3.1.1 椭圆及其标准方程
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【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019)
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基础知识
椭圆的定义
平面内与两个定点 F1F1 ,F2F2 的距离之和等于常数 (大于 F1F2F1F2) 的点的轨迹称为椭圆.
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
如图:PP 是椭圆上一点,PF1+PF2=2a>F1F2PF1+PF2=2a>F1F2.
解释
PF1+PF2=2a>F1F2⇒PF1+PF2=2a>F1F2⇒ 点 PP 的轨迹是以 F1F1、F2F2 为焦点的椭圆;
PF1+PF2=2a=F1F2⇒PF1+PF2=2a=F1F2⇒ 点 PP 的轨迹是线段 F1F2F1F2;
PF1+PF2=2a<F1F2⇒PF1+PF2=2a<F1F2⇒ 点 PP 的轨迹是无轨迹.
【例】 点 PP 到两定点 F1(−1,0)F1(−1,0),F2(1,0)F2(1,0) 的距离之和为 44,则动点 PP 的轨迹是什么?
解析 依题意 PF1+PF2=4PF1+PF2=4 是定值,且大于两定点距离 F1F2=2F1F2=2,
由椭圆定义可知,动点 PP 的轨迹是椭圆.
椭圆的标准方程
焦点在 xx 轴上的椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0);
焦点在 yy 轴上的椭圆方程为 y2a2+x2b2=1(a>b>0)y2a2+x2b2=1(a>b>0).
解释
(1) 椭圆标准方程的证明
椭圆具有对称性,以经过椭圆两焦点的直线为 xx 轴,线段 F1F2F1F2 的中垂线为 yy 轴,建立平面直角坐标系,
设 P(x,y)P(x,y) 是椭圆上任意一点,椭圆的焦距为 2c(c>0)2c(c>0),那么焦点 F1(−c,0)F1(−c,0),F2(c,0)F2(c,0),
根据椭圆定义可得 PF1+PF2=2aPF1+PF2=2a,则 √(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2=2a√(x+c)2+y2+√(x−c)2+y2=2a,
所以 √(x+c)2+y2=2a−√(x−c)2+y2√(x+c)2+y2=2a−√(x−c)2+y2,
两边平方得 (x+c)2+y2=4a2−4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2(x+c)2+y2=4a2−4a√(x−c)2+y2+(x−c)2+y2,
整理得 a2−cx=a√(x−c)2+y2a2−cx=a√(x−c)2+y2,
两边平方得 a4−2a2cx+c2x2=a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2a4−2a2cx+c2x2=a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2,
整理得 (a2−c2)x2+a2y2=a2(a2−c2)(a2−c2)x2+a2y2=a2(a2−c2),
两边同除以 a2(a2−c2)a2(a2−c2) 得 x2a2+y2a2−c2=1x2a2+y2a2−c2=1,
即动点 PP 的轨迹椭圆对应的方程是 x2a2+y2a2−c2=1x2a2+y2a2−c2=1.
由椭圆定义可知 2a>2c>02a>2c>0,即 a>c>0a>c>0,所以 a2−c2>0a2−c2>0.
令 b2=a2−c2b2=a2−c2,(bb 为椭圆与 yy 轴交点与原点的距离)
则我们称 x2a2+y2b2=1(a>b>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0) 为椭圆的标准方程.
(焦点在 yy 轴上的椭圆类似证明)
【例】 点 PP 到两定点 F1(−1,0)F1(−1,0),F2(1,0)F2(1,0) 的距离之和为 44,求动点 PP 轨迹方程.
解析 由椭圆的定义可知,动点 PP 的轨迹是椭圆,且 2a=42a=4,c=1c=1,
即 a2=4a2=4,b2=3b2=3,则动点 PP 轨迹方程为 x24+y23=1x24+y23=1.
(2) 对于方程 x2m+y2n=1x2m+y2n=1,
当 m>0m>0,n>0n>0,且 m≠nm≠n 时,方程表示的轨迹为椭圆;(若 m=nm=n,则方程表示圆)
当 m>n>0m>n>0 时,方程表示的轨迹为焦点在 xx 轴的椭圆;
当 n>m>0n>m>0 时,方程表示的轨迹为焦点在 yy 轴的椭圆;
(由椭圆方程判断焦点的位置与 aa 的值,我们看分母 m,nm,n 的大小)
【例】 椭圆方程 x29+y23=1x29+y23=1,其焦点在 xx 轴还是 yy 轴,aa,bb,cc 的值又是多少呢?
解析 焦点在 xx 轴,且 a=3a=3, b=√3b=√3, c=√6c=√6.
焦点三角形
F1F1,F2F2 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a>b>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的焦点,点 PP 在椭圆上,且与 F1F1、F2F2 不共线,则三角形 ∆F1PF2ΔF1PF2 叫做焦点三角形.
在题目出现焦点三角形 ∆F1PF2ΔF1PF2,可想到椭圆定义 PF1+PF2=2aPF1+PF2=2a 和解三角形的相关知识.
基本方法
【题型1】椭圆的定义
【典题 1】 下列说法中正确的是 ( )
A.已知 F1(−4,0)F1(−4,0),F2(4,0)F2(4,0),到 F1F1,F2F2 两点的距离之和等于 88 的点的轨迹是椭圆
B.已知 F1(−4,0)F1(−4,0),F2(4,0)F2(4,0),到 F1F1,F2F2 两点的距离之和为 66 的点的轨迹是椭圆
C.到 F1(−4,0)F1(−4,0),F2(4,0)F2(4,0) 两点的距离之和等于点 M(5,3)M(5,3) 到 F1F1,F2F2 的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.到 F1(−4,0)F1(−4,0),F2(4,0)F2(4,0) 两点距离相等的点的轨迹是椭圆
解析 AA 中常数 8=|F1F2|8=|F1F2|,BB 中常数 6<|F1F2|6<|F1F2|,所以轨迹都不是椭圆;
可计算 CC 中常数等于 4√10>|F1F2|4√10>|F1F2|,符合椭圆定义,轨迹是椭圆;
DD 中点的轨迹应该是一条直线,故选 CC.
点拨
1. 轨迹是满足要求的所有点的集合;
2. 轨迹是椭圆,要强调 PF1+PF2PF1+PF2 是定值,且大于 F1F2F1F2.
【典题 2】已知动圆 PP 过定点 A(−3,0)A(−3,0),同时在定圆 B:(x−3)2+y2=64B:(x−3)2+y2=64 的内部与其相内切,求动圆圆心 PP 的轨迹.
解析 圆 B:(x−3)2+y2=64B:(x−3)2+y2=64 的圆心为 (3,0)(3,0),半径是 88,
设动圆 PP 与定圆 BB 内切于点 MM,则 PA+PB=PM+PB=8PA+PB=PM+PB=8,
即点 PP 的轨迹是以 AA,BB 为焦点的椭圆.
巩固练习
1. 已知命题甲:动点 PP 到两定点 AA,BB 的距离之和 |PA|+|PB|=2a|PA|+|PB|=2a,其中 aa 为大于 00 的常数;命题乙:PP 点轨迹是椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
2. 已知定点 F1F1,F2F2,且 |F1F2|=7|F1F2|=7,动点 PP 满足 |PF1|+|PF2|=7|PF1|+|PF2|=7,则动点 PP 的轨迹是 ( ).
A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段
3. 已知 BB、CC 是两个定点,|BC|=6|BC|=6,且 △ABC△ABC 的周长等于 1616,则顶点 AA 的轨迹为 _–––––.
参考答案
- 答案 BB
解析 若 PP 点轨迹是椭圆,则一定有 |PA|+|PB|=2a|PA|+|PB|=2a(a>0a>0,为常数).
所以甲是乙的必要条件.
反过来,若 |PA|+|PB|=2a|PA|+|PB|=2a(a>0a>0,为常数),
当 2a>|AB|2a>|AB| 时,PP 点轨迹是椭圆;
当 2a=|AB|2a=|AB| 时,PP 点轨迹是线段 ABAB;
当 2a<|AB|2a<|AB| 时,PP 点的轨迹不存在,所以甲不是乙的充分条件.
综上,甲是乙的必要不充分条件. - 答案 DD
解析 由于 |PF1|+|PF2|=|F1F2||PF1|+|PF2|=|F1F2|,所以动点 PP 的轨迹不是椭圆,而是线段 F1F2F1F2. - 答案 以 BB、CC 为焦点的椭圆,除去与 xx 轴的交点
解析 ∵|BC|=6∵|BC|=6,且 △ABC△ABC 的周长等于 1616,
∴AB+AC=10>BC∴AB+AC=10>BC,
故顶点 AA 的轨迹是以 BB、CC 为焦点的椭圆,除去与 xx 轴的交点.
【题型2】椭圆的标准方程
【典题 1】 已知方程 x225−m+y2m+9=1x225−m+y2m+9=1 表示焦点在 yy 轴上的椭圆,则 mm 的取值范围是 ( ).
A.−9<m<25−9<m<25 B.8<m<258<m<25 C.16<m<2516<m<25 D.m>8m>8
解析 由于椭圆的焦点在 yy 轴上,所以 {25−m>0m+9>0m+9>25−m,解得 8<m<25.
点拨 对于方程 x2m+y2n=1,
当 m>0,n>0,且 m≠n 时,方程表示的轨迹为椭圆;(若 m=n,则方程表示圆)
当 m>n>0 时,方程表示的轨迹为焦点在 x 轴的椭圆;
当 n>m>0 时,方程表示的轨迹为焦点在 y 轴的椭圆;
(由椭圆方程判断焦点的位置与 a 的值,我们看分母 m,n 的大小)
【典题 2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) 两个焦点坐标分别是 (0,5),(0,−5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26;
(2) 两个焦点坐标分别是 (−√3,0), (√3,0),椭圆经过点 (√3,12);
(3) 中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(√3,−2) 和 B(−2√3,1) 两点.
解析 (1) ∵ 焦点在 y 轴上,∴ 设其标准方程为 y2a2+x2b2=1(a>b>0).
∵2a=26,2c=10,
∴a=13,c=5. ∴b2=a2−c2=144.
∴ 所求椭圆方程为 y2169+x2144=1.
(2) 方法 1 ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上,∴ 设其标准方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0),
依题意,有 {3a2+14b2=1a2−b2=3,解得 {a2=4b2=1,
∴ 所求椭圆方程为 x24+y2=1.
方法 2 ∵ 椭圆的焦点在 x 轴上,∴ 设其标准方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0),
∵2a=√(√3+√3)2+(12−0)2+√(√3−√3)2+(12−0)2=72+12=4,
∴a=2,又 c=3. ∴b2=a2−c2=1.
∴ 所求椭圆方程为 x24+y2=1.
(3) 方法 1 ①当焦点在 x 轴上时,设椭圆的标准方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0),
依题意,有 {(√3)2a2+(−2)2b2=1(−2√3)2a2+12b2=1,解得 {a2=15b2=5,
∴ 所求椭圆的方程为 x215+y25=1.
②当焦点在 y 轴上时,设椭圆的标准方程为 y2a2+x2b2=1(a>b>0).
依题意,有 {(−2)2a2+(√3)2b2=112a2+(−2√3)2b2=1,解得 {a2=5b2=15,
∵a<b,不合题意,
∴ 所求椭圆的方程为 x215+y25=1.
方法 2 设所求椭圆方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0 且 A≠B),
依题意,得 {3A+4B=112A+B=1,解得 {A=115B=15,
∴ 所求标准方程为 x215+y25=1.
点拨 求椭圆方程常用定义法和待定系数法,要注意焦点在 x 轴还是 y 轴.
【典题 3】设 A,B 两点的坐标,分别为 (−5,0),(5,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 −49,求点 M 的轨迹方程.
解析 设点 M(x,y),因为点 A(−5,0),所以直线 AM 的斜率 kAM=yx+5(x≠−5),
同理,直线 BM 的斜率 kBM=yx−5(x≠5),
由已知有 yx+5×yx−5=−49(x≠±5),
化简,得点 M 的轨迹方程为 x225+y21009=1(x≠±5),
点 M 的轨迹是除去 (−5,0),(5,0) 两点的椭圆.
点拨 设动点 M(x,y),得到关于 x,y 的方程便可是动点轨迹方程.
巩固练习
1. 已知椭圆焦点在 x 轴上,且 a=4,c=2,则椭圆方程为 ( ).
A. x216+y24=1 B. x216+y212=1 C. x24+y212=1 D. x212+y24=1
2. 已知方程 4x2+ky2=1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围为 _.
3. 已知椭圆过点 P(35,−4) 和点 Q(−45,3),求此椭圆的标准方程.
4. 已知 A,B,C 是直线 l 上的三点,且 AB=3,BC=6,圆 O 切直线 l 于点 A,又过 B,C 作圆 O 异于直线 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨迹方程.
5. 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂线段 PD,D 为垂足,当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?
参考答案
-
答案 B
解析 依题意 a2=16,b2=a2−c2=16−4=12
又焦点在 x 轴上,所以椭圆方程为 x216+y212=1. -
答案 0<k<4
解析 椭圆方程 4x2+ky2=1 化为 x214+y21k=1,
由于椭圆的焦点在 y 轴上,则 1k>14,即 0<k<4. -
答案 x2+y225=1
解析 设所求椭圆方程为 Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),
则有 {925A+16B=11625A+9B=1,解得 {A=1B=125,
故此椭圆的标准方程为 x2+y225=1. -
答案 x236+y227=1(y≠0)
解析 设过 B、C 异于 l 的两切线分别切 ⊙O 于 D、E 两点,两切线交于 P,
由切线的性质知,|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,
故 |PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=3+9=12>6=|BC|,
故由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 B,C 为两点的椭圆,
以 l 所在直线为 x 轴,以 BC 的中点为原点,建立坐标系,
可求得动点 P 的轨迹方程为 x236+y227=1(y≠0). -
答案 椭圆
解析 设点 M(x,y),点 P(x0,y0),则点 D 的坐标为 (x0,0),
由点 M 是线段 PD 的中点,得 x=x0, y=y02,
因为点 P(x0,y0) 在圆 x2+y2=4 上,所以 x20+y20=4,
把 x0=x, y0=2y 代入方程 x20+y20=4,得 x2+4y2=4,
即 x24+y2=1,所以点 M 的轨迹是椭圆.
【题型3】椭圆的焦点三角形
【典题 1】已知 P 为椭圆 x225+4y275=1 上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,∠F1PF2=60∘,求 △F1PF2 的面积.
解析 如图所示,
在 △F1PF2 中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|cos60∘,
即 25=|PF1|2+|PF2|2−|PF1|⋅|PF2|.①
由椭圆的定义得 10=|PF1|+|PF2|,
即 100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|.②
由①②得 |PF1|⋅|PF2|=25,
所以 S△F1PF2=12|PF1|⋅|PF2|⋅sin60∘=25√34.
点拨
1. 遇到焦点三角形 △F1PF2,可想到椭圆定义 PF1+PF2=2a 和解三角形的相关知识;
2. 椭圆焦点三角形面积 S△PF1F2=b2tan∠F1PF22,直接利用这个结论本题可得 S△PF1F2=754tan30∘=25√34.
巩固练习
1. 若 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 x225+y29=1 上一点,则三角形 PF1F2 的周长等于 _ .
2. 如果椭圆 x281+y225=1 上一点 M 到此椭圆一个焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,O 是坐标原点,则 ON 的长为 _.
3. 椭圆 x29+y22=1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上.若 |PF1|=4,则 |PF2|=_ , ∠F1PF2 的大小为 _.
参考答案
-
答案 18
解析 依题意 a=5, c=√25−9=4,
所以 △PF1F2 的周长是 |PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18. -
答案 8
解析 如图,连接 ON,MF1,MF2,
由椭圆方程可得:a2=81,则 a=9,
则由椭圆定义可得 |MF1|+|MF2|=2a=18,
所以 |MF2|=18-|MF1|=18-2=16,
因为 O 是 F1F2 的中点,N 是 MF1 的中点,则由中位线可得: ON=12|MF2|=8,
故答案为:8. -
答案 120∘
解析 ∵|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF2|=6−|PF1|=2.
△F1PF2 中,cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|=16+4−282×4×2=−12,
∴∠F1PF2=120∘.
分层练习
【A组---基础题】
1. 已知椭圆 x24+y216=1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 6,则点 P 到另一个焦点的距离为 ( )
A.2 B.3 C.5 D.7
2. 点 P 在焦点为 F1(−4,0) 和 F2(4,0) 的椭圆上,若 △PF1F2 面积的最大值为 16,则椭圆标准方程为 ( )
A. x220+y24=1 B. x24+y220=1 C. x232+y216=1 D. x210+y26=1
3.F1 、F2 是椭圆 C:x225+y29=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,|PF1|=6,过 F1 作 ∠F1PF2 的角平分线的垂线,垂足为 M,则 |OM| 的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 点 M 是椭圆 x216+y29=1 上一点,F1 、F2 分别是该椭圆的左、右焦点,若 |MF1|=3|MF2|,则 △MF1F2 的面积是 ( )
A.3 B.3√3 C.6 D. 6√3
5. 已知方程 x24−k+y2k−1=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是 _.
6. 已知 B、C 是两个定点,|BC|=4,且 △ABC 的周长等于 12,则顶点 A 的轨迹方程为 _.
7. 已知 F1,F2 为椭圆 x225+y29=1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若 |F2A|+|F2B|=12,则 |AB|=_.
8. 经过两点 A(0,2)、 B(12,√3) 的椭圆的标准方程为 _.
9. 已知 椭圆的方程为 x24+y23=1,椭圆上有一点 P 满足 ∠PF1F2=90∘ (如图).求 △PF1F2 的面积.
10. 一个动圆与已知圆 Q1:(x+3)2+y2=1 外切,与圆 Q2:(x−3)2+y2=81 内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
11. 设 A,B 两点的坐标分别为 (−1,0),(1,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的积是 −2,求点 M 的轨迹方程.
参考答案
-
答案 A
解析 由椭圆定义可得 |PF1|+|PF2|=2a,又 a2=16,所以 a=4,
设 |PF1|=6,所以 |PF2|=2×4-6=2,
故选:A. -
答案 C
解析 由题意,2c=8,即 c=4,
∵△PF1F2 面积的最大值为, ∴12×2c×b=16,
即 4b=16,b=4,
∴a2=b2+c2=16+16=32.
则椭圆的标准方程为 x232+y216=1.
故选:C. -
答案 A
解析 延长 F1M 和 PF2 交于 N,
椭圆 C:x225+y29=1,可得:a=5,
由椭圆的定义可得 |PF1|+|PF2|=2a=10,
由 |PF1|=6,可得 |PF2|=4,
由等腰三角形的三线合一,可得 |PF1|=|PN|=6,
可得 |NF2|=6−4=2,
由 OM 为 △F1F2N 的中位线,可得 |OM|=12|F2N|=1.
故选:A. -
答案 B
解析 由椭圆 x216+y29=1 的方程可得 a2=16,b2=9
所以 c2=16-9=7,所以 a=4, c=√7,
由椭圆的定义可得 |MF1|+|MF2|=2a=8,再由 |MF1|=3|MF2|,
所以可得 |MF1|=6,|MF2|=2,
而 |F1F2|=2c=2√7,
由余弦定理可得: cos∠F1MF2=|MF1|2+|MF2|2−|F1F2|22|MF1|⋅|MF2|=62+22−(2√7)22×6×2=12,
所以 sin∠F1MF2=√32,
所以 S△F1MF2=12|MF1|⋅|MF2|sin∠F1MF2=12×6×2×√32=3√3,
故选:B. -
答案 (1,52)
解析 ∵ 方程 x24−k+y2k−1=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,
∴{4−k>0k−1>04−k>k−1,解得 1<k<52,
∴k 的取值范围是 (1,52). -
答案 x216+y27=1(y≠0) 或 y27+x216=1(x≠0)
解析 ∵|BC|=4,且 △ABC 的周长等于 12,
∴AB+AC=8>BC,
故顶点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆,除去与 x 轴的交点,
∴2a=8,c=3, ∴b=√7,
故顶点 A 的轨迹方程为 x216+y27=1(y≠0) 或 y27+x216=1(x≠0). -
答案 8
解析 由椭圆的定义得 |AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10
∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=20.
又 ∵|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=|AF1|+|BF1|=8. -
答案 x2+y24=1
解析 由题意,设椭圆的方程为 x2m+y2n=1,
则 {4n=114m+3n=1,解得 {m=1n=4.
∴ 椭圆的标准方程为 x2+y24=1. -
答案 32
解析 由已知得 a=2, b=√3,
所以 c=√a2−b2=√4−3=1.从而 |F1F2|=2c=2.
在 △PF1F2 中,由勾股定理可得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2,
即 |PF2|2=|PF1|2+4.
又由椭圆定义知 |PF1|+|PF2∣=2×2=4,所以 |PF2|=4−|PF1|.
从而有 (4−|PF1|)2=|PF1|2+4.解得 |PF1|=32.
所以 △PF1F2 的面积 S=12|PF1|⋅|F1F2|=12×32×2=32. -
答案 x225+y216=1
解析 由已知两定圆的圆心和半径分别为 Q1(−3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R,如图,
则由题设有 |MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.
由椭圆定义可知 M 在以 Q1、Q2 为焦点的椭圆上,且 a=5,c=3.
∴b2=a2−c2=25−9=16,
故动圆圆心的轨迹方程为 x225+y216=1. -
答案 x2+y22=1(x≠±1)
解析 设点 M(x,y),因为点 A(−1,0),所以直线 AM 的斜率 kAM=yx+1(x≠−1),
同理,直线 BM 的斜率 kBM=yx−1(x≠1),
由已知有 yx+1×yx−1=−2(x≠±1),
化简,得点 M 的轨迹方程为 x2+y22=1(x≠±1),
点 M 的轨迹是除去 (−1,0),(1,0) 两点的椭圆.
【B组---提高题】
1. 设定点 F1(0,−3)、F2(0,3) 动点 P 满足条件 |PF1|−a=9a−|PF2|(a>0),则点 P 的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段
2. 如图,已知椭圆 C 的中心为原点 O, F(−2√5,0) 为 C 的左焦点,P 为 C 上一点,满足 |OP|=|OF|,且 |PF|=4,则椭圆 C 的方程为 ( )
A. x225+y25=1 B. x230+y210=1 C. x236+y216=1 D. x245+y225=1
3. 设点 P 为椭圆 x249+y224=1 上一点,F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,G 为 △PF1F2 的重心,且 PF1⊥PF2,那么 △GPF2 的面积为 _.
参考答案
-
答案 D
解析 由题意得, |PF1|−a=9a−|PF2|(a>0),
所以 |PF1|+|PF2|=a+9a≥2√a⋅9a=6
当且仅当 a=9a 时取等号,此时 a=3,则 |PF1|+|PF2|≥6,
因为定点 F1(0,−3)、F2(0,3),所以 |F1F2|=6,
当 |PF1|+|PF2|=6 时,点 P 的轨迹是线段 F1F2;
当 |PF1|+|PF2|>6 时,点 P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点的椭圆,
故选:D. -
答案 C
解析 由题意可得 c=2√5,设右焦点为 F′,由 |OP|=|OF|=|OF′| 知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,
所以 ∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,
由 ∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180° 知,∠FPO+∠OPF′=90°,即 PF⊥PF′.
在 Rt△PFF′ 中,由勾股定理,得 |PF′|=√FF′2−PF2=√(4√5)2−42=8,
由椭圆定义,得 |PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而 a=6,得 a2=36,
于是 b2=a2−c2=36−(2√5)2=16,
所以椭圆的方程为 x236+y216=1.
故选:C. -
答案 8
解析 因为 G 为 △PF1F2 的重心,所以 S△GPF2=13S△PF1F2,,
因为 PF1⊥PF2,设 PF1=x,PF2=2a−x,
所以 (2c)2=x2+(2a−x)2,由椭圆的方程可得:a2=49,b2=24,
所以 c2=a2-b2=49-24=25,a=7,
所以方程整理可得 x2-14x+48=0,解得 x1=6,x2=8,
当 x1=6 时,PF1=6,PF2=2a-6=2×7-6=8,
则 S△PF1F2=12×6×8=24,所以 S△PGF2=13S△PF1F2=8,
同理 x2=8 时, S△PGF2=13S△PF1F2=8,
故答案为:8.
【C组---拓展题】
1. 如图,点 A 是平面 α 外一定点,过 A 作平面 α 的斜线 l,斜线 l 与平面 α 所成角为 50°.若点 P 在平面 α 内运动,并使直线 AP 与 l 所成角为 35°,则动点 P 的轨迹是 ( )
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线的一支
2. 已知点 P 在以 F1,F2 为左,右焦点的椭圆 C:x22b2+y2b2=1(b>0) 上,在 △PF1F2 中,若 ∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则 sin(α+β)sinα+sinβ=( )
A. 12 B. √22 C. √32 D. √2
3. 已知椭圆 W:x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的右焦点为 F(√3,0),且 a=2b,△ABC 的三个顶点都在椭圆 W 上,直线 AB,BC,AC 的斜率存在且均不为 0,记它们的斜率分别为 k1,k2,k3,设 AB,BC,AC 的中点分别为 M,N,P,O 为坐标原点,若直线 OM,ON,OP 的斜率之和为 34,则 1k1+1k2+1k3=_.
参考答案
-
答案 B
解析 用垂直于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;
当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.
故可知动点 P 的轨迹是椭圆的一部分.
故选:B.
-
答案 B
解析 在 △PF1F2 中,若 ∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,所以 ∠F1PF2=π−(α+β),
在 △PF1F2 中,由正弦定理得 PF1sin∠PF2F1=PF2sin∠PF1F2=F1F2sin∠F1PF2=2R,(R 为外接圆的半径)
即 PF1sinβ=PF2sinα=F1F2sin[π−(α+β)]=F1F2sin(α+β)=2R,
所以 sin(α+β)sinα+sinβ=F1F2PF1+PF2=2c2a=ca=√2b2−b2√2b2=√22, ,
故选:B. -
答案 −3
解析 由题意可得, c=√3,a=2b,所以 a=2,b=1,
∴ 椭圆 W 的标准方程为 x24+y2=1.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则 x214+y21=1, x224+y22=1,
两式作差得, (x2−x1)(x2+x1)4=−(y1+y2)(y2−y1),
∴x2−x1y2−y1=−4(y2+y1)x2+x1,即 1kAB=−4kOM.
同理可得, 1kBC=−4kON,1kAC=−4kOP,
∴1k1+1k2+1k3=−4(kOM+kON+kOP)=−3.
故答案为:−3.
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