1.2 常用逻辑用语

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[【高分突破系列】高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习]
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模块导图

知识剖析

充分条件与必要条件

1 概念
一般地，” 若 $p$，则 $q$” 为真命题，是指由 $p$ 通过推理可以得出 $q$.
这时，我们就说，由 $p$ 可以推出 $q$，记作 $p⇒q$，并且说，$p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件.
如果” 若 $p$，则 $q$” 和它的逆命题” 若 $q$，则 $p$” 均是真命题，
即既有 $p⇒q$，又有 $q⇒p$，就记作 $p⇔q$，
此时 $p$ 即是 $q$ 的充分条件也是必要条件，我们说 $p$ 是 $q$ 的充要条件.
 

2 $p$ 是 $q$ 的 $\underline{\quad \quad}$ 条件 (填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若 $p⇒q$ 则充分，若 $p⇏q$ 则不充分；
从右到左，若 $q⇒p$ 则必要，若 $q⇏p$ 则不必要.
${\color{Red}{ Eg }}$：帅哥是男人的 $\underline{\quad \quad}$ 条件.
从左到右，显然若 $A$ 是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若 $B$ 是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
 

3 从集合的角度理解
(1) 小范围推得出大范围
命题 $p$、$q$ 对应集合 $A、B$，
若 $A \subseteq B$，则 $p⇒q$，即 $p$ 是 $q$ 的充分条件；
若 $A \nsubseteq B$，则 $p⇏q$，即 $p$ 不是 $q$ 的充分条件.
备注 若 $A⊆B$，则称 $A$ 为小范围，$B$ 为大范围.
${\color{Red}{ Eg1 }}$：帅哥是男人的 $\underline{\quad \quad}$ 条件.
设集合 $A$={帅哥}，集合 $B$={男人}，显然 $A \subseteq B$，{帅哥} 是小范围，推得出 {男人} 这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
${\color{Red}{ Eg2 }}$：$x>1$ 是 $x>2$ 的不充分必要条件，因为 $\{x \mid x>2\} \subsetneq\{x \mid x>1\}$.
(2) 结论
① 若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则 $A \subsetneq B$；
② 若 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则 $B \subsetneq A$；
③ 若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则 $A \subseteq B$；
④ 若 $p$ 是 $q$ 的必要条件，则 $B \subseteq A$；
⑤ 若 $p$ 是 $q$ 的充要条件，则 $A=B$.
 

全称量词与存在量词

1 全称量词
(1) 短语 “对所有的”、“对任意一个” 在逻辑中通常称为全称量词，用 “$∀$” 表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题 “对 $M$ 中任意一个 $x$，有 $p(x)$ 成立”，记作 $∀ x∈M ,p(x)$．
${\color{Red}{ Eg }}$：对所有末位数是 $0$ 的数能被 $5$ 整除，$\forall x>0, x+\dfrac{1}{x} \geq 2$.
 
2 存在量词
(1) 短语 “存在一个”、“至少有一个” 在逻辑中通常称为存在量词，用 “$∃$” 表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题 “存在 $M$ 中的一个 $x$，使 $p(x)$ 成立”，记作 $∃ x∈M ,p(x)$.
${\color{Red}{ Eg }}$：至少有一个质数是偶数，$∃x>0,x^2-2x+3<0$.
 

3 否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
${\color{Red}{ Eg }}$：$∀ x>1,x^2>1$ 的否定是 $∃ x>1,x^2≤1$.
$∀ x>1,x^2>1$ 是真命题，$∃ x>1,x^2≤1$ 是假命题.

 

经典例题

【题型一】 充分条件与必要条件

【典题 1】 设 $a>0$,$b>0$，则 $“a+b≥2”$ 是 $“a^{2}+b^{2} \geq 2 "$ 的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】$\because a+b \geq 2$ 可知 $\dfrac{(a+b)^{2}}{2} \geq 2$，
而 $a^{2}+b^{2} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}$，$\therefore a^{2}+b^{2} \geq 2$．
反之不成立，例如 $a=\sqrt{3}$，$b＝0$，满足 $a^{2}+b^{2} \geq 2$，但 $a+b≥2$ 不成立.
$“a+b≥2”$ 是 $“a^{2}+b^{2} \geq 2 "$ 的 充分不必要条件．故选：$A$．
 

【点拨】
① 以 $“a+b≥2”$ 为已知，可以推出 $" a^{2}+b^{2} \geq 2 "$ 这个结论，所以 $“a+b≥2”$ 是 $“a^{2}+b^{2} \geq 2 "$ 的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它；
② 证明 $“a^{2}+b^{2} \geq 2 "$ 推不出 $“a+b≥2”$，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为 "取特殊值否定法"；
③ 思考：本题可从集合的角度去判断么？
 

【典题 2】 若 $a ,b$ 是正整数，则 $a+b>ab$ 充要条件是 (　　)
A．$a=b=1$
B．$a ,b$ 有一个为 $1$
C．$a=b=2$
D．$a>1$ 且 $b>1$
【解析】$∵a+b>ab$，
$∴ab-a-b<0$$⇒ab-a-b+1<1⇒(a－1)(b－1)<1$，
$∵a ,b$ 是正整数，$∴a≥1，b≥1$，
则 $a-1≥0$，$b-1≥0$，
$∴(-1)(b-1)≥0$，
若 $(a-1)(b-1)<1$，则 $(a-1)(b-1)=0$，
即 $a=1$ 或 $b=1$，即 $a ,b$ 有一个为 $1$，
即 $a+b>ab$ 充要条件是 $a ,b$ 有一个为 $1$，故选 $B$
【点拨】
① 本题求充要条件就相当于 “当 $a ,b$ 是正整数，由 $a+b>ab$ 可以等价推导出什么结论”；
②$p$ 是 $q$ 充要条件就是相当于两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做 “等价转化”，在推导问题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析.
 

【典题 3】若 $“x^{2}-3 x-4>0 "$ 是 $“x^{2}-3 a x-10 a^{2}>0 "$ 的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.
【解析】由 $x^{2}-3 x-4>0$ 得 $x>4$ 或 $x<-1$，
即不等式的解集为 $A＝\{x|x>4 或 x<-1\}$，
由 $x^2-3ax-10a^2>0$ 得 $(x+2a)(x-5a)>0$，
若 $a=0$，则不等式的解为 $a>0$，
此时不等式的解集为为 $B＝\{x|x≠0\}$，
若 $a>0$，则不等式的解集为 $B＝\{x|x>5a 或 x<-2a\}$，
若 $a<0$，不等式的解集为 $B＝\{x|x>-2a 或 x<5a\}$，
${\color {Red}{(求解含参的不等式，注意分类讨论) }}$
若 $“x^{2}-3 x-4>0 "$ 是 $“x^{2}-3 a x-10 a^{2}>0 "$ 的必要不充分条件，则 $B\subseteq A$，
${\color {Red}{(从集合的角度去思考充分必要条件问题) }}$
则当 $a＝0$ 时，不满足条件．
当 $a>0$ 时，则满足 $\left\{\begin{array}{l} 5 a \geq 4 \\ -2 a<-1 \end{array}\right.$，解得 $a \geq \dfrac{4}{5}$，
当 $a<0$ 时，则满足 $\left\{\begin{array}{l} -2 a \geq 4 \\ 5 a \leq-1 \end{array}\right.$，解得 $a≤-2$．
综上实数 $a$ 的取值范围 $\left\{a \mid a \leq-2 \text { 或} a \geq \dfrac {4}{5}\right\}$.
【点拨】
① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根 $“5a ,-2a”$ 的大小比较，才有了 $“a=0 ,a>0 ,a<0"$ 的分类；
② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住 “小范围推得出大范围”.
 

巩固练习

1(★★) 已知 $a>0$,$b>0$,$m∈R$, 则 $“a≤b”$ 的一个必要不充分条件是 (　　)
A．$a^{m} \leq b^{m}$
B．$\dfrac{a}{m^{2}} \leq \dfrac{b}{m^{2}}$
C．$a m^{2} \leq b m^{2}$
D．$a+m^2≤b+m^2$
 

2(★★★) 设 $a ,b∈R$，命 $题 p：a>b$，命题 $q：a|a|>b|b|$，则 $p$ 是 $q$ 的 (　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
 

3 (★★) 在关于 $x$ 的不等式 $ax^2+2x+1>0$ 中，$“a>1”$ 是 $“ax^2+2x+1>0$ 恒成立” 的 (　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
 

4(★★★) 已知命题 $p：x<2m+1$,$q：x^2－5x+6<0$，且 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

5(★★★) 已知 $p：(x+1)(2－x)≥0$，$q：$ 关于 $x$ 的不等式 $x^2+2mx－m+6>0$ 恒成立．
(1) 当 $x∈R$ 时 $q$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；
(2) 若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．
 
 

答案

1.$C$
2.$C$
3.$C$
4.$m≥1$
5.$(1) (－3 ,2)$$\text { (2) }-\dfrac{10}{3}<m<\dfrac{7}{3}$

 

【题型二】 全称量词与存在量词

【典题 1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)$\forall x \in \boldsymbol{N}, x^{3}>x^{2}$；
(2) 所有可以被 $5$ 整除的整数，末位数字都是 $0$；
(3)$∃x_0∈R ,x_0^2－x_0+1≤0$；
(4) 存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【解析】(1) 全称命题，当 $x＝0$ 时，结论不成立，所以为假命题．
命题的否定：$∃x∈N ,x^3≤x^2.$.
(2) 全称命题，所有可以被 $5$ 整除的整数，末位数字都是 $0$ 或 $5$；为假命题．
命题的否定：存在可以被 $5$ 整除的整数，末位数字不都是 $0$；(这里不能写 “都不是”)
(3) 特称命题，$x_{0}^{2}-x_{0}+1=\left(x_{0}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}$，所以结论不成立，为假命题．
命题的否定：$∀x∈R ,x^2－x+1>0$．
(4) 特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．
命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．
【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
 

【典题 2】若命题 “$∀x∈[1 ,4]$ 时，$x^2-4x-m≠0$” 是假命题，则 $m$ 的取值范围 $\underline{\quad \quad}$．
【解析】$∵“∀x∈[1 ,4] ,x^2-4x-m≠0”$ 是假命题，
$∴$ 该命题的否定 $"∃x_0∈[1 ,4] ,x_0^2-4x_0-m=0"$ 是真命题，
即方程 $x^2-4x-m=0$ 在 $[1 ,4]$ 上有解，
$∴(1-4-m)(16-16-m)≤0$，解得 $-4≤m≤0$.
【点拨】
① 命题与命题的否定的真假性相反；
② 正面不好证明，可从反面入手.
 

巩固练习

1(★) 命题 $“∃x∈R ,x^2-x+1<0”$ 的否定是 $\underline{\quad \quad}$.
 
2(★★) 若命题 $“∃x_0∈R，3x_0^2+2ax_0+1<0”$ 是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 
3(★★) 已知命题 $“∃x_0∈[-1 ,1] ,-x_0^2+3x_0+a>0”$ 为真命题，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
 

挑战学霸
设数集 $S=\{a ,b ,c ,d\}$ 满足下列两个条件：
(1)$∀x ,y∈S$，$xy∈S$；
(2)$∀x ,y ,z∈S$ 或 $x≠y$，则 $xz≠yz$．
现给出如下论断：
①$a ,b ,c ,d$ 中必有一个为 $0$；
②$a ,b ,c ,d$ 中必有一个为 $1$；
③若 $x∈S$ 且 $xy=1$，则 $y∈S$；
④存在互不相等的 $x ,y ,z∈S$，使得 $x^2=y$，$y^2=z$．
其中正确论断的个数是 $\underline{\quad \quad}$.
 
 

参考答案

1.$∀x∈R ,x^2-x+1≥0$
2.$[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$
3.$(-2 ,+∞)$
 
挑战学霸
解 由 (2) 知 $0$ 不属于 $S$(①不成立)，
由 (1) 可推出对于任意 $a ,b ,c ,d∈S$,$abcd∈S$，
$∴abcd$ 等于 $a ,b ,c ,d$ 中的某一个，
不妨设 $abcd=a$，
$∵a≠0$，$∴bcd=1$(由 (1) 知②成立)，
$∴$ 若③中 $x=b$，则 $y=cd$，
由 (1) 知 $cd∈S$，即 $y∈S$，
$∴x=b$ 时③成立，
同理有 $x=c$ 时③成立和 $x=d$ 时③成立，
下面讨论 $x=a$ 时，
$∵1∈S$，$∴$ 若 $a=1$，则 $y=1∈S$，③成立 (最后会证到 $a$ 即 $abcd$ 不可能等于 $1$)，
若 $a≠1$，则 $b ,c ,d$ 中的某个等于 $1$，
不妨设 $b=1$，由 $bcd=1$ 知 $cd=1$，
由 (1) 知 $ac∈S$，又 $∵ac≠a$(即 $c≠1$)，$ac≠b$(即 $a≠d$)，$ac≠c$(即 $a≠1$)，
$∴ac=d$，
同理有 $ad=c$，
$∴ac\cdot ad=d\cdot c$，$∴a^2=1$，$∴a=-1$，
$∴y=-1∈S$，$∴$③成立，
综上，对于任意 $x∈S$,$xy=1$，有 $y∈S$ 成立，即③成立，
由 $a≠1$ 即 $abcd≠1$ 的讨论可知
当 $abcd≠1$ 时，$S=\{1 ,-1 ,i ,-i\}$，
(联立 $cd=1$,$ac=d$,$ad=c$ 解出 $a ,c ,d$)
此时，④成立，
若 $a=1$ 即 $abcd=1$，则 $bcd=1=a$，由 1 知 $cd∈S$，
若 $cd=a=1$，则 $b=bcd=a$，不可能，
若 $cd=c$，则 $d=1=a$，不可能，
若 $cd=d$，则 $c=1=a$，不可能，
$∴cd=b$，
$∴b^2=b\cdot cd=a$，
同理有 $c^2=a ,d^2=a$，
$∵a$ 的平方根有且只有两个值，
那么 $b ,c ,d$ 中至少有两个相同，这与 $b ,c ,d$ 同属于 $S$ 矛盾，
$∴$ 不存在 $a=1$ 即 $abcd=1$ 的情况，
$∴$④成立．
故选正确 $3$ 个．