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专题 导数中的二次求导

【高分突破系列】 高二数学下学期同步知识点剖析精品讲义
soeasy

选择性必修第二册同步拔高,难度 4 颗星!

模块导图

知识剖析

二阶导数的概念

如果函数 y=f(x) 的导数 f(x) x 处可导,则称 y 的导数为函数 y=f(x) x 处的二阶导数,记为 f(x).
Eg: 若函数 f(x)=x3,则 f(x)=3x2f(x)=[f(x)]=[3x2]=6x.
 

二阶导数的意义

二阶导数是一阶导数的导数。从原理上看,它表示一阶导数的变化率;从图形上看,它反映的是函数图像的凹凸性.
若在 (a,b) f(x)>0,则 f(x) (a,b) 内为凹函数;若在 (a,b) f(x)<0,则 f(x) (a,b) 内为凸函数;
Eg f(x)=ex,其二次导数为 f(x)=ex>0,凹函数;
f(x)=lnx,其二次导数 f(x)=1x2<0,为凸函数;

了解函数凹凸性,对于部分题型有助于更快地找到解题思路,特别是在切线放缩.
 

二次求导的运用

二阶导数在高中教材中没有介绍,我们不好直接使用二阶导数性质,甚至它的符号 f(x).
二次求导除了可以判断函数凹凸性,还有一个重要运用,
(i) 使用场景:某些函数一次求导 f(x) 后,解 f(x)>0 f(x)<0 难度较大或甚至解不出 (即很难得到 f(x) 的正负性),则需要进行” 二次求导”.
(ii) 思考:若能知道 y=f(x) 的图像 (或草图),其正负性是否更好分析呢?那图如何而来?求导便可画图拉,分析其单调性、极值、最值等,这样一想便有了以下解题步骤;
(iii) 解题步骤:设 g(x)=f(x),对 g(x) 求导 g(x),求出 g(x)>0 g(x)<0 的解,便可得到 g(x) 的单调性,进而求其最值,不难得到 g(x)=f(x) 的正负性,由图可知原函数 f(x) 的单调性.
g(x)>0 也很难求解呢?那就要三次求导.

 

经典例题

【题型一】判断函数的凹凸性

【典题 1】判断以下几个超越函数的凹凸性
(1)f(x)=xex (2)f(x)=exx (3)f(x)=xlnx
【解析】 (1)f(x)=(x+1)exf(x)=(x+2)ex
f(x) (,2) 上凸,在 (2,+) 上凹;
image.png
(2)f(x)=(x1)exx2f(x)=(x22x+2)exx3,
f(x) (,0) 上凸,在 (0,+) 上凹;
image.png
(3)f(x)=lnx+1f(x)=1x
f(x) (0,+) 上凹;
image.png
【点拨】对于常见的超越函数,需要了解下它们的图象,特别是凹凸性,日后会经常见到它们的踪影,比如二次求导、求最值.、不等式证明、切线放缩等.
 

巩固练习

1 (★) 判断以下几个超越函数的凹凸性
(1)f(x)=lnxx (2)f(x)=xlnx (3)f(x)=xex
 
 

参考答案

  1. (1)f(x) (0,e32) 上凸,在 (e32,+) 上凹;
    (2)f(x) (0,1) 上凸,在 (1,+) 上凹;
    (3)f(x) (,2) 上凸,在 (2,+) 上凹.
     

【题型二】 二次求导与函数的单调性

【典题 1】若函数 f(x)=sinxx0<x1<x2<π,设 a=f(x1),b=f(x2),试比较 a,b 的大小.

【解析】
(a,by=f(x))
f(x)=xcosxsinxx2
g(x)=xcosxsinx
(y=f(x)y=xcosxsinx
y=g(x)便)
g(x)=xsinx+cosxcosx=xsinx
0<x<π 时,g(x)<0,即 g(x) (0,π) 上递减,
g(x)<g(0)=0
(y=g(x)便)
f(x)<0f(x)(0,π) 上递减,
0<x1<x2<πf(x1)>f(x2),即 a>b.

【点拨】
① 要研究函数的单调性,则需要分析导函数的正负性;
② 当一次求导后,发现导函数不太 “友善”(不能转化为常见的 “一次型导数 y=kx+b”, “二次型导数 y=ax2+bx+c",“指数型导数 y=kex+b” 或其混合型等),则可考虑构造新函数进行二次求导.
 

【典题 2】求函数 f(x)=ln2(x+1)x21+x 的单调性.

【解析】f(x) 的定义域是 (1,+)
f(x)=2ln(x+1)x+1x2+2x(x+1)2=2(x+1)ln(x+1)x22x(x+1)2
g(x)=2(x+1)ln(x+1)x22x
(y=f(x)y=g(x)y=g(x)
便)
g(x)=2ln(x+1)2x=2[ln(x+1)x]
(y=g(x))
t(x)=g(x)=ln(x+1)x
t(x)=x1+x
1<x<0 时,t(x)>0g(x) (1,0) 上单调递增;
x>0 时,t(x)<0g(x) (1,0) 上单调递减;
g(x) x=0 处有最大值,而 g(0)=0
(g(0)=0g(x))
image.png
g(x)0, 函数 g(x) (1,+) 上是单调递减,
1<x<0 时,g(x)>g(0)=0f(x)>0f(x) 递增;
x>0 时,g(x)<g(0)=0f(x)<0f(x) 递减;
(g(0)=0y=f(x))
image.png
f(x) 的单调增区间是 (1,0) , 递减区间是 (0,+).

【点拨】
① 本题的思路是
image.png
② 本题中作了 “3 次求导”;当导函数形式较为复杂,利用导数画出导函数的趋势图,数形结合便较容易得到它的正负性了,此时也要注意一些特殊点,比如 g(0)=0 ,g(0)=0.
 

【典题 3】 g(x)=ex+cosxax2(x0) 的单调性.
【解析】g(x)=exsinxa, 令 p(x)=g(x)=exsinxa
()
p(x)=excosx
x0 时,p(x)1cosx0
p(x) [0,+) 上单调递增,
()
(p(x)min=p(0)=1a1a<01a0.)
①当 a1 时,p(x)p(0)=1a0,即 g(x)0
g(x) [0,+) 上单调递增;
image.png
②当 a>1 时,p(0)=1a<0,且 p(ln(a+1))=1sin(lna(a+1))0
故存在 x0(0,ln(a+1)],使得 p(x0)=g(x0)=0
(ln(a+1)x+p(x)+y=p(x)x0)
0<x<x0 时,g(x)<0g(x) 单调递减;
x>x0 时,g(x)>0g(x) 单调递增.
image.png
综上所述,当 a1 时,g(x) [0,+) 上单调递增;
a>1 时,g(x) [0,+) 上先减后增.

【点拨】本题是二次求导在处理含参函数单调性中的运用,在分析导函数正负性,要确定是否存在零点,有时要分类讨论.
 

巩固练习

1 (★★) 求函数 f(x)=(x+1)lnxx1 的单调性.
 
 

2 (★★) 求函数 f(x)=sinxlnx 在区间 (1,π) 的单调性.
 
 

3 (★★★) 求函数 f(x)=(x+a)lnxx+1 (1,+) 的单调性.
 
 

参考答案

  1. f(x) (0,1) 上递减,在 (1,+) 递增

  2. f(x) (1,π) 内先增后减.

  3. a0 时,f(x) (1,+) 递增;
    a<0 f(x) (1,+) 上先减后增.
     

【题型三】二次求导与不等式证明

【典题 1】已知函数 f(x)=(x+1)lnxx+1
(1) 若 xf(x)x2+ax+1,求 a 的取值范围;
(2) 证明 (x1)f(x)0.
【解析】(1)f(x)=x+1x+lnx1=lnx+1x
xf(x)=xlnx+1
题设 xf(x)x2+ax+1 等价于 lnxxa()
g(x)=lnxx,则 g(x)=1x1
0<x<1g(x)>0
x1 时,g(x)0
x=1 g(x) 的最大值点,g(x)g(1)=1
综上,a 的取值范围是 [1,+)
(2) 1
要证 (x1)f(x)0
只须证明 0<x1 时,f(x)<0
x>1 时,f(x)>0 即可 ().
(f(x))
由 (1) 可知 f(x)=lnx+1x
()
g(x)=f(x)=lnx+1x
g(x)=1x1x2=x1x2
显然当 0<x1 时,g(x)0
x>1 时,g(x)>0
f(x)=lnx+1x (0,1) 上为减函数,在 (1,+) 上为增函数,
f(x)f(1)=1>0
f(x) (0,+) 为增函数,
由于 f(1)=0
(f(x)())
0<x1 时,f(x)<0;当 x>1 时,f(x)>0
(x1)f(x)0.
方法 2 由 (1) 知,g(x)g(1)=1,即 lnxx+10
0<x1 时,f(x)=(x+1)lnxx+1=xlnx+(lnxx+1)0
x>1 时,f(x)=lnx+(xlnxx+1)=lnx+x(lnx+1x1)
(x)
h(x)=lnx+1x1(x>1)h(x)=x1x2(x>1)
所以当 x>1 时,h(x)>0 恒成立,
所以当 x>1 时,h(x)>h(1)=0
x>1 时,f(x)=lnx+(xlnxx+1)=lnx+x(lnx+1x1)>0,
所以当 x>1 时,(x1)f(x)>0
综上,(x1)f(x)0
【点拨】比较第二问两种方法,还是方法一的 “二次求导” 的思路来得自然些,当一次求导后感觉到 “解 f(x)>0 f(x)<0 难度较大或甚至解不出 (即很难得到 f(x) 的正负性)”,则可尝试下 “二次求导”. 在整个过程中,数形结合的思想 “如影随形”,不管是原函数 f(x) 还是导函数 f(x) 的图像.
 

【典题 2】设函数 f(x)=axlnx2(aR)
(1) 求 f(x) 的单调区间
(2) 若 g(x)=axex,求证:在 x>0 时,f(x)>g(x)
【解析】(1)f(x)=a1x=ax1x(x>0)
①当 a0 时,f(x)<0 (0,+) 上恒成立,
f(x) (0,+) 上是单调减函数,
②当 a>0 时,令 f(x)=0,解得 x=1a
x(0,1a) 时,f(x)<0f(x) 单调减,
x(1a,+) 时,f(x)>0f(x) 单调增,
综上所述:当 a0 时,f(x) 的单调减区间为 (0,+)
a>0 时,f(x) 的单调减区间为 (0,1/a),单调增区间为 (1a,+)
(2) 证明:当 x>0 时,要证 f(x)ax+ex>0
即证 exlnx2>0
h(x)=exlnx2(x>0),只需证 h(x)>0
h(x)=ex1x
(ex1x>0h(x))
s(x)=ex1x(x>0)
s(x)=ex+1x2>0,函数 s(x) (0,+) 单调递增,
s(1)=e1>0s(13)=e133<0
s(x) (13,1) 内存在唯一的零点,
()
h(x) (0,+) 上有唯一零点,
h(x) 的零点为 t(13<t<1)
h(t)=et1t=0,即 et=1t
x(0,t) 时,h(x)<h(t)=0h(x) 为减函数,
x(t,+) 时,h(x)>h(t)=0h(x) 为增函数,
x>0 时,h(x)h(t)=etlnt2=1t+t2
13<t<11t+t>2
(y=1t+t)
h(x)>0=1t+t222=0
即在 x>0 时,f(x)>g(x).
 

巩固练习

1 (★★★) 证明当 x>0 时,xx36<sinx<x.
 
 
2 (★★★) 已知函数 f(x)=exg(x)=axa 为实常数,
(1) 设 Fx=f(x)g(x),当 a>0 时,求函数 F(x) 的单调区间;
(2) 当 a=e 时,直线 x=m ,x=n(m>0,n>0) 与函数 f(x) ,g(x) 的图像共有四个不同的交点,且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形,求证:(m1)(n1)<0.
 
 

3 (★★★★) 已知函数 f(x)=ax2axxlnx,且 f(x)0
(1) 求 a
(2) 证明:f(x) 存在唯一的极大值点 x0,且 e2<f(x)<22.
 
 

参考答案

  1. 提示:构造函数,二次求导

  2. (1) F(x) 的单调递增区间为 (,0) ,(0,+),无单调递减区间;
    (2) 证明略,提示:二次求导

  3. (1) a=1

    (2) 证明略,提示:二次求导

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