5.3 导数与函数的单调性
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知识剖析
1 函数单调性与导数
在某个区间\((a ,b)\)内,若\(f'(x)>0\),则函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递增;
若\(f'(x)<0\),则函数\(y=f(x)\)在这个区间内单调递减.
2 若函数\(y=f(x)\)在某个区间\((a ,b)\)内单调递增,则\(∀x∈(a,b)\) ,\(f^{\prime}(x)≥0\)\({\color{Red}{ (含等号) }}\)恒成立,但不存在一区间\((c ,d)⊆(a ,b)\)内使得\(f^{\prime}(x)=0\);
\({\color{Red}{ 解释}}\)
假如存在一区间\((c ,d)⊆(a ,b)\)内使得\(f^{\prime}(x)=0\),那原函数\(y=f(x)\)在区间\((c ,d)\)内恒等于一个常数,即\(f(x)=m\)(\(m\)是个常数),则原函数不可能在\((a ,b)\)内单调递增.
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函数\(y=f(x)\)在某个区间\((a ,b)\)内单调递减有类似结论!
经典例题
【题型一】 不含参函数的单调性
【典题1】 函数\(f(x)\)的定义域为\(R\),且图象如图所示,则不等式\(xf'(x)<0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】由图可知,\(f(x)\)在\((-∞ ,-\dfrac{1}{2})\)和\((\dfrac{1}{2} ,1)\)上单调递增,在\((-\dfrac{1}{2} ,\dfrac{1}{2})\)上单调递减,
\(∴\)当\(x∈(-∞ ,-\dfrac{1}{2})∪(\dfrac{1}{2},1)\)时,\(f'(x)>0\);
当\(x∈(-\dfrac{1}{2} ,\dfrac{1}{2})\)时,\(f'(x)<0\).
\(∵\)不等式\(xf'(x)<0\)可等价于\(\left\{\begin{array}{l}
x>0 \\
f^{\prime}(x)<0
\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}
x<0 \\
f^{\prime}(x)>0
\end{array}\right.\),
\(∴\)当\(x>0\)时,有\(x∈(-\dfrac{1}{2} ,\dfrac{1}{2})\),即\(x∈(0 ,\dfrac{1}{2})\);
当\(x<0\)时,有\(x∈(-∞ ,-\dfrac{1}{2})∪(\dfrac{1}{2} ,1)\),即\(x∈(-∞ ,-\dfrac{1}{2})\),
综上所述,不等式的解集为\((-∞ ,-\dfrac{1}{2})∪(0 ,\dfrac{1}{2})\).
【点拨】由原函数\(y=f(x)\)图像判断出原函数的单调性,继而得到导函数\(f'(x)\)的正负性(导函数的穿线图),再看图易得不等式解集.注意原函数的趋势图与导函数的穿线图之间的转化.
【典题2】 若函数\(f(x)=-x^3+ax^2+4x\)在区间\((0 ,2)\)上单调递增,则实数\(a\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】\(f(x)=-x^3+ax^2+4x\),
则\(f^{\prime}(x)=-3x^2+2ax+4\),
若\(f(x)\)在区间\((0 ,2)\)上单调递增,
则\(-3x^2+2ax+4≥0\)在\((0 ,2)\)恒成立\((*)\),
\({\color{Red}{方法一 \quad 分离参数法 }}\)
要\((*)\)成立等价于\(a \geq \dfrac{3 x}{2}-\dfrac{2}{x}\)在\((0 ,2)\)恒成立,
令\(g(x)=\dfrac{3 x}{2}-\dfrac{2}{x}\),\(x∈(0 ,2)\),
则\(g^{\prime}(x)=\dfrac{3}{2}+\dfrac{2}{x^{2}}>0\),\(g(x)\)在\((0 ,2)\)递增,
故\(g(x)<g(2)=2\),
故\(a≥2\),
\({\color{Red}{ 方法二 \quad 数形结合法}}\)
令\(t(x)=-3x^2+2ax+4\),它是开口向下,过定点\((0 ,4)\),
结合图像可知若要\((*)\)成立,只需要\(t(2)≥0\)\(⇒-12+4a+4≥0⇒a≥2\).
【点拨】
① 若函数\(y=f(x)\)在某个区间\((a ,b)\)内单调递增,则\(∀x∈(a ,b)\) ,\(f^{\prime}(x)≥0\)\({\color{Red}{(含等号) }}\)恒成立,但不存在一区间\((c ,d)⊆(a ,b)\)内使得\(f^{\prime}(x)=0\);
② 处理恒成立问题,方法多样,比如直接转化为最值问题,利用分离参数法转化为最值问题,数形结合等.
【典题3】 已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数,其导函数为\(f'(x)\),且对任意实数\(x\)都有\(f(x)+f'(x)>1\),则不等式\(e^x f(x)>e^x-1\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】设\(g(x)=e^x [f(x)-1]\),
则\(g^{\prime}(x)=e^x [f(x)-1]+e^x f^{\prime} (x)\)\(=e^x [f(x)+f^{\prime}(x)-1]>0\).
故\(g(x)\)在\(R\)上单调递增,
因为\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数,所以\(f(0)=0\),
所以\(g(0)=-1\),
而不等式\(e^x f(x)>e^x-1⇒e^x [f(x)-1]>-1\),
即\(g(x)>g(0)\),
又\(∵g(x)\)在\(R\)上单调递增,\(∴x>0\).
【点拨】
本题属于构造函数题型,如何构造呢?角度有二
(1) 从已知条件\(f(x)+f^{\prime}(x)>1⇒f(x)+f^{\prime} (x)-1>0\)入手,
思考\([某函数g(x)]^{\prime}=f(x)+f^{\prime}(x)-1\),
这需要熟悉求导法则的逆运用,下表举例供参考(其中c是常数):
①\(f^{\prime} (x)+h'(x)\)形式,构造函数\(g(x)=f(x)+h(x)+c\);
②\(xf'(x)+f(x)\)形式,构造函数 \(g(x)=xf(x)+c\);
③\(xf'(x)+nf(x)\)形式,构造函数\(g(x)=x^n f(x)+c\);
④\(xf'(x)-f(x)\)形式,构造函数\(g(x)=\dfrac{f(x)}{x}+c\);
⑤\(f^{\prime} (x)+f(x)\)形式,构造函数\(g(x)=e^x f(x)+c\);
⑥\(f^{\prime} (x)-f(x)\)形式,构造函数\(g(x)=\dfrac{f(x)}{e^x} +c\);
形式多样,不需要死记,要灵活运用,本题可利用第(5)个例子.
(2)从求证入手,要求不等式\(e^x f(x)>e^x-1\),变形得\(e^x [f(x)-1]+1>0\),想到构造函数\(g(x)=e^x [f(x)-1]+1\)也不难.
【典题4】 求函数\(f(x)=\dfrac{x^2-1}{2}-xlnx\)的单调区间.
【解析】函数\(f(x)\)的定义域是\((0 ,+∞)\),
\({\color{Red}{(注意定义域) }}\)
由\(f(x)=\dfrac{x^2-1}{2}-xlnx\),得\(f'(x)=x-lnx-1\),
令\(g(x)=x-lnx-1\),则\(g'(x)=1-\dfrac{1}{x}\),
令\(g'(x)>0\),解得\(x>1\),
令\(g'(x)<0\),解得\(0<x<1\),
故\(g(x)\)在\((0 ,1)\)递减,在\((1,+∞)\)递增,
故\(f'(x)≥f'(1)=0\),
故\(f(x)\)在\((0 ,+∞)\)递增,无递减区间.
【点拨】
① 本题其实是对原函数进行了“二次求导”,思路可以如下
求原函数\(f(x)=\dfrac{x^2-1}{2}-xlnx\)的单调区间
\(⇔\)分析导函数\(f'(x)=x-lnx-1\)的正负性(即\(y=f'(x)\)的零点问题)
\(⇔\)若能画出导函数\(y=f'(x)\)的图像一切就清楚,那就再分析\(y=x-lnx-1\)的单调性和最值,故二次求导了.
② 原函数的单调性与导函数的正负性相关,分析导函数的正负性利用注重导函数的零点问题;
③\(lnx≤x-1\)是个重要的不等式.
巩固练习
1(★) 已知定义在区间\((-2 ,2)\)上的函数\(y=f(x)\)的图象如图所示,若函数\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数,则不等式\(\dfrac{f^{\prime}(x)}{x+1}>0\)的解集为\(\underline{\quad \quad}\) .
2(★★) 已知\(x>0\),\(a=x\),\(b=x-\dfrac{x^2}{2}\),\(c=ln(1+x)\),则( )
A.\(c<b<a\) \(\qquad \qquad\) B.\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\) C.\(c<a<b\) \(\qquad \qquad\) D.\(b<c<a\)
3(★★) 已知定义在\(R\)上的函数\(f(x\))满足\(f(1)=3\),对\(∀x∈R\)恒有\(f'(x)<2\),则\(f(x)≥2x+1\)的解集为( )
A.\([1 ,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.\((-∞ ,1]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C. \((1 ,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\((-∞ ,1)\)
4(★★) 已知函数\(f(x)=x^2-x\sin x\),若\(a=f(log_{0.2}3)\),\(b=f(log_30.2)\),\(c=f(0.2^3)\)则( )
A.\(a>b>c\) \(\qquad \qquad\)B.\(b>a>c\) \(\qquad \qquad\)C.\(c>b>a\) \(\qquad \qquad\) D.\(b>c>a\)
5(★★) 若函数\(f(x)=\sin2x-4x-m\sin x\)在\([0 ,2π]\)上单调递减,则实数\(m\)的取值范围为( )
A.\((-2,2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\([-2,2]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\((-1,1)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\([-1,1]\)
6(★★★) 定义在\((0 ,+∞)\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(x)>0\),\(f'(x)\)为\(f(x)\)的导函数,且\(2f(x)<xf'(x)<3f(x)\)对\(x∈(0 ,+∞)\)恒成立,则\(\dfrac{f(2)}{f(3)}\)的取值范围是( )
A.\(\left(\dfrac{8}{27}, \dfrac{4}{9}\right)\) \(\qquad \qquad\)B.\(\left(-∞ ,\dfrac{8}{27}\right)\) \(\qquad \qquad\) C.\(\left(\dfrac{4}{9},1\right)\) \(\qquad \qquad\) D.\(\left(\dfrac{4}{9},+∞\right)\)
7(★★★) 求函数\(f(x)=e^{x-1}-x \ln x\)的单调性.
答案
- \((-2 ,-1)∪(-1 ,1)\)
- \(D\)
- \(B\)
- \(B\)
- \(B\)
- \(A\)
- 函数\(f(x)\)的单调递增区间为\((0 ,+∞)\),无单调递减区间.
【题型二】 含参函数的单调性
【典题1】 讨论\(f(x)=-\ln x+a x+\dfrac{a-1}{x}-1\)的单调性.
【解析】\(y=f(x)\)的定义域为\((0 ,+∞)\),
\({\color{Red}{(注意定义域) }}\)
\(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x}+a-\dfrac{a-1}{x^{2}}\)\(=\dfrac{a x^{2}-x+1-a}{x^{2}}\)\(=\dfrac{(x-1)(a x+a-1)}{x^{2}}\),
\({\color{Red}{(通分,因式分解是常规操作) }}\)
令\(g(x)=(x-1)(ax+a-1)\) ,\(x∈(0 ,+∞)\);
\({\color{Red} {(g(x) 与f^{\prime}(x)的符号相同)}}\)
\({\color{Red}{(第一步:讨论函数类型) }}\)
(1)当\(a=0\)时,\(g(x)=-x+1\)
当\(x∈(0 ,1)\)时,\(g(x)>0\),即\(f^{\prime} (x)>0\),函数\(f(x)\)单调递增;
当\(x∈(1 ,+∞)\)时,\(g(x)<0\),即\(f^{\prime} (x)<0\),函数\(f(x)\)单调递减;
(2)当\(a≠0\)时,令\(g(x)=0\),解得\(x_1=1\) ,\(x_2=\dfrac{1}{a}-1\);
\({\color{Red}{(第二步:讨论二次函数开口方向) }}\)
①当\(a<0\)时,抛物线\(g(x)=(x-1)(ax+a-1)\)开口向下,
由于\(\dfrac{1}{a}-1<0\)
\({\color{Red}{ (留意导函数零点和定义域端点0的大小)}}\)
\(x∈(0 ,1)\)时,\(g(x)>0\),即\(f^{\prime} (x)>0\),函数\(f(x)\)单调递增;
\(x∈(1 ,+∞)\)时,\(g(x)<0\),即\(f^{\prime} (x)<0\),函数\(f(x)\)单调递减.
②当\(a>0\)时,抛物线\(g(x)=(x-1)(ax+a-1)\)开口向上,
\({\color{Red}{(第三步:比较导函数零点大小) }}\)
(i)当\(a=\dfrac{1}{2}\)时,\(x_1=x_2\),\(g(x)>0\)恒成立,
\({\color{Red}{(不要忘了两根相等的情况) }}\)
此时\(f^{\prime} (x)≥0\),函数\(f(x)\)在\((0 ,+∞)\)上单调递增;
(ii)当\(0<a<\dfrac{1}{2}\)时,\(0<1<\dfrac{1}{a}-1\),\(0<x_1< x_2\) ,
\(x∈(0 ,1)\)时,\(g(x)>0\),即\(f^{\prime}(x)>0\),函数\(f(x)\)单调递增;
\(x∈(1 ,\dfrac{1}{a}-1)\)时,\(g(x)<0\),即\(f^{\prime}(x)<0\),函数\(f(x)\)单调递减;
\(x∈(\dfrac{1}{a}-1 ,+∞)\)时,\(g(x)>0\),即\(f^{\prime}(x)>0\),函数\(f(x)\)单调递增;
(ⅲ)当\(\dfrac{1}{2}<a<1\)时,\(0<\dfrac{1}{a}-1<1\) ,\(0<x_2< x_1\)
\(x∈(0 ,\dfrac{1}{a}-1)\)时,\(g(x)>0\) ,即\(f^{\prime}(x)>0\),函数\(f(x)\)单调递增;
\(x∈(\dfrac{1}{a}-1,1)\)时,\(g(x)<0\),即\(f^{\prime}(x)<0\),函数\(f(x)\)单调递减;
\(x∈(1 ,+∞)\)时,\(g(x)>0\),即\(f^{\prime}(x)>0\),函数\(f(x)\)单调递增;
(ⅳ)当\(a≥1\)时,\(\dfrac{1}{a}-1≤0\),\(x_2<0<x_1\)
\({\color{Red}{ (留意导函数零点和定义域端点0的大小) }}\)
\(x∈(0 ,1)\)时,\(g(x)<0\),即\(f^{\prime} (x)<0\),函数\(f(x)\)单调递减;
\(x∈(1 ,+∞)\)时,\(g(x)>0\),即\(f^{\prime}(x)>0\),函数\(f(x)\)单调递增;
综上所述
当\(a≤0\)时,函数\(f(x)\)在\((0 ,1)\)上单调递增 , 在\((1 ,+∞)\)上单调递减;
当\(a=\dfrac{1}{2}\)时,函数\(f(x)\)在\((0 ,+∞)\)上单调递增;
当\(0<a<\dfrac{1}{2}\)时,函数\(f(x)\)在\((0 ,1)\) ,\((\dfrac{1}{a}-1 ,+∞)\)上单调递增 , 在\((1 ,\dfrac{1}{a}-1)\)上单调递减;
当\(\dfrac{1}{2}<a<1\)时,函数\(f(x)\)在\((0 ,\dfrac{1}{a}-1)\) ,\((1 ,+∞)\)单调递增,在\((\dfrac{1}{a}-1 ,1)\)单调递减;
当\(a≥1\)时,函数\(f(x)\)在\((0 ,1)\)单调递减 , 在\((1 ,+∞)\)单调递增.
【点拨】
①原函数的单调性等价于导函数的正负性,我们注重导函数是否存在零点,零点的个数,零点的大小等;
②求导后,通分、因式分解是个好习惯,
\(f^{\prime}(x)=-\dfrac{1}{x}+a-\dfrac{a-1}{x^{2}}\)\(=\dfrac{a x^{2}-x+1-a}{x^{2}}\)\(=\dfrac{(x-1)(a x+a-1)}{x^{2}}\) ;能因式分解说明导函数存在零点,本题就不需要考虑讨论判别式\(∆\).
③ 本题分类讨论思路
④ 在第二,第三步讨论中,要注意导函数零点和定义域端点\(0\)的大小.
⑤ 在讨论繁琐时,建议以思维导图形式,画“导函数图像”梳理思路,并画上对应每个分类讨论步骤中导函数与原函数的草图.
【典题2】 已知函数\(f(x)=e^x-2ae^{-x}-(2+a)x\)的单调性.
【解析】\(f^{\prime}(x)=e^{x}+2 a e^{-x}-(2+a)\)\(=\dfrac{\left(e^{x}-2\right)\left(e^{x}-a\right)}{e^{x}}\),
(1)若\(a≤0\)时,\(e^x-a>0\),
由\(e^x-2=0\),解得\(x=ln2\),
当\(x<ln2\)时,\(f^{\prime}(x)<0\);当\(x>ln2\),\(f^{\prime} (x)>0\),
故\(f(x)\)在\((-∞ ,ln2)\)递减,在\((ln2 ,+∞)\)递增;
(2)若\(a>0\)时,
由\(f^{\prime}(x)=0\),解得\(x_1=ln2\)或\(x_2=lna\),
①当\(0<a<2\)时,\(x_2< x_1\),
当\(lna<x<ln2\)时,\(f^{\prime} (x)<0\);
当\(x>ln2\)或\(x<lna\)时,\(f^{\prime} (x)>0\),
故\(f(x)\)在\((lna ,ln2)\)递减,在\((-∞ ,lna)\),\((ln2 ,+∞)\)递增,
②当\(a=2\)时,\(x_2= x_1\),\(f^{\prime} (x)≥0\)在\(R\)上恒成立,
故\(f(x)\)在\(R\)上单调递增,
③当\(a>2\)时,\(x_1< x_2\),
当\(ln2<x<lna\)时,\(f^{\prime}(x)<0\);
当\(x>lna\)或\(x<ln2\)时,\(f^{\prime} (x)>0\),
故\(f(x)\)在\((ln2 ,lna)\)递减,在\((-∞ ,ln2)\),\((lna ,+∞)\)上单调递增;
综上:当\(a≤0\),\(f(x)\)在\((-∞ ,ln2)\)递减,在\((ln2 ,+∞)\)递增,
当\(0<a<2\)时,\(f(x)\)在\((lna ,ln2)\)递减,在\((-∞ ,lna)\) ,\((ln2 ,+∞)\)递增,
当\(a=2\)时,\(f(x)\)在\(R\)上单调递增,
当\(a>2\)时,\(f(x)\)在\((ln2 ,lna)\)递减,在\((-∞ ,ln2)\) ,\((lna ,+∞)\)上单调递增.
【点拨】
① 令\(g(x)=(e^x-2)(e^x-a)\),\(∵e^x>0\),
\(∴ y=f^{\prime}(x)\)与\(y=g(x)\)的正负性一致,若令\(g(x)=0\),解得\(x=ln2\)或\(x=lna\)是错的,因为当\(a>0\)时\(lna\)才有意义,故要按照\(a>0\)和\(a≤0\)分类讨论;
② 若\(a>0\)时,零点有两个\(x_1=ln2\)或\(x_2=lna\),讨论\(g(x)=(e^x-2)(e^x-a)\)的正负性,
由于\(y=e^x-2\)与\(y=x-ln2\)的正负性一样,
所以\(g(x)=(e^x-2)(e^x-a)\)与\(y=(x-ln2)(x-lna)\)的正负性一样.
③ 分类讨论思维导图如下
\({\color{Red}{ 分类讨论有两点较难的地方}}\)
(1) 分类的“不漏不重”:把每段分类看成一个集合,每两个集合间交集为空集即为“不重”,所有集合的并集是全集即为“不漏”;
(2) 分类的标准:在利用导数求含参函数的单调性,归纳成以下方法,仅供参考理解,
- 导函数是否存在零点;
- 若有零点,有几个?有两个以上,再比较零点大小;
- 零点与定义域端点的大小比较.
整个分类讨论的思考过程,结合导函数与原函数的图像进行分析能让思路更清晰.
【典题3】 设函数\(f(x)=e^x-\dfrac{1}{2} x^2-ax\)的单调性.
【解析】\(f^{\prime}(x)=e^x-x-a\),
令函数\(g(x)=f^{\prime}(x)\),则\(g^{\prime}(x)=e^x-1\),
令\(g^{\prime}(x)>0\),解得:\(x>0\),
令\(g^{\prime} (x)<0\),解得:\(x<0\),
故\(g(x)\)在\((-∞ ,0)\)递减,在\((0 ,+∞)\)递增,
故\(g(x)_{min}=g(0)=1-a\),
当\(a≤1\)时,\(g(x)_{min}=1-a≥0\),则\(f(x)\)在\(R\)是单调递增,
当\(a>1\)时,\(g(x)_{min}=1-a<0\),
易知当\(x→-∞\)时,\(g(x)→+∞\),当\(x→+∞\)时,\(g(x)→+∞\),
由零点存在性定理知:存在\(x_1 ,x_2\),使得\(g(x_1)=g(x_2)=0\),
不妨设\(x_1<x_2\),
当\(x∈(-∞ ,x_1)\)时,\(g(x)>0\),即\(f^{\prime}(x)>0\),
当\(x∈(x_1 ,x_2)\)时,\(g(x)<0\),即\(f^{\prime}(x)<0\),
当\(x∈(x_2 ,+∞)\)时,\(g(x)>0\),即\(f^{\prime}(x)>0\),
故函数\(f(x)\)在\((-∞ ,x_1)\)递增,在\((x_1 ,x_2)\)递减,在\((x_2 ,+∞)\)递增.
综上,当\(a≤1\)时,\(f(x)\)在R是单调递增;当\(a>1\)时,\(f(x)\)先递增再递减再递增.
巩固练习
1(★★) 求函数\(f(x)=alnx-ax-3\)的单调区间.
2(★★) 求函数\(f(x)=ax^2+(2-a)lnx+2\)的单调性.
3(★★★) 求函数\(f(x)=-\dfrac{1}{2} a(x-1)^2+(x-2) e^x (a>0)\)的单调性.
答案
- 若\(a=0\),原函数不具有单调性;
若\(a>0\),函数\(f(x)\)在\((0 ,1)\)递增,在\([1 ,+∞)\)递减;
若\(a<0\),函数\(f(x)\)在\((0 ,1)\)递减,在\([1 ,+∞)\) 递增. - \(a<0\)时,函数\(f(x)\)在\(\left(0, \sqrt{\dfrac{a-2}{2 a}}\right)\)上单调递增,在\(( \sqrt{\dfrac{a-2}{2 a}},+∞)\)单调递减.
\(0≤a≤2\)时,函数\(f(x)\)在\((0 ,+∞)\)上单调递增,
\(a>2\)时,函数\(f(x)\)在\((0,\sqrt{\dfrac{a-2}{2 a}})\)上单调递减,在\((\sqrt{\dfrac{a-2}{2 a}},+∞)\)单调递增. - (i)当\(0<a<e\)时,\(f(x)\)在\((1 ,+∞)\),\((-∞ ,lna)\)上递增,\(f(x)\)在\((lna ,1)\)上递减;
(ii)当\(a=e\)时, \(f(x)\)在\(R\)上单调递增;
(iii)当\(a>e\)时,\(f(x)\)在\((lna ,+∞)\) ,\((-∞ ,1)\)上递增,\(f(x)\)在\((1 ,lna)\)上递减.
【题型三】函数单调性的应用
【典题1】 已知\(a<5\)且\(ae^5=5e^a\),\(b<4\)且\(be^4=4e^b\),\(c<3\)且\(ce^3=3e^c\),则( )
A.\(c<b<a\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(b<c<a\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(a<c<b\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D. \(a<b<c\)
【解析】根据题意,设\(f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}\), (同构)
\(a<5\)且\(ae^5=5e^a\),变形可得\(\dfrac{e^{a}}{a}=\dfrac{e^{5}}{5}\),即\(f(a)=f(5)\),
\(b<4\)且\(be^4=4e^b\),变形可得\(\dfrac{e^{b}}{b}=\dfrac{e^{4}}{4}\),即\(f(b)=f(4)\),
\(c<3\)且\(ce^3=3e^c\),变形可得\(\dfrac{e^{c}}{c}=\dfrac{e^{3}}{3}\),即\(f(c)=f(3)\),
\(f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}\),其导数\(f^{\prime}(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}\),
在区间\((0 ,1)\)上,\(f'(x)<0\),则\(f(x)\)为减函数,
在区间\((1 ,+∞)\)上,\(f'(x)>0\),则\(f(x)\)为增函数,
其草图如图,则有\(0<a<b<c<1\),
故选:\(D\).
【点拨】
① 本题通过构造函数再利用单调性判断大小. 如何构造函数呢?
通过变形寻找“相似结构”为关键,\(ae^5=5e^a\)通过移项变形为\(\dfrac{e^{a}}{a}=\dfrac{e^{5}}{5}\),此时等式两边式子的结构想到函数\(f(x)=\dfrac{e^{x}}{x}\).
下面再举些例子:
(1) \(x-e^y>y-e^x\)移项易得函数\(f(x)=x+e^x\);
(2)\(\ln \dfrac{x_{1}}{x_{2}}<e^{x_{1}}-e^{x_{2}}\)变形可得函数\(f(x)=e^x-lnx\);
(3)\(m^{n}>n^{m}\)两边取对数得\(n\cdot \ln m>m\cdot \ln n\)易得函数\(f(x)=\dfrac{lnx}{x}\).
(4)\(\dfrac{x_{1}}{x_{2}}<\sqrt{e^{x_{1}-x_{2}}}\)两边取对数得\(\ln \dfrac{x_{1}}{x_{2}}<\dfrac{1}{2}\left(x_{1}-x_{2}\right)\)可得函数\(f(x)=lnx-\dfrac{1}{2} x\),或者两边平方得\(\dfrac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}}<\dfrac{e^{x_{1}}}{e^{x_{2}}}\)可得函数\(f(x)=x^2 e^x\).
(5)\(alna>be^b\)通过变形\(lna\cdot e^{lna}>be^b\)可得函数 \(f(x)=xe^x\), 则有\(f(lna)>f(b)\).
② \(f(x)=\dfrac{e^x}{x}\)是常见的超越函数,其图象如下图.
【典题2】 已知\(0<α<β<\dfrac{π}{2}\),则下列不等式中恒成立的是( )
A.\(α^α<β^β\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(α^α≤β^β\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(α^β>β^α\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(α^β<β^α\)
【解析】构造函数\(f(x)=\dfrac{lnx}{x}\),则\(f'(x)=\dfrac{1-lnx}{x}\),
令\(f'(x)>0\),解得\(0<x<e\),令\(f'(x)<0\),解得\(x>e\),
\(∴\)函数\(f(x)\)在\((0,e)\)上单调递增,在\((e,+∞)\)上单调递减,
\(∴\)函数\(f(x)\)在\((0 ,\dfrac{π}{2})\)上单调递增,
\(∴f(α)<f(β)\),即\(\dfrac{\ln \alpha}{\alpha}<\dfrac{\ln \beta}{\beta}\),
\(∴βlnα<αlnβ\),即\(lnα^β<lnβ^α⇒α^β<β^α\),
故选:\(D\).
【点拨】
① 遇到“指数型函数”可两边取对数找到需要构造的函数.
② 对于选项\(α^α<β^β\)左右式子“结构相似”可构造函数\(g(x)=x^x\) , 但这函数复杂故放弃,两边取对数可得\(αlnα<βlnβ\), 则可构造函数\(f(x)=xlnx\), 它在\((0 ,\dfrac{1}{e})\)上递减,\((\dfrac{1}{e} ,+∞)\)上递增 , 故判断不了\(α、β\)大小.
③\(f(x)=\dfrac{lnx}{x}\)是常见的超越函数,其图象如下图.
巩固练习
1(★★) 若\(a=\dfrac{\ln 4}{4}\) ,\(, b=\dfrac{\ln 5.3}{5.3}\),\(c=\dfrac{\ln 6}{6}\),则\(a、b、c\)的大小是( )
A.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(c<b<a\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(c<a<b\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(b<a<c\)
2(★★) 若\(α ,β∈[-\dfrac{π}{2},\dfrac{π}{2}]\),且\(α\sinα-β\sinβ>\cosα-\cosβ\),则下列结论中必定成立的是( )
A.\(α>β\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(α>-β\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(α<β\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(|α|>|β|\)
3(★★) 若\(\ln x-\ln y<\dfrac{1}{\ln x}-\dfrac{1}{\ln y}(x>1, y>1)\),则( )
A.\(e^{y-x}>1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(e^{y-x}<1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(e^{y-x-1}>1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(e^{y-x-1}<1\)
4(★★★) 已知\(α ,β∈(0 ,π)\),\(α≠β\),若\(e^α-e^β=\cosα-2\cosβ\),则下列结论一定成立的是( )
A.\(\sinα<\sinβ\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.\(\cosα<\cosβ\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(\sinα>\sinβ\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\cosα>\cosβ\)
参考答案
- \(B\)
- \(D\)
- \(A\)
- \(A\)