专题 导数中的二次求导
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模块导图
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知识剖析
二阶导数的概念
如果函数 y=f(x) 的导数 f′(x) 在 x 处可导,则称 y′ 的导数为函数 y=f(x) 在 x 处的二阶导数,记为 f″(x).
Eg: 若函数 f(x)=x3,则 f′(x)=3x2,f′′(x)=[f′(x)]′=[3x2]′=6x.
二阶导数的意义
二阶导数是一阶导数的导数。从原理上看,它表示一阶导数的变化率;从图形上看,它反映的是函数图像的凹凸性.
若在 (a,b) 内 f′′(x)>0,则 f(x) 在 (a,b) 内为凹函数;若在 (a,b) 内 f′′(x)<0,则 f(x) 在 (a,b) 内为凸函数;
Eg: f(x)=ex,其二次导数为 f′′(x)=ex>0,凹函数;
f(x)=lnx,其二次导数 f′′(x)=−1x2<0,为凸函数;
了解函数凹凸性,对于部分题型有助于更快地找到解题思路,特别是在切线放缩.
二次求导的运用
① 二阶导数在高中教材中没有介绍,我们不好直接使用二阶导数性质,甚至它的符号 f″(x).
② 二次求导除了可以判断函数凹凸性,还有一个重要运用,
(i) 使用场景:某些函数一次求导 f′(x) 后,解 f′(x)>0 和 f′(x)<0 难度较大或甚至解不出 (即很难得到 f′(x) 的正负性),则需要进行” 二次求导”.
(ii) 思考:若能知道 y=f′(x) 的图像 (或草图),其正负性是否更好分析呢?那图如何而来?求导便可画图拉,分析其单调性、极值、最值等,这样一想便有了以下解题步骤;
(iii) 解题步骤:设 g(x)=f′(x),对 g(x) 求导 g′(x),求出 g′(x)>0 和 g′(x)<0 的解,便可得到 g(x) 的单调性,进而求其最值,不难得到 g(x)=f′(x) 的正负性,由图可知原函数 f(x) 的单调性.
若 g′(x)>0 也很难求解呢?那就要三次求导.
经典例题
【题型一】判断函数的凹凸性
【典题 1】判断以下几个超越函数的凹凸性
(1)f(x)=x⋅ex (2)f(x)=exx (3)f(x)=x⋅lnx
【解析】 (1)f′(x)=(x+1)ex, f′′(x)=(x+2)ex,
故 f(x) 在 (−∞,−2) 上凸,在 (−2,+∞) 上凹;
(2)f′(x)=(x−1)exx2,f′′(x)=(x2−2x+2)exx3,
故 f(x) 在 (−∞,0) 上凸,在 (0,+∞) 上凹;
(3)f′(x)=lnx+1,f′′(x)=1x,
故 f(x) 在 (0,+∞) 上凹;
【点拨】对于常见的超越函数,需要了解下它们的图象,特别是凹凸性,日后会经常见到它们的踪影,比如二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等.
巩固练习
1 (★) 判断以下几个超越函数的凹凸性
(1)f(x)=lnxx (2)f(x)=xlnx (3)f(x)=xex
参考答案
- (1)f(x) 在 (0,e32) 上凸,在 (e32,+∞) 上凹;
(2)f(x) 在 (0,1) 上凸,在 (1,+∞) 上凹;
(3)f(x) 在 (−∞,2) 上凸,在 (2,+∞) 上凹.
【题型二】 二次求导与函数的单调性
【典题 1】若函数 f(x)=sinxx,0<x1<x2<π,设 a=f(x1),b=f(x2),试比较 a,b 的大小.
【解析】
(要比较a,b的大小,显然想到y=f(x)单调性)
f′(x)=xcosx−sinxx2 ,
设 g(x)=xcosx−sinx,
(要知道原函数y=f(x)的单调性,则分析y=xcosx−sinx的正负性,
而它不太好分析,可构造函数y=g(x)二次求导,分析其单调性最值得到其函数图像便利于分析其正负性)
则 g′(x)=−xsinx+cosx−cosx=−xsinx
当 0<x<π 时,g′(x)<0,即 g(x) 在 (0,π) 上递减,
∴g(x)<g(0)=0,
(此时得到函数y=g(x)的草图,正负性便确定)
∴f′(x)<0,∴f(x)在(0,π) 上递减,
∴ 当 0<x1<x2<π,f(x1)>f(x2),即 a>b.
【点拨】
① 要研究函数的单调性,则需要分析导函数的正负性;
② 当一次求导后,发现导函数不太 “友善”(不能转化为常见的 “一次型导数 y=kx+b”, “二次型导数 y=ax2+bx+c",“指数型导数 y=kex+b” 或其混合型等),则可考虑构造新函数进行二次求导.
【典题 2】求函数 f(x)=ln2(x+1)−x21+x 的单调性.
【解析】f(x) 的定义域是 (−1,+∞),
f′(x)=2ln(x+1)x+1−x2+2x(x+1)2=2(x+1)ln(x+1)−x2−2x(x+1)2,
设 g(x)=2(x+1)ln(x+1)−x2−2x,
(导函数y=f′(x)的正负性与y=g(x)一致,y=g(x)不能因式分解,函数较为复杂,
要判断它的正负性,若能知道它的图象就好了,便想到二次求导)
则 g′(x)=2ln(x+1)−2x=2[ln(x+1)−x],
(此时要分析y=g′(x)的正负性,也不容易,则可再次求导分析单调性、最值得到它的图象从而分析正负性)
令 t(x)=g′(x)=ln(x+1)−x,
则 t′(x)=−x1+x,
当 −1<x<0 时,t′(x)>0,g′(x) 在 (−1,0) 上单调递增;
当 x>0 时,t′(x)<0,g′(x) 在 (−1,0) 上单调递减;
∴g′(x) 在 x=0 处有最大值,而 g′(0)=0,
(注意到g′(0)=0,g′(x)的零点)
∴g′(x)≤0, 函数 g(x) 在 (−1,+∞) 上是单调递减,
当 −1<x<0 时,g(x)>g(0)=0,f′(x)>0, f(x) 递增;
当 x>0 时,g(x)<g(0)=0, f′(x)<0,f(x) 递减;
(注意到g(0)=0,事情就这么巧,分析出y=f′(x)正负性了)
∴f(x) 的单调增区间是 (−1,0) , 递减区间是 (0,+∞).
【点拨】
① 本题的思路是
② 本题中作了 “3 次求导”;当导函数形式较为复杂,利用导数画出导函数的趋势图,数形结合便较容易得到它的正负性了,此时也要注意一些特殊点,比如 g′(0)=0 ,g(0)=0.
【典题 3】求 g(x)=ex+cosx−ax−2(x≥0) 的单调性.
【解析】g′(x)=ex−sinx−a, 令 p(x)=g′(x)=ex−sinx−a,
(构造函数二次求导)
故 p′(x)=ex−cosx,
当 x≥0 时,p′(x)≥1−cosx≥0,
故 p(x) 在 [0,+∞) 上单调递增,
(注意三角函数的有界性)
(此时p(x)min=p(0)=1−a,分析正负性要确定导函数是否有零点,分1-a<0和1-a≥0讨论.)
①当 a≤1 时,p(x)≥p(0)=1−a≥0,即 g′(x)≥0,
故 g(x) 在 [0,+∞) 上单调递增;
②当 a>1 时,p(0)=1−a<0,且 p(ln(a+1))=1−sin(lna(a+1))≥0,
故存在 x0∈(0,ln(a+1)],使得 p(x0)=g′(x0)=0,
(ln(a+1)这取点较难,而当x→+∞,p(x)→+∞,也可知y=p(x)零点x0的存在)
当 0<x<x0 时,g′(x)<0,g(x) 单调递减;
当 x>x0 时,g′(x)>0,g(x) 单调递增.
综上所述,当 a≤1 时,g(x) 在 [0,+∞) 上单调递增;
当 a>1 时,g(x) 在 [0,+∞) 上先减后增.
【点拨】本题是二次求导在处理含参函数单调性中的运用,在分析导函数正负性,要确定是否存在零点,有时要分类讨论.
巩固练习
1 (★★) 求函数 f(x)=(x+1)lnxx−1 的单调性.
2 (★★) 求函数 f(x)=sinx⋅lnx 在区间 (1,π) 的单调性.
3 (★★★) 求函数 f(x)=(x+a)lnx−x+1 在 (1,+∞) 的单调性.
参考答案
-
f(x) 在 (0,1) 上递减,在 (1,+∞) 递增
-
f(x) 在 (1,π) 内先增后减.
-
当 a≥0 时,f(x) 在 (1,+∞) 递增;
当 a<0 时 f(x) 在 (1,+∞) 上先减后增.
【题型三】二次求导与不等式证明
【典题 1】已知函数 f(x)=(x+1)lnx−x+1,
(1) 若 xf′(x)≤x2+ax+1,求 a 的取值范围;
(2) 证明 (x−1)f(x)≥0.
【解析】(1)f′(x)=x+1x+lnx−1=lnx+1x,
xf′(x)=xlnx+1,
题设 xf′(x)≤x2+ax+1 等价于 lnx−x≤a(分离参数法)
令 g(x)=lnx−x,则 g′(x)=1x−1
当 0<x<1,g′(x)>0;
当 x≥1 时,g′(x)≤0,
x=1 是 g(x) 的最大值点,g(x)≤g(1)=−1,
综上,a 的取值范围是 [−1,+∞).
(2) 方法1
要证 (x−1)f(x)≥0,
只须证明 0<x≤1 时,f(x)<0;
当 x>1 时,f(x)>0 即可 (∗).
(即需要了解函数f(x)的图像)
由 (1) 可知 f′(x)=lnx+1x,
(该函数正负性有些难判断,想到可二次求导)
令 g(x)=f′(x)=lnx+1x,
则 g′(x)=1x−1x2=x−1x2,
显然当 0<x≤1 时,g′(x)≤0;
当 x>1 时,g′(x)>0,
即 f′(x)=lnx+1x 在 (0,1) 上为减函数,在 (1,+∞) 上为增函数,
∴f′(x)≥f(1)=1>0,
即 f(x) 在 (0,+∞) 为增函数,
由于 f(1)=0
(这点关键,解题中多注意“特殊点”,由于要“了解函数f(x)的图像”和“证明(∗)”的思路也不难想到)
则 0<x≤1 时,f(x)<0;当 x>1 时,f(x)>0
∴(x−1)f(x)≥0.
方法 2 由 (1) 知,g(x)≤g(1)=−1,即 lnx−x+1≤0.
当 0<x≤1 时,f(x)=(x+1)lnx−x+1=xlnx+(lnx−x+1)≤0;
当 x>1 时,f(x)=lnx+(xlnx−x+1)=lnx+x(lnx+1x−1),
(这步提出x有些“巧妙”)
令 h(x)=lnx+1x−1(x>1),h′(x)=x−1x2(x>1),
所以当 x>1 时,h′(x)>0 恒成立,
所以当 x>1 时,h(x)>h(1)=0,
即 x>1 时,f(x)=lnx+(xlnx−x+1)=lnx+x(lnx+1x−1)>0,,
所以当 x>1 时,(x−1)f(x)>0,
综上,(x−1)f(x)≥0.
【点拨】比较第二问两种方法,还是方法一的 “二次求导” 的思路来得自然些,当一次求导后感觉到 “解 f′(x)>0 和 f′(x)<0 难度较大或甚至解不出 (即很难得到 f′(x) 的正负性)”,则可尝试下 “二次求导”. 在整个过程中,数形结合的思想 “如影随形”,不管是原函数 f(x) 还是导函数 f′(x) 的图像.
【典题 2】设函数 f(x)=ax−lnx−2(a∈R),
(1) 求 f(x) 的单调区间
(2) 若 g(x)=ax−ex,求证:在 x>0 时,f(x)>g(x).
【解析】(1)f′(x)=a−1x=ax−1x(x>0)
①当 a≤0 时,f′(x)<0 在 (0,+∞) 上恒成立,
∴f(x) 在 (0,+∞) 上是单调减函数,
②当 a>0 时,令 f′(x)=0,解得 x=1a,
当 x∈(0,1a) 时,f′(x)<0,f(x) 单调减,
当 x∈(1a,+∞) 时,f′(x)>0,f(x) 单调增,
综上所述:当 a≤0 时,f(x) 的单调减区间为 (0,+∞);
当 a>0 时,f(x) 的单调减区间为 (0,1/a),单调增区间为 (1a,+∞).
(2) 证明:当 x>0 时,要证 f(x)−ax+ex>0,
即证 ex−lnx−2>0,
令 h(x)=ex−lnx−2(x>0),只需证 h(x)>0,
∵h′(x)=ex−1x
(求解ex−1x>0很难,得不到h′(x)的正负性,故想到二次求导)
令 s(x)=ex−1x(x>0),
则 s′(x)=ex+1x2>0,函数 s(x) 在 (0,+∞) 单调递增,
又 ∵s(1)=e−1>0,s(13)=e13−3<0
∴s(x) 在 (13,1) 内存在唯一的零点,
(这是“隐零点问题”,得到零点的取值范围较为关键)
即 h′(x) 在 (0,+∞) 上有唯一零点,
设 h′(x) 的零点为 t(13<t<1),
则 h′(t)=et−1t=0,即 et=1t,
∴ 当 x∈(0,t) 时,h′(x)<h′(t)=0,h(x) 为减函数,
当 x∈(t,+∞) 时,h′(x)>h′(t)=0,h(x) 为增函数,
∴ 当 x>0 时,h(x)≥h(t)=et−lnt−2=1t+t−2,
又 13<t<1,∴1t+t>2,
(对勾函数y=1t+t可知)
∴h(x)>0=1t+t−2≥2−2=0.
即在 x>0 时,f(x)>g(x).
巩固练习
1 (★★★) 证明当 x>0 时,x−x36<sinx<x.
2 (★★★) 已知函数 f(x)=ex,g(x)=ax,a 为实常数,
(1) 设 F(x)=f(x)−g(x),当 a>0 时,求函数 F(x) 的单调区间;
(2) 当 a=−e 时,直线 x=m ,x=n(m>0,n>0) 与函数 f(x) ,g(x) 的图像共有四个不同的交点,且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形,求证:(m−1)(n−1)<0.
3 (★★★★) 已知函数 f(x)=ax2−ax−xlnx,且 f(x)≥0,
(1) 求 a;
(2) 证明:f(x) 存在唯一的极大值点 x0,且 e−2<f(x)<2−2.
参考答案
-
提示:构造函数,二次求导
-
(1) F(x) 的单调递增区间为 (-∞,0) ,(0,+∞),无单调递减区间;
(2) 证明略,提示:二次求导 -
(1) a=1
(2) 证明略,提示:二次求导
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