2.3.1 两条直线的交点
\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)
选择性必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
两条直线的交点
设两条直线的方程是\(l_1 ∶ A_1 x+B_1 y+C_1=0\) ,\(l_2 ∶ A_2 x+B_2 y+C_2=0\) ，
两条直线的交点坐标就是方程组 \(\left\{\begin{array}{l}
A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0 \\
A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0
\end{array}\right.\)的解.
(1) 若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
(2) 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
(3) 若方程组有无数个解，则两条直线重合.
【例1】直线\(3x+4y-2=0\)与直线\(2x+y+2=0\)的交点坐标是( )
A．\((2,2)\) \(\qquad \qquad\) B．\((2,-2)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-2,2)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-2,-2)\)
解析 由 \(\left\{\begin{array}{c}
3 x+4 y-2=0 \\
2 x+y+2=0
\end{array}\right.\)解得 \(\left\{\begin{array}{c}
x=-2 \\
y=2
\end{array}\right.\)，故选\(C\).
【例2】若关于\(x、y\)的方程组 \(\left\{\begin{array}{l}
x+y=m \\
x+n y=1
\end{array}\right.\)有无穷多组解，则\(m+n\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 关于\(x、y\)的方程组 \(\left\{\begin{array}{l}
x+y=m \\
x+n y=1
\end{array}\right.\)有无穷多组解，
则直线\(x+y=m\)和直线\(x+ny=1\)重合，
故\(m=1\)，\(n=1\)，所以\(m+n=2\)．
故答案为：\(2\)．
经过两直线交点的直线系
过两条已知直线\(l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0\)和\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)交点的直线系方程
\(A_1 x+B_1 y+C_1+λ(A_2 x+B_2 y+C_2 )=0\)
(\(λ∈R\) , 这个直线系下不包括 直线\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)，解题时注意检验\(l_2\)是否满足题意)
【例】 求经过点\(P(1,0)\)和两直线\(l_1：x+2y－2=0\)，\(l_2：3x-2y+2=0\)交点的直线方程．
解析 设所求直线方程为\(x+2y-2+λ(3x－2y+2)=0\)．
\(∵\)点\(P(1,0)\)在直线上，\(∴1-2+λ(3+2)=0\) ．\(∴λ=\dfrac{1}{5}\)．
\(∴\)所求方 程为 \(x+2 y-2+\dfrac{1}{5}(3 x-2 y+2)=0\)，
即\(x+y-1=0\)．
基本方法
【题型1】两直线的交点
【典题1】 已知直线\(kx－y+1=0\)和\(x－ky=0\)相交，且交点在第二象限，则实数\(k\)的取值范围为( )
A．\((－1,0)\) \(\qquad \qquad\) B．\((0,1]\) \(\qquad \qquad\) C．\((0,1)\) \(\qquad \qquad\) D．\((1,+∞)\)
解析 联立方程 \(\left\{\begin{array}{l}
k x-y+1=0 \\
x-k y=0
\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}
x=\dfrac{k}{1-k^{2}} \\
y=\dfrac{1}{1-k^{2}}
\end{array}\right.\)，
因为交点在第二象限，所以 \(\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{k}{1-k^{2}}<0 \\
\dfrac{1}{1-k^{2}}>0
\end{array}\right.\)，解得\(－1<k<0\)，
故实数\(k\)的取值范围为\((－1,0)\)．
故选：\(A\)．
【典题2】已知直线\(l_1:2x+3y+8=0\)，\(l_2:x-y-1=0\)， \(l_{3}: x+k y+k+\dfrac{1}{2}=0\)，
分别求满足下列条件的\(k\)的值：(1)\(l_1\),\(l_2\),\(l_3\)相交于一点；(2)\(l_1\),\(l_2\),\(l_3\)围成三角形．
解析 (1)因为三直线\(2x+3y+8=0\)，\(x-y-1=0\)和 \(x+k y+k+\dfrac{1}{2}=0\)相交于一点，
所以解 \(\left\{\begin{array}{l}
2 x+3 y+8=0 \\
x-y-1=0
\end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-1 \\
y=-2
\end{array}\right.\)，即交点为\((-1,-2)\)，
所以 \(-1+(-2) k+k+\dfrac{1}{2}=0\)，解得\(k=-\dfrac{1}{2}\)．
(2)要满足\(l_1\),\(l_2\),\(l_3\)围成三角形．则直线\(l_3\)与\(l_1\),\(l_2\)不平行，且三条直线不能相交于一点．
\(∴2k-3≠0\),\(k+1≠0\),\(k≠-\dfrac{1}{2}\)．
解得\(k≠\dfrac{3}{2}\),\(-1\),\(-\dfrac{1}{2}\)．
\(∴k≠\dfrac{3}{2}\),\(-1\),\(-\dfrac{1}{2}\)时三条直线可以围成三角形．
【典题3】求过直线\(x+2y+1=0\)与直线\(2x-y+1=0\)的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
解析 设所求直线方程为\(x+2y+1+λ(2x-y+1)=0\) (*)，
当直线过原点时，则\(1+λ=0\)，则\(λ=-1\)，
此时所求直线方程为\(x-2y=0\).
当直线不过原点时，令\(x=0\)，解得 \(y=\dfrac{\lambda+1}{\lambda-2}\)，
令\(y=0\)，解得 \(x=-\dfrac{\lambda+1}{2 \lambda+1} \text {, }\)，
由题意得 \(\dfrac{\lambda+1}{\lambda-2}=-\dfrac{\lambda+1}{2 \lambda+1}\)，解得 \(\lambda=\dfrac{1}{3}\)，
此时所求直线方程为\(5x+5y+4=0\)，
\((*)\)中不包括直线\(2x-y+1\)，而它显然满足题意，
综上所述，所求直线方程为\(x-2y=0\)或\(5x+5y+4=0\).
巩固练习
1.直线\(kx－y－1=0\)与直线\(x+2y－2=0\)的交点在第四象限，则实数\(k\)的取值范围为( )
A． \(\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) B． \(\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)\) \(\qquad \qquad\) C． \(\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\) \(\qquad \qquad\) D． \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right)\)
2.直线\(x+my+12=0\)与直线\(2x+3y+m=0\)的交点在\(y\)轴上，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
3.两直线\((m+2)x-y+m=0\),\(x+y=0\)与\(x\)轴相交且能构成三角形，则\(m\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
4.已知一条直线过点\(P(2,－3)\)与直线\(2x－y－1=0\)和直线\(x+2y－4=0\)分别交于点\(A,B\)．且点\(P\)为线段\(AB\)的中点，求这条直线的方程．
5.在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(A(1,2)\)，点\(M(4,2)\)，点\(N\)在线段\(OA\)的延长线上．设直线\(MN\)与直线\(OA\)及\(x\)轴围成的三角形面积为\(S\)，求\(S\)的最小值．
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 由题意可得 \(\left\{\begin{array}{l} k x-y-1=0 \\ x+2 y-2=0 \end{array}\right.\)，解得 \(x=\dfrac{4}{2 k+1}\)， \(y=\dfrac{2 k-1}{1+2 k}\)，
\(\therefore \dfrac{4}{1+2 k}>0\)且 \(\dfrac{2 k-1}{1+2 k}<0\)，
\(\therefore-\dfrac{1}{2}<k<\dfrac{1}{2}\)，
故选：\(A\)． - 答案 \(±6\)
解析 由题意可得：分别令\(x=0\)得到 \(y=-\dfrac{12}{m}\)和 \(y=-\dfrac{m}{3}\)，
因为两条直线\(x+my+12=0\)与直线\(2x+3y+m=0\)的交点在\(y\)轴上，
所以 \(\dfrac{12}{m}=\dfrac{m}{3}\)，解得\(m=±6\)． - 答案 \(m≠－2\)且\(m≠－3\)且\(m≠0\)
解析 由题知，三条直线中任意两条均有交点，且三条直线不能经过同一点．
于是：①\(m+2≠0\)；②\(m+2≠－1\)；③\((m+2)⋅0－0+m≠0\)．
综上,\(m≠－2\)且\(m≠－3\)且\(m≠0\)． - 答案 \(x－2y－8=0\)
解析 \(∵\)点\(A,B\)分别在直线\(2x－y－1=0\)和直线\(x+2y－4=0\)上，
\(∴\)可以设点\(A,B\)的坐标分别为\(A(m,2m－1)\),\(B(4－2n,n)\)
\(∵\)点\(P(2,－3)\)为线段\(AB\)的中点
\(\therefore \dfrac{m+4-2 n}{2}=2\)， \(\dfrac{2 m-1+n}{2}=-3\)，解得\(m=－2\),\(n=－1\)
\(∴\)点\(A,B\)的坐标分别为\(A(－2,－5)\),\(B(6,－1)\)
\(∴\)直线\(AB\)的斜率为 \(k=\dfrac{-5-(-1)}{-2-6}=\dfrac{1}{2}\)
\(∴\)所求直线的方程为 \(y+1=\dfrac{1}{2}(x-6)\)，
化为一般式可得\(x－2y－8=0\)． - 解析 设\(MN\)与\(x\)轴交点的横坐标为\(a\)，则 \(M N: y=\dfrac{2}{4-a}(x-a)\)，
直线\(OA：y=2x\)，
由 \(\left\{\begin{array}{l} y=2 x \\ y=\dfrac{2}{4-a}(x-a) \end{array}\right.\)，所以 \(N\left(\dfrac{a}{a-3}, \dfrac{2 a}{a-3}\right),(a>3)\)
\(S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{2 a}{a-3}=\dfrac{a^{2}-9+9}{a-3}=a-3+\dfrac{9}{a-3}+6\)\(\geq 2 \sqrt{9}+6=12\)，
当且仅当\(a=6\)，取等号，
故\(S\)的最小值为\(12\)．
【题型2】过两直线交点的直线系
【典题1】 求过两直线\(x-2y+4=0\)和\(x+y-2=0\)的交点\(P\)，且分别满足下列条件的直线\(l\)的方程．
(1)过点\((2 ,1)\)； (2)和直线\(3x-4y+5=0\)垂直．
答案 (1) \(x+2y-4=0\) (2)\(4x+3y-6=0\)
解析 由 \(\left\{\begin{array}{l}
x-2 y+4=0 \\
x+y-2=0
\end{array}\right.\) 解得 \(\left\{\begin{array}{l}
x=0 \\
y=2
\end{array}\right.\)，\(∴P(0 ,2)\)．
(1) 方法一 由两点的坐标求得斜率为 \(k_{l}=\dfrac{2-1}{0-2}=-\dfrac{1}{2}\)，
由点斜式求得直线方程为\(y-2=-\dfrac{1}{2}(x-0)\)，
化简得\(x+2y－4=0\)．
方法二 设过点\(P\)的直线方程为\(x-2y+4+λ(x+y-2)=0\)，
\(∵\)过点\((2 ,1)\)，\(∴2-2+4+λ=0⇒λ=-4\)，
故所求直线方程为\(x-2y+4-4(x+y-2)=0⇒x+2y-4=0\).
(2)方法一 依题意得所求直线的斜率为 \(k_{2}=-\dfrac{4}{3}\)，
由点斜式求得直线方程为\(y-2=-\dfrac{4}{3}(x-0)\)，即\(4x+3y-6=0\)．
方法二 设所求直线为\(4x+3y+λ=0\)
\(∵\)过点\(P(0 ,2)\)，\(∴0+6+λ=0⇒λ=-6\)，
故所求直线方程为\(4x+3y-6=0\).
巩固练习
1.求经过两直线\(l_1：x-2y+4=0\)和\(l_2：x+y-2=0\)的交点\(P\)，且与直线\(l_3：3x-4y+5=0\)垂直的直线\(l\)的方程．
2.求经过两条直线\(2x-3y-3=0\)和\(x+y+2=0\)的交点且与直线\(3x+y-1=0\)平行的直线\(l\)的方程．
参考答案
- 答案 \(4x+3y-6=0\)
解析 解法一：解方程组 \(\left\{\begin{array}{l} x-2 y+4=0 \\ x+y-2=0 \end{array}\right.\)得交点\(P\)坐标为\((0,2)\)，
又\(l_3\)的斜率为\(\dfrac{3}{4}\)，\(∴\)直线\(l\)的斜率为\(-\dfrac{4}{3}\)．
由点斜式得 \(y-2=-\dfrac{4}{3}(x-0)\)，即\(4x+3y-6=0\)．
解法二：设直线\(l\)的方程为\(x-2y+4+λ(x+y-2)=0\)．
即\((1+λ)x+(λ－2)y+4－2λ=0\)．
\(∵l⊥l_3\) ，\(∴3(1+λ)-4(λ-2)=0\)，解得\(λ=11\)．
\(∴\)直线\(l\)的方程为\((1+11)x+(11-2)y+4－2×11=0\)．
化简得\(4x+3y-6=0\)． - 答案 \(15x+5y+16=0\)
解析 方法一 由方程组 \(\left\{\begin{array}{l} 2 x-3 y-3=0 \\ x^{+} y+2=0 \end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-\dfrac{3}{5} \\ y=-\dfrac{7}{5} \end{array}\right.\)
\(∵\)直线\(l\)和直线\(3x+y－1=0\)平行，\(∴\)直线\(l\)的斜率\(k=-3\)．
\(∴\)根据点斜式有 \(y-\left(-\dfrac{7}{5}\right)=-3\left[x-\left(-\dfrac{3}{5}\right)\right]\)，
即所求直线方程为\(15x+5y+16=0\)．
方法二 设直线\(l\)的方程为\((2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0\)，
即\((2+λ)x+(λ－3)y+2λ-3=0\)．
\(∵\)直线\(l\)与直线\(3x+y-1=0\)平行，\(∴2+λ-3(λ-3)=0\)，解得\(λ=\dfrac{11}{2}\)．
\(∴\)直线\(l\)的方程为 \(\left(2+\dfrac{11}{2}\right) x+\left(\dfrac{11}{2}-3\right) y+2 \times \dfrac{11}{2}-3=0\)．
化简得\(15x+5y+16=0\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.若三条直线\(2x+3y+8=0\)，\(x－y－1=0\)和\(x+ky=0\)交于一点，则\(k\)的值为( )
A．\(－2\) \(\qquad \qquad\) B． \(-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{1}{2}\)
2.曲线\(y=|x|\)与\(y=kx+1\)的交点的情况是( )
A．最多有两个交点 \(\qquad \qquad\) B．两个交点 \(\qquad \qquad\) C．一个交点 \(\qquad \qquad\) D．无交点
3.若直线 \(l: y=k x-\sqrt{3}\)与直线\(2x+3y－6=0\)的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A． \(\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{3}\right)\) \(\qquad \qquad\) B． \(\left[\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right]\) \(\qquad \qquad\) C． \(\left(\dfrac{\pi}{3}, \dfrac{\pi}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) D． \(\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)\)
4.直线\(2x+3y-k=0\)和直线\(x-ky+12=0\)的交点在x轴上，则\(k\)的值为( )
A．\(-24\) \(\qquad \qquad\) B．\(24\) \(\qquad \qquad\) C．\(6\)\(\qquad \qquad\) D．\(±6\)
5.关于\(x,y\)的二元一次方程组 \(\left\{\begin{array}{l}
m x+y=-1 \\
3 m x-m y=2 m+3
\end{array}\right.\)无解，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.直线\(l\)经过原点，且经过直线\(2x+3y+8=0\)和\(x-y-1=0\)的交点，则直线\(l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\).
7.已知直线\(l_1:ax+y+1=0\)与\(l_2:2x-by-1=0\)相交于点\(M(1,1)\)，则\(a+b=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
8.求过两条直线\(y=2x+3\)与\(3x-y+2=0\)的交点，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)斜率为 \(-\dfrac{1}{2}\)；(2)过点\(P(2 ,3)\)；(3)平行于直线\(3x+y=1\)．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 依题意， \(\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y+8=0 \\ x-y-1=0 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.\)，
\(∴\)两直线\(2x+3y+8=0\)和\(x－y－1=0\)的交点坐标为\((－1,－2)\)．
\(∵\)直线\(x+ky=0\)，\(2x+3y+8=0\)和\(x－y－1=0\)交于一点，
\(∴－1－2k=0\)， \(\therefore k=-\dfrac{1}{2}\)．
故选：\(B\)． - 答案 \(A\)
解析 联立两条直线方程得： \(\left\{\begin{array}{l} y=|x| \\ y=k x+1 \end{array}\right.\)得到\(|x|=kx+1\)，
两边平方得：\((k^2－1) x^2+2kx+1=0\)，
当\(k^2－1≠0\)即\(k≠±1\)时， \(\Delta=(2 k)^{2}-4\left(k^{2}-1\right)=4>0\)，
得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．
当\(k=±1\)时，得到\(y=±x+1\)，与曲线只有一个交点．
所以曲线\(y=|x|\)与\(y=kx+1\)的最多有两个交点．
故选：\(A\)． - 答案 \(D\)
解析 联立两直线方程得： \(\left\{\begin{array}{l} y=k x-\sqrt{3} \\ 2 x+3 y-6=0 \end{array}\right.\)，解得 \(x=\dfrac{3 \sqrt{3}+6}{2+3 k}\)， \(y=\dfrac{6 k-2 \sqrt{3}}{2+3 k}\)，
\(∵\)两直线的交点在第一象限， \(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{3 \sqrt{3}+6}{2+3 k}>0 \\ \dfrac{6 k-2 \sqrt{3}}{2+3 k}>0 \end{array}\right.\)，解得 \(k>\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
设直线\(l\)的倾斜角为\(θ\)，则 \(\tan \theta>\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)， \(\therefore \theta \in\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)\)．
故选：\(D\)． - 答案 \(A\)
解析 联立 \(\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y-k=0 \\ x-k y+12=0 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{k^{2}-36}{3+2 k} \\ y=\dfrac{k+24}{3+2 k} \end{array}\right.\)，
\(∵\)直线\(2x+3y-k=0\)和直线\(x-ky+12=0\)的交点在\(x\)轴上，
\(\therefore y=\dfrac{k+24}{3+2 k}=0\) ，解得\(k=-24\)．
故选：\(A\)． - 答案 \(0\)
解析 \(m=0\)时，方程组化为： \(\left\{\begin{array}{l} y=-1 \\ 0=3 \end{array}\right.\)，无解，舍去．
\(m≠0\)时，两条直线平行时，可得： \(\dfrac{m}{3 m}=\dfrac{1}{-m} \neq \dfrac{-1}{2 m+3}\)，无解．
综上可得：\(m=0\)．
故答案为：\(0\)． - 答案 \(2x-y=0\)
解析 联立方程 \(\left\{\begin{array}{l} 2 x+3 y+8=0 \\ x-y-1=0 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.\)，
\(∴\)直线\(l\)过点 ，
又直线\(l\)经过原点，
\(∴\)直线\(l\)的方程为\(y=2x\)，即\(2x-y=0\). - 答案 \(-1\)
解析 把\(M(1,1)\)分别代入直线\(l_1\)和直线\(l_2\)的方程，
有\(a+1+1=0\),\(2-b-1=0\)
所以\(a=-2\),\(b=1\)，所以\(a+b=-1\)．
故答案为：\(-1\)． - 答案 (1) \(x+2y-11=0\) (2)\(2x+y-7=0\) (3) \(3x+y-8=0\)
解析 直线\(y=2x+3\)与\(3x－y+2=0\)的交点为\((1,5)\)，
(1)当斜率为 \(-\dfrac{1}{2}\)时，由直线的点斜式方程得：直线方程为\(y－5=-\dfrac{1}{2}(x－1)\)．
直线方程为\(x+2y－11=0\)．
(2)过点\(P(2,3)\)时，由两点式得： \(y-5=\dfrac{3-5}{2-1}(x-1)\)即为\(y=－2x+7\)．
直线方程为\(2x+y－7=0\)．
(3)平行于直线\(3x+y=1\)时，得直线斜率为\(k=－3\)，直线方程为\(y－5=－3(x－1)\)，
直线方程为\(3x+y－8=0\)．
方法二 由直线系方程可设所求直线为\(2x+3-y+λ(3x－y+2)=0\)
(1) \(2x+3-y+λ(3x－y+2)=0\)\(⇒(2+3λ)x-(λ+1)y+2λ+3=0\)
直线的斜率为 \(-\dfrac{1}{2}\)时， \(\dfrac{2+3 \lambda}{\lambda+1}=-\dfrac{1}{2}\)，解得 \(\lambda=-\dfrac{5}{7}\)，
故所求直线方程为\(x+2y－11=0\)．
(2) 过点\(P(2,3)\)时，代入方程得 \(4+5 \lambda=0 \Rightarrow \lambda=-\dfrac{4}{5}\)，
故所求直线方程为\(2x+y－7=0\)．
(3) 平行于直线\(3x+y=1\)时， \(\dfrac{2+3 \lambda}{\lambda+1}=-3\)，解得 \(\lambda=-\dfrac{5}{6}\),
故所求直线方程为\(3x+y－8=0\)．
【B组---提高题】
1.已知\(P_1 (a_1,b_1)\)与\(P_2 (a_2,b_2)\)是直线\(y=kx+1\)(\(k\)为常数)上两个不同的点，则关于\(l_1：a_1 x+b_1 y－1=0\)和\(l_2：a_2 x+b_2 y－1=0\)的交点情况是( )
A．存在\(k\)，\(P_1\),\(P_2\)使之无交点
B．存在\(k\)，\(P_1\),\(P_2\)使之有无穷多交点
C．无论\(k\)，\(P_1\),\(P_2\)如何，总是无交点
D．无论\(k\)，\(P_1\),\(P_2\)如何，总是唯一交点
2.已知两直线\(l_1:x-2y+4=0\),\(l_2:4x+3y+5=0\)．
(1)求直线\(l_1\)与\(l_2\)的交点\(P\)的坐标；
(2)求过\(l_1\)，\(l_2\)交点P，且在两坐标轴截距相等的直线方程；
(3)若直线\(l_3:ax+2y-6=0\)与\(l_1\)，\(l_2\)不能构成三角形，求实数\(a\)的值．
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 \(P_1 (a_1,b_1)\)与\(P_2 (a_2,b_2)\)是直线\(y=kx+1\)(\(k\)为常数)上两个不同的点，
直线\(y=kx+1\)的斜率存在，
\(\therefore k=\dfrac{b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}\)，即\(a_1≠a_2\)，并且\(b_1=ka_1+1\)，\(b_2=ka_2+1\)，
\(\therefore a_{2} b_{1}-a_{1} b_{2}=k a_{1} a_{2}-k a_{1} a_{2}+a_{2}-a_{1}=a_{2}-a_{1}\)，
\(\left\{\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y=1 \\ a_{2} x+b_{2} y=1 \end{array}\right.\)，解得：\((a_1 b_2－a_2 b_1)x=b_2－b_1\)，
即\((a_1－a_2)x=b_2－b_1\)．
\(∴\)方程组有唯一解．
故选：\(D\)． - 答案 (1) \((-2,1)\) (2) \(x+y+1=0\)或\(x+2y=0\) (3) \(a=-1\)或 \(\dfrac{8}{3}\)或\(-2\)
解析 (1)由 \(\left\{\begin{array}{l} x-2 y+4=0 \\ 4 x+3 y+5=0 \end{array}\right.\)，解得： \(\left\{\begin{array}{l} x=-2 \\ y=1 \end{array}\right.\)，
所以点\(P\)的坐标为\((-2,1)\)；
(2)设所求直线为\(l\)，
当直线\(l\)在两坐标轴截距不为零时，
设直线方程为： \(\dfrac{x}{t}+\dfrac{y}{t}=1\)，则 \(\dfrac{-2}{t}+\dfrac{1}{t}=1\)，解得\(t=-1\)，
所以直线的\(l\)方程为 \(\dfrac{x}{-1}+\dfrac{y}{-1}=1\)，即\(x+y+1=0\)；
当直线\(l\)在两坐标轴截距为零时，
设直线方程为：\(y=kx\)，则\(1=k×(-2)\)，解得 \(k=-\dfrac{1}{2}\)，
所以直线的\(l\)方程为 \(y=-\dfrac{1}{2} x\)，即\(x+2y=0\)；
综上，直线的\(l\)方程为\(x+y+1=0\)或\(x+2y=0\)；
(3) 当\(l_3\)与\(l_1\)平行时不能构成三角形，此时：\(a×(-2)-2×1=0\)，解得\(a=-1\)；
(ii)当\(l_3\)与\(l_2\)平行时不能构成三角形，此时：\(a×3-2×4=0\)，解得 \(a=\dfrac{8}{3}\)；
(iii)当\(l_3\)过\(l_1\)，\(l_2\)的交点时不能构成三角形，
此时：\(a×(-2)+2×1-6=0\)，解得\(a=-2\)．
综上，当\(a=-1\)或 \(\dfrac{8}{3}\)或\(-2\)时，不能构成三角形．
【C组---拓展题】
1.若\(k>4\)，直线\(kx－2y－2k+8=0\)与\(2x+k^2 y－4k^2－4=0\)和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(\left(\dfrac{17}{4}, 8\right)\)
解析 如图所示：
直线\(L：kx－2y－2k+8=0\)即\(k(x－2)－2y+8=0\)，过定点\(B(2,4)\)，
与\(y\) 轴的交点\(D(0,4－k)\)，与\(x\) 轴的交点 \(A\left(2-\dfrac{8}{k}, 0\right)\)，
直线\(M：2x+k^2 y－4k^2－4=0\)，即 \(2x+k^2 (y－4)－4=0\)，
过定点\(B(2,4 )\)，与\(x\)轴的交点\(E(2k^2+2,0)\)，
与\(y\)轴的交点 \(C\left(0,4+\dfrac{4}{k^{2}}\right)\)，
由题意，四边形\(OABC\)的面积等于\(△OCE\)面积－\(△ABE\)面积，
\(∴\)所求四边形的面积为 \(S=\dfrac{1}{2} \times\left(4+\dfrac{4}{k^{2}}\right)\left(2 k^{2}+2\right)-\dfrac{1}{2} \times 4 \times\left(2 k^{2}+2-2+\dfrac{8}{k}\right)\)
\(=\dfrac{4}{k^{2}}-\dfrac{16}{k}+8=4\left(\dfrac{1}{k}-2\right)^{2}-8\)，
\(∵k>4\)， \(\therefore 0<\dfrac{1}{k}<\dfrac{1}{4}\)，
则 \(\dfrac{17}{4}<S<8\)
故\(k>4\)时，直线\(kx－2y－2k+8=0\)与\(2x+k^2 y－4k^2－4=0\)和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 \(\left(\dfrac{17}{4}, 8\right)\)．
