1.3 集合的基本运算

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步拔高，难度 2 颗星！

基础知识

并集

概念	由所有属于集合$A$或属于集合$B$的元素所组成的集合，称为集合$A$与$B$的并集.
记号	$A∪B$(读作:$A$并$B$)
符号	$A∪B=\{x|x∈A$或$x∈B\}$
图形表示
性质	(1)$A∪A=A$，即一个集合与其本身的并集是其本身； (2)$A∪∅=A$，即一个集合与空集的并集是其本身； (3)$A∪B=B∪A$，即集合的并集运算满足交换律； (4)$A∪B=B⟺A⊆B$，即一个集合与其子集的并集是其自身．

注 生活中讲的 “或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是 “选其一不可兼得”.
并列中的 “或” 有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个 $party$，要求满足 $A∪B($ 其中 $A=\{$ 身高 170cm 以上 $\}$，$B=\{$ 长得帅 $\})$，那身高 $162cm$ 的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以 (满足身高 $170cm$ 以上，又帅). 并列中的 “或” 是可以两者兼得的.
 

【例】 设集合 $M＝\{4,5,6,8\}$，$N＝\{3,5,7,8\}$，那么 $M∪N$ 等于 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 由并集的定义可知，$M∪N=\{3,,4,5,6,7,8\}$.
 

【练 1】 设集合 $A=\{$ 菱形 $\}$，$B=\{$ 矩形 $\}$，判断正方形与 $A∪B$ 的关系.
解析 正方形 $∈A∪B=\{$ 菱形或矩形 $\}$
 

【练 2】 设集合 $A=\{x|-1<x≤2,x∈N\}$，集合 $B=\{2,3\}$，则 $A∪B$ 等于 ( )
A.$\{2\}$ $\qquad \qquad$ B.$\{1,2,3\}$ $\qquad \qquad$ C.$\{-1,0,1,2,3\}$ $\qquad \qquad$ D.$\{0,1,2,3\}$
解析 $∵A=\{x│-1<x≤2,x∈N\}=\{0,1,2\}$，集合 $B=\{2,3\}$，
$∴A∪B=\{0,1,2,3\}$，故选:$D$.

交集

概念	由属于集合$A$且属于集合$B$所有元素所组成的集合，称为集合$A$与$B$的交集.
记号	$A∩B($读作:$A$交$B$)
符号	$A∩B=\{x|x∈A$且$x∈B\}$
图形表示
性质	(1)$A∩A=A$，$A∩∅=∅$； (2)$A∩B=B∩A$； (3)$A∩B⊆A$，$A∩B⊆B$； (4)$A∩B=A⟺A⊆B$.

注 (1) 交集中的 “且”，是 “同时满足” 的意思，比如学校搞 $party$，要求满足 $A∩B($ 其中 $A=\{$ 身高 $170cm$ 以上 $\}$，$B=\{$ 长得帅 $\})$，那身高 $162cm$ 的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加.
(2) 当集合 $A$ 和集合 $B$ 无公共元素时，不能说集合 $A,B$ 没有交集，而是 $A∩B=∅$．
 

【例】 设集合 $M＝\{4,5,6,8\}$，$N＝\{3,5,7,8\}$，那么 $M∩N$ 等于 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 由交集的定义可知，$M∪N=\{5,8\}$.
 

【练 1】 设集合 $A=\{$ 菱形 $\}$，$B=\{$ 矩形 $\}$，那么 $A∩B$ 等于 $\underline{\quad \quad}$ .
解析 由交集的定义可知，$A∩B=\{$ 正方形 $\}$.
 

【练 2】 设集合 $A=\{-1,1,3\}$,$B=\{a+2,a^2+4\}$,$A∩B=\{3\}$, 则实数 $a＝$$\underline{\quad \quad}$．
解析 因为 $A∩B=\{3\}$，根据交集的运算推理得：$3$ 是集合 $A$ 和集合 $B$ 的公共元素，而集合 $A$ 中有 $3$，所以得到 $a+2=3$ 或 $a^2+4=3($ 无解，舍去 $)$，解得 $a=1$．

补集

概念	对于集合$A$，由全集$U$中不属于集合$A$的所有元素组成的集合，称为集合$A$相对于全集$U$的补集.
记号	$C_U A($读作:$A$的补集$)$
符号	$C_U A=\{x|x∈U,x∉A\}$
图形表示
性质	(1) $C_U A⊆U$； (2)$C_U U=∅$，$C_U∅=U$； (3) $C_U (C_U A)=A$； (4)$A∪(C_U A)=U$；$A∩(C_U A)=∅$.

注 求集合 $A$ 的补集的前提是 $A$ 是全集 $U$ 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．
 

【例】 已知全集 $U＝\{1,2,,3,4,5,6,7\}$，$A＝\{5,6,7\}$，则 $C_U A$ 等于 $\underline{\quad \quad}$.
解析 全集 $U$ 中除去集合 $A$ 中元素剩下的元素是 $1,2,,3,4$，则 $C_U A＝\{1,2,,3,4\}$.
 

【练】 已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $A=\{2,3,5\}$，集合 $B=\{1,3,4,6\}$，求集合 $A∩(C_U B)$.
解析 $∵U=\{1,2,3,4,5,6\}$,$B=\{1,3,4,6\}$，$∴C_U B=\{2,5\}$，
$∵A=\{2,3,5\}$，则 $A∩(C_U B)=\{2,5\}$．

运算律

1 交换律 $A∪B=B∪A$，$A∩B=B∩A$；
2 结合律 $(A∪B)∪C=A∪(B∪C)$，$(A∩B)∩C=A∩(B∩C)$；
3 分配律 $(A∩B)∪C=(A∩C)∪(B∩C)$，$(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)$；
4 德摩根律 $C_{U}(A \cup B)=\left(C_{U} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)$，$∁_U (A∩B)=(∁_UA)∪(∁_UB)$.

基本方法

【题型1】离散型集合运算

【典题 1】 设 $A=\{x∣x^2+ax+12=0\}$，$B=\{x∣x^2+3x+2b=0\}$，$A∩B=\{2\}$
(1) 求 $a,b$ 的值及 $A,B$；
(2) 设全集 $U=A∪B$，求 $(C_U A)∪(C_U B)$．
解析 (1) 因为 $A∩B=\{2\}$，所以 $2∈A,2∈B$，
所以 $4+2a+12=0⇒a=-8$，$4+6+2b=0⇒b=-5$；
所以 $A=\{x∣x^2-8x+12=0\}=\{2,6\}$，$B=\{x∣x^2+3x-10=0\}=\{-5,2\}$
(2) 由 (1) 可知：$U=A∪B=\{-5,2,6\}$，$C_U A=\{-5\}$，$C_U B=\{6\}$，
所以 $(C_U A)∪(C_U B)=\{-5,6\}$．

巩固练习

1. 设集合 $A=\{x∣x^2-2x-3=0\}$，$B=\{x∣x^2=1\}$，则 $A∪B$ 等于 ( )
 A．$\{-1\}$ $\qquad \qquad$ B．$\{1,3\}$ $\qquad \qquad$ C．$\{-1,1,3\}$ $\qquad \qquad$ D．$\{1,-3\}$
 

2. 已知集合 $U=\{2,3,4,5,6,7\}$，$M=\{3,4,5,7\}$，$N=\{2,4,5,6\}$，则 (　　)
 A．$M∩N=\{4,6\}$ B．$M∪N=U$　　C．$(∁_U N)∪M=U$_ D．_$(∁_U M)∩N=N$
 

3. 已知集合 $U=\{x∈Z│-3<x<8\}$,$∁_U M=\{-2,1,3,4,7\}$,$N=\{-2,-1,2,4,5,7\}$，则 $M∩N$ 的元素个数为 (　　)
 A．$1$ $\qquad \qquad$ B．$2$ $\qquad \qquad$ C．$3$ $\qquad \qquad$ D．$4$
 

4. 已知集合 $A=\{2a-1,a^2,0\}$,$B=\{1-a,a-5,9\}$, 且 $A∩B=\{9\}$，则 (　　)
 A．$A=\{9,25,0\}$ $\qquad \qquad$ B．$A=\{5,9,0\}$ $\qquad \qquad$ C．$A=\{-7,9,0\}$ $\qquad \qquad$ D．$A∪B=\{-7,9,0,25,-4\}$
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 依题意，$A=\{-1,3\},B=\{-1,1\}$，故 $A∪B=\{-1,1,3\}$，选 $C$.
2. 答案 $B$
   解析 由 $U=\{2,3,4,5,6,7\}$，$M=\{3,4,5,7\}$，$N=\{2,4,5,6\}$，
   得 $M∩N=\{4,5\}$，$(∁_U N)∪M=\{3,4,5,7\}$，$(∁_U M)∩N=\{2,6\}$，$M∪N=\{2,3,4,5,6,7\}=U$，选 $B$.
3. 答案 $C$
   解析 $U=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}$，则 $M=\{-1,0,2,5,6\}$，
   $∴M∩N=\{-1,2,5\}$，$∴M∩N$ 的元素个数为 $3$．故选：$C$．
4. 答案 $C$
   解析 $∵A∩B=\{9\}$，$∴9∈A$，
   $∴2a-1=9$ 或 $a^2=9$，$∴a=5$ 或 $a=±3$，
   ①$a=3$ 时，$A=\{5,9,0\}$，$B=\{-2,-2,9\}$，集合 $B$ 错误，不满足集合元素的互异性，
   $∴a≠3$；
   ②$a=-3$ 时，$A=\{-7,9,0\}$，$B=\{4,-8,9\}$，满足 $A∩B=\{9\}$，即 $a=-3$ 成立；
   ③$a=5$ 时，$A=\{9,25,0\}$，$B=\{-4,0,9\}$，$A∩B=\{0,9\}$，$∴a=5$ 不成立，
   综上得，$A=\{-7,9,0\}$，$A∪B=\{-8,-7,0,4,9\}$．故选：$C$．

【题型2】连续型集合运算

【典题 1】 已知全集 $U=R$，集合 $A=\left\{x \mid\left\{\begin{array}{l} 3-x>0 \\ 3 x+6>0 \end{array}\right\}\right.$，$B=\{m|3>2m-1\}$，
求：(1) $A∩B$，$A∪B$； (2) $C_U (A∩B)$．
解析 (1) $\because A=\left\{x \mid\left\{\begin{array}{l} 3-x>0 \\ 3 x+6>0 \end{array}\right\}=\{x \mid-2<x<3\}\right.$，$B=\{m|3>2m-1\}=\{m|m<2\}$．
用数轴表示集合 $A,B$，如图．

$∴A∩B=\{x|-2<x<2\}$，$A∪B=\{x|x<3\}$．
(2) 由 (1) 知 $A∩B=\{x|-2<x<2\}$，如图所示．

因此 $C_U (A∩B)=\{x|x≥2,$ 或 $x≤-2\}$．
点拨 处理涉及不等式的集合运算，多利用数轴进行运算.
 

【典题 2】集合 $A=\{x|-1<x<1\}$，$B=\{ x|x<a\}$．
(1) 若 $A∩B=∅$，求 $a$ 的取值范围；
(2) 若 $A∪B=\{x|x<1\}$，求 $a$ 的取值范围．
解析 (1) 如图所示，$A=\{x|-1<x<1\}$，$B=\{x|x<a\}$，$∵A⋂B=∅$，
$∴$ 数轴上点 $a$ 在 $-1$ 的左侧 (含点 $-1$)．
$∴a≤-1$．

(2) 如图所示，$A=\{x|-1<x<1\}$，$B=\{x|x<a\}$，
$∵A∪B=\{x|x<1\}$，
$∴$ 数轴上点 $a$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间 (含点 $1$，但不含点 $-1$)．
$∴-1<a≤1$．

点拨 注意对端点的处理，确定是否取得到端点.

巩固练习

1. 集合 $A=\{x|-1≤x≤2\}$，$B=\{x|x<1\}$，则 $A∩(C_R B)=$ (　　)
 A．$\{x|x>1\}$ $\qquad \qquad$ B．$\{x|x≥1\}$ $\qquad \qquad$ C．$\{x|1<x≤2\}$ $\qquad \qquad$ D．$\{x|1≤x≤2\}$
 

2. 已知全集 $U=R$, 集合 $A=\{x|x^2-3x-4<0\}$,$B=\{x|x-1≤0\}$, 则集合 $A∩∁_U B=$ (　　)
 A．$\{x|-4<x<1\}$ $\qquad \qquad$ B．$\{x|-1<x≤1\}$ $\qquad \qquad$ C．$\{x|-1<x<4\}$ $\qquad \qquad$ D．$\{x|1<x<4\}$
 

3. 设全集 $U$ 为实数集 $R$，$M=\{x||x|>2\}$，$N=\{x∣x^2-4x+3<0\}$，则图中阴影部分所表示的集合是 (　　)

 A．$\{x∣x<2\}$ $\qquad \qquad$ B．$\{x∣-2≤x≤2\}$ $\qquad \qquad$ C．$\{x∣-2≤x<1\}$ $\qquad \qquad$ D．$\{x∣1<x≤2\}$
 

4. 已知集合 $A=\{x|x^2-x-2<0\}$,$B=\{x|a-2<x<a\}$, 若 $A∩B=\{x|-1<x<0\}$，则 $A∪B＝$(　　)
 A．$(-1,2)$ $\qquad \qquad$ B．$(0,2)$ $\qquad \qquad$ C．$(-2,1)$ $\qquad \qquad$ D．$(-2,2)$
 

参考答案

1. 答案 $D$
   解析 $∵B=\{x|x<1\}$，$∴C_R B=\{x|x≥1\}$，$∴A∩C_R B=\{x|1≤x≤2\}$．
2. 答案 $D$
   解析 $∵A=\{x|-1<x<4\}$，$B=\{x|x≤1\}$，$U=R$，
   $∴∁_U B＝\{x|x>1\}$，$∴A∩∁_U B=\{x|1<x<4\}$．故选：$D$．
3. 答案 $D$
   解析 根据图像可知阴影部分为 $N∩C_R M$，
   由 $M=\{x||x∣>2\}$ 可得 $C_R M=\{x∣-2≤x≤2\}$；
   由 $N=\{x∣x^2-4x+3<0\}$ 可得 $N=\{x∣1<x<3\}$；
   所以 $N∩C_R M=\{x∣1<x≤2\}$，故选 $D$.
4. 答案 $D$
   解析 $∵A=\{x|-1<x<2\}$，$B=\{x|a-2<x<a\}$，且 $A∩B=\{x|-1<x<0\}$，
   $∴a=0$，
   $∴B=\{x|-2<x<0\}$，$∴A∪B=(-2,2)$．
   故选：$D$．

【题型3】综合应用

【典题 1】 已知集合 $A,B$, 定义 $A-B=\{x|x∈A$ 且 $x∉B\}$，$A+B=\{x|x∈A$ 或 $x∈B\}$，则对于集合 $M,N$ 下列结论一定正确的是 (　　)
 A．$M-(M-N)=N$ $\qquad \qquad$ B．$(M-N)+(N-M)=∅$ $\qquad \qquad$
 C．$(M+N)-M=N$ $\qquad \qquad$ D．$(M-N)∩(N-M)=∅$
解析 根据题中的新定义得：$M-N=\{x|x∈M$ 且 $x∉N\}$，$N-M=\{x|x∈N$ 且 $x∉M\}$，
则 $(M-N)∩(N-M)=∅$．
故选：$D$．
点拨 对新定义的题型，可以用具体的集合进行检验，排除一些选项，也可以用 venn 图理解其本质再作选择.
 

【典题 2】设集合 $A=\{x|x^2=4x\}$，$B=\{x|x^2+2(a－1)x+a^2-1=0\}$．
(1) 若 $A∩B=B$，求 $a$ 的取值范围； (2) 若 $A∪B=B$，求 $a$ 的值．
解析 (1)$∵A=\{x|x^2=4x\}=\{0,4\}$，又 $∵A∩B=B$，$∴B⊆A$．
①若 $B=∅$，则 $Δ=4(a-1)^2-4(a^2-1)<0$，解得 $a>1$．
因此当 $a>1$ 时，$B=∅⊆A$．
②若 $0∈B$，则 $0$ 为方程 $x^2+2(a-1)x+a^2-1=0$ 的一个根．
即 $a^2-1=0$，解得 $a=±1$．
当 $a=1$ 时，$B=\{x∣x^2=0\}=\{0\}⊆A$；
当 $a=-1$ 时，$B=\{x|x^2-4x=0\}=A$．
③若 $4∈B$，则 $4$ 为方程 $x^2+2(a-1)x+a^2-1=0$ 的一个根，
即 $a^2+8a+7=0$，解得 $a=-1$ 或 $a=-7$．
由②知当 $a=-1$ 时 $A=B$ 符合题意，
当 $a=-7$ 时，$B=\{x∣x^2-16x+48=0\}=\{4,12\}⊈A$．
综上可知：$a≥1$，或 $a=-1$．
(2) $∵A∪B=B$，$∴A⊆B$．又 $∵A=\{0,4\}$，而 $B$ 中最多有 $2$ 个元素，
$∴A=B$，即 $0,4$ 为方程 $x^2+2(a-1)x+a^2-1=0$ 的两个根．
$\therefore\left\{\begin{array}{l} -2(a-1)=4 \\ a^{2}-1=0 \end{array}\right.$，解得 $a=-1$．
点拨 集合运算的性质：$A∩B=B⟺B⊆A$，$A∪B=B⟺A⊆B$，可用 venn 图理解下.
 

【典题 3】设集合 $P=\{x∣x^2-x-6<0\}$,$Q=\{x∣2a≤x≤a+3\}$．
(1) 若 $P∪Q=P$，求实数 $a$ 的取值范围；
(2) 若 $P∩Q=ϕ$，求实数 $a$ 的取值范围；
(3) 若 $P∩Q=\{x∣0≤x<3\}$，求实数 $a$ 的值．
解析 (1) 由题意知：$P=\{x∣-2<x<3\}$，$∵P∪Q=P$，$∴Q⊆P$．
①当 $Q=∅$ 时，得 $2a>a+3$，解得 $a>3$．
②当 $Q≠∅$ 时，得 $-2<2a≤a+3<3$，解得 $-1<a<0$．
综上，$a∈(-1,0)∪(3,+∞)$．
(2)①当 $Q=∅$ 时，得 $2a>a+3$，解得 $a>3$；
②当 $Q≠∅$ 时，得 $\left\{\begin {array}{l} 2 a \leq a+3, \\ a+3 \leq-2 \text { 或 } 2 a \geq 3 \end {array}\right.$，解得 $a≤-5$ 或 $\dfrac{3}{2} \leq a \leq 3$．
综上，$a \in(-\infty,-5] \cup\left[\dfrac{3}{2},+\infty\right)$．
由 $P∩Q=\{x∣0≤x<3\}$，则 $a=0$．
点拨 注意利用数轴配合分析，留心端点的取舍.
 

【典题 4】 已知集合 $A=\{x|2m-1<x<3m+2\}$，$B=\{x|x≤-2,$ 或 $x≥5\}$，是否存在实数 $m$，使 $A∩B≠∅$？若存在，求实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析 若 $A∩B=∅$，分 $A=∅$ 和 $A≠∅$ 讨论：
(1) 若 $A=∅$，则 $2m-1≥3m+2$，解得 $m≤-3$，此时 $A∩B=∅$．
(2) 若 $A≠∅$，要使 $A∩B=∅$，则应有
$\left\{\begin{array}{l} 2 m-1<3 m+2 \\ 2 m-1 \geq-2 \\ 3 m+2 \leq 5 \end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l} m>-3 \\ m \geq-\dfrac{1}{2} \\ m \leq 1 \end{array}\right.$，所以 $-\dfrac{1}{2} \leq m \leq 1$．
综上，当 $A∩B=∅$ 时，$m≤-3$ 或 $-\dfrac{1}{2} \leq m \leq 1$；
当 $m>1$ 或 $-3<m<-\dfrac{1}{2}$ 时，$A∩B≠∅$．
点拨 补集思想，$A∩B≠∅$ 难以处理，可先求 $A∩B=∅$ 时对应 $m$ 的范围，其补集即是所求.

巩固练习

1. 某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有 $27$ 人，参加物理竞赛的有 $25$ 人，参加化学竞赛的有 $27$ 人，其中参加数学、物理两科的有 $10$ 人，参加物理、化学两科的有 $7$ 人，参加数学、化学两科的有 $11$ 人，而参加数、理、化三科的有 $4$ 人，则全班人数是 $\underline{\quad \quad}$ ．
 

2. 设 $A,B$ 是 $R$ 中两个子集，对于 $x∈R$, 定义：$m=\left\{\begin{array}{l} 0, x \notin A, \\ 1, x \in A, \end{array} n=\left\{\begin{array}{l} 0, x \notin B \\ 1, x \in B \end{array}\right.\right.$
①若 $A⊆B$．则对任意 $x∈R$,$m(1-n)=$ $\underline{\quad \quad}$；
②若对任意 $x∈R$,$m+n=1$，则 $A,B$ 的关系为 $\underline{\quad \quad}$．
 

3. 已知 $A=\{x|x^2+ax+b=0\}$，$B=\{x|x^2+cx+15=0\}$，$A∪B=\{3,5\}$，$A∩B=\{3\}$，则实数 $a=$$\underline{\quad \quad}$，$b=$$\underline{\quad \quad}$，$c=$$\underline{\quad \quad}$．
 

4. 设 $A=\{x|x^2+4x=0\}$，$B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\}$, 其中 $x∈R$，如果 $A∩B=B$，则实数 $a$ 的取值范围 $\underline{\quad \quad}$．
 

5. 已知集合 $A=\{x|-2<x-1<2\}$，集合 $B=\{x|x^2-(2a-1)x+a^2-a=0\}$．
(1) 若 $A∩B=\{2\}$，求 $a$ 的值；
(2) 若 $A∪B=A$，求 $a$ 的取值范围．
 
 

6. 对于正整数集合 $A=\{a_1,a_2,…,a_n\}(n∈N^*,n≥3)$，如果去掉其中任意一个元素 $a_i (i=1,2,…,n)$ 之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 $A$ 为 “和谐集”．
(1) 判断集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 是否为 “和谐集”，并说明理由；
(2) 求证：集合 $\{1,3,5,7,9,11,13\}$ 是 “和谐集”；
(3) 求证：若集合 $A$ 是 “和谐集”，则集合 $A$ 中元素个数为奇数．
 
 

参考答案

1. 答案 $55$
   解析 设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为 $A，B，C$，由题意可知集合 $A，B，C$ 中的元素个数分别为 $27,25,27$，集合 $A∩B$，$B∩C$，$A∩C$，$A∩B∩C$ 中的元素个数分别为 $10,7,11,4$．画出 $Venn$ 图如图所示，
   

   由图可知全班人数为 $10+13+12+6+4+7+3＝55$(人)．

2. 答案 $0$，$A=∁_R B$．
   解析 ①$∵A⊆B$．则 $x∉A$ 时，$m=0$，$m(1-n)=0$．
   $x∈A$ 时，必有 $x∈B$，$∴m=n=1$，$m(1-n)=0$．
   综上可得：$m(1-n)=0$．
   ②对任意 $x∈R$，$m+n=1$，则 $m,n$ 的值一个为 $0$，另一个为 $1$，即 $x∈A$ 时，必有 $x∉B$，或 $x∈B$ 时，必有 $x∉A$，
   $∴A,B$ 的关系为 $A=∁_R B$．
   故答案为：$0$，$A=∁_R B$．

3. 答案 $a=-6,b=9,c=-8$.
   解析 $∵A∩B=\{3\}$，
   $∴$ 由 $9+3c+15=0$，解得 $c=-8$.
   由 $x^2-8x+15=0$，解得 $B=\{3,5\}$，故 $A=\{3\}$．
   又 $a^2-4b=0$，解得 $a=-6$，$b=9$.
   综上知，$a=-6,b=9,c=-8$.

4. 答案 $(-∞,-1]∪\{1\}$
   解析 由 $A$ 中方程变形得：$x(x+4)=0$，
   解得：$x=0$ 或 $x=-4$，即 $A=\{-4,0\}$，
   由 $B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\}$，其中 $x∈R$，且 $A∩B=B$，
   分两种情况考虑：
   若 $B=∅$ 时，$Δ=4(a+1)^2-4(a^2-1)=8a+8<0$，即 $a≤-1$，满足题意；
   若 $B≠∅$，$Δ=4(a+1)^2-4(a^2-1)=8a+8≥0$，即 $a≥-1$，
   此时把 $x=-4$ 代入得：$16-8a-8+a^2-1=0$，即 $a=-1$ 或 $a=-7$(舍去)；
   把 $x=0$ 代入得：$a=1$ 或 $-1$，
   综上，$a$ 的范围为 $(-∞,-1]∪\{1\}$．

5. 答案 (1) $a=2$ 或 $a=3$ (2) $(0,3)$
   解析 (1)$A=\{x|-1<x<3\}$，$B=\{a,a-1\}$，
   $∵A∩B=\{2\}$，$∴2∈B$，
   $∴a=2$ 或 $a-1=2$，即 $a=2$ 或 $a=3$，
   $a=2$ 时，$B=\{1,2\}$，$∴A∩B=\{1,2\}$，不满足 $A∩B=\{2\}$，$a=2$ 舍去，
   $∴a=3$；
   (2)$∵A∪B=A$，$∴B⊆A$，
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} -1<a<3 \\ -1<a-1<3 \end{array}\right.$，解得 $0<a<3$，
   $∴a$ 的取值范围为 $(0,3)$．

6. 答案 (1) $\{1,2,3,4,5\}$ 不是 “和谐集” (2) 略 (3) 略
   解析 (1) 对于集合 $\{1,2,3,4,5\}$，
   当去掉元素 $2$ 时，剩余的所有元素之和为 $13$，
   不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
   所以集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 不是 “和谐集”．
   (2) 证明：设 $A=\{1,3,5,7,9,11,13\}$，
   当去掉元素 $1$ 时，有 $3+5+7+9=11+13$；
   当去掉元素 $3$ 时，有 $1+9+13=5+7+11$；
   当去掉元素 $5$ 时，有 $9+13=1+3+7+11$；
   当去掉元素 $7$ 时，有 $1+9+11=3+5+13$；
   当去掉元素 $9$ 时，有 $1+3+5+11=7+13$；
   当去掉元素 $11$ 时，有 $3+7+9=1+5+13$；
   当去掉元素 $13$ 时，有 $1+3+5+9=7+11$．
   所以集合 $A=\{1,3,5,7,9,11,13\}$ 是 “和谐集”．
   (3) 证明：设 “和谐集”$A=\left\{a_{1}, \quad a_{2}, \ldots, \quad a_{n}\right\}$ 所有元素之和为 $M$．
   由题可知，$M-a_i (i=1,2,…,n)$ 均为偶数，
   因此 $a_i (i=1,2,…,n)$ 的奇偶性相同．
   $(ⅰ)$ 如果 $M$ 为奇数，则 $a_i (i=1,2,…,n)$ 也均为奇数，
   由于 $M=a_1+a_2+⋯+a_n$，所以 $n$ 为奇数．
   $(ⅱ)$ 如果 $M$ 为偶数，则 $a_i (i=1,2,…,n)$ 均为偶数，
   此时设 $a_i=2b_i$，则 $\{b_1,b_2,…,b_n \}$ 也是 “和谐集”．
   重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的 “和谐集”．
   此时各项之和也为奇数，集合 $A$ 中元素个数为奇数．
   综上所述，集合 $A$ 中元素个数为奇数．

分层练习

【A组---基础题】

1. 设集合 $A=\{4,5,7,9\}$，$B=\{3,4,7,8,9\}$，全集 $U=A∪B$，则集合 $∁_U (A∩B)$ 中的元素共有 (　　)
 A．$3$ 个 $\qquad \qquad$ B．$4$ 个　$\qquad \qquad$ C．$5$ 个 $\qquad \qquad$ D．$6$ 个
 

2. 集合 $A=\{0,2,a\}$，$B=\{1,a^2 \}$，若 $A∪B=\{0,1,2,4,16\}$，则 $a$ 的值为 ( )
 A.$0$ $\qquad \qquad$ B.$1$ $\qquad \qquad$ C.$2$ $\qquad \qquad$ D.$4$
 

3. 已知全集 $U=R$，集合 $A=\{0,1,2,3,4\}$,$B=\{x∣x>2$ 或 $x<0\}$，则图中阴影部分表示的集合为 ( )

 A．$\{0,1,2\}$ $\qquad \qquad$ B．$\{1,2\}$ $\qquad \qquad$ C．$\{3,4\}$ $\qquad \qquad$ D．$\{0,3,4\}$
 

4. 设集合 $A=\{x|-1≤x≤2\}$，$B=\{x|0≤x≤4\}$，则 $A∩B$ 等于 (　　)
 A．$\{x|0≤x≤2\}$ $\qquad \qquad$ B．$\{x|1≤x≤2\}$ $\qquad \qquad$
 C．$\{x|0≤x≤4\}$ $\qquad \qquad$ D．$\{x|1≤x≤4\}$

5. 设集合 $A=\{-4,2m-1,m^2 \}$，$B=\{9,m-5,1-m\}$，又 $A∩B=\{9\}$，求实数 $m=$$\underline{\quad \quad}$．
 

6. 已知集合 $A=\{x|x^2-x-2<0\}$,$B=\{x|a-2<x<a\}$, 若 $A∩B=\{x|-1<x<0\}$，则 $A∪B=$$\underline{\quad \quad}$ .
 

7. 已知集合 $A=\{x|x^2-(2+a)x+2a=0\}$，$B=\{2,5,a^2+5a-12\}$．
(1) 若 $3∈A$，求实数 $a$ 的值；
(2) 若 $∁_B A=\{5\}$，求实数 $a$ 的值．
 
 

8. 已知集合 $A=\{x∣x^2+x-6≥0\}$，$B=\{x∣x^2-6x+5<0\}$，$C=\{x∣m-1≤x≤2m\}$
(1) 求 $A∩B$，$(C_R A)∪B$；
(2) 若 $B∩C=C$，求实数 $m$ 的取值范围．
 
 

9. 已知集合 $A=\{x|-2<x-1<2\}$，集合 $B=\{x|x^2-(2a-1)x+a^2-a=0\}$．
(1) 若 $A∩B=\{2\}$，求 $a$ 的值；
(2) 若 $A∪B=A$，求 $a$ 的取值范围．
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 $U=A∪B=\{3,4,5,7,8,9\}$，$A∩B=\{4,7,9\}$，$∴∁_U (A∩B)=\{3,5,8\}$．

2. 答案 $D$
   解析 $∵A=\{0,2,a\}$，$B=\{1,a^2 \}$，$A∪B=\{0,1,2,4,16\}$，
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} a^{2}=16 \\ a=4 \end{array}\right.$,$∴a=4$.

3. 答案 A
   解析 $∵$ 全集 $U=R$，集合 $A=\{0,1,2,3,4\}$,$B=\{x∣x>2$ 或 $x<0\}$，
   $∴C_U B=\{x∣0≤x≤2\}$，$∴$ 图中阴影部分表示的集合为 $A∩C_U B=\{0,1,2\}$，故选 $A$．

4. 答案 $A$
   解析 在数轴上表示出集合 $A$ 与 $B$，如下图．
   
   则由交集的定义可得 $A∩B=\{x∣0≤x≤2\}$． 答案 ：$A$

5. 答案 $-3$
   解析 $∵A∩B=\{9\}$，$∴9∈A$ 且 $9∈B$．
   若 $2m-1=9$，即 $m=5$ 代入得 $A=\{-4,9,25\}$,$B=\{9,0,-4\}$，
   $∴A∩B=\{-4,9\}$ 矛盾．
   若 $m^2=9$，即 $m=±3$．
   当 $m=3$ 时，$A=\{-4,5,9\}$，$B=\{9,-2,-2\}$ 矛盾 (集合 $B$ 中元素不互异)．
   当 $m=-3$ 时，$A=\{-4,-7,9\}$，$B=\{9,-8,4\}$，有 $A∩B=\{9\}$ 适合，
   由上述知：$m=-3$．

6. 答案 $(-2,2)$
   解析 $∵A=\{x|-1<x<2\}$，$B=\{x|a-2<x<a\}$，且 $A∩B=\{x|-1<x<0\}$，
   $∴a=0$，
   $∴B=\{x|-2<x<0\}$，
   $∴A∪B=(-2,2)$．

7. 答案 (1) $3$ (2) $-6$
   解析 (1) 因为 $3∈A$，$A=\{x|(x-2)(x-a)=0\}$，所以 $a=3$．
   (2) 因为 $∁_B A=\{5\}$，所以 $A$ 中有两个元素，即 $A=\{2,a\}$，所以 $a^2+5a-12=a$，
   解得 $a=2$ 或 $a=-6$，由元素的互异性可得，$a=-6$．

8. ** 答案 ** (1)$\{x∣2≤x<5\}$, $\{x∣-3<x<5\}$ (2) $(-\infty,-1) \cup\left(2, \dfrac{5}{2}\right)$
   解析 (1)$∵A=\{x∣x≤-3$ 或 $x≥2\}$，$B=\{x∣1<x<5\}$，
   $∴A∩B=\{x∣2≤x<5\}$，$C_R A=\{x∣-3<x<2\}$，
   $∴(C_R A)∪B=\{x∣-3<x<5\}$；
   (2)$∵B∩C=C$，$∴C⊆B$．
   ①当 $C=∅$ 时，$m-1>2m$，即 $m<-1$；
   ②当 $C≠∅$ 时，$\left\{\begin{array}{c} m-1 \leq 2 m \\ m-1>1 \\ 2 m<5 \end{array}\right.$， $\therefore 2<m<\dfrac{5}{2}$；
   综上所述：$m$ 的取值范围是 $(-\infty,-1) \cup\left(2, \dfrac{5}{2}\right)$．

9. 答案 (1)$3$ (2) $(0,3)$
   解析 (1)$A=\{x|-1<x<3\}$，$B=\{a,a-1\}$，
   $∵A∩B=\{2\}$，$∴2∈B$，
   $∴a=2$ 或 $a-1=2$，即 $a=2$ 或 $a=3$，
   $a=2$ 时，$B=\{1,2\}$，$∴A∩B=\{1,2\}$，不满足 $A∩B=\{2\}$，$a=2$ 舍去，
   $∴a=3$；
   (2)$∵A∪B=A$，$∴B⊆A$，
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} -1<a<3 \\ -1<a-1<3 \end{array}\right.$，解得 $0<a<3$，
   $∴a$ 的取值范围为 $(0,3)$．

【B组---提高题】

1. 定义集合的商集运算为 $\dfrac{A}{B}=\left\{x \mid x=\dfrac{m}{n}, m \in A, n \in B\right\}$，已知集合 $S=\{2,4,6\}$，$T=\{x|x=\dfrac{k}{2}-1,k∈S\}$，则集合 $\dfrac{S}{T} \cup T$ 中的元素个数为 (　　)
 A．$5$ $\qquad \qquad$ B．$6$ $\qquad \qquad$ C．$7$ $\qquad \qquad$ D．$8$
 

2. 已知集合 $A$ 中有 $10$ 个元素，$B$ 中有 $6$ 个元素，全集 $U$ 有 $18$ 个元素，$A∩B≠∅$．设集合 $(∁_U A)∩(∁_U B)$ 有 $x$ 个元素，则 $x$ 的取值范围是 (　　)
 A．$3≤x≤8$，且 $x∈N$ $\qquad \qquad$ B．$2≤x≤8$，且 $x∈N$
 C．$8≤x≤12$，且 $x∈N$ $\qquad \qquad$ D．$10≤x≤15$，且 $x∈N$
 

3. 设集合 $A=\{x|x^2-(a+3)x+3a=0\}$，$B=\{x|x^2-5x+4=0\}$，集合 $A∪B$ 中所有元素之和为 $8$，则实数 $a$ 的取值集合为 $\underline{\quad \quad}$．
 

4. 设 $M=\left\{x \mid m \leq x \leq m+\dfrac{1}{3}\right\}$,$N=\left\{x \mid n-\dfrac{3}{4} \leq x \leq n\right\}$ 都是 $\{x|0≤x≤1\}$ 的子集，如果 $b-a$ 叫做集合 $\{x|a≤x≤b\}$ 的长度，则集合 $M∩N$ 的长度的最小值是 $\underline{\quad \quad}$.
 

5. 设 $A=\{x|x^2+4x≤0\}$，$B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1<0\}$，其中 $x∈R$, 如果 $A∩B=B$，求实数 $a$ 的取值范围．
 
 

6. 设集合 $A=\{x|x^2-ax+a^2-19=0\}$,$B=\{x|x^2-5x+6=0\}$,$C=\{x|x^2+2x-8=0\}$
(1) 若 $A∩B=A∪B$，求 $a$ 的值
(2) 若 $∅⊂A∩B,A∩C=∅$, 求 $a$ 的值．
 
 

7. 已知集合 $A=\{x∣x^2-ax+a^2-19=0\}$，$B=\{x∣x^2-5x+6=0\}$，是否存在 $a$ 使 $A，B$ 同时满足下列三个条件：(1)$A≠B$；(2)$A∪B=B$；(3)$∅⫋(A∩B)$．若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 $S=\{2,4,6\}$，$T=\{0,1,2\}$，$\therefore \dfrac{S}{T}=\{1,2,3,4,6\}$，
   $\therefore \dfrac{S}{T} \cup T=\{0,1,2,3,4,6\}$，$∴$ 集合 $\dfrac{S}{T} \cup T$ 中的元素个数为 $6$．
   故选：$B$．
2. 答案 $A$
   解析 因为 $A∩B≠∅$，当集合 $A∩B$ 中仅有一个元素时，
   集合 $(∁_U A)∩(∁_U B)=∁_U (A∪B)$ 中有 $3$ 个元素，
   当 $A∩B$ 中有 $6$ 个元素时，
   集合 $(∁_U A)∩(∁_U B)=∁_U (A∪B)$ 中有 $8$ 个元素，
   所以得到 $3≤x≤8$ 且 $x$ 为正整数．
   故选：$A$．
3. 答案 $\{0,1,3,4\}$
   解析 求解一元二次方程 $x^2-(a+3)x+3a=0$ 可得 $x_1=a$，$x_2=3$，且 $B=\{1,4\}$，
   当 $a=1$，$3$ 或 $4$ 时，结合集合的互异性，可知 $A∪B$ 中所有元素之和为 $8$，
   否则 $a+1+3+4=8$，解得：$a=0$，
   综上可得，实数 $a$ 的取值范围是 $\{0,1,3,4\}$．
4. 答案 $\dfrac{1}{12}$
   解析 由 $m≥0$，且 $m+\dfrac{1}{3} \leq 1$，求出 $m \in\left[0, \dfrac{2}{3}\right]$，
   由 $n-\dfrac{3}{4} \geq 0$，且 $n≤1$，求出 $n \in\left[\dfrac{3}{4}, 1\right]$，
   分别把 $m,n$ 的两端值代入求出：$M=\left\{x \mid 0 \leq x \leq \dfrac{1}{3}\right\}$,$N=\left\{x \mid \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\right\}$，
   或 $M=\left\{x \mid \dfrac{2}{3} \leq x \leq 1\right\}$，$N=\left\{x \mid 0 \leq x \leq \dfrac{3}{4}\right\}$，
   所以 $M \cap N=\left\{x \mid \dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{1}{3}\right\}$，或 $\left\{x \mid \dfrac{2}{3} \leq x \leq \dfrac{3}{4}\right\}$．
   所以 $b-a=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$，或 $\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{12}$，
   综上所述，集合 $M∩N$ 的长度的最小值是 $\dfrac{1}{12}$．
5. 答案 $a≤-1$ 或 $a=1$
   解析 $A=\{x|-4≤x≤0\}$，又 $A∩B=B$，$∴B⊆A$，
   $(i)B=∅$ 时，$△=4(a+1)^2-4(a^2-1)≤0$，得 $a≤-1$；
   $(ii)B≠∅$ 时，设 $f(x)=x^2+2(a+1)x+a^2-1$，
   令 $x^2+2(a+1)x+a^2-1=0$ 的两根为 $x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，
   则有 $-4≤x_1<x_2≤0$，即 $\left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \\ f(-4) \geq 0 \\ f(0) \geq 0 \\ -4 \leq-(a+1) \leq 0 \end{array}\right.$，解得 $a=1$，
   综上，$a$ 的范围是 $a≤-1$ 或 $a=1$．
6. 答案 (1)$5$ (2)$-2$
   解析 (1) 集合 $A=\{x|x^2-ax+a^2-19=0\}$,$B=\{x|x^2-5x+6=0\}=\{2,3\}$，
   由 $A∩B=A∪B$，可得 $A=B$，
   则 $a=2+3$，且 $a^2-19=2×3$，解得 $a=5$：
   (2) 若 $∅⊂A∩B$，$A∩C=∅$，
   $C=\{x∣x^2+2x-8=0\}=\{-4,2\}$，$B=\{2,3\}$，
   可得 $A∩B≠∅$，则 $3∈A$，$2∉A$，
   可得 $9-3a+a^2-19=0$，解得 $a=5$ 或 $-2$，
   则 $A=\{x|x^2-5x+6=0\}=B$，矛盾，舍去 $a=5$，
   或 $A=\{x|x^2+2x-15=0\}=\{-5,3\}$ 成立，
   则 $a=-2$．
7. 答案 不存在实数 $a$ 使得 $A,B$ 满足条件
   解析 假设存在 $a$ 使得 $A,B$ 满足条件，由题已知得 $B=\{2,3\}$．
   $∵A∪B=B$,$∴A⊆B$，即 $A＝B$ 或 $A⫋B$．
   由条件 (1)$A≠B$，可知 $A⫋B$．
   又 $∵\emptyset \subsetneq(A \cap B)$，$∴A≠∅$，即 $A=\{2\}$ 或 $\{3\}$．
   当 $A=\{2\}$ 时，代入得 $a^2-2a-15=0$，即 $a=-3$ 或 $a=5$．
   经检验：$a=-3$ 时，$A=\{2,-5\}$，与 $A=\{2\}$ 矛盾，舍去；
   $a=5$ 时，$A=\{2,3\}$，与 $A=\{2\}$ 矛盾，舍去．
   当 $A=\{3\}$ 时，代入得 $a^2－3a－10=0$．即 $a=5$ 或 $a=-2$．
   经检验：$a=-2$ 时，$A=\{3,－5\}$，与 $A=\{3\}$ 矛盾，舍去；
   $a=5$ 时，$A=\{2,3\}$，与 $A=\{3\}$ 矛盾，舍去．
   综上所述，不存在实数 $a$ 使得 $A,B$ 满足条件．

【C组---拓展题】

1. 用 $d(A)$ 表示集合 $A$ 中的元素个数，若集合 $A=\{0,1\}$,$B=\{x|(x^2-ax)(x^2-ax+1)=0\}$，且 $|d(A)-d(B)|=1$．设实数 $a$ 的所有可能取值构成集合 $M$，则 $d(M)=$ $\underline{\quad \quad}$.
 

2. 定义：给定整数 $i$，如果非空集合 $A$ 满足如下 $3$ 个条件：
①$A⊆N^*$；
②$A≠\{1\}$；
③$∀x,y∈N^*$, 若 $x+y∈A$, 则 $xy-i∈A$．
则称集合 $A$ 为 “减 $i$ 集”
(Ⅰ)$P=\{1,2\}$ 是否为 “减 $0$ 集”？是否为 “减 $1$ 集”？
(Ⅱ) 证明：不存在 “减 $2$ 集”；
(Ⅲ) 是否存在 “减 $1$ 集”？如果存在，求出所有的 “减 $1$ 集”；如果不存在，请说明理由．
 
 

参考答案

1. 答案 $3$
   解析 由题意，$|d(A)-d(B)|=1$，$d(A)=2$，可得 $d(B)$ 的值为 $1$ 或 $3$
   若 $d(B)=1$，则 $x^2-ax=0$ 仅有一根，必为 $0$，此时 $a=0$，
   则 $x^2-ax+1=x^2+1=0$ 无根，符合题意
   若 $d(B)=3$，则 $x^2-ax=0$ 有一根，必为 $0$，此时 $a=0$，
   则 $x^2-ax+1=x^2+1=0$ 无根，不合题意
   故 $x^2-ax=0$ 有二根，一根是 $0$，另一根是 $a$，
   所以 $x^2-ax+1=0$ 必仅有一根，所以 $△=a^2-4=0$，解得 $a=±2$
   此时 $x^2-ax+1=0$ 的解为 $1$ 或 $-1$，符合题意
   综上实数 $a$ 的所有可能取值构成集合 $M=\{0,-2,2\}$，故 $d(M)=3$．
2. 答案 (1) $P$ 是 “减 $0$ 集”， 不是 “减 $1$ 集” (2) 略 (3) $\{1,3\}$，$\{1,3,5\}$，$\{1,3,5,7\}$，……．
   解析 (Ⅰ)$∵P⊆N^*$，$P≠\{1\}$，$1+1=2∈P$，$1×1-0∈P$，$∴P$ 是 “减 $0$ 集”
   同理，$∵P⊆N^*$，$P≠\{1\}$，$1+1=2∈P$，$1×1-1∉P$，$∴P$ 不是 “减 $1$ 集”．
   (Ⅱ) 假设存在 $A$ 是 “减 $2$ 集”，则若 $x+y∈A$，
   那么 $xy-2∈A$，①当 $x+y=xy-2$ 时，有 $(x-1)(y-1)=3$，
   则 $x,y$ 一个为 $2$，一个为 $4$，所以集合 $A$ 中有元素 $6$，
   但是 $3+3∈A$，$3×3-2∉A$，与 $A$ 是 “减 $2$ 集”，矛盾；
   ②当 $x+y≠xy-2$ 时，则 $x+y=xy-1$ 或者 $x+y=xy-m(m>2)$，
   若 $x+y=xy-1$，$m=1$ 时 $M$ 为除 $1$ 以外的最小元素，
   则 $x=M-1$，$y=1$ 时，$xy-2=M-3$ 小于 $M$，
   如果要符合题意必须 $M=4$，此时取 $x=2，y=2，xy-2=2$ 不属于 $A$，故不符合题意．
   $m>2$ 时，$(x-1)(y-1)=m+1$，同样得出矛盾．
   综上可得：不存在 $A$ 是 “减 $2$ 集”．
   (Ⅲ) 存在 “减 $1$ 集”$A$．$A≠\{1\}$．
   ①假设 $1∈A$，则 $A$ 中除了元素 $1$ 以外，必然还含有其它元素．
   假设 $2∈A$，$1+1∈A$，而 $1×1-1∉A$，因此 $2∉A$．
   假设 $3∈A$，$1+2∈A$，而 $1×2-1∈A$，因此 $3∈A$．
   因此可以有 $A=\{1,3\}$．
   假设 $4∈A$，$1+3∈A$，而 $1×3-1∉A$，因此 $4∉A$．
   假设 $5∈A$，$1+4∈A$，$1×4-1∈A$，$2+3=5$，$2×3-1∈A$，因此 $5∈A$．
   因此可以有 $A=\{1,3,5\}$．
   以此类推可得：$A=\{1,3,5,……,2n-1,……\}$，$(n∈N^*)$，
   以及 A 的满足以下条件的非空子集：$\{1,3\}$，$\{1,3,5\}$，$\{1,3,5,7\}$，……．