2.2 基本不等式
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模块导图
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知识剖析
基本不等式
若\(a>0\),\(b>0\),则\(a+b \geq 2 \sqrt{a b}\)
(当且仅当\(a=b\)时,等号成立).
(1) \(\dfrac{a+b}{2}\)叫做正数\(a ,b\)的算术平均数,\(\sqrt{a b}\)叫做正数\(a ,b\)的几何平均数.
(2) 基本不等式的几何证明
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(3) 运用基本不等式求解最值时,牢记:一正,二定,三等.
一正指的是\(a>0\),\(b>0\);二定指的是\(ab\)是个定值,三等指的是不等式中取到等号.
基本不等式及其变形
(当且仅当\(a=b\)时等号成立)
(调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和,乘积,和,平方和)联系起来,我们要清楚它们在求最值中的作用.
①\(a+b \geq 2 \sqrt{a b}\),积定求和;
②\(a b \leq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}\),和定求积:
③\(a^{2}+b^{2} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}\)(联系了\(a+b\)与平方和\(a^2+b^2\))
④\(a b \leq \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}\)(联系了\(ab\)与平方和\(a^2+b^2\))
对勾函数
1 概念
形如\(y=x+\dfrac{a}{x}(a>0)\)的函数.
2 图像
![](https://img2023.cnblogs.com/blog/1943255/202305/1943255-20230516104354771-888020575.png )
3 性质
函数图像关于原点对称,
在第一象限中,当\(0<x<\sqrt{a}\)时,函数递减,当\(x>\sqrt{a}\)时,函数递增.
4 与基本不等式的关系
由图很明显得知当\(x>0\)时,\(x=\sqrt{a}\)时取到最小值\(y_{\min }=2 \sqrt{a}\),
其与基本不等式\(x+\dfrac{a}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{a}{x}}=2 \sqrt{a}\)(\(x=\sqrt{a}\)时取到最小值)是一致的.
经典例题
【题型一】对基本不等式“一正,二定,三等”的理解
情况1 一正:\(a>0 ,b>0\)
求函数\(y=x+\dfrac{1}{x}(x<0)\)的最值.
【误解】\(x+\dfrac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x}}=2\),故最小值是\(2\).
【误解分析】误解中套用基本不等式,\(a=x\),\(b=\dfrac{1}{x}\),当忽略了\(a>0,b>0\)的前提条件!
【正解】\(∵x<0\)\(\therefore-x>0,-\dfrac{1}{x}>0\),
\(\therefore-x+\left(-\dfrac{1}{x}\right) \geq 2 \sqrt{-x \cdot\left(-\dfrac{1}{x}\right)}=2\)(当\(x=-1\)取到等号)
\(\therefore x+\dfrac{1}{x}=-\left(-x-\dfrac{1}{x}\right) \leq-2\),
故函数\(y=x+\dfrac{1}{x}(x<0)\)的最大值为\(-2\),没有最小值.
情况2 二定:\(ab\)定值
求函数\(y=x+\dfrac{1}{x-1}(x>1)\)的最值.
【误解】\(y=x+\dfrac{1}{x-1} \geq 2 \sqrt{x \cdot \dfrac{1}{x-1}}\)
【误解分析】套用基本不等式\(a=x\),\(b=\dfrac{1}{x-1}\),满足\(a、b\)均为正数,但是最后求不出最值,因为\(a b=x \cdot \dfrac{1}{x-1}\)不是一定值.
【正解】\(y=x+\dfrac{1}{x-1}=x-1+\dfrac{1}{x-1}+1\geq 2 \sqrt{(x-1) \cdot \dfrac{1}{x-1}}+1=3\).(当\(x=2\)时取到等号)
\({\color{Red}{ (通过凑项得到定值"(x-1) \cdot \dfrac{1}{x-1}=1 ")}}\)
故函数\(y=x+\dfrac{1}{x-1}(x>1)\)的最小值为\(2\),没有最大值.
情况3 三等:取到等号
求函数\(y=\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}\)的最值.
【误解】\(y=\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}=\dfrac{x^{2}+4+1}{\sqrt{x^{2}+4}}\)\(=\sqrt{x^{2}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\)\(\geq 2 \sqrt{\sqrt{x^{2}+4} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}}=2\),即最小值为\(2\).
【误解分析】在误解中把\(a=\sqrt{x^{2}+4}\),\(b=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\),
满足了“一正二定”,但忽略了能否取到等号?若\(a=b\),则\(\sqrt{x^{2}+4}=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\)\(\Rightarrow \sqrt{x^{2}+4}=1 \Rightarrow x^{2}=-3\)显然方程无解,即不等式取不到等号,只能说明\(\sqrt{x^{2}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}>2\),那它有最小值么?
【正解】\(y=\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}=\dfrac{x^{2}+4+1}{\sqrt{x^{2}+4}}\)\(=\sqrt{x^{2}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+4}}\),
令\(t=\sqrt{x^{2}+4}\),则\(t≥2\),
因为对勾函数\(y=t+\dfrac{1}{t}\)在\([2 ,+∞)\)上单调递增,
当\(t=2\)时,取得最小值\(\dfrac{5}{2}\).
故\(y=\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}\)的最小值为\(\dfrac{5}{2}\),无最大值.
【题型二】基本不等式运用的常见方法
方法1 直接法
【典题1】设\(x>0\)、\(y>0\)、\(z>0\),则三个数\(\dfrac{1}{x}+4 y\),\(\dfrac{1}{y}+4 z\),\(\dfrac{1}{z}+4 x\)( )
A.都大于\(4\)
B.至少有一个大于\(4\)
C.至少有一个不小于\(4\)
D.至少有一个不大于\(4\)
【解析】假设三个数\(\dfrac{1}{x}+4 y<4\)且\(\dfrac{1}{y}+4 z<4\)且\(\dfrac{1}{z}+4 x<4\),
相加得\(\dfrac{1}{x}+4 x+\dfrac{1}{y}+4 y+\dfrac{1}{z}+4 z<12\),
由基本不等式得\(\dfrac{1}{x}+4 x \geq 4\),\(\dfrac{1}{y}+4 y \geq 4\),\(\dfrac{1}{z}+4 z \geq 4\);\({\color{Red}{(直接使用基本不等式) }}\)
相加得\(\dfrac{1}{x}+4 x+\dfrac{1}{y}+4 y+\dfrac{1}{z}+4 z \geq 12\),与假设矛盾;
所以假设不成立,三个数\(\dfrac{1}{x}+4 y\),\(\dfrac{1}{y}+4 z\),\(\dfrac{1}{z}+4 x\)至少有一个不小于\(4\).
故选:\(C\).
【点拨】本题利用了反证法求解,当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法:先假设,再推导得到矛盾从而证明假设不成立.
【典题2】设\(x>0,y>0\),下列不等式中等号能成立的有( )
①\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(y+\dfrac{1}{y}\right) \geq 4\);
②\((x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right) \geq 4\);
③\(\dfrac{x^{2}+9}{\sqrt{x^{2}+5}} \geq 4\);
④\(x+y+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4\);
A.\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(3\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(4\)个
【解析】\(\because x>0, \quad y>0\),\(\therefore x+\dfrac{1}{x} \geq 2, y+\dfrac{1}{y} \geq 2\),
当\(x=y=1\)时取到"=",所以①成立,
\((x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x} \geq 4\),
当\(x=y\)时取到"=",显然②成立,
\(\dfrac{x^{2}+5+4}{\sqrt{x^{2}+5}}=\sqrt{x^{2}+5}+\dfrac{4}{\sqrt{x^{2}+5}}\),
运用基本不等式不能取等号,此时\(x^2+5=4\),显然不成立,
\(x+y+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 2 \sqrt{x y}+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4\),
当\(x=y=1\)时成立,
故正确的有三个,故选:\(C\).
【点拨】
① 直接使用基本不等式求解最值时,一是要做到“一正二定三等”,二是要选择适当的式子充当"\(a ,b\)".
② 连等问题
本题中④\(x+y+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 2 \sqrt{x y}+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4\),当\(x=y=1\)时成立,
这里连续用到基本不等式,这要注意连等问题,即要确定两个等号是否能同时取到,
\(x+y \geq 2 \sqrt{x y}\)是当\(x=y\)时取到等号,\(2 \sqrt{x y}+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4\)是当\(xy=1\)时取到等号,
即要同时满足方程组\(\left\{\begin{array}{c}
x=y \\
x y=1
\end{array}\right.\)()才行,而方程组()有解\(x=y=1\),
即\(x+y+\dfrac{2}{\sqrt{x y}} \geq 4\)是成立的,当\(x=y=1\)取到等号.
再看一例子:设\(x,y∈R^*\),\(x+y=1\),求\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(y+\dfrac{1}{y}\right)\)的最小值.
误解1:\(\because x+\dfrac{1}{x} \geq 2\),\(y+\dfrac{1}{y} \geq 2\),\(\therefore\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(y+\dfrac{1}{y}\right) \geq 4\).
误解2:\(\because\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\left(y+\dfrac{1}{y}\right)=x y+\dfrac{1}{x y}+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)\(\geq 2 \sqrt{x y \cdot \dfrac{1}{x y}}+2 \sqrt{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{y}{x}}=4\).
以上两种解法问题在哪里呢?
【典题3】已知实数\(a,b\)满足\(ab>0\),则\(\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a}{a+2 b}\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a}{a+2 b}=\dfrac{a(a+2 b-a-b)}{(a+b)(a+2 b)}\)\(=\dfrac{a b}{a^{2}+3 a b+2 b^{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a}+3}\)
\({\color{Red}{ (分子、分母均为二次项同除ab)}}\)
\(∵ab>0\),\(\therefore \dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a} \geq 2 \sqrt{2}\),当且仅当\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{2 b}{a} \Rightarrow a=\sqrt{2} b\)时取等号,
\(\therefore \dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2 b}{a}+3} \leq \dfrac{1}{2 \sqrt{2}+3}=3-2 \sqrt{2}\),
故最大值为\(3-2 \sqrt{2}\).
【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”,比如\(x\)与\(\dfrac{1}{x}\),\(\dfrac{a}{b}\)与\(\dfrac{2 b}{a}\),\(2 \sqrt{x y}\)与\(\dfrac{2}{\sqrt{x y}}\)之类的.
方法2 凑项法
【典题1】若\(x>1\),则函数\(y=4 x+\dfrac{1}{x-1}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(y=4 x+\dfrac{1}{x-1}\)\(=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1}+4\)\(\geq 2 \sqrt{4}+4=8\),当且仅当\(x=\dfrac{3}{2}\)时取等号.
\(∴\)函数\(y=4 x+\dfrac{1}{x-1}\)的最小值为\(8\).
【点拨】把\(4x\)凑项成\(4(x-1)\),目的是使得\(4(x-1)\)与\(\dfrac{1}{x-1}\)的乘积为定值.
【典题2】若\(x>1\),则\(2 x+\dfrac{9}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
分析:\(2x\)、\(\dfrac{9}{x+1}\)、\(\dfrac{1}{x-1}\)三项都不能乘积为定值,而与\(\dfrac{9}{x+1}\)、\(\dfrac{1}{x-1}\)乘积为定值的分别是\(x+1\)与\(x-1\),而它们的和刚好是\(2x\),故想到令\(2x=(x+1)+(x-1)\),完成凑项.
【解析】
\(2 x+\dfrac{9}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}\)\(=x+1+\dfrac{9}{x+1}+x-1+\dfrac{1}{x-1}\)
\(\geq 2 \sqrt{(x+1) \cdot \dfrac{9}{(x+1)}}+2 \sqrt{(x-1) \cdot\left(\dfrac{1}{x-1}\right)}=8\)当且仅当\(x+1=3\),\(x-1=1\),即\(x=2\)时取等号,
\({\color{Red}{ (用了两次基本不等式,要注意是否能同时取到等号) }}\)
故\(2 x+\dfrac{9}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}\)的最小值是\(8\).
【典题3】设\(a>b>0\),则\(a b+\dfrac{4}{b^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)
【解析】\(∵a>b>0\),\(∴a-b>0\);
\(\therefore a b+\dfrac{4}{b^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}\)
\(=a b-b^{2}+\dfrac{1}{b(a-b)}+b^{2}+\dfrac{4}{b^{2}}\)
\({\color{Red}{ (这里巧妙地"-b^2+b^2 "完成凑项) }}\)
\(=\left[b(a-b)+\dfrac{1}{b(a-b)}\right]+\left[b^{2}+\dfrac{4}{b^{2}}\right]\)
\(\geq 2 \sqrt{b(a-b) \times \dfrac{1}{b(a-b)}}+2 \sqrt{b^{2} \times \dfrac{4}{b^{2}}}=2+4=6\).
当且即当\(b(a-b)=\dfrac{1}{b(a-b)}\)且\(b^{2}=\dfrac{4}{b^{2}}\),即\(a=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\),\(b=\sqrt{2}\)时取等号,\(\therefore a b+\dfrac{4}{b^{2}}+\dfrac{1}{b(a-b)}\)的最小值为\(6\).
方法3 凑系数
【典题1】若\(0<a<\dfrac{1}{2}\),则\(a(1-2a)\)的最大值是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(∵0<a<\dfrac{1}{2}\),\(∴a>0\)且\(1-2a>0\),
则\(a(1-2 a)=\dfrac{2 a(1-2 a)}{2}\)\(\leq \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2 a+1-2 a}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{8}\),
当且仅当\(2a=1-2a\),即\(a=\dfrac{1}{4}\)时等号成立,
即\(a(1-2a)\)的最大值为\(\dfrac{1}{8}\).
【点拨】基本不等式的变形\(a b \leq\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2}\),和定求积(若\(a+b\)为定值,可求\(ab\)的最值).
本题中\(a+(1-2a)\)不是定值,故通过凑系数,使得\(2a+(1-2a)=1\)为定值从而求出最值.
本题仅是二次函数最值问题,这里重在体会下“和定求积”.
【典题2】已知\(a ,b\)为正数,\(4a^2+b^2=7\),则\(a \sqrt{1+b^{2}}\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】因为\(4a^2+b^2=7\),
则\(a \sqrt{1+b^{2}}=\dfrac{1}{2}(2 a) \sqrt{1+b^{2}}\)\(\leq \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(2 a)^{2}+\left(\sqrt{1+b^{2}}\right)^{2}}{2}\)\(=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4 a^{2}+1+b^{2}}{2}=2\),
\({\color{Red}{ (这里用到了不等式ab \leq \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2},遇到二次根式可利用平方去掉根号)}}\)
当且仅当\(4 a^{2}=1+b^{2}\)时,取得最大值.
【点拨】
① 不等式\(ab \leq \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}\)把\(ab\),\(a^2+b^2\)两者联系在一起,知和\(a^2+b^2\)为定值,可求积\(ab\)的最值.
② 平时做题要多注意常见二元关系:倒数和、积、和、平方和,能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.
\(\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}\)(当且仅当\(a=b\)时等号成立)
方法4 巧“1”法
【典题1】已知\(x>0\),\(y>0\),\(x+y=2\),则\(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)的最大值是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(\because x+1 \geq 2 \sqrt{x}\),\(y+1 \geq 2 \sqrt{y}\)(当\(x=y=1\)时取到等号)
\({\color{Red}{(加“1” 巧妙的把x与\sqrt{x}, y与\sqrt{y}联系起来) }}\)
相加得\(x+y+2 \geq 2 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}\)
即\(2(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \leq 4 \Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y} \leq 2\),故最大值为\(2\).
【典题2】已知\(x>0\),\(y>0\),\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2\),则\(x+2y\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(∵\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=2\)\(\therefore \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=1\)
\(x+2 y=(x+2 y) \cdot 1=\dfrac{1}{2}(x+2 y)\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{4 y}{x}+2\right) \geq \dfrac{1}{2}\left(4+2 \sqrt{\dfrac{x}{y} \cdot \dfrac{4 y}{x}}\right)=4\),
当且仅当\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{4 y}{x}\)时,即\(x=2,y=1\)时等号成立,
故\(x+2y\)的最小值为\(4\).
【点拨】本题的方法很多,比如消元法、换元法等,但属巧"1"法最简洁了!
【典题3】设\(a>2\),\(b>0\),若\(a+b=3\),则\(\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】若\(a+b=3\),则\((a-2)+b=1\),
\({\color{Red}{ (凑项再利用巧"1"法) }}\)
则\(\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}=\left(\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}\right) \times[(a-2)+b]\)\(=2+\left(\dfrac{b}{a-2}+\dfrac{a-2}{b}\right)\),
又由\(a>2\),\(b>0\),则\(\dfrac{b}{a-2}+\dfrac{a-2}{b} \geq 2 \sqrt{\dfrac{b}{a-2} \cdot \dfrac{a-2}{b}}=2\),
当\(a=\dfrac{5}{2}, b=\dfrac{1}{2}\)时取到等号,
则\(\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}=2+\left(\dfrac{b}{a-2}+\dfrac{a-2}{b}\right) \geq 4\),
即\(\dfrac{1}{a-2}+\dfrac{1}{b}\)的最小值为\(4\).
方法5 换元法
【典题1】若\(x>1\),则\(y=\dfrac{x-1}{x^{2}+x-1}\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】令\(t=x-1\),则\(x=t+1\),\(t>0\),
原式\(=\dfrac{t}{(t+1)^{2}+(t+1)-1}\)\(=\dfrac{t}{t^{2}+3 t+1}=\dfrac{1}{t+\dfrac{1}{t}+3}\)\(\leq \dfrac{1}{2 \sqrt{t \cdot \dfrac{1}{t}+3}}=\dfrac{1}{5}\),
当且仅当\(t=1\)即\(x=2\)时等号成立.
故\(y=\dfrac{x-1}{x^{2}+x-1}\)的最大值为\(\dfrac{1}{5}\).
【点拨】本题是属于求函数\(y=\dfrac{a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}}{a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}}\)的最值问题,它常用到基本不等式或对勾函数,换元法是常见手段.
【典题2】若\(a,b∈R^*\),\(a+b=1\),则\(\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}\)的最大值\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】设\(s=\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}\),\(t=\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}\)
\({\color{Red}{ (遇到二次根式,用换元法达到去掉根号的目的)}}\)
则\(a=s^{2}-\dfrac{1}{2}\),\(b=t^{2}-\dfrac{1}{2}\)
\(∵a+b=1\)\(∴s^2+t^2=2\)
\({\color{Red}{(这相当已知s^2+t^2=2求s+t的最大值,想到算术均值≤平方和均值\dfrac{a+b}{2} \leq \sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}) }}\)
\(\therefore \dfrac{s+t}{2} \leq \sqrt{\dfrac{s^{2}+t^{2}}{2}}=1 \Rightarrow s+t \leq 2\)
即\(\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}} \leq 2\),故最大值为\(2\).
【点拨】
① 本题本来是“已知\(a+b=1\)求\(\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}\)的最大值 (1)”,通过换元法后变成
“已知\(s^2+t^2=2\)求\(s+t\)的最大值 (2)”.显然问题(2)比问题(1)看起来更舒服些,故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.
你说\(\dfrac{\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}}{2}\)\(\leq \sqrt{\dfrac{\left(\sqrt{a+\dfrac{1}{2}}\right)^{2}+\left(\sqrt{b+\dfrac{1}{2}}\right)^{2}}{2}}\)\(=\sqrt{\dfrac{a+\dfrac{1}{2}+b+\dfrac{1}{2}}{2}}=1\)\(\Rightarrow \sqrt{a+\dfrac{1}{2}}+\sqrt{b+\dfrac{1}{2}} \leq 2\)不更简洁?
是的,它们的解法本质是一样的,换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路.
② 本题还有其他的解法,可多思考体会下数学思维的魅力!
【典题3】设\(a、b\)是正实数,且\(a+2b=2\),则\(\dfrac{a^{2}}{a+1}+\dfrac{4 b^{2}}{2 b+1}\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】令\(a+1=s\),\(2b+1=t\),则\(a=s-1\),\(2b=t-1\);
\(\therefore \dfrac{a^{2}}{a+1}+\dfrac{4 b^{2}}{2 b+1}\)\(=\dfrac{(s-1)^{2}}{s}+\dfrac{(t-1)^{2}}{t}\)\(=s+t-4+\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}=\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}\)
\({\color{Red}{(以上纯是运算,没太大难度,作到这就相当于“已知s+t=4,求\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}最小值”,较易想到巧“1”法) }}\)
\(=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{t}\right)(s+t)=\dfrac{1}{4}\left(2+\dfrac{t}{s}+\dfrac{s}{t}\right)\)\(\geq \dfrac{1}{4}\left(2+2 \sqrt{\dfrac{t}{s} \cdot \dfrac{s}{t}}\right)=1\).
当且仅当\(s=t=2\)即\(a=1, b=\dfrac{1}{2}\)取到等号,
即\(\dfrac{a^{2}}{a+1}+\dfrac{4 b^{2}}{2 b+1}\)的最小值是\(1\).
【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式,本题是分母“换元”,“宁愿分子复杂些,也想分母简单些”就这么朴素的想法!
方法6 不等式法
【典题1】已知\(a ,b∈(0,+∞)\),且\(1+\dfrac{2}{a b}=\dfrac{9}{a+b}\),则\(a+b\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
\({\color{Red}{分析 }}\):\(1+\dfrac{2}{a b}=\dfrac{9}{a+b}\)相当是“关于\(ab\)与\(a+b\)的方程”,而由基本不等式\(a+b \geq 2 \sqrt{a b}\)又确定了“关于\(ab\)与\(a+b\)的不等关系”,那用“消元思想”不就得到\(a+b\)的不等式么?!其范围就有了!
【解析】\(∵a ,b∈(0,+∞)\),\(\therefore a+b \geq 2 \sqrt{a b} (*)\),
\(a+b \geq 2 \sqrt{\dfrac{2(a+b)}{9-(a+b)}}\),
整理可得,\((a+b)^2-9(a+b)+8≤0\),
解得\(1≤a+b≤8\).
【典题2】已知\(2a+b+2ab=3\),\(a>0\),\(b>0\),则\(2a+b\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(∵a>0,b>0\),\(\therefore 0<2 a b \leq \dfrac{(2 a+b)^{2}}{4}\)
\({\color{Red}{ (这要确定2ab与2a+b的关系,想法与上题相似,利用2ab与2a+b的等式关系与不等关系}}\)
\({\color{Red}{ 最终得到关于2a+b的不等式)}}\)
而\(3-(2a+b)=2ab\)
\(\therefore 0<3-(2 a+b) \leq \dfrac{(2 a+b)^{2}}{4}\),
解得\(2≤2a+b<3\),
\(∴2a+b\)的取值范围是\([2,3)\).
巩固练习
1(★★) 已知\(a+b+c=2\),则\(ab+bc+ca\)与\(2\)的比较 .
2(★★) 已知\(x,y∈R^+\),若\(x+y+xy=8\),则\(xy\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
3(★★) 若\(x,y∈R^+\),且\(\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{y}=5\),则\(3x+4y\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)
4(★★) 函数\(y=\dfrac{x^{2}+x-5}{x-2}(x>2)\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
5(★★) 已知实数\(a、b\),\(ab>0\),则\(\dfrac{a b}{a^{2}+b^{2}+a^{2} b^{2}+4}\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)
6(★★) [多选题]下列说法正确的是( )
A.\(x+\dfrac{1}{x}(x>0)\)的最小值是\(2\)
B.\(\dfrac{x^{2}+2}{\sqrt{x^{2}+2}}\)的最小值是\(\sqrt{2}\)
C.\(\dfrac{x^{2}+5}{\sqrt{x^{2}+4}}\)的最小值是\(2\)
D.\(2-3 x-\dfrac{4}{x}\)的最大值是\(2-4 \sqrt{3}\)
7(★★★) [多选题]设\(a>0\),\(b>0\),且\(a+2b=4\),则下列结论正确的是( )
A.\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)的最小值为\(\sqrt{2}\)
B.\(\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}\)的最小值为\(2\)
C.\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\)的最小值为\(\frac{9}{4}\)
D.\(\dfrac{b}{a+1}+\dfrac{a}{b+1}>\dfrac{8}{7}\)恒成立
8(★★★) 若实数\(m\),\(n>0\),满足\(2m+n=1\),以下选项中正确的有( )
A.\(mn\)的最小值为\(\dfrac{1}{8}\)
B.\(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}\)的最小值为\(4 \sqrt{2}\)
C.\(\dfrac{2}{m+1}+\dfrac{9}{n+2}\)的最小值为\(5\)
D.\(4m^2+n^2\)的最小值为\(\dfrac{1}{2}\)
9(★★★) 已知正实数\(a,b\)满足\(a+b=1\),则\(\dfrac{2 a^{2}+1}{a}+\dfrac{2 b^{2}+4}{b}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)
10(★★★) 若正数\(x、y\)满足\(x+4y-xy=0\),则\(\dfrac{4}{x+y}\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)
11(★★★) 已知\(0<a<1\),则\(\dfrac{1}{1-a}+\dfrac{4}{a}\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
12(★★★) 已知\(a,b∈R\),\(a+b=2\),则\(\dfrac{1}{a^{2}+1}+\dfrac{1}{b^{2}+1}\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\).
13(★★★) 若正数\(a,b\)满足\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1\),则\(\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{4 b}{b-1}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
14(★★★★) 已知实数\(a>0\),\(b>-2\),且满足\(2a+b=1\),则\(\dfrac{2 a^{2}+1}{a}+\dfrac{b^{2}-2}{b+2}\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
15(★★★★) 已知\(x>0\),\(y>0\),则\(\dfrac{2 x y}{x^{2}+8 y^{2}}+\dfrac{x y}{x^{2}+2 y^{2}}\)的最大值是\(\underline{\quad \quad}\).
16(★★★★) 设实数\(x,y\)满足\(\dfrac{x^{2}}{4}-y^{2}=1\),则\(3x^2-2xy\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\).
挑战学霸
方程\(\left(x^{2018}+1\right)\left(1+x^{2}+x^{4}+\cdots+x^{2016}\right)=2018 x^{2017}\)的实数解的个数为\(\underline{\quad \quad}\).
答案
1.\(ab+bc+ca<2\)
2.\(2\)
3.\(5\)
4.\(7\)
5.\(\dfrac{1}{6}\)
6.\(AB\)
7.\(BC\)
8.\(D\)
9.\(11\)
10.\(\dfrac{4}{9}\)
11.\(9\)
12.\(\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}\)
13.\(9\)
14.\(\dfrac{5}{3}\)
15.\(\dfrac{2}{3}\)
16.\(6+4 \sqrt{2}\)
挑战学霸:\(1\)