4.3 对数
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
对数的概念
1 概念
一般地，如果\(a^x=N(a>0 ,\)且\(a≠1)\)，那么数\(x\)叫做以\(a\)为底\(N\)的对数，记作\(x=log_a N\).
(\(a\)底数， \(N\)真数， \(log_a N\)对数)
解释 对数\(log_a N\)中对底数\(a\)的限制与指数函数\(y=a^x\)中对\(a\)的限制一样.
2 两个重要对数
常用对数以\(10\)为底的对数，\(log_{10}N\)记为\(lgN\)；
自然对数以无理数\(e\)为底的对数的对数，\(log_e N\)记为\(ln N\)．
3 对数式与指数式的互化
\(x=log_a N ⟺ a^x=N\)
对数式 指数式
如 \(4^3=64⇔log_4 64=3\)；\(log_5 25=2⇔5^2=25\).
4 结论
① 负数和零没有对数
② \(log_a a=1\)，\(log_a 1=0\).
特别地，\(lg10=1\)，\(lg1=0\)，\(lne=1\)，\(ln1=0\).
解释 \(∵a^x=N>0\)， \(∴log_aN\)中\(N>0\)，如 \(\log _{2}(-3)\)没意义；
由对数式与指数式的互化得\(a^1=a⇒log_a a=1\)， \(a^0=1⇒log_a 1=0\).
对数的运算性质
1 如果\(a>0\)，\(a ≠ 1\)， \(M>0\)，\(N>0\) , 有
① \(\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N\)
② \(\log _{a} \dfrac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\)
③ \(\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M(n \in R)\)
④ \(a^{\log _{a} M}=M\)
(每条等式均可证明)
比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系
| 指数 | 对数 |
|---|---|
| \(a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}\) | \(\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N\) |
| \(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}\) | \(\log _{a} \dfrac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N\) |
| \(\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}\) | \(\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M(n \in R)\) |
特别注意 \(\log _{a} M N \neq \log _{a} M \cdot \log _{a} N\)， \(\log _{a}(M \pm N) \neq \log _{a} M \pm \log _{a} N\).
【例1】证明 \(\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N\).
证明 设\(x=\log _{a} M\)，\(y=\log _{a} N\)，则\(a^x=M\)，\(a^y=N\)，
\(\therefore M N=a^{x} a^{y}=a^{x+y}\)， \(\therefore \log _{a}(M N)=x+y=\log _{a} M+\log _{a} N\).
【例2】计算
(1) \(2 \log _{12} 2+\log _{12} 3\)；\(\qquad\) (2) \(\lg 600-\lg 6\)；\(\qquad\) (3) 已知\(\lg2=0.3\)，\(\lg3=0.48\)，求 \(\lg \sqrt{45}\)．
解析 (1) \(2 \log _{12} 2+\log _{12} 3=\log _{12} 2^{2}+\log _{12} 3\)\(=\log _{12} 4+\log _{12} 3=\log _{12} 12=1\)；
(2) \(\lg 600-\lg 6=\lg 100=2\)；
(3) \(\lg \sqrt{45}=\lg 45^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2} \lg 45=\dfrac{1}{2} \lg (5 \times 9)=\dfrac{1}{2}(\lg 5+\lg 9)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\lg \dfrac{10}{2}+\lg 3^{2}\right)=\dfrac{1}{2}(1-\lg 2+2 \lg 3)=0.83\).
换底公式
(1)公式
\(\log _{a} b=\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}(a>0, a \neq 1, c>0, c \neq 1, b>0)\)
(2)公式推导
设 \(\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}=x\)，则\(\log_cb=x\log_ca=\log_ca^x\)，
\(∴b=a^x\)，\(∴x=\log_ab\)， \(\therefore \dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}=\log _{a} b\).
(3)推论
① \(\log _{a} b=\dfrac{1}{\log _{b} a}\) \(\qquad\) ② \(\log_a b⋅ \log_b c=\log_a c\) \(\qquad\) ③ \(\log _{a^{m}} b^{n}=\dfrac{n}{m} \log _{a} b\)
证明 ① \(\log _{a} b=\dfrac{\log _{b} b}{\log _{b} a}=\dfrac{1}{\log _{b} a}\)；
② \(\log _{a} b \cdot \log _{b} c=\dfrac{\lg b}{\lg a} \cdot \dfrac{\lg c}{\lg b}=\dfrac{\lg c}{\lg a}=\log _{a} c\)；
③ \(\log _{a} m b^{n}=\dfrac{\log _{a} b^{n}}{\log _{a} a^{m}}=\dfrac{n \log _{a} b}{m}=\dfrac{n}{m} \log _{a} b\).
【例】求 \(\dfrac{\log _{8} 9}{\log _{2} 3}\) 的值.
解析 \(\dfrac{\log _{8} 9}{\log _{2} 3}=\dfrac{\dfrac{\lg 9}{\lg 8}}{\dfrac{\lg 3}{\lg 2}}=\dfrac{2 \lg 3}{3 \lg 2} \cdot \dfrac{\lg 2}{\lg 3}=\dfrac{2}{3}\).
基本方法
【题型1】对数式与指数式的互换
【典题1】 求下列各式中\(x\)的值：
(1) \(\log_2(\log_5x )=0\)； \(\qquad \qquad\) (2) \(\log _{x} 27=\dfrac{3}{4}\)．
解析 (1) \(∵\log_2(\log_5x )=0\)，\(∴\log_5 x=2^0=1\)．\(∴x=5^1=5\)．
(2) \(∵\log _{x} 27=\dfrac{3}{4}\)， \(\therefore x^{\frac{3}{4}}=27\)， \(\therefore x=(27)^{\frac{4}{3}}=3^{4}=81\)．
点拨 利用对数式与指数式的互换求值.
巩固练习
1.完成下表指数式与对数式的转换．
| 题号 | 指数式 | 对数式 |
|---|---|---|
| (1) | \(10^3=1 000\) | |
| (2) | \(\log_210=x\) | |
| (3) | \(e^3=x\) |
2.求下列各式中\(x\)的值：
(1) \(\log _{3}(\lg x)=1\)；\(\qquad \qquad\) (2)\(x=\log_8 4\)．
参考答案
-
答案 (1) \(\lg1000=3\) (2)\(2^x=10\) (3) \(lnx=3\)．
解析 (1) \(10^3=1000⇔\lg1000=3\)．
(2) \(\log_210=x⇔2^x=10\)．
(3) \(e^3=x⇔lnx=3\)． -
答案 (1)\(1000\) (2) \(\dfrac{2}{3}\)
解析 (1) \(∵\log_3(\lgx)=1\),\(∴\lgx=3^1=3\)，\(∴x=10^3=1000\)．
(2) \(∵x=\log_8 4\),\(∴8^x=4\)，\(∴2^3x=2^2\)，\(∴3x=2\),即 \(x=\dfrac{2}{3}\)．
【题型2】对数的化简、求值问题
【典题1】化简求值
(1) \(4 \lg 2+3 \lg 5-\lg \dfrac{1}{5}\)；
(2) \(2 \log _{3} 2-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-5^{\log _{5} 3}\)；
(3) \(\dfrac{\log _{5} \sqrt{2} \cdot \log _{49} 81}{\log _{25} \dfrac{1}{3} \cdot \log _{7} \sqrt[3]{4}}\)．
解析
(1) \(4 \lg 2+3 \lg 5-\lg \dfrac{1}{5}\) (观察式子对数以\(10\)为底，利用 \(n \log _{a} b=\log _{a} b^{n}\)把系数\(4,3\)“提上”)
\(=\lg 2^{4}+\lg 5^{3}-\lg \dfrac{1}{5}\) (对数系数为\(1\)，利用同底对数加减公式)
\(=\lg \dfrac{2^{4} \times 5^{3}}{\frac{1}{5}}=\lg 10^{4}=4\)．
(2) \(2 \log _{3} 2-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-5^{\log _{5} 3}\)
(公式 \(\log _{a} \dfrac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N, \quad a^{\log _{a} M}=M\)的应用)
\(=2 \log _{3} 2-\left(\log _{3} 32-\log _{3} 9\right)+3 \log _{3} 2-3\)
\(=5 \log _{3} 2-\left(5 \log _{3} 2-2 \log _{3} 3\right)-3\)
\(=-1\). (本题利用(1)问的方法是否ok？)
(3) \(\dfrac{\log _{5} \sqrt{2} \cdot \log _{49} 81}{\log _{25} \frac{1}{3} \cdot \log _{7} \sqrt[3]{4}}\)
\(=\dfrac{\log _{5} 2^{\frac{1}{2}} \cdot \log _{7} 23^{4}}{\log _{5^{2}} 3^{-1} \cdot \log _{7} 2^{\frac{2}{3}}}\)
(观察底数"\(5\)和\(25\)"与"\(7\)和\(49\)"，底数化为\(5,7\)，根式化为幂的形式)
\(=\dfrac{\dfrac{1}{2} \log _{5} 2 \cdot\left(2 \log _{7} 3\right)}{-\dfrac{1}{2} \log _{5} 3 \cdot\left(\dfrac{2}{3} \log _{7} 2\right)}\)
\(=-3 \times \dfrac{\log _{5} 2}{\log _{5} 3} \times \dfrac{\log _{7} 3}{\log _{7} 2}\)
(换底公式 \(\log _{a} b=\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}\)的逆用)
\(=-3×\log_3 2×\log_2 3\) (\(\log_a b\cdot \log_b a=1\))
\(=-3\)．
点拨 对于对数的化简与运算，要对对数运算公式很熟悉，同时注意对公式的逆用.一般常见的技巧是①化为同底；②收：将同底数的对数和、差合成积、商的对数，如 \(\log _{3} \dfrac{9}{7}+\log _{3} 7=\log _{3}\left(\dfrac{9}{7} \times 7\right)=\log _{3} 9=2\)，本题中(1)问；③拆：将积、商的对数拆成对数的和、差，如 \(\log _{3} \dfrac{9}{7}+\log _{3} 7=\log _{3} 9-\log _{3} 7+\log _{3} 7=\log _{3} 9=2\)，本题中(2)问.
巩固练习
1.已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
3^{x}(x \leq 0) \\
\log _{2} x,(x>0)
\end{array}\right.\)，则 \(f\left[f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]=\) \(\underline{\quad \quad}\) .
2.若\(3^a=2\)，则\(2 \log_36-\log_316=\)\(\underline{\quad \quad}\) (用\(a\)表示)
3.\(\dfrac{\lg 8+\lg 125-\lg 2-\lg 5}{\lg \sqrt{10} \cdot \lg 0.1}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
4.计算： \(\log _{3} \sqrt{27}+\lg 25+\lg 4+7^{\log _{7} 2}-\dfrac{3}{2}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 \(\because f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3^{x}(x \leq 0) \\ \log _{2} x(x>0) \end{array}\right.\)， \(\therefore f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\log _{2} \dfrac{1}{2}=-1\)．
则 \(f\left[f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]=f(-1)=3^{-1}=\dfrac{1}{3}\)． -
答案 \(2-2a\)
解析 由\(3^a=2\)，得\(a=\log_32\)，
所以 \(2 \log _{3} 6-\log _{3} 16=2 \log _{3} 2 \times 3-\log _{3} 2^{4}\)
\(=2 \log _{3} 2+2-4 \log _{3} 2=2-2\log_3 2=2-2a\)． -
答案 \(-4\)
解析 \(\dfrac{\lg 8+\lg 125-\lg 2-\lg 5}{\lg \sqrt{10} \cdot \lg 0.1}=\dfrac{3 \lg 2+3 \lg 5-\lg 2-\lg 5}{\dfrac{1}{2} \lg 10 \cdot \lg \dfrac{1}{10}}\)\(=\dfrac{2(\lg 2+\lg 5)}{-\dfrac{1}{2}}=-4\). -
答案 \(4\)
解析 原式 \(=\log _{3} 3^{\frac{3}{2}}+\lg (25 \times 4)+2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}+2+2-\dfrac{3}{2}=4\)．
【题型3】条件求值问题
【典题1】 已知\(3^a=4^b=36\)，求 \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\)的值．
解析 方法1 由\(3^a=4^b=36\)，得\(a=\log_3 36,b=\log_4 36\)，
故 \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{\log _{3} 36}+\dfrac{1}{\log _{4} 36}=2 \log _{36} 3+\log _{36} 4\)\(=\log _{36} 9+\log _{36} 4=\log _{36} 36=1\)．
方法2 由\(3^a=4^b=36\)，
两边取对数，得\(\log_6 3^a=\log_6 4^b=\log_6 36\)，
即\(a\log_6 3=b\log_6 4=2\)．
于是 \(\dfrac{2}{a}=\log _{6} 3\), \(\dfrac{1}{b}=\log _{6} 2\)， \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=\log _{6} 3+\log _{6} 2=\log _{6} 6=1\)．
点拨 对于形如\(3^a=36\)指数为变量的方程，常用对数式与指数式的互换求其值；对于如\(3^a=36\)含幂形式的等式，求其指数，两边取对数的技巧也是常用的.
【典题2】 已知\(2^a=7^b=m\)， \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2 b}=\dfrac{1}{2}\)，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 \(∵2^a=7^b=m\)，\(∴a=\log_2m\)，\(b=\log_7m\)，
\(\because \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2 b}=\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore \log _{m} 2+\dfrac{1}{2} \times \log _{m} 7=\log _{m}(2 \sqrt{7})=\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore \sqrt{m}=2 \sqrt{7}\)，解得\(m=28\)．
巩固练习
1.设\(a,b,c\)都是正数，且\(3^a=4^b=6^c\)，那么( )
A． \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{2}{c}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\)
2.已知\(\log_{18}9=a\),\(18^b=5\)，求\(\log_{36}45=\)\(\underline{\quad \quad}\) (用\(a,b\)表示)．
3.若实数\(x,y\)满足：\(2^x=6^{2y}=A\)且\(x+y=2xy\)，则\(A=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 由\(a,b,c\)都是正数，且\(3^a=4^b=6^c=M\)，
则 \(a=\log _{3} M, b=\log _{4} M, c=\log _{6} M\)代入到\(B\)中，左边 \(=\dfrac{2}{c}=\dfrac{2}{\log _{6}^{M}}=\dfrac{\lg 36}{\lg M}\)，
而右边 \(=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2 \lg 3}{\lg M}+\dfrac{\lg 4}{\lg M}=\dfrac{\lg 3^{2} \times 4}{\lg M}=\dfrac{\lg 36}{\lg M}\)，
左边等于右边，\(B\)正确；
代入到\(A、C、D\)中不相等．故选\(B\)． -
答案 \(\dfrac{a+b}{2-a}\)
解析 (方法一) \(∵\log_{18}9=a\),\(18^b=5\)，
\(\therefore \log _{18} 5=b\)．
于是 \(\log _{36} 45=\dfrac{\log _{18} 45}{\log _{18} 36}=\dfrac{\log _{18}(9 \times 5)}{\log _{18}(18 \times 2)}=\dfrac{\log _{18} 9+\log _{18} 5}{1+\log _{18} 2}\)\(=\dfrac{\log _{18} 9+\log _{18} 5}{1+\log _{18} \dfrac{18}{9}}=\dfrac{\log _{18} 9+\log _{18} 5}{2-\log _{18} 9}=\dfrac{a+b}{2-a}\)．
(方法二) \(\because \log _{18} 9=a\)，且\(18^b=5\)，
\(∴\lg9=a\lg18,\lg5=b\lg18\)．
\(\therefore \log _{36} 45=\dfrac{\lg 45}{\lg 36}=\dfrac{\lg (9 \times 5)}{\lg \dfrac{18^{2}}{9}}=\dfrac{\lg 9+\lg 5}{2 \lg 18-\lg 9}\)\(=\dfrac{a \lg 18+b \lg 18}{2 \lg 18-a \lg 18}=\dfrac{a+b}{2-a}\)． -
答案 \(1\)或 \(6 \sqrt{2}\)
解析 由 \(2^x=6^{2y}=A\)，得 \(x=\log _{2} A\), \(y=\dfrac{1}{2} \log _{6} A\)，
由\(x+y=2xy\)，得 \(\log _{2} A+\dfrac{1}{2} \log _{6} A=\log _{2} A \cdot \log _{6} A\)，
\(\therefore \dfrac{2 \lg A}{\lg 2}+\dfrac{\lg A}{\lg 6}=\dfrac{2 \lg ^{2} A}{\lg 2 \cdot \lg 6}\)，
\(∴\lgA=0\)或\(\lgA^2=\lg72\)，
即\(A=1\)或 \(6 \sqrt{2}\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是( )
A．\(10^0=1\)与\(\lg 1=0\) \(\qquad \qquad\) B． \(27^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\)与 \(\log _{27} \dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}\) \(\qquad \qquad\)
C．\(\log_3 9=2\)与 \(9^{\frac{1}{2}}=3\) \(\qquad \qquad\) D．\(\log_5 5=1\)与\(5^1=5\)
2.下列四个等式：
①\(\lg(\lg10)=0\)；②\(\ln(\lne)=0\)；③若\(\lgx=10\)，则\(x=100\)；④若\(\lnx=e\)，则\(x=e^2\)．
其中正确的是
A．①③ \(\qquad \qquad\) B．②④ \(\qquad \qquad\) C．①② \(\qquad \qquad\) D．③④
3.若\(\lg2=a\)，\(\lg3=b\)，则 \(\dfrac{\lg 12}{\lg 15}\)等于( )
A． \(\dfrac{2 a+b}{1-a+b}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{2 a+b}{1+a+b}\)\(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{a+2 b}{1-a+b}\)\(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{a+2 b}{1+a+b}\)
4.实数\(a,b\)满足\(2^a=5^b=10\)，则下列关系正确的是( )
A． \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=2\)\(\qquad\) B． \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\) \(\qquad\) C． \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=2\) \(\qquad\) D．\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{2}\)
5.已知\(a>0\),\(b>0\)，若 \(\log _4 a=\log _6 b=\dfrac{1}{2}\)，则 \(\dfrac{a}{b}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.若\(3^a=2\)，则\(2 \log_36-\log_316=\)\(\underline{\quad \quad}\) (用\(a\)表示).
7.已知\(3^x=2\)，\(y=\log_3 18\)，则\(x=\)\(\underline{\quad \quad}\)；\(y-x=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
8.已知\(3^x=4^y=6\)，则 \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
9.化简 \(\log _{\sqrt{3}} 9+\dfrac{1}{2} \lg 25+\lg 2-\log _4 9 \times \log _3 8\)．
10.计算 \(\dfrac{2 \lg 4+\lg 9}{1+\dfrac{1}{2} \lg 0.36+\dfrac{1}{3} \lg 8}\)．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，
对于\(C\)，\(\log_39=2→3^2=9\)或 \(9^{\frac{1}{2}}=3 \rightarrow \log _9 3=\dfrac{1}{2}\)．故选\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 因为\(\lg10=1\)，所以\(\lg(\lg10)=0\)，故①正确；\(\ln(lne)=\ln1=0\)，故②正确；
由\(\lgx=10\)可得\(x=10^{10}\)，故③错误；由\(\lnx=e\)可得\(x=e^e\)，故④错误；
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 \(\dfrac{\lg 12}{\lg 15}=\dfrac{\lg (3 \times 4)}{\lg (3 \times 5)}=\dfrac{\lg 3+\lg 4}{\lg 3+\lg 5}\)\(=\dfrac{\lg 3+2 \lg 2}{\lg 3+\lg \dfrac{10}{2}}=\dfrac{\lg 3+2 \lg 2}{\lg 3+1-\lg 2}\)，
\(∵\lg2=a\)，\(\lg3=b\)， \(\therefore \dfrac{\lg 12}{\lg 15}=\dfrac{2 a+b}{1-a+b}\)，故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 \(∵2^a=5^b=10\)， \(\therefore a=\log _2 10\), \(b=\log _5 10\)，
\(\therefore \dfrac{1}{a}=\lg 2\)， \(\dfrac{1}{b}=\lg 5\)， \(\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\lg 2+\lg 5=\lg (2 \times 5)=1\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
解析 \(∵a>0\),\(b>0\)， \(\log _4 a=\log _6 b=\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore a=4^{\dfrac{1}{2}}=2\)， \(b=6^{\dfrac{1}{2}}\)， \(\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\). -
答案 \(2-2a\)
解析 由\(3^a=2\)，得\(a=\log_32\)，
所以 \(2 \log _3 6-\log _3 16=2 \log _3 2 \times 3-\log _3 2^4\)
\(=2 \log _3 2+2-4 \log _3 2=2-2\log_3 2=2-2a\)． -
答案 \(\log_32\)，\(2\)
解析 因为\(3^x=2\)，所以\(x=\log_32\)，
又\(y=\log_318\)，则\(y-x=\log_318-\log_32=\log_39=2\)． -
答案 \(2\)
解析 根据题意，\(3^x=4^y=6\)，
则\(x=\log_36\)，\(y=\log_46\)，则 \(\dfrac{1}{x}=\log _6 3\)， \(\dfrac{1}{y}=\log _6 4\)
则 \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \log _6 3+\log _6 4=\log _6 36=2\). -
答案 \(2\)
解析 \(\log _{\sqrt{3}} 9+\dfrac{1}{2} \lg 25+\lg 2-\log _4 9 \times \log _3 8\)
\(=4+\lg5+\lg2-\log_23×\log_38\)
\(=4+1-3=2\)． -
答案 \(2\)
解析 原式 \(=\dfrac{2 \lg 12}{1+\lg (0.6 \times 2)}=\dfrac{2 \lg 12}{\lg 12}=2\)．
【B组---提高题】
1.若 \(\log _2\left(\log _3 a\right)=\log _3\left(\log _4 b\right)=\log _4\left(\log _2 c\right)=1\)，则\(a\),\(b\),\(c\)的大小关系是( )
A．\(a>b>c\) \(\qquad \qquad\) B．\(b>a>c\) \(\qquad \qquad\) C．\(a>c>b\)\(\qquad \qquad\) D．\(b>c>a\)
2.若\(a>1\)，\(b>1\)且 \(\lg \left(1+\dfrac{b}{a}\right)=\lg b\)，则\(\lg(a-1)+\lg(b-1)\)的值( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B．\(\lg2\) \(\qquad \qquad\) C．\(0\) \(\qquad \qquad\) D．不是常数
3.设 \(S=\dfrac{1}{\log _2 \pi}+\dfrac{1}{\log _3 \pi}+\dfrac{1}{\log _4 \pi}+\dfrac{1}{\log _5 \pi}\)，\(T=|a-s|\),\(a∈N^*\)，当\(T\)取最小值时\(a\)的值为( )
A．\(2\) \(\qquad \qquad\) B．\(3\) \(\qquad \qquad\) C．\(4\) \(\qquad \qquad\) D．\(5\)
4.正数\(a\),\(b\)满足 \(1+\log _2 a=2+\log _3 b=3+\log _6(a+b)\)，则 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)的值是\(\underline{\quad \quad}\) .
5.计算：\((\lg5)^2+\lg2×\lg50=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
6.已知\(3^m=5^n=k\)且 \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=2\)，则\(k\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
7.若\(x\),\(y\),\(z∈R^+\)，且\(3^x=4^y=12^z\)， \(\dfrac{x+y}{z} \in(n, n+1)\)，\(n∈N\)，则\(n\)的值是\(\underline{\quad \quad}\).
8.已知\(a>b>1\)，若 \(\log _a b+\log _b a=\dfrac{10}{3}\)，\(a^b=b^a\)，则\(a+b=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
9.设\(\ln ^2 x-\ln x-2=0\)的两根是\(α\)、\(β\)，则\(\log_αβ+\log_βα=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
10.若 \(\log _4(3 a+2 b)=\log _2 \sqrt{a b}\)，则\(a+2b\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 由\(\log_2(\log_3a )=1\)，可得\(\log_3 a=2\)，故\(a=3^2=9\)，
由\(\log_3(\log_4b )=1\)，可得\(\log_4 b=3\)，故\(b=4^3=64\)，
由\(\log_4(\log_2c )=1\)，可得\(\log_2 c=4\)，故\(c=2^4=16\)，
\(∴b>c>a\)．
故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 \(∵a>1\)，\(b>1\)且 \(\lg \left(1+\dfrac{b}{a}\right)=\lg b\)，
\(\therefore 1+\dfrac{b}{a}=b\)，\(∴a+b=ab\)，
\(∴\lg(a-1)+\lg(b-1)=\lg[(a-1)(b-1)]\)\(=\lg(ab-a-b+1)=\lg1=0\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 \(s=\log _\pi 2+\log _\pi 3+\log _\pi 4+\log _\pi 5\)\(=\log _\pi(2 \times 3 \times 4 \times 5)=\log _\pi 120 \in(4,4.5)\)．
\(∴T=|a-s|\)，\(a∈N^*\)，当\(T\)取最小值时\(a\)的值为\(4\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(\dfrac{1}{12}\)
解析 依题意，设\(1+\log_2a=2+\log_3b=3+\log_6(a+b)=k\)，
则 \(a=2^{k-1}\), \(b=3^{k-2}\), \(a+b=6^{k-3}\)，
所以 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{a b}=\dfrac{6^{k-3}}{\left(2^{k-1}\right) \times\left(3^{k-2}\right)}=\dfrac{6^{-3} \times 6^k}{2^{-1} \times 3^{-2}\left(2^k \times 3^k\right)}\)\(=\dfrac{2 \times 3^2}{6^3}=\dfrac{1}{12}\)． -
答案 \(1\)
解析 \((\lg5)^2+\lg2×\lg50=(\lg5)^2+\lg2(2\lg5+\lg2)\)\(=(\lg5+\lg2)^2=1\). -
答案 \(\sqrt{15}\)
解析 \(3^m=5^n=k\)，可得 \(\dfrac{1}{m}=\log _k 3\), \(\dfrac{1}{n}=\log _k 5\)，
\(\because \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=2\)，\(∴\log_k3+\log_k5=2\)，
可得 \(\log _k 15=2\)， \(k=\sqrt{15}\)． -
答案 \(4\)
解析 令\(3^x=4^y=12^z=k>1\)．
则 \(x=\dfrac{\lg k}{\lg 3}\), \(y=\dfrac{\lg k}{\lg 4}\), \(z=\dfrac{\lg k}{\lg 12}\)．
\(\therefore \dfrac{x+y}{z}=\dfrac{\dfrac{\lg k}{\lg 3}+\dfrac{\lg k}{\lg 4}}{\dfrac{\lg k}{\lg 12}}=\dfrac{\lg 12 \cdot \lg 12}{\lg 3 \lg 4}\)\(=\dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2 \in(4,5)=(n, n+1)\)，\(n∈N\)，
则\(n=4\)． -
答案 \(4 \sqrt{3}\)
解析 设\(t=\log_ba\)，由\(a>b>1\)知\(t>1\)，
代入 \(\log _a b+\log _b a=t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{10}{3}\)，
即\(3t^2-10t+3=0\)，解得\(t=3\)或 \(t=\dfrac{1}{3}\)(舍去)，
所以\(\log_ba=3\)，即\(a=b^3\)，
因为\(a^b=b^a\)，所以\(b^{3b}=b^a\)，则\(a=3b=b^3\)，
解得 \(b=\sqrt{3}\), \(a=3 \sqrt{3}\)，
则 \(a+b=4 \sqrt{3}\). -
答案 \(-\dfrac{5}{2}\)
解析 \(\ln ^2 x-\ln x-2=0\)的两根是\(α\)、\(β\)，
\(∴\lnα\)和\(\lnβ\)是方程\(t^2-t-2=0\)的两个根，
则\(\lnα+\lnβ=1\)，\(\lnα\cdot \lnβ=-2\)；
\(\therefore \log _\alpha \beta+\log _\beta \alpha==\dfrac{\ln \beta}{\ln \alpha}+\dfrac{\ln \alpha}{\ln \beta}=\dfrac{\ln ^2 \beta+\ln ^2 \alpha}{\ln \alpha \cdot \ln \beta}\)\(=\dfrac{(\ln \alpha+\ln \beta)^2-2 \ln \alpha \cdot \ln \beta}{\ln \alpha \cdot \ln \beta}=\dfrac{1^2-2 \times(-2)}{-2}=-\dfrac{5}{2}\)． -
答案 \(8+4 \sqrt{3}\)
解析 \(\log _4(3 a+2 b)=\log _2 \sqrt{a b}\)，
\(\therefore \sqrt{3 a+2 b}=\sqrt{a b}\)，\(a>0\),\(b>0\)，
即3a+2b=ab，即2/a+3/b=1，
\(\therefore a+2 b=(a+2 b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\right)=2+6+\dfrac{3 a}{b}+\dfrac{4 b}{a} \geqslant 8+4 \sqrt{3}\)，
当且仅当 \(\dfrac{3 a}{b}=\dfrac{4 b}{a}\)，即 \(\sqrt{3} a=2 b\)取等号，
故\(a+2b\)的最小值是 \(8+4 \sqrt{3}\)．
【C组---拓展题】
1.已知正数\(x\),\(y\),\(z\)满足\(\log_2x=\log_3y=\log_5z>0\)，则下列结论不可能成立的是( )
A． \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{y}{3}<\dfrac{z}{5}<\dfrac{x}{2}\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{x}{2}>\dfrac{y}{3}>\dfrac{z}{5}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{x}{2}<\dfrac{y}{3}<\dfrac{z}{5}\)
2.已知\(a>b>1\)，若 \(\log _a b+\log _b a=\dfrac{5}{2}\)，\(a^b=b^a\)，则\(ab=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
3.抽气机每次抽出容器内空气的\(60\%\)，要使容器内的空气少于原来的\(0.1\%\)，则至少要抽几次？(\(\lg 2≈0.301 0\))
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 设 \(\log _2 x=\log _3 y=\log _5 z=k>0\)，则 \(\dfrac{x}{2}=2^{k-1}\)， \(\dfrac{y}{3}=3^{k-1}\)， \(\dfrac{z}{5}=5^{k-1}\)；
\(∴k=1\)时， \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\)；\(k>1\)时， \(\dfrac{x}{2}<\dfrac{y}{3}<\dfrac{z}{5}\)；\(0<k<1\)时， \(\dfrac{x}{2}>\dfrac{y}{3}>\dfrac{z}{5}\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(8\)
解析 \(\because \log _a b+\log _b a=\dfrac{5}{2}\)；
\(\therefore \dfrac{1}{\log _b a}+\log _b a=\dfrac{1+\left(\log _b a\right)^2}{\log _b a}=\dfrac{5}{2}\)；
\(\therefore 2\left(\log _b a\right)^2-5 \log _b a+2=0\)；解得 \(\log _b a=\dfrac{1}{2}\)或 \(\log _b a=2\)；
\(∵a>b>1\)；\(∴\log_b a>1\)；\(∴\log_b a=2\)；\(∴a=b^2\)；
又\(a^b=b^a\)；
\(\therefore b^{2 b}=b^{b^2}\)；\(∴b^2=2b\)；\(∴b=2\)或\(b=0\)(舍去)；\(∴a=4\)；
\(∴ab=8\)．
故答案为：\(8\)． -
答案 \(8\)
解析 设至少抽\(n\)次可使容器内空气少于原来的\(0.1\%\)，
则 \(a(1-60 \%)^n<0.1 \% a\)(设原先容器中的空气体积为\(a\))，
即 \(0.4^n<0.001\),
两边取常用对数得 \(n \cdot \lg 0.4<\lg 0.001\)，
所以 \(n>\dfrac{\lg 0.001}{\lg 0.4}=\dfrac{3}{2 \lg 2-1} \approx 7.5\)．
故至少需要抽\(8\)次．
