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【高分突破系列】 高一数学下学期同步知识点剖析精品讲义!
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模块导图
知识剖析
概念
如果两个非零向量 →a ,→b,它们的夹角为 θ,我们把数量 |→a||→b|cosθ 叫做与的数量积 (或内积),记作:→a⋅→b,即 →a⋅→b=|→a||→b|cosθ. 规定:零向量与任一向量的数量积是 0.
PS 数量积是一个实数,不再是一个向量.
投影
向量 →b 在向量 →a 上的投影:|→b|cosθ,它是一个实数,但不一定大于 0.
运算法则
对于向量 →a ,→b,→c,和实数,有
(1) →a⋅→b=→b⋅→a
(2) (λ→a)⋅→b=λ(→a⋅→b)=→a⋅(λ→b)
(3) (→a+→b)⋅→c=→a⋅→c+→b⋅→c
但是 (→a⋅→b)→c=→a(→b⋅→c) 不一定成立.
(当向量 →a,→c 不共线时,向量 →a(→b⋅→c) 与向量 (→a⋅→b)→c 肯定不共线,那怎么可能相等呢)
即向量的数量积满足交换律,分配率,但不满足结合律.
经典例题
【题型一】求数量积
【典题 1】已知向量 →a ,→b 满足 |→a+→b|=|→b|,且 |→a|=2,则 →a⋅→b=–––––.
【解析】因为 |→a+→b|=|→b|,即有 |→a+→b|2=|→b|2,
所以 →a2+2→a⋅→b+→b2=→b2,则 2→a⋅→b=−→a2=−4,
所以 →a⋅→b=−2.
【点拨】①由数量积的定义可知 |→a|2=→a2;
②题目中遇到类似 |→a+→b| 可尝试利用性质 |→a|2=→a2 达到去掉绝对值的目的.
【典题 2】在三角形 ABC 中,若 |−−→AB+−−→BC|=|−−→AB−−−→BC|,AC=6,AB=3,E,F 为边 BC 的三等分点,则 −−→AE⋅−−→AF=–––––.

【解析】若 |−−→AB+−−→BC|=|−−→AB−−−→BC|,
则 −−→AB2+−−→BC2+2−−→AB⋅−−→BC=−−→AB2+−−→BC2−2−−→AB⋅−−→BC,
即有 −−→AB⋅−−→BC=0,
∵AC=6,AB=3,∴BC2=62−32=27
∵E,F 为边 BC 的三等分点,
则 −−→AE⋅−−→AF=(−−→AB+−−→BE)(−−→AB+−−→BF)=(−−→AB+13−−→BC)(−−→AB+23−−→BC)
(利用首尾相接法把向量向−−→AB、−−→BC靠拢)
=29−−→BC2+−−→AB2+−−→AB⋅−−→BC=29×27+32+0=15.
【点拨】
①已知条件 |−−→AB+−−→BC|=|−−→AB−−−→BC| 利用性质 |→a|2=→a2 可得到 −−→AB⋅−−→BC=0,其实也可以通过平行四边形法则和三角形法则得到的;
②求数量积 −−→AE⋅−−→AF,第一个想法用数量积公式 −−→AE⋅−−→AF=|−−→AE|⋅|−−→AF|cos∠EAF,但是发现题目已知条件中很难求解 |−−→AE|、|−−→AF|、cos∠EAF. 又因为 −−→AB⋅−−→BC=0,又知道 AB、BC 的长度,故想到 −−→AE⋅−−→AF 把转化为用 −−→AB、−−→BC 表示.
③在求数量积的时候,直接用公式很难求解,都尽量向 “信息量大” 的向量靠拢.
【题型二】求向量夹角
【典题 1】已知向量 →a ,→b 满足 |→a|=1,|→b|=2,|→a+2→b|=√21,那么向量 →a 与 →b 的夹角为 –––––.
【解析】∵|→a|=1,|→b|=2,|→a+2→b|=√21
∴(→a+2→b)2=→a2+4→b2+4→a⋅→b=1+16+4→a⋅→b=21,
∴→a⋅→b=1
∴cos<→a,→b>=→a⋅→b|→a||→b|=12,且 0≤<→a,→b>≤π,
∴→a 与 →b 的夹角为 π3.
【典题 2】已知向量 →a ,→b 满足 |→a|=1,(→a−→b)⊥(3→a−→b),则向量 →a 与 →b 的夹角的最大值为 –––––.
【解析】∵|→a|=1,(→a−→b)⊥(3→a−→b)
∴(→a−→b)⋅(3→a−→b)=3→a2+→b2−4→a⋅→b=3+→b2−4→a⋅→b=0,
∴→a⋅→b=|→b|2+34,
∴cos<→a,→b>=→a⋅→b|→a||→b|=|→b|2+34|→b|=|→b|+3|→b|4≥√32,且 0∘≤<→a,→b>≤180∘,
∴cos<→a,→b>=√32 时,→a ,→b 的夹角最大为 30∘.
【题型三】求数量积最值
【典题 1】如图,已知等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=4,AD=BC=√3,E 是 DC 的中点,F 是线段 BC 上的动点,则 −−→EF⋅−−→BF 的最小值是 –––––.

【解析】由等腰梯形的知识可知 cosB=√33,
设 BF=x,则 CF=√3−x,
∴−−→EF⋅−−→BF=(−−→EC+−−→CF)−−→BF=−−→EC⋅−−→BF+−−→CF⋅−−→BF
=1⋅x(−√33)+(√3−x)⋅x⋅(−1)=x2−43√3x,
∵0≤x≤√3,
∴ 当 x=23√3 时,−−→EF⋅−−→BF 取得最小值,最小值为 (23√3)2−23√3×43√3=−43.
【典题 2】如图,已知矩形 ABCD 的边长 AB=2,AD=1.点 P,Q 分别在边 BC,CD 上,且 ∠PAQ=45∘,则 −−→AP⋅−−→AQ 的最小值为 –––––.

【解析】设 ∠PAB=θ,则 ∠DAQ=45∘−θ,
−−→AP⋅−−→AQ=|−−→AP||−−→AQ|cos45∘=2cosθ⋅1cos(45∘−θ)⋅√22=2cosθ⋅(√22cosθ+√22sinθ)=2cos2θ+cosθsinθ=21+cos2θ2+sin2θ2,
=2√22sin(2θ+45∘)+12≥2√22+12=4√2−4,
当且仅当 2θ+45∘=90∘,
∴θ=22.5∘ 时取 “=”,当 θ=22.5∘ 时,点 P 恰在边 BC 上,Q 恰边 CD 上,满足条件,
综上所述,−−→AP⋅−−→AQ 的最小值为 4√2−4,
故答案为:4√2−4.
【典题 3】已知向量 →a ,→b,→c 满足 →a+→b+→c=→0,|→c|=2√3,→c 与 →a−→b 所成的角为 120°,则当 t∈R 时,|t→a+(1−t)→b| 的最小值是 –––––.
【解析】

∵→a+→b+→c=→0,∴→c=−(→a+→b)
又 →c 与 →a−→b 所成的角为 120°,∴∠OEA=120∘,
(此时由平行四边形法则和三角形法则构造出一个平行四边形)
∴∠OEB=60∘,|→c|=2√3
∴OD=2√3,OE=√3,
|t→a+(1−t)→b|=|→b+t(→a−→b)|=|−−→OB+t−−→BA|
∵−−→BP 与 −−→BA 共线,−−→BA≠→0,设 −−→BP=t−−→BA,
则 |t→a+(1−t)→b|=|−−→OP|(P 是直线 BA 上的动点),
(其实由性质“若−−→OC=x−−→OA+y−−→OB,x+y=1,则点C在直线AB上”很容易知道:直线BA上的存在
一动点P使得−−→OP=t→a+(1−t)→b)
所以当 OP 垂直于 AB 时,|t→a+(1−t)→b|=|−−→OP| 最小,为 OE×sin60∘=√3×√32=32.
【点拨】①题中遇到类似 →a+→b+→c=→0 的等式,很容易想到移项,再利用平行四边形法则进行构造图形求解;
②本题中求 |t→a+(1−t)→b| 的最小值,那我们根据平行四边形法则找到向量 t→a+(1−t)→b,确定出 |t→a+(1−t)→b| 的几何意义从而求解成功.
巩固练习
1(★) 已知向量 →a ,→b 满足 |→a+→b|=|→b|,且 |→a|=2,则 →a⋅→b=––––– .
2(★★) 已知非零向量 →a ,→b 满足 |→a|=34|→b|,cos<→a,→b>=13,若 (m→a+4→b)⊥→b,则实数 m 的值为 –––––.
3(★★) 已知向量 →a ,→b 满足 |→a|=1,(→a−→b)⊥(3→a−→b),则 →a 与 →b 的夹角的最大值为 ––––– .
4(★★) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,−−→AM=2−−→MD,−−→AC⋅−−→BM=−3,则 −−→AB⋅−−→AD=––––– .

5(★★) 已知 △ABC 中,点 M 在线段 AB 上,∠ACB=2∠BCM=60∘,且 −−→CM−λ−−→CB=23−−→CA.若 |−−→CM|=6,则 −−→CM⋅−−→AB=–––––.
6(★★★) 设 H 是 △ABC 的垂心,且 3−−→HA+4−−→HB+5−−→HC=→0,则 cos∠BHC 的值为 –––––.
7(★★★) 已知 P 为 △ABC 所在平面内的一点,−−→BP=2−−→PC,|−−→AP|=4,若点 Q 在线段 AP 上运动,则 −−→QA⋅(−−→QB+2−−→QC) 的最小值为 ––––– .
8(★★★) 已知非零向量 →a ,→b,→c 满足:(→a−2→c)(→b−2→c)=0 且不等式 |→a+→b|+|→a−→b|≥λ|→c| 恒立,则实数 λ 的最大值为 ––––– .
9(★★★) 已知平面向量 →a ,→b,→c,对任意实数 x,y 都有 |→a−x→b|≥|→a−→b|,|→a−y→c|≥|→a−→c| 成立.若 |→a|=2,则 →b(→c−→a) 的最大值是 ––––– .
10(★★★) 设为两个非零向量 →a ,→b 的夹角,已知对任意实数 t,|→b−t→a| 的最小值为 1,则 ( )
A.若 θ 确定,则 |→a| 唯一确定
B.若 θ 确定,则 |→b| 唯一确定
C.若 |→a| 确定,则 θ 唯一确定
D.若 |→b| 确定,则 θ 唯一确定
参考答案
- 【答案】−2
【解析】因为 |→a+→b|=|→b|,即有 |→a+→b|2=|→b|2,
所以 →a2+2→a⋅→b+→b2=→b2,则 2→a⋅→b=−→a2=−4,
所以 →a⋅→b=−2.
- 【答案】-16
【解析】∵已知非零向量 →a ,→b,满足 |→a|=34|→b|,cos<→a,→b>=13,
若 (m→a+4→b)⊥→b,
∴(m→a+4→b)⋅→b=m→a⋅→b+4→b2=m⋅34|→b|⋅|→b|⋅13+4|→b|2=0,
求得 m=-16.
- 【答案】30°
【解析】∵|→a|=1,(→a−→b)⊥(3→a−→b)
∴(→a−→b)⋅(3→a−→b)=3→a2+→b2−4→a⋅→b=3+→b2−4→a⋅→b=0,
∴→a⋅→b=|→b|2+34,
∴cos<→a,→b>=→a⋅→b|→a||→b|=|→b|2+34|→b|=|→b|+3|→b|4≥√32,且 0∘≤⟨→a,→b⟩≤180∘,
∴cos<→a,→b>=√32 时,→a 与 →b 的夹角最大为 30°.
- 【答案】32
【解析】∵ 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,AD=3,CD=2,−−→AM=2−−→MD,
∴−−→AC⋅−−→BM=(−−→AD+−−→DC)⋅(−−→BA+−−→AM)=(−−→AD+12−−→AB)⋅(−−−→AB+23−−→AD)=23−−→AD2−12−−→AB2−23−−→AD⋅−−→AB=−3,
∴23×32−12×42−23−−→AB⋅−−→AD=−3,
则 −−→AB⋅−−→AD=32.
- 【答案】27
【解析】以 CM 为对角线作平行四边形 CPMQ,

∵CM 平分 ∠ACB,∴ 四边形__XPMQ 是菱形,
又 CM=6,∠BCM=30°,
∴CP=CQ=2√3,
∴−−→CP⋅−−→CQ=2√3×2√3×cos60∘=6,
∵−−→CM−λ−−→CB=23−−→CA,
即 −−→CM=23−−→CA+λ−−→CB,且 A,M,B 三点共线,
∴λ=13,
又 −−→CM=−−→CP+−−→CQ,
∴−−→CA=32−−→CQ,−−→CB=3−−→CP
∴−−→CM⋅−−→AB=(−−→CP+−−→CQ)⋅(3−−→CP−32−−→CQ)
=3−−→CP2−32−−→CQ2+32−−→CP⋅−−→CQ=3×12−32×12+32×6=27.
- 【答案】−√7014
【解析】由三角形垂心性质可得,−−→HA⋅−−→HB=−−→HB⋅−−→HC=−−→HC⋅−−→HA,
不妨设__−−→HA⋅−−→HB=−−→HB⋅−−→HC=−−→HC⋅−−→HA=x,
∵3−−→HA+4−−→HB+5−−→HC=→0,
∴3−−→HA⋅−−→HB+4−−→HB2+5−−→HC⋅−−→HB=0,
∴|−−→HB|=√−2x,同理可求得 |−−→HC|=√−7x5,
∴cos∠BHC=−−→HB⋅−−→HC|−−→HB||−−→HC|=−√7014.
- 【答案】-12
【解析】由题意,画图如下,

根据题意及图,可知 −−→BP=−−→QP−−−→QB,−−→PC=−−→QC−−−→QP,
∵−−→BP=2−−→PC,∴−−→QP−−−→QB=2(−−→QC−−−→QP),
整理,得 −−→QB+2−−→QC=3−−→QP,
则 −−→QA⋅(−−→QB+2−−→QC)=−−→QA⋅3−−→QP=−3|−−→QA|⋅|−−→QP|=−3|−−→QA|⋅(4−|−−→QA|)=3(|−−→QA|2−4|−−→QA|),
设 |−−→QA|=m,很明显 m∈[0,4],
故 −−→QA⋅(−−→QB+2−−→QC)=3(|−−→QA|2−4|−−→QA|)=3(m2−4m)=3(m−2)2−12,
根据二次函数的性质,可知:
当 m=2 时,−−→QA⋅(−−→QB+2−−→QC) 取得最小值为 −12.
- 【答案】4
【解析】∵(→a−2→c)⋅(→b−2→c)=14[(→a−2→c+→b−2→c)2−(→a−2→c−→b+2→c)2]
=14[(→a+→b−4→c)2−(→a−→b)2]=0,
∴(→a+→b−4→c)2=(→a−→b)2,
∴|→a+→b−4→c|=|→a−→b|,
∴|→a+→b|+|→a−→b|=|→a+→b|+|→a+→b−4→c|≥|(→a+→b)−(→a+→b−4→c)|=4|→c|,
又 |→a+→b|+|→a−→b|≥λ|→c| 恒成立,
∴λ≤4,
∴λ 的最大值为 4.
- 【答案】12
【解析】如图,

设 →a=−−→MA,→b=−−→MB,→c=−−→MC,
若对任意实数 x,y 都有 |→a−x→b|≥|→a−→b|,|→a−y→c|≥|→a−→c| 成立,
则 B,C 在以 MA 为直径的圆上,过 O 作 OD∥AC,交 MC 于 E,交圆于 D,→b=−−→MB 在__OD 上的射影最长为 |ED|,
→b⋅(→c−→a)=→b⋅−−→AC=|DE|⋅|AC|.
设 ∠AMC=θ,则 |AC|=2sinθ,|OE|=sinθ,
|DE|=1−|OE|=1−sinθ,
∴→b⋅(→c−→a)=2sinθ(1−sinθ)=−2sin2θ+2sinθ,
则当 sinθ=12 时,→b⋅(→c−→a) 有最大值为 12.
- 【答案】A
【解析】令 f(t)=|→a+t→b|2=→a2+2t⋅→a⋅→b+t2⋅→b2;
∴Δ=4(→a⋅→b)2−4→a2⋅→b2=4→a2⋅→b2(cosθ−1)≤0 恒成立,
当且仅当 t=−2→a⋅→b2×→b2=−|→a||→b|cosθ 时,f(t) 取得最小值 2,
∴(−|→a||→b|cosθ)2+→b2+2(−|→a||→b|cosθ)⋅→a⋅→b+→a2=2,,
化简 →a2sin2θ=2.
∴θ 确定,则 |→a| 唯一确定,故选 A.
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