4.1 指数

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

指数运算

n 次方根与分数指数幂
一般地，如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根，其中 $n>1$，且 $n∈N*$.
式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式，这里 $n$ 叫做根指数，$a$ 叫做被开方数.
负数没有偶次方根；$0$ 的任何次方根都是 $0$.
注：(1) $(\sqrt[n]{a})^{n}=a$
(2) 当 $n$ 是奇数时， $\sqrt[n]{a^{n}}=a$，当 $n$ 是偶数时， $\sqrt[n]{a^{n}}=|a|=\left\{\begin{array}{c} a, a \geq 0 \\ -a, a<0 \end{array}\right.$.
 

【例】 若 $x^6=3$，则 $x$ 等于 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $∵x^6=3$，$∴x$ 是 $3$ 的 $6$ 次方根，且有两个，互为相反数，
记为 $\pm \sqrt[6]{3}$，故 $x=\pm \sqrt[6]{3}$.
 

【例】 求值 $\sqrt{(2-\pi)^{2}},(\sqrt[3]{5})^{3}, \quad \sqrt[3]{(-5)^{3}}$.
解析 $\sqrt{(2-\pi)^{2}}=|2-\pi|=\pi-2$， $(\sqrt[3]{5})^{3}=5$， $\sqrt[3]{(-5)^{3}}=|-5|=5$.
 

正数的正分数指数幂的意义

1 正数的正分数指数幂的意义
规定： $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\left(a>0, m, n \in N^{*}\right.$ 且 $n>1)$
巧记 “子内母外”(根号内的 $m$ 作分子，根号外的 $n$ 作为分母) ，您想到 “孕妇” 便可.
 

【例】 把下列根式和指数幂相互转化： $\sqrt{x}, \sqrt[3]{x^{5}}, a^{\frac{3}{4}}, a^{-\frac{2}{3}}$.
解析 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}, \sqrt[3]{x^5}=x^{\frac{5}{3}}, a^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{a^3}, a^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$.
 
2 正数的正分数指数幂的意义
$a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}\left(a>0, m, n \in N^{*}\right.$ 且 $n>1)$
 
3 $0$ 的正分数指数幂等于 $0$，$0$ 的负分数指数幂没有意义.
 

实数指数幂的运算性质

1 $a^{s} \cdot a^{r}=a^{r+s}(a>0, r, s \in R)$；
2 $\left(a^{s}\right)^{r}=a^{r s}(a>0, r, s \in R)$；
3 $(a b)^{r}=a^{r} b^{r}(a>0, r \in R)$.
 

基本方法

【题型1】指数幂运算

【典题 1】 若 $2^x=7,2^y=6$，则 $4^{x-y}$ 等于 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $∵2^x=7,2^y=6$，
$\therefore 4^{x-y}=\dfrac{4^{x}}{4^{y}}=\left(\dfrac{2^{x}}{2^{y}}\right)^{2}=\left(\dfrac{7}{6}\right)^{2}=\dfrac{49}{36}$．
点拨 指数幂的运算要注意底数之间的关系.
 

【典题 2】 求值 $\left(2 \dfrac{7}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-(2 \sqrt{3}-\pi)^{0}-\left(2 \dfrac{10}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+0.125^{-\frac{2}{3}}+\sqrt{3} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}}$.
解析 原式 $=\left(\dfrac{25}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-1-\left(\dfrac{64}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\dfrac{3}{4}\right)^{\frac{3}{2}}$
$=\dfrac{5}{3}-1-\left(\dfrac{27}{64}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(2^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}}+3^{2} \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}$
$=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+4+\dfrac{9}{8}$
$=\dfrac{121}{24}$.
点拨 一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.
 

巩固练习

1. 若 $10^x=2$，则 $10^{-3 x}$ 等于 (　　)
  A．$8$ $\qquad \qquad$ B．$-8$ $\qquad \qquad$ C． $\dfrac{1}{8}$ $\qquad \qquad$ D． $-\dfrac{1}{8}$
 

2. 若 $2^x=3,2^y=4$，则 $2^{x+y}$ 的值为 (　　)
 A．$7$ $\qquad \qquad$ B．$10$ $\qquad \qquad$ C．$12$ $\qquad \qquad$ D．$34$
 

3. 计算： $\sqrt[3]{(-4)^{3}}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0}+0.25^{\frac{1}{2}} \times\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-4}$
 

4. 计算： $\left(2 \dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}-\left(-\dfrac{1}{8}\right)^{0}-\left(3 \dfrac{3}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+(1.5)^{-2}+\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}$
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $∵10^x=2$，则 $10^{-3 x}=\dfrac{1}{\left(10^{x}\right)^{3}}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}$．故选：$C$．
2. 答案 $C$
   解析 $2^{x+y}=2^{x} \cdot 2^{y}=3 \times 4=12$，故选：$C$．
3. 答案 $-3$
   解析 原式 $=-4-1+(2)^{\frac{1}{2} \times(-2)} \times(2)^{-\dfrac{1}{2} \times(-4)}=-5+2=-3$.
4. 答案 $\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}$
   解析 原式 $=\left(\dfrac{9}{4}\right)^{\frac{1}{2}}-1-\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}+\sqrt{2}-1$$=\dfrac{3}{2}-1-\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}$.
    

【题型二】条件求值问题

【典题 1】 已知 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，则 $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$.
解析 由 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，两边平方得 $x-2+x^{-1}=5$，则 $x+\dfrac{1}{x}=7$，
所以 $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=49 \Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+2=49 \Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=47$.
点拨 注意 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}, x+\dfrac{1}{x}, x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$ 之间平方的关系.
 

巩固练习

1. 已知 $a+\dfrac{1}{a}=7$，则 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=$(　　)
 A．$3$ $\qquad \qquad$ B．$9$$\qquad \qquad$ C．$－3$ $\qquad \qquad$ D．$±3$
 

2. 若 $a+a^{-1}=3$，则 $a^{2}+a^{-2}$ 的值为 (　　)
 A．$9$ $\qquad \qquad$ B．$7$ $\qquad \qquad$ C．$6$ $\qquad \qquad$ D．$4$
 
3. 已知 $a，b$ 是方程 $x^2-6x+4=0$ 的两根，且 $a>b>0$，求 $\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 知 $a+\dfrac{1}{a}=7$，可得 $a>0$， $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}>0$，
   $\therefore a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{\left(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}}=\sqrt{7+2}=3$．
   故选：$A$．
2. 答案 $B$
   解析 $∵a+a^{-1}=3$， $\therefore\left(a+a^{-1}\right)^{2}=a^{2}+a^{-2}+2=9$， $\therefore a^{2}+a^{-2}=7$．
   故选：$B$．
3. 答案 $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
   解析 $∵a ，b$ 是方程 $x^2-6x+4=0$ 的根，
   $∴$ 由根与系数关系得 $\left\{\begin{array}{l} a+b=6 \\ a b=4 \end{array}\right.$，
   又 $∵a＞b＞0$， $\therefore \sqrt{a}>\sqrt{b}$．
   $\because\left(\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^{2}=\dfrac{a+b-2 \sqrt{a b}}{a+b+2 \sqrt{a b}}=\dfrac{6-2 \sqrt{4}}{6+2 \sqrt{4}}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$，
   $\therefore \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 已知 $a>0$，则 $\dfrac{a^{2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}=$ (　　)
 A． $a^{\frac{6}{5}}$ $\qquad \qquad$ B． $a^{\frac{5}{6}}$ $\qquad \qquad$ C． $a^{-\frac{5}{6}}$ $\qquad \qquad$ D． $a^{\frac{5}{3}}$
 

2. 下列各式正确的是 (　　)
 A. $\sqrt{(-3)^{2}}=3$ $\qquad \qquad$ B. $\sqrt[4]{a^{4}}=a$ $\qquad \qquad$ C. $\sqrt{2^{2}}=2$ $\qquad \qquad$ D．$a^0=1$
 

3. 计算 $\sqrt[3]{(2-\pi)^{3}}+\sqrt{(3-\pi)^{2}}$ 的值为 (　　)
 A．$5$ $\qquad \qquad$ B．$－1$$\qquad \qquad$ C．$2π-5$ $\qquad \qquad$D．$5-2π$
 

4. 计算 $2 x^{2} \cdot\left(-3 x^{3}\right)$ 的结果是 (　　)
 A．$-6x^5$ $\qquad \qquad$ B．$6x^5$ $\qquad \qquad$ C．$-2x^6$ $\qquad \qquad$D． $2x^6$
 

5. 计算： $(\sqrt{3}-2)^{2018} \cdot(\sqrt{3}+2)^{2019}=$$\underline{\quad \quad}$ .
 

6. 已知 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，则 $x+\dfrac{1}{x}$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$.
 

7. 计算： $\left(2 \dfrac{4}{5}\right)^{0}+2^{-2} \times\left(2 \dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-\left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}$
 

8. 计算： $\sqrt{\dfrac{25}{9}}-\left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}-(\pi+e)^{\circ}+\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$
 

9. 已知函数方程 $x^2-8x+4=0$ 的两根为 $x_1 、x_2 (x_1<x_2 )$
(1) 求 $x_{1}^{-2}-x_{2}^{-2}$ 的值． (2) 求 $x_{1}^{-\frac{1}{2}}-x_{2}^{-\frac{1}{2}}$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $\dfrac{a^{2}}{\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}=\dfrac{a^{2}}{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{2}{3}}}=\dfrac{a^{2}}{a^{\frac{7}{6}}}=a^{\frac{5}{6}}$，故选：$B$．
2. 答案 $C$
   解析 根据根式的性质可知 $C$ 正确． $\sqrt[4]{a^{4}}=|a|$，$a^0=1$ 条件为 $a≠0$，故 $A，B，D$ 错．
3. 答案 $B$
   解析 $\sqrt[3]{(2-\pi)^{3}}+\sqrt{(3-\pi)^{2}}=2-\pi+\pi-3=-1$，故选：$B$．
4. 答案 $A$
   解析 $2 x^{2} \cdot\left(-3 x^{3}\right)=-6 x^{2+3}=-6 x^{5}$．故选 $A$．
5. 答案 $\sqrt{3}+2$
   解析 原式 $\left.=[(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)]^{2018} \cdot(\sqrt{3}+2)=(-1)\right]^{2018} \cdot(\sqrt{3}+2)=\sqrt{3}+2$.
6. 答案 $7$
   解析 由 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，两边平方得： $x-2+x^{-1}=5$，则 $x+\dfrac{1}{x}=7$．
7. 答案 $\dfrac{1}{2}$
   解析 原式 $=1+\dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}$.
8. 答案 $2$
   解析 原式 $=\dfrac{5}{3}-\dfrac{2}{3}-1+2=2$．
9. 答案 (1) $2 \sqrt{3}$；(2) $1$．
   解析 $∵x_1+x_2=8$,$x_1⋅x_2=4$，
   (1) $x_{1}^{-2}-x_{2}^{-2}=\dfrac{\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(x_{1} x_{2}\right)^{2}}$$=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}}{2}=\dfrac{\sqrt{64-16}}{2}=2 \sqrt{3}$；
   (2) $x_{1}^{-\frac{1}{2}}-x_{2}^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{x_{1}+x_{2}-2 \sqrt{x_{1} x_{2}}}}{\sqrt{x_{1} x_{2}}}=\dfrac{\sqrt{8-2 \times 4}}{2}=1$．
    

【B组---提高题】

1. 化简 $\sqrt[4]{16 x^{8} y^{4}}(x<0, y<0)$ 得 (　　)
 A．$2x^2 y$ $\qquad \qquad$ B．$2xy$ $\qquad \qquad$ C．$4x^2 y$ $\qquad \qquad$ D．$-2x^2 y$
 

2. 已知 $ab=-5$，则 $a \sqrt{-\dfrac{b}{a}}+b \sqrt{-\dfrac{a}{b}}$ 的值是 (　　)
 A． $2 \sqrt{5}$ $\qquad \qquad$ B．$0$ $\qquad \qquad$ C． $-2 \sqrt{5}$ $\qquad \qquad$ D． $\pm 2 \sqrt{5}$
 

3. 如果 $45^x=3$，$45^y=5$，那么 $2x+y=$$\underline{\quad \quad}$．
 

4. 若 $2^{x}=8^{y+1}$，且 $9^{y}=3^{x-9}$，则 $x+y$ 的值是 $\underline{\quad \quad}$．
 

5. 化简 $\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}=$$\underline{\quad \quad}$.
 

6. 已知 $12^{x}+2^{-x}=a$ (常数)，求 $8^{x}+8^{-x}$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $∵x<0，y<0$，$∴$ 原式 $=2^{\frac{4}{4}} x^{2}(-y)=-2 x^{2} y$．故选：$D$．
2. 答案 $B$
   解析 $∵ab=-5$，$∴a$ 与 $b$ 异号，
   $\therefore a \sqrt{-\dfrac{b}{a}}+b \sqrt{-\dfrac{a}{b}}=a \sqrt{-\dfrac{a b}{a^{2}}}+b \sqrt{-\dfrac{a b}{b^{2}}}=a \sqrt{\dfrac{5}{a^{2}}}+b \sqrt{\dfrac{5}{b^{2}}}$$=a \dfrac{\sqrt{5}}{|a|}+b \dfrac{\sqrt{5}}{|b|}=0$，
   故选：$B$．
3. 答案 $1$
   解析 由 $45^x=3$，得 $\left(45^{x}\right)^{2}=9$，
   则 $45^{2 x} \times 45^{y}=9 \times 5=45=1$．
   $\therefore 45^{2 x+y}=45$，$∴2x+y=1$.
4. 答案 $27$
   解析 $2^{x}=8^{y+1}$，$∴$ 有 $2^{x}=2^{3 y+3}$， $∴x=3y+3$
   又 $9^{y}=3^{x-9}$，$∴$ 有 $3^{2 y}=3^{x-9}$， $∴2y=x-9$
   联立 $\left\{\begin{array}{l} x=3 y+3 \\ 2 y=x-9 \end{array}\right.$ 得到 $\left\{\begin{array}{l} x=21 \\ y=6 \end{array}\right.$，$∴x+y=27$.
5. 答案 $6$
   解析 $\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}=\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{2})^{2}}$$=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=6$.
6. 答案 $a^3-3a$
   解析 (方法一) $8^{x}+8^{-x}=2^{3 x}+2^{-3 x}=\left(2^{x}\right)^{3}+\left(2^{-x}\right)^{3}$
   $=\left(2^{x}+2^{-x}\right)\left[\left(2^{x}\right)^{2}-2^{x} \cdot 2^{-x}+\left(2^{-x}\right)^{2}\right]$$=\left(2^{x}+2^{-x}\right)\left[\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}-3 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x}\right]$
   $=\left(2^{x}+2^{-x}\right)\left[\left(2^{x}+2^{-x}\right)^{2}-3\right]=a\left(a^{2}-3\right)=a^{3}-3 a$．
   (方法二) 令 $2^x=t$，则 $2^{-x}=t^{-1}$，
   所以 $t+t^{-1}=a$，两边平方整理得 $t^{2}+t^{-2}=a^{2}-2$，
   则 $8^{x}+8^{-x}=t^{3}+t^{-3}=\left(t+t^{-1}\right)\left(t^{2}-t \cdot t^{-1}+t^{-2}\right)=a^{3}-3 a$．
    

【C组---拓展题】

1. 已知 $2^{a}=3^{b}=6$，则 $a,b$ 不可能满足的关系是 (　　)
 A．$a+b=ab$ $\qquad$ B．$a+b>4$ $\qquad$ C． $(a-1)^2+(b-1)^2<2$ $\qquad$ D． $a^2+b^2>8$
 

2. 已知 $a^{2 n}=\sqrt{2}+1$，求 $\dfrac{a^{3 n}+a^{-3 n}}{a^{n}+a^{-n}}$ 的值.
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $\because 2^{a}=3^{b}=6$， $\therefore\left(2^{a}\right)^{b}=6^{b},\left(3^{b}\right)^{a}=6^{a}$，
   $\therefore 2^{a b}=6^{b}, 3^{b a}=6^{a}$，
   $\therefore 2^{a b} \cdot 3^{b a}=6^{b} \cdot 6^{a}$，
   $\therefore 6^{a b}=6^{a+b}$，
   $∴ab=a+b$，则有 $a b=a+b \geq 2 \sqrt{a b}$，
   $∵a≠b$， $\therefore a b>2 \sqrt{a b}$，
   $∴a+b=ab>4$，
   $∴(a-1)^2+(b-1)^2=a^2+b^2－2(a+b)+2>2ab-2(a+b)+2>2$，
   $∵a^2+b^2>2ab>8$，故 $C$ 错误
   故选：$C$．
2. 答案 $2 \sqrt{2}-1$
   解析 设 $a^{n}=t>0$，则 $t^{2}=\sqrt{2}+1$，
   $\dfrac{a^{3 n}+a^{-3 n}}{a^{n}+a^{-n}}=\dfrac{t^{3}+t^{-3}}{t+t^{-1}}=t^{2}-1+t^{-2}$$=\sqrt{2}+1-1+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=2 \sqrt{2}-1$.