1.1 集合的含义与表示

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【基础过关系列】2022-2023 学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义 (人教 A 版 2019）
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必修第一册同步巩固，难度 2 颗星！

基础知识

元素与集合的概念

一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合 (或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素 (或成员).

集合的元素特征

①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
Eg：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故 “帅哥” 不能组成集合.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
Eg：两个学生名字都是 “熊涛”，老师也要给他们起小名 "熊大"" 熊二 "，以视区别.
若集合 $A=\{1，2，a\}$，就意味 $a≠1$ 且 $a≠2$.
③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
Eg：高一 (1) 班每月都换座位也改变不了它是 (1) 班的事实，$\{1，2，3\}=\{2，3，1\}$.
 

【例】 下列所给的对象能构成集合的是 $\underline{\quad \quad}$．
(1) 所有直角三角形；(2) 全国高耸的山脉；(3) 比较接近 1 的正整数全体；
(4) 某校高一年级的 16 岁以下的学生；(5) $\dfrac{1}{2}, 3, \sin 30^{\circ}, \sqrt{7}$ ．
解析 (1) 能，集合元素是直角三角形；
(2) 不能，“高耸” 的标准是模糊的、不确定的，所以元素不确定，故不能构成集合；
(3) 不能，“比较接近 1” 的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
(4) 能，集合元素是 “16 岁以下的学生”；
(5) 不能，$\sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$，有两个数字重复，不符合元素的互异性.
故答案是 (1)(4)
 

【练 1】下列所给的对象能构成集合的是 (　　)．
(1) 高中数学必修第一册课本上所有的难题；
(2) 高一 (3) 班的高个子；
(3) 英文 26 个字母；
(4) 中国古代四大发明；
(5) 方程 $x^2=-2$ 的实数根.
答案 (3)(4)(5)

【练 2】由 $a^2,2-a,4$ 组成一个集合 $A$，$A$ 中含有 $3$ 个元素，则实数 $a$ 的取值可以是 (　　)
A．$1$ $\qquad$ $\qquad$ B．$-2$ $\qquad$ $\qquad$ C．$6$ $\qquad$ $\qquad$ D．$2$
解析 根据集合元素的互异性，$a^2≠2-a≠4$. 选 $C$.
 

元素与集合的关系

若 $a$ 是集合 $A$ 的元素，则称 $a$ 属于集合 $A$，记作 $a∈A$；
若 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，则称 $a$ 不属于集合 $A$，记作 $a∉A$.
Eg：菱形∈{平行四边形}，$0∈N$，$0∉\{1，2，3，4\}$.
 

【例】 已知集合 $A=\{x∣x^2-1>0\}$，那么下列结论正确的是 (　　)
A．$0∈A$ $\qquad$ B．$1∈A$ $\qquad$ C．$-1∈A$ $\qquad$ D．$1∉A$
解析 $0,1,-1$ 都不是 $x^2-1>0$ 的解，则 $0,1,-1∉A$，故选：$D$．

【练 1】对于集合 $A=\{2,4,6\}$，若 $a∈A$，则 $6-a∈A$，那么 $a$ 的取值是 $\underline{\quad \quad}$．
解析 当 $a=2,4$ 满足题意，当 $a=6$ 时，$6-6=0∉A$.

【练 2】脑筋急转弯：你能证明上帝不是万能的么？
解析 如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)
 

常用数集

自然数集 (或非负整数集)，记作 $N$；正整数集，记作 $N^*$ 或 $N+$；整数集，记作 $Z$；有理数集，记作 $Q$；实数集，记作 $R$.

【例】 用符号 $∈$ 或 $∉$ 填空：
3$\underline{\quad \quad}$$N$；3$\underline{\quad \quad}$$Z$；3$\underline{\quad \quad}$$N^*$；3$\underline{\quad \quad}$$Q$；3$\underline{\quad \quad}$$R$．
解析 (1) 因为 3 是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，
所以有：$3∈N；3∈Z；3∈N^*；3∈Q；3∈R$．

【练】用符号 $∈$ 或 $∉$ 填空：
3.1$\underline{\quad \quad}$$N$；3.1$\underline{\quad \quad}$$Z$；3.1$\underline{\quad \quad}$$N^*$；3.1$\underline{\quad \quad}$$Q$；3.1$\underline{\quad \quad}$$R$．
解析 因为 3.1 不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，
所以有：$3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N^*；3.1∈Q；3.1∈R$.

集合的分类

有限集，无限集，空集 $∅$.
Eg：奇数集 $\{x│x=2n+1 ,n∈Z\}$ 属于无限集，$\{x∈R│x^2+1=0\}=∅$.
 

集合的表示方法

① 列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号 “{}” 括起来表示集合的方法叫列举法.
② 描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化) 范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
一般格式：$\{x∈A|p(x)\}$.
用符号描述法表示集合时应注意：
(1) 弄清元素所具有的形式 (即代表元素是什么) 是数还是点、还是集合、还是其他形式？
(2) 元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
(3) Eg

集合	元素	化简结果
$\{x|x^2-x-2=0\}$	方程$x^2-x-2=0$的解	$\{-1,2\}$
$\{x|x^2-x-2<0\}$	不等式$x^2-x-2<0$的解集	$\{x|-1<x<2\}$
$\{x|y=x^2-x-2\}$	函数$y=x^2-x-2$中$x$取值范围(定义域)	$R$
$\{y|y=x^2-x-2\}$	函数$y=x^2-x-2$中$y$取值范围(值域)	$\left\{y \mid y>-\dfrac{9}{4}\right\}$
$\{(x,y)|y=x^2-x-2\}$	函数$y=x^2-x-2$的图像上的点	----

看集合先看元素类型.
【例 1】 用列举法表示下列集合
(1) 11 以内偶数的集合；
(2) 方程 $(x+1)(x^2-4)=0$ 的所有实数根组成的集合；
(3) 一次函数 $y=2x$ 与 $y=x+1$ 的图象的交点组成的集合．
解析 (1)$\{2,4,6,8,10\}$；
(2) 解方程 $(x+1)(x^2-4)=0$，得 $x_1=-1,x_2=-2,x_3=2$，
故方程 $(x+1)(x^2-4)=0$ 的所有实数根组成的集合为 $\{-2,-1,2\}$；
(3) 解方程组解方程组 $\left\{\begin{array}{l} y=2 x \\ y=x+1 \end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=2 \end{array}\right.$，

因此一次函数 $y=2x$ 与 $y=x+1$ 的图象的交点为 $(1,2)$，故所求的集合为 $\{(1,2)\}$．
 

【例 2】 用描述法表示下列集合：
(1) 大于 $－3$ 且小于 $4$ 的所有自然数组成的集合；
(2) 不等式 $x^2-2x-3<0$ 的解集；
(3) 阴影部分的点 (包括边界上的点) 的坐标的集合

解析 (1) 用描述法表示为 $\{x \in N \mid-3<x<4\}$；
(2) 用描述法表示为 $\{x∈R|x^2-2x-3<0\}$；
(3) 用描述法表示为 $\{(x,y)|-2≤x≤0 且 - 2≤y≤0\}$.
 

【练 1】下面三个集合：①$\{x∣y=x^2+1\}$；②$\{y∣y=x^2+1\}$；③$\{(x,y)∣y=x^2+1\}$．
(1) 它们是不是相同的集合？(2) 它们各自的含义是什么？
解析 (1) 它们是互不相同的集合．
(2) 集合①$\{x∣y=x^2+1\}$ 的代表元素是 $x$，满足条件 $y=x^2+1$ 中的 $x∈R$，
$∴\{x∣y=x^2+1\}=R$；
$∵$ 集合②$\{y∣y=x^2+1\}$ 的代表元素是 $y$，满足条件 $y=x^2+1$ 的 $y$ 的取值范围是 $y≥1$，
$∴\{y|y=x^2+1\}=\{y|y≥1\}$；
$∵$ 集合③$\{(x,y)∣y=x^2+1\}$ 的代表元素是 $(x,y)$，可以认为是满足 $y=x^2+1$ 的数对 $(x,y)$ 的集合，
也可以认为是坐标平面内的点 $(x,y)$ 构成的集合，且这些点的坐标满足 $y=x^2+1$，
$∴\{(x,y)|y=x^2+1\}$$=\{P|P$ 是抛物线 $y=x^2+1$ 上的点 $\}$.

【练 2】 试分别用列举法和描述法表示下列集合：
(1) 方程 $x^2-x-2=0$ 的解集；(2) 大于 $－1$ 且小于 $7$ 的所有整数组成的集合．
解析 (1) 方程 $x^2-x-2=0$ 的根可以用 $x$ 表示，它满足的条件是 $x^2-x-2=0$，
因此，用描述法表示为 $\left\{x \in R \mid x^{2}-x-2=0\right\}$；
方程 $x^2-x-2=0$ 的根是 $-1,2$，因此，用列举法表示为 $\{-1,2\}$．
(2) 大于 $－1$ 且小于 $7$ 的整数可以用 $x$ 表示，它满足的条件是 $x∈Z$ 且 $-1<x<7$，
因此，用描述法表示为 $\{x∈Z|-1<x<7\}$；
大于 $－1$ 且小于 $7$ 的整数有 $0,1,2,3,4,5,6$，因此，用列举法表示为 $\{0,1,2,3,4,5,6\}$．

【练 3】 用适当的方法表示下列集合：
(1) 所有被 3 整除的整数；
(2) 图中阴影部分点 (含边界) 的坐标的集合 (不含虚线)；

(3) 满足方程 $x=|x|，x∈Z$ 的所有 $x$ 的值构成的集合 $B$.
解析 (1)$\{x|x=3n,n∈Z\}$；
(2)$\{(x,y)|-1≤x≤2,-1≤y≤1, 且 xy≥0\}$；
(3)$B=\{x|x=|x|,x∈Z\}$．
 

基本方法

【题型1】集合元素的特征

【典题 1】 下列说法正确的是 (　　)
A. 数学成绩较好的同学组成一个集合；
B. 所有小的正数组成的集合；
C. 集合 $\{1 ,2 ,3 ,4 ,5\}$ 和 $\{5 ,4 ,3 ,2 ,1\}$ 表示同一个集合；
D.$1,0.5, \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{6}{4}, \sqrt{\dfrac{1}{4}}$ 这些数组成的集合有五个元素.
解析 由于 “较好”、“小的” 没有一个明确的标准，$A ,B$ 的对象不具备确定性；
D 中的 $0.5, \dfrac{1}{2}, \sqrt{\dfrac{1}{4}}$ 三个数相等，$\dfrac{3}{2}, \dfrac{6}{4}$ 相等，故集合只有 $3$ 个元素；
集合具有无序性，所以 $C$ 是正确的；故选 $C$.
点拨
1 判断一组对象是否能组成集合，关键看是否有明确的判断标准；
2 集合内元素不能相同.

巩固练习

1. 下列各组对象能构成集合的是 (　　)
A．充分接近的所有实数
B．所有的正方形
C．著名的数学家
D．$1，2，3，3，4，4，4，4$
 

2. 集合 $\{x-1,x^2-1,2\}$ 中的 $x$ 不能取得值是 (　　)
A．$2$ $\qquad$$\qquad$ B．$3$ $\qquad$ $\qquad$ C．$4$ $\qquad$$\qquad$ D．$5$
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 选项 $A、C$ 不满足集合的确定性；集合 $B$ 正方形是确定的，故能构成集合；选项 $D$ 不满足集合的互异性．故选：$B$．
2. 答案 $B$
   解析 根据集合元素的互异性，$x-1≠x^2-1≠2$，可以把 $ABCD$ 四个选项代入集合用排除法.

【题型2】元素与集合的关系

【典题 1】 设集合 $A=\left\{m \mid \dfrac{m-2}{3} \in N, m \in N, m \leq 10\right\}$.
(1) 试判断元素 $1,2$ 与集合 $A$ 的关系；(2) 用列举法表示集合 $A$.
解析 (1) 当 $m=1$ 时，满足 $m∈N,m≤10$，而 $\dfrac{1-2}{3}=-\dfrac{1}{3} \notin N$，故 $1∉A$；
当 $m=2$ 时，满足 $m∈N,m≤10$，且 $\dfrac{2-2}{3}=0 \in N$，故 $2∈A$；
(2) 根据题意，$∵m∈N,m≤10$，$∴m-2≤8$，且 $(m-2)∈Z$，
又因 $\dfrac{m-2}{3} \in N$，$∴(m-2)∈N$，且是 $3$ 的整数倍，
$∴m-2=0$ 或 $3$ 或 $6$，$∴m=2$ 或 $5$ 或 $8$，
$∴$ 集合 $A=\left\{m \mid \dfrac{m-2}{3} \in N, m \in N, m \leq 10\right\}=\{2,5,8\}$．
点拨看集合先看元素类型，确定元素要满足的所有条件.

巩固练习

1. 设不等式 $3-2x<0$ 的解集为 $M$，下列关系中正确的是 (　　)
A．$0∈M,2∈M$ $\qquad$$\qquad$ B．$0∉M,2∈M$ $\qquad$ $\qquad$ C．$0∈M,2∉M$ $\qquad$$\qquad$ D．$0∉M,2∉M$
 

2. 已知集合 $A=\{x|2x+a>0\}(a∈R)$，且 $1∉A$，$2∈A$，则 (　　)
A．$a>-4$ $\qquad$$\qquad$ B．$a≤-2$ $\qquad$$\qquad$ C．$-4<a<-2$ $\qquad$$\qquad$ D．$-4<a≤-2$
 

3. 已知 $A=\{a-2,2a^2+5a,12\}$ 且 $-3∈A$，则由 $a$ 的值构成的集合是 $\underline{\quad \quad}$.
 

4. 已知集合 $A=\{0,1,2\}$，$B=\{x \in N \mid \sqrt{2 x} \in A\}$，则 $B=$$\underline{\quad \quad}$ .
 

5. 设集合 $B=\left\{x \in \mathrm{N} \mid \dfrac{6}{2+x} \in \mathrm{N}\right\}$．
(1) 试判断元素 $1，2$ 与集合 $B$ 的关系；(2) 用列举法表示集合 $B$．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 当 $x=0$ 时，$3-2x=3>0$，所以 $0∈M$；
   当 $x=2$ 时，$3-2x=-1<0$，所以 $2∈M$．
2. 答案 $D$
   解析 $∵1∉A，2∈A$，$\therefore\left\{\begin{array}{l} 2 \times 1+a \leq 0 \\ 2 \times 2+a>0 \end{array}\right.$，解得 $-4<a≤-2$，故选：$D$．
3. 答案 $\left\{-\frac{3}{2}\right\}$
   解析 $∵﹣3∈A$，$A=\{a-2,2a^2+5a,12\}$；
   $\therefore\left\{\begin{array}{l} a-2=-3 \\ 2 a^{2}+5 a \neq-3 \\ 2 a^{2}+5 a \neq 12 \end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l} 2 a^{2}+5 a=-3 \\ a-2 \neq-3 \\ a-2 \neq 12 \end{array}\right.$，解得 $a=-\frac{3}{2}$，
   故答案： $\left\{-\frac{3}{2}\right\}$．
4. 答案 $\{0,2\}$
   解析 $∵$ 集合 $A=\{0,1,2\}$，$B=\{x \in N \mid \sqrt{2 x} \in A\}$，$∴B=\{0,2\}$．
5. 答案 (1)$1∈B，2∉B$ (2)$B=\{0，1，4\}$
   解析 (1) 当 $x=1$ 时，$\frac{6}{2+1}=2 \in N$．
   当 $x=2$ 时， $\frac{6}{2+2}=\frac{6}{2+2}=\frac{3}{2} \notin \mathrm{N}$．因此 $1∈B，2∉B$．
   (2) $\because \frac{6}{2+x} \in \mathrm{N}, \quad x \in N$，$∴2+x$ 只能取 $2，3，6$．
   $∴x$ 只能取 $0，1，4$，$∴B=\{0，1，4\}$.

【题型3】综合应用

【典题 1】 若集合 $A=\{x|ax^2+2x+1=0,a∈R\}$ 至多有一个元素，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
解析 $∵$ 集合 $A=\{x|ax^2+2x+1=0,a∈R\}$ 至多有一个元素，
$∴a=0$ 或 $\left\{\begin{array}{l} a \neq 0 \\ \Delta=4-4 a \leq 0 \end{array}\right.$，解得 $a=0$ 或 $a≥1$，
$∴a$ 的取值范围是 $\{a|a=0 或 a≥1\}$．
点拨注意 $ax^2+2x+1=0$ 不一定是二次函数，需要分 $a=0$ 和 $a≠0$ 进行讨论.

【典题 2】 已知由实数构成的集合 $A$ 满足条件：若 $a∈A$，则 $\dfrac{1+a}{1-a} \in A(a \neq 0$ 且 $a≠±1)$，则集合 $A$ 中至少有几个元素？证明你的结论．
解析 设集合 $A$ 中有 $1$ 元素 $a(a≠0,$ 且 $a≠±1)$，
$∵a∈A$，则 $\dfrac{1+a}{1-a} \in A$，$\therefore \dfrac{1+\dfrac{1+a}{1-a}}{1-\dfrac{1+a}{1-a}}=-\dfrac{1}{a} \in A$，
进而有 $\dfrac{1+\left(-\dfrac{1}{a}\right)}{1-\left(-\dfrac{1}{a}\right)}=\dfrac{a-1}{a+1} \in A$，$∴$ 又有 $\dfrac{1+\dfrac{a-1}{a+1}}{1-\dfrac{a-1}{a+1}}=a \in A$，
$∵a∈R$，$\therefore a \neq-\dfrac{1}{a}$
假设 $a=\dfrac{1+a}{1-a}$，则 $a^2=-1$，矛盾，$\therefore a \neq \dfrac{1+a}{1-a}$，
类似方法可证 $a, \dfrac{1+a}{1-a},-\dfrac{1}{a}$ 和 $\dfrac{a-1}{a+1}$ 四个数互不相等，
这就证得集合 $A$ 中至少有四个元素．
点拨 设 $a∈A$ 后，根据题意依次得到 $\dfrac{1+a}{1-a} \in A,-\dfrac{1}{a} \in A, \dfrac{a-1}{a+1} \in A$，
且四个数形成一个 “循环”，此时 $A=\left\{a, \dfrac{1+a}{1-a},-\dfrac{1}{a}, \dfrac{a-1}{a+1}\right\}$，但最后要注意集合的互异性，进行检查.

巩固练习

1. 若集合 $A=\{x|ax^2-ax+1≤0\}=∅$，则实数 $a$ 的取值集合为 (　　)
A．${a|0<a<4}$ $\qquad$$\qquad$ B．$\{a|0≤a<4\}$ $\qquad$$\qquad$ C．$\{a|0<a≤4\}$ $\qquad$$\qquad$ D．$\{a|0≤a≤4\}$
 

2. 已知集合 $A=\{a_1,a_2,…a_k \}(k≥2)$，其中 $a_i∈Z(i=1,2,…,k)$，由 $A$ 中的元素构成两个相应的集合：$S=\{(a,b)|a∈A,b∈A,a+b∈A\}$，$T=\{(a,b)∣a∈A,b∈A,a-b∈A\}$，其中 $(a,b)$ 是有序数对，集合 $T$ 中的元素个数为 $n$，若对于任意的 $a∈A$，总有 $-a∉A$，则称集合 $A$ 具有性质 $P$．检验集合 $\{0,1,2,3,4\}$ 与 $\{-1,2,3\}$ 是否具有性质 $P$，并对其中具有性质 $P$ 的集合，写出相应的集合 $S$ 和 $T$．
 
 

参考答案

1. 答案 $B$
   解析 当 $a=0$ 时，不等式等价于 $1<0$，此时不等式无解；
   当 $a≠0$ 时，要使原不等式无解，应满足 $\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ \Delta<0 \end{array}\right.$，
   即 $\left\{\begin{array}{l} a>0 \\ a^{2}-4 a<0 \end{array}\right.$，解得 $0<a<4$；
   综上，$a$ 的取值范围是 $[0,4)$．
   故选：$B$．
2. 答案 集合 $\{0,1,2,3,4\}$ 不具有性质 $P$，$S=\{(-1,3),(3,-1)\}$，$T=\{(2,-1),(2,3)\}$.
   解析 由定义知，对于任意的 $a∈A$，总有 $-a∉A$，则称集合 $A$ 具有性质 $P$，
   对集合 $\{0,1,2,3,4\}$，当 $a=0$ 时，$0$ 的相反数 $0∈A$，
   故集合 $\{0,1,2,3,4\}$ 不具有性质 P；
   对于集合 $\{-1,2,3\}$，$-1∈\{-1,2,3\}$，$1∉\{-1,2,3\}$，$2∈\{-1,2,3\}$，$-2∉\{-1,2,3\}$，$3∈\{-1,2,3\}$，$-3∉\{-1,2,3\}$，故集合 $\{-1,2,3\}$ 具有性质 $P$．
   其相应的集合 $S$ 和 $T$ 分别是：$S=\{(-1,3),(3,-1)\}$，$T=\{(2,-1),(2,3)\}$．

分层练习

【A组---基础题】

1. 下列选项能组成集合的是 (　　)
A．著名的运动健儿 $\qquad$$\qquad$ B．英文 26 个字母 $\qquad$$\qquad$ C．非常接近 0 的数 $\qquad$ $\qquad$ D．勇敢的人
 

2. 若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是 (　　)
A．锐角三角形 $\qquad$$\qquad$ B．直角三角形 $\qquad$$\qquad$ C．钝角三角形 $\qquad$$\qquad$ D．等腰三角形
 

3. 下列所给关系正确的个数是 (　　)
① $π∈R$； ② $\sqrt{3} \notin Q$； ③ $0 \in N^{*}$_； ④ _$|-4|∉N^*$
A．$1$　$\qquad$ $\qquad$ B．$2$ $\qquad$ $\qquad$ C．$3$ $\qquad$ $\qquad$ D．$4$
 

4. 若 $1∈\{x+2,x^2\}$，则实数 $x$ 的值为 (　　)
A．$-1$ $\qquad$$\qquad$ B．$1$ $\qquad$$\qquad$ C．$1$ 或 $-1$ $\qquad$$\qquad$ D．$1$ 或 $3$
 

5. 若集合 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A\}$，则集合 $B$ 中的元素个数为 (　　)
A．$9$ $\qquad$$\qquad$ B．$6$ $\qquad$ $\qquad$ C．$4$ $\qquad$$\qquad$ D．$3$
 

6. 对集合 $\{1,5,9,13,17\}$ 用描述法来表示，其中正确的一个是 (　　)
A．$\{x|x$ 是小于 $18$ 的正奇数 $\}$
B．$\{x|x=4k+1,k∈Z,$ 且 $k<5\}$
C．$\{x|x=4t-3,t∈N,$ 且 $t≤5\}$
D．$\{x|x=4s-3,s∈N*,$ 且 $s≤5\}$
 

7. 已知集合 $A$ 含有两个元素 $a-3$ 和 $2a-1$，若 $-3∈A$，则实数 $a=$$\underline{\quad \quad}$．
 

8. 将集合 $\{(x,y)|2x+3y=16,x,y∈N\}$ 用列举法表示为 $\underline{\quad \quad}$.
 

参考答案

1. 答案 B
   解析 著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；
   英文 $26$ 个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；
   非常接近 $0$ 的数，元素不确定，不能组成集合；
   勇敢的人，元素不确定，不能组成集合；
   故选 $B$．
2. 答案 $D$
3. 答案 $B$
   解析  ① ②对，故选 $B$.
4. 答案  $B$
   解析 由 $1∈\{x+2,x^2\}$，可得 $x^2=1$，则 $x=±1$．
   当 $x=1$ 时，$x+2=3$，满足要求，
   当 $x=-1$ 时，$-1+2=1$，不满足元素的互异性，
   $∴x=1$．
   故选：$B$．
5. 答案 $D$
   解析 通过列举，可知 $x,y∈A$ 的数对共 $9$ 对，
   即 $(1,1),(1,2),(1,3)，(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)$ 共 $9$ 种，
   $∵B=\{(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A\}$，
   $∴$ 易得 $(2,3),(3,2),(3,3)$ 满足 $x+y-4>0$，
   $∴$ 集合 $B$ 中的元素个数共 $3$ 个．故选：$D$．
6. 答案 $D$
   解析 $A$ 中小于 $18$ 的正奇数除给定集合中的元素外，还有 $3,7,11,15$；
   $B$ 中 $k$ 取负数，多了若干元素；$C$ 中 $t=0$ 时多了 $-3$ 这个元素，只有 $D$ 是正确的．
7. 答案 $0$ 或 $-1$
   解析 $∵-3∈A$，$∴-3=a-3$ 或 $-3=2a-1$.
   若 $-3=a-3$，则 $a=0$，
   此时集合 $A$ 含有两个元素 $-3，-1$，符合题意．
   若 $-3=2a－1$，则 a=-1，
   此时集合 $A$ 含有两个元素 $-4，-3$，符合题意．
   综上所述，满足题意的实数 $a$ 的值为 $0$ 或 $-1$.
8. 答案 $\{(2,4),(5,2),(8,0)\}$
   解析 $∵3y=16-2x=2(8-x)$，且 $x∈N，y∈N$，
   $∴y$ 为偶数且 $y≤5$，
   $∴$ 当 $x=2$ 时，$y=4$，当 $x=5$ 时 $y=2$，当 $x=8$ 时，$y=0$．
   故答案为：$\{(2,4),(5,2),(8,0)\}$．

【B组---提高题】

1. 若以正实数 $x,y,z,w$ 四个元素构成集合 $A$，以 $A$ 中四个元素为边长构成的四边形可能是 (　　)
A．梯形　 $\qquad$$\qquad$ 　B．平行四边形 $\qquad$$\qquad$ C．菱形 $\qquad$$\qquad$ D．矩形
 

2. 集合 $P=\{x|x=2k,k∈Z\}$，$M=\{x|x=2k+1,k∈Z\}$，$S=\{x|x=4k+1,k∈Z\}$，$a∈P$，$b∈M$，设 $c=a+b$，则有 (　　)
A．$c∈P$ $\qquad$$\qquad$ B．$c∈M$ $\qquad$$\qquad$ C．$c∈S$ $\qquad$$\qquad$ D．以上都不对
 

3. 已知 $x,y,z$ 为非零实数，代数式 $\dfrac{x}{|x|}+\dfrac{y}{|y|}+\dfrac{z}{|z|}+\dfrac{x y z}{|x y z|}$ 的值所组成的集合是 $M$，则下列判断正确的是 (　　)
A．$4∈M$ $\qquad$$\qquad$ B．$2∈M$ $\qquad$$\qquad$ C．$0∉M$ $\qquad$$\qquad$ D．$-4∉M$
 

4. 点的集合 $M=\{(x,y)|xy≥0\}$ 是指 (　　)
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第一、第三象限内的点集
D．不在第二、第四象限内的点集
 

5. 已知集合 $A=\{a,b\}$，$a，b∈R$，若 $a+b∈A$，则 $ab=$$\underline{\quad \quad}$．
 

6. 已知含有三个实数的集合既可表示成 $\left\{a, \dfrac{b}{a}, 1\right\}$，又可表示成 $\{a^2,a+b,0\}$，则 $a^{2017}+b^{2018}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

7. 设集合 $A=\{x,xy,xy-1\}$，其中 $x∈Z$，$y∈Z$ 且 $y≠0$，若 $0∈A$，则 $A$ 中的元素之和为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

8. 用列举法表示集合 $M=\left\{m \mid \dfrac{12}{m+1} \in N, m \in Z\right\}=$$\underline{\quad \quad}$ ；
 

9. 已知非空集合 $M$ 满足：若 $x∈M$，则 $\dfrac{1}{1-x} \in M$，则当 $4∈M$ 时，集合 $M$ 的所有元素之积等于 $\underline{\quad \quad}$．
 

10. 设 $A$ 是整数集的一个非空子集，对于 $k∈A$，如果 $k-1∉A$ 且 $k+1∉A$，那么称 $k$ 是 $A$ 的一个 “孤立元”，给定 $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，由 $S$ 的 $3$ 个元素构成的所有集合中，不含 “孤立元” 的集合共有 $\underline{\quad \quad}$ 个.
 
 

11. 已知集合 $A=\{x∣ax^2-3x+2=0\}$．
(1) 若 $A$ 是单元素集合，求集合 $A$；
(2) 若 $A$ 中至少有一个元素，求 $a$ 的取值范围．
 
 

参考答案

1. 答案 $A$
   解析 根据集合元素的互异性，$x,y,z,w$ 均不相等.
2. 答案 $B$
   解析 $∵a∈P，b∈M，c=a+b$，
   设 $a=2k_1$，$k_1∈Z$，$b=2k_2+1$，$k_2∈Z$，
   $∴c=2k_1+2k_2+1=2(k_1+k_2)+1$，
   又 $k_1+k_2∈Z$，$∴c∈M$.
3. 答案 $A$
   解析 根据题意，分 $4$ 种情况讨论；
   ①、$x、y、z$ 全部为负数时，则 $xyz$ 也为负数，则 $\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{x y z}{|x y z|}=-4$，
   ②、$x、y、z$ 中有一个为负数时，则 $xyz$ 为负数，则 $\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{x y z}{|x y z|}=0$，
   ③、$x、y、z$ 中有两个为负数时，则 $xyz$ 为正数，则 $\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{x y z}{|x y z|}=0$，
   ④、$x、y、z$ 全部为正数时，则 $xyz$ 也正数，则 $\frac{x}{|x|}+\frac{y}{|y|}+\frac{z}{|z|}+\frac{x y z}{|x y z|}=4$；
   则 $M=\{4,-4,0\}$；分析选项可得 $A$ 符合．
4. 答案 D
   解析 $xy≥0$ 指 $x$ 和 $y$ 同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．
   故选 $D$
5. 答案 $0$
   解析 $∵$ 集合 $A=\{a,b\}$，$a,b∈R$，$a+b∈A$，$∴a+b=a$ 或 $a+b=b$，
   $∴b=0$，$a≠0$ 或 $a=0$，$b≠0$，$∴ab=0$．
6. 答案 $-1$
   解析 根据题意，由 $\left\{a, \frac{b}{a}, 1\right\}=\left\{a^{2}, a+b, 0\right\}$ 可得 $a=0$ 或 $\frac{b}{a}=0$，
   又由 $\frac{b}{a}$ 的意义，则 $a≠0$，必有 $\frac{b}{a}=0$，则 $b=0$，
   则 $\{a,0,1\}=\{a^2,a,0\}$，
   则有 $a^2=1$，即 $a=1$ 或 $a=-1$，
   集合 $\{a,0,1\}$ 中，$a≠1$，则必有 $a=-1$
   则 $a^{2017}+b^{2018}=(-1)^{2017}+0^{2018}=-1$.
7. 答案 $0$
   解析 因为 $0∈A$，所以若 $x=0$，则集合 $A=\{0,0,-1\}$ 不成立．所以 $x≠0$．
   若因为 $y≠0$，所以 $xy≠0$，所以必有 $xy-1=0$，所以 $xy=1$．
   因为 $x∈Z$，$y∈Z$，所以 $x=y=1$ 或 $x=y=-1$．
   若 $x=y=1$，此时 $A=\{1,1,0\}$ 不成立，舍去．
   若 $x=y=-1$，则 $A=\{-1,1,0\}$，成立．
   所以元素之和为 $1-1+0=0$．
8. 答案 $M=\{0,1,2,3,5,11\}$
   解析 $\because \frac{12}{m+1} \in N, m \in Z$；$∴M=\{0,1,2,3,5,11\}$．
9. 答案 $-1$
   解析 依题意，得当 $4∈M$ 时，有 $\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3} \in M$，从而 $\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4} \in M$，$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=4 \in M$，于是集合 M 的元素只有 $4$，$-\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$ 所有元素之积等于 $4 \times\left(-\frac{1}{3}\right) \times \frac{3}{4}=-1$．
10. 答案 $6$
    解析 什么是 “孤立元”？依题意可知，必须是没有与 $k$ 相邻的元素，因而无 “孤立元” 是指在集合中有与 $k$ 相邻的元素。因此符合题意的集合是：$\{1,2,3\}$，$\{2,3,4\}$，$\{3,4,5\}$，$\{4,5,6\}$，$\{5,6,7\}$，$\{6,7,8\}$ 共 $6$ 个集合.
11. 答案 (1) 当 $a＝0$ 时，$A=\left\{\frac{2}{3}\right\}$，当 $a≠0$ 时，$A=\left\{\frac{4}{3}\right\}$．  (2) $a \leq \frac{9}{8}$
    解析 (1) 当 $a=0$ 时，$A=\left\{\frac{2}{3}\right\}$，符合题意；
    当 $a≠0$ 时，方程 $ax^2-3x+2=0$ 应有两个相等的实数根，
    则 $Δ=0$，即 $9-8a=0$，解得 $a=\frac{9}{8}$，此时 $A=\left\{\frac{4}{3}\right\}$，符合题意．
    综上所述，当 $a＝0$ 时，$A=\left\{\frac{2}{3}\right\}$，当 $a≠0$ 时，$A=\left\{\frac{4}{3}\right\}$．
    (2) 由 (1) 知，当 $a=0$ 时，$A=\left\{\frac{2}{3}\right\}$，符合题意；
    当 $a≠0$ 时，方程 $ax^2-3x+2=0$ 应有实数根，
    则 $Δ≥0$，即 $9-8a≥0$，解得 $a \leq \frac{9}{8}$．
    综上所述，若 $A$ 中至少有一个元素，则 $a \leq \frac{9}{8}$．

【C组---拓展题】

1. 设集合 $M=\{x|x=3k,k∈Z\}$，$P=\{x|x=3k+1,k∈Z\}$，$Q=\{x|x=3k-1,k∈Z\}$，若 $a∈M$，$b∈P$，$c∈Q$，则 $a+b-c∈$(　　)
A．$M$ $\qquad$$\qquad$ B．$P$ $\qquad$$\qquad$ C．$Q$ $\qquad$$\qquad$ D．$M∪P$
 

2. 已知集合 $A=\left\{t^{2}+s^{2} \mid t, s \in Z\right\}$，且 $x∈A$，$y∈A$，则下列结论正确的是 (　　)
A．$x+y∈A$ $\qquad$ $\qquad$ B．$x-y∈A$ $\qquad$$\qquad$ C．$xy∈A$ $\qquad$$\qquad$ D．$\dfrac{x}{y} \in A$
 

3. 对于任意两个正整数 $m,n$，定义某种运算 “※”，法则如下：当 $m,n$ 都是正奇数时，$m※n=m+n$；当 $m,n$ 不全为正奇数时，$m※n=mn$. 则在此定义下，集合中的元素个数是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

4. 设 $M$ 是一个非空集合，$\#$ 是它的一种运算，如果满足以下条件：
(1) 对 $M$ 中任意元素 $a,b,c$ 都有 $(a \# b) \# c=a \#(b \# c)$；
(2) 对 $M$ 中任意两个元素 $a,b$，满足 $a\#b∈M$．
则称 $M$ 对运算 $\#$ 封闭．
下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 .
①$\{-2,-1,1,2\}$ ②$\{1,-1,0\}$ ③$Z$ ④$Q$．
 

5. 已知集合 $M$ 是非空数集，且满足三个条件：
①$∀x∈M,∀y∈M$，恒有 $x-y∈M$；②$∀x∈M (x≠0)$，恒有 $\dfrac{1}{x} \in M$；③$1∈M$．
(1) 求证：$∀x∈M,∀y∈M$，恒有 $x+y∈M$．
(2) 求证：当 $x≠0$ 且 $x≠-1$ 时，若 $x∈M$，则必有 $\dfrac{1}{x(x+1)} \in M$
(3) 求证：$∀x∈M,∀y∈M$，恒有 $xy∈M$．
 
 

参考答案

1. 答案 $C$
   解析 $∵a∈P,b∈M,c∈Q$，
   设 $a=3k_1$，$k_1∈Z$，$b=3k_2+1$，$k_2∈Z$，$c=3k_3-1$，$k_3∈Z$
   $∴a+b-c=3k_1+3k_2+1-3k_3+1=3(k_1+k_2+k_3 )+2$
   $=3(k_1+k_2+k_3+1)-1$，
   又 $k_1+k_2+k_3+1∈Z$，$∴c∈Q$．故选：$C$．
2. 答案 $C$
   解析 $∵$ 集合 $A=\left\{t^{2}+s^{2} \mid t, s \in Z\right\}$，
   $∴1∈A$，$2∈A$,$1+2=3∉A$，故 $A:“x+y∈A”$ 错误；
   又 $∵1-2=-1∉A$，故 $B:“x-y∈A”$ 错误；
   又 $\because \frac{1}{2} \notin A$，故 $D: “\frac{x}{y} \in A"$ 错误；故选 $C$.
   (为什么 $xy∈ A$？令 $x=t^{2}+s^{2}, y=t_{1}^{2}+s_{1}^{2}$，
   $x y=\left(t^{2}+s^{2}\right)\left(t_{1}^{2}+s_{1}^{2}\right)=t^{2} t_{1}^{2}+t^{2} s_{1}^{2}+s^{2} t_{1}^{2}+s^{2} s_{1}^{2}=\left(t s_{1}+s t_{1}\right)^{2}+\left(t t_{1}-s s_{1}\right)^{2} \in A$)
3. 答案 $13$
   解析 从定义出发，抓住 $m,n$ 的奇偶性对 $16$ 实行分拆是解决本题的关键，
   当 $m,n$ 同奇时，根据 $m※n=m+n$ 将 $16$ 分拆两个同奇数的和，有 $1+15=3+13=5+11=7+9=9+7=11+5=13+3=15+1$，共有 $8$ 对；
   当 $m,n$ 不全为奇数时，根据 $m※n=mn$，将 $16$ 分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有 $1×16=2×8=4×4=8×2=16×1$，共 $5$ 对.
   $∴$ 共有 $8+5=13$ 个.
4. 答案  ②③④．
   解析 (1) 的意思是满足结合律，(2) 的意思是两个元素运算后还属于原集合的.
   ①中，当 $a=-1，b=1$ 时，$a+b=0∉\{-2,-1,1,2\}$，
   当 $a=-2，b=2$ 时，$a×b=-4∉\{-2,-1,1,2\}$，
   故①中集合对加法和乘法都不封闭，
   ②中集合 $M=\{1,-1,0\}$ 满足：(1) 对 $M$ 中任意元素 $a,b,c$ 都有 $(a+b)+c=a+(b+c)$；
   (2) 对 M 中任意两个元素 $a,b$，满足 $a+b∈M$．
   故②中集合对加法运算封闭，同理可得对乘法运算也封闭；
   ③中集合 $M=Z$，整数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，整数加整数，整数乘以整数还是整数，满足第二点，故③中集合对加法运算和乘法运算都封闭；
   ④中集合 $M=Q$，有理数加法和乘法运算均满足结合律，满足第一点，有理数加有理数，有理数乘以有理数还是整数，满足第二点，故④中集合对加法运算和乘法运算都封闭；故答案为：②③④
5. 解析 (1) 证明：因为 $∀x∈M，∀y∈M$ 恒有 $x-y∈M$
   所以令 $x=y$，则有 $0∈M$
   若 $x、y∈M$，令 $x=0$, 则 $0-y∈M$, 即 $-y∈M$．
   所以 $x-(-y)∈M$，即 $x+y∈M$．
   ①$∀x∈M,∀y∈M$，恒有 $x-y∈M$ 是成立的．
   (2) 证明：当 $x≠0$ 且 $x≠-1$ 时，若 $x∈M$，则恒有 $\frac{1}{x} \in M$．
   $∵∀x∈M,∀y∈M$，恒有 $x-y∈M,x+y∈M$,
   令 $y=1$，对 $∀x∈M$，有 $x+1∈M$
   若 $x+1∈M$，则 $\frac{1}{x+1} \in M$．则 $\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{x(x+1)} \in M$,
   即当 $x≠0$ 且 $x≠-1$ 时，若 $x∈M$，则必有 $\frac{1}{x(x+1)} \in M$．
   (3) 证明，由 (2) 知，当 $x≠0,x≠-1$ 时，若 $x∈M$，则 $\frac{1}{x(x+1)} \in M$．
   又 $∵∀x∈M$，有 $\frac{1}{x} \in M$．$∴x(x+1)∈M$，
   又 $∵∀x∈M,∀y∈M$, 有 $x-y∈M$，所以 $x(x+1)-x=x^2∈M$
   即 $x∈M$，必有 $x^2∈M$．
   又 $x∈M$ 时，$\frac{1}{x} \in M$，所以 $\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x} \in M$，则必有 $\frac{x}{2} \in M$．
   所以由 $x∈M$,$x^2∈M$,$\frac{x}{2} \in M$,$x+y∈M$,
   知 $(x+y)^{2} \in M, x^{2} \in M, y^{2} \in M, \frac{(x+y)^{2}}{2} \in M, \frac{x^{2}+y^{2}}{2} \in M$
   所以 $\frac{(x+y)^{2}}{2}-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}=x y \in M$，
   所以对 $∀x∈M,∀y∈M$，恒有 $xy∈M$．