2.4.2 圆的一般方程
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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基础知识
圆的一般方程
\(x^2+y^2+D x+E y+F=0 (D^2+E^2-4 F>0)\)
解释
(1) 直线方程有一般式方程,圆也有一般方程!它主要是把轨迹转化为关于\(x\),\(y\)的二元方程\(f(x,y)\),统一起来,到下章学的圆锥曲线一样,这也更好了解圆系方程的相关内容;
(2) 圆的标准方程 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)可变形为 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\),
比如 圆 \((x-1)^2+(y-2)^2=1\)变形为 \(x^2+y^2-2x-4y+4=0\);
但形如 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\)的方程不一定能表示为圆,
比如 \(x^2+y^2-2x+2y+3=0\),对其配方得 \((x-1)^2+(y+1)^2=-1\),其中\(r^2=-1<0\).
(3) \(D,E,F\)要满足什么条件方程才能表示圆呢?
证明 \(x^2+y^2+D x+E y+F=0\),
对其左边进行配方得 \(\left(x+\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(y+\dfrac{E}{2}\right)^{2}=\dfrac{D^{2}+E^{2}-4 F}{4}\),
当 \(D^2+E^2-4 F>0\)时,它可以表示以 \(\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)\)为圆心, \(\dfrac{1}{2} \sqrt{D^{2}+E^{2}-4 F}\)为半径的圆;
当 \(D^2+E^2-4 F=0\)时,方程只有一组实数解 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-\dfrac{D}{2} \\
y=-\dfrac{E}{2}
\end{array}\right.\),它表示一个点 \(\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)\);
当 \(D^2+E^2-4 F<0\)时,方程没有实数解,它不表示任何图形.
【例】方程 \(x^2+y^2-2x+6y+3=0\)能表示圆么?若能,说出圆心与半径;若不能请说明理由.
解析 \(x^2+y^2-2x+6y+3=0\)进行配方得 \((x-1)^2+(y+3)^2=13\),其表示以\((1,-3)\)为圆心, \(\sqrt{13}\)为半径的圆.
求圆方程的方法
1 待定系数法
先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用一般方程,需要求出\(D ,E ,F\).
2 直接法
直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质,如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
求轨迹方程
1 曲线方程的理解
若动点\(P(x,y)\)的横坐标\(x\),纵坐标\(y\)满足方程\(f(x,y)=0\),则在直角坐标系中,动点\(P\)的轨迹为由方程\(f(x,y)=0\)确定的曲线.
2 求轨迹方程的方法
(1) 代数法,建立动点的横、纵坐标\(x,y\)的方程;
(2) 几何法,通过题中已知条件确定动点符合的几何图形,再求轨迹方程.
3 代数法求轨迹方程的一般步骤
(1) 设动点的坐标\((x,y)\),
(2) 根据已知条件得到与动点相关的等量关系,进而得到关于\(x,y\)的方程;
(3) 化简方程得到动点的轨迹方程.
【例】到两个点\(A(-1,2)\),\(B(3,-4)\)的距离相等的点的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\).
解析 方法1 代数法
设动点\(P(x,y)\),又因为\(PA=PB\),
由两点距离公式可得 \(\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}\),
化简得\(2x-3y-5=0\),即所求轨迹方程为\(2x-3y-5=0\).
方法二 几何法
所求动点的轨迹即线段\(AB\)的垂直平分线,
而 \(k_{A B}=-\dfrac{3}{2}\),\(A,B\)中点为\((1,-1)\),
则所求轨迹方程为\(y+1=\dfrac{2}{3}(x-1)\),即\(2x-3y-5=0\).
基本方法
【题型1】对圆的一般方程的理解
【典题1】 判断方程 \(x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0\)能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径.
解析 方法一 由方程 \(x^2+y^2-4mx+2my+20m-20=0\),
可知\(D=-4m\),\(E=2m\),\(F=20m-20\),
\(∴D^2+E^2-4F=16m^2+4m^2-80m+80=20(m-2)^2\).
因此,当\(m=2\)时,它表示一个点;
当\(m≠2\)时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为\(( 2m,-m)\), 半径为 \(r=\dfrac{1}{2} \sqrt{D^{2}+E^{2}-4 F}=\sqrt{5}|m-2|\).
方法二 原方程可化为 \((x-2m)^2+(y+m)^2=5(m-2)^2\),
因此,当\(m=2\)时,它表示一个点;
当\(m≠2\)时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为\((2m,-m)\),半径为\(r=\sqrt{5}|m-2|\).
点拨 对于圆的一般方程,一般通过配方法化为标准方程会更好地判断其方程是否是圆,若是也更容易得到其圆心与半径,故提倡用方法2.
【典题2】(多选)已知圆\(M\)的一般方程为 \(x^2+y^2-8x+6y=0\),则下列说法正确的是( )
A.圆\(M\)的圆心为\((4,-3)\) \(\qquad \qquad\) B.圆\(M\)被\(x\)轴截得的弦长为\(8\)
C.圆\(M\)的半径为\(5\) \(\qquad \qquad\qquad\) D.圆\(M\)被\(y\)轴截得的弦长为\(6\)
解析 圆\(M\)的一般方程为 \(x^2+y^2-8x+6y=0\),即 \((x-4)^2+(y+3)^2=25\),
故该圆的半径为\(5\),圆心为\((4,-3)\),
令\(x=0\),得\(y^2+6y=0\),解得\(y_1=0\),\(y_2=-6\),即圆与\(y\)轴的交点纵坐标为\(0,-6\),
所以圆\(M\)被\(y\)轴截得的弦长为\(0-(-6)=6\),
令\(y=0\),得\(x^2-8x=0\),解得\(x_1=0\),\(x_2=8\),即圆与\(x\)轴的交点纵坐标为\(0,8\),
所以圆\(M\)被\(x\)轴截得的弦长为\(8-0=8\),
故选项\(ABCD\)都正确,
故选:\(ABCD\).
巩固练习
1.下列方程能表示圆的是( ).
A.\(x^2+y^2+2x+1=0\); \(\qquad \qquad\) B.\(x^2+y^2+2ay-1=0\);
C.\(x^2+y^2+20x+80=0\);\(\qquad \qquad\) D.\(x^2+y^2+2ax=0\).
2.已知圆的一般方程为 \(x^2+y^2-2x+4y+3=0\),则圆心\(C\)的坐标与半径分别是( )
A.\((1,-2),r=2\) \(\qquad \qquad\) B. \((1,-2), r=\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) C.\((-1,2),r=2\) \(\qquad \qquad\) D.\((-1,2),r=\sqrt{2}\)
3.将圆 \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)平分的直线是( )
A.\(x+y-1=0\) \(\qquad \qquad\) B.\(x+y+3=0\) \(\qquad \qquad\) C.\(x-y+1=0\) \(\qquad \qquad\) D.\(x-y+3 =0\)
4.如果圆的方程为 \(x^2+y^2+kx+2y+k^2=0\),那么当圆的面积最大时,圆心坐标为\(\underline{\quad \quad}\) .
5.若圆 \(x^2+y^2-4x-2y+c=0\)与\(y\)轴相交于\(A\)、\(B\)两点,圆心为\(P\),若\(∠APB=90°\),则\(c\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(D\)
- 答案 \(B\)
解析 由 \(x^2+y^2-2x+4y+3=0\),配方得\((x-1)^2+(y+2)^2=2\).
\(∴\)圆的圆心坐标为\(C(1,-2)\),半径为\(\sqrt{2}\),故选:\(B\). - 答案 \(C\)
解析 \(x^2+y^2-2x-4y+1=0\)化为标准方程为 \((x-1)^2+(y-2)^2=4\),其圆心为\((1,2)\),
依题意可知直线必过圆心,故选\(C\). - 答案 \((0,-1)\)
解析 化为标准方程为 \(\left(x+\dfrac{k}{2}\right)^{2}+(y+1)^{2}=1-\dfrac{3 k^{2}}{4}\),圆的面积要最大,
即 \(1-\dfrac{3 k^{2}}{4}\)取到最大值,即\(k=0\)时取到,则圆心为\((0,-1)\). - 答案 \(-3\)
解析 圆 \(x^2+y^2-4x-2y+c=0\) 即 \((x-2)^2+(y-1)^2=5-c\),
显然它的圆心为\(P(2,1)\),半径为 \(\sqrt{5-c}\).
再根据\(∠APB=90°\),可得圆心到\(y\)轴的距离为\(2\),正好等于弦长的一半,
故半径为 \(\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}\),
即 \(\sqrt{5-c}=2 \sqrt{2}\),求得\(c=-3\).
【题型2】求圆的方程
【典题1】 已知\(A(-1 ,0)\),\(B(3 ,2)\),\(C(0 ,-2)\),则过这三点的圆方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 方法一 待定系数法
设圆的一般方程为 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\),
又由圆过\(A(-1 ,0)\),\(B(3 ,2)\),\(C(0 ,-2)\)三点,
则有 \(\left\{\begin{array}{l}
1-D+F=0 \\
13+3 D+2 E+F=0 \\
4-2 E+F=0
\end{array}\right.\),解得\(D=-3\),\(E=0\),\(F=-4\),
则圆的标准方程为 \(x^2+y^2-3x-4=0\),即 \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{4}\).
方法二 几何法
圆心是直线\(AB\)、\(AC\)的垂直平分线的交点,(根据外心的定义)
易得直线\(AB\)、\(AC\)的垂直平分线分别为\(y=-2x+3\), \(y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{4}\),
由 \(\left\{\begin{array}{c}
y=-2 x+3 \\
y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{4}
\end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{3}{2} \\
y=0
\end{array}\right.\),即圆心 \(O\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)\),
半径 \(r=O C=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}-0\right)^{2}+(0+2)^{2}}=\dfrac{5}{2}\),(半径为圆心到任一点的距离)
故圆的标准方程为 \(\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{25}{4}\).
点拨 求三角形外接圆的方程,可用待定系数法,也可以用三边的中垂线求解.
待定系数法的想法简单但计算量较大.
巩固练习
1.已知\(A(1,0)\),\(B(-1,2)\),\(C(0,-2)\),求过这三点的圆方程.
参考答案
- 答案 \(x^{2}+y^{2}+\dfrac{7}{3} x+\dfrac{1}{3} y-\dfrac{10}{3}=0\)
解析 设圆的标准方程为\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\),
又由圆过\(A(1,0)\),\(B(-1,2)\),\(C(0,-2)\)三点,
则有\(\left\{\begin{array}{l} 1+D+F=0 \\ 5-D+2 E+F=0 \\ 4-2 E+F=0 \end{array}\right.\),解可得: \(D=\dfrac{7}{3}, E=\dfrac{1}{3}, F=-\dfrac{10}{3}\)
则圆的标准方程为: \(x^{2}+y^{2}+\dfrac{7}{3} x+\dfrac{1}{3} y-\dfrac{10}{3}=0\).
【题型3】求轨迹方程
【典题1】 已知动点\(M\)到点\(A(2,0)\)的距离是它到点\(B(8,0)\)的距离的一半.
(1)求动点\(M\)的轨迹方程;
(2)若\(N\)为线段\(AM\)的中点,试求点\(N\)的轨迹.
解析 (1)设动点\(M\)的坐标为\((x,y)\),
\(∵A(2,0)\),\(B(8,0)\), \(|M A|=\dfrac{1}{2}|M B|\),
\(\therefore(x-2)^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{4}\left[(x-8)^{2}+y^{2}\right]\).化简得 \(x^2+y^2=16\),
即动点\(M\)的轨迹方程为 \(x^2+y^2=16\).
(2)设点\(N\)的坐标为\((x,y)\),
\(∵A(2,0)\),\(N\)为线段\(AM\)的中点,
\(∴\)点\(M\)的坐标为\((2x-2,2y)\).
又点M在圆 \(x^2+y^2=16\)上,
\(∴(2x-2)^2+4y^2=16\),即 \((x-1)^2+y^2=4\).
\(∴\)点\(N\)的轨迹是以\((1,0)\)为圆心,\(2\)为半径的圆.
点拨
1 求轨迹方程的方法
① 代数法,建立动点的横、纵坐标x,y的方程;
② 几何法,通过题中已知条件确定动点符合的几何图形,再求轨迹方程.
2 代数法求轨迹方程的一般步骤
① 设动点的坐标\((x,y)\),
② 根据已知条件得到与动点相关的等量关系,进而得到关于\(x,y\)的方程;
③ 化简方程得到动点的轨迹方程.
巩固练习
1.若\(A(1,2)\),\(B(2,3)\),求线段\(AB\)的垂直平分线的方程.
2.已知线段\(AB\)的长为\(4\),且端点\(A\),\(B\)分别在\(x\)轴与\(y\)轴上,求线段\(AB\)的中点\(M\)的轨迹方程.
3.自\(A(4,0)\)引圆 \(x^2+y^2=4\)的割线\(ABC\),求弦\(BC\)中点\(P\)的轨迹方程.
参考答案
- 答案 \(x+y-4=0\)
解析 设\(P(x,y)\)所求直线上的任意一点,
则由\(PA=PB\)得 \(\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}\),
化简得\(x+y-4=0\),即所求直线方程为\(x+y-4=0\). - 答案 \(x^2+y^2=4\)
解析 由几何知识可知,线段\(AB\)的中点\(M\)到原点的距离 \(O M=\dfrac{1}{2} A B=2\),
则点\(M\)的轨迹是以原点为圆心,半径为\(2\)的圆,其方程为 \(x^2+y^2=4\). - 答案 \(x^2+y^2-4x=0\) (在已知圆内的部分)
解析 设\(P(x,y)\),\(O\)为原点,连接\(OP\),
当\(x≠0\)时,\(OP⊥AP\),即 \(k_{O P} \cdot k_{A P}=-1\),
\(\therefore \dfrac{y}{x \cdot \dfrac{y}{x-4}}=-1\),即 \(x^2+y^2-4x=0\).①
当\(x=0\)时,\(P\)点坐标\((0,0)\)是方程①的解,
\(∴BC\)中点\(P\)的轨迹方程为 \(x^2+y^2-4x=0\) (在已知圆内的部分).
分层练习
【A组---基础题】
1.若圆 \(C:x^2+y^2-2x+4y=0\)上存在两点\(A\),\(B\)关于直线\(l:y=kx-1\)对称,则\(k\)的值为( )
A.\(-1\) \(\qquad \qquad\) B. \(-\dfrac{3}{2}\) \(\qquad \qquad\) C. \(-\dfrac{5}{2}\) \(\qquad \qquad\) D.\(-3\)
2.点\(M(0,1)\)与圆 \(x^2+y^2-2x=0\)上的动点\(P\)之间的最近距离为( )
A. \(\sqrt{2}\)\(\qquad \qquad\) B.\(2\) \(\qquad \qquad\) C.\(\sqrt{2}+1\)\(\qquad \qquad\) D.\(\sqrt{2}-1\)
3.已知圆 \(x^2+y^2+ax+by+1=0\)关于直线\(x+y=1\)对称的圆的方程为 \(x^2+y^2=1\),则\(a+b=\)( )
A.\(-2\) \(\qquad \qquad\) B.\(±2\)\(\qquad \qquad\) C.\(-4\) \(\qquad \qquad\) D.\(±4\)
4.已知点\(P\)是直线\(3x+4y+5=0\)上的动点,点\(Q\)为圆 \((x-2)^2+(y-2)^2=4\)上的动点,则\(|PQ|\)的最小值为( )
A. \(\dfrac{19}{5}\) \(\qquad \qquad\) B. \(\dfrac{9}{5}\) \(\qquad \qquad\) C. \(\dfrac{5}{9}\) \(\qquad \qquad\) D. \(\dfrac{29}{5}\)
5.圆 \(x^2+y^2-2x+6y+8=0\)的周长为\(\underline{\quad \quad}\) .
6.圆 \(x^2+y^2-2kx-4=0\)关于直线\(2x-y+3=0\)对称,则\(k\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
7.在平面直角坐标系\(xOy\)中,已知圆 \(C:(x-a)^2+(y-a+2)^2=1\),点\(A(0,-3)\),若圆\(C\)上存在点\(M\),满足\(|AM|=2|MO|\),则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
8.到两个点\(A(-1,2)\),\(B(3,-4)\)的距离相等的点的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\).
9.若方程 \(x^2+y^2+2mx-2y+m^2+5m=0\)表示圆,求实数\(m\)的取值范围及圆心坐标和半径.
10.\(△ABC\)的三个顶点分别为\(A(-1,5)\),\(B(-2,-2)\),\(C(5,5)\),求其外接圆的方程.
11.如图,已知圆 \(O:x^2+y^2=16\),\(A\),\(B\)是圆\(O\)上两个动点,点\(P(2,0)\),求矩形\(PACB\)的顶点\(C\)的轨迹方程.
参考答案
-
答案
解析 圆 \(C:x^2+y^2-2x+4y=0\)的圆心\((1,-2)\),
若圆 \(C:x^2+y^2-2x+4y=0\)上存在两点\(A\),\(B\)关于直线\(l:y=kx-1\)对称,
可知直线经过圆的圆心,可得\(-2=k-1\),解得\(k=-1\).
故选:\(A\). -
答案 \(D\)
解析 圆 \(x^2+y^2-2x=0\)可化为 \((x-1)^2+y^2=1\),
圆心为\(C(1,0)\),半径为\(r=1\);
所以 \(|M C|=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}\),
所以点\(M\)与圆上的动点\(P\)之间的最近距离为\(|MC|-r=\sqrt{2}-1\).
故选:\(D\). -
答案 \(C\)
解析 圆 \(x^2+y^2=1\)的圆心是原点\((0,0)\),半径为\(1\),
设\((0,0)\)关于直线\(x+y=1\)的对称点为\((m,n)\),
则 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{m}{2}+\dfrac{n}{2}=1 \\ \dfrac{m}{n}=1 \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} m=1 \\ n=1 \end{array}\right.\),
则点\((0,0)\)关于直线\(x+y=1\)对称的点的坐标为\((1,1)\),
所以圆 \(x^2+y^2=1\)关于直线\(x+y=1\)对称的圆的方程为 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\),
化为一般式为 \(x^2+y^2-2x-2y+1=0\),
所以\(a=b=-2\),即\(a+b=-4\).
故选:\(C\). -
答案 \(B\)
解析 由圆的标准方程 \((x-2)^2+(y-2)^2=4\)得圆心坐标为\(C(2,2)\),半径\(R=2\),
圆心到直线的距离 \(d=\dfrac{|2 \times 3+4 \times 2+5|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\dfrac{19}{5}\),
在\(|PQ|\)的最小值为 \(d-R=\dfrac{19}{5}-2=\dfrac{9}{5}\),
故选:\(B\). -
答案 \(2 \sqrt{2} \pi\)
解析 方程化为标准方程为 \((x-1)^2+(y+3)^2=2\),则半径为\(\sqrt{2}\),所以周长为 \(2 \sqrt{2} \pi\). -
答案 \(-\dfrac{3}{2}\)
解析 依题意得圆心\((k,0)\)在直线\(2x-y+3=0\)上,则\(2k+3=0\),解得\(k=-\dfrac{3}{2}\). -
答案 \([0,3]\)
解析 设点\(M(x,y)\),由\(|AM|=2|MO|\),得 \(\sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}\),
即 \(x^2+y^2-2y-3=0\),
\(∴\)点\(M\)在圆心为\(D(0,1)\),半径为\(2\)的圆上.
又点\(M\)在圆\(C\)上,\(∴\)圆\(C\)与圆\(D\)有公共点,
\(∴1≤|CD|≤3\),
\(\therefore 1 \leq \sqrt{(a-0)^{2}+(a-3)^{2}} \leq 3\),解得\(0≤a≤3\).
即实数\(a\)的取值范围是\([0,3]\).
故答案为:\([0,3]\). -
答案 \(2x-3y-5=0\)
解析 设动点\(P(x,y)\),依题意得 \(\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}\) ,
化简得\(2x-3y-5=0\). -
答案 实数\(m\)的取值范围是 \(\left(-\infty, \dfrac{1}{5}\right)\),圆心坐标为\((-m,1)\),半径 \(r=\sqrt{1-5 m}\).
解析 将方程 \(x^2+y^2+2mx-2y+m^2+5m=0\)写成标准方程为
\((x+m)^2+(y-1)^2=1-5m\),
由\(1-5m>0\)得 \(m<\dfrac{1}{5}\).
所以实数\(m\)的取值范围是 \(\left(-\infty, \dfrac{1}{5}\right)\),圆心坐标为\((-m,1)\),半径 \(r=\sqrt{1-5 m}\). -
答案 \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\)
解析 方法一:设所求的圆的方程为 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\).
则由题意 \(\left\{\begin{array}{l} -D+5 E+F+26=0 \\ -2 D-2 E+F+8=0 \\ 5 D+5 E+F+50=0 \end{array}\right.\)解得 \(\left\{\begin{array}{l} D=-4 \\ E=-2 \\ F=-20 \end{array}\right.\)
故所求的圆的方程为 \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\).
方法二:由题意可求得\(AC\)的中垂线方程为\(x=2\),\(BC\)的中垂线方程为\(x+y-3=0\).
\(∴\)圆心\(P\)是两条中垂线的交点\((2,1)\).
\(∴\)半径 \(r=|A P|=\sqrt{(2+1)^{2}+(1-5)^{2}}=5\).
\(∴\)所求的圆的方程为 \((x-2)^2+(y-1)^2=25\),
即 \(x^2+y^2-4x-2y-20=0\). -
答案 \(28\)
解析 设点\(C( x,y)\),点\(P(2,0)\),
则\(AB\)和\(CP\)的交点为 \(M\left(\dfrac{2+x}{2}, \dfrac{y}{2}\right)\)为矩形\(PACB\)的中心,
且\(OM⊥AB\), \(\therefore O B^{2}=O M^{2}+M B^{2}=O M^{2}+M P^{2}\),
即 \(16=\left[\left(\dfrac{2+x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}\right]+\left[\left(\dfrac{2+x}{2}-2\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}\right]\),
即 \(64=\left[x^{2}+4 x+4+y^{2}\right]+\left[x^{2}-4 x+4+y^{2}\right]\),即 \(x^2+y^2=28\),
故答案为: \(x^2+y^2=28\).
【B组---提高题】
1.若\(x\)、\(y\)满足 \(x^2+y^2-2x+4y-20=0\),则 \(x^2+y^2\)的最小值是( )
A. \(\sqrt{5}-5\) \(\qquad \qquad\) B.\(5-\sqrt{5}\) \(\qquad \qquad\) C.\(30-10\sqrt{5}\) \(\qquad \qquad\) D.无法确定
2.过点\(P(0,3)\)作直线\(l:(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0\)的垂线,垂足为点\(Q\),则点\(Q\)到直线\(x-2y-8=0\)的距离的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 把圆的方程化为标准方程得: \((x-1)^2+(y+2)^2=25\),
则圆心\(A\)坐标为\((1,-2)\),圆的半径\(r=5\),
设圆上一点的坐标为\((x,y)\),原点\(O\)坐标为\((0,0)\),
则\(|AO|=\sqrt{5}\),\(|AB|=r=5\),所以\(|BO|=|AB|-|OA|=5-\sqrt{5}\).
则 \(x^2+y^2\)的最小值为\((5-\sqrt{5})^2=30-10\sqrt{5}\).
故选\(C\).
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答案 \(\sqrt{5}\)
解析 直线\(l:(m+n)x+(2n-4m)y-6n=0\),
化为\(m(x-4y)+n(x+2y-6)=0\),
联立 \(\left\{\begin{array}{l} x-4 y=0 \\ x+2 y-6=0 \end{array}\right.\),解得\(x=4\),\(y=1\).
\(∴\)直线\(l\)经过定点\(M(4,1)\).线段\(PM\)的中点\(G(2,2)\).
\(∵PQ⊥l\).
\(∴\)点\(Q\)在以点\(G\)为圆心,以\(|PG|=\sqrt{5}\)为半径的圆上.
其圆的标准方程为 \((x-2)^2+(y-2)^2=5\).
圆心\(G\)到直线\(x-2y-8=0\)点距离 \(d=\dfrac{|2-2 \times 2-8|}{\sqrt{5}}=2 \sqrt{5}\).
\(∴\)点\(Q\)到直线\(x-2y-8=0\)的距离的最小值为 \(\sqrt{5}\).
故答案为: \(\sqrt{5}\).
【C组---拓展题】
1.在平面直角坐标系\(xOy\)中,已知点\(P(0,1)\)在圆 \(C:x^2+y^2+2mx-2y+m^2-4m+1=0\)内,若存在过点\(P\)的直线交圆\(C\)于\(A\)、\(B\)两点,且\(△PBC\)的面积是\(△PAC\)的面积的2倍,则实数\(m\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\).
2.直线\(l:x-2y+2=0\),动直线\(l_1:ax-y=0\),动直线\(l_2:x+ay+2a-4=0\).设直线\(l\)与两坐标轴分别交于\(A\),\(B\)两点,动直线\(l_1\)与\(l_2\)交于点\(P\),则\(△PAB\)的面积最大值\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
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答案 \(\left(\dfrac{4}{9}, 4\right)\)
解析 点\(P(0,1)\)在圆 \(x^2+y^2+2mx-2y+m^2-4m+1=0\)内,
\(∴1-2+m^2-4m+1<0\),
解得\(0<m<4\);
又圆\(C\)化为标准方程是 \((x+m)^2+(y-1)^2=4m\),圆心\(C(-m,1)\);
\(∵△PBC\)的面积是\(△PAC\)的面积的\(2\)倍,
\(∴PB=2PA\),
设直线\(l\)的方程为:\(y=kx+1\).
圆心\(C\)到直线\(l\)的距离 \(d=\dfrac{|-k m-1+1|}{\sqrt{1+k^{2}}}=\dfrac{|k m|}{\sqrt{1+k^{2}}}\).
\(\therefore \sqrt{4 m-d^{2}}=3 \sqrt{m^{2}-d^{2}}\),可得: \(9 m^{2}-4 m=8 d^{2}=8 \times \dfrac{k^{2} m^{2}}{1+k^{2}}\),
\(\therefore 9-\dfrac{4}{m}=\dfrac{8 k^{2}}{1+k^{2}} \in(0,8)\),解得: \(\dfrac{4}{9} \leq m<4\).
当\(m=\dfrac{4}{9}\)时,四点共线没有三角形,
\(∴\)实数\(m\)的取值范围为 \(\left(\dfrac{4}{9}, 4\right)\).
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答案 \(\dfrac{11}{2}\)
解析 由\(x-2y+2=0\),
取\(y=0\),得\(x=-2\),则\(A(-2,0)\),取\(x=0\),得\(y=1\),则\(B(0,1)\),
直线\(l_1:ax-y=0\)过原点\(O(0,0)\),直线\(l_2:x+ay+2a-4=0\)过\(M(4,-2)\),
\(∵a×1+(-1)×a=0\),
\(∴\)直线\(l_1\)与直线\(l_2\)垂直,
\(∴\)动直线\(l_1\)与\(l_2\)交于点\(P\)在以\(OM\)为直径的圆上,
\(∵OM\)的中点坐标为\((2,-1)\), \(|O M|=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}=2 \sqrt{5}\),
\(∴\)动点\(P\)的轨迹方程为 \((x-2)^2+(y+1)^2=5\),
\(∵(2,-1)\)到直线\(x-2y+2=0\)的距离为 \(d=\dfrac{|2+2+2|}{\sqrt{5}}=\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}>\sqrt{5}\),
\(∴P\)到直线\(x-2y+2=0\)的距离的最大值为 \(\dfrac{11 \sqrt{5}}{5}\),
而\(|AB|= \sqrt{5}\),
\(∴△PAB\)的面积最大值为 \(\dfrac{1}{2} \times \sqrt{5} \times \dfrac{11 \sqrt{5}}{5}=\dfrac{11}{2}\).