3.2.1 函数的单调性与最值
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
函数单调性的概念
1 增函数和减函数
一般地，设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(I\)，区间\(D∈I\):
如果\(∀x_1 ,x_2∈D\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1)<f(x_2)\)，那么就说\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递增(左图).
特别地，当函数\(f(x)\)在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果\(∀x_1 ,x_2∈D\)，当\(x_1<x_2\)时，都有\(f(x_1 )>f(x_2)\)，那么就说\(f(x)\)在区间\(D\)上单调递减(右图).
特别地，当函数\(f(x)\)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
注 ① \(y=\dfrac{1}{x}\)在\((0,+∞)\)上单调递减，但它不是减函数.
②\(x_1 ,x_2\)的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的\(x_1 ,x_2\)有三个特征：一是任意性，即任意取\(x_1 ,x_2\)，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定\(x_1<x_2\)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可．
【例】 若函数\(f(x)\)的定义域为\((0,+∞)\)且满足\(f(1)<f(2)<f(3)\)，则函数\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上为 ( )
A．增函数 \(\qquad \qquad\) B．减函数 \(\qquad \qquad\) C．先增后减 \(\qquad \qquad\) D．不能确定
解析 由于函数单调性的定义突出了\(x_1,x_2\)的任意性，所以仅凭区间内几个有限的函数值的关系，是不能做为判断单调性的依据的，也就是说函数单调性定义的三个特征缺一不可．故选\(D\)．
2 单调性
如果函数\(y=f(x)\)在区间\(D\)上是增函数或减函数，那么就说函数\(y=f(x)\)在这一区间具有(严格的)单调性．
区间\(D\)叫做函数\(y=f(x)\)的单调区间．
注 ① 这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.
② 有的函数无单调性．如函数 \(y=\left\{\begin{array}{l}
1, x \text { 为有理数 } \\
0, x \text { 为无理数 }
\end{array}\right.\) 它的定义域是\((-∞,+∞)\)，但无单调性可言．
【例】 说下函数\(y=x^2-2x-3\)的单调性.
解析 函数\(y=x^2-2x-3\)在整个定义域\((-∞,+∞)\)上不具有单调性，但是在\((-∞,1]\)上是减函数，在\((1,+∞)\)上是增函数.
【练】函数 \(y=\dfrac{1}{x}\)的单调递减区间是( ).
A．\([0,+∞)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-∞,0)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-∞,0)\)和 \((0,+∞)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-∞,0)∪(0,+∞)\)
解析 \(y=\dfrac{1}{x}\)的减区间是\((0,+∞),(-∞,0)\)，不是\((0,+∞)∪(-∞,0)\).
函数 \(y=\dfrac{1}{x}\)在\((-∞,0)\)上是减函数，在\((0,+∞)\)上也是减函数，
但不能说函数 \(y=\dfrac{1}{x}\)在\((-∞,0)∪(0,+∞)\)上是减函数．
因为当\(x_1=-1,x_2=1\)时有\(f(x_1 )=-1<f(x_2 )=1\)，不满足减函数的定义．
单调性概念的拓展
1 若\(y=f(x)\)递增，\(x_2>x_1\)，则\(f(x_2 )>f(x_1)\).
2 若\(y=f(x)\)递增，\(f(x_2 )≥f(x_1)\)，则\(x_2≥x_1\).
\(y=f(x)\)递减，有类似结论！
【例】 若\(y=f(x)\)递增，比较\(f(a^2)\)与\(f(0)\)大小.
答案 \(f(a^2)≥f(0)\).
【例】 若\(y=f(x)\)递增 ,\(f(1-m)≥f(n)\), 比较\(m+n\)与\(1\)大小.
答案 \(m+n≤1\).
判断函数单调性的方法
1 定义法
解题步骤
(1) 任取\(x_1 ,x_2∈D\)，且\(x_1<x_2\)；
(2) 作差\(f(x_1 )-f(x_2)\)；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差\(f(x_1)－f(x_2)\)的正负)；
(5) 下结论(指出函数\(f(x)\)在给定的区间\(D\)上的单调性)．
2 数形结合
3 性质法
增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
但增函数×增函数不一定是增函数，比如\(y=x\)，\(y=x-2\)均是增函数，而\(y=x(x-2)\)不是.
4 复合函数的单调性
(1)如果\(y=f(u)(u∈M)\) ,\(u=g(x)(x∈A)\), 则\(y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)\)称为\(f、g\)的复合函数；
比如 ： \(F(x)=\dfrac{1}{x^{2}+x}\) ( \(f(u)=\dfrac{1}{u}\)和\(g(x)= x^2+x\)的复合函数)；
\(F(x)=\sqrt{1-2 x}\) ( \(f(u)=\sqrt{u}\)和\(g(x)= 1-2x\)的复合函数)；
\(F(x)=2^{\dfrac{1}{x}}\) (\(f(u)=2^u\)和 \(g(x)=\dfrac{1}{x}\)的复合函数).
(2) 同增异减
设函数\(u=g(x)(x∈A)\)的值域是\(M\)，函数\(y=f(u)(u∈M)\)，
若\(y=f(u),u=g(x)\)在各自区间单调性相同，则复合函数\(y=f[g(x)]\)在区间\(A\)上递增；
若\(y=f(u) ,u=g(x)\)在各自区间单调性不同，则复合函数\(y=f[g(x)]\)在区间\(A\)上递减.
函数的最值
一般地，设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(I\)，如果存在实数\(M\)满足：
(1)\(∀x∈I\)，都有\(f(x)≤M\)；\(\qquad \qquad\)(2) \(∃x_0∈I\)，使得\(f(x_0 )=M\)；
那么，我们称\(M\)是函数\(y=f(x)\)的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.
【例1】下图为函数\(y=f(x)，x [-4,7]\)的图象，指出它的最大值、最小值．
解析 观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为\((3,3)\)，最低点坐标为\((-1.5,-2)\)，
所以当\(x=3\)时，函数\(y=f(x)\)取得最大值\(y_{max}=3\)；当\(x=-1.5\)时，取得最小值\(y_{min}=-2\)．
【例2】 求函数\(f(x)=2x+1\)在区间\([3,6]\)上的最大值和最小值.
解析 函数\(f(x)=2x+1\)在区间\([3,6]\)上递增，则\(f(3)≤f(x)≤f(6)\)，
所以最大值 \(f(x)_{\max }=f(6)=13\)_，_最小值 \(f(x)_{\min }=f(3)=7\).
【练】 求函数 \(f(x)=\dfrac{2}{x}\)在区间\([1,2]\)上的最大值和最小值.
解析 函数 \(f(x)=\dfrac{2}{x}\)在区间\([1,2]\)上递减，则\(f(2)≤f(x)≤f(1)\)，
所以最大值 \(f(x)_{\max }=f(1)=2\)_，最小值 _\(f(x)_{\min }=f(2)=1\).
基本方法
【题型1】判断函数单调性的方法
方法1 定义法
【典题1】 判断\(f(x)=x+\dfrac{4}{x}\)在\((0 ,2) ,(2 ,+∞)\)的单调性.
解析
设元 设\(0<x_1<x_2\)，
作差 则 \(y_{1}-y_{2}=\left(x_{1}+\dfrac{4}{x_{1}}\right)-\left(x_{2}+\dfrac{4}{x_{2}}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)+\left(\dfrac{4}{x_{1}}-\dfrac{4}{x_{2}}\right)\)
变形 \(=\left(x_{1}-x_{2}\right)+\dfrac{4\left(x_{2}-x_{1}\right)}{x_{1} x_{2}}=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(1-\dfrac{4}{x_{1} x_{2}}\right)\)(因式分解判断\(y_1-y_2\)正负)
定号
(1) 假如\(0<x_1<x_2<2\) ， 则 \(0<x_{1} x_{2}<4 \Rightarrow \dfrac{4}{x_{1} x_{2}}>1 \Rightarrow 1-\dfrac{4}{x_{1} x_{2}}<0\) ,
又 \(x_1-x_2<0\) , 所以\(y_1-y_2>0 ⇒ y_1>y_2\) , 故函数单调递减；
(2) 假如\(2<x_1<x_2\), 则 \(x_{1} x_{2}>4 \Rightarrow \dfrac{4}{x_{1} x_{2}}<1 \Rightarrow 1-\dfrac{4}{x_{1} x_{2}}>0\) ,
又\(x_1-x_2<0\)， 所以\(y_1-y_2<0⇒ y_1<y_2\) , 故函数单调递增；
下结论 所以函数在\((0 ,2)\)内单调递减，在\((2 ,＋∞)\)内单调递增．
点拨 利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.
方法2 数形结合
【典题1】 求下列函数的单调区间．
(1) \(f(x)=|x^2+2x-3|\)；(2)\(f(x)=-x^2+2|x|+3\)．
解析 (1)令 \(g(x)=x^2+2x-3=(x+1)^2-4\)．
先作出函数\(g(x)\)的图象，保留其在\(x\)轴及\(x\)轴上方部分，
把它在\(x\)轴下方的图象翻到\(x\)轴上方就得到函数\(f(x)=|x^2+2x-3|\)的图象，如图所示．
由图象易得：函数\(f(x)\)的递增区间是\([ -3,-1]\)，\([1,+∞)\)；
函数\(f(x)\)的递减区间是\(( -∞,-3],[ -1,1]\)．
(2) \(f(x)=-x^{2}+2|x|+3=\left\{\begin{array}{l}
-x^{2}+2 x+3, x \geq 0 \\
-x^{2}-2 x+3, x<0
\end{array}\right.\)，图象如图所示．
由图象可知，函数\(f(x)\)的单调区间为\(( -∞,-1],( -1,0],(0,1],(1,+∞)\)，
其中单调减区间为\(( -1,0]\)和\((1,+∞)\)，单调增区间为\(( -∞,-1]\)和\((0,1]\)．
点拨
1.对于含绝对值的函数，画其图象，可以用 \(|x|=\left\{\begin{array}{c}
x, \quad x \geq 0 \\
-x, \quad x<0
\end{array}\right.\)把函数化为分段函数，或用函数的翻转或对称变换；
2.利用数形结合易得函数的单调性.
方法3 复合函数的单调性
【典题1】 函数 \(f(x)=\sqrt{x^{2}+4 x-12}\)的单调减区间为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 函数 \(f(x)=\sqrt{x^{2}+4 x-12}\)是由函数 \(f(u)=\sqrt{u}\)和\(u(x)=x^2+4 x-12\)组成的复合函数，
\(∵x^2+4 x-12≥0\)， \(∴\)函数\(y=f(x)\)的定义域是\(x≤-6\)或\(x≥2\)
由二次函数图像易得\(u(x)=x^2+4 x-12\)在\((-∞ ,-6]\)单调递减，在\([2 ,＋∞)\)单调递增，
而\(f(u)=\sqrt{u}\)在\(u≥0\)是单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数\(f(x)\)的单调减区间\((-∞,-6]\)．
点拨
① 研究函数的基本性质，优先考虑定义域；
② 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.
巩固练习
1.在区间\((0,+∞)\)上不是增函数的函数是( )
A．\(y=2x+1\) \(\qquad \qquad\) B．\(y=3x^2+1\) \(\qquad \qquad\) C． \(y=\dfrac{2}{x}\) \(\qquad \qquad\) D．\(y=2x^2+x+1\)
2.函数\(f(x)=x|x-2|\)的递减区间为( )
A．\(( -∞,1)\) \(\qquad \qquad\) B．\((0,1)\) \(\qquad \qquad\) C．\((1,2)\) \(\qquad \qquad\) D．\((0,2)\)
3.函数 \(f(x)=\dfrac{x}{1-x}\)的单调增区间是\(\underline{\quad \quad}\).
4.函数 \(y=\sqrt{x^{2}-5 x+4}\)的单调递增区间是\(\underline{\quad \quad}\).
5.试用函数单调性的定义判断函数 \(f(x)=\dfrac{2 x}{x-1}\)在区间\((0,1)\)上的单调性．
参考答案
-
答案 \(C\)
-
答案 \(C\)
解析 当\(x≥2\)时，\(f(x)=x(x －2)=x^2-2x\)，对称轴为\(x=1\)，此时\(f(x)\)为增函数，
当\(x<2\)时，\(f(x)= －x(x －2)= －x^2+2x\)，对称轴为\(x=1\)，
抛物线开口向下，当\(1<x<2\)时，\(f(x)\)为减函数，
即函数 \(f(x)\)的单调递减区间为\((1,2)\)，故选：\(C\)．
-
答案 \(( -∞,1)，(1,+∞)\)
解析 \(f(x)=\dfrac{-(1-x)+1}{1-x}=-1+\dfrac{1}{1-x}\)；
\(∴f(x)\)的图象是由 \(y=-\dfrac{1}{x}\)的图象沿\(x\)轴向右平移\(1\)个单位，然后沿\(y\)轴向下平移一个单位得到；
而\(y=-\dfrac{1}{x}\)的单调增区间为\(( -∞,0)，(0,+∞)\)；
\(∴f(x)\)的单调增区间是\(( -∞,1)，(1,+∞)\)． -
答案 \([4,+∞)\)
解析 令\(x^2-5x+4≥0\)，解得\(x≥4\)或\(x≤1\)，
而函数\(y=x^2 －5x+4\)的对称轴是 \(x=\dfrac{5}{2}\)，
故函数 \(y=\sqrt{x^{2}-5 x+4}\)的单调递增区间是\([4,+∞)\). -
解析 任取\(x_1,x_2∈(0,1)\)，且\(x_1<x_2\)．
则 \(f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\dfrac{2 x_{1}}{x_{1}-1}-\dfrac{2 x_{2}}{x_{2}-1}=\dfrac{2\left(x_{2}-x_{1}\right)}{\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right)}\)．
由于\(0<x_1<x_2<1\)，\(x_1-1<0\)，\(x_2-1<0\)，\(x_2-x_1>0\)，
故\(f(x_1 )-f(x_2 )>0\)，即\(f(x_1 )>f(x_2 )\)．
所以，函数 \(f(x)=\dfrac{2 x}{x-1}\)在\((0,1)\)上是减函数．
【题型2】函数的最值
【典题1】函数 \(f(x)=2 x-\sqrt{x-1}\)的值域为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 设 \(t=\sqrt{x-1} \geq 0\)，则\(x=t^2+1\)，
\(\therefore f(t)=2\left(t^{2}+1\right)-t=2 t^{2}-t+2=2\left(t-\dfrac{1}{4}\right)^{2}+\dfrac{15}{8}(t \geq 0)\)
\(∴\)值域为 \(\left[\dfrac{15}{8}, \infty\right)\)．
点拨 本题采取换元法，注意新变量的取值范围.
【典题2】若函数\(f(x)=x^2-2ax+1-a\)在\([0,2]\)上的最小值为\(-1\)．则\(a=\) \(\underline{\quad \quad}\).
解析 函数\(f(x)=x^2-2ax+1-a\)图象的对称轴为\(x=a\)，图象开口向上，
(1)当\(a≤0\)时，函数\(f(x)\)在\([0,2]\)上单调递增．则 \(f(x)_{\min }=f(0)=1-a\)，
由\(1-a=-1\)，得\(a=2\)，不符合\(a≤0\)；
(2)当\(0<a<2\)时．则 \(f(x)_{\min }=f(a)=a^{2}-2 a^{2}+1-a=-a^{2}-a+1\)，
由\(-a^2-a+1=-1\)，得\(a=-2\)或\(a=1\)，\(∵0<a<2\)，\(∴a=1\)符合；
(3)当\(a≥2\)时，函数\(f(x)=x^2－2ax+1-a\)在\([0,2]\)上单调递减，
\(\therefore f(x)_{\min }=f(2)=4-4 a+1-a=5-5 a\)，由\(5-5a=-1\)，得 \(a=\dfrac{6}{5}\)，
\(∵a≥2\)， \(\therefore a=\dfrac{6}{5}\)不符合，
综上可得\(a=1\)．
点拨 本题属于“二次函数动轴定区间最值问题”，对对称轴与区间之间的相对位置进行分类讨论，结合图像求解.
巩固练习
1.函数\(f(x)=x^2+3x+2\)在区间\([ -5,5]\)上的最大值、最小值分别是( )
A． \(12,-\dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad\) B．\(2,12\) \(\qquad \qquad\) C． \(42,-\dfrac{1}{4}\) \(\qquad \qquad\) D．最小值是 \(-\dfrac{1}{4}\)，无最大值
2.函数 \(f(x)=\dfrac{x}{x+2}\)在区间\([2,4]\)上的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知函数\(f(x)=x^2+|x-a|+1,x∈R,a∈R\)．
(1)当\(a=1\)时，求函数\(f(x)\)的最小值；(2)求函数\(f(x)\)的最小值为\(g(a)\)．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 \(y=x^{2}+3 x+2=\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}\)，抛物线的开口向上，对称轴为 \(x=-\dfrac{3}{2}\)，
\(∴\)在区间\([ －5,5]\)上，当 \(x=-\dfrac{3}{2}\)时，\(y\)有最小值 \(-\dfrac{1}{4}\)；\(x=5\)时，\(y\)有最大值\(42\)，
函数\(f(x)=x^2+3x+2\)在区间\([ -5,5]\)上的最大值、最小值分别是： \(42,-\dfrac{1}{4}\)．
故选：\(C\)． - 答案 \(\dfrac{1}{2}\)
解析 \(\because f(x)=\dfrac{x}{x+2}=1-\dfrac{2}{x+2}\)，\(∴f(x)\)在\([2,4]\)上为增函数，
\(∴\)当\(x=2\)时， \(f(x)=\dfrac{x}{x+2}\)在区间\([2,4]\)上的最小值为 \(f(2)=\dfrac{1}{2}\)． - 答案 (1) \(\dfrac{7}{4}\) (2)\([1,+∞)\)
解析 (1) \(f(x)=x^{2}+|x-1|+1=\left\{\begin{array}{c} x^{2}+x, x \geq 1 \\ x^{2}-x+2, x<1 \end{array}\right.\)，
由 \(f(x)=x^{2}+x \Rightarrow f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}(x \geq 1)\)，可知\(f(x)≥2\);
由 \(f(x)=x^{2}-x+2 \Rightarrow f(x)=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{7}{4}(x<1)\)，可知 \(f(x) \geq \dfrac{7}{4}\).
所以 \(f(x)_{min} =f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{4}\)．
(2) \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+x-a+1, x \geq a \\ x^{2}-x+a+1, x<a \end{array}\right.\)，
1)当 \(a \geq \dfrac{1}{2}\)， \(f(x)_{\min }=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}+a\)；
2)当 \(-\dfrac{1}{2}<a<\dfrac{1}{2}\)， \(f(x)_{\min }=f(a)=a^{2}+1\)；
3)当 \(a \leq-\dfrac{1}{2}\)， \(f(x)_{\min }=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}-a\)；
所以 \(g(a)=\left\{\begin{array}{c} \dfrac{3}{4}+a, a \geq \dfrac{1}{2} \\ a^{2}+1,-\dfrac{1}{2}<a<\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{3}{4}-a, a \leq-\dfrac{1}{2} \end{array}\right.\)．
【题型3】参数范围
【典题1】若 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{a}{x}, x \geq 1 \\
-x+3 a, x<1
\end{array}\right.\)是\(R\)上的单调减函数，则实数\(a\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 若 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{a}{x}, x \geq 1 \\
-x+3 a, x<1
\end{array}\right.\)是\(R\)上的单调减函数，
得则 \(\left\{\begin{array}{l}
a>0 \\
\dfrac{a}{1} \leq-1+3 a
\end{array}\right.\)，解得 \(a \geq \dfrac{1}{2}\)，故答案为： \(\left[\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)．
【典题2】已知函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)的定义域和值域都是\([2, b](b>2)\)，则实数\(b\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-2}{x-1}=-\dfrac{2}{x-1}+4\)，其图象如图，
由图可知，函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)在\([2,b]\)上为增函数，
又函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)的定义域和值域都是 \([2, b](b>2)\)，
\(\therefore f(b)=\dfrac{4 b-6}{b-1}=b\)，解得\(b=3\)．
巩固练习
1.已知函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+3(x \geq 0) \\
a x+b(x<0)
\end{array}\right.\)是\(R\)上的增函数，则( )
A．\(a<0,b≥3\) \(\qquad \qquad\) B．\(a<0,b≤3\) \(\qquad \qquad\) C．\(a>0,b≥3\) \(\qquad \qquad\) D．\(a>0,b≤3\)
2.已知函数 \(f(x)= \begin{cases}x^{2}+4 x, & x \geq 0 \\ 4 x-x^{2}, & x<0\end{cases}\)，若\(f(2-a^2 )>f(a)\)则实数\(a\)的取值范围是( )
A \((-∞,-1)∪(2,+∞)\) \(\qquad \qquad\) B \((-1,2)\) \(\qquad \qquad\) C\((-2,1)\) \(\qquad \qquad\) D\((-∞,-2)∪(1,+∞)\)
3.函数 \(f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2\)在\([1,+∞)\)上是增函数，则\(a\)的范围为 \(\underline{\quad \quad}\) .
4.若函数\(y=x^2-5x-1\)的定义域\([0,m]\)，值域为 \(\left[-\dfrac{29}{4},-1\right]\)，则\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 ∵函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} x^{2}+3(x \geq 0) \\ a x+b(x<0) \end{array}\right.\)是\(R\)上的增函数，
\(∴a>0\)，且 \(0+3≥0+b\)，故选：\(D\)． - 答案 \(C\)
解析 由题知\(f(x)\)在\(R\)上是增函数，由题得\(2-a^2>a\)，解得\(-2<a<1\). - 答案 \([0,1]\)
解析 根据题意，函数 \(f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2\)在\([1,+∞)\)上是增函数，
分2种情况讨论：
①若\(a=0\)，则\(f(x)=x\)，在\(R\)上为增函数，符合题意；
②若\(a≠0\)，则有 \(\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \dfrac{3 a-1}{2 a} \leq 1 \end{array}\right.\)，解可得\(0<a≤1\)，
综合可得：\(a\)的取值范围为\([0,1]\). - 答案 \(\left[\dfrac{5}{2}, 5\right]\)
解析 根据题意，函数 \(y=x^{2}-5 x-1=\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{29}{4}\)，
函数的对称轴为 \(x=\dfrac{5}{2}\)且有\(f(0)=f(5)=-1\)，
又由函数的定义域\([0,m]\)，值域为 \(\left[-\dfrac{29}{4},-1\right]\)，则有 \(\dfrac{5}{2} \leq m \leq 5\)；
即\(m\)的取值范围 \(\left[\dfrac{5}{2}, 5\right]\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.函数\(f(x)\)在\(R\)上是减函数，则有( )
A．\(f(-1)<f(3)\) \(\qquad \qquad\) B．\(f(-1)≤f(3)\) \(\qquad \qquad\) C．\(f(-1)>f(3)\) \(\qquad \qquad\) D．\(f(-1)≥f(3)\)
2.函数\(f(x)\)在\((a,b)\)和\((c,d)\)都是增函数，若\(x_1∈(a,b),x_2∈(c,d)\)，且\(x_1<x_2\)，那么( )
A．\(f(x_1 )<f(x_2 )\) \(\qquad \qquad\) B．\(f(x_1 )>f(x_2 )\) \(\qquad \qquad\) C．\(f(x_1 )=f(x_2 )\) \(\qquad \qquad\) D．无法确定
3.定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)对任意两个不相等实数\(a,b\)，总有 \(\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}>0\)成立， 则必有( )
A．\(f(x)\)在\(R\)上是增函数 \(\qquad \qquad\) B．\(f(x)\)在\(R\)上是减函数
C．函数\(f(x)\)是先增加后减少 \(\qquad \qquad\) D．函数\(f(x)\)是先减少后增加
4.下列函数中，在区间\((0,2)\)上为增函数的是( )
A.\(y=-x+1\) \(\qquad \qquad\) B． \(y=\sqrt{x}\) \(\qquad \qquad\) C．\(y=x^2-4x+5\) \(\qquad \qquad\) D． \(y=\dfrac{2}{x}\)
5.\(y=x-\dfrac{1}{x}\)在\([1,2]\)上的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．
6.已知函数\(f(x)=x|x|-2x\)的单调增区间为\(\underline{\quad \quad}\)．
7.函数\(f(x)=x^2+(2a+1)x+1\)在区间\([1,2]\)上是单调函数，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
8.函数 \(f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1\)的值域为\(\underline{\quad \quad}\)．
9.已知函数 \(f(x)=\dfrac{2}{x}-x^{m}\)，且 \(f(4)=\dfrac{7}{2}\)
(1)求\(m\)的值；
(2)判断\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上的单调性，并给予证明；
(3)求函数\(f(x)\)在区间\([-5,-1]\)上的最值．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 因为函数\(f(x)\)在\(R\)上是减函数，且 \(－1<3\)，所以\(f(-1)>f(3)\)．故选\(C\). - 答案 \(D\)
- 答案 \(A\)
- 答案 \(B\)
- 答案 \(0\)
解析 根据题意\(y=x-\dfrac{1}{x}\)在\([1,2]\)上为增函数，
则 \(y=x-\dfrac{1}{x}\)在\([1,2]\)上的最小值为\(y=0\)． - 答案 \((-∞,-1)\)和\((1,+∞)\).
解析 \(x≥0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，对称轴\(x=1\)，开口向上，在\((1,+∞)\)递增，
\(x<0\)时，\(f(x)=-x^2-2x\)，对称轴\(x=-1\)，开口向下，在\((-∞,-1)\)递增，
\(∴\)函数的递增区间是\((-∞,-1)\)和\((1,+∞)\). - 答案 \(\left[-\dfrac{3}{2},+\infty\right) \cup\left(-\infty,-\dfrac{5}{2}\right]\)
解析 根据题意，函数\(f(x)=x^2+(2a+1)x+1\)为二次函数，其对称轴为 \(x=-\dfrac{2 a+1}{2}\)，
若f(x)在区间[1,2]上是单调函数，则有 \(-\dfrac{2 a+1}{2} \leq 1\)或 \(-\dfrac{2 a+1}{2} \geq 2\)，
解可得： \(a \geq-\dfrac{3}{2}\)或 \(a \leq-\dfrac{5}{2}\)，
即\(a\)的取值范围为 \(\left[-\dfrac{3}{2},+\infty\right) \cup\left(-\infty,-\dfrac{5}{2}\right]\). - 答案 \((-∞,2]\)
解析 令 \(\sqrt{1-x}=t\)，则\(t≥0\)，\(x=1-t^2\)，
则 \(y=1-t^2-2t+1=-t^2-2t+2\)在\([0,+∞)\)上是减函数，
故\(y≤2\)，
即函数 \(f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1\)的值域为\((-∞,2]\). - 答案 (1)\(m=1\) (2)减函数 (3) 最大值为 \(\dfrac{23}{5}\)，最小值为\(-1\).
解析 (1)由 \(f(4)=\dfrac{7}{2}\)得 \(\dfrac{2}{4}-4^{m}=-\dfrac{7}{2}\)，即\(4^m=4\)，解得:\(m=1\)；
(2)函数\(f(x)\)在 上为减函数．
证明：设\(0<x_1<x_2\)，
则 \(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)=\left(\dfrac{2}{x_{2}}-x_{2}\right)-\left(\dfrac{2}{x_{1}}-x_{1}\right)\)\(=\left(\dfrac{2}{x_{2}}-\dfrac{2}{x_{1}}\right)+\left(x_{1}-x_{2}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(1+\dfrac{2}{x_{2} x_{1}}\right)\)
\(∵0<x_1<x_2\) \(\therefore\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(1+\dfrac{2}{x_{2} x_{1}}\right)<0\)，
即\(f(x_2 )-f(x_1 )<0\)，即\(f(x_2 )<f(x_1 )\)， \(∴f(x)\)在\((0,+∞)\)上为减函数．
(3)由(1)知：函数 \(f(x)=\dfrac{2}{x}-x\)，其定义域为\({x∣x≠0}\)．
\(\therefore f(-x)=\dfrac{2}{-x}-(-x)=-\left(\dfrac{2}{x}-x\right)=-f(x)\)，即函数\(f(x)\)为奇函数．
由(2)知：\(f(x)\)在\([1,5]\)上为减函数，则函数\(f(x)\)在区间\([-5,-1]\)上为减函数．
\(∴\)当\(x=-5\)时，\(f(x)\)取得最大值，最大值为 \(f(-5)=-\dfrac{2}{5}+5=\dfrac{23}{5}\)；
当\(x=-1\)时，\(f(x)\)取得最小值，最小值为\(f(-1)=-2+1=-1\)．
【B组---提高题】
1.已知 \(f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\)，则( )
A． \(f(x)_{\max }=\sqrt{2}\)，\(f(x)\)无最小值 \(\qquad \qquad\) B． \(f(x)_{\min }=1\)，\(f(x)\)无最大值
C． \(f(x)_{\max }=1, f(x)_{\min }=-1\) \(\qquad \qquad\) D． \(f(x)_{\max }=1, f(x)_{\min }=0\)
2.若函数 \(f(x)=-\dfrac{2^{x}}{2^{x}+1}\)，则该函数在\(( －∞,+∞)\)上是( )
A．单调递减无最小值 \(\qquad \qquad\) B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 \(\qquad \qquad\) D．单调递增有最大值
3.若函数\(f(x)=|x-2|(x-4)\)在区间\((5a,4a+1)\)上单调递减，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
4.函数 \(y=\dfrac{1}{\sqrt{-x^{2}+2 x+3}}\)的单调减区间是\(\underline{\quad \quad}\)．
5.已知函数 \(f(x)=\dfrac{x+2}{|x|+2}\)，\(x∈R\)，则\(f(x^2-3x)<f(3-x)\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\)．
6.函数\(f(x)=x^2-2x+2\)在区间\([0,m]\)上的最大值为\(2\)，最小值为\(1\)，则\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
7.设函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
|x-1|, 0 \leq x \leq 2 \\
-x^{2}+2 x+1, x<0 \text { 或 } x>2
\end{array}\right.\)，则函数\(f(x)\)的单调递增区间为\(\underline{\quad \quad}\) ．
8.已知二次函数\(f(x)=ax^2+2ax+1\)在区间\([ -2,3]\)的最大值为\(6\)，则\(a\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{1-x}\)的定义域为\([0,1]\)，
因为\(f(x)\)在\([0,1]\)上单调递增，所以 \(f(x)_{\max }=1, f(x)_{\min }=-1\)．故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 \(f(x)=-\dfrac{2^{x}}{2^{x}+1}=-1+\dfrac{1}{2^{x}+1}\)，
设\(x_1<x_2∈R\)，
\(\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\dfrac{1}{2^{x_{1}}+1}-\dfrac{1}{2^{x_{2}}+1}=\dfrac{2^{x_{2}-2^{x_{1}}}}{\left(2^{x_{1}}+1\right)\left(2^{x_{2}}+1\right)}\)，
\(∵x_1<x_2\)，\(∴2^{x_2}>2^{x_1}>0\)，
\(∴2^{x_2}-2^{x_1}>0\)，\(2^{x_1}+1>0\)，\(2^{x_2}+1>0\)，
\(∴f(x_1 )-f(x_2 )>0\)，\(∴f(x_1 )>f(x_2 )\)，
\(\therefore f(x)=-\dfrac{2^{x}}{2^{x}+1}\)在\(( －∞,+∞)\)上递减，无最小值，
故选：\(A\)． -
答案 \(\dfrac{2}{5} \leq a \leq \dfrac{1}{2}\)
解析 函数 \(∵f(x)=|x-2|(x-4)=\left\{\begin{array}{l} (x-2)(x-4)(x \geq 2) \\ (2-x)(x-4)(x<2) \end{array}\right.\)
\(∴\)函数的增区间为\(( －∞,2)\)和\((3,+∞)\)，减区间是\((2,3)\)．
\(∵\)在区间\((5a,4a+1)\)上单调递减，
\(∴(5a,4a+1)⊆(2,3)\)，得 \(\left\{\begin{array}{l} 2 \leq 5 a \\ 4 a+1 \leq 3 \end{array}\right.\)，解之得 \(\dfrac{2}{5} \leq a \leq \dfrac{1}{2}\)
故为： \(\dfrac{2}{5} \leq a \leq \dfrac{1}{2}\)
-
答案 \(( －1,1)\)
解析 由函数有意义得 \(－x^2+2x+3>0\)，解得 \(－1<x<3\)．
又\(∵y= －x^2+2x+3\)对称轴为\(x=1\)，
\(∴y= －x^2+2x+3\)在\(( －1,1]\)单调递增，在\((1,3)\)上单调递减，
\(\therefore y=\dfrac{1}{\sqrt{-x^{2}+2 x+3}}\)的单调减区间是\(( －1,1)\)． -
答案 \((0,3)\)
解析 \(f(x)=\dfrac{x+2}{|x|+2}= \begin{cases}1 & x \geq 0 \\ -1+\dfrac{4}{2-x} & x<0\end{cases}\)；
\(∴f(x)\)在\(( －∞,0)\)上单调递增，且\(x<0\)时，\(f(x)<1\)；
\(∴\)由\(f(x^2-3x)<f(3-x)\)得 \(\left\{\begin{array}{l} x^{2}-3 x<0 \\ x^{2}-3 x<3-x \end{array}\right.\)；解得\(0<x<3\)；
\(∴\)解集为\((0,3)\)． -
答案 \([1.2]\)
解析 \(∵f(x)=x^2-2x+2\)，\(∴\)对称轴\(x=1\)，\(∴f(0)=2，f(1)=1\)，
\(∵f(x)=x^2-2x+2\)在区间\([0,m]\)上的最大值为\(2\)，最小值为\(1\)
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} m \geq 1 \\ f(m) \leq 2 \end{array}\right.\)即 \(\left\{\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m^{2}-2 m \leq 0 \end{array}\right.\)求解得：\(1≤m≤2\). -
答案 \(( -∞,0),(1,2)\)
解析 函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} |x-1|, 0 \leq x \leq 2 \\ -x^{2}+2 x+1, x<0 \text { 或 } x>2 \end{array}\right.\)，
当\(0≤x≤2\)时，\(f(x)=|x-1|\)的增区间为\((1,2)\)；
当\(x<0\)或\(x>2\)时，\(f(x)= -x^2+2x+1\)的对称轴为\(x=1\)，
增区间为\(( -∞,0)\)，
即有函数\(f(x)\)的单调递增区间为\(( -∞,0),(1,2)\)． -
答案 \(-5\)或 \(\dfrac{1}{3}\)
解析 根据所给二次函数解析式可知，对称轴为\(x=-1\)，且恒过定点\((0,1)\)，
(1)当\(a<0\)时，函数在\([ -2,-1]\)上单调递增，在\([ -1,3]\)上单调递减，
所以函数在\(x= -1\)处取得最大值，因为\(f( -1)= -a+1=6\)，所以\(a= -5\)．
(2)当\(a>0\)时，函数在\([ -2,-1]\)上单调递减，在\([ -1,3]\)上单调递增，
所以函数在\(x=3\)处取得最大值，
因为\(f(3)=15a+1=6\)，所以 \(a=\dfrac{1}{3}\)，
故 为：\(-5\)或 \(\dfrac{1}{3}\)．
【C组---拓展题】
1.已知函数\(f(x)\)在\(R\)上是单调函数，且对任意\(x∈R\)，都有\(f(f(x)－2^x)=3\)，则\(f(3)\)的值等于( )
A．\(3\) \(\qquad \qquad\) B．\(9\) \(\qquad \qquad\) C．\(10\) \(\qquad \qquad\) D．\(11\)
2.若函数\(f(x)=(x －2)|x －a|(a∈R)\)在区间\([3,4]\)上单调递增，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知函数\(f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的增函数，且 \(f\left(\dfrac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)\)，\(f(2)=1\)，解不等式 \(f(x)-f\left(\dfrac{1}{x-3}\right) \leq 2\)．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 设\(f(x)－2^x=t\)，则\(f(x)=2^x+t\)；
\(∴f(t)=2^t+t\)；\(f(t)\)在\(R\)上单调递增；\(∴f(1)=3\)；
\(∴f(f(x)－2^x)=3=f(1)\)；
\(∴f(x)－2^x=1\)；\(∴f(x)=2^x+1\)；\(∴f(3)=9\)．
故选：\(B\)． - 答案 \(( -∞,3]∪[6,+∞)\)
解析 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} (x-2)(x-a), x \geq a \\ -(x-2)(x-a), x<a \end{array}\right.\)；
(1)\(∴a≥2\)时，\(f(x)\)的单调递增区间为 \(\left[2, \dfrac{a+2}{2}\right]\)和\([a,+∞)\)，
若函数\(f(x)\)在区间\([3，4]\)上单调递增，则 \(\dfrac{a+2}{2} \geq 4\)，或\(a≤3\)
解得：\(a∈[2,3]∪[6,+∞)\)
(2)\(a<2\)时，\(f(x)\)的单调递增区间为\(( -∞,a]\)和\(\left[\dfrac{a+2}{2},+\infty\right)\)，
在区间\([3,4]\)上恒单调递增，
综上\(a∈( -∞,3]∪[6,+∞)\). - 答案 \(\{x∣3<x≤4\}\)
解析 在 \(f\left(\dfrac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)\)中取\(x=4，y=2\)，可得\(f(2)=f(4)－f(2)\)．
于是\(f(4)=2f(2)=2\)．
因此不等式 \(f(x)-f\left(\dfrac{1}{x-3}\right) \leq 2\)可转化为不等式\(f(x(x－3))≤f(4)\)．
\(∵\)函数\(f(x)\)是定义在\((0,+∞)\)上的增函数，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} x>0 \\ x-3>0 \\ x(x-3) \leq 4 \end{array}\right.\)解得\(3<x≤4\)．
\(∴\)不等式 \(f(x)-f\left(\dfrac{1}{x-3}\right) \leq 2\)的解集为 \(\{x∣3<x≤4\}\)．
