4.5.1 函数的零点与方程的解

${\color {Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}$
【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
${\color {Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}$

必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

函数的零点

1 函数零点的概念
对于函数 $y=f(x)$ ，使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 叫做函数的零点.
注零点是个数，不是个点.

【例】函数 $f(x)=x-1$ 的零点是 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $∵$ 方程 $x-1=0$ 的解是 $x=1$ ， $∴$ 函数 $f(x)=x-1$ 的零点是 $1$ .

2 方程根与函数零点的关系
方程 $f(x)=0$ 有实数根 $x_0$
$⇔$ 函数 $y=f(x)$ 有零点 $x_0$
$⇔$ 函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有交点，且交点横坐标为 $x_0$ .
如方程 $2^x-4=0$ 的实数根是 $x=2$ ，
函数 $f(x)=2^x-4$ 与 $x$ 轴的交点横坐标是 $2$ ，
函数 $f(x)=2^x-4$ 的零点是 $2$ ，而不是 $(2 ,0)$ .

拓展
方程 $f(x)=g(x)$ 有实数根 $x_0⇔$ 函数 $y=f(x)$ 与函数 $y=g(x)$ 有交点，且交点横坐标为 $x_0$ .

【例】 研究方程 $x^2-2^x=0$ 的解.
解析方程 $x^2-2^x=0$ 的实数根 $⇔$ 函数 $f(x)=x^2$ 与函数 $g(x)=2^x$ 的交点横坐标，
如图较容易得到，方程 $x^2-2^x=0$ 实数根有 $3$ 个 $x_1∈(-1 ,0)$ , $x_2=2$ , $x_3=4$ .

求函数零点方法

① (代数法) 求方程 $f(x)=0$ 的实数根.
② (几何法) 利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.

函数零点存在定理

如果函数 $y=f(x)$ 在 $[a ,b]$ 上的图象是连续不断的，且 $f(a)f(b)<0$ ，那么函数 $y=f(x)$ 在 $(a ,b)$ 至少有一个零点 $c$ ，即存在 $c∈(a ,b)$ ，使得 $f(c)=0$ ，这个 $c$ 也就是方程 $f(x)=0$ 的解.

【例】研究函数 $f(x)=x^3+x^2-1$ 在 $(0,1)$ 上的零点个数.
解析 $∵y=f(x)$ 是连续函数，且 $f(0)f(1)=-1×1=-1<0$ ，
$∴$ 由函数零点存在定理可得， $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 上至少存在一个零点，
而函数 $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 又是增函数，
故函数 $f(x)=x^3+x^2-1$ 在 $(0,1)$ 上只有一个零点.

基本方法

【题型1】求(或判断)函数的零点

【典题 1】 下列函数中只有一个零点的是 (　　)
A． $y=x^{-1}$ $\qquad \qquad$ B． $y=x^2+7x+6$ $\qquad \qquad$ C． $y=2^x-1$ $\qquad \qquad$ D． $y=\lg |x|$
解析方法 1 解方程
对于 $A$ ，方程 $x^{-1}=0 \Rightarrow \dfrac{1}{x}=0$ 无解，即函数 $y=x^{-1}$ 无零点；
对于 $B$ ，方程 $x^2+7x+6=0$ ，解得 $x=-1$ 或 $－6$ ，即函数 $y=x^2+7x+6$ 有 $2$ 个零点；
对于 $C$ ，方程 $2x-1=0$ ，解得 $x=0$ ，即函数 $y=2^x-1$ 只有 $1$ 个零点；
对于 $D$ ，方程 $\lg|x|=0$ ，解得 $x=±1$ ，即函数 $y=\lg|x|$ 有 $2$ 个零点.
故选 $C$ .
方法 2 图象法
画出 $4$ 个函数的图象如下
$A$ . $\qquad \qquad$ $B$ .
$C$ . $\qquad \qquad$ $D$ .

故选 $C$ .
点拨
求函数零点方法
① 代数法：求方程 $f(x)=0$ 的实数根.
② 几何法：利用函数的图象，根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.

【典题 2】 函数 $f(x)=log_2 (x+4)-2^x$ 的零点的情况是 (　　)
A．仅有一个或 $0$ 个零点 $\qquad \qquad$ B．有两个正零点 $\qquad \qquad$ C．有一正零点和一负零点 $\qquad \qquad$ D．有两个负零点
解析函数 $f(x)=log_2 (x+4)-2^x$ 的零点的情况
等价于方程 $log_2 (x+4)-2^x=0$ 的解的情况
等价于方程 $log_2 (x+4)=2^x$ 的解的情况
等价于函数 $y=log_2⁡(x+4)$ 与 $y=2^x$ 的交点的情况，
作函数 $y=log_2⁡(x+4)$ 与 $y=2^x$ 的图象如下，

$∵$ 函数 $y=log_2⁡(x+4)$ 与 $y=2^x$ 的图象有两个交点，且在 $y$ 轴的两侧，
故选： $C$ ．
点拨
1. 方程与函数的关系
方程 $f(x)=g(x)$ 有实数根 $x_0⇔$ 函数 $y=f(x)$ 与函数 $y=g(x)$ 有交点，且交点横坐标为 $x_0$ .
2. 对于该题型，需要提高构造函数的技巧.

巩固练习

1. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1) $f(x)=\dfrac{x+3}{x}$ ； $\qquad \qquad$ (2) $f(x)=1-log_3 x$ ．

2. 下列函数中，是偶函数且不存在零点的是 (　　)
A． $y=x^2$ $\qquad \qquad$ B． $y=\sqrt{x}$ $\qquad \qquad$ C． $y=\log_2⁡x$ $\qquad \qquad$ D． $y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}$

3. 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} |\ln x|, \quad x>0 \\ -2 x(x+2), \quad x \leq 0 \end{array}\right.$ ，则函数 $y=f(x)－3$ 的零点个数是 $\underline{\quad \quad}$ .

4. 函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x-1}$ 的零点的个数是 $\underline{\quad \quad}$ .

参考答案

答案（1） $－3$ （2） $3$
解析 (1) 令 $\dfrac{x+3}{x}=0$ ，解得 $x＝－3$ ．故函数 $f(x)=\dfrac{x+3}{x}$ 的零点是 $－3$ ；
(2) 令 $1-\log_3 x＝0$ ，即 $\log_3 x＝1$ ，解得 $x＝3$ ．
故函数 $f(x)＝1-\log_3 x$ 的零点是 $3$ ．
答案 $D$
解析对于 $A$ ， $y=x^2$ 的对称轴为 $y$ 轴，故 $y=x^2$ 是偶函数，
令 $x^2=0$ 得 $x=0$ ，所以 $y=x^2$ 的零点为 $x=0$ ．不符合题意．
对于 $B$ ， $y=\sqrt{x}$ 的定义域为 $[0，+∞)$ ，不关于原点对称，
故 $y=\sqrt{x}$ 不是偶函数，不符合题意．
对于 $C$ ， $y=\log_2⁡x$ 的定义域为 $(0，+∞)$ ，不关于原点对称，
故 $y=\log_2⁡x$ 不是偶函数，不符合题意．
对于 $D$ ， $-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|-x|}=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}$ ，故 $y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}$ 是偶函数，
令 $-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}=0$ ，方程无解．即 $y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}$ 无零点．
故选： $D$ ．
答案 $2$
解析因为函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} |\ln x|, \quad x>0 \\ -2 x(x+2), \quad x \leq 0 \end{array}\right.$ ，
且 $x≤0$ 时 $f(x)=－2x(x+2)=－2(x+1)^2+2$ ；
所以 $f(x)$ 的图象如图，

由图可得： $y=f(x)$ 与 $y=3$ 只有两个交点；即函数 $y=f(x)－3$ 的零点个数是 $2$ .

答案 $2$
解析在同一坐标系中画出函数 $y=\ln ⁡x$ 与 $y=\dfrac{1}{x-1}$ 的图象如图所示，
因为函数 $y=\ln ⁡x$ 与 $y=\dfrac{1}{x-1}$ 的图象有两个交点，
所以函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x-1}$ 的零点个数为 2．

【题型2】函数零点存在定理的应用

【典题 1】 函数 $f(x)=\ln x+2x-6$ 的零点所在的区间为 (　　)
A． $(1，2)$ $\qquad \qquad$ B． $(2，3)$ $\qquad \qquad$ C． $(3，4)$ $\qquad \qquad$ D． $(4，5)$
解析 $f(1)=2-6=-4<0$ ， $f(2)=4+\ln2-6=\ln2-2<0$ ，
$f(3)=6+\ln3-=\ln3>0$ ， $f(4)=8+\ln4-6=\ln4+2>0$ ，
$∴f(2)f(3)<0$ ， $∴m$ 的所在区间为 $(2，3)$ ．
故选： $B$ ．
点拨利用函数零点存在定理求解，主要是判断函数值的正负.

【典题 2】 已知关于 $x$ 的方程 $x^2-2mx+m-3=0$ 的两个实数根 $x_1$ ， $x_2$ 满足 $x_1∈(-1,0)$ ， $x_2∈(3,+∞)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $∵$ 程 $x^2-2mx+m-3=0$ 的两个实数根 $x_1$ ， $x_2$ 可看作函数 $f(x)=x^2-2mx+m-3$ 的零点，
$∴$ 方程的根满足 $x_1∈(-1，0)$ ， $x_2∈(3，+∞)$ ，
即函数 $f(x)$ 的零点满足 $x_1∈(-1,0)$ ， $x_2∈(3,+∞)$ ，
根据零点判定定理得， $\left\{\begin{array}{l} f(-1)>0 \\ f(0)<0 \\ f(3)<0 \end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l} 1+2 m+m-3>0 \\ m-3<0 \\ 9-6 m+m-3<0 \end{array}\right.$ ，
化简得 $\left\{\begin{array}{l} m>\dfrac{2}{3} \\ m<3 \\ m>\dfrac{6}{5} \end{array}\right.$ ，解得 $\dfrac{6}{5}<m<3$ ，
$∴$ 实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{6}{5}, 3\right)$ ．
点拨这是二次函数零点的分布问题，主要是结合函数图象利用函数的零点存在定理求解.

巩固练习

1. 若函数 $f(x)$ 的图象是连续的，且函数 $f(x)$ 的唯一零点同时在区间 $(1,5)$ ， $(1,3)$ ， $(2,3)$ ， $\left(2, \dfrac{5}{2}\right)$ 内，则与 $f(1)$ 符号相同的是 (　　)
A． $f(5)$ $\qquad \qquad$ B． $f(3)$ $\qquad \qquad$ C． $f\left(\dfrac{5}{2}\right)$ $\qquad \qquad$ D． $f(2)$

2.[多选] 函数 $f(x)=x^3+3x-2$ 的一个正零点所在的区间不可能是 (　　)
A． $(3，4)$ $\qquad \qquad$ B． $(2，3)$ $\qquad \qquad$ C． $(1，2)$ $\qquad \qquad$ D． $(0，1)$

3. 若函数 $f(x)=\ln (x+1)-\dfrac{2}{x}$ 的零点在区间 $(k，k+1)(k∈z)$ 上，则 $k$ 的值为 (　　)
A． $－1$ $\qquad \qquad$ B． $1$ $\qquad \qquad$ C． $-1$ 或 $2$ $\qquad \qquad$ D． $－1$ 或 $1$

4. 已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x^2-ax+1$ 在区间 $(0，1)$ 与 $(1，2)$ 上各有一个零点，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ ．

参考答案

答案 $D$
解析因为函数 $f(x)$ 有唯一零点，且根据题意可知函数的零点在 $\left(2, \dfrac{5}{2}\right)$ 上，
又因为零点左侧的函数值同号，零点右侧的函数值同号，
所以与 $f(1)$ 符号相同的只能是 $f(2)$ ，故选： $D$ ．
答案 $ABC$
解析函数 $f(x)=x^3+3x-2$ ，把 $x=0，1，2，3，4$ 代入，
若 $f(a)\cdot f(b)<0$ ，
则零点在 $(a，b)$ ， $f(0)=-2<0$ ， $f(1)=2>0$ ， $f(2)=12>0$ ， $f(3)=34>0$ ， $f(4)=76>0$ ，
所以 $f(0)<0，f(1)>0$ ，
所以函数的零点在 $(0，1)$ ，
故选： $ABC$ ．
答案 $D$
解析 $∵f(1)=\ln2-2<0$ ， $f(2)=\ln3-1>0$ ， $∴f(1)f(2)<0$ ，
$∴$ 函数的零点在 $(1，2)$ 之间，
$∵$ 函数 $f(x)=\ln (x+1)-\dfrac{2}{x}$ 的零点在区间 $(k，k+1)(k∈z)$ 上， $∴k=1$ ，
又 $y=\ln (x+1)$ 与 $y=\dfrac{2}{x}$ 在 $(-1，0)$ 有交点， $∴k=-1$
$∴k$ 的值为 $－1$ 或 $1$ ．故选 $D$ ．
答案 $\left(2, \dfrac{5}{2}\right)$
解析 $∵$ 函数 $f(x)=x^2-ax+1$ 在区间 $(0，1)$ 与 $(1，2)$ 上各有一个零点，
$\therefore\left\{\begin{array}{l} f(0)=1>0 \\ f(1)=2-a<0 \\ f(2)=5-2 a>0 \end{array}\right.$ ，解得 $2<a<\dfrac{5}{2}$ ．
故答案为 $2<a<\dfrac{5}{2}$ ．

分层练习

【A组---基础题】

1. 设函数 $f(x)=e^x+\ln x$ ，满足 $f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)$ ，若 $f(x)$ 存在零点 $x_0$ ，则下列选项中一定错误的是 (　　)
A． $x_0∈(a，c)$ $\qquad \qquad$ B． $x_0∈(a，b)$ $\qquad \qquad$ C． $x_0∈(b，c)$ $\qquad \qquad$ D． $x_0∈(c，+∞)$

2. 下列函数既是偶函数又有零点的是 (　　)
A． $y=x^2+1$ $\qquad \qquad$ B． $y=2^{|x|}$ $\qquad \qquad$ C． $y=x^2+x$ $\qquad \qquad$ D． $y=1+lg|x|$

3. 下列函数中，在 $(－1,1)$ 内有零点且单调递增的是 (　　)
A． $y=\log _{\dfrac{1}{3}} x$ $\qquad \qquad$ B． $y=3^x-1$ $\qquad \qquad$ C． $y=x^{2}-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad$ D． $y=－x^3$

4.[多选] 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2} x^{2}-2$ ，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是 (　　)
A． $(－3,－2)$ $\qquad \qquad$ B． $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$ $\qquad \qquad$ C． $(2,3)$ $\qquad \qquad$ D． $\left(-1, \dfrac{1}{2}\right)$

5. 方程 $2^x+x-2=0$ 的解所在的区间为 (　　)
A． $(-1,0)$ $\qquad \qquad$ B． $(0,1)$ $\qquad \qquad$ C． $(1,2)$ $\qquad \qquad$ D． $(2,3)$

6. 已知函数 $f(x)=\log_2⁡x+x-b$ 的零点在区间 $[0,1]$ 上，则 $b$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ ．

7. 函数 $f(x)=|x+2|－2^x$ 在定义域内零点的个数是 $\underline{\quad \quad}$ ．

8. 若函数 $f(x)=x^2+tx+1$ 在区间 $(1，2)$ 上有一个零点，则实数 $t$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ ．

参考答案

答案 $C$
解析函数 $f(x)=e^x+\ln x$ 的定义域为 $\{x|x>0\}$ ，函数是增函数，
满足 $f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)$ ，说明 $f(a)$ ， $f(b)$ ， $f(c)$ ，有 $1$ 个是负数一定是 $f(a)$ 两个正数或 $3$ 个负数，
由函数的零点判断定理可知，函数的零点在 $(a,c)$ ，在 $(a,b)$ ，在 $(c,+∞)$ ，不可能在 $(b,c)$ ．
故选： $C$ ．
答案 $D$
解析由偶函数定义再定义内满足 $f(-x)=f(x)$ ，是偶函数的是 $A，B，D$ ；
且 $A，B$ 没有零点； $D$ 有零点 $x=\dfrac{1}{e}$ ，故选： $D$ ．
答案 $B$
解析根据题意，依次分析选项：
对于 $A$ ， $y=\log _{\frac{1}{3}} x$ ，其定义域为 $(0,+∞)$ ，在 $(－1,0)$ 上没有定义，不符合题意；
对于 $B$ ， $y=3^x－1$ ，在 $(－1,1)$ 上有零点 $x=0$ ，且在 $(－1,1)$ 为增函数，符合题意；
对于 $C$ ， $y=x^{2}-\dfrac{1}{2}$ ，为二次函数，在 $(－1,0)$ 上为减函数，不符合题意；
对于 $D$ ， $y=-x^3$ ，在 $(-1,1)$ 上为减函数，不符合题意；
故选： $B$ ．
答案 $ABD$
解析经计算 $f(-3)=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{13}{6}>0$ ， $f(-2)=-\dfrac{1}{2}+2-2=-\dfrac{1}{2}<0$ ，
$f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2+\dfrac{1}{8}-2=\dfrac{1}{8}>0$ ， $f(1)=1+\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{1}{2}<0$ ， $f(-1)=-1+\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}<0$ ，
根据零点判定定理可得区间 $(-3,-2)$ ， $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$ ， $\left(-1, \dfrac{1}{2}\right)$ 上存在零点，
故选： $ABD$ ．
答案 $B$
解析令 $f(x)=2^x+x-2$ ，由于 $f(0)=-2<0，f(1)=1>0$ ，
$∴f(0)f(1)<0$ ，根据函数零点的判定定理可得 $f(x)$ 的零点所在的区间为 $(0，1)$ ，
故方程 $2^x+x-2=0$ 的解所在的区间为 $(0，1)$ ，
故选： $B$ ．
答案 $(-∞,1]$
解析因为函数 $f(x)=\log_2⁡x+x-b$ 的零点在区间 $(0,1]$ 上是单调递增，
函数 $f(x)=\log_2⁡x+x-b$ 的零点在区间 $(0,1]$ 上， $x→0$ ， $\log_2⁡x+x→-∞$ ， $f(x)<0$ ，可得 $b∈R$
所以 $f(1)=\log_2⁡1+1-b≥0$ ，解得 $b≤1$ ．
答案 $3$
解析在同一坐标系中画出函数 $y=|x+2|$ 与 $y=2^x$ 的图象，

可以看到 $2$ 个函数的图象在第二象限有 $2$ 个交点，在第一象限有 $1$ 个交点，
所以函数 $f(x)=|x+2|－2^x$ 在定义域内有 $3$ 个零点．
答案 $\left(-\dfrac{5}{2},-2\right)$
解析函数 $f(x)=x^2+tx+1$ 在区间 $(1，2)$ 上有一个零点，
若方程 $f(x)=x^2+tx+1=0$ 的判别式为 $△=t^2-4=0$ ，可得 $t=2$ 或 $－2$ ，
当 $t=2$ 时， $f(x)=x^2+2x+1=0$ ，有零点 $x=-1$ ，不满足题意；
当 $t=-2$ 时， $f(x)=x^2-2x+1=0$ ，有零点 $x=1$ ，不满足题意；
若 $△>0$ 可得 $△=t^2-4>0$ ，可得 $t>2$ 或 $t<－2$ ，
$∴f(1)f(2)<0$ ，
可得 $(t+2)(5+2t)<0$ ，解得 $-\dfrac{5}{2}<t<-2$ ，
综上 $-\dfrac{5}{2}<t<-2$ .

【B组---提高题】

1. 已知实数 $x_0$ 是函数 $f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{6}{x}$ 的一个零点，若 $0<x_1<x_0<x_2$ ，则 (　　)
A． $f(x_1)<0，f(x_2)<0$ $\qquad \qquad$ B． $f(x_1)<0，f(x_2)>0$
C． $f(x_1)>0，f(x_2)<0$ $\qquad \qquad$ D． $f(x_1)>0，f(x_2)>0$

2. 若方程 $2ax^2-x-1=0$ 在 $(0，1)$ 内恰有一个零点，则有 (　　)
A． $a<-1$ $\qquad \qquad$ B． $a>1$ $\qquad \qquad$ C． $－1<a<1$ $\qquad \qquad$ D． $0≤a<1$

3. 方程 $3^x+4^x=5^x$ 解的情况是 (　　)
A. 有且只有一个根 $2$ $\qquad \qquad$ B. 不仅有根 $2$ 还有其他根
C. 有根 $2$ 和另一个负根 $\qquad \qquad$ D. 有根 $2$ 和另一个正根

4. 设函数 $f(x)=|\ln x|-\dfrac{1}{x+1}$ 的两个零点为 $x_1，x_2$ ，则有 (　　)
A． $x_1 x_2<1$ $\qquad \qquad$ B． $x_1 x_2=1$ $\qquad \qquad$ C． $1<x_{1} x_{2}<\sqrt{2}$ $\qquad \qquad$ D． $x_{1} x_{2} \geq \sqrt{2}$

5. 已知函数 $f(x)=3^x+x$ ， $g(x)=x^3+x$ ， $h(x)=\log_3⁡x+x$ 的零点依次为 $a，b，c$ ，则 (　　)
A． $c<b<a$ $\qquad \qquad$ B． $a<b<c$ $\qquad \qquad$ C． $c<a<b$ $\qquad \qquad$ D． $b<a<c$

6. 若方程 $2-x^2=|x-a|$ 至少有一个负数解，则实数 $a$ 的取值范围 $\underline{\quad \quad}$ ．

7. 已知函数 $y=f(x)$ 有 $9$ 个零点 $x_1,x_2,…,x_9$ ，且函数 $y=f(x)$ 满足 $f(3+x)=f(3-x)$ ，则 $x_1+x_2+⋯+x_9=$ $\underline{\quad \quad}$ ．

8. 已知 $x_1 、x_2$ 是函数 $f(x)=|\ln x|-e^{-x}$ 的两个零点，则 $x_1 x_2$ 所在区间是 $\underline{\quad \quad}$ ．

参考答案

答案 $B$
解析函数 $f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{6}{x}$ 在 $(0，+∞)$ 上递增，且 $f(x_0 )=0$ ，由图象可知，
当 $0<x_1<x_0<x_2$ 时，有 $f(x_1 )<0$ ， $f(x_2 )>0$ ，故选： $B$ ．
答案 $B$
解析 $∵$ 方程 $2ax^2-x-1=0$ 在 $(0，1)$ 内恰有一个零点，
$f(0)=-1$ ， $f(1)=2a-1-1=2a-2$ ，
$∴f(1)=2a-2>0$ ，解得 $a>1$ ．故选： $B$ ．
答案 $A$
解析方程 $3^x+4^x=5^x$ 等价为 $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}=1$
设 $f(x)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}$ ，
则函数 $f(x)$ 在 $R$ 上为减函数，
$\because f(2)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1$
$∴$ 方程 $3^x+4^x=5^x$ 有且只有一个根 $2$ ，故选 $A$ .
答案 $A$
解析由 $f(x)=|\ln x|-\dfrac{1}{x+1}$ ，得 $|\ln x|=\dfrac{1}{x+1}$ ，
作函数 $y=|\ln x|$ 与 $y=\dfrac{1}{x+1}$ 的图象如图，

不妨设 $x_1<x_2$ ，由图可知， $x_1<1<x_2$ ，则 $\ln x_{1}<0$ ，且 $\left|\ln x_{1}\right|>\left|\ln x_{2}\right|$ ，
$∴-\ln⁡x_1>\ln⁡x_2$ ，则 $\ln x_1+\ln x_2<0$ ，即 $\ln x_1 x_2<0$ ，
$∴x_1 x_2<1$ ．故选： $A$ ．
答案 $B$
解析 (1) 令 $f(x)=3^x+x=0$ ，即 $3^x+x=0$ ，化为 $3^x=-x$ ，
分别作出函数 $y=3^x，y=-x$ 的图象，
由图象可以知道函数 $f(x)$ 的零点 $a<0$ ，

(2) 对于函数 $g(x)=x^3+x=x(x^2+1)$ ，令 $g(x)=0$ ，则 $x=0$ ，
$∴b=0$ ；
(3) 令 $h(x)=\log_3⁡x+x=0$ ，则 $\log_3⁡x+x=0$ ，即 $\log_3⁡x=-x$ ，
分别作出函数 $y=\log_3⁡x，y=－x$ 的图象，

则 $c>0$ ，
综上可知： $a<b<c$ ，故选 $B$ ．
答案 $\left(-\dfrac{9}{4}, 2\right)$
解析由题意， $2-x^2≥0$ ，解得 $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$ ；
若方程 $2-x^2=|x-a|$ 至少有一个负数解，
①当 $a≤0$ 时， $x-a=2-x^2$ ， $-x+a=2-x^2$ 在 $[-\sqrt{2}, 0)$ 上有解，
故 $-\dfrac{9}{4}<a \leq 0$ ；
②当 $a>0$ 时，则 $x-a=-(2-x^2 )$ 成立，
即 $a=-x^{2}+x+2=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{9}{4}$ ；
$\because-\sqrt{2} \leq x<0$ ； $∴0<a<2$ ；
故实数 $a$ 的取值范围为 $\left(-\dfrac{9}{4}, 2\right)$ .
答案 $27$
解析 $∵$ 函数 $y=f(x)$ 满足 $f(3+x)=f(3-x)$ ，
即函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=3$ 对称
即函数 $y=f(x)$ 的零点关于直线 x $=3$ 对称
不妨令 $x_1<x_2<⋯<x_9$ ，则
即 $\dfrac{1}{2}\left(x_{1}+x_{9}\right)=3, \dfrac{1}{2}\left(x_{2}+x_{8}\right)=3, \dfrac{1}{2}\left(x_{3}+x_{7}\right)=3$ ， $\dfrac{1}{2}\left(x_{4}+x_{6}\right)=3, \dfrac{1}{2}\left(x_{5}+x_{5}\right)=3$ ,
$∴x_1+x_2+⋯+x_9=3×9=27$ .
答案 $\left(\dfrac{1}{e}, 1\right)$
解析令 $f(x)=0$ ， $\therefore|\ln x|=e^{-x}$ ；
$∴$ 函数 $f(x)$ 的零点便是上面方程的解，即是函数 $y=|\ln x|$ 和函数 $y=e^{-x}$ 的交点，
画出这两个函数图象如下：

由图看出 $0<-\ln x_1<1$ ， $-1<\ln x_1<0$ , $0<\ln x_2<1$ ；
$∴-1<\ln x_1+\ln x_2<1$ ； $∴-1<\ln x_1 x_2<1$ ；
$\therefore \dfrac{1}{e}<x_{1} x_{2}<e$ ；
由图还可看出， $-\ln x_1>\ln x_2$ ； $∴\ln x_1 x_2<0$ ， $x_1 x_2<1$ ；
$∴x_1 x_2$ 的范围是 $\left(\dfrac{1}{e}, 1\right)$ ．

【C组---拓展题】

1. 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} \left|\log _{2} x\right|, \quad x>0 \\ x^{2}+4 x+1, \quad x \leq 0 \end{array}\right.$ ，若函数 $F(x)=f(x)－b$ 有四个不同的零点 $x_1，x_2，x_3，x_4$ $(x_1<x_2<x_3<x_4)$ ，则 $\dfrac{x_{4}}{x_{3}}-\dfrac{x_{1} x_{3}^{2}+x_{2} x_{3}^{2}}{4}$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .

2. 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} -x^{2}-4 x+1, x \leq 0 \\ 2-2^{-x}, x>0 \end{array}\right.$ 若关于 $x$ 的方程 $2f^2 (x)－(2m+1)f(x)+m=0$ 恰有 $3$ 个不同的实根，则 $m$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .

3. 已知 $a，b，c∈N^*$ ，方程 $ax^2+bx+c=0$ 在区间 $(-1，0)$ 上有两个不同的实根，求 $a+b+c$ 的最小值．

参考答案

答案 $\left(2, \dfrac{17}{4}\right]$
解析作出 $f(x)$ 的函数图象如图所示：

由图象知 $x_1+x_2=－4$ ， $x_3 x_4=1$ ， $0<b≤1$ ，
解不等式 $0<－\log_2⁡x≤1$ 得： $\dfrac{1}{2} \leq x_{3}<1$ ，
$\therefore \dfrac{x_{4}}{x_{3}}-\dfrac{x_{1} x_{3}^{2}+x_{2} x_{3}^{2}}{4}=\dfrac{1}{x_{3}{ }^{2}}+x_{3}{ }^{2}$ ，
令 $t=x_3^2$ ，则 $\dfrac{1}{4} \leq t<1$ ，
令 $g(t)=t+\dfrac{1}{t}$ ，则 $g(t)$ 在 $\left[\dfrac{1}{4}, 1\right]$ 上单调递减， $g(1)=2$ ， $g\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{17}{4}$ ，
$\therefore g(1)<g(t) \leq g\left(\dfrac{1}{4}\right)$ ，即 $2<t+\dfrac{1}{t} \leq \dfrac{17}{4}$ .
答案 $[2,5)∪\{1\}$
解析由 $2f^2 (x)-(2m+1)f(x)+m=[2f(x)-1][f(x)-m]=0$ ，
得 $f(x)=\dfrac{1}{2}$ 或 $f(x)=m$ ，
作出 $y=f(x)$ 的图象，如图所示，
由图可知，方程 $f(x)=\dfrac{1}{2}$ 有 $1$ 个实根，故方程 $f(x)=m$ 有 $2$ 个实根，
故 $m$ 的取值范围为 $[2,5)∪\{1\}$ ．
答案 $11$
解析设 $x_1$ 和 $x_2$ 方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个相异根，由 $a，b，c∈N^*$ ，
两个根都在区间 $(-1，0)$ 上，
可得函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 在区间 $(-1，0)$ 上与 $x$ 轴有两个不同的交点，
故有 $f(－1)=a+c-b>0$ ，且 $f(0)=c>0$ ，且 $△=b^2-4ac>0$ ，
且 $x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a} \in(-2,0)$ ，且 $x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a} \in(0,1)$ ．
故 $c$ 的最小值为 $1$ ，故有 $\left\{\begin{array}{l} a+1>b \\ a>c=1 \\ b^{2}>4 a \end{array}\right.$ ．
当 $a=2$ 时，正整数 $b$ 不存在；当 $a=3$ 时，正整数 $b$ 不存在；
当 $a=4$ 时，正整数 $b$ 不存在；当 $a=5$ 时，存在正整数 $b=5$ ．
综上可得， $c$ 的最小值为 $1$ ， $a$ 的最小值为 $5$ ， $b$ 的最小值为 $5$ ，
故 $a+b+c$ 的最小值为 $1+5+5=11$ ．