2.2.3 直线的一般式方程
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
直线的一般式方程
关于\(x,y\)的二元一次方程\(Ax+By+C=0\)(其中\(A,B\)不同时为\(0\))叫做直线的一般式方程，简称一般式.
解释
① 任何一直线都可以表示为一个关于\(x,y\)的二元一次方程；
② 对于任意一个二元一次方程\(Ax+By+C=0\)(其中\(A,B\)不同时为\(0\))也可以表示一条直线.
当\(B=0\)时，方程变形为 \(x=-\dfrac{C}{A}\)，它表示过点 \(\left(-\dfrac{C}{A}, 0\right)\)，且垂直\(x\)轴的直线；
当\(B≠0\)时，方程变形为 \(y=-\dfrac{A}{B} x-\dfrac{C}{B}\)，它表示 \(\left(0,-\dfrac{C}{B}\right)\)，斜率为 \(-\dfrac{A}{B}\)的直线.
③ 一般式\(Ax+By+C=0\)的直线一方向向量为 \(\vec{n}=(B,-A)\)，斜率 \(k=-\dfrac{A}{B}(B \neq 0)\).
【例】把直线\(l\)的一般式方程\(2x-3y+6=0\)化为斜截式，求出直线\(l\)的斜率及其在\(x\)轴与\(y\)轴的截距，并画出图形.
解析 直线方程化为斜截式为 \(y=\dfrac{2}{3} x+2\)，直线斜率为\(\dfrac{2}{3}\)，直线\(y\)轴的截距为\(2\)；
令\(y=0\)得\(x=-3\)，故直线在\(x\)轴的截距为\(-3\)，
其图形如下图
两直线的位置关系
| 直线位置关系 | ||
|---|---|---|
| 直线方程 | \(l_1:y=k_1x+b_1\) \(l_2:y=k_2 x+b_2\) |
\(l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0\) \(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\) |
| 重合 | \(k_1=k_2\)且\(b_1=b_2\) | \(\dfrac{A_{1}}{A_{2}}=\dfrac{B_{1}}{B_{2}}=\dfrac{C_{1}}{C_{2}}\left(A_{2} B_{2} C_{2} \neq 0\right)\) |
| 相交 | \(k_1≠k_2\) | \(\dfrac{A_{1}}{A_{2}} \neq \dfrac{B_{1}}{B_{2}}\left(A_{2} B_{2} \neq 0\right)\) |
| 平行 | \(k_1=k_2\)且\(b_1≠b_2\) | \(\dfrac{A_{1}}{A_{2}}=\dfrac{B_{1}}{B_{2}} \neq \dfrac{C_{1}}{C_{2}}\left(A_{2} B_{2} C_{2} \neq 0\right)\) |
| 垂直 | \(k_1\cdot k_2=-1\) | \(A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}=0\) |
【例】已知直线\(l_1:2x-y-6=0\)与直线\(l_2:6x-ay+4=0\)，
(1) 若\(l_1//l_2\)，求\(a\)值； (2)若\(l_1⊥l_2\)，求\(a\)值.
解析 (1) 若\(l_1//l_2\)，由 \(\dfrac{6}{2}=\dfrac{-a}{-1}\)解得\(a=3\)；
(2) 若\(l_1⊥l_2\)，由\(2×6+(-1)×(-a)=0\)解得\(a=-12\).
方向向量与直线的参数方程 (选学内容)
直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}
x=x_{0}+m t \\
y=y_{0}+n t
\end{array}\right.\) (\(t\)为参数) ，
其表示过点\((x_0,y_0)\)且斜率 \(k=\dfrac{n}{m}(m \neq 0)\)的直线.
解释
① 证明 设直线\(l\)经过点\(P_0 (x_0,y_0 )\)， \(\vec{v}=(m, n)\)是它的一个方向向量，\(P(x,y)\)是直线\(l\)上任意一点，
则向量 \(\overrightarrow{P_{0} P}\)与\(\vec{v}\)共线，则 \(\overrightarrow{P_{0} P}=t \vec{v}\)，即\((x-x_0,y-y_0 )=t(m,n)\)，所以 \(\left\{\begin{array}{l}
x=x_{0}+m t \\
y=y_{0}+n t
\end{array}\right.\).
② 参数方程中的\((m,n)\)的几何意义是直线的方向向量，即 \(k=\dfrac{n}{m}(m \neq 0)\).
③ 标准式参数方程
若直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}
x=x_{0}+m t \\
y=y_{0}+n t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)中\(m,n\)满足 \(m^2+n^2=1\)，可称为标准式参数方程，
则参数\(t\)是以定点\(P_0 (x_0,y_0 )\)为起点，点\(P(x,y)\)为终点的有向线段\(P_0 P\)的数量，
又称为点\(P\)与点\(P_0\)间的有向距离．
根据\(t\)的几何意义，有以下结论．
(i)设\(A、B\)是直线上任意两点，它们对应的参数分别为\(t_A\)和\(t_B\)，
则 \(|A B|=\left|t_{B}-t_{A}\right|=\sqrt{\left(t_{B}-t_{A}\right)^{2}-4 t_{A} \cdot t_{B}}\).
(ii)线段\(AB\)的中点所对应的参数值等于 \(\dfrac{t_{A}+t_{B}}{2}\)．
(直线参数方程的应用要学到圆的方程才发挥它的威力)
【例】直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}
x=1+3 t \\
y=2+4 t
\end{array}\right.\)化为直角坐标系方程，它是直线标准式参数方程么？若不是，把其化为标准式.
解析 直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}
x=1+3 t \\
y=2+4 t
\end{array}\right.\)，它表示过点\((1,2)\)且斜率 \(k=\dfrac{4}{3}\)的直线，
化为直角坐标系方程为 \(y-2=\dfrac{4}{3}(x-1)\)，即\(4x-3y+2=0\)；
直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}
x=1+3 t \\
y=2+4 t
\end{array}\right.\)，不是直线标准式参数方程，化为标准式 \(\left\{\begin{array}{l}
x=1+\dfrac{3}{5} t \\
y=2+\dfrac{4}{5} t
\end{array}\right.\).
基本方法
【题型1】一般式方程
【典题1】 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
(1) 斜率是 \(\sqrt{3}\)，且经过点\(A(5,3)\)；
(2) 斜率为\(4\)，在\(y\)轴上的截距为\(-2\)；
(3) 经过\(A(-1,5)\)，\(B(2,-1)\)两点；
(4) 在\(x,y\)轴上的截距分别是\(-3\)，\(-1\)．
解析 (1)由点斜式方程可知，
所求直线方程为\(y-3=\sqrt{3}(x-5)\)，化为一般式 为 \(\sqrt{3} x-y+3-5 \sqrt{3}=0\)．
(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为\(y=4x-2\)，
化为一般式为\(4x-y-2=0\)．
(3)由两点式方程可知，所求直线方程为 \(\dfrac{y-5}{-1-5}=\dfrac{x-(-1)}{2-(-1)}\)．
化为一般式方程为\(2x+y-3=0\)．
(4)由截距式方程可得，所求直线方程为 \(\dfrac{x}{-3}+\dfrac{y}{-1}=1\)，化成一般式方程为\(x+3y+3=0\)．
【典题2】设直线\(l\)的方程是\(x+By－4=0\)倾斜角为\(α\)．若 \(\dfrac{\pi}{6}<\alpha<\dfrac{3 \pi}{4}\)，则\(B\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 \(∵\)直线\(l\)的方程是\(x+By－4=0\)倾斜角为\(α\)，
则 \(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\)时，斜率\(\tanα\)不存在，\(B=0\)；
当 \(\alpha \neq \dfrac{\pi}{2}\)时， \(\tan \alpha=\dfrac{1}{-B}\)．
若 \(\dfrac{\pi}{6}<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\)，则 \(\tan \alpha=\dfrac{1}{-B}>\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，求得\(-\sqrt{3}<B<0\)．
若 \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\dfrac{3 \pi}{4}\)，则 \(-\dfrac{1}{B}<-1\)，\(∴0<B<1\)．
综上可得，\(B\)的取值范围为\((-\sqrt{3},0)∪(0,1)\)，或\(\{0\}\)，
即\(B\)的范围为\((-\sqrt{3},1)\)，
【典题3】 已知直线\(l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0\)．
(1)求证：不论\(m\)为何实数，直线恒过一定点\(M\)；
(2)过定点\(M\)作一条直线\(l_1\)，使夹在两坐标轴之间的线段被\(M\)点平分，求直线\(l_1\)的方程．
(3)若直线\(l\)与两坐标轴的负半轴围成的三角形面积最小，求\(l\)的方程．
解析 (1)直线\(l：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0\)．
化为：\(m(x-2y-3)+2x+y+4=0\)，
联立\(\left\{\begin{array}{l}
x-2 y-3=0 \\
2 x+y+4=0
\end{array}\right.\)，解得 \(x=-1，y=-2\)．
可得：不论\(m\)为何实数，直线恒过一定点\(M(-1,-2)\)．
(2)设直线\(l_1\)与两条坐标轴分别相交于\(A(a，0)\)，\(B(0，b)\)．
线段\(AB\)的中点为\(M(-1,-2)\)，则\(M(-1,-2)\)，\(b=-4\)．
\(∴\)直线\(l_1\)的方程为\(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-4}=1\)，可得：\(2x+y+4=0\)．
(3)设直线\(l\)与两条坐标轴分别相交于\(A(a,0)\)，\(B(0,b)\)．
可得方程为\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\), 把点\(M(-1,-2)\)代入可得：\(\dfrac{-1}{a}+\dfrac{-2}{b}=1\)，
\(\therefore 1 \geq 2 \sqrt{\dfrac{-1}{a} \cdot \dfrac{-2}{b}}\)，化为：\(ab≥8\)，当且仅当\(b=2a=-4\)时取等号．
可得：直线\(l\)与两坐标轴的负半轴围成的三角形面积最小，\(S=\dfrac{1}{2}(-a)(-b)=4\)．
则的方程为\(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-4}=1\)，可得：\(2x+y+4=0\)．
巩固练习
1.(多选)下列有关直线\(l：x+my-1=0(m∈R)\)的说法中不正确的是( )
A．直线\(l\)的斜率为\(-m\) \(\qquad \qquad\) B．直线\(l\)的斜率为 \(-\dfrac{1}{m}\)
C．直线\(l\)过定点\((0,1)\) \(\qquad \qquad\) D．直线\(l\)过定点\((1,0)\)
2.(多选)已知直线\(l：(a^2+a+1)x－y+1=0\)，其中\(a∈R\)，下列说法正确的是( )
A．当\(a=－1\)时，直线\(l\)与直线\(x+y=0\)垂直
B．若直线\(l\)与直线\(x－y=0\)平行，则\(a=0\)
C．直线\(l\)过定点\((0,1)\)
D．当\(a=0\)时，直线\(l\)在两坐标轴上的截距相等
3.直线\(x+(a^2+1)y－1=0\)的倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
4.已知直线方程为\((2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0\)．
(1)求证不论\(λ\)取何实数值，此直线必过定点；
(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程．
参考答案
- 答案 \(ABC\)
解析 当\(m≠0\)时，直线\(l\)的方程可变为 \(y=-\dfrac{1}{m}(x-1)\)，其斜率为 \(-\dfrac{1}{m}\)，过定点\((1,0)\)，
当\(m=0\)时，直线\(l\)的方程变为\(x=1\)，其斜率不存在，过点\((1,0)\)，
故\(AB\)不正确，\(D\)正确，
将点\((0,1)\)代入直线方程得\(m-1=0\)，
故只有当\(m=1\)时直线才会过点\((0,1)\)，即\(C\)不正确，
故选：\(ABC\)． - 答案 \(AC\)
解析 直线\(l：(a^2+a+1)x－y+1=0\)，
对于\(A\)，当\(a=－1\)时，直线l的斜率\(k_1=1\)，直线\(x+y=1\)的斜率为\(－1\)，直线\(l\)与直线\(x+y=0\)垂直，故\(A\)正确；
对于\(B\)，若直线\(l\)与直线\(x－y=0\)平行，则\(a^2+a+1=1\)，解得\(a=0\)或\(a=－1\)，故\(B\)错误；
对于\(C\)，无论\(a\)取何值，当\(x=0\)时，\(y=1\)，\(∴\)直线\(l\)过定点\((0,1)\)，故\(C\)正确；
对于\(D\)，当\(a=0\)时，直线\(l：x－y+1=0\)在\(x\)轴上的截距为\(－1\)，在\(y\)轴上的截距为\(1\)，
当\(a=0\)时，直线\(l\)在两坐标轴上的截距不相等，故\(D\)错误．
故选：\(AC\)． - 答案 \(\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)
解析 直线 \(x+(a^2+1)y－1=0\)可化为 \(y=-\dfrac{1}{a^{2}+1} x+\dfrac{1}{a^{2}+1}\)；
且直线的斜率为 \(k=-\dfrac{1}{a^{2}+1}\)，
由\(a^2+1≥1\)，所以\(0<\dfrac{1}{a^{2}+1}≤1\)，
所以 \(-1 \leq-\dfrac{1}{a^{2}+1}<0\)，
所以\(－1≤\tanθ<0\)，
又\(θ∈[0,π)\)，
所以直线的倾斜角\(θ\)的取值范围是 \(\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)． - 证明 (1)直线方程为\((2+λ)x+(1-2λ)y+4-3λ=0\)可化为：
\(∵λ(x-2y-3)+2x+y+4=0\)，
\(∴\)由 \(\left\{\begin{array}{l} x-2 y-3=0 \\ 2 x+y+4=0 \end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.\)，
\(∴\)直线\(l\)恒过定点\(M(-1,-2)\)．
(2)当斜率不存在时，不合题意；
当斜率存在时，设所求直线\(l_1\)的方程为\(y+2=k(x+1)\)，
直线\(l_1\)与\(x\)轴、\(y\)轴交于\(A、B\)两点，则 \(A\left(\dfrac{2}{k}-1,0\right)\)，\(B(0,k-2)\)．
\(∵AB\)的中点为\(M\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2}{k}-1=-2 \\ k-2=-4 \end{array}\right.\)，解得\(k=-2\)．
\(∴\)所求直线\(l_1\)的方程为\(y+2=-2(x+1)\)，即：\(2x+y+4=0\)．
所求直线\(l_1\)的方程为\(2x+y+4=0\).
【题型2】直线的位置关系
【典题1】 求满足下列条件的直线\(l\)的方程：
(1)与直线\(3x+4y-12=0\)平行，且与直线\(2x+3y+6=0\)在\(y\)轴上的截距相同；
(2)与直线\(x+2y-1=0\)垂直，且与直线\(x+2y-4=0\)在\(x\)轴上的截距相同．
解析 (1)由\(3x+4y-12=0\)，得 \(y=-\dfrac{3}{4} x+3\)．
\(∵\)直线\(l\)与该直线平行，
\(∴\)直线\(l\)的斜率为 \(-\dfrac{3}{4}\)．
由\(2x+3y+6=0\)，得 \(y=-\dfrac{2}{3} x-2\)．
\(∵\)直线\(l\)与直线\(2x+3y+6=0\)在\(y\)轴上的截距相同，
\(∴\)直线\(l\)在\(y\)轴上的截距为\(-2\)．
\(∴\)直线\(l\)的方程为 \(y=-\dfrac{3}{4} x-2\)，即\(3x+4y+8=0\)．
(2)\(∵\)直线\(l\)与直线\(x+2y-1=0\)垂直，
\(∴\)直线\(l\)的斜率为\(2\)．
由\(x+2y -4=0\)，得 \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1\)．
∵直线\(l\)与直线\(x+2y-4=0\)在\(x\)轴上的截距相同，
\(∴\)直线经过点\((4,0)\)．
\(∴\)直线\(l\)的方程为\(y=2(x-4)\)，即\(2x-y-8=0\)．
巩固练习
1.若直线\(x+2ay-1=0\)与\((a-1)x-ay+1=0\)平行，则\(a\) 的值为( )
A．\(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\dfrac{1}{2}\)或\(0\) \(\qquad \qquad\) C．\(0\) \(\qquad \qquad\) D．\(－2\)
2.经过点\(A(2,1)\)，且与直线\(2x+y-10=0\)垂直的直线\(l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
3.(1)已知直线\(l_1：2x+(m+1)y+4=0\)与直线\(l_2：mx+3y－2=0\)平行，求\(m\)的值．
(2)当\(a\)为何值时，直线\(l_1：(a+2)x+(1－a)y－1=0\)与直线\(l_2：(a－1)x+(2a+3)y+2=0\)互相垂直？
(3)求与直线\(3x+4y+1=0\)平行且过点\((1,2)\)的直线\(l\)的方程．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 当\(a=0\)时，两直线平行；当\(a≠0\)时，由 \(\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{2 a}{-a}\)解得 \(a=\dfrac{1}{2}\)，故选\(B\). - 答案 \(x－2y=0\).
解析 与\(2x+y－10=0\)垂直的直线\(l\)为\(x-2y+c=0\)，
又过点\(A(2,1)\)，则\(2-2+c=0\)，即\(c=0\)，即直线方程为\(x－2y=0\). - 答案 (1) \(2\)或\(-3\) (2) \(a=1\)或\(a=-1\) (3)\(3x+4y-11=0\)
解析 (1)由\(2×3-m(m+1)=0\)，得\(m=－3\)或\(m=2\)．
当\(m=-3\)时，\(l_1：x-y+2=0\)，\(l_2：3x－3y+2=0\)，
显然\(l_1\)与\(l_2\)不重合，\(∴l_1∥l_2\)．
同理当\(m=2\)时，\(l_1：2x+3y+4=0\)，\(l_2：2x+3y－2=0\)，\(l_1\)与\(l_2\)不重合，\(l_1∥l_2\)，
\(∴m\)的值为\(2\)或\(-3\)．
(2)由直线\(l_1⊥l_2\)，
\(∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0\)，解得\(a=±1\)．
故当\(a=1\)或\(a=-1\)时，直线\(l_1⊥l_2\)．
(3)设与直线\(3x+4y+1=0\)平行的直线\(l\)的方程为\(3x+4y+m=0\)．
\(∵l\)经过点\((1,2)\)，\(∴3×1+4×2+m=0\)，解得\(m=-11\)．
\(∴\)所求直线方程为\(3x+4y-11=0\)．
【题型3】直线的参数方程(选学内容)
【典题1】 已知直线\(l\)经过点\(M(-1,2)\)，且倾斜角为 \(\dfrac{\pi}{6}\)，则直线\(l\)的一个参数方程为(其中\(t\)为参数) ( )
A． \(\left\{\begin{array}{l}
x=-1+\dfrac{1}{2} t \\
y=2+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t
\end{array}\right.\) \(\qquad \qquad\) B． \(\left\{\begin{array}{l}
x=-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \\
y=2+\dfrac{1}{2} t
\end{array}\right.\) \(\qquad \qquad\)
C． \(\left\{\begin{array}{l}
x=2+\dfrac{1}{2} t \\
y=-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t
\end{array}\right.\) \(\qquad \qquad\) D． \(\left\{\begin{array}{l}
x=2+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \\
y=-1+\dfrac{1}{2} t
\end{array}\right.\)
解析 \(∵\)直线\(l\)经过点\(M(-1,2)\)，且倾斜角为 \(\dfrac{\pi}{6}\)，
\(\therefore k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，即直线的方向向量为\((3,\sqrt{3})\)
则直线l的一个参数方程为(其中\(t\)为参数)即 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \\
y=2+\dfrac{1}{2} t
\end{array}\right.\)．
故选：\(B\)．
【典题2】已知直线 \(\left\{\begin{array}{l}
x=3+4 t \\
y=-4+3 t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)，下列命题中错误的是( )
A．直线经过点\((7,-1)\) \(\qquad \qquad\) B．直线的斜率为 \(\dfrac{3}{4}\)
C．直线不过第二象限 \(\qquad \qquad\) D．\(|t|\)是定点\(M_0 (3,-4)\)到该直线上对应点\(M\)的距离
解析 根据题意， \(\left\{\begin{array}{l}
x=3+4 t \\
y=-4+3 t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)，
依次分析选项：
对于\(A\)、令\(3+4t=7\)解得\(t=1\)，\(y=-4+3t=-1\)，故直线经过点\((7,-1)\)，\(A\)正确；
对于\(B\)、直线的方向向量为\((4,3)\)，其斜率\(k=\dfrac{3}{4}\)，\(B\)正确；
对于\(C\)、直线过定点\((3,-4)\), 且斜率 \(k=\dfrac{3}{4}\)，故直线不经过第二象限，\(C\)正确；
对于\(D\)、直线 \(\left\{\begin{array}{l}
x=3+4 t \\
y=-4+3 t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)，不是标准式，故\(D\)错误，化为标准式 \(\left\{\begin{array}{l}
x=3+\dfrac{4}{5} t^{\prime} \\
y=-4+\dfrac{3}{5} t^{\prime}
\end{array}\right.\)
\(|t'|=|5t|\)才是定点\(M_0 (3,-4)\)到该直线上对应点\(M\)的距离；
故选：\(D\)．
巩固练习
1.以\(t\)为参数的方程 \(\left\{\begin{array}{l}
x=1-\dfrac{1}{2} t \\
y=-2+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)表示( )
A．过点\((1,-2)\)且倾斜角为 \(\dfrac{\pi}{3}\)的直线
B．过点\((-1,2)\)且倾斜角为 \(\dfrac{\pi}{3}\)的直线
C．过点\((1,-2)\)且倾斜角为 \(\dfrac{2\pi}{3}\)的直线
D．过点\((-1,2)\)且倾斜角为 \(\dfrac{2\pi}{3}\)的直线
2.下列直线中，与曲线 \(C:\left\{\begin{array}{l}
x=1+2 t \\
y=-2+4 t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)没有公共点的是( )
A．\(2x+y=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(2x+y-4=0\) \(\qquad \qquad\) C．\(2x-y=0\) \(\qquad \qquad\) D．\(2x-y-4=0\)
3.下列点不在直线 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} t \\
y=2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)上的是( )
A．\((-1,2)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-3,2)\) \(\qquad \qquad\) C．\((1,4)\) \(\qquad \qquad\) D．\((2,5)\)
4.若直线\(l\)的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-2+3 t \\
y=3-4 t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)，则直线\(l\)的倾斜角的余弦值为\(\underline{\quad \quad}\) .
5.曲线 \(\left\{\begin{array}{l}
x=-2+5 t \\
y=1-2 t
\end{array}\right.\)(\(t\)为参数)与\(x\)轴的交点是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 根据题意，以\(t\)为参数的方程 \(\left\{\begin{array}{l} x=1-\dfrac{1}{2} t \\ y=-2+\dfrac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}\right.\)的直线斜率为 \(k=-\sqrt{3}\)，
表示为过点\((1,-2)\)且倾斜角为 \(\dfrac{2\pi}{3}\)的直线，故选：\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 曲线\(C:\left\{\begin{array}{l} x=1+2 t \\ y=-2+4 t \end{array}\right.\)(\(t\)为参数)的斜率\(k=2\)，且过\((1,-2)\)，
其直角坐标方程为\(2x-y-4=0\)，
选项中斜率为\(2\)的直线为\(C\)，\(D\)，而\(D\)与曲线\(C\)重合，有无数个公共点，排除．
故选：\(C\)． - 答案 \(B\)
解析 直线 \(\left\{\begin{array}{l} x=-1+\dfrac{\sqrt{2}}{2} t \\ y=2+\dfrac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}\right.\)(\(t\)为参数)，转换为直角坐标方程为\(x-y+3=0\)．
由于\(ACD\)三个坐标满足该方程，故该点在直线上，点\(B\)的坐标不满足该直线方程，
故选：\(B\)． - 答案 \(-\dfrac{3}{5}\)
解析 设直线\(l\)的倾斜角为\(α\)，由题意， \(\tan \alpha=-\dfrac{4}{3}\)， \(\therefore \cos \alpha=-\dfrac{3}{5}\)． - 答案 \((\dfrac{1}{2},0)\)
解析 \(∵\)直线的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l} x=-2+5 t \\ y=1-2 t \end{array}\right.\)(\(t\)为参数)，令\(y=1-2t=0\)，可得 \(t=\dfrac{1}{2}\)，
把 \(t=\dfrac{1}{2}\)代入\(x=-2+5t\)，可得 \(x=-2+5 \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)．
\(∴\)直线与\(x\)轴的交点坐标为\((\dfrac{1}{2},0)\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.直线\(3x-5y-15=0\)在\(x\)轴和\(y\)轴上的截距分别为( )
A．\(5,3\) \(\qquad \qquad\) B．\(－5,－ 3\) \(\qquad \qquad\) C．\(5,-3\) \(\qquad \qquad\) D．\(-5,3\)
2.下列四条直线，其倾斜角最大的是( )
A．\(x+2y+3=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(2x－y+1=0\) \(\qquad \qquad\) C．\(x+y+1=0\) \(\qquad \qquad\) D．\(x+1=0\)
3.直线\(2x-y+2=0\)与直线\(ax+2y-5=0\)平行，则实数\(a\)的值是( )
A．\(4\) \(\qquad \qquad\) B．\(-4\) \(\qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad\) D．\(-2\)
4.直线\(l\)绕它与\(x\)轴的交点逆时针旋转\(\dfrac{\pi}{3}\)，得到直线\(\sqrt{3} x+y-3=0\)，则直线\(l\)的直线方程( )
A．\(x-\sqrt{3} y-1=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(\sqrt{3} x－y－3=0\) \(\qquad \qquad\) C．\(x+\sqrt{3} y-1=0\) \(\qquad \qquad\) D．\(\sqrt{3} x-y-1=0\)
5.(多选)下列说法中，正确的有( )
A．过点\(P(1,2)\)且在\(x、y\)轴截距相等的直线方程为\(x+y－3=0\)
B．直线\(y=3x－2\)在\(y\)轴上的截距为\(－2\)
C．直线\(x- \sqrt{3} y+1=0\)的倾斜角为\(60°\)
D．过点\((5,4)\)并且倾斜角为\(90°\)的直线方程为\(x－5=0\)
6.若直线\(ax-y+3=0\)与直线\(ax+4y-2=0\)垂直，则实数\(a\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
7.经过点\(A(3,2)\)，且与直线\(2x+3y-16=0\)垂直的直线\(l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
8.已知直线\((a－2)y=(3a－1)x－1\)，为使这条直线不经过第二象限，则实数\(a\)的范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
9.已知方程 \((m^2-2m-3)x+(2m^2+m-1)y+6-2m=0(m∈R)\)．
(1)当\(m\)为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程；
(2)已知方程表示的直线\(l\)在\(x\)轴上的截距为\(-3\)，求实数\(m\)的值；
(3)若方程表示的直线\(l\)的倾斜角是\(45^∘\)，求实数\(m\)的值．
10.已知直线方程为\((2+2m)x+(1-m)y+4=0\)．
(1)该直线是否过定点？如果存在，请求出该点坐标，如果不存在，说明你的理由；
(2)当\(m\)在什么范围时，该直线与两坐标轴负半轴均相交？
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 直线\(3x-5y-15=0\)可化为 \(\dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{-3}=1\)，
则直线在\(x\)轴和\(y\)轴上的截距分别为\(5,-3\) ，
故选\(C\). -
答案 \(A\)
解析 根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)、\(x+2y+3=0\)，其斜率 \(k_{1}=-\dfrac{1}{2}\)，倾斜角\(θ_1\)为钝角，
对于\(B\)、\(2x－y+1=0\)，其斜率\(k_2=2\)，倾斜角\(θ_2\)为锐角，
对于\(C\)、\(x+y+1=0\)，其斜率\(k_3=－1\)，倾斜角\(θ_3\)为\(135°\)，
对于\(D\)、\(x+1=0\)，倾斜角\(θ_4\)为\(90°\)，
而\(k_1>k_3\)，故\(θ_1>θ_3\)，
故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 由 \(\dfrac{2}{a}=\dfrac{-1}{2}\)解得\(a=-4\)，故选\(B\). -
答案 \(B\)
解析 直线直线\(\sqrt{3} x+y-3=0\)的斜率等于\(-\sqrt{3}\)，设倾斜角等于\(θ\)，即\(θ=\dfrac{2\pi}{3}\)，
绕它与\(x\)轴的交点\((\sqrt{3} ，0)\)逆时针旋转 \(\dfrac{\pi}{3}\)，
所得到的直线的倾斜角等于\(θ-\dfrac{\pi}{3}\)，
故所求直线的斜率为\(\tan(\dfrac{2\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3})=\sqrt{3}\)，
故所求的直线方程为\(y－0=\sqrt{3} (x-\sqrt{3})\)，即\(\sqrt{3} x－y－3=0\)，
故选：\(B\)． -
答案 \(BD\)
解析 \(∵\)过点P\((1,2)\)且在\(x、y\)轴截距相等的直线方程为\(x+y－3=0\)，或者\(y=2x\)，故\(A\)错误；
\(∵\)直线\(y=3x－2\)在\(y\)轴上的截距为\(－2\)，故\(B\)正确；
由于直线 \(x- \sqrt{3} y+1=0\)的斜率为 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，故它的倾斜角为\(30°\)，故\(C\)错误；
\(∵\)过点\((5,4)\)并且倾斜角为\(90°\)的直线方程为\(x－5=0\)，故\(D\)正确，
故选：\(BD\)． -
答案 \(2\)或\(－2\)
解析 由\(a^2+(-1)×4=0\)解得\(a=±2\)，故填\(2\)或\(－2\). -
答案 \(3x-2y-5=0\)
解析 与直线\(2x+3y-16=0\)垂直的直线\(l\)的方程为\(3x-2y+c=0\)，
又经过点\(A(3,2)\)，则\(9-4+c=0\)，即\(c=-5\)，
即直线方程为\(3x-2y-5=0\). -
答案 \([2,+∞)\)
解析 若\(a－2=0\)，即\(a=2\)时，直线方程可化为 \(x=\dfrac{1}{5}\)，
此时直线不经过第二象限，满足条件；
若\(a－2≠0\)，直线方程可化为 \(y=\dfrac{3 a-1}{a-2} x-\dfrac{1}{a-2}\)，此时若直线不经过第二象限，
则 \(\dfrac{3 a-1}{a-2} \geq 0\)， \(\dfrac{1}{a-2} \geq 0\)，解得\(a>2\)
综上满足条件的实数\(a\)的范围是\([2,+∞)\)
故答案为：\([2,+∞)\). -
答案 (1) \(m=\dfrac{1}{2}\) (2) \(m=-\dfrac{5}{3}\) (3) \(m=\dfrac{4}{3}\)
解析 (1)斜率不存在，即\(2m^2+m-1=0\)，解得 \(m=\dfrac{1}{2}\)；
(2)依题意，有 \(\dfrac{2 m-6}{m^{2}-2 m-3}=-3\)，解得 \(m=-\dfrac{5}{3}\)；
(3)依题意有 \(-\dfrac{m^{2}-2 m-3}{2 m^{2}+m-1}=1\)，解得 \(m=\dfrac{4}{3}\)． -
答案 (1) \((-1,-2)\) (2) \((-1,1)\)
解析 (1)该直线过定点\((-1,-2)\)，
直线方程为\((2+2m)x+(1-m)y+4=0\)，
可化为\((2x-y)m+(2x+y+4)=0\)，
对任意\(m\)都成立，则 \(\left\{\begin{array}{l} 2 x-y=0 \\ 2 x+y+4=0 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.\)，
所以直线恒过定点\((-1,-2)\)；
(2)\(∵\)方程为\((2+2m)x+(1-m)y+4=0\)，
\(∴\)令\(x=0\)，则 \(y=-\dfrac{4}{1-m}\)，令\(y=0\)， \(x=-\dfrac{4}{2+2 m}\)
\(∵\)直线分别与\(x\)轴，\(y\)轴的负半轴都相交，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{4}{1-m}<0 \\ -\dfrac{4}{2+2 m}<0 \end{array}\right.\)，解得\(-1<m<1\)，
则\(m\)的取值范围是\((-1,1)\)．
【B组---提高题】
1.直线\(x+y\cosθ－5=0\)的倾斜角\(α\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
2.如图所示，在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(A(0,2)\),\(B(－2,0)\),\(C(1,0)\)，分别以\(AB\),\(AC\)为边向外作正方形\(ABEF\)与\(ACGH\)，则点\(H\)的坐标为 ，直线\(FH\)的一般式方程为\(\underline{\quad \quad}\)
3.已知直线\(l:kx-y+2k+1=0\)，\(k∈R\)．
(1)当\(k\)变化时，直线\(l\)恒过一定点\(P\)，求点\(P\)的坐标；
(2)若直线\(l\)交\(x\)轴负半轴于点\(A\)，交\(y\)轴正半轴于点\(B\)， \(O\)为坐标原点，设\(△AOB\)的面积为\(S\)，求\(S\)的最小值．
参考答案
-
答案 \(\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\)
解析 若\(\cosθ=0\)，则直线方程为\(x=5\)，即倾斜角 \(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\)；
若\(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\)，则直线方程为 \(y=-\dfrac{1}{\cos \theta} x+\dfrac{5}{\cos \theta}\)，
即 \(\tan \alpha=-\dfrac{1}{\cos \theta}\)，
\(\because \cos \theta \in[-1,0) \cup(0,1]\), \(\therefore-\dfrac{1}{\cos \theta} \leq-1\)或 \(-\dfrac{1}{\cos \theta} \geq 1\)，
即\(\tanα≤-1\)或\(\tanα≥1\)，
解得 \(\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\)，
综上可得 \(\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\). -
答案 \(x+4y－14=0\)
解析 分别过\(H\)、\(F\)作\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(M\)、\(N\)，
\(∵\)四边形\(ACGH\)为正方形，
\(∴Rt△AHM≌Rt△CAO\)，可得\(AM=OC\)，\(MH=OA\)，
\(∵A(0,2)\),\(C(1,0)\)，
\(∴MH=OA=2\),\(AM=OC=1\)，可得\(OM=OA+AM=3\)，
由此可得\(H\)坐标为\((2,3)\)，同理得到\(F(－2,4)\)，
\(∴\)直线\(FH\)的斜率为 \(k=\dfrac{4-3}{-2-2}=-\dfrac{1}{4}\)，
可得直线\(FH\)的方程为\(y－3=-\dfrac{1}{4}(x－2)\)，化简得\(x+4y－14=0\)．
故答案为：\(x+4y－14=0\)．
-
答案 (1) \(P(-2,1)\) (2)\(4\)
解析 (1)由直线\(l:kx-y+2k+1=0\)，\(k∈R\)．
变形为：\(k(x+2)-y+1=0\)，
令 \(\left\{\begin{array}{l} x+2=0 \\ -y+1=0 \end{array}\right.\)，解得\(x=-2,y=1\)．
(2)直线\(l\)交\(x\)轴负半轴于点 \(A\left(-\dfrac{2 k+1}{k}, 0\right)\)，交\(y\)轴正半轴于点\(B(0,2k+1)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{2 k+1}{k}<0 \\ 2 k+1>0 \end{array}\right.\)，\(k≠0\)，解得\(k>0\)．
设\(△AOB\)的面积为 \(S=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2 k+1}{k} \cdot(2 k+1)=\dfrac{1}{2}\left(4 k+\dfrac{1}{k}+4\right)\)\(\geqslant \dfrac{1}{2}\left(2 \sqrt{4 k \cdot \dfrac{1}{k}}+4\right)=4\)，
当且仅当 \(k=\dfrac{1}{2}\)时取等号．
\(∴S\)的最小值为\(4\)．
【C组---拓展题】
1.如图，将一块等腰直角三角板\(ABO\)置于平面直角坐标系中，已知\(AB=OB=1\)，\(AB⊥OB\)，点 \(P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)\)是三角板内一点，现因三角板中部分(\(△POB\)内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过\(P\)的任意一直线\(MN\)将其锯成\(△AMN\)．
(1)求直线\(MN\)的斜率的取值范围；
(2)若\(P\)点满足 \(\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}\)，这样的直线\(MN\)是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线\(MN\)的方程；
(3)如何确定直线\(MN\)的斜率，才能使锯成的\(△AMN\)的面积取得最大值和最小值？并求出最值．
参考答案
- 答案 (1) \(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\) (2) \(x+2y-1=0\) (3) \(k=-\dfrac{1}{2}\)时 \(S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}\)；\(k=\dfrac{1}{2}\)时 \(S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}\)．
解析
(1) (根据观察图象易得 \(k_{P A} \leq k_{M N} \leq k_{P B} \Rightarrow-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}\)，但也可以设直线\(MN\)的方程，从而求出点\(M、N\)的坐标，从而由点\(M、N\)的限制求出 \(k_{M N}\)的范围)
依题意，得\(MN\)的方程为 \(y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\)，即 \(y=k x-\dfrac{2 k-1}{4}\)，
因为\(AB⊥OB\)，\(|AB|=|OB|=1\)，
所以直线\(OA\)的方程为\(y=x\)，直线\(AB\)的方程为\(x=1\)，
联立 \(\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ y=x \end{array}\right.\)，得 \(M\left(\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}, \dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right)\)，
联立 \(\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ x=1 \end{array}\right.\)，得 \(N\left(1, \dfrac{2 k+1}{4}\right)\)，
所以 \(\left\{\begin{array}{l} 0 \leq \dfrac{2 k-1}{4(k-1)} \leq 1 \\ 0 \leq \dfrac{2 k+1}{4} \leq 1 \end{array}\right.\)，解得 \(-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}\)．
所以\(k\)的取值范围为 \(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\)．
(得到\(M、N\)的坐标，便于求解第二、三问)
(2) 若 \(\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}\)，可得 \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\)，解得 \(k=-\dfrac{1}{2}\)，
所以直线\(MN\)的方程为 \(y-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\)，
整理得\(x+2y-1=0\)．
(3)在\(△AMN\)中，由(1)知，
\(S_{\triangle A M N}=\dfrac{1}{2} \cdot|A N| \cdot h=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{2 k+1}{4}\right]\left[1-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right]\)\(=\dfrac{1}{32}\left[4(1-k)+\dfrac{1}{1-k}+4\right]\)，
设 \(t=1-k \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)，
则 \(f(t)=4 t+\dfrac{1}{t}\)，
因为\(f(t)\)在 \(\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)是单调递增，(利用对勾函数的性质易得)
所以当 \(t=\dfrac{3}{2}\)时， \(f(t)=\dfrac{20}{3}\)，
即当 \(1-k=\dfrac{3}{2}\)，即\(k=-\dfrac{1}{2}\)时， \(S_{\max }=\dfrac{1}{32}\left[\dfrac{20}{3}+4\right]=\dfrac{1}{3}\)，
当 \(t=\dfrac{1}{2}\)时，\(f(t)=4\)，
即当 \(1-k=\dfrac{1}{2}\)，即 \(k=\dfrac{1}{2}\)时，\(S_{\min }=\dfrac{1}{32}[4+4]=\dfrac{1}{4}\)，
所以 \(k=-\dfrac{1}{2}\)时 \(S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}\)；_ _\(k=\dfrac{1}{2}\)时 \(S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}\)．
