2.4.2 圆的一般方程

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【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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选择性必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

圆的一般方程

$x^2+y^2+D x+E y+F=0 (D^2+E^2-4 F>0)$
解释
(1) 直线方程有一般式方程，圆也有一般方程！它主要是把轨迹转化为关于 $x$,$y$ 的二元方程 $f(x,y)$，统一起来，到下章学的圆锥曲线一样，这也更好了解圆系方程的相关内容；
(2) 圆的标准方程 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 可变形为 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$，
比如 圆 $(x-1)^2+(y-2)^2=1$ 变形为 $x^2+y^2-2x-4y+4=0$；
但形如 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$ 的方程不一定能表示为圆，
比如 $x^2+y^2-2x+2y+3=0$，对其配方得 $(x-1)^2+(y+1)^2=-1$，其中 $r^2=-1<0$.
(3) $D,E,F$ 要满足什么条件方程才能表示圆呢？
证明 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$，
对其左边进行配方得 $\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^{2}=\dfrac{D^{2}+E^{2}-4 F}{4}$，
当 $D^2+E^2-4 F>0$ 时，它可以表示以 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$ 为圆心， $\dfrac{1}{2} \sqrt{D^{2}+E^{2}-4 F}$ 为半径的圆；
当 $D^2+E^2-4 F=0$ 时，方程只有一组实数解 $\left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{D}{2} \\ y=-\dfrac{E}{2} \end{array}\right.$，它表示一个点 $\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$；
当 $D^2+E^2-4 F<0$ 时，方程没有实数解，它不表示任何图形.
 

【例】方程 $x^2+y^2-2x+6y+3=0$ 能表示圆么？若能，说出圆心与半径；若不能请说明理由.
解析 $x^2+y^2-2x+6y+3=0$ 进行配方得 $(x-1)^2+(y+3)^2=13$，其表示以 $(1,-3)$ 为圆心， $\sqrt{13}$ 为半径的圆.
 

求圆方程的方法

1 待定系数法
先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用一般方程，需要求出 $D ,E ,F$.
 

2 直接法
直接把圆心和半径求出。要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.
 

求轨迹方程

1 曲线方程的理解
若动点 $P(x,y)$ 的横坐标 $x$，纵坐标 $y$ 满足方程 $f(x,y)=0$，则在直角坐标系中，动点 $P$ 的轨迹为由方程 $f(x,y)=0$ 确定的曲线.
 
2 求轨迹方程的方法
(1) 代数法，建立动点的横、纵坐标 $x,y$ 的方程；
(2) 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程.
 
3 代数法求轨迹方程的一般步骤
(1) 设动点的坐标 $(x,y)$，
(2) 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于 $x,y$ 的方程；
(3) 化简方程得到动点的轨迹方程．
 

【例】到两个点 $A(-1,2)$，$B(3,-4)$ 的距离相等的点的轨迹方程是 $\underline{\quad \quad}$．
解析 方法 1 代数法
设动点 $P(x,y)$，又因为 $PA=PB$，
由两点距离公式可得 $\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}$，
化简得 $2x-3y-5=0$，即所求轨迹方程为 $2x-3y-5=0$.
方法二 几何法
所求动点的轨迹即线段 $AB$ 的垂直平分线，
而 $k_{A B}=-\dfrac{3}{2}$，$A,B$ 中点为 $(1,-1)$，
则所求轨迹方程为 $y+1=\dfrac{2}{3}(x-1)$，即 $2x-3y-5=0$.
 

基本方法

【题型1】对圆的一般方程的理解

【典题 1】 判断方程 $x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0$ 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
解析 方法一 由方程 $x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0$,
可知 $D=－4m$，$E=2m$，$F=20m－20$，
$∴D^2+E^2-4F=16m^2+4m^2-80m+80=20(m-2)^2$．
因此，当 $m=2$ 时，它表示一个点；
当 $m≠2$ 时，原方程表示圆，
此时，圆的圆心为 $( 2m,-m)$， 半径为 $r=\dfrac{1}{2} \sqrt{D^{2}+E^{2}-4 F}=\sqrt{5}|m-2|$．
方法二 原方程可化为 $(x-2m)^2+(y+m)^2=5(m-2)^2$，
因此，当 $m=2$ 时，它表示一个点；
当 $m≠2$ 时，原方程表示圆，
此时，圆的圆心为 $(2m,-m)$，半径为 $r=\sqrt{5}|m-2|$．
点拨 对于圆的一般方程，一般通过配方法化为标准方程会更好地判断其方程是否是圆，若是也更容易得到其圆心与半径，故提倡用方法 2.
 

【典题 2】(多选) 已知圆 $M$ 的一般方程为 $x^2+y^2-8x+6y=0$，则下列说法正确的是 (　　)
 A．圆 $M$ 的圆心为 $(4,-3)$ $\qquad \qquad$ B．圆 $M$ 被 $x$ 轴截得的弦长为 $8$
 C．圆 $M$ 的半径为 $5$ $\qquad \qquad\qquad$ D．圆 $M$ 被 $y$ 轴截得的弦长为 $6$
解析 圆 $M$ 的一般方程为 $x^2+y^2－8x+6y=0$，即 $(x-4)^2+(y+3)^2=25$，
故该圆的半径为 $5$，圆心为 $(4,－3)$，
令 $x=0$，得 $y^2+6y=0$，解得 $y_1=0$，$y_2=-6$，即圆与 $y$ 轴的交点纵坐标为 $0,-6$，
所以圆 $M$ 被 $y$ 轴截得的弦长为 $0-(-6)=6$，
令 $y=0$，得 $x^2-8x=0$，解得 $x_1=0$，$x_2=8$，即圆与 $x$ 轴的交点纵坐标为 $0,8$,
所以圆 $M$ 被 $x$ 轴截得的弦长为 $8-0=8$，
故选项 $ABCD$ 都正确，
故选：$ABCD$．
 

巩固练习

1. 下列方程能表示圆的是 ( )．
  A．$x^2+y^2+2x+1=0$； $\qquad \qquad$ B．$x^2+y^2+2ay-1=0$；
  C．$x^2+y^2+20x+80=0$；$\qquad \qquad$ D．$x^2+y^2+2ax=0$．
 

2. 已知圆的一般方程为 $x^2+y^2-2x+4y+3=0$，则圆心 $C$ 的坐标与半径分别是 (　　)
 A．$(1,-2),r=2$ $\qquad \qquad$ B． $(1,-2), r=\sqrt{2}$ $\qquad \qquad$ C．$(-1,2),r=2$ $\qquad \qquad$ D．$(-1,2)，r=\sqrt{2}$
 

3. 将圆 $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ 平分的直线是 (　　)
 A．$x+y－1=0$ $\qquad \qquad$ B．$x+y+3=0$ $\qquad \qquad$ C．$x-y+1=0$ $\qquad \qquad$ D．$x－y+3 =0$
 

4. 如果圆的方程为 $x^2+y^2+kx+2y+k^2=0$，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

5. 若圆 $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ 与 $y$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，圆心为 $P$，若 $∠APB=90°$，则 $c$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1. 答案 $D$
2. 答案 $B$
   解析 由 $x^2+y^2-2x+4y+3=0$，配方得 $(x-1)^2+(y+2)^2=2$．
   $∴$ 圆的圆心坐标为 $C(1,-2)$，半径为 $\sqrt{2}$，故选：$B$．
3. 答案 $C$
   解析 $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ 化为标准方程为 $(x-1)^2+(y-2)^2=4$，其圆心为 $(1,2)$，
   依题意可知直线必过圆心，故选 $C$.
4. 答案 $(0,-1)$
   解析 化为标准方程为 $\left(x+\dfrac{k}{2}\right)^{2}+(y+1)^{2}=1-\dfrac{3 k^{2}}{4}$，圆的面积要最大，
   即 $1-\dfrac{3 k^{2}}{4}$ 取到最大值，即 $k=0$ 时取到，则圆心为 $(0,-1)$.
5. 答案 $-3$
   解析 圆 $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ 即 $(x-2)^2+(y-1)^2=5-c$，
   显然它的圆心为 $P(2,1)$，半径为 $\sqrt{5-c}$．
   再根据 $∠APB=90°$，可得圆心到 $y$ 轴的距离为 $2$，正好等于弦长的一半，
   故半径为 $\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}$，
   即 $\sqrt{5-c}=2 \sqrt{2}$，求得 $c=-3$.

【题型2】求圆的方程

【典题 1】 已知 $A(-1 ,0)$，$B(3 ,2)$，$C(0 ,-2)$，则过这三点的圆方程为 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 方法一 待定系数法
设圆的一般方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，
又由圆过 $A(-1 ,0)$，$B(3 ,2)$，$C(0 ,-2)$ 三点，
则有 $\left\{\begin{array}{l} 1-D+F=0 \\ 13+3 D+2 E+F=0 \\ 4-2 E+F=0 \end{array}\right.$，解得 $D=-3$，$E=0$，$F=-4$，
则圆的标准方程为 $x^2+y^2-3x-4=0$，即 $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{4}$.
方法二 几何法
圆心是直线 $AB$、$AC$ 的垂直平分线的交点，(根据外心的定义)
易得直线 $AB$、$AC$ 的垂直平分线分别为 $y=-2x+3$， $y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{4}$，
由 $\left\{\begin{array}{c} y=-2 x+3 \\ y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{4} \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{3}{2} \\ y=0 \end{array}\right.$，即圆心 $O\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$，
半径 $r=O C=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^{2}+(0+2)^{2}}=\dfrac{5}{2}$，(半径为圆心到任一点的距离)
故圆的标准方程为 $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{4}$.
点拨 求三角形外接圆的方程，可用待定系数法，也可以用三边的中垂线求解.
待定系数法的想法简单但计算量较大.
 

巩固练习

1. 已知 $A(1,0)$，$B(-1,2)$，$C(0,-2)$，求过这三点的圆方程.
 
 

参考答案

1. 答案 $x^{2}+y^{2}+\dfrac{7}{3} x+\dfrac{1}{3} y-\dfrac{10}{3}=0$
   解析 设圆的标准方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，
   又由圆过 $A(1,0)$，$B(-1,2)$，$C(0,-2)$ 三点，
   则有 $\left\{\begin{array}{l} 1+D+F=0 \\ 5-D+2 E+F=0 \\ 4-2 E+F=0 \end{array}\right.$，解可得： $D=\dfrac{7}{3}, E=\dfrac{1}{3}, F=-\dfrac{10}{3}$
   则圆的标准方程为： $x^{2}+y^{2}+\dfrac{7}{3} x+\dfrac{1}{3} y-\dfrac{10}{3}=0$.
    

【题型3】求轨迹方程

【典题 1】 已知动点 $M$ 到点 $A(2,0)$ 的距离是它到点 $B(8,0)$ 的距离的一半．
  (1) 求动点 $M$ 的轨迹方程；
  (2) 若 $N$ 为线段 $AM$ 的中点，试求点 $N$ 的轨迹．
解析 (1) 设动点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$，
$∵A(2,0)$，$B(8,0)$， $|M A|=\dfrac{1}{2}|M B|$，
$\therefore(x-2)^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{4}\left[(x-8)^{2}+y^{2}\right]$．化简得 $x^2+y^2=16$，
即动点 $M$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=16$．
(2) 设点 $N$ 的坐标为 $(x,y)$，
$∵A(2,0)$，$N$ 为线段 $AM$ 的中点，
$∴$ 点 $M$ 的坐标为 $(2x－2,2y)$．
又点 M 在圆 $x^2+y^2=16$ 上，
$∴(2x-2)^2+4y^2=16$，即 $(x-1)^2+y^2=4$．
$∴$ 点 $N$ 的轨迹是以 $(1,0)$ 为圆心，$2$ 为半径的圆．
点拨
1 求轨迹方程的方法
① 代数法，建立动点的横、纵坐标 x,y 的方程；
② 几何法，通过题中已知条件确定动点符合的几何图形，再求轨迹方程.
2 代数法求轨迹方程的一般步骤
① 设动点的坐标 $(x,y)$，
② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系，进而得到关于 $x,y$ 的方程；
③ 化简方程得到动点的轨迹方程．
 

巩固练习

1. 若 $A(1,2)$，$B(2,3)$，求线段 $AB$ 的垂直平分线的方程.
 

2. 已知线段 $AB$ 的长为 $4$，且端点 $A$，$B$ 分别在 $x$ 轴与 $y$ 轴上，求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹方程．
 

3. 自 $A(4,0)$ 引圆 $x^2+y^2=4$ 的割线 $ABC$，求弦 $BC$ 中点 $P$ 的轨迹方程．
 

参考答案

1. 答案 $x+y-4=0$
   解析 设 $P(x,y)$ 所求直线上的任意一点，
   则由 $PA=PB$ 得 $\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}$，
   化简得 $x+y-4=0$，即所求直线方程为 $x+y-4=0$.
2. 答案 $x^2+y^2=4$
   解析 由几何知识可知，线段 $AB$ 的中点 $M$ 到原点的距离 $O M=\dfrac{1}{2} A B=2$，
   则点 $M$ 的轨迹是以原点为圆心，半径为 $2$ 的圆，其方程为 $x^2+y^2=4$.
3. 答案 $x^2+y^2-4x=0$ (在已知圆内的部分)
   解析 设 $P(x,y)$，$O$ 为原点，连接 $OP$，
   当 $x≠0$ 时，$OP⊥AP$，即 $k_{O P} \cdot k_{A P}=-1$，
   $\therefore \dfrac{y}{x \cdot \dfrac{y}{x-4}}=-1$，即 $x^2+y^2-4x=0$．①
   当 $x=0$ 时，$P$ 点坐标 $(0,0)$ 是方程①的解，
   $∴BC$ 中点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2-4x=0$ (在已知圆内的部分)．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 若圆 $C：x^2+y^2-2x+4y=0$ 上存在两点 $A$,$B$ 关于直线 $l：y=kx-1$ 对称，则 $k$ 的值为 (　　)
 A．$-1$ $\qquad \qquad$ B． $-\dfrac{3}{2}$ $\qquad \qquad$ C． $-\dfrac{5}{2}$ $\qquad \qquad$ D．$-3$
 

2. 点 $M(0,1)$ 与圆 $x^2+y^2-2x=0$ 上的动点 $P$ 之间的最近距离为 (　　)
 A． $\sqrt{2}$$\qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad$ C．$\sqrt{2}+1$$\qquad \qquad$ D．$\sqrt{2}-1$
 

3. 已知圆 $x^2+y^2+ax+by+1=0$ 关于直线 $x+y=1$ 对称的圆的方程为 $x^2+y^2=1$，则 $a+b＝$(　　)
 A．$-2$ $\qquad \qquad$ B．$±2$$\qquad \qquad$ C．$-4$ $\qquad \qquad$ D．$±4$
 

4. 已知点 $P$ 是直线 $3x+4y+5=0$ 上的动点，点 $Q$ 为圆 $(x-2)^2+(y-2)^2=4$ 上的动点，则 $|PQ|$ 的最小值为 (　　)
 A． $\dfrac{19}{5}$ $\qquad \qquad$ B． $\dfrac{9}{5}$ $\qquad \qquad$ C． $\dfrac{5}{9}$ $\qquad \qquad$ D． $\dfrac{29}{5}$
 

5. 圆 $x^2+y^2-2x+6y+8=0$ 的周长为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

6. 圆 $x^2+y^2-2kx-4=0$ 关于直线 $2x-y+3=0$ 对称，则 $k$ 等于 $\underline{\quad \quad}$ .
 

7. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C：(x-a)^2+(y-a+2)^2=1$，点 $A(0,-3)$，若圆 $C$ 上存在点 $M$，满足 $|AM|=2|MO|$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

8. 到两个点 $A(-1,2)$，$B(3,-4)$ 的距离相等的点的轨迹方程是 $\underline{\quad \quad}$．
 

9. 若方程 $x^2+y^2+2mx-2y+m^2+5m=0$ 表示圆，求实数 $m$ 的取值范围及圆心坐标和半径．
 

10.$△ABC$ 的三个顶点分别为 $A(-1,5)$，$B(-2,-2)$，$C(5,5)$，求其外接圆的方程．
 
 

11. 如图，已知圆 $O：x^2+y^2=16$，$A$,$B$ 是圆 $O$ 上两个动点，点 $P(2,0)$，求矩形 $PACB$ 的顶点 $C$ 的轨迹方程．

 
 

参考答案

1. 答案
   解析 圆 $C：x^2+y^2-2x+4y=0$ 的圆心 $(1,-2)$，
   若圆 $C：x^2+y^2-2x+4y=0$ 上存在两点 $A$,$B$ 关于直线 $l：y=kx-1$ 对称，
   可知直线经过圆的圆心，可得 $-2=k-1$，解得 $k=-1$．
   故选：$A$．

2. 答案 $D$
   解析 圆 $x^2+y^2-2x=0$ 可化为 $（x-1）^2+y^2=1$，
   圆心为 $C(1,0)$，半径为 $r=1$；
   所以 $|M C|=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}$，
   所以点 $M$ 与圆上的动点 $P$ 之间的最近距离为 $|MC|-r=\sqrt{2}-1$．
   故选：$D$．

3. 答案 $C$
   解析 圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心是原点 $(0,0)$，半径为 $1$，
   设 $(0,0)$ 关于直线 $x+y=1$ 的对称点为 $(m,n)$，
   则 $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{2}=1 \\ \dfrac{m}{n}=1 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} m=1 \\ n=1 \end{array}\right.$，
   则点 $(0,0)$ 关于直线 $x+y=1$ 对称的点的坐标为 $(1,1)$，
   所以圆 $x^2+y^2=1$ 关于直线 $x+y=1$ 对称的圆的方程为 $(x-1)^2+(y-1)^2=1$，
   化为一般式为 $x^2+y^2－2x－2y+1=0$，
   所以 $a=b=-2$，即 $a+b=-4$．
   故选：$C$．

4. 答案 $B$
   解析 由圆的标准方程 $(x-2)^2+(y-2)^2=4$ 得圆心坐标为 $C(2,2)$，半径 $R=2$，
   圆心到直线的距离 $d=\dfrac{|2 \times 3+4 \times 2+5|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\dfrac{19}{5}$，
   在 $|PQ|$ 的最小值为 $d-R=\dfrac{19}{5}-2=\dfrac{9}{5}$，
   故选：$B$．

5. 答案 $2 \sqrt{2} \pi$
   解析 方程化为标准方程为 $(x-1)^2+(y+3)^2=2$，则半径为 $\sqrt{2}$，所以周长为 $2 \sqrt{2} \pi$.

6. 答案 $-\dfrac{3}{2}$
   解析 依题意得圆心 $(k,0)$ 在直线 $2x-y+3=0$ 上，则 $2k+3=0$，解得 $k=-\dfrac{3}{2}$.

7. 答案 $[0,3]$
   解析 设点 $M(x,y)$，由 $|AM|=2|MO|$，得 $\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}$，
   即 $x^2+y^2－2y－3=0$，
   $∴$ 点 $M$ 在圆心为 $D(0,1)$，半径为 $2$ 的圆上．
   又点 $M$ 在圆 $C$ 上，$∴$ 圆 $C$ 与圆 $D$ 有公共点，
   $∴1≤|CD|≤3$，
   $\therefore 1 \leq \sqrt{(a-0)^{2}+(a-3)^{2}} \leq 3$，解得 $0≤a≤3$．
   即实数 $a$ 的取值范围是 $[0,3]$．
   故答案为：$[0,3]$．

8. 答案 $2x－3y－5=0$
   解析 设动点 $P(x,y)$，依题意得 $\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}$ ，
   化简得 $2x－3y－5=0$.

9. 答案 实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty, \dfrac{1}{5}\right)$，圆心坐标为 $(-m,1)$，半径 $r=\sqrt{1-5 m}$．
   解析 将方程 $x^2+y^2+2mx-2y+m^2+5m=0$ 写成标准方程为
   $(x+m)^2+(y-1)^2=1-5m$，
   由 $1－5m>0$ 得 $m<\dfrac{1}{5}$．
   所以实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty, \dfrac{1}{5}\right)$，圆心坐标为 $(-m,1)$，半径 $r=\sqrt{1-5 m}$．

10. 答案 $x^2+y^2-4x-2y-20=0$
    解析 方法一：设所求的圆的方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$．
    则由题意 $\left\{\begin{array}{l} -D+5 E+F+26=0 \\ -2 D-2 E+F+8=0 \\ 5 D+5 E+F+50=0 \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} D=-4 \\ E=-2 \\ F=-20 \end{array}\right.$
    故所求的圆的方程为 $x^2+y^2-4x-2y-20=0$．
    方法二：由题意可求得 $AC$ 的中垂线方程为 $x=2$，$BC$ 的中垂线方程为 $x+y-3=0$．
    $∴$ 圆心 $P$ 是两条中垂线的交点 $(2,1)$．
    $∴$ 半径 $r=|A P|=\sqrt{(2+1)^{2}+(1-5)^{2}}=5$．
    $∴$ 所求的圆的方程为 $(x-2)^2+(y-1)^2=25$，
    即 $x^2+y^2-4x-2y-20=0$．

11. 答案 $28$
    解析 设点 $C( x,y)$，点 $P(2,0)$，
    则 $AB$ 和 $CP$ 的交点为 $M\left(\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{y}{2}\right)$ 为矩形 $PACB$ 的中心，
    且 $OM⊥AB$， $\therefore O B^{2}=O M^{2}+M B^{2}=O M^{2}+M P^{2}$，
    即 $16=\left[\left(\dfrac{2+x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}\right]+\left[\left(\dfrac{2+x}{2}-2\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}\right]$，
    即 $64=\left[x^{2}+4 x+4+y^{2}\right]+\left[x^{2}-4 x+4+y^{2}\right]$，即 $x^2+y^2=28$，
    故答案为： $x^2+y^2=28$．
    
     

【B组---提高题】

1. 若 $x$、$y$ 满足 $x^2+y^2－2x+4y－20=0$, 则 $x^2+y^2$ 的最小值是 (　　)
 A． $\sqrt{5}-5$ $\qquad \qquad$ B．$5-\sqrt{5}$ $\qquad \qquad$ C．$30-10\sqrt{5}$ $\qquad \qquad$ D．无法确定
 

2. 过点 $P(0,3)$ 作直线 $l：(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0$ 的垂线，垂足为点 $Q$，则点 $Q$ 到直线 $x-2y-8=0$ 的距离的最小值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 把圆的方程化为标准方程得： $(x-1)^2+(y+2)^2=25$，
   则圆心 $A$ 坐标为 $(1,－2)$，圆的半径 $r=5$，
   设圆上一点的坐标为 $(x,y)$，原点 $O$ 坐标为 $(0,0)$，
   则 $|AO|=\sqrt{5}$，$|AB|=r=5$，所以 $|BO|=|AB|－|OA|=5-\sqrt{5}$．
   则 $x^2+y^2$ 的最小值为 $(5-\sqrt{5})^2=30-10\sqrt{5}$．
   故选 $C$．
   

2. 答案 $\sqrt{5}$
   解析 直线 $l：(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0$，
   化为 $m(x-4y)+n(x+2y-6)=0$，
   联立 $\left\{\begin{array}{l} x-4 y=0 \\ x+2 y-6=0 \end{array}\right.$，解得 $x=4$，$y=1$．
   $∴$ 直线 $l$ 经过定点 $M(4,1)$．线段 $PM$ 的中点 $G(2,2)$．
   $∵PQ⊥l$．
   $∴$ 点 $Q$ 在以点 $G$ 为圆心，以 $|PG|=\sqrt{5}$ 为半径的圆上．
   其圆的标准方程为 $(x-2)^2+(y-2)^2=5$．
   圆心 $G$ 到直线 $x-2y-8=0$ 点距离 $d=\dfrac{|2-2 \times 2-8|}{\sqrt{5}}=2 \sqrt{5}$．
   $∴$ 点 $Q$ 到直线 $x-2y-8=0$ 的距离的最小值为 $\sqrt{5}$．
   故答案为： $\sqrt{5}$．
   
    

【C组---拓展题】

1. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P(0,1)$ 在圆 $C：x^2+y^2+2mx－2y+m^2－4m+1=0$ 内，若存在过点 $P$ 的直线交圆 $C$ 于 $A$、$B$ 两点，且 $△PBC$ 的面积是 $△PAC$ 的面积的 2 倍，则实数 $m$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$．
 

2. 直线 $l：x-2y+2=0$，动直线 $l_1：ax-y=0$，动直线 $l_2：x+ay+2a-4=0$．设直线 $l$ 与两坐标轴分别交于 $A$,$B$ 两点，动直线 $l_1$ 与 $l_2$ 交于点 $P$，则 $△PAB$ 的面积最大值 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1. 答案 $\left(\dfrac{4}{9}, 4\right)$
   解析 点 $P(0,1)$ 在圆 $x^2+y^2+2mx－2y+m^2－4m+1=0$ 内，
   $∴1－2+m^2－4m+1<0$，
   解得 $0<m<4$；
   又圆 $C$ 化为标准方程是 $(x+m)^2+(y-1)^2=4m$，圆心 $C(－m,1)$；
   $∵△PBC$ 的面积是 $△PAC$ 的面积的 $2$ 倍，
   $∴PB=2PA$，
   设直线 $l$ 的方程为：$y=kx+1$．
   圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离 $d=\dfrac{|-k m-1+1|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\dfrac{|k m|}{\sqrt{1+k^{2}}}$．
   $\therefore \sqrt{4 m-d^{2}}=3 \sqrt{m^{2}-d^{2}}$，可得： $9 m^{2}-4 m=8 d^{2}=8 \times \dfrac{k^{2} m^{2}}{1+k^{2}}$，
   $\therefore 9-\dfrac{4}{m}=\dfrac{8 k^{2}}{1+k^{2}} \in(0,8)$，解得： $\dfrac{4}{9} \leq m<4$．
   当 $m=\dfrac{4}{9}$ 时，四点共线没有三角形，
   $∴$ 实数 $m$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{4}{9}, 4\right)$．
   

2. 答案 $\dfrac{11}{2}$
   解析 由 $x-2y+2=0$，
   取 $y=0$，得 $x=-2$，则 $A(-2,0)$，取 $x=0$，得 $y=1$，则 $B(0,1)$，
   直线 $l_1：ax-y=0$ 过原点 $O(0,0)$，直线 $l_2：x+ay+2a-4=0$ 过 $M(4,-2)$，
   $∵a×1+(-1)×a=0$，
   $∴$ 直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 垂直，
   $∴$ 动直线 $l_1$ 与 $l_2$ 交于点 $P$ 在以 $OM$ 为直径的圆上，
   $∵OM$ 的中点坐标为 $(2,－1)$， $|O M|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=2 \sqrt{5}$，
   $∴$ 动点 $P$ 的轨迹方程为 $(x-2)^2+(y+1)^2=5$，
   $∵(2,-1)$ 到直线 $x－2y+2=0$ 的距离为 $d=\dfrac{|2+2+2|}{\sqrt{5}}=\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}>\sqrt{5}$，
   $∴P$ 到直线 $x-2y+2=0$ 的距离的最大值为 $\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}$，
   而 $|AB|= \sqrt{5}$，
   $∴△PAB$ 的面积最大值为 $\dfrac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}=\dfrac{11}{2}$.