2.2.3 直线的一般式方程

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【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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选择性必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

直线的一般式方程

关于 $x,y$ 的二元一次方程 $Ax+By+C=0$(其中 $A,B$ 不同时为 $0$) 叫做直线的一般式方程，简称一般式.
解释
① 任何一直线都可以表示为一个关于 $x,y$ 的二元一次方程；
② 对于任意一个二元一次方程 $Ax+By+C=0$(其中 $A,B$ 不同时为 $0$) 也可以表示一条直线.
当 $B=0$ 时，方程变形为 $x=-\dfrac{C}{A}$，它表示过点 $\left(-\dfrac{C}{A}, 0\right)$，且垂直 $x$ 轴的直线；
当 $B≠0$ 时，方程变形为 $y=-\dfrac{A}{B} x-\dfrac{C}{B}$，它表示 $\left(0,-\dfrac{C}{B}\right)$，斜率为 $-\dfrac{A}{B}$ 的直线.
③ 一般式 $Ax+By+C=0$ 的直线一方向向量为 $\vec{n}=(B,-A)$，斜率 $k=-\dfrac{A}{B}(B \neq 0)$.
 

【例】把直线 $l$ 的一般式方程 $2x-3y+6=0$ 化为斜截式，求出直线 $l$ 的斜率及其在 $x$ 轴与 $y$ 轴的截距，并画出图形.
解析 直线方程化为斜截式为 $y=\dfrac{2}{3} x+2$，直线斜率为 $\dfrac{2}{3}$，直线 $y$ 轴的截距为 $2$；
令 $y=0$ 得 $x=-3$，故直线在 $x$ 轴的截距为 $-3$，
其图形如下图

 

两直线的位置关系

直线位置关系
直线方程	$l_1:y=k_1x+b_1$ $l_2:y=k_2 x+b_2$	$l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0$ $l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0$
重合	$k_1=k_2$且$b_1=b_2$	$\dfrac{A_{1}}{A_{2}}=\dfrac{B_{1}}{B_{2}}=\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\left(A_{2} B_{2} C_{2} \neq 0\right)$
相交	$k_1≠k_2$	$\dfrac{A_{1}}{A_{2}} \neq \dfrac{B_{1}}{B_{2}}\left(A_{2} B_{2} \neq 0\right)$
平行	$k_1=k_2$且$b_1≠b_2$	$\dfrac{A_{1}}{A_{2}}=\dfrac{B_{1}}{B_{2}} \neq \dfrac{C_{1}}{C_{2}}\left(A_{2} B_{2} C_{2} \neq 0\right)$
垂直	$k_1\cdot k_2=-1$	$A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}=0$

 
【例】已知直线 $l_1:2x-y-6=0$ 与直线 $l_2:6x-ay+4=0$，
  (1) 若 $l_1//l_2$，求 $a$ 值； (2) 若 $l_1⊥l_2$，求 $a$ 值.
解析 (1) 若 $l_1//l_2$，由 $\dfrac{6}{2}=\dfrac{-a}{-1}$ 解得 $a=3$；
(2) 若 $l_1⊥l_2$，由 $2×6+(-1)×(-a)=0$ 解得 $a=-12$.
 

方向向量与直线的参数方程 (选学内容)

直线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t \end{array}\right.$ ($t$ 为参数) ，
其表示过点 $(x_0,y_0)$ 且斜率 $k=\dfrac{n}{m}(m \neq 0)$ 的直线.
解释
① 证明 设直线 $l$ 经过点 $P_0 (x_0,y_0 )$， $\vec{v}=(m, n)$ 是它的一个方向向量，$P(x,y)$ 是直线 $l$ 上任意一点，
则向量 $\overrightarrow{P_{0} P}$ 与 $\vec{v}$ 共线，则 $\overrightarrow{P_{0} P}=t \vec{v}$，即 $(x-x_0,y-y_0 )=t(m,n)$，所以 $\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t \end{array}\right.$.

② 参数方程中的 $(m,n)$ 的几何意义是直线的方向向量，即 $k=\dfrac{n}{m}(m \neq 0)$.
③ 标准式参数方程
若直线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l} x=x_{0}+m t \\ y=y_{0}+n t \end{array}\right.$($t$ 为参数) 中 $m,n$ 满足 $m^2+n^2=1$，可称为标准式参数方程，
则参数 $t$ 是以定点 $P_0 (x_0,y_0 )$ 为起点，点 $P(x,y)$ 为终点的有向线段 $P_0 P$ 的数量，
又称为点 $P$ 与点 $P_0$ 间的有向距离．
根据 $t$ 的几何意义，有以下结论．
(i) 设 $A、B$ 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 $t_A$ 和 $t_B$，
则 $|A B|=\left|t_{B}-t_{A}\right|=\sqrt{\left(t_{B}-t_{A}\right)^{2}-4 t_{A} \cdot t_{B}}$.
(ii) 线段 $AB$ 的中点所对应的参数值等于 $\dfrac{t_{A}+t_{B}}{2}$．
(直线参数方程的应用要学到圆的方程才发挥它的威力)
 

【例】直线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l} x=1+3 t \\ y=2+4 t \end{array}\right.$ 化为直角坐标系方程，它是直线标准式参数方程么？若不是，把其化为标准式.
解析 直线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l} x=1+3 t \\ y=2+4 t \end{array}\right.$，它表示过点 $(1,2)$ 且斜率 $k=\dfrac{4}{3}$ 的直线，
化为直角坐标系方程为 $y-2=\dfrac{4}{3}(x-1)$，即 $4x-3y+2=0$；
直线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l} x=1+3 t \\ y=2+4 t \end{array}\right.$，不是直线标准式参数方程，化为标准式 $\left\{\begin{array}{l} x=1+\dfrac{3}{5} t \\ y=2+\dfrac{4}{5} t \end{array}\right.$.
 

基本方法

【题型1】一般式方程

【典题 1】 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
  (1) 斜率是 $\sqrt{3}$，且经过点 $A(5,3)$；
  (2) 斜率为 $4$，在 $y$ 轴上的截距为 $-2$；
  (3) 经过 $A(-1,5)$，$B(2,-1)$ 两点；
  (4) 在 $x,y$ 轴上的截距分别是 $-3$，$-1$．
解析 (1) 由点斜式方程可知，
所求直线方程为 $y-3=\sqrt{3}(x-5)$，化为一般式 为 $\sqrt{3} x-y+3-5 \sqrt{3}=0$．
(2) 由斜截式方程可知，所求直线方程为 $y=4x-2$，
化为一般式为 $4x-y-2=0$．
(3) 由两点式方程可知，所求直线方程为 $\dfrac{y-5}{-1-5}=\dfrac{x-(-1)}{2-(-1)}$．
化为一般式方程为 $2x+y-3=0$．
(4) 由截距式方程可得，所求直线方程为 $\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{-1}=1$，化成一般式方程为 $x+3y+3=0$．
 

【典题 2】设直线 $l$ 的方程是 $x+By－4=0$ 倾斜角为 $α$．若 $\dfrac{\pi}{6}<\alpha<\dfrac{3 \pi}{4}$，则 $B$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 $∵$ 直线 $l$ 的方程是 $x+By－4=0$ 倾斜角为 $α$，
则 $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ 时，斜率 $\tanα$ 不存在，$B=0$；
当 $\alpha \neq \dfrac{\pi}{2}$ 时， $\tan \alpha=\dfrac{1}{-B}$．
若 $\dfrac{\pi}{6}<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$，则 $\tan \alpha=\dfrac{1}{-B}>\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，求得 $-\sqrt{3}<B<0$．
若 $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\dfrac{3 \pi}{4}$，则 $-\dfrac{1}{B}<-1$，$∴0<B<1$．
综上可得，$B$ 的取值范围为 $(-\sqrt{3},0)∪(0,1)$，或 $\{0\}$，
即 $B$ 的范围为 $(-\sqrt{3},1)$，
 

【典题 3】 已知直线 $l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0$．
  (1) 求证：不论 $m$ 为何实数，直线恒过一定点 $M$；
  (2) 过定点 $M$ 作一条直线 $l_1$，使夹在两坐标轴之间的线段被 $M$ 点平分，求直线 $l_1$ 的方程．
  (3) 若直线 $l$ 与两坐标轴的负半轴围成的三角形面积最小，求 $l$ 的方程．
解析 (1) 直线 $l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0$．
化为：$m(x-2y-3)+2x+y+4=0$，
联立 $\left\{\begin{array}{l} x-2 y-3=0 \\ 2 x+y+4=0 \end{array}\right.$，解得 $x=-1，y=-2$．
可得：不论 $m$ 为何实数，直线恒过一定点 $M(-1,-2)$．
(2) 设直线 $l_1$ 与两条坐标轴分别相交于 $A(a，0)$，$B(0，b)$．
线段 $AB$ 的中点为 $M(-1,-2)$，则 $M(-1,-2)$，$b=-4$．
$∴$ 直线 $l_1$ 的方程为 $\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-4}=1$，可得：$2x+y+4=0$．
(3) 设直线 $l$ 与两条坐标轴分别相交于 $A(a,0)$，$B(0,b)$．
可得方程为 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$, 把点 $M(-1,-2)$ 代入可得：$\dfrac{-1}{a}+\dfrac{-2}{b}=1$，
$\therefore 1 \geq 2 \sqrt{\dfrac{-1}{a} \cdot \dfrac{-2}{b}}$，化为：$ab≥8$，当且仅当 $b=2a=-4$ 时取等号．
可得：直线 $l$ 与两坐标轴的负半轴围成的三角形面积最小，$S=\dfrac{1}{2}(-a)(-b)=4$．
则的方程为 $\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-4}=1$，可得：$2x+y+4=0$．
 

巩固练习

1.(多选) 下列有关直线 $l：x+my-1=0(m∈R)$ 的说法中不正确的是 (　　)
 A．直线 $l$ 的斜率为 $-m$ $\qquad \qquad$ B．直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{m}$
 C．直线 $l$ 过定点 $(0,1)$ $\qquad \qquad$ D．直线 $l$ 过定点 $(1,0)$
 

2.(多选) 已知直线 $l：(a^2+a+1)x－y+1=0$，其中 $a∈R$，下列说法正确的是 (　　)
 A．当 $a=－1$ 时，直线 $l$ 与直线 $x+y=0$ 垂直
 B．若直线 $l$ 与直线 $x－y=0$ 平行，则 $a=0$
 C．直线 $l$ 过定点 $(0,1)$
 D．当 $a=0$ 时，直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等
 

3. 直线 $x+(a^2+1)y－1=0$ 的倾斜角的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$.
 

4. 已知直线方程为 $(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0$．
 (1) 求证不论 $λ$ 取何实数值，此直线必过定点；
 (2) 过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程．
 

参考答案

1. 答案 $ABC$
   解析 当 $m≠0$ 时，直线 $l$ 的方程可变为 $y=-\dfrac{1}{m}(x-1)$，其斜率为 $-\dfrac{1}{m}$，过定点 $(1,0)$，
   当 $m=0$ 时，直线 $l$ 的方程变为 $x=1$，其斜率不存在，过点 $(1,0)$，
   故 $AB$ 不正确，$D$ 正确，
   将点 $(0,1)$ 代入直线方程得 $m-1=0$，
   故只有当 $m=1$ 时直线才会过点 $(0,1)$，即 $C$ 不正确，
   故选：$ABC$．
2. 答案 $AC$
   解析 直线 $l：(a^2+a+1)x－y+1=0$，
   对于 $A$，当 $a=－1$ 时，直线 l 的斜率 $k_1=1$，直线 $x+y=1$ 的斜率为 $－1$，直线 $l$ 与直线 $x+y=0$ 垂直，故 $A$ 正确；
   对于 $B$，若直线 $l$ 与直线 $x－y=0$ 平行，则 $a^2+a+1=1$，解得 $a=0$ 或 $a=－1$，故 $B$ 错误；
   对于 $C$，无论 $a$ 取何值，当 $x=0$ 时，$y=1$，$∴$ 直线 $l$ 过定点 $(0,1)$，故 $C$ 正确；
   对于 $D$，当 $a=0$ 时，直线 $l：x－y+1=0$ 在 $x$ 轴上的截距为 $－1$，在 $y$ 轴上的截距为 $1$，
   当 $a=0$ 时，直线 $l$ 在两坐标轴上的截距不相等，故 $D$ 错误．
   故选：$AC$．
3. 答案 $\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$
   解析 直线 $x+(a^2+1)y－1=0$ 可化为 $y=-\dfrac{1}{a^{2}+1} x+\dfrac{1}{a^{2}+1}$；
   且直线的斜率为 $k=-\dfrac{1}{a^{2}+1}$，
   由 $a^2+1≥1$，所以 $0<\dfrac{1}{a^{2}+1}≤1$，
   所以 $-1 \leq-\dfrac{1}{a^{2}+1}<0$，
   所以 $－1≤\tanθ<0$，
   又 $θ∈[0,π)$，
   所以直线的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$．
4. 证明 (1) 直线方程为 $(2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0$ 可化为：
   $∵λ(x-2y-3)+2x+y+4=0$，
   $∴$ 由 $\left\{\begin{array}{l} x-2 y-3=0 \\ 2 x+y+4=0 \end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.$，
   $∴$ 直线 $l$ 恒过定点 $M(-1,-2)$．
   (2) 当斜率不存在时，不合题意；
   当斜率存在时，设所求直线 $l_1$ 的方程为 $y+2=k(x+1)$，
   直线 $l_1$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴交于 $A、B$ 两点，则 $A\left(\dfrac{2}{k}-1,0\right)$，$B(0,k-2)$．
   $∵AB$ 的中点为 $M$，
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2}{k}-1=-2 \\ k-2=-4 \end{array}\right.$，解得 $k=-2$．
   $∴$ 所求直线 $l_1$ 的方程为 $y+2=-2(x+1)$，即：$2x+y+4=0$．
   所求直线 $l_1$ 的方程为 $2x+y+4=0$.
    

【题型2】直线的位置关系

【典题 1】 求满足下列条件的直线 $l$ 的方程：
(1) 与直线 $3x+4y-12=0$ 平行，且与直线 $2x+3y+6=0$ 在 $y$ 轴上的截距相同；
(2) 与直线 $x+2y-1=0$ 垂直，且与直线 $x+2y-4=0$ 在 $x$ 轴上的截距相同．
解析 (1) 由 $3x+4y-12=0$，得 $y=-\dfrac{3}{4} x+3$．
$∵$ 直线 $l$ 与该直线平行，
$∴$ 直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac{3}{4}$．
由 $2x+3y+6=0$，得 $y=-\dfrac{2}{3} x-2$．
$∵$ 直线 $l$ 与直线 $2x+3y+6=0$ 在 $y$ 轴上的截距相同，
$∴$ 直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $-2$．
$∴$ 直线 $l$ 的方程为 $y=-\dfrac{3}{4} x-2$，即 $3x+4y+8=0$．
(2)$∵$ 直线 $l$ 与直线 $x+2y-1=0$ 垂直，
$∴$ 直线 $l$ 的斜率为 $2$．
由 $x+2y -4=0$，得 $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1$．
∵直线 $l$ 与直线 $x+2y-4=0$ 在 $x$ 轴上的截距相同，
$∴$ 直线经过点 $(4,0)$．
$∴$ 直线 $l$ 的方程为 $y=2(x-4)$，即 $2x-y-8=0$．
 

巩固练习

1. 若直线 $x+2ay-1=0$ 与 $(a-1)x-ay+1=0$ 平行，则 $a$ 的值为 (　　)
 A．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad$ B．$\dfrac{1}{2}$ 或 $0$ $\qquad \qquad$ C．$0$ $\qquad \qquad$ D．$－2$
 

2. 经过点 $A(2,1)$，且与直线 $2x+y-10=0$ 垂直的直线 $l$ 的方程为 $\underline{\quad \quad}$．
 

3.(1) 已知直线 $l_1：2x+(m+1)y+4=0$ 与直线 $l_2：mx+3y－2=0$ 平行，求 $m$ 的值．
(2) 当 $a$ 为何值时，直线 $l_1：(a+2)x+(1－a)y－1=0$ 与直线 $l_2：(a－1)x+(2a+3)y+2=0$ 互相垂直？
(3) 求与直线 $3x+4y+1=0$ 平行且过点 $(1,2)$ 的直线 $l$ 的方程．
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 当 $a=0$ 时，两直线平行；当 $a≠0$ 时，由 $\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{2 a}{-a}$ 解得 $a=\dfrac{1}{2}$，故选 $B$.
2. 答案 $x－2y=0$.
   解析 与 $2x+y－10=0$ 垂直的直线 $l$ 为 $x-2y+c=0$，
   又过点 $A(2,1)$，则 $2-2+c=0$，即 $c=0$，即直线方程为 $x－2y=0$.
3. 答案 (1) $2$ 或 $-3$ (2) $a=1$ 或 $a=-1$ (3)$3x+4y-11=0$
   解析 (1) 由 $2×3-m(m+1)=0$，得 $m=－3$ 或 $m=2$．
   当 $m=-3$ 时，$l_1：x-y+2=0$，$l_2：3x－3y+2=0$，
   显然 $l_1$ 与 $l_2$ 不重合，$∴l_1∥l_2$．
   同理当 $m=2$ 时，$l_1：2x+3y+4=0$，$l_2：2x+3y－2=0$，$l_1$ 与 $l_2$ 不重合，$l_1∥l_2$，
   $∴m$ 的值为 $2$ 或 $-3$．
   (2) 由直线 $l_1⊥l_2$，
   $∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0$，解得 $a=±1$．
   故当 $a=1$ 或 $a=-1$ 时，直线 $l_1⊥l_2$．
   (3) 设与直线 $3x+4y+1=0$ 平行的直线 $l$ 的方程为 $3x+4y+m=0$．
   $∵l$ 经过点 $(1,2)$，$∴3×1+4×2+m=0$，解得 $m=-11$．
   $∴$ 所求直线方程为 $3x+4y-11=0$．
    

【题型3】直线的参数方程(选学内容)

【典题 1】 已知直线 $l$ 经过点 $M(-1,2)$，且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{6}$，则直线 $l$ 的一个参数方程为 (其中 $t$ 为参数) (　　)
 A． $\left\{\begin{array}{l} x=-1+\dfrac{1}{2} t \\ y=2+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}\right.$ $\qquad \qquad$ B． $\left\{\begin{array}{l} x=-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \\ y=2+\dfrac{1}{2} t \end{array}\right.$ $\qquad \qquad$
 C． $\left\{\begin{array}{l} x=2+\dfrac{1}{2} t \\ y=-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}\right.$ $\qquad \qquad$ D． $\left\{\begin{array}{l} x=2+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \\ y=-1+\dfrac{1}{2} t \end{array}\right.$
解析 $∵$ 直线 $l$ 经过点 $M(-1,2)$，且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{6}$，
$\therefore k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，即直线的方向向量为 $(3,\sqrt{3})$
则直线 l 的一个参数方程为 (其中 $t$ 为参数) 即 $\left\{\begin{array}{l} x=-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \\ y=2+\dfrac{1}{2} t \end{array}\right.$．
故选：$B$．
 

【典题 2】已知直线 $\left\{\begin{array}{l} x=3+4 t \\ y=-4+3 t \end{array}\right.$($t$ 为参数)，下列命题中错误的是 (　　)
 A．直线经过点 $(7,-1)$ $\qquad \qquad$ B．直线的斜率为 $\dfrac{3}{4}$
 C．直线不过第二象限 $\qquad \qquad$ D．$|t|$ 是定点 $M_0 (3,-4)$ 到该直线上对应点 $M$ 的距离
解析 根据题意， $\left\{\begin{array}{l} x=3+4 t \\ y=-4+3 t \end{array}\right.$($t$ 为参数)，
依次分析选项：
对于 $A$、令 $3+4t=7$ 解得 $t=1$，$y=-4+3t=-1$，故直线经过点 $(7,-1)$，$A$ 正确；
对于 $B$、直线的方向向量为 $(4,3)$，其斜率 $k=\dfrac{3}{4}$，$B$ 正确；
对于 $C$、直线过定点 $(3,-4)$, 且斜率 $k=\dfrac{3}{4}$，故直线不经过第二象限，$C$ 正确；
对于 $D$、直线 $\left\{\begin{array}{l} x=3+4 t \\ y=-4+3 t \end{array}\right.$($t$ 为参数)，不是标准式，故 $D$ 错误，化为标准式 $\left\{\begin{array}{l} x=3+\dfrac{4}{5} t^{\prime} \\ y=-4+\dfrac{3}{5} t^{\prime} \end{array}\right.$
$|t'|=|5t|$ 才是定点 $M_0 (3,-4)$ 到该直线上对应点 $M$ 的距离；
故选：$D$．
 

巩固练习

1. 以 $t$ 为参数的方程 $\left\{\begin{array}{l} x=1-\dfrac{1}{2} t \\ y=-2+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}\right.$($t$ 为参数) 表示 (　　)
 A．过点 $(1,-2)$ 且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{3}$ 的直线
 B．过点 $(-1,2)$ 且倾斜角为 $\dfrac{\pi}{3}$ 的直线
 C．过点 $(1,-2)$ 且倾斜角为 $\dfrac{2\pi}{3}$ 的直线
 D．过点 $(-1,2)$ 且倾斜角为 $\dfrac{2\pi}{3}$ 的直线
 

2. 下列直线中，与曲线 $C:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\ y=-2+4 t \end{array}\right.$($t$ 为参数) 没有公共点的是 (　　)
  A．$2x+y=0$ $\qquad \qquad$ B．$2x+y-4=0$ $\qquad \qquad$ C．$2x-y=0$ $\qquad \qquad$ D．$2x-y-4=0$
 

3. 下列点不在直线 $\left\{\begin{array}{l} x=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}\right.$($t$ 为参数) 上的是 (　　)
  A．$(-1,2)$ $\qquad \qquad$ B．$(-3,2)$ $\qquad \qquad$ C．$(1,4)$ $\qquad \qquad$ D．$(2,5)$
 

4. 若直线 $l$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l} x=-2+3 t \\ y=3-4 t \end{array}\right.$($t$ 为参数)，则直线 $l$ 的倾斜角的余弦值为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

5. 曲线 $\left\{\begin{array}{l} x=-2+5 t \\ y=1-2 t \end{array}\right.$($t$ 为参数) 与 $x$ 轴的交点是 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 根据题意，以 $t$ 为参数的方程 $\left\{\begin{array}{l} x=1-\dfrac{1}{2} t \\ y=-2+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}\right.$ 的直线斜率为 $k=-\sqrt{3}$，
   表示为过点 $(1,-2)$ 且倾斜角为 $\dfrac{2\pi}{3}$ 的直线，故选：$C$．
2. 答案 $C$
   解析 曲线 $C:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\ y=-2+4 t \end{array}\right.$($t$ 为参数) 的斜率 $k=2$，且过 $(1,-2)$，
   其直角坐标方程为 $2x-y-4=0$，
   选项中斜率为 $2$ 的直线为 $C$，$D$，而 $D$ 与曲线 $C$ 重合，有无数个公共点，排除．
   故选：$C$．
3. 答案 $B$
   解析 直线 $\left\{\begin{array}{l} x=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}\right.$($t$ 为参数)，转换为直角坐标方程为 $x-y+3=0$．
   由于 $ACD$ 三个坐标满足该方程，故该点在直线上，点 $B$ 的坐标不满足该直线方程，
   故选：$B$．
4. 答案 $-\dfrac{3}{5}$
   解析 设直线 $l$ 的倾斜角为 $α$，由题意， $\tan \alpha=-\dfrac{4}{3}$， $\therefore \cos \alpha=-\dfrac{3}{5}$．
5. 答案 $(\dfrac{1}{2},0)$
   解析 $∵$ 直线的参数方程 $\left\{\begin{array}{l} x=-2+5 t \\ y=1-2 t \end{array}\right.$($t$ 为参数)，令 $y=1-2t=0$，可得 $t=\dfrac{1}{2}$，
   把 $t=\dfrac{1}{2}$ 代入 $x=-2+5t$，可得 $x=-2+5 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$．
   $∴$ 直线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(\dfrac{1}{2},0)$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 直线 $3x-5y-15=0$ 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距分别为 (　　)
 A．$5,3$ $\qquad \qquad$ B．$－5,－ 3$ $\qquad \qquad$ C．$5,-3$ $\qquad \qquad$ D．$-5,3$
 

2. 下列四条直线，其倾斜角最大的是 (　　)
 A．$x+2y+3=0$ $\qquad \qquad$ B．$2x－y+1=0$ $\qquad \qquad$ C．$x+y+1=0$ $\qquad \qquad$ D．$x+1=0$
 

3. 直线 $2x-y+2=0$ 与直线 $ax+2y-5=0$ 平行，则实数 $a$ 的值是 (　　)
 A．$4$ $\qquad \qquad$ B．$-4$ $\qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad$ D．$-2$
 

4. 直线 $l$ 绕它与 $x$ 轴的交点逆时针旋转 $\dfrac{\pi}{3}$，得到直线 $\sqrt{3} x+y-3=0$，则直线 $l$ 的直线方程 (　　)
 A．$x-\sqrt{3} y-1=0$ $\qquad \qquad$ B．$\sqrt{3} x－y－3=0$ $\qquad \qquad$ C．$x+\sqrt{3} y-1=0$ $\qquad \qquad$ D．$\sqrt{3} x-y-1=0$
 

5.(多选) 下列说法中，正确的有 (　　)
 A．过点 $P(1,2)$ 且在 $x、y$ 轴截距相等的直线方程为 $x+y－3=0$
 B．直线 $y=3x－2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $－2$
 C．直线 $x- \sqrt{3} y+1=0$ 的倾斜角为 $60°$
 D．过点 $(5,4)$ 并且倾斜角为 $90°$ 的直线方程为 $x－5=0$
 

6. 若直线 $ax-y+3=0$ 与直线 $ax+4y-2=0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

7. 经过点 $A(3,2)$，且与直线 $2x+3y-16=0$ 垂直的直线 $l$ 的方程为 $\underline{\quad \quad}$．
 

8. 已知直线 $(a－2)y=(3a－1)x－1$，为使这条直线不经过第二象限，则实数 $a$ 的范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

9. 已知方程 $(m^2-2m-3)x+(2m^2+m-1)y+6-2m=0(m∈R)$．
  (1) 当 $m$ 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
  (2) 已知方程表示的直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距为 $-3$，求实数 $m$ 的值；
  (3) 若方程表示的直线 $l$ 的倾斜角是 $45^∘$，求实数 $m$ 的值．
 
 

10. 已知直线方程为 $(2+2m)x+(1-m)y+4=0$．
  (1) 该直线是否过定点？如果存在，请求出该点坐标，如果不存在，说明你的理由；
  (2) 当 $m$ 在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 直线 $3x-5y-15=0$ 可化为 $\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{-3}=1$，
   则直线在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距分别为 $5,-3$ ，
   故选 $C$.

2. 答案 $A$
   解析 根据题意，依次分析选项：
   对于 $A$、$x+2y+3=0$，其斜率 $k_{1}=-\dfrac{1}{2}$，倾斜角 $θ_1$ 为钝角，
   对于 $B$、$2x－y+1=0$，其斜率 $k_2=2$，倾斜角 $θ_2$ 为锐角，
   对于 $C$、$x+y+1=0$，其斜率 $k_3=－1$，倾斜角 $θ_3$ 为 $135°$，
   对于 $D$、$x+1=0$，倾斜角 $θ_4$ 为 $90°$，
   而 $k_1>k_3$，故 $θ_1>θ_3$，
   故选：$A$．

3. 答案 $B$
   解析 由 $\dfrac{2}{a}=\dfrac{-1}{2}$ 解得 $a=-4$，故选 $B$.

4. 答案 $B$
   解析 直线直线 $\sqrt{3} x+y-3=0$ 的斜率等于 $-\sqrt{3}$，设倾斜角等于 $θ$，即 $θ=\dfrac{2\pi}{3}$，
   绕它与 $x$ 轴的交点 $(\sqrt{3} ，0)$ 逆时针旋转 $\dfrac{\pi}{3}$，
   所得到的直线的倾斜角等于 $θ-\dfrac{\pi}{3}$，
   故所求直线的斜率为 $\tan(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}$，
   故所求的直线方程为 $y－0=\sqrt{3} (x-\sqrt{3})$，即 $\sqrt{3} x－y－3=0$，
   故选：$B$．

5. 答案 $BD$
   解析 $∵$ 过点 P$(1,2)$ 且在 $x、y$ 轴截距相等的直线方程为 $x+y－3=0$，或者 $y=2x$，故 $A$ 错误；
   $∵$ 直线 $y=3x－2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $－2$，故 $B$ 正确；
   由于直线 $x- \sqrt{3} y+1=0$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故它的倾斜角为 $30°$，故 $C$ 错误；
   $∵$ 过点 $(5,4)$ 并且倾斜角为 $90°$ 的直线方程为 $x－5=0$，故 $D$ 正确，
   故选：$BD$．

6. 答案 $2$ 或 $－2$
   解析 由 $a^2+(-1)×4=0$ 解得 $a=±2$，故填 $2$ 或 $－2$.

7. 答案 $3x-2y-5=0$
   解析 与直线 $2x+3y-16=0$ 垂直的直线 $l$ 的方程为 $3x-2y+c=0$，
   又经过点 $A(3,2)$，则 $9-4+c=0$，即 $c=-5$，
   即直线方程为 $3x-2y-5=0$.

8. 答案 $[2,+∞)$
   解析 若 $a－2=0$，即 $a=2$ 时，直线方程可化为 $x=\dfrac{1}{5}$，
   此时直线不经过第二象限，满足条件；
   若 $a－2≠0$，直线方程可化为 $y=\dfrac{3 a-1}{a-2} x-\dfrac{1}{a-2}$，此时若直线不经过第二象限，
   则 $\dfrac{3 a-1}{a-2} \geq 0$， $\dfrac{1}{a-2} \geq 0$，解得 $a>2$
   综上满足条件的实数 $a$ 的范围是 $[2,+∞)$
   故答案为：$[2,+∞)$.

9. 答案 (1) $m=\dfrac{1}{2}$ (2) $m=-\dfrac{5}{3}$ (3) $m=\dfrac{4}{3}$
   解析 (1) 斜率不存在，即 $2m^2+m-1=0$，解得 $m=\dfrac{1}{2}$；
   (2) 依题意，有 $\dfrac{2 m-6}{m^{2}-2 m-3}=-3$，解得 $m=-\dfrac{5}{3}$；
   (3) 依题意有 $-\dfrac{m^{2}-2 m-3}{2 m^{2}+m-1}=1$，解得 $m=\dfrac{4}{3}$．

10. 答案 (1) $(-1,-2)$ (2) $(-1,1)$
    解析 (1) 该直线过定点 $(-1,-2)$，
    直线方程为 $(2+2m)x+(1-m)y+4=0$，
    可化为 $(2x-y)m+(2x+y+4)=0$，
    对任意 $m$ 都成立，则 $\left\{\begin{array}{l} 2 x-y=0 \\ 2 x+y+4=0 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.$，
    所以直线恒过定点 $(-1,-2)$；
    (2)$∵$ 方程为 $(2+2m)x+(1-m)y+4=0$，
    $∴$ 令 $x=0$，则 $y=-\dfrac{4}{1-m}$，令 $y=0$， $x=-\dfrac{4}{2+2 m}$
    $∵$ 直线分别与 $x$ 轴，$y$ 轴的负半轴都相交，
    $\therefore\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{4}{1-m}<0 \\ -\dfrac{4}{2+2 m}<0 \end{array}\right.$，解得 $-1<m<1$，
    则 $m$ 的取值范围是 $(-1,1)$．

【B组---提高题】

1. 直线 $x+y\cosθ－5=0$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$.
 

2. 如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0,2)$,$B(－2,0)$,$C(1,0)$，分别以 $AB$,$AC$ 为边向外作正方形 $ABEF$ 与 $ACGH$，则点 $H$ 的坐标为　 　，直线 $FH$ 的一般式方程为 $\underline{\quad \quad}$

 

3. 已知直线 $l:kx-y+2k+1=0$，$k∈R$．
 (1) 当 $k$ 变化时，直线 $l$ 恒过一定点 $P$，求点 $P$ 的坐标；
 (2) 若直线 $l$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A$，交 $y$ 轴正半轴于点 $B$， $O$ 为坐标原点，设 $△AOB$ 的面积为 $S$，求 $S$ 的最小值．
 
 

参考答案

1. 答案 $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]$
   解析 若 $\cosθ=0$，则直线方程为 $x=5$，即倾斜角 $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$；
   若 $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$，则直线方程为 $y=-\dfrac{1}{\cos \theta} x+\dfrac{5}{\cos \theta}$，
   即 $\tan \alpha=-\dfrac{1}{\cos \theta}$，
   $\because \cos \theta \in[-1,0) \cup(0,1]$, $\therefore-\dfrac{1}{\cos \theta} \leq-1$ 或 $-\dfrac{1}{\cos \theta} \geq 1$，
   即 $\tanα≤-1$ 或 $\tanα≥1$，
   解得 $\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]$，
   综上可得 $\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]$.

2. 答案 $x+4y－14=0$
   解析 分别过 $H$、$F$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$、$N$，
   $∵$ 四边形 $ACGH$ 为正方形，
   $∴Rt△AHM≌Rt△CAO$，可得 $AM=OC$，$MH=OA$，
   $∵A(0,2)$,$C(1,0)$，
   $∴MH=OA=2$,$AM=OC=1$，可得 $OM=OA+AM=3$，
   由此可得 $H$ 坐标为 $(2,3)$，同理得到 $F(－2,4)$，
   $∴$ 直线 $FH$ 的斜率为 $k=\dfrac{4-3}{-2-2}=-\dfrac{1}{4}$，
   可得直线 $FH$ 的方程为 $y－3=-\dfrac{1}{4}(x－2)$，化简得 $x+4y－14=0$．
   故答案为：$x+4y－14=0$．
   

3. 答案 (1) $P(-2,1)$ (2)$4$
   解析 (1) 由直线 $l:kx-y+2k+1=0$，$k∈R$．
   变形为：$k(x+2)-y+1=0$，
   令 $\left\{\begin{array}{l} x+2=0 \\ -y+1=0 \end{array}\right.$，解得 $x=-2,y=1$．
   (2) 直线 $l$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A\left(-\dfrac{2 k+1}{k}, 0\right)$，交 $y$ 轴正半轴于点 $B(0,2k+1)$，
   则 $\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{2 k+1}{k}<0 \\ 2 k+1>0 \end{array}\right.$，$k≠0$，解得 $k>0$．
   设 $△AOB$ 的面积为 $S=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2 k+1}{k} \cdot(2 k+1)=\dfrac{1}{2}\left(4 k+\dfrac{1}{k}+4\right)$$\geqslant \dfrac{1}{2}\left(2 \sqrt{4 k \cdot \dfrac{1}{k}}+4\right)=4$，
   当且仅当 $k=\dfrac{1}{2}$ 时取等号．
   $∴S$ 的最小值为 $4$．

【C组---拓展题】

1. 如图，将一块等腰直角三角板 $ABO$ 置于平面直角坐标系中，已知 $AB=OB=1$，$AB⊥OB$，点 $P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)$ 是三角板内一点，现因三角板中部分 ($△POB$ 内部，不含边界) 受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过 $P$ 的任意一直线 $MN$ 将其锯成 $△AMN$．
  (1) 求直线 $MN$ 的斜率的取值范围；
  (2) 若 $P$ 点满足 $\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}$，这样的直线 $MN$ 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线 $MN$ 的方程；
  (3) 如何确定直线 $MN$ 的斜率，才能使锯成的 $△AMN$ 的面积取得最大值和最小值？并求出最值．

 
 

参考答案

1. 答案 (1) $\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$ (2) $x+2y-1=0$ (3) $k=-\dfrac{1}{2}$ 时 $S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}$；$k=\dfrac{1}{2}$ 时 $S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}$．
   解析
   (1) (根据观察图象易得 $k_{P A} \leq k_{M N} \leq k_{P B} \Rightarrow-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}$，但也可以设直线 $MN$ 的方程，从而求出点 $M、N$ 的坐标，从而由点 $M、N$ 的限制求出 $k_{M N}$ 的范围)
   依题意，得 $MN$ 的方程为 $y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$，即 $y=k x-\dfrac{2 k-1}{4}$，
   因为 $AB⊥OB$，$|AB|=|OB|=1$，
   所以直线 $OA$ 的方程为 $y=x$，直线 $AB$ 的方程为 $x=1$，
   联立 $\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ y=x \end{array}\right.$，得 $M\left(\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}, \dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right)$，
   联立 $\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ x=1 \end{array}\right.$，得 $N\left(1, \dfrac{2 k+1}{4}\right)$，
   所以 $\left\{\begin{array}{l} 0 \leq \dfrac{2 k-1}{4(k-1)} \leq 1 \\ 0 \leq \dfrac{2 k+1}{4} \leq 1 \end{array}\right.$，解得 $-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}$．
   所以 $k$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$．
   (得到 $M、N$ 的坐标，便于求解第二、三问)
   (2) 若 $\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}$，可得 $\dfrac{1}{2}-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)$，解得 $k=-\dfrac{1}{2}$，
   所以直线 $MN$ 的方程为 $y-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$，
   整理得 $x+2y-1=0$．
   (3) 在 $△AMN$ 中，由 (1) 知，
   $S_{\triangle A M N}=\dfrac{1}{2} \cdot|A N| \cdot h=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{2 k+1}{4}\right]\left[1-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right]$$=\dfrac{1}{32}\left[4(1-k)+\dfrac{1}{1-k}+4\right]$，
   设 $t=1-k \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]$，
   则 $f(t)=4 t+\dfrac{1}{t}$，
   因为 $f(t)$ 在 $\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]$ 是单调递增，(利用对勾函数的性质易得)
   所以当 $t=\dfrac{3}{2}$ 时， $f(t)=\dfrac{20}{3}$，
   即当 $1-k=\dfrac{3}{2}$，即 $k=-\dfrac{1}{2}$ 时， $S_{\max }=\dfrac{1}{32}\left[\dfrac{20}{3}+4\right]=\dfrac{1}{3}$，
   当 $t=\dfrac{1}{2}$ 时，$f(t)=4$，
   即当 $1-k=\dfrac{1}{2}$，即 $k=\dfrac{1}{2}$ 时，$S_{\min }=\dfrac{1}{32}[4+4]=\dfrac{1}{4}$，
   所以 $k=-\dfrac{1}{2}$ 时 $S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}$；_ _$k=\dfrac{1}{2}$ 时 $S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}$．