2.5.1 直线与圆的位置关系
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
直线、圆的位置关系
1 三种位置关系
2 判断直线与圆位置关系的方法
(1) 根据\(d\)与\(r\)的关系判断(\(d\)为圆心到直线的距离，\(r\)为圆的半径)
相离\(⇔\)没有公共点\(⇔ d>r\);
相切\(⇔\)只有一个公共点 \(⇔ d=r\);
相交\(⇔\) 有两个公共点\(⇔ d<r\).
(2) 联立方程求判别式的方法
联立直线方程与圆的方程 \(\left\{\begin{array}{c}
A x+B y+C=0 \\
x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0
\end{array}\right.\)求解，通过解的个数来判断：
当\(Δ>0\)时，直线与圆有\(2\)个交点，直线与圆相交；
当\(Δ=0\)时，直线与圆只有\(1\)个交点，直线与圆相切；
当\(Δ<0\)时，直线与圆没有交点，直线与圆相离.
【例】 判断直线\(x+y-1=0\)与圆 \(x^2+y^2=1\)的位置关系.
解析 方法1
圆 \(x^2+y^2=1\)的圆心为\((0,0)\)，半径为\(1\)，
圆心为\((0,0)\)到直线的距离 \(d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1\)，即直线与圆的位置关系是相交.
方法2
联立方程 \(\left\{\begin{array}{c}
x+y-1=0 \\
x^{2}+y^{2}=1
\end{array}\right.\)，得\(x^2-x=0\)，其方程显然有两个实数解，
则直线与圆的位置关系是相交.
直线与圆的弦长
弦长公式： \(A B=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}\) (\(r\)是圆的半径，\(d\)是圆心\(O\)到直线\(l\)的距离).
利用垂径定理及勾股定理可以得到.
【例】若直线\(x+y-1=0\)与圆 \(x^2+y^2=1\)交于两点\(A,B\)，求线段\(AB\)的长度.
解析 圆 \(x^2+y^2=1\)的圆心为\((0,0)\)，半径为\(r=1\)，
圆心为\((0,0)\)到直线的距离 \(d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)，
则 \(A B=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2}\).
基本方法
【题型1】直线与圆的位置关系
【典题1】 若圆 \(C：x^2+y^2－2x+2y=2\)与直线\(x-y+a=0\)有公共点，则\(a\)的取值范围是( )
A． \([-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2]\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) B． \([-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2)\)
C． \((-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2)\) \(\qquad\qquad \qquad\qquad\) D． \([-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}]\)
解析 方法一
化圆\(C\)的一般方程为标准方程，得 \((x-1)^2+(y+1)^2=4\)，
则圆心坐标为\(C(1,－1)\)，半径\(r=2\)，
若直线与圆\(C\)有公共点，则圆心\((1,－1)\)到直线的距离小于等于半径，
设圆心\((1,－1)\)到直线的距离为d，则 \(d=\dfrac{|1+1+a|}{\sqrt{2}} \leq 2\)，
解得： \(-2 \sqrt{2}-2 \leq a \leq 2 \sqrt{2}-2\)，
故选：\(A\)．
方法二
由 \(\left\{\begin{array}{c}
x-y+a=0 \\
x^{2}+y^{2}-2 x+2 y=2
\end{array}\right.\)得 \(2x^2+2ax+a^2+2a-2=0\)，
其判别式 \(∆=4a^2-8(a^2+2a-2)=-4a^2-16a+16\)，
直线与圆有公共点，则\(∆≥0\)，解得 \(-2 \sqrt{2}-2 \leq a \leq 2 \sqrt{2}-2\)，
故选：\(A\).
【典题2】 若直线\(l\)过点\(A(0,a)\)，斜率为\(1\)，圆 \(x^2+y^2=4\)上恰有\(3\)个点到l的距离为\(1\)，则\(a\)的值为( )
A．\(3\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) B．\(±3\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) C．\(±2\) \(\qquad \qquad\) D．\(±\sqrt{2}\)
解析 \(∵\)直线\(l\)过点\(A(0,a)\)斜率为\(1\)，
\(∴\)设\(l：x-y+a=0\)，
\(∵\)圆 \(x^2+y^2=4\)上恰有\(3\)个点到l的距离为\(1\)，
\(∴\)圆心到直线的距离等于半径减去\(1\)，
\(∴\)圆心\((0,0)\)到直线\(l：y=x+a\)的距离为： \(\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=2-1\)，解得\(a=±\sqrt{2}\)．
故选：\(D\)．
【典题3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西\(70 km\)处，受影响的范围是半径为\(30 km\)的圆形区域，已知港口位于台风中心正北\(40 km\) 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解析 以台风中心为坐标原点，以东西方向为\(x\)轴建立直角坐标系(如图所示)，
其中取\(10 km\)为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 \(x^2+y^2=9\)，
港口所对应的点的坐标为\((0,4)\)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为\((7,0)\)，
则轮船航线所在直线\(l\)的方程为 \(\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{4}=1\)，即\(4x+7y－28=0\)，
圆心\((0,0)\)到直线\(4x+7y－28=0\)的距离 \(d=\dfrac{|28|}{\sqrt{4^{2}+7^{2}}}=\dfrac{28}{\sqrt{65}}\)，半径\(r=3\)．
\(∵d>r\)，\(∴\)直线与圆相离，
\(∴\)轮船不会受到台风的影响．
点拨 利用坐标系法处理实际问题，把题中已知条件转化为直角坐标系中的坐标或方程是其关键.
巩固练习
1.直线\(3x+4y-5=0\)与圆 \(x^2+y^2-2x+2y-7=0\)的位置关系是( )
A．相离 \(\qquad \qquad\) B．相切 \(\qquad \qquad\) C．相交但不过圆心 \(\qquad \qquad\) D．相交且过圆心
2.直线\(y=kx+1\)与圆 \(x^2+y^2=4\)的位置关系是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.直线\(x+y+a=0\)与半圆 \(y=-\sqrt{1-x^{2}}\)有两个交点，则\(a\)的值是\(\underline{\quad \quad}\)．
4.已知\(A(3,0)\)，\(B(0,4)\)，若圆 \(M：x^2+y^2=r^2 (r>0)\)上有且仅有两点\(C\)使\(△ABC\)面积等于 \(\dfrac{5}{2}\)，则实数\(r\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 圆方程化为标准方程 \((x-1)^2+(y+1)^2=9\)，则圆心为\((1,-1)\)，半径为\(3\)，
圆心\((1,-1)\)到\(3x+4y-5=0\)的距离为 \(\dfrac{6}{5}<3\)，故选\(C\). -
答案 相交
解析 直线\(y=kx+1\)过定点\((0,1)\)，而定点\((0,1)\)在圆 \(x^2+y^2=4\)内部，
则直线与圆的位置关系为相交. -
答案 \([1, \sqrt{2})\)
解析 根据题意画出图形，如图所示：
当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离\(d=r\)，
即 \(\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=1\)，解得：\(a=\sqrt{2}\)或\(a=－\sqrt{2}\)(舍去)；
当直线过点\(A\)时，直线\(x+y+a=0\)与圆有两个交点\(A\)和\(B\)，
把\(A(－1,0)\)代入\(x+y+a=0\)中得：\(－1+a=0\)，解得：\(a=1\)，
则直线与圆有两个交点时，\(a\)的范围是\([1,\sqrt{2})\)．
故答案为：\([1,\sqrt{2})\). -
答案 \(\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{5}\right)\)
解析 由题意可得 \(|A B|=\sqrt{9+16}=5\)，
根据圆 \(M：x^2+y^2=r^2 (r>0)\)上有且仅有两点\(C\)使\(△ABC\)面积等于 \(\dfrac{5}{2}\)，
可得点\(C\)到直线\(AB\)的距离为\(1\)．
由于\(AB\)的方程为 \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1\)，即\(4x+3y－12=0\)．
若圆上只有一个点到直线\(AB\)的距离为\(1\)，
则有圆心\((0,0)\)到直线\(AB\)的距离 \(\dfrac{|0+0-12|}{\sqrt{9+16}}=r+1\)，解得 \(r=\dfrac{7}{5}\)．
若圆上只有\(3\)个点到直线\(AB\)的距离为\(1\)，
则有圆心\((0,0)\)到直线\(AB\)的距离 \(\dfrac{|0+0-12|}{\sqrt{9+16}}=r-1\)，解得 \(r=\dfrac{17}{5}\)，
\(∴\)实数\(r\)的取值范围是 \(\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{5}\right)\)．
【题型2】直线与圆的相切问题
【典题1】 过点\(A(4,－3)\)作圆 \(C:(x-3)^2+(y-1)^2=1\)的切线，求此切线的方程．
解析 因为 \((4-3)^2+(-3-1)^2=17>1\)，所以点\(A\)在圆外．
若所求直线的斜率存在，设切线斜率为\(k\)，
则切线方程为\(y+3=k(x-4)\)．
因为圆心\(C(3,1)\)到切线的距离等于半径，半径为\(1\)，
所以 \(\dfrac{|3 k-1-3-4 k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1\)，即 \(|k+4|=\sqrt{k^{2}+1}\)，
所以 \(k^2+8k+16=k^2+1\)．解得 \(k=-\dfrac{15}{8}\)．
所以切线方程为 \(y+3=-\dfrac{15}{8}(x-4)\)，即\(15x+8y-36=0\)．
若直线斜率不存在，
圆心\(C(3,1)\)到直线\(x=4\)的距离也为\(1\)，这时直线与圆也相切，
所以另一条切线方程是\(x=4\)．
综上，所求切线方程为\(15x+8y－36=0\)或\(x=4\)．
点拨 设直线方程为斜截式时，要注意斜率是否存在，不确定需要分类讨论.
巩固练习
1.直线\(7x－24y+m=0\)与圆 \(x^2+y^2－2x+4y=0\)相切，则正实数m的取值是( )
A． \(25 \sqrt{5}-55\)或\(25 \sqrt{5}\)\(\qquad \qquad\) B．\(25 \sqrt{5}+55\)或\(25 \sqrt{5}-55\) \(\qquad \qquad\) C．\(25 \sqrt{5}-55\) \(\qquad \qquad\) D．\(25 \sqrt{5}+55\)
2.已知过点\(P(2,2)\)的直线\(l\)与圆 \((x-1)^2+y^2=5\)相切，则直线\(l\)的斜率为( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{1}{2}\)\(\qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad\) D． \(-\dfrac{1}{2}\)
3.已知圆 \(C：x^2+y^2－6x=0\)，过点\(P(6,4)\)向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为( )
A． \(\dfrac{7}{25}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{24}{25}\) \(\qquad \qquad\) C． \(-\dfrac{7}{25}\) \(\qquad \qquad\) D． \(-\dfrac{24}{25}\)
4.(多选)已知点\(P\)在圆 \((x-5)^2+(y-5)^2=16\)上，点\(A(4,0)\),\(B(0,2)\)，则( )
A．点\(P\)到直线\(AB\)的距离小于\(10\) \(\qquad \qquad\) B．点\(P\)到直线\(AB\)的距离大于\(2\)
C．当\(∠PBA\)最小时， \(|P B|=3 \sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) D．当\(∠PBA\)最大时， \(|P B|=3 \sqrt{2}\)
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 圆 \(x^2+y^2－2x+4y=0\)的圆心\((1,－2)\)，半径为\(\sqrt{5}\)，
直线\(7x－24y+m=0\)与圆 \(x^2+y^2－2x+4y=0\)相切．
可得： \(\dfrac{|7+48+m|}{\sqrt{7^{2}+(-24)^{2}}}=\sqrt{5}\)，解得正实数： \(m=25 \sqrt{5}-55\)．
故选：\(C\) -
答案 \(D\)
解析 设直线方程为：\(y=k(x-2)+2\)，由已知圆的圆心为\((1,0)\)，半径为 \(\sqrt{5}\)，
因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离为 \(\dfrac{|k(1-2)+2|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\sqrt{5}\)，解得\(k= -\dfrac{1}{2}\)，
故选：\(D\)． -
答案 \(A\)
解析 因为圆 \(C：x^2+y^2－6x=0\)，
所以 \(（x-3）^2+y^2=9\)，
所以圆心为\(C(3,0)\)，半径为\(R=3\)，
又点\(P(6,4)\)，
所以点\(P\)到圆心的距离为 \(\sqrt{(6-3)^{2}+(4-0)^{2}}=5\)，
所以切线与直线\(PC\)的夹角的正弦值为 \(\dfrac{3}{5}\)，
所以两切线的夹角的余弦值为 \(1-2 \times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=\dfrac{7}{25}\)，
故选：\(A\)． -
答案 \(ACD\)
解析 \(∵A(4,0)\),\(B(0,2)\)，
\(∴\)过\(A、B\)的直线方程为 \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1\)，即\(x+2y-4=0\)，
圆 \((x-5)^2+(y-5)^2=16\)的圆心坐标为\((5,5)\)，
圆心到直线\(x+2y-4=0\)的距离 \(d=\dfrac{|1 \times 5+2 \times 5-4|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\dfrac{11}{\sqrt{5}}=\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}>4\)，
\(∴\)点\(P\)到直线\(AB\)的距离的范围为 \(\left[\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}-4, \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}+4\right]\)，
\(\because \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}<5\)， \(\therefore \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}-4<1\)， \(\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}+4<10\)，
\(∴\)点\(P\)到直线\(AB\)的距离小于\(10\)，但不一定大于\(2\)，故\(A\)正确，\(B\)错误；
如图，当过\(B\)的直线与圆相切时，满足\(∠PBA\)最小或最大(\(P\)点位于\(P_1\)时\(∠PBA\)最小，位于\(P_2\)时\(∠PBA\)最大)，
此时 \(|B C|=\sqrt{(5-0)^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\)，
\(\therefore|P B|=\sqrt{|B C|^{2}-4^{2}}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\)，故\(CD\)正确．
故选：\(ACD\)．
【题型3】直线与圆的弦长问题
【典题1】 已知一圆\(C\)的圆心为\((2,-1)\)，且该圆被直线\(l：x-y-1=0\)截得的弦长为 \(2\sqrt{2}\)，求该圆的方程．
解析 设圆\(C\)的方程是 \((x-2)^2+(y+.1)^2=r^2 (r>0)\)，
则弦长 \(l=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}\)，其中\(d\)为圆心到直线\(x-y-1=0\)的距离\(d=\sqrt{2}\)．
\(\therefore l=2 \sqrt{r^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2 \sqrt{2}\)．
\(∴r^2=4\)．
\(∴\)圆方程为 \((x-2)^2+(y+1)^2=4\)．
【典题2】 设\(O\)为原点，直线\(y=kx+2\)与圆 \(x^2+y^2=4\)相交于\(A\),\(B\)两点，当\(△ABO\)面积最大值时，\(k=\)( )
A． \(\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\qquad \qquad\) B．\(±1\) \(\qquad \qquad\) C．\(±\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) D．\(±2\)
解析 直线\(l\)方程\(y=kx+2\)，原点\(O\)到\(l\)的距离为 \(d=\dfrac{2}{\sqrt{1+k^{2}}}\)，
弦长 \(|A B|=2 \sqrt{4-\dfrac{4}{1+k^{2}}}=\dfrac{4|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}\)，
\(△ABO\)面积 \(S=\dfrac{1}{2}|A B||O C|=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{1+k^{2}}} \times \dfrac{4|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\dfrac{4|k|}{1+k^{2}}\)，
由对称性可知，
\(k>0\)时，三角形的面积 \(S=\dfrac{4 k}{1+k^{2}}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{k}+k} \leq \dfrac{4}{2 \sqrt{\dfrac{1}{k} \cdot k}}=2\)，当且仅当\(k=1\)时取等号．
所以\(k=±1\)．
故选：\(B\)．
巩固练习
1.圆 \(x^2+y^2-4x+4y+4=0\)截直线\(x-y-5=0\)所得的弦长等于\(\underline{\quad \quad}\)．
2.设直线\(l：3x+4y+a=0\)与圆 \(C：(x-2)^2+(y-1)^2=25\)交于\(A\),B，且\(|AB|=6\)，则\(a\)的值是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.直线\(l：x-2y-3=0\)与圆 \(C:(x-2)^2+(y+3)^2=9\)交于\(E\)，\(F\)两点，则\(△EOF\)(\(O\)是坐标原点)的面积为\(\underline{\quad \quad}\)．
4.平行直线 \(l_{1}: \sqrt{2} x-y-1=0\)和\(l_2： \sqrt{2}x-y+2=0\)与圆 \(E：x^2+y^2-4y=0\)分别相交于\(A\)、\(B\)和\(C\)、\(D\)四点，则四边形\(ABDC\)的对角线\(AD\)的长度为\(\underline{\quad \quad}\) ．
参考答案
- 答案 \(\sqrt{14}\)
解析 \((x-2)^2+(y+2)^2=4\)，
圆心到直线的距离为 \(d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad l=2 \sqrt{4-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{14}\).
故答案为 \(\sqrt{14}\). - 答案 \(a=10\)或\(a=-30\)
解析 \(∵\)圆 \(C：(x-2)^2+(y-1)^2=25\)的圆心为\((2,1)\)，半径为\(r=5\)，
又直线\(3x+4y+a=0\)被圆 \((x-2)^2+(y-1)^2=25\)所截弦长\(|AB|=6\)，
\(∴\)由垂径定理得圆心到直线的距离 \(d=\sqrt{r^{2}-\left(\dfrac{A B}{2}\right)^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\)，
\(\therefore \dfrac{|6+4+a|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=4 \text {, }\)，解得\(a=10\)或\(a=-30\)． - 答案 \(\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}\)
解析 圆 \((x-2)^2+(y+3)^2=9\)的圆心为\((2,-3)\)
\(∴(2,-3)\)到直线\(x-2y-3=0\)的距离 \(d=\dfrac{|2 \times 1-2 \times(-3)-3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\sqrt{5}\)
弦长 \(|E F|=2 \times \sqrt{9-5}=2 \times 2=4\)
原点到直线的距离 \(d=\dfrac{|0 \times 1-2 \times 0-3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\)，
\(∴△EOF\)的面积为 \(S=\dfrac{1}{2} \times 4 \times \dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}\)． - 答案 \(2 \sqrt{3}\)
解析 由圆 \(E：x^2+y^2-4y=0\)，得 \(x^2+(y-2)^2=4\)，
则圆心坐标为\(E(0,2)\)，半径\(R=2\)．
点\(E\)到直线 \(l_{1}: \sqrt{2} x-y-1=0\)的距离 \(d_{1}=\dfrac{|\sqrt{2} \times 0-2-1|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\)，
\(\therefore|A B|=2 \sqrt{4-3}=2\)，
直线 \(l_2： \sqrt{2}x-y+2=0\)过圆\(E\)的圆心，则\(|CD|=4\)．
两平行直线\(l_1\)和\(l_2\)的距离 \(d=d_{1}=\sqrt{3}\)，
\(\therefore|A D|=\sqrt{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2 \sqrt{3}\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.点\(M(x_0,y_0)\)在圆 \(x^2+y^2=R^2\)外，则直线\(x_0 x+y_0 y=R^2\)与圆的位置关系是( )
A．相切 \(\qquad \qquad\) B．相交\(\qquad \qquad\) C．相离 \(\qquad \qquad\) D．不确定
2.已知集合 \(A=\left\{(x, y) \mid y=\sqrt{4-x^{2}}\right\}\)，集合\(B=\{(x,y)|y=x+a\}\)，并且\(A \cap B \neq \emptyset\)，则\(a\)的范围是( )
A． \([-2,2 \sqrt{2}]\) \(\qquad \qquad\) B．\([0,2\sqrt{2}]\) \(\qquad \qquad\) C．\((-2,2\sqrt{2}]\) \(\qquad \qquad\) D．\((0,2\sqrt{2}]\)
3.直线\(l\)经过点\(P(1,0)\)，且圆 \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)上到直线\(l\)距离为\(1\)的点恰好有\(3\)个，满足条件的直线\(l\)有( )
A．\(0\)条 \(\qquad \qquad\) B．\(1\)条\(\qquad \qquad\) C．\(2\)条 \(\qquad \qquad\) D．\(3\)条
4.过点\(A(-4,-1)\)作圆 \(C：(x-2)^2+(y-1)^2=4\)的一条切线\(AB\)，切点为\(B\)，则三角形\(ABC\)的面积为( )
A． \(2 \sqrt{10}\) \(\qquad \qquad\) B．\(6\sqrt{10}\) \(\qquad \qquad\) C．\(12\) \(\qquad \qquad\) D．\(6\)
5.已知直线 \(l: \quad x+\sqrt{3} y-2=0\)与圆心\(C(1,\sqrt{3})\)，半径为\(5\)的圆相交于点\(M\),\(N\)，若点\(P\)为圆\(C\)上一个动点，则\(△PMN\)的面积的最大值为( )
A．\(3\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) B．\(3\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad\) C．\(4\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) D．\(12\sqrt{6}\)
6.已知直线\(l：y=m(x-2)+2\)与圆 \(C：x^2+y^2=9\)交于\(A\)、\(B\)两点，则弦长\(|AB|\)的最小值为( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad\) C．\(2 \sqrt{2}\)\(\qquad \qquad\) D．\(6\)
7.与直线\(y=x+2\)平行且与圆 \((x-2)^2+(y-3)^2=8\)相切的直线的方程是 \(\underline{\quad \quad}\)．
8.若直线\(x-y+1=0\)与圆 \((x-a)^2+y^2=2\)有公共 点，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
9.台风中心从\(A\)地以每小时\(20\)千米的速度向东北方向移动，离台风中心\(30\)千米内的地区为危险区，城市\(B\)在\(A\)的正东\(40\)千米处，\(B\)城市处于危险区内的时间为\(\underline{\quad \quad}\) .
10.已知圆 \(C：(x-1)^2+(y-2)^2=25\)，直线\(L：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)\)
(1)证明：无论\(m\)取什么实数，\(L\)与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆\(C\)截得的弦长最小时直线\(L\)的斜截式方程．
11.如图，圆\(M\)圆心在\(x\)轴上，与\(x\)轴的一个交点为\(A(－2,0)\)，与\(y\)轴的一个交点为 \(B(0,-2 \sqrt{2})\)，点\(P\)是\(OA\)的中点．若过\(P\)点的直线\(l\)截圆\(M\)所得的弦长为\(2\sqrt{6}\)，求直线\(l\)的方程．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(∵\)点\(M(x_0,y_0)\)在圆 \(x^2+y^2=R^2\)外， \(∴x_0^2+y_0^2=R^2\)，
\(∴\)圆心\((0,0)\)到直线\(x_0 x+y_0 y=R^2\)的距离： \(d=\dfrac{\left|R^{2}\right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}<R\)，
\(∴\)直线\(x_0 x+y_0 y=R^2\)与圆相交．
故选：\(B\)． -
答案 \(A\)
解析 集合\(A\)中\(A\)的函数表示圆心为原点，半径为\(2\)的上半圆，
集合\(B\)中的函数表示斜率为\(1\)的直线系，
当直线与圆相切时，圆心\((0,0)\)到直线\(y=x+a\)的距离 \(d=\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=2\)，
即\(a=2\sqrt{2}\)(负值舍去)；
当直线过\((2,0)\)时，\(0=2+a\)，即\(a=－2\)，
则\(A∩B≠∅\)，即两函数图象有交点时\(a\)的范围是\([－2，2\sqrt{2}]\)．
故选：\(A\)．
-
答案 \(C\)
解析 圆 \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)即 \((x-2)^2+(y-1)^2=4\)，圆的圆心 (2,1)，半径为2，
直线\(l\)经过点\(P(1,0)\)，直线的斜率不存在时，直线方程\(x=1\)，
圆 \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)上到直线\(l\)距离为\(1\)的点恰好有\(3\)个，
直线的斜率存在时，设直线方程为\(y=k(x-1)\)，
圆 \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)上到直线\(l\)距离为\(1\)的点恰好有\(3\)个，
可得 \(\dfrac{|k-1|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2-1\)，解得\(k=0\)，
直线的斜率不存在时，\(x-1=0\)，满足题意，
故选：\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 根据题意，圆 \(C：(x-2)^2+(y-1)^2=4\)，
则\(C\)的坐标为\((2,1)\)，其半径\(r=2\),
则 \(|A C|=\sqrt{(-4-2)^{2}+(-1-1)^{2}}=2 \sqrt{10}\)，
\(|A B|=\sqrt{|A C|^{2}-r^{2}}=\sqrt{40-4}=6\)，
因此 \(S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2}|A B| \cdot|C B|=\dfrac{1}{2} \times 6 \times 2=6\)．
故选：\(D\)． -
答案 \(D\)
解析 如图，
圆心\(C(1,\sqrt{3} )\)到直线\(l：x+\sqrt{3} y－2=0\)的距离 \(d=\dfrac{|1+3-2|}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=1\)，
则 \(|M N|=2 \sqrt{5^{2}-1^{2}}=4 \sqrt{6}\)，
圆\(C\)上的点\(P\)到\(MN\)的最大值为\(6\)，
则\(△PMN\)的面积的最大值为 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \sqrt{6} \times 6=12 \sqrt{6}\)．
故选：\(D\)．
-
答案 \(B\)
解析 直线\(l：y=m(x-2)+2\)过定点\(P(2,2)\)，
\(\because|C P|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}<3\)，\(∴\)定点\(P\)在圆\(C\)内部，
则当直线\(l\)与\(CP\)垂直时，|AB|最小，此时 \(|A B|=2 \sqrt{r^{2}-|C P|^{2}}=2 \sqrt{9-8}=2\)．
故选：\(B\)． -
答案 \(x-y-3=0\)或\(x-y+5=0\)
解析 设所求的切线方程为\(y=x+b\)，即\(x-y+b=0\)．
\(∵\)圆心坐标为\((2,3)\)，半径为\(2\sqrt{2}\)，
\(\therefore \dfrac{|2-3+b|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \text {, }\)，即\(|b-1|=4\)，\(b=5\)或\(-3\)．
\(∴\)所求的切线方程为\(x-y-3=0\)或\(x-y+5=0\)． -
答案 \([-3,1]\)
解析 圆 \((x-a)^2+y^2=2\)的圆心\((a，0)\)，半径为 \(\sqrt{2}\)，
直线\(x-y+1=0\)与圆 \((x-a)^2+y^2=2\)有公共点，
则 \(\dfrac{|a+1|}{\sqrt{2}} \leq \sqrt{2}\)，所以\(|a+1|≤2\)，
解得实数\(a\)取值范围是\([-3,1]\)．
故答案为：\([-3，1]\). -
答案 \(1\)小时
解析 如图，以\(A\)为坐标原点，建立平面直角坐标系，则\(B(40，0)\)，
台风中心移动的轨迹为射线\(y=x(x≥0)\)，
而点\(B\)到射线\(y=x\)的距离 \(d=\dfrac{40}{\sqrt{2}}=20 \sqrt{2}<30\)，
故 \(l=2 \sqrt{30^{2}-(20 \sqrt{2})^{2}}=20\)，
故\(B\)城市处于危险区内的时间为\(1\)小时. -
答案 (1) 略 (2) \(y=2x－5\)
解析 (1)将直线\(l\)方程整理得：\((x+y-4)+m(2x+y-7)=0\)，
由 \(\left\{\begin{array}{l} x+y-4=0 \\ 2 x+y-7=0 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=1 \end{array}\right.\)，
\(∴\)直线l恒过\(A(3,1)\)，
\(∵(3-1)^2+(1-2)^2=5<25\)，
\(∴\)点\(A\)在圆\(C\)内部，
则直线\(l\)与圆恒有两个交点；
(2)由圆的方程得到圆心\(M(1,2)\)，当截得的弦长最小时，直线\(l⊥AM\)，
\(\because k_{A M}=-\dfrac{1}{2}\)，\(∴\)直线\(l\)斜率为\(2\)，
则直线\(l\)的方程为\(y-1=2(x-3)\)，即\(y=2x－5\)． -
答案 \(y=\sqrt{3} x+\sqrt{3}\)或\(y=-\sqrt{3} x-\sqrt{3}\)
解析 \(∵AC\)为圆\(M\)的直径，\(∴∠ABC=90°\)，
\(∵BO⊥AC\)，\(∴△AOB∽△BOC\)，
\(∴OB^2=OA•OC\)，即 \(O C=\dfrac{O B^{2}}{O A}=\dfrac{8}{2}=4\)，
\(∴C(4,0)\)，半径\(r=3\)，
\(∵A(－2,0)\)，\(P\)为\(OA\)的中点，
\(∴\)圆心\(M(1,0)\)，\(P(－1,0)\)，
设直线\(l\)斜率为\(k\)，即直线\(l\)解析式为\(y=k(x+1)=kx+k\)，
\(∴\)圆心\(M\)到直线\(l\)的距离 \(d=\dfrac{|2 k|}{\sqrt{k^{2}+1}}\)，
\(∵\)过\(P\)点的直线\(l\)截圆\(M\)所得的弦长为 \(2\sqrt{6}\)，
\(\therefore 2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{6}\)，即 \(r^2－d^2=6\)，
代入得： \(9-\dfrac{4 k^{2}}{k^{2}+1}=6\)，解得： \(k=\pm \sqrt{3}\)，
则直线\(l\)方程为\(y=\sqrt{3} x+\sqrt{3}\)或\(y=-\sqrt{3} x-\sqrt{3}\)．
【B组---提高题】
1.直线\(y=k(x－2)+4\)与曲线 \(y=\sqrt{4-x^{2}}\)有两个交点，则实数\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．
2.已知 \(⊙M：x^2+y^2+2x+2y-2=0\)，直线\(l：2x+y-2=0\)，\(P\)为\(l\)上的动点，过点\(P\)作\(⊙M\)的切线\(PA\)，\(PB\)，切点为\(A\),\(B\)，则四边形\(PAMB\)面积的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知圆 \(C：x^2+y^2-4x-2y+1=0\)及直线\(l：y=kx-k+2(k∈R)\)，设直线\(l\)与圆\(C\)相交所得的最长弦长为\(MN\)，最短弦为\(PQ\)，则四边形\(PMQN\)的面积为\(\underline{\quad \quad}\)．
4.已知直线\(l：y=x\)，圆 \(C：x^2+y^2-4x+3=0\)，在\(l\)上任意取一点\(A\)，向圆\(C\)作切线，切点分别为\(M\),\(N\)，则原点\(O\)到直线\(MN\)的距离的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(\left(\dfrac{3}{4}, 1\right]\)
解析 直线\(y=k(x－2)+4\)，
当\(x=2\)时，\(y=4\)，可得此直线恒过\(A(2,4)\)，
曲线 \(y=\sqrt{4-x^{2}}\)为圆心在坐标原点，半径为\(2\)的半圆，
根据题意作出相应的图形，如图所示：
当直线\(y=k(x－2)+4\)与半圆相切(切点在第二象限)时，圆心到直线的距离\(d=r\)，
\(\therefore \dfrac{|4-2 k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2 \text {, }\)，即 \(4k^2－16k+16=4+4k^2\)，解得： \(k=\dfrac{3}{4}\)，
当直线\(y=k(x－2)+4\)过点\(C\)时，
将\(x=－2\)，\(y=0\)代入直线方程得：\(－4k+4=0\)，解得：\(k=1\)，
则直线与曲线有\(2\)个交点时\(k\)的范围为 \(\left(\dfrac{3}{4}, 1\right]\)． -
答案 \(2\)
解析 由 \(⊙M：x^2+y^2+2x+2y-2=0\)，得 \((x+1)^2+(y+1)^2=4\)，
所以圆心\(M(-1,-1)\)，半径\(r=2\)，
四边形\(PAMB\)面积 \(S=2 S_{\triangle P A M}=2 \times \dfrac{1}{2} \times P A \times A M=2 P A\)，
又 \(P A=\sqrt{P M^{2}-A M^{2}}=\sqrt{P M^{2}-4}\)，
所以当\(PM\)最短时，四边形\(PAMB\)面积最小，
此时 \(|P M|=\dfrac{|2 \times(-1)+(-1)-2|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}\)，
所以 \(S_{\min }=2 \sqrt{(\sqrt{5})^{2}-4}=2\)．
-
答案 \(4 \sqrt{2}\)
解析 将圆\(C\)方程整理为 \((x-2)^2+(y-1)^2=4\)，得圆心\(C(2,1)\)，半径\(r=2\)；
将直线\(l\)方程整理为\(y=k(x-1)+2\)，得直线\(l\)恒过定点\((1,2)\)，且\((1,2)\)在圆\(C\)内；
最长弦\(MN\)为过\((1,2)\)的圆的直径，则\(|MN|=4\)；
最短弦\(PQ\)为过\((1,2)\)，且与最长弦\(MN\)垂直的弦，
\(\because k_{M N}=\dfrac{2-1}{1-2}=-1\)， \(\therefore k_{P Q}=1\)，
则直线\(PQ\)方程为\(y－2=x－1\)，即\(x-y+1=0\)，
\(∴\)圆心\(C\)到直线\(PQ\)的距离为 \(d=\dfrac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)，
\(\therefore|P Q|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{4-2}=2 \sqrt{2}\)，
\(∴\)四边形\(PMQN\)的面积 \(S=\dfrac{1}{2}|M N| \cdot|P Q|=\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{2}=4 \sqrt{2}\). -
答案 \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
解析 由题可得圆\(C\)的圆心坐标为\((2,0)\)，半径为\(1\)．
\(∵A\)在直线\(l\)上，设\(A(a,a)\)，
又\(M\)、\(N\)为过\(A\)点的圆的切线的切点，
故有 \(AM^2=AN^2=AC^2－1\)，
\(∴\)以\(A\)为圆心，\(AM\)为半径的圆的方程为 \((x-a)^2+(y-a)^2=(a-2)^2+a^2-1\)，
化简得 \(x^2+y^2-2ax-2ay-3+4a=0\)，
\(∴MN\)所在直线方程为\((2-a)x-ay+2a-3=0\)，
\(∴O\)到\(MN\)的距离 \(d=\dfrac{|2 a-3|}{\sqrt{(2-a)^{2}+a^{2}}}\)，
\(\therefore d^{2}=2+\dfrac{1-4 a}{2 a^{2}-4 a+4}\)，令\(1-4a=t\)，
\(d^{2}=2+\dfrac{8 t}{t^{2}+6 t+25}=2+\dfrac{8}{t+\dfrac{25}{t}+6}\)，
由不等式 \(t+\dfrac{25}{t} \geq 2 \sqrt{25}=10\)，当且仅当\(t=5\)时取等．
\(\therefore d \leq \dfrac{\sqrt{10}}{2}\).
【C组---拓展题】
1.对圆 \(x^2+y^2=1\)上任意一点\(P(x,y)\)，若\(|3x-4y+a|-|3x-4y-9|\)的值都与\(x,y\)无关，则实数\(a\)的取值范围是( )
A．\(a≤-5\) \(\qquad \qquad\) B．\(-5≤a≤5\) \(\qquad \qquad\) C．\(a≤-5\)或\(a≥5\) \(\qquad \qquad\) D．\(a≥5\)
2.已知圆 \(C：x^2+y^2=4\)，直线\(l：x－y+6=0\)，在直线\(l\)上任取一点\(P\)向圆\(C\)作切线，切点为\(A\),\(B\)，连接\(AB\)，则直线\(AB\)一定过定点( )
A． \(\left(-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\) \(\qquad \qquad\) B．\((1,2)\) \(\qquad \qquad\) C．\((－2,3)\) \(\qquad \qquad\) D． \(\left(-\dfrac{4}{3}, \dfrac{4}{3}\right)\)
3.已知点\(P\)在直线\(x+y=4\)上，过点\(P\)作圆 \(O：x^2+y^2=4\)的两条切线，切点分别为\(A\),\(B\)，则点\(M(3,2)\)到直线\(AB\)距离的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 设直线\(l_1：3x-4y+a=0\)，\(l_2：3x-4y-9=0\)，
则点\(P\)到直线\(l_1\)的距离 \(d_{1}=\dfrac{|3 x-4 y+a|}{5}\)，
点\(P\)到\(l_2\)的距离 \(d_{2}=\dfrac{|3 x-4 y-9|}{5}\)，
因为\(|3x-4y+a|-|3x-4y-9|\)的值都与\(x,y\)无关，
所以\(d_1-d_2\)为常数，
所以两条直线在圆的同一侧，且与圆不相交，
因为直线\(l_2\)在圆的下方，所以直线\(l_1\)也在圆的下方，
则有圆心\((0,0)\)到直线\(l_1\)的距离 \(d=\dfrac{|a|}{5} \geq 1\)，解得\(a≥5\)或\(a≤－5\)，
因为直线\(l_1\)也在圆的下方，所以\(a≤－5\)．
故选：\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 设\(P(x_0,y_0)\)，则\(x_0－y_0+6=0\)，
以\(CP\)为直径的圆的方程为\(x(x－x_0)+y(y－y_0)=0\)，
又圆 \(C：x^2+y^2=4\)，作差可得直线\(AB\)的方程为\(xx_0+yy_0=4\)，
又\(y_0=x_0+6\)，代入可得\((x+y) x_0+6y－4=0\)，
满足\(\left\{\begin{array}{l} x+y=0 \\ 6 y-4=0 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{2}{3} \\ y=\dfrac{2}{3} \end{array}\right.\)．
\(∴\)直线\(AB\)一定过定点 \(\left(-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\)，
故选：\(A\)． -
答案 \(\sqrt{5}\)
解析 根据题意，点\(P\)在直线\(x+y=4\)上，设\(P(a,b)\)，则\(a+b=4\)，
过点\(P\)作圆 \(O：x^2+y^2=4\)的两条切线，切点分别为\(A\)，\(B\)，
则\(PA⊥OA\)，\(PB⊥OB\)，
则点\(A\)、\(B\)在以\(OP\)为直径的圆上，
又由\(P(a,b)\)，则以\(OP\)为直径的圆的方程是 \(\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)\)，
圆\(O\)的方程为 \(O：x^2+y^2=4\)，
联立两个圆的方程可得：直线\(AB\)的方程为\(ax+by=4\)，即\(ax+by－4=0\)，
因为\(a+b=4\)，所以\(b=4－a\)，代入直线\(AB\)的方程，得\(ax+(4-a)y-4=0\)，
即\(a(x-y)+4y-4=0\)，
当\(x=y\)且\(4y－4=0\)，即\(x=1\)，\(y=1\)时该方程恒成立，
所以直线\(AB\)过定点\(N(1,1)\)，
点\(M\)到直线\(AB\)距离的最大值即为点\(M,N\)之间的距离， \(|M N|=\sqrt{5}\)，
即点\(M(3,2)\)到直线\(AB\)距离的最大值为 \(\sqrt{5}\)．
