3.1.1 函数的概念
基础知识
函数的概念
1 概念
设\(A、B\)是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系\(f\)，使对于集合\(A\)中的任意一个数\(x\)，在集合\(B\)中都有唯一确定的数\(f(x)\)和它对应，那么就称\(f：A→B\)为从集合\(A\)到集合\(B\)的一个函数．记作： \(y=f(x) ,x∈A\)．其中，\(x\)叫做自变量，\(x\)的取值范围\(A\)叫做函数的定义域；与\(x\)的值相对应的\(y\)值叫做函数值，函数值的集合\(\{f(x)|x∈A\}\)叫做函数的值域．
比如 贵哥西藏骑旅中，以\(15km/h\)的速度从大理去相距\(180km\)的丽江，出发\(t\)小时后行驶的路程是\(s km\)，则\(s\)是\(t\)的函数，记为\(s=12t\)，定义域是\(\{t|0≤t≤12\}\)，值域为\(\{s|0≤s≤180\}\)．对集合\(\{t|0≤t≤2\}\)中的任意一个实数，在集合\(\{s|0≤s≤180\}\)中都有唯一的数\(s=12t\)和它对应．
对函数概念的理解
① “\(A,B\)是非空的数集”，一方面强调了\(A,B\)只能是数集，即\(A,B\)中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．
② 函数中，集合\(A,B\)间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合\(B\)中的元素可以在集合\(A\)没元素对应.
③ 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集\(A\)中的任意一个(任意性)元素\(x\)，在非空数集\(B\)中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素\(y\)与之对应．这“三性”只要有一个不满足，便不能构成函数．
定义域
① 概念
函数自变量\(x\)的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)若\(f(x)\)为整式，则其定义域为实数集\(R\)．
(2)若\(f(x)\)是分式，则其定义域是使分母不等于\(0\)的实数的集合．
(3)若\(f(x)\)为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于\(0\)的实数的集合．
(4)若\(f(x)\)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．
(5)实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
【例】 求下列函数的定义域.
(1) \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) (2) \(f(x)=\sqrt{x-2}\).
答案 (1)\(x≠1\) (2)\([2,+∞)\).
值域
① 概念
函数值\(y\)的取值范围
② 求值域的方法
(1)配方法
(2)数形结合
(3)换元法
(4)函数单调性法
(5)分离常数法
(6)基本不等式法
【例】 求下列函数值域.
(1)\(f(x)=2x+3,x∈\{1,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) (2)\(f(x)=2x+3,x∈(-2,1]\)
解析 (1) 函数的值域是\(\{5,7,9\}\)；
(2) 画出\(f(x)=2x+3\)的图象．
由图象可知\(f(x)=2x+3,x∈(-2,1]\)的值域为\((－2,5]\)．
区间
区间的几何表示如下表所示：
【例】 将下列集合用区间表示出来．
(1)\(\{x|x≥2\}\)；(2)\(\{x|x＜0\}\)；(3)\(\{x|-2＜x≤5\}\)；(4)\(\{x|0＜x＜1,\)或\(2≤x≤4\}\)．
解析 (1) \([2,+∞)\)；(2) \((－∞,0)\)；(3) \((-2,5]\)；(4)\((0,1)∪[2,4]\)．
【练】将下列集合用区间表示出来．
(1)\(\{x|x<3\}\)；(2)\(\{x|x≥0\}\)；(3)\(\{x|-2≤x<3\}\)；(4)\(\{x|x<1,\)或\(2≤x≤4\}\)．
解析 (1) \((-∞,3)\)；(2) \([0,+∞)\)；(3) \([-2,3)\)；(4) \((-∞,1)∪[2,4]\)．
基本方法
【题型1】函数概念的理解
【典题1】图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量\(x,y\)的对应关系，其中表示\(y\)是\(x\)的函数关系的有\(\underline{\quad \quad}\) ．
解析 由函数定义可知，任意作一条直线\(x=a\)，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当\(－1≤a≤1\)时，直线\(x=a\)与函数的图象仅有一个交点，当\(a>1\)或\(a<－1\)时，直线\(x=a\)与函数的图象没有交点．从而表示\(y\)是\(x\)的函数关系的有(2)(3)．
答案：(2)(3)
点拨 判断函数的图像，主要看是否对于任意一个\(x\)是否对应唯一的\(y\).
【典题2】给定的下列四个式子中，能确定\(y\)是\(x\)的函数的是( )
① \(x^2+y^2=1\) \(\qquad \qquad\) ② \(|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0\)
③ \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-} 1=1\) \(\qquad \qquad\) ④ \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)．
A．① \(\qquad \qquad\) B．② \(\qquad \qquad\) C．③ \(\qquad \qquad\) D．④
解析 ①由 \(x^2+y^2=1\)得 \(y=\pm \sqrt{1-x^{2}}\)，不满足函数的定义，所以①不是函数．
②由 \(|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0\)得\(|x－1|=0\)， \(\sqrt{y^{2}-1}=0\)，所以\(x=1,y=±1\)，所以②不是函数．
③由 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-} 1=1\)得 \(y=(1-\sqrt{x-1})^{2}+1\)，满足函数的定义，所以③是函数．
④要使函数 \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)有意义，则 \(\left\{\begin{array}{l}
x-2 \geq 0 \\
1-x \geq 0
\end{array}\right.\)，解得 \(\left\{\begin{array}{l}
x \geq 2 \\
x \leq 1
\end{array}\right.\)，
此时不等式组无解，所以④不是函数．
故选：\(C\)．
巩固练习
1.下列四个图形中，不是以\(x\)为自变量的函数的图象是 ( )
A．
B．
C．
D．
2.函数\(y=f(x－1)\)与函数\(y=f(x+1)\) ( )
A．是同一个函数 \(\qquad \qquad\) B．定义域相同 \(\qquad \qquad\) C．图象重合 \(\qquad \qquad\) D．值域相同
3.下列式子中\(y\)是\(x\)的函数的是( )
A． \(x^2+y^2=2\) \(\qquad \qquad\) B． \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1\) \(\qquad \qquad\) C． \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\) \(\qquad \qquad\) D． \(y=\pm \sqrt{x}\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 由函数定义知，定义域内的每一个\(x\)都有唯一函数值与之对应，
\(A、B、D\)选项中的图象都符合；\(C\)项中对于大于零的\(x\)而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选：\(C\)． - 答案 \(D\)
解析由于函数\(y=f(x－1)\)中\(x－1\)的范围与函数\(y=f(x+1)\)中\(x+1\)的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系\(f\)，故函数\(y=f(x－1)\)与函数\(y=f(x+1)\)具有相同的值域，
故选：\(D\)． - 答案 \(B\)
解析 对于\(B\)，满足函数的定义，
对于\(C\)： \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)的定义域为\(∅\)，故不满足函数的定义，
对于\(A\),\(D\)，当\(x=1\)时，\(y\)都有\(2\)个值相对应，故不满足函数的定义，故选：\(B\)．
【题型2】函数的定义域
【典题1】 求下列函数的定义域：
(1) \(y=\dfrac{3}{1-\sqrt{2-x}}\)； (2) \(y=\sqrt{2 x-4}+\dfrac{(x-2)^{0}}{x-3}\)．
解析 (1)因为要使函数有意义，需 \(\left\{\begin{array} { l }
{ 2 - x \geq 0 } \\
{ 1 - \sqrt { 2 - x } \neq 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x \leq 2 \\
x \neq 1
\end{array} \Leftrightarrow x \leq 2\right.\right.\)且\(x≠1\)，
所以函数\(y=\dfrac{3}{1-\sqrt{2-x}}\)的定义域为\((-∞,1)∪(1,2]\)．
(2)因为要使函数有意义，需 \(\left\{\begin{array}{l}
2 x-4 \geq 0 \\
x-2 \neq 0 \\
x-3 \neq 0
\end{array}\right.\)解得\(x≥2\)且\(x≠2\)且\(x≠3\)，
所以函数\(y=\sqrt{2 x-4}+\dfrac{(x-2)^{0}}{x-3}\)的定义域为\((2,3)∪(3,+∞)\)．
【典题2】 已知\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\)，求\(f(2x-1)\)的定义域.
解析 \(∵0≤x≤3\) \(∴-1≤x-1≤2\)
\(∴-1≤2x-1≤2\) \(\therefore 0 \leq x \leq \dfrac{3}{2}\)
故函数\(f(2x-1)\)的定义域是 \(\left[0, \dfrac{3}{2}\right]\).
点拨 抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，
若把题目换成“已知\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\)，求\(f(2t-1)\)的定义域.”好理解多了，
① 谨记定义域指的是自变量的取值范围，
所以由“\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\)”得到的是“\(0≤x≤3\)”，“求\(f(2t-1)\)的定义域”指的就是求\(t\)的范围.
② 把“\(x-1\)”和“\(2t-1\)”都看成整体，它们的范围是相等的
这样就有“\(-1≤x-1≤2 ⇒-1≤2t-1≤2\)”.
巩固练习
1.函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\).
2.函数 \(f(x)=\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{x}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.函数 \(f(x)=\sqrt{-x^{2}+4 x+12}+\dfrac{1}{x-4}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\) .
4.已知函数\(f(x)\)的定义域为\((-1,0)\)，则函数\(f(2x-2)\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(\{x|4≤x<5\)或\(x>5\}\)
解析 要使函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的 解析式有意义，
自变量\(x\)须满足： \(\left\{\begin{array}{l} x-4 \geq 0 \\ |x|-5 \neq 0 \end{array}\right.\)，解得\(x∈\{x|4≤x<5\)或\(x>5\}\)
故函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的定义域为\(\{x|4≤x<5\)或\(x>5\}\). - 答案 \((-∞,0)∪(0,1]\)
解析 要使函数有意义，则 \(\left\{\begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\)，得 \(\left\{\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\)，即\(x≤1\)且\(x≠0\)，
即函数的定义域为\((-∞,0)∪(0,1]\). - 答案 \([-2,4)∪(4,6]\)
解析 解 \(\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+4 x+12 \geq 0 \\ x-4 \neq 0 \end{array}\right.\)得\(-2≤x≤6\)且\(x≠4\)；
\(∴f(x)\)的定义域为：\([-2,4)∪(4,6]\)． - 答案 \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)
解析 \(∵f(x)\)的定义域为\((-1,0)\)，\(∴\)由\(-1<2x-2<0\)，得 \(\dfrac{1}{2}<x<1\)．
\(∴\)函数\(f(2x-2)\)的定义域为 \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)．
【题型3】函数的解析式
【典题1】已知函数\(f(x)=3x^2-5x+2\)．
(1)求\(f(3)\)， \(f(-\sqrt{2})\)，\(f(a)\)，\(f(a+1)\)；(2)若\(f(x)=0\)，求\(x\)．
解析 (1)\(f(3)=3×3^2-5×3+2=14\)，
\(f(-\sqrt{2})=3 \times(-\sqrt{2})^{2}-5 \times(-\sqrt{2})+2=8+5 \sqrt{2}\)，
\(f(a)=3a^2-5a+2\)，
\(f(a+1)=3(a+1)^2-5(a+1)+2=3a^2+a\)．
(2)\(∵f(x)=0\)，\(∴3x^2-5x+2=0\)，解得\(x=1\)或 \(x=\dfrac{2}{3}\)．
【典题2】下列各组函数中表示的函数不同的是( )
A． \(f(x)=x, g(x)=\sqrt[3]{x^{3}}\) \(\qquad \qquad\) B． \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=|x|\)
C． \(f（x）=x^2－3x,g(t)=t^2－3t\) \(\qquad \qquad\) D． \(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, g(x)=x+2\)
解析 \(A,B,C\)的定义域和对应法则相同，表示同一函数，
\(D\)中\(g(x)=x+2\)的定义域是\(R\)， \(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\)定义域为\(\{x|x≠2\}\)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.
故选：\(D\)．
点拨 判断两个函数是否同一函数：定义域和解析式均要一样.
巩固练习
1.已知函数 \(f(x)=\dfrac{1}{1+x}\)，\(g(x)=x^2+2\)，则\(f(g(2))=\) \(\underline{\quad \quad}\)， \(g(f(2))=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
2.函数 \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\)，\(x∈(－∞,0)∪(0,+∞)\)，则下列等式成立的是( )
A． \(f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) B．\(-f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) C. \(\dfrac{1}{f(x)}=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) D. \(-\dfrac{1}{f(x)}=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\)
3.下面各组函数中是同一函数的是( )
A． \(y=\sqrt{-2 x^{3}}\)与 \(y=x \sqrt{-2 x}\)
B． \(y=(\sqrt{x})^{2}\)与\(y=|x|\)
C． \(f(x)=x^2-2x-1\)与\(g(t)=t^2-2t-1\)
D． \(y=\sqrt{x+1} \sqrt{x-1}\)与 \(y=\sqrt{(x+1)(x-1)}\)
4.在下列四组函数中，\(f(x)\)与\(g(x)\)表示同一函数的是( )
A． \(y=1, y=\dfrac{x}{x}\) \(\qquad \qquad\) B． \(y=\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}, y=\sqrt{x^{2}-1}\) \(\qquad \qquad\)
C． \(y=x, y=\sqrt[3]{x^{3}}\) \(\qquad \qquad\)D． \(y=|x|, y=(\sqrt{x})^{2}\)
参考答案
- 答案 \(\dfrac{1}{7}, \dfrac{19}{9}\)
解析 \(g(2)=2^2+2=6\)， \(f(g(2))=f(6)=\dfrac{1}{1+6}=\dfrac{1}{7}\)，
\(f(2)=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}\)， \(g(f(2))=g\left(\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+2=\dfrac{19}{9}\)． - 答案 \(A\)
解析 根据题意得， \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\)，
\(\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}=\dfrac{x}{1+x^{2}}\),
\(\therefore f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\)，故选：\(A\). - 答案 \(C\)
解析\(A\)．函数的定义域为\(\{x|x≤0\}\)， \(y=\sqrt{-2 x^{3}}=-x \sqrt{-2 x}\)，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
\(B\)． \(y=(\sqrt{x})^{2}=x\)，定义域为\(\{x|x≥0\}\)，函数的定义域不相同，不是同一函数
\(C\)．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
\(D\)．由 \(\left\{\begin{array}{l} x+1 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l} x \geq-1 \\ x \geq 1 \end{array}\right.\)得\(x≥1\)，
由\((x+1)(x－1)≥0\)得\(x≥1\)或\(x≤－1\)，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：\(C\)． - 答案\(C\)
解析 由于函数\(y=1\)的定义域为\(R\)，而函数 \(y=\dfrac{x}{x}\)的定义域为\(\{x|x≠0\}\)，
这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除\(A\)．
由于函数 \(y=\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}\)的定义域为\(\{x|x>1\}\)，
而 \(y=\sqrt{x^{2}-1}\)的定义域为\(\{x|1<x\)或\(x<－1\}\)，
这2个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除\(B\)．
由于函数\(y=x\)与函数 \(y=\sqrt[3]{x^{3}}\)具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．
由于函数\(y=|x|\)的定义域为\(R\)，而函数 \(y=(\sqrt{x})^{2}\)的定义域为\(\{x|x≥0\}\)，这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除\(D\)．故选：\(C\)．
【题型4】函数的值域
【典题1】 求下列函数的值域．
(1) \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}\)；\(\qquad \qquad\) (2) \(f(x)=x^2-4x+2,x∈[1,4]\)；
(3) \(y=\dfrac{2 x-1}{x+1}(x>0)\)；\(\qquad \qquad\) (4) \(f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1\)；
解析
(1) 由\(x∈R\)，得\(1+x^2≥1\)，所以得 \(0<\dfrac{1}{1+x^{2}} \leq 1\)，故值域是\((0,1]\).
(2) 由题意：函数\(f(x)=x^2-4x+2\)，开口向上，对称轴\(x=2\)，
画出函数\(f(x)=x^2-4x+2,x∈[1,4]\)如下，
\(∴\)函数\(f(x)=x^2-4x+2\)在区间\([1,4]\)上的值域为\([-2,2]\)．
(3) \(y=\dfrac{2(x+1)-3}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}\)．
\(∵x>0\)，\(∴x+1>1\)，
\(\therefore 0<\dfrac{1}{x+1}<1\)， \(\therefore-1<2-\dfrac{3}{x+1}<2\)．
\(∴\)函数 \(y=\dfrac{2 x-1}{x+1}(x>0)\)的值域为\((-1,2)\)．
(4) 令 \(\sqrt{1-x}=t\)，\(t≥0\)，(要注意新变量\(t\)的取值范围)
则\(x=1-t^2\)，
则 \(y=1-t^2-2t+1=-t^2-2t+2\)，其在\([0,+∞)\)上的值域是\(y≤2\)，
(把函数转化为二次函数值域问题)
即函数 \(f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1\)的值域为\((－∞,2]\).
点拨 求函数的值域方法多样，第(2)题采取数形结合的方法；第(3)题采取分离常数法，多用于形如 \(y==\dfrac{a \cdot g(x)+b}{c \cdot g(x)+d}\)的函数，比如求函数 \(y=\dfrac{x^{2}+1}{4 x^{2}-2}, y=\dfrac{3 \cdot 2^{x}+4}{2^{x}-1}\)的值域；第(4)题采取换元法，要注意”新元”的范围.
巩固练习
1.设\(a>0\)，若函数 \(y=\dfrac{8}{x}\)，当\(x∈[a,2a]\)时，\(y\)的范围为\(\left[\dfrac{a}{4}, 2\right]\)，则\(a\)的值为( )
A．\(2\) \(\qquad \qquad\) B．\(4\)\(\qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad\) D．\(8\)
2.函数\(f(x)=x^2-4x(-1⩽x⩽a)\)的值域为\([-4,5]\)，则实数\(a\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\).
3.函数 \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}(x \geq 1)\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\)．
4.求函数 \(y=2 x+\sqrt{1-2 x}\)的值域.
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 \(∵a>0\)，函数 \(y=\dfrac{8}{x}\)，当\(x∈[a,2a]\)时，\(y\)的范围为\(\left[\dfrac{a}{4}, 2\right]\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{8}{a}=2 \\ \dfrac{8}{2 a}=\dfrac{a}{4} \end{array}\right.\)，解得\(a=4\)．故选：\(B\)． - 答案 \([2,5]\)
解析 \(f(x)=(x-2)^2-4\)，对称轴为\(x=2\)，由\((x-2)^2-4=5\)，得\(x=5\)或\(x=-1\)，
\(∵f(-1)=5\)，\(f(2)=-4\)，\(∴2≤a≤5\)，即实数\(a\)的取值范围是\([2,5]\). - 答案 \([0,1)\)
解析 \(f(x)=\dfrac{x+3-4}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}=1-\dfrac{4}{x+3}\)，
当\(x≥1\)时， \(0<\dfrac{4}{x+3} \leq 1\)， \(0 \leq 1-\dfrac{4}{x+3}<1\)，即函数的值域为\([0,1)\). - 答案 \(\left(-\infty, \dfrac{5}{4}\right]\)
解析 令 \(t=\sqrt{1-2 x} \quad(t \geq 0)\)，则 \(\mathcal{x}=\dfrac{1-t^{2}}{2}\),
\(\therefore y=-t^{2}+t+1=-\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{4}\)，
\(∵\)当 \(t=\dfrac{1}{2}\)，即 \(x=\dfrac{3}{8}\)时 \(y_{\max }=\dfrac{5}{4}\)，无最小值.
\(∴\)函数 \(y=2 x+\sqrt{1-2 x}\)的值域为 \(\left(-\infty, \dfrac{5}{4}\right]\).
分层练习
【A组---基础题】
1.下列图形中，不能表示以\(x\)为自变量的函数图象的是( )
A. 
B. 
C. 
D.
2.下列变量\(x\)与\(y\)的关系式中，不能构成\(y\)是\(x\)的函数关系的是( )
A．\(x-y=1\) \(\qquad \qquad\) B．\(x^2-y=1\) \(\qquad \qquad\) C．\(x-2y^2=1\) \(\qquad \qquad\) D． \(\sqrt{x}-2 y=1\)
3.函数\(f(x)=x+1，x∈\{-1,1,2\}\)的值域是( )
A．\(0,2,3\) \(\qquad \qquad\) B ．\(0≤y≤3\) \(\qquad \qquad\) C．\(\{0,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) D．\([0,3]\)
4.下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A． \(f(x)=x^2,g(x)=x^3\) \(\qquad \qquad\) B． \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=(\sqrt{x})^{2}\)
C． \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}, g(x)=x\) \(\qquad \qquad\) D．\(f(x)=|x|\)， \(g(x)=\left\{\begin{array}{l}
x, x \geq 0 \\
-x, x<0
\end{array}\right.\)
5.函数 \(f(x)=2^{x}+\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\).
6.若函数\(y=f(x)\)的定义域是\([-2,3]\)，则函数\(y=f(x-1)\)的定义域是\(\underline{\quad \quad}\)．
7.已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+2}\)，则\(f(x)\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\)．
8.若函数\(y=x^2-4x-4\)的定义域为\([0,m]\)，值域为\([-8,-4]\)，则\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
9.若函数 \(y=\dfrac{2 x+3}{x+2}\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\)．
10.函数\(y=x+\sqrt{2-x}\)的值域为\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(B\)中，当\(x>0\)时，\(y\)有两个值和\(x\)对应，不满足函数\(y\)的唯一性，\(A,C,D\)满足函数的定义，故选:\(B\) -
答案 \(C\)
解析 \(A\)．由\(x-y=1\)得\(y=x-1\)是函数关系．
\(B\)．由 \(x^2-y=1\)，得\(y=x^2-1\)是函数关系，
\(C\)．由\(x-2y^2=1\)，得 \(y^{2}=\dfrac{1}{2}(x-1)\)，此时\(y\)值不唯一，不是函数关系，
\(D\)．由 \(\sqrt{x}-2 y=1\)，得 \(y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}-1)\)是函数关系，故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 \(∵f(x)=x+1，x∈\{-1,1,2\}\)
\(∴\)当\(x=-1\)时，\(f(-1)=0\)；当\(x=1\)时，\(f(1)=2\)；当\(x=2\)时，\(f(2)=3\)
\(∴\)函数\(f(x)=x+1，x∈\{-1,1,2\}\)的值域是\(\{0,2,3\}\)，故选：\(C\)． -
答案 \(D\)
解析 \(A\)．\(f(x)=x^2,g(x)=x^3\)，解析式不同，不是同一函数；
\(B\). \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=(\sqrt{x})^{2}\)，解析式不同，不是同一函数；
\(C\). \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}\)的定义域为\(\{x|x≠0\}\)，\(g(x)=x\)的定义域为\(R\)，定义域不同，不是同一函数；
\(D\). \(f(x)=|x|= \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}\)， \(g(x)=\left\{\begin{array}{l} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{array}\right.\)，解析式和定义域都相同，表示同一函数．故选：\(D\)． -
答案 \([-2,0)∪(0,2]\)
解析 要使\(f(x)\)有意义，则 \(\left\{\begin{array}{l} 4-x^{2} \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\)；解得\(-2≤x≤2\)，且\(x≠0\)；
\(∴f(x)\)的定义域为\([-2,0)∪(0,2]\)． -
答案 \([-1,4]\)
解析 ∵函数\(y=f(x)\)的定义域是\([-2,3]\)，
\(∴\)由\(-2≤x-1≤3\)，解得\(-1≤x≤4\)．\(∴\)函数\(y=f(x-1)\)的定义域是\([1,4]\)． -
答案 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right]\)
解析 \(\because x^{2}+2 \geq 2\)；\(\therefore 0<\dfrac{1}{x^{2}+2} \leq \dfrac{1}{2}\)\(∴f(x)\)的值域为 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right]\)． -
答案 \([2,4]\)
解析 函数\(y=x^2-4x-4\)的图象是开口向上，且以直线\(x=2\)为对称轴的抛物线
\(∴f(0)=f(4)=-4\)，\(f(2)=-8\)
\(∵\)函数\(y=x^2-4x-4\)的定义域为\([0,m]\)，值域为\([-8,-4]\)，
\(∴2≤m≤4\)，即\(m\)的取值范围是\([2,4]\). -
答案 \((－∞,2)∪(2,+∞)\)
解析 \(\because y=2-\dfrac{1}{x+2}\)， \(∴y≠2\)，\(∴\)函数的值域是：\((－∞,2)∪(2,+∞)\). -
答案 \(\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right]\)
解析由题意：函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)，
令 \(t=\sqrt{2-x}\)，则函数\(t\)的值域为\([0,+∞)\)，可得：\(x=2－t^2\) ，
那么：函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)转化为\(f(t)=2-t^2+t\)，开口向下，对称轴 \(t=\dfrac{1}{2}\)，
\(∵t≥0\)，\(∴\)当 \(t=\dfrac{1}{2}\)时，函数\(f(t)\)取得最大值为 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)_{\max }=\dfrac{9}{4}\)，
即函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)的最大值为 \(\dfrac{9}{4}\)．
\(∴\)函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)的值域为 \(\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right]\)．
【B组---提高题】
1.存在函数\(f(x)\)满足：对任意\(x∈R\)都有( )
A．\(f(|x|)=x\) \(\qquad \qquad\) B．\(f(|x|)=x^2+2x\) \(\qquad \qquad\)
C．\(f(|x+1|)=x\) \(\qquad \qquad\) D．\(f(|x+1|)=x^2+2x\)
2.函数 \(y=\sqrt{\dfrac{2+x}{1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}\)的定义域是( )
A．\([-2,-1]\) \(\qquad \qquad\) B．\([-2,1]\) \(\qquad \qquad\) C．\([2,+∞)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-∞,1)∪(1,+∞)\)
3.已知 \(f(x+1)=\sqrt{1-x^{2}}\)，则\(f(2x-1)\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\)．
4.对于函数 \(f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x}\)，存在一个正数\(b\)，使得\(f(x)\)的定义域和值域相同，则非零实数\(a\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
5.已知函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-1}{2 x-1}\)，则 \(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2}{2015}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2013}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
6.已知函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)的定义域和值域都是\([2,b](b>2)\)，则实数\(b\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
7.求函数 \(y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}\left(x>\dfrac{1}{2}\right)\)的值域.
8.求函数 \(f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}\)的值域．
9.求函数 \(f(x)=(x^2-2x-3)(x^2-2x-5)\)的值域．
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 在\(A\)中，取\(x=1\)，则\(f(1)=1\)，取\(x=－1\)，则\(f(1)=－1\)，不成立；
在\(B\)中，令\(|x|=t\)，\(t≥0\)，\(x=±t\)，取\(x=1\)，则\(f(1)=3\)，取\(x=－1\)，则\(f(1)=－1\)，不成立；
在\(C\)中，令\(|x+1|=t\)，\(t≥0\)，则 \(x^2+2x=t^2－1\)，
\(∴f(t)=t^2－1\)，即\(f(x)=x^2－1\)，故\(C\)不成立，\(D\)成立．
故选：\(D\)． - 答案 \(A\)
解析 由 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2+x}{1-x} \geq 0 （1） \\ x^{2}-x-2 \geq 0 （2） \end{array}\right.\)，解①得：\(－2≤x<1\)．解②得：\(x≤－1\)或\(x≥2\)．
\(∴\)函数 \(y=\sqrt{\dfrac{2+x}{1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}\)的定义域是\([－2,－1]\)．
故选：\(A\)． - 答案 \(\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)
解析 函数 \(f(x+1)=\sqrt{1-x^{2}}\)有意义，
则必须满足\(1-x^2≥0\)，即\(-1≤x≤1\)，从而\(0≤x+1≤2\)，
所以函数\(f(x)\)的定义域为\([0,2]\)，
那么\(f(2x-1)\)的应满足\(0≤2x-1≤2\)，由此 \(\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}\)． - 答案 \(-4\)
解析 由题意：函数 \(f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x}\)，
若\(a>0\)，由于\(ax^2+bx≥0\)，即\(x(ax+b)≥0\)，
\(∴\)对于正数\(b\)，\(f(x)\)的定义域为： \(D=\left(-\infty,-\dfrac{b}{a}\right] \cup[0,+\infty)\)，
但\(f(x)\)的值域\(A⊆[0,+∞)\)，故\(D≠A\)，不合要求．
若\(a<0\)，对于正数\(b\)，\(f(x)\)的定义域为 \(D=\left[0,-\dfrac{b}{a}\right]\)．
由于此时函数 \(f(x)_{\max }=f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=\sqrt{a \times\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}+b \times\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)}=\sqrt{\dfrac{-b^{2}}{4 a}}=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\)．
故函数的值域 \(A=\left[0, \dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\right]\)，
由题意，有： \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\)，由于\(b>0\)，解得：\(a=-4\)． - 答案 \(4028\)
解析 因为\(f(x)=\dfrac{4 x-1}{2 x-1}=\dfrac{2(2 x-1)+1}{2 x-1}=2+\dfrac{1}{2 x-1}\)， \(f(1-x)=2+\dfrac{1}{2(1-x)-1}=2-\dfrac{1}{2 x-1}\)
\(f(x)+f(1-x)=4\)，\(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=4 \cdots f\left(\dfrac{1007}{2015}\right)+f\left(\dfrac{1008}{2015}\right)=4\)
所以 \(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2}{2015}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2013}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=4 \times 1007=4028\)． - 答案 \(3\)
解析 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-2}{x-1}=-\dfrac{2}{x-1}+4\)，
其图象如图，
由图可知，函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)在\([2,b]\)上为增函数，
又函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)的定义域和值域都是\([2,b](b>2)\)，
\(\therefore f(b)=\dfrac{4 b-6}{b-1}=b\)，解得：\(b=3\)．故答案为：\(3\)． - 答案 \(\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)\)
解析 \(y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}=\dfrac{x(2 x-1)+1}{2 x-1}=x+\dfrac{1}{2 x-1}=x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2 x-1}+\dfrac{1}{2}\)
\(\because x>\dfrac{1}{2}\)， \(\therefore x-\dfrac{1}{2}>0\)
\(\therefore x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}} \geq 2 \sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{2}\)，
当且仅当 \(x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}}\)时，即\(x=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\)时等号成立， \(\therefore y \geq \sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\) ，
所以原函数的值域为 \(\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)\). - 答案 \([－1,3]\)
解析 \(\because f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=1+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}\)．
\(∴\)当\(x=0\)时，\(f(x)=1\)；
当\(x>0\)时， \(\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}} \leq \dfrac{4}{2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}}}=2\)，当且仅当\(x=1\)时“\(=\)”成立；
当\(x<0\)时，\(\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{4}{-\left(-x+\dfrac{1}{-x}\right)} \geq \dfrac{4}{-2 \sqrt{(-x) \cdot \dfrac{1}{-x}}}=-2\)，当且仅当\(x=－1\)时取“\(=\)”．
\(∴\)函数\(f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}\)的值域为\([－1,3]\)． - 答案 \([－1,+∞)\)
解析 原函数可化为 \(y=\left[(x-1)^{2}-4\right]\left[(x-1)^{2}-6\right]\)，
令 \(t=(x-1)^2≥0\)，则 \(y=t^2-10t+24=(t-5)^2-1≥-1\)，且当\(t=5\)时取等号，
所以\(y≥－1\)．故函数的值域为\([－1,+∞)\)．
【C组---拓展题】
1.函数 \(y=\dfrac{1}{a x^{2}+4 a x+3}\)的定义域为\((-∞,+∞)\)，则实数\(a\)的取值范围是( )
A．\((－∞,+∞)\) \(\qquad \qquad\) B． \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right)\) \(\qquad \qquad\) C． \(\left(\dfrac{3}{4},+\infty\right)\) \(\qquad \qquad\) D． \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right]\)
2.(多选)已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^{4}+2 x^{2}+a}{x^{2}+1}(x \in \boldsymbol{R})\)的值域为\([m,+∞)\)，则实数\(a\)与实数\(m\)的取值可能为( )
A．\(a=0,m=0\) \(\qquad \qquad\) B．\(a=1,m=1\) \(\qquad \qquad\)C．\(a=3,m=3\) \(\qquad \qquad\) D． \(a=\sqrt{2}, m=\sqrt{2}\)
3.已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\)．
(1)求\(f(2)\)与 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)，\(f(3)\)与 \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)；
(2)由(1)中求得结果，你能发现\(f(x)\)与 \(\left(\dfrac{1}{x}\right)\)有什么关系？并证明你的发现；
(3)求 \(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2013)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{1}{2013}\right)\)．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 \(f(x)\)的定义域为\((－∞，+∞)\)；
\(∴\)不等式\(ax^2+4ax+3>0\)恒成立，或\(ax^2+4ax+3<0\)恒成立；
①\(a=0\)时，\(3>0\)恒成立，满足题意；
②\(a≠0\)时，\(△=16a^2-12a<0\)；解得 \(0<a<\dfrac{3}{4}\)；
综上得，实数\(a\)的取值范围为 \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right)\)．故选：\(B\)． - 答案 \(ABD\)
解析 \(f(x)=\dfrac{x^{2}\left(x^{2}+1\right)+x^{2}+1+a-1}{x^{2}+1}=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1}\)
①\(a－1=0\)，即\(a=1\)时，\(f(x)=x^2+1≥1\)，
又\(f(x)\)的值域为\([m,+∞)\)，\(∴m=1\)；
②\(0<a－1≤1\)，即\(1<a≤2\)时，函数 \(y=x+\dfrac{a-1}{x}\)在\([1,+∞)\)上单调递增，
\(\therefore f(x)=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1} \geq 1+a-1=a\)，
又\(f(x)\)的值域为\([m,+∞)\)，\(∴m=a\)，
\(\therefore a=\sqrt{2}, m=\sqrt{2}\)满足题意；
③\(a-1>1\)，即\(a>2\)时，
函数 \(y=x+\dfrac{a-1}{x}\)\(在[1,a－1)\)上单调递减，在\((a－1,+∞)\)上单调递增，
\(\therefore f(x)=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1} \geq f(a-1)=a^{2}-2 a+2+\dfrac{a-1}{a^{2}-2 a+2}\)，
\(\therefore m=a^{2}-2 a+2+\dfrac{a-1}{a^{2}-2 a+2}\)，
\(∴a=3\)时， \(m=\dfrac{27}{5}\)，即\(a=3，m=3\)错误；
④a=0时， \(y=x-\dfrac{1}{x}\)在\([1,+∞)\)上单调递增， \(f(x)=x^{2}+1-\dfrac{1}{x^{2}+1} \geq 0\)，\(∴m=0\)．
故选：\(ABD\)． - 答案 (1) \(f(2)=\dfrac{4}{5}, \quad f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{5}, \quad f(3)=\dfrac{9}{10}, \quad f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{10}\) (2) \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1\) (3) \(\dfrac{4025}{2}\)
解析 (1) \(\because f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\)， \(\therefore f(2)=\dfrac{2^{2}}{1+2^{2}}=\dfrac{4}{5}\)， \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}=\dfrac{1}{5}\)，
\(f(3)=\dfrac{3^{2}}{1+3^{2}}=\dfrac{9}{10}\)， \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}=\dfrac{1}{10}\)．
(2)由(1)发现 \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1\)．
证明如下： \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}+\dfrac{1}{1+x^{2}}=1\)．
(3) \(f(1)=\dfrac{1^{2}}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}\)．
由(2)知 \(f(2)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1, f(3)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)=1, \ldots, f(2013)+f\left(\dfrac{1}{2013}\right)=1\)，
\(∴\)原式 \(=\dfrac{1}{2}+\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{2012 \text { 个 }}=2012+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4025}{2}\).
