1.1 集合的含义与表示
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【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
集合的元素特征
①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名"熊大""熊二"，以视区别.
若集合\(A=\{1，2，a\}\)，就意味\(a≠1\)且\(a≠2\).
③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，\(\{1，2，3\}=\{2，3，1\}\).
【例】 下列所给的对象能构成集合的是\(\underline{\quad \quad}\)．
(1)所有直角三角形；(2)全国高耸的山脉；(3)比较接近1的正整数全体；
(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5) \(\dfrac{1}{2}, 3, \sin 30^{\circ}, \sqrt{7}\) ．
解析 (1)能，集合元素是直角三角形；
(2)不能，“高耸”的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；
(3)不能，“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4)能，集合元素是“16岁以下的学生”；
(5)不能，\(\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}\)，有两个数字重复，不符合元素的互异性.
故答案是(1)(4)
【练1】下列所给的对象能构成集合的是( )．
(1)高中数学必修第一册课本上所有的难题；
(2)高一(3)班的高个子；
(3)英文26个字母；
(4)中国古代四大发明；
(5)方程\(x^2=-2\)的实数根.
答案 (3)(4)(5)
【练2】由\(a^2,2-a,4\)组成一个集合\(A\)，\(A\)中含有\(3\)个元素，则实数\(a\)的取值可以是( )
A．\(1\) \(\qquad\) \(\qquad\) B．\(-2\) \(\qquad\) \(\qquad\) C．\(6\) \(\qquad\) \(\qquad\) D．\(2\)
解析 根据集合元素的互异性，\(a^2≠2-a≠4\).选\(C\).
元素与集合的关系
若\(a\)是集合\(A\)的元素，则称\(a\)属于集合\(A\)，记作\(a∈A\)；
若\(a\)不是集合\(A\)的元素，则称\(a\)不属于集合\(A\)，记作\(a∉A\).
Eg：菱形∈{平行四边形}，\(0∈N\)，\(0∉\{1，2，3，4\}\).
【例】 已知集合\(A=\{x∣x^2-1>0\}\)，那么下列结论正确的是( )
A．\(0∈A\) \(\qquad\) B．\(1∈A\) \(\qquad\) C．\(-1∈A\) \(\qquad\) D．$1∉A $
解析 \(0,1,-1\)都不是\(x^2-1>0\)的解，则\(0,1,-1∉A\)，故选：\(D\)．
【练1】对于集合\(A=\{2,4,6\}\)，若\(a∈A\)，则\(6-a∈A\)，那么\(a\)的取值是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 当\(a=2,4\)满足题意，当\(a=6\)时，\(6-6=0∉A\).
【练2】脑筋急转弯：你能证明上帝不是万能的么？
解析 如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)
常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作\(N\)；正整数集，记作\(N^*\)或\(N+\)；整数集，记作\(Z\)；有理数集，记作\(Q\)；实数集，记作\(R\).
【例】 用符号\(∈\)或\(∉\)填空：
3\(\underline{\quad \quad}\)\(N\)；3\(\underline{\quad \quad}\)\(Z\)；3\(\underline{\quad \quad}\)\(N^*\)；3\(\underline{\quad \quad}\)\(Q\)；3\(\underline{\quad \quad}\)\(R\)．
解析 (1)因为3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，
所以有：\(3∈N；3∈Z；3∈N^*；3∈Q；3∈R\)．
【练】用符号\(∈\)或\(∉\)填空：
3.1\(\underline{\quad \quad}\)\(N\)；3.1\(\underline{\quad \quad}\)\(Z\)；3.1\(\underline{\quad \quad}\)\(N^*\)；3.1\(\underline{\quad \quad}\)\(Q\)；3.1\(\underline{\quad \quad}\)\(R\)．
解析 因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，
所以有：\(3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N^*；3.1∈Q；3.1∈R\).
集合的分类
有限集，无限集，空集\(∅\).
Eg：奇数集\(\{x│x=2n+1 ,n∈Z\}\)属于无限集，\(\{x∈R│x^2+1=0\}=∅\).
集合的表示方法
① 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫列举法.
② 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
一般格式：\(\{x∈A|p(x)\}\).
用符号描述法表示集合时应注意：
(1) 弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
(2) 元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
(3) Eg
| 集合 | 元素 | 化简结果 |
|---|---|---|
| \(\{x|x^2-x-2=0\}\) | 方程\(x^2-x-2=0\)的解 | \(\{-1,2\}\) |
| \(\{x|x^2-x-2<0\}\) | 不等式\(x^2-x-2<0\)的解集 | \(\{x|-1<x<2\}\) |
| \(\{x|y=x^2-x-2\}\) | 函数\(y=x^2-x-2\)中\(x\)取值范围(定义域) | \(R\) |
| \(\{y|y=x^2-x-2\}\) | 函数\(y=x^2-x-2\)中\(y\)取值范围(值域) | \(\left\{y \mid y>-\dfrac{9}{4}\right\}\) |
| \(\{(x,y)|y=x^2-x-2\}\) | 函数\(y=x^2-x-2\)的图像上的点 | ---- |
看集合先看元素类型.
【例1】 用列举法表示下列集合
(1)11以内偶数的集合；
(2)方程\((x+1)(x^2-4)=0\)的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数\(y=2x\)与\(y=x+1\)的图象的交点组成的集合．
解析 (1)\(\{2,4,6,8,10\}\)；
(2)解方程\((x+1)(x^2-4)=0\)，得\(x_1=-1,x_2=-2,x_3=2\)，
故方程\((x+1)(x^2-4)=0\)的所有实数根组成的集合为\(\{-2,-1,2\}\)；
(3)解方程组解方程组\(\left\{\begin{array}{l}
y=2 x \\
y=x+1
\end{array}\right.\)得\(\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\
y=2
\end{array}\right.\)，
因此一次函数\(y=2x\)与\(y=x+1\)的图象的交点为\((1,2)\)，故所求的集合为\(\{(1,2)\}\)．
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1) 大于\(－3\)且小于\(4\)的所有自然数组成的集合；
(2) 不等式\(x^2-2x-3<0\)的解集；
(3)阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合
解析 (1) 用描述法表示为\(\{x \in N \mid-3<x<4\}\)；
(2) 用描述法表示为\(\{x∈R|x^2-2x-3<0\}\)；
(3)用描述法表示为\(\{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0\}\).
【练1】下面三个集合：①\(\{x∣y=x^2+1\}\)；②\(\{y∣y=x^2+1\}\)；③\(\{(x,y)∣y=x^2+1\}\)．
(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？
解析 (1)它们是互不相同的集合．
(2)集合①\(\{x∣y=x^2+1\}\)的代表元素是\(x\)，满足条件\(y=x^2+1\)中的\(x∈R\)，
\(∴\{x∣y=x^2+1\}=R\)；
\(∵\)集合②\(\{y∣y=x^2+1\}\)的代表元素是\(y\)，满足条件\(y=x^2+1\)的\(y\)的取值范围是\(y≥1\)，
\(∴\{y|y=x^2+1\}=\{y|y≥1\}\)；
\(∵\)集合③\(\{(x,y)∣y=x^2+1\}\)的代表元素是\((x,y)\)，可以认为是满足\(y=x^2+1\)的数对\((x,y)\)的集合，
也可以认为是坐标平面内的点\((x,y)\)构成的集合，且这些点的坐标满足\(y=x^2+1\)，
\(∴\{(x,y)|y=x^2+1\}\)\(=\{P|P\)是抛物线\(y=x^2+1\)上的点\(\}\).
【练2】 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1)方程\(x^2-x-2=0\)的解集；(2)大于\(－1\)且小于\(7\)的所有整数组成的集合．
解析 (1)方程\(x^2-x-2=0\)的根可以用\(x\)表示，它满足的条件是\(x^2-x-2=0\)，
因此，用描述法表示为\(\left\{x \in R \mid x^{2}-x-2=0\right\}\)；
方程\(x^2-x-2=0\)的根是\(-1,2\)，因此，用列举法表示为\(\{-1,2\}\)．
(2)大于\(－1\)且小于\(7\)的整数可以用\(x\)表示，它满足的条件是\(x∈Z\)且\(-1<x<7\)，
因此，用描述法表示为\(\{x∈Z|-1<x<7\}\)；
大于\(－1\)且小于\(7\)的整数有\(0,1,2,3,4,5,6\)，因此，用列举法表示为\(\{0,1,2,3,4,5,6\}\)．
【练3】 用适当的方法表示下列集合：
(1) 所有被3整除的整数；
(2) 图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)；
(3) 满足方程\(x=|x|，x∈Z\)的所有\(x\)的值构成的集合\(B\).
解析 (1)\(\{x|x=3n,n∈Z\}\)；
(2)\(\{(x,y)|-1≤x≤2,-1≤y≤1,且xy≥0\}\)；
(3)\(B=\{x|x=|x|,x∈Z\}\)．
基本方法
【题型1】集合元素的特征
【典题1】 下列说法正确的是( )
A.数学成绩较好的同学组成一个集合；
B.所有小的正数组成的集合；
C.集合\(\{1 ,2 ,3 ,4 ,5\}\)和\(\{5 ,4 ,3 ,2 ,1\}\)表示同一个集合；
D.\(1,0.5, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{6}{4}, \sqrt{\dfrac{1}{4}}\)这些数组成的集合有五个元素.
解析 由于“较好”、“小的”没有一个明确的标准，\(A ,B\)的对象不具备确定性；
D中的\(0.5, \dfrac{1}{2}, \sqrt{\dfrac{1}{4}}\)三个数相等，\(\dfrac{3}{2}, \dfrac{6}{4}\)相等，故集合只有\(3\)个元素；
集合具有无序性，所以\(C\)是正确的；故选\(C\).
点拨
1 判断一组对象是否能组成集合，关键看是否有明确的判断标准；
2 集合内元素不能相同.
巩固练习
1.下列各组对象能构成集合的是( )
A．充分接近的所有实数
B．所有的正方形
C．著名的数学家
D．\(1，2，3，3，4，4，4，4\)
2.集合\(\{x-1,x^2-1,2\}\)中的\(x\)不能取得值是( )
A．\(2\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(3\) \(\qquad\) \(\qquad\) C．\(4\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(5\)
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 选项\(A、C\)不满足集合的确定性；集合\(B\)正方形是确定的，故能构成集合；选项\(D\)不满足集合的互异性．故选：\(B\)． - 答案 \(B\)
解析 根据集合元素的互异性，\(x-1≠x^2-1≠2\)，可以把\(ABCD\)四个选项代入集合用排除法.
【题型2】元素与集合的关系
【典题1】 设集合\(A=\left\{m \mid \dfrac{m-2}{3} \in N, m \in N, m \leq 10\right\}\).
(1)试判断元素\(1,2\)与集合\(A\)的关系；(2)用列举法表示集合\(A\).
解析 (1)当\(m=1\)时，满足\(m∈N,m≤10\)，而\(\dfrac{1-2}{3}=-\dfrac{1}{3} \notin N\)，故\(1∉A\)；
当\(m=2\)时，满足\(m∈N,m≤10\)，且\(\dfrac{2-2}{3}=0 \in N\)，故\(2∈A\)；
(2)根据题意，\(∵m∈N,m≤10\)，\(∴m-2≤8\)，且\((m-2)∈Z\)，
又因\(\dfrac{m-2}{3} \in N\)，\(∴(m-2)∈N\)，且是\(3\)的整数倍，
\(∴m-2=0\)或\(3\)或\(6\)，\(∴m=2\)或\(5\)或\(8\)，
\(∴\)集合\(A=\left\{m \mid \dfrac{m-2}{3} \in N, m \in N, m \leq 10\right\}=\{2,5,8\}\)．
点拨看集合先看元素类型，确定元素要满足的所有条件.
巩固练习
1.设不等式\(3-2x<0\)的解集为\(M\)，下列关系中正确的是( )
A．\(0∈M,2∈M\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(0∉M,2∈M\) \(\qquad\) \(\qquad\) C．$0∈M,2∉M $ \(\qquad\)\(\qquad\) D．$0∉M,2∉M $
2.已知集合\(A=\{x|2x+a>0\}(a∈R)\)，且\(1∉A\)，\(2∈A\)，则( )
A．\(a>-4\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(a≤-2\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(-4<a<-2\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．$-4<a≤-2 $
3.已知\(A=\{a-2,2a^2+5a,12\}\)且\(-3∈A\)，则由\(a\)的值构成的集合是\(\underline{\quad \quad}\).
4.已知集合\(A=\{0,1,2\}\)，\(B=\{x \in N \mid \sqrt{2 x} \in A\}\)，则\(B=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
5.设集合\(B=\left\{x \in \mathrm{N} \mid \dfrac{6}{2+x} \in \mathrm{N}\right\}\)．
(1)试判断元素\(1，2\)与集合\(B\)的关系；(2)用列举法表示集合\(B\)．
参考答案
- 答案 \(B\)
解析 当\(x=0\)时，\(3-2x=3>0\)，所以\(0∈M\)；
当\(x=2\)时，\(3-2x=-1<0\)，所以\(2∈M\)． - 答案 \(D\)
解析 \(∵1∉A，2∈A\)，\(\therefore\left\{\begin{array}{l} 2 \times 1+a \leq 0 \\ 2 \times 2+a>0 \end{array}\right.\)，解得\(-4<a≤-2\)，故选：\(D\)． - 答案 \(\left\{-\frac{3}{2}\right\}\)
解析 \(∵﹣3∈A\)，\(A=\{a-2,2a^2+5a,12\}\)；
\(\therefore\left\{\begin{array}{l} a-2=-3 \\ 2 a^{2}+5 a \neq-3 \\ 2 a^{2}+5 a \neq 12 \end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l} 2 a^{2}+5 a=-3 \\ a-2 \neq-3 \\ a-2 \neq 12 \end{array}\right.\)，解得\(a=-\frac{3}{2}\)，
故答案： \(\left\{-\frac{3}{2}\right\}\)． - 答案 \(\{0,2\}\)
解析 \(∵\)集合\(A=\{0,1,2\}\)，\(B=\{x \in N \mid \sqrt{2 x} \in A\}\)，\(∴B=\{0,2\}\)． - 答案 (1)\(1∈B，2∉B\) (2)\(B=\{0，1，4\}\)
解析 (1)当\(x=1\)时，\(\frac{6}{2+1}=2 \in N\)．
当\(x=2\)时， \(\frac{6}{2+2}=\frac{6}{2+2}=\frac{3}{2} \notin \mathrm{N}\)．因此\(1∈B，2∉B\)．
(2) \(\because \frac{6}{2+x} \in \mathrm{N}, \quad x \in N\)，\(∴2+x\)只能取\(2，3，6\)．
\(∴x\)只能取\(0，1，4\)，\(∴B=\{0，1，4\}\).
【题型3】综合应用
【典题1】 若集合\(A=\{x|ax^2+2x+1=0,a∈R\}\)至多有一个元素，则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 \(∵\)集合\(A=\{x|ax^2+2x+1=0,a∈R\}\)至多有一个元素，
\(∴a=0\)或\(\left\{\begin{array}{l}
a \neq 0 \\
\Delta=4-4 a \leq 0
\end{array}\right.\)，解得\(a=0\)或\(a≥1\)，
\(∴a\)的取值范围是\(\{a|a=0或a≥1\}\)．
点拨注意\(ax^2+2x+1=0\)不一定是二次函数，需要分\(a=0\)和\(a≠0\)进行讨论.
【典题2】 已知由实数构成的集合\(A\)满足条件：若\(a∈A\)，则\(\dfrac{1+a}{1-a} \in A(a \neq 0\)且\(a≠±1)\)，则集合\(A\)中至少有几个元素？证明你的结论．
解析 设集合\(A\)中有\(1\)元素\(a(a≠0,\)且\(a≠±1)\)，
\(∵a∈A\)，则\(\dfrac{1+a}{1-a} \in A\)，\(\therefore \dfrac{1+\dfrac{1+a}{1-a}}{1-\dfrac{1+a}{1-a}}=-\dfrac{1}{a} \in A\)，
进而有\(\dfrac{1+\left(-\dfrac{1}{a}\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{a}\right)}=\dfrac{a-1}{a+1} \in A\)，\(∴\)又有\(\dfrac{1+\dfrac{a-1}{a+1}}{1-\dfrac{a-1}{a+1}}=a \in A\)，
\(∵a∈R\)，\(\therefore a \neq-\dfrac{1}{a}\)
假设\(a=\dfrac{1+a}{1-a}\)，则\(a^2=-1\)，矛盾，\(\therefore a \neq \dfrac{1+a}{1-a}\)，
类似方法可证\(a, \dfrac{1+a}{1-a},-\dfrac{1}{a}\)和\(\dfrac{a-1}{a+1}\)四个数互不相等，
这就证得集合\(A\)中至少有四个元素．
点拨 设\(a∈A\)后，根据题意依次得到\(\dfrac{1+a}{1-a} \in A,-\dfrac{1}{a} \in A, \dfrac{a-1}{a+1} \in A\)，
且四个数形成一个“循环”，此时\(A=\left\{a, \dfrac{1+a}{1-a},-\dfrac{1}{a}, \dfrac{a-1}{a+1}\right\}\)，但最后要注意集合的互异性，进行检查.
巩固练习
1.若集合\(A=\{x|ax^2-ax+1≤0\}=∅\)，则实数\(a\)的取值集合为( )
A．$ {a|0<a<4}$ \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(\{a|0≤a<4\}\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(\{a|0<a≤4\}\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(\{a|0≤a≤4\}\)
2.已知集合\(A=\{a_1,a_2,…a_k \}(k≥2)\)，其中\(a_i∈Z(i=1,2,…,k)\)，由\(A\)中的元素构成两个相应的集合：\(S=\{(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A\}\)，\(T=\{(a,b)∣a∈A,b∈A,a-b∈A\}\)，其中\((a,b)\)是有序数对，集合\(T\)中的元素个数为\(n\)，若对于任意的\(a∈A\)，总有\(-a∉A\)，则称集合\(A\)具有性质\(P\)．检验集合\(\{0,1,2,3,4\}\)与\(\{-1,2,3\}\)是否具有性质\(P\)，并对其中具有性质\(P\)的集合，写出相应的集合\(S\)和\(T\)．
参考答案
- 答案\(B\)
解析 当\(a=0\)时，不等式等价于\(1<0\)，此时不等式无解；
当\(a≠0\)时，要使原不等式无解，应满足\(\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \Delta<0 \end{array}\right.\)，
即\(\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ a^{2}-4 a<0 \end{array}\right.\)，解得\(0<a<4\)；
综上，\(a\)的取值范围是\([0,4)\)．
故选：\(B\)． - 答案 集合\(\{0,1,2,3,4\}\)不具有性质\(P\)，\(S=\{(-1,3),(3,-1)\}\)，\(T=\{(2,-1),(2,3)\}\).
解析 由定义知，对于任意的\(a∈A\)，总有\(-a∉A\)，则称集合\(A\)具有性质\(P\)，
对集合\(\{0,1,2,3,4\}\)，当\(a=0\)时，\(0\)的相反数\(0∈A\)，
故集合\(\{0,1,2,3,4\}\)不具有性质P；
对于集合\(\{-1,2,3\}\)，\(-1∈\{-1,2,3\}\)，\(1∉\{-1,2,3\}\)，\(2∈\{-1,2,3\}\)，\(-2∉\{-1,2,3\}\)，\(3∈\{-1,2,3\}\)，\(-3∉\{-1,2,3\}\)，故集合\(\{-1,2,3\}\)具有性质\(P\)．
其相应的集合\(S\)和\(T\)分别是：\(S=\{(-1,3),(3,-1)\}\)，\(T=\{(2,-1),(2,3)\}\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.下列选项能组成集合的是( )
A．著名的运动健儿 \(\qquad\)\(\qquad\) B．英文26个字母 \(\qquad\)\(\qquad\) C．非常接近0的数 \(\qquad\) \(\qquad\) D．勇敢的人
2.若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是( )
A．锐角三角形 \(\qquad\)\(\qquad\) B．直角三角形 \(\qquad\)\(\qquad\) C．钝角三角形 \(\qquad\)\(\qquad\) D．等腰三角形
3.下列所给关系正确的个数是( )
① \(π∈R\)； ② \(\sqrt{3} \notin Q\)； ③ \(0 \in N^{*}\)_； ④ _\(|-4|∉N^*\)
A．\(1\) \(\qquad\) \(\qquad\) B．\(2\) \(\qquad\) \(\qquad\) C．\(3\) \(\qquad\) \(\qquad\) D．\(4\)
4.若\(1∈\{x+2,x^2\}\)，则实数\(x\)的值为 ( )
A．\(-1\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(1\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(1\)或\(-1\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(1\)或\(3\)
5.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A\}\)，则集合\(B\)中的元素个数为( )
A．\(9\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(6\) \(\qquad\) \(\qquad\) C．\(4\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(3\)
6.对集合\(\{1,5,9,13,17\}\)用描述法来表示，其中正确的一个是( )
A．\(\{x|x\)是小于\(18\)的正奇数\(\}\)
B．\(\{x|x=4k+1,k∈Z,\)且\(k<5\}\)
C．\(\{x|x=4t-3,t∈N,\)且\(t≤5\}\)
D．\(\{x|x=4s-3,s∈N*,\)且\(s≤5\}\)
7.已知集合\(A\)含有两个元素\(a-3\)和\(2a-1\)，若\(-3∈A\)，则实数\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
8.将集合\(\{(x,y)|2x+3y=16,x,y∈N\}\)用列举法表示为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 答案B
解析 著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；
英文\(26\)个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；
非常接近\(0\)的数，元素不确定，不能组成集合；
勇敢的人，元素不确定，不能组成集合；
故选\(B\)． - 答案 \(D\)
- 答案 \(B\)
解析 ① ②对，故选\(B\). - 答案 \(B\)
解析 由\(1∈\{x+2,x^2\}\)，可得\(x^2=1\)，则\(x=±1\)．
当\(x=1\)时，\(x+2=3\)，满足要求，
当\(x=-1\)时，\(-1+2=1\)，不满足元素的互异性，
\(∴x=1\)．
故选：\(B\)． - 答案 \(D\)
解析 通过列举，可知\(x,y∈A\)的数对共\(9\)对，
即\((1,1),(1,2),(1,3)，(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\)共\(9\)种，
\(∵B=\{(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A\}\)，
\(∴\)易得\((2,3),(3,2),(3,3)\)满足\(x+y-4>0\)，
\(∴\)集合\(B\)中的元素个数共\(3\)个．故选：\(D\)． - 答案 \(D\)
解析 \(A\)中小于\(18\)的正奇数除给定集合中的元素外，还有\(3,7,11,15\)；
\(B\)中\(k\)取负数，多了若干元素；\(C\)中\(t=0\)时多了\(-3\)这个元素，只有\(D\)是正确的． - 答案 \(0\)或\(-1\)
解析 \(∵-3∈A\)，\(∴-3=a-3\)或\(-3=2a-1\).
若\(-3=a-3\)，则\(a=0\)，
此时集合\(A\)含有两个元素\(-3，-1\)，符合题意．
若\(-3=2a－1\)，则a=-1，
此时集合\(A\)含有两个元素\(-4，-3\)，符合题意．
综上所述，满足题意的实数\(a\)的值为\(0\)或\(-1\). - 答案 \(\{(2,4),(5,2),(8,0)\}\)
解析 \(∵3y=16-2x=2(8-x)\)，且\(x∈N，y∈N\)，
\(∴y\)为偶数且\(y≤5\)，
\(∴\)当\(x=2\)时，\(y=4\)，当\(x=5\)时\(y=2\)，当\(x=8\)时，\(y=0\)．
故答案为：\(\{(2,4),(5,2),(8,0)\}\)．
【B组---提高题】
1.若以正实数\(x,y,z,w\)四个元素构成集合\(A\)，以\(A\)中四个元素为边长构成的四边形可能是( )
A．梯形 \(\qquad\)\(\qquad\) B．平行四边形 \(\qquad\)\(\qquad\) C．菱形 \(\qquad\)\(\qquad\) D．矩形
2.集合\(P=\{x|x=2k,k∈Z\}\)，\(M=\{x|x=2k+1,k∈Z\}\)，\(S=\{x|x=4k+1,k∈Z\}\)，\(a∈P\)，\(b∈M\)，设\(c=a+b\)，则有 ( )
A．\(c∈P\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(c∈M\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(c∈S\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．以上都不对
3.已知\(x,y,z\)为非零实数，代数式\(\dfrac{x}{|x|}+\dfrac{y}{|y|}+\dfrac{z}{|z|}+\dfrac{x y z}{|x y z|}\)的值所组成的集合是\(M\)，则下列判断正确的是 ( )
A．\(4∈M\) \(\qquad\)\(\qquad\) B．\(2∈M\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(0∉M\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(-4∉M\)
4.点的集合\(M=\{(x,y)|xy≥0\}\)是指 ( )
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第一、第三象限内的点集
D．不在第二、第四象限内的点集
5.已知集合\(A=\{a,b\}\)，\(a，b∈R\)，若\(a+b∈A\)，则\(ab=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
6.已知含有三个实数的集合既可表示成\(\left\{a, \dfrac{b}{a}, 1\right\}\)，又可表示成\(\{a^2,a+b,0\}\)，则\(a^{2017}+b^{2018}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
7.设集合\(A=\{x,xy,xy-1\}\)，其中\(x∈Z\)，\(y∈Z\)且\(y≠0\)，若\(0∈A\)，则\(A\)中的元素之和为\(\underline{\quad \quad}\) .
8.用列举法表示集合\(M=\left\{m \mid \dfrac{12}{m+1} \in N, m \in Z\right\}=\)\(\underline{\quad \quad}\) ；
9.已知非空集合\(M\)满足：若\(x∈M\)，则\(\dfrac{1}{1-x} \in M\)，则当\(4∈M\)时，集合\(M\)的所有元素之积等于\(\underline{\quad \quad}\)．
10.设\(A\)是整数集的一个非空子集，对于\(k∈A\)，如果\(k-1∉A\)且\(k+1∉A\)，那么称\(k\)是\(A\)的一个“孤立元”，给定\(S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\)，由\(S\)的\(3\)个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有\(\underline{\quad \quad}\)个.
11.已知集合\(A=\{x∣ax^2-3x+2=0\}\)．
(1)若\(A\)是单元素集合，求集合\(A\)；
(2)若\(A\)中至少有一个元素，求\(a\)的取值范围．
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 根据集合元素的互异性，\(x,y,z,w\)均不相等. - 答案 \(B\)
解析 \(∵a∈P，b∈M，c=a+b\)，
设\(a=2k_1\)，\(k_1∈Z\)，\(b=2k_2+1\)，\(k_2∈Z\)，
\(∴c=2k_1+2k_2+1=2(k_1+k_2)+1\)，
又\(k_1+k_2∈Z\)，\(∴c∈M\). - 答案 \(A\)
解析 根据题意，分\(4\)种情况讨论；
①、\(x、y、z\)全部为负数时，则\(xyz\)也为负数，则\(\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{x y z}{|x y z|}=-4\)，
②、\(x、y、z\)中有一个为负数时，则\(xyz\)为负数，则\(\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{x y z}{|x y z|}=0\)，
③、\(x、y、z\)中有两个为负数时，则\(xyz\)为正数，则\(\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{x y z}{|x y z|}=0\)，
④、\(x、y、z\)全部为正数时，则\(xyz\)也正数，则\(\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{x y z}{|x y z|}=4\)；
则\(M=\{4,-4,0\}\)；分析选项可得\(A\)符合． - 答案 D
解析 \(xy≥0\)指\(x\)和\(y\)同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．
故选\(D\) - 答案 \(0\)
解析 \(∵\)集合\(A=\{a,b\}\)，\(a,b∈R\)，\(a+b∈A\)，\(∴a+b=a\)或\(a+b=b\)，
\(∴b=0\)，\(a≠0\)或\(a=0\)，\(b≠0\)，\(∴ab=0\)． - 答案 \(-1\)
解析 根据题意，由\(\left\{a, \frac{b}{a}, 1\right\}=\left\{a^{2}, a+b, 0\right\}\)可得\(a=0\)或\(\frac{b}{a}=0\)，
又由\(\frac{b}{a}\)的意义，则\(a≠0\)，必有\(\frac{b}{a}=0\)，则\(b=0\)，
则\(\{a,0,1\}=\{a^2,a,0\}\)，
则有\(a^2=1\)，即\(a=1\)或\(a=-1\)，
集合\(\{a,0,1\}\)中，\(a≠1\)，则必有\(a=-1\)
则\(a^{2017}+b^{2018}=(-1)^{2017}+0^{2018}=-1\). - 答案 \(0\)
解析 因为\(0∈A\)，所以若\(x=0\)，则集合\(A=\{0,0,-1\}\)不成立．所以\(x≠0\)．
若因为\(y≠0\)，所以\(xy≠0\)，所以必有\(xy-1=0\)，所以\(xy=1\)．
因为\(x∈Z\)，\(y∈Z\)，所以\(x=y=1\)或\(x=y=-1\)．
若\(x=y=1\)，此时\(A=\{1,1,0\}\)不成立，舍去．
若\(x=y=-1\)，则\(A=\{-1,1,0\}\)，成立．
所以元素之和为\(1-1+0=0\)． - 答案 \(M=\{0,1,2,3,5,11\}\)
解析 \(\because \frac{12}{m+1} \in N, m \in Z\)；\(∴M=\{0,1,2,3,5,11\}\)． - 答案 \(-1\)
解析 依题意，得当\(4∈M\)时，有\(\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3} \in M\)，从而\(\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4} \in M\)，\(\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4 \in M\)，于是集合M的元素只有\(4\)，\(-\frac{1}{3}\)，\(\frac{3}{4}\)所有元素之积等于\(4 \times\left(-\frac{1}{3}\right) \times \frac{3}{4}=-1\)． - 答案 \(6\)
解析 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与\(k\)相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与\(k\)相邻的元素.因此符合题意的集合是：\(\{1,2,3\}\)，\(\{2,3,4\}\)，\(\{3,4,5\}\)，\(\{4,5,6\}\)，\(\{5,6,7\}\)，\(\{6,7,8\}\)共\(6\)个集合. - 答案 (1) 当\(a＝0\)时，\(A=\left\{\frac{2}{3}\right\}\)，当\(a≠0\)时，\(A=\left\{\frac{4}{3}\right\}\)． (2) \(a \leq \frac{9}{8}\)
解析 (1)当\(a=0\)时，\(A=\left\{\frac{2}{3}\right\}\)，符合题意；
当\(a≠0\)时，方程\(ax^2-3x+2=0\)应有两个相等的实数根，
则\(Δ=0\)，即\(9-8a=0\)，解得\(a=\frac{9}{8}\)，此时\(A=\left\{\frac{4}{3}\right\}\)，符合题意．
综上所述，当\(a＝0\)时，\(A=\left\{\frac{2}{3}\right\}\)，当\(a≠0\)时，\(A=\left\{\frac{4}{3}\right\}\)．
(2)由(1)知，当\(a=0\)时，\(A=\left\{\frac{2}{3}\right\}\)，符合题意；
当\(a≠0\)时，方程\(ax^2-3x+2=0\)应有实数根，
则\(Δ≥0\)，即\(9-8a≥0\)，解得\(a \leq \frac{9}{8}\)．
综上所述，若\(A\)中至少有一个元素，则\(a \leq \frac{9}{8}\)．
【C组---拓展题】
1.设集合\(M=\{x|x=3k,k∈Z\}\)，\(P=\{x|x=3k+1,k∈Z\}\)，\(Q=\{x|x=3k-1,k∈Z\}\)，若\(a∈M\)，\(b∈P\)，\(c∈Q\)，则\(a+b-c∈\)( )
A．$M $ \(\qquad\)\(\qquad\) B．$P $ \(\qquad\)\(\qquad\) C．$Q $ \(\qquad\)\(\qquad\) D．$M∪P $
2.已知集合\(A=\left\{t^{2}+s^{2} \mid t, s \in Z\right\}\)，且\(x∈A\)，\(y∈A\)，则下列结论正确的是( )
A．\(x+y∈A\) \(\qquad\) \(\qquad\) B．\(x-y∈A\) \(\qquad\)\(\qquad\) C．\(xy∈A\) \(\qquad\)\(\qquad\) D．\(\dfrac{x}{y} \in A\)
3.对于任意两个正整数\(m,n\)，定义某种运算“※”，法则如下：当\(m,n\)都是正奇数时，\(m※n=m+n\)；当\(m,n\)不全为正奇数时，\(m※n=mn\).则在此定义下，集合中的元素个数是\(\underline{\quad \quad}\) .
4.设\(M\)是一个非空集合，\(\#\)是它的一种运算，如果满足以下条件：
(1)对\(M\)中任意元素\(a,b,c\)都有\((a \# b) \# c=a \#(b \# c)\)；
(2)对\(M\)中任意两个元素\(a,b\)，满足\(a\#b∈M\)．
则称\(M\)对运算\(\#\)封闭．
下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 .
①\(\{-2,-1,1,2\}\) ②\(\{1,-1,0\}\) ③\(Z\) ④\(Q\)．
5.已知集合\(M\)是非空数集，且满足三个条件：
①\(∀x∈M,∀y∈M\)，恒有\(x-y∈M\)；②\(∀x∈M (x≠0)\)，恒有\(\dfrac{1}{x} \in M\)；③\(1∈M\)．
(1)求证：\(∀x∈M,∀y∈M\)，恒有\(x+y∈M\)．
(2)求证：当\(x≠0\)且\(x≠-1\)时，若\(x∈M\)，则必有\(\dfrac{1}{x(x+1)} \in M\)
(3)求证：\(∀x∈M,∀y∈M\)，恒有\(xy∈M\)．
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 \(∵a∈P,b∈M,c∈Q\)，
设\(a=3k_1\)，\(k_1∈Z\)，\(b=3k_2+1\)，\(k_2∈Z\)，\(c=3k_3-1\)，\(k_3∈Z\)
\(∴a+b-c=3k_1+3k_2+1-3k_3+1=3(k_1+k_2+k_3 )+2\)
\(=3(k_1+k_2+k_3+1)-1\)，
又\(k_1+k_2+k_3+1∈Z\)，\(∴c∈Q\)．故选：\(C\)． - 答案 \(C\)
解析 \(∵\)集合\(A=\left\{t^{2}+s^{2} \mid t, s \in Z\right\}\)，
\(∴1∈A\)，\(2∈A\),\(1+2=3∉A\)，故\(A:“x+y∈A”\)错误；
又\(∵1-2=-1∉A\)，故\(B:“x-y∈A”\)错误；
又\(\because \frac{1}{2} \notin A\)，故\(D: “\frac{x}{y} \in A"\)错误；故选\(C\).
(为什么\(xy∈ A\)？令\(x=t^{2}+s^{2}, y=t_{1}^{2}+s_{1}^{2}\)，
\(x y=\left(t^{2}+s^{2}\right)\left(t_{1}^{2}+s_{1}^{2}\right)=t^{2} t_{1}^{2}+t^{2} s_{1}^{2}+s^{2} t_{1}^{2}+s^{2} s_{1}^{2}=\left(t s_{1}+s t_{1}\right)^{2}+\left(t t_{1}-s s_{1}\right)^{2} \in A\)) - 答案 \(13\)
解析 从定义出发，抓住\(m,n\)的奇偶性对\(16\)实行分拆是解决本题的关键，
当\(m,n\)同奇时，根据\(m※n=m+n\)将\(16\)分拆两个同奇数的和，有\(1+15=3+13=5+11=7+9=9+7=11+5=13+3=15+1\)，共有\(8\)对；
当\(m,n\)不全为奇数时，根据\(m※n=mn\)，将\(16\)分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有\(1×16=2×8=4×4=8×2=16×1\)，共\(5\)对.
\(∴\)共有\(8+5=13\)个. - 答案 ②③④．
解析 (1)的意思是满足结合律，(2)的意思是两个元素运算后还属于原集合的.
①中，当\(a=-1，b=1\)时，\(a+b=0∉\{-2,-1,1,2\}\)，
当\(a=-2，b=2\)时，\(a×b=-4∉\{-2,-1,1,2\}\)，
故①中集合对加法和乘法都不封闭，
②中集合\(M=\{1,-1,0\}\)满足：(1)对\(M\)中任意元素\(a,b,c\)都有\((a+b)+c=a+(b+c)\)；
(2)对M中任意两个元素\(a,b\)，满足\(a+b∈M\)．
故②中集合对加法运算封闭，同理可得对乘法运算也封闭；
③中集合\(M=Z\)，整数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，整数加整数，整数乘以整数还是整数，满足第二点，故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭；
④中集合\(M=Q\)，有理数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，有理数加有理数，有理数乘以有理数还是整数，满足第二点，故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭；故答案为：②③④ - 解析 (1)证明：因为\(∀x∈M，∀y∈M\)恒有\(x-y∈M\)
所以令\(x=y\)，则有\(0∈M\)
若\(x、y∈M\)，令\(x=0\),则\(0-y∈M\),即\(-y∈M\)．
所以\(x-(-y)∈M\)，即\(x+y∈M\)．
①\(∀x∈M,∀y∈M\)，恒有\(x-y∈M\)是成立的．
(2)证明：当\(x≠0\)且\(x≠-1\)时，若\(x∈M\)，则恒有\(\frac{1}{x} \in M\)．
\(∵∀x∈M,∀y∈M\)，恒有\(x-y∈M,x+y∈M\),
令\(y=1\)，对\(∀x∈M\)，有\(x+1∈M\)
若\(x+1∈M\)，则\(\frac{1}{x+1} \in M\)．则 \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)} \in M\),
即当\(x≠0\)且\(x≠-1\)时，若\(x∈M\)，则必有\(\frac{1}{x(x+1)} \in M\)．
(3)证明，由(2)知，当\(x≠0,x≠-1\)时，若\(x∈M\)，则\(\frac{1}{x(x+1)} \in M\)．
又\(∵∀x∈M\)，有\(\frac{1}{x} \in M\)．\(∴x(x+1)∈M\)，
又\(∵∀x∈M,∀y∈M\),有\(x-y∈M\)，所以\(x(x+1)-x=x^2∈M\)
即\(x∈M\)，必有\(x^2∈M\)．
又\(x∈M\)时，\(\frac{1}{x} \in M\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x} \in M\)，则必有\(\frac{x}{2} \in M\)．
所以由\(x∈M\),\(x^2∈M\),\(\frac{x}{2} \in M\),\(x+y∈M\),
知\((x+y)^{2} \in M, x^{2} \in M, y^{2} \in M, \frac{(x+y)^{2}}{2} \in M, \frac{x^{2}+y^{2}}{2} \in M\)
所以\(\frac{(x+y)^{2}}{2}-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}=x y \in M\)，
所以对\(∀x∈M,∀y∈M\)，恒有\(xy∈M\)．
