2.1.1 直线的倾斜角与斜率
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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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基础知识
直线的倾斜角
1 定义
当直线\(l\)与\(x\)轴相交时,取\(x\)轴作为基准,\(x\)轴正向与直线\(l\)向上方向之间所成的角\(α\)叫做直线\(l\)的倾斜角.
特别地,当直线\(l\)与\(x\)轴平行或重合时,规定\(α=0^∘\).
解释
① 每条直线都有一个确定的倾斜角,且方向相同的直线,其倾斜程度相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等;
② 倾斜角表示直线的倾斜程度.
【例】 如图,直线\(l\)的倾斜角为 ( )
A.\(60°\) \(\qquad \qquad\) B.\(120°\) \(\qquad \qquad\) C.\(30°\) \(\qquad \qquad\) D.\(150°\)
解析 \(105°+45°=150°\),选\(D\).
2 范围
直线\(l\)倾斜角\(α∈[0^∘ ,180^∘)\).
\(l\)与\(x\)轴垂直时,\(α=90^∘\).
直线的斜率
1 定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,记作\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\) .
当直线\(l\)与\(x\)轴平行或重合时,\(α=0^∘\) , \(k=\tan 0^∘=0\);
当直线\(l\)与\(x\)轴垂直时,\(α=90^∘\) ,\(k\)不存在.
2 倾斜角α与斜率k之间的关系
\(k=\tan α\),\(α∈[0^∘ ,180^∘)\).
【例】 若直线\(l\)的斜率为\(-1\),则其倾斜角是\(\underline{\quad \quad}\).
解析 \(∵k=\tanα=-1\), \(\therefore \alpha=\dfrac{3 \pi}{4}\).
3 斜率公式
经过两点\(P_1 (x_1 ,y_1)\) ,\(P_2 (x_2 ,y_2)(x_1≠ x_2)\)的直线的斜率公式是\(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
使用斜率公式的时候要注意\(x_1≠ x_2\)的前提条件.
【例】 已知点\(A(1,5)\),\(B(2,m)\),而直线\(AB\)的斜率为\(-2\),则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
解析 直线\(AB\)的斜率 \(k_{A B}=\dfrac{5-m}{1-2}=m-5=-2\),所以\(m=3\).
4 求斜率的方法
(i)已知直线上两点,根据斜率公式 \(k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)\)求斜率;
(ii)已知直线的倾斜角\(α\)或\(α\)的某种三角函数根据\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\)来求斜率.
5 斜率的几何意义
形如 \(\dfrac{y-b}{x-a}\)的代数式可以理解为过点\(M(a,b)\)与点\(N(x,y)\)直线的斜率\(k_{MN}\).
如 \(\dfrac{y+2}{x-1} \mid\)的代数式可以理解为过点\(M(1,-2)\)与点\(N(x,y)\)直线的斜率 \(k_{MN}\).
基本方法
【题型1】直线倾斜角与斜率的概念
【典题1】 下列叙述正确的是( )
A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B.直线倾斜角\(α\)的取值范围是\(0^ \circ≤α<180^ \circ\)
C.若一条直线的倾斜角为\(α(α≠90^\circ)\),则此直线的斜率为\(\tanα\)
D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是\(0^\circ\)或\(90^\circ\)
解析 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角,但不一定有斜率,故A错误.
由于直线倾斜角\(α\)的取值范围是\(0^\circ≤α<180^\circ\),故B正确.
若一条直线的倾斜角为\(α(α≠90^\circ)\),则此直线的斜率为\(\tanα\),故\(C\)正确.
与\(x\)轴垂直的直线的倾斜角是\(90^\circ\),与\(y\)轴垂直的直线的倾斜角是\(0^\circ\),故\(D\)正确,
故选:\(BCD\).
【典题2】如下图,比较四条直线对应的斜率\(k_1\),\(k_2\),\(k_3\),\(k_4\)大小.
解析 如左图,当\(α∈[0^∘ ,90^∘)\)时,\(k(α)\)是递增的;
右图中斜率为\(k_1\) ,\(k_2\)的直线对应的倾斜角为\(α_1\) ,\(α_2\),其中 \(0<\alpha_{2}<\alpha_{1}<\dfrac{\pi}{2}\),而\(k_1>k_2>0\);
如左图,当\(α∈(90^∘ ,180^∘)\)时,\(k(α)\)也是递增的;
右图中斜率为\(k_3\) ,\(k_4\)的直线对应的倾斜角为\(α_3\) ,\(α_4\),
其中 \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\pi\),而\(k_3<k_4<0\).
(简而言之,斜率大小看倾斜角,直线越陡斜率绝对值\(|k|\)越大)
巩固练习
1.一条直线\(l\)与\(x\)轴相交,其向上的方向与\(y\)轴正方向所成的角为\(α(0^\circ<α<90^\circ)\),则其倾斜角为( )
A.\(α\) \(\qquad \qquad\) B.\(180^\circ-α\) \(\qquad \qquad\) C.\(180^\circ-α\)或\(90^\circ-α\) \(\qquad \qquad\) D.\(90^\circ+α\)或\(90^\circ-α\)
2.(多选)如图,直线\(l_1\),\(l_2\),\(l_3\)的斜率分别为\(k_1\),\(k_2\),\(k_3\),倾斜角分别为\(α_1\),\(α_2\),\(α_3\),则下列选项正确的是( )
A.\(k_1<k_3<k_2\) \(\qquad \qquad\) B.\(k_3<k_2<k_1\)\(\qquad \qquad\) C.\(α_1<α_3<α_2\) \(\qquad \qquad\) D.\(α_3<α_2<α_1\)
3.如果直线\(l_1\)与\(l_2\)关于\(x\)轴对称,且与\(x\)轴相 交,它们的倾斜角分别为\(α_1\),\(α_2\),则\(α_1\)与\(α_2\)的关系是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 如图,当\(l\)向上方向的部分在\(y\)轴左侧时,倾斜角为\(90^\circ+α\);当l向上方向的部分在\(y\)轴右侧时,倾斜角为\(90^\circ-α\).
-
答案 \(AD\)
解析 如图,直线线\(l_1\),\(l_2\),\(l_3\)的斜率分别为\(k_1\),\(k_2\),\(k_3\),倾斜角分别为\(α_1\),\(α_2\),\(α_3\),
则\(k_2>k_3>0\),\(k_1<0\),故 \(\dfrac{\pi}{2}>\alpha_{2}>\alpha_{3}>0\),且\(α_1\)为钝角,
故选:\(AD\). -
答案 \(α_1+α_2=180^\circ\).
【题型2】直线倾斜角与斜率
【典题1】 已知点\(A(2,-1)\),\(B(3,m)\),若 \(m \in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1, \sqrt{3}-1\right]\),则直线\(AB\)的倾斜角的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 根据题意,设直线\(AB\)的倾斜角为\(α\),
点\(A(2,-1)\),\(B(3,m)\),则直线\(AB\)的斜率 \(k=\dfrac{m+1}{3-2}=m+1\),
又由 \(m \in\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1, \sqrt{3}-1\right]\),则\(k\)的取值范围为 \(\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]\),
即\(\tanα\)的范围为 \(\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]\),又由\(0≤α<π\),
则 \(α \in\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)\).
点拨 知斜率范围求倾斜角范围,结合正切函数图象求解,注意倾斜角范围\([0,π)\)便可.
【典题2】若直线经过两点\(A(m,2)\),\(B(-m,2m-1)\)且倾斜角为\(45^\circ\),则\(m\)的值为( )
A. \(\dfrac{3}{4}\) \(\qquad \qquad\) B.\(1\) \(\qquad \qquad\) C.\(2\) \(\qquad \qquad\) D. \(\dfrac{1}{2}\)
解析 经过两点\(A(m,2)\),\(B(-m,2m-1)\)的直线的斜率为 \(k=\dfrac{2 m-1-2}{-m-m}\).
又直线的倾斜角为\(45^\circ\), \(\therefore \dfrac{2 m-1-2}{-m-m}=\tan 45^{\circ}=1\),即 \(m=\dfrac{3}{4}\).故选:\(A\).
点拨 求直线斜率可用\(k=\tanα\)或斜率公式 \(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
巩固练习
1.已知直线\(l\)的倾斜角为\(150^\circ\),则直线\(l\)的斜率为( )
A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) B. \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) C. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad\qquad \qquad \qquad\) D. \(-\sqrt{3}\)
2.斜率为\(2\)的直线经过点\((3,5)\),\((a,7)\),\((-1,b)\)三点,则\(a\),\(b\)的值是( )
A.\(a=4,b=0\) \(\qquad \qquad\) B.\(a=-4,b=-3\)\(\qquad \qquad\)C.\(a=4,b=-3\) \(\qquad \qquad\) D.\(a=-4,b=3\)
3.过点\((0,1)\)与\((2,3)\)的直线的斜率为\(\underline{\quad \quad}\),倾斜角为\(\underline{\quad \quad}\).
4.已知点\(A(-m,5)\),\(B(1,3m)\),且直线\(AB\)的倾斜角为\(135^\circ\),则实数$ m=\underline{\quad \quad}$.
5.若直线\(l\)的斜率\(k\)的变化范围是 \([-1, \sqrt{3}]\),则它的倾斜角的变化范围是 .
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(k=\tan 150^{\circ}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\). -
答案 \(C\)
解析 \(k=\dfrac{7-5}{a-3}=\dfrac{b-5}{-1-3}=2\),解得\(a=4\),\(b=-3\). -
答案 \(1\) \(45^\circ\)
解析 \(k=\dfrac{3-1}{2-0}=1\),又\(\tanα=1\),得\(α=45^\circ\). -
答案 \(1\)
解析 \(k_{A B}=\dfrac{3 m-5}{1+m}\), \(k_{A B}=\tan 135^{\circ}=-1\),则 \(\dfrac{3 m-5}{1+m}=-1\),解得\(m=1\). -
答案 \(\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)
解析 设直线的倾斜角为\(α\),则\(α∈[0,π)\),
由 \(-1 \leq k \leq \sqrt{3}\),即 \(-1 \leq \tan \alpha \leq \sqrt{3}\),
\(\therefore \alpha \in\left[0, \dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\).
【题型3】斜率的几何意义
【典题1】 设点\(A(2,-3)\),\(B(-3,-2)\),直线\(l\)过点\(P(1,1)\)且与线段\(AB\)相交,则\(l\)的斜率\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 设直线\(l\)与线段\(AB\)交于点\(C\),当\(PC⊥x\)轴时直线\(l\)与线段\(AB\)交于点\(D\),
如图所示,当点\(C\)在\(AD\)上运动时,所求直线\(l\)的斜率\(k\)满足 \(k≥k_{PB}\)
当点\(C\)在\(DB\)上运动时,\(k≤k_{PA}\),
即 \(k \geq \dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4}\)或 \(k \leq \dfrac{1+3}{1-2}=-4\),
\(\therefore k \geq \dfrac{3}{4}\)或\(k≤-4\),
即直线的斜率的取值范围是 \(k \geq \dfrac{3}{4}\)或\(k≤-4\).
点拨 注意数形结合,理解判断斜率大小的方法: 直线越陡斜率绝对值|k|越大.
【典题2】\(P(x,y)\)在线段\(AB\)上运动,已知\(A(2,4)\),\(B(5,-2)\),则 \(\dfrac{y+1}{x+1}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 如图:
\(\dfrac{y+1}{x+1}\)表示线段上的点与\(C(-1,-1)\)连线的斜率,
\(\therefore k_{A C}=\dfrac{5}{3}\), \(k_{B C}=-\dfrac{1}{6}\),则 \(\dfrac{y+1}{x+1}\)的取值范围是 \([-\dfrac{1}{6},\dfrac{5}{3} ]\).
点拨 理解“形如 \(\dfrac{y-b}{x-a}\)的代数式可以理解为过点\(M(a,b)\)与点\(N(x,y)\)直线的斜率\(k_{MN}\)”是关键.
巩固练习
1.已知两点\(A(-3,4)\),\(B(3,2)\),过点\(P(1,0)\)的直线\(l\)与线段\(AB\)有公共点,则直线\(l\)的斜率k的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
2.已知实数\(x,y\)满足\(2x+y=8\),当\(2≤x≤3\)时, \(\dfrac{y+1}{x-1}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(k≥1\)或\(k≤-1\)
解析 \(∵\)点\(A(-3,4)\),\(B(3,2)\),过点\(P(1,0)\)的直线\(l\)与线段\(AB\)有公共点,
\(∴\)直线l的斜率\(k≥k_{PB}\)或\(k≤k_{PA}\),
\(∵PA\)的斜率为 \(\dfrac{4-0}{-3-1}=-1\),\(PB\)的斜率为 \(\dfrac{2-0}{3-1}=1\),
\(∴\)直线\(l\)的斜率\(k≥1\)或\(k≤-1\).
-
答案 \(\left[\dfrac{3}{2}, 5\right]\)
解析 由题意画出图形如图,
\(\dfrac{y+1}{x-1}\)的几何意义为线段\(AB\)上的点与定点\(P(1,-1)\)连线的斜率.
\(\because k_{P A}=\dfrac{3}{2}\), \(k_{P B}=5\),
\(∴\dfrac{y+1}{x-1}\)的取值范围是 \(\left[\dfrac{3}{2}, 5\right]\).
分层练习
【A组---基础题】
1.下列说法正确的是( )
A.一条直线和\(x\)轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角
B.直线的倾斜角\(α\)的取值范围是\(0^\circ≤α≤180^\circ\)
C.任何一条直线都有斜率
D.任何一条直线都有倾斜角
2.直线\(l\)经过第二、四象限,则直线l的倾斜角\(α\)的范围是( )
A.\(0^\circ≤α<90^\circ\) \(\qquad \qquad\) B.\(90^\circ≤α<180^\circ\) \(\qquad \qquad\) C.\(90^\circ<α<180^\circ\) \(\qquad \qquad\) D.\(0^\circ≤α<180^\circ\)
3.若三点\(A(-1,-2)\),\(B(4,8)\),\(C(5,x)\)在同一条直线上,则实数\(x\)的值为( )
A.\(10\) \(\qquad \qquad\) B.\(-10\) \(\qquad \qquad\) C.\(5\) \(\qquad \qquad\) D.\(-5\)
4.已知直线过\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\)两点且倾斜角为 \(\dfrac{5}{6} \pi\),则\(m\)的值为( )
A. \(-\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) B. \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\) C. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad \qquad\) D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
5.若过点\((a,-2)\)和\((4,a)\)的直线斜率不存在,则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\).
6.直线\(l\)经过点\(A(2,1)\),\(B(3,t^2)\), \((-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2})\),则直线\(l\)倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
7.已知点 \(A(\sqrt{3}, 2)\),\(B(4,-3)\),若直线\(l\)过点\(P(0,1)\)与线段\(AB\)相交,则直线\(l\)的倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
8.已知坐标平面内三点\(A(- 1,1)\),\(B(1,1)\), \(C(2, \sqrt{3}+1)\).
(1)求直线\(AB\),\(BC\),\(AC\)的斜率和倾斜角;
(2)若\(D\)为\(△ABC\)的边\(AB\)上一动点,求直线\(CD\)斜率\(k\)的变化范围.
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 对于\(A\):一条直线向上的方向与\(x\)轴的正方向所成的角叫做直线的倾斜角,故\(A\)不正确;
对于\(B\):直线倾斜角的范围是\(0^\circ≤α<180^\circ\),故\(B\)不正确;
对于\(C\):倾斜角为\(90^\circ\)的直线没有斜率,故\(C\)不正确;
对于\(D\):任何一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率,故\(D\)正确. -
答案 \(B\)
-
答案 \(A\)
解析 三点\(A(-1,-2)\),\(B(4,8)\),\(C(5,x)\)在同一条直线上,
\(\therefore k_{A B}=k_{A C}\), \(\therefore \dfrac{-2-8}{-1-4}=\dfrac{-2-x}{-1-5}\),解得\(x=10\).故选:\(A\). -
答案 \(C\)
解析 根据题意,直线\(AB\)的倾斜角为 \(\dfrac{5}{6} \pi\),则其斜率 \(k=\tan \dfrac{5}{6} \pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\),
又由\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\),则\(AB\)的斜率 \(k=\dfrac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m\),
则有 \(m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\),故选:\(C\). -
答案 \(4\)
-
答案 \(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)
解析 \(∵\)直线\(l\)经过点\(A(2,1)\),\(B(3,t^2)\),
\(\therefore k_{l}=\dfrac{t^{2}-1}{3-2}=t^{2}-1\),
\(\because-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}\),\(∴0≤t^2≤2\),
则\(t^2-1∈[-1,1]\),
设直线\(l\)的倾斜角为\(θ(0≤θ<π)\),则\(\tanθ∈[-1,1]\),
得 \(\theta \in\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\). -
答案 \(\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)
解析 如图所示,
由 \(A(\sqrt{3}, 2)\),\(B(4,-3)\),\(P(0,1)\),
可得斜率 \(k_{P A}=\dfrac{1-2}{0-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), \(k_{P B}=\dfrac{1-(-3)}{0-4}=-1\),
因为直线\(l\)与线段\(AB\)相交,
所以直线\(l\)的倾斜角的取值范围是 \(\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\). -
答案 (1) 直线\(AB\)的斜率与倾斜角分别为\(0\)与\(0^\circ\);直线\(BC\)的斜率与倾斜角分别为 \(\sqrt{3}\)与\(60^\circ\);
直线\(AC\)的斜率与倾斜角分别为 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)与\(30^\circ\);
(2) \(\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]\)
解析 (1)由斜率公式得 \(k_{A B}=\dfrac{1-1}{1-(-1)}=0\), \(k_{B C}=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{2-1}=\sqrt{3}\), \(k_{A C}=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{2-(-1)}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
在区间\([0^\circ,180^\circ)\)范围内,
\(∵\tan 0^\circ=0\),\(∴\)直线\(AB\)的倾斜角为\(0^\circ\).
\(∵\tan60^∘=\sqrt{3}\),\(∴\)直线\(BC\)的倾斜角 为\(60^\circ\).
\(∵\tan30^∘=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\),\(∴\)直线\(AC\)的倾斜角为\(30^\circ\).
(2)如图,当斜率\(k\)变化时,直线\(CD\)绕\(C\)点旋转,当直线\(CD\)由\(CA\)逆时针转到\(CB\)时,直线\(CD\)与\(AB\)恒有交点,即\(D\)在线段\(AB\)上,此时\(k\)由\(k_{CA}\)增大到\(k_{CB}\),
所以\(k\)的取值范围为 \(\left[\dfrac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]\).
【B组---提高题】
1.已知在直角坐标系中,等边\(△ABC\)中\(A\)与原点重合,若\(AB\)的斜率为 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),则\(BC\)的斜率可能为( )
A. \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\qquad \qquad\) B. \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)\(\qquad \qquad\) C. \(-\dfrac{\sqrt{3}}{5}\) \(\qquad \qquad\) D. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 设\(AB\)的倾斜角\(α\),\(BC\)的倾斜角\(β\),
则 \(\beta=\alpha+\dfrac{\pi}{3}\)或 \(\beta=\dfrac{2 \pi}{3}+\alpha\), \(\tan \alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),
当 \(\beta=\alpha+\dfrac{\pi}{3}\)时, \(\tan \beta=\tan \left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}}=-3 \sqrt{3}\),
当 \(\beta=\dfrac{2 \pi}{3}+\alpha\)时, \(\tan \beta=\tan \left(\alpha+\dfrac{2 \pi}{3}\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}}{1+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}}=-\dfrac{\sqrt{3}}{5}\).
故选:\(C\).
【C组---拓展题】
1.已知点\(P\)在直线 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)上,点\(Q\)在直线 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3}{2}\)上,线段\(PQ\)的中点为\(M(x_0,y_0)\),且\(-1≤x_0+y_0≤2\),则 \(\dfrac{y_{0}}{x_{0}}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 \([2,+\infty) \cup\left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right]\)
解析 点\(P\)在直线 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)上,点\(Q\)在直线 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3}{2}\)上,线段\(PQ\)的中点为\(M(x_0,y_0)\),
\(∵\)直线 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{2}\)与 \(y=\dfrac{1}{2} x+\dfrac{3}{2}\)平行,
\(∴\)点\(M\)的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线,
其方程为 \(y=\dfrac{1}{2} x+1\),图中直线\(AB\).
即点\(M(x_0,y_0)\)满足 \(y_{0}=\dfrac{1}{2} x_{0}+1\),而且满足不等式\(-1≤y_0+x_0≤2\),
故\(M\)的轨迹是一条线段\(AB\),如图:
则 \(\dfrac{y_{0}}{x_{0}}\)即线段\(AB\)上的点\(M\)与原点连线的斜率.
由 \(\left\{\begin{array}{l} x-2 y+2=0 \\ x+y=2 \end{array}\right.\),可得 \(A\left(\dfrac{2}{3}, \dfrac{4}{3}\right)\);由 \(\left\{\begin{array}{l} x-2 y+2=0 \\ x+y=-1 \end{array}\right.\),可得 \(B\left(-\dfrac{4}{3}, \dfrac{1}{3}\right)\),
\(∴OA\)的斜率为\(2\),\(OB\)的斜率为 \(-\dfrac{1}{4}\),
故则 \(\dfrac{y_{0}}{x_{0}}\) 的范围为 \([2,+\infty) \cup\left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right]\),
故答案为 \([2,+\infty) \cup\left(-\infty,-\dfrac{1}{4}\right]\).