2.4.1 圆的标准方程

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【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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基础知识

圆的定义

平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.

圆的标准方程

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$，称之为圆心为 $A(a ,b)$，半径为 $r$ 的圆的标准方程.
解释
1 曲线方程的理解
若动点 $P(x,y)$ 满足方程 $f(x,y)=0$，则在直角坐标系中，动点 $P$ 的轨迹为由方程 $f(x,y)=0$ 确定的曲线.
 
【例】 到两个点 $A(-1,2)$，$B(3,-4)$ 的距离相等的点的轨迹方程是 $\underline{\quad \quad}$．
解析 设动点 $P(x,y)$，依题意得 $\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}$，
化简得 $2x-3y-5=0$.
 

2 证明
在直角坐标系中，设圆上任意一点 $M(x,y)$，由圆的定义可得 $MA=r$，
由两点距离公式可得 $\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r$，
两边平方得 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \quad (*)$，
若点 $M(x,y)$ 在 $⊙A$ 上，点 $M$ 的坐标满足方程 $(*)$；
反过来，若点 $M$ 的坐标 $(x,y)$ 满足方程 $(*)$，就说明点 $M(x,y)$ 在 $⊙A$ 上.
 

【例 1】 求圆心为 $(-1,2)$，半径为 $3$ 的方程.
解析 所求圆的标准方程为 $(x+1)^2+(y-2)^2=9$.
 

【例 2】根据给出的方程，说出下面圆的圆心与半径，
  (1) $(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4$ $\qquad \qquad$ (2) $x^2+(y+2)^2=5$
解析 (1) 圆心为 $(2 ,-3)$，半径为 $2$； (2) 圆心为 $(0 ,-2)$，半径为 $\sqrt{5}$.
 

求圆的方程的方法

1 待定系数法
先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，利用圆的标准方程，需求出 $a ,b ,r$；
 
2 直接法
直接把圆心和半径求出。要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置.
 

基本方法

【题型1】对圆标准方程的理解

【典题 1】点 $A (－2 ,3)$ 与圆 $(x+3)^2+(y-1)^2=9$ 的位置关系是 (　　)
 A．在圆外 $\qquad \qquad$ B．在圆内 $\qquad \qquad$ C．在圆上 $\qquad \qquad$ D．不确定
解析 圆 $(x+3)^2+(y-1)^2=9$ 的圆心为 $(-3,1)$，半径为 $3$，
而 $A (－2 ,3)$ 到圆心为 $(-3,1)$ 的距离为 $\sqrt{(-3+2)^{2}+(1-3)^{2}}=\sqrt{5}<3$，
故选 $B$.
点拨 判断点与圆的位置关系的方法
方法 1 设点到圆心的距离为 $d$，圆半径为 $r$，
$a.$ 点在圆内 $⇔ d<r$； $b.$ 点在圆上 $⇔ d=r$； $c.$ 点在圆外 $⇔ d>r$ .
方法 2 给定点 $M(x_0 ,y_0)$ 及圆 $C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.
$a.$$M$ 在圆 $C$ 内 $⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2$；
$b.$$M$ 在圆 $C$ 上 $⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2$ ；
$c.$$M$ 在圆 $C$ 外 $⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2>r^2$ .
 

【典题 2】曲线 $y=-\sqrt{4-x^{2}}(x \leq 0)$ 的长度为 $\underline{\quad \quad}$.
解析 $\because y=-\sqrt{4-x^{2}}(x \leq 0)$， $\therefore y^{2}=4-x^{2}(x \leq 0, y \leq 0)$，
$\therefore x^{2}+y^{2}=4 . \quad(x \leq 0, y \leq 0)$,
$∴$ 该曲线是以原点为圆心，$2$ 为半径的圆在第三象限的弧长．
$∴$ 弧长 $l=\dfrac{1}{4} \times 2 \pi \times 2=\pi$．
点拨 注意方程的形式，从而判断对应的曲线类型，同时要注意变量 $x$，$y$ 的取值范围.
 

巩固练习

1. 圆心为 $(-2,-1)$，半径为 $4$ 的圆的标准方程是 (　　)
  A． $(x-2)^2+(y-1)^2=4$ $\qquad \qquad$ B． $(x+2)^2+(y-1)^2=16$
  C． $(x-2)^2+(y+1)^2=4$ $\qquad \qquad$ D． $(x+2)^2+(y+1)^2=16$
 

2. 已知点 $A(1,0)$，$B(0,1)$，圆 $C：x^2+(y+1)^2=3$，则 (　　)
 A．$A,B$ 都在 $C$ 内 $\qquad \qquad$ B．$A$ 在 $C$ 外，$B$ 在 $C$ 内 $\qquad \qquad$
 C．$A,B$ 都在 $C$ 外 $\qquad \qquad$ D．$A$ 在 $C$ 内，$B$ 在 $C$ 外
 

3. 若圆 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5$ 关于直线 $y=kx+2$ 对称，则 $k=$(　　)
 A．$2$ $\qquad \qquad$ B．$-2$ $\qquad \qquad$ C．$-1$ $\qquad \qquad$ D．$1$
 

4. 圆 $(x+2)^2+(y-9)^2=4$ 的圆心到直线 $3x+4y－15=0$ 的距离是 (　　)
 A．$1$ $\qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad$ D．$5$
 

5. 已知 $O$ 为坐标原点，$P$ 为圆 $C:(x-1)^{2}+(y-b)^{2}=1$(常数 $b>0$) 上的动点，若 $|OP|$ 最大值为 $3$，则 $b$ 的值为 (　　)
 A．$1$ $\qquad \qquad$ B． $\sqrt{2}$ $\qquad \qquad$ C． $\sqrt{3}$ $\qquad \qquad$ D．$2$
 

参考答案

1. 答案 $D$
2. 答案 $D$
   解析 圆 $C：x^2+（y+1）^2=3$ 的圆心 $C(0,－1)$，半径为 $\sqrt{3}$，点 $A(1,0)$,$B(0,1)$，
   $\therefore A C=\sqrt{2}<\sqrt{3}$， $B C=2>\sqrt{3}$，故 $A$ 在 $C$ 内，$B$ 在 $C$ 外，
   故选：$D$．
3. 答案 $C$
   解析 因为圆 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5$ 关于直线 $y=kx+2$ 对称，
   所以圆心 $(1,1)$ 在直线 $y=kx+2$ 上，
   所以 $1=k+2$，得 $k=1-2=-1$．
   故选：$C$．
4. 答案 $C$
   解析 圆心为 $(-2,9)$，到直线 $3x+4y－15=0$ 的距离 $d=\dfrac{|-6+36-15|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=3$，故选 $C$.
5. 答案 $C$
   解析 圆 $C:(x-1)^{2}+(y-b)^{2}=1$ 的圆心为 $C(1,b)$，半径为 $1$，
   所以圆 $C$ 上的点 $P$ 到原点的最大距离为 $|OP|=|OC|+1=3$，
   即 $\sqrt{1^{2}+b^{2}}+1=3$，解得 $b=\pm \sqrt{3}$，
   又 $b>0$，所以 $b$ 的值为 $\sqrt{3}$．
   故选：$C$．
    

【题型2】求圆的方程

【典题 1】 已知一个圆经过两个点 $A(2,-3)$ 和 $B(-2,-5)$，且圆心在直线 $l：x-2y-3=0$ 上，求此圆的方程．
解析 方法一 待定系数法
设所求圆的方程为 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$．
由已知条件得 $\left\{\begin{array}{l} (2-a)^{2}+(-3-b)^{2}=r^{2} \\ (-2-a)^{2}+(-5-b)^{2}=r^{2} \\ a-2 b-3=0 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} a=-1 \\ b=-2 \\ r^{2}=10 \end{array}\right.$，
$∴$ 所求圆的方程为 $(x+1)^2+(y+2)^2=10$．
方法二 直接法
由 $A(2,-3)$，$B(-2,-5)$ 得，$AB$ 的中点为 $(0,-4)$， $k_{A B}=\dfrac{1}{2}$，
$∴AB$ 的垂直平分线的方程为 $y+4=-2x$，即 $2x+y+4=0$，
解方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2 x+y+4=0 \\ x-2 y-3=0 \end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.$，
$∴$ 圆心为 $(－1,－2)$，半径 $r=\sqrt{(2+1)^{2}+(-3+2)^{2}}=\sqrt{10}$．
故所求圆的方程为 $(x+1)^2+(y+2)^2=10$．
方法三 设点 $C$ 是圆心，
$∵$ 点 $C$ 在直线 $l$ 上，$∴$ 设点 $C(2b+3,b)$．
又 $∵|CA|=|CB|$，
$\therefore \sqrt{(2 b+3-2)^{2}+(b+3)^{2}}=\sqrt{(2 b+3+2)^{2}+(b+5)^{2}}$，解得 $b=-2$，
$∴$ 圆心为 $C(-1,-2)$，半径 $r=\sqrt{10}$，
故所求圆的方程为 $(x+1)^2+(y+2)^2=10$．
点拨 求圆的方程的方法常有待定系数法与直接法.
 

【典题 2】有一种大型商品，$A$，$B$ 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费 $A$ 地是 $B$ 地的两倍，若 $A$，$B$ 两地相距 $10$ 千米，顾客选择 $A$ 地或 $B$ 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？
解析 以直线 $AB$ 为 $x$ 轴，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立直角坐标系，如图所示．
设 $A(-5,0)$，则 $B(5,0)$．

在坐标平面内任取一点 $P(x,y)$，
设从 $A$ 地运货到 $P$ 地的运费为 $2a$ 元 / 千米，则从 $B$ 地运货到 $P$ 地的运费为 $a$ 元 / 千米．
若 $P$ 地居民选择在 $A$ 地或 $B$ 地购买此商品均一样，
则 $2 a \sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}=a \sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}$，整理得 $\left(x+\dfrac{25}{3}\right)^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{20}{3}\right)^{2}$．
即圆 $C$ 上的 居民可随意选择 $A，B$ 两地之一购物，
圆 $C$ 内的居民应在 $A$ 地购物．
同理可推得圆 $C$ 外的居民应在 B 地购物．
点拨 建系处理几何问题或实际问题，即坐标法，其解决套路如下：
① 建立恰当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素 (如点、直线、圆等)，用代数语言 “翻译” 几何要素的位置关系 (如相交、平行、垂直)，把平面几何问题转化为代数问题；
② 通过代数运算，解决代数问题；
③ 把代数运算的结果 “翻译” 成几何结论.
 

巩固练习

1. 圆心在 $x$ 轴上，半径长为 $\sqrt{2}$，且过点 $(-2,1)$ 的圆的方程为 (　　)
 A． $(x+1)^2+y^2=2$ 或 $(x+3)^2+y^2=2$ $\qquad \qquad$ B． $x^2+(y+2)^2=2$ $\qquad \qquad$
 C． $(x+3)^2+y^2=2$ $\qquad \qquad \qquad$ D． $(x+1)^2+y^2=2$
 

2. 已知点 $A(-2,1)$,$B(0,-3)$，则以线段 $AB$ 为直径的圆的方程为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

3. 若圆 $C$ 过点 $(0 ,-1)$,$(0 ,5)$，且圆心到直线 $x-y-2=0$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$，求圆 $C$ 的标准方程.
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 设圆心坐标为 $(a,0)$，
   则由题意知 $\sqrt{(a+2)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}$，解得 $a=-1$ 或 $a=－3$，
   故圆的方程为 $(x+1)^2+y^2=2$ 或 $(x+3)^2+y^2=2$．
   故选：$A$．
2. 答案 $(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=5$
   解析 因为点 $A(-2,1)$,$B(0,-3)$，
   故 $AB$ 的中点即为圆心，则圆心坐标为 $(-1,-1)$，
   $AB$ 为圆的直径，根据两点间距离公式 $A B=\sqrt{(-2-0)^{2}+(1+3)^{2}}=\sqrt{4+16}=2 \sqrt{5}$，
   故圆的半径为 $\dfrac{2 \sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$，
   所以以线段 $AB$ 为直径的圆的方程为 $(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=5$．
3. 答案 $x^2+(y-2)^2=9$ 或 $(x-8)^2+(y-2)^2=73$.
   解析 方法一 几何法
   $∵$ 圆 $C$ 过点 $(0 ,-1)$ ,$(0 ,5)$，$∴$ 圆心的纵坐标为 $2$，
   则设圆心为 $(a ,2)$，
   则 $\dfrac{|a-4|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$，$∴a=0$ 或 $8$，
   $∴$ 当 $a=0$ 时，$r=3$；当 $a=8$ 时， $r=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}$；
   $∴$ 圆 $C$ 的标准方程为 $x^2+(y-2)^2=9$ 或 $(x-8)^2+(y-2)^2=73$.
   方法二 待定系数法
   设圆的方程为 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，
   则 $\left\{\begin{array}{c} a^{2}+(-1-b)^{2}=r^{2} \\ a^{2}+(5-b)^{2}=r^{2} \\ \dfrac{|a-b-2|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} a=0 \\ b=2 \\ r=3 \end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c} a=8 \\ b=2 \\ r=\sqrt{73} \end{array}\right.$
   $∴$ 圆 $C$ 的标准方程为 $x^2+(y-2)^2=9$ 或 $(x-8)^2+(y-2)^2=73$.
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 若圆的标准方程为 $(x-1)^2+(y+5)^2=3$，则此圆的圆心和半径分别为 (　　)
 A． $(-1,5), \sqrt{3}$ $\qquad \qquad$ B．$(1,-5),\sqrt{3}$ $\qquad \qquad$ C．$(－1,5),3$ $\qquad \qquad$ D．$(1,－5),3$
 

2. 若点 $A(a+1,3)$ 在圆 $C:(x-a)^{2}+(y-1)^{2}=m$ 内部，则实数 $m$ 的取值范围是 (　　)
  A．$(5,+∞)$ $\qquad \qquad$ B．$[5,+∞)$ $\qquad \qquad$ C．$(0,5)$ $\qquad \qquad$ D．$[0,5]$
 

3. 圆心为 $(-3,-2)$，且过点 $(1,1)$ 的圆的标准方程为 (　　)
 A． $(x-3)^2+(y-2)^2=5$ $\qquad \qquad$ B． $(x-3)^2+(y-2)^2=25$
 C． $(x+3)^2+(y+2)^2=5$ $\qquad \qquad$ D． $(x+3)^2+(y+2)^2=25$
 

4. 圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于 $T(1,0)$，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A$、$B$，且 $|AB|=2$，则圆 $C$ 的标准方程为 (　　)
 A． $(x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2$ $\qquad \qquad$ B． $(x-1)^{2}+(y+\sqrt{2})^{2}=2$
 C． $(x-1)^2+(y-2)^2=2$ $\qquad \qquad$ D． $(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=\sqrt{2}$
 

5. 圆心在直线 $y=x$ 上，经过原点，且在 $x$ 轴上截得弦长为 $2$ 的圆的方程为 (　　)
 A． $(x-1)^2+(y-1)^2=2$
 B． $(x-1)^2+(y+1)^2=2$
 C． $(x-1)^2+(y-1)^2=2$ 或 $(x+1)^2+(y+1)^2=2$
 D． $(x-1)^2+(y+1)^2=2$ 或 $(x+1)^2+(y-1)^2=2$
 

6. 如果圆 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=1(a>0)$ 上所有点到原点 $O$ 的距离都不小于 $3$，则实数 $a$ 的取值范围为 (　　)
  A．$[\sqrt{2},2]$ $\qquad \qquad$ B．$[2\sqrt{2},+∞)$ $\qquad \qquad$C．$[\sqrt{2},2\sqrt{2}]$ $\qquad \qquad$ D．$[1,2\sqrt{2}]$
 

7. 过 $A(2,-3)$，$B(-2,-5)$ 两点且面积最小的圆的标准方程为 $\underline{\quad \quad}$．
 

8. 点 $M(0,1)$ 与圆 $x^2+y^2-2x=0$ 上的动点 $P$ 之间的最近距离为 $\underline{\quad \quad}$．
 

9. 如果圆 $(x-a)^2+(y-a)^2=8$ 上总存在到原点的距离为 $\sqrt{2}$ 的点，则实数 $a$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

10. 已知 $△ABC$ 三个顶点的坐标为 $A(1,3)$、$B(-1,-1)$、$C(－3,5)$，求这个三角形外接圆的方程．
 

11.$AB$ 为圆的定直径，$CD$ 为直径，过点 $D$ 作 $AB$ 的垂线 $DE$，延长 $ED$ 到 $P$，使 $|PD|=|AB|$，求证：直线 $CP$ 必过一定点．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$

2. 答案 $A$
   解析 $∵(a+1,3)$ 在圆 $(x-a)^{2}+(y-1)^{2}=m$ 的内部，
   $∴(1+a-a)^2+(3-1)^2<m$，解得 $m>5$．
   故选：$A$．

3. 答案 $D$
   解析 根据题意，设所求圆的方程为 $(x+3)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}$．
   $∵$ 点 $P(1,1)$ 在圆上， $∴r^2=(1+3)^2+(1+2)^2=25$
   即得所求的圆的标准方程是： $(x+3)^2+(y+2)^2=25$
   故选：$D$

4. 答案 $A$
   解析 由题意，圆的半径为 $\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$，圆心坐标为 $(1，\sqrt{2})$，
   $∴$ 圆 $C$ 的标准方程为 $(x-1)^2+(y-\sqrt{2} )^2=2$，故选：$A$．

5. 答案 $C$
   解析 画出圆 $A$ 满足题中的条件，有两个位置，
   当圆心 $A$ 在第一象限时，过 $A$ 作 $AC⊥x$ 轴，又 $|OB|=2$，
   根据垂径定理得到点 $C$ 为弦 $OB$ 的中点，则 $|OC|=1$，由点 $A$ 在直线 $y=x$ 上，
   得到圆心 $A$ 的坐标为 $(1,1)$，且半径 $|OA|=\sqrt{2}$，
   则圆 $A$ 的标准方程为： $(x-1)^2+(y-1)^2=2$；
   当圆心 $A'$ 在第三象限时，过 $A'$ 作 $A'C'⊥x$ 轴，又 $|OB'|=2$，
   根据垂径定理得到点 $C'$ 为弦 $OB'$ 的中点，则 $|OC'|=1$，由点 $A'$ 在直线 $y=x$ 上，
   得到圆心 $A'$ 的坐标为 $(-1,-1)$，且半径 $|OA'|=\sqrt{2}$，
   则圆 $A'$ 的标准方程为： $(x+1)^2+(y+1)^2=2$，
   综上，满足题意的圆的方程为：$(x-1)^2+(y-1)^2=2$ 或 $(x+1)^2+(y+1)^2=2$．
   故选 $C$.

   

6. 答案 $B$
   解析 圆 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=1(a>0)$ 上的圆心为 $(a,a)$，半径 $r=1$．
   设圆心到原点的距离为 $d$，则 $d=\sqrt{(a-0)^{2}+(a-0)^{2}}=\sqrt{2} a$．
   设圆上任一点为 $P$，可知，由题意可知 $|\sqrt{2} a-1|≥3$，
   解得 $a≥2\sqrt{2}$ 或 $a≤-\sqrt{2}$(舍去)，
   故实数 $a$ 的取值范围是 $[2\sqrt{2},+∞)$．
   故选：$B$．

7. 答案 $x^2+(y+4)^2=5$
   解析 依题意得 $AB$ 是圆的直径，则圆心为 $AB$ 的中点 $(0,-4)$，
   因为 $AB=2\sqrt{5}$，所以圆的半径为 $\sqrt{5}$，
   所以圆的方程为 $x^2+(y+4)^2=5$.

8. 答案 $\sqrt{2}-1$
   解析 圆 $x^2+y^2-2x=0$ 可化为 $(x-1)^2+y^2=1$，
   圆心为 $C(1,0)$，半径为 $r=1$；
   所以 $|M C|=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}$，
   所以点 $M$ 与圆上的动点 $P$ 之间的最近距离为 $|MC|-r=\sqrt{2}-1$．

9. 答案 $[-3,-1]∪[1,3]$
   解析 圆 $(x-a)^2+(y-a)^2=8$ 半径 $r=2 \sqrt{2}$，
   圆心 $A(a,a)$ 到原点 $O$ 的距离 $OA=|\sqrt{2}a|$，
   若由圆 $(x-a)^2+(y-a)^2=8$ 上总存在点到原点的距离为 $\sqrt{2}$，
   $∴ 2 \sqrt{2}-\sqrt{2}≤|\sqrt{2} a|≤ 2 \sqrt{2}+\sqrt{2}$，
   $∴1≤|a|≤3$，解得 $1≤a≤3$ 或 $-3≤a≤-1$．
   $∴$ 实数 $a$ 的取值范围是 $[-3,-1]∪[1,3]$．
   

10. 答案 $(x+2)^2+(y-2)^2=10$
    解析 设圆的方程为 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，
    则 $\left\{\begin{array}{l} (1-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2} \\ (-1-a)^{2}+(-1-b)^{2}=r^{2} \\ (-3-a)^{2}+(5-b)^{2}=r^{2} \end{array}\right.$，整理得 $\left\{\begin{array}{l} a+2 b-2=0 \\ 2 a-b+6=0 \end{array}\right.$，
    解之得 $a=－2$,$b=2$，可得 $r^2=10$，
    因此，这个三角形外接圆的方程为 $(x+2)^2+(y-2)^2=10$．

11. 证明 以线段 $AB$ 所在的直线为 $x$ 轴， 以 $AB$ 的中点为原点，建立直角坐标系，
    如图，设圆的方程为 $x^2+y^2=r^2$，直径 $AB$ 位于 $x$ 轴上，动直径为 $CD$．
    
    令 $C(x_0,y_0 )$，则 $D(-x_0,-y_0 )$，
    $∴P(-x_0,-y_0-2r)$．
    $∴$ 直线 $CP$ 的方程为 $y-y_{0}=\dfrac{-y_{0}-2 r-y_{0}}{-x_{0}-x_{0}}\left(x-x_{0}\right)$，
    即 $(y_0+r)x－(y+r) x_0=0$．
    $∴$ 直线 $CP$ 过直线 $x=0$ 与直线 $y+r=0$ 的交点 $(0,－r)$，
    即直线 $CP$ 过定点 $(0,－r)$．
     

【B组---提高题】

1. 已知圆 $x^2+y^2=4$， $A(\sqrt{3}, 0)$，动点 $M$ 在圆上运动，$O$ 为坐标原点，则 $∠OMA$ 的最大值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

2. 点 $P$ 为曲线 $(x-1)^2+(y-2)^2=9(y≥2)$ 上任意一点，则 $x+\sqrt{3} y$ 的最小值为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

3. 已知圆 $x^2+(y-2)^2=1$ 上一动点 $A$，定点 $B(6,1)$；$x$ 轴上一点 $W$，则 $|AW|+|BW|$ 的最小值等于 $\underline{\quad \quad}$．
 

4. 设点 $M(x_0,1)$, 若圆 $O:x^2+y^2=1$ 上存在点 $N$，使得 $∠OMN=30^∘$，求 $x_0$ 的取值范围.
 

参考答案

1. 答案 $\dfrac{\pi}{3}$
   解析 设 $|MA|=a$，则 $|OM|=2$， $|O A|=\sqrt{3}$，
   由余弦定理知：
   $\cos \angle O M A=\dfrac{O M^{2}+M A^{2}-O A^{2}}{2 \times O M \times M A}=\dfrac{2^{2}+a^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{2 \times 2 \times a}=\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{4 a}$$\geq 2 \sqrt{\dfrac{a}{4} \times \dfrac{1}{4 a}}=\dfrac{1}{2}$，
   当且仅当 $a=1$ 时等号成立；
   $\therefore \angle O M A \leq \dfrac{\pi}{3}$．
   $∴∠OMA$ 的最大值为 $\dfrac{\pi}{3}$．
   故 答案为： $\dfrac{\pi}{3}$．
   

2. 答案 $2\sqrt{3} -2$
   解析 曲线 $(x-1)^2+(y-2)^2=9(y≥2)$ 表示以 $(1,2)$ 为圆心，$3$ 为半径的上半圆，
   在点 $(-2,2)$ 处，$x+\sqrt{3} y$ 的最小值为 $2\sqrt{3} -2$.

3. 答案 $3\sqrt{5}-1$
   解析 根据题意画出圆 $x^2+(y-2)^2=1$，以及点 $B(6,1)$ 的图象如图，
   
   作 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'$，连接圆心与 $B'$，
   则与圆的交点 $A$，$|AB|$ 即为 $|AW|+|BW|$ 的最小值，
   $|AB|$ 为点 $(0,2)$ 到点 $B'(6,－1)$ 的距离减圆的半径，
   即 $|A B|=\sqrt{(6-0)^{2}+(-1-2)^{2}}-1=3 \sqrt{5}-1$，
   故答案为： $3 \sqrt{5}-1$．

4. 答案 $-\sqrt{3} \leq x_{0} \leq \sqrt{3}$
   解析 过 $M$ 作 $⊙O$ 切线交 $⊙O$ 于 $R$，根据圆的切线性质，有 $∠OMR≥∠OMN$．
   $∴$ 若圆 $O$ 上存在点 $N$，使 $∠OMN=30°$，则 $∠OMR≥30°$．
   $∵|OR|=1$,$∴|OM|＞2$ 时不成立，$∴|OM|≤2$，
   即 $|OM|^2=x_0^2+1≤ 4$，解得 $-\sqrt{3} \leq x_{0} \leq \sqrt{3}$.
    

【C组---拓展题】

1.(多选) 已知圆 $O：x^2+y^2=4$，$A(1,0)$,$C(4,0)$，点 $P$ 在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是 (　　)
 A．$PC=2PA$ $\qquad \qquad$ B． $\angle P C A \leq \dfrac{\pi}{6}$ $\qquad \qquad$ C．$∠PAC>2∠PCA$ $\qquad \qquad$ D．$∠PAC<2∠PCA$
 

2. 若点 $P$ 在圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 上运动，$Q(m,-m-1)$，则 $PQ$ 的最小值为 $\underline{\quad \quad}$.
 

参考答案

1. 答案 $ABC$
   解析 如图，
   
   设 $P(x,y)$，则 $x^2+y^2=4$，
   对于选项 $A$， $\dfrac{P C}{P A}=\dfrac{\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}=\dfrac{\sqrt{4(5-2 x)}}{\sqrt{5-2 x}}=2$，故 $A$ 正确；
   对于选项 $B$，当 $PC$ 与圆相切时，$∠PCA$ 达到最大值为 $\dfrac{\pi}{6}$，
   $∴∠PCA≤ \dfrac{\pi}{6}$，故 $B$ 正确；
   对于选项 $C$， $\because \dfrac{P C}{\sin \angle P A C}=\dfrac{P A}{\sin \angle P C A}$， $\therefore 2 \sin \angle P C A=\sin \angle P A C$，
   $\because 2 \angle P C A \leq \dfrac{\pi}{3}$，$∴$ 当 $∠PAC$ 为直角或钝角时，有 $∠PAC>2∠PCA$，
   当 $∠PAC$ 为锐角时，若 $∠PAC>2∠PCA$，
   则有 $\sin \angle P A C>\sin 2 \angle P C A=2 \sin \angle P C A \cdot \cos \angle P C A$，
   可得 $\cos∠PCA<1$，即 $∠PAC>2∠PCA$ 成立，故 $C$ 正确，则 $D$ 错误．
   故选：$ABC$．
    

2. 答案 $\sqrt{2}-1$
   解析 由 $Q(m,-m-1)$，设 $x=m$，$y=-m-1$，得 $y=-x-1$．
   即点 $Q$ 在直线 $x+y+1=0$ 上，
   由点 $P$ 在圆 $(x-1)^2+y^2=1$ 上运动，
   则 $PQ$ 的最小值为 $\dfrac{|1 \times 1+1 \times 0+1|}{\sqrt{2}}-1=\sqrt{2}-1$．