3.3 幂函数
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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基础知识
幂函数的定义
一般地,形如\(y=x^α\)的函数称为幂函数,其中\(x\)是自变量,\(α\)为常数.
注 (1)注意幂函数中\(x^α\)的系数是\(1\),底数是变量\(x\),指数\(α\)是常数.
【例】 下列是幂函数的是 ( )
A.\(y=2^x\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=3x^4\) \(\qquad \qquad\) C.\(y=x^2\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=(x-1)^3\)
解析 \(y=2^x\)的底数是常数, \(y=3x^4\)的系数不是\(1\), \(y=(x-1)^3\)的底数不是\(x\),它们均不是幂函数,只有\(C\)符合.
正数的正分数指数幂的意义
1正数的正分数指数幂的意义
规定:\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\left(a>0, m, n \in N^{*}\right.\)且\(n>1)\)
巧记 子内母外(根号内的作分子,根号外的作为分母),您想到“孕妇”便可.
2 正数的正分数指数幂的意义
\(a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}\left(a>0, m, n \in N^{*}\right.\)且\(n>1)\)
Eg \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), \(x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}\), \(x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\).
3 \(0\)的正分数指数幂等于\(0\),\(0\)的负分数指数幂没有意义.
幂函数图像及其性质
1 幂函数 \(y=x, y=x^{2}, y=x^{3}, y=x^{\frac{1}{2}}, y=x^{-1}\)的图象
![](https://img2023.cnblogs.com/blog/1943255/202305/1943255-20230516121318540-725164230.png )
2 幂函数 \(y=x, y=x^{2}, y=x^{3}, y=x^{\frac{1}{2}}, y=x^{-1}\)的性质
\(y=x\) | \(y=x^2\) | \(y=x^3\) | \(y=x^{\frac{1}{2}}\) | \(y=x^{-1}\) | |
---|---|---|---|---|---|
图象 | ![]() |
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定义域 | \(R\) | \(R\) | \(R\) | \([0,+∞)\) | \(x≠0\) |
值域 | \(R\) | \([0,+∞)\) | \(R\) | \([0,+∞)\) | \(x≠0\) |
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 非奇非偶 | 奇函数 |
单调性 | 在\(R\)上递增 | 在\((-∞,0]\)上递减 在\((0,+∞)\)上递增 |
在\(R\)上递增 | 在\([0,+∞)\)上递增 | 在\((-∞,0)\)上递减 在\((0,+∞)\)上递减 |
特殊点 | \((1,1),(0 ,0)\) | \((1,1),(0,0)\) | \((1,1),(0,0)\) | \((1,1),(0,0)\) | \((1,1 )\) |
3 性质
① 所有的幂函数在\((0 ,+∞ )\)都有定义,并且图象都过点\((1 ,1)\);
② \(α>0\)时,幂函数的图象通过原点,并且在\([0 ,+∞ )\)上是增函数.
特别地,当\(α>1\)时,幂函数变化快,图象下凹;当\(0<α<1\)时,幂函数变化慢,图象上凸.
Eg 图象上凸,\(y=x^2\)图象下凹,在\([0 ,+∞ )\)上是增函数.
③ \(α<0\)时,幂函数的图象在\((0 ,+∞ )\)上是减函数.在第一象限内,当\(x\)从右边趋向原点时,图象在\(y\)轴右方无限地逼近\(y\)轴正半轴,当\(x\)趋于\(+∞\)时,图象在\(x\)轴上方无限地逼近\(x\)轴正半轴.
Eg \(y=x^{-1}=\dfrac{1}{x}\),
基本方法
【题型1】幂函数的概念
【典题1】已知函数 \(f(x)=\left(m^{2}+2 m-2\right) x^{m^{2}-m-1}\)是幂函数,则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
解析 由题意知,若\(f(x)\)为幂函数,则\(m^2+2m-2=1\).
即\(m^2+2m-3=0\),解得\(m=1\)或\(m=-3\).
巩固练习
1.已知函数 \(f(x)=(a-1) x^{a^{2}-1}\)是幂函数,则\(f(2)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
2.已知幂函数\(f(x)=x^a\)的图象经过点 \(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\),则\(f(4)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 \(8\)
解析 依题意得,\(a-1=1\),\(∴a=2\),则\(f(x)=x^3\),\(f(2)=8\). - 答案 \(\dfrac{1}{2}\)
解析 \(∵\)幂函数 \(f(x)=x^a\)过点 \(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\),
\(\therefore f(2)=2^{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\),解得 \(a=-\dfrac{1}{2}\),
\(\therefore f(x)=x^{-\dfrac{1}{2}}\),\(∴f(4)=\dfrac{1}{2}\).
【题型2】幂函数的图象及其性质
【典题1】 函数 \(y=x^{2}, y=x^{-1}, y=x^{\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{1}{3}}\)在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A.\(C_2,C_1,C_3,C_4\) \(\qquad \qquad\) B.\(C_4,C_1,C_3,C_2\)
C.\(C_3,C_2,C_1,C_4\) \(\qquad \qquad\) D .\(C_1,C_4,C_2,C_3\)
解析 由于在第一象限内直线\(x=1\)的右侧时,
幂函数\(y=x^α\)的图象从上到下相应的指数\(α\)由大变小(令\(x=8\)可知),
故指数\(α\)由大变小排列,幂函数 \(y=x^{2}, y=x^{\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{1}{3}}, y=x^{-1}\)在第一象限内的图象为分别为\(C_1, C_2,C_3,C_4\),
故选\(D\).
【典题2】 已知幂函数\(f(x)\)过点 \(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\),则\(f(x)\)的解析式是\(\underline{\quad \quad}\),定义域是\(\underline{\quad \quad}\) ,在\((0 ,+∞)\)上的单调性是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 \(∵y=f(x)\)是幂函数,\(∴\)设\(f(x)=x^a\),
又过点 \(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\), \(\therefore 2^{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-\frac{1}{2}}\),即 \(a=-\dfrac{1}{2}\),
\(\therefore f(x)=x^{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\),\(∴x>0\),即定义域是\((0 ,+∞)\),
\(\because y=\sqrt{x}\)在\((0 ,+∞)\)上单调递增,
\(\therefore y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)在\((0 ,+∞)\)上单调递减,
其函数图象如下,
点拨 利用待定系数法求解函数解析式,注意指数幂的变化.
【典题3】已知幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)\)的图象关于原点对称,且在\((0 ,+∞)\)上是减函数,则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
解析 幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)\)在\((0,+∞)\)上是减函数,
则\(m^2-2m-3<0\),解得\(-1<m<3\);
又\(m∈Z\),\(∴m=0,1,2\);
当\(m=0\)时, \(f(x)=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}\),是奇函数,图象关于原点对称;
当\(m=1\)时, \(f(x)=x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}\),是偶函数,其图象关于\(y\)轴对称;
当\(m=2\)时, \(f(x)=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}\),是奇函数,图象关于原点对称.
综上,\(m\)的值是\(0\)或\(2\).
点拨 幂函数\(y=x^α\),\(α>0\)时在\([0 ,+∞ )\)上是增函数;\(α<0\)时在\((0 ,+∞ )\)上是减函数.
巩固练习
1.图中曲线是幂函数\(y=x^n\)在第一象限的图象,已知\(n\)取 \(\pm 2, \pm \dfrac{1}{2}\)四个值,则相应于曲线\(C_1,C_2 ,C_3 ,C_4\)的\(n\)依次为 ( )
A. \(-2,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 2\) \(\qquad \qquad\) B. \(2, \dfrac{1}{2},-2,-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) C. \(-\dfrac{1}{2},-2,2, \dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) D. \(2, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-2\)
2.下列命题中:
①幂函数的图象都经过点\((1 ,1)\)和点\((0 ,0)\);
②幂函数的图象不可能在第四象限;
③当\(n=0\)时,幂函数\(y=x^n\)的图象是一条直线;
④当\(n>0\)时,幂函数\(y=x^n\)是增函数;
⑤当\(n<0\)时,幂函数在第一象限内的函数值随\(x\)的值增大而减小.
其中正确的是( )
A.①和④ \(\qquad \qquad\) B.④和⑤ \(\qquad \qquad\) C.②和③ \(\qquad \qquad\)D.②和⑤
3.函数 \(y=x^{\frac{3}{2}}\)的图象是( )
A. \(\qquad\) B.
\(\qquad\) C.
\(\qquad\) D.
4.已知 \(\alpha \in\left\{-2,-1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1,2,3\right\}\),若幂函数\(f(x)=x^α\)为奇函数,且在\((0,+∞)\)上递减,则\(α=\)\(\underline{\quad \quad}\).
5.已知幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)\)是偶函数,且在\((0,+∞)\)上是减函数,求函数\(f(x)\)的解析式.
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 根据指数函数的单调性,\(x>1\)时, \(x^{2}>x^{\frac{1}{2}}>x^{-\frac{1}{2}}>x^{-2}\),
\(∴\)相应于曲线\(C_1,C_2,C_3,C_4\)的\(n\)依次为 \(2, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-2\).
故选:\(D\). - 答案 \(D\)
解析 ①幂函数的图象都经过点\((1 ,1)\),但不一定经过点\((0 ,0)\),比如 \(y=\dfrac{1}{x}\),故错误;
②幂函数的图象不可能在第四象限,故正确;
③当\(n=0\)时,幂函数\(y=x^n\)的图象是一条直线去除\((0 ,1)\)点,故错误;
④当\(n>0\)时,如\(y=x^2\),幂函数\(y=x^n\)在\((0 ,+∞)\)上是增函数,但在整个定义域为不一定是增函数,故错误;
⑤当\(n<0\)时,幂函数\(y=x^n\)在\((0 ,+∞)\)上是减函数,即幂函数在第一象限内的函数值随\(x\)的值增大而减小,故正确.
故选:\(D\). - 答案 \(C\)
解析 \(∵\)函数 \(y=x^{\frac{3}{2}}\)的定义域是\([0,+∞)\),\(∴\)排除选项\(A\)和\(B\),
又 \(\because \dfrac{3}{2}>1\),\(∴\)曲线应该是下凸型递增抛物线.故选:\(C\). - 答案 \(-1\)
解析 \(\because \alpha \in\left\{-2,-1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1,2,3\right\}\),
幂函数\(f(x)=x^α\)为奇函数,且在\((0,+∞)\)上递减,
\(∴a\)是奇数,且\(a<0\),
\(∴a=-1\). - 答案 \(f(x)=x^{-2}\)
解析 \(∵f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)\)是偶函数,\(∴m^2-m-2\)为偶数.
又 \(∵f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)\)在\((0,+∞)\)上是减函数,
\(∴m^2-m-2<0\),即\(-1<m<2\).
\(∵m∈Z\),\(∴m=0\)或\(m=1\).
当\(m=0\)时, \(m^2-m-2=-2\)为偶数,当\(m=1\)时, \(m^2-m-2=-2\)为偶数.
\(∴f(x)\)的解析式为 \(f(x)=x^{-2}\).
【题型3】幂函数的应用
【典题1】 比较下列各组数的大小.
(1) \(3^{-\frac{5}{2}}\)和\(3.1^{-\frac{5}{2}}\); (2) \(-8^{-\frac{7}{8}}\)和\(-\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}\);
解析 (1)\(∵\)函数 \(y=x^{-\frac{5}{2}}\)在\((0,+∞)\)上为减函数,
又\(3<3.1\), \(: 3^{-\frac{5}{2}}>3.1^{-\frac{5}{2}}\).
(2) \(\because-8^{-\frac{7}{8}}=-\left(\dfrac{1}{8}\right)^{\frac{7}{8}}\),函数 \(y=x^{\frac{7}{8}}\)在\((0,+∞)\)上为增函数,
又 \(\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{9}\), \(\therefore\left(\dfrac{1}{8}\right)^{\frac{7}{8}}>\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}\),从而 \(-8^{-\frac{7}{8}}<-\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}\).
点拨 注意式子的结构,通过构造函数,利用其单调性比较大小.
【典题2】 已知 \(f(x)=\left(n^{2}-3 n+3\right) x^{n+1}\)为幂函数,且\(f(x)\)为奇函数.
(1)求函数\(f(x)\)的解析式;(2)解不等式\(f(x+1)+f(3-2x)>0\).
解析 (1)\(f(x)=\left(n^{2}-3 n+3\right) x^{n+1}\)为幂函数,
\(∴n^2-3n+3=1\),解得\(n=1\)或\(n=2\);
又\(f(x)\)为奇函数,\(∴n=2\),
\(∴\)函数\(f(x)=x^3\);
(2)由\(f(x)=x^3\)是定义域\(R\)上的增函数,且不等式\(f(x+1)+f(3-2x)>0\)
化为\(f(x+1)>-f(3-2x)=f(2x-3)\),
\(∴x+1>2x-3\),解得\(x<4\),
\(∴\)不等式\(f(x+1)+f(3-2x)>0\)的解集是\(\{x|x<4\}\).
巩固练习
1.已知幂函数 \(y=x^{p^{2}-2 p-3}\left(p \in N^{*}\right)\)的图象关于\(y\)轴对称,且在\((0,+∞)\)上是减函数,实数\(a\)满足 \(\left(a^{2}-1\right)^{\frac{p}{3}}<(3 a+3)^{\frac{p}{3}}\),则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(1<a<4\)
解析 \(∵\)幂函数 \(y=x^{p^{2}-2 p-3}\left(p \in N^{*}\right)\)在\((0,+∞)\)上是减函数,
\(∴p^2-2p-3<0\),解得\(-1<p<3\),
\(∵p∈N^*\),\(∴p=1\)或\(2\).
当\(p=1\)时,\(y=x^{-4}\)为偶函数满足条件,
当\(p=2\)时, \(y=x^{-3}\)为奇函数不满足条件,
则不等式等价为 \(\left(a^{2}-1\right)^{\frac{p}{3}}<(3 a+3)^{\frac{p}{3}}\),即\(\left(a^{2}-1\right)^{\frac{1}{3}}<(3 a+3)^{\frac{1}{3}}\)
\(\because y=x^{\frac{1}{3}}\)在\((-∞,0)\)和\((0,+∞)\)上都为增函数,
\(∴a^2-1<3a+3<0\)或 \(0<a^2-1<3a+3\),解得:\(1<a<4\).
分层练习
【A组---基础题】
1.幂函数\(y=f(x)\)经过点 \((3, \sqrt{3})\),则\(f(x)\)是( )
A.偶函数,且在\((0,+∞)\)上是增函数 \(\qquad \qquad\) B.偶函数,且在\((0,+∞)\)上是减函数
C.奇函数,且在\((0,+∞)\)是减函数 \(\qquad \qquad\) D.非奇非偶函数,且在\((0,+∞)\)上是增函数
2.幂函数 \(y=x^{a}, y=x^{b}, y=x^{c}, y=x^{d}\)在第一象限的图象如图所示,则\(a,b,c,d\)的大小关系是 ( )
A.\(a>b>c>d\) \(\qquad \qquad\) B.\(d>b>c>a\) \(\qquad \qquad\) C.\(d>c>b>a\) \(\qquad \qquad\) D.\(b>c>d>a\)
3.若三个幂函数 \(y=x^{a}, y=x^{b}, y=x^{c}\)在同一坐标系中的图象如图所示,则\(a,b,c\)的大小关系是( )
A.\(c>b>a\) \(\qquad \qquad\) B.\(c>a>b\) \(\qquad \qquad\) C.\(a>b>c\) \(\qquad \qquad\) D.\(a>c>b\)
4.任意两个幂函数图象的交点个数是( )
A.最少一个,最多三个 \(\qquad \qquad\) B.最少一个,最多二个
C.最少\(0\)个,最多三个\(\qquad \qquad\) D.最少\(0\)个,最多二个
5.已知幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)\)的图象关于原点对称,且在\((0,+∞)\)上是减函数,则\(m=\)( )
A.\(0\) \(\qquad \qquad\) B.\(0\)或\(2\)\(\qquad \qquad\) C.\(0\) \(\qquad \qquad\)D.\(2\)
6.已知幂函数 \(f(x)=(m-1)^{2} x^{m^{2}-3 m+2}\)在\((0,+∞)\)上单调递增,则\(f(x)\)的解析式是\(\underline{\quad \quad}\) .
7.已知幂函数\(f(x)=x^α (α∈R)\),且 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
(1)求函数\(f(x)\)的解析式;
(2)证明函数\(f(x)\)在定义域上是增函数.
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 设幂函数的解析式为:\(y=x^α\),
将 \((3, \sqrt{3})\)代入解析式得: \(3^{a}=\sqrt{3}\),解得 \(\alpha=\dfrac{1}{2}\), \(\therefore y=x^{\frac{1}{2}}\),
故选:\(D\). -
答案 \(D\)
解析 由图象得:\(b>c>d>a\),故选:\(D\). -
答案 \(C\)
解析 ①\(y=x^a\),单调递增,且当\(x>1\)时,在直线\(y=x\)的上方,\(∴a>1\),
②\(y=x^b\),单调递增,且当\(x>1\)时,在直线\(y=x\)的下方,\(∴0<b<1\),
③\(y=x^c\),单调递减,且当\(x>1\)时,在直线\(y=x\)的下方,\(∴c<0\);
\(∴a>b>c\).
故选:\(C\). -
答案 \(A\)
解析 所有幂函数的图象都过\((1,1)\)故最少\(1\)个交点,
当函数为\(y=x^3\)和\(y=x\)时,它们有\(3\)个交点,故选\(A\).
-
答案 \(B\)
解析 幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)\)在\((0,+∞)\)上是减函数,
则\(m^2-2m-3<0\),解得\(-1<m<3\);
又\(m∈Z\),\(∴m=0,1,2\);
当\(m=0\)或\(m=2\)时,\(f(x)=x^{-3}\),图象关于原点对称;
当\(m=1\)时, \(f(x)=x^{-4}\),其图象不关于原点对称;
综上,\(m\)的值是\(0\)或\(2\).
故选:\(B\). -
答案 \(f(x)=x^2\)
解析 \(∵f(x)\)是幂函数,\(∴(m-1)^2=1\),解得\(m=2\)或\(m=0\),
若\(m=2\),则\(f(x)=x^0\),在\((0,+∞)\)上不单调递减,不满足条件;
若\(m=0\),则\(f(x)=x^2\),在\((0,+∞)\)上单调递增,满足条件;
即\(f(x)=x^2\). -
答案 (1) \(f(x)=\sqrt{x}\) (2)略
解析 (1)解:由 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\alpha}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)得, \(\alpha=\dfrac{1}{2}\),所以 \(f(x)=\sqrt{x}\);
(2)证明:定义域是\([0,+∞)\),设任意的\(x_2>x_1≥0\),
则 \(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\sqrt{x_{2}}-\sqrt{x_{1}}=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}}\),
\(\because x_{2}-x_{1}>0, \sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}>0\),
\(∴f(x_2 )>f(x_1 )\),
函数\(f(x)\)在定义域上是增函数.
【B组---提高题】
1.已知指数函数 \(f(x)=a^{x-16}+7(a>0\)且\(a≠1)\)的图象恒过定点\(P\),若定点\(P\)在幂函数\(g(x)\)的图象上,则幂函数\(g(x)\)的图象是( )
A. \(\qquad \qquad\) B.
\(\qquad \qquad\) C.
\(\qquad \qquad\) D.
2.如图所示是函数 \(y=x^{\frac{m}{n}}\left(m, n \in N^{*}\right.\)且互质)的图象,则( )
A.\(m、n\)是奇数且 \(\dfrac{m}{n}<1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(m\)是偶数,\(n\)是奇数,且 \(\dfrac{m}{n}>1\)
C.\(m\)是偶数,\(n\)是奇数,且 \(\dfrac{m}{n}<1\) \(\qquad \qquad\) D.\(m、n\)是偶数,且 \(\dfrac{m}{n}>1\)
3.已知幂函数 \(y=x^{\frac{p}{q}}, \quad(p, q \in \boldsymbol{Z})\)的图象如图所示,则( )
A.\(p ,q\)均为奇数,且 \(\dfrac{p}{q}>0\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.\(q\)为偶数,\(p\)为奇数,且 \(\dfrac{p}{q}<0\)
C.\(q\)为奇数,\(p\)为偶数,且 \(\dfrac{p}{q}>0\) \(\qquad \qquad\) D.\(q\)为奇数,\(p\)为偶数,且 \(\dfrac{p}{q}<0\)
4.对幂函数 \(f(x)=x^{-\frac{3}{2}}\)有以下结论
(1)\(f(x)\)的定义域是\(\{x|x≠0,x∈R\}\);\(\qquad\) (2)\(f(x)\)的值域是\((0,+∞)\);
(3)\(f(x)\)的图象只在第一象限;\(\qquad\) (4)\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上递减;\(\qquad\)(5)\(f(x)\)是奇函数.
则所有正确结论的序号是\(\underline{\quad \quad}\).
5.已知幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}\left(m \in \mathrm{N}^{*}\right)\)的图象不与\(x\)轴、\(y\)轴相交,且关于原点对称,则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
6.已知幂函数 \(f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}}\)
(1)若\(f(x)\)为偶函数,且在\((0,+∞)\)上是增函数,求\(f(x)\)的解析式;
(2)若\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上是减函数,求\(k\)的取值范围.
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 指数函数 \(f(x)=a^{x-16}+7(a>0\)且\(a≠1)\)的图象恒过定点\(P\),
令\(x-16=0\),解得\(x=16\),且\(f(16)=1+7=8\),
所以\(f(x)\)的图象恒过定点\(P(16,8)\);
设幂函数\(g(x)=x^a\),\(P\)在幂函数\(g(x)\)的图象上,
可得:\(16^a=8\),解得 \(a=\dfrac{3}{4}\);所以 \(g(x)=x^{\frac{3}{4}}\),
幂函数\(g(x)\)的图象是\(A\).
故选:\(A\). - 答案 \(C\)
解析 \(∵\)函数 \(y=x^{\frac{m}{n}}\)的图象的图象关于\(y\)轴对称,故\(n\)为奇数,\(m\)为偶数,
在第一象限内,函数是凸函数,故 \(\dfrac{m}{n}<1\),故选:\(C\). - 答案 \(D\)
解析 因为函数为偶函数,所以\(p\)为偶数,
且由图象形状判定 \(\dfrac{p}{q}<0\).
又因\(p、q\)互质,所以\(q\)为奇数.所以选\(D\). - 答案 (2)(3)(4)
解析 对幂函数 \(f(x)=x^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\),以下结论
(1)\(f(x)\)的定义域是{x|x>0,x∈R},因此不正确;
(2) \(f(x)\)的值域是\((0,+∞)\),正确;
(3) \(f(x)\)的图象只在第一象限,正确;
(4) \(f(x)\)在\((0,+∞)\)上递减,正确;
(5) \(f(x)\)是非奇非偶函数,因此不正确.
则所有正确结论的序号是(2)(3)(4).
故答案为:(2)(3)(4). - 答案 \(2\)
解析 \(∵\)幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}\left(m \in \mathrm{N}^{*}\right)\)的图象不与\(x\)轴、\(y\)轴相交,
则\(m^2-2m-3≤0\),解得\(m∈[-1,3]\),
又由\(m∈N^*\), \(∴m∈\{1,2,3\}\),
当\(m=1\)时, \(f(x)=x^{-4}\),函数\(f(x)\)为偶函数,图象关于\(y\)轴对称,
当\(m=2\)时, \(f(x)=x^{-3}\),函数\(f(x)\)为奇函数,图象关于原点对称,
当\(m=3\)时,\(f(x)=x^0\),函数\(f(x)\)为偶函数,图象关于\(y\)轴对称,
故\(m=2\). - 答案 (1)\(f(x)=x^2\) (2)\(\{k∈Z|k<-1\)或\(k>3\}\)
解析 (1)幂函数 \(f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}} (k∈Z)\),
又\(∵f(x)\)在\((0,+∞)\)上是增函数, \(\therefore \dfrac{3}{2}+k-\dfrac{1}{2} k^{2}>0\),解得\(-1<k<3\),
又\(∵k∈Z\),\(∴k=0,1,2\),
\(∵f(x)\)为偶函数,
①当\(k=0\)时, \(\dfrac{3}{2}+0-\dfrac{1}{2} \times 0^{2}=\dfrac{3}{2}\), \(f(x)=x^{\frac{3}{2}}\)为奇函数,不符合题意;
②当\(k=1\)时, \(\dfrac{3}{2}+1-\dfrac{1}{2} \times 1^{2}=2\),\(f(x)=x^{2}\)为偶函数,符合题意;
③当\(k=2\)时, \(\dfrac{3}{2}+2-\dfrac{1}{2} \times 2^{2}=\dfrac{3}{2}\),\(f(x)=x^{\frac{3}{2}}\)为奇函数,不符合题意.
\(∴k=1\),\(f(x)=x^2\);
(2)\(∵\)幂函数 \(f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}} (k∈Z)\),
又\(∵f(x)\)在\((0,+∞)\)上是减函数,
\(\therefore \dfrac{3}{2}+k-\dfrac{1}{2} k^{2}<0\),解得\(k<-1\)或\(k>3(k∈Z)\),
\(∴k\)的取值范围为\(\{k∈Z|k<-1\)或\(k>3\}\).
【C组---拓展题】
1.对于幂函数 \(f(x)=x^{\frac{4}{5}}\),若\(0<x_1<x_2\),则 \(\left.f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right), \dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\right)\)大小关系是( )
A. \(f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right.}{2}\) \(\qquad \qquad\) B. \(f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\) \(\qquad \qquad\)
C. \(f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)=\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\) \(\qquad \qquad\) D.无法确定
2.已知函数 \(g(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{m^{2}+2 m-3}\)是幂函数且在\((0,+∞)\)上为减函数,函数 \(f(x)=m x^{2}+a x-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}\)在区间\([0,1]\)上的最大值为\(2\),试求实数\(m,a\)的值.
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 \(∵\)幂函数 \(f(x)=x^{\frac{4}{5}}\)在\((0,+∞)\)上是增函数,图象是上凸的,
\(∴\)当\(0<x_1<x_2\)时,应有 \(f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\).
故选:\(A\). - 答案 \(a=-6\)或 \(a=\dfrac{10}{3}\)
解析 因为函数 \(g(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{m^{2}+2 m-3}\)是幂函数且在上为减函数,
所以有 \(\left\{\begin{array}{l} m^{2}-m-1=1 \\ m^{2}+2 m-3<0 \end{array}\right.\)解得\(m=-1\).
\(\therefore f(x)=-x^{2}+a x-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}=-\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}\),
①当 \(\dfrac{a}{2}<0\),即\(a<0\)时,\([0,1]\)是\(f(x)\)的单调递减区间,
\(\therefore f(x)_{\max }=f(0)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}=2\),
\(∴a=-6<0\),\(∴a=-6\),
②当 \(0 \leq \dfrac{a}{2}<1\),即\(0≤a<2\)时, \(f(x)_{\max }=f\left(\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}=2\),
解得\(a=-2\)(舍)或\(a=3\)(舍)
③当 \(\dfrac{a}{2} \geq 1\),即\(a≥2\)时,\([0,1]\)为\(f(x)\)的单调递增区间,
\(\therefore f(x)_{\max }=f(1)=-1+a-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}=2\),解得 \(a=\dfrac{10}{3}\)
综合①②③可知\(a=-6\)或 \(a=\dfrac{10}{3}\).