2.1 等式性质与不等式性质

\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\)
【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
\({\color{Red}{ 跟贵哥学数学,so \quad easy!}}\)

必修第一册同步拔高,难度2颗星!

基础知识

等式的性质

(1)如果\(a=b\),那么\(b=a\)
(2)如果\(a=b\)\(b=c\),那么\(a=c\)
(3)如果\(a=b\),那么\(a±c=b±c\)
(4)如果\(a=b\),那么\(ac=bc\)
(5)如果\(a=b\)\(c≠0\),那么 \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}\).

不等式关系与不等式

1 不等式的性质
(1) 传递性:\(a>b ,b>c⇒ a>c\)
(2) 加法法则:\(a>b ⇒ a+c>b+c\) , \(a>b ,c>d ⇒ a+c>b+d\)
(3) 乘法法则:\(a>b ,c>0 ⇒ ac>bc\),\(a>b ,c<0⇒ac<bc\)
(4) 倒数法则: \(a>b, a b>0 \Rightarrow \dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}\)
(5) 乘方法则: \(a>b>0 \Rightarrow a^{n}>b^{n}\left(n \in N^{*}\right.\)\(n>1)\).
 

【例1】证明:若\(c<b\)\(b<a\),则\(c<a\).
证明 \(c<b\)\(b<a\),则\(c-b<0,b-a<0\),
\(∴c-a=c-b+b-a<0\),即\(c<a\).
 

【例2】 已知\(a+b<0\)\(a>0\),则 ( )
 A、 \(a^{2}<-a b<b^{2}\) \(\qquad \qquad\) B、 \(b^{2}<-a b<a^{2}\) \(\qquad \qquad\)
 C、 \(a^{2}<b^{2}<-a b\) \(\qquad \qquad\) D、 \(-ab<b^2<a^2\)
解析 \(a+b<0\)\(a>0\)\(∴b<0\)
\(∵a+b<0\)\(∴a<-b\),又\(a>0\)\(∴a^2<-ab\)
\(∵a+b<0\)\(∴b<-a\),又\(b<0\), \(∴b^2>-ab\)
\(∴a^2<-ab<b^2\)成立,故选\(A\).
 

【练】\(a<b<0\),则下列不等式中不成立的是(  )
 A.\(|a|>|b|\) \(\qquad \qquad\) B. \(\dfrac{1}{a-b}>\dfrac{1}{a}\) \(\qquad \qquad\) C. \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\) \(\qquad \qquad\) D. \(a^2>b^2\)
解析 \(∵a<b<0\)\(∴a<a-b<0\)\(\therefore \dfrac{1}{a-b}<\dfrac{1}{a}\).因此\(B\)不正确.故选:\(B\)
 

2 比较\(a\) ,\(b\)大小
(1) 作差法(\(a-b\)\(0\)的比较)
\(a-b>0→ a>b\) ; \(a-b=0→ a=b\) ; \(a-b<0→ a<b\)
(2) 作商法( \(\dfrac{a}{b}\)\(1\)比较)
\(\dfrac{a}{b}>1, b>0 \rightarrow a>b\) ; \(\dfrac{a}{b}>1, b<0 \rightarrow a<b\)
 

【例】比较\(x^2-x+3\)\(x+1\)的大小.
解析 \(∵(x^2-x+3)-(x+1)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\),
\(∴x^2-x+3>x+1\).
 

【练】已知\(M=x^2-3x+7\)\(N=-x^2+x+1\),则(  )
 A.\(M<N\) \(\qquad \qquad\) B.\(M>N\) \(\qquad \qquad\) C.\(M=N\) \(\qquad \qquad\) D.\(M,N\)的大小与\(x\)的取值有关
解析 \(∵M-N=x^2-3x+7+x^2-x-1=2(x^2-2x+3)=2(x-1)^2+4>0\)
\(M>N\),故选:\(B\)
 

基本方法

【题型1】不等式性质的运用

【典题1】已知\(a >b >0\)\(d >c >0\),求证: \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}\).
证明 \(\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{d}=\dfrac{a d-b c}{c d}\)
\(∵a >b >0\)\(d >c >0\)
\(∴ad >bc\)\(cd >0\),即\(ad-bc >0\)\(cd >0\).
\(\therefore \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{d}>0\),即 \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}\).
点拨 证明过程中,多尝试利用分析法求解,
即要证明 \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}\)只需要证明 \(\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{d}>0 \Leftrightarrow \dfrac{a d-b c}{c d}>0 \Leftrightarrow a d-b c>0\).
 

【典题2】\(\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}<0\),则下列结论不正确的是( )
 A. \(a^2<b^2\) \(\qquad \qquad\) B.\(ab<b^2\) \(\qquad \qquad\) C.\(a+b<0\) \(\qquad \qquad\) D.\(|a|+|b|>|a+b|\)
解析
方法1 因为 \(\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}<0\),所以 \(\left\{\begin{array}{l} a<0 \\ b<0 \\ a>b \end{array}\right.\)
\(a^2<ab<b^2\),且\(a+b<0\),故选项\(A、B、C\)正确,
\(|a|+|b|=|a+b|\),故\(D\)错误.
方法2 取特殊值排除法
因为 \(\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}<0\),所以可令\(a=-1,b=-2\),显然\(ABC\)均对,\(D\)错,故选\(D\).
点拨 选择题可采取排除法!
 

【典题3】已知\(0≤a-b≤1\)\(2≤a+b≤4\),求\(4a-2b\)取值范围.
解析 方法1 \(∵4a-2b=(a+b)+3(a-b)\)
\(∴2+0×3≤(a+b)+3(a-b)≤4+1×3\)
\(2≤(a+b)+3(a-b)≤7\),检验可得两个等号均可取,
\(∴2≤4a-2b≤7\).
方法2 \(n=a-b\)\(m=a+b\),则\(0≤n≤1\)\(2≤m≤4\)
\(\because a=\dfrac{m+n}{2}, b=\dfrac{m-n}{2}\)\(\therefore 4 a-2 b=4 \times \dfrac{m+n}{2}-2 \times \dfrac{m-n}{2}=m+3 n\)
\(∵0≤n≤1\)\(∴0≤3n≤3\)
\(2≤m≤4\)\(∴2≤m+3n≤7\)
\(2≤4a-2b≤7\).
点拨 方法1中特别注意严谨性,要注意等号是否取到,比如当\(a=b=1\)时,\(4a-2b=2\),即\(4a-2b≥2\)而不是\(4a-2b>2\);方法2利用换元法,取到等号的问题变得简洁些了!
 

巩固练习

1.对于实数\(a,b,c\),下列结论中正确的是 ( )
 A.若\(a>b\),则 \(ac^2>bc^2\)
 B.若\(a>b>0\),则 \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\)
 C.若\(a<b<0\),则 \(\dfrac{a}{b}<\dfrac{b}{a}\)
 D.若\(a>b\)\(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\),则\(ab<0\)
 

2.已知\(a>b\),那么下列不等式中正确的是( )
 A. \(\sqrt{a}>\sqrt{b}\) \(\qquad \qquad\) B. \(a^2>b^2\) \(\qquad \qquad\) C.\(|a|>|b|\) \(\qquad \qquad\) D.\(|a|>b\)
 

3.若\(b<a<0\),则下列结论不正确的是(  )
 A. \(\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}\) \(\qquad \qquad\) B.\(ab>a^2\) \(\qquad \qquad\) C.\(|a|+|b|>|a+b|\) \(\qquad \qquad\) D. \(\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}\)
 

4.若\(a、b、c∈R\),且\(a>b\)则下列不等式中,一定成立的是(  )
 A.\(a+b≥b-c\) \(\qquad \qquad\) B.\(ac≥bc\) \(\qquad \qquad\) C.\(\dfrac{c^{2}}{a-b}>0\) \(\qquad \qquad\) D.\((a-b) c^2≥0\)
 

5.实数\(a、b、c\)满足\(a>b>c\),则下列不等式正确的是(  )
 A.\(a+b>c\) \(\qquad \qquad\) B. \(\dfrac{1}{a-c}<\dfrac{1}{b-c}\) \(\qquad \qquad\) C.\(a|c|>b|c|\) \(\qquad \qquad\) D. \(\dfrac{a b^{2}}{c^{2}+1}<\dfrac{a^{2} b}{c^{2}+1}\)
 

6.若\(-2<x<y<5\),则\(x-y\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)
 

7.已知 \(\dfrac{c}{a}>\dfrac{d}{b}\)\(bc >ad\),求证:\(ab >0\).
 

参考答案

  1. 答案 \(D\)
    解析 对于\(A\)\(a>b\),若\(c=0\),则 \(ac^2=bc^2\),故\(A\)错;
    对于\(B\)\(a>b>0\),取\(a=2,b=1\), \(\dfrac{1}{2}<1\),即 \(\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}\),故\(B\)错;
    对于\(C\)\(a<b<0\),取\(a=-2,b=-1\), \(2>\dfrac{1}{2}\),即 \(\dfrac{a}{b}>\dfrac{b}{a}\),故\(C\)错;
    对于\(D\),若 ,则\(a-b>0\),又 \(\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}\),所以 \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}>0\)
    所以 \(\dfrac{b-a}{a b}>0\),又\(a-b>0\),所以\(ab<0\),故\(D\)正确.
  2. 答案 \(D\)
    解析 由题根据不等式的性质,\(A,B,C\)选项,数的正负不明,错误;
    而选项\(D\),无论取任何数都成立.
  3. 答案 \(C\)
    解析 \(∵b<a<0\)\(∴\dfrac{1}{a}<\dfrac{1}{b}\)\(ab>a^2\)\(\sqrt[3]{a}>\sqrt[3]{b}\)
    \(a=-2,b=-1\)时,\(|a|+|b|=|a+b|\)\(C\)矛盾.因此只有\(C\)错误.故选:\(C\)
  4. 答案 \(D\)
    解析 \(∵a>b\)\(∴a-b>0\).又\(c^2≥0\)\(∴(a-b) c^2≥0\).故选:\(D\)
  5. 答案 \(B\)
    解析 \(∵a>b>c\)
    \(∴A\)\(a+b>c\)错误,比如\(-4>-5>-6\),得出\(-4-5<-6\)
    \(B\)\(a-c>b-c>0\)\(\therefore \dfrac{1}{a-c}<\dfrac{1}{b-c}\)\(∴\)该选项正确;
    \(C\)\(a|c|>b|c|\)错误,比如\(|c|=0\)时,\(a|c|=b|c|\)
    \(D\)\(ab^2-a^2 b=ab(b-a),ab(b-a)=0\)时,
    \(ab^2=a^2 b\)\(\therefore \dfrac{a b^{2}}{c^{2}+1}=\dfrac{a^{2} b}{c^{2}+1}\)\(∴\)该选项错误.
    故选:\(B\)
  6. 答案 \(-7<x-y<0\)
    解析 \(∵-2<x<y<5\)\(∴-2<x<5,-5<-y<2\)\(∴-7<x-y<7\)
    \(∵x<y\)\(∴x-y<0\)\(∴x-y\)的取值范围是\(-7<x-y<0\)
  7. 解析\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{c}{a}>\dfrac{d}{b} \\ b c>a d \end{array}\right.\),得 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{c}{a}-\dfrac{d}{b}>0 \\ b c-a d>0 \end{array}\right.\),所以\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{b c-a d}{a b}>0 \\ b c-a d>0 \end{array}\right.\),所以\(ab >0\).

【题型2】 比较大小

【典题1】\(a=\sqrt{3}+2, b=\sqrt{2}+\sqrt{5}\),则\(a,b\)的大小关系为\(\underline{\quad \quad}\)
解析 \(\because a^{2}=7+4 \sqrt{3}=7+\sqrt{48}\)\(b^{2}=7+2 \sqrt{10}=7+\sqrt{40}\)
\(∴a^2>b^2\)\(∴a>b\)
 

【典题2】已知\(c>1\)\(a=\sqrt{c+1}-\sqrt{c}, \quad b=\sqrt{c}-\sqrt{c-1}\),则正确的结论是(  )
A.\(a<b\) \(\qquad \qquad\) B.\(a>b\) \(\qquad \qquad\) C.\(a=b\) \(\qquad \qquad\) D.\(a\)\(b\)的大小不确定
解析 方法一 特殊值法
取特殊值,令\(c=2\),则 \(a=\sqrt{3}-\sqrt{2}, \quad b=\sqrt{2}-1\)
易知\(a<b\), 排除\(B,C\),还不能排除\(D\),猜测选\(A\).
方法二 做差法,分析法
\(a-b=\sqrt{c+1}-\sqrt{c}-(\sqrt{c}-\sqrt{c-1})=\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}-2 \sqrt{c}\)
要比较\(a ,b\)大小,只需要比较 \(\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}\)\(2 \sqrt{c}\)的大小
\(⟺\)比较 \((\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1})^{2}\)\(4c\)的大小 (遇到二次根式可考虑平方去掉根号)
\(⟺\)比较 \(2 c+2 \sqrt{c^{2}-1}\)\(4c\)的大小
\(⇔\)比较 \(\sqrt{c^{2}-1}\)\(c\)的大小
而显然 \(\sqrt{c^{2}-1}<c\),故 \(\sqrt{c+1}+\sqrt{c-1}<2 \sqrt{c}\),故\(a<b\),故选\(A\).
方法三 共轭根式法
\(\sqrt{c+1}-\sqrt{c}=\dfrac{(\sqrt{c+1}-\sqrt{c})(\sqrt{c+1}+\sqrt{c})}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}=\dfrac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}\)
\(\sqrt{c}-\sqrt{c-1}=\dfrac{(\sqrt{c}-\sqrt{c-1})(\sqrt{c}+\sqrt{c-1})}{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}\)
\(∵c>1\)
\(\therefore c+1>c-1>0 \Rightarrow \sqrt{c+1}>\sqrt{c-1} \Rightarrow \sqrt{c+1}+\sqrt{c}>\sqrt{c}+\sqrt{c-1}>0\)
\(\therefore \dfrac{1}{\sqrt{c+1}+\sqrt{c}}<\dfrac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{c-1}}\),即\(a<b\),故选\(A\).
点拨
1.比较两个式子的方法很多,选择题可以考虑取特殊值排除法;
2.方法二中,遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较,此时注意两个式子是否都是正数;在思考的过程中,不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单,等价过程中注意严谨;
3.方法三中注意到 \((\sqrt{c}-\sqrt{c-1})(\sqrt{c}+\sqrt{c-1})=1\).
\(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}, B=\sqrt{x}-\sqrt{y}\)\(A,B\)互为共轭根式,它们的乘积、平方和差有一定的特点.\(AB=x-y\)\(A^{2}+B^{2}=2(x+y)\)\(A^{2}-B^{2}=4 \sqrt{x y}\).
 

【典题3】已知\(a>0\),试比较 \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}\)\(\dfrac{a+1}{a-1}\)的大小.
解析 方法1 作差法
\(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}-\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{a^{2}+1-(a+1)^{2}}{a^{2}-1}=\dfrac{-2 a}{a^{2}-1}\)
(作差法,确定差 \(\dfrac{-2 a}{a^{2}-1}\)\(0\)的大小,由于\(a>0\),只需要判断\(a^2-1\)\(0\)的大小)
(i)当\(a>1\)时,\(-2a<0\)\(a^2-1>0\),则\(\dfrac{-2 a}{a^{2}-1}<0\),即 \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}<\dfrac{a+1}{a-1}\)
(ii)当\(0<a<1\)时,\(-2a<0\), \(a^2-1<0\),则\(\dfrac{-2 a}{a^{2}-1}>0\),即 \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}>\dfrac{a+1}{a-1}\)
综上可得\(a>1\)时, \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}<\dfrac{a+1}{a-1}\)\(0<a<1\)时, \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}>\dfrac{a+1}{a-1}\)
方法2 作商法
\(\because \dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1} \div \dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}+2 a+1}<1\)
(确定 \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}\)\(\dfrac{a+1}{a-1}\)的大小只需要确定\(\dfrac{a+1}{a-1}\)\(0\)的大小)
(i)当\(a>1\)时, \(\dfrac{a+1}{a-1}>0\),则 \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}<\dfrac{a+1}{a-1}\)
(ii)当\(0<a<1\)时, \(\dfrac{a+1}{a-1}<0\),则 \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}>\dfrac{a+1}{a-1}\)
综上可得\(a>1\)时, \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}<\dfrac{a+1}{a-1}\)\(0<a<1\)时, \(\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}-1}>\dfrac{a+1}{a-1}\)
点拨 比较两个式子的大小,可用做差法或做商法;一般幂的形式比较大小用作商法,比如比较 \(a^{a} b^{b}\)\((a b)^{\frac{a+b}{2}}\);多项式形式常用做差法,比如比较\(xy\)\(x+y-1\).
 

巩固练习

1已知 \(M=x^2-3x+7\)\(N=-x^2+x+1\),则(  )
 A.\(M<N\) \(\qquad \qquad\) B.\(M>N\) \(\qquad \qquad\) C.\(M=N\) \(\qquad \qquad\) D.\(M,N\)的大小与\(x\)的取值有关
 

2.已知\(a>b>0\),则 \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)\(\sqrt{a-b}\)的大小关系是( )
 A. \(\sqrt{a}-\sqrt{b}>\sqrt{a-b}\) \(\qquad \qquad\) B. \(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\) \(\qquad \qquad\)
 C. \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a-b}\) \(\qquad \qquad\) D.无法确定
 

3.若 \(A=\sqrt{6}-\sqrt{5}, \quad B=2 \sqrt{2}-\sqrt{7}\),则\(A,B\)的大小关系为\(\underline{\quad \quad}\)
 

4.比较下列各组中两个代数式的大小:
(1)\(x^2+3\)\(3x\)
(2)已知\(a,b\)为正数,且\(a≠b\),比较 \(a^3+b^3\)\(a^2 b+ab^2\)的大小.
 

参考答案

  1. 答案\(B\)
    解析 \(\because M-N=x^{2}-3 x+7+x^{2}-x-1=2\left(x^{2}-2 x+3\right)\)\(=2(x-1)^2+4>0\)
    \(M>N\),故选:\(B\)
  2. 答案 \(B\)
    解析 方法一 取特殊值排除法,令\(a=9\)\(b=4\),很容易得到\(B\).
    方法二 \(\because(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}-(\sqrt{a-b})^{2}=2 b-2 \sqrt{a b}=2 \sqrt{b}(\sqrt{b}-\sqrt{a})<0\)
    \(\therefore \sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a-b}\).
  3. 答案 \(A>B\)
    解析 \(A=\sqrt{6}-\sqrt{5}=\dfrac{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}\)\(B=2 \sqrt{2}-\sqrt{7}=\dfrac{(2 \sqrt{2}-\sqrt{7})(2 \sqrt{2}+\sqrt{7})}{2 \sqrt{2}+\sqrt{7}}=\dfrac{1}{2 \sqrt{2}+\sqrt{7}}\)
    \(0<\sqrt{6}+\sqrt{5}<2 \sqrt{2}+\sqrt{7}\),可得\(A>B\).
  4. 解析 (1) \(\left(x^{2}+3\right)-3 x=x^{2}-3 x+3=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}>0\)
    \(∴x^2+3 >3x\).
    (2) \((a^3+b^3 )-(a^2 b+ab^2 )=a^3+b^3-a^2 b-ab^2\)
    \(=a^2 (a-b)-b^2 (a-b)=(a-b)(a^2-b^2 )=(a-b)^2 (a+b)\)
    \(∵a >0,b >0\),且\(a≠b\)
    \(∴(a-b)^2>0\)\(a+b >0\).
    \(∴(a^3+b^3 )-(a^2 b+ab^2 )>0\)
    \(a^3+b^3>a^2 b+ab^2\).

分层练习

【A组---基础题】

1.下列不等式中,正确的是(  )
 A.若\(a>b,c>d\),则\(a+c>b+d\)
 B.若\(a>b\),则\(a+c<b+c\)
 C.若\(a>b,c>d\),则\(ac>bd\)
 D.若\(a>b,c>d\),则 \(\dfrac{a}{c}>\dfrac{b}{d}\)
 

2.若\(a>b,c>d\),则下列命题中正确的是 (  )
 A.\(a-c>b-d\) \(\qquad \qquad\) B.\(\dfrac{a}{d}>\dfrac{b}{c}\) \(\qquad \qquad\) C.\(ac>bd\) \(\qquad \qquad\) D.\(c+a>d+b\)
 

3.已知\(a,b,c\)满足\(c<b<a\)\(ac<0\),那么下列选项中一定成立的是(  )
 A.\(ab>ac\) \(\qquad \qquad\) B.\(c(b-a)<0\) \(\qquad \qquad\) C. \(cb^2<ab^2\) \(\qquad \qquad\) D.\(ac(a-c)>0\)
 

4.已知\(-1<b<0,a<0\),那么下列不等式成立的是(  )
 A.\(a>ab>ab^2\) \(\qquad \qquad\) B.\(ab^2>ab>a\) \(\qquad \qquad\) C.\(ab>a>ab^2\) \(\qquad \qquad\) D.\(ab>ab^2>a\)
 

5.已知\(a,b\)为非零实数,且\(a<b\),则下列命题成立的是(  )
 A、 \(a^2<b^2\) \(\qquad \qquad\) B、 \(ab^2<a^2 b\) \(\qquad \qquad\) C、 \(\dfrac{1}{a b^{2}}<\dfrac{1}{a^{2} b}\) \(\qquad \qquad\) D、 \(\dfrac{b}{a}<\dfrac{a}{b}\)
 

6.设\(M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3)\),则有(  )
 A.\(M>N\) \(\qquad \qquad\) B.\(M≥N\) \(\qquad \qquad\) C.\(M<N\) \(\qquad \qquad\) D.\(M≤N\)
 

7.若 \(A=a^2+3ab\)\(B=4ab-b^2\),则\(A、B\)的大小关系是(  )
 A.\(A≤B\) \(\qquad \qquad\) B.\(A≥B\) \(\qquad \qquad\) C.\(A<B\)\(A>B\) \(\qquad \qquad\) D.\(A>B\)
 

8.若\(1<a<4\)\(-2<b<4\),则\(2a-b\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)
 

9.设 \(P=\sqrt{2}, Q=\sqrt{6}-\sqrt{2}\),那么\(P,Q\)的大小关系是\(\underline{\quad \quad}\).
 

10.已知\(a>b>0\)\(c<0\),求证 \(\dfrac{c}{a}>\dfrac{c}{b}\).
 

参考答案

  1. 答案\(A\)
    解析\(a>b\),则\(a+c<b+c\),故\(B\)错,
    \(a=3,b=1,c=-1,d=-2\),则\(ac<bd\)\(\dfrac{a}{c}<\dfrac{b}{d}\)\(∴C、D\)错,故选\(A\)
  2. 答案 \(D\)
    解析 由题已知,\(a>b,c>d\),根据不等式的性质,\(B,C\)选项数的正负不明,错误;
    由同向不等式的可加性可知,已知\(a>b,c>d\)时有\(a+c>b+d\)\(D\)正确.
  3. 答案 \(A\)
    解析 由题意得\(c<0,a>0\)\(b<a\),可得\(ab>ac\),故选\(A\) .
  4. 答案 \(D\)
    解析 \(∵-1<b<0,a<0\)\(∴ab>0\)\(b<0<1\)\(b^2<1\)
    \(∴ab-ab^2=ab(1-b)>0\),\(ab^2-a=a(b^2-1)>0\)
    \(∴ab>ab^2>a\)
    故选:\(D\)
  5. 答案 \(C\)
    解析\(a<b<0⇒a^2≥b^2\)\(A\)不成立;
    \(\left\{\begin{array}{l} a b>0 \\ a<b \end{array} \Rightarrow a^{2} b<a b^{2}\right.\),\(B\)不成立;若\(a=1,b=2\)
    \(\dfrac{b}{a}=2, \dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{b}{a}>\dfrac{a}{b}\),所以\(D\)不成立 ,故选\(C\).
  6. 答案 \(A\)
    解析 \(M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)\)
    \(=2a^2-4a-(a^2-2a-3)=a^2-2a+3=(a-1)^2+2>0\)恒成立,
    所以\(M>N\).故 \(A\)正确.
  7. 答案 \(B\)
    解析 因为\(A-B=a^{2}+3 a b-\left(4 a b-b^{2}\right)=\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} b^{2} \geq 0\),所以\(A≥B\).
  8. 答案 \(\{x|-2<x<10\}\)
    解析 \(-2<b<4\),\(∴-4<-b<2\)\(∵2<a<8\),\(∴-2<2a-b<10\).
  9. 答案\(P>Q\)
    解析 \(P>Q \Leftarrow \sqrt{2}>\sqrt{6}-\sqrt{2} \Leftarrow 2 \sqrt{2}>\sqrt{6} \Leftarrow(2 \sqrt{2})^{2}>(\sqrt{6})^{2} \Leftarrow 8>6\)
  10. 解析 \(∵a>b>0\)\(∴ab>0\)\(\dfrac{1}{a b}>0\)
    于是 \(a \cdot \dfrac{1}{a b}>b \cdot \dfrac{1}{a b}\),即 \(\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{a}\),又\(c<0\)\(\therefore \dfrac{c}{a}>\dfrac{c}{b}\).

【B组---提高题】

1.设\(ab>0\),下面四个不等式中,正确的是(  )
\(|a+b|>|a|\);②\(|a+b|<|b|\);③\(|a+b|<|a-b|\);④\(|a+b|>|a|-|b|\)
 A.①和② \(\qquad \qquad\) B.①和③ \(\qquad \qquad\) C.①和④ \(\qquad \qquad\) D.②和④
 

2.已知正数\(a,b,c,d\)满足\(a+d=b+c\)\(|a-d|<|b-c|\),则有(  )
 A.\(ad=bc\) \(\qquad \qquad\) B.\(ad<bc\) \(\qquad \qquad\) C.\(ad>bc\) \(\qquad \qquad\) D.\(ad\)\(bc\)大小不定
 

3.已知\(-1≤x+y≤4\),且\(2≤x-y≤3\),则\(z=2x-3y\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)
 

4.下列命题中:
①若\(a,b,m\)都是正数,且 \(\dfrac{a+m}{b+m}>\dfrac{a}{b}\),则\(b>a\)
②已知\(a,b\)都为实数,若\(|a+b|<|a|+|b|\),则\(ab<0\)
③若\(a,b,c\)\(△ABC\)的三条边,则 \(a^2+b^2+c^2>2(ab+bc+ca)\)
④若\(a>b>c\),则 \(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}>0\)
其中正确命题的个数为\(\underline{\quad \quad}\)个.
 

5.已知\(a,b∈R\),且 \(P=\dfrac{a+b}{2}, \quad Q=\sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}\),则\(P、Q\)的关系是\(\underline{\quad \quad}\).
 

6.若 \(P=\sqrt{a+3}+\sqrt{a+5}\)\(Q=\sqrt{a+1}+\sqrt{a+7}(a \geq 0)\),则\(P,Q\)的大小关系是\(\underline{\quad \quad}\) .
 

7.已知\(a>b>0\),比较 \(\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)\(\dfrac{a-b}{a+b}\)的大小.
 

8.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,谁先到教室?
 
 

参考答案

  1. 答案 \(C\)
    解析 由题\(ab>0\),则说明两个数同号,易判断①\(|a+b|>|a|\),正确; ②\(|a+b|<|b|\)错误;③\(|a+b|<|a-b|\);错误;④\(|a+b|>|a|-|b|\)正确 . 故选\(C\).
  2. 答案 \(C\)
    解析 方法1:可以用特殊值法.
    比如令正数\(a=2,b=1,c=4,d=3\),满足\(|a-d|<|b-c|\),得\(ad>bc\)
    方法2:因为\(a,b,c,d\)均为正数,又由\(a+d=b+c\)\(a^2+2ad+d^2=b^2+2bc+c^2\)
    所以 \((a^2+d^2 )-(b^2+c^2 )=2bc-2ad\).①
    又因为\(|a-d|<|b-c|\),可得 \(a^2-2ad+d^2<b^2-2bc+c^2\),②
    将①代入②得\(2bc-2ad<-2bc+2ad\)
    \(4bc<4ad\),所以\(ad>bc\)
    故选:\(C\)
  3. 答案 \(\{x|3<x<8\}\)
    解析 因为 \(z=-\dfrac{1}{2}(x+y)+\dfrac{5}{2}(x-y)\),所以 \(3 \leq-\dfrac{1}{2}(x+y)+\dfrac{5}{2}(x-y) \leq 8\).
  4. 答案 \(3\)
    解析 ①若\(a,b,m\)都是正数,且 \(\dfrac{a+m}{b+m}>\dfrac{a}{b}\),则\(b>a\),故有\(a-b<0\),此命题正确;
    ②已知\(a,b\)都为实数,若\(|a+b|<|a|+|b|\),则\(ab<0\),由绝对值不等式的意义知,此两数符号相反,故命题正确;
    ③若\(a,b,c\)\(△ABC\)的三条边,则 \(a^2+b^2+c^2>2(ab+bc+ca)\)
    三角形中两边之差小于第三边,所以 \((a-b)^2<c^2;(b-c)^2<a^2\); \((c-a)^2<b^2\)
    展开后相加整理即可得 \(a^2+b^2+c^2>2(ab+bc+ca)\),故此命题不对;
    ④若\(a>b>c\),则 \(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}>0\),此命题正确,因为\(a>b>c\),
    \(a-b>0\),\(b-c>0\),\(c-a<0\),且\(b-c+c-a=b-a<0\)
    故有 \(\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}>0\),即 \(\dfrac{1}{a-b}+\dfrac{1}{b-c}+\dfrac{1}{c-a}>0\),成立
    综上①②④是正确命题.
  5. 答案 \(P≤Q\)
    解析 因为\(a,b∈R\),且 \(P=\dfrac{a+b}{2}, \quad Q=\sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}\)
    所以 \(P^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+2 a b}{4}, Q^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}\)
    \(P^{2}-Q^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+2 a b}{4}-\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}=\dfrac{2 a b-a^{2}-b^{2}}{4}=-\dfrac{(a-b)^{2}}{4} \leq 0\)
    当且仅当\(a=b\)时取等成立,
    所以 \(P^{2}-Q^{2} \leq 0\),即 \(P^2≤Q^2\),所以\(P≤Q\).
  6. 答案 \(P>Q\)
    解析 \(∵a≥0\)\(P^{2}=2 a+8+2 \sqrt{a^{2}+8 a+15}\)\(Q^{2}=2 a+8+2 \sqrt{a^{2}+8 a+7}\)
    \(∴a^2+8a+15>a^2+8a+7\)
    \(\therefore 2 \sqrt{a^{2}+8 a+15}>2 \sqrt{a^{2}+8 a+7}\)
    \(∴P^2>Q^2\),且\(P>0,Q>0\)
    \(∴P>Q\)
  7. 答案 \(\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}>\dfrac{a-b}{a+b}\)
    解析 \(∵a>b>0\)\(\therefore \dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}>0, \quad \dfrac{a-b}{a+b}>0\)
    \(\therefore \dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}} \cdot \dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+2 a b}{a^{2}+b^{2}}=1+\dfrac{2 a b}{a^{2}+b^{2}}>1\)
    \(\therefore \dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}>\dfrac{a-b}{a+b}\).
  8. 答案 已先回到教室
    解析 设路程为\(s\),步行速度\(v_1\),跑步速度\(v_2\),则
    甲用时 \(t_{1}=\dfrac{\dfrac{1}{2^{S}}}{v_{1}}+\dfrac{\dfrac{1}{2^{S}}}{v_{2}}\),乙用时\(t_{2}=\dfrac{2 s}{v_{1}+v_{2}}\)
    \(t_{1}-t_{2}=\dfrac{s}{2 v_{1}}+\dfrac{s}{2 v_{2}}-\dfrac{2 s}{v_{1}+v_{2}}=s\left(\dfrac{v_{1}+v_{2}}{2 v_{1} v_{2}}-\dfrac{2}{v_{1}+v_{2}}\right)\)
    \(=\dfrac{\left(v_{1}+v_{2}\right)^{2}-4 v_{1} v_{2}}{2 v_{1} v_{2}\left(v_{1}+v_{2}\right)} \cdot S=\dfrac{\left(v_{1}-v_{2}\right)^{2 \cdot s}}{2 v_{1} v_{2}\left(v_{1}+v_{2}\right)}>0\)
    所以甲用时多,已先回到教室.

【C组---拓展题】

1.若\(m<n\),\(p<q\),且\((p-m)(p-n)<0\)\((q-m)(q-n)<0\),则\(m,n,p,q\)从小到大排列顺序是(  )
 A.\(m<p<q<n\) \(\qquad \qquad\) B.\(p<m<q<n\) \(\qquad \qquad\) C.\(m<p<n<q\) \(\qquad \qquad\) D.\(p<m<n<q\)
 

2.设\(a,b\)为正实数,下列结论正确的是(  )
①若 \(a^2-b^2=1\),则\(a-b<1\); ②若 \(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=1\),则\(a-b<1\)
③若 \(|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=1\),则\(|a-b|<1\); ④若 \(|a^3-b^3 |=1\),则\(|a-b|<1\)
 A.①② \(\qquad \qquad\) B.②④ \(\qquad \qquad\) C.①③ \(\qquad \qquad\) D.①④
 

3.若二次函数\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称,且\(1≤f(1)≤2\)\(3≤f(2)≤4\),求\(f(3)\)的取值范围.
 

4.已知\(a>0,b>0\),且\(m,n∈N^*\)\(1≤m≤n\),比较\(a^n+b^n\)\(a^{n-m} b^m+a^m b^{n-m}\)的大小.
 

5.设 \(S=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}\),\(a,b,c,d∈R^+\), 求\(S\)的整数部分.
 
 

参考答案

  1. 答案 \(A\)
    解析 \(∵(q-m)(q-n)<0\)\(∴m,n\)一个大于\(q\),一个小于\(q\)
    \(∵m<n\)\(∴m<q<n\)
    \(∵(p-m)(p-n)>0\)\(∴m,n\)一个大于\(p\),一个小于\(p\)
    \(∵m<n\)\(∴m<p<n\)
    \(∵p<q\)\(∴m<p<q<n\)
    故选 \(A\)
  2. 答案 \(D\)
    解析 ①若 \(a^2-b^2=1\),则 \(a^2-1=b^2\),即\((a+1)(a-1)=b^2\)
    \(∵a+1>a-1\)\(∴a-1<b\),即\(a-b<1\),①正确;
    ②若\(\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=1\),可取\(a=7\)\(b=\dfrac{7}{8}\),则\(a-b>1\)\(∴\)②错误;
    ③若 \(|\sqrt{a}-\sqrt{b}|=1\),则可取\(a=9,b=4\),而\(|a-b|=5>1\),∴③错误;
    ④由 \(|a^3-b^3 |=1\)
    \(a>b\),则 \(a^3-b^3=1\),即 \(a^3-1=b^3\),即 \((a-1)(a^2+1+a)=b^3\)
    \(∵a^2+1+a>b^2\)\(∴a-1<b\),即\(a-b<1\)
    \(a<b\),则 \(b^3-a^3=1\),即 \(b^3-1=a^3\),即 \((b-1)(b^2+1+b)=a^3\)
    \(∵b^2+1+b>a^2\)\(∴b-1<a\),即\(b-a<1\)
    \(∴|a-b|<1\) \(∴\)④正确;
    所以正确的答案为①④.
    故选:\(D\)
  3. 答案 \(\dfrac{14}{3} \leq f(3) \leq 9\)
    解析由题意设\(f(x)=ax^2+c(a≠0)\)
    \(\left\{\begin{array}{l} f(1)=a+c \\ f(2)=4 a+c \end{array}\right.\),所以 \(\left\{\begin{array}{l} a=\dfrac{f(2)-f(1)}{3} \\ c=\dfrac{4 f(1)-f(2)}{3} \end{array}\right.\)
    \(f(3)=9 a+c=3 f(2)-3 f(1)+\dfrac{4 f(1)-f(2)}{3}=\dfrac{8 f(2)-5 f(1)}{3}\)
    因为\(1≤f(1)≤2\)\(3≤f(2)≤4\)
    所以\(5≤5f(1)≤10\)\(24≤8f(2)≤32\)
    所以\(-10≤-5f(1)≤-5\)
    所以\(14≤8f(2)-5f(1)≤27\)
    所以 \(\dfrac{14}{3} \leq \dfrac{8 f(2)-5 f(1)}{3} \leq 9\)
    \(\dfrac{14}{3} \leq f(3) \leq 9\).
  4. 答案 \(a^{n}+b^{n} \geq a^{n-m} b^{m}+a^{m} b^{n-m}\)
    解析 \(a^{n}+b^{n}-\left(a^{n-m} b^{m}+a^{m} b^{n-m}\right)\)
    \(=a^{n-m}\left(a^{m}-b^{m}\right)+b^{n-m}\left(b^{m}-a^{m}\right)=\left(a^{m}-b^{m}\right)\left(a^{n-m}-b^{n-m}\right)\)
    因为\(a>0,b>0\)\(m,n∈N^*\)\(1≤m≤n\)
    \(a=b>0\)时, \(a^{n}+b^{n}-\left(a^{n-m} b^{m}+a^{m} b^{n-m}\right)=0\)
    \(a>b>0\)时, \(a^{m}>b^{m}, \quad a^{n-m} \geq b^{n-m}\)
    所以 \(a^{n}+b^{n}-\left(a^{n-m} b^{m}+a^{m} b^{n-m}\right) \geq 0\)
    \(b>a>0\)时, \(a^m<b^m\)\(a^{n-m}≤b^{n-m}\)
    所以 \(a^{n}+b^{n}-\left(a^{n-m} b^{m}+a^{m} b^{n-m}\right) \geq 0\).
    综上所述, \(a^{n}+b^{n} \geq a^{n-m} b^{m}+a^{m} b^{n-m}\).
  5. 答案 \(1\)
    解析 \(\because S=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}\)
    \(>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=1\)\(S=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}<\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{d}{d+b}=2\)\(1<S<2\)
    所以\(S\)的整数部分是\(1\).
posted @ 2022-08-31 09:56  贵哥讲数学  阅读(601)  评论(0编辑  收藏  举报
//更改网页ico // 实现数学符号与汉字间有间隙 //文章页加大页面,隐藏侧边栏