3.3 幂函数
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
幂函数的定义
一般地，形如\(y=x^α\)的函数称为幂函数，其中\(x\)是自变量，\(α\)为常数．
注 (1)注意幂函数中\(x^α\)的系数是\(1\)，底数是变量\(x\)，指数\(α\)是常数.
【例】 下列是幂函数的是 ( )
A.\(y=2^x\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=3x^4\) \(\qquad \qquad\) C.\(y=x^2\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=(x-1)^3\)
解析 \(y=2^x\)的底数是常数， \(y=3x^4\)的系数不是\(1\)， \(y=(x-1)^3\)的底数不是\(x\)，它们均不是幂函数，只有\(C\)符合.
正数的正分数指数幂的意义
1正数的正分数指数幂的意义
规定：\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\left(a>0, m, n \in N^{*}\right.\)且\(n>1)\)
巧记 子内母外(根号内的作分子，根号外的作为分母)，您想到“孕妇”便可.
2 正数的正分数指数幂的意义
\(a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}\left(a>0, m, n \in N^{*}\right.\)且\(n>1)\)
Eg \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), \(x^{-2}=\dfrac{1}{x^2}\), \(x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\).
3 \(0\)的正分数指数幂等于\(0\)，\(0\)的负分数指数幂没有意义.
幂函数图像及其性质
1 幂函数 \(y=x, y=x^{2}, y=x^{3}, y=x^{\frac{1}{2}}, y=x^{-1}\)的图象
2 幂函数 \(y=x, y=x^{2}, y=x^{3}, y=x^{\frac{1}{2}}, y=x^{-1}\)的性质
| \(y=x\) | \(y=x^2\) | \(y=x^3\) | \(y=x^{\frac{1}{2}}\) | \(y=x^{-1}\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| 图象 |  |
 |
 |
 |
 |
| 定义域 | \(R\) | \(R\) | \(R\) | \([0,+∞)\) | \(x≠0\) |
| 值域 | \(R\) | \([0,+∞)\) | \(R\) | \([0,+∞)\) | \(x≠0\) |
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 非奇非偶 | 奇函数 |
| 单调性 | 在\(R\)上递增 | 在\((-∞,0]\)上递减 在\((0,+∞)\)上递增 |
在\(R\)上递增 | 在\([0,+∞)\)上递增 | 在\((-∞,0)\)上递减 在\((0,+∞)\)上递减 |
| 特殊点 | \((1,1),(0 ,0)\) | \((1,1),(0,0)\) | \((1,1),(0,0)\) | \((1,1),(0,0)\) | \((1,1 )\) |
3 性质
① 所有的幂函数在\((0 ,+∞ )\)都有定义，并且图象都过点\((1 ,1)\)；
② \(α>0\)时，幂函数的图象通过原点，并且在\([0 ,+∞ )\)上是增函数．
特别地，当\(α>1\)时，幂函数变化快，图象下凹；当\(0<α<1\)时，幂函数变化慢，图象上凸.
Eg 图象上凸，\(y=x^2\)图象下凹，在\([0 ,+∞ )\)上是增函数．
③ \(α<0\)时，幂函数的图象在\((0 ,+∞ )\)上是减函数．在第一象限内，当\(x\)从右边趋向原点时，图象在\(y\)轴右方无限地逼近\(y\)轴正半轴，当\(x\)趋于\(+∞\)时，图象在\(x\)轴上方无限地逼近\(x\)轴正半轴．
Eg \(y=x^{-1}=\dfrac{1}{x}\)，
基本方法
【题型1】幂函数的概念
【典题1】已知函数 \(f(x)=\left(m^{2}+2 m-2\right) x^{m^{2}-m-1}\)是幂函数，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 由题意知，若\(f(x)\)为幂函数，则\(m^2+2m-2=1\)．
即\(m^2+2m-3=0\)，解得\(m=1\)或\(m=-3\)．
巩固练习
1.已知函数 \(f(x)=(a-1) x^{a^{2}-1}\)是幂函数，则\(f(2)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
2.已知幂函数\(f(x)=x^a\)的图象经过点 \(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，则\(f(4)\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(8\)
解析 依题意得，\(a-1=1\)，\(∴a=2\)，则\(f(x)=x^3\)，\(f(2)=8\). - 答案 \(\dfrac{1}{2}\)
解析 \(∵\)幂函数 \(f(x)=x^a\)过点 \(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，
\(\therefore f(2)=2^{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，解得 \(a=-\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore f(x)=x^{-\dfrac{1}{2}}\)，\(∴f(4)=\dfrac{1}{2}\).
【题型2】幂函数的图象及其性质
【典题1】 函数 \(y=x^{2}, y=x^{-1}, y=x^{\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{1}{3}}\)在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A.\(C_2，C_1，C_3，C_4\) \(\qquad \qquad\) B.\(C_4，C_1，C_3，C_2\)
C.\(C_3，C_2，C_1，C_4\) \(\qquad \qquad\) D .\(C_1，C_4，C_2，C_3\)
解析 由于在第一象限内直线\(x=1\)的右侧时，
幂函数\(y=x^α\)的图象从上到下相应的指数\(α\)由大变小(令\(x=8\)可知)，
故指数\(α\)由大变小排列，幂函数 \(y=x^{2}, y=x^{\frac{1}{3}}, y=x^{-\frac{1}{3}}, y=x^{-1}\)在第一象限内的图象为分别为\(C_1， C_2，C_3，C_4\)，
故选\(D\).
【典题2】 已知幂函数\(f(x)\)过点 \(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，则\(f(x)\)的解析式是\(\underline{\quad \quad}\)，定义域是\(\underline{\quad \quad}\) ，在\((0 ,+∞)\)上的单调性是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 \(∵y=f(x)\)是幂函数，\(∴\)设\(f(x)=x^a\)，
又过点 \(\left(2, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)， \(\therefore 2^{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}=2^{-\frac{1}{2}}\)，即 \(a=-\dfrac{1}{2}\)，
\(\therefore f(x)=x^{-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)，\(∴x>0\)，即定义域是\((0 ,+∞)\)，
\(\because y=\sqrt{x}\)在\((0 ,+∞)\)上单调递增，
\(\therefore y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)在\((0 ,+∞)\)上单调递减，
其函数图象如下，
点拨 利用待定系数法求解函数解析式，注意指数幂的变化.
【典题3】已知幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)\)的图象关于原点对称，且在\((0 ,+∞)\)上是减函数，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
解析 幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)\)在\((0,+∞)\)上是减函数，
则\(m^2-2m-3<0\)，解得\(-1<m<3\)；
又\(m∈Z\)，\(∴m=0，1，2\)；
当\(m=0\)时， \(f(x)=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}\)，是奇函数，图象关于原点对称；
当\(m=1\)时， \(f(x)=x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}\)，是偶函数，其图象关于\(y\)轴对称；
当\(m=2\)时， \(f(x)=x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}}\)，是奇函数，图象关于原点对称.
综上，\(m\)的值是\(0\)或\(2\)．
点拨 幂函数\(y=x^α\)，\(α>0\)时在\([0 ,+∞ )\)上是增函数；\(α<0\)时在\((0 ,+∞ )\)上是减函数．
巩固练习
1.图中曲线是幂函数\(y=x^n\)在第一象限的图象，已知\(n\)取 \(\pm 2, \pm \dfrac{1}{2}\)四个值，则相应于曲线\(C_1，C_2 ,C_3 ,C_4\)的\(n\)依次为 ( )
A． \(-2,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 2\) \(\qquad \qquad\) B． \(2, \dfrac{1}{2},-2,-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) C． \(-\dfrac{1}{2},-2,2, \dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) D． \(2, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-2\)
2.下列命题中：
①幂函数的图象都经过点\((1 ,1)\)和点\((0 ,0)\)；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当\(n=0\)时，幂函数\(y=x^n\)的图象是一条直线；
④当\(n>0\)时，幂函数\(y=x^n\)是增函数；
⑤当\(n<0\)时，幂函数在第一象限内的函数值随\(x\)的值增大而减小．
其中正确的是( )
A．①和④ \(\qquad \qquad\) B．④和⑤ \(\qquad \qquad\) C．②和③ \(\qquad \qquad\)D．②和⑤
3.函数 \(y=x^{\frac{3}{2}}\)的图象是( )
A．
\(\qquad\) B．
\(\qquad\) C．
\(\qquad\) D．
4.已知 \(\alpha \in\left\{-2,-1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1,2,3\right\}\)，若幂函数\(f(x)=x^α\)为奇函数，且在\((0,+∞)\)上递减，则\(α=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
5.已知幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)\)是偶函数，且在\((0,+∞)\)上是减函数，求函数\(f(x)\)的解析式．
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 根据指数函数的单调性，\(x>1\)时， \(x^{2}>x^{\frac{1}{2}}>x^{-\frac{1}{2}}>x^{-2}\)，
\(∴\)相应于曲线\(C_1，C_2，C_3，C_4\)的\(n\)依次为 \(2, \dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2},-2\)．
故选：\(D\)． - 答案 \(D\)
解析 ①幂函数的图象都经过点\((1 ,1)\)，但不一定经过点\((0 ,0)\)，比如 \(y=\dfrac{1}{x}\)，故错误；
②幂函数的图象不可能在第四象限，故正确；
③当\(n=0\)时，幂函数\(y=x^n\)的图象是一条直线去除\((0 ,1)\)点，故错误；
④当\(n>0\)时，如\(y=x^2\)，幂函数\(y=x^n\)在\((0 ,+∞)\)上是增函数，但在整个定义域为不一定是增函数，故错误；
⑤当\(n<0\)时，幂函数\(y=x^n\)在\((0 ,+∞)\)上是减函数，即幂函数在第一象限内的函数值随\(x\)的值增大而减小，故正确．
故选：\(D\)． - 答案 \(C\)
解析 \(∵\)函数 \(y=x^{\frac{3}{2}}\)的定义域是\([0,+∞)\)，\(∴\)排除选项\(A\)和\(B\)，
又 \(\because \dfrac{3}{2}>1\)，\(∴\)曲线应该是下凸型递增抛物线．故选：\(C\)． - 答案 \(-1\)
解析 \(\because \alpha \in\left\{-2,-1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 1,2,3\right\}\)，
幂函数\(f(x)=x^α\)为奇函数，且在\((0,+∞)\)上递减，
\(∴a\)是奇数，且\(a<0\)，
\(∴a=-1\)． - 答案 \(f(x)=x^{-2}\)
解析 \(∵f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)\)是偶函数，\(∴m^2-m-2\)为偶数．
又 \(∵f(x)=x^{m^{2}-m-2}(m \in Z)\)在\((0,+∞)\)上是减函数，
\(∴m^2-m-2<0\)，即\(-1<m<2\)．
\(∵m∈Z\)，\(∴m=0\)或\(m=1\)．
当\(m=0\)时， \(m^2-m-2=-2\)为偶数，当\(m=1\)时， \(m^2-m-2=-2\)为偶数．
\(∴f(x)\)的解析式为 \(f(x)=x^{-2}\)．
【题型3】幂函数的应用
【典题1】 比较下列各组数的大小．
(1) \(3^{-\frac{5}{2}}\)和\(3.1^{-\frac{5}{2}}\)； (2) \(-8^{-\frac{7}{8}}\)和\(-\left(\frac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}\)；
解析 (1)\(∵\)函数 \(y=x^{-\frac{5}{2}}\)在\((0，+∞)\)上为减函数，
又\(3<3.1\)， \(: 3^{-\frac{5}{2}}>3.1^{-\frac{5}{2}}\)．
(2) \(\because-8^{-\frac{7}{8}}=-\left(\dfrac{1}{8}\right)^{\frac{7}{8}}\)，函数 \(y=x^{\frac{7}{8}}\)在\((0，+∞)\)上为增函数，
又 \(\dfrac{1}{8}>\dfrac{1}{9}\)， \(\therefore\left(\dfrac{1}{8}\right)^{\frac{7}{8}}>\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}\)，从而 \(-8^{-\frac{7}{8}}<-\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\frac{7}{8}}\)．
点拨 注意式子的结构，通过构造函数，利用其单调性比较大小.
【典题2】 已知 \(f(x)=\left(n^{2}-3 n+3\right) x^{n+1}\)为幂函数，且\(f(x)\)为奇函数．
(1)求函数\(f(x)\)的解析式；(2)解不等式\(f(x+1)+f(3－2x)>0\)．
解析 (1）\(f(x)=\left(n^{2}-3 n+3\right) x^{n+1}\)为幂函数，
\(∴n^2－3n+3=1\)，解得\(n=1\)或\(n=2\)；
又\(f(x)\)为奇函数，\(∴n=2\)，
\(∴\)函数\(f(x)=x^3\)；
(2)由\(f(x)=x^3\)是定义域\(R\)上的增函数，且不等式\(f(x+1)+f(3-2x)>0\)
化为\(f(x+1)>-f(3-2x)=f(2x－3)\)，
\(∴x+1>2x-3\)，解得\(x<4\)，
\(∴\)不等式\(f(x+1)+f(3-2x)>0\)的解集是\(\{x|x<4\}\)．
巩固练习
1.已知幂函数 \(y=x^{p^{2}-2 p-3}\left(p \in N^{*}\right)\)的图象关于\(y\)轴对称，且在\((0,+∞)\)上是减函数，实数\(a\)满足 \(\left(a^{2}-1\right)^{\frac{p}{3}}<(3 a+3)^{\frac{p}{3}}\)，则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) ．
参考答案
- 答案 \(1<a<4\)
解析 \(∵\)幂函数 \(y=x^{p^{2}-2 p-3}\left(p \in N^{*}\right)\)在\((0,+∞)\)上是减函数，
\(∴p^2-2p-3<0\)，解得\(-1<p<3\)，
\(∵p∈N^*\)，\(∴p=1\)或\(2\)．
当\(p=1\)时，\(y=x^{-4}\)为偶函数满足条件，
当\(p=2\)时， \(y=x^{-3}\)为奇函数不满足条件，
则不等式等价为 \(\left(a^{2}-1\right)^{\frac{p}{3}}<(3 a+3)^{\frac{p}{3}}\)，即\(\left(a^{2}-1\right)^{\frac{1}{3}}<(3 a+3)^{\frac{1}{3}}\)
\(\because y=x^{\frac{1}{3}}\)在\((-∞,0)\)和\((0,+∞)\)上都为增函数，
\(∴a^2-1<3a+3<0\)或 \(0<a^2-1<3a+3\)，解得：\(1<a<4\).
分层练习
【A组---基础题】
1.幂函数\(y=f(x)\)经过点 \((3, \sqrt{3})\)，则\(f(x)\)是( )
A．偶函数，且在\((0,+∞)\)上是增函数 \(\qquad \qquad\) B．偶函数，且在\((0,+∞)\)上是减函数
C．奇函数，且在\((0,+∞)\)是减函数 \(\qquad \qquad\) D．非奇非偶函数，且在\((0,+∞)\)上是增函数
2.幂函数 \(y=x^{a}, y=x^{b}, y=x^{c}, y=x^{d}\)在第一象限的图象如图所示，则\(a,b,c,d\)的大小关系是 ( )
A．\(a>b>c>d\) \(\qquad \qquad\) B．\(d>b>c>a\) \(\qquad \qquad\) C．\(d>c>b>a\) \(\qquad \qquad\) D．\(b>c>d>a\)
3.若三个幂函数 \(y=x^{a}, y=x^{b}, y=x^{c}\)在同一坐标系中的图象如图所示，则\(a,b,c\)的大小关系是( )
A．\(c>b>a\) \(\qquad \qquad\) B．\(c>a>b\) \(\qquad \qquad\) C．\(a>b>c\) \(\qquad \qquad\) D．\(a>c>b\)
4.任意两个幂函数图象的交点个数是( )
A．最少一个，最多三个 \(\qquad \qquad\) B．最少一个，最多二个
C．最少\(0\)个，最多三个\(\qquad \qquad\) D．最少\(0\)个，最多二个
5.已知幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)\)的图象关于原点对称，且在\((0,+∞)\)上是减函数，则\(m=\)( )
A．\(0\) \(\qquad \qquad\) B．\(0\)或\(2\)\(\qquad \qquad\) C．\(0\) \(\qquad \qquad\)D．\(2\)
6.已知幂函数 \(f(x)=(m-1)^{2} x^{m^{2}-3 m+2}\)在\((0,+∞)\)上单调递增，则\(f(x)\)的解析式是\(\underline{\quad \quad}\) .
7.已知幂函数\(f(x)=x^α (α∈R)\)，且 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．
(1)求函数\(f(x)\)的解析式；
(2)证明函数\(f(x)\)在定义域上是增函数．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 设幂函数的解析式为：\(y=x^α\)，
将 \((3, \sqrt{3})\)代入解析式得： \(3^{a}=\sqrt{3}\)，解得 \(\alpha=\dfrac{1}{2}\)， \(\therefore y=x^{\frac{1}{2}}\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(D\)
解析 由图象得：\(b>c>d>a\)，故选：\(D\)． -
答案 \(C\)
解析 ①\(y=x^a\)，单调递增，且当\(x>1\)时，在直线\(y=x\)的上方，\(∴a>1\)，
②\(y=x^b\)，单调递增，且当\(x>1\)时，在直线\(y=x\)的下方，\(∴0<b<1\)，
③\(y=x^c\)，单调递减，且当\(x>1\)时，在直线\(y=x\)的下方，\(∴c<0\)；
\(∴a>b>c\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 所有幂函数的图象都过\((1,1)\)故最少\(1\)个交点，
当函数为\(y=x^3\)和\(y=x\)时，它们有\(3\)个交点，故选\(A\)．
-
答案 \(B\)
解析 幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}(m \in Z)\)在\((0,+∞)\)上是减函数，
则\(m^2-2m-3<0\)，解得\(-1<m<3\)；
又\(m∈Z\)，\(∴m=0，1，2\)；
当\(m=0\)或\(m=2\)时，\(f(x)=x^{-3}\)，图象关于原点对称；
当\(m=1\)时， \(f(x)=x^{-4}\)，其图象不关于原点对称；
综上，\(m\)的值是\(0\)或\(2\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(f(x)=x^2\)
解析 \(∵f(x)\)是幂函数，\(∴（m-1）^2=1\)，解得\(m=2\)或\(m=0\)，
若\(m=2\)，则\(f(x)=x^0\)，在\((0,+∞)\)上不单调递减，不满足条件；
若\(m=0\)，则\(f(x)=x^2\)，在\((0,+∞)\)上单调递增，满足条件；
即\(f(x)=x^2\). -
答案 (1) \(f(x)=\sqrt{x}\) (2)略
解析 (1)解：由 \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\alpha}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)得， \(\alpha=\dfrac{1}{2}\)，所以 \(f(x)=\sqrt{x}\)；
(2)证明：定义域是\([0,+∞)\)，设任意的\(x_2>x_1≥0\)，
则 \(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\sqrt{x_{2}}-\sqrt{x_{1}}=\dfrac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}}\)，
\(\because x_{2}-x_{1}>0, \sqrt{x_{2}}+\sqrt{x_{1}}>0\)，
\(∴f(x_2 )>f(x_1 )\)，
函数\(f(x)\)在定义域上是增函数．
【B组---提高题】
1.已知指数函数 \(f(x)=a^{x-16}+7(a>0\)且\(a≠1)\)的图象恒过定点\(P\)，若定点\(P\)在幂函数\(g(x)\)的图象上，则幂函数\(g(x)\)的图象是( )
A．
\(\qquad \qquad\) B．
\(\qquad \qquad\) C． 
\(\qquad \qquad\) D．
2.如图所示是函数 \(y=x^{\frac{m}{n}}\left(m, n \in N^{*}\right.\)且互质)的图象，则( )
A．\(m、n\)是奇数且 \(\dfrac{m}{n}<1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(m\)是偶数，\(n\)是奇数，且 \(\dfrac{m}{n}>1\)
C．\(m\)是偶数，\(n\)是奇数，且 \(\dfrac{m}{n}<1\) \(\qquad \qquad\) D．\(m、n\)是偶数，且 \(\dfrac{m}{n}>1\)
3.已知幂函数 \(y=x^{\frac{p}{q}}, \quad(p, q \in \boldsymbol{Z})\)的图象如图所示，则( )
A．\(p ,q\)均为奇数，且 \(\dfrac{p}{q}>0\) \(\qquad \qquad \qquad\) B．\(q\)为偶数，\(p\)为奇数，且 \(\dfrac{p}{q}<0\)
C．\(q\)为奇数，\(p\)为偶数，且 \(\dfrac{p}{q}>0\) \(\qquad \qquad\) D．\(q\)为奇数，\(p\)为偶数，且 \(\dfrac{p}{q}<0\)
4.对幂函数 \(f(x)=x^{-\frac{3}{2}}\)有以下结论
(1)\(f(x)\)的定义域是\(\{x|x≠0,x∈R\}\)；\(\qquad\) (2)\(f(x)\)的值域是\((0，+∞)\)；
(3)\(f(x)\)的图象只在第一象限；\(\qquad\) (4)\(f(x)\)在\((0，+∞)\)上递减；\(\qquad\)(5)\(f(x)\)是奇函数．
则所有正确结论的序号是\(\underline{\quad \quad}\).
5.已知幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}\left(m \in \mathrm{N}^{*}\right)\)的图象不与\(x\)轴、\(y\)轴相交，且关于原点对称，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.已知幂函数 \(f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}}\)
(1)若\(f(x)\)为偶函数，且在\((0,+∞)\)上是增函数，求\(f(x)\)的解析式；
(2)若\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上是减函数，求\(k\)的取值范围．
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 指数函数 \(f(x)=a^{x-16}+7(a>0\)且\(a≠1)\)的图象恒过定点\(P\)，
令\(x-16=0\)，解得\(x=16\)，且\(f(16)=1+7=8\)，
所以\(f(x)\)的图象恒过定点\(P(16,8)\)；
设幂函数\(g(x)=x^a\)，\(P\)在幂函数\(g(x)\)的图象上，
可得：\(16^a=8\)，解得 \(a=\dfrac{3}{4}\)；所以 \(g(x)=x^{\frac{3}{4}}\)，
幂函数\(g(x)\)的图象是\(A\)．
故选：\(A\)． - 答案 \(C\)
解析 \(∵\)函数 \(y=x^{\frac{m}{n}}\)的图象的图象关于\(y\)轴对称，故\(n\)为奇数，\(m\)为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故 \(\dfrac{m}{n}<1\)，故选：\(C\). - 答案 \(D\)
解析 因为函数为偶函数，所以\(p\)为偶数，
且由图象形状判定 \(\dfrac{p}{q}<0\)．
又因\(p、q\)互质，所以\(q\)为奇数．所以选\(D\)． - 答案 (2)(3)(4)
解析 对幂函数 \(f(x)=x^{-\frac{3}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}}\)，以下结论
(1)\(f(x)\)的定义域是{x|x>0,x∈R}，因此不正确；
(2) \(f(x)\)的值域是\((0，+∞)\)，正确；
(3) \(f(x)\)的图象只在第一象限，正确；
(4) \(f(x)\)在\((0，+∞)\)上递减，正确；
(5) \(f(x)\)是非奇非偶函数，因此不正确．
则所有正确结论的序号是(2)(3)(4)．
故答案为：(2)(3)(4)． - 答案 \(2\)
解析 \(∵\)幂函数 \(f(x)=x^{m^{2}-2 m-3}\left(m \in \mathrm{N}^{*}\right)\)的图象不与\(x\)轴、\(y\)轴相交，
则\(m^2-2m-3≤0\)，解得\(m∈[-1,3]\)，
又由\(m∈N^*\), \(∴m∈\{1,2,3\}\)，
当\(m=1\)时， \(f(x)=x^{-4}\)，函数\(f(x)\)为偶函数，图象关于\(y\)轴对称，
当\(m=2\)时， \(f(x)=x^{-3}\)，函数\(f(x)\)为奇函数，图象关于原点对称，
当\(m=3\)时，\(f（x）=x^0\)，函数\(f(x)\)为偶函数，图象关于\(y\)轴对称，
故\(m=2\). - 答案 (1)\(f(x)=x^2\) (2)\(\{k∈Z|k<-1\)或\(k>3\}\)
解析 (1)幂函数 \(f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}} (k∈Z)\)，
又\(∵f(x)\)在\((0,+∞)\)上是增函数， \(\therefore \dfrac{3}{2}+k-\dfrac{1}{2} k^{2}>0\)，解得\(-1<k<3\)，
又\(∵k∈Z\)，\(∴k=0,1,2\)，
\(∵f(x)\)为偶函数，
①当\(k=0\)时， \(\dfrac{3}{2}+0-\dfrac{1}{2} \times 0^{2}=\dfrac{3}{2}\)， \(f(x)=x^{\frac{3}{2}}\)为奇函数，不符合题意；
②当\(k=1\)时， \(\dfrac{3}{2}+1-\dfrac{1}{2} \times 1^{2}=2\)，\(f(x)=x^{2}\)为偶函数，符合题意；
③当\(k=2\)时， \(\dfrac{3}{2}+2-\dfrac{1}{2} \times 2^{2}=\dfrac{3}{2}\),\(f(x)=x^{\frac{3}{2}}\)为奇函数，不符合题意．
\(∴k=1\)，\(f(x)=x^2\)；
(2)\(∵\)幂函数 \(f(x)=x^{\frac{3}{2}+k-\frac{1}{2} k^{2}} (k∈Z)\)，
又\(∵f(x)\)在\((0,+∞)\)上是减函数，
\(\therefore \dfrac{3}{2}+k-\dfrac{1}{2} k^{2}<0\)，解得\(k<-1\)或\(k>3(k∈Z)\)，
\(∴k\)的取值范围为\(\{k∈Z|k<-1\)或\(k>3\}\)．
【C组---拓展题】
1.对于幂函数 \(f(x)=x^{\frac{4}{5}}\)，若\(0<x_1<x_2\)，则 \(\left.f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right), \dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\right)\)大小关系是( )
A． \(f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right.}{2}\) \(\qquad \qquad\) B． \(f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\) \(\qquad \qquad\)
C． \(f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)=\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\) \(\qquad \qquad\) D．无法确定
2.已知函数 \(g(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{m^{2}+2 m-3}\)是幂函数且在\((0,+∞)\)上为减函数，函数 \(f(x)=m x^{2}+a x-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}\)在区间\([0,1]\)上的最大值为\(2\)，试求实数\(m,a\)的值．
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 \(∵\)幂函数 \(f(x)=x^{\frac{4}{5}}\)在\((0,+∞)\)上是增函数，图象是上凸的，
\(∴\)当\(0<x_1<x_2\)时，应有 \(f\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\dfrac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}\)．
故选：\(A\)． - 答案 \(a=-6\)或 \(a=\dfrac{10}{3}\)
解析 因为函数 \(g(x)=\left(m^{2}-m-1\right) x^{m^{2}+2 m-3}\)是幂函数且在上为减函数，
所以有 \(\left\{\begin{array}{l} m^{2}-m-1=1 \\ m^{2}+2 m-3<0 \end{array}\right.\)解得\(m=-1\)．
\(\therefore f(x)=-x^{2}+a x-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}=-\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}\)，
①当 \(\dfrac{a}{2}<0\)，即\(a<0\)时，\([0，1]\)是\(f(x)\)的单调递减区间，
\(\therefore f(x)_{\max }=f(0)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}=2\)，
\(∴a=-6<0\)，\(∴a=-6\)，
②当 \(0 \leq \dfrac{a}{2}<1\)，即\(0≤a<2\)时， \(f(x)_{\max }=f\left(\dfrac{a}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{a}{4}+\dfrac{a^{2}}{4}=2\)，
解得\(a=-2\)(舍)或\(a=3\)(舍)
③当 \(\dfrac{a}{2} \geq 1\)，即\(a≥2\)时，\([0,1]\)为\(f(x)\)的单调递增区间，
\(\therefore f(x)_{\max }=f(1)=-1+a-\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{2}=2\)，解得 \(a=\dfrac{10}{3}\)
综合①②③可知\(a=-6\)或 \(a=\dfrac{10}{3}\).
