2.3.1 两条直线的交点

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【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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选择性必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

两条直线的交点

设两条直线的方程是 $l_1 ∶ A_1 x+B_1 y+C_1=0$ ,$l_2 ∶ A_2 x+B_2 y+C_2=0$ ，
两条直线的交点坐标就是方程组 $\left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0 \end{array}\right.$ 的解.
(1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
(2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
(3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合.
 

【例 1】直线 $3x+4y-2=0$ 与直线 $2x+y+2=0$ 的交点坐标是 (　　)
 A．$(2,2)$ $\qquad \qquad$ B．$(2,-2)$ $\qquad \qquad$ C．$(-2,2)$ $\qquad \qquad$ D．$(-2,-2)$
解析 由 $\left\{\begin{array}{c} 3 x+4 y-2=0 \\ 2 x+y+2=0 \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{c} x=-2 \\ y=2 \end{array}\right.$，故选 $C$.
 

【例 2】若关于 $x、y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l} x+y=m \\ x+n y=1 \end{array}\right.$ 有无穷多组解，则 $m+n$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
解析 关于 $x、y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l} x+y=m \\ x+n y=1 \end{array}\right.$ 有无穷多组解，
则直线 $x+y=m$ 和直线 $x+ny=1$ 重合，
故 $m=1$，$n=1$，所以 $m+n=2$．
故答案为：$2$．
 

经过两直线交点的直线系

过两条已知直线 $l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0$ 和 $l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0$ 交点的直线系方程
$A_1 x+B_1 y+C_1+λ(A_2 x+B_2 y+C_2 )=0$
($λ∈R$ , 这个直线系下不包括 直线 $l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0$，解题时注意检验 $l_2$ 是否满足题意)
 

【例】 求经过点 $P(1,0)$ 和两直线 $l_1：x+2y－2=0$，$l_2：3x-2y+2=0$ 交点的直线方程．
解析 设所求直线方程为 $x+2y-2+λ(3x－2y+2)=0$．
$∵$ 点 $P(1,0)$ 在直线上，$∴1-2+λ(3+2)=0$ ．$∴λ=\dfrac{1}{5}$．
$∴$ 所求方 程为 $x+2 y-2+\dfrac{1}{5}(3 x-2 y+2)=0$，
即 $x+y-1=0$．
 

基本方法

【题型1】两直线的交点

【典题 1】 已知直线 $kx－y+1=0$ 和 $x－ky=0$ 相交，且交点在第二象限，则实数 $k$ 的取值范围为 (　　)
 A．$(－1,0)$ $\qquad \qquad$ B．$(0,1]$ $\qquad \qquad$ C．$(0,1)$ $\qquad \qquad$ D．$(1,+∞)$
解析 联立方程 $\left\{\begin{array}{l} k x-y+1=0 \\ x-k y=0 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{k}{1-k^{2}} \\ y=\dfrac{1}{1-k^{2}} \end{array}\right.$，
因为交点在第二象限，所以 $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{k}{1-k^{2}}<0 \\ \dfrac{1}{1-k^{2}}>0 \end{array}\right.$，解得 $－1<k<0$，
故实数 $k$ 的取值范围为 $(－1,0)$．
故选：$A$．
 

【典题 2】已知直线 $l_1:2x+3y+8=0$，$l_2:x-y-1=0$， $l_{3}: x+k y+k+\dfrac{1}{2}=0$，
分别求满足下列条件的 $k$ 的值：(1)$l_1$,$l_2$,$l_3$ 相交于一点；(2)$l_1$,$l_2$,$l_3$ 围成三角形．
解析 (1) 因为三直线 $2x+3y+8=0$，$x-y-1=0$ 和 $x+k y+k+\dfrac{1}{2}=0$ 相交于一点，
所以解 $\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y+8=0 \\ x-y-1=0 \end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.$，即交点为 $(-1,-2)$，
所以 $-1+(-2) k+k+\dfrac{1}{2}=0$，解得 $k=-\dfrac{1}{2}$．
(2) 要满足 $l_1$,$l_2$,$l_3$ 围成三角形．则直线 $l_3$ 与 $l_1$,$l_2$ 不平行，且三条直线不能相交于一点．
$∴2k-3≠0$,$k+1≠0$,$k≠-\dfrac{1}{2}$．
解得 $k≠\dfrac{3}{2}$,$-1$,$-\dfrac{1}{2}$．
$∴k≠\dfrac{3}{2}$,$-1$,$-\dfrac{1}{2}$ 时三条直线可以围成三角形．
 

【典题 3】求过直线 $x+2y+1=0$ 与直线 $2x-y+1=0$ 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
解析 设所求直线方程为 $x+2y+1+λ(2x-y+1)=0$ (*)，
当直线过原点时，则 $1+λ=0$，则 $λ=-1$，
此时所求直线方程为 $x-2y=0$.
当直线不过原点时，令 $x=0$，解得 $y=\dfrac{\lambda+1}{\lambda-2}$，
令 $y=0$，解得 $x=-\dfrac{\lambda+1}{2 \lambda+1} \text {, }$，
由题意得 $\dfrac{\lambda+1}{\lambda-2}=-\dfrac{\lambda+1}{2 \lambda+1}$，解得 $\lambda=\dfrac{1}{3}$，
此时所求直线方程为 $5x+5y+4=0$，
$(*)$ 中不包括直线 $2x-y+1$，而它显然满足题意，
综上所述，所求直线方程为 $x-2y=0$ 或 $5x+5y+4=0$.

巩固练习

1. 直线 $kx－y－1=0$ 与直线 $x+2y－2=0$ 的交点在第四象限，则实数 $k$ 的取值范围为 (　　)
 A． $\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ $\qquad \qquad$ B． $\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)$ $\qquad \qquad$ C． $\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$ $\qquad \qquad$ D． $\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)$
 

2. 直线 $x+my+12=0$ 与直线 $2x+3y+m=0$ 的交点在 $y$ 轴上，则 $m=$$\underline{\quad \quad}$.
 

3. 两直线 $(m+2)x-y+m=0$,$x+y=0$ 与 $x$ 轴相交且能构成三角形，则 $m$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

4. 已知一条直线过点 $P(2,－3)$ 与直线 $2x－y－1=0$ 和直线 $x+2y－4=0$ 分别交于点 $A,B$．且点 $P$ 为线段 $AB$ 的中点，求这条直线的方程．
 
 
5. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(1,2)$，点 $M(4,2)$，点 $N$ 在线段 $OA$ 的延长线上．设直线 $MN$ 与直线 $OA$ 及 $x$ 轴围成的三角形面积为 $S$，求 $S$ 的最小值．
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 由题意可得 $\left\{\begin{array}{l} k x-y-1=0 \\ x+2 y-2=0 \end{array}\right.$，解得 $x=\dfrac{4}{2 k+1}$， $y=\dfrac{2 k-1}{1+2 k}$，
   $\therefore \dfrac{4}{1+2 k}>0$ 且 $\dfrac{2 k-1}{1+2 k}<0$，
   $\therefore-\dfrac{1}{2}<k<\dfrac{1}{2}$，
   故选：$A$．
2. 答案 $±6$
   解析 由题意可得：分别令 $x=0$ 得到 $y=-\dfrac{12}{m}$ 和 $y=-\dfrac{m}{3}$，
   因为两条直线 $x+my+12=0$ 与直线 $2x+3y+m=0$ 的交点在 $y$ 轴上，
   所以 $\dfrac{12}{m}=\dfrac{m}{3}$，解得 $m=±6$．
3. 答案 $m≠－2$ 且 $m≠－3$ 且 $m≠0$
   解析 由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．
   于是：①$m+2≠0$；②$m+2≠－1$；③$(m+2)⋅0－0+m≠0$．
   综上，$m≠－2$ 且 $m≠－3$ 且 $m≠0$．
4. 答案 $x－2y－8=0$
   解析 $∵$ 点 $A,B$ 分别在直线 $2x－y－1=0$ 和直线 $x+2y－4=0$ 上，
   $∴$ 可以设点 $A,B$ 的坐标分别为 $A(m,2m－1)$,$B(4－2n,n)$
   $∵$ 点 $P(2,－3)$ 为线段 $AB$ 的中点
   $\therefore \dfrac{m+4-2 n}{2}=2$， $\dfrac{2 m-1+n}{2}=-3$，解得 $m=－2$,$n=－1$
   $∴$ 点 $A,B$ 的坐标分别为 $A(－2,－5)$,$B(6,－1)$
   $∴$ 直线 $AB$ 的斜率为 $k=\dfrac{-5-(-1)}{-2-6}=\dfrac{1}{2}$
   $∴$ 所求直线的方程为 $y+1=\dfrac{1}{2}(x-6)$，
   化为一般式可得 $x－2y－8=0$．
5. 解析 设 $MN$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $a$，则 $M N: y=\dfrac{2}{4-a}(x-a)$，
   直线 $OA：y=2x$，
   由 $\left\{\begin{array}{l} y=2 x \\ y=\dfrac{2}{4-a}(x-a) \end{array}\right.$，所以 $N\left(\dfrac{a}{a-3}, \dfrac{2 a}{a-3}\right),(a>3)$
   $S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{2 a}{a-3}=\dfrac{a^{2}-9+9}{a-3}=a-3+\dfrac{9}{a-3}+6$$\geq 2 \sqrt{9}+6=12$，
   当且仅当 $a=6$，取等号，
   故 $S$ 的最小值为 $12$．

【题型2】过两直线交点的直线系

【典题 1】 求过两直线 $x-2y+4=0$ 和 $x+y-2=0$ 的交点 $P$，且分别满足下列条件的直线 $l$ 的方程．
  (1) 过点 $(2 ,1)$； (2) 和直线 $3x-4y+5=0$ 垂直．
答案 (1) $x+2y-4=0$ (2)$4x+3y-6=0$
解析 由 $\left\{\begin{array}{l} x-2 y+4=0 \\ x+y-2=0 \end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=2 \end{array}\right.$，$∴P(0 ,2)$．
(1) 方法一 由两点的坐标求得斜率为 $k_{l}=\dfrac{2-1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$，
由点斜式求得直线方程为 $y-2=-\dfrac{1}{2}(x-0)$，
化简得 $x+2y－4=0$．
方法二 设过点 $P$ 的直线方程为 $x-2y+4+λ(x+y-2)=0$，
$∵$ 过点 $(2 ,1)$，$∴2-2+4+λ=0⇒λ=-4$，
故所求直线方程为 $x-2y+4-4(x+y-2)=0⇒x+2y-4=0$.
(2) 方法一 依题意得所求直线的斜率为 $k_{2}=-\dfrac{4}{3}$，
由点斜式求得直线方程为 $y-2=-\dfrac{4}{3}(x-0)$，即 $4x+3y-6=0$．
方法二 设所求直线为 $4x+3y+λ=0$
$∵$ 过点 $P(0 ,2)$，$∴0+6+λ=0⇒λ=-6$，
故所求直线方程为 $4x+3y-6=0$.
 

巩固练习

1. 求经过两直线 $l_1：x-2y+4=0$ 和 $l_2：x+y-2=0$ 的交点 $P$，且与直线 $l_3：3x-4y+5=0$ 垂直的直线 $l$ 的方程．
 

2. 求经过两条直线 $2x-3y-3=0$ 和 $x+y+2=0$ 的交点且与直线 $3x+y-1=0$ 平行的直线 $l$ 的方程．
 
 

参考答案

1. 答案 $4x+3y-6=0$
   解析 解法一：解方程组 $\left\{\begin{array}{l} x-2 y+4=0 \\ x+y-2=0 \end{array}\right.$ 得交点 $P$ 坐标为 $(0,2)$，
   又 $l_3$ 的斜率为 $\dfrac{3}{4}$，$∴$ 直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac{4}{3}$．
   由点斜式得 $y-2=-\dfrac{4}{3}(x-0)$，即 $4x+3y-6=0$．
   解法二：设直线 $l$ 的方程为 $x-2y+4+λ(x+y-2)=0$．
   即 $(1+λ)x+(λ－2)y+4－2λ=0$．
   $∵l⊥l_3$ ，$∴3(1+λ)-4(λ-2)=0$，解得 $λ=11$．
   $∴$ 直线 $l$ 的方程为 $(1+11)x+(11-2)y+4－2×11=0$．
   化简得 $4x+3y-6=0$．
2. 答案 $15x+5y+16=0$
   解析 方法一 由方程组 $\left\{\begin{array}{l} 2 x-3 y-3=0 \\ x^{+} y+2=0 \end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{3}{5} \\ y=-\dfrac{7}{5} \end{array}\right.$
   $∵$ 直线 $l$ 和直线 $3x+y－1=0$ 平行，$∴$ 直线 $l$ 的斜率 $k=-3$．
   $∴$ 根据点斜式有 $y-\left(-\dfrac{7}{5}\right)=-3\left[x-\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right]$，
   即所求直线方程为 $15x+5y+16=0$．
   方法二 设直线 $l$ 的方程为 $(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0$，
   即 $(2+λ)x+(λ－3)y+2λ-3=0$．
   $∵$ 直线 $l$ 与直线 $3x+y-1=0$ 平行，$∴2+λ-3(λ-3)=0$，解得 $λ=\dfrac{11}{2}$．
   $∴$ 直线 $l$ 的方程为 $\left(2+\dfrac{11}{2}\right) x+\left(\dfrac{11}{2}-3\right) y+2 \times \dfrac{11}{2}-3=0$．
   化简得 $15x+5y+16=0$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 若三条直线 $2x+3y+8=0$，$x－y－1=0$ 和 $x+ky=0$ 交于一点，则 $k$ 的值为 (　　)
 A．$－2$ $\qquad \qquad$ B． $-\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad$ D． $\dfrac{1}{2}$
 

2. 曲线 $y=|x|$ 与 $y=kx+1$ 的交点的情况是 (　　)
 A．最多有两个交点 $\qquad \qquad$ B．两个交点 $\qquad \qquad$ C．一个交点 $\qquad \qquad$ D．无交点
 

3. 若直线 $l: y=k x-\sqrt{3}$ 与直线 $2x+3y－6=0$ 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 (　　)
 A． $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right)$ $\qquad \qquad$ B． $\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ $\qquad \qquad$ C． $\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ $\qquad \qquad$ D． $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)$
 

4. 直线 $2x+3y-k=0$ 和直线 $x-ky+12=0$ 的交点在 x 轴上，则 $k$ 的值为 (　　)
 A．$-24$ $\qquad \qquad$ B．$24$ $\qquad \qquad$ C．$6$$\qquad \qquad$ D．$±6$
 

5. 关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l} m x+y=-1 \\ 3 m x-m y=2 m+3 \end{array}\right.$ 无解，则 $m=$$\underline{\quad \quad}$．
 

6. 直线 $l$ 经过原点，且经过直线 $2x+3y+8=0$ 和 $x-y-1=0$ 的交点，则直线 $l$ 的方程为 $\underline{\quad \quad}$.
 

7. 已知直线 $l_1:ax+y+1=0$ 与 $l_2:2x-by-1=0$ 相交于点 $M(1,1)$，则 $a+b=$$\underline{\quad \quad}$．

 

8. 求过两条直线 $y=2x+3$ 与 $3x-y+2=0$ 的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
  (1) 斜率为 $-\dfrac{1}{2}$；(2) 过点 $P(2 ,3)$；(3) 平行于直线 $3x+y=1$．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 依题意， $\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y+8=0 \\ x-y-1=0 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.$，
   $∴$ 两直线 $2x+3y+8=0$ 和 $x－y－1=0$ 的交点坐标为 $(－1,－2)$．
   $∵$ 直线 $x+ky=0$，$2x+3y+8=0$ 和 $x－y－1=0$ 交于一点，
   $∴－1－2k=0$， $\therefore k=-\dfrac{1}{2}$．
   故选：$B$．
2. 答案 $A$
   解析 联立两条直线方程得： $\left\{\begin{array}{l} y=|x| \\ y=k x+1 \end{array}\right.$ 得到 $|x|=kx+1$，
   两边平方得：$(k^2－1) x^2+2kx+1=0$，
   当 $k^2－1≠0$ 即 $k≠±1$ 时， $\Delta=(2 k)^{2}-4\left(k^{2}-1\right)=4>0$，
   得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．
   当 $k=±1$ 时，得到 $y=±x+1$，与曲线只有一个交点．
   所以曲线 $y=|x|$ 与 $y=kx+1$ 的最多有两个交点．
   故选：$A$．
3. 答案 $D$
   解析 联立两直线方程得： $\left\{\begin{array}{l} y=k x-\sqrt{3} \\ 2 x+3 y-6=0 \end{array}\right.$，解得 $x=\dfrac{3 \sqrt{3}+6}{2+3 k}$， $y=\dfrac{6 k-2 \sqrt{3}}{2+3 k}$，
   $∵$ 两直线的交点在第一象限， $\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{3 \sqrt{3}+6}{2+3 k}>0 \\ \dfrac{6 k-2 \sqrt{3}}{2+3 k}>0 \end{array}\right.$，解得 $k>\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
   设直线 $l$ 的倾斜角为 $θ$，则 $\tan \theta>\dfrac{\sqrt{3}}{3}$， $\therefore \theta \in\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)$．
   故选：$D$．
4. 答案 $A$
   解析 联立 $\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y-k=0 \\ x-k y+12=0 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{k^{2}-36}{3+2 k} \\ y=\dfrac{k+24}{3+2 k} \end{array}\right.$，
   $∵$ 直线 $2x+3y-k=0$ 和直线 $x-ky+12=0$ 的交点在 $x$ 轴上，
   $\therefore y=\dfrac{k+24}{3+2 k}=0$ ，解得 $k=-24$．
   故选：$A$．
5. 答案 $0$
   解析 $m=0$ 时，方程组化为： $\left\{\begin{array}{l} y=-1 \\ 0=3 \end{array}\right.$，无解，舍去．
   $m≠0$ 时，两条直线平行时，可得： $\dfrac{m}{3 m}=\dfrac{1}{-m} \neq \dfrac{-1}{2 m+3}$，无解．
   综上可得：$m=0$．
   故答案为：$0$．
6. 答案 $2x-y=0$
   解析 联立方程 $\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y+8=0 \\ x-y-1=0 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.$，
   $∴$ 直线 $l$ 过点 ，
   又直线 $l$ 经过原点，
   $∴$ 直线 $l$ 的方程为 $y=2x$，即 $2x-y=0$.
7. 答案 $-1$
   解析 把 $M(1,1)$ 分别代入直线 $l_1$ 和直线 $l_2$ 的方程，
   有 $a+1+1=0$,$2-b-1=0$
   所以 $a=-2$,$b=1$，所以 $a+b=-1$．
   故答案为：$-1$．
8. 答案 (1) $x+2y-11=0$ (2)$2x+y-7=0$ (3) $3x+y-8=0$
   解析 直线 $y=2x+3$ 与 $3x－y+2=0$ 的交点为 $(1,5)$，
   (1) 当斜率为 $-\dfrac{1}{2}$ 时，由直线的点斜式方程得：直线方程为 $y－5=-\dfrac{1}{2}(x－1)$．
   直线方程为 $x+2y－11=0$．
   (2) 过点 $P(2,3)$ 时，由两点式得： $y-5=\dfrac{3-5}{2-1}(x-1)$ 即为 $y=－2x+7$．
   直线方程为 $2x+y－7=0$．
   (3) 平行于直线 $3x+y=1$ 时，得直线斜率为 $k=－3$，直线方程为 $y－5=－3(x－1)$，
   直线方程为 $3x+y－8=0$．
   方法二 由直线系方程可设所求直线为 $2x+3-y+λ(3x－y+2)=0$
   (1) $2x+3-y+λ(3x－y+2)=0$$⇒(2+3λ)x-(λ+1)y+2λ+3=0$
   直线的斜率为 $-\dfrac{1}{2}$ 时， $\dfrac{2+3 \lambda}{\lambda+1}=-\dfrac{1}{2}$，解得 $\lambda=-\dfrac{5}{7}$，
   故所求直线方程为 $x+2y－11=0$．
   (2) 过点 $P(2,3)$ 时，代入方程得 $4+5 \lambda=0 \Rightarrow \lambda=-\dfrac{4}{5}$，
   故所求直线方程为 $2x+y－7=0$．
   (3) 平行于直线 $3x+y=1$ 时， $\dfrac{2+3 \lambda}{\lambda+1}=-3$，解得 $\lambda=-\dfrac{5}{6}$,
   故所求直线方程为 $3x+y－8=0$．
    

【B组---提高题】

1. 已知 $P_1 (a_1,b_1)$ 与 $P_2 (a_2,b_2)$ 是直线 $y=kx+1$($k$ 为常数) 上两个不同的点，则关于 $l_1：a_1 x+b_1 y－1=0$ 和 $l_2：a_2 x+b_2 y－1=0$ 的交点情况是 (　　)
 A．存在 $k$，$P_1$,$P_2$ 使之无交点
 B．存在 $k$，$P_1$,$P_2$ 使之有无穷多交点
 C．无论 $k$，$P_1$,$P_2$ 如何，总是无交点
 D．无论 $k$，$P_1$,$P_2$ 如何，总是唯一交点
 

2. 已知两直线 $l_1:x-2y+4=0$,$l_2:4x+3y+5=0$．
  (1) 求直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点 $P$ 的坐标；
  (2) 求过 $l_1$，$l_2$ 交点 P，且在两坐标轴截距相等的直线方程；
  (3) 若直线 $l_3:ax+2y-6=0$ 与 $l_1$，$l_2$ 不能构成三角形，求实数 $a$ 的值．
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $P_1 (a_1,b_1)$ 与 $P_2 (a_2,b_2)$ 是直线 $y=kx+1$($k$ 为常数) 上两个不同的点，
   直线 $y=kx+1$ 的斜率存在，
   $\therefore k=\dfrac{b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}$，即 $a_1≠a_2$，并且 $b_1=ka_1+1$，$b_2=ka_2+1$，
   $\therefore a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}=k a_{1} a_{2}-k a_{1} a_{2}+a_{2}-a_{1}=a_{2}-a_{1}$，
   $\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y=1 \\ a_{2} x+b_{2} y=1 \end{array}\right.$，解得：$(a_1 b_2－a_2 b_1)x=b_2－b_1$，
   即 $(a_1－a_2)x=b_2－b_1$．
   $∴$ 方程组有唯一解．
   故选：$D$．
2. 答案 (1) $(-2,1)$ (2) $x+y+1=0$ 或 $x+2y=0$ (3) $a=-1$ 或 $\dfrac{8}{3}$ 或 $-2$
   解析 (1) 由 $\left\{\begin{array}{l} x-2 y+4=0 \\ 4 x+3 y+5=0 \end{array}\right.$，解得： $\left\{\begin{array}{l} x=-2 \\ y=1 \end{array}\right.$，
   所以点 $P$ 的坐标为 $(-2,1)$；
   (2) 设所求直线为 $l$，
   当直线 $l$ 在两坐标轴截距不为零时，
   设直线方程为： $\dfrac{x}{t}+\dfrac{y}{t}=1$，则 $\dfrac{-2}{t}+\dfrac{1}{t}=1$，解得 $t=-1$，
   所以直线的 $l$ 方程为 $\dfrac{x}{-1}+\dfrac{y}{-1}=1$，即 $x+y+1=0$；
   当直线 $l$ 在两坐标轴截距为零时，
   设直线方程为：$y=kx$，则 $1=k×(-2)$，解得 $k=-\dfrac{1}{2}$，
   所以直线的 $l$ 方程为 $y=-\dfrac{1}{2} x$，即 $x+2y=0$；
   综上，直线的 $l$ 方程为 $x+y+1=0$ 或 $x+2y=0$；
   (3) 当 $l_3$ 与 $l_1$ 平行时不能构成三角形，此时：$a×(-2)-2×1=0$，解得 $a=-1$；
   (ii) 当 $l_3$ 与 $l_2$ 平行时不能构成三角形，此时：$a×3-2×4=0$，解得 $a=\dfrac{8}{3}$；
   (iii) 当 $l_3$ 过 $l_1$，$l_2$ 的交点时不能构成三角形，
   此时：$a×(-2)+2×1-6=0$，解得 $a=-2$．
   综上，当 $a=-1$ 或 $\dfrac{8}{3}$ 或 $-2$ 时，不能构成三角形．
    

【C组---拓展题】

1. 若 $k>4$，直线 $kx－2y－2k+8=0$ 与 $2x+k^2 y－4k^2－4=0$ 和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $\left(\dfrac{17}{4}, 8\right)$
   解析 如图所示：
   
   直线 $L：kx－2y－2k+8=0$ 即 $k(x－2)－2y+8=0$，过定点 $B(2,4)$，
   与 $y$ 轴的交点 $D(0,4－k)$，与 $x$ 轴的交点 $A\left(2-\dfrac{8}{k}, 0\right)$，
   直线 $M：2x+k^2 y－4k^2－4=0$，即 $2x+k^2 (y－4)－4=0$，
   过定点 $B(2,4 )$，与 $x$ 轴的交点 $E(2k^2+2,0)$，
   与 $y$ 轴的交点 $C\left(0,4+\dfrac{4}{k^{2}}\right)$，
   由题意，四边形 $OABC$ 的面积等于 $△OCE$ 面积－$△ABE$ 面积，
   $∴$ 所求四边形的面积为 $S=\dfrac{1}{2} \times\left(4+\dfrac{4}{k^{2}}\right)\left(2 k^{2}+2\right)-\dfrac{1}{2} \times 4 \times\left(2 k^{2}+2-2+\dfrac{8}{k}\right)$
   $=\dfrac{4}{k^{2}}-\dfrac{16}{k}+8=4\left(\dfrac{1}{k}-2\right)^{2}-8$，
   $∵k>4$， $\therefore 0<\dfrac{1}{k}<\dfrac{1}{4}$，
   则 $\dfrac{17}{4}<S<8$
   故 $k>4$ 时，直线 $kx－2y－2k+8=0$ 与 $2x+k^2 y－4k^2－4=0$ 和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 $\left(\dfrac{17}{4}, 8\right)$．