1.3 集合的基本运算
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步拔高，难度2颗星！
基础知识
并集
| 概念 | 由所有属于集合\(A\)或属于集合\(B\)的元素所组成的集合，称为集合\(A\)与\(B\)的并集. |
|---|---|
| 记号 | \(A∪B\)(读作:\(A\)并\(B\)) |
| 符号 | \(A∪B=\{x|x∈A\)或\(x∈B\}\) |
| 图形表示 |  |
| 性质 | (1)\(A∪A=A\)，即一个集合与其本身的并集是其本身； (2)\(A∪∅=A\)，即一个集合与空集的并集是其本身； (3)\(A∪B=B∪A\)，即集合的并集运算满足交换律； (4)\(A∪B=B⟺A⊆B\)，即一个集合与其子集的并集是其自身． |
注 生活中讲的“或”，如你妈奖励你数学考试满分：今晚大餐是吃羊排或海鲜；如电视剧里女生对男朋友说：你选她或我，表达的是“选其一不可兼得”.
并列中的“或”有所不同，它指的是只要满足其中一个条件即可，比如学校搞个\(party\)，要求满足\(A∪B(\)其中\(A=\{\)身高170cm以上\(\}\)，\(B=\{\)长得帅\(\})\)，那身高\(162cm\)的贵哥由于长得帅当然能参加了，若刘德华想参加当然也可以(满足身高\(170cm\)以上，又帅).并列中的“或”是可以两者兼得的.
【例】 设集合\(M＝\{4,5,6,8\}\)，\(N＝\{3,5,7,8\}\)，那么\(M∪N\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由并集的定义可知，\(M∪N=\{3,,4,5,6,7,8\}\).
【练1】 设集合\(A=\{\)菱形\(\}\)，\(B=\{\)矩形\(\}\)，判断正方形与\(A∪B\)的关系.
解析 正方形\(∈A∪B=\{\)菱形或矩形\(\}\)
【练2】 设集合\(A=\{x|-1<x≤2,x∈N\}\)，集合\(B=\{2,3\}\)，则\(A∪B\)等于( )
A.\(\{2\}\) \(\qquad \qquad\) B.\(\{1,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) C.\(\{-1,0,1,2,3\}\) \(\qquad \qquad\) D.\(\{0,1,2,3\}\)
解析 \(∵A=\{x│-1<x≤2,x∈N\}=\{0,1,2\}\)，集合\(B=\{2,3\}\)，
\(∴A∪B=\{0,1,2,3\}\)，故选:\(D\).
交集
| 概念 | 由属于集合\(A\)且属于集合\(B\)所有元素所组成的集合，称为集合\(A\)与\(B\)的交集. |
|---|---|
| 记号 | \(A∩B(\)读作:\(A\)交\(B\)) |
| 符号 | \(A∩B=\{x|x∈A\)且\(x∈B\}\) |
| 图形表示 |  |
| 性质 | (1)\(A∩A=A\)，\(A∩∅=∅\)； (2)\(A∩B=B∩A\)； (3)\(A∩B⊆A\)，\(A∩B⊆B\)； (4)\(A∩B=A⟺A⊆B\). |
注 (1)交集中的“且”，是“同时满足”的意思，比如学校搞\(party\)，要求满足\(A∩B(\)其中\(A=\{\)身高\(170cm\)以上\(\}\)，\(B=\{\)长得帅\(\})\)，那身高\(162cm\)的贵哥虽然长得帅但也遗憾出局，只有刘德华这样的人物才能参加.
(2) 当集合\(A\)和集合\(B\)无公共元素时，不能说集合\(A,B\)没有交集，而是\(A∩B=∅\)．
【例】 设集合\(M＝\{4,5,6,8\}\)，\(N＝\{3,5,7,8\}\)，那么\(M∩N\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由交集的定义可知，\(M∪N=\{5,8\}\).
【练1】 设集合\(A=\{\)菱形\(\}\)，\(B=\{\)矩形\(\}\)，那么\(A∩B\)等于\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 由交集的定义可知，\(A∩B=\{\)正方形\(\}\).
【练2】 设集合\(A=\{-1,1,3\}\),\(B=\{a+2,a^2+4\}\),\(A∩B=\{3\}\),则实数\(a＝\)\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 因为\(A∩B=\{3\}\)，根据交集的运算推理得：\(3\)是集合\(A\)和集合\(B\)的公共元素，而集合\(A\)中有\(3\)，所以得到\(a+2=3\)或\(a^2+4=3(\)无解，舍去\()\)，解得\(a=1\)．
补集
| 概念 | 对于集合\(A\)，由全集\(U\)中不属于集合\(A\)的所有元素组成的集合，称为集合\(A\)相对于全集\(U\)的补集. |
|---|---|
| 记号 | \(C_U A(\)读作:\(A\)的补集\()\) |
| 符号 | \(C_U A=\{x|x∈U,x∉A\}\) |
| 图形表示 |  |
| 性质 | (1) \(C_U A⊆U\)； (2)\(C_U U=∅\)，\(C_U∅=U\)； (3) \(C_U (C_U A)=A\)； (4)\(A∪(C_U A)=U\)；\(A∩(C_U A)=∅\). |
注 求集合\(A\)的补集的前提是\(A\)是全集\(U\)的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同．
【例】 已知全集\(U＝\{1,2,,3,4,5,6,7\}\)，\(A＝\{5,6,7\}\)，则\(C_U A\)等于\(\underline{\quad \quad}\).
解析 全集\(U\)中除去集合\(A\)中元素剩下的元素是\(1,2,,3,4\)，则\(C_U A＝\{1,2,,3,4\}\).
【练】 已知全集\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)，集合\(A=\{2,3,5\}\)，集合\(B=\{1,3,4,6\}\)，求集合\(A∩(C_U B)\).
解析 \(∵U=\{1,2,3,4,5,6\}\),\(B=\{1,3,4,6\}\)，\(∴C_U B=\{2,5\}\)，
\(∵A=\{2,3,5\}\)，则\(A∩(C_U B)=\{2,5\}\)．
运算律
1 交换律 \(A∪B=B∪A\)，\(A∩B=B∩A\)；
2 结合律 \((A∪B)∪C=A∪(B∪C)\)，\((A∩B)∩C=A∩(B∩C)\)；
3 分配律 \((A∩B)∪C=(A∩C)∪(B∩C)\)，\((A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)\)；
4 德摩根律 \(C_{U}(A \cup B)=\left(C_{U} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)\)，\(∁_U (A∩B)=(∁_UA)∪(∁_UB)\).
基本方法
【题型1】离散型集合运算
【典题1】 设\(A=\{x∣x^2+ax+12=0\}\)，\(B=\{x∣x^2+3x+2b=0\}\)，\(A∩B=\{2\}\)
(1)求\(a,b\)的值及\(A,B\)；
(2)设全集\(U=A∪B\)，求\((C_U A)∪(C_U B)\)．
解析 (1)因为\(A∩B=\{2\}\)，所以\(2∈A,2∈B\)，
所以\(4+2a+12=0⇒a=-8\)，\(4+6+2b=0⇒b=-5\)；
所以\(A=\{x∣x^2-8x+12=0\}=\{2,6\}\)，\(B=\{x∣x^2+3x-10=0\}=\{-5,2\}\)
(2)由(1)可知：\(U=A∪B=\{-5,2,6\}\)，\(C_U A=\{-5\}\)，\(C_U B=\{6\}\)，
所以\((C_U A)∪(C_U B)=\{-5,6\}\)．
巩固练习
1.设集合\(A=\{x∣x^2-2x-3=0\}\)，\(B=\{x∣x^2=1\}\)，则\(A∪B\)等于( )
A．\(\{-1\}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\{1,3\}\) \(\qquad \qquad\) C．\(\{-1,1,3\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\{1,-3\}\)
2.已知集合\(U=\{2,3,4,5,6,7\}\)，\(M=\{3,4,5,7\}\)，\(N=\{2,4,5,6\}\)，则( )
A．\(M∩N=\{4,6\}\) B．\(M∪N=U\) C．\((∁_U N)∪M=U\)_ D．_\((∁_U M)∩N=N\)
3.已知集合\(U=\{x∈Z│-3<x<8\}\),\(∁_U M=\{-2,1,3,4,7\}\),\(N=\{-2,-1,2,4,5,7\}\)，则\(M∩N\)的元素个数为( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad\) B．\(2\) \(\qquad \qquad\) C．\(3\) \(\qquad \qquad\) D．\(4\)
4.已知集合\(A=\{2a-1,a^2,0\}\),\(B=\{1-a,a-5,9\}\),且\(A∩B=\{9\}\)，则( )
A．\(A=\{9,25,0\}\) \(\qquad \qquad\) B．\(A=\{5,9,0\}\) \(\qquad \qquad\) C．\(A=\{-7,9,0\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(A∪B=\{-7,9,0,25,-4\}\)
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 依题意，\(A=\{-1,3\},B=\{-1,1\}\)，故\(A∪B=\{-1,1,3\}\)，选\(C\). - 答案 \(B\)
解析 由\(U=\{2,3,4,5,6,7\}\)，\(M=\{3,4,5,7\}\)，\(N=\{2,4,5,6\}\)，
得\(M∩N=\{4,5\}\)，\((∁_U N)∪M=\{3,4,5,7\}\)，\((∁_U M)∩N=\{2,6\}\)，\(M∪N=\{2,3,4,5,6,7\}=U\)，选\(B\). - 答案 \(C\)
解析 \(U=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\)，则\(M=\{-1,0,2,5,6\}\)，
\(∴M∩N=\{-1,2,5\}\)，\(∴M∩N\)的元素个数为\(3\)．故选：\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 \(∵A∩B=\{9\}\)，\(∴9∈A\)，
\(∴2a-1=9\)或\(a^2=9\)，\(∴a=5\)或\(a=±3\)，
①\(a=3\)时，\(A=\{5,9,0\}\)，\(B=\{-2,-2,9\}\)，集合\(B\)错误，不满足集合元素的互异性，
\(∴a≠3\)；
②\(a=-3\)时，\(A=\{-7,9,0\}\)，\(B=\{4,-8,9\}\)，满足\(A∩B=\{9\}\)，即\(a=-3\)成立；
③\(a=5\)时，\(A=\{9,25,0\}\)，\(B=\{-4,0,9\}\)，\(A∩B=\{0,9\}\)，\(∴a=5\)不成立，
综上得，\(A=\{-7,9,0\}\)，\(A∪B=\{-8,-7,0,4,9\}\)．故选：\(C\)．
【题型2】连续型集合运算
【典题1】 已知全集\(U=R\)，集合\(A=\left\{x \mid\left\{\begin{array}{l}
3-x>0 \\
3 x+6>0
\end{array}\right\}\right.\)，\(B=\{m|3>2m-1\}\)，
求：(1) \(A∩B\)，\(A∪B\)； (2) \(C_U (A∩B)\)．
解析 (1) \(\because A=\left\{x \mid\left\{\begin{array}{l}
3-x>0 \\
3 x+6>0
\end{array}\right\}=\{x \mid-2<x<3\}\right.\)，\(B=\{m|3>2m-1\}=\{m|m<2\}\)．
用数轴表示集合\(A,B\)，如图．
\(∴A∩B=\{x|-2<x<2\}\)，\(A∪B=\{x|x<3\}\)．
(2)由(1)知\(A∩B=\{x|-2<x<2\}\)，如图所示．
因此\(C_U (A∩B)=\{x|x≥2,\)或\(x≤-2\}\)．
点拨 处理涉及不等式的集合运算，多利用数轴进行运算.
【典题2】集合\(A=\{x|-1<x<1\}\)，\(B=\{ x|x<a\}\)．
(1)若\(A∩B=∅\)，求\(a\)的取值范围；
(2)若\(A∪B=\{x|x<1\}\)，求\(a\)的取值范围．
解析 (1)如图所示，\(A=\{x|-1<x<1\}\)，\(B=\{x|x<a\}\)，\(∵A⋂B=∅\)，
\(∴\)数轴上点\(a\)在\(-1\)的左侧(含点\(-1\))．
\(∴a≤-1\)．
(2)如图所示，\(A=\{x|-1<x<1\}\)，\(B=\{x|x<a\}\)，
\(∵A∪B=\{x|x<1\}\)，
\(∴\)数轴上点\(a\)在\(-1\)和\(1\)之间(含点\(1\)，但不含点\(-1\))．
\(∴-1<a≤1\)．
点拨 注意对端点的处理，确定是否取得到端点.
巩固练习
1.集合\(A=\{x|-1≤x≤2\}\)，\(B=\{x|x<1\}\)，则\(A∩(C_R B)=\) ( )
A．\(\{x|x>1\}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\{x|x≥1\}\) \(\qquad \qquad\) C．\(\{x|1<x≤2\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\{x|1≤x≤2\}\)
2.已知全集\(U=R\),集合\(A=\{x|x^2-3x-4<0\}\),\(B=\{x|x-1≤0\}\),则集合\(A∩∁_U B=\) ( )
A．\(\{x|-4<x<1\}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\{x|-1<x≤1\}\) \(\qquad \qquad\) C．\(\{x|-1<x<4\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\{x|1<x<4\}\)
3.设全集\(U\)为实数集\(R\)，\(M=\{x||x|>2\}\)，\(N=\{x∣x^2-4x+3<0\}\)，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．\(\{x∣x<2\}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\{x∣-2≤x≤2\}\) \(\qquad \qquad\) C．\(\{x∣-2≤x<1\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\{x∣1<x≤2\}\)
4.已知集合\(A=\{x|x^2-x-2<0\}\),\(B=\{x|a-2<x<a\}\),若\(A∩B=\{x|-1<x<0\}\)，则\(A∪B＝\)( )
A．\((-1,2)\) \(\qquad \qquad\) B．\((0,2)\) \(\qquad \qquad\) C．\((-2,1)\) \(\qquad \qquad\) D．\((-2,2)\)
参考答案
- 答案 \(D\)
解析 \(∵B=\{x|x<1\}\)，\(∴C_R B=\{x|x≥1\}\)，\(∴A∩C_R B=\{x|1≤x≤2\}\)． - 答案 \(D\)
解析 \(∵A=\{x|-1<x<4\}\)，\(B=\{x|x≤1\}\)，\(U=R\)，
\(∴∁_U B＝\{x|x>1\}\)，\(∴A∩∁_U B=\{x|1<x<4\}\)．故选：\(D\)． - 答案 \(D\)
解析 根据图像可知阴影部分为\(N∩C_R M\)，
由\(M=\{x||x∣>2\}\)可得\(C_R M=\{x∣-2≤x≤2\}\)；
由\(N=\{x∣x^2-4x+3<0\}\)可得\(N=\{x∣1<x<3\}\)；
所以\(N∩C_R M=\{x∣1<x≤2\}\)，故选\(D\). - 答案 \(D\)
解析 \(∵A=\{x|-1<x<2\}\)，\(B=\{x|a-2<x<a\}\)，且\(A∩B=\{x|-1<x<0\}\)，
\(∴a=0\)，
\(∴B=\{x|-2<x<0\}\)，\(∴A∪B=(-2,2)\)．
故选：\(D\)．
【题型3】综合应用
【典题1】 已知集合\(A,B\),定义\(A-B=\{x|x∈A\)且\(x∉B\}\)，\(A+B=\{x|x∈A\)或\(x∈B\}\)，则对于集合\(M,N\)下列结论一定正确的是 ( )
A．\(M-(M-N)=N\) \(\qquad \qquad\) B．\((M-N)+(N-M)=∅\) \(\qquad \qquad\)
C．\((M+N)-M=N\) \(\qquad \qquad\) D．\((M-N)∩(N-M)=∅\)
解析 根据题中的新定义得：\(M-N=\{x|x∈M\)且\(x∉N\}\)，\(N-M=\{x|x∈N\)且\(x∉M\}\)，
则\((M-N)∩(N-M)=∅\)．
故选：\(D\)．
点拨 对新定义的题型，可以用具体的集合进行检验，排除一些选项，也可以用venn图理解其本质再作选择.
【典题2】设集合\(A=\{x|x^2=4x\}\)，\(B=\{x|x^2+2(a－1)x+a^2-1=0\}\)．
(1)若\(A∩B=B\)，求\(a\)的取值范围； (2)若\(A∪B=B\)，求\(a\)的值．
解析 (1)\(∵A=\{x|x^2=4x\}=\{0,4\}\)，又\(∵A∩B=B\)，\(∴B⊆A\)．
①若\(B=∅\)，则\(Δ=4(a-1)^2-4(a^2-1)<0\)，解得\(a>1\)．
因此当\(a>1\)时，\(B=∅⊆A\)．
②若\(0∈B\)，则\(0\)为方程\(x^2+2(a-1)x+a^2-1=0\)的一个根．
即\(a^2-1=0\)，解得\(a=±1\)．
当\(a=1\)时，\(B=\{x∣x^2=0\}=\{0\}⊆A\)；
当\(a=-1\)时，\(B=\{x|x^2-4x=0\}=A\)．
③若\(4∈B\)，则\(4\)为方程\(x^2+2(a-1)x+a^2-1=0\)的一个根，
即\(a^2+8a+7=0\)，解得\(a=-1\)或\(a=-7\)．
由②知当\(a=-1\)时\(A=B\)符合题意，
当\(a=-7\)时，\(B=\{x∣x^2-16x+48=0\}=\{4,12\}⊈A\)．
综上可知：\(a≥1\)，或\(a=-1\)．
(2) \(∵A∪B=B\)，\(∴A⊆B\)．又\(∵A=\{0,4\}\)，而\(B\)中最多有\(2\)个元素，
\(∴A=B\)，即\(0,4\)为方程\(x^2+2(a-1)x+a^2-1=0\)的两个根．
\(\therefore\left\{\begin{array}{l}
-2(a-1)=4 \\
a^{2}-1=0
\end{array}\right.\)，解得\(a=-1\)．
点拨 集合运算的性质：\(A∩B=B⟺B⊆A\)，\(A∪B=B⟺A⊆B\)，可用venn图理解下.
【典题3】设集合\(P=\{x∣x^2-x-6<0\}\),\(Q=\{x∣2a≤x≤a+3\}\)．
(1)若\(P∪Q=P\)，求实数\(a\)的取值范围；
(2)若\(P∩Q=ϕ\)，求实数\(a\)的取值范围；
(3)若\(P∩Q=\{x∣0≤x<3\}\)，求实数\(a\)的值．
解析 (1)由题意知：\(P=\{x∣-2<x<3\}\)，\(∵P∪Q=P\)，\(∴Q⊆P\)．
①当\(Q=∅\)时，得\(2a>a+3\)，解得\(a>3\)．
②当\(Q≠∅\)时，得\(-2<2a≤a+3<3\)，解得\(-1<a<0\)．
综上，\(a∈(-1,0)∪(3,+∞)\)．
(2)①当\(Q=∅\)时，得\(2a>a+3\)，解得\(a>3\)；
②当\(Q≠∅\)时，得\(\left\{\begin{array}{l}
2 a \leq a+3, \\
a+3 \leq-2 \text { 或 } 2 a \geq 3
\end{array}\right.\)，解得\(a≤-5\)或 \(\dfrac{3}{2} \leq a \leq 3\)．
综上，\(a \in(-\infty,-5] \cup\left[\dfrac{3}{2},+\infty\right)\)．
由\(P∩Q=\{x∣0≤x<3\}\)，则\(a=0\)．
点拨 注意利用数轴配合分析，留心端点的取舍.
【典题4】 已知集合\(A=\{x|2m-1<x<3m+2\}\)，\(B=\{x|x≤-2,\)或\(x≥5\}\)，是否存在实数\(m\)，使\(A∩B≠∅\)？若存在，求实数\(m\)的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析 若\(A∩B=∅\)，分\(A=∅\)和\(A≠∅\)讨论：
(1)若\(A=∅\)，则\(2m-1≥3m+2\)，解得\(m≤-3\)，此时\(A∩B=∅\)．
(2)若\(A≠∅\)，要使\(A∩B=∅\)，则应有
\(\left\{\begin{array}{l}
2 m-1<3 m+2 \\
2 m-1 \geq-2 \\
3 m+2 \leq 5
\end{array}\right.\)即\(\left\{\begin{array}{l}
m>-3 \\
m \geq-\dfrac{1}{2} \\
m \leq 1
\end{array}\right.\)，所以\(-\dfrac{1}{2} \leq m \leq 1\)．
综上，当\(A∩B=∅\)时，\(m≤-3\)或\(-\dfrac{1}{2} \leq m \leq 1\)；
当\(m>1\)或\(-3<m<-\dfrac{1}{2}\)时，\(A∩B≠∅\)．
点拨 补集思想，\(A∩B≠∅\)难以处理，可先求\(A∩B=∅\)时对应\(m\)的范围，其补集即是所求.
巩固练习
1.某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有\(27\)人，参加物理竞赛的有\(25\)人，参加化学竞赛的有\(27\)人，其中参加数学、物理两科的有\(10\)人，参加物理、化学两科的有\(7\)人，参加数学、化学两科的有\(11\)人，而参加数、理、化三科的有\(4\)人，则全班人数是\(\underline{\quad \quad}\) ．
2.设\(A,B\)是\(R\)中两个子集，对于\(x∈R\),定义：\(m=\left\{\begin{array}{l}
0, x \notin A, \\
1, x \in A,
\end{array} n=\left\{\begin{array}{l}
0, x \notin B \\
1, x \in B
\end{array}\right.\right.\)
①若\(A⊆B\)．则对任意\(x∈R\),\(m(1-n)=\) \(\underline{\quad \quad}\)；
②若对任意\(x∈R\),\(m+n=1\)，则\(A,B\)的关系为\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知\(A=\{x|x^2+ax+b=0\}\)，\(B=\{x|x^2+cx+15=0\}\)，\(A∪B=\{3,5\}\)，\(A∩B=\{3\}\)，则实数\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\)，\(b=\)\(\underline{\quad \quad}\)，\(c=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
4.设\(A=\{x|x^2+4x=0\}\)，\(B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\}\),其中\(x∈R\)，如果\(A∩B=B\)，则实数\(a\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\)．
5.已知集合\(A=\{x|-2<x-1<2\}\)，集合\(B=\{x|x^2-(2a-1)x+a^2-a=0\}\)．
(1)若\(A∩B=\{2\}\)，求\(a\)的值；
(2)若\(A∪B=A\)，求\(a\)的取值范围．
6.对于正整数集合\(A=\{a_1,a_2,…,a_n\}(n∈N^*,n≥3)\)，如果去掉其中任意一个元素\(a_i (i=1,2,…,n)\)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合\(A\)为“和谐集”．
(1)判断集合\(\{1,2,3,4,5\}\)是否为“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：集合\(\{1,3,5,7,9,11,13\}\)是“和谐集”；
(3)求证：若集合\(A\)是“和谐集”，则集合\(A\)中元素个数为奇数．
参考答案
-
答案 \(55\)
解析 设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为\(A，B，C\)，由题意可知集合\(A，B，C\)中的元素个数分别为\(27,25,27\)，集合\(A∩B\)，\(B∩C\)，\(A∩C\)，\(A∩B∩C\)中的元素个数分别为\(10,7,11,4\)．画出\(Venn\)图如图所示，
由图可知全班人数为\(10+13+12+6+4+7+3＝55\)(人)．
-
答案 \(0\)，\(A=∁_R B\)．
解析 ①\(∵A⊆B\)．则\(x∉A\)时，\(m=0\)，\(m(1-n)=0\)．
\(x∈A\)时，必有\(x∈B\)，\(∴m=n=1\)，\(m(1-n)=0\)．
综上可得：\(m(1-n)=0\)．
②对任意\(x∈R\)，\(m+n=1\)，则\(m,n\)的值一个为\(0\)，另一个为\(1\)，即\(x∈A\)时，必有\(x∉B\)，或\(x∈B\)时，必有\(x∉A\)，
\(∴A,B\)的关系为\(A=∁_R B\)．
故答案为：\(0\)，\(A=∁_R B\)． -
答案 \(a=-6,b=9,c=-8\).
解析 \(∵A∩B=\{3\}\)，
\(∴\)由\(9+3c+15=0\)，解得\(c=-8\).
由\(x^2-8x+15=0\)，解得\(B=\{3,5\}\)，故\(A=\{3\}\)．
又\(a^2-4b=0\)，解得\(a=-6\)，\(b=9\).
综上知，\(a=-6,b=9,c=-8\). -
答案 \((-∞,-1]∪\{1\}\)
解析 由\(A\)中方程变形得：\(x(x+4)=0\)，
解得：\(x=0\)或\(x=-4\)，即\(A=\{-4,0\}\)，
由\(B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\}\)，其中\(x∈R\)，且\(A∩B=B\)，
分两种情况考虑：
若\(B=∅\)时，\(Δ=4(a+1)^2-4(a^2-1)=8a+8<0\)，即\(a≤-1\)，满足题意；
若\(B≠∅\)，\(Δ=4(a+1)^2-4(a^2-1)=8a+8≥0\)，即\(a≥-1\)，
此时把\(x=-4\)代入得：\(16-8a-8+a^2-1=0\)，即\(a=-1\)或\(a=-7\)(舍去)；
把\(x=0\)代入得：\(a=1\)或\(-1\)，
综上，\(a\)的范围为\((-∞,-1]∪\{1\}\)． -
答案 (1) \(a=2\)或\(a=3\) (2) \((0,3)\)
解析 (1)\(A=\{x|-1<x<3\}\)，\(B=\{a,a-1\}\)，
\(∵A∩B=\{2\}\)，\(∴2∈B\)，
\(∴a=2\)或\(a-1=2\)，即\(a=2\)或\(a=3\)，
\(a=2\)时，\(B=\{1,2\}\)，\(∴A∩B=\{1,2\}\)，不满足\(A∩B=\{2\}\)，\(a=2\)舍去，
\(∴a=3\)；
(2)\(∵A∪B=A\)，\(∴B⊆A\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} -1<a<3 \\ -1<a-1<3 \end{array}\right.\)，解得\(0<a<3\)，
\(∴a\)的取值范围为\((0,3)\)． -
答案 (1) \(\{1,2,3,4,5\}\)不是“和谐集” (2) 略 (3)略
解析 (1)对于集合\(\{1,2,3,4,5\}\)，
当去掉元素\(2\)时，剩余的所有元素之和为\(13\)，
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合\(\{1,2,3,4,5\}\)不是“和谐集”．
(2)证明：设\(A=\{1,3,5,7,9,11,13\}\)，
当去掉元素\(1\)时，有\(3+5+7+9=11+13\)；
当去掉元素\(3\)时，有\(1+9+13=5+7+11\)；
当去掉元素\(5\)时，有\(9+13=1+3+7+11\)；
当去掉元素\(7\)时，有\(1+9+11=3+5+13\)；
当去掉元素\(9\)时，有\(1+3+5+11=7+13\)；
当去掉元素\(11\)时，有\(3+7+9=1+5+13\)；
当去掉元素\(13\)时，有\(1+3+5+9=7+11\)．
所以集合\(A=\{1,3,5,7,9,11,13\}\)是“和谐集”．
(3)证明：设“和谐集”\(A=\left\{a_{1}, \quad a_{2}, \ldots, \quad a_{n}\right\}\)所有元素之和为\(M\)．
由题可知，\(M-a_i (i=1,2,…,n)\)均为偶数，
因此\(a_i (i=1,2,…,n)\)的奇偶性相同．
\((ⅰ)\)如果\(M\)为奇数，则\(a_i (i=1,2,…,n)\)也均为奇数，
由于\(M=a_1+a_2+⋯+a_n\)，所以\(n\)为奇数．
\((ⅱ)\)如果\(M\)为偶数，则\(a_i (i=1,2,…,n)\)均为偶数，
此时设\(a_i=2b_i\)，则\(\{b_1,b_2,…,b_n \}\)也是“和谐集”．
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．
此时各项之和也为奇数，集合\(A\)中元素个数为奇数．
综上所述，集合\(A\)中元素个数为奇数．
分层练习
【A组---基础题】
1.设集合\(A=\{4,5,7,9\}\)，\(B=\{3,4,7,8,9\}\)，全集\(U=A∪B\)，则集合\(∁_U (A∩B)\)中的元素共有( )
A．\(3\)个 \(\qquad \qquad\) B．\(4\)个 \(\qquad \qquad\) C．\(5\)个 \(\qquad \qquad\) D．\(6\)个
2.集合\(A=\{0,2,a\}\)，\(B=\{1,a^2 \}\)，若\(A∪B=\{0,1,2,4,16\}\)，则\(a\)的值为( )
A.\(0\) \(\qquad \qquad\) B.\(1\) \(\qquad \qquad\) C.\(2\) \(\qquad \qquad\) D.\(4\)
3.已知全集\(U=R\)，集合\(A=\{0,1,2,3,4\}\),\(B=\{x∣x>2\)或 \(x<0\}\)，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．\(\{0,1,2\}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\{1,2\}\) \(\qquad \qquad\) C．\(\{3,4\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\{0,3,4\}\)
4.设集合\(A=\{x|-1≤x≤2\}\)，\(B=\{x|0≤x≤4\}\)，则\(A∩B\)等于( )
A．\(\{x|0≤x≤2\}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\{x|1≤x≤2\}\) \(\qquad \qquad\)
C．\(\{x|0≤x≤4\}\) \(\qquad \qquad\) D．\(\{x|1≤x≤4\}\)
5.设集合\(A=\{-4,2m-1,m^2 \}\)，\(B=\{9,m-5,1-m\}\)，又\(A∩B=\{9\}\)，求实数\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.已知集合\(A=\{x|x^2-x-2<0\}\),\(B=\{x|a-2<x<a\}\),若\(A∩B=\{x|-1<x<0\}\)，则\(A∪B=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
7.已知集合\(A=\{x|x^2-(2+a)x+2a=0\}\)，\(B=\{2,5,a^2+5a-12\}\)．
(1)若\(3∈A\)，求实数\(a\)的值；
(2)若\(∁_B A=\{5\}\)，求实数\(a\)的值．
8.已知集合\(A=\{x∣x^2+x-6≥0\}\)，\(B=\{x∣x^2-6x+5<0\}\)，\(C=\{x∣m-1≤x≤2m\}\)
(1)求\(A∩B\)，\((C_R A)∪B\)；
(2)若\(B∩C=C\)，求实数\(m\)的取值范围．
9.已知集合\(A=\{x|-2<x-1<2\}\)，集合\(B=\{x|x^2-(2a-1)x+a^2-a=0\}\)．
(1)若\(A∩B=\{2\}\)，求\(a\)的值；
(2)若\(A∪B=A\)，求\(a\)的取值范围．
参考答案
-
答案 \(A\)
解析 \(U=A∪B=\{3,4,5,7,8,9\}\)，\(A∩B=\{4,7,9\}\)，\(∴∁_U (A∩B)=\{3,5,8\}\)． -
答案 \(D\)
解析 \(∵A=\{0,2,a\}\)，\(B=\{1,a^2 \}\)，\(A∪B=\{0,1,2,4,16\}\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} a^{2}=16 \\ a=4 \end{array}\right.\),\(∴a=4\). -
答案 A
解析 \(∵\)全集\(U=R\)，集合\(A=\{0,1,2,3,4\}\),\(B=\{x∣x>2\)或 \(x<0\}\)，
\(∴C_U B=\{x∣0≤x≤2\}\)，\(∴\)图中阴影部分表示的集合为\(A∩C_U B=\{0,1,2\}\)，故选\(A\)． -
答案 \(A\)
解析 在数轴上表示出集合\(A\)与\(B\)，如下图．
则由交集的定义可得\(A∩B=\{x∣0≤x≤2\}\)． 答案 ：\(A\) -
答案 \(-3\)
解析 \(∵A∩B=\{9\}\)，\(∴9∈A\)且\(9∈B\)．
若\(2m-1=9\)，即\(m=5\)代入得\(A=\{-4,9,25\}\),\(B=\{9,0,-4\}\)，
\(∴A∩B=\{-4,9\}\)矛盾．
若\(m^2=9\)，即\(m=±3\)．
当\(m=3\)时，\(A=\{-4,5,9\}\)，\(B=\{9,-2,-2\}\)矛盾(集合\(B\)中元素不互异)．
当\(m=-3\)时，\(A=\{-4,-7,9\}\)，\(B=\{9,-8,4\}\)，有\(A∩B=\{9\}\)适合，
由上述知：\(m=-3\)． -
答案 \((-2,2)\)
解析 \(∵A=\{x|-1<x<2\}\)，\(B=\{x|a-2<x<a\}\)，且\(A∩B=\{x|-1<x<0\}\)，
\(∴a=0\)，
\(∴B=\{x|-2<x<0\}\)，
\(∴A∪B=(-2,2)\)． -
答案 (1) \(3\) (2) \(-6\)
解析 (1)因为\(3∈A\)，\(A=\{x|(x-2)(x-a)=0\}\)，所以\(a=3\)．
(2)因为\(∁_B A=\{5\}\)，所以\(A\)中有两个元素，即\(A=\{2,a\}\)，所以\(a^2+5a-12=a\)，
解得\(a=2\)或\(a=-6\)，由元素的互异性可得，\(a=-6\)． -
** 答案 ** (1)\(\{x∣2≤x<5\}\), \(\{x∣-3<x<5\}\) (2) \((-\infty,-1) \cup\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)
解析 (1)\(∵A=\{x∣x≤-3\) 或\(x≥2\}\)，\(B=\{x∣1<x<5\}\)，
\(∴A∩B=\{x∣2≤x<5\}\)，\(C_R A=\{x∣-3<x<2\}\)，
\(∴(C_R A)∪B=\{x∣-3<x<5\}\)；
(2)\(∵B∩C=C\)，\(∴C⊆B\)．
①当\(C=∅\)时，\(m-1>2m\)，即\(m<-1\)；
②当\(C≠∅\)时，\(\left\{\begin{array}{c} m-1 \leq 2 m \\ m-1>1 \\ 2 m<5 \end{array}\right.\)， \(\therefore 2<m<\dfrac{5}{2}\)；
综上所述：\(m\)的取值范围是\((-\infty,-1) \cup\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)． -
答案 (1)\(3\) (2) \((0,3)\)
解析 (1)\(A=\{x|-1<x<3\}\)，\(B=\{a,a-1\}\)，
\(∵A∩B=\{2\}\)，\(∴2∈B\)，
\(∴a=2\)或\(a-1=2\)，即\(a=2\)或\(a=3\)，
\(a=2\)时，\(B=\{1,2\}\)，\(∴A∩B=\{1,2\}\)，不满足\(A∩B=\{2\}\)，\(a=2\)舍去，
\(∴a=3\)；
(2)\(∵A∪B=A\)，\(∴B⊆A\)，
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} -1<a<3 \\ -1<a-1<3 \end{array}\right.\)，解得\(0<a<3\)，
\(∴a\)的取值范围为\((0,3)\)．
【B组---提高题】
1.定义集合的商集运算为\(\dfrac{A}{B}=\left\{x \mid x=\dfrac{m}{n}, m \in A, n \in B\right\}\)，已知集合\(S=\{2,4,6\}\)，\(T=\{x|x=\dfrac{k}{2}-1,k∈S\}\)，则集合\(\dfrac{S}{T} \cup T\)中的元素个数为( )
A．\(5\) \(\qquad \qquad\) B．\(6\) \(\qquad \qquad\) C．\(7\) \(\qquad \qquad\) D．\(8\)
2.已知集合\(A\)中有\(10\)个元素，\(B\)中有\(6\)个元素，全集\(U\)有\(18\)个元素，\(A∩B≠∅\)．设集合\((∁_U A)∩(∁_U B)\)有\(x\)个元素，则\(x\)的取值范围是( )
A．\(3≤x≤8\)，且\(x∈N\) \(\qquad \qquad\) B．\(2≤x≤8\)，且\(x∈N\)
C．\(8≤x≤12\)，且\(x∈N\) \(\qquad \qquad\) D．\(10≤x≤15\)，且\(x∈N\)
3.设集合\(A=\{x|x^2-(a+3)x+3a=0\}\)，\(B=\{x|x^2-5x+4=0\}\)，集合\(A∪B\)中所有元素之和为\(8\)，则实数\(a\)的取值集合为\(\underline{\quad \quad}\)．
4.设\(M=\left\{x \mid m \leq x \leq m+\dfrac{1}{3}\right\}\),\(N=\left\{x \mid n-\dfrac{3}{4} \leq x \leq n\right\}\)都是\(\{x|0≤x≤1\}\)的子集，如果\(b-a\)叫做集合\(\{x|a≤x≤b\}\)的长度，则集合\(M∩N\)的长度的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
5.设\(A=\{x|x^2+4x≤0\}\)，\(B=\{x|x^2+2(a+1)x+a^2-1<0\}\)，其中\(x∈R\),如果\(A∩B=B\)，求实数\(a\)的取值范围．
6.设集合\(A=\{x|x^2-ax+a^2-19=0\}\),\(B=\{x|x^2-5x+6=0\}\),\(C=\{x|x^2+2x-8=0\}\)
(1)若\(A∩B=A∪B\)，求\(a\)的值
(2)若\(∅⊂A∩B,A∩C=∅\),求\(a\)的值．
7.已知集合\(A=\{x∣x^2-ax+a^2-19=0\}\)，\(B=\{x∣x^2-5x+6=0\}\)，是否存在\(a\)使\(A，B\)同时满足下列三个条件：(1)\(A≠B\)；(2)\(A∪B=B\)；(3)\(∅⫋(A∩B)\)．若存在，求出\(a\)的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 \(S=\{2,4,6\}\)，\(T=\{0,1,2\}\)，\(\therefore \dfrac{S}{T}=\{1,2,3,4,6\}\)，
\(\therefore \dfrac{S}{T} \cup T=\{0,1,2,3,4,6\}\)，\(∴\)集合\(\dfrac{S}{T} \cup T\)中的元素个数为\(6\)．
故选：\(B\)． - 答案 \(A\)
解析 因为\(A∩B≠∅\)，当集合\(A∩B\)中仅有一个元素时，
集合\((∁_U A)∩(∁_U B)=∁_U (A∪B)\)中有\(3\)个元素，
当\(A∩B\)中有\(6\)个元素时，
集合\((∁_U A)∩(∁_U B)=∁_U (A∪B)\)中有\(8\)个元素，
所以得到\(3≤x≤8\)且\(x\)为正整数．
故选：\(A\)． - 答案 \(\{0,1,3,4\}\)
解析 求解一元二次方程\(x^2-(a+3)x+3a=0\)可得\(x_1=a\)，\(x_2=3\)，且\(B=\{1,4\}\)，
当\(a=1\)，\(3\)或\(4\)时，结合集合的互异性，可知\(A∪B\)中所有元素之和为\(8\)，
否则\(a+1+3+4=8\)，解得：\(a=0\)，
综上可得，实数\(a\)的取值范围是\(\{0,1,3,4\}\)． - 答案 \(\dfrac{1}{12}\)
解析 由\(m≥0\)，且\(m+\dfrac{1}{3} \leq 1\)，求出\(m \in\left[0, \dfrac{2}{3}\right]\)，
由\(n-\dfrac{3}{4} \geq 0\)，且\(n≤1\)，求出\(n \in\left[\dfrac{3}{4}, 1\right]\)，
分别把\(m,n\)的两端值代入求出：\(M=\left\{x \mid 0 \leq x \leq \dfrac{1}{3}\right\}\),\(N=\left\{x \mid \dfrac{1}{4} \leq x \leq 1\right\}\)，
或\(M=\left\{x \mid \dfrac{2}{3} \leq x \leq 1\right\}\)，\(N=\left\{x \mid 0 \leq x \leq \dfrac{3}{4}\right\}\)，
所以\(M \cap N=\left\{x \mid \dfrac{1}{4} \leq x \leq \dfrac{1}{3}\right\}\)，或\(\left\{x \mid \dfrac{2}{3} \leq x \leq \dfrac{3}{4}\right\}\)．
所以\(b-a=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\)，或\(\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{12}\)，
综上所述，集合\(M∩N\)的长度的最小值是\(\dfrac{1}{12}\)． - 答案 \(a≤-1\)或\(a=1\)
解析 \(A=\{x|-4≤x≤0\}\)，又\(A∩B=B\)，\(∴B⊆A\)，
\((i)B=∅\)时，\(△=4(a+1)^2-4(a^2-1)≤0\)，得\(a≤-1\)；
\((ii)B≠∅\)时，设\(f(x)=x^2+2(a+1)x+a^2-1\)，
令\(x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\)的两根为\(x_1,x_2\)，且\(x_1<x_2\)，
则有\(-4≤x_1<x_2≤0\)，即\(\left\{\begin{array}{l} \Delta>0 \\ f(-4) \geq 0 \\ f(0) \geq 0 \\ -4 \leq-(a+1) \leq 0 \end{array}\right.\)，解得\(a=1\)，
综上，\(a\)的范围是\(a≤-1\)或\(a=1\)． - 答案 (1)\(5\) (2)\(-2\)
解析 (1)集合\(A=\{x|x^2-ax+a^2-19=0\}\),\(B=\{x|x^2-5x+6=0\}=\{2,3\}\)，
由\(A∩B=A∪B\)，可得\(A=B\)，
则\(a=2+3\)，且\(a^2-19=2×3\)，解得\(a=5\)：
(2)若\(∅⊂A∩B\)，\(A∩C=∅\)，
\(C=\{x∣x^2+2x-8=0\}=\{-4,2\}\)，\(B=\{2,3\}\)，
可得\(A∩B≠∅\)，则\(3∈A\)，\(2∉A\)，
可得\(9-3a+a^2-19=0\)，解得\(a=5\)或\(-2\)，
则\(A=\{x|x^2-5x+6=0\}=B\)，矛盾，舍去\(a=5\)，
或\(A=\{x|x^2+2x-15=0\}=\{-5,3\}\)成立，
则\(a=-2\)． - 答案 不存在实数\(a\)使得\(A,B\)满足条件
解析 假设存在\(a\)使得\(A,B\)满足条件，由题已知得\(B=\{2,3\}\)．
\(∵A∪B=B\),\(∴A⊆B\)，即\(A＝B\)或\(A⫋B\)．
由条件(1)\(A≠B\)，可知\(A⫋B\)．
又\(∵\emptyset \subsetneq(A \cap B)\)，\(∴A≠∅\)，即\(A=\{2\}\)或\(\{3\}\)．
当\(A=\{2\}\)时，代入得\(a^2-2a-15=0\)，即\(a=-3\)或\(a=5\)．
经检验：\(a=-3\)时，\(A=\{2,-5\}\)，与\(A=\{2\}\)矛盾，舍去；
\(a=5\)时，\(A=\{2,3\}\)，与\(A=\{2\}\)矛盾，舍去．
当\(A=\{3\}\)时，代入得\(a^2－3a－10=0\)．即\(a=5\)或\(a=-2\)．
经检验：\(a=-2\)时，\(A=\{3,－5\}\)，与\(A=\{3\}\)矛盾，舍去；
\(a=5\)时，\(A=\{2,3\}\)，与\(A=\{3\}\)矛盾，舍去．
综上所述，不存在实数\(a\)使得\(A,B\)满足条件．
【C组---拓展题】
1.用\(d(A)\)表示集合\(A\)中的元素个数，若集合\(A=\{0,1\}\),\(B=\{x|(x^2-ax)(x^2-ax+1)=0\}\)，且\(|d(A)-d(B)|=1\)．设实数\(a\)的所有可能取值构成集合\(M\)，则\(d(M)=\) \(\underline{\quad \quad}\).
2.定义：给定整数\(i\)，如果非空集合\(A\)满足如下\(3\)个条件：
①\(A⊆N^*\)；
②\(A≠\{1\}\)；
③\(∀x,y∈N^*\),若\(x+y∈A\),则\(xy-i∈A\)．
则称集合\(A\)为“减\(i\)集”
(Ⅰ)\(P=\{1,2\}\)是否为“减\(0\)集”？是否为“减\(1\)集”？
(Ⅱ)证明：不存在“减\(2\)集”；
(Ⅲ)是否存在“减\(1\)集”？如果存在，求出所有的“减\(1\)集”；如果不存在，请说明理由．
参考答案
- 答案 \(3\)
解析 由题意，\(|d(A)-d(B)|=1\)，\(d(A)=2\)，可得\(d(B)\)的值为\(1\)或\(3\)
若\(d(B)=1\)，则\(x^2-ax=0\)仅有一根，必为\(0\)，此时\(a=0\)，
则\(x^2-ax+1=x^2+1=0\)无根，符合题意
若\(d(B)=3\)，则\(x^2-ax=0\)有一根，必为\(0\)，此时\(a=0\)，
则\(x^2-ax+1=x^2+1=0\)无根，不合题意
故\(x^2-ax=0\)有二根，一根是\(0\)，另一根是\(a\)，
所以\(x^2-ax+1=0\)必仅有一根，所以\(△=a^2-4=0\)，解得\(a=±2\)
此时\(x^2-ax+1=0\)的解为\(1\)或\(-1\)，符合题意
综上实数\(a\)的所有可能取值构成集合\(M=\{0,-2,2\}\)，故\(d(M)=3\)． - 答案 (1) \(P\)是“减\(0\)集”， 不是“减\(1\)集” (2) 略 (3) \(\{1,3\}\)，\(\{1,3,5\}\)，\(\{1,3,5,7\}\)，……．
解析 (Ⅰ)\(∵P⊆N^*\)，\(P≠\{1\}\)，\(1+1=2∈P\)，\(1×1-0∈P\)，\(∴P\)是“减\(0\)集”
同理，\(∵P⊆N^*\)，\(P≠\{1\}\)，\(1+1=2∈P\)，\(1×1-1∉P\)，\(∴P\)不是“减\(1\)集”．
(Ⅱ)假设存在\(A\)是“减\(2\)集”，则若\(x+y∈A\)，
那么\(xy-2∈A\)，①当\(x+y=xy-2\)时，有\((x-1)(y-1)=3\)，
则\(x,y\)一个为\(2\)，一个为\(4\)，所以集合\(A\)中有元素\(6\)，
但是\(3+3∈A\)，\(3×3-2∉A\)，与\(A\)是“减\(2\)集”，矛盾；
②当\(x+y≠xy-2\)时，则\(x+y=xy-1\)或者\(x+y=xy-m(m>2)\)，
若\(x+y=xy-1\)，\(m=1\)时\(M\)为除\(1\)以外的最小元素，
则\(x=M-1\)，\(y=1\)时，\(xy-2=M-3\)小于\(M\)，
如果要符合题意必须\(M=4\)，此时取\(x=2，y=2，xy-2=2\)不属于\(A\)，故不符合题意．
\(m>2\)时，\((x-1)(y-1)=m+1\)，同样得出矛盾．
综上可得：不存在\(A\)是“减\(2\)集”．
(Ⅲ)存在“减\(1\)集”\(A\)．\(A≠\{1\}\)．
①假设\(1∈A\)，则\(A\)中除了元素\(1\)以外，必然还含有其它元素．
假设\(2∈A\)，\(1+1∈A\)，而\(1×1-1∉A\)，因此\(2∉A\)．
假设\(3∈A\)，\(1+2∈A\)，而\(1×2-1∈A\)，因此\(3∈A\)．
因此可以有\(A=\{1,3\}\)．
假设\(4∈A\)，\(1+3∈A\)，而\(1×3-1∉A\)，因此\(4∉A\)．
假设\(5∈A\)，\(1+4∈A\)，\(1×4-1∈A\)，\(2+3=5\)，\(2×3-1∈A\)，因此\(5∈A\)．
因此可以有\(A=\{1,3,5\}\)．
以此类推可得：\(A=\{1,3,5,……,2n-1,……\}\)，\((n∈N^*)\)，
以及A的满足以下条件的非空子集：\(\{1,3\}\)，\(\{1,3,5\}\)，\(\{1,3,5,7\}\)，……．
