2.2.2 直线的两点式方程
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【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019)
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基础知识
直线的两点式方程
经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2) 的直线的方程是 y−y1y2−y1=x−x1x2−x1,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式.
解释
① 证明:当 x1≠x2 时,经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 的直线斜率 k=y2−y1x2−x1,
再取点 P1(x1,y1),由点斜式可得 y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1);
当 y1≠y2 时,可得 y−y1y2−y1=x−x1x2−x1.
② 在 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 中,如果 x1=x2 或 y1=y2,则直线 P1P2 没有两点式;
③ 两点式从代数的角度明确了” 两点确定一直线” 的事实.
【例】 利用两点式求过点 A(0,1) 和 B(1,2) 的直线方程.
解析 直线方程为 y−12−1=x−01−0,化简为 y=x+1.
直线的截距式方程
我们把 xa+yb=1(其中 a,b 分别是直线在 x 轴、y 轴上的截距且 a≠0,b≠0) 叫做直线的截距式方程,简称截距式.
解释
① 证明:因为直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B(0,b),
由两点式可得 y−0b−0=x−a0−a,即 xa+yb=1.
② 使用截距式的前提是直线 x 轴、y 轴上的截距均不为 0.
【例】 求经过点 A(0,2) 和 B(−1,0) 的直线方程.
解析 直线的截距式方程为 x−1+y2=1,化简为 y=2x+2.
基本方法
【题型1】直线的两点式与截距式
【典题 1】 已知 △ABC 的三个顶点 A(1,1),B(−2,−1),C(3,-3),求 △ABC 三条边所在的直线方程和 AB 边的中线所在直线的方程.
解析 由两点式方程,得直线 AB 的方程是 y−1−1−1=x−1−2−1
整理,得 2x-3y+1=0.
直线 BC 的方程是 y+1−3−(−1)=x+23−(−2),
整理,得 2x+5y+9=0,
直线 AC 的方程是 y−1−3−1=x−13−1,整理,得 2x+y-3=0.
设 AB 的中点 D(x,y),则 x=1−22=−12, y=1−12=0,
∴ 点 D 的坐标为 \left(-\dfrac{1}{2}, 0\right).
∴ 直线 CD 的方程为 \dfrac{y-0}{-3-0}=\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{3-\left(-\dfrac{1}{2}\right)},
整理,得 6x+7y+3=0.
因此 △ABC 三边 AB,BC,AC 及中线 CD 所在的直线方程分别是
2x-3y+1=0,2x+5y+9=0,2x+y-3=0,6x+7y+3=0.
【典题 2】已知直线 l 经过点 (2,1),且在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程.
解析 方法一 设直线 l 在两坐标轴上的截距均为 a,
若 a≠0,则 l 的方程可设为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1.
又 ∵l 过点 (2,1),代入 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1,得 a=3,
∴直线 l 的方程为 \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{3}=1,即 x+y-3=0.
若 a=0 时,l 过点 (0,0) 与 (2,1),
∴l 的斜率 k=\dfrac{1}{2},
∴ 直线 l 的方程为 y=\dfrac{1}{2} x,即 x-2y=0.
∴ 直线 l 的方程为 x+y-3=0 或 x-2y=0.
方法二 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0.
设过点 A(2,1) 的直线方程为 y-1=k(x-2)(k≠0).
令 x=0,则 y=1-2k;
令 y=0,则 x=2-\dfrac{1}{k}.
由已知条件,得 1-2 k=2-\dfrac{1}{k},解得 k=-1 或 k=\dfrac{1}{2}.
∴ 所求直线的方程为 x+y-3=0 或 x-2y=0.
巩固练习
1. 直线经过点 (-2,0) 和 (0,3),则直线的方程为 ( )
A. \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1 \qquad \qquad B. \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{3}=1 \qquad \qquad C. \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-3}=1 \qquad \qquad D. \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{-3}=1
2. 过两点 (5,0),(2,-5) 的直线的方程是 ( )
A.5 x+3y-25=0 \qquad \qquad B.5x-3y-25= 0 \qquad \qquad C.3x-5y-25=0 \qquad \qquad D.5x-3y+25= 0
3. 梯形 ABCD 四个顶点坐标分别为 A(-5,1),B(1,-3),C(4, 1),D(1,3).求该梯形中位线所在直线的方程.
4. 已知直线 l 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点为 P(4,1),求直线 l 的方程.
5. 求过点 P(2,3) 且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程.
参考答案
-
答案 B
-
答案 B
解析 由两点式得 \dfrac{y-0}{x-5}=\dfrac{0+5}{5-2},化简得 5x-3y-25= 0,故选 B. -
答案 2x+3y-2=0
解析 \because k_{A B}=-\dfrac{2}{3}, k_{C D}=-\dfrac{2}{3}, ∴AB∥CD
又 AD 中点 M(-2,2),BC 中 点 N\left(\dfrac{5}{2},-1\right),
由直线的两点式方程得梯形的中位线 MN 所在直线方程为 \dfrac{y-2}{-1-2}=\dfrac{x+2}{\dfrac{5}{2}+2},
化简得 2x+3y-2=0. -
答案 x+4y-8=0
解析 由题意可设 A(x,0),B(0,y),
由中点坐标公式可得 \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+0}{2}=4 \\ \dfrac{0+y}{2}=1 \end{array}\right. 解得 \left\{\begin{array}{l} x=8 \\ y=2 \end{array}\right.
∴A(8,0),B(0,2).
由直线方程的截距式得 l 方程为 \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}=1,即 x+4y-8=0. -
答案 x+2y-8=0 或 3x-2y=0
解析 方法一:设直线在 y 轴上的截距为 b,则在 x 轴上的截距为 2b.
若 b=0,则直线过 (0,0) 与 (2,3) 点,则其方程为 3x-2y=0.
若 b≠0,则设其方程为 \dfrac{x}{2 b}+\dfrac{y}{b}=1 \text {, },又 ∵ 过点 (2,3),
\therefore \dfrac{2}{2 b}+\dfrac{3}{b}=1,即 b=4.
\therefore \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}=1,即 x+2y-8=0.
综上,所求直线方程为 3x-2y=0 或 x+2y-8=0.
方法二:由题意知直线的斜率存在且不为 0.
设过点 P 的直线方程为 y-3=k(x-2).
由 x=0 得 y=3-2k;由 y=0 得 x=2-\dfrac{3}{k}.
由已知条件,得 2-\dfrac{3}{k}=2(3-2 k),解得 k=-\dfrac{1}{2} 或 k=\dfrac{3}{2}.
所以所求直线方程为 3x-2y=0 或 x+2y-8=0.
【题型2】综合练习
【典题 1】 过点 P(2,1) 作直线 l 分别与 x,y 轴正半轴交于 A、B 两点.
(1) 当 △AOB 面积最小时,求直线 l 的方程;
(2) 当 |OA|+|OB| 取最小值时,求直线 l 的方程.
解析 设 A(a,0),B(0,b)(a,b>0).
(1) 设直线方程为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1,
代入 P(2,1) 得 \dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1 \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2}{a b}},
得 ab⩾8,从而 S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 4,此时 \dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}, k=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{1}{2}
∴ 方程为 x+2y-4=0.
(2) a+b=(a+b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1\right)=3+\dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geqslant 3+2 \sqrt{2},
此时 \dfrac{a}{b}=\dfrac{2 b}{a}, k=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
∴ 方程为 x+\sqrt{2} y-2-\sqrt{2}=0.
巩固练习
1. 若直线过点 (1,1) 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2,则这样的直线有 ( )
A.1 条 \qquad \qquad B.2 条 \qquad \qquad C.3 条 \qquad \qquad D.4 条
2. 过点 M(2,1) 作直线 l,分别交 x 轴、y 轴的正半轴于点 A,B,若 △ABO 的面积 S 最小,试求直线 l 的方程.
参考答案
- 答案 C
解析 设直线 l 的截距式为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1,
∵ 直线 l 经过点 (1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2,
\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1 \\ \dfrac{1}{2}|a b|=2 \end{array}\right.,
解得 a=b=2,或 a=2+2 \sqrt{2}, b=2-2 \sqrt{2},或 a=2-2 \sqrt{2}, b=2+2 \sqrt{2}
直线 l 的条数为 3.
故选:C. - 答案 x+2y-4=0
解析 设 A(a,0),B(0,b),(a,b>0),
则直线 l 的方程为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1,
又 ∵M(2,1) 在直线 l 上, \therefore \dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}=1
又 \because 1=\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b} \geqslant 2 \sqrt{\dfrac{2}{a b}},∴ab⩾8,
\therefore S=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 4,等号当且仅当,即 a=4,b=2 时成立,
∴ 直线 l 的方程为: \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}=1,即 x+2y-4=0.
分层练习
【A组---基础题】
1. 直线 \dfrac{x}{a^{2}}-\dfrac{y}{b^{2}}=1(a b \neq 0) 在 y 轴上的截距是 ( )
A.a^2 \qquad \qquad B.-b^2 \qquad \qquad C.|a| \qquad \qquad D.b^2
2. 过点 P_1 (-2,0),P_2 (1,3) 的直线方程是 ( )
A.y=-x+1 \qquad \qquad B.y=-3x-6 \qquad \qquad C.y=x+2 \qquad \qquad D.y=-x-2
3. 过点 (-2,0) 且在两坐标轴上的截距之差为 3 的直线方程是 ( )
A. \dfrac{x}{-2}+y=1 \qquad \qquad \qquad\qquad B. \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1
C. \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-1}=1 \qquad \qquad \qquad\qquad D.\dfrac{x}{-2}+y=1 或 \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1
4. 直线 \dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{3}=1 与坐标轴围成的三角形的面积为 \underline{\quad \quad}.
5. 经过点 A(-2,3),且在两坐标轴上的截距之和为 2 的直线的方程为 \underline{\quad \quad}.
6. 已知点 P(b,a),直线 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1(a≠b) 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点.设直线 PA、PB、AB 的斜率分别为 k_1,k_2,k_3.
(1) 当 a=2,b=1 时,求 k_1 k_2 k_3 的值;
(2) 求证:不论 a,b 为何实数,k_1 k_2 k_3 的值都为定值.
参考答案
- 答案 B
- 答案 C
解析 由两点式可得 \dfrac{y-0}{x+2}=\dfrac{3-0}{1+2},化简得 y=x+2,故选 C. - 答案 D
解析 过点 (-2,0) 即直线在 x 轴上的截距为 -2,
又直线在两坐标轴上的截距之差为 3,则直线在 x 轴上的截距为 -5 或 1,
所以直线方程为 \dfrac{x}{-2}+y=1 或 \dfrac{x}{-2}+\dfrac{y}{-5}=1,故选 D. - 答案 \dfrac{15}{2}
解析 直线 \dfrac{x}{5}-\dfrac{y}{3}=1 与坐标轴的交点坐标为:
当 x=0 时,y=-3,即 A(0,-3);当 y=0 时,x=5,即 B(5,0);
故 S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} \times 3 \times 5=\dfrac{15}{2}.
故答案为: \dfrac{15}{2} - 答案 y=-x+1 或 y=\dfrac{3}{2} x+6
解析 由题意可得设直线 l 的方程为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1,
∵ 直线 l 过点 P(-2,3), \therefore-\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{2-a}=1,
又 a+b=2, 解得:a=1 或 a=-4,
∴ 直线 l 的方程为 y=-x+1 或 y=\dfrac{3}{2} x+6.
故答案为:y=-x+1 或 y=\dfrac{3}{2} x+6. - 答案 (1) 1 (2) 略
解析 (1) 当 a=2,b=1 时,A(2,0),B(0,1),P(1,2)
\therefore k_{1}=\dfrac{0-2}{2-1}=-2, k_{2}=\dfrac{1-2}{0-1}=1, k_{3}=\dfrac{0-1}{2-0}=-\dfrac{1}{2},
∴k_1 k_2 k_3=1.
(2) 可得 A(a,0),B(0,b),P(b,a),
\therefore k_{1}=\dfrac{0-a}{a-b}=\dfrac{-a}{a-b}, k_{2}=\dfrac{b-a}{0-b}=\dfrac{b-a}{-b}, k_{3}=\dfrac{0-b}{a-0}=\dfrac{-b}{a}
\therefore k_{1} k_{2} k_{3}=\dfrac{-a}{a-b} \cdot \dfrac{b-a}{-b} \cdot \dfrac{-b}{a}=1,
∴ 不论 a,b 为何实数,k_1 k_2 k_3 的值都为定值 1.
【B组---提高题】
1. 已知直线 l 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点为 P(4,1),求直线 l 的方程.
2. 过点 P(2,4) 作直线 l 分别与 x,y 轴正半轴交于 A、B 两点.
(1) 当 △AOB 面积最小时,求直线 l 的方程;
(2) 当 |OA|+|OB| 取最小值时,求直线 l 的方程.
参考答案
-
答案 x+4y-8=0
解析 由题意可设 A(x,0),B(0,y),
由中点坐标公式可得 \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+0}{2}=4 \\ \dfrac{0+y}{2}=1 \end{array}\right. 解得 \left\{\begin{array}{l} x=8 \\ y=2 \end{array}\right.
∴A(8,0),B(0,2).
由直线方程的截距式得 l 方程为 \dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{2}=1,即 x+4y-8=0. -
答案 (1)y=-2x+8 (2) y=-\sqrt{2} x+2 \sqrt{2}+4
解析 设 A(a,0),B(0,b)(a,b>0).
(1) 设直线方程为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1,
代入 P(2,1) 得 \dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}=1 \geqslant 4 \sqrt{\dfrac{2}{a b}},
得 ab⩾32,从而 S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2} a b \geqslant 16,此时 \dfrac{2}{a}=\dfrac{4}{b}, k=-\dfrac{b}{a}=-2
∴ 方程为 y-4=-2(x-2), 即 y=-2x+8.
(2)a+b=(a+b)\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{4}{b}\right)=6+\dfrac{4 a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geqslant 6+4 \sqrt{2},
此时 \dfrac{4 a}{b}=\dfrac{2 b}{a}, k=-\dfrac{b}{a}=-\sqrt{2}.
∴ 方程为 y-4=-\sqrt{2}(x-2),即 y=-\sqrt{2} x+2 \sqrt{2}+4.
【C组---拓展题】
1. 直线 l 通过点 P(1,3) 且与两坐标轴的正半轴交于 A,B 两点.
(1) 直线 l 与两坐标轴所围成的三角形面积为 6,求直线 l 的方程;
(2) 求 OA+OB 的最小值;
(3) 求 PA⋅PB 的最小值.
参考答案
- 答案 (1) 3x+y-6=0 (2) 4+2 \sqrt{3} (3) 6
解析 (1) 设直线 l 的方程为 y-3=k(x-1)(k<0),
由 x=0,得 y=3-k,由 y=0,得 x=1-\dfrac{3}{k}
\therefore S_{\triangle A O B}=\dfrac{1}{2}(3-k)\left(1-\dfrac{3}{k}\right)=6,解得 k=-3
∴ 直线 l 的方程为 3x+y-6=0;
(2) O A+O B=3-k+1-\dfrac{3}{k}=4+(-k)+\left(-\dfrac{3}{k}\right)\geqslant 4+2 \sqrt{-k \cdot\left(-\dfrac{3}{k}\right)}=4+2 \sqrt{3}.
当且仅当 -k=-\dfrac{3}{k},即 k=-\sqrt{3} 时上式 “=” 成立;
(3) 设直线 l 在 x,y 轴上的截距分别为 a,b,
则 (P A \cdot P B)^{2}=\left[(a-1)^{2}+9\right]\left[(b-3)^{2}+1\right]
=\left[(a-1)^{2}+9\right]\left[\dfrac{9}{(a-1)^{2}}+1\right]=18+(a-1)^{2}+\dfrac{81}{(a-1)^{2}}\geqslant 18+2 \sqrt{81}=36.
当且仅当 a=4 时上式取等号.
∴PA⋅PB 的最小值为 6.
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