2.1.1 直线的倾斜角与斜率

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【基础过关系列】2022-2023 学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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选择性必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

直线的倾斜角

1 定义
当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，取 $x$ 轴作为基准，$x$ 轴正向与直线 $l$ 向上方向之间所成的角 $α$ 叫做直线 $l$ 的倾斜角.

特别地，当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，规定 $α=0^∘$.
解释
① 每条直线都有一个确定的倾斜角，且方向相同的直线，其倾斜程度相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等；
② 倾斜角表示直线的倾斜程度.
 

【例】 如图，直线 $l$ 的倾斜角为 (　　)

 A．$60°$ $\qquad \qquad$ B．$120°$ $\qquad \qquad$ C．$30°$ $\qquad \qquad$ D．$150°$
解析 $105°+45°=150°$，选 $D$.
 

2 范围
直线 $l$ 倾斜角 $α∈[0^∘ ,180^∘)$.
$l$ 与 $x$ 轴垂直时，$α=90^∘$.
 

直线的斜率

1 定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作 $k=\tan α(α≠ 90^∘)$ .
当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，$α=0^∘$ ， $k=\tan 0^∘=0$;
当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，$α=90^∘$ ,$k$ 不存在.
 

2 倾斜角 α 与斜率 k 之间的关系
$k=\tan α$，$α∈[0^∘ ,180^∘)$.
【例】 若直线 $l$ 的斜率为 $-1$，则其倾斜角是 $\underline{\quad \quad}$.
解析 $∵k=\tanα=-1$， $\therefore \alpha=\dfrac{3 \pi}{4}$.
 

3 斜率公式
经过两点 $P_1 (x_1 ,y_1)$ ,$P_2 (x_2 ,y_2)(x_1≠ x_2)$ 的直线的斜率公式是 $k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.
使用斜率公式的时候要注意 $x_1≠ x_2$ 的前提条件.
【例】 已知点 $A(1,5)$，$B(2,m)$，而直线 $AB$ 的斜率为 $-2$，则 $m=$$\underline{\quad \quad}$．
解析 直线 $AB$ 的斜率 $k_{A B}=\dfrac{5-m}{1-2}=m-5=-2$，所以 $m=3$.
 

4 求斜率的方法
(i) 已知直线上两点，根据斜率公式 $k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 求斜率；
(ii) 已知直线的倾斜角 $α$ 或 $α$ 的某种三角函数根据 $k=\tan α(α≠ 90^∘)$ 来求斜率.
 

5 斜率的几何意义
形如 $\dfrac{y-b}{x-a}$ 的代数式可以理解为过点 $M(a,b)$ 与点 $N(x,y)$ 直线的斜率 $k_{MN}$.
如 $\dfrac{y+2}{x-1} \mid$ 的代数式可以理解为过点 $M(1,-2)$ 与点 $N(x,y)$ 直线的斜率 $k_{MN}$.
 

基本方法

【题型1】直线倾斜角与斜率的概念

【典题 1】 下列叙述正确的是 (　　)
 A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
 B．直线倾斜角 $α$ 的取值范围是 $0^ \circ≤α<180^ \circ$
 C．若一条直线的倾斜角为 $α(α≠90^\circ)$，则此直线的斜率为 $\tanα$
 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 $0^\circ$ 或 $90^\circ$
解析 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，但不一定有斜率，故 A 错误．
由于直线倾斜角 $α$ 的取值范围是 $0^\circ≤α<180^\circ$，故 B 正确．
若一条直线的倾斜角为 $α(α≠90^\circ)$，则此直线的斜率为 $\tanα$，故 $C$ 正确．
与 $x$ 轴垂直的直线的倾斜角是 $90^\circ$，与 $y$ 轴垂直的直线的倾斜角是 $0^\circ$，故 $D$ 正确，
故选：$BCD$．
 

【典题 2】如下图，比较四条直线对应的斜率 $k_1$，$k_2$，$k_3$，$k_4$ 大小.

解析 如左图，当 $α∈[0^∘ ,90^∘)$ 时，$k(α)$ 是递增的；
右图中斜率为 $k_1$ ,$k_2$ 的直线对应的倾斜角为 $α_1$ ,$α_2$，其中 $0<\alpha_{2}<\alpha_{1}<\dfrac{\pi}{2}$，而 $k_1>k_2>0$；
如左图，当 $α∈(90^∘ ,180^∘)$ 时，$k(α)$ 也是递增的；
右图中斜率为 $k_3$ ,$k_4$ 的直线对应的倾斜角为 $α_3$ ,$α_4$，
其中 $\dfrac{\pi}{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\pi$，而 $k_3<k_4<0$.
(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值 $|k|$ 越大)

 

巩固练习

1. 一条直线 $l$ 与 $x$ 轴相交，其向上的方向与 $y$ 轴正方向所成的角为 $α(0^\circ<α<90^\circ)$，则其倾斜角为 (　　)
 A．$α$ $\qquad \qquad$ B．$180^\circ－α$ $\qquad \qquad$ C．$180^\circ－α$ 或 $90^\circ－α$ $\qquad \qquad$ D．$90^\circ+α$ 或 $90^\circ－α$
 

2.(多选) 如图，直线 $l_1$,$l_2$,$l_3$ 的斜率分别为 $k_1$,$k_2$,$k_3$，倾斜角分别为 $α_1$,$α_2$,$α_3$，则下列选项正确的是 (　　)

 A．$k_1<k_3<k_2$ $\qquad \qquad$ B．$k_3<k_2<k_1$$\qquad \qquad$ C．$α_1<α_3<α_2$ $\qquad \qquad$ D．$α_3<α_2<α_1$
 

3. 如果直线 $l_1$ 与 $l_2$ 关于 $x$ 轴对称，且与 $x$ 轴相 交，它们的倾斜角分别为 $α_1$，$α_2$，则 $α_1$ 与 $α_2$ 的关系是 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 如图，当 $l$ 向上方向的部分在 $y$ 轴左侧时，倾斜角为 $90^\circ+α$；当 l 向上方向的部分在 $y$ 轴右侧时，倾斜角为 $90^\circ-α$．
   

2. 答案 $AD$
   解析 如图，直线线 $l_1$,$l_2$,$l_3$ 的斜率分别为 $k_1$,$k_2$,$k_3$，倾斜角分别为 $α_1$,$α_2$,$α_3$，
   则 $k_2>k_3>0$,$k_1<0$，故 $\dfrac{\pi}{2}>\alpha_{2}>\alpha_{3}>0$，且 $α_1$ 为钝角，
   故选：$AD$．

3. 答案 $α_1+α_2=180^\circ$.
    

【题型2】直线倾斜角与斜率

【典题 1】 已知点 $A(2,－1)$,$B(3,m)$，若 $m \in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1, \sqrt{3}-1\right]$，则直线 $AB$ 的倾斜角的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 根据题意，设直线 $AB$ 的倾斜角为 $α$，
点 $A(2,－1)$,$B(3,m)$，则直线 $AB$ 的斜率 $k=\dfrac{m+1}{3-2}=m+1$，
又由 $m \in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1, \sqrt{3}-1\right]$，则 $k$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]$，
即 $\tanα$ 的范围为 $\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]$，又由 $0≤α<π$，
则 $α \in\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)$.
点拨 知斜率范围求倾斜角范围，结合正切函数图象求解，注意倾斜角范围 $[0，π)$ 便可.
 

【典题 2】若直线经过两点 $A(m,2)$，$B(-m,2m-1)$ 且倾斜角为 $45^\circ$，则 $m$ 的值为 (　　)
 A． $\dfrac{3}{4}$ $\qquad \qquad$ B．$1$ $\qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad$ D． $\dfrac{1}{2}$
解析 经过两点 $A(m,2)$，$B(-m,2m-1)$ 的直线的斜率为 $k=\dfrac{2 m-1-2}{-m-m}$．
又直线的倾斜角为 $45^\circ$， $\therefore \dfrac{2 m-1-2}{-m-m}=\tan 45^{\circ}=1$，即 $m=\dfrac{3}{4}$．故选：$A$．
点拨 求直线斜率可用 $k=\tanα$ 或斜率公式 $k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.
 

巩固练习

1. 已知直线 $l$ 的倾斜角为 $150^\circ$，则直线 $l$ 的斜率为 (　　)
 A． $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\qquad \qquad \qquad\qquad$ B． $\sqrt{3}$ $\qquad \qquad \qquad\qquad$ C． $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\qquad\qquad \qquad \qquad$ D． $-\sqrt{3}$
 

2. 斜率为 $2$ 的直线经过点 $(3,5)$，$(a,7)$，$(-1,b)$ 三点，则 $a$,$b$ 的值是 (　　)
 A．$a=4，b=0$ $\qquad \qquad$ B．$a=－4，b=－3$$\qquad \qquad$C．$a=4，b=－3$ $\qquad \qquad$ D．$a=－4，b=3$
 

3. 过点 $(0,1)$ 与 $(2,3)$ 的直线的斜率为 $\underline{\quad \quad}$，倾斜角为 $\underline{\quad \quad}$．
 

4. 已知点 $A(-m,5)$，$B(1,3m)$，且直线 $AB$ 的倾斜角为 $135^\circ$，则实数 $m=\underline {\quad \quad}$．
 

5. 若直线 $l$ 的斜率 $k$ 的变化范围是 $[-1, \sqrt{3}]$，则它的倾斜角的变化范围是 .
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $k=\tan 150^{\circ}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

2. 答案 $C$
   解析 $k=\dfrac{7-5}{a-3}=\dfrac{b-5}{-1-3}=2$，解得 $a=4$，$b=－3$.

3. 答案 $1$　$45^\circ$
   解析 $k=\dfrac{3-1}{2-0}=1$，又 $\tanα=1$，得 $α=45^\circ$.

4. 答案 $1$
   解析 $k_{A B}=\dfrac{3 m-5}{1+m}$， $k_{A B}=\tan 135^{\circ}=-1$，则 $\dfrac{3 m-5}{1+m}=-1$，解得 $m=1$.

5. 答案 $\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$
   解析 设直线的倾斜角为 $α$，则 $α∈[0,π)$，
   由 $-1 \leq k \leq \sqrt{3}$，即 $-1 \leq \tan \alpha \leq \sqrt{3}$，
   $\therefore \alpha \in\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$.

【题型3】斜率的几何意义

【典题 1】 设点 $A(2,－3)$,$B(－3,－2)$，直线 $l$ 过点 $P(1,1)$ 且与线段 $AB$ 相交，则 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 设直线 $l$ 与线段 $AB$ 交于点 $C$，当 $PC⊥x$ 轴时直线 $l$ 与线段 $AB$ 交于点 $D$，
如图所示，当点 $C$ 在 $AD$ 上运动时，所求直线 $l$ 的斜率 $k$ 满足 $k≥k_{PB}$
当点 $C$ 在 $DB$ 上运动时，$k≤k_{PA}$，
即 $k \geq \dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4}$ 或 $k \leq \dfrac{1+3}{1-2}=-4$，
$\therefore k \geq \dfrac{3}{4}$ 或 $k≤－4$，
即直线的斜率的取值范围是 $k \geq \dfrac{3}{4}$ 或 $k≤－4$．

点拨 注意数形结合，理解判断斜率大小的方法：直线越陡斜率绝对值 | k | 越大.
 

【典题 2】$P(x,y)$ 在线段 $AB$ 上运动，已知 $A(2,4)$,$B(5,－2)$，则 $\dfrac{y+1}{x+1}$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 如图：

$\dfrac{y+1}{x+1}$ 表示线段上的点与 $C(－1,－1)$ 连线的斜率，
$\therefore k_{A C}=\dfrac{5}{3}$， $k_{B C}=-\dfrac{1}{6}$，则 $\dfrac{y+1}{x+1}$ 的取值范围是 $[-\dfrac{1}{6},\dfrac{5}{3} ]$．
点拨 理解 “形如 $\dfrac{y-b}{x-a}$ 的代数式可以理解为过点 $M(a,b)$ 与点 $N(x,y)$ 直线的斜率 $k_{MN}$” 是关键.
 

巩固练习

1. 已知两点 $A(－3,4)$，$B(3,2)$，过点 $P(1,0)$ 的直线 $l$ 与线段 $AB$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率 k 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

2. 已知实数 $x,y$ 满足 $2x+y=8$，当 $2≤x≤3$ 时， $\dfrac{y+1}{x-1}$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $k≥1$ 或 $k≤－1$
   解析 $∵$ 点 $A(－3,4)$，$B(3,2)$，过点 $P(1,0)$ 的直线 $l$ 与线段 $AB$ 有公共点，
   $∴$ 直线 l 的斜率 $k≥k_{PB}$ 或 $k≤k_{PA}$，
   $∵PA$ 的斜率为 $\dfrac{4-0}{-3-1}=-1$，$PB$ 的斜率为 $\dfrac{2-0}{3-1}=1$，
   $∴$ 直线 $l$ 的斜率 $k≥1$ 或 $k≤－1$.
   

2. 答案 $\left[\dfrac{3}{2}, 5\right]$
   解析 由题意画出图形如图，
   
   $\dfrac{y+1}{x-1}$ 的几何意义为线段 $AB$ 上的点与定点 $P(1,－1)$ 连线的斜率．
   $\because k_{P A}=\dfrac{3}{2}$, $k_{P B}=5$，
   $∴\dfrac{y+1}{x-1}$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{3}{2}, 5\right]$．
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 下列说法正确的是 (　　)
 A．一条直线和 $x$ 轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角
 B．直线的倾斜角 $α$ 的取值范围是 $0^\circ≤α≤180^\circ$
 C．任何一条直线都有斜率
 D．任何一条直线都有倾斜角
 

2. 直线 $l$ 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角 $α$ 的范围是 (　　)
 A．$0^\circ≤α<90^\circ$ $\qquad \qquad$ B．$90^\circ≤α<180^\circ$ $\qquad \qquad$ C．$90^\circ<α<180^\circ$ $\qquad \qquad$ D．$0^\circ≤α<180^\circ$
 

3. 若三点 $A(-1,-2)$,$B(4,8)$,$C(5,x)$ 在同一条直线上，则实数 $x$ 的值为 (　　)
 A．$10$ $\qquad \qquad$ B．$－10$ $\qquad \qquad$ C．$5$ $\qquad \qquad$ D．$-5$
 

4. 已知直线过 $A(3,m+1)$,$B(4,2m+1)$ 两点且倾斜角为 $\dfrac{5}{6} \pi$，则 $m$ 的值为 (　　)
 A． $-\sqrt{3}$ $\qquad \qquad$ B． $\sqrt{3}$ $\qquad \qquad$ C． $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\qquad \qquad$ D． $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
 

5. 若过点 $(a,－2)$ 和 $(4,a)$ 的直线斜率不存在，则 $a=$$\underline{\quad \quad}$．
 

6. 直线 $l$ 经过点 $A(2,1)$,$B(3,t^2)$， $(-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2})$，则直线 $l$ 倾斜角的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$.
 

7. 已知点 $A(\sqrt{3}, 2)$，$B(4,－3)$，若直线 $l$ 过点 $P(0,1)$ 与线段 $AB$ 相交，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$.
 

8. 已知坐标平面内三点 $A(－ 1,1)$，$B(1,1)$， $C(2, \sqrt{3}+1)$．
  (1) 求直线 $AB$,$BC$,$AC$ 的斜率和倾斜角；
  (2) 若 $D$ 为 $△ABC$ 的边 $AB$ 上一动点，求直线 $CD$ 斜率 $k$ 的变化范围．
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 对于 $A$：一条直线向上的方向与 $x$ 轴的正方向所成的角叫做直线的倾斜角，故 $A$ 不正确；
   对于 $B$：直线倾斜角的范围是 $0^\circ≤α<180^\circ$，故 $B$ 不正确；
   对于 $C$：倾斜角为 $90^\circ$ 的直线没有斜率，故 $C$ 不正确；
   对于 $D$：任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，故 $D$ 正确．

2. 答案 $B$

3. 答案 $A$
   解析 三点 $A(-1,-2)$,$B(4,8)$,$C(5,x)$ 在同一条直线上，
   $\therefore k_{A B}=k_{A C}$， $\therefore \dfrac{-2-8}{-1-4}=\dfrac{-2-x}{-1-5}$，解得 $x=10$．故选：$A$．

4. 答案 $C$
   解析 根据题意，直线 $AB$ 的倾斜角为 $\dfrac{5}{6} \pi$，则其斜率 $k=\tan \dfrac{5}{6} \pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
   又由 $A(3,m+1)$,$B(4,2m+1)$，则 $AB$ 的斜率 $k=\dfrac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m$，
   则有 $m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故选：$C$．

5. 答案 $4$

6. 答案 $\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$
   解析 $∵$ 直线 $l$ 经过点 $A(2,1)$,$B(3,t^2)$，
   $\therefore k_{l}=\dfrac{t^{2}-1}{3-2}=t^{2}-1$，
   $\because-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$，$∴0≤t^2≤2$，
   则 $t^2－1∈[－1,1]$，
   设直线 $l$ 的倾斜角为 $θ(0≤θ<π)$，则 $\tanθ∈[－1,1]$，
   得 $\theta \in\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$．

7. 答案 $\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$
   解析 如图所示，
   
   由 $A(\sqrt{3}, 2)$，$B(4,－3)$,$P(0,1)$，
   可得斜率 $k_{P A}=\dfrac{1-2}{0-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$， $k_{P B}=\dfrac{1-(-3)}{0-4}=-1$，
   因为直线 $l$ 与线段 $AB$ 相交，
   所以直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是 $\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$．

8. 答案 (1) 直线 $AB$ 的斜率与倾斜角分别为 $0$ 与 $0^\circ$；直线 $BC$ 的斜率与倾斜角分别为 $\sqrt{3}$ 与 $60^\circ$；
   直线 $AC$ 的斜率与倾斜角分别为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 与 $30^\circ$；
   (2) $\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]$
   解析 (1) 由斜率公式得 $k_{A B}=\dfrac{1-1}{1-(-1)}=0$， $k_{B C}=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{2-1}=\sqrt{3}$， $k_{A C}=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{2-(-1)}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
   在区间 $[0^\circ,180^\circ)$ 范围内，
   $∵\tan 0^\circ=0$，$∴$ 直线 $AB$ 的倾斜角为 $0^\circ$．
   $∵\tan⁡60^∘=\sqrt{3}$，$∴$ 直线 $BC$ 的倾斜角 为 $60^\circ$．
   $∵\tan⁡30^∘=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$∴$ 直线 $AC$ 的倾斜角为 $30^\circ$．
   (2) 如图，当斜率 $k$ 变化时，直线 $CD$ 绕 $C$ 点旋转，当直线 $CD$ 由 $CA$ 逆时针转到 $CB$ 时，直线 $CD$ 与 $AB$ 恒有交点，即 $D$ 在线段 $AB$ 上，此时 $k$ 由 $k_{CA}$ 增大到 $k_{CB}$，
   所以 $k$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]$．
   
    

【B组---提高题】

1. 已知在直角坐标系中，等边 $△ABC$ 中 $A$ 与原点重合，若 $AB$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $BC$ 的斜率可能为 (　　)
 A． $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ $\qquad \qquad$ B． $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$$\qquad \qquad$ C． $-\dfrac{\sqrt{3}}{5}$ $\qquad \qquad$ D． $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 设 $AB$ 的倾斜角 $α$，$BC$ 的倾斜角 $β$，
   则 $\beta=\alpha+\dfrac{\pi}{3}$ 或 $\beta=\dfrac{2 \pi}{3}+\alpha$， $\tan \alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
   当 $\beta=\alpha+\dfrac{\pi}{3}$ 时， $\tan \beta=\tan \left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}}=-3 \sqrt{3}$，
   当 $\beta=\dfrac{2 \pi}{3}+\alpha$ 时， $\tan \beta=\tan \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{5}$．
   故选：$C$．
   
    

【C组---拓展题】

1. 已知点 $P$ 在直线 $y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}$ 上，点 $Q$ 在直线 $y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3}{2}$ 上，线段 $PQ$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，且 $－1≤x_0+y_0≤2$，则 $\dfrac{y_{0}}{x_{0}}$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $[2,+\infty) \cup\left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right]$
   解析 点 $P$ 在直线 $y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}$ 上，点 $Q$ 在直线 $y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3}{2}$ 上，线段 $PQ$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，
   $∵$ 直线 $y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}$ 与 $y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3}{2}$ 平行，
   $∴$ 点 $M$ 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，
   其方程为 $y=\dfrac{1}{2} x+1$，图中直线 $AB$．
   即点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $y_{0}=\dfrac{1}{2} x_{0}+1$，而且满足不等式 $-1≤y_0+x_0≤2$，
   故 $M$ 的轨迹是一条线段 $AB$，如图：
   
   则 $\dfrac{y_{0}}{x_{0}}$ 即线段 $AB$ 上的点 $M$ 与原点连线的斜率．
   由 $\left\{\begin{array}{l} x-2 y+2=0 \\ x+y=2 \end{array}\right.$，可得 $A\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right)$；由 $\left\{\begin{array}{l} x-2 y+2=0 \\ x+y=-1 \end{array}\right.$，可得 $B\left(-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{3}\right)$，
   $∴OA$ 的斜率为 $2$，$OB$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{4}$，
   故则 $\dfrac{y_{0}}{x_{0}}$ 的范围为 $[2,+\infty) \cup\left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right]$，
   故答案为 $[2,+\infty) \cup\left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right]$．