4.5.1 函数的零点与方程的解
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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必修第一册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
函数的零点
1 函数零点的概念
对于函数\(y=f(x)\),使\(f(x)=0\)的实数\(x\)叫做函数的零点.
注 零点是个数,不是个点.
【例】函数\(f(x)=x-1\)的零点是\(\underline{\quad \quad}\).
解析 \(∵\)方程\(x-1=0\)的解是\(x=1\),\(∴\)函数\(f(x)=x-1\)的零点是\(1\).
2 方程根与函数零点的关系
方程\(f(x)=0\)有实数根\(x_0\)
\(⇔\)函数\(y=f(x)\)有零点\(x_0\)
\(⇔\)函数\(y=f(x)\)的图象与\(x\)轴有交点,且交点横坐标为\(x_0\).
如 方程\(2^x-4=0\)的实数根是\(x=2\),
函数\(f(x)=2^x-4\)与\(x\)轴的交点横坐标是\(2\),
函数\(f(x)=2^x-4\)的零点是\(2\),而不是\((2 ,0)\).
拓展
方程\(f(x)=g(x)\)有实数根\(x_0⇔\)函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)有交点,且交点横坐标为\(x_0\).
【例】 研究方程 \(x^2-2^x=0\)的解.
解析 方程 \(x^2-2^x=0\)的实数根\(⇔\)函数\(f(x)=x^2\)与函数\(g(x)=2^x\)的交点横坐标,
如图较容易得到,方程 \(x^2-2^x=0\)实数根有\(3\)个\(x_1∈(-1 ,0)\) ,\(x_2=2\) ,\(x_3=4\).
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求函数零点方法
① (代数法) 求方程\(f(x)=0\)的实数根.
② (几何法) 利用函数的图象,根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
函数零点存在定理
如果函数\(y=f(x)\)在\([a ,b]\)上的图象是连续不断的,且\(f(a)f(b)<0\),那么函数\(y=f(x)\)在\((a ,b)\)至少有一个零点\(c\),即存在\(c∈(a ,b)\),使得\(f(c)=0\),这个\(c\)也就是方程\(f(x)=0\)的解.
【例】研究函数 \(f(x)=x^3+x^2-1\)在\((0,1)\)上的零点个数.
解析 \(∵y=f(x)\)是连续函数,且\(f(0)f(1)=-1×1=-1<0\),
\(∴\)由函数零点存在定理可得,\(y=f(x)\)在\((0,1)\)上至少存在一个零点,
而函数\(y=f(x)\)在\((0,1)\)又是增函数,
故函数 \(f(x)=x^3+x^2-1\)在\((0,1)\)上只有一个零点.
基本方法
【题型1】求(或判断)函数的零点
【典题1】 下列函数中只有一个零点的是( )
A. \(y=x^{-1}\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=x^2+7x+6\) \(\qquad \qquad\) C.\(y=2^x-1\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=\lg |x|\)
解析 方法1 解方程
对于\(A\),方程 \(x^{-1}=0 \Rightarrow \dfrac{1}{x}=0\)无解,即函数 \(y=x^{-1}\)无零点;
对于\(B\),方程\(x^2+7x+6=0\),解得\(x=-1\)或\(-6\),即函数\(y=x^2+7x+6\)有\(2\)个零点;
对于\(C\),方程\(2x-1=0\),解得\(x=0\),即函数\(y=2^x-1\)只有\(1\)个零点;
对于\(D\),方程\(\lg|x|=0\),解得\(x=±1\), 即函数\(y=\lg|x|\)有\(2\)个零点.
故选\(C\).
方法2 图象法
画出\(4\)个函数的图象如下
\(A\). \(\qquad \qquad\) \(B\).
\(C\). \(\qquad \qquad\) \(D\).
故选\(C\).
点拨
求函数零点方法
① 代数法:求方程\(f(x)=0\)的实数根.
② 几何法:利用函数的图象,根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
【典题2】 函数\(f(x)=log_2 (x+4)-2^x\)的零点的情况是( )
A.仅有一个或\(0\)个零点 \(\qquad \qquad\) B.有两个正零点 \(\qquad \qquad\) C.有一正零点和一负零点 \(\qquad \qquad\) D.有两个负零点
解析 函数\(f(x)=log_2 (x+4)-2^x\)的零点的情况
等价于方程\(log_2 (x+4)-2^x=0\)的解的情况
等价于方程\(log_2 (x+4)=2^x\)的解的情况
等价于函数\(y=log_2(x+4)\)与\(y=2^x\)的交点的情况,
作函数\(y=log_2(x+4)\)与\(y=2^x\)的图象如下,
\(∵\)函数\(y=log_2(x+4)\)与\(y=2^x\)的图象有两个交点,且在\(y\)轴的两侧,
故选:\(C\).
点拨
1.方程与函数的关系
方程\(f(x)=g(x)\)有实数根\(x_0⇔\)函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)有交点,且交点横坐标为\(x_0\).
2.对于该题型,需要提高构造函数的技巧.
巩固练习
1.判断下列函 数是否存在零点,如果存在,请求出.
(1) \(f(x)=\dfrac{x+3}{x}\);\(\qquad \qquad\) (2) \(f(x)=1-log_3 x\).
2.下列函数中,是偶函数且不存在零点的是( )
A.\(y=x^2\) \(\qquad \qquad\) B. \(y=\sqrt{x}\) \(\qquad \qquad\) C.\(y=\log_2x\) \(\qquad \qquad\) D. \(y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}\)
3.已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
|\ln x|, \quad x>0 \\
-2 x(x+2), \quad x \leq 0
\end{array}\right.\),则函数\(y=f(x)-3\)的零点个数是\(\underline{\quad \quad}\) .
4.函数 \(f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x-1}\)的零点的个数是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 (1)\(-3\) (2)\(3\)
解析 (1)令\(\dfrac{x+3}{x}=0\),解得\(x=-3\).故函数 \(f(x)=\dfrac{x+3}{x}\)的零点是\(-3\);
(2)令\(1-\log_3 x=0\),即\(\log_3 x=1\),解得\(x=3\).
故函数\(f(x)=1-\log_3 x\)的零点是\(3\). - 答案 \(D\)
解析 对于\(A\),\(y=x^2\)的对称轴为\(y\)轴,故\(y=x^2\)是偶函数,
令\(x^2=0\)得\(x=0\),所以\(y=x^2\)的零点为\(x=0\).不符合题意.
对于\(B\), \(y=\sqrt{x}\)的定义域为\([0,+∞)\),不关于原点对称,
故 \(y=\sqrt{x}\)不是偶函数,不符合题意.
对于\(C\),\(y=\log_2x\)的定义域为\((0,+∞)\),不关于原点对称,
故\(y=\log_2x\)不是偶函数,不符合题意.
对于\(D\), \(-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|-x|}=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}\) ,故 \(y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}\)是偶函数,
令 \(-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}=0\),方程无解.即 \(y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}\) 无零点.
故选:\(D\). - 答案 \(2\)
解析 因为函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} |\ln x|, \quad x>0 \\ -2 x(x+2), \quad x \leq 0 \end{array}\right.\),
且\(x≤0\)时\(f(x)=-2x(x+2)=-2(x+1)^2+2\);
所以\(f(x)\)的图象如图,
由图可得:\(y=f(x)\)与\(y=3\)只有两个交点;即函数\(y=f(x)-3\)的零点个数是\(2\).
- 答案 \(2\)
解析 在同一坐标系中画出函数\(y=\ln x\)与 \(y=\dfrac{1}{x-1}\)的图象如图所示,
因为函数\(y=\ln x\)与 \(y=\dfrac{1}{x-1}\)的图象有两个交点,
所以函数 \(f(x)=\ln x-\dfrac{1}{x-1}\)的零点个数为2.
【题型2】函数零点存在定理的应用
【典题1】 函数\(f(x)=\ln x+2x-6\)的零点所在的区间为( )
A.\((1,2)\) \(\qquad \qquad\) B.\((2,3)\) \(\qquad \qquad\) C.\((3,4)\) \(\qquad \qquad\) D.\((4,5)\)
解析 \(f(1)=2-6=-4<0\),\(f(2)=4+\ln2-6=\ln2-2<0\),
\(f(3)=6+\ln3-=\ln3>0\),\(f(4)=8+\ln4-6=\ln4+2>0\),
\(∴f(2)f(3)<0\),\(∴m\)的所在区间为\((2,3)\).
故选:\(B\).
点拨 利用函数零点存在定理求解,主要是判断函数值的正负.
【典题2】 已知关于\(x\)的方程\(x^2-2mx+m-3=0\)的两个实数根\(x_1\),\(x_2\)满足\(x_1∈(-1,0)\),\(x_2∈(3,+∞)\),则实数\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 \(∵\)程\(x^2-2mx+m-3=0\)的两个实数根\(x_1\),\(x_2\)可看作函数\(f(x)=x^2-2mx+m-3\)的零点,
\(∴\)方程的根满足\(x_1∈(-1,0)\),\(x_2∈(3,+∞)\),
即函数\(f(x)\)的零点满足\(x_1∈(-1,0)\),\(x_2∈(3,+∞)\),
根据零点判定定理得, \(\left\{\begin{array}{l}
f(-1)>0 \\
f(0)<0 \\
f(3)<0
\end{array}\right.\),即 \(\left\{\begin{array}{l}
1+2 m+m-3>0 \\
m-3<0 \\
9-6 m+m-3<0
\end{array}\right.\),
化简得 \(\left\{\begin{array}{l}
m>\dfrac{2}{3} \\
m<3 \\
m>\dfrac{6}{5}
\end{array}\right.\),解得 \(\dfrac{6}{5}<m<3\),
\(∴\)实数\(a\)的取值范围是 \(\left(\dfrac{6}{5}, 3\right)\).
点拨 这是二次函数零点的分布问题,主要是结合函数图象利用函数的零点存在定理求解.
巩固练习
1.若函数\(f(x)\)的图象是连续的,且函数\(f(x)\)的唯一零点同时在区间\((1,5)\),\((1,3)\),\((2,3)\), \(\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)内,则与\(f(1)\)符号相同的是( )
A.\(f(5)\) \(\qquad \qquad\) B.\(f(3)\) \(\qquad \qquad\) C. \(f\left(\dfrac{5}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) D.\(f(2)\)
2.[多选]函数\(f(x)=x^3+3x-2\)的一个正零点所在的区间不可能是( )
A.\((3,4)\) \(\qquad \qquad\) B.\((2,3)\) \(\qquad \qquad\)C.\((1,2)\) \(\qquad \qquad\) D.\((0,1)\)
3.若函数 \(f(x)=\ln (x+1)-\dfrac{2}{x}\)的零点在区间\((k,k+1)(k∈z)\)上,则\(k\)的值为( )
A.\(-1\) \(\qquad \qquad\) B.\(1\) \(\qquad \qquad\) C.\(-1\)或\(2\)\(\qquad \qquad\) D.\(-1\)或\(1\)
4.已知\(a\)是实数,函数\(f(x)=x^2-ax+1\)在区间\((0,1)\)与\((1,2)\)上各有一个零点,则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 因为函数\(f(x)\)有唯一零点,且根据题意可知函数的零点在 \(\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)上,
又因为零点左侧的函数值同号,零点右侧的函数值同号,
所以与\(f(1)\)符号相同的只能是\(f(2)\),故选:\(D\). - 答案 \(ABC\)
解析 函数\(f(x)=x^3+3x-2\),把\(x=0,1,2,3,4\)代入,
若\(f(a)\cdot f(b)<0\),
则零点在\((a,b)\),\(f(0)=-2<0\),\(f(1)=2>0\),\(f(2)=12>0\),\(f(3)=34>0\),\(f(4)=76>0\),
所以\(f(0)<0,f(1)>0\),
所以函数的零点在\((0,1)\),
故选:\(ABC\). - 答案 \(D\)
解析 \(∵f(1)=\ln2-2<0\),\(f(2)=\ln3-1>0\),\(∴f(1)f(2)<0\),
\(∴\)函数的零点在\((1,2)\)之间,
\(∵\)函数 \(f(x)=\ln (x+1)-\dfrac{2}{x}\)的零点在区间\((k,k+1)(k∈z)\)上,\(∴k=1\),
又 \(y=\ln (x+1)\)与 \(y=\dfrac{2}{x}\)在\((-1,0)\)有交点,\(∴k=-1\)
\(∴k\)的值为\(-1\)或\(1\).故选\(D\). - 答案 \(\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)
解析 \(∵\)函数\(f(x)=x^2-ax+1\)在区间\((0,1)\)与\((1,2)\)上各有一个零点,
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} f(0)=1>0 \\ f(1)=2-a<0 \\ f(2)=5-2 a>0 \end{array}\right.\),解得 \(2<a<\dfrac{5}{2}\).
故答案为 \(2<a<\dfrac{5}{2}\).
分层练习
【A组---基础题】
1.设函数\(f(x)=e^x+\ln x\),满足\(f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)\),若\(f(x)\)存在零点\(x_0\),则下列选项中一定错误的是( )
A.\(x_0∈(a,c)\) \(\qquad \qquad\) B.\(x_0∈(a,b)\) \(\qquad \qquad\) C.\(x_0∈(b,c)\) \(\qquad \qquad\) D.\(x_0∈(c,+∞)\)
2.下列函数既是偶函数又有零点的是( )
A.\(y=x^2+1\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=2^{|x|}\) \(\qquad \qquad\) C.\(y=x^2+x\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=1+lg|x|\)
3.下列函数中,在\((-1,1)\)内有零点且单调递增的是( )
A. \(y=\log _{\dfrac{1}{3}} x\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=3^x-1\) \(\qquad \qquad\) C. \(y=x^{2}-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=-x^3\)
4.[多选]已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2} x^{2}-2\),利用零点存在性法则确定各零点所在的范围.下列区间中存在零点的是( )
A.\((-3,-2)\) \(\qquad \qquad\) B. \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\) \(\qquad \qquad\) C.\((2,3)\) \(\qquad \qquad\) D. \(\left(-1, \dfrac{1}{2}\right)\)
5.方程\(2^x+x-2=0\)的解所在的区间为( )
A.\((-1,0)\) \(\qquad \qquad\) B.\((0,1)\) \(\qquad \qquad\) C.\((1,2)\) \(\qquad \qquad\) D.\((2,3)\)
6.已知函数\(f(x)=\log_2x+x-b\)的零点在区间\([0,1]\)上,则\(b\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\).
7.函数\(f(x)=|x+2|-2^x\)在定义域内零点的个数是\(\underline{\quad \quad}\).
8.若函数\(f(x)=x^2+tx+1\)在区间\((1,2)\)上有一个零点,则实数\(t\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 函数 \(f(x)=e^x+\ln x\)的定义域为\(\{x|x>0\}\),函数是增函数,
满足\(f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)\),说明\(f(a)\),\(f(b)\),\(f(c)\),有\(1\)个是负数一定是\(f(a)\)两个正数或\(3\)个负数,
由函数的零点判断定理可知,函数的零点在\((a,c)\),在\((a,b)\),在\((c,+∞)\),不可能在\((b,c)\).
故选:\(C\). -
答案 \(D\)
解析 由偶函数定义再定义内满足\(f(-x)=f(x)\),是偶函数的是\(A,B,D\);
且\(A,B\)没有零点;\(D\)有零点 \(x=\dfrac{1}{e}\),故选:\(D\). -
答案 \(B\)
解析 根据题意,依次分析选项:
对于\(A\), \(y=\log _{\frac{1}{3}} x\),其定义域为\((0,+∞)\),在\((-1,0)\)上没有定义,不符合题意;
对于\(B\),\(y=3^x-1\),在\((-1,1)\)上有零点\(x=0\),且在\((-1,1)\)为增函数,符合题意;
对于\(C\), \(y=x^{2}-\dfrac{1}{2}\),为二次函数,在\((-1,0)\)上为减函数,不符合题意;
对于\(D\),\(y=-x^3\),在\((-1,1)\)上为减函数,不符合题意;
故选:\(B\). -
答案 \(ABD\)
解析 经计算 \(f(-3)=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{13}{6}>0\), \(f(-2)=-\dfrac{1}{2}+2-2=-\dfrac{1}{2}<0\),
\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=2+\dfrac{1}{8}-2=\dfrac{1}{8}>0\), \(f(1)=1+\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{1}{2}<0\), \(f(-1)=-1+\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}<0\),
根据零点判定定理可得区间\((-3,-2)\), \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\), \(\left(-1, \dfrac{1}{2}\right)\)上存在零点,
故选:\(ABD\). -
答案 \(B\)
解析 令\(f(x)=2^x+x-2\),由于\(f(0)=-2<0,f(1)=1>0\),
\(∴f(0)f(1)<0\),根据函数零点的判定定理可得\(f(x)\)的零点所在的区间为\((0,1)\),
故方程\(2^x+x-2=0\)的解所在的区间为\((0,1)\),
故选:\(B\). -
答案 \((-∞,1]\)
解析 因为函数\(f(x)=\log_2x+x-b\)的零点在区间\((0,1]\)上是单调递增,
函数\(f(x)=\log_2x+x-b\)的零点在区间\((0,1]\)上,\(x→0\),\(\log_2x+x→-∞\),\(f(x)<0\),可得\(b∈R\)
所以\(f(1)=\log_21+1-b≥0\),解得\(b≤1\). -
答案 \(3\)
解析 在同一坐标系中画出函数\(y=|x+2|\)与\(y=2^x\)的图象,
可以看到\(2\)个函数的图象在第二象限有\(2\)个交点,在第一象限有\(1\)个交点,
所以函数 \(f(x)=|x+2|-2^x\)在定义域内有\(3\)个零点. -
答案 \(\left(-\dfrac{5}{2},-2\right)\)
解析 函数\(f(x)=x^2+tx+1\)在区间\((1,2)\)上有一个零点,
若方程\(f(x)=x^2+tx+1=0\)的判别式为\(△=t^2-4=0\),可得\(t=2\)或\(-2\),
当\(t=2\)时,\(f(x)=x^2+2x+1=0\),有零点\(x=-1\),不满足题意;
当\(t=-2\)时,\(f(x)=x^2-2x+1=0\),有零点\(x=1\),不满足题意;
若\(△>0\)可得\(△=t^2-4>0\),可得\(t>2\)或\(t<-2\),
\(∴f(1)f(2)<0\),
可得\((t+2)(5+2t)<0\),解得 \(-\dfrac{5}{2}<t<-2\),
综上 \(-\dfrac{5}{2}<t<-2\).
【B组---提高题】
1.已知实数\(x_0\)是函数 \(f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{6}{x}\)的一个零点,若\(0<x_1<x_0<x_2\),则( )
A.\(f(x_1)<0,f(x_2)<0\) \(\qquad \qquad\) B.\(f(x_1)<0,f(x_2)>0\)
C.\(f(x_1)>0,f(x_2)<0\) \(\qquad \qquad\) D.\(f(x_1)>0,f(x_2)>0\)
2.若方程\(2ax^2-x-1=0\)在\((0,1)\)内恰有一个零点,则有( )
A.\(a<-1\) \(\qquad \qquad\) B.\(a>1\) \(\qquad \qquad\) C.\(-1<a<1\) \(\qquad \qquad\) D.\(0≤a<1\)
3.方程 \(3^x+4^x=5^x\)解的情况是( )
A.有且只有一个根\(2\) \(\qquad \qquad\) B.不仅有根\(2\)还有其他根
C.有根\(2\)和另一个负根 \(\qquad \qquad\) D.有根\(2\)和另一个正根
4.设函数 \(f(x)=|\ln x|-\dfrac{1}{x+1}\)的两个零点为\(x_1,x_2\),则有( )
A.\(x_1 x_2<1\) \(\qquad \qquad\) B.\(x_1 x_2=1\) \(\qquad \qquad\) C. \(1<x_{1} x_{2}<\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) D. \(x_{1} x_{2} \geq \sqrt{2}\)
5.已知函数\(f(x)=3^x+x\),\(g(x)=x^3+x\),\(h(x)=\log_3x+x\)的零点依次为\(a,b,c\),则( )
A.\(c<b<a\) \(\qquad \qquad\) B.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C.\(c<a<b\) \(\qquad \qquad\) D.\(b<a<c\)
6.若方程\(2-x^2=|x-a|\)至少有一个负数解,则实数\(a\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\).
7.已知函数\(y=f(x)\)有\(9\)个零点\(x_1,x_2,…,x_9\),且函数\(y=f(x)\)满足\(f(3+x)=f(3-x)\),则\(x_1+x_2+⋯+x_9=\)\(\underline{\quad \quad}\).
8.已知\(x_1 、x_2\)是函数 \(f(x)=|\ln x|-e^{-x}\)的两个零点,则\(x_1 x_2\)所在区间是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 函数 \(f(x)=\sqrt{x}-\dfrac{6}{x}\)在\((0,+∞)\)上递增,且\(f(x_0 )=0\),由图象可知,
当\(0<x_1<x_0<x_2\)时,有\(f(x_1 )<0\),\(f(x_2 )>0\),故选:\(B\). -
答案 \(B\)
解析 \(∵\)方程\(2ax^2-x-1=0\)在\((0,1)\)内恰有一个零点,
\(f(0)=-1\),\(f(1)=2a-1-1=2a-2\),
\(∴f(1)=2a-2>0\),解得\(a>1\).故选:\(B\). -
答案 \(A\)
解析 方程 \(3^x+4^x=5^x\)等价为 \(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}=1\)
设 \(f(x)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}\),
则函数\(f(x)\)在\(R\)上为减函数,
\(\because f(2)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1\)
\(∴\)方程 \(3^x+4^x=5^x\)有且只有一个根\(2\),故选\(A\). -
答案 \(A\)
解析 由 \(f(x)=|\ln x|-\dfrac{1}{x+1}\),得 \(|\ln x|=\dfrac{1}{x+1}\),
作函数 \(y=|\ln x|\)与 \(y=\dfrac{1}{x+1}\)的图象如图,
不妨设\(x_1<x_2\),由图可知,\(x_1<1<x_2\),则 \(\ln x_{1}<0\),且 \(\left|\ln x_{1}\right|>\left|\ln x_{2}\right|\),
\(∴-\lnx_1>\lnx_2\),则\(\ln x_1+\ln x_2<0\),即\(\ln x_1 x_2<0\),
\(∴x_1 x_2<1\).故选:\(A\). -
答案 \(B\)
解析 (1)令 \(f(x)=3^x+x=0\),即 \(3^x+x=0\),化为\(3^x=-x\),
分别作出函数\(y=3^x,y=-x\)的图象,
由图象可以知道函数\(f(x)\)的零点\(a<0\),
(2)对于函数 \(g(x)=x^3+x=x(x^2+1)\),令\(g(x)=0\),则\(x=0\),
\(∴b=0\);
(3)令\(h(x)=\log_3x+x=0\),则\(\log_3x+x=0\),即\(\log_3x=-x\),
分别作出函数\(y=\log_3x,y=-x\)的图象,
则\(c>0\),
综上可知:\(a<b<c\),故选\(B\). -
答案 \(\left(-\dfrac{9}{4}, 2\right)\)
解析 由题意,\(2-x^2≥0\),解得 \(-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}\);
若方程\(2-x^2=|x-a|\)至少有一个负数解,
①当\(a≤0\)时,\(x-a=2-x^2\),\(-x+a=2-x^2\)在 \([-\sqrt{2}, 0)\)上有解,
故 \(-\dfrac{9}{4}<a \leq 0\);
②当\(a>0\)时,则\(x-a=-(2-x^2 )\)成立,
即 \(a=-x^{2}+x+2=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{9}{4}\);
\(\because-\sqrt{2} \leq x<0\);\(∴0<a<2\);
故实数\(a\)的取值范围为 \(\left(-\dfrac{9}{4}, 2\right)\). -
答案 \(27\)
解析 \(∵\)函数\(y=f(x)\)满足\(f(3+x)=f(3-x)\),
即函数\(y=f(x)\)的图象关于直线\(x=3\)对称
即函数\(y=f(x)\)的零点关于直线x\(=3\)对称
不妨令\(x_1<x_2<⋯<x_9\),则
即 \(\dfrac{1}{2}\left(x_{1}+x_{9}\right)=3, \dfrac{1}{2}\left(x_{2}+x_{8}\right)=3, \dfrac{1}{2}\left(x_{3}+x_{7}\right)=3\),\(\dfrac{1}{2}\left(x_{4}+x_{6}\right)=3, \dfrac{1}{2}\left(x_{5}+x_{5}\right)=3\),
\(∴x_1+x_2+⋯+x_9=3×9=27\). -
答案 \(\left(\dfrac{1}{e}, 1\right)\)
解析 令\(f(x)=0\), \(\therefore|\ln x|=e^{-x}\);
\(∴\)函数\(f(x)\)的零点便是上面方程的解,即是函数\(y=|\ln x|\)和函数 \(y=e^{-x}\)的交点,
画出这两个函数图象如下:
由图看出\(0<-\ln x_1<1\),\(-1<\ln x_1<0\),\(0<\ln x_2<1\);
\(∴-1<\ln x_1+\ln x_2<1\);\(∴-1<\ln x_1 x_2<1\);
\(\therefore \dfrac{1}{e}<x_{1} x_{2}<e\);
由图还可看出,\(-\ln x_1>\ln x_2\);\(∴\ln x_1 x_2<0\),\(x_1 x_2<1\);
\(∴x_1 x_2\)的范围是 \(\left(\dfrac{1}{e}, 1\right)\).
【C组---拓展题】
1.已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\left|\log _{2} x\right|, \quad x>0 \\
x^{2}+4 x+1, \quad x \leq 0
\end{array}\right.\),若函数\(F(x)=f(x)-b\)有四个不同的零点\(x_1,x_2,x_3,x_4\)\((x_1<x_2<x_3<x_4)\),则 \(\dfrac{x_{4}}{x_{3}}-\dfrac{x_{1} x_{3}^{2}+x_{2} x_{3}^{2}}{4}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
2.已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
-x^{2}-4 x+1, x \leq 0 \\
2-2^{-x}, x>0
\end{array}\right.\)若关于\(x\)的方程\(2f^2 (x)-(2m+1)f(x)+m=0\)恰有\(3\)个不同的实根,则\(m\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.已知\(a,b,c∈N^*\),方程\(ax^2+bx+c=0\)在区间\((-1,0)\)上有两个不同的实根,求\(a+b+c\)的最小值.
参考答案
-
答案 \(\left(2, \dfrac{17}{4}\right]\)
解析 作出\(f(x)\)的函数图象如图所示:
由图象知 \(x_1+x_2=-4\),\(x_3 x_4=1\),\(0<b≤1\),
解不等式\(0<-\log_2x≤1\)得: \(\dfrac{1}{2} \leq x_{3}<1\),
\(\therefore \dfrac{x_{4}}{x_{3}}-\dfrac{x_{1} x_{3}^{2}+x_{2} x_{3}^{2}}{4}=\dfrac{1}{x_{3}{ }^{2}}+x_{3}{ }^{2}\),
令\(t=x_3^2\),则 \(\dfrac{1}{4} \leq t<1\),
令 \(g(t)=t+\dfrac{1}{t}\),则\(g(t)\)在 \(\left[\dfrac{1}{4}, 1\right]\)上单调递减,\(g(1)=2\), \(g\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{17}{4}\),
\(\therefore g(1)<g(t) \leq g\left(\dfrac{1}{4}\right)\),即 \(2<t+\dfrac{1}{t} \leq \dfrac{17}{4}\). -
答案 \([2,5)∪\{1\}\)
解析 由\(2f^2 (x)-(2m+1)f(x)+m=[2f(x)-1][f(x)-m]=0\) ,
得 \(f(x)=\dfrac{1}{2}\)或\(f(x)=m\),
作出\(y=f(x)\)的图象,如图所示,
由图可知,方程 \(f(x)=\dfrac{1}{2}\)有\(1\)个实根,故方程\(f(x)=m\)有\(2\)个实根,
故\(m\)的取值范围为\([2,5)∪\{1\}\).
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答案 \(11\)
解析 设\(x_1\)和\(x_2\)方程 \(ax^2+bx+c=0\)有两个相异根,由 \(a,b,c∈N^*\),
两个根都在区间\((-1,0)\)上,
可得函数\(f(x)=ax^2+bx+c\)在区间\((-1,0)\)上与\(x\)轴有两个不同的交点,
故有\(f(-1)=a+c-b>0\),且\(f(0)=c>0\),且\(△=b^2-4ac>0\),
且 \(x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a} \in(-2,0)\),且 \(x_{1} \cdot x_{2}=\dfrac{c}{a} \in(0,1)\).
故\(c\)的最小值为\(1\),故有 \(\left\{\begin{array}{l} a+1>b \\ a>c=1 \\ b^{2}>4 a \end{array}\right.\).
当\(a=2\)时,正整数\(b\)不存在;当\(a=3\)时,正整数\(b\)不存在;
当\(a=4\)时,正整数\(b\)不存在;当\(a=5\)时,存在正整数\(b=5\).
综上可得,\(c\)的最小值为\(1\),\(a\)的最小值为\(5\),\(b\)的最小值为\(5\),
故\(a+b+c\)的最小值为\(1+5+5=11\).