5.2 导数的几何意义

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模块导图

知识剖析

导数的几何意义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处的导数的几何意义是曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0 ,f(x_0))$ 处的切线的斜率，即：曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0 ,f(x_0))$ 处的切线 $l$ 的斜率 $k=f'(x_0)$，
切线 $l$ 的方程为 $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$．

 

"过点$x=x_0$”与"在点$x=x_0$处"的区别

曲线 $C：y=f(x)$ 在点 $P(x_0 ,y_0)$ 处的切线指的是 $P$ 为切点的切线，如图一；
过点 $P(x_0 ,y_0)$ 的切线是指切线过点 $P$，点 $P$ 是否切点均可，切线可多条，如图二.

$\qquad \qquad$  

经典例题

【题型一】在某点处的切线

【典题 1】 函数 $y=f(x)$ 的图象如图所示，$f'(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，下列数值排序正确的是 (　　)

A．$f^ {\prime}(2)<f^{\prime} (6)<f(6)-f(2)<0$ $\qquad \qquad$ B．$f^{\prime}(6)<f^{\prime}(2)<f(6)-f(2)<0$
C．$f(6)-f(2)<f^{\prime} (6)<f^{\prime}(2)<0$ $\qquad \qquad$ D．$f^{\prime} (2)<f(6)-f(2)<f^{\prime}(6)<0$
【解析】根据题意，设 $M(2 ,f(2))$、$N(6,f(6))$ 为函数的上的点，
则 $f'(2)$ 为函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率 $k_1$，
$f^{\prime}(6)$ 为函数 $f(x)$ 在 $x=6$ 处切线的斜率 $k_2$，
$f(6)-f(2)=\dfrac{f(6)-f(2)}{3-2}$ 为直线 $MN$ 的斜率 $k_3$，
结合图象分析可得 $k_1<k_3<k_2<0$，
即 $f^{\prime} (2)<f(6)-f(2)<f^{\prime}(6)<0$；
故选：$D$．

【点拨】$k=tanα$，直线越靠近 $y$ 轴，斜率 $|k|$ 越大.
 

【典题 2】 若直线 $y=x$ 是曲线 $f(x)=x^3-3x^2+ax$ 的切线，则 $a=$$\underline{\quad \quad}$．
【解析】依题意得 $f^{\prime}(x)=3x^2-6x+a$
设切点 $P(x_0 ,y_0)$
则由导数的几何意义可得 $f^{\prime}(x_0 )=1⇒3x_0^2-6x_0+a=1$ ①
$∵$ 点 $P$ 在切线 $y=x$ 上 $∴y_0=x_0$ ②
$∵$ 点 $P$ 在曲线上 $∴y_0=x_0^3－3x_0^2+ax_0$ ③
由①，②, ③联立得 $\left\{\begin{array}{l} 3 x_{0}^{2}-6 x_{0}+a=1 \\ y_{0}=x_{0} \\ y_{0}=x_{0}^{3}-3 x_{0}^{2}+a x_{0} \end{array}\right.$，
解得 $a=1$ 或 $\dfrac{13}{4}$
$∴a$ 的值为 $1$ 或 $\dfrac{13}{4}$．
【点拨】由于本题不知道切点，由待定系数法的想法，设切点 $P(x_0 ,y_0)$，它即在切线上又在曲线上，又由导数的几何意义得到了关于 $x_0 ,y_0 ,a$ 的方程组！
 

【典题 3】 已知 $M(1 ,0)$，$N$ 是曲线 $y=e^x$ 上一点，则 $|MN|$ 的最小值为 $\underline{\quad \quad}$ .
【解析】$y=e^x$ 的导数为 $y'=e^x$．
设 $N(m ,e^m)$，可得过 $N$ 的切线的斜率为 $e^m$，
当 $MN$ 垂直于切线时，$|MN|$ 取得最小值，
可得 $\dfrac{e^{m}}{m-1} \cdot e^{m}=-1$，即 $e^{2m}+m-1=0$，
因为 $f(x)=e^{2x}+x-1$ 单调递增，且 $f(0)=0$，
所以 $m=0$，即 $N(0 ,1)$，
所以 $|MN|$ 的最小值为 $\sqrt2$．

【点拨】当 $MN$ 垂直切线时，$|MN|$ 取得最小值；如图，$MN≤MA≤MN_1$.

 

巩固练习

1(★) 已知函数 $f(x)$ 在 $R$ 上可导，其部分图象如图所示，设 $k=\dfrac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$，则下列不等式正确的是 (　　)

A．$k<f'(x_1)<f'(x_2)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$B．$f'(x_1)<k<f'(x_2)$ $\qquad \qquad$
C．$f'(x_2)<f'(x_1)<k$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$D．$f'(x_1)<f'(x_2)<k$
 

2(★) 曲线 $y=x^3+lnx+1$ 在点 $(1 ,2)$ 处的切线方程为 $\underline{\quad \quad}$．
 

3(★★) 曲线 $y=lnx-\dfrac{1}{x}$ 在 $x=1$ 处的切线的倾斜角为 $α$，则 $sin2α=$$\underline{\quad \quad}$．
 

4(★★★) 已知函数 $y=e^x$ 的图象在点 $(a_k ,e^{a_k})$ 处的切线与 $x$ 轴的交点的横坐标为 $a_{k+1}$，其中 $k∈N^*$，$a_1=0$，则 $a_1+a_3+a_5=$$\underline{\quad \quad}$．
 

5(★★★) 若函数 $f(x)=ax+\sinx$ 的图象上存在互相垂直的切线，则实数 $a$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. $B$
2. $4x－y－2=0$
3. $\dfrac{4}{5}$
4. $-6$
5. $0$
    

【题型二】过某点处的切线

【典题 1】 已知曲线 $f(x)=2x^3+4$，曲线过点 $P(-1 ,2)$ 的切线方程.
【解析】$∵f(x)=2x^3+4$ $∴f^{\prime}(x)=6x^2$
设切点为 $(x_0 ,2x_0^3+4)$，则切线斜率 $k=f^{\prime}(x_0 )=6x_0^2$，
切线方程为 $y-(2x_0^3+4)=6x_0^2 (x-x_0 )$$⟹y=6x_0^2 x-4x_0^3+4$
$∵$ 切线过点 $P(－1 ,2)$
$∴-6x_0^2-4x_0^3+4=2$$⇒2x_0^3+3x_0^2-1=0$
解得 $x_0=-1$ 或 $\dfrac{1}{2}$，
则切线方程为 $y=6x+8$ 或 $y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{7}{2}$.
【点拨】
① 本题点 $P(-1 ,2)$ 不一定是切点，故可先设切点 $(x_0 ,2x_0^3+4)$，利用 “在某点处的切线” 方法求出含参数 $x_0$ 的切线方程，再把点 $P$ 代入求出 $x_0$，进而容易得到切线方程；
② 如何求解方程 $2x_0^3+3x_0^2-1=0$？
${\color {Red}{ 方法一 \quad 拆项分组因式分解}}$
$2x_0^3+3x_0^2-1=0$
$⇒3x_0^3+3x_0^2-(1+x_0^3 )=0$$⇒3x_0^2 (x_0+1)-(x_0+1)(x_0^2-x_0+1)=0$$⇒ (x_0+1)(2x_0^2-x_0-1)=0$
$⇒ (x_0+1)^2 (2x_0-1)=0$
$⇒x_0=-1$ 或 $x_0=\dfrac{1}{2}$
${\color {Red}{ 方法二 \quad 待定系数法}}$
先由方程特点猜出有一个解是 $x_0=-1$, 则可知 $x_0+1$ 是 $2x_0^3+3x_0^2-1$ 的因式，
设 $2x_0^3+3x_0^2-1=(x_0+1)(2x_0+mx_0-1)$，把右式展开易得 $m=-1$，
则 $2x_0^3+3x_0^2-1=(x_0+1)(2x_0^2-x_0-1)$$=(x_0+1)^2 (2x_0-1)$
$∴x_0=-1$ 或 $x_0=\dfrac{1}{2}$
 

【典题 2】 若过点 $P(－1 ,m)$ 可以作三条直线与曲线 $C:y=xe^x$ 相切，则 $m$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$.
【解析】$y^{\prime}=(x+1) e^x$
设切点为 $(x_0 ,x_0 e^{x_0})$，
过点 $P$ 的切线方程为 $y=\left(x_{0}+1\right) e^{x_{0}}\left(x-x_{0}\right)+x_{0} e^{x_{0}}$，
代入点 $P$ 坐标化简为 $m=\left(-x_{0}^{2}-x_{0}-1\right) e^{x_{0}}$，
即这个方程有三个不等根即可，
令 $f(x)=(-x^2-x-1) e^x$，
求导得到 $f^{\prime}(x)=(-x-1)(x+2) e^x$，
函数在 $(-∞ ,-2)$ 上单调递减，在 $(-2 ,-1)$ 上单调递增，在 $(-1 ,+∞)$ 上单调递减，
故得到 $f(-2)<m<f(-1)$$\Rightarrow-\dfrac{3}{e^{2}}<m<-\dfrac{1}{e}$
答案为 $(-\dfrac{3}{e^{2}},-\dfrac{1}{e})$.
【点拨】过某点作曲线的切线可以有多条，先求在曲线上一点处的切线方程，把问题转化为方程解的个数.
 

巩固练习

1(★★) 已知曲线 $y=lnx$ 的切线过原点，则此切线的斜率为 $\underline{\quad \quad}$.
 

2(★★) 过点 $A(2 ,1)$ 做曲线 $f(x)=x^3－3x$ 的切线，最多有 $\underline{\quad \quad}$ 条.
 

3(★★) 已知曲线 $f(x)=4x^2$ 的一条切线经过点 $(0 ,－1)$，求该切线方程．
 
 

4(★★) 已知函数 $f(x)=x^3－4x^2+5x－4$，求经过点 $A(2 ,－2)$ 的曲线 $f(x)$ 的切线方程．
 
 

参考答案

1. $\dfrac{1}{e}$
2. $3$
3. $y=2x-1$ 或 $y=-2x-1$
4. $y+2=0$ 或 $x-y-4=0$
    

【题型三】两曲线的公切线

【典题 1】 若直线 $y=kx+b$ 是曲线 $y=e^{x-2}$ 的切线，也是曲线 $y=e^x-1$ 的切线，则 $b=$$\underline{\quad \quad}$．
【解析】设直线 $y=kx+b$ 与 $y=e^{x-2}$ 和 $y=e^x－1$ 的切点分别为 $(x_1 ,e^{x_1-2})$ 和 $(x_2 ,e^{x_2}-1)$，
则切线分别为 $y-e^{x_1-2}=e^{x_1-2} (x-x_1)$，$y-e^{x_2}+1=e^{x_2} (x-x_2)$
化简得：$y=e^{x_1-2} x+e^{x_1-2}-x_1 e^{x_1-2}$，$y=e^{x_2} x+e^{x_2}-1-x_2 e^{x_2}$
依题意有：$\left\{\begin{array}{l} e^{x_{1}-2}=e^{x_{2}} & (1)\\ e^{x_{1}-2}-x_{1} e^{x_{1}-2}=e^{x_{2}}-1-x_{2} e^{x_{2}} & (2) \end{array}\right.$，
由方程①得 $x_1=2+x_2$，代入方程②解得 $x_2=－ln2$，
则 $b=e^{x_{2}}-1-x_{2} e^{x_{2}}=\dfrac{1}{2} \ln 2-\dfrac{1}{2}$．
故答案为：$\dfrac{1}{2} \ln 2-\dfrac{1}{2}$．
【点拨】先分别求出两条切线，由于是公切线，所以它们是同一直线，两切线的斜率和 $y$ 轴上的截距相等.
 

【典题 2】 若曲线 $C_1:y=x^2$ 与曲线 $C_2:y=ae^x (a≠0)$ 存在公共切线，则 $a$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$．
【解析】$y=x^2$ 在点 $(m ,m^2)$ 的切线斜率为 $2m$，
切线方程为 $y=2m(x-m)+m^2=2mx-m^2$;
$y=ae^x$ 在点 $(n ,ae^n)$ 的切线斜率为 $ae^n$，
切线方程为 $y=ae^n x+a(1-n)e^n$;
如果两个曲线存在公共切线，那么两切线相同，
则有 $\left\{\begin{array}{l} 2 m=a e^{n} & (1) \\ -m^{2}=a(1-n) e^{n}&(2) \end{array}\right.$，
$∵a≠0$，$∴m≠0$，
由②÷①得 $-m=2(1-n)$，即 $m=2n-2$，
代入 $2m=ae^n$ 得 $4n－4=ae^n (*)$，
存在公共切线，等价于方程 $(*)$ 有解，
由 $y=4x－4$ ,$y=ae^x$ 的图象有交点即可．
设它们相切，切点为 $P(s ,t)$，
则 $ae^s=4$，且 $t=4s－4=ae^s$，
解得 $s=2,t=4$，$a=\dfrac{4}{e^2}$ ，
由图易得要满足题意 $a≤\dfrac{4}{e^2}$，
又 $a≠0$，
故答案为 $(-∞ ,0)∪(0 ,\dfrac{4}{e^2}]$．
【点拨】得到”$4n－4=ae^n$ 有解 "，可用分离参数法转化为 $a=\dfrac{4 n-4}{e^{n}}$ 有解，
即 $y=a$ 与 $f(x)=\dfrac{4 x-4}{e^{x}}$ 有交点，从而转化为求函数的 $f(x)=\dfrac{4 x-4}{e^{x}}$ 的值域；
$\because f^{\prime}(x)=\dfrac{8 x-4}{e^{x}}$
$∴f(x)$ 在 $(-∞ ,2)$ 递增，在 $(2 ,+∞)$ 递减，$∴f(x)≤f(2)=\dfrac{4}{e^2}$
$∴a≤\dfrac{4}{e^2}$ 且 $a≠0$.
 

巩固练习

1(★★) 已知曲线 $f(x)=xlnx$ 在点 $(e ,f(e))$ 处的切线与曲线 $y=x^2+a$ 相切，则 $a=$$\underline{\quad \quad}$．
 

2(★★) 若存在过点 $(1 ,0)$ 的直线与曲线 $y=x^3$ 和 $y=ax^2+\dfrac{15}{4} x－9$ 都相切，则实数 $a=$$\underline{\quad \quad}$．
 

3(★★★) 若二次函数 $f(x)=x^2+1$ 的图象与曲线 $C:g(x)=ae^x+1(a>0)$ 存在公共切线，则实数 $a$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$．
 

4(★★★) 若曲线 $y=x^2$ 与 $y=a\ln x(a≠0)$ 存在公共切线，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

参考答案

1. $1－e$
2. $a=-\dfrac{25}{64}$ 或 $－1$
3. $(0 ,\dfrac{4}{e^2} ]$
4. $(－∞ ,0)∪(0 ,2e]$