4.3 对数

${\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}$  

【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
${\color {Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}$

必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

对数的概念

1 概念
一般地，如果 $a^x=N(a>0 ,$ 且 $a≠1)$，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=log_a N$.
($a$ 底数， $N$ 真数， $log_a N$ 对数)
解释 对数 $log_a N$ 中对底数 $a$ 的限制与指数函数 $y=a^x$ 中对 $a$ 的限制一样.
 

2 两个重要对数
常用对数以 $10$ 为底的对数，$log_{10}N$ 记为 $lgN$；
自然对数以无理数 $e$ 为底的对数的对数，$log_e N$ 记为 $ln N$．
 

3 对数式与指数式的互化
$x=log_a N ⟺ a^x=N$
对数式 指数式
如 $4^3=64⇔log_4 64=3$；$log_5 25=2⇔5^2=25$.
 

4 结论
① 负数和零没有对数
② $log_a a=1$，$log_a 1=0$.
特别地，$lg10=1$，$lg1=0$，$lne=1$，$ln1=0$.
解释 $∵a^x=N>0$， $∴log_a⁡N$ 中 $N>0$，如 $\log _{2}(-3)$ 没意义；
由对数式与指数式的互化得 $a^1=a⇒log_a a=1$， $a^0=1⇒log_a 1=0$.
 

对数的运算性质

1 如果 $a>0$，$a ≠ 1$， $M>0$，$N>0$ , 有
① $\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N$
② $\log _{a} \dfrac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N$
③ $\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M(n \in R)$
④ $a^{\log _{a} M}=M$
(每条等式均可证明)
比较 对数的运算法则与指数的运算法则的联系

指数	对数
$a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$	$\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N$
$\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$	$\log _{a} \dfrac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N$
$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n}$	$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M(n \in R)$

特别注意 $\log _{a} M N \neq \log _{a} M \cdot \log _{a} N$， $\log _{a}(M \pm N) \neq \log _{a} M \pm \log _{a} N$.
 

【例 1】证明 $\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N$.
证明 设 $x=\log _{a} M$，$y=\log _{a} N$，则 $a^x=M$，$a^y=N$，
$\therefore M N=a^{x} a^{y}=a^{x+y}$， $\therefore \log _{a}(M N)=x+y=\log _{a} M+\log _{a} N$.
 

【例 2】计算
(1) $2 \log _{12} 2+\log _{12} 3$；$\qquad$ (2) $\lg 600-\lg 6$；$\qquad$ (3) 已知 $\lg2=0.3$，$\lg3=0.48$，求 $\lg \sqrt{45}$．
解析 (1) $2 \log _{12} 2+\log _{12} 3=\log _{12} 2^{2}+\log _{12} 3$$=\log _{12} 4+\log _{12} 3=\log _{12} 12=1$；
(2) $\lg 600-\lg 6=\lg 100=2$；
(3) $\lg \sqrt{45}=\lg 45^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2} \lg 45=\dfrac{1}{2} \lg (5 \times 9)=\dfrac{1}{2}(\lg 5+\lg 9)$
$=\dfrac{1}{2}\left(\lg \dfrac{10}{2}+\lg 3^{2}\right)=\dfrac{1}{2}(1-\lg 2+2 \lg 3)=0.83$.
 

换底公式

(1) 公式
$\log _{a} b=\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}(a>0, a \neq 1, c>0, c \neq 1, b>0)$
 

(2) 公式推导
设 $\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}=x$，则 $\log_c⁡b=x\log_c⁡a=\log_c⁡a^x$，
$∴b=a^x$，$∴x=\log_a⁡b$， $\therefore \dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}=\log _{a} b$.
 

(3) 推论
① $\log _{a} b=\dfrac{1}{\log _{b} a}$ $\qquad$ ② $\log_a b⋅ \log_b c=\log_a c$ $\qquad$ ③ $\log _{a^{m}} b^{n}=\dfrac{n}{m} \log _{a} b$
证明 ① $\log _{a} b=\dfrac{\log _{b} b}{\log _{b} a}=\dfrac{1}{\log _{b} a}$；
② $\log _{a} b \cdot \log _{b} c=\dfrac{\lg b}{\lg a} \cdot \dfrac{\lg c}{\lg b}=\dfrac{\lg c}{\lg a}=\log _{a} c$；
③ $\log _{a} m b^{n}=\dfrac{\log _{a} b^{n}}{\log _{a} a^{m}}=\dfrac{n \log _{a} b}{m}=\dfrac{n}{m} \log _{a} b$.
 

【例】求 $\dfrac{\log _{8} 9}{\log _{2} 3}$ 的值.
解析 $\dfrac{\log _{8} 9}{\log _{2} 3}=\dfrac{\dfrac{\lg 9}{\lg 8}}{\dfrac{\lg 3}{\lg 2}}=\dfrac{2 \lg 3}{3 \lg 2} \cdot \dfrac{\lg 2}{\lg 3}=\dfrac{2}{3}$.
 

基本方法

【题型1】对数式与指数式的互换

【典题 1】 求下列各式中 $x$ 的值：
  (1) $\log_2⁡(\log_5⁡x )=0$； $\qquad \qquad$ (2) $\log _{x} 27=\dfrac{3}{4}$．
解析 (1) $∵\log_2⁡(\log_5⁡x )=0$，$∴\log_5 x=2^0=1$．$∴x=5^1=5$．
(2) $∵\log _{x} 27=\dfrac{3}{4}$， $\therefore x^{\frac{3}{4}}=27$， $\therefore x=(27)^{\frac{4}{3}}=3^{4}=81$．
点拨 利用对数式与指数式的互换求值.
 

巩固练习

1. 完成下表指数式与对数式的转换．

题号	指数式	对数式
(1)	$10^3=1 000$
(2)		$\log_2⁡10=x$
(3)	$e^3=x$

 

2. 求下列各式中 $x$ 的值：
  (1) $\log _{3}(\lg x)=1$；$\qquad \qquad$ (2)$x=\log_8 4$．
 
 

参考答案

1. 答案 (1) $\lg⁡1000=3$ (2)$2^x=10$ (3) $ln⁡x=3$．
   解析 (1) $10^3=1000⇔\lg⁡1000=3$．
   (2) $\log_2⁡10=x⇔2^x=10$．
   (3) $e^3=x⇔ln⁡x=3$．

2. 答案 (1)$1000$ (2) $\dfrac{2}{3}$
   解析 (1) $∵\log_3⁡(\lg⁡x)=1$,$∴\lg⁡x=3^1=3$，$∴x=10^3=1000$．
   (2) $∵x=\log_8 4$,$∴8^x=4$，$∴2^3x=2^2$，$∴3x=2$, 即 $x=\dfrac{2}{3}$．
    

【题型2】对数的化简、求值问题

【典题 1】化简求值
  (1) $4 \lg 2+3 \lg 5-\lg \dfrac{1}{5}$；
  (2) $2 \log _{3} 2-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-5^{\log _{5} 3}$；
  (3) $\dfrac{\log _{5} \sqrt{2} \cdot \log _{49} 81}{\log _{25} \dfrac{1}{3} \cdot \log _{7} \sqrt[3]{4}}$．
解析
(1) $4 \lg 2+3 \lg 5-\lg \dfrac{1}{5}$ (观察式子对数以 $10$ 为底，利用 $n \log _{a} b=\log _{a} b^{n}$ 把系数 $4,3$“提上”)
$=\lg 2^{4}+\lg 5^{3}-\lg \dfrac{1}{5}$ (对数系数为 $1$，利用同底对数加减公式)
$=\lg \dfrac{2^{4} \times 5^{3}}{\frac{1}{5}}=\lg 10^{4}=4$．
(2) $2 \log _{3} 2-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-5^{\log _{5} 3}$
(公式 $\log _{a} \dfrac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N, \quad a^{\log _{a} M}=M$ 的应用)
$=2 \log _{3} 2-\left(\log _{3} 32-\log _{3} 9\right)+3 \log _{3} 2-3$
$=5 \log _{3} 2-\left(5 \log _{3} 2-2 \log _{3} 3\right)-3$
$=-1$. (本题利用 (1) 问的方法是否 ok？)
(3) $\dfrac{\log _{5} \sqrt{2} \cdot \log _{49} 81}{\log _{25} \frac{1}{3} \cdot \log _{7} \sqrt[3]{4}}$
$=\dfrac{\log _{5} 2^{\frac{1}{2}} \cdot \log _{7} 23^{4}}{\log _{5^{2}} 3^{-1} \cdot \log _{7} 2^{\frac{2}{3}}}$
(观察底数 "$5$ 和 $25$"与"$7$ 和 $49$"，底数化为 $5,7$，根式化为幂的形式)
$=\dfrac{\dfrac{1}{2} \log _{5} 2 \cdot\left(2 \log _{7} 3\right)}{-\dfrac{1}{2} \log _{5} 3 \cdot\left(\dfrac{2}{3} \log _{7} 2\right)}$
$=-3 \times \dfrac{\log _{5} 2}{\log _{5} 3} \times \dfrac{\log _{7} 3}{\log _{7} 2}$
(换底公式 $\log _{a} b=\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$ 的逆用)
$=-3×\log_3 2×\log_2 3$ ($\log_a b\cdot \log_b a=1$)
$=-3$．
点拨 对于对数的化简与运算，要对对数运算公式很熟悉，同时注意对公式的逆用。一般常见的技巧是①化为同底；②收：将同底数的对数和、差合成积、商的对数，如 $\log _{3} \dfrac{9}{7}+\log _{3} 7=\log _{3}\left(\dfrac{9}{7} \times 7\right)=\log _{3} 9=2$，本题中 (1) 问；③拆：将积、商的对数拆成对数的和、差，如 $\log _{3} \dfrac{9}{7}+\log _{3} 7=\log _{3} 9-\log _{3} 7+\log _{3} 7=\log _{3} 9=2$，本题中 (2) 问.
 

巩固练习

1. 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3^{x}(x \leq 0) \\ \log _{2} x,(x>0) \end{array}\right.$，则 $f\left[f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]=$ $\underline{\quad \quad}$ .
 

2. 若 $3^a=2$，则 $2 \log_3⁡6-\log_3⁡16=$$\underline{\quad \quad}$ (用 $a$ 表示)
 

3.$\dfrac{\lg 8+\lg 125-\lg 2-\lg 5}{\lg \sqrt{10} \cdot \lg 0.1}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

4. 计算： $\log _{3} \sqrt{27}+\lg 25+\lg 4+7^{\log _{7} 2}-\dfrac{3}{2}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $\dfrac{1}{3}$
   解析 $\because f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3^{x}(x \leq 0) \\ \log _{2} x(x>0) \end{array}\right.$， $\therefore f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\log _{2} \dfrac{1}{2}=-1$．
   则 $f\left[f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]=f(-1)=3^{-1}=\dfrac{1}{3}$．

2. 答案 $2-2a$
   解析 由 $3^a=2$，得 $a=\log_3⁡2$，
   所以 $2 \log _{3} 6-\log _{3} 16=2 \log _{3} 2 \times 3-\log _{3} 2^{4}$
   $=2 \log _{3} 2+2-4 \log _{3} 2=2-2\log_3 2=2-2a$．

3. 答案 $-4$
   解析 $\dfrac{\lg 8+\lg 125-\lg 2-\lg 5}{\lg \sqrt{10} \cdot \lg 0.1}=\dfrac{3 \lg 2+3 \lg 5-\lg 2-\lg 5}{\dfrac{1}{2} \lg 10 \cdot \lg \dfrac{1}{10}}$$=\dfrac{2(\lg 2+\lg 5)}{-\dfrac{1}{2}}=-4$.

4. 答案 $4$
   解析 原式 $=\log _{3} 3^{\frac{3}{2}}+\lg (25 \times 4)+2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}+2+2-\dfrac{3}{2}=4$．
    

【题型3】条件求值问题

【典题 1】 已知 $3^a=4^b=36$，求 $\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的值．
解析 方法 1 由 $3^a=4^b=36$，得 $a=\log_3 36,b=\log_4 36$，
故 $\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{\log _{3} 36}+\dfrac{1}{\log _{4} 36}=2 \log _{36} 3+\log _{36} 4$$=\log _{36} 9+\log _{36} 4=\log _{36} 36=1$．
方法 2 由 $3^a=4^b=36$，
两边取对数，得 $\log_6 3^a=\log_6 4^b=\log_6 36$，
即 $a\log_6 3=b\log_6 4=2$．
于是 $\dfrac{2}{a}=\log _{6} 3$, $\dfrac{1}{b}=\log _{6} 2$， $\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=\log _{6} 3+\log _{6} 2=\log _{6} 6=1$．
点拨 对于形如 $3^a=36$ 指数为变量的方程，常用对数式与指数式的互换求其值；对于如 $3^a=36$ 含幂形式的等式，求其指数，两边取对数的技巧也是常用的.
 

【典题 2】 已知 $2^a=7^b=m$， $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2 b}=\dfrac{1}{2}$，则 $m=$$\underline{\quad \quad}$．
解析 $∵2^a=7^b=m$，$∴a=\log_2⁡m$，$b=\log_7⁡m$，
$\because \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2 b}=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore \log _{m} 2+\dfrac{1}{2} \times \log _{m} 7=\log _{m}(2 \sqrt{7})=\dfrac{1}{2}$，
$\therefore \sqrt{m}=2 \sqrt{7}$，解得 $m=28$．
 

巩固练习

1. 设 $a,b,c$ 都是正数，且 $3^a=4^b=6^c$，那么 (　　)
 A． $\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ $\qquad \qquad$ B． $\dfrac{2}{c}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}$ $\qquad \qquad$ C． $\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}$ $\qquad \qquad$ D． $\dfrac{2}{c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}$
 
2. 已知 $\log_{18}⁡9=a$,$18^b=5$，求 $\log_{36}⁡45=$$\underline{\quad \quad}$ (用 $a,b$ 表示)．
 

3. 若实数 $x,y$ 满足：$2^x=6^{2y}=A$ 且 $x+y=2xy$，则 $A=$$\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 由 $a,b,c$ 都是正数，且 $3^a=4^b=6^c=M$，
   则 $a=\log _{3} M, b=\log _{4} M, c=\log _{6} M$ 代入到 $B$ 中，左边 $=\dfrac{2}{c}=\dfrac{2}{\log _{6}^{M}}=\dfrac{\lg 36}{\lg M}$，
   而右边 $=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2 \lg 3}{\lg M}+\dfrac{\lg 4}{\lg M}=\dfrac{\lg 3^{2} \times 4}{\lg M}=\dfrac{\lg 36}{\lg M}$，
   左边等于右边，$B$ 正确；
   代入到 $A、C、D$ 中不相等．故选 $B$．

2. 答案 $\dfrac{a+b}{2-a}$
   解析 (方法一) $∵\log_{18}⁡9=a$,$18^b=5$，
   $\therefore \log _{18} 5=b$．
   于是 $\log _{36} 45=\dfrac{\log _{18} 45}{\log _{18} 36}=\dfrac{\log _{18}(9 \times 5)}{\log _{18}(18 \times 2)}=\dfrac{\log _{18} 9+\log _{18} 5}{1+\log _{18} 2}$$=\dfrac{\log _{18} 9+\log _{18} 5}{1+\log _{18} \dfrac{18}{9}}=\dfrac{\log _{18} 9+\log _{18} 5}{2-\log _{18} 9}=\dfrac{a+b}{2-a}$．
   (方法二) $\because \log _{18} 9=a$，且 $18^b=5$，
   $∴\lg⁡9=a\lg⁡18,\lg⁡5=b\lg⁡18$．
   $\therefore \log _{36} 45=\dfrac{\lg 45}{\lg 36}=\dfrac{\lg (9 \times 5)}{\lg \dfrac{18^{2}}{9}}=\dfrac{\lg 9+\lg 5}{2 \lg 18-\lg 9}$$=\dfrac{a \lg 18+b \lg 18}{2 \lg 18-a \lg 18}=\dfrac{a+b}{2-a}$．

3. 答案 $1$ 或 $6 \sqrt{2}$
   解析 由 $2^x=6^{2y}=A$，得 $x=\log _{2} A$, $y=\dfrac{1}{2} \log _{6} A$，
   由 $x+y=2xy$，得 $\log _{2} A+\dfrac{1}{2} \log _{6} A=\log _{2} A \cdot \log _{6} A$，
   $\therefore \dfrac{2 \lg A}{\lg 2}+\dfrac{\lg A}{\lg 6}=\dfrac{2 \lg ^{2} A}{\lg 2 \cdot \lg 6}$，
   $∴\lg⁡A=0$ 或 $\lg⁡A^2=\lg⁡72$，
   即 $A=1$ 或 $6 \sqrt{2}$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是 (　　)
 A．$10^0=1$ 与 $\lg 1=0$ $\qquad \qquad$ B． $27^{-\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}$ 与 $\log _{27} \dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{3}$ $\qquad \qquad$
 C．$\log_3 9=2$ 与 $9^{\frac{1}{2}}=3$ $\qquad \qquad$ D．$\log_5 5=1$ 与 $5^1=5$
 

2. 下列四个等式：
①$\lg⁡(\lg⁡10)=0$；②$\ln⁡(\ln⁡e)=0$；③若 $\lg⁡x=10$，则 $x=100$；④若 $\ln⁡x=e$，则 $x=e^2$．
其中正确的是 　　
 A．①③ $\qquad \qquad$ B．②④ $\qquad \qquad$ C．①② $\qquad \qquad$ D．③④
 

3. 若 $\lg2=a$，$\lg3=b$，则 $\dfrac{\lg 12}{\lg 15}$ 等于 (　　)
 A． $\dfrac{2 a+b}{1-a+b}$ $\qquad \qquad$ B． $\dfrac{2 a+b}{1+a+b}$$\qquad \qquad$ C． $\dfrac{a+2 b}{1-a+b}$$\qquad \qquad$ D． $\dfrac{a+2 b}{1+a+b}$
 

4. 实数 $a,b$ 满足 $2^a=5^b=10$，则下列关系正确的是 (　　)
 A． $\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=2$$\qquad$ B． $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$ $\qquad$ C． $\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=2$ $\qquad$ D．$\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=\dfrac{1}{2}$
 

5. 已知 $a>0$,$b>0$，若 $\log _4 a=\log _6 b=\dfrac{1}{2}$，则 $\dfrac{a}{b}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

6. 若 $3^a=2$，则 $2 \log_3⁡6-\log_3⁡16=$$\underline{\quad \quad}$ (用 $a$ 表示).
 

7. 已知 $3^x=2$，$y=\log_3 18$，则 $x=$$\underline{\quad \quad}$；$y-x=$$\underline{\quad \quad}$．
 

8. 已知 $3^x=4^y=6$，则 $\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

9. 化简 $\log _{\sqrt{3}} 9+\dfrac{1}{2} \lg 25+\lg 2-\log _4 9 \times \log _3 8$．
 

10. 计算 $\dfrac{2 \lg 4+\lg 9}{1+\dfrac{1}{2} \lg 0.36+\dfrac{1}{3} \lg 8}$．
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，
   对于 $C$，$\log_3⁡9=2→3^2=9$ 或 $9^{\frac{1}{2}}=3 \rightarrow \log _9 3=\dfrac{1}{2}$．故选 $C$．

2. 答案 $C$
   解析 因为 $\lg⁡10=1$，所以 $\lg⁡(\lg⁡10)=0$，故①正确；$\ln⁡(ln⁡e)=\ln⁡1=0$，故②正确；
   由 $\lg⁡x=10$ 可得 $x=10^{10}$，故③错误；由 $\ln⁡x=e$ 可得 $x=e^e$，故④错误；
   故选：$C$．

3. 答案 $A$
   解析 $\dfrac{\lg 12}{\lg 15}=\dfrac{\lg (3 \times 4)}{\lg (3 \times 5)}=\dfrac{\lg 3+\lg 4}{\lg 3+\lg 5}$$=\dfrac{\lg 3+2 \lg 2}{\lg 3+\lg \dfrac{10}{2}}=\dfrac{\lg 3+2 \lg 2}{\lg 3+1-\lg 2}$，
   $∵\lg2=a$，$\lg3=b$， $\therefore \dfrac{\lg 12}{\lg 15}=\dfrac{2 a+b}{1-a+b}$，故选：$A$．

4. 答案 $B$
   解析 $∵2^a=5^b=10$， $\therefore a=\log _2 10$, $b=\log _5 10$，
   $\therefore \dfrac{1}{a}=\lg 2$， $\dfrac{1}{b}=\lg 5$， $\therefore \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\lg 2+\lg 5=\lg (2 \times 5)=1$，
   故选：$B$．

5. 答案 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
   解析 $∵a>0$,$b>0$， $\log _4 a=\log _6 b=\dfrac{1}{2}$，
   $\therefore a=4^{\dfrac{1}{2}}=2$， $b=6^{\dfrac{1}{2}}$， $\therefore \dfrac{a}{b}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

6. 答案 $2-2a$
   解析 由 $3^a=2$，得 $a=\log_3⁡2$，
   所以 $2 \log _3 6-\log _3 16=2 \log _3 2 \times 3-\log _3 2^4$
   $=2 \log _3 2+2-4 \log _3 2=2-2\log_3 2=2-2a$．

7. 答案 $\log_3⁡2$，$2$
   解析 因为 $3^x=2$，所以 $x=\log_3⁡2$，
   又 $y=\log_3⁡18$，则 $y-x=\log_3⁡18-\log_3⁡2=\log_3⁡9=2$．

8. 答案 $2$
   解析 根据题意，$3^x=4^y=6$，
   则 $x=\log_3⁡6$，$y=\log_4⁡6$，则 $\dfrac{1}{x}=\log _6 3$， $\dfrac{1}{y}=\log _6 4$
   则 $\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2 \log _6 3+\log _6 4=\log _6 36=2$.

9. 答案 $2$
   解析 $\log _{\sqrt{3}} 9+\dfrac{1}{2} \lg 25+\lg 2-\log _4 9 \times \log _3 8$
   $=4+\lg⁡5+\lg⁡2-\log_2⁡3×\log_3⁡8$
   $=4+1-3=2$．

10. 答案 $2$
    解析 原式 $=\dfrac{2 \lg 12}{1+\lg (0.6 \times 2)}=\dfrac{2 \lg 12}{\lg 12}=2$．
     

【B组---提高题】

1. 若 $\log _2\left(\log _3 a\right)=\log _3\left(\log _4 b\right)=\log _4\left(\log _2 c\right)=1$，则 $a$,$b$,$c$ 的大小关系是 (　　)
 A．$a>b>c$ $\qquad \qquad$ B．$b>a>c$ $\qquad \qquad$ C．$a>c>b$$\qquad \qquad$ D．$b>c>a$
 

2. 若 $a>1$，$b>1$ 且 $\lg \left(1+\dfrac{b}{a}\right)=\lg b$，则 $\lg(a-1)+\lg(b-1)$ 的值 (　　)
 A．$1$ $\qquad \qquad$ B．$\lg2$ $\qquad \qquad$ C．$0$ $\qquad \qquad$ D．不是常数
 

3. 设 $S=\dfrac{1}{\log _2 \pi}+\dfrac{1}{\log _3 \pi}+\dfrac{1}{\log _4 \pi}+\dfrac{1}{\log _5 \pi}$，$T=|a-s|$,$a∈N^*$，当 $T$ 取最小值时 $a$ 的值为 (　　)
 A．$2$ $\qquad \qquad$ B．$3$ $\qquad \qquad$ C．$4$ $\qquad \qquad$ D．$5$
 

4. 正数 $a$,$b$ 满足 $1+\log _2 a=2+\log _3 b=3+\log _6(a+b)$，则 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$ 的值是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

5. 计算：$(\lg5)^2+\lg2×\lg50=$$\underline{\quad \quad}$ .
 

6. 已知 $3^m=5^n=k$ 且 $\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=2$，则 $k$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

7. 若 $x$,$y$,$z∈R^+$，且 $3^x=4^y=12^z$， $\dfrac{x+y}{z} \in(n, n+1)$，$n∈N$，则 $n$ 的值是 $\underline{\quad \quad}$.
 

8. 已知 $a>b>1$，若 $\log _a b+\log _b a=\dfrac{10}{3}$，$a^b=b^a$，则 $a+b=$$\underline{\quad \quad}$．
 

9. 设 $\ln ^2 x-\ln x-2=0$ 的两根是 $α$、$β$，则 $\log_α⁡β+\log_β⁡α=$$\underline{\quad \quad}$ .
 
10. 若 $\log _4(3 a+2 b)=\log _2 \sqrt{a b}$，则 $a+2b$ 的最小值是 $\underline{\quad \quad}$.
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 由 $\log_2⁡(\log_3⁡a )=1$，可得 $\log_3 a=2$，故 $a=3^2=9$，
   由 $\log_3⁡(\log_4⁡b )=1$，可得 $\log_4 b=3$，故 $b=4^3=64$，
   由 $\log_4⁡(\log_2⁡c )=1$，可得 $\log_2 c=4$，故 $c=2^4=16$，
   $∴b>c>a$．
   故选：$D$．

2. 答案 $C$
   解析 $∵a>1$，$b>1$ 且 $\lg \left(1+\dfrac{b}{a}\right)=\lg b$，
   $\therefore 1+\dfrac{b}{a}=b$，$∴a+b=ab$，
   $∴\lg(a-1)+\lg(b-1)=\lg[(a-1)(b-1)]$$=\lg(ab-a-b+1)=\lg1=0$．
   故选：$C$．

3. 答案 $C$
   解析 $s=\log _\pi 2+\log _\pi 3+\log _\pi 4+\log _\pi 5$$=\log _\pi(2 \times 3 \times 4 \times 5)=\log _\pi 120 \in(4,4.5)$．
   $∴T=|a-s|$，$a∈N^*$，当 $T$ 取最小值时 $a$ 的值为 $4$．
   故选：$C$．

4. 答案 $\dfrac{1}{12}$
   解析 依题意，设 $1+\log_2⁡a=2+\log_3⁡b=3+\log_6⁡(a+b)=k$，
   则 $a=2^{k-1}$, $b=3^{k-2}$, $a+b=6^{k-3}$，
   所以 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{a b}=\dfrac{6^{k-3}}{\left(2^{k-1}\right) \times\left(3^{k-2}\right)}=\dfrac{6^{-3} \times 6^k}{2^{-1} \times 3^{-2}\left(2^k \times 3^k\right)}$$=\dfrac{2 \times 3^2}{6^3}=\dfrac{1}{12}$．

5. 答案 $1$
   解析 $(\lg5)^2+\lg2×\lg50=(\lg5)^2+\lg2(2\lg5+\lg2)$$=(\lg5+\lg2)^2=1$.

6. 答案 $\sqrt{15}$
   解析 $3^m=5^n=k$，可得 $\dfrac{1}{m}=\log _k 3$, $\dfrac{1}{n}=\log _k 5$，
   $\because \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}=2$，$∴\log_k⁡3+\log_k⁡5=2$，
   可得 $\log _k 15=2$， $k=\sqrt{15}$．

7. 答案 $4$
   解析 令 $3^x=4^y=12^z=k>1$．
   则 $x=\dfrac{\lg k}{\lg 3}$, $y=\dfrac{\lg k}{\lg 4}$, $z=\dfrac{\lg k}{\lg 12}$．
   $\therefore \dfrac{x+y}{z}=\dfrac{\dfrac{\lg k}{\lg 3}+\dfrac{\lg k}{\lg 4}}{\dfrac{\lg k}{\lg 12}}=\dfrac{\lg 12 \cdot \lg 12}{\lg 3 \lg 4}$$=\dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2 \in(4,5)=(n, n+1)$，$n∈N$，
   则 $n=4$．

8. 答案 $4 \sqrt{3}$
   解析 设 $t=\log_b⁡a$，由 $a>b>1$ 知 $t>1$，
   代入 $\log _a b+\log _b a=t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{10}{3}$，
   即 $3t^2-10t+3=0$，解得 $t=3$ 或 $t=\dfrac{1}{3}$(舍去)，
   所以 $\log_b⁡a=3$，即 $a=b^3$，
   因为 $a^b=b^a$，所以 $b^{3b}=b^a$，则 $a=3b=b^3$，
   解得 $b=\sqrt{3}$, $a=3 \sqrt{3}$，
   则 $a+b=4 \sqrt{3}$.

9. 答案 $-\dfrac{5}{2}$
   解析 $\ln ^2 x-\ln x-2=0$ 的两根是 $α$、$β$，
   $∴\lnα$ 和 $\lnβ$ 是方程 $t^2-t-2=0$ 的两个根，
   则 $\lnα+\lnβ=1$，$\lnα\cdot \lnβ=-2$；
   $\therefore \log _\alpha \beta+\log _\beta \alpha==\dfrac{\ln \beta}{\ln \alpha}+\dfrac{\ln \alpha}{\ln \beta}=\dfrac{\ln ^2 \beta+\ln ^2 \alpha}{\ln \alpha \cdot \ln \beta}$$=\dfrac{(\ln \alpha+\ln \beta)^2-2 \ln \alpha \cdot \ln \beta}{\ln \alpha \cdot \ln \beta}=\dfrac{1^2-2 \times(-2)}{-2}=-\dfrac{5}{2}$．

10. 答案 $8+4 \sqrt{3}$
    解析 $\log _4(3 a+2 b)=\log _2 \sqrt{a b}$，
    $\therefore \sqrt{3 a+2 b}=\sqrt{a b}$，$a>0$,$b>0$，
    即 3a+2b=ab，即 2/a+3/b=1，
    $\therefore a+2 b=(a+2 b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\right)=2+6+\dfrac{3 a}{b}+\dfrac{4 b}{a} \geqslant 8+4 \sqrt{3}$，
    当且仅当 $\dfrac{3 a}{b}=\dfrac{4 b}{a}$，即 $\sqrt{3} a=2 b$ 取等号，
    故 $a+2b$ 的最小值是 $8+4 \sqrt{3}$．
     

【C组---拓展题】

1. 已知正数 $x$,$y$,$z$ 满足 $\log_2⁡x=\log_3⁡y=\log_5⁡z>0$，则下列结论不可能成立的是 (　　)
 A． $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}$ $\qquad \qquad$ B． $\dfrac{y}{3}<\dfrac{z}{5}<\dfrac{x}{2}$ $\qquad \qquad$ C． $\dfrac{x}{2}>\dfrac{y}{3}>\dfrac{z}{5}$ $\qquad \qquad$ D． $\dfrac{x}{2}<\dfrac{y}{3}<\dfrac{z}{5}$
 

2. 已知 $a>b>1$，若 $\log _a b+\log _b a=\dfrac{5}{2}$，$a^b=b^a$，则 $ab=$$\underline{\quad \quad}$．
 

3. 抽气机每次抽出容器内空气的 $60\%$，要使容器内的空气少于原来的 $0.1\%$，则至少要抽几次？($\lg 2≈0.301 0$)
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 设 $\log _2 x=\log _3 y=\log _5 z=k>0$，则 $\dfrac{x}{2}=2^{k-1}$， $\dfrac{y}{3}=3^{k-1}$， $\dfrac{z}{5}=5^{k-1}$；
   $∴k=1$ 时， $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}$；$k>1$ 时， $\dfrac{x}{2}<\dfrac{y}{3}<\dfrac{z}{5}$；$0<k<1$ 时， $\dfrac{x}{2}>\dfrac{y}{3}>\dfrac{z}{5}$．
   故选：$B$．

2. 答案 $8$
   解析 $\because \log _a b+\log _b a=\dfrac{5}{2}$；
   $\therefore \dfrac{1}{\log _b a}+\log _b a=\dfrac{1+\left(\log _b a\right)^2}{\log _b a}=\dfrac{5}{2}$；
   $\therefore 2\left(\log _b a\right)^2-5 \log _b a+2=0$；解得 $\log _b a=\dfrac{1}{2}$ 或 $\log _b a=2$；
   $∵a>b>1$；$∴\log_b a>1$；$∴\log_b a=2$；$∴a=b^2$；
   又 $a^b=b^a$；
   $\therefore b^{2 b}=b^{b^2}$；$∴b^2=2b$；$∴b=2$ 或 $b=0$(舍去)；$∴a=4$；
   $∴ab=8$．
   故答案为：$8$．

3. 答案 $8$
   解析 设至少抽 $n$ 次可使容器内空气少于原来的 $0.1\%$，
   则 $a(1-60 \%)^n<0.1 \% a$(设原先容器中的空气体积为 $a$)，
   即 $0.4^n<0.001$,
   两边取常用对数得 $n \cdot \lg 0.4<\lg 0.001$，
   所以 $n>\dfrac{\lg 0.001}{\lg 0.4}=\dfrac{3}{2 \lg 2-1} \approx 7.5$．
   故至少需要抽 $8$ 次．