2.4.1 圆的标准方程
\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学,so \quad easy!}}\)
选择性必修第一册同步巩固,难度2颗星!
基础知识
圆的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
圆的标准方程
\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\),称之为圆心为\(A(a ,b)\),半径为\(r\)的圆的标准方程.
解释
1 曲线方程的理解
若动点\(P(x,y)\)满足方程\(f(x,y)=0\),则在直角坐标系中,动点\(P\)的轨迹为由方程\(f(x,y)=0\)确定的曲线.
【例】 到两个点\(A(-1,2)\),\(B(3,-4)\)的距离相等的点的轨迹方程是\(\underline{\quad \quad}\).
解析 设动点\(P(x,y)\),依题意得 \(\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}\),
化简得\(2x-3y-5=0\).
2 证明
在直角坐标系中,设圆上任意一点\(M(x,y)\),由圆的定义可得\(MA=r\),
由两点距离公式可得 \(\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r\),
两边平方得 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \quad (*)\),
若点\(M(x,y)\)在\(⊙A\)上,点\(M\)的坐标满足方程 \((*)\);
反过来,若点\(M\)的坐标\((x,y)\)满足方程 \((*)\),就说明点\(M(x,y)\)在\(⊙A\)上.
【例1】 求圆心为\((-1,2)\),半径为\(3\)的方程.
解析 所求圆的标准方程为 \((x+1)^2+(y-2)^2=9\).
【例2】根据给出的方程,说出下面圆的圆心与半径,
(1) \((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\) \(\qquad \qquad\) (2) \(x^2+(y+2)^2=5\)
解析 (1) 圆心为\((2 ,-3)\),半径为\(2\); (2) 圆心为\((0 ,-2)\),半径为 \(\sqrt{5}\).
求圆的方程的方法
1 待定系数法
先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,利用圆的标准方程,需求出\(a ,b ,r\);
2 直接法
直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质,如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置.
基本方法
【题型1】对圆标准方程的理解
【典题1】点\(A (-2 ,3)\)与圆 \((x+3)^2+(y-1)^2=9\)的位置关系是( )
A.在圆外 \(\qquad \qquad\) B.在圆内 \(\qquad \qquad\) C.在圆上 \(\qquad \qquad\) D.不确定
解析 圆 \((x+3)^2+(y-1)^2=9\)的圆心为\((-3,1)\),半径为\(3\),
而\(A (-2 ,3)\)到圆心为\((-3,1)\)的距离为 \(\sqrt{(-3+2)^{2}+(1-3)^{2}}=\sqrt{5}<3\),
故选\(B\).
点拨 判断点与圆的位置关系的方法
方法1 设点到圆心的距离为\(d\),圆半径为\(r\),
\(a.\)点在圆内\(⇔ d<r\); \(b.\)点在圆上\(⇔ d=r\); \(c.\)点在圆外\(⇔ d>r\) .
方法2 给定点\(M(x_0 ,y_0)\)及圆 \(C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
\(a.\)\(M\)在圆\(C\)内 \(⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2<r^2\);
\(b.\)\(M\)在圆\(C\)上 \(⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2=r^2\) ;
\(c.\)\(M\)在圆\(C\)外 \(⇔(x_0-a)^2+(y_0-b)^2>r^2\) .
【典题2】曲线 \(y=-\sqrt{4-x^{2}}(x \leq 0)\)的长度为\(\underline{\quad \quad}\).
解析 \(\because y=-\sqrt{4-x^{2}}(x \leq 0)\), \(\therefore y^{2}=4-x^{2}(x \leq 0, y \leq 0)\),
\(\therefore x^{2}+y^{2}=4 . \quad(x \leq 0, y \leq 0)\),
\(∴\)该曲线是以原点为圆心,\(2\)为半径的圆在第三象限的弧长.
\(∴\)弧长 \(l=\dfrac{1}{4} \times 2 \pi \times 2=\pi\).
点拨 注意方程的形式,从而判断对应的曲线类型,同时要注意变量\(x\),\(y\)的取值范围.
巩固练习
1.圆心为\((-2,-1)\),半径为\(4\)的圆的标准方程是( )
A. \((x-2)^2+(y-1)^2=4\) \(\qquad \qquad\) B. \((x+2)^2+(y-1)^2=16\)
C. \((x-2)^2+(y+1)^2=4\) \(\qquad \qquad\) D. \((x+2)^2+(y+1)^2=16\)
2.已知点\(A(1,0)\),\(B(0,1)\),圆 \(C:x^2+(y+1)^2=3\),则( )
A.\(A,B\)都在\(C\)内 \(\qquad \qquad\) B.\(A\)在\(C\)外,\(B\)在\(C\)内 \(\qquad \qquad\)
C.\(A,B\)都在\(C\)外 \(\qquad \qquad\) D.\(A\)在\(C\)内,\(B\)在\(C\)外
3.若圆 \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5\)关于直线\(y=kx+2\)对称,则\(k=\)( )
A.\(2\) \(\qquad \qquad\) B.\(-2\) \(\qquad \qquad\) C.\(-1\) \(\qquad \qquad\) D.\(1\)
4.圆 \((x+2)^2+(y-9)^2=4\)的圆心到直线\(3x+4y-15=0\)的距离是( )
A.\(1\) \(\qquad \qquad\) B.\(2\) \(\qquad \qquad\) C.\(3\) \(\qquad \qquad\) D.\(5\)
5.已知\(O\)为坐标原点,\(P\)为圆 \(C:(x-1)^{2}+(y-b)^{2}=1\)(常数\(b>0\))上的动点,若\(|OP|\)最大值为\(3\),则\(b\)的值为( )
A.\(1\) \(\qquad \qquad\) B. \(\sqrt{2}\) \(\qquad \qquad\) C. \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) D.\(2\)
参考答案
- 答案 \(D\)
- 答案 \(D\)
解析 圆 \(C:x^2+(y+1)^2=3\)的圆心\(C(0,-1)\),半径为 \(\sqrt{3}\),点\(A(1,0)\),\(B(0,1)\),
\(\therefore A C=\sqrt{2}<\sqrt{3}\), \(B C=2>\sqrt{3}\),故\(A\)在\(C\)内,\(B\)在\(C\)外,
故选:\(D\). - 答案 \(C\)
解析 因为圆 \((x-1)^{2}+(y-1)^{2}=5\)关于直线\(y=kx+2\)对称,
所以圆心\((1,1)\)在直线\(y=kx+2\)上,
所以\(1=k+2\),得\(k=1-2=-1\).
故选:\(C\). - 答案 \(C\)
解析 圆心为\((-2,9)\),到直线\(3x+4y-15=0\)的距离 \(d=\dfrac{|-6+36-15|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=3\),故选\(C\). - 答案 \(C\)
解析 圆 \(C:(x-1)^{2}+(y-b)^{2}=1\)的圆心为\(C(1,b)\),半径为\(1\),
所以圆\(C\)上的点\(P\)到原点的最大距离为\(|OP|=|OC|+1=3\),
即 \(\sqrt{1^{2}+b^{2}}+1=3\),解得 \(b=\pm \sqrt{3}\),
又\(b>0\),所以\(b\)的值为 \(\sqrt{3}\).
故选:\(C\).
【题型2】求圆的方程
【典题1】 已知一个圆经过两个点\(A(2,-3)\)和\(B(-2,-5)\),且圆心在直线\(l:x-2y-3=0\)上,求此圆的方程.
解析 方法一 待定系数法
设所求圆的方程为 \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\).
由已知条件得 \(\left\{\begin{array}{l}
(2-a)^{2}+(-3-b)^{2}=r^{2} \\
(-2-a)^{2}+(-5-b)^{2}=r^{2} \\
a-2 b-3=0
\end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l}
a=-1 \\
b=-2 \\
r^{2}=10
\end{array}\right.\),
\(∴\)所求圆的方程为 \((x+1)^2+(y+2)^2=10\).
方法二 直接法
由\(A(2,-3)\),\(B(-2,-5)\)得,\(AB\)的中点为\((0,-4)\), \(k_{A B}=\dfrac{1}{2}\),
\(∴AB\)的垂直平分线的方程为\(y+4=-2x\),即\(2x+y+4=0\),
解方程组 \(\left\{\begin{array}{l}
2 x+y+4=0 \\
x-2 y-3=0
\end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-1 \\
y=-2
\end{array}\right.\),
\(∴\)圆心为\((-1,-2)\),半径 \(r=\sqrt{(2+1)^{2}+(-3+2)^{2}}=\sqrt{10}\).
故所求圆的方程为 \((x+1)^2+(y+2)^2=10\).
方法三 设点\(C\)是圆心,
\(∵\)点\(C\)在直线\(l\)上,\(∴\)设点\(C(2b+3,b)\).
又\(∵|CA|=|CB|\),
\(\therefore \sqrt{(2 b+3-2)^{2}+(b+3)^{2}}=\sqrt{(2 b+3+2)^{2}+(b+5)^{2}}\),解得\(b=-2\),
\(∴\)圆心为\(C(-1,-2)\),半径 \(r=\sqrt{10}\),
故所求圆的方程为 \((x+1)^2+(y+2)^2=10\).
点拨 求圆的方程的方法常有待定系数法与直接法.
【典题2】有一种大型商品,\(A\),\(B\)两地均有出售且价格相同,某地居民从两地之一购得商品运回来,每千米的运费\(A\)地是\(B\)地的两倍,若\(A\),\(B\)两地相距\(10\)千米,顾客选择\(A\)地或\(B\)地购买这种商品的运费和价格的总费用较低,那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点?
解析 以直线\(AB\)为\(x\)轴,线段\(AB\)的垂直平分线为\(y\)轴,建立直角坐标系,如图所示.
设\(A(-5,0)\),则\(B(5,0)\).
在坐标平面内任取一点\(P(x,y)\),
设从\(A\)地运货到\(P\)地的运费为\(2a\)元/千米,则从\(B\)地运货到\(P\)地的运费为\(a\)元/千米.
若\(P\)地居民选择在\(A\)地或\(B\)地购买此商品均一样,
则 \(2 a \sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}=a \sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}\),整理得 \(\left(x+\dfrac{25}{3}\right)^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{20}{3}\right)^{2}\).
即圆\(C\)上的 居民可随意选择\(A,B\)两地之一购物,
圆\(C\)内的居民应在\(A\)地购物.
同理可推得圆\(C\)外的居民应在B地购物.
点拨 建系处理几何问题或实际问题,即坐标法,其解决套路如下:
① 建立恰当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素(如点、直线、圆等),用代数语言“翻译”几何要素的位置关系(如相交、平行、垂直),把平面几何问题转化为代数问题;
② 通过代数运算,解决代数问题;
③ 把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
巩固练习
1.圆心在\(x\)轴上,半径长为 \(\sqrt{2}\),且过点\((-2,1)\)的圆的方程为( )
A. \((x+1)^2+y^2=2\)或 \((x+3)^2+y^2=2\) \(\qquad \qquad\) B. \(x^2+(y+2)^2=2\) \(\qquad \qquad\)
C. \((x+3)^2+y^2=2\) \(\qquad \qquad \qquad\) D. \((x+1)^2+y^2=2\)
2.已知点\(A(-2,1)\),\(B(0,-3)\),则以线段\(AB\)为直径的圆的方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.若圆\(C\)过点\((0 ,-1)\),\((0 ,5)\),且圆心到直线\(x-y-2=0\)的距离为 \(2 \sqrt{2}\),求圆\(C\)的标准方程.
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 设圆心坐标为\((a,0)\),
则由题意知 \(\sqrt{(a+2)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}\),解得\(a=-1\)或\(a=-3\),
故圆的方程为 \((x+1)^2+y^2=2\)或 \((x+3)^2+y^2=2\).
故选:\(A\). - 答案 \((x+1)^{2}+(y+1)^{2}=5\)
解析 因为点\(A(-2,1)\),\(B(0,-3)\),
故\(AB\)的中点即为圆心,则圆心坐标为\((-1,-1)\),
\(AB\)为圆的直径,根据两点间距离公式 \(A B=\sqrt{(-2-0)^{2}+(1+3)^{2}}=\sqrt{4+16}=2 \sqrt{5}\),
故圆的半径为 \(\dfrac{2 \sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\),
所以以线段\(AB\)为直径的圆的方程为 \((x+1)^{2}+(y+1)^{2}=5\). - 答案 \(x^2+(y-2)^2=9\)或 \((x-8)^2+(y-2)^2=73\).
解析 方法一 几何法
\(∵\)圆\(C\)过点\((0 ,-1)\) ,\((0 ,5)\),\(∴\)圆心的纵坐标为\(2\),
则设圆心为\((a ,2)\),
则 \(\dfrac{|a-4|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}\),\(∴a=0\)或\(8\),
\(∴\)当\(a=0\)时,\(r=3\);当\(a=8\)时, \(r=\sqrt{64+9}=\sqrt{73}\);
\(∴\)圆\(C\)的标准方程为\(x^2+(y-2)^2=9\)或 \((x-8)^2+(y-2)^2=73\).
方法二 待定系数法
设圆的方程为 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\),
则 \(\left\{\begin{array}{c} a^{2}+(-1-b)^{2}=r^{2} \\ a^{2}+(5-b)^{2}=r^{2} \\ \dfrac{|a-b-2|}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2} \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} a=0 \\ b=2 \\ r=3 \end{array}\right.\)或 \(\left\{\begin{array}{c} a=8 \\ b=2 \\ r=\sqrt{73} \end{array}\right.\)
\(∴\)圆\(C\)的标准方程为 \(x^2+(y-2)^2=9\)或 \((x-8)^2+(y-2)^2=73\).
分层练习
【A组---基础题】
1.若圆的标准方程为 \((x-1)^2+(y+5)^2=3\),则此圆的圆心和半径分别为( )
A. \((-1,5), \sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) B.\((1,-5),\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) C.\((-1,5),3\) \(\qquad \qquad\) D.\((1,-5),3\)
2.若点\(A(a+1,3)\)在圆 \(C:(x-a)^{2}+(y-1)^{2}=m\)内部,则实数\(m\)的取值范围是( )
A.\((5,+∞)\) \(\qquad \qquad\) B.\([5,+∞)\) \(\qquad \qquad\) C.\((0,5)\) \(\qquad \qquad\) D.\([0,5]\)
3.圆心为\((-3,-2)\),且过点\((1,1)\)的圆的标准方程为( )
A. \((x-3)^2+(y-2)^2=5\) \(\qquad \qquad\) B. \((x-3)^2+(y-2)^2=25\)
C. \((x+3)^2+(y+2)^2=5\) \(\qquad \qquad\) D. \((x+3)^2+(y+2)^2=25\)
4.圆\(C\)与\(x\)轴相切于\(T(1,0)\),与\(y\)轴正半轴交于两点\(A\)、\(B\),且\(|AB|=2\),则圆\(C\)的标准方程为( )
A. \((x-1)^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=2\) \(\qquad \qquad\) B. \((x-1)^{2}+(y+\sqrt{2})^{2}=2\)
C. \((x-1)^2+(y-2)^2=2\) \(\qquad \qquad\) D. \((x+1)^{2}+(y+2)^{2}=\sqrt{2}\)
5.圆心在直线\(y=x\)上,经过原点,且在\(x\)轴上截得弦长为\(2\)的圆的方程为( )
A. \((x-1)^2+(y-1)^2=2\)
B. \((x-1)^2+(y+1)^2=2\)
C. \((x-1)^2+(y-1)^2=2\)或 \((x+1)^2+(y+1)^2=2\)
D. \((x-1)^2+(y+1)^2=2\)或 \((x+1)^2+(y-1)^2=2\)
6.如果圆 \((x-a)^{2}+(y-a)^{2}=1(a>0)\)上所有点到原点\(O\)的距离都不小于\(3\),则实数\(a\)的取值范围为( )
A.\([\sqrt{2},2]\) \(\qquad \qquad\) B.\([2\sqrt{2},+∞)\) \(\qquad \qquad\)C.\([\sqrt{2},2\sqrt{2}]\) \(\qquad \qquad\) D.\([1,2\sqrt{2}]\)
7.过\(A(2,-3)\),\(B(-2,-5)\)两点且面积最小的圆的标准方程为\(\underline{\quad \quad}\).
8.点\(M(0,1)\)与圆 \(x^2+y^2-2x=0\)上的动点\(P\)之间的最近距离为\(\underline{\quad \quad}\).
9.如果圆 \((x-a)^2+(y-a)^2=8\)上总存在到原点的距离为 \(\sqrt{2}\)的点,则实数\(a\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
10.已知\(△ABC\)三个顶点的坐标为\(A(1,3)\)、\(B(-1,-1)\)、\(C(-3,5)\),求这个三角形外接圆的方程.
11.\(AB\)为圆的定直径,\(CD\)为直径,过点\(D\)作\(AB\)的垂线\(DE\),延长\(ED\)到\(P\),使\(|PD|=|AB|\),求证:直线\(CP\)必过一定点.
参考答案
-
答案 \(B\)
-
答案 \(A\)
解析 \(∵(a+1,3)\)在圆 \((x-a)^{2}+(y-1)^{2}=m\)的内部,
\(∴(1+a-a)^2+(3-1)^2<m\),解得\(m>5\).
故选:\(A\). -
答案 \(D\)
解析 根据题意,设所求圆的方程为 \((x+3)^{2}+(y+2)^{2}=r^{2}\).
\(∵\)点\(P(1,1)\)在圆上, \(∴r^2=(1+3)^2+(1+2)^2=25\)
即得所求的圆的标准方程是: \((x+3)^2+(y+2)^2=25\)
故选:\(D\) -
答案 \(A\)
解析 由题意,圆的半径为 \(\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\),圆心坐标为\((1,\sqrt{2})\),
\(∴\)圆\(C\)的标准方程为\((x-1)^2+(y-\sqrt{2} )^2=2\),故选:\(A\). -
答案 \(C\)
解析 画出圆\(A\)满足题中的条件,有两个位置,
当圆心\(A\)在第一象限时,过\(A\)作\(AC⊥x\)轴,又\(|OB|=2\),
根据垂径定理得到点\(C\)为弦\(OB\)的中点,则\(|OC|=1\),由点\(A\)在直线\(y=x\)上,
得到圆心\(A\)的坐标为\((1,1)\),且半径\(|OA|=\sqrt{2}\),
则圆\(A\)的标准方程为: \((x-1)^2+(y-1)^2=2\);
当圆心\(A'\)在第三象限时,过\(A'\)作\(A'C'⊥x\)轴,又\(|OB'|=2\),
根据垂径定理得到点\(C'\)为弦\(OB'\)的中点,则\(|OC'|=1\),由点\(A'\)在直线\(y=x\)上,
得到圆心\(A'\)的坐标为\((-1,-1)\),且半径\(|OA'|=\sqrt{2}\),
则圆\(A'\)的标准方程为: \((x+1)^2+(y+1)^2=2\),
综上,满足题意的圆的方程为:\((x-1)^2+(y-1)^2=2\)或 \((x+1)^2+(y+1)^2=2\).
故选\(C\). -
答案 \(B\)
解析 圆 \((x-a)^{2}+(y-a)^{2}=1(a>0)\)上的圆心为\((a,a)\),半径\(r=1\).
设圆心到原点的距离为\(d\),则 \(d=\sqrt{(a-0)^{2}+(a-0)^{2}}=\sqrt{2} a\).
设圆上任一点为\(P\),可知,由题意可知\(|\sqrt{2} a-1|≥3\),
解得\(a≥2\sqrt{2}\)或\(a≤-\sqrt{2}\)(舍去),
故实数\(a\)的取值范围是\([2\sqrt{2},+∞)\).
故选:\(B\). -
答案 \(x^2+(y+4)^2=5\)
解析 依题意得\(AB\)是圆的直径,则圆心为\(AB\)的中点\((0,-4)\),
因为\(AB=2\sqrt{5}\),所以圆的半径为\(\sqrt{5}\),
所以圆的方程为 \(x^2+(y+4)^2=5\). -
答案 \(\sqrt{2}-1\)
解析 圆 \(x^2+y^2-2x=0\)可化为 \((x-1)^2+y^2=1\),
圆心为\(C(1,0)\),半径为\(r=1\);
所以 \(|M C|=\sqrt{(1-0)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{2}\),
所以点\(M\)与圆上的动点\(P\)之间的最近距离为\(|MC|-r=\sqrt{2}-1\). -
答案 \([-3,-1]∪[1,3]\)
解析 圆 \((x-a)^2+(y-a)^2=8\)半径\(r=2 \sqrt{2}\),
圆心\(A(a,a)\)到原点\(O\)的距离\(OA=|\sqrt{2}a|\),
若由圆 \((x-a)^2+(y-a)^2=8\)上总存在点到原点的距离为 \(\sqrt{2}\),
\(∴ 2 \sqrt{2}-\sqrt{2}≤|\sqrt{2} a|≤ 2 \sqrt{2}+\sqrt{2}\),
\(∴1≤|a|≤3\),解得\(1≤a≤3\)或\(-3≤a≤-1\).
\(∴\)实数\(a\)的取值范围是\([-3,-1]∪[1,3]\).
-
答案 \((x+2)^2+(y-2)^2=10\)
解析 设圆的方程为 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\),
则 \(\left\{\begin{array}{l} (1-a)^{2}+(3-b)^{2}=r^{2} \\ (-1-a)^{2}+(-1-b)^{2}=r^{2} \\ (-3-a)^{2}+(5-b)^{2}=r^{2} \end{array}\right.\),整理得 \(\left\{\begin{array}{l} a+2 b-2=0 \\ 2 a-b+6=0 \end{array}\right.\),
解之得\(a=-2\),\(b=2\),可得\(r^2=10\),
因此,这个三角形外接圆的方程为 \((x+2)^2+(y-2)^2=10\). -
证明 以线段\(AB\)所在的直线为\(x\)轴, 以\(AB\)的中点为原点,建立直角坐标系,
如图,设圆的方程为 \(x^2+y^2=r^2\),直径\(AB\)位于\(x\)轴上,动直径为\(CD\).
令\(C(x_0,y_0 )\),则\(D(-x_0,-y_0 )\),
\(∴P(-x_0,-y_0-2r)\).
\(∴\)直线\(CP\)的方程为 \(y-y_{0}=\dfrac{-y_{0}-2 r-y_{0}}{-x_{0}-x_{0}}\left(x-x_{0}\right)\),
即\((y_0+r)x-(y+r) x_0=0\).
\(∴\)直线\(CP\)过直线\(x=0\)与直线\(y+r=0\)的交点\((0,-r)\),
即直线\(CP\)过定点\((0,-r)\).
【B组---提高题】
1.已知圆 \(x^2+y^2=4\), \(A(\sqrt{3}, 0)\),动点\(M\)在圆上运动,\(O\)为坐标原点,则\(∠OMA\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
2.点\(P\)为曲线 \((x-1)^2+(y-2)^2=9(y≥2)\)上任意一点,则\(x+\sqrt{3} y\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.已知圆 \(x^2+(y-2)^2=1\)上一动点\(A\),定点\(B(6,1)\);\(x\)轴上一点\(W\),则\(|AW|+|BW|\)的最小值等于\(\underline{\quad \quad}\).
4.设点\(M(x_0,1)\),若圆 \(O:x^2+y^2=1\)上存在点\(N\),使得\(∠OMN=30^∘\),求\(x_0\)的取值范围.
参考答案
-
答案 \(\dfrac{\pi}{3}\)
解析 设\(|MA|=a\),则\(|OM|=2\), \(|O A|=\sqrt{3}\),
由余弦定理知:
\(\cos \angle O M A=\dfrac{O M^{2}+M A^{2}-O A^{2}}{2 \times O M \times M A}=\dfrac{2^{2}+a^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{2 \times 2 \times a}=\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{4 a}\)\(\geq 2 \sqrt{\dfrac{a}{4} \times \dfrac{1}{4 a}}=\dfrac{1}{2}\),
当且仅当\(a=1\)时等号成立;
\(\therefore \angle O M A \leq \dfrac{\pi}{3}\).
\(∴∠OMA\)的最大值为 \(\dfrac{\pi}{3}\).
故 答案为: \(\dfrac{\pi}{3}\).
-
答案 \(2\sqrt{3} -2\)
解析 曲线 \((x-1)^2+(y-2)^2=9(y≥2)\)表示以\((1,2)\)为圆心,\(3\)为半径的上半圆,
在点\((-2,2)\)处,\(x+\sqrt{3} y\)的最小值为\(2\sqrt{3} -2\). -
答案 \(3\sqrt{5}-1\)
解析 根据题意画出圆 \(x^2+(y-2)^2=1\),以及点\(B(6,1)\)的图象如图,
作\(B\)关于\(x\)轴的对称点\(B'\),连接圆心与\(B'\),
则与圆的交点\(A\),\(|AB|\)即为\(|AW|+|BW|\)的最小值,
\(|AB|\)为点\((0,2)\)到点\(B'(6,-1)\)的距离减圆的半径,
即 \(|A B|=\sqrt{(6-0)^{2}+(-1-2)^{2}}-1=3 \sqrt{5}-1\),
故答案为: \(3 \sqrt{5}-1\). -
答案 \(-\sqrt{3} \leq x_{0} \leq \sqrt{3}\)
解析 过\(M\)作\(⊙O\)切线交\(⊙O\)于\(R\),根据圆的切线性质,有\(∠OMR≥∠OMN\).
\(∴\)若圆\(O\)上存在点\(N\),使\(∠OMN=30°\),则\(∠OMR≥30°\).
\(∵|OR|=1\),\(∴|OM|>2\)时不成立,\(∴|OM|≤2\),
即 \(|OM|^2=x_0^2+1≤ 4\),解得 \(-\sqrt{3} \leq x_{0} \leq \sqrt{3}\).
【C组---拓展题】
1.(多选)已知圆 \(O:x^2+y^2=4\),\(A(1,0)\),\(C(4,0)\),点\(P\)在圆上且在第一象限内,则下列结论正确的是( )
A.\(PC=2PA\) \(\qquad \qquad\) B. \(\angle P C A \leq \dfrac{\pi}{6}\) \(\qquad \qquad\) C.\(∠PAC>2∠PCA\) \(\qquad \qquad\) D.\(∠PAC<2∠PCA\)
2.若点\(P\)在圆 \((x-1)^2+y^2=1\)上运动,\(Q(m,-m-1)\),则\(PQ\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(ABC\)
解析 如图,
设\(P(x,y)\),则 \(x^2+y^2=4\),
对于选项\(A\), \(\dfrac{P C}{P A}=\dfrac{\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}=\dfrac{\sqrt{4(5-2 x)}}{\sqrt{5-2 x}}=2\),故\(A\)正确;
对于选项\(B\),当\(PC\)与圆相切时,\(∠PCA\)达到最大值为 \(\dfrac{\pi}{6}\),
\(∴∠PCA≤ \dfrac{\pi}{6}\),故\(B\)正确;
对于选项\(C\), \(\because \dfrac{P C}{\sin \angle P A C}=\dfrac{P A}{\sin \angle P C A}\), \(\therefore 2 \sin \angle P C A=\sin \angle P A C\),
\(\because 2 \angle P C A \leq \dfrac{\pi}{3}\),\(∴\)当\(∠PAC\)为直角或钝角时,有\(∠PAC>2∠PCA\),
当\(∠PAC\)为锐角时,若\(∠PAC>2∠PCA\),
则有 \(\sin \angle P A C>\sin 2 \angle P C A=2 \sin \angle P C A \cdot \cos \angle P C A\),
可得\(\cos∠PCA<1\),即\(∠PAC>2∠PCA\)成立,故\(C\)正确,则\(D\)错误.
故选:\(ABC\).
-
答案 \(\sqrt{2}-1\)
解析 由\(Q(m,-m-1)\),设\(x=m\),\(y=-m-1\),得\(y=-x-1\).
即点\(Q\)在直线\(x+y+1=0\)上,
由点\(P\)在圆 \((x-1)^2+y^2=1\)上运动,
则\(PQ\)的最小值为 \(\dfrac{|1 \times 1+1 \times 0+1|}{\sqrt{2}}-1=\sqrt{2}-1\).