1.3 集合的基本运算
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019)
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基础知识
并集
概念 | 由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素所组成的集合,称为集合\(A\)与\(B\)的并集. |
---|---|
记号 | \(A∪B\)(读作:\(A\)并\(B\)) |
符号 | \(A∪B=\{x|x∈A\)或\(x∈B\}\) |
图形表示 | ![]() |
性质 | (1)\(A∪A=A\),即一个集合与其本身的并集是其本身; (2)\(A∪∅=A\),即一个集合与空集的并集是其本身; (3)\(A∪B=B∪A\),即集合的并集运算满足交换律; (4)\(A∪B=B⟺A⊆B\),即一个集合与其子集的并集是其自身. |
注 生活中讲的“或”,如你妈奖励你数学考试满分:今晚大餐是吃羊排或海鲜;如电视剧里女生对男朋友说:你选她或我,表达的是“选其一不可兼得”.
并列中的“或”有所不同,它指的是只要满足其中一个条件即可,比如学校搞个\(party\),要求满足\(A∪B(\)其中\(A=\{\)身高170cm以上\(\}\),\(B=\{\)长得帅\(\})\),那身高\(162cm\)的贵哥由于长得帅当然能参加了,若刘德华想参加当然也可以(满足身高\(170cm\)以上,又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的.
【例】 设集合\(M=\{4,5,6,8\}\),\(N=\{3,5,7,8\}\),那么\(M∪N\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由并集的定义可知,\(M∪N=\{3,,4,5,6,7,8\}\).
【练1】 设集合\(A=\{\)菱形\(\}\),\(B=\{\)矩形\(\}\),判断正方形与\(A∪B\)的关系.
解析 正方形\(∈A∪B=\{\)菱形或矩形\(\}\)
【练2】 设集合\(A=\{x|-1<x≤2,x∈N\}\),集合\(B=\{2,3\}\),则\(A∪B\)等于( )
A.\(\{2\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\{1,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{-1,0,1,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(\{0,1,2,3\}\)
解析 \(∵A=\{x│-1<x≤2,x∈N\}=\{0,1,2\}\),集合\(B=\{2,3\}\),
\(∴A∪B=\{0,1,2,3\}\),故选:\(D\).
交集
概念 | 由属于集合\(A\)且属于集合\(B\)所有元素所组成的集合,称为集合\(A\)与\(B\)的交集. |
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记号 | \(A∩B(\)读作:\(A\)交\(B\)) |
符号 | \(A∩B=\{x|x∈A\)且\(x∈B\}\) |
图形表示 | ![]() |
性质 | (1)\(A∩A=A\),\(A∩∅=∅\); (2)\(A∩B=B∩A\); (3)\(A∩B⊆A\),\(A∩B⊆B\); (4)\(A∩B=A⟺A⊆B\). |
注 (1)交集中的“且”,是“同时满足”的意思,比如学校搞\(party\),要求满足\(A∩B(\)其中\(A=\{\)身高\(170cm\)以上\(\}\),\(B=\{\)长得帅\(\})\),那身高\(162cm\)的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局,只有刘德华这样的人物才能参加.
(2) 当集合\(A\)和集合\(B\)无公共元素时,不能说集合\(A,B\)没有交集,而是\(A∩B=∅\).
【例】 设集合\(M=\{4,5,6,8\}\),\(N=\{3,5,7,8\}\),那么\(M∩N\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由交集的定义可知,\(M∪N=\{5,8\}\).
【练1】 设集合\(A=\{\)菱形\(\}\),\(B=\{\)矩形\(\}\),那么\(A∩B\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由交集的定义可知,\(A∩B=\{\)正方形\(\}\).
【练2】 设集合\(A=\{-1,1,3\}\),\(B=\{a+2,a^2+4\}\),\(A∩B=\{3\}\),则实数\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\).
解析 因为\(A∩B=\{3\}\),根据交集的运算推理得:\(3\)是集合\(A\)和集合\(B\)的公共元素,而集合\(A\)中有\(3\),所以得到\(a+2=3\)或\(a^2+4=3(\)无解,舍去\()\),解得\(a=1\).
补集
概念 | 对于集合\(A\),由全集\(U\)中不属于集合\(A\)的所有元素组成的集合,称为集合\(A\)相对于全集\(U\)的补集. |
---|---|
记号 | \(C_U A(\)读作:\(A\)的补集\()\) |
符号 | \(C_U A=\{x|x∈U,x∉A\}\) |
图形表示 | ![]() |
性质 | (1) \(C_U A⊆U\); (2)\(C_U U=∅\),\(C_U∅=U\); (3) \(C_U (C_U A)=A\); (4)\(A∪(C_U A)=U\);\(A∩(C_U A)=∅\). |
注 求集合\(A\)的补集的前提是\(A\)是全集\(U\)的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同.
【例】 已知全集\(U=\{1,2,,3,4,5,6,7\}\),\(A=\{5,6,7\}\),则\(C_U A\)等于\(\underline{\quad \quad}\).
解析 全集\(U\)中除去集合\(A\)中元素剩下的元素是\(1,2,,3,4\),则\(C_U A=\{1,2,,3,4\}\).
【练】 已知全集\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\),集合\(A=\{2,3,5\}\),集合\(B=\{1,3,4,6\}\),求集合\(A∩(C_U B)\).
解析 \(∵U=\{1,2,3,4,5,6\}\),\(B=\{1,3,4,6\}\),\(∴C_U B=\{2,5\}\),
\(∵A=\{2,3,5\}\),则\(A∩(C_U B)=\{2,5\}\).
运算律
1 交换律 \(A∪B=B∪A\),\(A∩B=B∩A\);
2 结合律 \((A∪B)∪C=A∪(B∪C)\),\((A∩B)∩C=A∩(B∩C)\);
3 分配律 \((A∩B)∪C=(A∩C)∪(B∩C)\),\((A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)\);
4 德摩根律 \(C_{U}(A \cup B)=\left(C_{U} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)\),\(∁_U (A∩B)=(∁_UA)∪(∁_UB)\).
基本方法
【题型1】离散型集合运算
【典题1】 设\(A=\{x∣x^2+ax+12=0\}\),\(B=\{x∣x^2+3x+2b=0\}\),\(A∩B=\{2\}\)
(1)求\(a,b\)的值及\(A,B\);
(2)设全集\(U=A∪B\),求\((C_U A)∪(C_U B)\).
解析 (1)因为\(A∩B=\{2\}\),所以\(2∈A,2∈B\),
所以\(4+2a+12=0⇒a=-8\),\(4+6+2b=0⇒b=-5\);
所以\(A=\{x∣x^2-8x+12=0\}=\{2,6\}\),\(B=\{x∣x^2+3x-10=0\}=\{-5,2\}\)
(2)由(1)可知:\(U=A∪B=\{-5,2,6\}\),\(C_U A=\{-5\}\),\(C_U B=\{6\}\),
所以\((C_U A)∪(C_U B)=\{-5,6\}\).
巩固练习
1.设集合\(A=\{x∣x^2-2x-3=0\}\),\(B=\{x∣x^2=1\}\),则\(A∪B\)等于( )
A.\(\{-1\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\{1,3\}\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{-1,1,3\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(\{1,-3\}\)
2.已知集合\(U=\{2,3,4,5,6,7\}\),\(M=\{3,4,5,7\}\),\(N=\{2,4,5,6\}\),则( )
A.\(M∩N=\{4,6\}\) B.\(M∪N=U\) C.\((∁_U N)∪M=U\)_ D._\((∁_U M)∩N=N\)
3.已知集合\(U=\{x∈Z│-3<x<8\}\),\(∁_U M=\{-2,1,3,4,7\}\),\(N=\{-2,-1,2,4,5,7\}\),则\(M∩N\)的元素个数为( )
A.\(1\) \(\qquad \qquad\) B.\(2\) \(\qquad \qquad\) C.\(3\) \(\qquad \qquad\) D.\(4\)
4.已知集合\(A=\{2a-1,a^2,0\}\),\(B=\{1-a,a-5,9\}\),且\(A∩B=\{9\}\),则( )
A.\(A=\{9,25,0\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(A=\{5,9,0\}\) \(\qquad \qquad\) C.\(A=\{-7,9,0\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(A∪B=\{-7,9,0,25,-4\}\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 依题意,\(A=\{-1,3\},B=\{-1,1\}\),故\(A∪B=\{-1,1,3\}\),选\(C\). - 答案 \(B\)
解析 由\(U=\{2,3,4,5,6,7\}\),\(M=\{3,4,5,7\}\),\(N=\{2,4,5,6\}\),
得\(M∩N=\{4,5\}\),\((∁_U N)∪M=\{3,4,5,7\}\),\((∁_U M)∩N=\{2,6\}\),\(M∪N=\{2,3,4,5,6,7\}=U\),选\(B\). - 答案 \(C\)
解析 \(U=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\),则\(M=\{-1,0,2,5,6\}\),
\(∴M∩N=\{-1,2,5\}\),\(∴M∩N\)的元素个数为\(3\).故选:\(C\). - 答案 \(C\)
解析 \(∵A∩B=\{9\}\),\(∴9∈A\),
\(∴2a-1=9\)或\(a^2=9\),\(∴a=5\)或\(a=±3\),
①\(a=3\)时,\(A=\{5,9,0\}\),\(B=\{-2,-2,9\}\),集合\(B\)错误,不满足集合元素的互异性,
\(∴a≠3\);
②\(a=-3\)时,\(A=\{-7,9,0\}\),\(B=\{4,-8,9\}\),满足\(A∩B=\{9\}\),即\(a=-3\)成立;
③\(a=5\)时,\(A=\{9,25,0\}\),\(B=\{-4,0,9\}\),\(A∩B=\{0,9\}\),\(∴a=5\)不成立,
综上得,\(A=\{-7,9,0\}\),\(A∪B=\{-8,-7,0,4,9\}\).故选:\(C\).
【题型2】连续型集合运算
【典题1】 已知全集\(U=R\),集合\(A=\left\{x \mid\left\{\begin{array}{l}
3-x>0 \\
3 x+6>0
\end{array}\right\}\right.\),\(B=\{m|3>2m-1\}\),
求:(1) \(A∩B\),\(A∪B\); (2) \(C_U (A∩B)\).
解析 (1) \(\because A=\left\{x \mid\left\{\begin{array}{l}
3-x>0 \\
3 x+6>0
\end{array}\right\}=\{x \mid-2<x<3\}\right.\),\(B=\{m|3>2m-1\}=\{m|m<2\}\).
用数轴表示集合\(A,B\),如图.
\(∴A∩B=\{x|-2<x<2\}\),\(A∪B=\{x|x<3\}\).
(2)由(1)知\(A∩B=\{x|-2<x<2\}\),如图所示.
因此\(C_U (A∩B)=\{x|x≥2,\)或\(x≤-2\}\).
点拨 处理涉及不等式的集合运算,多利用数轴进行运算.
【典题2】集合\(A=\{x|-1<x<1\}\),\(B=\{ x|x<a\}\).
(1)若\(A∩B=∅\),求\(a\)的取值范围;
(2)若\(A∪B=\{x|x<1\}\),求\(a\)的取值范围.
解析 (1)如图所示,\(A=\{x|-1<x<1\}\),\(B=\{x|x<a\}\),\(∵A⋂B=∅\),
\(∴\)数轴上点\(a\)在\(-1\)的左侧(含点\(-1\)).
\(∴a≤-1\).
(2)如图所示,\(A=\{x|-1<x<1\}\),\(B=\{x|x<a\}\),
\(∵A∪B=\{x|x<1\}\),
\(∴\)数轴上点\(a\)在\(-1\)和\(1\)之间(含点\(1\),但不含点\(-1\)).
\(∴-1<a≤1\).
点拨 注意对端点的处理,确定是否取得到端点.
巩固练习
1.集合\(A=\{x|-1≤x≤2\}\),\(B=\{x|x<1\}\),则\(A∩(C_R B)=\) ( )
A.\(\{x|x>1\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\{x|x≥1\}\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{x|1<x≤2\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(\{x|1≤x≤2\}\)
2.已知全集\(U=R\),集合\(A=\{x|x^2-3x-4<0\}\),\(B=\{x|x-1≤0\}\),则集合\(A∩∁_U B=\) ( )
A.\(\{x|-4<x<1\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\{x|-1<x≤1\}\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{x|-1<x<4\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(\{x|1<x<4\}\)
3.设全集\(U\)为实数集\(R\),\(M=\{x||x|>2\}\),\(N=\{x∣x^2-4x+3<0\}\),则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.\(\{x∣x<2\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\{x∣-2≤x≤2\}\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{x∣-2≤x<1\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(\{x∣1<x≤2\}\)
4.已知集合\(A=\{x|x^2-x-2<0\}\),\(B=\{x|a-2<x<a\}\),若\(A∩B=\{x|-1<x<0\}\),则\(A∪B=\)( )
A.\((-1,2)\) \(\qquad \qquad\) B.\((0,2)\) \(\qquad \qquad\) C.\((-2,1)\) \(\qquad \qquad\) D.\((-2,2)\)
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 \(∵B=\{x|x<1\}\),\(∴C_R B=\{x|x≥1\}\),\(∴A∩C_R B=\{x|1≤x≤2\}\). - 答案 \(D\)
解析 \(∵A=\{x|-1<x<4\}\),\(B=\{x|x≤1\}\),\(U=R\),
\(∴∁_U B=\{x|x>1\}\),\(∴A∩∁_U B=\{x|1<x<4\}\).故选:\(D\). - 答案 \(D\)
解析 根据图像可知阴影部分为\(N∩C_R M\),
由\(M=\{x||x∣>2\}\)可得\(C_R M=\{x∣-2≤x≤2\}\);
由\(N=\{x∣x^2-4x+3<0\}\)可得\(N=\{x∣1<x<3\}\);
所以\(N∩C_R M=\{x∣1<x≤2\}\),故选\(D\). - 答案 \(D\)
解析 \(∵A=\{x|-1<x<2\}\),\(B=\{x|a-2<x<a\}\),且\(A∩B=\{x|-1<x<0\}\),
\(∴a=0\),
\(∴B=\{x|-2<x<0\}\),\(∴A∪B=(-2,2)\).
故选:\(D\).
【题型3】综合应用
【典题1】 已知集合\(A,B\),定义\(A-B=\{x|x∈A\)且\(x∉B\}\),\(A+B=\{x|x∈A\)或\(x∈B\}\),则对于集合\(M,N\)下列结论一定正确的是 ( )
A.\(M-(M-N)=N\) \(\qquad \qquad\) B.\((M-N)+(N-M)=∅\) \(\qquad \qquad\)
C.\((M+N)-M=N\) \(\qquad \qquad\) D.\((M-N)∩(N-M)=∅\)
解析 根据题中的新定义得:\(M-N=\{x|x∈M\)且\(x∉N\}\),\(N-M=\{x|x∈N\)且\(x∉M\}\),
则\((M-N)∩(N-M)=∅\).
故选:\(D\).
点拨 对新定义的题型,可以用具体的集合进行检验,排除一些选项,也可以用venn图理解其本质再作选择.
【典题2】设集合\(A=\{x|x^2=4x\}\),\(B=\{x|x^2+2(a-1)x+a^2-1=0\}\).
(1)若\(A∩B=B\),求\(a\)的取值范围; (2)若\(A∪B=B\),求\(a\)的值.
解析 (1)\(∵A=\{x|x^2=4x\}=\{0,4\}\),又\(∵A∩B=B\),\(∴B⊆A\).
①若\(B=∅\),则\(Δ=4(a-1)^2-4(a^2-1)<0\),解得\(a>1\).
因此当\(a>1\)时,\(B=∅⊆A\).
②若\(0∈B\),则\(0\)为方程\(x^2+2(a-1)x+a^2-1=0\)的一个根.
即\(a^2-1=0\),解得\(a=±1\).
当\(a=1\)时,\(B=\{x∣x^2=0\}=\{0\}⊆A\);
当\(a=-1\)时,\(B=\{x|x^2-4x=0\}=A\).
③若\(4∈B\),则\(4\)为方程\(x^2+2(a-1)x+a^2-1=0\)的一个根,
即\(a^2+8a+7=0\),解得\(a=-1\)或\(a=-7\).
由②知当\(a=-1\)时\(A=B\)符合题意,
当\(a=-7\)时,\(B=\{x∣x^2-16x+48=0\}=\{4,12\}⊈A\).
综上可知:\(a≥1\),或\(a=-1\).
(2) \(∵A∪B=B\),\(∴A⊆B\).又\(∵A=\{0,4\}\),而\(B\)中最多有\(2\)个元素,
\(∴A=B\),即\(0,4\)为方程\(x^2+2(a-1)x+a^2-1=0\)的两个根.
\(\therefore\left\{\begin{array}{l}
-2(a-1)=4 \\
a^{2}-1=0
\end{array}\right.\),解得\(a=-1\).
点拨 集合运算的性质:\(A∩B=B⟺B⊆A\),\(A∪B=B⟺A⊆B\),可用venn图理解下.
【典题3】设集合\(P=\{x∣x^2-x-6<0\}\),\(Q=\{x∣2a≤x≤a+3\}\).
(1)若\(P∪Q=P\),求实数\(a\)的取值范围;
(2)若\(P∩Q=ϕ\),求实数\(a\)的取值范围;
(3)若\(P∩Q=\{x∣0≤x<3\}\),求实数\(a\)的值.
解析 (1)由题意知:\(P=\{x∣-2<x<3\}\),\(∵P∪Q=P\),\(∴Q⊆P\).
①当\(Q=∅\)时,得\(2a>a+3\),解得\(a>3\).
②当\(Q≠∅\)时,得\(-2<2a≤a+3<3\),解得\(-1<a<0\).
综上,\(a∈(-1,0)∪(3,+∞)\).
(2)①当\(Q=∅\)时,得\(2a>a+3\),解得\(a>3\);
②当\(Q≠∅\)时,得\(\left\{\begin{array}{l}
2 a \leq a+3, \\
a+3 \leq-2 \text { 或 } 2 a \geq 3
\end{array}\right.\),解得\(a≤-5\)或 \(\dfrac{3}{2} \leq a \leq 3\).
综上,\(a \in(-\infty,-5] \cup\left[\dfrac{3}{2},+\infty\right)\).
由\(P∩Q=\{x∣0≤x<3\}\),则\(a=0\).
点拨 注意利用数轴配合分析,留心端点的取舍.
【典题4】 已知集合\(A=\{x|2m-1<x<3m+2\}\),\(B=\{x|x≤-2,\)或\(x≥5\}\),是否存在实数\(m\),使\(A∩B≠∅\)?若存在,求实数\(m\)的取值范围;若不存在,请说明理由.
解析 若\(A∩B=∅\),分\(A=∅\)和\(A≠∅\)讨论:
(1)若\(A=∅\),则\(2m-1≥3m+2\),解得\(m≤-3\),此时\(A∩B=∅\).
(2)若\(A≠∅\),要使\(A∩B=∅\),则应有
\(\left\{\begin{array}{l}
2 m-1<3 m+2 \\
2 m-1 \geq-2 \\
3 m+2 \leq 5
\end{array}\right.\)即\(\left\{\begin{array}{l}
m>-3 \\
m \geq-\dfrac{1}{2} \\
m \leq 1
\end{array}\right.\),所以\(-\dfrac{1}{2} \leq m \leq 1\).
综上,当\(A∩B=∅\)时,\(m≤-3\)或\(-\dfrac{1}{2} \leq m \leq 1\);
当\(m>1\)或\(-3<m<-\dfrac{1}{2}\)时,\(A∩B≠∅\).
点拨 补集思想,\(A∩B≠∅\)难以处理,可先求\(A∩B=∅\)时对应\(m\)的范围,其补集即是所求.
巩固练习
1.某班举行数理化竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有\(27\)人,参加物理竞赛的有\(25\)人,参加化学竞赛的有\(27\)人,其中参加数学、物理两科的有\(10\)人,参加物理、化学两科的有\(7\)人,参加数学、化学两科的有\(11\)人,而参加数、理、化三科的有\(4\)人,则全班人数是\(\underline{\quad \quad}\) .
2.设\(A,B\)是\(R\)中两个子集,对于\(x∈R\),定义:\(m=\left\{\begin{array}{l}
0, x \notin A, \\
1, x \in A,
\end{array} n=\left\{\begin{array}{l}
0, x \notin B \\
1, x \in B
\end{array}\right.\right.\)
①若\(A⊆B\).则对任意\(x∈R\),\(m(1-n)=\) \(\underline{\quad \quad}\);
②若对任意\(x∈R\),\(m+n=1\),则\(A,B\)的关系为\(\underline{\quad \quad}\).
3.已知\(A=\{x|x^2+ax+b=0\}\),\(B=\{x|x^2+cx+15=0\}\),\(A∪B=\{3,5\}\),\(A∩B=\{3\}\),则实数\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\),\(b=\)\(\underline{\quad \quad}\),\(c=\)\(\underline{\quad \quad}\).
4.设\(A=\{x|x^2+4x=0\}\),\(B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\}\),其中\(x∈R\),如果\(A∩B=B\),则实数\(a\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\).
5.已知集合\(A=\{x|-2<x-1<2\}\),集合\(B=\{x|x^2-(2a-1)x+a^2-a=0\}\).
(1)若\(A∩B=\{2\}\),求\(a\)的值;
(2)若\(A∪B=A\),求\(a\)的取值范围.
6.对于正整数集合\(A=\{a_1,a_2,…,a_n\}(n∈N^*,n≥3)\),如果去掉其中任意一个元素\(a_i (i=1,2,…,n)\)之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合\(A\)为“和谐集”.
(1)判断集合\(\{1,2,3,4,5\}\)是否为“和谐集”,并说明理由;
(2)求证:集合\(\{1,3,5,7,9,11,13\}\)是“和谐集”;
(3)求证:若集合\(A\)是“和谐集”,则集合\(A\)中元素个数为奇数.
参考答案
-
答案 \(55\)
解析 设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为\(A,B,C\),由题意可知集合\(A,B,C\)中的元素个数分别为\(27,25,27\),集合\(A∩B\),\(B∩C\),\(A∩C\),\(A∩B∩C\)中的元素个数分别为\(10,7,11,4\).画出\(Venn\)图如图所示,
由图可知全班人数为\(10+13+12+6+4+7+3=55\)(人).
-
答案 \(0\),\(A=∁_R B\).
解析 ①\(∵A⊆B\).则\(x∉A\)时,\(m=0\),\(m(1-n)=0\).
\(x∈A\)时,必有\(x∈B\),\(∴m=n=1\),\(m(1-n)=0\).
综上可得:\(m(1-n)=0\).
②对任意\(x∈R\),\(m+n=1\),则\(m,n\)的值一个为\(0\),另一个为\(1\),即\(x∈A\)时,必有\(x∉B\),或\(x∈B\)时,必有\(x∉A\),
\(∴A,B\)的关系为\(A=∁_R B\).
故答案为:\(0\),\(A=∁_R B\). -
答案 \(a=-6,b=9,c=-8\).
解析 \(∵A∩B=\{3\}\),
\(∴\)由\(9+3c+15=0\),解得\(c=-8\).
由\(x^2-8x+15=0\),解得\(B=\{3,5\}\),故\(A=\{3\}\).
又\(a^2-4b=0\),解得\(a=-6\),\(b=9\).
综上知,\(a=-6,b=9,c=-8\). -
答案 \((-∞,-1]∪\{1\}\)
解析 由\(A\)中方程变形得:\(x(x+4)=0\),
解得:\(x=0\)或\(x=-4\),即\(A=\{-4,0\}\),
由\(B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\}\),其中\(x∈R\),且\(A∩B=B\),
分两种情况考虑:
若\(B=∅\)时,\(Δ=4(a+1)^2-4(a^2-1)=8a+8<0\),即\(a≤-1\),满足题意;
若\(B≠∅\),\(Δ=4(a+1)^2-4(a^2-1)=8a+8≥0\),即\(a≥-1\),
此时把\(x=-4\)代入得:\(16-8a-8+a^2-1=0\),即\(a=-1\)或\(a=-7\)(舍去);
把\(x=0\)代入得:\(a=1\)或\(-1\),
综上,\(a\)的范围为\((-∞,-1]∪\{1\}\). -
答案 (1) \(a=2\)或\(a=3\) (2) \((0,3)\)
解析 (1)\(A=\{x|-1<x<3\}\),\(B=\{a,a-1\}\),
\(∵A∩B=\{2\}\),\(∴2∈B\),
\(∴a=2\)或\(a-1=2\),即\(a=2\)或\(a=3\),
\(a=2\)时,\(B=\{1,2\}\),\(∴A∩B=\{1,2\}\),不满足\(A∩B=\{2\}\),\(a=2\)舍去,
\(∴a=3\);
(2)\(∵A∪B=A\),\(∴B⊆A\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} -1<a<3 \\ -1<a-1<3 \end{array}\right.\),解得\(0<a<3\),
\(∴a\)的取值范围为\((0,3)\). -
答案 (1) \(\{1,2,3,4,5\}\)不是“和谐集” (2) 略 (3)略
解析 (1)对于集合\(\{1,2,3,4,5\}\),
当去掉元素\(2\)时,剩余的所有元素之和为\(13\),
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合,
所以集合\(\{1,2,3,4,5\}\)不是“和谐集”.
(2)证明:设\(A=\{1,3,5,7,9,11,13\}\),
当去掉元素\(1\)时,有\(3+5+7+9=11+13\);
当去掉元素\(3\)时,有\(1+9+13=5+7+11\);
当去掉元素\(5\)时,有\(9+13=1+3+7+11\);
当去掉元素\(7\)时,有\(1+9+11=3+5+13\);
当去掉元素\(9\)时,有\(1+3+5+11=7+13\);
当去掉元素\(11\)时,有\(3+7+9=1+5+13\);
当去掉元素\(13\)时,有\(1+3+5+9=7+11\).
所以集合\(A=\{1,3,5,7,9,11,13\}\)是“和谐集”.
(3)证明:设“和谐集”\(A=\left\{a_{1}, \quad a_{2}, \ldots, \quad a_{n}\right\}\)所有元素之和为\(M\).
由题可知,\(M-a_i (i=1,2,…,n)\)均为偶数,
因此\(a_i (i=1,2,…,n)\)的奇偶性相同.
\((ⅰ)\)如果\(M\)为奇数,则\(a_i (i=1,2,…,n)\)也均为奇数,
由于\(M=a_1+a_2+⋯+a_n\),所以\(n\)为奇数.
\((ⅱ)\)如果\(M\)为偶数,则\(a_i (i=1,2,…,n)\)均为偶数,
此时设\(a_i=2b_i\),则\(\{b_1,b_2,…,b_n \}\)也是“和谐集”.
重复上述操作有限次,便可得各项均为奇数的“和谐集”.
此时各项之和也为奇数,集合\(A\)中元素个数为奇数.
综上所述,集合\(A\)中元素个数为奇数.
分层练习
【A组---基础题】
1.设集合\(A=\{4,5,7,9\}\),\(B=\{3,4,7,8,9\}\),全集\(U=A∪B\),则集合\(∁_U (A∩B)\)中的元素共有( )
A.\(3\)个 \(\qquad \qquad\) B.\(4\)个 \(\qquad \qquad\) C.\(5\)个 \(\qquad \qquad\) D.\(6\)个
2.集合\(A=\{0,2,a\}\),\(B=\{1,a^2 \}\),若\(A∪B=\{0,1,2,4,16\}\),则\(a\)的值为( )
A.\(0\) \(\qquad \qquad\) B.\(1\) \(\qquad \qquad\) C.\(2\) \(\qquad \qquad\) D.\(4\)
3.已知全集\(U=R\),集合\(A=\{0,1,2,3,4\}\),\(B=\{x∣x>2\)或 \(x<0\}\),则图中阴影部分表示的集合为( )
A.\(\{0,1,2\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\{1,2\}\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{3,4\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(\{0,3,4\}\)
4.设集合\(A=\{x|-1≤x≤2\}\),\(B=\{x|0≤x≤4\}\),则\(A∩B\)等于( )
A.\(\{x|0≤x≤2\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\{x|1≤x≤2\}\) \(\qquad \qquad\)
C.\(\{x|0≤x≤4\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(\{x|1≤x≤4\}\)
5.设集合\(A=\{-4,2m-1,m^2 \}\),\(B=\{9,m-5,1-m\}\),又\(A∩B=\{9\}\),求实数\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\).
6.已知集合\(A=\{x|x^2-x-2<0\}\),\(B=\{x|a-2<x<a\}\),若\(A∩B=\{x|-1<x<0\}\),则\(A∪B=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
7.已知集合\(A=\{x|x^2-(2+a)x+2a=0\}\),\(B=\{2,5,a^2+5a-12\}\).
(1)若\(3∈A\),求实数\(a\)的值;
(2)若\(∁_B A=\{5\}\),求实数\(a\)的值.
8.已知集合\(A=\{x∣x^2+x-6≥0\}\),\(B=\{x∣x^2-6x+5<0\}\),\(C=\{x∣m-1≤x≤2m\}\)
(1)求\(A∩B\),\((C_R A)∪B\);
(2)若\(B∩C=C\),求实数\(m\)的取值范围.
9.已知集合\(A=\{x|-2<x-1<2\}\),集合\(B=\{x|x^2-(2a-1)x+a^2-a=0\}\).
(1)若\(A∩B=\{2\}\),求\(a\)的值;
(2)若\(A∪B=A\),求\(a\)的取值范围.
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(U=A∪B=\{3,4,5,7,8,9\}\),\(A∩B=\{4,7,9\}\),\(∴∁_U (A∩B)=\{3,5,8\}\). -
答案 \(D\)
解析 \(∵A=\{0,2,a\}\),\(B=\{1,a^2 \}\),\(A∪B=\{0,1,2,4,16\}\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} a^{2}=16 \\ a=4 \end{array}\right.\),\(∴a=4\). -
答案 A
解析 \(∵\)全集\(U=R\),集合\(A=\{0,1,2,3,4\}\),\(B=\{x∣x>2\)或 \(x<0\}\),
\(∴C_U B=\{x∣0≤x≤2\}\),\(∴\)图中阴影部分表示的集合为\(A∩C_U B=\{0,1,2\}\),故选\(A\). -
答案 \(A\)
解析 在数轴上表示出集合\(A\)与\(B\),如下图.
则由交集的定义可得\(A∩B=\{x∣0≤x≤2\}\). 答案 :\(A\) -
答案 \(-3\)
解析 \(∵A∩B=\{9\}\),\(∴9∈A\)且\(9∈B\).
若\(2m-1=9\),即\(m=5\)代入得\(A=\{-4,9,25\}\),\(B=\{9,0,-4\}\),
\(∴A∩B=\{-4,9\}\)矛盾.
若\(m^2=9\),即\(m=±3\).
当\(m=3\)时,\(A=\{-4,5,9\}\),\(B=\{9,-2,-2\}\)矛盾(集合\(B\)中元素不互异).
当\(m=-3\)时,\(A=\{-4,-7,9\}\),\(B=\{9,-8,4\}\),有\(A∩B=\{9\}\)适合,
由上述知:\(m=-3\). -
答案 \((-2,2)\)
解析 \(∵A=\{x|-1<x<2\}\),\(B=\{x|a-2<x<a\}\),且\(A∩B=\{x|-1<x<0\}\),
\(∴a=0\),
\(∴B=\{x|-2<x<0\}\),
\(∴A∪B=(-2,2)\). -
答案 (1) \(3\) (2) \(-6\)
解析 (1)因为\(3∈A\),\(A=\{x|(x-2)(x-a)=0\}\),所以\(a=3\).
(2)因为\(∁_B A=\{5\}\),所以\(A\)中有两个元素,即\(A=\{2,a\}\),所以\(a^2+5a-12=a\),
解得\(a=2\)或\(a=-6\),由元素的互异性可得,\(a=-6\). -
** 答案 ** (1)\(\{x∣2≤x<5\}\), \(\{x∣-3<x<5\}\) (2) \((-\infty,-1) \cup\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)
解析 (1)\(∵A=\{x∣x≤-3\) 或\(x≥2\}\),\(B=\{x∣1<x<5\}\),
\(∴A∩B=\{x∣2≤x<5\}\),\(C_R A=\{x∣-3<x<2\}\),
\(∴(C_R A)∪B=\{x∣-3<x<5\}\);
(2)\(∵B∩C=C\),\(∴C⊆B\).
①当\(C=∅\)时,\(m-1>2m\),即\(m<-1\);
②当\(C≠∅\)时,\(\left\{\begin{array}{c} m-1 \leq 2 m \\ m-1>1 \\ 2 m<5 \end{array}\right.\), \(\therefore 2<m<\dfrac{5}{2}\);
综上所述:\(m\)的取值范围是\((-\infty,-1) \cup\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\). -
答案 (1)\(3\) (2) \((0,3)\)
解析 (1)\(A=\{x|-1<x<3\}\),\(B=\{a,a-1\}\),
\(∵A∩B=\{2\}\),\(∴2∈B\),
\(∴a=2\)或\(a-1=2\),即\(a=2\)或\(a=3\),
\(a=2\)时,\(B=\{1,2\}\),\(∴A∩B=\{1,2\}\),不满足\(A∩B=\{2\}\),\(a=2\)舍去,
\(∴a=3\);
(2)\(∵A∪B=A\),\(∴B⊆A\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} -1<a<3 \\ -1<a-1<3 \end{array}\right.\),解得\(0<a<3\),
\(∴a\)的取值范围为\((0,3)\).
【B组---提高题】
1.定义集合的商集运算为\(\dfrac{A}{B}=\left\{x \mid x=\dfrac{m}{n}, m \in A, n \in B\right\}\),已知集合\(S=\{2,4,6\}\),\(T=\{x|x=\dfrac{k}{2}-1,k∈S\}\),则集合\(\dfrac{S}{T} \cup T\)中的元素个数为( )
A.\(5\) \(\qquad \qquad\) B.\(6\) \(\qquad \qquad\) C.\(7\) \(\qquad \qquad\) D.\(8\)
2.已知集合\(A\)中有\(10\)个元素,\(B\)中有\(6\)个元素,全集\(U\)有\(18\)个元素,\(A∩B≠∅\).设集合\((∁_U A)∩(∁_U B)\)有\(x\)个元素,则\(x\)的取值范围是( )
A.\(3≤x≤8\),且\(x∈N\) \(\qquad \qquad\) B.\(2≤x≤8\),且\(x∈N\)
C.\(8≤x≤12\),且\(x∈N\) \(\qquad \qquad\) D.\(10≤x≤15\),且\(x∈N\)
3.设集合\(A=\{x|x^2-(a+3)x+3a=0\}\),\(B=\{x|x^2-5x+4=0\}\),集合\(A∪B\)中所有元素之和为\(8\),则实数\(a\)的取值集合为\(\underline{\quad \quad}\).
4.设\(M=\left\{x \mid m \leq x \leq m+\dfrac{1}{3}\right\}\),\(N=\left\{x \mid n-\dfrac{3}{4} \leq x \leq n\right\}\)都是\(\{x|0≤x≤1\}\)的子集,如果\(b-a\)叫做集合\(\{x|a≤x≤b\}\)的长度,则集合\(M∩N\)的长度的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
5.设\(A=\{x|x^2+4x≤0\}\),\(B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1<0\}\),其中\(x∈R\),如果\(A∩B=B\),求实数\(a\)的取值范围.
6.设集合\(A=\{x|x^2-ax+a^2-19=0\}\),\(B=\{x|x^2-5x+6=0\}\),\(C=\{x|x^2+2x-8=0\}\)
(1)若\(A∩B=A∪B\),求\(a\)的值
(2)若\(∅⊂A∩B,A∩C=∅\),求\(a\)的值.
7.已知集合\(A=\{x∣x^2-ax+a^2-19=0\}\),\(B=\{x∣x^2-5x+6=0\}\),是否存在\(a\)使\(A,B\)同时满足下列三个条件:(1)\(A≠B\);(2)\(A∪B=B\);(3)\(∅⫋(A∩B)\).若存在,求出\(a\)的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 \(S=\{2,4,6\}\),\(T=\{0,1,2\}\),\(\therefore \dfrac{S}{T}=\{1,2,3,4,6\}\),
\(\therefore \dfrac{S}{T} \cup T=\{0,1,2,3,4,6\}\),\(∴\)集合\(\dfrac{S}{T} \cup T\)中的元素个数为\(6\).
故选:\(B\). - 答案 \(A\)
解析 因为\(A∩B≠∅\),当集合\(A∩B\)中仅有一个元素时,
集合\((∁_U A)∩(∁_U B)=∁_U (A∪B)\)中有\(3\)个元素,
当\(A∩B\)中有\(6\)个元素时,
集合\((∁_U A)∩(∁_U B)=∁_U (A∪B)\)中有\(8\)个元素,
所以得到\(3≤x≤8\)且\(x\)为正整数.
故选:\(A\). - 答案 \(\{0,1,3,4\}\)
解析 求解一元二次方程\(x^2-(a+3)x+3a=0\)可得\(x_1=a\),\(x_2=3\),且\(B=\{1,4\}\),
当\(a=1\),\(3\)或\(4\)时,结合集合的互异性,可知\(A∪B\)中所有元素之和为\(8\),
否则\(a+1+3+4=8\),解得:\(a=0\),
综上可得,实数\(a\)的取值范围是\(\{0,1,3,4\}\). - 答案 \(\dfrac{1}{12}\)
解析 由\(m≥0\),且\(m+\dfrac{1}{3} \leq 1\),求出\(m \in\left[0, \dfrac{2}{3}\right]\),
由\(n-\dfrac{3}{4} \geq 0\),且\(n≤1\),求出\(n \in\left[\dfrac{3}{4}, 1\right]\),
分别把\(m,n\)的两端值代入求出:\(M=\left\{x \mid 0 \leq x \leq \dfrac{1}{3}\right\}\),\(N=\left\{x \mid \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\right\}\),
或\(M=\left\{x \mid \dfrac{2}{3} \leq x \leq 1\right\}\),\(N=\left\{x \mid 0 \leq x \leq \dfrac{3}{4}\right\}\),
所以\(M \cap N=\left\{x \mid \dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{1}{3}\right\}\),或\(\left\{x \mid \dfrac{2}{3} \leq x \leq \dfrac{3}{4}\right\}\).
所以\(b-a=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\),或\(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{12}\),
综上所述,集合\(M∩N\)的长度的最小值是\(\dfrac{1}{12}\). - 答案 \(a≤-1\)或\(a=1\)
解析 \(A=\{x|-4≤x≤0\}\),又\(A∩B=B\),\(∴B⊆A\),
\((i)B=∅\)时,\(△=4(a+1)^2-4(a^2-1)≤0\),得\(a≤-1\);
\((ii)B≠∅\)时,设\(f(x)=x^2+2(a+1)x+a^2-1\),
令\(x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\)的两根为\(x_1,x_2\),且\(x_1<x_2\),
则有\(-4≤x_1<x_2≤0\),即\(\left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \\ f(-4) \geq 0 \\ f(0) \geq 0 \\ -4 \leq-(a+1) \leq 0 \end{array}\right.\),解得\(a=1\),
综上,\(a\)的范围是\(a≤-1\)或\(a=1\). - 答案 (1)\(5\) (2)\(-2\)
解析 (1)集合\(A=\{x|x^2-ax+a^2-19=0\}\),\(B=\{x|x^2-5x+6=0\}=\{2,3\}\),
由\(A∩B=A∪B\),可得\(A=B\),
则\(a=2+3\),且\(a^2-19=2×3\),解得\(a=5\):
(2)若\(∅⊂A∩B\),\(A∩C=∅\),
\(C=\{x∣x^2+2x-8=0\}=\{-4,2\}\),\(B=\{2,3\}\),
可得\(A∩B≠∅\),则\(3∈A\),\(2∉A\),
可得\(9-3a+a^2-19=0\),解得\(a=5\)或\(-2\),
则\(A=\{x|x^2-5x+6=0\}=B\),矛盾,舍去\(a=5\),
或\(A=\{x|x^2+2x-15=0\}=\{-5,3\}\)成立,
则\(a=-2\). - 答案 不存在实数\(a\)使得\(A,B\)满足条件
解析 假设存在\(a\)使得\(A,B\)满足条件,由题已知得\(B=\{2,3\}\).
\(∵A∪B=B\),\(∴A⊆B\),即\(A=B\)或\(A⫋B\).
由条件(1)\(A≠B\),可知\(A⫋B\).
又\(∵\emptyset \subsetneq(A \cap B)\),\(∴A≠∅\),即\(A=\{2\}\)或\(\{3\}\).
当\(A=\{2\}\)时,代入得\(a^2-2a-15=0\),即\(a=-3\)或\(a=5\).
经检验:\(a=-3\)时,\(A=\{2,-5\}\),与\(A=\{2\}\)矛盾,舍去;
\(a=5\)时,\(A=\{2,3\}\),与\(A=\{2\}\)矛盾,舍去.
当\(A=\{3\}\)时,代入得\(a^2-3a-10=0\).即\(a=5\)或\(a=-2\).
经检验:\(a=-2\)时,\(A=\{3,-5\}\),与\(A=\{3\}\)矛盾,舍去;
\(a=5\)时,\(A=\{2,3\}\),与\(A=\{3\}\)矛盾,舍去.
综上所述,不存在实数\(a\)使得\(A,B\)满足条件.
【C组---拓展题】
1.用\(d(A)\)表示集合\(A\)中的元素个数,若集合\(A=\{0,1\}\),\(B=\{x|(x^2-ax)(x^2-ax+1)=0\}\),且\(|d(A)-d(B)|=1\).设实数\(a\)的所有可能取值构成集合\(M\),则\(d(M)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
2.定义:给定整数\(i\),如果非空集合\(A\)满足如下\(3\)个条件:
①\(A⊆N^*\);
②\(A≠\{1\}\);
③\(∀x,y∈N^*\),若\(x+y∈A\),则\(xy-i∈A\).
则称集合\(A\)为“减\(i\)集”
(Ⅰ)\(P=\{1,2\}\)是否为“减\(0\)集”?是否为“减\(1\)集”?
(Ⅱ)证明:不存在“减\(2\)集”;
(Ⅲ)是否存在“减\(1\)集”?如果存在,求出所有的“减\(1\)集”;如果不存在,请说明理由.
参考答案
- 答案 \(3\)
解析 由题意,\(|d(A)-d(B)|=1\),\(d(A)=2\),可得\(d(B)\)的值为\(1\)或\(3\)
若\(d(B)=1\),则\(x^2-ax=0\)仅有一根,必为\(0\),此时\(a=0\),
则\(x^2-ax+1=x^2+1=0\)无根,符合题意
若\(d(B)=3\),则\(x^2-ax=0\)有一根,必为\(0\),此时\(a=0\),
则\(x^2-ax+1=x^2+1=0\)无根,不合题意
故\(x^2-ax=0\)有二根,一根是\(0\),另一根是\(a\),
所以\(x^2-ax+1=0\)必仅有一根,所以\(△=a^2-4=0\),解得\(a=±2\)
此时\(x^2-ax+1=0\)的解为\(1\)或\(-1\),符合题意
综上实数\(a\)的所有可能取值构成集合\(M=\{0,-2,2\}\),故\(d(M)=3\). - 答案 (1) \(P\)是“减\(0\)集”, 不是“减\(1\)集” (2) 略 (3) \(\{1,3\}\),\(\{1,3,5\}\),\(\{1,3,5,7\}\),…….
解析 (Ⅰ)\(∵P⊆N^*\),\(P≠\{1\}\),\(1+1=2∈P\),\(1×1-0∈P\),\(∴P\)是“减\(0\)集”
同理,\(∵P⊆N^*\),\(P≠\{1\}\),\(1+1=2∈P\),\(1×1-1∉P\),\(∴P\)不是“减\(1\)集”.
(Ⅱ)假设存在\(A\)是“减\(2\)集”,则若\(x+y∈A\),
那么\(xy-2∈A\),①当\(x+y=xy-2\)时,有\((x-1)(y-1)=3\),
则\(x,y\)一个为\(2\),一个为\(4\),所以集合\(A\)中有元素\(6\),
但是\(3+3∈A\),\(3×3-2∉A\),与\(A\)是“减\(2\)集”,矛盾;
②当\(x+y≠xy-2\)时,则\(x+y=xy-1\)或者\(x+y=xy-m(m>2)\),
若\(x+y=xy-1\),\(m=1\)时\(M\)为除\(1\)以外的最小元素,
则\(x=M-1\),\(y=1\)时,\(xy-2=M-3\)小于\(M\),
如果要符合题意必须\(M=4\),此时取\(x=2,y=2,xy-2=2\)不属于\(A\),故不符合题意.
\(m>2\)时,\((x-1)(y-1)=m+1\),同样得出矛盾.
综上可得:不存在\(A\)是“减\(2\)集”.
(Ⅲ)存在“减\(1\)集”\(A\).\(A≠\{1\}\).
①假设\(1∈A\),则\(A\)中除了元素\(1\)以外,必然还含有其它元素.
假设\(2∈A\),\(1+1∈A\),而\(1×1-1∉A\),因此\(2∉A\).
假设\(3∈A\),\(1+2∈A\),而\(1×2-1∈A\),因此\(3∈A\).
因此可以有\(A=\{1,3\}\).
假设\(4∈A\),\(1+3∈A\),而\(1×3-1∉A\),因此\(4∉A\).
假设\(5∈A\),\(1+4∈A\),\(1×4-1∈A\),\(2+3=5\),\(2×3-1∈A\),因此\(5∈A\).
因此可以有\(A=\{1,3,5\}\).
以此类推可得:\(A=\{1,3,5,……,2n-1,……\}\),\((n∈N^*)\),
以及A的满足以下条件的非空子集:\(\{1,3\}\),\(\{1,3,5\}\),\(\{1,3,5,7\}\),…….