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3.1.1 椭圆及其标准方程


【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019)
soeasysoeasy

选择性必修第一册同步巩固,难度 2 颗星!

基础知识

椭圆的定义

平面内与两个定点 F1F1 ,F2F2 的距离之和等于常数 (大于 F1F2F1F2) 的点的轨迹称为椭圆.
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
如图:PP 是椭圆上一点,PF1+PF2=2a>F1F2PF1+PF2=2a>F1F2.

解释
PF1+PF2=2a>F1F2PF1+PF2=2a>F1F2 PP 的轨迹是以 F1F1F2F2 为焦点的椭圆;
PF1+PF2=2a=F1F2PF1+PF2=2a=F1F2 PP 的轨迹是线段 F1F2F1F2
PF1+PF2=2a<F1F2PF1+PF2=2a<F1F2 PP 的轨迹是无轨迹.
 

【例】 PP 到两定点 F1(1,0)F1(1,0)F2(1,0)F2(1,0) 的距离之和为 44,则动点 PP 的轨迹是什么?
解析 依题意 PF1+PF2=4PF1+PF2=4 是定值,且大于两定点距离 F1F2=2F1F2=2
由椭圆定义可知,动点 PP 的轨迹是椭圆.

 

椭圆的标准方程

焦点在 xx 轴上的椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0)
焦点在 yy 轴上的椭圆方程为 y2a2+x2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0).
解释
(1) 椭圆标准方程的证明
椭圆具有对称性,以经过椭圆两焦点的直线为 xx 轴,线段 F1F2F1F2 的中垂线为 yy 轴,建立平面直角坐标系,

P(x,y)P(x,y) 是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 2c(c>0)2c(c>0),那么焦点 F1(c,0)F1(c,0)F2(c,0)F2(c,0)
根据椭圆定义可得 PF1+PF2=2aPF1+PF2=2a,则 (x+c)2+y2+(xc)2+y2=2a(x+c)2+y2+(xc)2+y2=2a
所以 (x+c)2+y2=2a(xc)2+y2(x+c)2+y2=2a(xc)2+y2
两边平方得 (x+c)2+y2=4a24a(xc)2+y2+(xc)2+y2(x+c)2+y2=4a24a(xc)2+y2+(xc)2+y2
整理得 a2cx=a(xc)2+y2a2cx=a(xc)2+y2
两边平方得 a42a2cx+c2x2=a2x22a2cx+a2c2+a2y2a42a2cx+c2x2=a2x22a2cx+a2c2+a2y2
整理得 (a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2)(a2c2)x2+a2y2=a2(a2c2)
两边同除以 a2(a2c2)a2(a2c2)x2a2+y2a2c2=1x2a2+y2a2c2=1
即动点 PP 的轨迹椭圆对应的方程是 x2a2+y2a2c2=1x2a2+y2a2c2=1.
由椭圆定义可知 2a>2c>02a>2c>0,即 a>c>0a>c>0,所以 a2c2>0a2c2>0.
b2=a2c2b2=a2c2,(bb 为椭圆与 yy 轴交点与原点的距离)
则我们称 x2a2+y2b2=1(a>b>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0) 为椭圆的标准方程.
(焦点在 yy 轴上的椭圆类似证明)
 

【例】 PP 到两定点 F1(1,0)F1(1,0)F2(1,0)F2(1,0) 的距离之和为 44,求动点 PP 轨迹方程.
解析 由椭圆的定义可知,动点 PP 的轨迹是椭圆,且 2a=42a=4c=1c=1
a2=4a2=4b2=3b2=3,则动点 PP 轨迹方程为 x24+y23=1x24+y23=1.

(2) 对于方程 x2m+y2n=1x2m+y2n=1
m>0m>0n>0n>0,且 mnmn 时,方程表示的轨迹为椭圆;(若 m=nm=n,则方程表示圆)
m>n>0m>n>0 时,方程表示的轨迹为焦点在 xx 轴的椭圆;
n>m>0n>m>0 时,方程表示的轨迹为焦点在 yy 轴的椭圆;
(由椭圆方程判断焦点的位置与 aa 的值,我们看分母 m,nm,n 的大小)
 
【例】 椭圆方程 x29+y23=1x29+y23=1,其焦点在 xx 轴还是 yy 轴,aabbcc 的值又是多少呢?
解析 焦点在 xx 轴,且 a=3a=3b=3b=3c=6c=6.
 

焦点三角形

F1F1F2F2 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的焦点,点 PP 在椭圆上,且与 F1F1F2F2 不共线,则三角形 F1PF2ΔF1PF2 叫做焦点三角形.

在题目出现焦点三角形 F1PF2ΔF1PF2,可想到椭圆定义 PF1+PF2=2aPF1+PF2=2a 和解三角形的相关知识.
 

基本方法

【题型1】椭圆的定义

【典题 1】 下列说法中正确的是 (  )
 A.已知 F1(4,0)F1(4,0)F2(4,0)F2(4,0),到 F1F1,F2F2 两点的距离之和等于 88 的点的轨迹是椭圆
 B.已知 F1(4,0)F1(4,0)F2(4,0)F2(4,0),到 F1F1,F2F2 两点的距离之和为 66 的点的轨迹是椭圆
 C.到 F1(4,0)F1(4,0)F2(4,0)F2(4,0) 两点的距离之和等于点 M(5,3)M(5,3) F1F1,F2F2 的距离之和的点的轨迹是椭圆
 D.到 F1(4,0)F1(4,0)F2(4,0)F2(4,0) 两点距离相等的点的轨迹是椭圆
解析 AA 中常数 8=|F1F2|8=|F1F2|BB 中常数 6<|F1F2|6<|F1F2|,所以轨迹都不是椭圆;
可计算 CC 中常数等于 410>|F1F2|410>|F1F2|,符合椭圆定义,轨迹是椭圆;
DD 中点的轨迹应该是一条直线,故选 CC
点拨
1. 轨迹是满足要求的所有点的集合;
2. 轨迹是椭圆,要强调 PF1+PF2PF1+PF2 是定值,且大于 F1F2F1F2.
 

【典题 2】已知动圆 PP 过定点 A(3,0)A(3,0),同时在定圆 B:(x3)2+y2=64B:(x3)2+y2=64 的内部与其相内切,求动圆圆心 PP 的轨迹.
解析B:(x3)2+y2=64B:(x3)2+y2=64 的圆心为 (3,0)(3,0),半径是 88
设动圆 PP 与定圆 BB 内切于点 MM,则 PA+PB=PM+PB=8PA+PB=PM+PB=8
即点 PP 的轨迹是以 AA,BB 为焦点的椭圆.

 

巩固练习

1. 已知命题甲:动点 PP 到两定点 AABB 的距离之和 |PA|+|PB|=2a|PA|+|PB|=2a,其中 aa 为大于 00 的常数;命题乙:PP 点轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的 (  )
  A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
 

2. 已知定点 F1F1,F2F2,且 |F1F2|=7|F1F2|=7,动点 PP 满足 |PF1|+|PF2|=7|PF1|+|PF2|=7,则动点 PP 的轨迹是 (  ).
 A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段
 

3. 已知 BBCC 是两个定点,|BC|=6|BC|=6,且 ABCABC 的周长等于 1616,则顶点 AA 的轨迹为 _–––
 

参考答案

  1. 答案 BB
    解析 PP 点轨迹是椭圆,则一定有 |PA|+|PB|=2a|PA|+|PB|=2a(a>0a>0,为常数).
    所以甲是乙的必要条件.
    反过来,若 |PA|+|PB|=2a|PA|+|PB|=2a(a>0a>0,为常数),
    2a>|AB|2a>|AB| 时,PP 点轨迹是椭圆;
    2a=|AB|2a=|AB| 时,PP 点轨迹是线段 ABAB
    2a<|AB|2a<|AB| 时,PP 点的轨迹不存在,所以甲不是乙的充分条件.
    综上,甲是乙的必要不充分条件.
  2. 答案 DD
    解析 由于 |PF1|+|PF2|=|F1F2||PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以动点 PP 的轨迹不是椭圆,而是线段 F1F2F1F2
  3. 答案 BBCC 为焦点的椭圆,除去与 xx 轴的交点
    解析 |BC|=6|BC|=6,且 ABCABC 的周长等于 1616
    AB+AC=10>BCAB+AC=10>BC
    故顶点 AA 的轨迹是以 BBCC 为焦点的椭圆,除去与 xx 轴的交点.
     

【题型2】椭圆的标准方程

【典题 1】 已知方程 x225m+y2m+9=1x225m+y2m+9=1 表示焦点在 yy 轴上的椭圆,则 mm 的取值范围是 (  ).
 A.9<m<259<m<25 B.8<m<258<m<25 C.16<m<2516<m<25 D.m>8m>8
解析 由于椭圆的焦点在 yy 轴上,所以 {25m>0m+9>0m+9>25m,解得 8<m<25
点拨 对于方程 x2m+y2n=1
m>0n>0,且 mn 时,方程表示的轨迹为椭圆;(若 m=n,则方程表示圆)
m>n>0 时,方程表示的轨迹为焦点在 x 轴的椭圆;
n>m>0 时,方程表示的轨迹为焦点在 y 轴的椭圆;
(由椭圆方程判断焦点的位置与 a 的值,我们看分母 m,n 的大小)
 

【典题 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) 两个焦点坐标分别是 (0,5)(0,5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26
(2) 两个焦点坐标分别是 (3,0)(3,0),椭圆经过点 (3,12)
(3) 中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(3,2) B(23,1) 两点.
解析 (1) 焦点在 y 轴上, 设其标准方程为 y2a2+x2b2=1(a>b>0)
2a=262c=10
a=13c=5b2=a2c2=144
所求椭圆方程为 y2169+x2144=1
(2) 方法 1 椭圆的焦点在 x 轴上, 设其标准方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0)
依题意,有 {3a2+14b2=1a2b2=3,解得 {a2=4b2=1
所求椭圆方程为 x24+y2=1
方法 2 椭圆的焦点在 x 轴上, 设其标准方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0)
2a=(3+3)2+(120)2+(33)2+(120)2=72+12=4
a=2,又 c=3b2=a2c2=1
所求椭圆方程为 x24+y2=1
(3) 方法 1 ①当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0)
依题意,有 {(3)2a2+(2)2b2=1(23)2a2+12b2=1,解得 {a2=15b2=5
所求椭圆的方程为 x215+y25=1
②当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 y2a2+x2b2=1(a>b>0)
依题意,有 {(2)2a2+(3)2b2=112a2+(23)2b2=1,解得 {a2=5b2=15
a<b,不合题意,
所求椭圆的方程为 x215+y25=1
方法 2 设所求椭圆方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0 AB),
依题意,得 {3A+4B=112A+B=1,解得 {A=115B=15
所求标准方程为 x215+y25=1
点拨 求椭圆方程常用定义法和待定系数法,要注意焦点在 x 轴还是 y 轴.
 

【典题 3】 AB 两点的坐标,分别为 (5,0)(5,0),直线 AMBM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 49,求点 M 的轨迹方程.
解析 设点 M(x,y),因为点 A(5,0),所以直线 AM 的斜率 kAM=yx+5(x5)
同理,直线 BM 的斜率 kBM=yx5(x5)
由已知有 yx+5×yx5=49(x±5)
化简,得点 M 的轨迹方程为 x225+y21009=1(x±5)
M 的轨迹是除去 (5,0)(5,0) 两点的椭圆.

点拨 设动点 M(x,y),得到关于 x,y 的方程便可是动点轨迹方程.
 

巩固练习

1. 已知椭圆焦点在 x 轴上,且 a=4c=2,则椭圆方程为 (  ).
 A. x216+y24=1 B. x216+y212=1 C. x24+y212=1 D. x212+y24=1
 

2. 已知方程 4x2+ky2=1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 _
 

3. 已知椭圆过点 P(35,4) 和点 Q(45,3),求此椭圆的标准方程.
 

4. 已知 A,B,C 是直线 l 上的三点,且 AB=3BC=6,圆 O 切直线 l 于点 A,又过 B,C 作圆 O 异于直线 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.

 

5. 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P x 轴的垂线段 PDD 为垂足,当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?

 

参考答案

  1. 答案 B
    解析 依题意 a2=16b2=a2c2=164=12
    又焦点在 x 轴上,所以椭圆方程为 x216+y212=1

  2. 答案 0<k<4
    解析 椭圆方程 4x2+ky2=1 化为 x214+y21k=1
    由于椭圆的焦点在 y 轴上,则 1k>14,即 0<k<4

  3. 答案 x2+y225=1
    解析 设所求椭圆方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,AB)
    则有 {925A+16B=11625A+9B=1,解得 {A=1B=125
    故此椭圆的标准方程为 x2+y225=1

  4. 答案 x236+y227=1(y0)
    解析 设过 BC 异于 l 的两切线分别切 O DE 两点,两切线交于 P
    由切线的性质知,|BA|=|BD||PD|=|PE||CA|=|CE|
    |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
    =|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=3+9=12>6=|BC|
    故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B,C 为两点的椭圆,
    l 所在直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系,
    可求得动点 P 的轨迹方程为 x236+y227=1(y0).

  5. 答案 椭圆
    解析 设点 M(x,y),点 P(x0,y0),则点 D 的坐标为 (x0,0)
    由点 M 是线段 PD 的中点,得 x=x0y=y02
    因为点 P(x0,y0) 在圆 x2+y2=4 上,所以 x20+y20=4
    x0=xy0=2y 代入方程 x20+y20=4,得 x2+4y2=4
    x24+y2=1,所以点 M 的轨迹是椭圆.

     

【题型3】椭圆的焦点三角形

【典题 1】已知 P 为椭圆 x225+4y275=1 上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,F1PF2=60,求 F1PF2 的面积.
解析 如图所示,
image.png
F1PF2 中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1||PF2|cos60
25=|PF1|2+|PF2|2|PF1||PF2|.①
由椭圆的定义得 10=|PF1|+|PF2|
100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.②
由①②得 |PF1||PF2|=25
所以 SF1PF2=12|PF1||PF2|sin60=2534
点拨
1. 遇到焦点三角形 F1PF2,可想到椭圆定义 PF1+PF2=2a 和解三角形的相关知识;
2. 椭圆焦点三角形面积 SPF1F2=b2tanF1PF22,直接利用这个结论本题可得 SPF1F2=754tan30=2534
 

巩固练习

1. 若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 x225+y29=1 上一点,则三角形 PF1F2 的周长等于 _
 

2. 如果椭圆 x281+y225=1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2N MF1 的中点,O 是坐标原点,则 ON 的长为 _
 

3. 椭圆 x29+y22=1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上.若 |PF1|=4,则 |PF2|=_F1PF2 的大小为 _

 

参考答案

  1. 答案 18
    解析 依题意 a=5c=259=4
    所以 PF1F2 的周长是 |PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18

  2. 答案 8
    解析 如图,连接 ONMF1MF2
    由椭圆方程可得:a2=81,则 a=9,
    image.png
    则由椭圆定义可得 |MF1|+|MF2|=2a=18
    所以 |MF2|=18|MF1|=182=16
    因为 O F1F2 的中点,N MF1 的中点,则由中位线可得: ON=12|MF2|=8
    故答案为:8

  3. 答案 120
    解析 |PF1|+|PF2|=2a=6
    |PF2|=6|PF1|=2
    F1PF2 中,cosF1PF2=|PF1|2+|PF2|2|F1F2|22|PF1||PF2|=16+4282×4×2=12
    F1PF2=120
     

分层练习

【A组---基础题】

1. 已知椭圆 x24+y216=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 6,则点 P 到另一个焦点的距离为 (  )
  A.2 B.3 C.5 D.7
 

2. 点 P 在焦点为 F1(4,0) F2(4,0) 的椭圆上,若 PF1F2 面积的最大值为 16,则椭圆标准方程为 (  )
 A. x220+y24=1 B. x24+y220=1 C. x232+y216=1 D. x210+y26=1
 

3.F1F2 是椭圆 C:x225+y29=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,|PF1|=6,过 F1 F1PF2 的角平分线的垂线,垂足为 M,则 |OM| 的长为 (  )
 A.1 B.2 C.3 D.4
 

4. 点 M 是椭圆 x216+y29=1 上一点,F1F2 分别是该椭圆的左、右焦点,若 |MF1|=3|MF2|,则 MF1F2 的面积是 (  )
  A.3 B.33 C.6 D. 63
 

5. 已知方程 x24k+y2k1=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 _
 

6. 已知 BC 是两个定点,|BC|=4,且 ABC 的周长等于 12,则顶点 A 的轨迹方程为 _
 

7. 已知 F1,F2 为椭圆 x225+y29=1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 AB 两点,若 |F2A|+|F2B|=12,则 |AB|=_
 

8. 经过两点 A(0,2)B(12,3) 的椭圆的标准方程为 _
 

9. 已知 椭圆的方程为 x24+y23=1,椭圆上有一点 P 满足 PF1F2=90 (如图).求 PF1F2 的面积.
image.png
 

10. 一个动圆与已知圆 Q1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 Q2:(x3)2+y2=81 内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
image.png
 

11. 设 AB 两点的坐标分别为 (1,0)(1,0),直线 AMBM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的积是 2,求点 M 的轨迹方程.
 

参考答案

  1. 答案 A
    解析 由椭圆定义可得 |PF1|+|PF2|=2a,又 a2=16,所以 a=4
    |PF1|=6,所以 |PF2|=2×46=2
    故选:A

  2. 答案 C
    解析 由题意,2c=8,即 c=4
    ∵△PF1F2 面积的最大值为, 12×2c×b=16
    4b=16,b=4
    a2=b2+c2=16+16=32
    则椭圆的标准方程为 x232+y216=1
    故选:C

  3. 答案 A
    解析 延长 F1M PF2 交于 N
    椭圆 C:x225+y29=1,可得:a=5
    由椭圆的定义可得 |PF1|+|PF2|=2a=10
    |PF1|=6,可得 |PF2|=4
    由等腰三角形的三线合一,可得 |PF1|=|PN|=6
    可得 |NF2|=64=2
    OM F1F2N 的中位线,可得 |OM|=12|F2N|=1
    故选:A

    image.png

  4. 答案 B
    解析 由椭圆 x216+y29=1 的方程可得 a2=16b2=9
    所以 c2=169=7,所以 a=4c=7
    由椭圆的定义可得 |MF1|+|MF2|=2a=8,再由 |MF1|=3|MF2|
    所以可得 |MF1|=6|MF2|=2
    |F1F2|=2c=27
    由余弦定理可得: cosF1MF2=|MF1|2+|MF2|2|F1F2|22|MF1||MF2|=62+22(27)22×6×2=12
    所以 sinF1MF2=32
    所以 SF1MF2=12|MF1||MF2|sinF1MF2=12×6×2×32=33
    故选:B

  5. 答案 (1,52)
    解析 方程 x24k+y2k1=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,
    {4k>0k1>04k>k1,解得 1<k<52
    k 的取值范围是 (1,52)

  6. 答案 x216+y27=1(y0)y27+x216=1(x0)
    解析 |BC|=4,且 ABC 的周长等于 12
    AB+AC=8>BC
    故顶点 A 的轨迹是以 BC 为焦点的椭圆,除去与 x 轴的交点,
    2a=8c=3b=7
    故顶点 A 的轨迹方程为 x216+y27=1(y0)y27+x216=1(x0)

  7. 答案 8
    解析 由椭圆的定义得 |AF1|+|AF2|=2a=10|BF1|+|BF2|=2a=10
    |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=20
    |F2A|+|F2B|=12|AB|=|AF1|+|BF1|=8

  8. 答案 x2+y24=1
    解析 由题意,设椭圆的方程为 x2m+y2n=1
    {4n=114m+3n=1,解得 {m=1n=4
    椭圆的标准方程为 x2+y24=1

  9. 答案 32
    解析 由已知得 a=2b=3
    所以 c=a2b2=43=1.从而 |F1F2|=2c=2
    PF1F2 中,由勾股定理可得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2
    |PF2|2=|PF1|2+4.
    又由椭圆定义知 |PF1|+|PF2∣=2×2=4,所以 |PF2|=4|PF1|
    从而有 (4|PF1|)2=|PF1|2+4.解得 |PF1|=32
    所以 PF1F2 的面积 S=12|PF1||F1F2|=12×32×2=32

  10. 答案 x225+y216=1
    解析 由已知两定圆的圆心和半径分别为 Q1(3,0)r1=1Q2(3,0)r2=9
    设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,如图,
    则由题设有 |MQ1|=1+R|MQ2|=9R
    |MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6
    由椭圆定义可知 M 在以 Q1Q2 为焦点的椭圆上,且 a=5c=3
    b2=a2c2=259=16
    故动圆圆心的轨迹方程为 x225+y216=1

  11. 答案 x2+y22=1(x±1)
    解析 设点 M(x,y),因为点 A(1,0),所以直线 AM 的斜率 kAM=yx+1(x1)
    同理,直线 BM 的斜率 kBM=yx1(x1)
    由已知有 yx+1×yx1=2(x±1)
    化简,得点 M 的轨迹方程为 x2+y22=1(x±1)
    M 的轨迹是除去 (1,0)(1,0) 两点的椭圆.
     

【B组---提高题】

1. 设定点 F1(0,3)F2(0,3) 动点 P 满足条件 |PF1|a=9a|PF2|(a>0),则点 P 的轨迹是 (  )
  A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
 

2. 如图,已知椭圆 C 的中心为原点 OF(25,0) C 的左焦点,P C 上一点,满足 |OP|=|OF|,且 |PF|=4,则椭圆 C 的方程为 (  )
image.png
 A. x225+y25=1 B. x230+y210=1 C. x236+y216=1 D. x245+y225=1
 

3. 设点 P 为椭圆 x249+y224=1 上一点,F1F2 分别是椭圆的左、右焦点,G PF1F2 的重心,且 PF1PF2,那么 GPF2 的面积为 _
 

参考答案

  1. 答案 D
    解析 由题意得, |PF1|a=9a|PF2|(a>0)
    所以 |PF1|+|PF2|=a+9a2a9a=6
    当且仅当 a=9a 时取等号,此时 a=3,则 |PF1|+|PF2|6
    因为定点 F1(0,3)F2(0,3),所以 |F1F2|=6
    |PF1|+|PF2|=6 时,点 P 的轨迹是线段 F1F2
    |PF1|+|PF2|>6 时,点 P 的轨迹是以 F1F2 为焦点的椭圆,
    故选:D

  2. 答案 C
    解析 由题意可得 c=25,设右焦点为 F,由 |OP|=|OF|=|OF| 知,PFF=FPO,OFP=OPF
    所以 PFF+OFP=FPO+OPF
    PFF+OFP+FPO+OPF=180° 知,FPO+OPF=90°,即 PFPF
    RtPFF 中,由勾股定理,得 |PF|=FF2PF2=(45)242=8
    由椭圆定义,得 |PF|+|PF|=2a=4+8=12,从而 a=6,得 a2=36
    于是 b2=a2c2=36(25)2=16
    所以椭圆的方程为 x236+y216=1
    故选:C

    image.png

  3. 答案 8
    解析 因为 G PF1F2 的重心,所以 SGPF2=13SPF1F2,
    因为 PF1PF2,设 PF1=xPF2=2ax
    所以 (2c)2=x2+(2ax)2,由椭圆的方程可得:a2=49,b2=24
    所以 c2=a2b2=4924=25,a=7
    所以方程整理可得 x214x+48=0,解得 x1=6,x2=8
    x1=6 时,PF1=6PF2=2a6=2×76=8
    SPF1F2=12×6×8=24,所以 SPGF2=13SPF1F2=8
    同理 x2=8 时, SPGF2=13SPF1F2=8
    故答案为:8
     

【C组---拓展题】

1. 如图,点 A 是平面 α 外一定点,过 A 作平面 α 的斜线 l,斜线 l 与平面 α 所成角为 50°.若点 P 在平面 α 内运动,并使直线 AP l 所成角为 35°,则动点 P 的轨迹是 (  )
image.png
  A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线的一支
 

2. 已知点 P 在以 F1F2 为左,右焦点的椭圆 C:x22b2+y2b2=1(b>0) 上,在 PF1F2 中,若 PF1F2=α,PF2F1=β,则 sin(α+β)sinα+sinβ=(  )
 A. 12 B. 22 C. 32 D. 2
 

3. 已知椭圆 W:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的右焦点为 F(3,0),且 a=2bABC 的三个顶点都在椭圆 W 上,直线 AB,BC,AC 的斜率存在且均不为 0,记它们的斜率分别为 k1,k2,k3,设 ABBCAC 的中点分别为 M,N,P,O 为坐标原点,若直线 OMONOP 的斜率之和为 34,则 1k1+1k2+1k3=_
 

参考答案

  1. 答案 B
    解析 用垂直于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;
    当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.
    故可知动点 P 的轨迹是椭圆的一部分.
    故选:B

  2. 答案 B
    解析 PF1F2 中,若 PF1F2=α,PF2F1=β,所以 F1PF2=π(α+β)
    PF1F2 中,由正弦定理得 PF1sinPF2F1=PF2sinPF1F2=F1F2sinF1PF2=2R,(R 为外接圆的半径)
    PF1sinβ=PF2sinα=F1F2sin[π(α+β)]=F1F2sin(α+β)=2R
    所以 sin(α+β)sinα+sinβ=F1F2PF1+PF2=2c2a=ca=2b2b22b2=22
    故选:B

  3. 答案 3
    解析 由题意可得, c=3a=2b,所以 a=2b=1
    椭圆 W 的标准方程为 x24+y2=1
    A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3),则 x214+y21=1x224+y22=1
    两式作差得, (x2x1)(x2+x1)4=(y1+y2)(y2y1)
    x2x1y2y1=4(y2+y1)x2+x1,即 1kAB=4kOM
    同理可得, 1kBC=4kON1kAC=4kOP
    1k1+1k2+1k3=4(kOM+kON+kOP)=3
    故答案为:3

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