4.5.2 用二分法求方程的近似解
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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必修第一册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
二分法的概念
对于在区间\([a ,b]\)上连续不断且\(f(a)f(b)<0\)的函数\(y=f(x)\),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
解释 求\(f(x)=x^2-x-2\),\(g(x)=2^x-1\)的零点很容易,因为我们会求其方程的解,而函数\(f(x)=x^3+x^2-1\)或\(g(x)=e^x+x-2\)的零点怎么求呢?我们求不出来会退而求其次,能否能知道零点的近似值呢?应该会想到函数零点存在性定理,没错这它就是二分法的理论基础.
【例】 下列函数中,你会用二分法求其零点的是( )
A. \(y=2x-4\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=x^2+1\) \(\qquad \qquad\) C. \(y=\log _{3}(x-1)\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=2^x+x^2-3\)
解析 \(A,C\)很容易通过解方程得到其零点,而\(B\)根本没零点,\(D\)项无法通过方程\(2^x+x^2-3=0\)求解,可用二分法求解,故选\(D\).
用二分法求方程近似解的步骤
(1) 确定区间\([a ,b]\),验证\(f(a)f(b)<0\),给定精确度\(ε\);
(2) 求区间\((a ,b)\)的中点\(c\);
(3) 计算\(f(c)\),
(i) 若\(f(c)=0\) , 则\(c\)就是函数的零点;
(ii) 若\(f(a)f(c)<0\),则令\(b=c\)(此时零点\(x_0∈(a ,c)\))
(iii) 若\(f(c)f(b)<0\),则令\(a=c\)(此时零点\(x_0∈(c ,b)\))
(4) 判断是否达到精确度\(ε\):即若\(|a-b|<ε\),则得到零点近似值为\(a\)(或\(b\));否则重复(2)~(4)
解释
(1)使用二分法的前提是函数在所选定的区间\([a ,b]\)上的图象是连续不断的,且\(f(a)f(b)<0\);
(2)所选的区间\([a ,b]\)的范围尽量小,且\(f(a),f(b)\)比较容易求;
(3)利用二分法时,满足精确度便可停止计算.
【例】 用二分法求函数\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点,其参考数据如下:
\(f(1.600 0)≈0.200\) | \(f(1.587 5)≈0.133\) | \(f(1.575 0)≈0.067\) |
---|---|---|
\(f(1.562 5)≈0.003\) | \(f(1.556 25)≈-0.029\) | \(f(1.550 0)≈-0.060\) |
据此数据,可得\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点的近似值(精确度\(0.01\))为\(\underline{\quad \quad}\).
解析:\(∵\)由参考数据知\(f(1.562 5)≈0.00 3>0\),\(f(1.556 25)≈-0.029<0\),即\(f(1.562 5)·f(1.556 25)<0\),
且\(1.562 5-1.556 25=0.006 25<0.01\),
\(∴\)函数\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点的近似值可取为\(1.562 5\).
答案:\(1.562 5\)(答案不唯一)
基本方法
用二分法求方程的近似解
【典题1】 求方程 \(\lg x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1\)的近似解(精确度\(0.1\)).
解析 如图所示,由函数\(y=\lgx\)与 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1\)的图象可知,
方程 \(\lg x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1\)有唯一实数解,且在区间\((0,1)\)内.
设 \(f(x)=\lg x-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+1\), \(f(1)=\dfrac{1}{2}>0\),用计算器计算,列表如下:
取值区间 | 中点值 | 中点函数近似值 | 区间长度 |
---|---|---|---|
\((0,1)\) | \(0.5\) | \(-0.008 1\) | \(1\) |
\((0.5,1)\) | \(0.75\) | \(0.280 5\) | \(0.5\) |
\((0.5,0.75)\) | \(0.625\) | \(0.147 5\) | \(0.25\) |
\((0.5,0.625)\) | \(0.562 5\) | \(0 .073 0\) | \(0 .125\) |
由于区间\((0.5,0.625)\)的长度为\(0.125<0.2\),此时该区间中点\(0.562 5\)与真正零点的误差不超过\(0.1\),
所以函数\(f(x)\)的零点近似值为\(0.562 5\),
即方程 \(\lg x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1\)的近似解为\(x≈0.562 5\).
【典题2】 某电脑公司生产\(A\)种型号的笔记本电脑,2008年平均每台电脑生产成本为\(5 000\)元,并以纯利润\(20\%\)标定出厂价.从2009年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2012年平均每台\(A\)种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2008年出厂价的\(80\%\),但却实现了纯利润\(50\%\)的高效益.
(1)求2012年每台电脑的生产成本;
(2)以2008年的生产成本为基数,用二分法求2008~2012年生产成本平均每年降低的百分率(精确到\(0.01\)).
解析 (1)设2012年每台电脑的生产成本为\(P\)元,
根据题意,得\(P(1+50\%)=5 000×(1+20\%)×80\%\),解得\(P=3 200\)(元).
故2012年每台电脑的生产成本为\(3 200\)元.
(2)设2008~2012年生产成本平均每年降低的百分率为\(x\),根据题意,得\(5 000(1-x)^4=3 200(0<x<1)\),
令\(f(x)=5000(1-x)^4-3200\),作出\(x\),\(f(x)\)的对应值表:
\(x\) | \(0\) | \(0.1\) | \(0.15\) | \(0.2\) | \(0.3\) | \(0.45\) |
---|---|---|---|---|---|---|
\(f(x)\) | \(1 800\) | \(80.5\) | \(-590\) | \(-1 152\) | \(-2 000\) | \(-2 742\) |
观察上表,可知\(f(0.1)·f(0.15)<0\),说明此函数在区间\((0.1,0.15)\)内有零点\(x_0\).
取区间\((0.1,0.15)\)的中点\(x_1=0.125\),可得\(f(0.125)≈-269\).
因为\(f(0.125)·f(0.1)<0\),
所以\(x_0∈(0.1,0.125)\).
再取区间\((0.1,0.125)\)的中点\(x_2=0.112 5\),可得\(f(0.112 5)≈-98\).
因为\(f(0.1)·f(0.112 5)<0\),
所以\(x_0 (0.1,0.112 5)\).
同理可得,\(x_0∈(0.1,0.10625)\), \(x_0∈(0.103125,0.10625))\),\(x_0∈(0.1046875,0.10625)\),\(x_0∈(0.10546875,0.10625)\),
由于\(|0.105 468 75-0.106 25|<0.01\),此时区间的两个端点精确到\(0.01\)的近似值都是\(0.11\),所以原方程的近似解为\(0.11\).
故2008~2012年生产成本平均每年降低的百分率为\(11\%\).
巩固练习
1.用二分法研究函数\(f(x)=x^3+3x-1\)的零点时,第一次计算\(f(0)<0,f(0.5)>0\),可得其中一个零点\(x_0∈\)\(\underline{\quad \quad}\),第二次应计算\(\underline{\quad \quad}\).以上横线上应填的内容为( )
A.\((0,0.5),f(0.25)\) \(\qquad \qquad\) B.\((0,1),f(0.25)\) \(\qquad \qquad\) C.\((0.5,1),f(0.75)\) \(\qquad \qquad\) D.\((0,0.5),f(0.125)\)
2.在用“二分法”求函数\(f(x)\)零点近似值时,若第一次所取区间为 \([-2,6]\),则第三次所取区间可能是 ( )
A. \([-2,-1]\) \(\qquad \qquad\) B.\([-1,1]\) \(\qquad \qquad\) C.\([2,4]\) \(\qquad \qquad\) D.\([5,6]\)
3.若函数\(f(x)=\log_3x+x-3\)的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下:
\(f(2)=-0.3691\) | \(f(2.5)=0.3340\) | \(f(2.25)=-0.0119\) |
---|---|---|
\(f(2.375)=0.1624\) | \(f(2.3125)=0.0756\) | \(f(2.28125)=0.0319\) |
那么方程\(\log_3x+x-3=0\)的一个近似根(精确度\(0.1\))为( )
A.\(2.1\) \(\qquad \qquad\) B.\(2.2\) \(\qquad \qquad\) C.\(2.3\)\(\qquad \qquad\) D.\(2.4\)
4.用二分法求函数\(f(x)=\ln(x+1)+x-1\)在区间\([0,1]\)上的零点,要求精确度为\(0.01\)时,所需二分区间的次数最少为( )
A.\(6\) \(\qquad \qquad\) B.\(7\) \(\qquad \qquad\) C.\(8\) \(\qquad \qquad\) D.\(9\)
5.求方程\(\lg x=3-x\)的近似解(精确到\(0.1\)).
6.某企业现有资产\(4.2\)亿,计划平均每年增长\(8\%\),问要使资产达到\(10\)亿,需几年?(列出方程,利用二分法求解,结果取整数)
7.中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”,主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在\(500~1 000\)元之间,选手开始报价:\(1 000\)元,主持人说:高了.选手紧接着报价\(900\)元,高了;\(700\)元,低了;\(880\)元,高了;\(850\)元,低了;\(851\)元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 二分法要不断地取区间的中点值进行计算,由\(f(0)<0,f(0.5)>0\)知\(x_0 (0,0.5)\),
再计算\(0\)与\(0.5\)的中点\(0.25\)处相应的函数值,以判断\(x_0\)的更准确位置. -
答案 \(C\)
解析 \(∵\)第一次所取的区间是 \([-2,6]\),
\(∴\)第二次所取的区间可能为 \([-2,2], \quad[2,6]\),
第三次所取的区间可能为 \([-2,0],[0,2],[2,4],[4,6]\).
故选:\(C\). -
答案\(C\)
解析 因为函数\(f(x)\)在定义域上时连续的,
又根据表格中数据可知\(f(2.25)<0\),\(f(2.28)>0\),
则由函数零点判定定理可知方程的一个根在\((2.25,2.28)\)上,精确后得\(2.3\),
故选:\(C\). -
答案 \(B\)
解析 根据题意,原来区间区间\([0,1]\)的长度等于\(1\),每经过二分法的一次操作,
区间长度变为原来的一半,则经过\(n\)次操作后,区间的长度为 \(\dfrac{1}{2^{n}}\) ,
若 \(\dfrac{1}{2^{n}}<0.01\),即\(n≥7\);故选:\(B\). -
答案 \(2.6\)
解析 使用计算器或计算机,最好使用几何画板软件,画出函数\(y=\lg x\)的图象,
利用数形结合的方法估算出方程的解所在的一个区间.
如图所示,由函数\(y=\lg x\)与\(y=3-x\)的图象,
可以发现,方程\(\lg x=3-x\)有唯一解,记为\(x_1\),并且这个解在区间\((2,3)\)内,
设\(f(x)=\lg x+x-3\),用计算器计算,得
\(f(2)<0\),\(f(3)>0⇒x_1∈(2,3)\),
\(f(2.5)<0,f(3)>0⇒x_2∈(2.5,3)\),
\(f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x_3∈(2.5,2.75)\),
\(f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x_4∈(2.5,2.625)\),
\(f(2.5625)<0,f(2.625)>0⇒x_5∈(2.5625,2.625)\).
因为\(2.625\)与\(2.562 5\)精确到\(0.1\)的近似值都为\(2.6\),所以原方程的近似解为\(x_5≈2.6\). -
答案 \(11\)
解析 设需要 年,由题意得:\(4.2×(1+8\%)^x=10\)
即有 \(1.08^{x}-\dfrac{10}{4.2}=0\)
令 \(f(x)=1.08^{x}-\dfrac{10}{4.2}=0\),借助计算机作出函数\(f(x)\)的图象如图所示.
\(∵\)若\(x_0∈[10,15]\)时,取区间\([10,15]\)的中点\(x_1=12.5\),计算\(f(12.5)≈0.23695915\),
\(∴f(1)⋅f(1.5)<0\),\(∴x_0∈[10,12.5]\).
再取区间\([10,12.5]\)的中点\(x_2=11.25\),
计算\(f(11.25)≈-0.003065308\),\(∴x_0∈[11.25,12.5]\).
再取区间\([11.25,12.5]\)的中点\(x_3=11.875\),计算\(f(11.875)≈0.114061144\),
\(∴x_0∈[11.25,11.875]\).
要求结果取整数.故取\(x=11\). -
解析 取价格区间\([500,1 000]\)的中点\(750\),如果主持人说低了,就再取区间\([750,1 000]\)的中点\(875\);
否则取另一个区间\([500,750]\)的中点;若遇到小数,则取整数,
照这种方案,游戏过程猜价如下:\(750,875,812,843,859,851\),经过\(6\)次可以猜中价格.
分层练习
【A组---基础题】
1.下列函数中,不能用二分法求函数零点的是( )
A.\(f(x)=2x-1\) \(\qquad \qquad\) B.\(f(x)=x^2-2x+1\) \(\qquad \qquad\) C.\(f(x)=log_2x\) \(\qquad \qquad\) D.\(f(x)=e^x-2\)
2.下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是
A. \(\qquad\) B.
\(\qquad\)C.
\(\qquad\)D.
3.用二分法求函数\(f(x)=\ln(2x+6)+2-3^x\)零点时,用计算器得到如表:
\(x\) | \(1.00\) | \(1.25\) | \(1.375\) | \(1.50\) |
---|---|---|---|---|
\(f(x)\) | \(1.0794\) | \(0.1918\) | \(-0.3604\) | \(-0.9989\) |
则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值(精确度为\(0.1\))为( )
A.\(1.125\) \(\qquad \qquad\) B.\(1.3125\) \(\qquad \qquad\) C.\(1.4375\) \(\qquad \qquad\) D.\(1.46875\)
4.[多选]某同学用二分法求函数\(f(x)=2^x+3x-7\)的零点时,计算出如下结果:\(f(1.5)=0.33\),\(f(1.25)=-0.87\),\(f(1.375)=-0.26\),\(f(1.4375)=0.02\),\(f(1.4065)=-0.13\),\(f(1.422)=-0.05\),下列说法正确的有 ( )
A.精确到\(0.1\)的近似值为\(1.375\) \(\qquad \qquad\) B.精确到\(0.01\)的近似值为\(1.4065\)
C.精确到\(0.1\)的近似值为\(1.4375\) \(\qquad \qquad\) D.精确到\(0.1\)的近似值为\(1.25\)
5.用二分法研究函数\(f(x)=x^3+3x-1\)的零点时,第一次经计算\(f(0)<0\),\(f(1)>0\),可得其中一个零点\(x_0∈(0,1)\),那么经过下一次计算可得\(x_0∈\)\(\underline{\quad \quad}\) (填区间).
6.用二分法求函数\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点,其参考数据如下:
\(f(1.600 0)≈0.200\) | \(f(1.587 5)≈0.133\) | \(f(1.575 0)≈0.067\) |
---|---|---|
\(f(1.562 5)≈0.003\) | \(f(1.556 25)≈-0.029\) | \(f(1.550 0)≈-0.060\) |
据此数据,可得\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点的近似值(精确度\(0.01\))为\(\underline{\quad \quad}\).
7.求方程\(x^3-x-1=0\)在区间\((1,1.5)\)内的一个近似解(精确度\(0.1\)).
8.求方程 \(3^{x}+\dfrac{x}{x+1}=0\)的近似解(精确度\(0.1\)).
9.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条\(10 km\)长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段地查找,困难很大.每查一个点要爬一次电线杆子,\(10 km\)长,大约有\(200\)多根电线杆子呢.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理?
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(A\).函数的值域为\(R\),可以使用二分法
\(B\).函数的值域为\([0,+∞)\),不能使用二分法.
\(C\).\(f(x)=log_2 x∈R\),可以使用二分法求解函数的零点;
\(D\).\(f(x)=e^x-2\)的值域为\((-2,+∞)\),可以使用二分法,求解函数的零点;
故选:\(B\). -
答案 \(B\)
解析 由图象可知,\(B\)中图象的零点是不变号零点,
其它图象中零点都是变号零点,故\(B\)不能用二分法求零点近似值.故选:\(B\). -
答案 \(B\)
解析 在区间\((1.00,1.50)\)之间,根据零点存在性定理有零点,
取中点\(1.25\),\((1.00,1.25)\)不满足,取\((1.25,1.50)\),
再取中点\(1.375\),\((1.25,1.375)\)满足零点存在性定理,
再取中点\((1.25+1.375)÷2=1.3125\),
故选:\(B\). -
答案 \(AC\)
解析 \(∵f(1.375)=-0.26<0\),\(f(1.4375)=0.02>0\),
\(∴\)零点在\((1.375,1.4375)\)内,
又\(1.4375-1.375=0.062<0.1\),则\(AC\)正确,\(D\)错误;
\(∵f(1.4065)=-0.13<0\),\(f(1.4375)=0.02>0\),
\(|1.4065-1.375|=0.0315>0.01\),故\(B\)错误.
故选:\(AC\). -
答案 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)
解析 \(∵\)函数\(f(x)=x^3+3x-1\),\(f(0)<0\),\(f(1)>0\),
\(\therefore f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}+3 \times \dfrac{1}{2}-1>0 \text {, }\),
\(∴\)经过下一次计算可得 \(x_{0} \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\).
故答案为 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\). -
答案 \(1.562 5\)(答案不唯一)
解析 \(∵\)由参考数据知\(f(1.562 5)≈0.00 3>0\),\(f(1.556 25)≈-0.029<0\),
即\(f(1.562 5)·f(1.556 25)<0\),且\(1.562 5-1.556 25=0.006 25<0.01\),
\(∴\)函数\(f(x)=3^x-x-4\)的一个零点的近似值可取为\(1.562 5\).
答案:\(1.562 5\)(答案不唯一) -
答案 \(1.3\)
解析 函数\(f(x)=x^3-x-1\)在区间\([1,1.5]\)内的一个零点附近曲函数值用二分法逐次计算列表如下
\(x\) | \(1\) | \(1.5\) | \(1.25\) | \(1.375\) | \(1.3125\) |
---|---|---|---|---|---|
\(f(x)\) | \(-1\) | \(0.875\) | \(-0.2969\) | \(0.2246\) | \(-0.05151\) |
由图中参考数据可得\(f(1.375)>0,f(1.3125)<0\),又因为题中要求精确到\(0.1\),
所以近似解为\(1.3\).
- 答案 \(-0.375\)
解析 原方程可化为 \(3^{x}+\dfrac{x}{x+1}=0\),即3^x=x/(x+1)-1.
在同一坐标系中,分别画出函数\(g(x)=3^x\)与 \(h(x)=\dfrac{x}{x+1}-1\)的简图,如图所示:
\(∵g(x)\)与\(h(x)\)的图象交点的横坐标位于区间\((-1,0)\)且只有一个交点,
\(∴\)原方程只有一解\(x=x_0\).
令 \(f(x)=3^{x}+\dfrac{x}{x+1}=3^{x}-\dfrac{x}{x+1}+1\),
\(∵f(0)=1-1+1=1>0\), \(f(-0.5)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}-2+1=\dfrac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}<0\),
\(∴x_0∈(-0.5,0)\).
用二分法求解,列表如下
中点值 | 中点(端点)函数值 | 取值区间 |
---|---|---|
\(f(-0.5)<0,f(0)>0\) | \((-0.5,0)\) | |
\(-0.25\) | \(f(-0.25)≈0.4265>0\) | \((-0.5,-0.25)\) |
\(-0.375\) | \(f(-0.375)≈0.0623>0\) | \((-0.5,-0.375)\) |
\(-0.4375\) | \(f(-0.4375)≈-0.1594<0\) | \((-0.4375,-0.375)\) |
\(∵|-0.375-(-0.437 5)|=0.062 5<0.1\),
\(∴\)原方程的近似解可取为\(-0.375\).
- 答案 一、两根电线杆附近
解析 先检查中间一根电线杆,则将故障的范围缩小一半,再用同样方法依次检查下去.
如图,维修工人首先从中点\(C\)查.用随身带的话机向两端测试时,发现\(AC\)段正常,断定故障在\(BC\)段,再到\(BC\)段中点\(D\),这次发现\(BD\)段正常,可见故障在\(CD\)段,再到\(CD\)段中点去查.每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,要把故障可能发生的范围缩小到\(50 m\)至\(100 m\),即一、两根电线杆附近.
【B组---提高题】
1.用二分法求函数\(f(x)=\ln(x+1)+x-1\)在区间\([0,1]\)上的零点,要求精确度为\(0.01\)时,所需二分区间的次数最少为( )
A.\(6\) \(\qquad \qquad\) B.\(7\) \(\qquad \qquad\) C.\(8\) \(\qquad \qquad\) D.\(9\)
2.设正有理数\(a_1\)是 \(\sqrt{3}\)的一个不足近似值,令 \(a_{2}=1+\dfrac{2}{1+a_{1}}\),求证:
(1) \(\sqrt{3}\)介于\(a_1\)与\(a_2\)之间;\(\qquad \qquad\) (2) \(a_2\)比\(a_1\)更接近于 \(\sqrt{3}\).
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 根据题意,原来区间区间\([0,1]\)的长度等于\(1\),每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,则经过\(n\)次操作后,区间的长度为 \(\dfrac{1}{2^{n}}\),
若 \(\dfrac{1}{2^{n}}<0.01\),即\(n≥7\);故选:\(B\). -
证明 (1) \(a_{2}-\sqrt{3}=1+\dfrac{2}{1+a_{1}}-\sqrt{3}=\dfrac{(1-\sqrt{3})\left(a_{1}-\sqrt{3}\right)}{1+a_{1}}\),
\(∵\)若 \(a_{1}>\sqrt{3}\), \(\therefore a_{1}-\sqrt{3}>0\),而 \(1-\sqrt{3}<0\),
\(\therefore a_{2}<\sqrt{3}\),
\(∵\)若 \(a_{1}<\sqrt{3}\), \(\therefore a_{1}-\sqrt{3}<0\),而 \(1-\sqrt{3}<0\),
\(\therefore a_{2}>\sqrt{3}\),
故 \(\sqrt{3}\)介于\(a_1\)与\(a_2\)之间;
(2) \(\left|a_{2}-\sqrt{3}\right|-\left|a_{1}-\sqrt{3}\right|=\dfrac{(1-\sqrt{3})\left(a_{1}-\sqrt{3}\right)}{1+a_{1}}-\left|a_{1}-\sqrt{3}\right|\)\(=\left|a_{1}-\sqrt{3}\right| \times \dfrac{\sqrt{3}-2-a_{1}}{1+a_{1}}\),
\(∵a_1>0\), \(\sqrt{3}-2<0\), \(\left|a_{1}-\sqrt{3}\right|>0\),
\(\therefore\left|a_{2}-\sqrt{3}\right|-\left|a_{1}-\sqrt{3}\right|<0\),
\(\therefore\left|a_{2}-\sqrt{3}\right|<a_{1}-\sqrt{3} \mid\),
\(∴a_2\)比\(a_1\)更接近于 \(\sqrt{3}\).
【C组---拓展题】
1.在\(12\)枚崭新的硬币中,有一枚外表与真币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最少称\(\underline{\quad \quad}\)次就可以发现假币.
2.利用二分法求 \(\sqrt[3]{3}\)的近似值(精确度\(0.1\))
参考答案
-
答案 \(3\)
解析 将\(12\)枚金币平均分成两份,放在天平上,假币在轻的那\(6\)枚金币里面,将这\(6\)枚平均分成两份,则假币一定在轻的那\(3\)枚金币里面,将这\(3\)枚金币任拿出\(2\)枚放在天平上,若平衡,则剩下的那一枚即是假币,若不平衡,则轻的那一枚即是假币.依据上述分析,最少称\(3\)次就可以发现这枚假币.故答案为:\(3\). -
答案 \(1.4\)
解析 由题意,求\(f(x)=x^3-3\)的零点即可.
因为\(f(1)=-2<0,f(2)=5>0\),所以方程\(x^3-3=0\)在区间\([1,2]\)上有实数解,
如此下去,\(f(1.5)=0.375>0\),\(f(1.25)=-1.05<0\),\(f(1.375)=-0.41<0\),\(f(1.4375)=-0.03<0\).
至此,我们得到零点在区间\((1.4375,1.5)\)内,区间长度为\(0.0625\),它小于\(0.1\).
因此,方程\(x^3-3=0\)精确度\(0.1\)近似解是\(1.4\).