3.3 幂函数

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

幂函数的定义

一般地，形如 $y=x^α$ 的函数称为幂函数，其中 $x$ 是自变量，$α$ 为常数．
注 (1) 注意幂函数中 $x^α$ 的系数是 $1$，底数是变量 $x$，指数 $α$ 是常数.
 

【例】 下列是幂函数的是 ( )
 A.$y=2^x$ $\qquad \qquad$ B.$y=3x^4$ $\qquad \qquad$ C.$y=x^2$ $\qquad \qquad$ D.$y=(x-1)^3$
解析 $y=2^x$ 的底数是常数， $y=3x^4$ 的系数不是 $1$， $y=(x-1)^3$ 的底数不是 $x$，它们均不是幂函数，只有 $C$ 符合.
 

正数的正分数指数幂的意义

1 正数的正分数指数幂的意义
规定：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\left(a>0, m, n \in N^{*}\right.$ 且 $n>1)$
巧记 子内母外 (根号内的作分子，根号外的作为分母)，您想到 “孕妇” 便可.
 

2 正数的正分数指数幂的意义
$a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}\left(a>0, m, n \in N^{*}\right.$ 且 $n>1)$
Eg $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, $x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}$, $x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
 
3 $0$ 的正分数指数幂等于 $0$，$0$ 的负分数指数幂没有意义.
 

幂函数图像及其性质

1 幂函数 $y=x, y=x^{2}, y=x^{3}, y=x^{\frac{1}{2}}, y=x^{-1}$ 的图象

 
2 幂函数 $y=x, y=x^{2}, y=x^{3}, y=x^{\frac{1}{2}}, y=x^{-1}$ 的性质

	$y=x$	$y=x^2$	$y=x^3$	$y=x^{\frac{1}{2}}$	$y=x^{-1}$
图象
定义域	$R$	$R$	$R$	$[0,+∞)$	$x≠0$
值域	$R$	$[0,+∞)$	$R$	$[0,+∞)$	$x≠0$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	非奇非偶	奇函数
单调性	在$R$上递增	在$(-∞,0]$上递减 在$(0,+∞)$上递增	在$R$上递增	在$[0,+∞)$上递增	在$(-∞,0)$上递减 在$(0,+∞)$上递减
特殊点	$(1,1),(0 ,0)$	$(1,1),(0,0)$	$(1,1),(0,0)$	$(1,1),(0,0)$	$(1,1 )$

 

3 性质
① 所有的幂函数在 $(0 ,+∞ )$ 都有定义，并且图象都过点 $(1 ,1)$；
② $α>0$ 时，幂函数的图象通过原点，并且在 $[0 ,+∞ )$ 上是增函数．
特别地，当 $α>1$ 时，幂函数变化快，图象下凹；当 $0<α<1$ 时，幂函数变化慢，图象上凸.
Eg 图象上凸，$y=x^2$ 图象下凹，在 $[0 ,+∞ )$ 上是增函数．

③ $α<0$ 时，幂函数的图象在 $(0 ,+∞ )$ 上是减函数．在第一象限内，当 $x$ 从右边趋向原点时，图象在 $y$ 轴右方无限地逼近 $y$ 轴正半轴，当 $x$ 趋于 $+∞$ 时，图象在 $x$ 轴上方无限地逼近 $x$ 轴正半轴．
Eg $y=x^{-1}=\dfrac{1}{x}$，

 

基本方法

【题型1】幂函数的概念

【典题 1】已知函数 $f(x)=\left(m^{2}+2 m-2\right) x^{m^{2}-m-1}$ 是幂函数，则 $m=$$\underline{\quad \quad}$．
解析 由题意知，若 $f(x)$ 为幂函数，则 $m^2+2m-2=1$．
即 $m^2+2m-3=0$，解得 $m=1$ 或 $m=-3$．
 

巩固练习

1. 已知函数 $f(x)=(a-1) x^{a^{2}-1}$ 是幂函数，则 $f(2)$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

2. 已知幂函数 $f(x)=x^a$ 的图象经过点 $\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，则 $f(4)$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $8$
   解析 依题意得，$a-1=1$，$∴a=2$，则 $f(x)=x^3$，$f(2)=8$.
2. 答案 $\dfrac{1}{2}$
   解析 $∵$ 幂函数 $f(x)=x^a$ 过点 $\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，
   $\therefore f(2)=2^{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，解得 $a=-\dfrac{1}{2}$，
   $\therefore f(x)=x^{-\dfrac{1}{2}}$，$∴f(4)=\dfrac{1}{2}$.
    

【题型2】幂函数的图象及其性质

【典题 1】 函数 $y=x^{2}, y=x^{-1}, y=x^{\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{1}{3}}$ 在第一象限内的图象依次是图中的曲线 (　　)

 A.$C_2，C_1，C_3，C_4$ $\qquad \qquad$ B.$C_4，C_1，C_3，C_2$
 C.$C_3，C_2，C_1，C_4$ $\qquad \qquad$ D .$C_1，C_4，C_2，C_3$
解析 由于在第一象限内直线 $x=1$ 的右侧时，
幂函数 $y=x^α$ 的图象从上到下相应的指数 $α$ 由大变小 (令 $x=8$ 可知)，
故指数 $α$ 由大变小排列，幂函数 $y=x^{2}, y=x^{\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{1}{3}}, y=x^{-1}$ 在第一象限内的图象为分别为 $C_1， C_2，C_3，C_4$，
故选 $D$.
 

【典题 2】 已知幂函数 $f(x)$ 过点 $\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，则 $f(x)$ 的解析式是 $\underline{\quad \quad}$，定义域是 $\underline{\quad \quad}$ ，在 $(0 ,+∞)$ 上的单调性是 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $∵y=f(x)$ 是幂函数，$∴$ 设 $f(x)=x^a$，
又过点 $\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$， $\therefore 2^{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-\frac{1}{2}}$，即 $a=-\dfrac{1}{2}$，
$\therefore f(x)=x^{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$，$∴x>0$，即定义域是 $(0 ,+∞)$，
$\because y=\sqrt{x}$ 在 $(0 ,+∞)$ 上单调递增，
$\therefore y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $(0 ,+∞)$ 上单调递减，
其函数图象如下，

点拨 利用待定系数法求解函数解析式，注意指数幂的变化.
 

【典题 3】已知幂函数 $f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)$ 的图象关于原点对称，且在 $(0 ,+∞)$ 上是减函数，则 $m=$$\underline{\quad \quad}$.
解析 幂函数 $f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)$ 在 $(0,+∞)$ 上是减函数，
则 $m^2-2m-3<0$，解得 $-1<m<3$；
又 $m∈Z$，$∴m=0，1，2$；
当 $m=0$ 时， $f(x)=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$，是奇函数，图象关于原点对称；
当 $m=1$ 时， $f(x)=x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}$，是偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称；
当 $m=2$ 时， $f(x)=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}$，是奇函数，图象关于原点对称.
综上，$m$ 的值是 $0$ 或 $2$．
点拨 幂函数 $y=x^α$，$α>0$ 时在 $[0 ,+∞ )$ 上是增函数；$α<0$ 时在 $(0 ,+∞ )$ 上是减函数．

巩固练习

1. 图中曲线是幂函数 $y=x^n$ 在第一象限的图象，已知 $n$ 取 $\pm 2, \pm \dfrac{1}{2}$ 四个值，则相应于曲线 $C_1，C_2 ,C_3 ,C_4$ 的 $n$ 依次为 (　　)

A． $-2,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 2$ $\qquad \qquad$ B． $2, \dfrac{1}{2},-2,-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad$ C． $-\dfrac{1}{2},-2,2, \dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad$ D． $2, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-2$
 

2. 下列命题中：
 ①幂函数的图象都经过点 $(1 ,1)$ 和点 $(0 ,0)$；
 ②幂函数的图象不可能在第四象限；
 ③当 $n=0$ 时，幂函数 $y=x^n$ 的图象是一条直线；
 ④当 $n>0$ 时，幂函数 $y=x^n$ 是增函数；
 ⑤当 $n<0$ 时，幂函数在第一象限内的函数值随 $x$ 的值增大而减小．
其中正确的是 (　　)
A．①和④ $\qquad \qquad$ B．④和⑤ $\qquad \qquad$ C．②和③ $\qquad \qquad$D．②和⑤
 

3. 函数 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 的图象是 (　　)
 A． $\qquad$ B．
$\qquad$ C．
$\qquad$ D．

 

4. 已知 $\alpha \in\left\{-2,-1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1,2,3\right\}$，若幂函数 $f(x)=x^α$ 为奇函数，且在 $(0,+∞)$ 上递减，则 $α=$$\underline{\quad \quad}$．
 

5. 已知幂函数 $f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)$ 是偶函数，且在 $(0,+∞)$ 上是减函数，求函数 $f(x)$ 的解析式．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 根据指数函数的单调性，$x>1$ 时， $x^{2}>x^{\frac{1}{2}}>x^{-\frac{1}{2}}>x^{-2}$，
   $∴$ 相应于曲线 $C_1，C_2，C_3，C_4$ 的 $n$ 依次为 $2, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-2$．
   故选：$D$．
2. 答案 $D$
   解析 ①幂函数的图象都经过点 $(1 ,1)$，但不一定经过点 $(0 ,0)$，比如 $y=\dfrac{1}{x}$，故错误；
   ②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；
   ③当 $n=0$ 时，幂函数 $y=x^n$ 的图象是一条直线去除 $(0 ,1)$ 点，故错误；
   ④当 $n>0$ 时，如 $y=x^2$，幂函数 $y=x^n$ 在 $(0 ,+∞)$ 上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；
   ⑤当 $n<0$ 时，幂函数 $y=x^n$ 在 $(0 ,+∞)$ 上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随 $x$ 的值增大而减小，故正确．
   故选：$D$．
3. 答案 $C$
   解析 $∵$ 函数 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 的定义域是 $[0,+∞)$，$∴$ 排除选项 $A$ 和 $B$，
   又 $\because \dfrac{3}{2}>1$，$∴$ 曲线应该是下凸型递增抛物线．故选：$C$．
4. 答案 $-1$
   解析 $\because \alpha \in\left\{-2,-1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1,2,3\right\}$，
   幂函数 $f(x)=x^α$ 为奇函数，且在 $(0,+∞)$ 上递减，
   $∴a$ 是奇数，且 $a<0$，
   $∴a=-1$．
5. 答案 $f(x)=x^{-2}$
   解析 $∵f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)$ 是偶函数，$∴m^2-m-2$ 为偶数．
   又 $∵f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)$ 在 $(0,+∞)$ 上是减函数，
   $∴m^2-m-2<0$，即 $-1<m<2$．
   $∵m∈Z$，$∴m=0$ 或 $m=1$．
   当 $m=0$ 时， $m^2-m-2=-2$ 为偶数，当 $m=1$ 时， $m^2-m-2=-2$ 为偶数．
   $∴f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x^{-2}$．
    

【题型3】幂函数的应用

【典题 1】 比较下列各组数的大小．
  (1) $3^{-\frac{5}{2}}$ 和 $3.1^{-\frac{5}{2}}$； (2) $-8^{-\frac{7}{8}}$ 和 $-\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}$；
解析 (1)$∵$ 函数 $y=x^{-\frac{5}{2}}$ 在 $(0，+∞)$ 上为减函数，
又 $3<3.1$， $: 3^{-\frac{5}{2}}>3.1^{-\frac{5}{2}}$．
(2) $\because-8^{-\frac{7}{8}}=-\left(\dfrac{1}{8}\right)^{\frac{7}{8}}$，函数 $y=x^{\frac{7}{8}}$ 在 $(0，+∞)$ 上为增函数，
又 $\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{9}$， $\therefore\left(\dfrac{1}{8}\right)^{\frac{7}{8}}>\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}$，从而 $-8^{-\frac{7}{8}}<-\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}$．
点拨 注意式子的结构，通过构造函数，利用其单调性比较大小.
 

【典题 2】 已知 $f(x)=\left(n^{2}-3 n+3\right) x^{n+1}$ 为幂函数，且 $f(x)$ 为奇函数．
  (1) 求函数 $f(x)$ 的解析式；(2) 解不等式 $f(x+1)+f(3－2x)>0$．
解析 (1）$f(x)=\left(n^{2}-3 n+3\right) x^{n+1}$ 为幂函数，
$∴n^2－3n+3=1$，解得 $n=1$ 或 $n=2$；
又 $f(x)$ 为奇函数，$∴n=2$，
$∴$ 函数 $f(x)=x^3$；
(2) 由 $f(x)=x^3$ 是定义域 $R$ 上的增函数，且不等式 $f(x+1)+f(3-2x)>0$
化为 $f(x+1)>-f(3-2x)=f(2x－3)$，
$∴x+1>2x-3$，解得 $x<4$，
$∴$ 不等式 $f(x+1)+f(3-2x)>0$ 的解集是 $\{x|x<4\}$．
 

巩固练习

1. 已知幂函数 $y=x^{p^{2}-2 p-3}\left(p \in N^{*}\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，且在 $(0,+∞)$ 上是减函数，实数 $a$ 满足 $\left(a^{2}-1\right)^{\frac{p}{3}}<(3 a+3)^{\frac{p}{3}}$，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ ．
 

参考答案

1. 答案 $1<a<4$
   解析 $∵$ 幂函数 $y=x^{p^{2}-2 p-3}\left(p \in N^{*}\right)$ 在 $(0,+∞)$ 上是减函数，
   $∴p^2-2p-3<0$，解得 $-1<p<3$，
   $∵p∈N^*$，$∴p=1$ 或 $2$．
   当 $p=1$ 时，$y=x^{-4}$ 为偶函数满足条件，
   当 $p=2$ 时， $y=x^{-3}$ 为奇函数不满足条件，
   则不等式等价为 $\left(a^{2}-1\right)^{\frac{p}{3}}<(3 a+3)^{\frac{p}{3}}$，即 $\left(a^{2}-1\right)^{\frac{1}{3}}<(3 a+3)^{\frac{1}{3}}$
   $\because y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $(-∞,0)$ 和 $(0,+∞)$ 上都为增函数，
   $∴a^2-1<3a+3<0$ 或 $0<a^2-1<3a+3$，解得：$1<a<4$.
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 幂函数 $y=f(x)$ 经过点 $(3, \sqrt{3})$，则 $f(x)$ 是 (　　)
 A．偶函数，且在 $(0,+∞)$ 上是增函数 $\qquad \qquad$ B．偶函数，且在 $(0,+∞)$ 上是减函数
 C．奇函数，且在 $(0,+∞)$ 是减函数 $\qquad \qquad$ D．非奇非偶函数，且在 $(0,+∞)$ 上是增函数
 

2. 幂函数 $y=x^{a}, y=x^{b}, y=x^{c}, y=x^{d}$ 在第一象限的图象如图所示，则 $a,b,c,d$ 的大小关系是 (　　)

 A．$a>b>c>d$ $\qquad \qquad$ B．$d>b>c>a$ $\qquad \qquad$ C．$d>c>b>a$ $\qquad \qquad$ D．$b>c>d>a$
 

3. 若三个幂函数 $y=x^{a}, y=x^{b}, y=x^{c}$ 在同一坐标系中的图象如图所示，则 $a,b,c$ 的大小关系是 (　　)

 A．$c>b>a$ $\qquad \qquad$ B．$c>a>b$ $\qquad \qquad$ C．$a>b>c$ $\qquad \qquad$ D．$a>c>b$
 

4. 任意两个幂函数图象的交点个数是 (　　)
 A．最少一个，最多三个 $\qquad \qquad$ B．最少一个，最多二个
 C．最少 $0$ 个，最多三个 $\qquad \qquad$ D．最少 $0$ 个，最多二个
 

5. 已知幂函数 $f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)$ 的图象关于原点对称，且在 $(0,+∞)$ 上是减函数，则 $m=$(　　)
 A．$0$ $\qquad \qquad$ B．$0$ 或 $2$$\qquad \qquad$ C．$0$ $\qquad \qquad$D．$2$
 

6. 已知幂函数 $f(x)=(m-1)^{2} x^{m^{2}-3 m+2}$ 在 $(0,+∞)$ 上单调递增，则 $f(x)$ 的解析式是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

7. 已知幂函数 $f(x)=x^α (α∈R)$，且 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$．
  (1) 求函数 $f(x)$ 的解析式；
  (2) 证明函数 $f(x)$ 在定义域上是增函数．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 设幂函数的解析式为：$y=x^α$，
   将 $(3, \sqrt{3})$ 代入解析式得： $3^{a}=\sqrt{3}$，解得 $\alpha=\dfrac{1}{2}$， $\therefore y=x^{\frac{1}{2}}$，
   故选：$D$．

2. 答案 $D$
   解析 由图象得：$b>c>d>a$，故选：$D$．

3. 答案 $C$
   解析 ①$y=x^a$，单调递增，且当 $x>1$ 时，在直线 $y=x$ 的上方，$∴a>1$，
   ②$y=x^b$，单调递增，且当 $x>1$ 时，在直线 $y=x$ 的下方，$∴0<b<1$，
   ③$y=x^c$，单调递减，且当 $x>1$ 时，在直线 $y=x$ 的下方，$∴c<0$；
   $∴a>b>c$．
   故选：$C$．

4. 答案 $A$
   解析 所有幂函数的图象都过 $(1,1)$ 故最少 $1$ 个交点，
   当函数为 $y=x^3$ 和 $y=x$ 时，它们有 $3$ 个交点，故选 $A$．
   

5. 答案 $B$
   解析 幂函数 $f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)$ 在 $(0,+∞)$ 上是减函数，
   则 $m^2-2m-3<0$，解得 $-1<m<3$；
   又 $m∈Z$，$∴m=0，1，2$；
   当 $m=0$ 或 $m=2$ 时，$f(x)=x^{-3}$，图象关于原点对称；
   当 $m=1$ 时， $f(x)=x^{-4}$，其图象不关于原点对称；
   综上，$m$ 的值是 $0$ 或 $2$．
   故选：$B$．

6. 答案 $f(x)=x^2$
   解析 $∵f(x)$ 是幂函数，$∴（m-1）^2=1$，解得 $m=2$ 或 $m=0$，
   若 $m=2$，则 $f(x)=x^0$，在 $(0,+∞)$ 上不单调递减，不满足条件；
   若 $m=0$，则 $f(x)=x^2$，在 $(0,+∞)$ 上单调递增，满足条件；
   即 $f(x)=x^2$.

7. 答案 (1) $f(x)=\sqrt{x}$ (2) 略
   解析 (1) 解：由 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\alpha}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 得， $\alpha=\dfrac{1}{2}$，所以 $f(x)=\sqrt{x}$；
   (2) 证明：定义域是 $[0,+∞)$，设任意的 $x_2>x_1≥0$，
   则 $f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\sqrt{x_{2}}-\sqrt{x_{1}}=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}}$，
   $\because x_{2}-x_{1}>0, \sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}>0$，
   $∴f(x_2 )>f(x_1 )$，
   函数 $f(x)$ 在定义域上是增函数．
    

【B组---提高题】

1. 已知指数函数 $f(x)=a^{x-16}+7(a>0$ 且 $a≠1)$ 的图象恒过定点 $P$，若定点 $P$ 在幂函数 $g(x)$ 的图象上，则幂函数 $g(x)$ 的图象是 (　　)
 A． $\qquad \qquad$ B． $\qquad \qquad$ C． $\qquad \qquad$ D．
 

2. 如图所示是函数 $y=x^{\frac{m}{n}}\left(m, n \in N^{*}\right.$ 且互质) 的图象，则 (　　)

 A．$m、n$ 是奇数且 $\dfrac{m}{n}<1$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$m$ 是偶数，$n$ 是奇数，且 $\dfrac{m}{n}>1$
 C．$m$ 是偶数，$n$ 是奇数，且 $\dfrac{m}{n}<1$ $\qquad \qquad$ D．$m、n$ 是偶数，且 $\dfrac{m}{n}>1$
 

3. 已知幂函数 $y=x^{\frac{p}{q}}, \quad(p, q \in \boldsymbol{Z})$ 的图象如图所示，则 (　　)

 A．$p ,q$ 均为奇数，且 $\dfrac{p}{q}>0$ $\qquad \qquad \qquad$ B．$q$ 为偶数，$p$ 为奇数，且 $\dfrac{p}{q}<0$
 C．$q$ 为奇数，$p$ 为偶数，且 $\dfrac{p}{q}>0$ $\qquad \qquad$ D．$q$ 为奇数，$p$ 为偶数，且 $\dfrac{p}{q}<0$
 

4. 对幂函数 $f(x)=x^{-\frac{3}{2}}$ 有以下结论
  (1)$f(x)$ 的定义域是 $\{x|x≠0,x∈R\}$；$\qquad$ (2)$f(x)$ 的值域是 $(0，+∞)$；
  (3)$f(x)$ 的图象只在第一象限；$\qquad$ (4)$f(x)$ 在 $(0，+∞)$ 上递减；$\qquad$(5)$f(x)$ 是奇函数．
则所有正确结论的序号是 $\underline{\quad \quad}$.
 

5. 已知幂函数 $f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}\left(m \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 的图象不与 $x$ 轴、$y$ 轴相交，且关于原点对称，则 $m=$$\underline{\quad \quad}$．
 

6. 已知幂函数 $f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}}$
 (1) 若 $f(x)$ 为偶函数，且在 $(0,+∞)$ 上是增函数，求 $f(x)$ 的解析式；
 (2) 若 $f(x)$ 在 $(0,+∞)$ 上是减函数，求 $k$ 的取值范围．
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 指数函数 $f(x)=a^{x-16}+7(a>0$ 且 $a≠1)$ 的图象恒过定点 $P$，
   令 $x-16=0$，解得 $x=16$，且 $f(16)=1+7=8$，
   所以 $f(x)$ 的图象恒过定点 $P(16,8)$；
   设幂函数 $g(x)=x^a$，$P$ 在幂函数 $g(x)$ 的图象上，
   可得：$16^a=8$，解得 $a=\dfrac{3}{4}$；所以 $g(x)=x^{\frac{3}{4}}$，
   幂函数 $g(x)$ 的图象是 $A$．
   故选：$A$．
2. 答案 $C$
   解析 $∵$ 函数 $y=x^{\frac{m}{n}}$ 的图象的图象关于 $y$ 轴对称，故 $n$ 为奇数，$m$ 为偶数，
   在第一象限内，函数是凸函数，故 $\dfrac{m}{n}<1$，故选：$C$.
3. 答案 $D$
   解析 因为函数为偶函数，所以 $p$ 为偶数，
   且由图象形状判定 $\dfrac{p}{q}<0$．
   又因 $p、q$ 互质，所以 $q$ 为奇数．所以选 $D$．
4. 答案 (2)(3)(4)
   解析 对幂函数 $f(x)=x^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}$，以下结论
   (1)$f(x)$ 的定义域是 {x|x>0,x∈R}，因此不正确；
   (2) $f(x)$ 的值域是 $(0，+∞)$，正确；
   (3) $f(x)$ 的图象只在第一象限，正确；
   (4) $f(x)$ 在 $(0，+∞)$ 上递减，正确；
   (5) $f(x)$ 是非奇非偶函数，因此不正确．
   则所有正确结论的序号是 (2)(3)(4)．
   故答案为：(2)(3)(4)．
5. 答案 $2$
   解析 $∵$ 幂函数 $f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}\left(m \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 的图象不与 $x$ 轴、$y$ 轴相交，
   则 $m^2-2m-3≤0$，解得 $m∈[-1,3]$，
   又由 $m∈N^*$, $∴m∈\{1,2,3\}$，
   当 $m=1$ 时， $f(x)=x^{-4}$，函数 $f(x)$ 为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，
   当 $m=2$ 时， $f(x)=x^{-3}$，函数 $f(x)$ 为奇函数，图象关于原点对称，
   当 $m=3$ 时，$f（x）=x^0$，函数 $f(x)$ 为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，
   故 $m=2$.
6. 答案 (1)$f(x)=x^2$ (2)$\{k∈Z|k<-1$ 或 $k>3\}$
   解析 (1) 幂函数 $f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}} (k∈Z)$，
   又 $∵f(x)$ 在 $(0,+∞)$ 上是增函数， $\therefore \dfrac{3}{2}+k-\dfrac{1}{2} k^{2}>0$，解得 $-1<k<3$，
   又 $∵k∈Z$，$∴k=0,1,2$，
   $∵f(x)$ 为偶函数，
   ①当 $k=0$ 时， $\dfrac{3}{2}+0-\dfrac{1}{2} \times 0^{2}=\dfrac{3}{2}$， $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ 为奇函数，不符合题意；
   ②当 $k=1$ 时， $\dfrac{3}{2}+1-\dfrac{1}{2} \times 1^{2}=2$，$f(x)=x^{2}$ 为偶函数，符合题意；
   ③当 $k=2$ 时， $\dfrac{3}{2}+2-\dfrac{1}{2} \times 2^{2}=\dfrac{3}{2}$,$f(x)=x^{\frac{3}{2}}$ 为奇函数，不符合题意．
   $∴k=1$，$f(x)=x^2$；
   (2)$∵$ 幂函数 $f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}} (k∈Z)$，
   又 $∵f(x)$ 在 $(0,+∞)$ 上是减函数，
   $\therefore \dfrac{3}{2}+k-\dfrac{1}{2} k^{2}<0$，解得 $k<-1$ 或 $k>3(k∈Z)$，
   $∴k$ 的取值范围为 $\{k∈Z|k<-1$ 或 $k>3\}$．
    

【C组---拓展题】

1. 对于幂函数 $f(x)=x^{\frac{4}{5}}$，若 $0<x_1<x_2$，则 $\left.f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right), \dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\right)$ 大小关系是 (　　)
 A． $f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right.}{2}$ $\qquad \qquad$ B． $f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$ $\qquad \qquad$
 C． $f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)=\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$ $\qquad \qquad$ D．无法确定
 

2. 已知函数 $g(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{m^{2}+2 m-3}$ 是幂函数且在 $(0,+∞)$ 上为减函数，函数 $f(x)=m x^{2}+a x-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值为 $2$，试求实数 $m,a$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 $∵$ 幂函数 $f(x)=x^{\frac{4}{5}}$ 在 $(0,+∞)$ 上是增函数，图象是上凸的，
   $∴$ 当 $0<x_1<x_2$ 时，应有 $f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}$．
   故选：$A$．
2. 答案 $a=-6$ 或 $a=\dfrac{10}{3}$
   解析 因为函数 $g(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{m^{2}+2 m-3}$ 是幂函数且在上为减函数，
   所以有 $\left\{\begin{array}{l} m^{2}-m-1=1 \\ m^{2}+2 m-3<0 \end{array}\right.$ 解得 $m=-1$．
   $\therefore f(x)=-x^{2}+a x-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}=-\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}$，
   ①当 $\dfrac{a}{2}<0$，即 $a<0$ 时，$[0，1]$ 是 $f(x)$ 的单调递减区间，
   $\therefore f(x)_{\max }=f(0)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}=2$，
   $∴a=-6<0$，$∴a=-6$，
   ②当 $0 \leq \dfrac{a}{2}<1$，即 $0≤a<2$ 时， $f(x)_{\max }=f\left(\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}=2$，
   解得 $a=-2$(舍) 或 $a=3$(舍)
   ③当 $\dfrac{a}{2} \geq 1$，即 $a≥2$ 时，$[0,1]$ 为 $f(x)$ 的单调递增区间，
   $\therefore f(x)_{\max }=f(1)=-1+a-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}=2$，解得 $a=\dfrac{10}{3}$
   综合①②③可知 $a=-6$ 或 $a=\dfrac{10}{3}$.