6.2.4 平面向量的数量积


【高分突破系列】 高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义
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必修二同步拔高,难度 3 颗星!

模块导图

知识剖析

概念

如果两个非零向量 ab,它们的夹角为 θ,我们把数量 |a||b|cosθ 叫做与的数量积 (或内积),记作:ab,即 ab=|a||b|cosθ. 规定:零向量与任一向量的数量积是 0.
PS 数量积是一个实数,不再是一个向量.
 

投影

向量 b 在向量 a 上的投影:|b|cosθ,它是一个实数,但不一定大于 0.
 

运算法则

对于向量 abc,和实数,有
(1) ab=ba
(2) (λa)b=λ(ab)=a(λb)
(3) (a+b)c=ac+bc
但是 (ab)c=a(bc) 不一定成立.
(当向量 a,c 不共线时,向量 a(bc) 与向量 (ab)c 肯定不共线,那怎么可能相等呢)
即向量的数量积满足交换律,分配率,但不满足结合律.
 

经典例题

【题型一】求数量积

【典题 1】已知向量 ab 满足 |a+b|=|b|,且 |a|=2,则 ab=_
【解析】因为 |a+b|=|b|,即有 |a+b|2=|b|2
所以 a2+2ab+b2=b2,则 2ab=a2=4
所以 ab=2
【点拨】①由数量积的定义可知 |a|2=a2
②题目中遇到类似 |a+b| 可尝试利用性质 |a|2=a2 达到去掉绝对值的目的.
 

【典题 2】在三角形 ABC 中,若 |AB+BC|=|ABBC|AC=6AB=3EF 为边 BC 的三等分点,则 AEAF=_
image.png
【解析】 |AB+BC|=|ABBC|
AB2+BC2+2ABBC=AB2+BC22ABBC
即有 ABBC=0
AC=6,AB=3BC2=6232=27
E,F 为边 BC 的三等分点,
AEAF=(AB+BE)(AB+BF)=(AB+13BC)(AB+23BC)
(ABBC)
=29BC2+AB2+ABBC=29×27+32+0=15
【点拨】
①已知条件 |AB+BC|=|ABBC| 利用性质 |a|2=a2 可得到 ABBC=0,其实也可以通过平行四边形法则和三角形法则得到的;
②求数量积 AEAF,第一个想法用数量积公式 AEAF=|AE||AF|cosEAF,但是发现题目已知条件中很难求解 |AE||AF|cosEAF. 又因为 ABBC=0,又知道 ABBC 的长度,故想到 AEAF 把转化为用 ABBC 表示.
③在求数量积的时候,直接用公式很难求解,都尽量向 “信息量大” 的向量靠拢.
 

【题型二】求向量夹角

【典题 1】已知向量 ab 满足 |a|=1|b|=2|a+2b|=21,那么向量 a b 的夹角为 _
【解析】|a|=1|b|=2|a+2b|=21
(a+2b)2=a2+4b2+4ab=1+16+4ab=21
ab=1
cos<a,b>=ab|a||b|=12,且 0≤<a,b>≤π
a b 的夹角为 π3

【典题 2】已知向量 ab 满足 |a|=1(ab)(3ab),则向量 a b 的夹角的最大值为 _
【解析】|a|=1(ab)(3ab)
(ab)(3ab)=3a2+b24ab=3+b24ab=0
ab=|b|2+34
cos<a,b>=ab|a||b|=|b|2+34|b|=|b|+3|b|432,且 0≤<a,b>≤180
cos<a,b>=32 时,ab 的夹角最大为 30
 

【题型三】求数量积最值

【典题 1】如图,已知等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=4AD=BC=3E DC 的中点,F 是线段 BC 上的动点,则 EFBF 的最小值是 _.

【解析】由等腰梯形的知识可知 cosB=33
BF=x,则 CF=3x
EFBF=(EC+CF)BF=ECBF+CFBF
=1x(33)+(3x)x(1)=x2433x
0x3
x=233 时,EFBF 取得最小值,最小值为 (233)2233×433=43
 

【典题 2】如图,已知矩形 ABCD 的边长 AB=2AD=1.点 P,Q 分别在边 BC,CD 上,且 PAQ=45,则 APAQ 的最小值为 _
image.png
【解析】 PAB=θ,则 DAQ=45θ
APAQ=|AP||AQ|cos45=2cosθ1cos(45θ)22=2cosθ(22cosθ+22sinθ)=2cos2θ+cosθsinθ=21+cos2θ2+sin2θ2
=222sin(2θ+45)+12222+12=424
当且仅当 2θ+45=90
θ=22.5 时取 =,当 θ=22.5 时,点 P 恰在边 BC 上,Q 恰边 CD 上,满足条件,
综上所述,APAQ 的最小值为 424
故答案为:424

 

【典题 3】已知向量 abc 满足 a+b+c=0|c|=23c ab 所成的角为 120°,则当 tR 时,|ta+(1t)b| 的最小值是 _
【解析】
image.png
a+b+c=0c=(a+b)
c ab 所成的角为 120°OEA=120
()
OEB=60|c|=23
OD=23OE=3
|ta+(1t)b|=|b+t(ab)|=|OB+tBA|
BP BA 共线,BA0,设 BP=tBA
|ta+(1t)b|=|OP|(P 是直线 BA 上的动点),
(OC=xOA+yOBx+y=1C线AB线BA
P使OP=ta+(1t)b)
所以当 OP 垂直于 AB 时,|ta+(1t)b|=|OP| 最小,为 OE×sin60=3×32=32.
【点拨】①题中遇到类似 a+b+c=0 的等式,很容易想到移项,再利用平行四边形法则进行构造图形求解;
②本题中求 |ta+(1t)b| 的最小值,那我们根据平行四边形法则找到向量 ta+(1t)b,确定出 |ta+(1t)b| 的几何意义从而求解成功.
 

巩固练习

1(★) 已知向量 ab 满足 |a+b|=|b|,且 |a|=2,则 ab=_ .
 

2(★★) 已知非零向量 ab 满足 |a|=34|b|cos<a,b>=13,若 (ma+4b)b,则实数 m 的值为 _.
 

3(★★) 已知向量 ab 满足 |a|=1(ab)(3ab),则 a b 的夹角的最大值为 _ .
 

4(★★) 如图,在梯形 ABCD 中,ABCDAB=4AD=3CD=2AM=2MDACBM=3,则 ABAD=_ .
image.png
 

5(★★) 已知 ABC 中,点 M 在线段 AB 上,ACB=2BCM=60,且 CMλCB=23CA.若 |CM|=6,则 CMAB=_.
 

6(★★★) H ABC 的垂心,且 3HA+4HB+5HC=0,则 cosBHC 的值为 _.
 

7(★★★) 已知 P ABC 所在平面内的一点,BP=2PC|AP|=4,若点 Q 在线段 AP 上运动,则 QA(QB+2QC) 的最小值为 _ .
 

8(★★★) 已知非零向量 abc 满足:(a2c)(b2c)=0 且不等式 |a+b|+|ab|λ|c| 恒立,则实数 λ 的最大值为 _ .
 

9(★★★) 已知平面向量 abc,对任意实数 x,y 都有 |axb||ab||ayc||ac| 成立.若 |a|=2,则 b(ca) 的最大值是 _ .
 

10(★★★) 设为两个非零向量 ab 的夹角,已知对任意实数 t|bta| 的最小值为 1,则 ( )
A.若 θ 确定,则 |a| 唯一确定
B.若 θ 确定,则 |b| 唯一确定
C.若 |a| 确定,则 θ 唯一确定
D.若 |b| 确定,则 θ 唯一确定
 

参考答案

  1. 【答案】2
    【解析】因为 |a+b|=|b|,即有 |a+b|2=|b|2
    所以 a2+2ab+b2=b2,则 2ab=a2=4
    所以 ab=2.
  2. 【答案】16
    【解析】∵已知非零向量 ab,满足 |a|=34|b|cos<a,b>=13
    (ma+4b)b
    (ma+4b)b=mab+4b2=m34|b||b|13+4|b|2=0
    求得 m=16.
  3. 【答案】30°
    【解析】|a|=1(ab)(3ab)
    (ab)(3ab)=3a2+b24ab=3+b24ab=0
    ab=|b|2+34
    cos<a,b>=ab|a||b|=|b|2+34|b|=|b|+3|b|432,且 0a,b180
    cos<a,b>=32 时,a b 的夹角最大为 30°
  4. 【答案】32
    【解析】 在梯形 ABCD 中,ABCDAB=4AD=3CD=2AM=2MD
    ACBM=(AD+DC)(BA+AM)=(AD+12AB)(AB+23AD)=23AD212AB223ADAB=3
    23×3212×4223ABAD=3
    ABAD=32.
  5. 【答案】27
    【解析】 CM 为对角线作平行四边形 CPMQ
    image.png
    CM 平分 ACB 四边形__XPMQ 是菱形,
    CM=6BCM=30°
    CP=CQ=23
    CPCQ=23×23×cos60=6
    CMλCB=23CA
    CM=23CA+λCB,且 AMB 三点共线,
    λ=13
    CM=CP+CQ
    CA=32CQCB=3CP
    CMAB=(CP+CQ)(3CP32CQ)
    =3CP232CQ2+32CPCQ=3×1232×12+32×6=27
  6. 【答案】7014
    【解析】由三角形垂心性质可得,HAHB=HBHC=HCHA
    不妨设__HAHB=HBHC=HCHA=x
    3HA+4HB+5HC=0
    3HAHB+4HB2+5HCHB=0
    |HB|=2x,同理可求得 |HC|=7x5
    cosBHC=HBHC|HB||HC|=7014
  7. 【答案】12
    【解析】由题意,画图如下,
    image.png
    根据题意及图,可知 BP=QPQBPC=QCQP
    BP=2PCQPQB=2(QCQP)
    整理,得 QB+2QC=3QP
    QA(QB+2QC)=QA3QP=3|QA||QP|=3|QA|(4|QA|)=3(|QA|24|QA|)
    |QA|=m,很明显 m[0,4]
    QA(QB+2QC)=3(|QA|24|QA|)=3(m24m)=3(m2)212
    根据二次函数的性质,可知:
    m=2 时,QA(QB+2QC) 取得最小值为 12
  8. 【答案】4
    【解析】(a2c)(b2c)=14[(a2c+b2c)2(a2cb+2c)2]
    =14[(a+b4c)2(ab)2]=0
    (a+b4c)2=(ab)2
    |a+b4c|=|ab|
    |a+b|+|ab|=|a+b|+|a+b4c||(a+b)(a+b4c)|=4|c|
    |a+b|+|ab|λ|c| 恒成立,
    λ4
    λ 的最大值为 4
  9. 【答案】12
    【解析】如图,
    image.png
    a=MAb=MBc=MC
    若对任意实数 xy 都有 |axb||ab||ayc||ac| 成立,
    BC 在以 MA 为直径的圆上,过 O ODAC,交 MC E,交圆于 Db=MB 在__OD 上的射影最长为 |ED|
    b(ca)=bAC=|DE||AC|
    AMC=θ,则 |AC|=2sinθ|OE|=sinθ
    |DE|=1|OE|=1sinθ
    b(ca)=2sinθ(1sinθ)=2sin2θ+2sinθ
    则当 sinθ=12 时,b(ca) 有最大值为 12
  10. 【答案】A
    【解析】 f(t)=|a+tb|2=a2+2tab+t2b2
    Δ=4(ab)24a2b2=4a2b2(cosθ1)0 恒成立,
    当且仅当 t=2ab2×b2=|a||b|cosθ 时,f(t) 取得最小值 2
    (|a||b|cosθ)2+b2+2(|a||b|cosθ)ab+a2=2,
    化简 a2sin2θ=2
    θ 确定,则 |a| 唯一确定,故选 A.
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