PM=PQ,即 P 到点 M 的距离等于 P AD 的距离,
    根据抛物线的定义可得,点 P 的轨迹是抛物线,
    故选:B

  2. 答案 B
    解析 Q(u,v),则 {u=x+yv=xy
    x2+y2=1u22v=x2+y2=1
    Q 的轨迹是抛物线.
    故选:B

  3. 答案 B
    解析 设所求的抛物线方程为 y2=2px(p>0)
    其焦点为 F(p2,0),准线 l:x=p2
    如图所示,若 A 点在 “抛物线所包含的区域之内”,
    过点 P 作准线的垂线,垂足为 H
    image.png
    由抛物线定义可知 |PF|=|PH|
    HPA 在同一条直线上时,
    |PA|+|PF| 取最小值 |AH|=2+p2=4,解得 p=4
    故所求的抛物线方程为 y2=8x

【C组---拓展题】

1. 若动点 P(x,y) 满足 (x1)2+(y2)2=|35x45y1|,则 P 点的轨迹应为 (  )
 A.椭圆 B.抛物线 C.双曲线 D.圆
 

  1. 已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 的焦点为 F,点 H(x0,42)(x0>p2) 是抛物线 C 上的一点,以 H 为圆心的圆交直线 x=p2 A,B 两点 (点 A 在点 B 的上方),若 sinHFA=79,则抛物线 C 的方程是 _
     

参考答案

  1. 答案 B
    解析 动点 P(x,y) 满足 (x1)2+(y2)2=|35x45y1|
    可知:动点 P(x,y) 到定点 (1,2) 与到定直线 3x4y5=0 的距离相等,其中定点不在定直线上.
    因此 P 点的轨迹应为抛物线.
    故选:B
  2. 答案 y2=4x
    解析 画出图形如右图所示,作 HDAB,垂足为 D
    image.png
    由题意得点 H(x0,42)(x0>p2) 在抛物线上,则 32=2px0,①
    由抛物线的性质,可知 |DH|=x0p2
    因为 sinHFA=79,所以 |DH|=79|HF|=79(x0+p2),
    所以 x0p2=79(x0+p2),解得 x0=4p,②
    由①②解得 x0=4p=8(舍去) 或 x0=4p=8
    故抛物线 C 的方程为 y2=4x
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