1.4 充分条件与必要条件 1.5 全称量词和存在量词
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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基础知识
充分条件与必要条件
1 概念
一般地，”若\(p\)，则\(q\)”为真命题，是指以\(p\)为已知条件通过推理可以得出\(q\).
这时，我们就说，由\(p\)可以推出\(q\)，记作\(p⇒q\)，并且说，\(p\)是\(q\)的充分条件，\(q\)是\(p\)的必要条件.
如果”若\(p\)，则\(q\)”和它的逆命题”若\(q\)，则\(p\)”均是真命题，
即既有\(p⇒q\)，又有\(q⇒p\)，就记作\(p⇔q\)，
此时\(p\)即是\(q\)的充分条件也是必要条件，我们说\(p\)是\(q\)的充要条件.
2 判断
\(p\)是\(q\)的\(\underline{\quad \quad}\)条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若\(p⇒q\)则充分，若\(p⇏q\)则不充分；
从右到左，若\(q⇒p\)则必要，若\(q⇏p\)则不必要.
【例】 帅哥是男人的\(\underline{\quad \quad}\)条件.
解析 从左到右，显然若\(A\)是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若\(B\)是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
3 从集合的角度理解
(1) 命题\(p\)、\(q\)对应集合\(A\)、\(B\)，
若\(A⊆B\)，则\(p⇒q\)，即\(p\)是\(q\)的充分条件；若\(A⊈B\)，则\(p⇏q\)，即\(p\) 不是\(q\)的充分条件.
注 若\(A⊆B\)，则称\(A\)为小范围，\(B\)为大范围.
【例】 帅哥是男人的\(\underline{\quad \quad}\)条件.
解析 设集合\(A=\{\)帅哥\(\}\)，集合\(B=\{\)男人\(\}\)，显然\(A⊆B\)，\(\{\)帅哥\(\}\)是小范围，推得出\(\{\)男人\(\}\)这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
【练】\(x>1\)是\(x>2\)的\(\underline{\quad \quad}\)条件，
解析 因为\(\{x|x>2\}⊊\{x|x>1\}\).故答案是不充分必要条件
(2) 结论
① 若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件，则\(A⊊B\)；
② 若\(p\)是\(q\)的必要不充分条件，则\(B⊊A\)；
③ 若\(p\)是\(q\)的充分条件，则\(A⊆B\)；
④ 若\(p\)是\(q\)的必要条件，则\(B⊆A\)；
⑤ 若\(p\)是\(q\)的充要条件，则\(A=B\).
全称量词与存在量词
1 全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“\(∀\)”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对\(M\)中任意一个\(x\)，有\(p(x)\)成立”，记作\(∀ x∈M\) ,\(p(x)\)．
Eg ：对所有末位数是\(0\)的数能被\(5\)整除，\(\forall x>0, x+\dfrac{1}{x} \geq 2\).
2 存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“\(∃\)”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在\(M\)中的一个\(x\)，使\(p(x)\)成立”，记作\(∃ x∈M ,p(x)\).
Eg ：至少有一个质数是偶数，\(∃x>0,x^2-2x+3<0\).
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
【例】 \(∀ x>1,x^2>1\)的否定是\(\underline{\quad \quad}\)，并判断他们的真假性.
解析 \(∃ x>1,x^2≤1\). \(∀ x>1,x^2>1\)是真命题，\(∃ x>1,x^2≤1\)是假命题.
基本方法
【题型1】判断充分条件与必要条件
【典题1】\(|x-1|≤1\)是\(x^2-x<0\)的( )
A．充分不必要条件 \(\qquad \qquad\) B．必要不充分条件\(\qquad \qquad\) C．充要条件 \(\qquad \qquad\) D．既不充分也不必要条件
解析 设命题\(p:|x-1|≤1⇔0≤x≤2\)，命题\(q:x^2-x<0⇔0<x<1\)；
所以\(q⇒p\)，但\(p⇏q\)，故\(p\)是\(q\)的必要不充分条件．
点拨 从集合的角度分析，\(\{x|0<x<1\}⊊\{0≤x≤2\}\)，由“小范围推得出大范围”也可以得\(|x-1|≤1\)是\(x^2-x<0\)的必要不充分条件.
【典题2】设\(a>0 ,b>0\)，则“\(a+b≥2\)”是“\(a^2+b^2≥2\)”的 ( )
A．充分不必要条件\(\qquad \qquad\) B．必要不充分条件 \(\qquad \qquad\) C．充分必要条件 \(\qquad \qquad\) D．既不充分也不必要条件
解析\(∵a+b≥2\) 可知\(∵a+b≥2\)，而\(a^{2}+b^{2} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}\)，\(∴a^2+b^2≥2\)．
反之不成立，例如\(a=\sqrt{3}\)，\(b=0\)，满足\(a^2+b^2≥2\)，但\(a+b≥2\)不成立.
\(∴\)“\(a+b≥2\)”是“\(a^2+b^2≥2\)”的充分不必要条件．故选：\(A\)．
点拨
1.以“\(a+b≥2\)”为已知，可以推出“\(a^2+b^2≥2\)”这个结论，所以“\(a+b≥2\)”是“\(a^2+b^2≥2\)”的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它；
2.证明“\(a^2+b^2≥2\)”推不出“\(a+b≥2\)”，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为"取特殊值否定法"；
3.思考：本题可从集合的角度去判断么？
【典题3】 若\(a ,b\)是正整数，则\(a+b>ab\)充要条件是( )
A．\(a=b=1\) \(\qquad \qquad\) B．\(a ,b\)有一个为\(1\) \(\qquad \qquad\) C．\(a=b=2\) \(\qquad \qquad\) D．\(a>1\)且\(b>1\)
解析 \(∵a+b>ab\)，
\(∴ab-a-b<0⇒ab-a-b+1<1⇒(a-1)(b-1)<1\)，
\(∵a ,b\)是正整数，\(∴a≥1，b≥1\)，
则\(a-1≥0\)，\(b-1≥0\)，\(∴(a-1)(b-1)≥0\)，
若\((a-1)(b-1)<1\)，则\((a-1)(b-1)=0\)，
即\(a=1\)或\(b=1\)，即\(a ,b\)有一个为\(1\)，
即\(a+b>ab\)充要条件是\(a ,b\)有一个为\(1\)，故选\(B\)．
点拨
1.本题求充要条件就相当于“当\(a ,b\)是正整数，由\(a+b>ab\)可以等价推导出什么结论”；
2.\(p\)是\(q\)充要条件就是相当于两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做“等价转化”，在推导问题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析.
巩固练习
1.设\(a,b∈R\),则\((a-b)⋅a^2<0\)是\(a<b\)的( )．
A.充分非必要条件 \(\qquad \qquad\) B.必要非充分条件 \(\qquad \qquad\) C.充要条件 \(\qquad \qquad\) D.既不充分也不必要条件
2."\(m<\dfrac{1}{4}\) "是“一元二次方程\(x^2+x+m=0\)有实数解”的( )
A．充分不必要条件 \(\qquad \qquad\) B．充分且必要条件 \(\qquad \qquad\) C．必要不充分条件 \(\qquad \qquad\) D．既不充分也不必要条件
3.“\(|x|<2\)”是“\(x^2-x-6<0\)”的( )
A.充分而不必要条件 \(\qquad \qquad\) B.必要而不充分条件 \(\qquad \qquad\) C.充要条件 \(\qquad \qquad\) D.既不充分也不必要条件
4.条件\(p\)：关于\(x\)的不等式\((a-4) x^2+2(a-4)x-4<0(a∈R)\)的解集为\(R\)；条件\(q：0<a<4\)，则\(p\)是\(q\)的( )
A．充分不必要条件 \(\qquad \qquad\) B．必要不充分条件 \(\qquad \qquad\) C．充要条件 \(\qquad \qquad\) D．既不充分也不必要条件
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 由\((a-b)⋅a^2<0\)得，\(a≠0\)且 \(a<b\)；反之，由\(a<b\)，不能推出\((a-b)⋅a^2<0\)，即\((a-b)⋅a^2<0\)是\(a<b\)的充分非必要条件，选\(A\). -
答案 \(A\)
解析 方程\(x^2+x+m=0\)有解，则\(\Delta=1-4 m \geq 0 \Rightarrow m \leq \frac{1}{4}\).\(m<\frac{1}{4}\)是\(m \leq \frac{1}{4}\)的充分不必要条件.故\(A\)正确. -
答案 \(A\)
解析 \(|x|<2\)得\(-2<x<2\),由 \(x^2-x-6<0\)得\(-2<x<3\). 故选\(A\). -
答案 \(B\)
解析条件\(p\)：关于x的不等式\((a-4)x^2+2(a-4)x-4<0(a∈R)\)的解集为\(R\)，
当\(a=4\)时，\(-4<0\)恒成立，
当\(a≠4\)时，则\(\left\{\begin{array}{l} a-4<0 \\ \Delta=4(a-4)^{2}+16(a-4)<0 \end{array}\right.\)，解得\(0<a<4\)，
综上所述\(p\)中\(a\)的取值范围为\(0<a≤4\)，
所以则\(p\)是\(q\)的必要不充分条件，
故选：\(B\)．
【题型2】全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)\(∀x∈N ,x^3>x^2\)；
(2)所有可以被\(5\)整除的整数，末位数字都是0；
(3)\(∃x_0∈R\) ,\(x_0^2-x_0+1≤0\)；
(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
解析(1)全称命题，当\(x=0\)时，结论不成立，所以为假命题．
命题的否定：\(∃x∈N ,x^3≤x^2\).
(2)全称命题，所有可以被\(5\)整除的整数，末位数字都是\(0\)或\(5\)；为假命题．
命题的否定：存在可以被\(5\)整除的整数，末位数字不都是\(0\)；(这里不能写“都不是”)
(3)特称命题，\(x_{0}^{2}-x_{0}+1=\left(x_{0}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}\)，所以结论不成立，为假命题．
命题的否定：\(∀x∈R ,x^2-x+1>0\)．
(4)特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．
命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．
点拨全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
【典题2】若命题“\(∀x∈[1 ,4]\)时，\(x^2-4x-m≠0\)”是假命题，则\(m\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 ∵“\(∀x∈[1 ,4] ,x^2-4x-m≠0\)”是假命题，
\(∴\)该命题的否定"\(∃x_0∈[1 ,4] ,x_0^2-4x_0-m=0\)"是真命题，
即方程\(x^2-4x-m=0\)在\([1 ,4]\)上有解，
\(∴(1-4-m)(16-16-m)≤0\)，解得\(-4≤m≤0\).
点拨
1.命题与命题的否定的真假性相反；
2.正面不好证明，可从反面入手.
巩固练习
1.命题“\(∃x∈R,x^2-x+1<0\)”的否定是( )
A．\(∀x∈R，x^2-x+1≥0\)
B．\(∀x∈R，x^2-x+1>0\)
C．\(∃x∈R，x^2-x+1≥0\)
D．\(∃x∈R，x^2-x+1>0\)
2.已知命题\(p：∃x_0∈R\)，使得\(x_0^2+x_0+1<0\)，那么此命题是\(\underline{\quad \quad}\)命题(填“真”或“假”)；
3.若命题“\(∃x_0∈R，3x_0^2+2ax_0+1<0\)”是假命题，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案\(A\)
解析 因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“\(∃x∈R,x^2-x+l<0\)”的否定是“\(∀x∈R,x^2-x+1≥0\)”．
故选：\(A\)． -
答案 假
解析 由于\(x_{0}^{2}+x_{0}+1=\left(x_{0}+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}>0\)，
所以，不存在任何数使\(x_0^2+x_0+1<0\)成立，
故该命题为假命题．故答案为：假． -
答案 \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)
解析 命题“\(∃x_0∈R,3x_0^2+2ax_0+1<0\)”的否定为“\(∀x∈R,3x^2+2ax+1≥0\)”，
\(∵\)命题“\(∃x_0∈R,3x_0^2+2ax_0+1<0\)”是假命题，
\(∴\)“\(∀x∈R,3x^2+2ax+1≥0\)”为真命题，
则\(△=4a^2-12≤0\)，解得\(-\sqrt{3} \leq a \leq \sqrt{3}\)．
\(∴\)实数\(a\)的取值范围是： \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)．
故答案为： \([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)．
【题型3】综合运用
【典题1】若“\(x^2-3x-4>0\)”是“\(x^2-3ax-10a^2>0\)”的必要不充分条件，求实数\(a\)的取值范围.
解析 由\(x^2-3x-4>0\)得\(x>4\)或\(x<-1\)，即不等式的解集为\(A=\{x|x>4\)或\(x<-1\}\)，
由\(x^2-3ax-10a^2>0\)得\((x+2a)(x-5a)>0\)，
若\(a=0\)，则不等式的解为\(x≠0\)，此时不等式的解集为为\(B=\{x|x≠0\}\)，
若\(a>0\)，则不等式的解集为\(B=\{x|x>5a\)或\(x<-2a\}\)，
若\(a<0\)，不等式的解集为\(B=\{x|x>-2a\)或\(x<5a\}\)，
(求解含参的不等式，注意分类讨论)
若“\(x^2-3x-4>0\)”是“\(x^2-3ax-10a^2>0\)”的必要不充分条件，则\(B⊊A\)，
(从集合的角度去思考充分必要条件问题)
则当\(a=0\)时，不满足条件．
当\(a>0\)时，则满足\(\left\{\begin{array}{l}
5 a \geq 4 \\
-2 a<-1
\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}
a \geq \dfrac{4}{5} \\
a>\dfrac{1}{2}
\end{array}\right.\)，得\(a \geq \dfrac{4}{5}\)，
当\(a<0\)时，则满足\(\left\{\begin{array}{l}
-2 a \geq 4 \\
5 a \leq-1
\end{array}\right.\)，得\(\left\{\begin{array}{l}
a \leq-2 \\
a \leq-\dfrac{1}{5}
\end{array}\right.\)，得\(a≤-2\)．
综上实数\(a\)的取值范围\(\{a|a≤-2\)或\(\left.a \geq \dfrac{4}{5}\right\}\).
点拨
1.本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根“\(5a ,-2a\)”的大小比较，才有了"\(a=0 ,a>0 ,a<0\)" 的分类；
2.从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”.
巩固练习
1.条件\(p：|x-m|≤2\)，条件\(q：-1≤x≤n\)，若\(p\)是\(q\)的充分条件，则\(n\)的最小值为( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad\) D．\(4\)
2.已知命题\(p：x<2m+1\),\(q：x^2-5x+6<0\)，且\(p\)是\(q\)的必要不充分条件，则实数\(m\)的取值范围为( )
A． \(m>\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) B． \(m \geq \dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\) C．\(m>1\) \(\qquad \qquad\) D．\(m≥1\)
3.已知命题\(p:\left|1-\dfrac{x-1}{2}\right| \leq 3\)；\(q:x^2-2x+1-m^2≤0,(m>0)\),若\(q\)是\(p\)的充分非必要条件，试求实数\(m\)的取值范围．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 条件\(p：|x-m|≤2\)，可得\(m-2≤x≤m+2\)．条件\(q：-1≤x≤n\)，
若\(p\)是\(q\)的充分条件，则\(-1≤m-2\)，\(m+2≤n\)，解得\(m≥1\)，\(n≥3\)．
则\(n\)的最小值为\(3\)．故选：\(C\)． - 答案 \(D\)
解析 \(∵\)命题\(p：x<2m+1\)，\(q：x^2-5x+6<0\)，即\(2<x<3\)，\(p\)是\(q\)的必要不充分条件，
\(∴(2,3)⫋(-∞,2m+1)\)，\(∴2m+1≥3\)，解得\(m≥1\)．
实数\(m\)的取值范围为\(m≥1\)．故选：\(D\)． - 答案 \(0<m≤4\)
解析 命题\(p\)中不等式可化为\(-3≤x≤9\), \(q\)可化为\(1-m≤x≤1+m(m>0)\)
\(∵q\)是\(p\)的充分非必要条件 \(∴q⇒p\)
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} 1+m \leq 9 \\ 1-m \geq-3 \end{array}\right.\) ,解得\(m≤4\)
\(∴\)实数\(m\)的范围是\(0<m≤4\).
分层练习
【A组---基础题】
1.设\(m,n\)是整数，则“\(m,n\)均为偶数” 是“\(m,n\)是偶数”的( )
A.充分而不必要条件 \(\qquad \qquad\) B.必要而不充分条件 \(\qquad \qquad\) C.充要条件\(\qquad \qquad\) D.既不充分也不必要条件
2.已知\(a,b\)都是实数，那么"\(a^2>b^2\)"是"\(a>b\)''的( )
A 充分而不必要条件 \(\qquad \qquad\) B 必要而不充分条件 \(\qquad \qquad\) C 充分必要条件 \(\qquad \qquad\) D 既不充分也不必要条件
3.设集合\(M=\{x∣0<x≤3\}\),\(N=\{x∣0<x≤2\}\)，那么"\(a∈M\)"是"\(a∈N\)"的( )
A．充分而不必要条件 \(\qquad \qquad\) B．必要而不充分条件 \(\qquad \qquad\) C．充分必要条件 \(\qquad \qquad\) D．既不充分也不必要条件
4.在关于\(x\)的不等式\(ax^2+2x+1>0\)中，“\(a>1\)”是“\(ax^2+2x+1>0\)恒成立”的( )
A．充分不必要条件 \(\qquad \qquad\) B．必要不充分条件 \(\qquad \qquad\) C．充要条件 \(\qquad \qquad\) D．既不充分也不必要条件
5.若“存在实数\(x\)，使\(x^2-2x+m=0\)”为真命题，则实数\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
6.已知\(p：x^2-8x-20>0\),\(q：x^2-2x+1-a^2>0\)．若\(p\)是\(q\)的充分而不必要条件，求正实数\(a\)的取值范围．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(m,n\)均为偶数\(⇒m+n\)是偶数，则充分；\(m+n\)是偶数则\(m,n\)均为偶数或者\(m,n\)均为奇数，即\(m+n\)是偶数\(⇏m,n\)均为偶数，则不必要，故选\(A\). -
答案 \(D\)
解析 依题"\(a^2>b^2\) "既不能推出 "\(a>b\)''；反之，由"\(a>b\)''也不能推出"\(a^2>b^2\) ".
故"\(a^2>b^2\) "是"\(a>b\)''的既不充分也不必要条件.选\(D\). -
答案 \(B\)
解析 \(M\)的元素不一定是\(N\)的元素，比如：\(a=2.5\)，即\(M\)推不出\(N\)；而\(N\)中的元素一定是\(M\)的，即\(N\)推不出\(M\).所以"\(a∈M\)"是"\(a∈N\)"的必要不充分条件，选\(B\). -
答案 \(C\)
解析 在关于\(x\)的不等式\(ax^2+2x+1>0\)中，
当a\(>1\)时，\(△=4－4a<0\)，∴“\(a>1\)”⇒“\(ax^2+2x+1>0\)恒成立”，
当\(△=4－4a<0\)时，\(a>1\)，\(∴\)“\(ax^2+2x+1>0\)恒成立”⇒“\(a>1\)”，
\(∴\)“\(a>1\)”是“\(ax^2+2x+1>0\)恒成立”的充要条件．
故选：\(C\)． -
答案 \(m≤1\)
解析 \(∵\)“存在\(x∈R\)，\(x^2-2x+m=0\)”为真命题，即\(△=4-4m≥0\)，解得\(m≤1\)．
\(∴\)实数\(m\)的取值范围是：\(m≤1\)． -
答案\(0<a≤3\)
解析 \(p：x<-2\)或\(x>10\)，\(q：x<1-a\)或\(x>1+a\)
\(∵\)由\(p\)是\(q\)的充分而不必要条件，\(\therefore\left\{\begin{array}{l} 1-a \geq-2 \\ 1+a \leq 10 \end{array}\right.\)，即\(0<a≤3\)．
【B组---提高题】
1.已知\(a,b∈R\)，下列四个条件中，使\(a>b\)成立的必要而不充分的条件是( )
A．\(a>b-1\) \(\qquad \qquad\) B．\(a>b+1\) \(\qquad \qquad\) C．\(|a|>|b|\) \(\qquad \qquad\) D．\(2^a>2^b\)
2.已知\(a>0\),\(b>0\),\(m∈R\),则“\(a≤b\)”的一个必要不充分条件是 ( )
A．\(a^m≤b^m\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{a}{m^{2}} \leq \dfrac{b}{m^{2}}\) \(\qquad \qquad\) C．\(am^2≤bm^2\) \(\qquad \qquad\) D．\(a+m^2≤b+m^2\)
3.已知\(a,b\)是实数，则“\(a>b>0\)且\(c<d<0\)”是“\(\dfrac{a}{d}<\dfrac{b}{c}\)”的( )
A．充分而不必要条件 \(\qquad \qquad\) B．必要而不充分条件 \(\qquad \qquad\) C．充要条件 \(\qquad \qquad\) D．既不充分也不必要条件
4.\(a<0\)是方程\(ax^2+2x+1=0\)至少有一个负数根的( )
A.必要不充分条件 \(\qquad \qquad\) B.充分不必要条件 \(\qquad \qquad\) C.充分必要条件 \(\qquad \qquad\) D.既不充分也不必要条件
5.已知命题“\(∃x_0∈[-1,1],-x_0^2+3x_0+a>0\)”为真命题，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
6.若“\(x^2-3x-4>0\)”是“\(x^2-3ax-10a^2>0\)”的必要不充分条件，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 “\(a>b\)”能推出“\(a>b-1\)”，故选项A是“\(a>b\)”的必要条件，但“\(a>b-1\)”不能推出“\(a>b\)”，不是充分条件，满足题意；
“\(a>b\)”不能推出“\(a>b+1\)”，故选项\(B\)不是“\(a>b\)”的必要条件，不满足题意；
“\(a>b\)”不能推出“\(|a|>|b|\)”，故选项\(C\)不是“\(a>b\)”的必要条件，不满足题意；
“\(a>b\)”能推出“\(2^a>2^b\)”，且“\(2^a>2^b\)”能推出“\(a>b\)”，故是充要条件，不满足题意；
故选\(A\)． -
答案 \(C\)
解析 由已知可得：\(A\)是既不充分也不必要条件；\(B\)是充分不必要条件；\(C\)是必要不充分条件；\(D\)是充要条件．故选：\(C\)． -
答案 \(A\)
解析 当\(c<d<0\)，所以 \(\frac{1}{d}<\frac{1}{c}<0\)，故 \(-\frac{1}{d}>-\frac{1}{c}>0\)，
由于\(a>b>0\)，所以 \(-\frac{a}{d}>-\frac{b}{c}>0\)，故 \(\frac{a}{d}<\frac{b}{c}\)．
但是 \(\frac{a}{d}<\frac{b}{c}\)，整理得 \(\frac{a c-b d}{c d}<0\)，整理不出\(a>b>0\)且\(c<d<0\)．
故“\(a>b>0\)且\(c<d<0\)”是“a/d<b/c”的充分而不必要条件．
故选：\(A\)． -
答案 \(B\)
解析 当\(Δ=2^2-4a>0\)，得\(a<1\)时方程有根.\(a<0\)时， \(x_{1} x_{2}=\frac{1}{a}<0\)，方程有负根，
又\(a=1\)时，方程根为\(x=-1\)，所以选\(B\). -
答案 \(a>-2\)
解析 命题“\(∃x_0∈[-1,1],-x_0^2+3x_0+a>0\)”为真命题
等价于\(a>x^2－3x\)在\(x∈[-1,1]\)上有解，
令\(f(x)=x^2-3x,x∈[-1,1]\)，则等价于\(a>f(x)_{min}=f(1)=-2\)，
\(∴a>-2\). -
答案 \((-\infty,-2] \cup\left[\frac{4}{5},+\infty\right)\)
解析 由\(x^2-3x-4>0\)得\(x>4\)或\(x<-1\)，即不等式的解集为\(A=\{x|x>4\)或\(x<-1\}\)，
由\(x^2-3ax-10a^2>0\)得\((x+2a)(x-5a)>0\)，
若\(a=0\)，则不等式的解为\(x≠0\)，此时不等式的解集为为\(B=\{x|x≠0\}\)，
若\(a>0\)，则不等式的解集为\(B=\{x|x>5a\)或\(x<-2a\}\)，
若\(a<0\)，不等式的解集为\(B=\{x|x>-2a\)或\(x<5a\}\)，
若"\(x^2-3x-4>0\)"是 " \(x^2-3ax-10a^2>0\)"的必要不充分条件，
则\(B⊊A\)，
则当\(a=0\)时，不满足条件．
当\(a>0\)时则满足\(\left\{\begin{array}{l} 5 a \geq 4 \\ -2 a<-1 \end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l} a \geq \frac{4}{5} \\ a>\frac{1}{2} \end{array}\right.\)，得 \(a \geq \frac{4}{5}\)，
当\(a<0\)时，则满足 \(\left\{\begin{array}{l} -2 a \geq 4 \\ 5 a \leq-1 \end{array}\right.\)，得 \(\left\{\begin{array}{l} a \leq-2 \\ a \leq-\frac{1}{5} \end{array}\right.\)，得\(a≤-2\)．
综上实数\(a\)的取值范围 \((-\infty,-2] \cup\left[\frac{4}{5},+\infty\right)\).
【C组---拓展题】
1.已知命题"\(p:∃x_0∈R,|x_0+1|+|x_0-2|≤a\)"是真命题，则实数\(a\)的最小值为( )
A．\(5\) \(\qquad \qquad\) B．\(4\) \(\qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad\) D．\(2\)
2.设\(a,b∈R\)，命题\(p：a>b\)，命题\(q：a|a|>b|b|\)，则\(p\)是\(q\)的( )
A．充分不必要条件 \(\qquad \qquad\) B．必要不充分条件 \(\qquad \qquad\) C．充分必要条件 \(\qquad \qquad\) D．既不充分也不必要条件
3.已知\(x,y\)是正实数，则下列条件中是“\(x>y\)”的充分条件为( )
A．\(x+\dfrac{2}{y}>y+\dfrac{1}{x}\) \(\qquad \qquad\) B． \(x+\dfrac{1}{2 y}>y+\dfrac{1}{x}\) \(\qquad \qquad\) C． \(x-\dfrac{2}{y}>y-\dfrac{1}{x}\) \(\qquad \qquad\) D． \(x-\dfrac{1}{2 y}>y-\dfrac{1}{x}\)
4.已知 \(p:\left|1-\dfrac{x-1}{3}\right| \leq 2\)；\(q:x^2-2x+1-m^2≤0(m>0)\),若\(¬p\)是\(¬q\)的必要非充分条件，求实数\(m\)的取值范围.
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 \(∵|x_0+1|+|x_0-2|≥|x_0+1-x_0+2|=3\)．
\(∴\)若命题"\(p:∃x_0∈R,|x_0+1|+|x_0-2|≤a\)"是真命题，则\(a≥3\)，
即实数\(a\)的最小值为\(3\)，故选：\(C\)． -
答案 \(C\)
解析 若\(a>b≥0\)，\(a^2>b^2\)即有\(a|a|>b|b|\)；
若\(a≥0>b\)，显然有\(a|a|>0>b|b|\)；
若\(0>a>b\)，则\(a^2<b^2\)，
而\(a|a|=-a^2\)，\(b|b|=-b^2\)，所以\(a|a|>b|b|\)，
故\(a>b\)可以推出\(a|a|>b|b|\)．
若\(a|a|>b|b|\)，当\(b<0\)时，如果\(a≥0\)，不等式显然成立，此时有\(a>b\)；
如果\(a<0\)，则有\(-a^2>-b^2\)，因而\(a>b\)；
当\(b≥0\)时，\(a>0\)，此时有\(a^2>b^2\)，
因而\(a>b\)，故\(a|a|>b|b|\)可以推出\(a>b\)．
故选：\(C\)． -
答案 \(B\)
解析 对于\(A\)，当\(x=y\)时，原式满足，但不能证明\(x>y\)，故A不是“\(x>y\)”的充分条件；
对于\(B\)，原式可化为 \(x-\frac{1}{x}>y-\frac{1}{2 y}>y-\frac{1}{y}\)，
因为函数 \(f(x)=x-\frac{1}{x}\)在\((0,+∞)\)上单调递增，
故\(x>y\)，故B是“\(x>y\)”的充分条件；
对于\(C\)，该不等式等价于 \(x+\frac{1}{x}>y+\frac{2}{y}\)，取\(x→0，y=1\)，该不等式成立，但不满足\(x>y\)，故C不是“\(x>y\)”的充分条件；
对于\(\frac{(a+b)^{2}}{2} \geq 2\)，该不等式等价于 \(x+\frac{1}{x}>y+\frac{1}{2 y}\)，取\(x→0，y=1\)，该不等式成立，但不满足\(x>y\)，故\(D\)不是“\(x>y\)”的充分条件；
故选：\(B\)． -
答案 \([9,+∞)\)
解析 记 \(A=\left\{x \| 1-\frac{x-1}{3} \mid \leq 2\right\}=\{x \mid-6 \leq x-4 \leq 6\}=[-2,10]\),
\(B=\{x∣x^2-2x+1-m^2≤0,m>0\}\)
\(=\{x∣[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0,m>0\}=[1-m,1+m]，m>0\)
因为\(¬p\)是\(¬q\)的必要非充分条件，所以\(q\)是\(p\)的必要非充分条件
所以\(A⫋B\)，所以 \(\left\{\begin{array}{l} m>0 \\ 1-m \leq-2 \\ 1+m \geq 10 \end{array} \Rightarrow m \geq 9\right.\)，
(检验：当\(m=9\)时，\(B=[-8,10]\)，满足\(A⫋B\))
故所求的\(m\)的取值范围是\([9,+∞)\).
