2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步拔高，难度 2 颗星！

基础知识

一元二次不等式及其解法

① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以 $a>0$ 为例)

② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；
③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.

【例】 填表

解析

 

【练 1】 二次不等式 $ax^2+bx+c<0$ 的解集是 R 的条件是 (　　)
 A． $\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \Delta>0 \end{array}\right.$ $\qquad \qquad$ B． $\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \Delta<0 \end{array}\right.$ $\qquad \qquad$ C． $\left\{\begin{array}{l} a<0 \\ \Delta>0 \end{array}\right.$ $\qquad \qquad$ D． $\left\{\begin{array}{l} a<0 \\ \Delta<0 \end{array}\right.$
解析 由题意可知二次不等式 $ax^2+bx+c<0$，
对应的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 开口向下，所以 $a<0$
二次不等式 $ax^2+bx+c<0$ 的解集是 $R$，所以 $△<0$．
故选：$D$．
 

【练 2】 解不等式
(1)$x^2-x-6≤0$ $\qquad$ (2) $x^2-3x+4<0$ $\qquad$ (3) $x^2-4x+4>0$
解析 (1) $-2≤x≤3$ $\qquad$ (2) $∅$ $\qquad$ (3)$x≠2$
 

一元二次不等式的应用

分式不等式的解法
解分式不等式可等价为有理整式不等式 (组) 求解.
由于 $\dfrac{a}{b}>0$ 与 $ab>0$ 均意味 $a,b$ 同号，故 $\dfrac{a}{b}>0$ 与 $ab>0$ 等价的；
$\dfrac{a}{b}<0$ 与 $ab<0$ 均意味 $a,b$ 异号，故 $\dfrac{a}{b}<0$ 与 $ab<0$ 等价的；
可得① $\dfrac{f(x)}{g(x)}>0 \Rightarrow f(x) g(x)>0$， $\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \Rightarrow f(x) g(x) \geq 0$ 且 $g(x)≠0$.
比如   $\dfrac{x-1}{x-2}>0 \Rightarrow(x-1)(x-2)>0$; $\dfrac{x-1}{x-2} \geq 0 \Rightarrow(x-1)(x-2) \geq 0$ 且 $x-2≠0$.
② $\dfrac{f(x)}{g(x)}<0 \Rightarrow f(x) g(x)<0$， $\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0 \Rightarrow f(x) g(x) \leq 0$ 且 $g(x)≠0$.
比如   $\dfrac{x-1}{x-2}<0 \Rightarrow(x-1)(x-2)<0$ ; $\dfrac{x-1}{x-2} \leq 0 \Rightarrow(x-1)(x-2) \leq 0$ 且 $x-2≠0$.
 

【例】 解不等式 $\dfrac{x+1}{x-2}<0$ 的解集是 $\underline{\quad \quad}$.
解析 不等式 $\dfrac{x+1}{x-2}<0$，等价于 $(x+1)(x-2)<0$，解得 $-1<x<2$.
 

【练】 解不等式 $\dfrac{x-1}{x-3} \leq 0$ 的解集是 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 不等式 $\dfrac{x-1}{x-3} \leq 0$，等价于 $\left\{\begin{array}{l} (x-1)(x-3) \leq 0 \\ x-3 \neq 0 \end{array}\right.$，解得 $1≤x<3$.
． 

基本方法

【题型1】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系

【典题 1】 解下列不等式：
(1) $-\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{7}{2} x-5<0$； (2) $4 x^{2}+18 x+\dfrac{81}{4}>0$； (3) $\dfrac{x-2}{x+3} \geq 2$.
解析
(1) 二次项系数化为 $1$ 得：$x^2-7x+10>0$，
十字相乘得：$(x-2)(x-5)>0$，解得 $x>5$ 或 $x<2$.
(2) $4 x^{2}+18 x+\dfrac{81}{4}>0 \Leftrightarrow\left(2 x+\dfrac{9}{2}\right)^{2}>0$，
结合二次函数图像易得不等式解集是 $\{x|x≠-9/4\}$.
(3) 不等式 $\dfrac{x-2}{x+3} \geq 2 \Leftrightarrow \dfrac{x-2}{x+3}-2 \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-x-8}{x+3} \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x+8}{x+3} \leq 0$，
等价于 $\left\{\begin{array}{l} (x+8)(x+3) \leq 0 \\ x+3 \neq 0 \end{array}\right.$，解得 $-8≤x<-3$.
点拨
1. 求解不等式 $ax^2+bx+c>0($ 或 $<0)$，其中 $a>0$，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解；
2. 求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨.
 

【典题 2】若不等式 $2 k x^{2}+k x-\dfrac{3}{8} \geq 0$ 的解集为空集，则实数 $k$ 的取值范围是 ( )
 A．$(-3,0)$ $\qquad \qquad$ B．$(-∞,-3)$ $\qquad \qquad$ C．$(-3,0]$ $\qquad \qquad$ D．$(-∞,-3)∪(0,+∞)$
解析 由题意可知 $2 k x^{2}+k x-\dfrac{3}{8}<0$ 恒成立，当 $k=0$ 时成立，
当 $k≠0$ 时需满足 $\left\{\begin{array}{l} k<0 \\ \Delta<0 \end{array}\right.$，代入求得 $-3<k<0$，
所以实数 $k$ 的取值范围是 $(-3,0]$.
点拨 注意二次系数是否为 $0$，涉及到一元二次不等式可理解二次函数图像进行分析.
 

【典题 3】 若不等式 $ax^2+2x+c<0$ 的解集是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$，则不等式 $cx^2-2x+a≤0$ 的解集是 (　　)
 A． $\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}\right]$ $\qquad \qquad$ B．$\left[-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right]$ $\qquad \qquad$ C．$[-2,3]$ $\qquad \qquad$ D．$[-3,2]$
解析 不等式 $ax^2+2x+c<0$ 的解集是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$，
$\therefore-\dfrac{1}{3}$ 和 $\dfrac{1}{2}$ 是方程 $ax^2+2x+c=0$ 的两个实数根，
由韦达定理得 $\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{a} \\ -\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{a} \end{array}\right.$，解得 $a=-12，c=2$，
故不等式 $cx^2-2x+a≤0$，即 $2x^2-2x-12≤0$，解得 $-2≤x≤3$，
所以所求不等式的解集是 $[-2,3]$，
故选：$C$．
 

巩固练习

1. 下列不等式的解集是空集的是 ( )
 A．$x^2-x+1>0$ $\qquad \qquad$ B．$-2x^2+x+1>0$ $\qquad \qquad$ C．$2x-^2>5$ $\qquad \qquad$ D．$x^2+x>2$
 

2. 若不等式 $kx^2+2kx+2<0$ 的解集为空集，则实数 $k$ 的取值范围是 (　　)
 A．$0<k<2$ $\qquad \qquad$ B．$0≤k<2$ $\qquad \qquad$ C．$0≤k≤2$ $\qquad \qquad$ D．$k>2$
 

3. 关于 $x$ 的不等式 $x^2+ax-3<0$，解集为 $(-3,1)$，则不等式 $ax^2+x-3<0$ 的解集为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

4. 不等式 $2x^2-x-3>0$ 的解集为 $\underline{\quad \quad}$.
 

5. 不等式 $\dfrac{x}{2 x-1}>1$ 的解集为 $\underline{\quad \quad}$.
 

6. 若不等式 $ax^2+5x-2>0$ 的解集是 $\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<x<2\right\}$
(1) 求不等式 $ax^2+5x-2>0$ 的解集．
(2) 已知二次不等式 $ax^2+bx+c<0$ 的解集为 $\{x \mid x<\dfrac{1}{3}$ 或 $x>\dfrac{1}{2}\}$，求关于 $x$ 的不等式 $cx^2-bx+a>0$ 的解集．
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
2. 答案 $C$
   解析 当 k=0 时，满足题意；
   当 $k>0$ 时，$△=4k^2-8k≤0$，解得 $0<k≤2$；
   $∴$ 实数 $k$ 的取值范围是 $0≤k≤2$．故选：$C$．
3. 答案 $\left\{x \mid-\dfrac{3}{2}<x<1\right\}$
   解析 由题意知，$x=-3，x=1$ 是方程 $x^2+ax-3=0$ 的两根，
   可得 $-3+1=-a$，解得 $a=2$；
   所以不等式为 $2x^2+x-3<0$，即 $(2x+3)(x-1)<0$，解得 $-\dfrac{3}{2}<x<1$，
   所以不等式的解集为 $\left\{x \mid-\dfrac{3}{2}<x<1\right\}$
4. 答案 $\left\{x \mid x>\dfrac{3}{2}\right.$ 或 $x<-1\}$
   解析 $2 x^{2}-x-3>0 \Rightarrow(2 x-3)(x+1)>0 \Rightarrow x>\dfrac{3}{2}$ 或 $x<-1$.
5. 答案 $\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<x<1\right\}$
   解析 原不等式等价于 $\dfrac{x}{2 x-1}-1>0$，即 $\dfrac{x-(2 x-1)}{2 x-1}>0$，整理得 $\dfrac{x-1}{2 x-1}<0$，
   不等式等价于 $(2x-1)(x-1)<0$，解得 $\dfrac{1}{2}<x<1$．
6. 答案 (1) $\left\{x \mid-3<x<\dfrac{1}{2}\right\}$ (2) $\{x|-3<x<-2\}$
   解析 (1) 因为等式 $ax^2+5x-2>0$ 的解集是 $\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<x<2\right\}$，
   所以 $\dfrac{1}{2}$ 和 $2$ 是一元二次方程 $ax^2+5x-2=0$ 的两根，
   $\therefore \dfrac{1}{2} \times 2=-\dfrac{2}{a}$，解得 $a=-2$，
   $∴$ 不等式 $ax^2+5x-2=0$ 可化为 $-2x^2-5x+3>0$，即 $2x^2+5x-3<0$，
   $∴(2x-1)(x-3)<0$，解得 $-3<x<\dfrac{1}{2}$，
   所以不等式 $ax^2-5x+a^2-1>0$ 的解集为 $\left\{x \mid-3<x<\dfrac{1}{2}\right\}$；
   (2) 由 (1) 知 $a=-2$，$∴$ 二次不等式 $-2x^2+bx+c<0$ 的解集为 $\{x \mid x<\dfrac{1}{3}$ 或 $x>\dfrac{1}{2}\}$，
   $\therefore \dfrac{1}{3}$ 和 $\dfrac{1}{2}$ 是一元二次方程 $-2x^2+bx+c=0$ 的两根，
   $\therefore \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{b}{-2}, \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}=-\dfrac{c}{2}$，解得 $b=\dfrac{5}{3}, \quad c=-\dfrac{1}{3}$，
   所以不等式 $cx^2-bx+a>0$ 可化为： $-\dfrac{1}{3} x^{2}-\dfrac{5}{3} x-2>0$，
   即 $x^2+5x+6<0$，解得 $-3<x<-2$．
   所以关于 $x$ 的不等式 $cx^2-bx+a>0$ 的解集为 $\{x|-3<x<-2\}$．

【题型2】求含参一元二次不等式(选学)

角度 1 按二次项的系数 a 的符号分类，即 a>0，a=0 ，a<0
解不等式 $ax^2+(a+2) x+1>0$.
解析
(不确定不等式对应函数 $y=ax^2+(a+2) x+1$ 是否是二次函数，分 $a=0$ 与 $a≠0$ 讨论)
(1) 当 $a=0$ 时，不等式为 $2x+1>0$，解集为 $\left\{x \mid x>-\dfrac{1}{2}\right\}$；
(2) 当 $a≠0$ 时， $∵Δ=(a+2)^2-4a=a^2+4>0$
(二次函数 $y=ax^2+(a+2) x+1$ 与 $x$ 轴必有两个交点)
解得方程 $ax^2+(a+2) x+1=0$ 两根 $x_{1}=\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}, x_{2}=\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}$ ；
(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分 $a>0$ 与 $a<0$ 讨论)
(i) 当 $a>0$ 时，解集为 $\left\{x \mid x>\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right.$ 或 $\left.x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}$；
(ii) 当 $a<0$ 时，解集为 $\left\{x \mid \dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}<x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}$.(注意 $x_1,x_2$ 的大小)
综上，当 $a=0$ 时，解集为 $\left\{x \mid x>-\dfrac{1}{2}\right\}$；
当 $a>0$ 时，解集为 $\{x>\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}$ 或 $x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a} \}$；
当 $a<0$ 时，解集为 $\left\{x \mid \dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}<x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}$.
 

角度 2 按判别式的符号分类
解不等式 $x^2+ax+4>0$.
解析 $∵Δ=a^2-16$
(此时不确定二次函数 $y=x^2+ax+4$ 是否与 $x$ 轴有两个交点，对判别式进行讨论)
$∴$①当 $-4<a<4$，即 $Δ<0$ 时，解集为 $R$；
②当 $a=±4$，即 $Δ=0$ 时，解集为 $\left\{x \mid x \neq-\dfrac{a}{2}\right\}$；
③当 $a>4$ 或 $a<-4$，即 $Δ>0$ 时，此时两根为 $x_{1}=\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2}, x_{2}=\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}$ ，显然 $x_1>x_2$，
$∴$ 不等式的解集为 $\left\{x \mid x>\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right.$ 或 $\left.x<\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right\}$.
综上，当 $-4<a<4$ 时，解集为 $R$；
当 $a=±4$ 时，解集为 $\left\{x \mid x \neq-\dfrac{a}{2}\right\}$；
当 $a>4$ 或 $a<-4$ 时，解集为 $\left\{x \mid x>\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right.$ 或 $\left.x<\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right\}$.
 

角度 3 按方程的根大小分类
解不等式： $x^{2}-\left(a+\dfrac{1}{a}\right) x+1<0 \quad(a \neq 0)$.
解析 原不等式可化为： $(x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)<0$ ,
令 $(x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)=0$，得 $x_{1}=a, x_{2}=\dfrac{1}{a}$；
(因式分解很关键，此时确定 $y=(x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)$ 与 $x$ 轴有交点，$x_1 ,x_2$ 的大小影响不等式解集)
$∴$(i) 当 $x_1=x_2$ 时，即 $a=\dfrac{1}{a} \Rightarrow a=\pm 1$ 时，解集为 $ϕ$；
(ii) 当 $x_1<x_2$ 时，即 $a<\dfrac{1}{a} \Rightarrow a<-1$ 或 $0<a<1$ 时，解集为 $\left\{x \mid a<x<\dfrac{1}{a}\right\}$；
(iii) 当 $x_1>x_2$ 时，即 $a>\dfrac{1}{a} \Rightarrow-1<a<0$ 或 $a>1$ 时，解集为 $\left\{x \mid \dfrac{1}{a}<x<a\right\}$.
综上，当 $a=±1$ 时，解集为 $ϕ$；
当 $a<-1$ 或 $0<a<1$ 时，解集为 $\left\{x \mid a<x<\dfrac{1}{a}\right\}$；
当 $-1<a<0$ 或 $a>1$ 时， 解集为 $\left\{x \mid \dfrac{1}{a}<x<a\right\}$.
点拨
① 当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与 x 轴有交点，就不需要考虑判别式.
常见的形式有 $x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)$ , $x^{2}-\left(a+\dfrac{1}{a}\right) x+1=(x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)$，
$ax^2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)$ 等，若判别式 $Δ$ 是一个完全平方式，它就能做到 “较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；
② 在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.
 

巩固练习

1. 解关于 $x$ 的不等式 $12x^2-ax-a^2<0$.
 
 

2. 解关于 $x$ 的不等式 $x^2+2x+a>0$．
 
 

3. 若 $a∈R$，解关于 $x$ 的不等式 $ax^2+(a+1)x+1>0$．
 
 

参考答案

1. 解析 方程 $12x^2-ax-a^2=0$
   $∴(4x+a)(3x-a)=0$，即方程两根为 $x_{1}=-\dfrac{a}{4},x_{2}=\dfrac{a}{3}$，
   (1) 当 $a>0$ 时，$x_2>x_1$，不等式的解集是 $\left\{x \mid-\dfrac{a}{4}<x<\dfrac{a}{3}\right\}$；
   (2) 当 $a=0$ 时，$x_1=x_2$，不等式的解集是 $ϕ$；
   (3) 当 $a<0$ 时，$x_1<x_2$，不等式的解集 $\left\{x \mid \dfrac{a}{3}<x<-\dfrac{a}{4}\right\}$
2. 解析 方程 $x^2+2x+a=0$ 中 $△=4-4a=4(1-a)$，
   ①当 $1-a<0$ 即 $a>1$ 时，不等式的解集是 $R$，
   ②当 $1-a=0$，即 $a=1$ 时，不等式的解集是 $\{x|x≠-1\}$，
   ③当 $1-a>0$ 即 $a<1$ 时，
   由 $x^2+2x+a=0$ 解得： $x_{1}=-1-\sqrt{1-a}, x_{2}=-1+\sqrt{1-a}$，
   $∴a<1$ 时，不等式的解集是 $\{x \mid x>-1+\sqrt{1-a}$ 或 $x<-1-\sqrt{1-a}\}$，
   综上，$a>1$ 时，不等式的解集是 $R$，
   $a=1$ 时，不等式的解集是 $\{x|x≠-1\}$，
   $a<1$ 时，不等式的解集是 $\{x \mid x>-1+\sqrt{1-a}$ 或 $x<-1-\sqrt{1-a}\}$．
3. 解析 当 $a=0$ 时，$x>-1$．
   当 $a≠0$ 时， $a\left(x+\dfrac{1}{a}\right)(x+1)>0$．
   当 $a<0$ 时， $\left(x+\dfrac{1}{a}\right)(x+1)<0$，解得 $-1<x<-\dfrac{1}{a}$．
   当 $a>0$ 时， $\left(x+\dfrac{1}{a}\right)(x+1)>0$．
   当 $a=1$ 时，$x≠-1$．
   当 $0<a<1$ 时， $x<-\dfrac{1}{a}$，或 $x>-1$．
   当 $a>1$ 时，$x<-1$，或 $x>-\dfrac{1}{a}$．
   $∴$ 当 $a<0$ 时，解集是 $\left(-1,-\dfrac{1}{a}\right)$；
   当 $a=0$ 时，解集是 $(-1,+\infty)$；
   当 $0<a≤1$ 时，解集是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{a}\right) \cup(-1,+\infty)$；
   当 $a>1$ 时，解集是 $=(-\infty,-1) \cup\left(-\dfrac{1}{a},+\infty\right)$．

分层练习

【A组---基础题】

1. 下等式的解集为 R 的是 (　　)
 A．$x^2+x+1<0$ $\qquad \qquad$ B．$x^2+2x+1>0$ $\qquad \qquad$ C．$-x^2+x+1≤0$ $\qquad \qquad$ D．$x^2+x+1>0$
 

2. 不等式 $-x^2-5x+6≤0$ 的解集为 (　　)
 A．$\{x|x≥6$ 或 $x≤-1\}$ $\qquad \qquad$ B．$\{x|-1≤x≤6\}$ $\qquad \qquad$ C．$\{x|-6≤x≤1\}$ $\qquad \qquad$ D．$\{x|x≤-6$ 或 $x≥1\}$
 

3. 若不等式 $(m-1)x^2+(m-1)x+2>0$ 的解集是 $R$，则 $m$ 的范围是 ( )
 A．$(1,9)$ $\qquad \qquad$ B．$(-∞,1]∪(9,+∞)$ $\qquad \qquad$ C．$[1,9)$ $\qquad \qquad$ D．$(-∞,1)∪(9,+∞)$
 

4. 不等式 $-x^2+bx+c>0$ 的解集是 $\{x|-2<x<1\}$，则 $b+c-1$ 的值为 (　　)
 A．$2$ $\qquad \qquad$ B．$-1$ $\qquad \qquad$ C．$0$ $\qquad \qquad$ D．$1$
 

5. 关于 $x$ 的不等式 $x^2+ax+b≥0$ 的解集为 $\{x|x≤-3,$ 或 $x≥1\}$，则 $ab=$(　　)
 A．$12$ $\qquad \qquad$ B．$-12$ $\qquad \qquad$ C．$6$ $\qquad \qquad$ D．$-6$
 

6. 已知不等式 $ax^2-5x+b>0$ 的解集为 $\{x∣-3<x<2\}$，则不等式 $bx^2-5x+a>0$ 的解集为 ( )
 A．$\left\{x \mid-\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{1}{2}\right\}$ $\qquad \qquad$ B． $\{x \mid x<-\dfrac{1}{3}$ 或 $x>\dfrac{1}{2} \}$ $\qquad \qquad$
 C．$\{x∣-3<x<2\}$ $\qquad \qquad$ D． $\{x∣x<-3$ 或 $x>2\}$
 

7. 不等式 $\dfrac{2 x-3}{3 x-4} \leq 2$ 的解集是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}>0$ 恒成立，
   所以不等式 $x^2+x+1>0$ 的解集为 $R$，$D$ 正确．
   故选：$D$．
2. 答案 $D$
   解析 $-x^2-5x+6≤0⇔x^2+5x-6≥0$ $⇔(x+6)(x-1)≥0⇔x≥1$ 或 $x≤-6$，
   故选 $D$.
3. 答案 $C$
   解析 由 $(m-1)x^2+(m-1)x+2>0$ 解集为 $R$，即为恒成立，
   可得：(1) 当 $m-1=0,m=1$ 时；$2>0$ 成立；
   (2) 当 $m>1$ 时；$Δ<0$,$4(m-1)^2+8(m-1)<0$,$1<m<9$ 成立；
   (3) 当 $m<1$ 时；不成立.
   综上可得实数 $m$ 的取值范围 $[1,9)$.
4. 答案 $C$
   解析 由不等式 $-x^2+bx+c>0$ 的解集是 $\{x|-2<x<1\}$，
   得 $-2$ 和 $1$ 是方程 $-x^2+bx+c=0$ 的解，
   由根与系数的关系知， $\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{b}{-1}=-2+1 \\ \dfrac{c}{-1}=-2 \times 1 \end{array}\right.$，解得 $b=-1，c=2$；
   所以 $b+c-1=-1+2-1=0$．
   故选：$C$．
5. 答案 $D$
   解析 $∵$ 不等式 $x^2+ax+b≥0$ 的解集为 $\{x|x≤-3$ 或 $x≥1\}$，
   $\because\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-a \\ x_{1} x_{2}=b \end{array}\right.$；$∴a=2，b-3$；$∴ab=-6$．
   故选：$D$．
6. 答案 $B$
   解析 由题意可知 $ax^2-5x+b=0$ 的两个根为 $x_1=-3,x_2=2$，
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} -3+2=\dfrac{5}{a} \\ -3 \times 2=\dfrac{b}{a} \end{array}\right.$， $\therefore\left\{\begin{array}{l} a=-5 \\ b=30 \end{array}\right.$，
   不等式 $bx^2-5x+a>0$ 即为 $30x^2-5x-5>0$，
   解不等式得解集为 $\{x \mid x<-\dfrac{1}{3}$ 或 $x>\dfrac{1}{2} \}$.
7. 答案 $\left\{x \mid x>\dfrac{4}{3}\right.$ 或 $\left.x \leq \dfrac{5}{4}\right\}$
   解析 $\dfrac{2 x-3}{3 x-4} \leq 2 \Leftrightarrow \dfrac{2 x-3}{3 x-4}-2 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-4 x+5}{3 x-4} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{4 x-5}{3 x-4} \geq 0$
   $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} (4 x-5)(3 x-4) \geq 0 \\ 3 x-4 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow x>\dfrac{4}{3}\right.$ 或 $x \leq \dfrac{5}{4}$.

【B组---提高题】

1. 已知集合 $A=\{x|x^2-2x-3≤0\}$，集合 $B=\{x||x-1|≤3\}$，集合 $C=\left\{x \mid \dfrac{x-4}{x+5} \leq 0\right\}$，则集合 $A,B,C$ 的关系为 (　　)
 A．$B⊆A$ $\qquad \qquad$ B．$A=B$ $\qquad \qquad$ C．$C⊆B$ $\qquad \qquad$ D．$A⊆C$
 

2. 已知集合 $A=\{x|(1+mx)(x+n)>0\}=\{x|-2<x<1\}$，则 $n-m$ 等于 (　　)
  A．$1$ $\qquad \qquad$ B．$3$ $\qquad \qquad$ C．$-1$ $\qquad \qquad$ D．$-3$
 

3. 已知关于 $x$ 的不等式 $a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)$ 的解集是 $(x_1,x_2)(x_1<x_2)$，则下列结论中错误的是 (　　)
  A．$x_1+x_2=2$ $\qquad \qquad$ B．$x_1 x_2<-3$ $\qquad \qquad$ C．$x_2-x_1>4$ $\qquad \qquad$ D．$-1<x_1<x_2<3$
 

4. 已知关于 $x$ 的不等式 $\dfrac{a x-1}{x+1}<0$ 的解集是 $(-\infty,-1) \cup\left(-\dfrac{1}{2},+\infty\right)$. 则 $a=$$\underline{\quad \quad}$.
 

5. 已知不等式 $ax^2+bx+c>0$ 的解集是 $\{x|α<x<β\}$，$α>0$，则不等式 $cx^2+bx+a>0$ 的解集是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

6. 关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^2-6x+a≤0(a∈Z)$ 的解集中有且仅有 $3$ 个整数，则 $a$ 的取值是 $\underline{\quad \quad}$.
 

7. 若不等式 $x^2-(a+1)x+a≤0$ 的解集是 $[-3,4]$ 的子集，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

8. 解关于 $x$ 的不等式：$mx^2-(m-2)x-2>0$
 
 

9. 关于 $x$ 的不等式 $(ax-1)^2<x^2$ 恰有 $2$ 个整数解，求实数 $a$ 的取值范围.
 
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $∵x^2-2x-3≤0$，即 $(x-3)(x+1)≤0$，
   $∴-1≤x≤3$，则 $A=[-1,3]$，
   又 $|x-1|≤3$，即 $-3≤x-1≤3$，
   $∴-2≤x≤4$，则 $B=[-2,4]$，
   $\because \dfrac{x-4}{x+5} \leq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} (x-4)(x+5) \leq 0 \\ x+5 \neq 0 \end{array}\right.$，$∴-5<x≤4$，则 $C=(-5,4]$，$∴A⊆C$，$B⊆C$，故选：$D$．

2. 答案 $B$
   解析 由题意知 $x=-2、x=1$ 是方程 $(1+mx)(x+n)=0$ 的两根，
   代入方程得 $\left\{\begin{array}{l} (1-2 m)(-2+n)=0 \\ (1+m)(1+n)=0 \end{array}\right.$，解得 $m=-1、n=2$；
   所以 $n-m=3$．故选：$B$．

3. 答案 $D$
   解析 由关于 $x$ 的不等式 $a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)$ 的解集是 $(x_1,x_2)(x_1<x_2)$，
   $∴a<0$，$x_1,x_2$ 是一元二次方程 $ax^2-2ax+1-3a=0$．
   $∴x_1+x_2=2$， $x_{1} x_{2}=\dfrac{1-3 a}{a}=\dfrac{1}{a}-3<-3$．
   $x_{2}-x_{1}=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}$$=\sqrt{4-4 \times \dfrac{1-3 a}{a}}=2 \sqrt{4-\dfrac{1}{a}}>4$．
   由 $x_2-x_1>4$，可得：$-1<x_1<x_2<4$ 是错误的．
   故选：$D$．

4. 答案 $-2$
   解析 由不等式判断可得 $a≠0$ 且不等式等价于 $a(x+1)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)<0$
   由解集特点可得 $a<0$ 且 $\dfrac{1}{a}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=-2$.

5. 答案 $\left\{x \mid \dfrac{1}{\beta}<x<\dfrac{1}{\alpha}\right\}$
   解析 不等式 $ax^2+bx+c>0$ 的解集是 $\{x|α<x<β\}(α>0)$，
   则 $α，β$ 是一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的实数根，且 a$<0$；
   $\therefore \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \quad \alpha \beta=\dfrac{c}{a}$；
   $∴$ 不等式 $cx^2+bx+a>0$ 化为 $\dfrac{c}{a} x^{2}+\dfrac{b}{a} x+1<0$，
   $\therefore \alpha \beta x^{2}-(\alpha+\beta) x+1<0$；化为 $(αx-1)(βx-1)<0$；
   又 $0<α<β$， $\therefore \dfrac{1}{\alpha}>\dfrac{1}{\beta}>0$；
   $∴$ 不等式 $cx^2+bx+a<0$ 的解集为 $\left\{x \mid \dfrac{1}{\beta}<x<\dfrac{1}{\alpha}\right\}$.

6. 答案 $6,7,8$
   解析 设 $f(x)=x^2-6x+a$，其图象是开口向上，对称轴是 $x=3$ 的抛物线，如图所示；
   
   若关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^2-6x+a≤0$ 的解集中有且仅有 $3$ 个整数，
   则 $\left\{\begin{array}{l} f(2) \leq 0 \\ f(1)>0 \end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l} 4-12+a \leq 0 \\ 1-6+a>0 \end{array}\right.$，解得 $5<a≤8$，
   又 $a∈Z$，所以 $a=6,7,8$．

7. 答案 $\{a|-3≤a≤4\}$
   解析 关于 $x$ 的不等式 $x^2-(a+1)x+a<0$ 化为 $(x-1)(x-a)<0$，
   其解集是 $[-3,4]$ 的子集，
   当 $a=1$ 时，不等式为 $(x-1)^2<0$，其解集为空集，符合题意；
   当 $1<a≤4$ 时，不等式的解集为 $\{x|1<x<a\}$，也符合题意；
   当 $a<1$ 时，不等式的解集为 $\{x|a<x<1\}$，应满足 $a≥-3$；
   当 $a>4$ 时，不等式的解集为 $\{x|1<x<a\}$，此时不满足题意；
   综上，实数 $a$ 的取值范围是 $\{a|-3≤a≤4\}$．

8. 解析 化简为 $(mx+2)(x-1)>0$
   当 $m>0$ 时，解集为 $\left(-\infty,-\dfrac{2}{m}\right) \cup(1,+\infty)$；
   当 $-2<m<0$ 时，解集为 $\left(1,-\dfrac{2}{m}\right)$；
   当 $m=-2$ 时，解集为 $ϕ$；
   当 $m<-2$ 时，解集为 $\left(-\dfrac{2}{m}, 1\right)$；
   当 $m=0$ 时，解集为 $(1,+∞)$.

9. 答案 $\dfrac{4}{3} \leq a<\dfrac{3}{2}$，或 $-\dfrac{3}{2}<a \leq-\dfrac{4}{3}$．
   解析 不等式 $(ax-1)^2<x^2$ 恰有 2 个整数解，
   即 $(ax-1)^2-x^2<0⇔((a+1)x-1)((a-1)x-1)<0$ 恰有两个解，
   $∴(a+1)(a-1)>0$，即 $a>1$，或 $a<-1$．
   当 $a>1$ 时，不等式解为 $\dfrac{1}{a+1}<x<\dfrac{1}{a-1}$，
   $\because \dfrac{1}{a+1} \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)$，恰有两个整数解，即：$1,2$，
   $\therefore 2<\dfrac{1}{a-1} \leq 3$，$2a-2<1≤3a-3$，解得： $\dfrac{4}{3} \leq a<\dfrac{3}{2}$；
   当 $a<-1$ 时，不等式解为 $\dfrac{1}{a+1}<x<\dfrac{1}{a-1}$，
   $\because \dfrac{1}{a-1} \in\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)$，恰有两个整数解即：$-1,-2$，
   $\therefore-3 \leq \dfrac{1}{a+1}<-2$，$-2(a+1)<1≤-3(a+1)$，解得 $-\dfrac{3}{2}<a \leq-\dfrac{4}{3}$，
   综上所述： $\dfrac{4}{3} \leq a<\dfrac{3}{2}$，或 $-\dfrac{3}{2}<a \leq-\dfrac{4}{3}$．

【C组---拓展题】

1. 不等式 $\dfrac{x-1}{x^{2}-4}>0$ 的解集是 $\underline{\quad \quad}$.
 
2. 不等式 $x^2+ax+b≤0(a,b∈R)$ 的解集为 $\{x|x_1≤x≤x_2\}$，若 $|x_1 |+|x_2 |≤2$，则 (　　)
A．$|a+2b|≥2$ B．$|a+2b|≤2$ C．$|a|≥1$ D．$|b|≤1$
 

3. 已知方程 $ax^2+2x+1=0$ 至少有一个负根，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1. 答案 $\{x|-2<x<1$ 或 $x>2\}$
   解析 $\dfrac{x-1}{x^{2}-4}>0 \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{(x-2)(x+2)}>0 \Leftrightarrow(x-1)(x-2)(x+2)>0$，
   “穿针引线” 可得解集是 $\{x|-2<x<1$ 或 $x>2\}$.
2. 答案 $D$
   解析 $∵$ 不等式 $x^2+ax+b≤0(a,b∈R)$ 的解集为 $\{x|x_1≤x≤x_2\}$，
   则 $x_1 、x_2$ 是对应方程 $x^2+ax+b=0$ 的两个实数根，$x_1 x_2=b$，
   又 $|x_1 |+|x_2 |≤2$，
   不妨令 $a=-1，b=0$，则 $x_1=0，x_2=1$，但 $|a+2b|=1$，$∴A$ 选项不成立；
   令 $a=2$，$b=1$，则 $x_1=x_2=1$，但 $|a+2b|=4$，$B$ 选项不成立；
   令 $a=0$，$b=-1$，则 $x_1=-1$，$x_2=1$，但 $|a|=0$，$C$ 选项不成立；
   $b=x_{1} x_{2} \leq\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)^{2} \leq\left(\dfrac{\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|}{2}\right)^{2}=1$，$D$ 选项正确．
   故选：$D$．
3. 答案 $a≤1$
   解析 (1) 当 $a=0$ 时，方程变为 $2x+1=0$，有一负根 $x=-\dfrac{1}{2}$，满足题意，
   (2) 当 $a<0$ 时，$△=4-4a>0$，方程的两根满足 $x_{1} x_{2}=\dfrac{1}{a}<0$，此时有且仅有一个负根，满足题意，
   (3) 当 $a>0$ 时，由方程的根与系数关系可得 $\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{2}{a}<0 \\ \dfrac{1}{a}>0 \end{array}\right.$，
   $∴$ 方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件 $△=4-4a≥0$，
   $∴0<a≤1$，
   综上可得，$a≤1.$