8.1 成对数据的统计相关性
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模块导图
知识剖析
相关关系与确定关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
\({\color{Red}{ Eg }}\) 正方形面积与边长，高一定时圆锥的体积与底圆半径等均为确定关系；体重与身高，子女的身高与父亲的身高，空气污染指数与汽车保有量等均为相关关系.
正相关与负相关
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；从散点图来看，点从左下角往右上角走.
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走.
\({\color{Red}{ Eg }}\) 脂肪含量与年龄 , 子女的身高与父亲的身高正相关.
线性相关
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.
样本相关系数
对于变量\(x\)和变量\(y\)，设经过随机抽样获得的成对样本数据为\(\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \ldots,\left(x_{n}, y_{n}\right)\)，其中\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\)和\(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\)的均值分别为\(\bar{x}\)和\(\bar{y}\)，则\(r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\)
我们称\(r\)为变量\(x\)和变量\(y\)的样本相关系数.
① 当\(r>0\)时，称成对数据正相关；当\(r<0\)时，称成对数据负相关.
② \(|r|\)越接近于\(1\)，两个变量的线性相关性越强；
\(|r|\)接近于\(0\)时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.
③样本相关系数\(r\)也可以推导得到
\(r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}=\dfrac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\)
经典例题
【题型一】相关关系与确定关系
【典题1】下面哪两个变量间是相关关系( )
A．出租车费与行驶的里程
B．房屋面积与房屋价格
C．身高与体重
D．铁块的大小与质量
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于\(A\)，出租车费与行驶的里程之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；
对于\(B\)，房屋面积与房屋价格之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；
对于\(C\)，身高与体重之间的关系是不确定，但在一定范围内，身高越高，体重越大，是相关关系，符合题意；
对于\(D\)，铁块的大小与质量之间的关系是确定，是函数关系，不符合题意；
故选：\(C\)．
【点拨】是确定关系还是相关关系，看两变量之间关系是否确定的.
【题型二】正相关与负相关
【典题1】有以下五组变量：
①某商品的销售价格与销售量；
②学生的学籍号与学生的数学成绩；
③坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数；
④气温与冷饮销售量；
⑤电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量．
其中两个变量成正相关的是( )
A. \((1)(3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \((2)(4)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C. \((2)(5)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \((4)(5)\)
【解析】对于①，一般情况下，某商品的销售价格与销售量成负相关关系；
对于②，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；
对于③，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；
对于④，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；
对于⑤，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
综上所述，其中两个变量成正相关的序号是④⑤．
故选：\(D\)．
【点拨】如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，称这两个变量正相关；如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现减少的趋势，称这两个变量负相关.
【典题2】在各散点图中，两个变量具有正相关关系的是( )
【解析】根据题意，依次分析选项为：
对于\(A\)、是相关关系，但不是正相关关系，不符合题意；
对于\(B\)、是相关关系，也是正相关关系，符合题意；
对于\(C\)、是相关关系，是负相关关系，不符合题意；
对于\(D\)、所示的散点图中，样本点不成带状分布，这两个变量不具有线性相关关系，不符合题意．
故选：\(B\)．
【点拨】从散点图来看，点从左下角往右上角走是正相关；从散点图来看，点从左上角往右下角走是负相关.
【题型三】成对数据的统计相关系数
【典题1】对某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是( )
A. \(r_{4}<r_{2}<0<r_{1}<r_{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(r_{2}<r_{4}<0<r_{1}<r_{3}\)
C. \(r_{2}<r_{4}<0<r_{3}<r_{1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(r_{4}<r_{2}<0<r_{3}<r_{1}\)
【解析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；由题中数据可知：(1)(3)为正相关，为负相关；
数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，
故\(r_{1}>0, r_{3}>0\)；\(r_{2}<0, r_{4}<0\)；
又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故\(r_1>r_3\)，\(r_2<r_4\)
因此\(r_2<r_4<0<r_3<r_1\)．
故选：\(C\)．
【点拨】
①若散点图中数据集中所在的直线斜率为正，则正相关；斜率为负，则负相关.
②数据越集中在一条线附近，说明相关性越强；与该直线的斜率大小无关.
【典题2】如图所示，\(5\)个数据，去掉后，下列说法正确的是( )
A．相关系数\(r\)变大
B．残差平方和变大
C．相关指数\(R^2\)变小
D．解释变量\(x\)与预报变量\(y\)的相关性变强
【解析】由散点图知，去掉离群点\(D\)后，\(x\)与\(y\)的相关性变强，且为正相关，
所以相关系数\(r\)的值变大，相关指数\(R^2\)的值变大，残差平方和变小．
故选：\(AD\)．
【点拨】
①相关系数\(r\)判断线性的相关性的强弱；而残差平方和与相关指数\(R^2\)判断的是模型的拟合效果，残差平方和越小，相关指数\(R^2\)越大，模型拟合效果越好；
②本题中点\(D\)属于“歧义点”，偏离回归直线较远，若剔除少数的“歧义点”，解释变量\(x\)与预报变量\(y\)的相关性变强.
巩固练习
1(★)下列两个量之间的关系是相关关系的为( )
A．正方体的体积与棱长的关系
B．学生的成绩和体重
C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少
D．水的体积和重量
2(★)下列说法正确的是( )
A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系
B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系
C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系
D．人的体重与视力成负相关关系
3(★)变量有观测数据，得散点图(1)；对变量，有观测数据，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )
A．变量\(x\)与\(y\)正相关，\(u\)与\(v\)正相关
B．变量\(x\)与\(y\)正相关，\(u\)与\(v\)负相关
C．变量\(x\)与\(y\)负相关，\(u\)与\(v\)正相关
D．变量\(x\)与\(y\)负相关，\(u\)与\(v\)负相关
4(★)判断如图所示的图形中具有相关关系的是( )
5(★)对两个变量的几组观测数据统计如表，则这两个相关变量的关系是( )
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline x & 10 & 9 & 8 & 7 & 6 & 5 \\
\hline y & 2 & 3 & 3.5 & 4 & 4.8 & 5 \\
\hline
\end{array}\)
A．负相关 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．正相关 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．先正后负相关 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．先负后正相关
6(★)关于相关关系，下列说法不正确的是( )
A．相关关系是一种非确定关系
B．相关关系\(r\)越大，两个变量的相关性越强
C．当两个变量相关且相关系数时，表明两个变量正相关
D．相关系数\(r\)的绝对值越接近\(1\)，表明两个变量的相关性越强
7(★)变量与相对应的一组数据为\((10，1)\)，\((11.3，2)\)，\((11.8，3)\)，\((12.5，4)\)，\((13，5)\)，变量与相对应的一组数据为\((10，5)\)，\((11.3，4)\)，\((11.8，3)\)，\((12.5，2)\)，\((13，1)\)．\(r_{1}\)表示变量\(Y\)与\(X\)之间的线性相关系数，表示变量\(V\)与\(U\)之间的线性相关系数，则( )
参考公式：线性相关系数\(r=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}\)
A. \(r_{2}<r_{1}<0\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(0<r_{2}<r_{1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \(r_{2}<0<r_{1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(r_{1}=r_{2}\)
8(★)【多选题】为了对变量与的线性相关性进行检验，由样本点\((x_1，y_1)\)，\((x_2，y_2)\)，...，\((x_{10}，y_{10})\)求得两个变量的样本相关系数为\(r\)，那么下面说法中错误的有( )
A．若所有样本点都在直线上\(y=-2x+1\)，则\(r=1\)
B．若所有样本点都在直线上\(y=-2x+1\)，则\(r=-2\)
C．若\(|r|\)越大，则变量\(x\)与\(y\)的线性相关性越强
D．若\(|r|\)越小，则变量\(x\)与\(y\)的线性相关性越强
9(★)对相关系数\(r\)，下列说法正确的是( )
A．\(r\)越大，线性相关程度越大
B．\(r\)越小，线性相关程度越大
C．\(|r|\)越大，线性相关程度越小，\(|r|\)越接近\(0\)，线性相关程度越大
D．\(|r|≤1\)且\(|r|\)越接近\(1\)，线性相关程度越大，\(|r|\)越接近\(0\)，线性相关程度越小
10(★)下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是( )
A. \((1)(3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \((1)(4)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \((2)(3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \((1)(2)\)
11(★)已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的线性相关系数分别为\(0.46，0.79，-0.92，0.85\)，则( )
A．甲组数据变量间的线性相关程度最强
B．乙组数据变量间的线性相关程度最弱
C．丙组数据变量间的线性相关程度最强
D．丁组数据变量间的线性相关程度最强
12(★)对两个变量\(x ,y\)进行线性相关检验，得线性相关系数\(r_1=0.7859\)，对两个变量\(u ,v\)进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是( )
A．变量\(x\)与\(y\)正相关，变量\(u\)与\(v\)负相关，变量\(x\)与\(y\)的线性相关性较强
B．变量\(x\)与\(y\)负相关，变量\(u\)与\(v\)正相关，变量\(x\)与\(y\)的线性相关性较强
C．变量\(x\)与\(y\)正相关，变量\(u\)与\(v\)负相关，变量\(u\)与\(v\)的线性相关性较强
D．变量\(x\)与\(y\)负相关，变量\(u\)与\(v\)正相关，变量\(u\)与\(v\)的线性相关性较强
参考答案
- 【答案】\(C\)
【解析】\(A\)、由正方体的棱长和体积的公式知，\(V=a^{3}(a>0)\)，故\(A\)不对；
\(B\)、学生的成绩和体重，没有关系，故\(B\)不对；
\(C\)、路上酒后驾驶的人数会影响交通事故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关性，故\(C\)对；
\(D\)、水的体积_V_和重量_x_的关系为：\(V=k\cdot x\)，是确定的函数关系，故\(D\)不对；
故选：\(C\)． - 【答案】\(C\)
【解析】对于\(A\)，圆的面积与半径之间的关系是确定的关系，是函数关系，所以\(A\)错误；
对于\(B\)，粮食产量与施肥量之间的关系是不是函数关系，是相关关系，所以\(B\)错误；
对于\(C\)，一定范围内，学生的成绩与学习时间是成正相关关系的，所以\(C\)正确；
对于\(D\)，人的体重与视力是没有相关关系的，所以\(D\)错误．
故选：\(C\)． - 【答案】\(C\)
【解析】由题图\(1\)可知，\(y\)随\(x\)的增大而减小，各点整体呈下降趋势，\(x\)与\(y\)负相关，由题图\(2\)可知，\(u\)随\(v\)的增大而增大，各点整体呈上升趋势，\(u\)与\(v\)正相关．
故选：\(C\)． - (【答案】\(C\)
【解析】由题意，选项\(A\)，\(B\)中的\(x\)与\(y\)的对应是确定的，
选项\(C\)、\(D\)是不确定的，
而在选项\(C\)、\(D\)中，\(C\)具有相关关系，
故选：\(C\)． - 【答案】\(A\)
【解析】根据两个变量\(x\)，\(y\)的几组观测数据统计表知，
\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以这两个相关变量负相关．
故选：\(A\)． - 【答案】\(B\)
【解析】对于\(A\)，相关关系不同于函数关系，它是一种非确定的关系，\(A\)正确；
对于\(B\)，相关关系\(|r|\)越大，两个变量的相关性越强，\(∴B\)错误；
对于\(C\)，当两个变量相关且相关系数\(r>0\)时，说明两个变量正相关，\(∴C\)正确；
对于\(D\)，相关系数\(r\)的绝对值越接近\(1\)，表明两个变量的相关性越强，\(D\)正确．
故选：\(B\)． - 【答案】\(C\)
【解析】由已知中的数据可知：第一组数据正相关，则相关系数大于零，
第二组数据负相关，则相关系数小于零，故选：\(C\)． - (【答案】\(ABD\)
【解析】当所有样本点都在直线\(y=-2x+1\)上时，样本点数据完全负相关，其相关系数\(r=-1\)，所以\(A\)、\(B\)都错误；
相关系数\(|r|\)值越大，则变量\(x\)与\(y\)的线性相关性越强，\(C\)正确；
相关系数\(|r|\)值越小，则变量\(x\)与\(y\)的线性相关性越弱，\(D\)错误．
综上知，以上错误的说法是\(ABD\)．
故选：\(ABD\)． - (【答案】D
【解析】两个变量之间的相关系数，\(r\)的绝对值越接近于\(1\)，
表面两个变量的线性相关性越强，
\(r\)的绝对值越接近于\(0\)，表示两个变量之间几乎不存在线性相关，
故选：\(D\)． - 【答案】\(B\)
【解析】∵两个变量的散点图，
若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，
\(∴\)两个变量具有线性相关关系的图是①和④．
故选：\(B\)． - 【答案】\(C\)
【解析】因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强，甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为\(0.46，0.79，-0.92，0.85\)，所以丙组数据的线性相关性最强．
故选：\(C\)． - 【答案】\(C\)
【解析】由线性相关系数\(r_{1}=0.7859>0\)知\(x\)与\(y\)正相关，
由线性相关系数\(r_{2}=-0.9568<0\)知\(u，v\)负相关，
又\(\left|r_{1}\right|<\left|r_{2}\right|\)，
\(∴\)变量\(u\)与\(v\)的线性相关性比\(x\)与\(y\)的线性相关性强．
故选：\(C\)．
