2.1.2 两条直线平行与垂直的判定

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【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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选择性必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

两直线平行

1 对于斜率分别为 $k_1$，$k_2$ 的两条直线 $l_1$ ,$l_2$，有 $l_1//l_2⇔k_1=k_2$.

解释
① 证明：若 $l_1//l_2$，则 $l_1$ 与 $l_2$ 的倾斜角 $α_1$ 与 $α_2$ 相等，则 $\tan \alpha_{1}=\tan \alpha_{2}$，即 $k_1=k_2$.
因此若 $l_1//l_2$，则 $k_1=k_2$；反之 $k_1=k_2$ 时， $\tan \alpha_{1}=\tan \alpha_{2}$，
由倾斜角范围 $α∈[0,π)$ 及正切函数的单调性可知 $α_1=α_2$，因此 $l_1//l_2$.
② 当 $α_1=α_2=90°$ 时，直线的斜率不存在，此时 $l_1//l_2$.
③ 若存在斜率的两直线 $l_1$,$l_2$ 重合，此时仍然有 $k_1=k_2$.
故可用斜率相等证明三点共线时.
 

【例 1】两条不重合直线 $l_1$,$l_2$ 斜率 $k_1=k_2$ 是 $l_1// l_2$ 的 $\underline{\quad \quad}$ 条件.
解析 若直线 $l_1$,$l_2$ 斜率 $k_1=k_2$，则 $l_1// l_2$；故 $k_1=k_2$ 是 $l_1// l_2$ 的充分条件；
若 $l_1// l_2$，不一定有 $k_1=k_2$，因为两直线可能垂直 $x$ 轴而不存在斜率，
故 $k_1=k_2$ 是 $l_1// l_2$ 的不必要条件；
故填充分不必要条件.
 

【例 2】已知 $A(2,2)$，$B(4,0)$，$C(0,4)$，求证：$A,B,C$ 三点共线.
解析 直线 $AB$ 的斜率 $k_{A B}=\dfrac{0-2}{4-2}=-1$，直线 $AC$ 的斜率 $k_{A C}=\dfrac{4-2}{0-2}=-1$，
$\therefore k_{A B}=k_{A C}$．
$∵$ 直线 $AB$ 与直线 $AC$ 的倾斜角相同且过同一点 $A$，
$∴$ 直线 $AB$ 与直线 $AC$ 为同一直线．
故 $A,B,C$ 三点共线．

两直线垂直

对于斜率分别为 $k_1$，$k_2$ 的两条直线 $l_1$ ,$l_2$，有 $l_1⊥ l_2⇔k_1⋅ k_2=-1$.

解释
① 证明：直线 $l_1$ ,$l_2$ 的方向向量分别是 $\vec{a}=\left(1, k_{1}\right)$， $\vec{b}=\left(1, k_{2}\right)$，于是
$l_{1} \perp l_{2} \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \Leftrightarrow 1 \times 1+k_{1} k_{2}=0$，即 $k_1⋅ k_2=-1$；
② 当直线 $l_1$ 或 $l_2$ 的倾斜角为 $90°$ 时，若 $l_1⊥ l_2$，则另一条直线的倾斜角为 $0°$；反之亦然.
 

【例 1】两条直线 $l_1$,$,l_2$ 斜率 $k_1⋅ k_2=-1$ 是 $l_1⊥ l_2$ 的 $\underline{\quad \quad}$ 条件.
解析 若直线 $l_1$ ,$l_2$ 存在斜率，且 $k_1⋅ k_2=-1$，则 $l_1⊥ l_2$；故 $k_1⋅ k_2=-1$ 是 $l_1⊥ l_2$ 的充分条件；
若 $l_1⊥ l_2$，不一定有 $k_1⋅ k_2=-1$，因为若两直线倾斜角分别为 $90°$ 和 $0°$，它们依然相互垂直，
但由于一直线不存在斜率，则不存在 $k_1⋅ k_2=-1$，
故 $k_1⋅ k_2=-1$ 是 $l_1⊥ l_2$ 的不必要条件；
故填充分不必要条件.
 

基本方法

【题型1】两条直线位置关系的判断

【典题 1】 判断下列各小题中的直线 $l_1$ 与 $l_2$ 是否平行：
  (1) $l_1$ 经过点 $A(－1,－2)$，$B(2,1)$，$l_2$ 经过点 $M(3,4)$，$N(－1,－1)$；
  (2) $l_1$ 的斜率为 $1$，$l_2$ 经过点 $A(1,1)$，$B(2,2)$；
  (3) $l_1$ 经过点 $A(0,1)$，$B(1,0)$，$l_2$ 经过点 $M(－1,3)$，$N(2,0)$；
  (4) $l_1$ 经过点 $A(－3,2)$，$B(－3,10)$，$l_2$ 经过点 $M(5,－2)$，$N(5,5)$．
解析 (1) $k_{1}=\dfrac{1-(-2)}{2-(-1)}=1$, $k_{2}=\dfrac{-1-4}{-1-3}=\dfrac{5}{4}$，$k_1≠k_2$，$l_1$ 与 $l_2$ 不平行．
(2) $k_1=1$, $k_{2}=\dfrac{2-1}{2-1}=1$，$k_1=k_2$，$∴l_1∥l_2$ 或 $l_1$ 与 $l_2$ 重合．
(3) $k_{1}=\dfrac{0-1}{1-0}=-1$, $k_{2}=\dfrac{0-3}{2-(-1)}=-1$，则有 $k_1=k_2$．
又 $k_{A M}=\dfrac{3-1}{-1-0}=-2 \neq-1$，
$∴A ,B,M$ 不共线．故 $l_1∥l_2$．
(4) 由已知点的坐标，得 $l_1$ 与 $l_2$ 均与 $x$ 轴垂直且不重合，故有 $l_1∥l_2$．
点拨 两斜率相等还要主要两直线是否会重合.
 

【典题 2】直线 $l_1$ 过点 $(2m,1)$，$(-3,m)$，直线 $l_2$ 过点 $(m,m)$，$(1,-2)$，若 $l_1$ 与 $l_2$ 垂直，求实数 $m$ 的值．
解析 ①当两直线斜率都存在，即 $m \neq-\dfrac{3}{2}$ 且 $m≠1$ 时，有 $k_{1}=\dfrac{1-m}{2 m+3}$, $k_{2}=\dfrac{m+2}{m-1}$．
$∵$ 两直线互相垂直， $\therefore \dfrac{1-m}{2 m+3} \cdot \dfrac{m+2}{m-1}=-1$．$∴m=-1$．
②当 $m=1$ 时，$k_1=0$，$k_2$ 不存在，此时亦有两直线垂直．
当 $2m=-3$ 即 $m=-\dfrac{3}{2}$ 时，$k_1$ 不存在， $k_{2}=\dfrac{m+2}{m-1}=\dfrac{-\dfrac{3}{2}+2}{-\dfrac{3}{2}-1}=-\dfrac{1}{5}$，$l_1$ 与 $l_2$ 不垂直．
综上 $m=±1$．
点拨 求斜率时是否会存在；判断直线位置关系时，也要注意直线是否存在斜率.
 

巩固练习

1. 若 $l_1$ 与 $l_2$ 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为 $a_1$,$a_2$，斜率分别为 $k_1$,$k_2$，则下列命题
  (1) 若 $l_1∥l_2$，则斜率 $k_1=k_2$； $\qquad \qquad$ (2) 若斜率 $k_1=k_2$，则 $l_1∥l_2$；
  (3) 若 $l_1∥l_2$，则倾斜角 $a_1=a_2$； $\qquad \qquad$ (4) 若倾斜角 $a_1=a_2$，则 $l_1∥l_2$；
其中正确命题的个数是 (　　)
  A．$1$ $\qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad$ D．$4$
 

2. 如果直线 $l_1$ 的斜率为 $a$，$l_1⊥l_2$，则直线 $l_2$ 的斜率为 (　　)
 A． $\dfrac{1}{a}$ $\qquad \qquad$ B．$a$ $\qquad \qquad$ C． $-\dfrac{1}{a}$ $\qquad \qquad$ D． $-\dfrac{1}{a}$ 或不存在
 

3. 已知过 $A(-2,m)$ 和 $B(m,4)$ 的直线与斜率为 $-2$ 的直线平行，则 $m$ 的值是 (　　)
A．$-8$ $\qquad \qquad$ B．$0$ $\qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad$ D．$10$
 

4. 若直线 $l$ 经过点 $(a－2,－1)$ 和 $(－a－2,1)$，且与斜率为 $-\dfrac{2}{3}$ 的直线垂直，则实数 $a$ 的值是 (　　)
 A． $-\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad$ B． $-\dfrac{3}{2}$ $\qquad \qquad$ C． $\dfrac{2}{3}$ $\qquad \qquad$ D． $\dfrac{3}{2}$
 

5. 直线 $l_1$ 的斜率为 $2$，$l_1∥l_2$，直线 $l_2$ 过点 $( -1,1)$ 且与 $y$ 轴交于点 $P$，则 $P$ 点坐标为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

6. 已知 $A(1,－1)$，$B(2,2)$，$C(3,0)$ 三点，且有一点 $D$ 满足 $CD⊥AB$，$CB∥AD$，则 $D$ 点的坐标为 $\underline{\quad \quad}$.
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 (1) 由于斜率都存在，若 $l_1∥l_2$，则 $k_1=k_2$，此命题正确；
   (2) 因为两直线的斜率相等即斜率 $k_1=k_2$，得到倾斜角的正切值相等即 $\tan a_1=\tan a_2$，
   即可得到 $a_1=a_2$，所以 $l_1∥l_2$，此命题正确；
   (3) 因为 $l_1∥l_2$，根据两直线平行，得到 $a_1=a_2$，此命题正确；
   (4) 因为两直线的倾斜角 $a_1=a_2$，根据同位角相等，得到 $l_1∥l_2$，此命题正确；
   所以正确的命题个数是 $4$．
   故选：$D$．

2. 答案 $D$
   解析 当 $a=0$ 时，直线 $l_2$ 的斜率不存在，当 $a≠0$ 时，直线 $l_2$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{a}$，故选 $D$.

3. 答案 $A$
   解析 由 $k_{A B}=\dfrac{m-4}{-2-m}=-2$ 解得 $m=-8$.

4. 答案 $A$
   解析 依题意得直线 l 的斜率 $k=\dfrac{3}{2}$，由 $\dfrac{3}{2}=\dfrac{1-(-1)}{-a-2-(a-2)}$，解得 $a=-\dfrac{2}{3}$.

5. 答案 $(0,3)$
   解析 因为直线 $l_1$ 的斜率为 $2$，$l_1∥l_2$，所以直线 $l_2$ 的斜率也等于 $2$，
   设点 $P(0,m)$,
   又直线 $l_2$ 过点 $( -1,1)$，则 $\dfrac{m-1}{0-(-1)}=2$，解得 $m=3$,
   得到直线 $l_2$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ 为 $(0,3)$．

6. 答案 $(0,1)$
   解析 $k_{A B}=\dfrac{2-(-1)}{2-1}=3$ ，$k_{C B}=\dfrac{2-0}{2-3}=-2$．
   $∵CD⊥AB$，$CB∥AD$，$∴CD$ 与 $AD$ 的斜率 都存在．
   设 $D$ 点坐标为 $(x,y)$，则 $k_{C D}=\dfrac{y}{x-3}$, $k_{A D}=\dfrac{y+1}{x-1}$．
   解方程组 $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{y}{x-3}=-\dfrac{1}{3} \\ \dfrac{y+1}{x-1}=-2 \end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} x=0 \\ y=1 \end{array}\right.$，
   $∴$ 点 $D$ 坐标为 $(0,1)$．

 

【题型2】两直线平行与垂直的综合应用

【典题 1】 顺次连接 $A(-4 ,3)$、$B(2 ,5)$、$C(6 ,3)$、$D(-3 ,0)$，所组成的图形是 (　　)
 A．平行四边形 $\qquad \qquad$ B．直角梯形 $\qquad \qquad$ C．等腰梯形 $\qquad \qquad$ D．以上都不对
解析 (要判断四边形形状，需要判断各边的位置关系，可从直线斜率入手)
$AB$ 的斜率为 $\dfrac{5-3}{2+4}=\dfrac{1}{3}$，$CD$ 的斜率为 $\dfrac{3-0}{6+3}=\dfrac{1}{3}$，
则 $k_{AB}=k_{CD}$，故 $AB||CD$；
由 $AD$ 的斜率为 $\dfrac{3-0}{-4+3}=-3$ 得 $k_{A D} \cdot k_{A B}=-1$，则 $AB⊥AD$；
由 $BC$ 的斜率为 $\dfrac{5-3}{2-6}=-\dfrac{1}{2}$ 得 $k_{A D} \neq k_{B C}$，则 $AD$ 与 $BC$ 不平行，
故四边形为直角梯形，故选 $B$．
 

【典题 2】已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，若 $E$ 是 $BC$ 的中点，$F$ 是 $CD$ 的中点，试建立坐标系，求证：$BF⊥AE$．
证明 建立平面直角坐标系，如图所示，

则 $B(4,0)$,$E(4,2)$,$F(2,4)$,$A(0,0)$，
所以斜率 $k_{A E}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$, $k_{B F}=\dfrac{4-0}{2-4}=-2$．
又 $k_{A E} \cdot k_{B F}=\dfrac{1}{2} \times(-2)=-1$，所以 $BF⊥AE$．
 

巩固练习

1. 已知 $A(－1,1)$，$B(2,－1)$，$C(1,4)$，则 $△ABC$ 是 (　　)
 A．锐角三角形
 B．钝角三角形
 C．以 $A$ 点为直角顶点的直 角三角形
 D．以 $B$ 点为直角顶点的直角三角形
 

2. 已知 $A(-1,2)$，$B(3,3)$，$C(2,-3)$，$D(-2,-4)$ 四点，若顺次连接 $A,B,C,D$ 四点，试判定四边形 $ABCD$ 的形状．
 
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $k_{A B}=\dfrac{1-(-1)}{-1-2}=-\dfrac{2}{3}$, $k_{A C}=\dfrac{4-1}{1-(-1)}=\dfrac{3}{2}$，
   $\therefore k_{A B} \cdot k_{A C}=-1$．$∴AB⊥AC$．$∴∠A$ 是直角．
2. 答案 平行四边形
   解析 由斜率公式可得
   $k_{A B}=\dfrac{3-2}{3-(-1)}=\dfrac{1}{4}$ , $k_{C D}=\dfrac{-3-(-4)}{2-(-2)}=\dfrac{1}{4}$,
   $k_{A D}=\dfrac{2-(-4)}{-1-(-2)}=6$, $k_{B C}=\dfrac{3-(-3)}{3-2}=6$,
   $∴k_{A B} = k_{CD}$， $k_{A D} = k_{B C}$，
   $∴AB∥CD$,$AD∥BC$．，且 $𝐴𝐵$ 与 $𝐶𝐷$，$𝐴𝐷$ 与 $𝐵𝐶$ 不重合，
   故四边形 $𝐴𝐵𝐶𝐷$ 为平行四边形．

分层练习

【A组---基础题】

1. 下列说 法中正确的是 (　　)
 A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等
 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等
 C．垂直的两直线的斜率之积为 $－1$
 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行
 

2. 已知直线 $l_1$ 经过点 $A(－2,5)$，$B(3,5)$，直线 $l_2$ 经过点 $M(2,4)$，$N(2,－4)$，则直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的关系是 (　　)
 A．$l_1∥l_2$ $\qquad \qquad$ B．$l_1⊥l_2$ $\qquad \qquad$ C．重合 $\qquad \qquad$D．以上都不对
 

3. 两直线的斜率分别是方程 $x^2+2013x-1=0$ 的两根，那么这两直线的位置关系是 ( )
 A．垂直 $\qquad \qquad$ B．斜交 $\qquad \qquad$ C．平行 $\qquad \qquad$ D．重合
 

4. 已知直线 $l_1$ 经过两点 $(－1,－2)$，$(－1,4)$，直线 $l_2$ 经过两点 $(2,1)$，$(x,6)$，且 $l_1∥l_2$，则 $x$ 等于 (　　)
 A．$2$ $\qquad \qquad$ B．$－2$ $\qquad \qquad$ C． $4$ $\qquad \qquad$ D．$1$
 

5. 顺次连接 $A(-4,3)$、$B(2,5)$、$C(6,3)$、$D(-3,0)$，所组成的图形是 (　　)
 A．平行四边形 $\qquad \qquad$ B．直角梯形 $\qquad \qquad$ C．等腰梯形 $\qquad \qquad$ D．以上都不对
 

6.(多选) 已知点 $A(-4,2)$,$B(6,-4)$,$C(12,6)$,$D(2,12)$，那么下面四个结论中正确的是 (　　)
 A．$AB∥CD$ $\qquad \qquad$ B．$AB⊥CD$ $\qquad \qquad$C．$AC∥BD$ $\qquad \qquad$ D．$AC⊥BD$
 

7. 已知 $△ABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(－1,0)$，$B(2,0)$，$C(2,3)$，则 $AB$ 边上的高所在直线的斜率 $\underline{\quad \quad}$， $BC$ 边上的高所在直线的斜率为 $\underline{\quad \quad}$ ．
 

8. 已知直线 $l_1$ 的倾斜角为 $45°$，直线 $l_2∥l_1$，且 $l_2$ 过点 $A(-2,-1)$ 和 $B(3,a)$，则 $a$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

9. 在直角梯形 $ABCD$ 中，已知 $A(-5,-10)$，$B(15,0)$，$C(5,10)$，$AD$ 是腰且垂直两底，求顶点的坐标．
 

10. 如图，在 $△ABC$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(－1,1)$，点 $B$ 坐标为 $(4,6)$，点 $C$ 在 $x$ 轴上，线段 $AB$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$，且 $AB⊥CD$．
(1) 求点 $C$ 的坐标；(2) 求 $△ABC$ 的面积．

 
 

参考答案

1. 答案 $B$
2. 答案 $B$
3. 答案 $A$
   解析 设两直线的斜率分别为 $k_1$,$k_2$，$k_1$,$k_2$ 是方程 $x^2+2013x-1=0$ 的两根，
   利用根与系数的关系得：$k_1 k_2=-1$，
   $∴$ 两直线的位置关系是垂直．
   故选：$A$．
4. 答案 $A$
5. 答案 $B$
   解析 $AB$ 的斜率为 $\dfrac{5-3}{2+4}=\dfrac{1}{3}$，$CD$ 的斜率为 $\dfrac{3-0}{6+3}=\dfrac{1}{3}$ ，
   故 $AB//CD$．$AD$ 的斜率为 $\dfrac{3-0}{-4+3}=-3$，
   $∴AB⊥AD$,$BC$ 的斜率为 $\dfrac{5-3}{2-6}=-\dfrac{1}{2}$，
   故 $AD$ 与 $BC$ 不平行，故四边形为直角梯形，故选 $B$．
6. 答案 $AD$
   解析 易知 $A,B,C,D$ 四点不共线，
   $\because k_{A B}=\dfrac{-4-2}{6-(-4)}=-\dfrac{3}{5}$， $k_{C D}=\dfrac{12-6}{2-12}=-\dfrac{3}{5}$， $k_{B D}=\dfrac{12-(-4)}{2-6}=-4$， $k_{A C}=\dfrac{6-2}{12-(-4)}=\dfrac{1}{4}$
   $\therefore k_{A B}=k_{C D}$， $k_{A C} \cdot k_{B D}=-1$，
   $∴AB∥CD$，$AC⊥BD$，
   故选：$AD$．
7. 答案 不存在　$0$
8. 答案 $4$
   解析 $k_1=tan45°=1$， $k_{2}=\dfrac{a-(-1)}{3-(-2)}=\dfrac{a+1}{5}$，
   $∵l_2∥l_1$， $\therefore k_{1}=k_{2} \Rightarrow \dfrac{a+1}{5}=1$，解得 $a=4$.
9. 答案 $D(-11,2)$
   解析 设 $D(x,y)$，则 $∵DC//AB$， $\therefore \dfrac{y-10}{x-5}=\dfrac{0+10}{15+5}$，
   又 $∵DA⊥AB$， $\therefore \dfrac{y+10}{x+5} \cdot \dfrac{0+10}{15+5}=-1$
   由以上方程组解得：$x=-11$,$y=2$．
   $∴D(-11,2)$．
10. 答案 (1) $(2,0)$ (2) $10$
    解析 (1)$∵$ 在 $△ABC$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(－1,1)$，
    点 $B$ 坐标为 $(4,6)$，点 $C$ 在 $x$ 轴上，线段 $AB$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$，
    $∴$ 直线 $AB$ 的斜率为 $k_{A B}=\dfrac{6-1}{4+1}=1$，
    设直线 $AB$ 的方程为 $y=x+b$，
    代入点 $(－1,1)$ 可得直线 $AB$ 的方程为 $y=x+2$，$∴D(0,2)$，
    $∵AB⊥CD$， $\therefore k_{A B} \cdot k_{C D}=-1$， $\therefore k_{C D}=-1$，
    $∴$ 直线 $CD$ 的直线方程为 $y=-x+2$，
    令 $y=0$，得 $x=2$，
    $∴$ 点 $C$ 的坐标为 $(2,0)$．
    (2) 由 (1) 得 $|A B|=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=5 \sqrt{2}$， $|C D|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}$，
    $∴△ABC$ 的面积 $S=\dfrac{1}{2} \times|A B| \times|C D|=\dfrac{1}{2} \times 5 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}=10$．

【B组---提高题】

1. 已知平行四边形的三个顶点 $A(-2,1)$,$B(-1,3)$,$C(3,4)$，则第四个顶点 $D$ 的坐标为 $\underline{\quad \quad}$．
 

2. 已知点 $A(1,2)$，$B(3,1)$，则线段 $AB$ 的垂直平分线的方程为 $\underline{\quad \quad}$.
 

参考答案

1. 答案 $(2,2)$ 或 $(-6,0)$ 或 $(4,6)$
   解析 若构成的平行四边形为 $ABCD_1$，即 $AC$ 为一条对角线，
   设 $D_1 (x,y)$，
   则由 $AC$ 中点也是 $BD_1$ 中点，可得 $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{-2+3}{2}=\dfrac{x-1}{2} \\ \dfrac{1+4}{2}=\dfrac{y+3}{2} \end{array}\right.$，
   解得 $\left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=2 \end{array},\right.$，$∴D_1 (2,2)$．
   同理可得，若构成以 $AB$ 为对角线的平行四边形 $ACBD_2$，
   则 $D_2 (-6,0)$；以 $D_2 (-6,0)$ 为对角线的平行四边形 $ACD_3 B$，则 $D_3 (4,6)$，
   $∴$ 第四个顶点 $D$ 的坐标为：$(2,2)$ 或 $(-6,0)$ 或 $(4,6)$．

2. 答案 $y=2 x-\dfrac{5}{2}$
   解析 $k_{A B}=\dfrac{2-1}{1-3}=-\dfrac{1}{2}$，所以线段 $AB$ 的垂直平分线的斜率为 $2$，
   可设直线方程为 $y=2x+m$，又过 $AB$ 的中点 $\left(2, \dfrac{3}{2}\right)$，
   所以 $\dfrac{3}{2}=4+m$，解得 $m=-\dfrac{5}{2}$，所以所求直线方程为 $y=2 x-\dfrac{5}{2}$.

【C组---拓展题】

1. 如图，在平面直角坐标系 $xoy$ 中，设三角形 $ABC$ 的顶点分别为 $A(0,a)$,$B(b,0)$,$C(c,0)$，点 $P(0,p)$ 在线段 $AO$ 上的一点 (异于端点)，这里 $a,b,c,p$ 均为非零实数，设直线 $BP$，$CP$ 分别与边 $AC$,$AB$ 交于点 $E$,$F$．
(1) 若 $BE⊥AC$，求证 $CF⊥AB$；
(2) 若 $O$、$E$ 分别是 $BC$、$AC$ 的中点，求证 $F$ 也是 $AB$ 的中点．

 

参考答案

1. 证明 (1) 根据点 $B(b,0)$ 和点 $P$ 的坐标 $(0,p)$ 写出直线 $BP$ 的斜率为 $-\dfrac{p}{b}$，
   由点 $A(0,a)$ 和 $C(c,0)$ 写出直线 AC 的斜率为 $-\dfrac{a}{c}$
   因为 $BE⊥AC$，所以 $\left(-\dfrac{p}{b}\right)\left(-\dfrac{a}{c}\right)=-1$，即 $pa=-bc$
   而由 $C(c,0)$ 和 $P(0,p)$ 斜率为 $-\dfrac{p}{c}$，由 $A(0,a)$ 和 $B(b,0)$ 斜率为 $-\dfrac{a}{b}$，
   则斜率之积为 $\left(-\dfrac{p}{c}\right)\left(-\dfrac{a}{b}\right)=\dfrac{p a}{b c}=\dfrac{p a}{-p a}=-1$，所以 $CF⊥AB$；
   (2) 因为 $O$ 为线段 $BC$ 的中点，且 $PO⊥BC$，
   所以 $OP$ 为线段 $BC$ 的垂直平分线，
   $∴BP|=|CP∣$，且 $|AB|=|AC|$，
   $∴∠PBO=∠PCO$，且 $∠ABC=∠ACB$，
   $∴∠ABP=∠ACP$，
   又 $∠FPB=∠EPC$，$∴△BPF≅△CPE$，$∴|BF|=|CE|$，
   又 $E$ 是线段 $AC$ 的中点，所以 $|C E|=\dfrac{1}{2}|A C| .$,
   则 $|BF|=\dfrac{1}{2}|AB|$，所以 $F$ 为线段 $AB$ 的中点．