2.5.1 直线与圆的位置关系
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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基础知识
直线、圆的位置关系
1 三种位置关系
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2 判断直线与圆位置关系的方法
(1) 根据\(d\)与\(r\)的关系判断(\(d\)为圆心到直线的距离,\(r\)为圆的半径)
相离\(⇔\)没有公共点\(⇔ d>r\);
相切\(⇔\)只有一个公共点 \(⇔ d=r\);
相交\(⇔\) 有两个公共点\(⇔ d<r\).
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(2) 联立方程求判别式的方法
联立直线方程与圆的方程 \(\left\{\begin{array}{c}
A x+B y+C=0 \\
x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0
\end{array}\right.\)求解,通过解的个数来判断:
当\(Δ>0\)时,直线与圆有\(2\)个交点,直线与圆相交;
当\(Δ=0\)时,直线与圆只有\(1\)个交点,直线与圆相切;
当\(Δ<0\)时,直线与圆没有交点,直线与圆相离.
【例】 判断直线\(x+y-1=0\)与圆 \(x^2+y^2=1\)的位置关系.
解析 方法1
圆 \(x^2+y^2=1\)的圆心为\((0,0)\),半径为\(1\),
圆心为\((0,0)\)到直线的距离 \(d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}<1\),即直线与圆的位置关系是相交.
方法2
联立方程 \(\left\{\begin{array}{c}
x+y-1=0 \\
x^{2}+y^{2}=1
\end{array}\right.\),得\(x^2-x=0\),其方程显然有两个实数解,
则直线与圆的位置关系是相交.
直线与圆的弦长
弦长公式: \(A B=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}\) (\(r\)是圆的半径,\(d\)是圆心\(O\)到直线\(l\)的距离).
利用垂径定理及勾股定理可以得到.
【例】若直线\(x+y-1=0\)与圆 \(x^2+y^2=1\)交于两点\(A,B\),求线段\(AB\)的长度.
解析 圆 \(x^2+y^2=1\)的圆心为\((0,0)\),半径为\(r=1\),
圆心为\((0,0)\)到直线的距离 \(d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\),
则 \(A B=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{2}\).
基本方法
【题型1】直线与圆的位置关系
【典题1】 若圆 \(C:x^2+y^2-2x+2y=2\)与直线\(x-y+a=0\)有公共点,则\(a\)的取值范围是( )
A. \([-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2]\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) B. \([-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2)\)
C. \((-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}-2)\) \(\qquad\qquad \qquad\qquad\) D. \([-2 \sqrt{2}-2,2 \sqrt{2}]\)
解析 方法一
化圆\(C\)的一般方程为标准方程,得 \((x-1)^2+(y+1)^2=4\),
则圆心坐标为\(C(1,-1)\),半径\(r=2\),
若直线与圆\(C\)有公共点,则圆心\((1,-1)\)到直线的距离小于等于半径,
设圆心\((1,-1)\)到直线的距离为d,则 \(d=\dfrac{|1+1+a|}{\sqrt{2}} \leq 2\),
解得: \(-2 \sqrt{2}-2 \leq a \leq 2 \sqrt{2}-2\),
故选:\(A\).
方法二
由 \(\left\{\begin{array}{c}
x-y+a=0 \\
x^{2}+y^{2}-2 x+2 y=2
\end{array}\right.\)得 \(2x^2+2ax+a^2+2a-2=0\),
其判别式 \(∆=4a^2-8(a^2+2a-2)=-4a^2-16a+16\),
直线与圆有公共点,则\(∆≥0\),解得 \(-2 \sqrt{2}-2 \leq a \leq 2 \sqrt{2}-2\),
故选:\(A\).
【典题2】 若直线\(l\)过点\(A(0,a)\),斜率为\(1\),圆 \(x^2+y^2=4\)上恰有\(3\)个点到l的距离为\(1\),则\(a\)的值为( )
A.\(3\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) B.\(±3\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) C.\(±2\) \(\qquad \qquad\) D.\(±\sqrt{2}\)
解析 \(∵\)直线\(l\)过点\(A(0,a)\)斜率为\(1\),
\(∴\)设\(l:x-y+a=0\),
\(∵\)圆 \(x^2+y^2=4\)上恰有\(3\)个点到l的距离为\(1\),
\(∴\)圆心到直线的距离等于半径减去\(1\),
\(∴\)圆心\((0,0)\)到直线\(l:y=x+a\)的距离为: \(\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=2-1\),解得\(a=±\sqrt{2}\).
故选:\(D\).
【典题3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西\(70 km\)处,受影响的范围是半径为\(30 km\)的圆形区域,已知港口位于台风中心正北\(40 km\) 处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
解析 以台风中心为坐标原点,以东西方向为\(x\)轴建立直角坐标系(如图所示),
其中取\(10 km\)为单位长度,
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为 \(x^2+y^2=9\),
港口所对应的点的坐标为\((0,4)\),轮船的初始位置所对应的点的坐标为\((7,0)\),
则轮船航线所在直线\(l\)的方程为 \(\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{4}=1\),即\(4x+7y-28=0\),
圆心\((0,0)\)到直线\(4x+7y-28=0\)的距离 \(d=\dfrac{|28|}{\sqrt{4^{2}+7^{2}}}=\dfrac{28}{\sqrt{65}}\),半径\(r=3\).
\(∵d>r\),\(∴\)直线与圆相离,
\(∴\)轮船不会受到台风的影响.
点拨 利用坐标系法处理实际问题,把题中已知条件转化为直角坐标系中的坐标或方程是其关键.
巩固练习
1.直线\(3x+4y-5=0\)与圆 \(x^2+y^2-2x+2y-7=0\)的位置关系是( )
A.相离 \(\qquad \qquad\) B.相切 \(\qquad \qquad\) C.相交但不过圆心 \(\qquad \qquad\) D.相交且过圆心
2.直线\(y=kx+1\)与圆 \(x^2+y^2=4\)的位置关系是\(\underline{\quad \quad}\).
3.直线\(x+y+a=0\)与半圆 \(y=-\sqrt{1-x^{2}}\)有两个交点,则\(a\)的值是\(\underline{\quad \quad}\).
4.已知\(A(3,0)\),\(B(0,4)\),若圆 \(M:x^2+y^2=r^2 (r>0)\)上有且仅有两点\(C\)使\(△ABC\)面积等于 \(\dfrac{5}{2}\),则实数\(r\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 圆方程化为标准方程 \((x-1)^2+(y+1)^2=9\),则圆心为\((1,-1)\),半径为\(3\),
圆心\((1,-1)\)到\(3x+4y-5=0\)的距离为 \(\dfrac{6}{5}<3\),故选\(C\). -
答案 相交
解析 直线\(y=kx+1\)过定点\((0,1)\),而定点\((0,1)\)在圆 \(x^2+y^2=4\)内部,
则直线与圆的位置关系为相交. -
答案 \([1, \sqrt{2})\)
解析 根据题意画出图形,如图所示:
当直线在第三象限与半圆相切时,圆心到直线的距离\(d=r\),
即 \(\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=1\),解得:\(a=\sqrt{2}\)或\(a=-\sqrt{2}\)(舍去);
当直线过点\(A\)时,直线\(x+y+a=0\)与圆有两个交点\(A\)和\(B\),
把\(A(-1,0)\)代入\(x+y+a=0\)中得:\(-1+a=0\),解得:\(a=1\),
则直线与圆有两个交点时,\(a\)的范围是\([1,\sqrt{2})\).
故答案为:\([1,\sqrt{2})\). -
答案 \(\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{5}\right)\)
解析 由题意可得 \(|A B|=\sqrt{9+16}=5\),
根据圆 \(M:x^2+y^2=r^2 (r>0)\)上有且仅有两点\(C\)使\(△ABC\)面积等于 \(\dfrac{5}{2}\),
可得点\(C\)到直线\(AB\)的距离为\(1\).
由于\(AB\)的方程为 \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1\),即\(4x+3y-12=0\).
若圆上只有一个点到直线\(AB\)的距离为\(1\),
则有圆心\((0,0)\)到直线\(AB\)的距离 \(\dfrac{|0+0-12|}{\sqrt{9+16}}=r+1\),解得 \(r=\dfrac{7}{5}\).
若圆上只有\(3\)个点到直线\(AB\)的距离为\(1\),
则有圆心\((0,0)\)到直线\(AB\)的距离 \(\dfrac{|0+0-12|}{\sqrt{9+16}}=r-1\),解得 \(r=\dfrac{17}{5}\),
\(∴\)实数\(r\)的取值范围是 \(\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{5}\right)\).
【题型2】直线与圆的相切问题
【典题1】 过点\(A(4,-3)\)作圆 \(C:(x-3)^2+(y-1)^2=1\)的切线,求此切线的方程.
解析 因为 \((4-3)^2+(-3-1)^2=17>1\),所以点\(A\)在圆外.
若所求直线的斜率存在,设切线斜率为\(k\),
则切线方程为\(y+3=k(x-4)\).
因为圆心\(C(3,1)\)到切线的距离等于半径,半径为\(1\),
所以 \(\dfrac{|3 k-1-3-4 k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1\),即 \(|k+4|=\sqrt{k^{2}+1}\),
所以 \(k^2+8k+16=k^2+1\).解得 \(k=-\dfrac{15}{8}\).
所以切线方程为 \(y+3=-\dfrac{15}{8}(x-4)\),即\(15x+8y-36=0\).
若直线斜率不存在,
圆心\(C(3,1)\)到直线\(x=4\)的距离也为\(1\),这时直线与圆也相切,
所以另一条切线方程是\(x=4\).
综上,所求切线方程为\(15x+8y-36=0\)或\(x=4\).
点拨 设直线方程为斜截式时,要注意斜率是否存在,不确定需要分类讨论.
巩固练习
1.直线\(7x-24y+m=0\)与圆 \(x^2+y^2-2x+4y=0\)相切,则正实数m的取值是( )
A. \(25 \sqrt{5}-55\)或\(25 \sqrt{5}\)\(\qquad \qquad\) B.\(25 \sqrt{5}+55\)或\(25 \sqrt{5}-55\) \(\qquad \qquad\) C.\(25 \sqrt{5}-55\) \(\qquad \qquad\) D.\(25 \sqrt{5}+55\)
2.已知过点\(P(2,2)\)的直线\(l\)与圆 \((x-1)^2+y^2=5\)相切,则直线\(l\)的斜率为( )
A.\(1\) \(\qquad \qquad\) B. \(\dfrac{1}{2}\)\(\qquad \qquad\) C.\(2\) \(\qquad \qquad\) D. \(-\dfrac{1}{2}\)
3.已知圆 \(C:x^2+y^2-6x=0\),过点\(P(6,4)\)向这个圆作两条切线,则两切线的夹角的余弦值为( )
A. \(\dfrac{7}{25}\) \(\qquad \qquad\) B. \(\dfrac{24}{25}\) \(\qquad \qquad\) C. \(-\dfrac{7}{25}\) \(\qquad \qquad\) D. \(-\dfrac{24}{25}\)
4.(多选)已知点\(P\)在圆 \((x-5)^2+(y-5)^2=16\)上,点\(A(4,0)\),\(B(0,2)\),则( )
A.点\(P\)到直线\(AB\)的距离小于\(10\) \(\qquad \qquad\) B.点\(P\)到直线\(AB\)的距离大于\(2\)
C.当\(∠PBA\)最小时, \(|P B|=3 \sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) D.当\(∠PBA\)最大时, \(|P B|=3 \sqrt{2}\)
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 圆 \(x^2+y^2-2x+4y=0\)的圆心\((1,-2)\),半径为\(\sqrt{5}\),
直线\(7x-24y+m=0\)与圆 \(x^2+y^2-2x+4y=0\)相切.
可得: \(\dfrac{|7+48+m|}{\sqrt{7^{2}+(-24)^{2}}}=\sqrt{5}\),解得正实数: \(m=25 \sqrt{5}-55\).
故选:\(C\) -
答案 \(D\)
解析 设直线方程为:\(y=k(x-2)+2\),由已知圆的圆心为\((1,0)\),半径为 \(\sqrt{5}\),
因为直线与圆相切,则圆心到直线的距离为 \(\dfrac{|k(1-2)+2|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\sqrt{5}\),解得\(k= -\dfrac{1}{2}\),
故选:\(D\). -
答案 \(A\)
解析 因为圆 \(C:x^2+y^2-6x=0\),
所以 \((x-3)^2+y^2=9\),
所以圆心为\(C(3,0)\),半径为\(R=3\),
又点\(P(6,4)\),
所以点\(P\)到圆心的距离为 \(\sqrt{(6-3)^{2}+(4-0)^{2}}=5\),
所以切线与直线\(PC\)的夹角的正弦值为 \(\dfrac{3}{5}\),
所以两切线的夹角的余弦值为 \(1-2 \times\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}=\dfrac{7}{25}\),
故选:\(A\). -
答案 \(ACD\)
解析 \(∵A(4,0)\),\(B(0,2)\),
\(∴\)过\(A、B\)的直线方程为 \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1\),即\(x+2y-4=0\),
圆 \((x-5)^2+(y-5)^2=16\)的圆心坐标为\((5,5)\),
圆心到直线\(x+2y-4=0\)的距离 \(d=\dfrac{|1 \times 5+2 \times 5-4|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\dfrac{11}{\sqrt{5}}=\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}>4\),
\(∴\)点\(P\)到直线\(AB\)的距离的范围为 \(\left[\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}-4, \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}+4\right]\),
\(\because \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}<5\), \(\therefore \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}-4<1\), \(\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}+4<10\),
\(∴\)点\(P\)到直线\(AB\)的距离小于\(10\),但不一定大于\(2\),故\(A\)正确,\(B\)错误;
如图,当过\(B\)的直线与圆相切时,满足\(∠PBA\)最小或最大(\(P\)点位于\(P_1\)时\(∠PBA\)最小,位于\(P_2\)时\(∠PBA\)最大),
此时 \(|B C|=\sqrt{(5-0)^{2}+(5-2)^{2}}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\),
\(\therefore|P B|=\sqrt{|B C|^{2}-4^{2}}=\sqrt{18}=3 \sqrt{2}\),故\(CD\)正确.
故选:\(ACD\).
【题型3】直线与圆的弦长问题
【典题1】 已知一圆\(C\)的圆心为\((2,-1)\),且该圆被直线\(l:x-y-1=0\)截得的弦长为 \(2\sqrt{2}\),求该圆的方程.
解析 设圆\(C\)的方程是 \((x-2)^2+(y+.1)^2=r^2 (r>0)\),
则弦长 \(l=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}\),其中\(d\)为圆心到直线\(x-y-1=0\)的距离\(d=\sqrt{2}\).
\(\therefore l=2 \sqrt{r^{2}-(\sqrt{2})^{2}}=2 \sqrt{2}\).
\(∴r^2=4\).
\(∴\)圆方程为 \((x-2)^2+(y+1)^2=4\).
【典题2】 设\(O\)为原点,直线\(y=kx+2\)与圆 \(x^2+y^2=4\)相交于\(A\),\(B\)两点,当\(△ABO\)面积最大值时,\(k=\)( )
A. \(\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\qquad \qquad\) B.\(±1\) \(\qquad \qquad\) C.\(±\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) D.\(±2\)
解析 直线\(l\)方程\(y=kx+2\),原点\(O\)到\(l\)的距离为 \(d=\dfrac{2}{\sqrt{1+k^{2}}}\),
弦长 \(|A B|=2 \sqrt{4-\dfrac{4}{1+k^{2}}}=\dfrac{4|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}\),
\(△ABO\)面积 \(S=\dfrac{1}{2}|A B||O C|=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{\sqrt{1+k^{2}}} \times \dfrac{4|k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\dfrac{4|k|}{1+k^{2}}\),
由对称性可知,
\(k>0\)时,三角形的面积 \(S=\dfrac{4 k}{1+k^{2}}=\dfrac{4}{\dfrac{1}{k}+k} \leq \dfrac{4}{2 \sqrt{\dfrac{1}{k} \cdot k}}=2\),当且仅当\(k=1\)时取等号.
所以\(k=±1\).
故选:\(B\).
巩固练习
1.圆 \(x^2+y^2-4x+4y+4=0\)截直线\(x-y-5=0\)所得的弦长等于\(\underline{\quad \quad}\).
2.设直线\(l:3x+4y+a=0\)与圆 \(C:(x-2)^2+(y-1)^2=25\)交于\(A\),B,且\(|AB|=6\),则\(a\)的值是\(\underline{\quad \quad}\).
3.直线\(l:x-2y-3=0\)与圆 \(C:(x-2)^2+(y+3)^2=9\)交于\(E\),\(F\)两点,则\(△EOF\)(\(O\)是坐标原点)的面积为\(\underline{\quad \quad}\).
4.平行直线 \(l_{1}: \sqrt{2} x-y-1=0\)和\(l_2: \sqrt{2}x-y+2=0\)与圆 \(E:x^2+y^2-4y=0\)分别相交于\(A\)、\(B\)和\(C\)、\(D\)四点,则四边形\(ABDC\)的对角线\(AD\)的长度为\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(\sqrt{14}\)
解析 \((x-2)^2+(y+2)^2=4\),
圆心到直线的距离为 \(d=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad l=2 \sqrt{4-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{14}\).
故答案为 \(\sqrt{14}\). - 答案 \(a=10\)或\(a=-30\)
解析 \(∵\)圆 \(C:(x-2)^2+(y-1)^2=25\)的圆心为\((2,1)\),半径为\(r=5\),
又直线\(3x+4y+a=0\)被圆 \((x-2)^2+(y-1)^2=25\)所截弦长\(|AB|=6\),
\(∴\)由垂径定理得圆心到直线的距离 \(d=\sqrt{r^{2}-\left(\dfrac{A B}{2}\right)^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\),
\(\therefore \dfrac{|6+4+a|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=4 \text {, }\),解得\(a=10\)或\(a=-30\). - 答案 \(\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}\)
解析 圆 \((x-2)^2+(y+3)^2=9\)的圆心为\((2,-3)\)
\(∴(2,-3)\)到直线\(x-2y-3=0\)的距离 \(d=\dfrac{|2 \times 1-2 \times(-3)-3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\sqrt{5}\)
弦长 \(|E F|=2 \times \sqrt{9-5}=2 \times 2=4\)
原点到直线的距离 \(d=\dfrac{|0 \times 1-2 \times 0-3|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\dfrac{3}{\sqrt{5}}\),
\(∴△EOF\)的面积为 \(S=\dfrac{1}{2} \times 4 \times \dfrac{3}{\sqrt{5}}=\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}\). - 答案 \(2 \sqrt{3}\)
解析 由圆 \(E:x^2+y^2-4y=0\),得 \(x^2+(y-2)^2=4\),
则圆心坐标为\(E(0,2)\),半径\(R=2\).
点\(E\)到直线 \(l_{1}: \sqrt{2} x-y-1=0\)的距离 \(d_{1}=\dfrac{|\sqrt{2} \times 0-2-1|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\),
\(\therefore|A B|=2 \sqrt{4-3}=2\),
直线 \(l_2: \sqrt{2}x-y+2=0\)过圆\(E\)的圆心,则\(|CD|=4\).
两平行直线\(l_1\)和\(l_2\)的距离 \(d=d_{1}=\sqrt{3}\),
\(\therefore|A D|=\sqrt{3^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2 \sqrt{3}\).
分层练习
【A组---基础题】
1.点\(M(x_0,y_0)\)在圆 \(x^2+y^2=R^2\)外,则直线\(x_0 x+y_0 y=R^2\)与圆的位置关系是( )
A.相切 \(\qquad \qquad\) B.相交\(\qquad \qquad\) C.相离 \(\qquad \qquad\) D.不确定
2.已知集合 \(A=\left\{(x, y) \mid y=\sqrt{4-x^{2}}\right\}\),集合\(B=\{(x,y)|y=x+a\}\),并且\(A \cap B \neq \emptyset\),则\(a\)的范围是( )
A. \([-2,2 \sqrt{2}]\) \(\qquad \qquad\) B.\([0,2\sqrt{2}]\) \(\qquad \qquad\) C.\((-2,2\sqrt{2}]\) \(\qquad \qquad\) D.\((0,2\sqrt{2}]\)
3.直线\(l\)经过点\(P(1,0)\),且圆 \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)上到直线\(l\)距离为\(1\)的点恰好有\(3\)个,满足条件的直线\(l\)有( )
A.\(0\)条 \(\qquad \qquad\) B.\(1\)条\(\qquad \qquad\) C.\(2\)条 \(\qquad \qquad\) D.\(3\)条
4.过点\(A(-4,-1)\)作圆 \(C:(x-2)^2+(y-1)^2=4\)的一条切线\(AB\),切点为\(B\),则三角形\(ABC\)的面积为( )
A. \(2 \sqrt{10}\) \(\qquad \qquad\) B.\(6\sqrt{10}\) \(\qquad \qquad\) C.\(12\) \(\qquad \qquad\) D.\(6\)
5.已知直线 \(l: \quad x+\sqrt{3} y-2=0\)与圆心\(C(1,\sqrt{3})\),半径为\(5\)的圆相交于点\(M\),\(N\),若点\(P\)为圆\(C\)上一个动点,则\(△PMN\)的面积的最大值为( )
A.\(3\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) B.\(3\sqrt{6}\) \(\qquad \qquad\) C.\(4\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) D.\(12\sqrt{6}\)
6.已知直线\(l:y=m(x-2)+2\)与圆 \(C:x^2+y^2=9\)交于\(A\)、\(B\)两点,则弦长\(|AB|\)的最小值为( )
A.\(1\) \(\qquad \qquad\) B.\(2\) \(\qquad \qquad\) C.\(2 \sqrt{2}\)\(\qquad \qquad\) D.\(6\)
7.与直线\(y=x+2\)平行且与圆 \((x-2)^2+(y-3)^2=8\)相切的直线的方程是 \(\underline{\quad \quad}\).
8.若直线\(x-y+1=0\)与圆 \((x-a)^2+y^2=2\)有公共 点,则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
9.台风中心从\(A\)地以每小时\(20\)千米的速度向东北方向移动,离台风中心\(30\)千米内的地区为危险区,城市\(B\)在\(A\)的正东\(40\)千米处,\(B\)城市处于危险区内的时间为\(\underline{\quad \quad}\) .
10.已知圆 \(C:(x-1)^2+(y-2)^2=25\),直线\(L:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)\)
(1)证明:无论\(m\)取什么实数,\(L\)与圆恒交于两点;
(2)求直线被圆\(C\)截得的弦长最小时直线\(L\)的斜截式方程.
11.如图,圆\(M\)圆心在\(x\)轴上,与\(x\)轴的一个交点为\(A(-2,0)\),与\(y\)轴的一个交点为 \(B(0,-2 \sqrt{2})\),点\(P\)是\(OA\)的中点.若过\(P\)点的直线\(l\)截圆\(M\)所得的弦长为\(2\sqrt{6}\),求直线\(l\)的方程.
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(∵\)点\(M(x_0,y_0)\)在圆 \(x^2+y^2=R^2\)外, \(∴x_0^2+y_0^2=R^2\),
\(∴\)圆心\((0,0)\)到直线\(x_0 x+y_0 y=R^2\)的距离: \(d=\dfrac{\left|R^{2}\right|}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}<R\),
\(∴\)直线\(x_0 x+y_0 y=R^2\)与圆相交.
故选:\(B\). -
答案 \(A\)
解析 集合\(A\)中\(A\)的函数表示圆心为原点,半径为\(2\)的上半圆,
集合\(B\)中的函数表示斜率为\(1\)的直线系,
当直线与圆相切时,圆心\((0,0)\)到直线\(y=x+a\)的距离 \(d=\dfrac{|a|}{\sqrt{2}}=2\),
即\(a=2\sqrt{2}\)(负值舍去);
当直线过\((2,0)\)时,\(0=2+a\),即\(a=-2\),
则\(A∩B≠∅\),即两函数图象有交点时\(a\)的范围是\([-2,2\sqrt{2}]\).
故选:\(A\).
-
答案 \(C\)
解析 圆 \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)即 \((x-2)^2+(y-1)^2=4\),圆的圆心 (2,1),半径为2,
直线\(l\)经过点\(P(1,0)\),直线的斜率不存在时,直线方程\(x=1\),
圆 \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)上到直线\(l\)距离为\(1\)的点恰好有\(3\)个,
直线的斜率存在时,设直线方程为\(y=k(x-1)\),
圆 \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)上到直线\(l\)距离为\(1\)的点恰好有\(3\)个,
可得 \(\dfrac{|k-1|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2-1\),解得\(k=0\),
直线的斜率不存在时,\(x-1=0\),满足题意,
故选:\(C\). -
答案 \(D\)
解析 根据题意,圆 \(C:(x-2)^2+(y-1)^2=4\),
则\(C\)的坐标为\((2,1)\),其半径\(r=2\),
则 \(|A C|=\sqrt{(-4-2)^{2}+(-1-1)^{2}}=2 \sqrt{10}\),
\(|A B|=\sqrt{|A C|^{2}-r^{2}}=\sqrt{40-4}=6\),
因此 \(S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2}|A B| \cdot|C B|=\dfrac{1}{2} \times 6 \times 2=6\).
故选:\(D\). -
答案 \(D\)
解析 如图,
圆心\(C(1,\sqrt{3} )\)到直线\(l:x+\sqrt{3} y-2=0\)的距离 \(d=\dfrac{|1+3-2|}{\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=1\),
则 \(|M N|=2 \sqrt{5^{2}-1^{2}}=4 \sqrt{6}\),
圆\(C\)上的点\(P\)到\(MN\)的最大值为\(6\),
则\(△PMN\)的面积的最大值为 \(\dfrac{1}{2} \times 4 \sqrt{6} \times 6=12 \sqrt{6}\).
故选:\(D\).
-
答案 \(B\)
解析 直线\(l:y=m(x-2)+2\)过定点\(P(2,2)\),
\(\because|C P|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}<3\),\(∴\)定点\(P\)在圆\(C\)内部,
则当直线\(l\)与\(CP\)垂直时,|AB|最小,此时 \(|A B|=2 \sqrt{r^{2}-|C P|^{2}}=2 \sqrt{9-8}=2\).
故选:\(B\). -
答案 \(x-y-3=0\)或\(x-y+5=0\)
解析 设所求的切线方程为\(y=x+b\),即\(x-y+b=0\).
\(∵\)圆心坐标为\((2,3)\),半径为\(2\sqrt{2}\),
\(\therefore \dfrac{|2-3+b|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \text {, }\),即\(|b-1|=4\),\(b=5\)或\(-3\).
\(∴\)所求的切线方程为\(x-y-3=0\)或\(x-y+5=0\). -
答案 \([-3,1]\)
解析 圆 \((x-a)^2+y^2=2\)的圆心\((a,0)\),半径为 \(\sqrt{2}\),
直线\(x-y+1=0\)与圆 \((x-a)^2+y^2=2\)有公共点,
则 \(\dfrac{|a+1|}{\sqrt{2}} \leq \sqrt{2}\),所以\(|a+1|≤2\),
解得实数\(a\)取值范围是\([-3,1]\).
故答案为:\([-3,1]\). -
答案 \(1\)小时
解析 如图,以\(A\)为坐标原点,建立平面直角坐标系,则\(B(40,0)\),
台风中心移动的轨迹为射线\(y=x(x≥0)\),
而点\(B\)到射线\(y=x\)的距离 \(d=\dfrac{40}{\sqrt{2}}=20 \sqrt{2}<30\),
故 \(l=2 \sqrt{30^{2}-(20 \sqrt{2})^{2}}=20\),
故\(B\)城市处于危险区内的时间为\(1\)小时. -
答案 (1) 略 (2) \(y=2x-5\)
解析 (1)将直线\(l\)方程整理得:\((x+y-4)+m(2x+y-7)=0\),
由 \(\left\{\begin{array}{l} x+y-4=0 \\ 2 x+y-7=0 \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=3 \\ y=1 \end{array}\right.\),
\(∴\)直线l恒过\(A(3,1)\),
\(∵(3-1)^2+(1-2)^2=5<25\),
\(∴\)点\(A\)在圆\(C\)内部,
则直线\(l\)与圆恒有两个交点;
(2)由圆的方程得到圆心\(M(1,2)\),当截得的弦长最小时,直线\(l⊥AM\),
\(\because k_{A M}=-\dfrac{1}{2}\),\(∴\)直线\(l\)斜率为\(2\),
则直线\(l\)的方程为\(y-1=2(x-3)\),即\(y=2x-5\). -
答案 \(y=\sqrt{3} x+\sqrt{3}\)或\(y=-\sqrt{3} x-\sqrt{3}\)
解析 \(∵AC\)为圆\(M\)的直径,\(∴∠ABC=90°\),
\(∵BO⊥AC\),\(∴△AOB∽△BOC\),
\(∴OB^2=OA•OC\),即 \(O C=\dfrac{O B^{2}}{O A}=\dfrac{8}{2}=4\),
\(∴C(4,0)\),半径\(r=3\),
\(∵A(-2,0)\),\(P\)为\(OA\)的中点,
\(∴\)圆心\(M(1,0)\),\(P(-1,0)\),
设直线\(l\)斜率为\(k\),即直线\(l\)解析式为\(y=k(x+1)=kx+k\),
\(∴\)圆心\(M\)到直线\(l\)的距离 \(d=\dfrac{|2 k|}{\sqrt{k^{2}+1}}\),
\(∵\)过\(P\)点的直线\(l\)截圆\(M\)所得的弦长为 \(2\sqrt{6}\),
\(\therefore 2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{6}\),即 \(r^2-d^2=6\),
代入得: \(9-\dfrac{4 k^{2}}{k^{2}+1}=6\),解得: \(k=\pm \sqrt{3}\),
则直线\(l\)方程为\(y=\sqrt{3} x+\sqrt{3}\)或\(y=-\sqrt{3} x-\sqrt{3}\).
【B组---提高题】
1.直线\(y=k(x-2)+4\)与曲线 \(y=\sqrt{4-x^{2}}\)有两个交点,则实数\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\).
2.已知 \(⊙M:x^2+y^2+2x+2y-2=0\),直线\(l:2x+y-2=0\),\(P\)为\(l\)上的动点,过点\(P\)作\(⊙M\)的切线\(PA\),\(PB\),切点为\(A\),\(B\),则四边形\(PAMB\)面积的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
3.已知圆 \(C:x^2+y^2-4x-2y+1=0\)及直线\(l:y=kx-k+2(k∈R)\),设直线\(l\)与圆\(C\)相交所得的最长弦长为\(MN\),最短弦为\(PQ\),则四边形\(PMQN\)的面积为\(\underline{\quad \quad}\).
4.已知直线\(l:y=x\),圆 \(C:x^2+y^2-4x+3=0\),在\(l\)上任意取一点\(A\),向圆\(C\)作切线,切点分别为\(M\),\(N\),则原点\(O\)到直线\(MN\)的距离的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(\left(\dfrac{3}{4}, 1\right]\)
解析 直线\(y=k(x-2)+4\),
当\(x=2\)时,\(y=4\),可得此直线恒过\(A(2,4)\),
曲线 \(y=\sqrt{4-x^{2}}\)为圆心在坐标原点,半径为\(2\)的半圆,
根据题意作出相应的图形,如图所示:
当直线\(y=k(x-2)+4\)与半圆相切(切点在第二象限)时,圆心到直线的距离\(d=r\),
\(\therefore \dfrac{|4-2 k|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2 \text {, }\),即 \(4k^2-16k+16=4+4k^2\),解得: \(k=\dfrac{3}{4}\),
当直线\(y=k(x-2)+4\)过点\(C\)时,
将\(x=-2\),\(y=0\)代入直线方程得:\(-4k+4=0\),解得:\(k=1\),
则直线与曲线有\(2\)个交点时\(k\)的范围为 \(\left(\dfrac{3}{4}, 1\right]\). -
答案 \(2\)
解析 由 \(⊙M:x^2+y^2+2x+2y-2=0\),得 \((x+1)^2+(y+1)^2=4\),
所以圆心\(M(-1,-1)\),半径\(r=2\),
四边形\(PAMB\)面积 \(S=2 S_{\triangle P A M}=2 \times \dfrac{1}{2} \times P A \times A M=2 P A\),
又 \(P A=\sqrt{P M^{2}-A M^{2}}=\sqrt{P M^{2}-4}\),
所以当\(PM\)最短时,四边形\(PAMB\)面积最小,
此时 \(|P M|=\dfrac{|2 \times(-1)+(-1)-2|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}\),
所以 \(S_{\min }=2 \sqrt{(\sqrt{5})^{2}-4}=2\).
-
答案 \(4 \sqrt{2}\)
解析 将圆\(C\)方程整理为 \((x-2)^2+(y-1)^2=4\),得圆心\(C(2,1)\),半径\(r=2\);
将直线\(l\)方程整理为\(y=k(x-1)+2\),得直线\(l\)恒过定点\((1,2)\),且\((1,2)\)在圆\(C\)内;
最长弦\(MN\)为过\((1,2)\)的圆的直径,则\(|MN|=4\);
最短弦\(PQ\)为过\((1,2)\),且与最长弦\(MN\)垂直的弦,
\(\because k_{M N}=\dfrac{2-1}{1-2}=-1\), \(\therefore k_{P Q}=1\),
则直线\(PQ\)方程为\(y-2=x-1\),即\(x-y+1=0\),
\(∴\)圆心\(C\)到直线\(PQ\)的距离为 \(d=\dfrac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\),
\(\therefore|P Q|=2 \sqrt{r^{2}-d^{2}}=2 \sqrt{4-2}=2 \sqrt{2}\),
\(∴\)四边形\(PMQN\)的面积 \(S=\dfrac{1}{2}|M N| \cdot|P Q|=\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{2}=4 \sqrt{2}\). -
答案 \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
解析 由题可得圆\(C\)的圆心坐标为\((2,0)\),半径为\(1\).
\(∵A\)在直线\(l\)上,设\(A(a,a)\),
又\(M\)、\(N\)为过\(A\)点的圆的切线的切点,
故有 \(AM^2=AN^2=AC^2-1\),
\(∴\)以\(A\)为圆心,\(AM\)为半径的圆的方程为 \((x-a)^2+(y-a)^2=(a-2)^2+a^2-1\),
化简得 \(x^2+y^2-2ax-2ay-3+4a=0\),
\(∴MN\)所在直线方程为\((2-a)x-ay+2a-3=0\),
\(∴O\)到\(MN\)的距离 \(d=\dfrac{|2 a-3|}{\sqrt{(2-a)^{2}+a^{2}}}\),
\(\therefore d^{2}=2+\dfrac{1-4 a}{2 a^{2}-4 a+4}\),令\(1-4a=t\),
\(d^{2}=2+\dfrac{8 t}{t^{2}+6 t+25}=2+\dfrac{8}{t+\dfrac{25}{t}+6}\),
由不等式 \(t+\dfrac{25}{t} \geq 2 \sqrt{25}=10\),当且仅当\(t=5\)时取等.
\(\therefore d \leq \dfrac{\sqrt{10}}{2}\).
【C组---拓展题】
1.对圆 \(x^2+y^2=1\)上任意一点\(P(x,y)\),若\(|3x-4y+a|-|3x-4y-9|\)的值都与\(x,y\)无关,则实数\(a\)的取值范围是( )
A.\(a≤-5\) \(\qquad \qquad\) B.\(-5≤a≤5\) \(\qquad \qquad\) C.\(a≤-5\)或\(a≥5\) \(\qquad \qquad\) D.\(a≥5\)
2.已知圆 \(C:x^2+y^2=4\),直线\(l:x-y+6=0\),在直线\(l\)上任取一点\(P\)向圆\(C\)作切线,切点为\(A\),\(B\),连接\(AB\),则直线\(AB\)一定过定点( )
A. \(\left(-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\) \(\qquad \qquad\) B.\((1,2)\) \(\qquad \qquad\) C.\((-2,3)\) \(\qquad \qquad\) D. \(\left(-\dfrac{4}{3}, \dfrac{4}{3}\right)\)
3.已知点\(P\)在直线\(x+y=4\)上,过点\(P\)作圆 \(O:x^2+y^2=4\)的两条切线,切点分别为\(A\),\(B\),则点\(M(3,2)\)到直线\(AB\)距离的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 设直线\(l_1:3x-4y+a=0\),\(l_2:3x-4y-9=0\),
则点\(P\)到直线\(l_1\)的距离 \(d_{1}=\dfrac{|3 x-4 y+a|}{5}\),
点\(P\)到\(l_2\)的距离 \(d_{2}=\dfrac{|3 x-4 y-9|}{5}\),
因为\(|3x-4y+a|-|3x-4y-9|\)的值都与\(x,y\)无关,
所以\(d_1-d_2\)为常数,
所以两条直线在圆的同一侧,且与圆不相交,
因为直线\(l_2\)在圆的下方,所以直线\(l_1\)也在圆的下方,
则有圆心\((0,0)\)到直线\(l_1\)的距离 \(d=\dfrac{|a|}{5} \geq 1\),解得\(a≥5\)或\(a≤-5\),
因为直线\(l_1\)也在圆的下方,所以\(a≤-5\).
故选:\(A\). -
答案 \(A\)
解析 设\(P(x_0,y_0)\),则\(x_0-y_0+6=0\),
以\(CP\)为直径的圆的方程为\(x(x-x_0)+y(y-y_0)=0\),
又圆 \(C:x^2+y^2=4\),作差可得直线\(AB\)的方程为\(xx_0+yy_0=4\),
又\(y_0=x_0+6\),代入可得\((x+y) x_0+6y-4=0\),
满足\(\left\{\begin{array}{l} x+y=0 \\ 6 y-4=0 \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{2}{3} \\ y=\dfrac{2}{3} \end{array}\right.\).
\(∴\)直线\(AB\)一定过定点 \(\left(-\dfrac{2}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\),
故选:\(A\). -
答案 \(\sqrt{5}\)
解析 根据题意,点\(P\)在直线\(x+y=4\)上,设\(P(a,b)\),则\(a+b=4\),
过点\(P\)作圆 \(O:x^2+y^2=4\)的两条切线,切点分别为\(A\),\(B\),
则\(PA⊥OA\),\(PB⊥OB\),
则点\(A\)、\(B\)在以\(OP\)为直径的圆上,
又由\(P(a,b)\),则以\(OP\)为直径的圆的方程是 \(\left(x-\dfrac{a}{2}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}\right)\),
圆\(O\)的方程为 \(O:x^2+y^2=4\),
联立两个圆的方程可得:直线\(AB\)的方程为\(ax+by=4\),即\(ax+by-4=0\),
因为\(a+b=4\),所以\(b=4-a\),代入直线\(AB\)的方程,得\(ax+(4-a)y-4=0\),
即\(a(x-y)+4y-4=0\),
当\(x=y\)且\(4y-4=0\),即\(x=1\),\(y=1\)时该方程恒成立,
所以直线\(AB\)过定点\(N(1,1)\),
点\(M\)到直线\(AB\)距离的最大值即为点\(M,N\)之间的距离, \(|M N|=\sqrt{5}\),
即点\(M(3,2)\)到直线\(AB\)距离的最大值为 \(\sqrt{5}\).