2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
一元二次不等式及其解法
① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以\(a>0\)为例)
② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；
③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.
【例】 填表
解析
【练1】 二次不等式\(ax^2+bx+c<0\)的解集是R的条件是( )
A． \(\left\{\begin{array}{l}
a>0 \\
\Delta>0
\end{array}\right.\) \(\qquad \qquad\) B． \(\left\{\begin{array}{l}
a>0 \\
\Delta<0
\end{array}\right.\) \(\qquad \qquad\) C． \(\left\{\begin{array}{l}
a<0 \\
\Delta>0
\end{array}\right.\) \(\qquad \qquad\) D． \(\left\{\begin{array}{l}
a<0 \\
\Delta<0
\end{array}\right.\)
解析 由题意可知二次不等式\(ax^2+bx+c<0\)，
对应的二次函数\(y=ax^2+bx+c\)开口向下，所以\(a<0\)
二次不等式\(ax^2+bx+c<0\)的解集是\(R\)，所以\(△<0\)．
故选：\(D\)．
【练2】 解不等式
(1)\(x^2-x-6≤0\) \(\qquad\) (2) \(x^2-3x+4<0\) \(\qquad\) (3) \(x^2-4x+4>0\)
解析 (1) \(-2≤x≤3\) \(\qquad\) (2) \(∅\) \(\qquad\) (3)\(x≠2\)
一元二次不等式的应用
分式不等式的解法
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于 \(\dfrac{a}{b}>0\)与\(ab>0\)均意味\(a,b\)同号，故 \(\dfrac{a}{b}>0\)与\(ab>0\)等价的；
\(\dfrac{a}{b}<0\)与\(ab<0\)均意味\(a,b\)异号，故 \(\dfrac{a}{b}<0\)与\(ab<0\)等价的；
可得① \(\dfrac{f(x)}{g(x)}>0 \Rightarrow f(x) g(x)>0\)， \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \Rightarrow f(x) g(x) \geq 0\)且\(g(x)≠0\).
比如 \(\dfrac{x-1}{x-2}>0 \Rightarrow(x-1)(x-2)>0\); \(\dfrac{x-1}{x-2} \geq 0 \Rightarrow(x-1)(x-2) \geq 0\)且\(x-2≠0\).
② \(\dfrac{f(x)}{g(x)}<0 \Rightarrow f(x) g(x)<0\)， \(\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0 \Rightarrow f(x) g(x) \leq 0\)且\(g(x)≠0\).
比如 \(\dfrac{x-1}{x-2}<0 \Rightarrow(x-1)(x-2)<0\) ; \(\dfrac{x-1}{x-2} \leq 0 \Rightarrow(x-1)(x-2) \leq 0\)且\(x-2≠0\).
【例】 解不等式\(\dfrac{x+1}{x-2}<0\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\).
解析 不等式\(\dfrac{x+1}{x-2}<0\)，等价于\((x+1)(x-2)<0\)，解得\(-1<x<2\).
【练】 解不等式\(\dfrac{x-1}{x-3} \leq 0\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 不等式 \(\dfrac{x-1}{x-3} \leq 0\)，等价于 \(\left\{\begin{array}{l}
(x-1)(x-3) \leq 0 \\
x-3 \neq 0
\end{array}\right.\)，解得\(1≤x<3\).
．
基本方法
【题型1】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
【典题1】 解下列不等式：
(1) \(-\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{7}{2} x-5<0\)； (2) \(4 x^{2}+18 x+\dfrac{81}{4}>0\)； (3) \(\dfrac{x-2}{x+3} \geq 2\).
解析
(1) 二次项系数化为\(1\)得：\(x^2-7x+10>0\)，
十字相乘得：\((x-2)(x-5)>0\)，解得\(x>5\)或\(x<2\).
(2) \(4 x^{2}+18 x+\dfrac{81}{4}>0 \Leftrightarrow\left(2 x+\dfrac{9}{2}\right)^{2}>0\)，
结合二次函数图像易得不等式解集是\(\{x|x≠-9/4\}\).
(3)不等式 \(\dfrac{x-2}{x+3} \geq 2 \Leftrightarrow \dfrac{x-2}{x+3}-2 \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-x-8}{x+3} \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x+8}{x+3} \leq 0\)，
等价于 \(\left\{\begin{array}{l}
(x+8)(x+3) \leq 0 \\
x+3 \neq 0
\end{array}\right.\)，解得\(-8≤x<-3\).
点拨
1.求解不等式\(ax^2+bx+c>0(\)或\(<0)\)，其中\(a>0\)，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解；
2.求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨.
【典题2】若不等式 \(2 k x^{2}+k x-\dfrac{3}{8} \geq 0\)的解集为空集，则实数\(k\)的取值范围是( )
A．\((-3,0)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-∞,-3)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-3,0]\) \(\qquad \qquad\) D．\((-∞,-3)∪(0,+∞)\)
解析 由题意可知\(2 k x^{2}+k x-\dfrac{3}{8}<0\)恒成立，当\(k=0\)时成立，
当\(k≠0\)时需满足 \(\left\{\begin{array}{l}
k<0 \\
\Delta<0
\end{array}\right.\)，代入求得\(-3<k<0\)，
所以实数\(k\)的取值范围是\((-3,0]\).
点拨 注意二次系数是否为\(0\)，涉及到一元二次不等式可理解二次函数图像进行分析.
【典题3】 若不等式 \(ax^2+2x+c<0\)的解集是 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)，则不等式\(cx^2-2x+a≤0\)的解集是 ( )
A． \(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}\right]\) \(\qquad \qquad\) B．\(\left[-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}\right]\) \(\qquad \qquad\) C．\([-2,3]\) \(\qquad \qquad\) D．\([-3,2]\)
解析 不等式\(ax^2+2x+c<0\)的解集是 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{3}\right) \cup\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)\)，
\(\therefore-\dfrac{1}{3}\)和 \(\dfrac{1}{2}\)是方程\(ax^2+2x+c=0\)的两个实数根，
由韦达定理得 \(\left\{\begin{array}{l}
-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{2}{a} \\
-\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{a}
\end{array}\right.\)，解得\(a=-12，c=2\)，
故不等式\(cx^2-2x+a≤0\)，即\(2x^2-2x-12≤0\)，解得\(-2≤x≤3\)，
所以所求不等式的解集是\([-2,3]\)，
故选：\(C\)．
巩固练习
1.下列不等式的解集是空集的是 ( )
A．\(x^2-x+1>0\) \(\qquad \qquad\) B．\(-2x^2+x+1>0\) \(\qquad \qquad\) C．\(2x-^2>5\) \(\qquad \qquad\) D．\(x^2+x>2\)
2.若不等式\(kx^2+2kx+2<0\)的解集为空集，则实数\(k\)的取值范围是( )
A．\(0<k<2\) \(\qquad \qquad\) B．\(0≤k<2\) \(\qquad \qquad\) C．\(0≤k≤2\) \(\qquad \qquad\) D．\(k>2\)
3.关于\(x\)的不等式\(x^2+ax-3<0\)，解集为\((-3,1)\)，则不等式\(ax^2+x-3<0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
4.不等式\(2x^2-x-3>0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\).
5.不等式 \(\dfrac{x}{2 x-1}>1\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\).
6.若不等式\(ax^2+5x-2>0\)的解集是 \(\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<x<2\right\}\)
(1)求不等式 \(ax^2+5x-2>0\)的解集．
(2)已知二次不等式\(ax^2+bx+c<0\)的解集为 \(\{x \mid x<\dfrac{1}{3}\)或 \(x>\dfrac{1}{2}\}\)，求关于\(x\)的不等式\(cx^2-bx+a>0\)的解集．
参考答案
- 答案 \(C\)
- 答案\(C\)
解析 当k=0时，满足题意；
当\(k>0\)时，\(△=4k^2-8k≤0\)，解得\(0<k≤2\)；
\(∴\)实数\(k\)的取值范围是\(0≤k≤2\)．故选：\(C\)． - 答案 \(\left\{x \mid-\dfrac{3}{2}<x<1\right\}\)
解析 由题意知，\(x=-3，x=1\)是方程\(x^2+ax-3=0\)的两根，
可得\(-3+1=-a\)，解得\(a=2\)；
所以不等式为\(2x^2+x-3<0\)，即\((2x+3)(x-1)<0\)，解得 \(-\dfrac{3}{2}<x<1\)，
所以不等式的解集为 \(\left\{x \mid-\dfrac{3}{2}<x<1\right\}\) - 答案 \(\left\{x \mid x>\dfrac{3}{2}\right.\) 或 \(x<-1\}\)
解析 \(2 x^{2}-x-3>0 \Rightarrow(2 x-3)(x+1)>0 \Rightarrow x>\dfrac{3}{2}\)或 \(x<-1\). - 答案 \(\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<x<1\right\}\)
解析 原不等式等价于 \(\dfrac{x}{2 x-1}-1>0\)，即 \(\dfrac{x-(2 x-1)}{2 x-1}>0\)，整理得 \(\dfrac{x-1}{2 x-1}<0\)，
不等式等价于\((2x-1)(x-1)<0\)，解得 \(\dfrac{1}{2}<x<1\)． - 答案 (1) \(\left\{x \mid-3<x<\dfrac{1}{2}\right\}\) (2) \(\{x|-3<x<-2\}\)
解析 (1)因为等式\(ax^2+5x-2>0\)的解集是 \(\left\{x \mid \dfrac{1}{2}<x<2\right\}\)，
所以 \(\dfrac{1}{2}\)和\(2\)是一元二次方程\(ax^2+5x-2=0\)的两根，
\(\therefore \dfrac{1}{2} \times 2=-\dfrac{2}{a}\)，解得\(a=-2\)，
\(∴\)不等式 \(ax^2+5x-2=0\)可化为\(-2x^2-5x+3>0\)，即\(2x^2+5x-3<0\)，
\(∴(2x-1)(x-3)<0\)，解得 \(-3<x<\dfrac{1}{2}\)，
所以不等式 \(ax^2-5x+a^2-1>0\)的解集为 \(\left\{x \mid-3<x<\dfrac{1}{2}\right\}\)；
(2)由(1)知\(a=-2\)，\(∴\)二次不等式\(-2x^2+bx+c<0\)的解集为 \(\{x \mid x<\dfrac{1}{3}\)或 \(x>\dfrac{1}{2}\}\)，
\(\therefore \dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{1}{2}\)是一元二次方程\(-2x^2+bx+c=0\)的两根，
\(\therefore \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{b}{-2}, \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2}=-\dfrac{c}{2}\)，解得 \(b=\dfrac{5}{3}, \quad c=-\dfrac{1}{3}\)，
所以不等式\(cx^2-bx+a>0\)可化为： \(-\dfrac{1}{3} x^{2}-\dfrac{5}{3} x-2>0\)，
即\(x^2+5x+6<0\)，解得\(-3<x<-2\)．
所以关于\(x\)的不等式\(cx^2-bx+a>0\)的解集为\(\{x|-3<x<-2\}\)．
【题型2】求含参一元二次不等式(选学)
角度1 按二次项的系数a的符号分类，即a>0，a=0 ，a<0
解不等式\(ax^2+(a+2) x+1>0\).
解析
(不确定不等式对应函数\(y=ax^2+(a+2) x+1\)是否是二次函数，分\(a=0\)与\(a≠0\)讨论)
(1) 当\(a=0\)时，不等式为\(2x+1>0\)，解集为 \(\left\{x \mid x>-\dfrac{1}{2}\right\}\)；
(2) 当\(a≠0\)时， \(∵Δ=(a+2)^2-4a=a^2+4>0\)
(二次函数\(y=ax^2+(a+2) x+1\)与\(x\)轴必有两个交点)
解得方程\(ax^2+(a+2) x+1=0\)两根 \(x_{1}=\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}, x_{2}=\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\) ；
(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分\(a>0\)与\(a<0\)讨论)
(i)当\(a>0\)时，解集为 \(\left\{x \mid x>\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right.\)或 \(\left.x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}\)；
(ii)当\(a<0\)时, 解集为 \(\left\{x \mid \dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}<x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}\).(注意\(x_1,x_2\)的大小)
综上，当\(a=0\)时，解集为 \(\left\{x \mid x>-\dfrac{1}{2}\right\}\)；
当\(a>0\)时，解集为 \(\{x>\dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\)或\(x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a} \}\)；
当\(a<0\)时, 解集为 \(\left\{x \mid \dfrac{-a-2+\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}<x<\dfrac{-a-2-\sqrt{a^{2}+4}}{2 a}\right\}\).
角度2 按判别式的符号分类
解不等式\(x^2+ax+4>0\).
解析 \(∵Δ=a^2-16\)
(此时不确定二次函数\(y=x^2+ax+4\)是否与\(x\)轴有两个交点，对判别式进行讨论)
\(∴\)①当\(-4<a<4\)，即\(Δ<0\)时，解集为\(R\)；
②当\(a=±4\)，即\(Δ=0\)时，解集为 \(\left\{x \mid x \neq-\dfrac{a}{2}\right\}\)；
③当\(a>4\)或\(a<-4\)，即\(Δ>0\)时，此时两根为 \(x_{1}=\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2}, x_{2}=\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}\) ，显然\(x_1>x_2\)，
\(∴\)不等式的解集为 \(\left\{x \mid x>\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right.\)或 \(\left.x<\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right\}\).
综上，当\(-4<a<4\)时，解集为\(R\)；
当\(a=±4\)时，解集为 \(\left\{x \mid x \neq-\dfrac{a}{2}\right\}\)；
当\(a>4\)或\(a<-4\)时，解集为 \(\left\{x \mid x>\dfrac{-a+\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right.\)或 \(\left.x<\dfrac{-a-\sqrt{a^{2}-16}}{2}\right\}\).
角度3 按方程的根大小分类
解不等式： \(x^{2}-\left(a+\dfrac{1}{a}\right) x+1<0 \quad(a \neq 0)\).
解析 原不等式可化为： \((x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)<0\) ,
令 \((x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)=0\)，得 \(x_{1}=a, x_{2}=\dfrac{1}{a}\)；
(因式分解很关键，此时确定 \(y=(x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)\)与\(x\)轴有交点，\(x_1 ,x_2\)的大小影响不等式解集)
\(∴\)(i)当\(x_1=x_2\)时，即 \(a=\dfrac{1}{a} \Rightarrow a=\pm 1\)时，解集为\(ϕ\)；
(ii)当\(x_1<x_2\)时，即 \(a<\dfrac{1}{a} \Rightarrow a<-1\)或\(0<a<1\)时，解集为 \(\left\{x \mid a<x<\dfrac{1}{a}\right\}\)；
(iii)当\(x_1>x_2\)时，即 \(a>\dfrac{1}{a} \Rightarrow-1<a<0\)或\(a>1\)时，解集为 \(\left\{x \mid \dfrac{1}{a}<x<a\right\}\).
综上，当\(a=±1\)时，解集为\(ϕ\)；
当\(a<-1\) 或\(0<a<1\)时，解集为 \(\left\{x \mid a<x<\dfrac{1}{a}\right\}\)；
当\(-1<a<0\)或\(a>1\)时， 解集为 \(\left\{x \mid \dfrac{1}{a}<x<a\right\}\).
点拨
① 当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.
常见的形式有\(x^2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a)\) , \(x^{2}-\left(a+\dfrac{1}{a}\right) x+1=(x-a)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)\)，
\(ax^2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)\)等，若判别式\(Δ\)是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；
② 在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.
巩固练习
1.解关于\(x\)的不等式 \(12x^2-ax-a^2<0\).
2.解关于\(x\)的不等式 \(x^2+2x+a>0\)．
3.若\(a∈R\)，解关于\(x\)的不等式\(ax^2+(a+1)x+1>0\)．
参考答案
- 解析 方程 \(12x^2-ax-a^2=0\)
\(∴(4x+a)(3x-a)=0\)，即方程两根为 \(x_{1}=-\dfrac{a}{4},x_{2}=\dfrac{a}{3}\)，
(1)当\(a>0\)时，\(x_2>x_1\)，不等式的解集是 \(\left\{x \mid-\dfrac{a}{4}<x<\dfrac{a}{3}\right\}\)；
(2)当\(a=0\)时，\(x_1=x_2\)，不等式的解集是\(ϕ\)；
(3)当\(a<0\)时，\(x_1<x_2\)，不等式的解集 \(\left\{x \mid \dfrac{a}{3}<x<-\dfrac{a}{4}\right\}\) - 解析 方程\(x^2+2x+a=0\)中\(△=4-4a=4(1-a)\)，
①当\(1-a<0\)即\(a>1\)时，不等式的解集是\(R\)，
②当\(1-a=0\)，即\(a=1\)时，不等式的解集是\(\{x|x≠-1\}\)，
③当\(1-a>0\)即\(a<1\)时，
由\(x^2+2x+a=0\)解得： \(x_{1}=-1-\sqrt{1-a}, x_{2}=-1+\sqrt{1-a}\)，
\(∴a<1\)时，不等式的解集是 \(\{x \mid x>-1+\sqrt{1-a}\) 或 \(x<-1-\sqrt{1-a}\}\)，
综上，\(a>1\)时，不等式的解集是\(R\)，
\(a=1\)时，不等式的解集是\(\{x|x≠-1\}\)，
\(a<1\)时，不等式的解集是 \(\{x \mid x>-1+\sqrt{1-a}\) 或 \(x<-1-\sqrt{1-a}\}\)． - 解析 当\(a=0\)时，\(x>-1\)．
当\(a≠0\)时， \(a\left(x+\dfrac{1}{a}\right)(x+1)>0\)．
当\(a<0\)时， \(\left(x+\dfrac{1}{a}\right)(x+1)<0\)，解得 \(-1<x<-\dfrac{1}{a}\)．
当\(a>0\)时， \(\left(x+\dfrac{1}{a}\right)(x+1)>0\)．
当\(a=1\)时，\(x≠-1\)．
当\(0<a<1\)时， \(x<-\dfrac{1}{a}\)，或\(x>-1\)．
当\(a>1\)时，\(x<-1\)，或 \(x>-\dfrac{1}{a}\)．
\(∴\)当\(a<0\)时，解集是 \(\left(-1,-\dfrac{1}{a}\right)\)；
当\(a=0\)时，解集是 \((-1,+\infty)\)；
当\(0<a≤1\)时，解集是 \(\left(-\infty,-\dfrac{1}{a}\right) \cup(-1,+\infty)\)；
当\(a>1\)时，解集是 \(=(-\infty,-1) \cup\left(-\dfrac{1}{a},+\infty\right)\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.下等式的解集为R的是( )
A．\(x^2+x+1<0\) \(\qquad \qquad\) B．\(x^2+2x+1>0\) \(\qquad \qquad\) C．\(-x^2+x+1≤0\) \(\qquad \qquad\) D．\(x^2+x+1>0\)
2.不等式\(-x^2-5x+6≤0\)的解集为( )
A．\(\{x|x≥6\)或\(x≤-1\}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\{x|-1≤x≤6\}\) \(\qquad \qquad\) C．\(\{x|-6≤x≤1\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\{x|x≤-6\)或\(x≥1\}\)
3.若不等式\((m-1)x^2+(m-1)x+2>0\)的解集是\(R\)，则\(m\)的范围是( )
A．\((1,9)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-∞,1]∪(9,+∞)\) \(\qquad \qquad\) C．\([1,9)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-∞,1)∪(9,+∞)\)
4.不等式\(-x^2+bx+c>0\)的解集是\(\{x|-2<x<1\}\)，则\(b+c-1\)的值为( )
A．\(2\) \(\qquad \qquad\) B．\(-1\) \(\qquad \qquad\) C．\(0\) \(\qquad \qquad\) D．\(1\)
5.关于\(x\)的不等式\(x^2+ax+b≥0\)的解集为\(\{x|x≤-3,\)或\(x≥1\}\)，则\(ab=\)( )
A．\(12\) \(\qquad \qquad\) B．\(-12\) \(\qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad\) D．\(-6\)
6.已知不等式\(ax^2-5x+b>0\)的解集为\(\{x∣-3<x<2\}\)，则不等式\(bx^2-5x+a>0\)的解集为( )
A．\(\left\{x \mid-\dfrac{1}{3}<x<\dfrac{1}{2}\right\}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\{x \mid x<-\dfrac{1}{3}\)或 \(x>\dfrac{1}{2} \}\) \(\qquad \qquad\)
C．\(\{x∣-3<x<2\}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\{x∣x<-3\)或 \(x>2\}\)
7.不等式 \(\dfrac{2 x-3}{3 x-4} \leq 2\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 \(x^{2}+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}>0\)恒成立，
所以不等式\(x^2+x+1>0\)的解集为\(R\)，\(D\)正确．
故选：\(D\)． - 答案 \(D\)
解析 \(-x^2-5x+6≤0⇔x^2+5x-6≥0\) \(⇔(x+6)(x-1)≥0⇔x≥1\)或\(x≤-6\)，
故选\(D\). - 答案 \(C\)
解析 由\((m-1)x^2+(m-1)x+2>0\)解集为\(R\)，即为恒成立，
可得：(1)当\(m-1=0,m=1\)时；\(2>0\)成立；
(2)当\(m>1\)时；\(Δ<0\),\(4(m-1)^2+8(m-1)<0\),\(1<m<9\)成立；
(3)当\(m<1\)时；不成立.
综上可得实数\(m\)的取值范围\([1,9)\). - 答案 \(C\)
解析 由不等式\(-x^2+bx+c>0\)的解集是\(\{x|-2<x<1\}\)，
得\(-2\)和\(1\)是方程\(-x^2+bx+c=0\)的解，
由根与系数的关系知， \(\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{b}{-1}=-2+1 \\ \dfrac{c}{-1}=-2 \times 1 \end{array}\right.\)，解得\(b=-1，c=2\)；
所以\(b+c-1=-1+2-1=0\)．
故选：\(C\)． - 答案 \(D\)
解析 \(∵\)不等式\(x^2+ax+b≥0\)的解集为\(\{x|x≤-3\)或\(x≥1\}\)，
\(\because\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-a \\ x_{1} x_{2}=b \end{array}\right.\)；\(∴a=2，b-3\)；\(∴ab=-6\)．
故选：\(D\)． - 答案 \(B\)
解析 由题意可知\(ax^2-5x+b=0\)的两个根为\(x_1=-3,x_2=2\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} -3+2=\dfrac{5}{a} \\ -3 \times 2=\dfrac{b}{a} \end{array}\right.\)， \(\therefore\left\{\begin{array}{l} a=-5 \\ b=30 \end{array}\right.\)，
不等式\(bx^2-5x+a>0\)即为\(30x^2-5x-5>0\)，
解不等式得解集为\(\{x \mid x<-\dfrac{1}{3}\)或 \(x>\dfrac{1}{2} \}\). - 答案 \(\left\{x \mid x>\dfrac{4}{3}\right.\)或 \(\left.x \leq \dfrac{5}{4}\right\}\)
解析 \(\dfrac{2 x-3}{3 x-4} \leq 2 \Leftrightarrow \dfrac{2 x-3}{3 x-4}-2 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-4 x+5}{3 x-4} \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{4 x-5}{3 x-4} \geq 0\)
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c} (4 x-5)(3 x-4) \geq 0 \\ 3 x-4 \neq 0 \end{array} \Leftrightarrow x>\dfrac{4}{3}\right.\)或 \(x \leq \dfrac{5}{4}\).
【B组---提高题】
1.已知集合\(A=\{x|x^2-2x-3≤0\}\)，集合\(B=\{x||x-1|≤3\}\)，集合 \(C=\left\{x \mid \dfrac{x-4}{x+5} \leq 0\right\}\)，则集合\(A,B,C\)的关系为( )
A．\(B⊆A\) \(\qquad \qquad\) B．\(A=B\) \(\qquad \qquad\) C．\(C⊆B\) \(\qquad \qquad\) D．\(A⊆C\)
2.已知集合\(A=\{x|(1+mx)(x+n)>0\}=\{x|-2<x<1\}\)，则\(n-m\)等于( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B．\(3\) \(\qquad \qquad\) C．\(-1\) \(\qquad \qquad\) D．\(-3\)
3.已知关于\(x\)的不等式\(a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)\)的解集是\((x_1,x_2)(x_1<x_2)\)，则下列结论中错误的是( )
A．\(x_1+x_2=2\) \(\qquad \qquad\) B．\(x_1 x_2<-3\) \(\qquad \qquad\) C．\(x_2-x_1>4\) \(\qquad \qquad\) D．\(-1<x_1<x_2<3\)
4.已知关于\(x\)的不等式 \(\dfrac{a x-1}{x+1}<0\)的解集是 \((-\infty,-1) \cup\left(-\dfrac{1}{2},+\infty\right)\).则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\).
5.已知不等式\(ax^2+bx+c>0\)的解集是\(\{x|α<x<β\}\)，\(α>0\)，则不等式\(cx^2+bx+a>0\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\) .
6.关于\(x\)的一元二次不等式\(x^2-6x+a≤0(a∈Z)\)的解集中有且仅有\(3\)个整数，则\(a\)的取值是\(\underline{\quad \quad}\).
7.若不等式\(x^2-(a+1)x+a≤0\)的解集是\([-3,4]\)的子集，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
8.解关于\(x\)的不等式：\(mx^2-(m-2)x-2>0\)
9.关于\(x\)的不等式 \((ax-1)^2<x^2\)恰有\(2\)个整数解，求实数\(a\)的取值范围.
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 \(∵x^2-2x-3≤0\)，即\((x-3)(x+1)≤0\)，
\(∴-1≤x≤3\)，则\(A=[-1,3]\)，
又\(|x-1|≤3\)，即\(-3≤x-1≤3\)，
\(∴-2≤x≤4\)，则\(B=[-2,4]\)，
\(\because \dfrac{x-4}{x+5} \leq 0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} (x-4)(x+5) \leq 0 \\ x+5 \neq 0 \end{array}\right.\)，\(∴-5<x≤4\)，则\(C=(-5,4]\)，\(∴A⊆C\)，\(B⊆C\)，故选：\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 由题意知\(x=-2、x=1\)是方程\((1+mx)(x+n)=0\)的两根，
代入方程得 \(\left\{\begin{array}{l} (1-2 m)(-2+n)=0 \\ (1+m)(1+n)=0 \end{array}\right.\)，解得\(m=-1、n=2\)；
所以\(n-m=3\)．故选：\(B\)． -
答案 \(D\)
解析 由关于\(x\)的不等式\(a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)\)的解集是\((x_1,x_2)(x_1<x_2)\)，
\(∴a<0\)，\(x_1,x_2\)是一元二次方程\(ax^2-2ax+1-3a=0\)．
\(∴x_1+x_2=2\)， \(x_{1} x_{2}=\dfrac{1-3 a}{a}=\dfrac{1}{a}-3<-3\)．
\(x_{2}-x_{1}=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}\)\(=\sqrt{4-4 \times \dfrac{1-3 a}{a}}=2 \sqrt{4-\dfrac{1}{a}}>4\)．
由\(x_2-x_1>4\)，可得：\(-1<x_1<x_2<4\)是错误的．
故选：\(D\)． -
答案 \(-2\)
解析 由不等式判断可得\(a≠0\)且不等式等价于 \(a(x+1)\left(x-\dfrac{1}{a}\right)<0\)
由解集特点可得\(a<0\) 且 \(\dfrac{1}{a}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow a=-2\). -
答案 \(\left\{x \mid \dfrac{1}{\beta}<x<\dfrac{1}{\alpha}\right\}\)
解析 不等式\(ax^2+bx+c>0\)的解集是\(\{x|α<x<β\}(α>0)\)，
则\(α，β\)是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的实数根，且a\(<0\)；
\(\therefore \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}, \quad \alpha \beta=\dfrac{c}{a}\)；
\(∴\)不等式\(cx^2+bx+a>0\)化为 \(\dfrac{c}{a} x^{2}+\dfrac{b}{a} x+1<0\)，
\(\therefore \alpha \beta x^{2}-(\alpha+\beta) x+1<0\)；化为\((αx-1)(βx-1)<0\)；
又\(0<α<β\)， \(\therefore \dfrac{1}{\alpha}>\dfrac{1}{\beta}>0\)；
\(∴\)不等式\(cx^2+bx+a<0\)的解集为 \(\left\{x \mid \dfrac{1}{\beta}<x<\dfrac{1}{\alpha}\right\}\). -
答案 \(6,7,8\)
解析 设\(f(x)=x^2-6x+a\)，其图象是开口向上，对称轴是\(x=3\)的抛物线，如图所示；
若关于\(x\)的一元二次不等式\(x^2-6x+a≤0\)的解集中有且仅有\(3\)个整数，
则 \(\left\{\begin{array}{l} f(2) \leq 0 \\ f(1)>0 \end{array}\right.\)，即 \(\left\{\begin{array}{l} 4-12+a \leq 0 \\ 1-6+a>0 \end{array}\right.\)，解得\(5<a≤8\)，
又\(a∈Z\)，所以\(a=6,7,8\)． -
答案 \(\{a|-3≤a≤4\}\)
解析 关于\(x\)的不等式\(x^2-(a+1)x+a<0\)化为\((x-1)(x-a)<0\)，
其解集是\([-3,4]\)的子集，
当\(a=1\)时，不等式为\((x-1)^2<0\)，其解集为空集，符合题意；
当\(1<a≤4\)时，不等式的解集为\(\{x|1<x<a\}\)，也符合题意；
当\(a<1\)时，不等式的解集为\(\{x|a<x<1\}\)，应满足\(a≥-3\)；
当\(a>4\)时，不等式的解集为\(\{x|1<x<a\}\)，此时不满足题意；
综上，实数\(a\)的取值范围是\(\{a|-3≤a≤4\}\)． -
解析 化简为\((mx+2)(x-1)>0\)
当\(m>0\)时，解集为 \(\left(-\infty,-\dfrac{2}{m}\right) \cup(1,+\infty)\)；
当\(-2<m<0\)时，解集为 \(\left(1,-\dfrac{2}{m}\right)\)；
当\(m=-2\)时，解集为\(ϕ\)；
当\(m<-2\)时，解集为 \(\left(-\dfrac{2}{m}, 1\right)\)；
当\(m=0\)时，解集为\((1,+∞)\). -
答案 \(\dfrac{4}{3} \leq a<\dfrac{3}{2}\)，或 \(-\dfrac{3}{2}<a \leq-\dfrac{4}{3}\)．
解析 不等式 \((ax-1)^2<x^2\)恰有2个整数解，
即 \((ax-1)^2-x^2<0⇔((a+1)x-1)((a-1)x-1)<0\)恰有两个解，
\(∴(a+1)(a-1)>0\)，即\(a>1\)，或\(a<-1\)．
当\(a>1\)时，不等式解为 \(\dfrac{1}{a+1}<x<\dfrac{1}{a-1}\)，
\(\because \dfrac{1}{a+1} \in\left(0, \dfrac{1}{2}\right)\)，恰有两个整数解，即：\(1,2\)，
\(\therefore 2<\dfrac{1}{a-1} \leq 3\)，\(2a-2<1≤3a-3\)，解得： \(\dfrac{4}{3} \leq a<\dfrac{3}{2}\)；
当\(a<-1\)时，不等式解为 \(\dfrac{1}{a+1}<x<\dfrac{1}{a-1}\)，
\(\because \dfrac{1}{a-1} \in\left(-\dfrac{1}{2}, 0\right)\)，恰有两个整数解即：\(-1,-2\)，
\(\therefore-3 \leq \dfrac{1}{a+1}<-2\)，\(-2(a+1)<1≤-3(a+1)\)，解得 \(-\dfrac{3}{2}<a \leq-\dfrac{4}{3}\)，
综上所述： \(\dfrac{4}{3} \leq a<\dfrac{3}{2}\)，或 \(-\dfrac{3}{2}<a \leq-\dfrac{4}{3}\)．
【C组---拓展题】
1.不等式 \(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}>0\)的解集是\(\underline{\quad \quad}\).
2.不等式\(x^2+ax+b≤0(a,b∈R)\)的解集为\(\{x|x_1≤x≤x_2\}\)，若\(|x_1 |+|x_2 |≤2\)，则( )
A．\(|a+2b|≥2\) B．\(|a+2b|≤2\) C．\(|a|≥1\) D．\(|b|≤1\)
3.已知方程\(ax^2+2x+1=0\)至少有一个负根，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案\(\{x|-2<x<1\)或\(x>2\}\)
解析 \(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}>0 \Leftrightarrow \dfrac{x-1}{(x-2)(x+2)}>0 \Leftrightarrow(x-1)(x-2)(x+2)>0\)，
“穿针引线”可得解集是\(\{x|-2<x<1\)或\(x>2\}\). - 答案 \(D\)
解析 \(∵\)不等式\(x^2+ax+b≤0(a,b∈R)\)的解集为\(\{x|x_1≤x≤x_2\}\)，
则\(x_1 、x_2\)是对应方程\(x^2+ax+b=0\)的两个实数根，\(x_1 x_2=b\)，
又\(|x_1 |+|x_2 |≤2\)，
不妨令\(a=-1，b=0\)，则\(x_1=0，x_2=1\)，但\(|a+2b|=1\)，\(∴A\)选项不成立；
令\(a=2\)，\(b=1\)，则\(x_1=x_2=1\)，但\(|a+2b|=4\)，\(B\)选项不成立；
令\(a=0\)，\(b=-1\)，则\(x_1=-1\)，\(x_2=1\)，但\(|a|=0\)，\(C\)选项不成立；
\(b=x_{1} x_{2} \leq\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)^{2} \leq\left(\dfrac{\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|}{2}\right)^{2}=1\)，\(D\)选项正确．
故选：\(D\)． - 答案 \(a≤1\)
解析 (1)当\(a=0\)时，方程变为\(2x+1=0\)，有一负根 \(x=-\dfrac{1}{2}\)，满足题意，
(2)当\(a<0\)时，\(△=4-4a>0\)，方程的两根满足 \(x_{1} x_{2}=\dfrac{1}{a}<0\)，此时有且仅有一个负根，满足题意，
(3)当\(a>0\)时，由方程的根与系数关系可得 \(\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{2}{a}<0 \\ \dfrac{1}{a}>0 \end{array}\right.\)，
\(∴\)方程若有根，则两根都为负根，而方程有根的条件\(△=4-4a≥0\)，
\(∴0<a≤1\)，
综上可得，\(a≤1.\)
