2.2.2 直线的两点式方程
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
直线的两点式方程
经过两点\(P_1 (x_1,y_1 )\),\(P_2 (x_2,y_2 )\)(其中\(x_1≠x_2,y_1≠y_2\))的直线的方程是 \(\dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.
解释
① 证明：当\(x_1≠x_2\)时，经过两点\(P_1 (x_1,y_1 )\),\(P_2 (x_2,y_2 )\)的直线斜率 \(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\)，
再取点\(P_1 (x_1,y_1 )\)，由点斜式可得 \(y-y_{1}=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)\)；
当\(y_1≠y_2\)时，可得 \(\dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
② 在\(P_1 (x_1,y_1 )\),\(P_2 (x_2,y_2 )\)中，如果\(x_1=x_2\)或\(y_1=y_2\)，则直线\(P_1 P_2\)没有两点式;
③ 两点式从代数的角度明确了”两点确定一直线”的事实.
【例】 利用两点式求过点\(A(0,1)\)和\(B(1,2)\)的直线方程.
解析 直线方程为 \(\dfrac{y-1}{2-1}=\dfrac{x-0}{1-0}\)，化简为\(y=x+1\).
直线的截距式方程
我们把 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)(其中\(a\)，\(b\)分别是直线在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距且\(a≠0,b≠0\))叫做直线的截距式方程，简称截距式.
解释
① 证明：因为直线\(l\)与\(x\)轴的交点为\(A(a,0)\)，与\(y\)轴的交点为\(B(0,b)\)，
由两点式可得 \(\dfrac{y-0}{b-0}=\dfrac{x-a}{0-a}\)，即 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\).
② 使用截距式的前提是直线\(x\)轴、\(y\)轴上的截距均不为\(0\).
【例】 求经过点\(A(0,2)\)和\(B(-1,0)\)的直线方程.
解析 直线的截距式方程为 \(\dfrac{x}{-1}+\dfrac{y}{2}=1\)，化简为\(y=2x+2\).
基本方法
【题型1】直线的两点式与截距式
【典题1】 已知\(△ABC\)的三个顶点\(A(1,1)\)，\(B(-2,-1)\)，\(C(3,－3)\)，求\(△ABC\)三条边所在的直线方程和\(AB\)边的中线所在直线的方程．
解析 由两点式方程，得直线\(AB\)的方程是 \(\dfrac{y-1}{-1-1}=\dfrac{x-1}{-2-1}\)
整理，得\(2x－3y+1=0\)．
直线\(BC\)的方程是 \(\dfrac{y+1}{-3-(-1)}=\dfrac{x+2}{3-(-2)}\)，
整理，得\(2x+5y+9=0\)，
直线\(AC\)的方程是 \(\dfrac{y-1}{-3-1}=\dfrac{x-1}{3-1}\)，整理，得\(2x+y－3=0\)．
设\(AB\)的中点\(D(x,y)\)，则 \(x=\dfrac{1-2}{2}=-\dfrac{1}{2}\), \(y=\dfrac{1-1}{2}=0\)，
\(∴\)点\(D\)的坐标为 \(\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)\)．
\(∴\)直线\(CD\)的方程为 \(\dfrac{y-0}{-3-0}=\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{3-\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)，
整理，得\(6x+7y+3=0\)．
因此\(△ABC\)三边\(AB\)，\(BC\)，\(AC\)及中线\(CD\)所在的直线方程分别是
\(2x－3y+1=0\)，\(2x+5y+9=0\)，\(2x+y－3=0\)，\(6x+7y+3=0\)．
【典题2】已知直线\(l\)经过点\((2,1)\)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线\(l\)的方程．
解析 方法一 设直线\(l\)在两坐标轴上的截距均为\(a\)，
若\(a≠0\)，则l的方程可设为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1\)．
又\(∵l\)过点\((2,1)\)，代入 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1\)，得\(a=3\)，
∴直线\(l\)的方程为 \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}=1\)，即\(x+y-3=0\)．
若\(a=0\)时，\(l\)过点\((0,0)\)与\((2,1)\)，
\(∴l\)的斜率 \(k=\dfrac{1}{2}\)，
\(∴\)直线\(l\)的方程为\(y=\dfrac{1}{2} x\)，即\(x-2y=0\)．
\(∴\)直线\(l\)的方程为\(x+y-3=0\)或\(x-2y=0\)．
方法二 由题意可知直线\(l\)的斜率存在且不为\(0\)．
设过点\(A(2,1)\)的直线方程为\(y-1=k(x-2)(k≠0)\)．
令\(x=0\)，则\(y=1-2k\)；
令\(y=0\)，则 \(x=2-\dfrac{1}{k}\)．
由已知条件，得 \(1-2 k=2-\dfrac{1}{k}\)，解得\(k=-1\)或\(k=\dfrac{1}{2}\)．
\(∴\)所求直线的方程为\(x+y-3=0\)或\(x-2y=0\)．
巩固练习
1.直线经过点\((-2,0)\)和\((0,3)\)，则直线的方程为( )
A． \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{3}=1\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-3}=1\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}=1\)
2.过两点\((5,0)\)，\((2,-5)\)的直线的方程是( )
A．\(5 x+3y-25=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(5x-3y-25= 0\) \(\qquad \qquad\) C．\(3x-5y-25=0\) \(\qquad \qquad\) D．\(5x-3y+25= 0\)
3.梯形\(ABCD\)四个顶点坐标分别为\(A(－5,1)\)，\(B(1,－3)\)，\(C(4, 1)\)，\(D(1,3)\)．求该梯形中位线所在直线的方程．
4.已知直线\(l\)与\(x\)轴，\(y\)轴分别交于\(A\),\(B\)两点，且线段\(AB\)的中点为\(P(4,1)\)，求直线\(l\)的方程．
5.求过点\(P(2,3)\)且在\(x\)轴上的截距是在\(y\)轴上截距的\(2\)倍的直线方程．
参考答案
-
答案 \(B\)
-
答案 \(B\)
解析 由两点式得 \(\dfrac{y-0}{x-5}=\dfrac{0+5}{5-2}\)，化简得\(5x-3y-25= 0\)，故选\(B\). -
答案 \(2x+3y－2=0\)
解析 \(\because k_{A B}=-\dfrac{2}{3}\), \(k_{C D}=-\dfrac{2}{3}\)， \(∴AB∥CD\)
又\(AD\)中点\(M(－2,2)\)，\(BC\)中 点 \(N\left(\dfrac{5}{2},-1\right)\)，
由直线的两点式方程得梯形的中位线\(MN\)所在直线方程为 \(\dfrac{y-2}{-1-2}=\dfrac{x+2}{\dfrac{5}{2}+2}\)，
化简得\(2x+3y－2=0\)． -
答案 \(x+4y－8=0\)
解析 由题意可设\(A(x,0)\)，\(B(0,y)\)，
由中点坐标公式可得 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+0}{2}=4 \\ \dfrac{0+y}{2}=1 \end{array}\right.\)解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=8 \\ y=2 \end{array}\right.\)
\(∴A(8,0)\)，\(B(0,2)\)．
由直线方程的截距式得l方程为 \(\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}=1\)，即\(x+4y－8=0\)． -
答案 \(x+2y-8=0\)或\(3x-2y=0\)
解析 方法一：设直线在\(y\)轴上的截距为\(b\)，则在\(x\)轴上的截距为\(2b\)．
若\(b=0\)，则直线过\((0,0)\)与\((2,3)\)点，则其方程为\(3x-2y=0\)．
若\(b≠0\)，则设其方程为 \(\dfrac{x}{2 b}+\dfrac{y}{b}=1 \text {, }\)，又\(∵\)过点\((2,3)\)，
\(\therefore \dfrac{2}{2 b}+\dfrac{3}{b}=1\)，即\(b=4\)．
\(\therefore \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}=1\)，即\(x+2y－8=0\)．
综上，所求直线方程为\(3x-2y=0\)或\(x+2y-8=0\)．
方法二：由题意知直线的斜率存在且不为\(0\)．
设过点\(P\)的直线方程为\(y-3=k(x-2)\)．
由\(x=0\)得\(y=3－2k\)；由\(y=0\)得 \(x=2-\dfrac{3}{k}\)．
由已知条件，得 \(2-\dfrac{3}{k}=2(3-2 k)\)，解得 \(k=-\dfrac{1}{2}\)或 \(k=\dfrac{3}{2}\)．
所以所求直线方程为\(3x-2y=0\)或\(x+2y-8=0\)．
【题型2】综合练习
【典题1】 过点\(P(2,1)\)作直线\(l\)分别与\(x,y\)轴正半轴交于\(A\)、\(B\)两点．
(1)当\(△AOB\)面积最小时，求直线\(l\)的方程；
(2)当\(|OA|+|OB|\)取最小值时，求直线\(l\)的方程．
解析 设\(A(a,0)\)，\(B(0,b)(a,b>0)\)．
(1)设直线方程为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)，
代入\(P(2,1)\)得 \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1 \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2}{a b}}\)，
得\(ab⩾8\)，从而 \(S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 4\)，此时 \(\dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}, k=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{2}\)
\(∴\)方程为\(x+2y-4=0\)．
(2) \(a+b=(a+b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1\right)=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geqslant 3+2 \sqrt{2}\)，
此时 \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2 b}{a}\), \(k=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)．
\(∴\)方程为 \(x+\sqrt{2} y-2-\sqrt{2}=0\)．
巩固练习
1.若直线过点\((1,1)\)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为\(2\)，则这样的直线有( )
A．\(1\)条 \(\qquad \qquad\) B．\(2\)条 \(\qquad \qquad\) C．\(3\)条 \(\qquad \qquad\) D．\(4\)条
2.过点\(M(2,1)\)作直线\(l\)，分别交\(x\)轴、\(y\)轴的正半轴于点\(A\),\(B\)，若\(△ABO\)的面积\(S\)最小，试求直线\(l\)的方程．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 设直线\(l\)的截距式为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)，
\(∵\)直线\(l\)经过点\((1,1)\)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为\(2\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1 \\ \dfrac{1}{2}|a b|=2 \end{array}\right.\)，
解得\(a=b=2\)，或 \(a=2+2 \sqrt{2}, b=2-2 \sqrt{2}\)，或 \(a=2-2 \sqrt{2}, b=2+2 \sqrt{2}\)
直线\(l\)的条数为\(3\)．
故选：\(C\)． - 答案 \(x+2y-4=0\)
解析 设\(A(a,0)\),\(B(0,b),(a,b>0)\)，
则直线\(l\)的方程为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)，
又\(∵M(2,1)\)在直线\(l\)上， \(\therefore \dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1\)
又 \(\because 1=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b} \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2}{a b}}\)，\(∴ab⩾8\)，
\(\therefore S=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 4\)，等号当且仅当，即\(a=4,b=2\)时成立，
\(∴\)直线\(l\)的方程为： \(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1\)，即\(x+2y-4=0\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.直线 \(\dfrac{x}{a^{2}}-\dfrac{y}{b^{2}}=1(a b \neq 0)\)在\(y\)轴上的截距是( )
A．\(a^2\) \(\qquad \qquad\) B．\(-b^2\) \(\qquad \qquad\) C．\(|a|\) \(\qquad \qquad\) D．\(b^2\)
2.过点\(P_1 (-2,0)\),\(P_2 (1,3)\)的直线方程是( )
A．\(y=-x+1\) \(\qquad \qquad\) B．\(y=-3x-6\) \(\qquad \qquad\) C．\(y=x+2\) \(\qquad \qquad\) D．\(y=-x-2\)
3.过点\((－2,0)\)且在两坐标轴上的截距之差为\(3\)的直线方程是( )
A． \(\dfrac{x}{-2}+y=1\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) B． \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1\)
C． \(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-1}=1\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) D.\(\dfrac{x}{-2}+y=1\)或\(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1\)
4.直线 \(\dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{3}=1\)与坐标轴围成的三角形的面积为\(\underline{\quad \quad}\)．
5.经过点\(A(－2,3)\)，且在两坐标轴上的截距之和为\(2\)的直线的方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
6.已知点\(P(b,a)\)，直线 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1(a≠b)\)与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于\(A\)、\(B\)两点．设直线\(PA\)、\(PB\)、\(AB\)的斜率分别为\(k_1\),\(k_2\),\(k_3\)．
(1)当\(a=2\),\(b=1\)时，求\(k_1 k_2 k_3\)的值；
(2)求证：不论\(a,b\)为何实数，\(k_1 k_2 k_3\)的值都为定值．
参考答案
- 答案 \(B\)
- 答案 \(C\)
解析 由两点式可得 \(\dfrac{y-0}{x+2}=\dfrac{3-0}{1+2}\)，化简得\(y=x+2\)，故选\(C\). - 答案 \(D\)
解析 过点\((－2,0)\)即直线在\(x\)轴上的截距为\(-2\)，
又直线在两坐标轴上的截距之差为\(3\)，则直线在\(x\)轴上的截距为\(-5\)或\(1\)，
所以直线方程为\(\dfrac{x}{-2}+y=1\)或\(\dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1\)，故选\(D\). - 答案 \(\dfrac{15}{2}\)
解析 直线 \(\dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{3}=1\)与坐标轴的交点坐标为：
当\(x=0\)时，\(y=-3\)，即\(A(0,-3)\)；当\(y=0\)时，\(x=5\)，即\(B(5,0)\)；
故 \(S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} \times 3 \times 5=\dfrac{15}{2}\)．
故答案为： \(\dfrac{15}{2}\) - 答案 \(y=-x+1\)或 \(y=\dfrac{3}{2} x+6\)
解析 由题意可得设直线\(l\)的方程为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)，
\(∵\)直线\(l\)过点\(P(-2，3)\)， \(\therefore-\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{2-a}=1\)，
又\(a+b=2\),解得：\(a=1\)或\(a=-4\)，
\(∴\)直线l的方程为\(y=-x+1\)或 \(y=\dfrac{3}{2} x+6\)．
故答案为：\(y=-x+1\)或 \(y=\dfrac{3}{2} x+6\)． - 答案 (1) \(1\) (2)略
解析 (1)当\(a=2\),\(b=1\)时，\(A(2,0)\),\(B(0,1)\),\(P(1,2)\)
\(\therefore k_{1}=\dfrac{0-2}{2-1}=-2\)， \(k_{2}=\dfrac{1-2}{0-1}=1\)， \(k_{3}=\dfrac{0-1}{2-0}=-\dfrac{1}{2}\)，
\(∴k_1 k_2 k_3=1\).
(2)可得\(A(a,0)\),\(B(0,b)\),\(P(b,a)\)，
\(\therefore k_{1}=\dfrac{0-a}{a-b}=\dfrac{-a}{a-b}\)， \(k_{2}=\dfrac{b-a}{0-b}=\dfrac{b-a}{-b}\)， \(k_{3}=\dfrac{0-b}{a-0}=\dfrac{-b}{a}\)
\(\therefore k_{1} k_{2} k_{3}=\dfrac{-a}{a-b} \cdot \dfrac{b-a}{-b} \cdot \dfrac{-b}{a}=1\)，
\(∴\)不论\(a,b\)为何实数，\(k_1 k_2 k_3\)的值都为定值\(1\).
【B组---提高题】
1.已知直线\(l\)与\(x\)轴，\(y\)轴分别交于\(A\),\(B\)两点，且线段\(AB\)的中点为\(P(4,1)\)，求直线\(l\)的方程．
2.过点\(P(2,4)\)作直线\(l\)分别与\(x,y\)轴正半轴交于\(A\)、\(B\)两点．
(1)当\(△AOB\)面积最小时，求直线\(l\)的方程；
(2)当\(|OA|+|OB|\)取最小值时，求直线\(l\)的方程．
参考答案
-
答案 \(x+4y－8=0\)
解析 由题意可设\(A(x,0)\)，\(B(0,y)\)，
由中点坐标公式可得 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+0}{2}=4 \\ \dfrac{0+y}{2}=1 \end{array}\right.\)解得 \(\left\{\begin{array}{l} x=8 \\ y=2 \end{array}\right.\)
\(∴A(8,0)\)，\(B(0,2)\)．
由直线方程的截距式得\(l\)方程为 \(\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}=1\)，即\(x+4y－8=0\)． -
答案 (1)\(y=-2x+8\) (2) \(y=-\sqrt{2} x+2 \sqrt{2}+4\)
解析 设\(A(a,0)\)，\(B(0,b)(a,b>0)\)．
(1)设直线方程为 \(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)，
代入\(P(2,1)\)得 \(\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}=1 \geqslant 4 \sqrt{\dfrac{2}{a b}}\)，
得\(ab⩾32\)，从而 \(S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 16\)，此时 \(\dfrac{2}{a}=\dfrac{4}{b}\), \(k=-\dfrac{b}{a}=-2\)
\(∴\)方程为\(y-4=-2(x-2)\),即\(y=-2x+8\)．
(2)\(a+b=(a+b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}\right)=6+\dfrac{4 a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geqslant 6+4 \sqrt{2}\)，
此时 \(\dfrac{4 a}{b}=\dfrac{2 b}{a}\), \(k=-\dfrac{b}{a}=-\sqrt{2}\)．
\(∴\)方程为 \(y-4=-\sqrt{2}(x-2)\)，即 \(y=-\sqrt{2} x+2 \sqrt{2}+4\)．
【C组---拓展题】
1.直线\(l\)通过点\(P(1,3)\)且与两坐标轴的正半轴交于\(A\),\(B\)两点．
(1)直线\(l\)与两坐标轴所围成的三角形面积为\(6\)，求直线\(l\)的方程；
(2)求\(OA+OB\)的最小值；
(3)求\(PA⋅PB\)的最小值．
参考答案
- 答案 (1) \(3x+y-6=0\) (2) \(4+2 \sqrt{3}\) (3) \(6\)
解析 (1)设直线l的方程为\(y-3=k(x-1)(k<0)\)，
由\(x=0\)，得\(y=3-k\)，由\(y=0\)，得 \(x=1-\dfrac{3}{k}\)
\(\therefore S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2}(3-k)\left(1-\dfrac{3}{k}\right)=6\)，解得\(k=-3\)
\(∴\)直线\(l\)的方程为\(3x+y-6=0\)；
(2) \(O A+O B=3-k+1-\dfrac{3}{k}=4+(-k)+\left(-\dfrac{3}{k}\right)\)\(\geqslant 4+2 \sqrt{-k \cdot\left(-\dfrac{3}{k}\right)}=4+2 \sqrt{3}\)．
当且仅当 \(-k=-\dfrac{3}{k}\)，即 \(k=-\sqrt{3}\)时上式“\(=\)”成立；
(3)设直线\(l\)在\(x,y\)轴上的截距分别为\(a,b\)，
则 \((P A \cdot P B)^{2}=\left[(a-1)^{2}+9\right]\left[(b-3)^{2}+1\right]\)
\(=\left[(a-1)^{2}+9\right]\left[\dfrac{9}{(a-1)^{2}}+1\right]=18+(a-1)^{2}+\dfrac{81}{(a-1)^{2}}\)\(\geqslant 18+2 \sqrt{81}=36\)．
当且仅当\(a=4\)时上式取等号．
\(∴PA⋅PB\)的最小值为\(6\)．
