3.1.1 函数的概念

基础知识

函数的概念

1 概念
设 $A、B$ 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 $f$，使对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $f(x)$ 和它对应，那么就称 $f：A→B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数．记作： $y=f(x) ,x∈A$．其中，$x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围 $A$ 叫做函数的定义域；与 $x$ 的值相对应的 $y$ 值叫做函数值，函数值的集合 $\{f(x)|x∈A\}$ 叫做函数的值域．
比如 贵哥西藏骑旅中，以 $15km/h$ 的速度从大理去相距 $180km$ 的丽江，出发 $t$ 小时后行驶的路程是 $s km$，则 $s$ 是 $t$ 的函数，记为 $s=12t$，定义域是 $\{t|0≤t≤12\}$，值域为 $\{s|0≤s≤180\}$．对集合 $\{t|0≤t≤2\}$ 中的任意一个实数，在集合 $\{s|0≤s≤180\}$ 中都有唯一的数 $s=12t$ 和它对应．
 

对函数概念的理解
① “$A,B$ 是非空的数集”，一方面强调了 $A,B$ 只能是数集，即 $A,B$ 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．
② 函数中，集合 $A,B$ 间元素的对应可以是一对一、一对多，不能多对一，集合 $B$ 中的元素可以在集合 $A$ 没元素对应.

③ 函数定义中强调 “三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集 $A$ 中的任意一个 (任意性) 元素 $x$，在非空数集 $B$ 中都有 (存在性) 唯一 (唯一性) 的元素 $y$ 与之对应．这 “三性” 只要有一个不满足，便不能构成函数．
 

定义域

① 概念
 函数自变量 $x$ 的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1) 若 $f(x)$ 为整式，则其定义域为实数集 $R$．
(2) 若 $f(x)$ 是分式，则其定义域是使分母不等于 $0$ 的实数的集合．
(3) 若 $f(x)$ 为偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于 $0$ 的实数的集合．
(4) 若 $f(x)$ 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集．
(5) 实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．
 

【例】 求下列函数的定义域.
  (1) $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ (2) $f(x)=\sqrt{x-2}$.
答案 (1)$x≠1$   (2)$[2,+∞)$.
 

值域

① 概念
  函数值 $y$ 的取值范围
② 求值域的方法
(1) 配方法
(2) 数形结合
(3) 换元法
(4) 函数单调性法
(5) 分离常数法
(6) 基本不等式法
 

【例】 求下列函数值域.
  (1)$f(x)=2x+3,x∈\{1,2,3\}$ $\qquad \qquad$ (2)$f(x)=2x+3,x∈(-2,1]$
解析 (1) 函数的值域是 $\{5,7,9\}$；
(2) 画出 $f(x)=2x+3$ 的图象．

由图象可知 $f(x)=2x+3,x∈(-2,1]$ 的值域为 $(－2,5]$．

区间

区间的几何表示如下表所示：

 

【例】 将下列集合用区间表示出来．
  (1)$\{x|x≥2\}$；(2)$\{x|x＜0\}$；(3)$\{x|-2＜x≤5\}$；(4)$\{x|0＜x＜1,$ 或 $2≤x≤4\}$．
解析 (1) $[2,+∞)$；(2) $(－∞,0)$；(3) $(-2,5]$；(4)$(0,1)∪[2,4]$．
 

【练】将下列集合用区间表示出来．
  (1)$\{x|x<3\}$；(2)$\{x|x≥0\}$；(3)$\{x|-2≤x<3\}$；(4)$\{x|x<1,$ 或 $2≤x≤4\}$．
解析 (1) $(-∞,3)$；(2) $[0,+∞)$；(3) $[-2,3)$；(4) $(-∞,1)∪[2,4]$．
 

基本方法

【题型1】函数概念的理解

【典题 1】图中 (1)(2)(3)(4) 四个图象各表示两个变量 $x,y$ 的对应关系，其中表示 $y$ 是 $x$ 的函数关系的有 $\underline{\quad \quad}$ ．

解析 由函数定义可知，任意作一条直线 $x=a$，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当 $－1≤a≤1$ 时，直线 $x=a$ 与函数的图象仅有一个交点，当 $a>1$ 或 $a<－1$ 时，直线 $x=a$ 与函数的图象没有交点．从而表示 $y$ 是 $x$ 的函数关系的有 (2)(3)．
答案：(2)(3)
点拨 判断函数的图像，主要看是否对于任意一个 $x$ 是否对应唯一的 $y$.
 

【典题 2】给定的下列四个式子中，能确定 $y$ 是 $x$ 的函数的是 (　　)
 ① $x^2+y^2=1$ $\qquad \qquad$ ② $|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0$
 ③ $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-} 1=1$ $\qquad \qquad$ ④ $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}$．
 A．① $\qquad \qquad$ B．② $\qquad \qquad$ C．③ $\qquad \qquad$ D．④
解析 ①由 $x^2+y^2=1$ 得 $y=\pm \sqrt{1-x^{2}}$，不满足函数的定义，所以①不是函数．
②由 $|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0$ 得 $|x－1|=0$， $\sqrt{y^{2}-1}=0$，所以 $x=1,y=±1$，所以②不是函数．
③由 $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-} 1=1$ 得 $y=(1-\sqrt{x-1})^{2}+1$，满足函数的定义，所以③是函数．
④要使函数 $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}$ 有意义，则 $\left\{\begin{array}{l} x-2 \geq 0 \\ 1-x \geq 0 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x \leq 1 \end{array}\right.$，
此时不等式组无解，所以④不是函数．
故选：$C$．
 

巩固练习

1. 下列四个图形中，不是以 $x$ 为自变量的函数的图象是 (　　)
 A． B． C． D．
 

2. 函数 $y=f(x－1)$ 与函数 $y=f(x+1)$ (　　)
 A．是同一个函数 $\qquad \qquad$ B．定义域相同 $\qquad \qquad$ C．图象重合 $\qquad \qquad$ D．值域相同
 

3. 下列式子中 $y$ 是 $x$ 的函数的是 (　　)
 A． $x^2+y^2=2$ $\qquad \qquad$ B． $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1$ $\qquad \qquad$ C． $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}$ $\qquad \qquad$ D． $y=\pm \sqrt{x}$
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 由函数定义知，定义域内的每一个 $x$ 都有唯一函数值与之对应，
   $A、B、D$ 选项中的图象都符合；$C$ 项中对于大于零的 $x$ 而言，有两个不同的值与之对应，不符合函数定义．故选：$C$．
2. 答案 $D$
   解析由于函数 $y=f(x－1)$ 中 $x－1$ 的范围与函数 $y=f(x+1)$ 中 $x+1$ 的范围相同，且两个函数具有相同的对应关系 $f$，故函数 $y=f(x－1)$ 与函数 $y=f(x+1)$ 具有相同的值域，
   故选：$D$．
3. 答案 $B$
   解析 对于 $B$，满足函数的定义，
   对于 $C$： $y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}$ 的定义域为 $∅$，故不满足函数的定义，
   对于 $A$,$D$，当 $x=1$ 时，$y$ 都有 $2$ 个值相对应，故不满足函数的定义，故选：$B$．
    

【题型2】函数的定义域

【典题 1】 求下列函数的定义域：
  (1) $y=\dfrac{3}{1-\sqrt{2-x}}$； (2) $y=\sqrt{2 x-4}+\dfrac{(x-2)^{0}}{x-3}$．
解析 (1) 因为要使函数有意义，需 $\left\{\begin{array} { l } { 2 - x \geq 0 } \\ { 1 - \sqrt { 2 - x } \neq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \leq 2 \\ x \neq 1 \end{array} \Leftrightarrow x \leq 2\right.\right.$ 且 $x≠1$，
所以函数 $y=\dfrac{3}{1-\sqrt{2-x}}$ 的定义域为 $(-∞,1)∪(1,2]$．
(2) 因为要使函数有意义，需 $\left\{\begin{array}{l} 2 x-4 \geq 0 \\ x-2 \neq 0 \\ x-3 \neq 0 \end{array}\right.$ 解得 $x≥2$ 且 $x≠2$ 且 $x≠3$，
所以函数 $y=\sqrt{2 x-4}+\dfrac{(x-2)^{0}}{x-3}$ 的定义域为 $(2,3)∪(3,+∞)$．
 

【典题 2】 已知 $f(x-1)$ 定义域为 $[0 ,3]$，求 $f(2x-1)$ 的定义域.
解析 $∵0≤x≤3$ $∴-1≤x-1≤2$
$∴-1≤2x-1≤2$ $\therefore 0 \leq x \leq \dfrac{3}{2}$
故函数 $f(2x-1)$ 的定义域是 $\left[0, \dfrac{3}{2}\right]$.
点拨 抽象函数的定义域理解起来不容易，由于函数的解析式与字母的选择无关，
若把题目换成 “已知 $f(x-1)$ 定义域为 $[0 ,3]$，求 $f(2t-1)$ 的定义域.” 好理解多了，
① 谨记定义域指的是自变量的取值范围，
所以由 “$f(x-1)$ 定义域为 $[0 ,3]$” 得到的是 “$0≤x≤3$”，“求 $f(2t-1)$ 的定义域” 指的就是求 $t$ 的范围.
② 把 “$x-1$” 和 “$2t-1$” 都看成整体，它们的范围是相等的
这样就有 “$-1≤x-1≤2 ⇒-1≤2t-1≤2$”.
 

巩固练习

1. 函数 $y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}$ 的定义域为 $\underline{\quad \quad}$.
 

2. 函数 $f(x)=\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{x}$ 的定义域为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

3. 函数 $f(x)=\sqrt{-x^{2}+4 x+12}+\dfrac{1}{x-4}$ 的定义域为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

4. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1,0)$，则函数 $f(2x-2)$ 的定义域为 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $\{x|4≤x<5$ 或 $x>5\}$
   解析 要使函数 $y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}$ 的 解析式有意义，
   自变量 $x$ 须满足： $\left\{\begin{array}{l} x-4 \geq 0 \\ |x|-5 \neq 0 \end{array}\right.$，解得 $x∈\{x|4≤x<5$ 或 $x>5\}$
   故函数 $y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}$ 的定义域为 $\{x|4≤x<5$ 或 $x>5\}$.
2. 答案 $(-∞,0)∪(0,1]$
   解析 要使函数有意义，则 $\left\{\begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x \neq 0 \end{array}\right.$，即 $x≤1$ 且 $x≠0$，
   即函数的定义域为 $(-∞,0)∪(0,1]$.
3. 答案 $[-2,4)∪(4,6]$
   解析 解 $\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+4 x+12 \geq 0 \\ x-4 \neq 0 \end{array}\right.$ 得 $-2≤x≤6$ 且 $x≠4$；
   $∴f(x)$ 的定义域为：$[-2,4)∪(4,6]$．
4. 答案 $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$
   解析 $∵f(x)$ 的定义域为 $(-1,0)$，$∴$ 由 $-1<2x-2<0$，得 $\dfrac{1}{2}<x<1$．
   $∴$ 函数 $f(2x-2)$ 的定义域为 $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$．
    

【题型3】函数的解析式

【典题 1】已知函数 $f(x)=3x^2-5x+2$．
(1) 求 $f(3)$， $f(-\sqrt{2})$，$f(a)$，$f(a+1)$；(2) 若 $f(x)=0$，求 $x$．
解析 (1)$f(3)=3×3^2-5×3+2=14$，
$f(-\sqrt{2})=3 \times(-\sqrt{2})^{2}-5 \times(-\sqrt{2})+2=8+5 \sqrt{2}$，
$f(a)=3a^2-5a+2$，
$f(a+1)=3(a+1)^2-5(a+1)+2=3a^2+a$．
(2)$∵f(x)=0$，$∴3x^2-5x+2=0$，解得 $x=1$ 或 $x=\dfrac{2}{3}$．
 

【典题 2】下列各组函数中表示的函数不同的是 (　　)
  A． $f(x)=x, g(x)=\sqrt[3]{x^{3}}$ $\qquad \qquad$ B． $f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=|x|$
  C． $f（x）=x^2－3x,g(t)=t^2－3t$ $\qquad \qquad$ D． $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, g(x)=x+2$
解析 $A,B,C$ 的定义域和对应法则相同，表示同一函数，
$D$ 中 $g(x)=x+2$ 的定义域是 $R$， $f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2$ 定义域为 $\{x|x≠2\}$，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.
故选：$D$．
点拨 判断两个函数是否同一函数：定义域和解析式均要一样.
 

巩固练习

1. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1+x}$，$g(x)=x^2+2$，则 $f(g(2))=$ $\underline{\quad \quad}$， $g(f(2))=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

2. 函数 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}$，$x∈(－∞,0)∪(0,+∞)$，则下列等式成立的是 (　　)
 A． $f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ $\qquad \qquad$ B．$-f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ $\qquad \qquad$ C. $\dfrac{1}{f(x)}=f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ $\qquad \qquad$ D. $-\dfrac{1}{f(x)}=f\left(\dfrac{1}{x}\right)$
 

3. 下面各组函数中是同一函数的是 (　　)
 A． $y=\sqrt{-2 x^{3}}$ 与 $y=x \sqrt{-2 x}$
 B． $y=(\sqrt{x})^{2}$ 与 $y=|x|$
 C． $f(x)=x^2-2x-1$ 与 $g(t)=t^2-2t-1$
 D． $y=\sqrt{x+1} \sqrt{x-1}$ 与 $y=\sqrt{(x+1)(x-1)}$
 

4. 在下列四组函数中，$f(x)$ 与 $g(x)$ 表示同一函数的是 (　　)
 A． $y=1, y=\dfrac{x}{x}$ $\qquad \qquad$ B． $y=\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}, y=\sqrt{x^{2}-1}$ $\qquad \qquad$
  C． $y=x, y=\sqrt[3]{x^{3}}$ $\qquad \qquad$D． $y=|x|, y=(\sqrt{x})^{2}$
 

参考答案

1. 答案 $\dfrac{1}{7}, \dfrac{19}{9}$
   解析 $g(2)=2^2+2=6$， $f(g(2))=f(6)=\dfrac{1}{1+6}=\dfrac{1}{7}$，
   $f(2)=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}$， $g(f(2))=g\left(\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+2=\dfrac{19}{9}$．
2. 答案 $A$
   解析 根据题意得， $f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}$，
   $\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}=\dfrac{x}{1+x^{2}}$,
   $\therefore f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)$，故选：$A$.
3. 答案 $C$
   解析 $A$．函数的定义域为 $\{x|x≤0\}$， $y=\sqrt{-2 x^{3}}=-x \sqrt{-2 x}$，
   两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
   $B$． $y=(\sqrt{x})^{2}=x$，定义域为 $\{x|x≥0\}$，函数的定义域不相同，不是同一函数
   $C$．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
   $D$．由 $\left\{\begin{array}{l} x+1 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} x \geq-1 \\ x \geq 1 \end{array}\right.$ 得 $x≥1$，
   由 $(x+1)(x－1)≥0$ 得 $x≥1$ 或 $x≤－1$，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：$C$．
4. 答案 $C$
   解析 由于函数 $y=1$ 的定义域为 $R$，而函数 $y=\dfrac{x}{x}$ 的定义域为 $\{x|x≠0\}$，
   这 2 个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除 $A$．
   由于函数 $y=\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}$ 的定义域为 $\{x|x>1\}$，
   而 $y=\sqrt{x^{2}-1}$ 的定义域为 $\{x|1<x$ 或 $x<－1\}$，
   这 2 个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除 $B$．
   由于函数 $y=x$ 与函数 $y=\sqrt[3]{x^{3}}$ 具有相同的定义域、对应关系、值域，故是同一个函数．
   由于函数 $y=|x|$ 的定义域为 $R$，而函数 $y=(\sqrt{x})^{2}$ 的定义域为 $\{x|x≥0\}$，这两个函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除 $D$．故选：$C$．
    

【题型4】函数的值域

【典题 1】 求下列函数的值域．
  (1) $f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}$；$\qquad \qquad$ (2) $f(x)=x^2-4x+2,x∈[1,4]$；
  (3) $y=\dfrac{2 x-1}{x+1}(x>0)$；$\qquad \qquad$ (4) $f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1$；
解析
(1) 由 $x∈R$，得 $1+x^2≥1$，所以得 $0<\dfrac{1}{1+x^{2}} \leq 1$，故值域是 $(0,1]$.
(2) 由题意：函数 $f(x)=x^2-4x+2$，开口向上，对称轴 $x=2$，
画出函数 $f(x)=x^2-4x+2,x∈[1,4]$ 如下，

$∴$ 函数 $f(x)=x^2-4x+2$ 在区间 $[1,4]$ 上的值域为 $[-2,2]$．
(3) $y=\dfrac{2(x+1)-3}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}$．
$∵x>0$，$∴x+1>1$，
$\therefore 0<\dfrac{1}{x+1}<1$， $\therefore-1<2-\dfrac{3}{x+1}<2$．
$∴$ 函数 $y=\dfrac{2 x-1}{x+1}(x>0)$ 的值域为 $(-1,2)$．
(4) 令 $\sqrt{1-x}=t$，$t≥0$，(要注意新变量 $t$ 的取值范围)
则 $x=1-t^2$，
则 $y=1-t^2-2t+1=-t^2-2t+2$，其在 $[0,+∞)$ 上的值域是 $y≤2$，
(把函数转化为二次函数值域问题)
即函数 $f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1$ 的值域为 $(－∞,2]$.
点拨 求函数的值域方法多样，第 (2) 题采取数形结合的方法；第 (3) 题采取分离常数法，多用于形如 $y==\dfrac{a \cdot g(x)+b}{c \cdot g(x)+d}$ 的函数，比如求函数 $y=\dfrac{x^{2}+1}{4 x^{2}-2}, y=\dfrac{3 \cdot 2^{x}+4}{2^{x}-1}$ 的值域；第 (4) 题采取换元法，要注意” 新元” 的范围.
 

巩固练习

1. 设 $a>0$，若函数 $y=\dfrac{8}{x}$，当 $x∈[a,2a]$ 时，$y$ 的范围为 $\left[\dfrac{a}{4}, 2\right]$，则 $a$ 的值为 (　　)
  A．$2$ $\qquad \qquad$ B．$4$$\qquad \qquad$ C．$6$ $\qquad \qquad$ D．$8$
 

2. 函数 $f(x)=x^2-4x(-1⩽x⩽a)$ 的值域为 $[-4,5]$，则实数 $a$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$.　 　
 

3. 函数 $f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}(x \geq 1)$ 的值域是 $\underline{\quad \quad}$．
 

4. 求函数 $y=2 x+\sqrt{1-2 x}$ 的值域.
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $∵a>0$，函数 $y=\dfrac{8}{x}$，当 $x∈[a,2a]$ 时，$y$ 的范围为 $\left[\dfrac{a}{4}, 2\right]$，
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{8}{a}=2 \\ \dfrac{8}{2 a}=\dfrac{a}{4} \end{array}\right.$，解得 $a=4$．故选：$B$．
2. 答案 $[2,5]$
   解析 $f(x)=(x-2)^2-4$，对称轴为 $x=2$，由 $(x-2)^2-4=5$，得 $x=5$ 或 $x=-1$，
   $∵f(-1)=5$，$f(2)=-4$，$∴2≤a≤5$，即实数 $a$ 的取值范围是 $[2,5]$.
3. 答案 $[0,1)$
   解析 $f(x)=\dfrac{x+3-4}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}=1-\dfrac{4}{x+3}$，
   当 $x≥1$ 时， $0<\dfrac{4}{x+3} \leq 1$， $0 \leq 1-\dfrac{4}{x+3}<1$，即函数的值域为 $[0,1)$.
4. 答案 $\left(-\infty, \dfrac{5}{4}\right]$
   解析 令 $t=\sqrt{1-2 x} \quad(t \geq 0)$，则 $\mathcal{x}=\dfrac{1-t^{2}}{2}$,
   $\therefore y=-t^{2}+t+1=-\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{4}$，
   $∵$ 当 $t=\dfrac{1}{2}$，即 $x=\dfrac{3}{8}$ 时 $y_{\max }=\dfrac{5}{4}$，无最小值.
   $∴$ 函数 $y=2 x+\sqrt{1-2 x}$ 的值域为 $\left(-\infty, \dfrac{5}{4}\right]$.
    

分层练习

【A组---基础题】

1. 下列图形中，不能表示以 $x$ 为自变量的函数图象的是 ( )
 A. B. C. D.
 

2. 下列变量 $x$ 与 $y$ 的关系式中，不能构成 $y$ 是 $x$ 的函数关系的是 (　　)
 A．$x-y=1$ $\qquad \qquad$ B．$x^2-y=1$ $\qquad \qquad$ C．$x-2y^2=1$ $\qquad \qquad$ D． $\sqrt{x}-2 y=1$
 

3. 函数 $f(x)=x+1，x∈\{-1,1,2\}$ 的值域是 (　　)
 A．$0,2,3$ $\qquad \qquad$ B ．$0≤y≤3$ $\qquad \qquad$ C．$\{0,2,3\}$ $\qquad \qquad$ D．$[0,3]$
 

4. 下列各组函数中，表示同一函数的是 (　　)
  A． $f(x)=x^2,g(x)=x^3$ $\qquad \qquad$ B． $f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=(\sqrt{x})^{2}$
  C． $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}, g(x)=x$ $\qquad \qquad$ D．$f(x)=|x|$， $g(x)=\left\{\begin{array}{l} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{array}\right.$
 

5. 函数 $f(x)=2^{x}+\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}$ 的定义域为 $\underline{\quad \quad}$.
 

6. 若函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $[-2,3]$，则函数 $y=f(x-1)$ 的定义域是 $\underline{\quad \quad}$．
 

7. 已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+2}$，则 $f(x)$ 的值域是 $\underline{\quad \quad}$．
 

8. 若函数 $y=x^2-4x-4$ 的定义域为 $[0,m]$，值域为 $[-8,-4]$，则 $m$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

9. 若函数 $y=\dfrac{2 x+3}{x+2}$ 的值域是 $\underline{\quad \quad}$．
 

10. 函数 $y=x+\sqrt{2-x}$ 的值域为 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $B$ 中，当 $x>0$ 时，$y$ 有两个值和 $x$ 对应，不满足函数 $y$ 的唯一性，$A,C,D$ 满足函数的定义，故选:$B$

2. 答案 $C$
   解析 $A$．由 $x-y=1$ 得 $y=x-1$ 是函数关系．
   $B$．由 $x^2-y=1$，得 $y=x^2-1$ 是函数关系，
   $C$．由 $x-2y^2=1$，得 $y^{2}=\dfrac{1}{2}(x-1)$，此时 $y$ 值不唯一，不是函数关系，
   $D$．由 $\sqrt{x}-2 y=1$，得 $y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}-1)$ 是函数关系，故选：$C$．

3. 答案 $C$
   解析 $∵f(x)=x+1，x∈\{-1,1,2\}$
   $∴$ 当 $x=-1$ 时，$f(-1)=0$；当 $x=1$ 时，$f(1)=2$；当 $x=2$ 时，$f(2)=3$
   $∴$ 函数 $f(x)=x+1，x∈\{-1,1,2\}$ 的值域是 $\{0,2,3\}$，故选：$C$．

4. 答案 $D$
   解析 $A$．$f(x)=x^2,g(x)=x^3$，解析式不同，不是同一函数；
   $B$. $f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=(\sqrt{x})^{2}$，解析式不同，不是同一函数；
   $C$. $f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}$ 的定义域为 $\{x|x≠0\}$，$g(x)=x$ 的定义域为 $R$，定义域不同，不是同一函数；
   $D$. $f(x)=|x|= \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}$， $g(x)=\left\{\begin{array}{l} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{array}\right.$，解析式和定义域都相同，表示同一函数．故选：$D$．

5. 答案 $[-2,0)∪(0,2]$
   解析 要使 $f(x)$ 有意义，则 $\left\{\begin{array}{l} 4-x^{2} \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.$；解得 $-2≤x≤2$，且 $x≠0$；
   $∴f(x)$ 的定义域为 $[-2,0)∪(0,2]$．

6. 答案 $[-1,4]$
   解析 ∵函数 $y=f(x)$ 的定义域是 $[-2,3]$，
   $∴$ 由 $-2≤x-1≤3$，解得 $-1≤x≤4$．$∴$ 函数 $y=f(x-1)$ 的定义域是 $[1,4]$．

7. 答案 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right]$
   解析 $\because x^{2}+2 \geq 2$；$\therefore 0<\dfrac{1}{x^{2}+2} \leq \dfrac{1}{2}$$∴f(x)$ 的值域为 $\left(0, \dfrac{1}{2}\right]$．

8. 答案 $[2,4]$
   解析 函数 $y=x^2-4x-4$ 的图象是开口向上，且以直线 $x=2$ 为对称轴的抛物线
   
   $∴f(0)=f(4)=-4$，$f(2)=-8$
   $∵$ 函数 $y=x^2-4x-4$ 的定义域为 $[0,m]$，值域为 $[-8,-4]$，
   $∴2≤m≤4$，即 $m$ 的取值范围是 $[2,4]$.

9. 答案 $(－∞,2)∪(2,+∞)$
   解析 $\because y=2-\dfrac{1}{x+2}$， $∴y≠2$，$∴$ 函数的值域是：$(－∞,2)∪(2,+∞)$.

10. 答案 $\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right]$
    解析由题意：函数 $y=x+\sqrt{2-x}$，
    令 $t=\sqrt{2-x}$，则函数 $t$ 的值域为 $[0,+∞)$，可得：$x=2－t^2$ ，
    那么：函数 $y=x+\sqrt{2-x}$ 转化为 $f(t)=2-t^2+t$，开口向下，对称轴 $t=\dfrac{1}{2}$，
    $∵t≥0$，$∴$ 当 $t=\dfrac{1}{2}$ 时，函数 $f(t)$ 取得最大值为 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)_{\max }=\dfrac{9}{4}$，
    即函数 $y=x+\sqrt{2-x}$ 的最大值为 $\dfrac{9}{4}$．
    $∴$ 函数 $y=x+\sqrt{2-x}$ 的值域为 $\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right]$．
     

【B组---提高题】

1. 存在函数 $f(x)$ 满足：对任意 $x∈R$ 都有 (　　)
 A．$f(|x|)=x$ $\qquad \qquad$ B．$f(|x|)=x^2+2x$ $\qquad \qquad$
 C．$f(|x+1|)=x$ $\qquad \qquad$ D．$f(|x+1|)=x^2+2x$
 

2. 函数 $y=\sqrt{\dfrac{2+x}{1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}$ 的定义域是 (　　)
 A．$[-2,-1]$ $\qquad \qquad$ B．$[-2,1]$ $\qquad \qquad$ C．$[2,+∞)$ $\qquad \qquad$ D．$(-∞,1)∪(1,+∞)$
 

3. 已知 $f(x+1)=\sqrt{1-x^{2}}$，则 $f(2x-1)$ 的定义域为 $\underline{\quad \quad}$．
 

4. 对于函数 $f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x}$，存在一个正数 $b$，使得 $f(x)$ 的定义域和值域相同，则非零实数 $a$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

5. 已知函数 $f(x)=\dfrac{4 x-1}{2 x-1}$，则 $f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2}{2015}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2013}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=$ $\underline{\quad \quad}$．
 

6. 已知函数 $f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}$ 的定义域和值域都是 $[2,b](b>2)$，则实数 $b$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

7. 求函数 $y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}\left(x>\dfrac{1}{2}\right)$ 的值域.
 

8. 求函数 $f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}$ 的值域．
 

9. 求函数 $f(x)=(x^2-2x-3)(x^2-2x-5)$ 的值域．
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 在 $A$ 中，取 $x=1$，则 $f(1)=1$，取 $x=－1$，则 $f(1)=－1$，不成立；
   在 $B$ 中，令 $|x|=t$，$t≥0$，$x=±t$，取 $x=1$，则 $f(1)=3$，取 $x=－1$，则 $f(1)=－1$，不成立；
   在 $C$ 中，令 $|x+1|=t$，$t≥0$，则 $x^2+2x=t^2－1$，
   $∴f(t)=t^2－1$，即 $f(x)=x^2－1$，故 $C$ 不成立，$D$ 成立．
   故选：$D$．
2. 答案 $A$
   解析 由 $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2+x}{1-x} \geq 0 （1） \\ x^{2}-x-2 \geq 0 （2） \end{array}\right.$，解①得：$－2≤x<1$．解②得：$x≤－1$ 或 $x≥2$．
   $∴$ 函数 $y=\sqrt{\dfrac{2+x}{1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}$ 的定义域是 $[－2,－1]$．
   故选：$A$．
3. 答案 $\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]$
   解析 函数 $f(x+1)=\sqrt{1-x^{2}}$ 有意义，
   则必须满足 $1-x^2≥0$，即 $-1≤x≤1$，从而 $0≤x+1≤2$，
   所以函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,2]$，
   那么 $f(2x-1)$ 的应满足 $0≤2x-1≤2$，由此 $\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}$．
4. 答案 $-4$
   解析 由题意：函数 $f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x}$，
   若 $a>0$，由于 $ax^2+bx≥0$，即 $x(ax+b)≥0$，
   $∴$ 对于正数 $b$，$f(x)$ 的定义域为： $D=\left(-\infty,-\dfrac{b}{a}\right] \cup[0,+\infty)$，
   但 $f(x)$ 的值域 $A⊆[0,+∞)$，故 $D≠A$，不合要求．
   若 $a<0$，对于正数 $b$，$f(x)$ 的定义域为 $D=\left[0,-\dfrac{b}{a}\right]$．
   由于此时函数 $f(x)_{\max }=f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=\sqrt{a \times\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}+b \times\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)}=\sqrt{\dfrac{-b^{2}}{4 a}}=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}$．
   故函数的值域 $A=\left[0, \dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\right]$，
   由题意，有： $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}$，由于 $b>0$，解得：$a=-4$．
5. 答案 $4028$
   解析 因为 $f(x)=\dfrac{4 x-1}{2 x-1}=\dfrac{2(2 x-1)+1}{2 x-1}=2+\dfrac{1}{2 x-1}$， $f(1-x)=2+\dfrac{1}{2(1-x)-1}=2-\dfrac{1}{2 x-1}$
   $f(x)+f(1-x)=4$，$f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=4 \cdots f\left(\dfrac{1007}{2015}\right)+f\left(\dfrac{1008}{2015}\right)=4$
   所以 $f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2}{2015}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2013}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=4 \times 1007=4028$．
6. 答案 $3$
   解析 $f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-2}{x-1}=-\dfrac{2}{x-1}+4$，
   其图象如图，
   
   由图可知，函数 $f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}$ 在 $[2,b]$ 上为增函数，
   又函数 $f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}$ 的定义域和值域都是 $[2,b](b>2)$，
   $\therefore f(b)=\dfrac{4 b-6}{b-1}=b$，解得：$b=3$．故答案为：$3$．
7. 答案 $\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)$
   解析 $y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}=\dfrac{x(2 x-1)+1}{2 x-1}=x+\dfrac{1}{2 x-1}=x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2 x-1}+\dfrac{1}{2}$
   $\because x>\dfrac{1}{2}$， $\therefore x-\dfrac{1}{2}>0$
   $\therefore x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}} \geq 2 \sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{2}$，
   当且仅当 $x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}}$ 时，即 $x=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}$ 时等号成立， $\therefore y \geq \sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$ ，
   所以原函数的值域为 $\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)$.
8. 答案 $[－1,3]$
   解析 $\because f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=1+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}$．
   $∴$ 当 $x=0$ 时，$f(x)=1$；
   当 $x>0$ 时， $\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}} \leq \dfrac{4}{2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}}}=2$，当且仅当 $x=1$ 时 “$=$” 成立；
   当 $x<0$ 时，$\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{4}{-\left(-x+\dfrac{1}{-x}\right)} \geq \dfrac{4}{-2 \sqrt{(-x) \cdot \dfrac{1}{-x}}}=-2$，当且仅当 $x=－1$ 时取 “$=$”．
   $∴$ 函数 $f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}$ 的值域为 $[－1,3]$．
9. 答案 $[－1,+∞)$
   解析 原函数可化为 $y=\left[(x-1)^{2}-4\right]\left[(x-1)^{2}-6\right]$，
   令 $t=(x-1)^2≥0$，则 $y=t^2-10t+24=(t-5)^2-1≥-1$，且当 $t=5$ 时取等号，
   所以 $y≥－1$．故函数的值域为 $[－1,+∞)$．
    

【C组---拓展题】

1. 函数 $y=\dfrac{1}{a x^{2}+4 a x+3}$ 的定义域为 $(-∞,+∞)$，则实数 $a$ 的取值范围是 (　　)
 A．$(－∞,+∞)$ $\qquad \qquad$ B． $\left[0, \dfrac{3}{4}\right)$ $\qquad \qquad$ C． $\left(\dfrac{3}{4},+\infty\right)$ $\qquad \qquad$ D． $\left[0, \dfrac{3}{4}\right]$
 

2.(多选) 已知函数 $f(x)=\dfrac{x^{4}+2 x^{2}+a}{x^{2}+1}(x \in \boldsymbol{R})$ 的值域为 $[m,+∞)$，则实数 $a$ 与实数 $m$ 的取值可能为 (　　)
 A．$a=0,m=0$ $\qquad \qquad$ B．$a=1,m=1$ $\qquad \qquad$C．$a=3,m=3$ $\qquad \qquad$ D． $a=\sqrt{2}, m=\sqrt{2}$
 

3. 已知函数 $f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}$．
(1) 求 $f(2)$ 与 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)$，$f(3)$ 与 $f\left(\dfrac{1}{3}\right)$；
(2) 由 (1) 中求得结果，你能发现 $f(x)$ 与 $\left(\dfrac{1}{x}\right)$ 有什么关系？并证明你的发现；
(3) 求 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2013)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{1}{2013}\right)$．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $f(x)$ 的定义域为 $(－∞，+∞)$；
   $∴$ 不等式 $ax^2+4ax+3>0$ 恒成立，或 $ax^2+4ax+3<0$ 恒成立；
   ①$a=0$ 时，$3>0$ 恒成立，满足题意；
   ②$a≠0$ 时，$△=16a^2-12a<0$；解得 $0<a<\dfrac{3}{4}$；
   综上得，实数 $a$ 的取值范围为 $\left[0, \dfrac{3}{4}\right)$．故选：$B$．
2. 答案 $ABD$
   解析 $f(x)=\dfrac{x^{2}\left(x^{2}+1\right)+x^{2}+1+a-1}{x^{2}+1}=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1}$
   ①$a－1=0$，即 $a=1$ 时，$f(x)=x^2+1≥1$，
   又 $f(x)$ 的值域为 $[m,+∞)$，$∴m=1$；
   ②$0<a－1≤1$，即 $1<a≤2$ 时，函数 $y=x+\dfrac{a-1}{x}$ 在 $[1,+∞)$ 上单调递增，
   $\therefore f(x)=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1} \geq 1+a-1=a$，
   又 $f(x)$ 的值域为 $[m,+∞)$，$∴m=a$，
   $\therefore a=\sqrt{2}, m=\sqrt{2}$ 满足题意；
   ③$a-1>1$，即 $a>2$ 时，
   函数 $y=x+\dfrac{a-1}{x}$$在 [1,a－1)$ 上单调递减，在 $(a－1,+∞)$ 上单调递增，
   $\therefore f(x)=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1} \geq f(a-1)=a^{2}-2 a+2+\dfrac{a-1}{a^{2}-2 a+2}$，
   $\therefore m=a^{2}-2 a+2+\dfrac{a-1}{a^{2}-2 a+2}$，
   $∴a=3$ 时， $m=\dfrac{27}{5}$，即 $a=3，m=3$ 错误；
   ④a=0 时， $y=x-\dfrac{1}{x}$ 在 $[1,+∞)$ 上单调递增， $f(x)=x^{2}+1-\dfrac{1}{x^{2}+1} \geq 0$，$∴m=0$．
   故选：$ABD$．
3. 答案 (1) $f(2)=\dfrac{4}{5}, \quad f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{5}, \quad f(3)=\dfrac{9}{10}, \quad f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{10}$ (2) $f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1$ (3) $\dfrac{4025}{2}$
   解析 (1) $\because f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}$， $\therefore f(2)=\dfrac{2^{2}}{1+2^{2}}=\dfrac{4}{5}$， $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}=\dfrac{1}{5}$，
   $f(3)=\dfrac{3^{2}}{1+3^{2}}=\dfrac{9}{10}$， $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}=\dfrac{1}{10}$．
   (2) 由 (1) 发现 $f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1$．
   证明如下： $f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}+\dfrac{1}{1+x^{2}}=1$．
   (3) $f(1)=\dfrac{1^{2}}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}$．
   由 (2) 知 $f(2)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1, f(3)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)=1, \ldots, f(2013)+f\left(\dfrac{1}{2013}\right)=1$，
   $∴$ 原式 $=\dfrac {1}{2}+\underbrace {1+1+1+\cdots+1}_{2012 \text { 个 }}=2012+\dfrac {1}{2}=\dfrac {4025}{2}$.