1.4.1(1) 空间中点、直线和平面的向量表示
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【基础过关系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
空间中点的向量表示
在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点\(P\)就可以用向量 \(\overrightarrow{O P}\)来表示，我们把向量 \(\overrightarrow{O P}\)称为点\(P\)的位置向量.
空间中直线的向量表示
1 直线的方向向量
若\(A、B\)是直线\(l\)上的任意两点，则\(\overrightarrow{AB}\)为直线 \(l\)的一个方向向量；与\(\overrightarrow{AB}\)平行的任意非零向量也是直线\(l\)的方向向量.
注 同一直线的方向向量不唯一.
【例】 若\(A(0,1,2)\),\(B(2,5,8)\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)的一个方向向量为 （ ）
A．\((3,2,1)\) \(\qquad \qquad\) B．\((1,3,2)\) \(\qquad \qquad\) C．\((2,1,3)\) \(\qquad \qquad\) D．\((1,2,3)\)
解 \(A(0,1,2)\),\(B(2,5,8)\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)的一个方向向量为： \(\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A B}=\dfrac{1}{2}(2,4,6)=(1,2,3)\)，
故选：\(D\)．
【例】设 \(\overrightarrow{d_{1}}\)与 \(\overrightarrow{d_{2}}\)都是直线\(Ax+By+C=0(AB≠0)\)的方向向量，则下列关于 \(\overrightarrow{d_{1}}\)与 \(\overrightarrow{d_{2}}\)的叙述正确的是 ( )
A． \(\overrightarrow{d_{1}}= \overrightarrow{d_{2}}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\overrightarrow{d_{1}}\)与 \(\overrightarrow{d_{2}}\)同向 \(\qquad \qquad\) C． \(\overrightarrow{d_{1}}//\overrightarrow{d_{2}}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\overrightarrow{d_{1}}\)与 \(\overrightarrow{d_{2}}\)有相同的位置向量
解 根据直线的方向向量定义，把直线上的非零向量以及与之共线的非零向量叫做直线的方向向量．因此，直线\(Ax+By+C=0(AB≠0)\)的方向向量都应该是共线的，故选：\(C\)．
2 直线的向量表示
空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
①点\(P\)在直线\(l\)上的充要条件是存在实数\(t\)，使得 \(\overrightarrow{A P}=t \overrightarrow{A B}\)(点\(B\)在直线\(l\)上)；
②取定空间中的任意一点\(O\)，点\(P\)在直线\(l\)上的充要条件是存在实数t，使得 \(\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \vec{a}\)
( \(\vec{a}\)是直线\(l\)的方向向量)；
③取定空间中的任意一点\(O\)，点\(P\)在直线\(l\)上的充要条件是存在实数\(t\)，使得 \(\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t \overrightarrow{A B}\).
【例】(多选)直线\(l\)的方向向量 \(\vec{a}=(1,2,3)\)，点\(A(-1,0,2)\)在直线\(l\)上，则以下点在直线\(l\)上的是( ).
A.\((0,2,5)\) \(\qquad \qquad\) B.\((1,4,7)\) \(\qquad \qquad\) C.\((2,6,11)\) \(\qquad \qquad\) D. \((-1,1,2)\)
解 设在直线\(l\)上的点为\(P(x,y,z)\)，则 \(\overrightarrow{A P}=t \vec{a}\)，
所以\((x+1,y,z-2)=t(1,2,3)\)，所以 \(x+1=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z-2}{3}\)，
所以\(y=2x+2\)，\(z=3x+5\)，所以\(P(x,2x+2,3x+5)\)，
选项中满足要求的点是\(A,C\)，故选\(AC\).
空间中平面的向量表示
1 空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定
取定空间任意一点\(O\)，空间一点\(P\)位于平面\(ABC\)内的充要条件是存在实数\(x，y\)，使 \(\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}\).
2 空间中任意平面由空间一点及平面的法向量唯一确定
①若向量 \(\vec{n}\)所在直线垂直于平面\(α\)，则称这个向量垂直于平面\(α\)，记作 \(\vec{n} \perp \alpha\)，向量 \(\vec{n}\)叫做平面\(α\)的法向量.
注 一平面的法向量不唯一.
【例】正方体\(ABCD-A'B'C'D'\)中，边长为\(2\)，那以下\(\underline{\quad \quad}\)是平面\(ABCD\)的法向量，\(\underline{\quad \quad}\)是平面\(BCC'B'\)的法向量.
A．\((0,0,2)\) \(\qquad \qquad\) B．\((1,0,0)\) \(\qquad \qquad\) C．\((0,2,0)\) \(\qquad \qquad\) D．\((0,1,0)\)
解 因为\(DD'⊥\)平面\(ABCD\)，所以 \(\overrightarrow{D D^{\prime}}=(0,0,2)\)是平面\(ABCD\)的法向量；
因为\(DC⊥\)平面\(BCC'B'\)，
所以 \(\overrightarrow{D C}=(0,2,0)\)是平面\(ABCD\)的法向量，向量 \(\vec{n}=(0,1,0)\)平行 \(\overrightarrow{D C}\)，
所以 \(\vec{n}=(0,1,0)\)也是平面\(ABCD\)的法向量；
故填\(A\)，\(CD\).
② 给定一个点\(A\)和一个向量 \(\vec{n}\)，那么过点\(A\)，且以向量 \(\vec{n}\)为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 \(\{P \mid \vec{n} \cdot \overrightarrow{A P}=0\}\).
【例】 已知平面 \(\alpha=\left\{P \mid \vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=0\right\}\)，其中点\(P_0 (1,2,3)\)，法向量 \(\vec{n}=(1,1,1)\)，则下列各点中不在平面\(α\)内的是 ( )
A．\((3,2,1)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-2,5,4)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-3,4,5)\) \(\qquad \qquad\) D．\((2,-4,8)\)
解 对于\(A\)， \(\overrightarrow{P_{0} P}=(2,0,-2)\)， \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=1 \times 2+1 \times 0+1 \times(-2)=0\)，
故选项\(A\)在平面\(α\)内；
对于\(B\)， \(\overrightarrow{P_{0} P}=(-3,3,1)\)， \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=1 \times(-3)+1 \times 3+1 \times 1=1 \neq 0\)，
故选项\(B\)不在平面\(α\)内；
对于\(C\)， \(\overrightarrow{P_{0} P}=(-4,2,2)\)， \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=1 \times(-4)+1 \times 2+1 \times 2=0\)，
故选项\(C\)在平面\(α\)内；
对于\(D\)， \(\overrightarrow{P_{0} P}=(1,-6,5)\)， \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{P_{0} P}=1 \times 1+1 \times(-6)+1 \times 5=0\)，
故选项\(D\)在平面\(α\)内．
故选：\(B\)．
3 平面的法向量的求法(待定系数法)
① 建立适当的坐标系；
② 设平面\(α\)的法向量为 \(\vec{n}=(x, y, z)\)；
③ 求出平面内两个不共线向量的坐标 \(\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)\), \(\vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)\) ；
④ 根据法向量定义建立方程组 \(\left\{\begin{array}{l}
\vec{n} \cdot \vec{a}=0 \\
\vec{n} \cdot \vec{b}=0
\end{array}\right.\);
⑤ 解方程组，取其中一组解，即得平面\(α\)的法向量.
基本方法
【题型1】空间中直线的向量表示
【典题1】 在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(AB=BC=2\)， \(A A_{1}=\sqrt{2}\)，\(E,F\)分别是四边形\(A_1 B_1 C_1 D_1\)，\(BCC_1 D_1\)中心，以点\(A\)为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线\(EF\)的方向向量可以是 （ ）
A．\(\left(1,0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) B．\((1,0, \sqrt{2})\) \(\qquad \qquad\) C．\((-1,0, \sqrt{2})\) \(\qquad \qquad\) D．\((2,0,-\sqrt{2})\)
解析 在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(AB=BC=2\)， \(A A_{1}=\sqrt{2}\)，\(E,F\)分别是四边形\(A_1 B_1 C_1 D_1\)，\(BCC_1 D_1\)中心，
以点\(A\)为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 \(E(1,1, \sqrt{2})\)， \(F\left(2,1, \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)， \(\therefore \overrightarrow{E F}=\left(1,0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\)，
则直线\(EF\)的方向向量是 \(\left(\lambda, 0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lambda\right)\)，\(λ≠0\)．
故选：\(D\)．
巩固练习
1 已知直线\(l\)过点\(A(3,2,1)\),\(B(2,2,2)\)，且 \(\vec{a}=(2,0, x)\)是直线\(l\)的一个方向向量，则\(x=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
2 直线\(l_1\)与\(l_2\)不重合，直线\(l\)的方向向量为 \(\overrightarrow{v_{1}}=(-1,1,2)\)，直线\(l_2\)的方向向量为 \(\overrightarrow{v_{2}}=(-2,0,-1)\)，则直线\(l_1\)与\(l_2\)的位置关系为 \(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(-2\)
解析 直线\(l\)过点\(A(3,2,1)\),\(B(2,2,2)\)，且 \(\vec{a}=(2,0, x)\)是直线\(l\)的一个方向向量，
\(\therefore \overrightarrow{A B}=(-1,0,1)\)， \(\therefore \overrightarrow{A B} / / \vec{a}\)，
\(∴x=-2\)． -
答案 垂直
解析 因为直线\(l\)的方向向量为 \(\overrightarrow{v_{1}}=(-1,1,2)\)，直线\(l_2\)的方向向量为 \(\overrightarrow{v_{2}}=(-2,0,-1)\)，
则 \(\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}=-1 \times(-2)+1 \times 0+2 \times(-1)=0\)，故 \(\overrightarrow{v_{1}} \perp \overrightarrow{v_{2}}\)，
所以直线\(l_1\)与\(l_2\)的位置关系为垂直．
【题型2】空间中平面的向量表示
【典题1】 在棱长为\(1\)的正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，求平面\(ACD_1\)的一个法向量 \(\vec{n}\)．
解析 由已知图象可得，\(A(1,0,0)\),\(C(0,1,0)\),\(D_1 (0,0,1)\)，
则 \(\overrightarrow{A C}=(-1,1,0)\)， \(\overrightarrow{A D_{1}}=(-1, \quad 0,1)\)，
设\(ACD_1\)的一个法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)．
则 \(\left\{\begin{array}{l}
\vec{n} \cdot \overrightarrow{A C}=-x+y=0 \\
\vec{n} \cdot \overrightarrow{A D_{1}}=-x+z=0
\end{array}\right.\)，取\(x=1\)，可得\(y=1,z=1\)，
\(\therefore \vec{n}=(1,1,1)\)．
【典题2】如图，在四棱锥\(S-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是直角梯形，\(∠ABC=90^∘\)，\(SA⊥\)底面\(ABCD\)，且\(SA=AB=BC=1\)， \(A D=\dfrac{1}{2}\)，试建立适当的坐标系，分别求平面\(SAB\)与平面\(SCD\)的一个法向量．
解析 四棱锥\(S-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是直角梯形，\(∠ABC=90^∘\)，\(SA⊥\)底面\(ABCD\)，
\(∴\)以\(A\)为原点，\(AD\)为\(x\)轴，\(AB\)为\(y\)轴，\(AS\)为\(z\)轴，建立空间直角坐标系，
\(∵SA=AB=BC=1\)， \(A D=\dfrac{1}{2}\)，
\(∴S(0,0,1)\),\(A(0,0,0)\),\(B(0,1,0)\),\(C(1,1,0)\), \(D\left(\dfrac{1}{2}, 0,0\right)\)，
平面\(SAB\)的法向量\(\vec{n}=(1, 0, 0)\)；
\(\overrightarrow{S D}=\left(\dfrac{1}{2}, 0,-1\right)\), \(\overrightarrow{S C}=(1,1,-1)\)，
设平面\(SDC\)的一个法向量\(\vec{m}=(x,y,z)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l}
\vec{m} \cdot \overrightarrow{S D}=\dfrac{1}{2} x-z=0 \\
\vec{m} \cdot \overrightarrow{S C}=x+y-z=0
\end{array}\right.\)，取\(z=1\)，
得平面\(SDC\)的一个法向量 \(\vec{m}=(2,-1,1)\)．
巩固练习
1 平面\(α\)经过点\(A(0,0,2)\)且一个法向量 \(\vec{n}=(-1,-1,1)\)，则平面\(α\)与\(x\)轴的交点坐标是\(\underline{\quad \quad}\)．
2 已知平面\(ABC\)， \(\overrightarrow{A B}=(1,2,3)\)， \(\overrightarrow{A C}=(4,5,6)\)，写出平面\(ABC\)的一个法向量 \(\vec{n}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
3 在空间直角坐标系内，平面\(α\)经过三点\(A(1,0,2)\),\(B(0,1,0)\),\(C(-2,1,1)\)，向量 \(\vec{n}=(1, \lambda, \mu)\)是平面\(α\)的一个法向量，则\(λ+μ=\)\(\underline{\quad \quad}\).
4 如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是正方形，侧棱\(PD⊥\)底面\(ABCD\)，\(PD=DC=1\)，\(E\)是\(PC\)的中点，求平面\(EDB\)的一个法向量．
参考答案
-
答案 \((-2,0,0)\)
解析 平面\(α\)经过点\(A(0,0,2)\)且一个法向量 \(\vec{n}=(-1,-1,1)\)，
设平面\(α\)与\(x\)轴的交点为\(B(x,0,0)\)，则 \(\overrightarrow{A B}=(x, 0,-2)\)，
由已知得 \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=-x-2=0\)，解得\(x=-2\)，
\(∴\)平面\(α\)与\(x\)轴的交点坐标是\((-2,0,0)\)． -
答案 \((1,-2,1)\)
解析 平面\(ABC\)，\(\overrightarrow{A B}=(1,2,3)\)， \(\overrightarrow{A C}=(4,5,6)\)，
设平面\(ABC\)的一个法向量 \(\vec{n}=(x, y, z)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{A B}=x+2 y+3 z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{A C}=4 x+5 y+6 z=0 \end{array}\right.\)，取\(x=1\)，得 \(\vec{n}=(1,-2,1)\)． -
答案 \(7\)
解析 由\(A(1,0,2)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(-2,1,1)\)，
则 \(\overrightarrow{A B}=(-1,1,-2)\),\(\overrightarrow{A C}=(-3,1,-1)\)，
因为向量 \(\vec{n}=(1, \lambda, \mu)\)是平面\(α\)的一个法向量，
所以 \(\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{A B} \cdot \vec{n}=0 \\ \overrightarrow{A C} \cdot \vec{n}=0 \end{array}\right.\)，
即 \(\left\{\begin{array}{l} -1+\lambda-2 \mu=0 \\ -3+\lambda-\mu=0 \end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l} \lambda=5 \\ \mu=2 \end{array}\right.\)，
所以\(λ+μ=5+2=7\)．
-
答案 \((1,-1,1)\)
解析 以\(D\)为原点，分别以 \(\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D P}\)的方向为\(x\)轴，\(y\)轴，\(z\)轴的正方向，
建立空间直角坐标系\(D-xyz\)，如图所示：
依题意得\(D(0,0,0)\),\(B(1,1,0)\),\(C(0,1,0)\),\(P(0,0,1)\), \(E\left(0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)，
所以 \(\overrightarrow{D E}=\left(0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)， \(\overrightarrow{D B}=(1,1,0)\)，
设平面\(EDB\)的法向量为 \(\vec{n}=(x, y, z)\)，
所以 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{D E}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{D B}=0 \end{array}\right.\)，即 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{2} y+\dfrac{1}{2} z=0 \\ x+y=0 \end{array}\right.\)，
令\(x=1\)，则\(y=-1,z=1\)，所以 \(\vec{n}=(1,-1,1)\)，
即平面\(EDB\)的一个法向量为 \(\vec{n}=(1,-1,1)\)．
分层练习
【A组---基础题】
1 设\(y∈R\)，则点\(P(1,y,2)\)的集合为 ( )
A．垂直于\(xOz\)平面的一条直线 \(\qquad \qquad\) B．平行于\(xOz\)平面的一条直线
C．垂直于\(y\)轴的一个平面 \(\qquad \qquad\) D．平行于\(y\)轴的一个平面
2若\(A(2,1,1)\),\(B(1,2,2)\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)的一个方向向量为 ( )
A．\((2,1,2)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-2,2,3)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-1,1,1)\) \(\qquad \qquad\) D．\((1,0,0)\)
3 已知平面\(α\)过点\(A(1,1,2)\)，它的一个法向量为 \(\vec{n}=(-3,0,4)\)，则下列哪个点不在平面\(α\)内 ( )
A．\((5,5,5)\) \(\qquad \qquad\) B．\((9,7,8)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-7,2,-8)\) \(\qquad \qquad\) D． \((-3,0,-1)\)
4 已知直线\(l\)过点\(P(1,0,-1)\)，平行于向量 \(\vec{S}=(2,1,1)\)，平面\(π\)经过直线\(l\)和点 \(A(1,2,3)\)，则平面\(π\)的一个法向量 \(\vec{n}\)的坐标为( )
A．\(\left(\dfrac{1}{2},-2,1\right)\) \(\qquad \qquad\) B．\(\left(\dfrac{1}{2}, 1,-2\right)\) \(\qquad \qquad\) C．\((1,0,-2)\) \(\qquad \qquad\) D． \((1,-2,0)\)
5 直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴的正方向所成的夹角分别为\(α,β,γ\)，则直线\(l\)的方向向量为\(\underline{\quad \quad}\) ．
6 若直线\(a，b\)是两条异面直线，其方向向量分别是\((1,1,1)\)和\((2,-3,-2)\)，则直线\(a\)和\(b\)的公垂线的一个方向向量是\(\underline{\quad \quad}\)．
7 已知平面\(α\)内有两点\(M(1,-1,2)\),\(N(a,3,3)\)，平面\(α\)的一个法向量为 \(\vec{n}=(6,-3,6)\)，则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\).
8 如图，在单位正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，以\(D\)为原点， \(\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D D_{1}}\)为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面\(A_1 BC_1\)的法向量是\(\underline{\quad \quad}\) .
9 如图，在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)，\(AB=4\)，\(BC=3\), \(CC_1=2\)，\(M\)是\(AB\)的中点．以\(D\)为原点，\(DA\),\(DC\),\(DD_1\)所在直线分别为\(x\)轴、\(y\)轴、\(z\)轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求平面\(BCC_1 B_1\)的法向量；
(2)求平面\(MCA_1\)的法向量．
10 如图所示，在四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为矩形，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，点\(E\)在线段\(PC\)上，\(PC⊥\)平面\(BDE\)，设\(PA=1\),\(AD=2\)．求平面\(BPC\)的法向量；
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 点\(P(1,y,2)\)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，
由空间直角坐标的意义知，点\(P(1,y,2)\)的集合为垂直于\(xOz\)平面的一条直线
故选：\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 \(A(2,1,1)\),\(B(1,2,2)\)在直线\(l\)上，则直线\(l\)的一个方向向量为 \(\overrightarrow{A B}=(-1,1,1)\)．故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 由题意可知，符合条件的点P应该满足 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=0\)，
对于\(A\)， \(\overrightarrow{P A}=(-4,-4,-3)\)，因为 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=12+0-12=0\)，所以点在平面\(α\)内，
故选项\(A\)错误；
对于\(B\)， \(\overrightarrow{P A}=(-8,-6,-6)\)，因为 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=24+0-24=0 \text {, }\)，所以点在平面\(α\)内，
故选项\(B\)错误；
对于\(C\)， \(\overrightarrow{P A}=(8,-1,10)\)，因为 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=-24+0+40 \neq 0\)，所以点不在平面\(α\)内，
故选项\(C\)正确；
对于\(D\)， \(\overrightarrow{P A}=(4,1,3)\)，因为 \(\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}=-12+0+12=0\)，所以点在平面\(α\)内，
故选项\(D\)错误．
故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 直线\(l\)过点\(P(1,0,-1)\)，平行于向量 \(\vec{S}=(2,1,1)\)，
平面\(π\)经过直线\(l\)和点 \(A(1,2,3)\)，
\(\therefore \overrightarrow{P A}=(0,2,4)\)，
设平面\(π\)的一个法向量 \(\vec{n}=(x, y, z)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \vec{S}=2 x+y+z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{P A}=2 y+4 z=0 \end{array}\right.\)，取\(z=1\)，得 \(\vec{n}=\left(\dfrac{1}{2},-2,1\right)\)，
则平面\(π\)的一个法向量 \(\vec{n}\)的坐标为 \(\left(\dfrac{1}{2},-2,1\right)\)．
故选：\(A\)． -
答案 \((\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\)
解析 设过原点与直线\(l\)平行的直线为直线\(l'\)，直线\(l'\)取\(OP=1\)，\(P(x,y,z)\)，则\(x=\cos \alpha, y=\cos \beta, z=\cos \gamma\)，
\(\therefore \overrightarrow{O P}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\)，
\(∴\)直线\(l\)的方向向量为 \((\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\). -
答案 答案不唯一\((λ,4λ,-5λ),λ≠0\)均满足条件
解析 \(∵\)直线\(a，b\)是两条异面直线，其方向向量分别是： \(\vec{m}=(1,1,1)\)和 \(\vec{n}=(2,-3,-2)\)，
设直线\(a\)和\(b\)的公垂线的一个方向向量是 \(\vec{a}=(x, y, z)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{a} \perp \vec{m} \\ \vec{a} \perp \vec{n} \end{array}\right.\)，即 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{a} \cdot \vec{m}=0 \\ \vec{a} \cdot \vec{n}=0 \end{array}\right.\)，即 \(\left\{\begin{array}{l} x+y+z=0 \\ 2 x-3 y-2 z=0 \end{array}\right.\)，
令\(x=1\)，则 \(\vec{a}=(1,4,-5)\)，
故答案为： \((1,4,-5)\)
答案不唯一\((λ,4λ,-5λ),λ≠0\)均满足条件． -
答案 \(2\)
解析 平面\(α\)内有两点\(M(1,-1,2)\),\(N(a,3,3)\)， \(\overrightarrow{M N}=(a-1,4,1)\)，
因为平面\(α\)的一个法向量为 \(\vec{n}=(6,-3,6)\)，
所以 \(\vec{n} \perp \overrightarrow{M N}\)，则 \(\vec{n} \cdot \overrightarrow{M N}=6(a-1)-3 \times 4+6=0\)，解得\(a=2\)． -
答案 \((1,1,1)\)
解析 在单位正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，
以\(D\)为原点， \(\overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D D_{1}}\)为坐标向量建立空间直角坐标系，
\(A_1 (1,0,1)\),\(B(1,1,0)\),\(C_1 (0,1,1)\)，
\(\overrightarrow{B A_{1}}=(0,-1,1)\), \(\overrightarrow{B C_{1}}=(-1,0,1)\)，
设平面\(A_1 BC_1\)的法向量是 \(\vec{n}=(x, y, z)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{B A_{1}}=-y+z=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B C_{1}}=-x+z=0 \end{array}\right.\)，取\(x=1\)，得\(\vec{n}=(1,1,1)\)，
\(∴\)平面\(A_1 BC_1\)的法向量是\((1,1,1)\)． -
答案 \(\vec{n}=(2,3,3)\)
解析 (1)在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)，\(AB=4\)，\(BC=3\), \(CC_1=2\)，\(M\)是\(AB\)的中点．
以\(D\)为原点，\(DA\),\(DC\),\(DD_1\)所在直线分别为轴、\(y\)轴、\(z\)轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
\(\because \overrightarrow{D C} \perp\)平面\(BCC_1 B_1\)，
\(∴\)平面\(BCC_1 B_1\)的法向量为 \(\overrightarrow{D C}=(0,4,0)\)；
(2)\(M(3,2,0\)),\(C(0,4,0)\),\(A_1 (3,0,2)\)，
\(\overrightarrow{M C}=(-3,2,0)\), \(\overrightarrow{M A_{1}}=(0,-2,2)\)，
设平面\(MCA_1\)的法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)，
则 \(\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{M C}=-3 x+2 y=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{M A_{1}}=-2 y+2 z=0 \end{array}\right.\)，
取\(x=2\)，得平面\(MCA_1\)的法向量\(\vec{n}=(2,3,3)\)．
-
答案 \(\vec{n}=(1,0,2)\)
解析 \(∵PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(BD⊂\)平面\(ABCD\)，
\(∴PA⊥BD\)．
\(∵PC⊥\)平面\(BDE\)，\(BD⊂\)平面\(BDE\)，\(∴PC⊥BD\)．
又\(PA⋂PC=P\)，\(∴BD⊥\)平面\(PAC\)，\(AC⊂\)平面\(PAC\)，
\(∴BD⊥AC\)．
又底面四边形\(ABCD\)为矩形，\(∴\)矩形\(ABCD\)为正方形．
建立如图所示的空间直角坐标系．
\(A(0,0,0)\),\(B(2,0,0)\),\(C(2,2,0)\),\(P(0,0,1)\)，\(D(0,2,0)\)．
\(\overrightarrow{B C}=(0,2,0)\), \(\overrightarrow{B P}=(-2,0,1)\)，
设平面BPC的法向量为\(\vec{n}=(x,y,z)\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{B C}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{B P}=0 \end{array}\right.\)， \(\therefore\left\{\begin{array}{l} 2 y=0 \\ -2 x+z=0 \end{array}\right.\)，取\(\vec{n}=(1,0,2)\)．
\(∴\)平面\(BPC\)的一个法向量为\(\vec{n}=(1,0,2)\)．
【B组---提高题】
1 点\(M\)在\(z\)轴上，它与经过坐标原点且方向向量为 \(\vec{s}=(1,-1,1)\)的直线\(l\)的距离为 \(\sqrt{6}\)，则点\(M\)的坐标是\(\underline{\quad \quad}\) .
2已知直线\(l\)过定点\(A(2,3,1)\)，且\(\vec{n}=(0,1,1)\)为其一个方向向量，则点\(P(4,3,2)\)到直线\(l\)的距离为\(\underline{\quad \quad}\) .
3 如图，四棱柱\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)的底面\(ABCD\)是正方形，\(O\)为底面中心，\(A_1 O⊥\)平面\(ABCD\)， \(A B=A A_{1}=\sqrt{2}\)．平面\(OCB_1\)的法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)为 ( )
A．\((0,1,1)\) \(\qquad \qquad\) B． \((1,-1,1)\) \(\qquad \qquad\) C．\((1,0,-1)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-1,-1,1)\)
参考答案
-
答案 \((0,0,-3)\)或\((0,0,3)\)
解析 设\(M(0,0,z)\),\(P(t,-t,t)\)是直线上任一点，
因为\(MP⊥s\)，则 \(\overrightarrow{M P} \cdot \vec{S}=0\)，
由于 \(\overrightarrow{M P}=(t,-t, t-z)\)，
因此\(t+t+t-z=0\)，即\(z=3t\)，①
而 \(|M P|=\sqrt{6}\)，即 \(\sqrt{t^{2}+t^{2}+(t-z)^{2}}=\sqrt{6}\) ②
所以，由以上两式解得\(t=1\),\(z=3\)或\(t=-1\),\(z=-3\)，
因此\(M\)坐标为 \((0,0,-3)\)或\((0,0,3)\)． -
答案 \(\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\)
解析 \(\overrightarrow{P A}=(-2,0,-1)\)，故 \(|\overrightarrow{P A}|=\sqrt{5}\)，
\(\cos <\overrightarrow{P A}, \vec{n}>=\dfrac{\overrightarrow{P A} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{P A}||\vec{n}|}=\dfrac{-1}{\sqrt{5} \times \sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)，
设直线\(PA\)与直线\(l\)所成的角为\(θ\)，则 \(\cos \theta=|\cos <\overrightarrow{P A}, \vec{n}>|=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)，
故 \(\sin \theta=\dfrac{3 \sqrt{10}}{10}\)，
\(∴\)点\(P(4,3,2)\)到直线\(l\)的距离为 \(|P A| \sin \theta=\sqrt{5} \times \dfrac{3 \sqrt{10}}{10}=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\)． -
答案 \(C\)
解析 \(∵ABCD\)是正方形，且 \(A B=\sqrt{2}\)，\(∴AO=OC=1\)， \(\therefore \overrightarrow{O C}=(0,1,0)\)，
\(∵A(0,-1,0)\),\(B(1,0,0)\)， \(\therefore \overrightarrow{A B}=(1,1,0)\)， \(\therefore \overrightarrow{A_{1} B_{1}}=(1,1,0)\)，
\(∵OA=1\), \(A A_{1}=\sqrt{2}\), \(\therefore O A_{1}=\sqrt{2-1}=1\)，故 \(\overrightarrow{O A_{1}}=(0,0,1)\)，
故 \(\overrightarrow{O B_{1}}=\overrightarrow{O A_{1}}+\overrightarrow{A_{1} B_{1}}=(1,1,1)\)，
\(∵\)向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)是平面 的法向量，
\(\therefore \overrightarrow{O C} \cdot \vec{n}=y=0\)， \(\overrightarrow{O B_{1}} \cdot \vec{n}=x+y+z=0\)，
故\(y=0,x=-z\)，
结合选项可知，当\(x=1\)时，\(z=-1\)，
故选：\(C\)．
【C组---拓展题】
1 在空间直角坐标系中，点\(P(x,y,z)\)满足：\(x^2+y^2+z^2=16\)，平面\(α\)过点\(M(1,2,3)\)，且平面\(α\)的一个法向量\(\vec{n}=(1,1,1)\)，则点\(P\)在平面\(α\)上所围成的封闭图形的面积等于\(\underline{\quad \quad}\)．
2 已知平面\(α\)的法向量为 \(\vec{n}=(-2,-2,1)\)，点\(A(x,3,0)\)在平面\(α\)内，则点\(P(-2,1,4)\)到平面\(α\)的距离为 \(\dfrac{10}{3}\)，则\(x=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
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答案 \(4π\)
解析 \(∵\)点\(P(x,y,z)\)满足\(x^2+y^2+z^2=16\)， 点\(P\)在以\(O\)为球心、\(4\)为半径的球面上．
球与平面\(α\)相交围成的封闭图形为圆，
设圆心为\(A\)，则\(OA⊥α\)．
\(∵\)平面\(α\)的一个法向量 \(\vec{n}=(1,1,1)\)，
\(∴\)可设\(A(t,t,t)\)，又\(OA⊥α\)，点\(M(1,2,3)\)， \(\therefore \overrightarrow{A M}=(1-t, 2-t, 3-t)\)．
\(∵\)平面\(α\)过点\(M(1,2,3)\) ， \(\therefore \vec{n} \perp \overrightarrow{A M}\)， \(\therefore \vec{n} \cdot \overrightarrow{A M}=0\)，
\(∴1-t+2-t+3-t=0\)，解得\(t=2\)，
\(\therefore|\overrightarrow{O A}|=2 \sqrt{3}\)， \(\therefore\)圆\(A\)的半径为 \(\sqrt{4^{2}-(2 \sqrt{3})^{2}}=2\)，
\(∴\)圆\(A\)的面积为\(4π\)． -
答案 \(-1\)或\(x=-11\)
解析 \(\overrightarrow{A P}=(-2-x,-2,4)\)， \(|\overrightarrow{A P}|=\sqrt{(-2-x)^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}=\sqrt{x^{2}+4 x+24}\)，
\(|\vec{n}|=\sqrt{4+4+1}=3\)，
\(\overrightarrow{A P} \cdot \vec{n}=-2(-2-x)+4+4=2 x+12\)，
\(\therefore \cos <\overrightarrow{A P}, \vec{n}>=\dfrac{\overrightarrow{A P} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{A P}||\vec{n}|}=\dfrac{2 x+12}{\sqrt{x^{2}+4 x+24} \times 3}\)，
设\(AP\)与平面\(α\)所成角为\(θ\)，则 \(\sin \theta=\dfrac{|2 x+12|}{3 \sqrt{x^{2}+4 x+24}}\)，
\(∴P\)到平面\(α\)的距离为 \(|A P| \cdot \sin \theta=\dfrac{|2 x+12|}{3}=\dfrac{10}{3}\)，
解得\(x=-1\)或\(x=-11\)．
