4.2 指数函数
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
指数函数概念
一般地，函数\(y=a^x (a>0\)且\(a≠1)\)叫做指数函数，其中\(x\)是自变量，函数的定义域为\(R\).
解释
(1)指数函数\(y=a^x (a>0\)且\(a≠1)\)中系数为\(1\)，底数是不为\(1\)的正实数的常数，指数是变量\(x\).注意与幂函数的区别，如\(y=2^x\)是指数函数，\(y=x^3\)是幂函数.
(2)指数函数中为什么要限制\(a>0\)且\(a≠1\)呢？
① 若\(a<0\)，则对于\(x\)的某些值\(a^x\)无意义，如\((-2)^x\)，此时\(x\)取 \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\)…等没意义；其函数图象没明显特点；
② 若\(a=0\)或\(a=1\)时，函数没研究价值.
指数函数的图像与性质
| 函数名称 | 指数函数 | |
| 定义 | 函数$y=a^x (a>0$且$a≠1)$叫做指数函数 | |
| 图象 | $a>1$ | $0< a <1$ |
 |
 |
|
| 定义域 | $R$ | |
| 值域 | $(0,+∞)$ | |
| 过定点 | 图象过定点$(0,1)$，即当$x=0$时，$y=1$ | |
| 奇偶性 | 非奇非偶 | |
| 单调性 | 在$R$上是增函数 | 在$R$上是减函数 |
| $a$变化对图象的影响 | 在第一象限内，$a$越大图象越高；在第二象限内，$a$越大图象越低 | |
【例】画出函数\(y=2^x\)和 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)的图象，说下他们的函数性质.
解析
\(y=2^x\)：在\(R\)上递增，非奇非偶函数，值域是\((0,+∞)\);
\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)：在\(R\)上递减，非奇非偶函数，值域是\((0,+∞)\).
\(y=2^x\)与 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)关于\(y\)轴对称.
指数型函数模型
形如 \(y=k·a^x (k∈R，\)且\(k≠0；a>0，\)且\(a≠1)\)的函数称为指数型函数．
基本方法
【题型1】指数函数的概念
【典题1】已知指数函数\(f(x)\)的图象经过点 \(\left(-2, \dfrac{1}{16}\right)\)，试求\(f(-1)\)和\(f(3)\)．
解析 设\(f(x)=a^x (a>0,\)且\(a≠1)\)，
\(∵\)函数\(f(x)\)的图象经过点 \(\left(-2, \dfrac{1}{16}\right)\)，
\(\therefore a^{-2}=\dfrac{1}{16}\)，解得\(a=±4\)．
又\(a>0\)，则\(a=4\)，\(∴f(x)=4^x\)，
\(\therefore f(-1)=4^{-1}=\dfrac{1}{4}\)，\(f(3)=4^3=64\).
点拨 待定系数法求解函数解析式.
巩固练习
1.下列函数中是指数函数的是\(\underline{\quad \quad}\) (填序号)．
① \(y=2 \cdot(\sqrt{2})^{x}\)；② \(y=2^{x-1}\)；③ \(y=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{x}\)；④\(y=x^x\)；⑤ \(y=3^{-\frac{1}{x}}\)；⑥ \(y=x^{\frac{1}{3}}\)．
2.若指数函数\(f(x)\)的图象经过点\((2,9)\)，求\(f(x)\)．
参考答案
-
答案 ③
解析 ① \(y=2 \cdot(\sqrt{2})^{x}\)的系数不是\(1\)，不是指数函数;
② \(y=2^{x-1}\)的指数不是自变量\(x\)，不是指数函数；
③ \(y=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{x}\)是指数函数；
④ \(y=x^x\)的底数是\(x\)不是常数，不是指数函数；
⑤ \(y=3^{-\dfrac{1}{x}}\)的指数不是自变量\(x\)，不是指数函数；
⑥ \(y=x^{\dfrac{1}{3}}\)是幂函数.
故答案：③ -
答案 \(f(x)=3^x\)
解析 设\(f(x)=ax(a>0,\)且\(a≠1)\)，
因为函数\(f(x)\)的图象经过点\((2,9)\)，代入可得\(a^2=9\)，解得\(a=3\)或\(a=-3\)(舍去)．
故\(f(x)=3^x\)．
【题型2】指数函数的图象与性质
【典题1】 如图是指数函数①\(y=a^x\)，②\(y=b^x\)，③\(y=c^x\)，④\(y=d^x\)的图象，则\(a,b,c,d\)与\(1\)的大小关系是( )
A．\(a<b<1<c<d\) \(\qquad \qquad\) B．\(b<a<1<d<c\)\(\qquad \qquad\)
C．\(1<a<b<c<d\) \(\qquad \qquad\) D．\(a<b<1<d<c\)
解析 设\(x=1\)与①②③④的图象分别交于点\(A,B,C,D\)，如图，则其坐标依次为\((1,a)，(1,b)，(1,c)，(1,d)\)，由图象观察可得\(c>d>1>a>b\)．故选\(B\)．
【典题2】 函数\(y=|2^x-1|\)的大致图象是( )
A． 
\(\qquad \qquad\) B．
C．
\(\qquad \qquad\) D． 
解析 \(y=\left|2^{x}-1\right|=\left\{\begin{array}{l}
2^{x}-1, x \geq 0 \\
-2^{x}+1, x<0
\end{array}\right.\)，
当\(x<0\)时，\(y=1－2^x\)的图象是将\(y=2^x\)图象先沿\(x\)轴对称下来，再沿\(y\)轴向上平移\(1\)个单位，
此时\(x<0\)时的图象在\(x\)轴上方，且为增函数，渐近线为\(y=1\)，
只有\(C\)项满足题意．故选\(C\).
点拨 含绝对值的函数可利用 \(|a|=\left\{\begin{array}{cc}
a, & a \geq 0 \\
-a, & a<0
\end{array}\right.\)转化为分段函数，也可以函数图象的变换画出其函数图象.
巩固练习
1.如图是指数函数①\(y=a^x\) ②\(y=b^x\) ③\(y=c^x\) ④\(y=d^x\)的图象，则\(a,b,c,d\)与\(1\)的大小关系是( )
A．\(c<d<1<a<b\) \(\qquad \qquad\) B．\(d<c<1<b<a\) \(\qquad \qquad\) C．\(c<d<1<b\) \(\qquad \qquad\) D．\(1<c<d<a<b\)
2.如果\(a>1,b<-1\)，那么函数\(f(x)=a^x+b\)的图象在( )
A．第一、二、三象限 \(\qquad \qquad\) B．第一、三、四象限 \(\qquad \qquad\) C．第二、三、四象限 \(\qquad \qquad\) D．第一、二、四象限
3.函数 \(y=e^{-|x|}\)(\(e\)是自然底数)的大致图象是( )
A．
\(\qquad \qquad\) B． 
\(\qquad \qquad\) C． 
\(\qquad \qquad\) D．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(∵\)当底数大于\(1\)时指数函数是定义域内的增函数，当底数大于\(0\)小于\(1\)时是定义域内的减函数，
可知\(a，b\)大于\(1\)，\(c，d\)大于\(0\)小于\(1\)．
又由图可知\(a^1>b^1\)，即\(a>b\)．\(d^1<c^1\)，即\(d<c\)．
\(∴a,b,c,d\)与\(1\)的大小关系是\(d<c<1<b<a\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 \(∵a>1\)，\(∴y=a^x\)的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过\((0,1)\)，
\(f(x)=a^x+b\)的图象可看成把 \(y=a^x\)的图象向下平移\(－b(－b>1)\)个单位得到的，
故函数\(f(x)=a^x+b\)的图象，经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，
故选：\(B\)． -
答案 \(C\)
解析 \(\because y=e^{-|x|}=\left\{\begin{array}{l} \left(\dfrac{1}{e}\right)^{x}, x \geq 0 \\ e^{x}, x<0 \end{array}\right.\)．根据指数函数的图象与性质可知：应选\(C\)．
【题型3】指数函数的应用
角度1 比较指数式的大小
【典题1】 设 \(y_{1}=4^{0.9}, y_{2}=8^{0.48}, y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}\)，则( )
A．\(y_3>y_1>y_2\) \(\qquad \qquad\) B．\(y_2>y_1>y_3\) \(\qquad \qquad\) C．\(y_1>y_2>y_3\) \(\qquad \qquad\) D．\(y_1>y_3>y_2\)
解析 利用幂的运算性质可得，
\(y_{1}=4^{0.9}=2^{1.8}\)， \(y_{2}=8^{0.48}=2^{1.44}\)， \(y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}=2^{1.5}\)，
再由\(y=2^x\)是增函数，知\(y_1>y_3>y_2\)．
故选：\(D\)．
点拨 注意数式的结构，通过构造函数，利用函数单调性比较大小.
巩固练习
1.已知 \(a=4^{\frac{1}{2}}, \quad b=2^{\frac{1}{3}}, \quad c=5^{\frac{1}{2}}\)，则\(a、b、c\)的大小关系为( )
A．\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\) B．\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C．\(b<c<a\) \(\qquad \qquad\) D．\(c<a<b\)
2.已知 \(a=0.7^{2.1}, \quad b=0.7^{2.5} . \quad c=2.1^{0.7}\)，则这三个数的大小关系为( )
A．\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\) B．\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C．\(c<a<b\) \(\qquad \qquad\) D．\(c<b<a\)
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 \(a=4^{\frac{1}{2}}=2, \quad b=2^{\frac{1}{3}}<2, \quad c=5^{\frac{1}{2}}>2\)，则\(c>a>b\)，故选：\(A\)． - 答案 \(A\)
解析 根据指数函数的性质可得：函数 \(y=0.7^{x}\)的底数小于\(1\)，是减函数，
\(∵2.1<2.5\)， \(\therefore 0.7^{2.1}>0.7^{2.5}\)，即\(a>b\)．
又 \(\because c=2.1^{0.7}>2.1^{0}=1\)， \(a=0.7^{2.1}<0.7^{0}=1\)，
\(∴c<a\)，所以\(b<a<c\)，故选：\(A\)．
角度2 求解指数型不等式
【典题1】 已知集合 \(N=\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<2^{x+1}<4, x \in Z\right\}\)，\(M=\{-1,1\}\)，则\(M∩N=\underline{\quad \quad}\).
解析 \(\because \dfrac{1}{2}<2^{x+1}<4\)， \(\therefore 2^{-1}<2^{x+1}<2^{2}\)，\(∴-1<x+1<2⇒-2<x<1\)，
\(∴\)集合\(N=\{x|-2<x<1,x∈z\}=\{-1,0\}\)，
又\(∵M=\{-1,1\}\)，\(∴M∩N=\{-1\}\).
点拨 利用指数函数的单调性求解不等式.
巩固练习
1.函数 \(y=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}}\)的定义域是\(\underline{\quad \quad}\) .
2.不等式 \(3^{x^{2}+a x}>3^{2 x+a-2}\)恒成立，则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \([0,+∞)\)
解析 由 \(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} \geq 0\)得， \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} \leq 1\)，解得：\(x≥0\)，
故函数 \(y=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}}\)的定义域是\([0,+∞).\) -
答案 \((-2,2)\)
解析 不等式 \(3^{x^{2}+a x}>3^{2 x+a-2}\)恒成立，即\(x^2+ax>2x+a-2\)，
亦即\(x^2+(a-2)x-a+2>0\)恒成立，
则\(△=(a-2)^2-4(-a+2)<0\)，解得\(-2<a<2\)，
故\(a\)的取值范围是\((-2,2)\)．
角度3 指数型函数综合问题
【典题1】如果函数\(y=a^2x+2a^x-1(a>0\)且\(a≠1)\)在区间\([-1,1]\)上有最大值\(14\)，试求\(a\)的值．
解析 设\(t=a^x\)，则\(t>0\)，原函数可化为\(y=(t+1)^2-2\)，其图象的对称轴为\(t=-1\)．
(1)若\(a>1\)，\(∵x∈[-1,1]\)， \(\therefore t \in\left[\dfrac{1}{a}, a\right]\)，
则函数\(y=(t+1)^2-2\)在区间 \(\left[\dfrac{1}{a}, a\right]\)上单调递增，
\(∴\)当\(t=a\)时，函数\(y\)取得最大值\((a+1)^2-2\)，
即\((a+1)^2-2=14\)，解得\(a=3\)或\(a=-5\)(舍去)．
(1)若\(0<a<1\)，\(∵x∈[－1,1]\)， \(\therefore \mathrm{t} \in\left[a, \dfrac{1}{a}\right]\)，
则函数\(y=(t+1)^2-2\)在区间 \(\left[\dfrac{1}{a}, a\right]\)上单调递增，
\(∴\)当 \(t=\dfrac{1}{a}\)时，函数y取得最大值 \(\left(\dfrac{1}{a}+1\right)^{2}-2\)，
即 \(\left(\dfrac{1}{a}+1\right)^{2}-2=14\)，解得 \(a=\dfrac{1}{3}\) 或\(a=-\dfrac{1}{5}\)(舍去)．
综上可知，\(a\)的值为\(3\)或 \(\dfrac{1}{3}\)．
巩固练习
1.已知函数 \(f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{a x^{2}-4 x+3}\)，
(1)若\(a=-1\)，求\(f(x)\)的单调区间；
(2)若\(f(x)\)有最大值\(3\)，求\(a\)的值．
(3)若\(f(x)\)的值域是\((0,+∞)\)，求\(a\)的取值范围．
参考答案
- 答案 (1)递增区间是\((-2,+∞)\)，递减区间是\((-∞,-2 )\)．(2) \(1\) (3) \(\{0\}\)
解析 (1)当\(a=-1\)时， \(f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-x^{2}-4 x+3}\)，
令\(g(x)=-x^2-4x+3\)，
由于\(g(x)\)在\((-∞,-2)\)上单调递增，在\((-2,+∞)\)上单调递减，
而 \(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{t}\)在\(R\)上单调递减，
所以\(f(x)\)在\((-∞,-2)\)上单调递减，在\((-2,+∞)\)上 单调递增，
即函数\(f(x)\)的递增区间是\((-2,+∞)\)，递减区间是\((-∞,-2 )\)．
(2)令\(h(x)=ax^2-4x+3\)， \(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{h(x)}\)，由于\(f(x)\)有最大值\(3\)，
所以 \(h(x)\)应有最小值\(-1\)，
因此 \(\dfrac{12 a-16}{4 a}=-1\)，解得\(a=1\)．
即当\(f(x)\)有最大值3时，\(a\)的值等于\(1\)．
(3)由指数函数的性质知，
要使\(y=h(x)\)的值域为\((0,+∞)\)．
应使\(h(x)=ax^2-4x+3\)的值域为\(R\)，
因此只能有\(a=0\)．
因为若\(a≠0\)，则\(h(x)\)为二次函数，其值域不可能为\(R\)．
故\(a\)的取值范围是\(\{0\}\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.函数\(y=(a-2)^2 a^x\)是指数函数，则( )
A．\(a=1\)或\(a=3\) \(\qquad \qquad\) B．\(a=1\) \(\qquad \qquad\) C．\(a=3\) \(\qquad \qquad\) D．\(a>0\)且\(a≠1\)
2.若函数\(y=a^x+b\)的部分图象如图所示，则( )
A．\(0<a<1,-1<b<0\) \(\qquad \qquad\) B．\(0<a<1,0<b<1\)
C．\(a>1,-1<b<0\) \(\qquad \qquad\) D．\(a>1,0<b<1\)
3.函数 \(y=\dfrac{x a^{x}}{|x|}(a>1)\)的图象的大致形状是( )
A．
\(\qquad \qquad\) B．
\(\qquad \qquad\) C．
\(\qquad \qquad\) D．
4.已知 \(a=1.6^{0.3}, b=1.6^{0.8}, c=0.7^{0.8}\)，则( )
A．\(c<a<b\) \(\qquad \qquad\) B．\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C．\(b>c>a\) \(\qquad \qquad\) D．\(a>b>c\)
5.二次函数\(y=-x^2-4x(x>-2)\)与指数函数 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)的交点个数有( )
A．\(3\)个 \(\qquad \qquad\) B．\(2\)个 \(\qquad \qquad\) C．\(1\)个 \(\qquad \qquad\) D．\(0\)个
6.方程\(|2^x-1|=a\)有唯一实数解，则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
7.函数\(y=a^x-2(a>0\)且\(a≠1，-1≤x≤1)\)的值域是 \(\left[-\dfrac{5}{3}, 1\right]\)，则实数\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
8.已知函数 \(f(x)=\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}\)．
(1)求\(f(x)\)的定义域； (2)讨论\(f(x)\)的奇偶性．
9.已知函数\(f(x)=b\cdot a^x\)(其中\(a,b\)为常量，且\(a>0,a≠1\))的图象经过点\(A(1,6)\)，\(B(3,24)\)．
(1)求\(f(x)\)；
(2)若不等式 \(\left(\dfrac{1}{a}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{b}\right)^{x}-m \geq 0\)在\(x∈(-∞,1]\)时恒成立，求实数\(m\)的取值范围．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 由指数函数定义知 \(\left\{\begin{array}{l} (a-2)^{2}=1 \\ a>0, \text { 且 } a \neq 1 \end{array}\right.\)，所以解得\(a=3\)．故选\(C\). -
答案 \(A\)
解析 由图象可以看出，函数为减函数，故\(0<a<1\)，
因为函数\(y=a^x\)的图象过定点\((0,1)\)，函数\(y=a^x+b\)的图象过定点\((0,b+1)\)，
\(∴-1<b<0\)，故选：\(A\). -
答案 \(C\)
解析 \(f(x)\)是分段函数，根据\(x\)的正负写出分段函数的解析式，
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l} a^{x}(x>0) \\ -a^{x}(x<0) \end{array}\right.\)
\(∴x>0\)时，图象与\(y=a^x\)在第一象限的图象一样，
\(x<0\)时，图象与\(y=a^x\)的图象关于\(x\)轴对称，
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 \(y=1.6^x\)是增函数，故 \(a=1.6^{0.3}<b=1.6^{0.8}\)，而 \(1.6^{0.3}>1>0.7^{0.8}\)，故\(c<a<b\)，故选：\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 因为二次函数\(y=-x^2-4x=-(x+2)^2+4(x>-2)\)，
且\(x=-1\)时，\(y=-x^2-4x=3\)， \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=2\)，
则在坐标系中画出\(y=-x^2-4x(x>－2)\)与 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)的图象：
由图可得，两个函数图象的交点个数是\(1\)个，故选\(C\)．
-
答案 \(a≥1\)或\(a=0\)
解析 作出\(y=|2^x-1|\)的图象，要使直线\(y=a\)与图象的交点只有一个，\(∴a≥1\)或\(a=0\).
-
答案 \(3\)或 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 当\(a>1\)时，函数\(y=a^x-2(a>0\)且\(a≠1)\)，\(-1≤x≤1\)是增函数，
\(∵\)值域是 \(\left[a^{-1}-2, a-2\right]\)， \(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}-2=-\dfrac{5}{3} \\ a-2=1 \end{array} \Rightarrow a=3\right.\)；
当\(0<a<1\)时，数\(y=a^x-2(a>0\)且\(a≠1，-1≤x≤1)\)是减函数，
\(∵\)值域是 \(\left[a-2, a^{-1}-2\right]\)， \(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}-2=1 \\ a-2=-\dfrac{5}{3} \end{array} \Rightarrow a=\dfrac{1}{3}\right.\)．
综上所述，可得实数\(a=3\)或 \(\dfrac{1}{3}\). -
答案 (1)\((-∞,0)∪(0,+∞)\) (2)\(C\)
解析 (1)由\(2x-1≠0\)，得\(2x≠1\)，即\(x≠0\)，
因此函数\(f(x)\)的定义域为\((-∞,0)∪(0,+∞)\)．
(2)由(1)知，函数\(f(x)\)的定义域为\((-∞,0)∪(0,+∞)\)，关于坐标原点对称，
又 \(f(-x)=\dfrac{1}{2^{-x}-1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2 x}{1-2^{x}}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}-1+1}{1-2^{x}}+\dfrac{1}{2}\)\(=-1-\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}=-\left(\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}\right)=-f(x)\)，
所以\(f(x)\)为奇函数． -
答案 (1) \(f(x)=3\cdot 2^x\) (2) \(\left[\dfrac{5}{6},+\infty\right)\)
解析 (1)把\(A(1,6)\)，\(B(3,24)\)代入 \(f(x)=b\cdot a^x\)，得 \(\left\{\begin{array}{l} 6=a b \\ 24=b \cdot a^{3} \end{array}\right.\)
结合\(a>0\)且\(a≠1\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=3 \end{array}\right.\)，
\(∴f(x)=3\cdot 2^x\)．
(2)要使 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} \geq m\)在\((－∞,1]\)上恒成立，
只需保证函数 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\)在\((－∞,1]\)上的最小值不小于\(m\)即可．
\(∵\)函数 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\)在\((－∞,1]\)上为减函数，
\(∴\)当\(x=1\)时， \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\)有最小值．
\(∴\)只需 \(m \leq \dfrac{5}{6}\)即可．
【B组---提高题】
1.如图所示，函数\(y=|2^x－2|\)的图象是( )
A．
\(\qquad \qquad\) B．
\(\qquad \qquad\) C．
\(\qquad \qquad\) D． 
2.已知实数\(a,b\)满足等式\(2^a=3^b\)，下列五个关系式：①\(0<b<a\)；②\(a<b<0；\)③\(0<a<b\)；④\(b<a<0\)；⑤\(a=b\)．其中可能成立的关系式有( )
A．①②③ \(\qquad \qquad\) B．①②⑤ \(\qquad \qquad\) C．①③⑤ \(\qquad \qquad\) D．③④⑤
3.已知 \(a=2^{\frac{4}{3}}, b=4^{\frac{2}{5}}, c=25^{\frac{1}{3}}\)，则( )
A．\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\) B．\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\)C．\(b<c<a\) \(\qquad \qquad\) D．\(c<a<b\)
4.若方程 \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1+a=0\)有正数解，则实数\(a\)的取值范围是( )
A．\((0,1)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-3,0)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-2,0)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-1,0)\)
5.设函数\(f(x)=|2^x-1|\)，\(c<b<a\)，且\(f(c)>f(a)>f(b)\)，则\(2^a+2^c\)与\(2\)的大小关系是( )
A．\(2^a+2^c>2\) \(\qquad \qquad\) B．\(2^a+2^c≥2\)\(\qquad \qquad\) C．\(2^a+2^c≤2\) \(\qquad \qquad\) D．\(2^a+2^c<2\)
6.已知不等式 \(\dfrac{1}{2^{x^{2}+x}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x^{2}-m x+m+4}\)对任意\(x∈R\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
7.已知函数 \(f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}\)．
(1)求证：函数\(f(x)\)是\(R\)上的奇函数；
(2)若对任意的\(t∈R\)，不等式\(f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0\)恒成立，求\(k\)的取值范围．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(\because y=\left|2^{x}-2\right|=\left\{\begin{array}{l} 2^{x}-2, x \geq 1 \\ 2-2^{x}, x<1 \end{array}\right.\)，\(∴x=1\)时，\(y=0\)，\(x≠1\)时，\(y>0\)．故选\(B\)． -
答案 \(B\)
解析 令\(f(x)=2^x\)和\(g(x)=3^x\)，\(2^a=3^b\)即\(f(a)=g(b)\)，如图所示
由图象可知①②⑤正确，故选\(B\)．
-
答案 \(A\)
解析 \(\because a=2^{\frac{4}{3}}, \quad b=2^{\frac{4}{5}}, \dfrac{4}{3}>\dfrac{4}{5}\)，\(∴a>b\)，
又 \(a=2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{16}, \quad c=\sqrt[3]{25}\)，故\(a<c\)，故\(c>a>b\)，
故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 设 \(t=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\) ，则有 \(a=-\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x}+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\right]=-t^{2}-2 t=-(t+1)^{2}+1\)．
原方程有正数解\(x>0\)，则 \(0<t=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0}=1\)，
即关于\(t\)的方程\(t^2+2t+a=0\)在\((0,1)\)上有实根．
又因为\(a=-(t+1)^2+1\)，
所以当\(0<t<1\)时有\(1<t+1<2\)，
即\(1<(t+1)^2<4\)，
即\(-4<-(t+1)^2<－1\)，
即\(-3<-(t+1)^2+1<0\)，
即得：\(-3<a<0\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 \(f(x)=\left|2^{x}-1\right|=\left\{\begin{array}{l} 2^{x}-1, x \geq 0 \\ 1-2^{x}, x<0 \end{array}\right.\)，
作出\(f(x)=|2^x－1|\)的图象如图所示，
由图可知，要使\(c<b<a\)且\(f(c)>f(a)>f(b)\)成立，则有\(c<0\)且\(a>0\)，
故必有\(2^c<1\)且\(2^a>1\)，
又\(f(c)-f(a)>0\)，即为\(1-2^c-(2^a-1)>0\)，\(∴2^a+2^c<2\)．
故选：\(D\)． -
答案 \((-3,5)\)
解析 不等式等价为 \(\dfrac{1}{2^{x^{2}+x}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x^{2}-m x+m+4}\)，
即\(x^2+x<2x^2－mx+m+4\)恒成立，\(∴x^2-(m+1)x+m+4>0\)恒成立，
即\(△=(m+1)^2－4(m+4)<0\)，即\(m^2-2m-15<0\)，
解得\(-3<m<5\)，
故答案为：\(-3<m<5\)． -
答案 (1)奇函数 (2) \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)\)
解析 (1)\(f(x)\)的定义域是\(R\)， \(f(-x)=\dfrac{1}{2^{-x}+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}}{1+2^{x}}-\dfrac{1}{2}\)．
\(\therefore f(-x)+f(x)=\dfrac{2^{x}}{1+2^{x}}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}+1}{1+2^{x}}-1=0\)．
\(∴f(-x)=-f(x)\)．
\(∴f(x)\)是\(R\)上的奇函数．
(2)\(∵y=2^x\)在\(R\)上是增函数， \(\therefore f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}\)在\(R\)上是减函数．
\(∵f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0\)，\(∴f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2 )\)．
\(∴t^2-2t>k-2t^2\)，即\(k<3t^2-2t\)．
令 \(g(t)=3 t^{2}-2 t=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^{2}-\dfrac{1}{3}\)，则\(g(t)\)的最小值为 \(-\dfrac{1}{3}\)．
\(\therefore k<-\dfrac{1}{3}\)．\(∴k\)的取值范围是 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)\)．
【C组---拓展题】
1.若 \(2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}\)，则有( )
A．\(x+y≥0\) \(\qquad \qquad\) B．\(x+y≤0\) \(\qquad \qquad\) C．\(x-y≤0\) \(\qquad \qquad\) D．\(x-y≥0\)
2.已知定义在\((-1,1)\)上的奇函数\(f(x)\)．在\(x∈(-1,0)\)时， \(f(x)=2^{x}+2^{-x}\)．
(1)试求\(f(x)\)的表达式；
(2)若对于\(x∈(0,1)\)上的每一个值，不等式\(t·2^x·f(x)<4^x-1\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．
参考答案
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答案 \(B\)
解析 构造函数 \(f(x)=2^{x}-5^{-x}\)，易得函数\(f(x)\)单调递增，
由 \(2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}\)，可得\(f(x)≤f(-y)\)
\(∴x≤-y⇒x+y≤0\)，
故选：\(B\)． -
答案 (1) \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.\)(2)\([0,+∞)\)
解析 (1)\(∵f(x)\)是定义在\((-1,1)\)上的奇函数，\(∴f(0)=0\)，
设\(x∈(0,1)\)，则\(-x∈(-1,0)\)，
则\(f(x)=-f(-x)=-\left(2^{x}+2^{-x}\right)\)，
故 \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.\)
(2)由题意，\(t·2^x·f(x)<4^x-1\)可化为 \(t \cdot 2^{x} \cdot\left(-2^{x}-2^{-x}\right)<4^{x}-1\)
化简可得 \(t>\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}\)，
(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)
令 \(g(x)=\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}=-1+\dfrac{2}{4^{x}+1}\)， (分离常数法)
易得\(g(x)\)在\((0,1)\)上递减，
\(\therefore g(x)<g(0)=-1+\dfrac{2}{4^{0}+1}=0\)，
故\(t≥0\)．(\(t\)可取到\(0\)).
