4.2 指数函数
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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必修第一册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
指数函数概念
一般地,函数\(y=a^x (a>0\)且\(a≠1)\)叫做指数函数,其中\(x\)是自变量,函数的定义域为\(R\).
解释
(1)指数函数\(y=a^x (a>0\)且\(a≠1)\)中系数为\(1\),底数是不为\(1\)的正实数的常数,指数是变量\(x\).注意与幂函数的区别,如\(y=2^x\)是指数函数,\(y=x^3\)是幂函数.
(2)指数函数中为什么要限制\(a>0\)且\(a≠1\)呢?
① 若\(a<0\),则对于\(x\)的某些值\(a^x\)无意义,如\((-2)^x\),此时\(x\)取 \(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\)…等没意义;其函数图象没明显特点;
② 若\(a=0\)或\(a=1\)时,函数没研究价值.
指数函数的图像与性质
函数名称 | 指数函数 | |
定义 | 函数$y=a^x (a>0$且$a≠1)$叫做指数函数 | |
图象 | $a>1$ | $0< a <1$ |
![]() |
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|
定义域 | $R$ | |
值域 | $(0,+∞)$ | |
过定点 | 图象过定点$(0,1)$,即当$x=0$时,$y=1$ | |
奇偶性 | 非奇非偶 | |
单调性 | 在$R$上是增函数 | 在$R$上是减函数 |
$a$变化对图象的影响 | 在第一象限内,$a$越大图象越高;在第二象限内,$a$越大图象越低 |
【例】画出函数\(y=2^x\)和 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)的图象,说下他们的函数性质.
解析
\(y=2^x\):在\(R\)上递增,非奇非偶函数,值域是\((0,+∞)\);
\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\):在\(R\)上递减,非奇非偶函数,值域是\((0,+∞)\).
\(y=2^x\)与 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)关于\(y\)轴对称.
指数型函数模型
形如 \(y=k·a^x (k∈R,\)且\(k≠0;a>0,\)且\(a≠1)\)的函数称为指数型函数.
基本方法
【题型1】指数函数的概念
【典题1】已知指数函数\(f(x)\)的图象经过点 \(\left(-2, \dfrac{1}{16}\right)\),试求\(f(-1)\)和\(f(3)\).
解析 设\(f(x)=a^x (a>0,\)且\(a≠1)\),
\(∵\)函数\(f(x)\)的图象经过点 \(\left(-2, \dfrac{1}{16}\right)\),
\(\therefore a^{-2}=\dfrac{1}{16}\),解得\(a=±4\).
又\(a>0\),则\(a=4\),\(∴f(x)=4^x\),
\(\therefore f(-1)=4^{-1}=\dfrac{1}{4}\),\(f(3)=4^3=64\).
点拨 待定系数法求解函数解析式.
巩固练习
1.下列函数中是指数函数的是\(\underline{\quad \quad}\) (填序号).
① \(y=2 \cdot(\sqrt{2})^{x}\);② \(y=2^{x-1}\);③ \(y=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{x}\);④\(y=x^x\);⑤ \(y=3^{-\frac{1}{x}}\);⑥ \(y=x^{\frac{1}{3}}\).
2.若指数函数\(f(x)\)的图象经过点\((2,9)\),求\(f(x)\).
参考答案
-
答案 ③
解析 ① \(y=2 \cdot(\sqrt{2})^{x}\)的系数不是\(1\),不是指数函数;
② \(y=2^{x-1}\)的指数不是自变量\(x\),不是指数函数;
③ \(y=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{x}\)是指数函数;
④ \(y=x^x\)的底数是\(x\)不是常数,不是指数函数;
⑤ \(y=3^{-\dfrac{1}{x}}\)的指数不是自变量\(x\),不是指数函数;
⑥ \(y=x^{\dfrac{1}{3}}\)是幂函数.
故答案:③ -
答案 \(f(x)=3^x\)
解析 设\(f(x)=ax(a>0,\)且\(a≠1)\),
因为函数\(f(x)\)的图象经过点\((2,9)\),代入可得\(a^2=9\),解得\(a=3\)或\(a=-3\)(舍去).
故\(f(x)=3^x\).
【题型2】指数函数的图象与性质
【典题1】 如图是指数函数①\(y=a^x\),②\(y=b^x\),③\(y=c^x\),④\(y=d^x\)的图象,则\(a,b,c,d\)与\(1\)的大小关系是( )
A.\(a<b<1<c<d\) \(\qquad \qquad\) B.\(b<a<1<d<c\)\(\qquad \qquad\)
C.\(1<a<b<c<d\) \(\qquad \qquad\) D.\(a<b<1<d<c\)
解析 设\(x=1\)与①②③④的图象分别交于点\(A,B,C,D\),如图,则其坐标依次为\((1,a),(1,b),(1,c),(1,d)\),由图象观察可得\(c>d>1>a>b\).故选\(B\).
【典题2】 函数\(y=|2^x-1|\)的大致图象是( )
A. \(\qquad \qquad\) B.
C. \(\qquad \qquad\) D.
解析 \(y=\left|2^{x}-1\right|=\left\{\begin{array}{l}
2^{x}-1, x \geq 0 \\
-2^{x}+1, x<0
\end{array}\right.\),
当\(x<0\)时,\(y=1-2^x\)的图象是将\(y=2^x\)图象先沿\(x\)轴对称下来,再沿\(y\)轴向上平移\(1\)个单位,
此时\(x<0\)时的图象在\(x\)轴上方,且为增函数,渐近线为\(y=1\),
只有\(C\)项满足题意.故选\(C\).
点拨 含绝对值的函数可利用 \(|a|=\left\{\begin{array}{cc}
a, & a \geq 0 \\
-a, & a<0
\end{array}\right.\)转化为分段函数,也可以函数图象的变换画出其函数图象.
巩固练习
1.如图是指数函数①\(y=a^x\) ②\(y=b^x\) ③\(y=c^x\) ④\(y=d^x\)的图象,则\(a,b,c,d\)与\(1\)的大小关系是( )
A.\(c<d<1<a<b\) \(\qquad \qquad\) B.\(d<c<1<b<a\) \(\qquad \qquad\) C.\(c<d<1<b\) \(\qquad \qquad\) D.\(1<c<d<a<b\)
2.如果\(a>1,b<-1\),那么函数\(f(x)=a^x+b\)的图象在( )
A.第一、二、三象限 \(\qquad \qquad\) B.第一、三、四象限 \(\qquad \qquad\) C.第二、三、四象限 \(\qquad \qquad\) D.第一、二、四象限
3.函数 \(y=e^{-|x|}\)(\(e\)是自然底数)的大致图象是( )
A. \(\qquad \qquad\) B.
\(\qquad \qquad\) C.
\(\qquad \qquad\) D.
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(∵\)当底数大于\(1\)时指数函数是定义域内的增函数,当底数大于\(0\)小于\(1\)时是定义域内的减函数,
可知\(a,b\)大于\(1\),\(c,d\)大于\(0\)小于\(1\).
又由图可知\(a^1>b^1\),即\(a>b\).\(d^1<c^1\),即\(d<c\).
\(∴a,b,c,d\)与\(1\)的大小关系是\(d<c<1<b<a\).
故选:\(B\). -
答案 \(B\)
解析 \(∵a>1\),\(∴y=a^x\)的图象过第一、第二象限,且是单调增函数,经过\((0,1)\),
\(f(x)=a^x+b\)的图象可看成把 \(y=a^x\)的图象向下平移\(-b(-b>1)\)个单位得到的,
故函数\(f(x)=a^x+b\)的图象,经过第一、第三、第四象限,不经过第二象限,
故选:\(B\). -
答案 \(C\)
解析 \(\because y=e^{-|x|}=\left\{\begin{array}{l} \left(\dfrac{1}{e}\right)^{x}, x \geq 0 \\ e^{x}, x<0 \end{array}\right.\).根据指数函数的图象与性质可知:应选\(C\).
【题型3】指数函数的应用
角度1 比较指数式的大小
【典题1】 设 \(y_{1}=4^{0.9}, y_{2}=8^{0.48}, y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}\),则( )
A.\(y_3>y_1>y_2\) \(\qquad \qquad\) B.\(y_2>y_1>y_3\) \(\qquad \qquad\) C.\(y_1>y_2>y_3\) \(\qquad \qquad\) D.\(y_1>y_3>y_2\)
解析 利用幂的运算性质可得,
\(y_{1}=4^{0.9}=2^{1.8}\), \(y_{2}=8^{0.48}=2^{1.44}\), \(y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}=2^{1.5}\),
再由\(y=2^x\)是增函数,知\(y_1>y_3>y_2\).
故选:\(D\).
点拨 注意数式的结构,通过构造函数,利用函数单调性比较大小.
巩固练习
1.已知 \(a=4^{\frac{1}{2}}, \quad b=2^{\frac{1}{3}}, \quad c=5^{\frac{1}{2}}\),则\(a、b、c\)的大小关系为( )
A.\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\) B.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C.\(b<c<a\) \(\qquad \qquad\) D.\(c<a<b\)
2.已知 \(a=0.7^{2.1}, \quad b=0.7^{2.5} . \quad c=2.1^{0.7}\),则这三个数的大小关系为( )
A.\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\) B.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C.\(c<a<b\) \(\qquad \qquad\) D.\(c<b<a\)
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 \(a=4^{\frac{1}{2}}=2, \quad b=2^{\frac{1}{3}}<2, \quad c=5^{\frac{1}{2}}>2\),则\(c>a>b\),故选:\(A\). - 答案 \(A\)
解析 根据指数函数的性质可得:函数 \(y=0.7^{x}\)的底数小于\(1\),是减函数,
\(∵2.1<2.5\), \(\therefore 0.7^{2.1}>0.7^{2.5}\),即\(a>b\).
又 \(\because c=2.1^{0.7}>2.1^{0}=1\), \(a=0.7^{2.1}<0.7^{0}=1\),
\(∴c<a\),所以\(b<a<c\),故选:\(A\).
角度2 求解指数型不等式
【典题1】 已知集合 \(N=\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<2^{x+1}<4, x \in Z\right\}\),\(M=\{-1,1\}\),则\(M∩N=\underline{\quad \quad}\).
解析 \(\because \dfrac{1}{2}<2^{x+1}<4\), \(\therefore 2^{-1}<2^{x+1}<2^{2}\),\(∴-1<x+1<2⇒-2<x<1\),
\(∴\)集合\(N=\{x|-2<x<1,x∈z\}=\{-1,0\}\),
又\(∵M=\{-1,1\}\),\(∴M∩N=\{-1\}\).
点拨 利用指数函数的单调性求解不等式.
巩固练习
1.函数 \(y=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}}\)的定义域是\(\underline{\quad \quad}\) .
2.不等式 \(3^{x^{2}+a x}>3^{2 x+a-2}\)恒成立,则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \([0,+∞)\)
解析 由 \(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} \geq 0\)得, \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} \leq 1\),解得:\(x≥0\),
故函数 \(y=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}}\)的定义域是\([0,+∞).\) -
答案 \((-2,2)\)
解析 不等式 \(3^{x^{2}+a x}>3^{2 x+a-2}\)恒成立,即\(x^2+ax>2x+a-2\),
亦即\(x^2+(a-2)x-a+2>0\)恒成立,
则\(△=(a-2)^2-4(-a+2)<0\),解得\(-2<a<2\),
故\(a\)的取值范围是\((-2,2)\).
角度3 指数型函数综合问题
【典题1】如果函数\(y=a^2x+2a^x-1(a>0\)且\(a≠1)\)在区间\([-1,1]\)上有最大值\(14\),试求\(a\)的值.
解析 设\(t=a^x\),则\(t>0\),原函数可化为\(y=(t+1)^2-2\),其图象的对称轴为\(t=-1\).
(1)若\(a>1\),\(∵x∈[-1,1]\), \(\therefore t \in\left[\dfrac{1}{a}, a\right]\),
则函数\(y=(t+1)^2-2\)在区间 \(\left[\dfrac{1}{a}, a\right]\)上单调递增,
\(∴\)当\(t=a\)时,函数\(y\)取得最大值\((a+1)^2-2\),
即\((a+1)^2-2=14\),解得\(a=3\)或\(a=-5\)(舍去).
(1)若\(0<a<1\),\(∵x∈[-1,1]\), \(\therefore \mathrm{t} \in\left[a, \dfrac{1}{a}\right]\),
则函数\(y=(t+1)^2-2\)在区间 \(\left[\dfrac{1}{a}, a\right]\)上单调递增,
\(∴\)当 \(t=\dfrac{1}{a}\)时,函数y取得最大值 \(\left(\dfrac{1}{a}+1\right)^{2}-2\),
即 \(\left(\dfrac{1}{a}+1\right)^{2}-2=14\),解得 \(a=\dfrac{1}{3}\) 或\(a=-\dfrac{1}{5}\)(舍去).
综上可知,\(a\)的值为\(3\)或 \(\dfrac{1}{3}\).
巩固练习
1.已知函数 \(f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{a x^{2}-4 x+3}\),
(1)若\(a=-1\),求\(f(x)\)的单调区间;
(2)若\(f(x)\)有最大值\(3\),求\(a\)的值.
(3)若\(f(x)\)的值域是\((0,+∞)\),求\(a\)的取值范围.
参考答案
- 答案 (1)递增区间是\((-2,+∞)\),递减区间是\((-∞,-2 )\).(2) \(1\) (3) \(\{0\}\)
解析 (1)当\(a=-1\)时, \(f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-x^{2}-4 x+3}\),
令\(g(x)=-x^2-4x+3\),
由于\(g(x)\)在\((-∞,-2)\)上单调递增,在\((-2,+∞)\)上单调递减,
而 \(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{t}\)在\(R\)上单调递减,
所以\(f(x)\)在\((-∞,-2)\)上单调递减,在\((-2,+∞)\)上 单调递增,
即函数\(f(x)\)的递增区间是\((-2,+∞)\),递减区间是\((-∞,-2 )\).
(2)令\(h(x)=ax^2-4x+3\), \(y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{h(x)}\),由于\(f(x)\)有最大值\(3\),
所以 \(h(x)\)应有最小值\(-1\),
因此 \(\dfrac{12 a-16}{4 a}=-1\),解得\(a=1\).
即当\(f(x)\)有最大值3时,\(a\)的值等于\(1\).
(3)由指数函数的性质知,
要使\(y=h(x)\)的值域为\((0,+∞)\).
应使\(h(x)=ax^2-4x+3\)的值域为\(R\),
因此只能有\(a=0\).
因为若\(a≠0\),则\(h(x)\)为二次函数,其值域不可能为\(R\).
故\(a\)的取值范围是\(\{0\}\).
分层练习
【A组---基础题】
1.函数\(y=(a-2)^2 a^x\)是指数函数,则( )
A.\(a=1\)或\(a=3\) \(\qquad \qquad\) B.\(a=1\) \(\qquad \qquad\) C.\(a=3\) \(\qquad \qquad\) D.\(a>0\)且\(a≠1\)
2.若函数\(y=a^x+b\)的部分图象如图所示,则( )
A.\(0<a<1,-1<b<0\) \(\qquad \qquad\) B.\(0<a<1,0<b<1\)
C.\(a>1,-1<b<0\) \(\qquad \qquad\) D.\(a>1,0<b<1\)
3.函数 \(y=\dfrac{x a^{x}}{|x|}(a>1)\)的图象的大致形状是( )
A. \(\qquad \qquad\) B.
\(\qquad \qquad\) C.
\(\qquad \qquad\) D.
4.已知 \(a=1.6^{0.3}, b=1.6^{0.8}, c=0.7^{0.8}\),则( )
A.\(c<a<b\) \(\qquad \qquad\) B.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C.\(b>c>a\) \(\qquad \qquad\) D.\(a>b>c\)
5.二次函数\(y=-x^2-4x(x>-2)\)与指数函数 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)的交点个数有( )
A.\(3\)个 \(\qquad \qquad\) B.\(2\)个 \(\qquad \qquad\) C.\(1\)个 \(\qquad \qquad\) D.\(0\)个
6.方程\(|2^x-1|=a\)有唯一实数解,则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
7.函数\(y=a^x-2(a>0\)且\(a≠1,-1≤x≤1)\)的值域是 \(\left[-\dfrac{5}{3}, 1\right]\),则实数\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
8.已知函数 \(f(x)=\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}\).
(1)求\(f(x)\)的定义域; (2)讨论\(f(x)\)的奇偶性.
9.已知函数\(f(x)=b\cdot a^x\)(其中\(a,b\)为常量,且\(a>0,a≠1\))的图象经过点\(A(1,6)\),\(B(3,24)\).
(1)求\(f(x)\);
(2)若不等式 \(\left(\dfrac{1}{a}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{b}\right)^{x}-m \geq 0\)在\(x∈(-∞,1]\)时恒成立,求实数\(m\)的取值范围.
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 由指数函数定义知 \(\left\{\begin{array}{l} (a-2)^{2}=1 \\ a>0, \text { 且 } a \neq 1 \end{array}\right.\),所以解得\(a=3\).故选\(C\). -
答案 \(A\)
解析 由图象可以看出,函数为减函数,故\(0<a<1\),
因为函数\(y=a^x\)的图象过定点\((0,1)\),函数\(y=a^x+b\)的图象过定点\((0,b+1)\),
\(∴-1<b<0\),故选:\(A\). -
答案 \(C\)
解析 \(f(x)\)是分段函数,根据\(x\)的正负写出分段函数的解析式,
\(f(x)=\left\{\begin{array}{l} a^{x}(x>0) \\ -a^{x}(x<0) \end{array}\right.\)
\(∴x>0\)时,图象与\(y=a^x\)在第一象限的图象一样,
\(x<0\)时,图象与\(y=a^x\)的图象关于\(x\)轴对称,
故选:\(C\). -
答案 \(A\)
解析 \(y=1.6^x\)是增函数,故 \(a=1.6^{0.3}<b=1.6^{0.8}\),而 \(1.6^{0.3}>1>0.7^{0.8}\),故\(c<a<b\),故选:\(A\). -
答案 \(C\)
解析 因为二次函数\(y=-x^2-4x=-(x+2)^2+4(x>-2)\),
且\(x=-1\)时,\(y=-x^2-4x=3\), \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=2\),
则在坐标系中画出\(y=-x^2-4x(x>-2)\)与 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)的图象:
由图可得,两个函数图象的交点个数是\(1\)个,故选\(C\).
-
答案 \(a≥1\)或\(a=0\)
解析 作出\(y=|2^x-1|\)的图象,要使直线\(y=a\)与图象的交点只有一个,\(∴a≥1\)或\(a=0\).
-
答案 \(3\)或 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 当\(a>1\)时,函数\(y=a^x-2(a>0\)且\(a≠1)\),\(-1≤x≤1\)是增函数,
\(∵\)值域是 \(\left[a^{-1}-2, a-2\right]\), \(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}-2=-\dfrac{5}{3} \\ a-2=1 \end{array} \Rightarrow a=3\right.\);
当\(0<a<1\)时,数\(y=a^x-2(a>0\)且\(a≠1,-1≤x≤1)\)是减函数,
\(∵\)值域是 \(\left[a-2, a^{-1}-2\right]\), \(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}-2=1 \\ a-2=-\dfrac{5}{3} \end{array} \Rightarrow a=\dfrac{1}{3}\right.\).
综上所述,可得实数\(a=3\)或 \(\dfrac{1}{3}\). -
答案 (1)\((-∞,0)∪(0,+∞)\) (2)\(C\)
解析 (1)由\(2x-1≠0\),得\(2x≠1\),即\(x≠0\),
因此函数\(f(x)\)的定义域为\((-∞,0)∪(0,+∞)\).
(2)由(1)知,函数\(f(x)\)的定义域为\((-∞,0)∪(0,+∞)\),关于坐标原点对称,
又 \(f(-x)=\dfrac{1}{2^{-x}-1}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2 x}{1-2^{x}}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}-1+1}{1-2^{x}}+\dfrac{1}{2}\)\(=-1-\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}=-\left(\dfrac{1}{2^{x}-1}+\dfrac{1}{2}\right)=-f(x)\),
所以\(f(x)\)为奇函数. -
答案 (1) \(f(x)=3\cdot 2^x\) (2) \(\left[\dfrac{5}{6},+\infty\right)\)
解析 (1)把\(A(1,6)\),\(B(3,24)\)代入 \(f(x)=b\cdot a^x\),得 \(\left\{\begin{array}{l} 6=a b \\ 24=b \cdot a^{3} \end{array}\right.\)
结合\(a>0\)且\(a≠1\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=3 \end{array}\right.\),
\(∴f(x)=3\cdot 2^x\).
(2)要使 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} \geq m\)在\((-∞,1]\)上恒成立,
只需保证函数 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\)在\((-∞,1]\)上的最小值不小于\(m\)即可.
\(∵\)函数 \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\)在\((-∞,1]\)上为减函数,
\(∴\)当\(x=1\)时, \(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}\)有最小值.
\(∴\)只需 \(m \leq \dfrac{5}{6}\)即可.
【B组---提高题】
1.如图所示,函数\(y=|2^x-2|\)的图象是( )
A. \(\qquad \qquad\) B.
\(\qquad \qquad\) C.
\(\qquad \qquad\) D.
2.已知实数\(a,b\)满足等式\(2^a=3^b\),下列五个关系式:①\(0<b<a\);②\(a<b<0;\)③\(0<a<b\);④\(b<a<0\);⑤\(a=b\).其中可能成立的关系式有( )
A.①②③ \(\qquad \qquad\) B.①②⑤ \(\qquad \qquad\) C.①③⑤ \(\qquad \qquad\) D.③④⑤
3.已知 \(a=2^{\frac{4}{3}}, b=4^{\frac{2}{5}}, c=25^{\frac{1}{3}}\),则( )
A.\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\) B.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\)C.\(b<c<a\) \(\qquad \qquad\) D.\(c<a<b\)
4.若方程 \(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1+a=0\)有正数解,则实数\(a\)的取值范围是( )
A.\((0,1)\) \(\qquad \qquad\) B.\((-3,0)\) \(\qquad \qquad\) C.\((-2,0)\) \(\qquad \qquad\) D.\((-1,0)\)
5.设函数\(f(x)=|2^x-1|\),\(c<b<a\),且\(f(c)>f(a)>f(b)\),则\(2^a+2^c\)与\(2\)的大小关系是( )
A.\(2^a+2^c>2\) \(\qquad \qquad\) B.\(2^a+2^c≥2\)\(\qquad \qquad\) C.\(2^a+2^c≤2\) \(\qquad \qquad\) D.\(2^a+2^c<2\)
6.已知不等式 \(\dfrac{1}{2^{x^{2}+x}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x^{2}-m x+m+4}\)对任意\(x∈R\)恒成立,则实数\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
7.已知函数 \(f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}\).
(1)求证:函数\(f(x)\)是\(R\)上的奇函数;
(2)若对任意的\(t∈R\),不等式\(f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0\)恒成立,求\(k\)的取值范围.
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(\because y=\left|2^{x}-2\right|=\left\{\begin{array}{l} 2^{x}-2, x \geq 1 \\ 2-2^{x}, x<1 \end{array}\right.\),\(∴x=1\)时,\(y=0\),\(x≠1\)时,\(y>0\).故选\(B\). -
答案 \(B\)
解析 令\(f(x)=2^x\)和\(g(x)=3^x\),\(2^a=3^b\)即\(f(a)=g(b)\),如图所示
由图象可知①②⑤正确,故选\(B\).
-
答案 \(A\)
解析 \(\because a=2^{\frac{4}{3}}, \quad b=2^{\frac{4}{5}}, \dfrac{4}{3}>\dfrac{4}{5}\),\(∴a>b\),
又 \(a=2^{\frac{4}{3}}=\sqrt[3]{16}, \quad c=\sqrt[3]{25}\),故\(a<c\),故\(c>a>b\),
故选:\(A\). -
答案 \(B\)
解析 设 \(t=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\) ,则有 \(a=-\left[\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x}+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\right]=-t^{2}-2 t=-(t+1)^{2}+1\).
原方程有正数解\(x>0\),则 \(0<t=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0}=1\),
即关于\(t\)的方程\(t^2+2t+a=0\)在\((0,1)\)上有实根.
又因为\(a=-(t+1)^2+1\),
所以当\(0<t<1\)时有\(1<t+1<2\),
即\(1<(t+1)^2<4\),
即\(-4<-(t+1)^2<-1\),
即\(-3<-(t+1)^2+1<0\),
即得:\(-3<a<0\),
故选:\(B\). -
答案 \(D\)
解析 \(f(x)=\left|2^{x}-1\right|=\left\{\begin{array}{l} 2^{x}-1, x \geq 0 \\ 1-2^{x}, x<0 \end{array}\right.\),
作出\(f(x)=|2^x-1|\)的图象如图所示,
由图可知,要使\(c<b<a\)且\(f(c)>f(a)>f(b)\)成立,则有\(c<0\)且\(a>0\),
故必有\(2^c<1\)且\(2^a>1\),
又\(f(c)-f(a)>0\),即为\(1-2^c-(2^a-1)>0\),\(∴2^a+2^c<2\).
故选:\(D\). -
答案 \((-3,5)\)
解析 不等式等价为 \(\dfrac{1}{2^{x^{2}+x}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2 x^{2}-m x+m+4}\),
即\(x^2+x<2x^2-mx+m+4\)恒成立,\(∴x^2-(m+1)x+m+4>0\)恒成立,
即\(△=(m+1)^2-4(m+4)<0\),即\(m^2-2m-15<0\),
解得\(-3<m<5\),
故答案为:\(-3<m<5\). -
答案 (1)奇函数 (2) \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)\)
解析 (1)\(f(x)\)的定义域是\(R\), \(f(-x)=\dfrac{1}{2^{-x}+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}}{1+2^{x}}-\dfrac{1}{2}\).
\(\therefore f(-x)+f(x)=\dfrac{2^{x}}{1+2^{x}}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2^{x}+1}{1+2^{x}}-1=0\).
\(∴f(-x)=-f(x)\).
\(∴f(x)\)是\(R\)上的奇函数.
(2)\(∵y=2^x\)在\(R\)上是增函数, \(\therefore f(x)=\dfrac{1}{2^{x}+1}-\dfrac{1}{2}\)在\(R\)上是减函数.
\(∵f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0\),\(∴f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2 )\).
\(∴t^2-2t>k-2t^2\),即\(k<3t^2-2t\).
令 \(g(t)=3 t^{2}-2 t=3\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^{2}-\dfrac{1}{3}\),则\(g(t)\)的最小值为 \(-\dfrac{1}{3}\).
\(\therefore k<-\dfrac{1}{3}\).\(∴k\)的取值范围是 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right)\).
【C组---拓展题】
1.若 \(2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}\),则有( )
A.\(x+y≥0\) \(\qquad \qquad\) B.\(x+y≤0\) \(\qquad \qquad\) C.\(x-y≤0\) \(\qquad \qquad\) D.\(x-y≥0\)
2.已知定义在\((-1,1)\)上的奇函数\(f(x)\).在\(x∈(-1,0)\)时, \(f(x)=2^{x}+2^{-x}\).
(1)试求\(f(x)\)的表达式;
(2)若对于\(x∈(0,1)\)上的每一个值,不等式\(t·2^x·f(x)<4^x-1\)恒成立,求实数\(t\)的取值范围.
参考答案
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答案 \(B\)
解析 构造函数 \(f(x)=2^{x}-5^{-x}\),易得函数\(f(x)\)单调递增,
由 \(2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}\),可得\(f(x)≤f(-y)\)
\(∴x≤-y⇒x+y≤0\),
故选:\(B\). -
答案 (1) \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.\)(2)\([0,+∞)\)
解析 (1)\(∵f(x)\)是定义在\((-1,1)\)上的奇函数,\(∴f(0)=0\),
设\(x∈(0,1)\),则\(-x∈(-1,0)\),
则\(f(x)=-f(-x)=-\left(2^{x}+2^{-x}\right)\),
故 \(f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.\)
(2)由题意,\(t·2^x·f(x)<4^x-1\)可化为 \(t \cdot 2^{x} \cdot\left(-2^{x}-2^{-x}\right)<4^{x}-1\)
化简可得 \(t>\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}\),
(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)
令 \(g(x)=\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}=-1+\dfrac{2}{4^{x}+1}\), (分离常数法)
易得\(g(x)\)在\((0,1)\)上递减,
\(\therefore g(x)<g(0)=-1+\dfrac{2}{4^{0}+1}=0\),
故\(t≥0\).(\(t\)可取到\(0\)).