3.1.1 函数的概念
基础知识
函数的概念
1 概念
设\(A、B\)是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系\(f\),使对于集合\(A\)中的任意一个数\(x\),在集合\(B\)中都有唯一确定的数\(f(x)\)和它对应,那么就称\(f:A→B\)为从集合\(A\)到集合\(B\)的一个函数.记作: \(y=f(x) ,x∈A\).其中,\(x\)叫做自变量,\(x\)的取值范围\(A\)叫做函数的定义域;与\(x\)的值相对应的\(y\)值叫做函数值,函数值的集合\(\{f(x)|x∈A\}\)叫做函数的值域.
比如 贵哥西藏骑旅中,以\(15km/h\)的速度从大理去相距\(180km\)的丽江,出发\(t\)小时后行驶的路程是\(s km\),则\(s\)是\(t\)的函数,记为\(s=12t\),定义域是\(\{t|0≤t≤12\}\),值域为\(\{s|0≤s≤180\}\).对集合\(\{t|0≤t≤2\}\)中的任意一个实数,在集合\(\{s|0≤s≤180\}\)中都有唯一的数\(s=12t\)和它对应.
对函数概念的理解
① “\(A,B\)是非空的数集”,一方面强调了\(A,B\)只能是数集,即\(A,B\)中的元素只能是实数;另一方面指出了定义域、值域都不能是空集.
② 函数中,集合\(A,B\)间元素的对应可以是一对一、一对多,不能多对一,集合\(B\)中的元素可以在集合\(A\)没元素对应.
![](https://img2023.cnblogs.com/blog/1943255/202305/1943255-20230516110424430-569549923.png )
③ 函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集\(A\)中的任意一个(任意性)元素\(x\),在非空数集\(B\)中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素\(y\)与之对应.这“三性”只要有一个不满足,便不能构成函数.
定义域
① 概念
函数自变量\(x\)的取值范围.
② 求函数的定义域主要应考虑以下几点
(1)若\(f(x)\)为整式,则其定义域为实数集\(R\).
(2)若\(f(x)\)是分式,则其定义域是使分母不等于\(0\)的实数的集合.
(3)若\(f(x)\)为偶次根式,则其定义域是使根号内的式子大于或等于\(0\)的实数的集合.
(4)若\(f(x)\)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合,即交集.
(5)实际问题中,定义域要受到实际意义的制约.
【例】 求下列函数的定义域.
(1) \(f(x)=\dfrac{1}{x-1}\) (2) \(f(x)=\sqrt{x-2}\).
答案 (1)\(x≠1\) (2)\([2,+∞)\).
值域
① 概念
函数值\(y\)的取值范围
② 求值域的方法
(1)配方法
(2)数形结合
(3)换元法
(4)函数单调性法
(5)分离常数法
(6)基本不等式法
【例】 求下列函数值域.
(1)\(f(x)=2x+3,x∈\{1,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) (2)\(f(x)=2x+3,x∈(-2,1]\)
解析 (1) 函数的值域是\(\{5,7,9\}\);
(2) 画出\(f(x)=2x+3\)的图象.
由图象可知\(f(x)=2x+3,x∈(-2,1]\)的值域为\((-2,5]\).
区间
区间的几何表示如下表所示:
【例】 将下列集合用区间表示出来.
(1)\(\{x|x≥2\}\);(2)\(\{x|x<0\}\);(3)\(\{x|-2<x≤5\}\);(4)\(\{x|0<x<1,\)或\(2≤x≤4\}\).
解析 (1) \([2,+∞)\);(2) \((-∞,0)\);(3) \((-2,5]\);(4)\((0,1)∪[2,4]\).
【练】将下列集合用区间表示出来.
(1)\(\{x|x<3\}\);(2)\(\{x|x≥0\}\);(3)\(\{x|-2≤x<3\}\);(4)\(\{x|x<1,\)或\(2≤x≤4\}\).
解析 (1) \((-∞,3)\);(2) \([0,+∞)\);(3) \([-2,3)\);(4) \((-∞,1)∪[2,4]\).
基本方法
【题型1】函数概念的理解
【典题1】图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量\(x,y\)的对应关系,其中表示\(y\)是\(x\)的函数关系的有\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由函数定义可知,任意作一条直线\(x=a\),则与函数的图象至多有一个交点,对于本题而言,当\(-1≤a≤1\)时,直线\(x=a\)与函数的图象仅有一个交点,当\(a>1\)或\(a<-1\)时,直线\(x=a\)与函数的图象没有交点.从而表示\(y\)是\(x\)的函数关系的有(2)(3).
答案:(2)(3)
点拨 判断函数的图像,主要看是否对于任意一个\(x\)是否对应唯一的\(y\).
【典题2】给定的下列四个式子中,能确定\(y\)是\(x\)的函数的是( )
① \(x^2+y^2=1\) \(\qquad \qquad\) ② \(|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0\)
③ \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-} 1=1\) \(\qquad \qquad\) ④ \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\).
A.① \(\qquad \qquad\) B.② \(\qquad \qquad\) C.③ \(\qquad \qquad\) D.④
解析 ①由 \(x^2+y^2=1\)得 \(y=\pm \sqrt{1-x^{2}}\),不满足函数的定义,所以①不是函数.
②由 \(|x-1|+\sqrt{y^{2}-1}=0\)得\(|x-1|=0\), \(\sqrt{y^{2}-1}=0\),所以\(x=1,y=±1\),所以②不是函数.
③由 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-} 1=1\)得 \(y=(1-\sqrt{x-1})^{2}+1\),满足函数的定义,所以③是函数.
④要使函数 \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)有意义,则 \(\left\{\begin{array}{l}
x-2 \geq 0 \\
1-x \geq 0
\end{array}\right.\),解得 \(\left\{\begin{array}{l}
x \geq 2 \\
x \leq 1
\end{array}\right.\),
此时不等式组无解,所以④不是函数.
故选:\(C\).
巩固练习
1.下列四个图形中,不是以\(x\)为自变量的函数的图象是 ( )
A. B.
C.
D.
2.函数\(y=f(x-1)\)与函数\(y=f(x+1)\) ( )
A.是同一个函数 \(\qquad \qquad\) B.定义域相同 \(\qquad \qquad\) C.图象重合 \(\qquad \qquad\) D.值域相同
3.下列式子中\(y\)是\(x\)的函数的是( )
A. \(x^2+y^2=2\) \(\qquad \qquad\) B. \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=1\) \(\qquad \qquad\) C. \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\) \(\qquad \qquad\) D. \(y=\pm \sqrt{x}\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 由函数定义知,定义域内的每一个\(x\)都有唯一函数值与之对应,
\(A、B、D\)选项中的图象都符合;\(C\)项中对于大于零的\(x\)而言,有两个不同的值与之对应,不符合函数定义.故选:\(C\). - 答案 \(D\)
解析由于函数\(y=f(x-1)\)中\(x-1\)的范围与函数\(y=f(x+1)\)中\(x+1\)的范围相同,且两个函数具有相同的对应关系\(f\),故函数\(y=f(x-1)\)与函数\(y=f(x+1)\)具有相同的值域,
故选:\(D\). - 答案 \(B\)
解析 对于\(B\),满足函数的定义,
对于\(C\): \(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{1-x}\)的定义域为\(∅\),故不满足函数的定义,
对于\(A\),\(D\),当\(x=1\)时,\(y\)都有\(2\)个值相对应,故不满足函数的定义,故选:\(B\).
【题型2】函数的定义域
【典题1】 求下列函数的定义域:
(1) \(y=\dfrac{3}{1-\sqrt{2-x}}\); (2) \(y=\sqrt{2 x-4}+\dfrac{(x-2)^{0}}{x-3}\).
解析 (1)因为要使函数有意义,需 \(\left\{\begin{array} { l }
{ 2 - x \geq 0 } \\
{ 1 - \sqrt { 2 - x } \neq 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x \leq 2 \\
x \neq 1
\end{array} \Leftrightarrow x \leq 2\right.\right.\)且\(x≠1\),
所以函数\(y=\dfrac{3}{1-\sqrt{2-x}}\)的定义域为\((-∞,1)∪(1,2]\).
(2)因为要使函数有意义,需 \(\left\{\begin{array}{l}
2 x-4 \geq 0 \\
x-2 \neq 0 \\
x-3 \neq 0
\end{array}\right.\)解得\(x≥2\)且\(x≠2\)且\(x≠3\),
所以函数\(y=\sqrt{2 x-4}+\dfrac{(x-2)^{0}}{x-3}\)的定义域为\((2,3)∪(3,+∞)\).
【典题2】 已知\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\),求\(f(2x-1)\)的定义域.
解析 \(∵0≤x≤3\) \(∴-1≤x-1≤2\)
\(∴-1≤2x-1≤2\) \(\therefore 0 \leq x \leq \dfrac{3}{2}\)
故函数\(f(2x-1)\)的定义域是 \(\left[0, \dfrac{3}{2}\right]\).
点拨 抽象函数的定义域理解起来不容易,由于函数的解析式与字母的选择无关,
若把题目换成“已知\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\),求\(f(2t-1)\)的定义域.”好理解多了,
① 谨记定义域指的是自变量的取值范围,
所以由“\(f(x-1)\)定义域为\([0 ,3]\)”得到的是“\(0≤x≤3\)”,“求\(f(2t-1)\)的定义域”指的就是求\(t\)的范围.
② 把“\(x-1\)”和“\(2t-1\)”都看成整体,它们的范围是相等的
这样就有“\(-1≤x-1≤2 ⇒-1≤2t-1≤2\)”.
巩固练习
1.函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\).
2.函数 \(f(x)=\sqrt{1-x}+\dfrac{1}{x}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\) .
3.函数 \(f(x)=\sqrt{-x^{2}+4 x+12}+\dfrac{1}{x-4}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\) .
4.已知函数\(f(x)\)的定义域为\((-1,0)\),则函数\(f(2x-2)\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案 \(\{x|4≤x<5\)或\(x>5\}\)
解析 要使函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的 解析式有意义,
自变量\(x\)须满足: \(\left\{\begin{array}{l} x-4 \geq 0 \\ |x|-5 \neq 0 \end{array}\right.\),解得\(x∈\{x|4≤x<5\)或\(x>5\}\)
故函数 \(y=\dfrac{\sqrt{x-4}}{|x|-5}\)的定义域为\(\{x|4≤x<5\)或\(x>5\}\). - 答案 \((-∞,0)∪(0,1]\)
解析 要使函数有意义,则 \(\left\{\begin{array}{l} 1-x \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\),得 \(\left\{\begin{array}{l} x \leq 1 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\),即\(x≤1\)且\(x≠0\),
即函数的定义域为\((-∞,0)∪(0,1]\). - 答案 \([-2,4)∪(4,6]\)
解析 解 \(\left\{\begin{array}{l} -x^{2}+4 x+12 \geq 0 \\ x-4 \neq 0 \end{array}\right.\)得\(-2≤x≤6\)且\(x≠4\);
\(∴f(x)\)的定义域为:\([-2,4)∪(4,6]\). - 答案 \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\)
解析 \(∵f(x)\)的定义域为\((-1,0)\),\(∴\)由\(-1<2x-2<0\),得 \(\dfrac{1}{2}<x<1\).
\(∴\)函数\(f(2x-2)\)的定义域为 \(\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)\).
【题型3】函数的解析式
【典题1】已知函数\(f(x)=3x^2-5x+2\).
(1)求\(f(3)\), \(f(-\sqrt{2})\),\(f(a)\),\(f(a+1)\);(2)若\(f(x)=0\),求\(x\).
解析 (1)\(f(3)=3×3^2-5×3+2=14\),
\(f(-\sqrt{2})=3 \times(-\sqrt{2})^{2}-5 \times(-\sqrt{2})+2=8+5 \sqrt{2}\),
\(f(a)=3a^2-5a+2\),
\(f(a+1)=3(a+1)^2-5(a+1)+2=3a^2+a\).
(2)\(∵f(x)=0\),\(∴3x^2-5x+2=0\),解得\(x=1\)或 \(x=\dfrac{2}{3}\).
【典题2】下列各组函数中表示的函数不同的是( )
A. \(f(x)=x, g(x)=\sqrt[3]{x^{3}}\) \(\qquad \qquad\) B. \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=|x|\)
C. \(f(x)=x^2-3x,g(t)=t^2-3t\) \(\qquad \qquad\) D. \(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, g(x)=x+2\)
解析 \(A,B,C\)的定义域和对应法则相同,表示同一函数,
\(D\)中\(g(x)=x+2\)的定义域是\(R\), \(f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\)定义域为\(\{x|x≠2\}\),两个函数的定义域不相同,不是同一函数.
故选:\(D\).
点拨 判断两个函数是否同一函数:定义域和解析式均要一样.
巩固练习
1.已知函数 \(f(x)=\dfrac{1}{1+x}\),\(g(x)=x^2+2\),则\(f(g(2))=\) \(\underline{\quad \quad}\), \(g(f(2))=\) \(\underline{\quad \quad}\).
2.函数 \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\),\(x∈(-∞,0)∪(0,+∞)\),则下列等式成立的是( )
A. \(f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) B.\(-f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) C. \(\dfrac{1}{f(x)}=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\) \(\qquad \qquad\) D. \(-\dfrac{1}{f(x)}=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\)
3.下面各组函数中是同一函数的是( )
A. \(y=\sqrt{-2 x^{3}}\)与 \(y=x \sqrt{-2 x}\)
B. \(y=(\sqrt{x})^{2}\)与\(y=|x|\)
C. \(f(x)=x^2-2x-1\)与\(g(t)=t^2-2t-1\)
D. \(y=\sqrt{x+1} \sqrt{x-1}\)与 \(y=\sqrt{(x+1)(x-1)}\)
4.在下列四组函数中,\(f(x)\)与\(g(x)\)表示同一函数的是( )
A. \(y=1, y=\dfrac{x}{x}\) \(\qquad \qquad\) B. \(y=\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}, y=\sqrt{x^{2}-1}\) \(\qquad \qquad\)
C. \(y=x, y=\sqrt[3]{x^{3}}\) \(\qquad \qquad\)D. \(y=|x|, y=(\sqrt{x})^{2}\)
参考答案
- 答案 \(\dfrac{1}{7}, \dfrac{19}{9}\)
解析 \(g(2)=2^2+2=6\), \(f(g(2))=f(6)=\dfrac{1}{1+6}=\dfrac{1}{7}\),
\(f(2)=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}\), \(g(f(2))=g\left(\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+2=\dfrac{19}{9}\). - 答案 \(A\)
解析 根据题意得, \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^{2}}\),
\(\therefore f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}=\dfrac{x}{1+x^{2}}\),
\(\therefore f(x)=f\left(\dfrac{1}{x}\right)\),故选:\(A\). - 答案 \(C\)
解析\(A\).函数的定义域为\(\{x|x≤0\}\), \(y=\sqrt{-2 x^{3}}=-x \sqrt{-2 x}\),
两个函数的对应法则不相同,不是同一函数,
\(B\). \(y=(\sqrt{x})^{2}=x\),定义域为\(\{x|x≥0\}\),函数的定义域不相同,不是同一函数
\(C\).两个函数的定义域和对应法则相同,是同一函数
\(D\).由 \(\left\{\begin{array}{l} x+1 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{array}\right.\)得 \(\left\{\begin{array}{l} x \geq-1 \\ x \geq 1 \end{array}\right.\)得\(x≥1\),
由\((x+1)(x-1)≥0\)得\(x≥1\)或\(x≤-1\),两个函数的定义域不相同,不是同一函数,故选:\(C\). - 答案\(C\)
解析 由于函数\(y=1\)的定义域为\(R\),而函数 \(y=\dfrac{x}{x}\)的定义域为\(\{x|x≠0\}\),
这2个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除\(A\).
由于函数 \(y=\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x+1}\)的定义域为\(\{x|x>1\}\),
而 \(y=\sqrt{x^{2}-1}\)的定义域为\(\{x|1<x\)或\(x<-1\}\),
这2个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除\(B\).
由于函数\(y=x\)与函数 \(y=\sqrt[3]{x^{3}}\)具有相同的定义域、对应关系、值域,故是同一个函数.
由于函数\(y=|x|\)的定义域为\(R\),而函数 \(y=(\sqrt{x})^{2}\)的定义域为\(\{x|x≥0\}\),这两个函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除\(D\).故选:\(C\).
【题型4】函数的值域
【典题1】 求下列函数的值域.
(1) \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}\);\(\qquad \qquad\) (2) \(f(x)=x^2-4x+2,x∈[1,4]\);
(3) \(y=\dfrac{2 x-1}{x+1}(x>0)\);\(\qquad \qquad\) (4) \(f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1\);
解析
(1) 由\(x∈R\),得\(1+x^2≥1\),所以得 \(0<\dfrac{1}{1+x^{2}} \leq 1\),故值域是\((0,1]\).
(2) 由题意:函数\(f(x)=x^2-4x+2\),开口向上,对称轴\(x=2\),
画出函数\(f(x)=x^2-4x+2,x∈[1,4]\)如下,
\(∴\)函数\(f(x)=x^2-4x+2\)在区间\([1,4]\)上的值域为\([-2,2]\).
(3) \(y=\dfrac{2(x+1)-3}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}\).
\(∵x>0\),\(∴x+1>1\),
\(\therefore 0<\dfrac{1}{x+1}<1\), \(\therefore-1<2-\dfrac{3}{x+1}<2\).
\(∴\)函数 \(y=\dfrac{2 x-1}{x+1}(x>0)\)的值域为\((-1,2)\).
(4) 令 \(\sqrt{1-x}=t\),\(t≥0\),(要注意新变量\(t\)的取值范围)
则\(x=1-t^2\),
则 \(y=1-t^2-2t+1=-t^2-2t+2\),其在\([0,+∞)\)上的值域是\(y≤2\),
(把函数转化为二次函数值域问题)
即函数 \(f(x)=x-2 \sqrt{1-x}+1\)的值域为\((-∞,2]\).
点拨 求函数的值域方法多样,第(2)题采取数形结合的方法;第(3)题采取分离常数法,多用于形如 \(y==\dfrac{a \cdot g(x)+b}{c \cdot g(x)+d}\)的函数,比如求函数 \(y=\dfrac{x^{2}+1}{4 x^{2}-2}, y=\dfrac{3 \cdot 2^{x}+4}{2^{x}-1}\)的值域;第(4)题采取换元法,要注意”新元”的范围.
巩固练习
1.设\(a>0\),若函数 \(y=\dfrac{8}{x}\),当\(x∈[a,2a]\)时,\(y\)的范围为\(\left[\dfrac{a}{4}, 2\right]\),则\(a\)的值为( )
A.\(2\) \(\qquad \qquad\) B.\(4\)\(\qquad \qquad\) C.\(6\) \(\qquad \qquad\) D.\(8\)
2.函数\(f(x)=x^2-4x(-1⩽x⩽a)\)的值域为\([-4,5]\),则实数\(a\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\).
3.函数 \(f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}(x \geq 1)\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\).
4.求函数 \(y=2 x+\sqrt{1-2 x}\)的值域.
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 \(∵a>0\),函数 \(y=\dfrac{8}{x}\),当\(x∈[a,2a]\)时,\(y\)的范围为\(\left[\dfrac{a}{4}, 2\right]\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} \dfrac{8}{a}=2 \\ \dfrac{8}{2 a}=\dfrac{a}{4} \end{array}\right.\),解得\(a=4\).故选:\(B\). - 答案 \([2,5]\)
解析 \(f(x)=(x-2)^2-4\),对称轴为\(x=2\),由\((x-2)^2-4=5\),得\(x=5\)或\(x=-1\),
\(∵f(-1)=5\),\(f(2)=-4\),\(∴2≤a≤5\),即实数\(a\)的取值范围是\([2,5]\). - 答案 \([0,1)\)
解析 \(f(x)=\dfrac{x+3-4}{x+3}=\dfrac{x+3}{x+3}-\dfrac{4}{x+3}=1-\dfrac{4}{x+3}\),
当\(x≥1\)时, \(0<\dfrac{4}{x+3} \leq 1\), \(0 \leq 1-\dfrac{4}{x+3}<1\),即函数的值域为\([0,1)\). - 答案 \(\left(-\infty, \dfrac{5}{4}\right]\)
解析 令 \(t=\sqrt{1-2 x} \quad(t \geq 0)\),则 \(\mathcal{x}=\dfrac{1-t^{2}}{2}\),
\(\therefore y=-t^{2}+t+1=-\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{4}\),
\(∵\)当 \(t=\dfrac{1}{2}\),即 \(x=\dfrac{3}{8}\)时 \(y_{\max }=\dfrac{5}{4}\),无最小值.
\(∴\)函数 \(y=2 x+\sqrt{1-2 x}\)的值域为 \(\left(-\infty, \dfrac{5}{4}\right]\).
分层练习
【A组---基础题】
1.下列图形中,不能表示以\(x\)为自变量的函数图象的是( )
A. B.
C.
D.
2.下列变量\(x\)与\(y\)的关系式中,不能构成\(y\)是\(x\)的函数关系的是( )
A.\(x-y=1\) \(\qquad \qquad\) B.\(x^2-y=1\) \(\qquad \qquad\) C.\(x-2y^2=1\) \(\qquad \qquad\) D. \(\sqrt{x}-2 y=1\)
3.函数\(f(x)=x+1,x∈\{-1,1,2\}\)的值域是( )
A.\(0,2,3\) \(\qquad \qquad\) B .\(0≤y≤3\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{0,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) D.\([0,3]\)
4.下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A. \(f(x)=x^2,g(x)=x^3\) \(\qquad \qquad\) B. \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=(\sqrt{x})^{2}\)
C. \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}, g(x)=x\) \(\qquad \qquad\) D.\(f(x)=|x|\), \(g(x)=\left\{\begin{array}{l}
x, x \geq 0 \\
-x, x<0
\end{array}\right.\)
5.函数 \(f(x)=2^{x}+\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\).
6.若函数\(y=f(x)\)的定义域是\([-2,3]\),则函数\(y=f(x-1)\)的定义域是\(\underline{\quad \quad}\).
7.已知函数\(f(x)=\dfrac{1}{x^{2}+2}\),则\(f(x)\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\).
8.若函数\(y=x^2-4x-4\)的定义域为\([0,m]\),值域为\([-8,-4]\),则\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
9.若函数 \(y=\dfrac{2 x+3}{x+2}\)的值域是\(\underline{\quad \quad}\).
10.函数\(y=x+\sqrt{2-x}\)的值域为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
-
答案 \(B\)
解析 \(B\)中,当\(x>0\)时,\(y\)有两个值和\(x\)对应,不满足函数\(y\)的唯一性,\(A,C,D\)满足函数的定义,故选:\(B\) -
答案 \(C\)
解析 \(A\).由\(x-y=1\)得\(y=x-1\)是函数关系.
\(B\).由 \(x^2-y=1\),得\(y=x^2-1\)是函数关系,
\(C\).由\(x-2y^2=1\),得 \(y^{2}=\dfrac{1}{2}(x-1)\),此时\(y\)值不唯一,不是函数关系,
\(D\).由 \(\sqrt{x}-2 y=1\),得 \(y=\dfrac{1}{2}(\sqrt{x}-1)\)是函数关系,故选:\(C\). -
答案 \(C\)
解析 \(∵f(x)=x+1,x∈\{-1,1,2\}\)
\(∴\)当\(x=-1\)时,\(f(-1)=0\);当\(x=1\)时,\(f(1)=2\);当\(x=2\)时,\(f(2)=3\)
\(∴\)函数\(f(x)=x+1,x∈\{-1,1,2\}\)的值域是\(\{0,2,3\}\),故选:\(C\). -
答案 \(D\)
解析 \(A\).\(f(x)=x^2,g(x)=x^3\),解析式不同,不是同一函数;
\(B\). \(f(x)=\sqrt{x^{2}}, g(x)=(\sqrt{x})^{2}\),解析式不同,不是同一函数;
\(C\). \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{x}\)的定义域为\(\{x|x≠0\}\),\(g(x)=x\)的定义域为\(R\),定义域不同,不是同一函数;
\(D\). \(f(x)=|x|= \begin{cases}x & x \geq 0 \\ -x & x<0\end{cases}\), \(g(x)=\left\{\begin{array}{l} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{array}\right.\),解析式和定义域都相同,表示同一函数.故选:\(D\). -
答案 \([-2,0)∪(0,2]\)
解析 要使\(f(x)\)有意义,则 \(\left\{\begin{array}{l} 4-x^{2} \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array}\right.\);解得\(-2≤x≤2\),且\(x≠0\);
\(∴f(x)\)的定义域为\([-2,0)∪(0,2]\). -
答案 \([-1,4]\)
解析 ∵函数\(y=f(x)\)的定义域是\([-2,3]\),
\(∴\)由\(-2≤x-1≤3\),解得\(-1≤x≤4\).\(∴\)函数\(y=f(x-1)\)的定义域是\([1,4]\). -
答案 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right]\)
解析 \(\because x^{2}+2 \geq 2\);\(\therefore 0<\dfrac{1}{x^{2}+2} \leq \dfrac{1}{2}\)\(∴f(x)\)的值域为 \(\left(0, \dfrac{1}{2}\right]\). -
答案 \([2,4]\)
解析 函数\(y=x^2-4x-4\)的图象是开口向上,且以直线\(x=2\)为对称轴的抛物线
\(∴f(0)=f(4)=-4\),\(f(2)=-8\)
\(∵\)函数\(y=x^2-4x-4\)的定义域为\([0,m]\),值域为\([-8,-4]\),
\(∴2≤m≤4\),即\(m\)的取值范围是\([2,4]\). -
答案 \((-∞,2)∪(2,+∞)\)
解析 \(\because y=2-\dfrac{1}{x+2}\), \(∴y≠2\),\(∴\)函数的值域是:\((-∞,2)∪(2,+∞)\). -
答案 \(\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right]\)
解析由题意:函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\),
令 \(t=\sqrt{2-x}\),则函数\(t\)的值域为\([0,+∞)\),可得:\(x=2-t^2\) ,
那么:函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)转化为\(f(t)=2-t^2+t\),开口向下,对称轴 \(t=\dfrac{1}{2}\),
\(∵t≥0\),\(∴\)当 \(t=\dfrac{1}{2}\)时,函数\(f(t)\)取得最大值为 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)_{\max }=\dfrac{9}{4}\),
即函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)的最大值为 \(\dfrac{9}{4}\).
\(∴\)函数 \(y=x+\sqrt{2-x}\)的值域为 \(\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right]\).
【B组---提高题】
1.存在函数\(f(x)\)满足:对任意\(x∈R\)都有( )
A.\(f(|x|)=x\) \(\qquad \qquad\) B.\(f(|x|)=x^2+2x\) \(\qquad \qquad\)
C.\(f(|x+1|)=x\) \(\qquad \qquad\) D.\(f(|x+1|)=x^2+2x\)
2.函数 \(y=\sqrt{\dfrac{2+x}{1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}\)的定义域是( )
A.\([-2,-1]\) \(\qquad \qquad\) B.\([-2,1]\) \(\qquad \qquad\) C.\([2,+∞)\) \(\qquad \qquad\) D.\((-∞,1)∪(1,+∞)\)
3.已知 \(f(x+1)=\sqrt{1-x^{2}}\),则\(f(2x-1)\)的定义域为\(\underline{\quad \quad}\).
4.对于函数 \(f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x}\),存在一个正数\(b\),使得\(f(x)\)的定义域和值域相同,则非零实数\(a\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
5.已知函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-1}{2 x-1}\),则 \(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2}{2015}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2013}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
6.已知函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)的定义域和值域都是\([2,b](b>2)\),则实数\(b\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
7.求函数 \(y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}\left(x>\dfrac{1}{2}\right)\)的值域.
8.求函数 \(f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}\)的值域.
9.求函数 \(f(x)=(x^2-2x-3)(x^2-2x-5)\)的值域.
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 在\(A\)中,取\(x=1\),则\(f(1)=1\),取\(x=-1\),则\(f(1)=-1\),不成立;
在\(B\)中,令\(|x|=t\),\(t≥0\),\(x=±t\),取\(x=1\),则\(f(1)=3\),取\(x=-1\),则\(f(1)=-1\),不成立;
在\(C\)中,令\(|x+1|=t\),\(t≥0\),则 \(x^2+2x=t^2-1\),
\(∴f(t)=t^2-1\),即\(f(x)=x^2-1\),故\(C\)不成立,\(D\)成立.
故选:\(D\). - 答案 \(A\)
解析 由 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{2+x}{1-x} \geq 0 (1) \\ x^{2}-x-2 \geq 0 (2) \end{array}\right.\),解①得:\(-2≤x<1\).解②得:\(x≤-1\)或\(x≥2\).
\(∴\)函数 \(y=\sqrt{\dfrac{2+x}{1-x}}+\sqrt{x^{2}-x-2}\)的定义域是\([-2,-1]\).
故选:\(A\). - 答案 \(\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)
解析 函数 \(f(x+1)=\sqrt{1-x^{2}}\)有意义,
则必须满足\(1-x^2≥0\),即\(-1≤x≤1\),从而\(0≤x+1≤2\),
所以函数\(f(x)\)的定义域为\([0,2]\),
那么\(f(2x-1)\)的应满足\(0≤2x-1≤2\),由此 \(\dfrac{1}{2} \leq x \leq \dfrac{3}{2}\). - 答案 \(-4\)
解析 由题意:函数 \(f(x)=\sqrt{a x^{2}+b x}\),
若\(a>0\),由于\(ax^2+bx≥0\),即\(x(ax+b)≥0\),
\(∴\)对于正数\(b\),\(f(x)\)的定义域为: \(D=\left(-\infty,-\dfrac{b}{a}\right] \cup[0,+\infty)\),
但\(f(x)\)的值域\(A⊆[0,+∞)\),故\(D≠A\),不合要求.
若\(a<0\),对于正数\(b\),\(f(x)\)的定义域为 \(D=\left[0,-\dfrac{b}{a}\right]\).
由于此时函数 \(f(x)_{\max }=f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=\sqrt{a \times\left(\dfrac{b}{2 a}\right)^{2}+b \times\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)}=\sqrt{\dfrac{-b^{2}}{4 a}}=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\).
故函数的值域 \(A=\left[0, \dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\right]\),
由题意,有: \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{b}{2} \sqrt{\dfrac{1}{-a}}\),由于\(b>0\),解得:\(a=-4\). - 答案 \(4028\)
解析 因为\(f(x)=\dfrac{4 x-1}{2 x-1}=\dfrac{2(2 x-1)+1}{2 x-1}=2+\dfrac{1}{2 x-1}\), \(f(1-x)=2+\dfrac{1}{2(1-x)-1}=2-\dfrac{1}{2 x-1}\)
\(f(x)+f(1-x)=4\),\(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=4 \cdots f\left(\dfrac{1007}{2015}\right)+f\left(\dfrac{1008}{2015}\right)=4\)
所以 \(f\left(\dfrac{1}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2}{2015}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{2013}{2015}\right)+f\left(\dfrac{2014}{2015}\right)=4 \times 1007=4028\). - 答案 \(3\)
解析 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-2}{x-1}=-\dfrac{2}{x-1}+4\),
其图象如图,
由图可知,函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)在\([2,b]\)上为增函数,
又函数 \(f(x)=\dfrac{4 x-6}{x-1}\)的定义域和值域都是\([2,b](b>2)\),
\(\therefore f(b)=\dfrac{4 b-6}{b-1}=b\),解得:\(b=3\).故答案为:\(3\). - 答案 \(\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)\)
解析 \(y=\dfrac{2 x^{2}-x+1}{2 x-1}=\dfrac{x(2 x-1)+1}{2 x-1}=x+\dfrac{1}{2 x-1}=x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2 x-1}+\dfrac{1}{2}\)
\(\because x>\dfrac{1}{2}\), \(\therefore x-\dfrac{1}{2}>0\)
\(\therefore x-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}} \geq 2 \sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \times \dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{2}\),
当且仅当 \(x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{x-\dfrac{1}{2}}\)时,即\(x=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\)时等号成立, \(\therefore y \geq \sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\) ,
所以原函数的值域为 \(\left[\dfrac{1}{2}+\sqrt{2},+\infty\right)\). - 答案 \([-1,3]\)
解析 \(\because f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+1}+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=1+\dfrac{4 x}{x^{2}+1}\).
\(∴\)当\(x=0\)时,\(f(x)=1\);
当\(x>0\)时, \(\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}} \leq \dfrac{4}{2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}}}=2\),当且仅当\(x=1\)时“\(=\)”成立;
当\(x<0\)时,\(\dfrac{4 x}{x^{2}+1}=\dfrac{4}{x+\dfrac{1}{x}}=\dfrac{4}{-\left(-x+\dfrac{1}{-x}\right)} \geq \dfrac{4}{-2 \sqrt{(-x) \cdot \dfrac{1}{-x}}}=-2\),当且仅当\(x=-1\)时取“\(=\)”.
\(∴\)函数\(f(x)=\dfrac{x^{2}+4 x+1}{x^{2}+1}\)的值域为\([-1,3]\). - 答案 \([-1,+∞)\)
解析 原函数可化为 \(y=\left[(x-1)^{2}-4\right]\left[(x-1)^{2}-6\right]\),
令 \(t=(x-1)^2≥0\),则 \(y=t^2-10t+24=(t-5)^2-1≥-1\),且当\(t=5\)时取等号,
所以\(y≥-1\).故函数的值域为\([-1,+∞)\).
【C组---拓展题】
1.函数 \(y=\dfrac{1}{a x^{2}+4 a x+3}\)的定义域为\((-∞,+∞)\),则实数\(a\)的取值范围是( )
A.\((-∞,+∞)\) \(\qquad \qquad\) B. \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right)\) \(\qquad \qquad\) C. \(\left(\dfrac{3}{4},+\infty\right)\) \(\qquad \qquad\) D. \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right]\)
2.(多选)已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^{4}+2 x^{2}+a}{x^{2}+1}(x \in \boldsymbol{R})\)的值域为\([m,+∞)\),则实数\(a\)与实数\(m\)的取值可能为( )
A.\(a=0,m=0\) \(\qquad \qquad\) B.\(a=1,m=1\) \(\qquad \qquad\)C.\(a=3,m=3\) \(\qquad \qquad\) D. \(a=\sqrt{2}, m=\sqrt{2}\)
3.已知函数 \(f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\).
(1)求\(f(2)\)与 \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\),\(f(3)\)与 \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)\);
(2)由(1)中求得结果,你能发现\(f(x)\)与 \(\left(\dfrac{1}{x}\right)\)有什么关系?并证明你的发现;
(3)求 \(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(2013)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+f\left(\dfrac{1}{2013}\right)\).
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 \(f(x)\)的定义域为\((-∞,+∞)\);
\(∴\)不等式\(ax^2+4ax+3>0\)恒成立,或\(ax^2+4ax+3<0\)恒成立;
①\(a=0\)时,\(3>0\)恒成立,满足题意;
②\(a≠0\)时,\(△=16a^2-12a<0\);解得 \(0<a<\dfrac{3}{4}\);
综上得,实数\(a\)的取值范围为 \(\left[0, \dfrac{3}{4}\right)\).故选:\(B\). - 答案 \(ABD\)
解析 \(f(x)=\dfrac{x^{2}\left(x^{2}+1\right)+x^{2}+1+a-1}{x^{2}+1}=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1}\)
①\(a-1=0\),即\(a=1\)时,\(f(x)=x^2+1≥1\),
又\(f(x)\)的值域为\([m,+∞)\),\(∴m=1\);
②\(0<a-1≤1\),即\(1<a≤2\)时,函数 \(y=x+\dfrac{a-1}{x}\)在\([1,+∞)\)上单调递增,
\(\therefore f(x)=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1} \geq 1+a-1=a\),
又\(f(x)\)的值域为\([m,+∞)\),\(∴m=a\),
\(\therefore a=\sqrt{2}, m=\sqrt{2}\)满足题意;
③\(a-1>1\),即\(a>2\)时,
函数 \(y=x+\dfrac{a-1}{x}\)\(在[1,a-1)\)上单调递减,在\((a-1,+∞)\)上单调递增,
\(\therefore f(x)=x^{2}+1+\dfrac{a-1}{x^{2}+1} \geq f(a-1)=a^{2}-2 a+2+\dfrac{a-1}{a^{2}-2 a+2}\),
\(\therefore m=a^{2}-2 a+2+\dfrac{a-1}{a^{2}-2 a+2}\),
\(∴a=3\)时, \(m=\dfrac{27}{5}\),即\(a=3,m=3\)错误;
④a=0时, \(y=x-\dfrac{1}{x}\)在\([1,+∞)\)上单调递增, \(f(x)=x^{2}+1-\dfrac{1}{x^{2}+1} \geq 0\),\(∴m=0\).
故选:\(ABD\). - 答案 (1) \(f(2)=\dfrac{4}{5}, \quad f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{5}, \quad f(3)=\dfrac{9}{10}, \quad f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{10}\) (2) \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1\) (3) \(\dfrac{4025}{2}\)
解析 (1) \(\because f(x)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}\), \(\therefore f(2)=\dfrac{2^{2}}{1+2^{2}}=\dfrac{4}{5}\), \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}=\dfrac{1}{5}\),
\(f(3)=\dfrac{3^{2}}{1+3^{2}}=\dfrac{9}{10}\), \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}}=\dfrac{1}{10}\).
(2)由(1)发现 \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=1\).
证明如下: \(f(x)+f\left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2}}=\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}+\dfrac{1}{1+x^{2}}=1\).
(3) \(f(1)=\dfrac{1^{2}}{1+1^{2}}=\dfrac{1}{2}\).
由(2)知 \(f(2)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1, f(3)+f\left(\dfrac{1}{3}\right)=1, \ldots, f(2013)+f\left(\dfrac{1}{2013}\right)=1\),
\(∴\)原式 \(=\dfrac{1}{2}+\underbrace{1+1+1+\cdots+1}_{2012 \text { 个 }}=2012+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4025}{2}\).