Processing math: 12%

2.2.2 直线的两点式方程


【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019)
soeasy

选择性必修第一册同步巩固,难度 2 颗星!

基础知识

直线的两点式方程

经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1x2,y1y2) 的直线的方程是 yy1y2y1=xx1x2x1,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式.
解释
① 证明:当 x1x2 时,经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 的直线斜率 k=y2y1x2x1
再取点 P1(x1,y1),由点斜式可得 yy1=y2y1x2x1(xx1)
y1y2 时,可得 yy1y2y1=xx1x2x1.
② 在 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 中,如果 x1=x2 y1=y2,则直线 P1P2 没有两点式;
③ 两点式从代数的角度明确了” 两点确定一直线” 的事实.
 

【例】 利用两点式求过点 A(0,1) B(1,2) 的直线方程.
解析 直线方程为 y121=x010,化简为 y=x+1.
 

直线的截距式方程

我们把 xa+yb=1(其中 ab 分别是直线在 x 轴、y 轴上的截距且 a0,b0) 叫做直线的截距式方程,简称截距式.

解释
① 证明:因为直线 l x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B(0,b)
由两点式可得 y0b0=xa0a,即 xa+yb=1.
② 使用截距式的前提是直线 x 轴、y 轴上的截距均不为 0.
 

【例】 求经过点 A(0,2) B(1,0) 的直线方程.
解析 直线的截距式方程为 x1+y2=1,化简为 y=2x+2.
 

基本方法

【题型1】直线的两点式与截距式

【典题 1】 已知 ABC 的三个顶点 A(1,1)B(2,1)C(3,3),求 ABC 三条边所在的直线方程和 AB 边的中线所在直线的方程.
解析 由两点式方程,得直线 AB 的方程是 y111=x121
整理,得 2x3y+1=0
直线 BC 的方程是 y+13(1)=x+23(2)
整理,得 2x+5y+9=0
直线 AC 的方程是 y131=x131,整理,得 2x+y3=0
AB 的中点 D(x,y),则 x=122=12, y=112=0
D 的坐标为 \left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)
直线 CD 的方程为 \dfrac{y-0}{-3-0}=\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{3-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}
整理,得 6x+7y+3=0
因此 △ABC 三边 ABBCAC 及中线 CD 所在的直线方程分别是
2x-3y+1=02x+5y+9=02x+y-3=06x+7y+3=0
 

【典题 2】已知直线 l 经过点 (2,1),且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程.
解析 方法一 设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a
a≠0,则 l 的方程可设为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1
∵l 过点 (2,1),代入 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1,得 a=3
∴直线 l 的方程为 \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}=1,即 x+y-3=0
a=0 时,l 过点 (0,0) (2,1)
∴l 的斜率 k=\dfrac{1}{2}
直线 l 的方程为 y=\dfrac{1}{2} x,即 x-2y=0
直线 l 的方程为 x+y-3=0 x-2y=0
方法二 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0
设过点 A(2,1) 的直线方程为 y-1=k(x-2)(k≠0)
x=0,则 y=1-2k
y=0,则 x=2-\dfrac{1}{k}
由已知条件,得 1-2 k=2-\dfrac{1}{k},解得 k=-1 k=\dfrac{1}{2}
所求直线的方程为 x+y-3=0 x-2y=0
 

巩固练习

1. 直线经过点 (-2,0) (0,3),则直线的方程为 (  )
 A. \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1 \qquad \qquad B. \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{3}=1 \qquad \qquad C. \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-3}=1 \qquad \qquad D. \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}=1
 

2. 过两点 (5,0)(2,-5) 的直线的方程是 (  )
 A.5 x+3y-25=0 \qquad \qquad B.5x-3y-25= 0 \qquad \qquad C.3x-5y-25=0 \qquad \qquad D.5x-3y+25= 0
 

3. 梯形 ABCD 四个顶点坐标分别为 A(-5,1)B(1,-3)C(4, 1)D(1,3).求该梯形中位线所在直线的方程.
 

4. 已知直线 l x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点为 P(4,1),求直线 l 的方程.
 

5. 求过点 P(2,3) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程.
 

参考答案

  1. 答案 B

  2. 答案 B
    解析 由两点式得 \dfrac{y-0}{x-5}=\dfrac{0+5}{5-2},化简得 5x-3y-25= 0,故选 B.

  3. 答案 2x+3y-2=0
    解析 \because k_{A B}=-\dfrac{2}{3}, k_{C D}=-\dfrac{2}{3}∴AB∥CD
    AD 中点 M(-2,2)BC 中 点 N\left(\dfrac{5}{2},-1\right)
    由直线的两点式方程得梯形的中位线 MN 所在直线方程为 \dfrac{y-2}{-1-2}=\dfrac{x+2}{\dfrac{5}{2}+2}
    化简得 2x+3y-2=0

  4. 答案 x+4y-8=0
    解析 由题意可设 A(x,0)B(0,y)
    由中点坐标公式可得 \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+0}{2}=4 \\ \dfrac{0+y}{2}=1 \end{array}\right. 解得 \left\{\begin{array}{l} x=8 \\ y=2 \end{array}\right.
    ∴A(8,0)B(0,2)
    由直线方程的截距式得 l 方程为 \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}=1,即 x+4y-8=0

  5. 答案 x+2y-8=0 3x-2y=0
    解析 方法一:设直线在 y 轴上的截距为 b,则在 x 轴上的截距为 2b
    b=0,则直线过 (0,0) (2,3) 点,则其方程为 3x-2y=0
    b≠0,则设其方程为 \dfrac{x}{2 b}+\dfrac{y}{b}=1 \text {, },又 过点 (2,3)
    \therefore \dfrac{2}{2 b}+\dfrac{3}{b}=1,即 b=4
    \therefore \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}=1,即 x+2y-8=0
    综上,所求直线方程为 3x-2y=0 x+2y-8=0
    方法二:由题意知直线的斜率存在且不为 0
    设过点 P 的直线方程为 y-3=k(x-2)
    x=0 y=3-2k;由 y=0x=2-\dfrac{3}{k}
    由已知条件,得 2-\dfrac{3}{k}=2(3-2 k),解得 k=-\dfrac{1}{2}k=\dfrac{3}{2}
    所以所求直线方程为 3x-2y=0 x+2y-8=0
     

【题型2】综合练习

【典题 1】 过点 P(2,1) 作直线 l 分别与 x,y 轴正半轴交于 AB 两点.
  (1) 当 △AOB 面积最小时,求直线 l 的方程;
  (2) 当 |OA|+|OB| 取最小值时,求直线 l 的方程.
解析 A(a,0)B(0,b)(a,b>0)
(1) 设直线方程为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1
代入 P(2,1)\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1 \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2}{a b}}
ab⩾8,从而 S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 4,此时 \dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}, k=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{2}
方程为 x+2y-4=0
(2) a+b=(a+b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1\right)=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geqslant 3+2 \sqrt{2}
此时 \dfrac{a}{b}=\dfrac{2 b}{a}, k=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
方程为 x+\sqrt{2} y-2-\sqrt{2}=0
 

巩固练习

1. 若直线过点 (1,1) 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2,则这样的直线有 (  )
 A.1\qquad \qquad B.2\qquad \qquad C.3\qquad \qquad D.4
 

2. 过点 M(2,1) 作直线 l,分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A,B,若 △ABO 的面积 S 最小,试求直线 l 的方程.
 

参考答案

  1. 答案 C
    解析 设直线 l 的截距式为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1
    直线 l 经过点 (1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2
    \therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1 \\ \dfrac{1}{2}|a b|=2 \end{array}\right.
    解得 a=b=2,或 a=2+2 \sqrt{2}, b=2-2 \sqrt{2},或 a=2-2 \sqrt{2}, b=2+2 \sqrt{2}
    直线 l 的条数为 3
    故选:C
  2. 答案 x+2y-4=0
    解析 A(a,0),B(0,b),(a,b>0)
    则直线 l 的方程为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1
    ∵M(2,1) 在直线 l 上, \therefore \dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1
    \because 1=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b} \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2}{a b}}∴ab⩾8
    \therefore S=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 4,等号当且仅当,即 a=4,b=2 时成立,
    直线 l 的方程为: \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1,即 x+2y-4=0
     

分层练习

【A组---基础题】

1. 直线 \dfrac{x}{a^{2}}-\dfrac{y}{b^{2}}=1(a b \neq 0) y 轴上的截距是 (  )
  A.a^2 \qquad \qquad B.-b^2 \qquad \qquad C.|a| \qquad \qquad D.b^2
 

2. 过点 P_1 (-2,0),P_2 (1,3) 的直线方程是 (  )
 A.y=-x+1 \qquad \qquad B.y=-3x-6 \qquad \qquad C.y=x+2 \qquad \qquad D.y=-x-2
 

3. 过点 (-2,0) 且在两坐标轴上的截距之差为 3 的直线方程是 (  )
 A. \dfrac{x}{-2}+y=1 \qquad \qquad \qquad\qquad B. \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1
 C. \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-1}=1 \qquad \qquad \qquad\qquad D.\dfrac{x}{-2}+y=1 \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1
 

4. 直线 \dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{3}=1 与坐标轴围成的三角形的面积为 \underline{\quad \quad}
 

5. 经过点 A(-2,3),且在两坐标轴上的截距之和为 2 的直线的方程为 \underline{\quad \quad}
 

6. 已知点 P(b,a),直线 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1(a≠b) x 轴、y 轴分别交于 AB 两点.设直线 PAPBAB 的斜率分别为 k_1,k_2,k_3
  (1) 当 a=2,b=1 时,求 k_1 k_2 k_3 的值;
  (2) 求证:不论 a,b 为何实数,k_1 k_2 k_3 的值都为定值.
 
 
 

参考答案

  1. 答案 B
  2. 答案 C
    解析 由两点式可得 \dfrac{y-0}{x+2}=\dfrac{3-0}{1+2},化简得 y=x+2,故选 C.
  3. 答案 D
    解析 过点 (-2,0) 即直线在 x 轴上的截距为 -2
    又直线在两坐标轴上的截距之差为 3,则直线在 x 轴上的截距为 -5 1
    所以直线方程为 \dfrac{x}{-2}+y=1 \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1,故选 D.
  4. 答案 \dfrac{15}{2}
    解析 直线 \dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{3}=1 与坐标轴的交点坐标为:
    x=0 时,y=-3,即 A(0,-3);当 y=0 时,x=5,即 B(5,0)
    S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} \times 3 \times 5=\dfrac{15}{2}
    故答案为: \dfrac{15}{2}
  5. 答案 y=-x+1y=\dfrac{3}{2} x+6
    解析 由题意可得设直线 l 的方程为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1
    直线 l 过点 P(-2,3)\therefore-\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{2-a}=1
    a+b=2, 解得:a=1 a=-4
    直线 l 的方程为 y=-x+1y=\dfrac{3}{2} x+6
    故答案为:y=-x+1y=\dfrac{3}{2} x+6
  6. 答案 (1) 1 (2) 略
    解析 (1) 当 a=2,b=1 时,A(2,0),B(0,1),P(1,2)
    \therefore k_{1}=\dfrac{0-2}{2-1}=-2k_{2}=\dfrac{1-2}{0-1}=1k_{3}=\dfrac{0-1}{2-0}=-\dfrac{1}{2}
    ∴k_1 k_2 k_3=1.
    (2) 可得 A(a,0),B(0,b),P(b,a)
    \therefore k_{1}=\dfrac{0-a}{a-b}=\dfrac{-a}{a-b}k_{2}=\dfrac{b-a}{0-b}=\dfrac{b-a}{-b}k_{3}=\dfrac{0-b}{a-0}=\dfrac{-b}{a}
    \therefore k_{1} k_{2} k_{3}=\dfrac{-a}{a-b} \cdot \dfrac{b-a}{-b} \cdot \dfrac{-b}{a}=1
    不论 a,b 为何实数,k_1 k_2 k_3 的值都为定值 1.
     

【B组---提高题】

1. 已知直线 l x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点为 P(4,1),求直线 l 的方程.
 

2. 过点 P(2,4) 作直线 l 分别与 x,y 轴正半轴交于 AB 两点.
  (1) 当 △AOB 面积最小时,求直线 l 的方程;
  (2) 当 |OA|+|OB| 取最小值时,求直线 l 的方程.
 
 

参考答案

  1. 答案 x+4y-8=0
    解析 由题意可设 A(x,0)B(0,y)
    由中点坐标公式可得 \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+0}{2}=4 \\ \dfrac{0+y}{2}=1 \end{array}\right. 解得 \left\{\begin{array}{l} x=8 \\ y=2 \end{array}\right.
    ∴A(8,0)B(0,2)
    由直线方程的截距式得 l 方程为 \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}=1,即 x+4y-8=0

  2. 答案 (1)y=-2x+8 (2) y=-\sqrt{2} x+2 \sqrt{2}+4
    解析 A(a,0)B(0,b)(a,b>0)
    (1) 设直线方程为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1
    代入 P(2,1)\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}=1 \geqslant 4 \sqrt{\dfrac{2}{a b}}
    ab⩾32,从而 S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 16,此时 \dfrac{2}{a}=\dfrac{4}{b}, k=-\dfrac{b}{a}=-2
    方程为 y-4=-2(x-2), 即 y=-2x+8
    (2)a+b=(a+b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}\right)=6+\dfrac{4 a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geqslant 6+4 \sqrt{2}
    此时 \dfrac{4 a}{b}=\dfrac{2 b}{a}, k=-\dfrac{b}{a}=-\sqrt{2}
    方程为 y-4=-\sqrt{2}(x-2),即 y=-\sqrt{2} x+2 \sqrt{2}+4
     

【C组---拓展题】

1. 直线 l 通过点 P(1,3) 且与两坐标轴的正半轴交于 A,B 两点.
  (1) 直线 l 与两坐标轴所围成的三角形面积为 6,求直线 l 的方程;
  (2) 求 OA+OB 的最小值;
  (3) 求 PA⋅PB 的最小值.
 

参考答案

  1. 答案 (1) 3x+y-6=0 (2) 4+2 \sqrt{3} (3) 6
    解析 (1) 设直线 l 的方程为 y-3=k(x-1)(k<0)
    x=0,得 y=3-k,由 y=0,得 x=1-\dfrac{3}{k}
    \therefore S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2}(3-k)\left(1-\dfrac{3}{k}\right)=6,解得 k=-3
    直线 l 的方程为 3x+y-6=0
    (2) O A+O B=3-k+1-\dfrac{3}{k}=4+(-k)+\left(-\dfrac{3}{k}\right)\geqslant 4+2 \sqrt{-k \cdot\left(-\dfrac{3}{k}\right)}=4+2 \sqrt{3}
    当且仅当 -k=-\dfrac{3}{k},即 k=-\sqrt{3} 时上式 “=” 成立;
    (3) 设直线 l x,y 轴上的截距分别为 a,b
    (P A \cdot P B)^{2}=\left[(a-1)^{2}+9\right]\left[(b-3)^{2}+1\right]
    =\left[(a-1)^{2}+9\right]\left[\dfrac{9}{(a-1)^{2}}+1\right]=18+(a-1)^{2}+\dfrac{81}{(a-1)^{2}}\geqslant 18+2 \sqrt{81}=36
    当且仅当 a=4 时上式取等号.
    ∴PA⋅PB 的最小值为 6
posted @   贵哥讲数学  阅读(3323)  评论(0编辑  收藏  举报
//更改网页ico // 实现数学符号与汉字间有间隙 //文章页加大页面,隐藏侧边栏
点击右上角即可分享
微信分享提示