3.1.1 函数的概念

基础知识

函数的概念

1 概念
\(A、B\)是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系\(f\),使对于集合\(A\)中的任意一个数\(x\),在集合\(B\)中都有唯一确定的数\(f(x)\)和它对应,那么就称\(f:A→B\)为从集合\(A\)到集合\(B\)的一个函数.记作: \(y=f(x) ,x∈A\).其中,\(x\)叫做自变量,\(x\)的取值范围\(A\)叫做函数的定义域;与\(x\)的值相对应的\(y\)值叫做函数值,函数值的集合\(\{f(x)|x∈A\}\)叫做函数的值域.
比如 贵哥西藏骑旅中,以\(15km/h\)的速度从大理去相距\(180km\)的丽江,出发\(t\)小时后行驶的路程是\(s km\),则\(s\)\(t\)的函数,记为\(s=12t\),定义域是\(\{t|0≤t≤12\}\),值域为\(\{s|0≤s≤180\}\).对集合\(\{t|0≤t≤2\}\)中的任意一个实数,在集合\(\{s|0≤s≤180\}\)中都有唯一的数\(s=12t\)和它对应.
 

对函数概念的理解
① “\(A,B\)是非空的数集”,一方面强调了\(A,B\)只能是数集,即\(A,B\)中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集.
② 函数中,集合\(A,B\)间元素的对应可以是一对一、一对多,不能多对一,集合\(B\)中的元素可以在集合\(A\)没元素对应.

③ 函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集\(A\)中的任意一个(任意性)元素\(x\),在非空数集\(B\)中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素\(y\)与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
 

定义域

概念
 函数自变量\(x\)的取值范围.
求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)若\(f(x)\)为整式,则其定义域为实数集\(R\)
(2)若\(f(x)\)是分式,则其定义域是使分母不等于\(0\)的实数的集合.
(3)若\(f(x)\)为偶次根式,则其定义域是使根号内的式子大于或等于\(0\)的实数的集合.
(4)若\(f(x)\)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合,即交集.
(5)实际问题中,定义域要受到实际意义的制约.
 

【例】 求下列函数的定义域.
  (1) \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) (2) \(f(x)=\sqrt{x-2}\).
答案 (1)\(x≠1\)   (2)\([2,+∞)\).
 

值域

概念
  函数值\(y\)的取值范围
求值域的方法
(1)配方法
(2)数形结合
(3)换元法
(4)函数单调性法
(5)分离常数法
(6)基本不等式法
 

【例】 求下列函数值域.
  (1)\(f(x)=2x+3,x∈\{1,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) (2)\(f(x)=2x+3,x∈(-2,1]\)
解析 (1) 函数的值域是\(\{5,7,9\}\)
(2) 画出\(f(x)=2x+3\)的图象.

由图象可知\(f(x)=2x+3,x∈(-2,1]\)的值域为\((-2,5]\)

区间

区间的几何表示如下表所示:
image.png
 

【例】 将下列集合用区间表示出来.
  (1)\(\{x|x≥2\}\);(2)\(\{x|x<0\}\);(3)\(\{x|-2<x≤5\}\);(4)\(\{x|0<x<1,\)\(2≤x≤4\}\)
解析 (1) \([2,+∞)\);(2) \((-∞,0)\);(3) \((-2,5]\);(4)\((0,1)∪[2,4]\)
 

【练】将下列集合用区间表示出来.
  (1)\(\{x|x<3\}\);(2)\(\{x|x≥0\}\);(3)\(\{x|-2≤x<3\}\);(4)\(\{x|x<1,\)\(2≤x≤4\}\)
解析 (1) \((-∞,3)\);(2) \([0,+∞)\);(3) \([-2,3)\);(4) \((-∞,1)∪[2,4]\)
 

基本方法

【题型1】函数概念的理解

【典题1】图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量\(x,y\)的对应关系,其中表示\(y\)\(x\)的函数关系的有\(\underline{\quad \quad}\)

解析 由函数定义可知,任意作一条直线\(x=a\),则与函数的图象至多有一个交点,对于本题而言,当\(-1≤a≤1\)时,直线\(x=a\)与函数的图象仅有一个交点,当\(a>1\)\(a<-1\)时,直线\(x=a\)与函数的图象没有交点.从而表示\(y\)\(x\)的函数关系的有(2)(3).
答案:(2)(3)
点拨 判断函数的图像,主要看是否对于任意一个\(x\)是否对应唯一的\(y\).
 

【典题2】给定的下列四个式子中,能确定\(y\)\(x\)的函数的是(  )
 ① \(x^2+y^2=1\) \(\qquad \qquad\)\(|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0\)
 ③ \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-} 1=1\) \(\qquad \qquad\)\(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)
 A.① \(\qquad \qquad\) B.② \(\qquad \qquad\) C.③ \(\qquad \qquad\) D.④
解析 ①由 \(x^2+y^2=1\)\(y=\pm \sqrt{1-x^{2}}\),不满足函数的定义,所以①不是函数.
②由 \(|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0\)\(|x-1|=0\)\(\sqrt{y^{2}-1}=0\),所以\(x=1,y=±1\),所以②不是函数.
③由 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-} 1=1\)\(y=(1-\sqrt{x-1})^{2}+1\),满足函数的定义,所以③是函数.
④要使函数 \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)有意义,则 \(\left\{\begin{array}{l} x-2 \geq 0 \\ 1-x \geq 0 \end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x \leq 1 \end{array}\right.\)
此时不等式组无解,所以④不是函数.
故选:\(C\)
 

巩固练习

1.下列四个图形中,不是以\(x\)为自变量的函数的图象是 (  )
 A.image.png B.image.png C.image.png D.image.png
 

2.函数\(y=f(x-1)\)与函数\(y=f(x+1)\) (  )
 A.是同一个函数 \(\qquad \qquad\) B.定义域相同 \(\qquad \qquad\) C.图象重合 \(\qquad \qquad\) D.值域相同
 

3.下列式子中\(y\)\(x\)的函数的是(  )
 A. \(x^2+y^2=2\) \(\qquad \qquad\) B. \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1\) \(\qquad \qquad\) C. \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\) \(\qquad \qquad\) D. \(y=\pm \sqrt{x}\)
 

参考答案

  1. 答案 \(C\)
    解析 由函数定义知,定义域内的每一个\(x\)都有唯一函数值与之对应,
    \(A、B、D\)选项中的图象都符合;\(C\)项中对于大于零的\(x\)而言,有两个不同的值与之对应,不符合函数定义.故选:\(C\)
  2. 答案 \(D\)
    解析由于函数\(y=f(x-1)\)\(x-1\)的范围与函数\(y=f(x+1)\)\(x+1\)的范围相同,且两个函数具有相同的对应关系\(f\),故函数\(y=f(x-1)\)与函数\(y=f(x+1)\)具有相同的值域,
    故选:\(D\)
  3. 答案 \(B\)
    解析 对于\(B\),满足函数的定义,
    对于\(C\)\(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)的定义域为\(∅\),故不满足函数的定义,
    对于\(A\),\(D\),当\(x=1\)时,\(y\)都有\(2\)个值相对应,故不满足函数的定义,故选:\(B\)
     

【题型2】函数的定义域

【典题1】 求下列函数的定义域:
  (1) \(y=\dfrac{3}{1-\sqrt{2-x}}\); (2) \(y=\sqrt{2 x-4}+\dfrac{(x-2)^{0}}{x-3}\)
解析 (1)因为要使函数有意义,需 \(\left\{\begin{array} { l } { 2 - x \geq 0 } \\ { 1 - \sqrt { 2 - x } \neq 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x \leq 2 \\ x \neq 1 \end{array} \Leftrightarrow x \leq 2\right.\right.\)\(x≠1\)
所以函数\(y=\dfrac{3}{1-\sqrt{2-x}}\)的定义域为\((-∞,1)∪(1,2]\)
(2)因为要使函数有意义,需 \(\left\{\begin{array}{l} 2 x-4 \geq 0 \\ x-2 \neq 0 \\ x-3 \neq 0 \end{array}\right.\)解得\(x≥2\)\(x≠2\)\(x≠3\)
所以函数\(y=\sqrt{2 x-4}+\dfrac{(x-2)^{0}}{x-3}\)的定义域为\((2,3)∪(3,+∞)\)
 

【典题2】 已知\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\),求\(f(2x-1)\)的定义域.
解析 \(∵0≤x≤3\) \(∴-1≤x-1≤2\)
\(∴-1≤2x-1≤2\) \(\therefore 0 \leq x \leq \dfrac{3}{2}\)
故函数\(f(2x-1)\)的定义域是 \(\left[0, \dfrac{3}{2}\right]\).
点拨 抽象函数的定义域理解起来不容易,由于函数的解析式与字母的选择无关,
若把题目换成“已知\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\),求\(f(2t-1)\)的定义域.”好理解多了,
① 谨记定义域指的是自变量的取值范围,
所以由“\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\)”得到的是“\(0≤x≤3\)”,“求\(f(2t-1)\)的定义域”指的就是求\(t\)的范围.
② 把“\(x-1\)”和“\(2t-1\)”都看成整体,它们的范围是相等的
这样就有“\(-1≤x-1≤2 ⇒-1≤2t-1≤2\)”.
 

巩固练习

1.函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\).
 

2.函数 \(f(x)=\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{x}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\) .
 

3.函数 \(f(x)=\sqrt{-x^{2}+4 x+12}+\dfrac{1}{x-4}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\) .
 

4.已知函数\(f(x)\)的定义域为\((-1,0)\),则函数\(f(2x-2)\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\)
 

参考答案

  1. 答案 \(\{x|4≤x<5\)\(x>5\}\)
    解析 要使函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的 解析式有意义,
    自变量\(x\)须满足: \(\left\{\begin{array}{l} x-4 \geq 0 \\ |x|-5 \neq 0 \end{array}\right.\),解得\(x∈\{x|4≤x<5\)\(x>5\}\)
    故函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的定义域为\(\{x|4≤x<5\)\(x>5\}\).
  2. 答案 \((-∞,0)∪(0,1]\)
    解析 要使函数有意义,则 \(\left\{\begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\),得 \(\left\{\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\),即\(x≤1\)\(x≠0\)
    即函数的定义域为\((-∞,0)∪(0,1]\).
  3. 答案 \([-2,4)∪(4,6]\)
    解析\(\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+4 x+12 \geq 0 \\ x-4 \neq 0 \end{array}\right.\)\(-2≤x≤6\)\(x≠4\)
    \(∴f(x)\)的定义域为:\([-2,4)∪(4,6]\)
  4. 答案 \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)
    解析 \(∵f(x)\)的定义域为\((-1,0)\)\(∴\)\(-1<2x-2<0\),得 \(\dfrac{1}{2}<x<1\)
    \(∴\)函数\(f(2x-2)\)的定义域为 \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)
     

【题型3】函数的解析式

【典题1】已知函数\(f(x)=3x^2-5x+2\)
(1)求\(f(3)\)\(f(-\sqrt{2})\)\(f(a)\)\(f(a+1)\);(2)若\(f(x)=0\),求\(x\)
解析 (1)\(f(3)=3×3^2-5×3+2=14\)
\(f(-\sqrt{2})=3 \times(-\sqrt{2})^{2}-5 \times(-\sqrt{2})+2=8+5 \sqrt{2}\)
\(f(a)=3a^2-5a+2\)
\(f(a+1)=3(a+1)^2-5(a+1)+2=3a^2+a\)
(2)\(∵f(x)=0\)\(∴3x^2-5x+2=0\),解得\(x=1\)\(x=\dfrac{2}{3}\)
 

【典题2】下列各组函数中表示的函数不同的是(  )
  A. \(f(x)=x, g(x)=\sqrt[3]{x^{3}}\) \(\qquad \qquad\) B. \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=|x|\)
  C. \(f(x)=x^2-3x,g(t)=t^2-3t\) \(\qquad \qquad\) D. \(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, g(x)=x+2\)
解析 \(A,B,C\)的定义域和对应法则相同,表示同一函数,
\(D\)\(g(x)=x+2\)的定义域是\(R\)\(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\)定义域为\(\{x|x≠2\}\),两个函数的定义域不相同,不是同一函数.
故选:\(D\)
点拨 判断两个函数是否同一函数:定义域和解析式均要一样.
 

巩固练习

1.已知函数 \(f(x)=\dfrac{1}{1+x}\)\(g(x)=x^2+2\),则\(f(g(2))=\) \(\underline{\quad \quad}\)\(g(f(2))=\) \(\underline{\quad \quad}\)
 

2.函数 \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\)\(x∈(-∞,0)∪(0,+∞)\),则下列等式成立的是(  )
 A. \(f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) B.\(-f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) C. \(\dfrac{1}{f(x)}=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) D. \(-\dfrac{1}{f(x)}=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\)
 

3.下面各组函数中是同一函数的是(  )
 A. \(y=\sqrt{-2 x^{3}}\)\(y=x \sqrt{-2 x}\)
 B. \(y=(\sqrt{x})^{2}\)\(y=|x|\)
 C. \(f(x)=x^2-2x-1\)\(g(t)=t^2-2t-1\)
 D. \(y=\sqrt{x+1} \sqrt{x-1}\)\(y=\sqrt{(x+1)(x-1)}\)
 

4.在下列四组函数中,\(f(x)\)\(g(x)\)表示同一函数的是(  )
 A. \(y=1, y=\dfrac{x}{x}\) \(\qquad \qquad\) B. \(y=\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}, y=\sqrt{x^{2}-1}\) \(\qquad \qquad\)
  C. \(y=x, y=\sqrt[3]{x^{3}}\) \(\qquad \qquad\)D. \(y=|x|, y=(\sqrt{x})^{2}\)
 

参考答案

  1. 答案 \(\dfrac{1}{7}, \dfrac{19}{9}\)
    解析 \(g(2)=2^2+2=6\)\(f(g(2))=f(6)=\dfrac{1}{1+6}=\dfrac{1}{7}\)
    \(f(2)=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}\)\(g(f(2))=g\left(\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+2=\dfrac{19}{9}\)
  2. 答案 \(A\)
    解析 根据题意得, \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\)
    \(\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}=\dfrac{x}{1+x^{2}}\),
    \(\therefore f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\),故选:\(A\).
  3. 答案 \(C\)
    解析\(A\).函数的定义域为\(\{x|x≤0\}\)\(y=\sqrt{-2 x^{3}}=-x \sqrt{-2 x}\)
    两个函数的对应法则不相同,不是同一函数,
    \(B\)\(y=(\sqrt{x})^{2}=x\),定义域为\(\{x|x≥0\}\),函数的定义域不相同,不是同一函数
    \(C\).两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数
    \(D\).由 \(\left\{\begin{array}{l} x+1 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{array}\right.\)\(\left\{\begin{array}{l} x \geq-1 \\ x \geq 1 \end{array}\right.\)\(x≥1\)
    \((x+1)(x-1)≥0\)\(x≥1\)\(x≤-1\),两个函数的定义域不相同,不是同一函数,故选:\(C\)
  4. 答案\(C\)
    解析 由于函数\(y=1\)的定义域为\(R\),而函数 \(y=\dfrac{x}{x}\)的定义域为\(\{x|x≠0\}\)
    这2个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除\(A\)
    由于函数 \(y=\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}\)的定义域为\(\{x|x>1\}\)
    \(y=\sqrt{x^{2}-1}\)的定义域为\(\{x|1<x\)\(x<-1\}\)
    这2个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除\(B\)
    由于函数\(y=x\)与函数 \(y=\sqrt[3]{x^{3}}\)具有相同的定义域、对应关系、值域,故是同一个函数.
    由于函数\(y=|x|\)的定义域为\(R\),而函数 \(y=(\sqrt{x})^{2}\)的定义域为\(\{x|x≥0\}\),这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除\(D\).故选:\(C\)
     

【题型4】函数的值域

【典题1】 求下列函数的值域.
  (1) \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}\)\(\qquad \qquad\) (2) \(f(x)=x^2-4x+2,x∈[1,4]\)
  (3) \(y=\dfrac{2 x-1}{x+1}(x>0)\)\(\qquad \qquad\) (4) \(f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1\)
解析
(1) 由\(x∈R\),得\(1+x^2≥1\),所以得 \(0<\dfrac{1}{1+x^{2}} \leq 1\),故值域是\((0,1]\).
(2) 由题意:函数\(f(x)=x^2-4x+2\),开口向上,对称轴\(x=2\)
画出函数\(f(x)=x^2-4x+2,x∈[1,4]\)如下,
image.png
\(∴\)函数\(f(x)=x^2-4x+2\)在区间\([1,4]\)上的值域为\([-2,2]\)
(3) \(y=\dfrac{2(x+1)-3}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}\)
\(∵x>0\)\(∴x+1>1\)
\(\therefore 0<\dfrac{1}{x+1}<1\)\(\therefore-1<2-\dfrac{3}{x+1}<2\)
\(∴\)函数 \(y=\dfrac{2 x-1}{x+1}(x>0)\)的值域为\((-1,2)\)
(4) 令 \(\sqrt{1-x}=t\)\(t≥0\),(要注意新变量\(t\)的取值范围)
\(x=1-t^2\)
\(y=1-t^2-2t+1=-t^2-2t+2\),其在\([0,+∞)\)上的值域是\(y≤2\)
(把函数转化为二次函数值域问题)
即函数 \(f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1\)的值域为\((-∞,2]\).
点拨 求函数的值域方法多样,第(2)题采取数形结合的方法;第(3)题采取分离常数法,多用于形如 \(y==\dfrac{a \cdot g(x)+b}{c \cdot g(x)+d}\)的函数,比如求函数 \(y=\dfrac{x^{2}+1}{4 x^{2}-2}, y=\dfrac{3 \cdot 2^{x}+4}{2^{x}-1}\)的值域;第(4)题采取换元法,要注意”新元”的范围.
 

巩固练习

1.设\(a>0\),若函数 \(y=\dfrac{8}{x}\),当\(x∈[a,2a]\)时,\(y\)的范围为\(\left[\dfrac{a}{4}, 2\right]\),则\(a\)的值为(  )
  A.\(2\) \(\qquad \qquad\) B.\(4\)\(\qquad \qquad\) C.\(6\) \(\qquad \qquad\) D.\(8\)
 

2.函数\(f(x)=x^2-4x(-1⩽x⩽a)\)的值域为\([-4,5]\),则实数\(a\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\).   
 

3.函数 \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}(x \geq 1)\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\)
 

4.求函数 \(y=2 x+\sqrt{1-2 x}\)的值域.
 
 

参考答案

  1. 答案 \(B\)
    解析 \(∵a>0\),函数 \(y=\dfrac{8}{x}\),当\(x∈[a,2a]\)时,\(y\)的范围为\(\left[\dfrac{a}{4}, 2\right]\)
    \(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{8}{a}=2 \\ \dfrac{8}{2 a}=\dfrac{a}{4} \end{array}\right.\),解得\(a=4\).故选:\(B\)
  2. 答案 \([2,5]\)
    解析 \(f(x)=(x-2)^2-4\),对称轴为\(x=2\),由\((x-2)^2-4=5\),得\(x=5\)\(x=-1\)
    \(∵f(-1)=5\)\(f(2)=-4\)\(∴2≤a≤5\),即实数\(a\)的取值范围是\([2,5]\).
  3. 答案 \([0,1)\)
    解析 \(f(x)=\dfrac{x+3-4}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}=1-\dfrac{4}{x+3}\)
    \(x≥1\)时, \(0<\dfrac{4}{x+3} \leq 1\)\(0 \leq 1-\dfrac{4}{x+3}<1\),即函数的值域为\([0,1)\).
  4. 答案 \(\left(-\infty, \dfrac{5}{4}\right]\)
    解析\(t=\sqrt{1-2 x} \quad(t \geq 0)\),则 \(\mathcal{x}=\dfrac{1-t^{2}}{2}\),
    \(\therefore y=-t^{2}+t+1=-\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{4}\)
    \(∵\)\(t=\dfrac{1}{2}\),即 \(x=\dfrac{3}{8}\)\(y_{\max }=\dfrac{5}{4}\),无最小值.
    \(∴\)函数 \(y=2 x+\sqrt{1-2 x}\)的值域为 \(\left(-\infty, \dfrac{5}{4}\right]\).
     

分层练习

【A组---基础题】

1.下列图形中,不能表示以\(x\)为自变量的函数图象的是( )
 A. image.png B. image.png C. image.png D.image.png
 

2.下列变量\(x\)\(y\)的关系式中,不能构成\(y\)\(x\)的函数关系的是(  )
 A.\(x-y=1\) \(\qquad \qquad\) B.\(x^2-y=1\) \(\qquad \qquad\) C.\(x-2y^2=1\) \(\qquad \qquad\) D. \(\sqrt{x}-2 y=1\)
 

3.函数\(f(x)=x+1,x∈\{-1,1,2\}\)的值域是(  )
 A.\(0,2,3\) \(\qquad \qquad\) B .\(0≤y≤3\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{0,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) D.\([0,3]\)
 

4.下列各组函数中,表示同一函数的是(  )
  A. \(f(x)=x^2,g(x)=x^3\) \(\qquad \qquad\) B. \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=(\sqrt{x})^{2}\)
  C. \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}, g(x)=x\) \(\qquad \qquad\) D.\(f(x)=|x|\)\(g(x)=\left\{\begin{array}{l} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{array}\right.\)
 

5.函数 \(f(x)=2^{x}+\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\).
 

6.若函数\(y=f(x)\)的定义域是\([-2,3]\),则函数\(y=f(x-1)\)的定义域是\(\underline{\quad \quad}\)
 

7.已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+2}\),则\(f(x)\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\)
 

8.若函数\(y=x^2-4x-4\)的定义域为\([0,m]\),值域为\([-8,-4]\),则\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)
 

9.若函数 \(y=\dfrac{2 x+3}{x+2}\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\)
 

10.函数\(y=x+\sqrt{2-x}\)的值域为\(\underline{\quad \quad}\)
 

参考答案

  1. 答案 \(B\)
    解析 \(B\)中,当\(x>0\)时,\(y\)有两个值和\(x\)对应,不满足函数\(y\)的唯一性,\(A,C,D\)满足函数的定义,故选:\(B\)

  2. 答案 \(C\)
    解析 \(A\).由\(x-y=1\)\(y=x-1\)是函数关系.
    \(B\).由 \(x^2-y=1\),得\(y=x^2-1\)是函数关系,
    \(C\).由\(x-2y^2=1\),得 \(y^{2}=\dfrac{1}{2}(x-1)\),此时\(y\)值不唯一,不是函数关系,
    \(D\).由 \(\sqrt{x}-2 y=1\),得 \(y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}-1)\)是函数关系,故选:\(C\)

  3. 答案 \(C\)
    解析 \(∵f(x)=x+1,x∈\{-1,1,2\}\)
    \(∴\)\(x=-1\)时,\(f(-1)=0\);当\(x=1\)时,\(f(1)=2\);当\(x=2\)时,\(f(2)=3\)
    \(∴\)函数\(f(x)=x+1,x∈\{-1,1,2\}\)的值域是\(\{0,2,3\}\),故选:\(C\)

  4. 答案 \(D\)
    解析 \(A\)\(f(x)=x^2,g(x)=x^3\),解析式不同,不是同一函数;
    \(B\). \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=(\sqrt{x})^{2}\),解析式不同,不是同一函数;
    \(C\). \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}\)的定义域为\(\{x|x≠0\}\)\(g(x)=x\)的定义域为\(R\),定义域不同,不是同一函数;
    \(D\). \(f(x)=|x|= \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}\)\(g(x)=\left\{\begin{array}{l} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{array}\right.\),解析式和定义域都相同,表示同一函数.故选:\(D\)

  5. 答案 \([-2,0)∪(0,2]\)
    解析 要使\(f(x)\)有意义,则 \(\left\{\begin{array}{l} 4-x^{2} \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\);解得\(-2≤x≤2\),且\(x≠0\)
    \(∴f(x)\)的定义域为\([-2,0)∪(0,2]\)

  6. 答案 \([-1,4]\)
    解析 ∵函数\(y=f(x)\)的定义域是\([-2,3]\)
    \(∴\)\(-2≤x-1≤3\),解得\(-1≤x≤4\)\(∴\)函数\(y=f(x-1)\)的定义域是\([1,4]\)

  7. 答案 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right]\)
    解析 \(\because x^{2}+2 \geq 2\)\(\therefore 0<\dfrac{1}{x^{2}+2} \leq \dfrac{1}{2}\)\(∴f(x)\)的值域为 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right]\)

  8. 答案 \([2,4]\)
    解析 函数\(y=x^2-4x-4\)的图象是开口向上,且以直线\(x=2\)为对称轴的抛物线

    \(∴f(0)=f(4)=-4\)\(f(2)=-8\)
    \(∵\)函数\(y=x^2-4x-4\)的定义域为\([0,m]\),值域为\([-8,-4]\)
    \(∴2≤m≤4\),即\(m\)的取值范围是\([2,4]\).

  9. 答案 \((-∞,2)∪(2,+∞)\)
    解析 \(\because y=2-\dfrac{1}{x+2}\)\(∴y≠2\)\(∴\)函数的值域是:\((-∞,2)∪(2,+∞)\).

  10. 答案 \(\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right]\)
    解析由题意:函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)
    \(t=\sqrt{2-x}\),则函数\(t\)的值域为\([0,+∞)\),可得:\(x=2-t^2\)
    那么:函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)转化为\(f(t)=2-t^2+t\),开口向下,对称轴 \(t=\dfrac{1}{2}\)
    \(∵t≥0\)\(∴\)\(t=\dfrac{1}{2}\)时,函数\(f(t)\)取得最大值为 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)_{\max }=\dfrac{9}{4}\)
    即函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)的最大值为 \(\dfrac{9}{4}\)
    \(∴\)函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)的值域为 \(\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right]\)
     

【B组---提高题】

1.存在函数\(f(x)\)满足:对任意\(x∈R\)都有(  )
 A.\(f(|x|)=x\) \(\qquad \qquad\) B.\(f(|x|)=x^2+2x\) \(\qquad \qquad\)
 C.\(f(|x+1|)=x\) \(\qquad \qquad\) D.\(f(|x+1|)=x^2+2x\)
 

2.函数 \(y=\sqrt{\dfrac{2+x}{1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}\)的定义域是(  )
 A.\([-2,-1]\) \(\qquad \qquad\) B.\([-2,1]\) \(\qquad \qquad\) C.\([2,+∞)\) \(\qquad \qquad\) D.\((-∞,1)∪(1,+∞)\)
 

3.已知 \(f(x+1)=\sqrt{1-x^{2}}\),则\(f(2x-1)\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\)
 

4.对于函数 \(f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x}\),存在一个正数\(b\),使得\(f(x)\)的定义域和值域相同,则非零实数\(a\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)
 

5.已知函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-1}{2 x-1}\),则 \(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2}{2015}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2013}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=\) \(\underline{\quad \quad}\)
 

6.已知函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)的定义域和值域都是\([2,b](b>2)\),则实数\(b\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)
 

7.求函数 \(y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}\left(x>\dfrac{1}{2}\right)\)的值域.
 

8.求函数 \(f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}\)的值域.
 

9.求函数 \(f(x)=(x^2-2x-3)(x^2-2x-5)\)的值域.
 

参考答案

  1. 答案 \(D\)
    解析\(A\)中,取\(x=1\),则\(f(1)=1\),取\(x=-1\),则\(f(1)=-1\),不成立;
    \(B\)中,令\(|x|=t\)\(t≥0\)\(x=±t\),取\(x=1\),则\(f(1)=3\),取\(x=-1\),则\(f(1)=-1\),不成立;
    \(C\)中,令\(|x+1|=t\)\(t≥0\),则 \(x^2+2x=t^2-1\)
    \(∴f(t)=t^2-1\),即\(f(x)=x^2-1\),故\(C\)不成立,\(D\)成立.
    故选:\(D\)
  2. 答案 \(A\)
    解析\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2+x}{1-x} \geq 0 (1) \\ x^{2}-x-2 \geq 0 (2) \end{array}\right.\),解①得:\(-2≤x<1\).解②得:\(x≤-1\)\(x≥2\)
    \(∴\)函数 \(y=\sqrt{\dfrac{2+x}{1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}\)的定义域是\([-2,-1]\)
    故选:\(A\)
  3. 答案 \(\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)
    解析 函数 \(f(x+1)=\sqrt{1-x^{2}}\)有意义,
    则必须满足\(1-x^2≥0\),即\(-1≤x≤1\),从而\(0≤x+1≤2\)
    所以函数\(f(x)\)的定义域为\([0,2]\)
    那么\(f(2x-1)\)的应满足\(0≤2x-1≤2\),由此 \(\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}\)
  4. 答案 \(-4\)
    解析 由题意:函数 \(f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x}\)
    \(a>0\),由于\(ax^2+bx≥0\),即\(x(ax+b)≥0\)
    \(∴\)对于正数\(b\)\(f(x)\)的定义域为: \(D=\left(-\infty,-\dfrac{b}{a}\right] \cup[0,+\infty)\)
    \(f(x)\)的值域\(A⊆[0,+∞)\),故\(D≠A\),不合要求.
    \(a<0\),对于正数\(b\)\(f(x)\)的定义域为 \(D=\left[0,-\dfrac{b}{a}\right]\)
    由于此时函数 \(f(x)_{\max }=f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=\sqrt{a \times\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}+b \times\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)}=\sqrt{\dfrac{-b^{2}}{4 a}}=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\)
    故函数的值域 \(A=\left[0, \dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\right]\)
    由题意,有: \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\),由于\(b>0\),解得:\(a=-4\)
  5. 答案 \(4028\)
    解析 因为\(f(x)=\dfrac{4 x-1}{2 x-1}=\dfrac{2(2 x-1)+1}{2 x-1}=2+\dfrac{1}{2 x-1}\)\(f(1-x)=2+\dfrac{1}{2(1-x)-1}=2-\dfrac{1}{2 x-1}\)
    \(f(x)+f(1-x)=4\)\(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=4 \cdots f\left(\dfrac{1007}{2015}\right)+f\left(\dfrac{1008}{2015}\right)=4\)
    所以 \(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2}{2015}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2013}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=4 \times 1007=4028\)
  6. 答案 \(3\)
    解析 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-2}{x-1}=-\dfrac{2}{x-1}+4\)
    其图象如图,

    由图可知,函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)\([2,b]\)上为增函数,
    又函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)的定义域和值域都是\([2,b](b>2)\)
    \(\therefore f(b)=\dfrac{4 b-6}{b-1}=b\),解得:\(b=3\).故答案为:\(3\)
  7. 答案 \(\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)\)
    解析 \(y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}=\dfrac{x(2 x-1)+1}{2 x-1}=x+\dfrac{1}{2 x-1}=x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2 x-1}+\dfrac{1}{2}\)
    \(\because x>\dfrac{1}{2}\)\(\therefore x-\dfrac{1}{2}>0\)
    \(\therefore x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}} \geq 2 \sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{2}\)
    当且仅当 \(x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}}\)时,即\(x=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\)时等号成立, \(\therefore y \geq \sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\)
    所以原函数的值域为 \(\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)\).
  8. 答案 \([-1,3]\)
    解析 \(\because f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=1+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}\)
    \(∴\)\(x=0\)时,\(f(x)=1\)
    \(x>0\)时, \(\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}} \leq \dfrac{4}{2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}}}=2\),当且仅当\(x=1\)时“\(=\)”成立;
    \(x<0\)时,\(\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{4}{-\left(-x+\dfrac{1}{-x}\right)} \geq \dfrac{4}{-2 \sqrt{(-x) \cdot \dfrac{1}{-x}}}=-2\),当且仅当\(x=-1\)时取“\(=\)”.
    \(∴\)函数\(f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}\)的值域为\([-1,3]\)
  9. 答案 \([-1,+∞)\)
    解析 原函数可化为 \(y=\left[(x-1)^{2}-4\right]\left[(x-1)^{2}-6\right]\)
    \(t=(x-1)^2≥0\),则 \(y=t^2-10t+24=(t-5)^2-1≥-1\),且当\(t=5\)时取等号,
    所以\(y≥-1\).故函数的值域为\([-1,+∞)\)
     

【C组---拓展题】

1.函数 \(y=\dfrac{1}{a x^{2}+4 a x+3}\)的定义域为\((-∞,+∞)\),则实数\(a\)的取值范围是(  )
 A.\((-∞,+∞)\) \(\qquad \qquad\) B. \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right)\) \(\qquad \qquad\) C. \(\left(\dfrac{3}{4},+\infty\right)\) \(\qquad \qquad\) D. \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right]\)
 

2.(多选)已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^{4}+2 x^{2}+a}{x^{2}+1}(x \in \boldsymbol{R})\)的值域为\([m,+∞)\),则实数\(a\)与实数\(m\)的取值可能为(  )
 A.\(a=0,m=0\) \(\qquad \qquad\) B.\(a=1,m=1\) \(\qquad \qquad\)C.\(a=3,m=3\) \(\qquad \qquad\) D. \(a=\sqrt{2}, m=\sqrt{2}\)
 

3.已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\)
(1)求\(f(2)\)\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)\(f(3)\)\(f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)
(2)由(1)中求得结果,你能发现\(f(x)\)\(\left(\dfrac{1}{x}\right)\)有什么关系?并证明你的发现;
(3)求 \(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2013)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{1}{2013}\right)\)
 
 

参考答案

  1. 答案 \(B\)
    解析 \(f(x)\)的定义域为\((-∞,+∞)\)
    \(∴\)不等式\(ax^2+4ax+3>0\)恒成立,或\(ax^2+4ax+3<0\)恒成立;
    \(a=0\)时,\(3>0\)恒成立,满足题意;
    \(a≠0\)时,\(△=16a^2-12a<0\);解得 \(0<a<\dfrac{3}{4}\)
    综上得,实数\(a\)的取值范围为 \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right)\).故选:\(B\)
  2. 答案 \(ABD\)
    解析 \(f(x)=\dfrac{x^{2}\left(x^{2}+1\right)+x^{2}+1+a-1}{x^{2}+1}=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1}\)
    \(a-1=0\),即\(a=1\)时,\(f(x)=x^2+1≥1\)
    \(f(x)\)的值域为\([m,+∞)\)\(∴m=1\)
    \(0<a-1≤1\),即\(1<a≤2\)时,函数 \(y=x+\dfrac{a-1}{x}\)\([1,+∞)\)上单调递增,
    \(\therefore f(x)=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1} \geq 1+a-1=a\)
    \(f(x)\)的值域为\([m,+∞)\)\(∴m=a\)
    \(\therefore a=\sqrt{2}, m=\sqrt{2}\)满足题意;
    \(a-1>1\),即\(a>2\)时,
    函数 \(y=x+\dfrac{a-1}{x}\)\(在[1,a-1)\)上单调递减,在\((a-1,+∞)\)上单调递增,
    \(\therefore f(x)=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1} \geq f(a-1)=a^{2}-2 a+2+\dfrac{a-1}{a^{2}-2 a+2}\)
    \(\therefore m=a^{2}-2 a+2+\dfrac{a-1}{a^{2}-2 a+2}\)
    \(∴a=3\)时, \(m=\dfrac{27}{5}\),即\(a=3,m=3\)错误;
    ④a=0时, \(y=x-\dfrac{1}{x}\)\([1,+∞)\)上单调递增, \(f(x)=x^{2}+1-\dfrac{1}{x^{2}+1} \geq 0\)\(∴m=0\)
    故选:\(ABD\)
  3. 答案 (1) \(f(2)=\dfrac{4}{5}, \quad f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{5}, \quad f(3)=\dfrac{9}{10}, \quad f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{10}\) (2) \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1\) (3) \(\dfrac{4025}{2}\)
    解析 (1) \(\because f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\)\(\therefore f(2)=\dfrac{2^{2}}{1+2^{2}}=\dfrac{4}{5}\)\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}=\dfrac{1}{5}\)
    \(f(3)=\dfrac{3^{2}}{1+3^{2}}=\dfrac{9}{10}\)\(f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}=\dfrac{1}{10}\)
    (2)由(1)发现 \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1\)
    证明如下: \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}+\dfrac{1}{1+x^{2}}=1\)
    (3) \(f(1)=\dfrac{1^{2}}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}\)
    由(2)知 \(f(2)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1, f(3)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)=1, \ldots, f(2013)+f\left(\dfrac{1}{2013}\right)=1\)
    \(∴\)原式 \(=\dfrac{1}{2}+\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{2012 \text { 个 }}=2012+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4025}{2}\).
posted @ 2022-08-31 15:56  贵哥讲数学  阅读(446)  评论(0编辑  收藏  举报
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