1.2 常用逻辑用语
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知识剖析
充分条件与必要条件
1 概念
一般地,”若\(p\),则\(q\)”为真命题,是指由\(p\)通过推理可以得出\(q\).
这时,我们就说,由\(p\)可以推出\(q\),记作\(p⇒q\),并且说,\(p\)是\(q\)的充分条件,\(q\)是\(p\)的必要条件.
如果”若\(p\),则\(q\)”和它的逆命题”若\(q\),则\(p\)”均是真命题,
即既有\(p⇒q\),又有\(q⇒p\),就记作\(p⇔q\),
此时\(p\)即是\(q\)的充分条件也是必要条件,我们说\(p\)是\(q\)的充要条件.
2 \(p\)是\(q\)的 \(\underline{\quad \quad}\) 条件 (填写是否充分、必要)
完成此题型,可思考
从左到右,若\(p⇒q\)则充分,若\(p⇏q\)则不充分;
从右到左,若\(q⇒p\)则必要,若\(q⇏p\)则不必要.
\({\color{Red}{ Eg }}\):帅哥是男人的\(\underline{\quad \quad}\) 条件.
从左到右,显然若\(A\)是个帅哥,那他肯定是男人,即充分;
从右到左,若\(B\)是男人,他不一定是帅哥了,即不必要;故答案是充分不必要.
3 从集合的角度理解
(1) 小范围推得出大范围
命题\(p\)、\(q\)对应集合\(A、B\),
若\(A \subseteq B\),则\(p⇒q\),即\(p\)是\(q\)的充分条件;
若\(A \nsubseteq B\),则\(p⇏q\),即\(p\)不是\(q\)的充分条件.
备注 若\(A⊆B\),则称\(A\)为小范围,\(B\)为大范围.
\({\color{Red}{ Eg1 }}\):帅哥是男人的 \(\underline{\quad \quad}\) 条件.
设集合\(A\)={帅哥},集合\(B\)={男人},显然\(A \subseteq B\),{帅哥}是小范围,推得出{男人}这个大范围,即充分条件;故答案是充分不必要条件.
\({\color{Red}{ Eg2 }}\):\(x>1\)是\(x>2\)的不充分必要条件,因为\(\{x \mid x>2\} \subsetneq\{x \mid x>1\}\).
(2) 结论
① 若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件,则\(A \subsetneq B\);
② 若\(p\)是\(q\)的必要不充分条件,则\(B \subsetneq A\);
③ 若\(p\)是\(q\)的充分条件,则\(A \subseteq B\);
④ 若\(p\)是\(q\)的必要条件,则\(B \subseteq A\);
⑤ 若\(p\)是\(q\)的充要条件,则\(A=B\).
全称量词与存在量词
1全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“\(∀\)”表示.
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对\(M\)中任意一个\(x\),有\(p(x)\)成立”,记作\(∀ x∈M ,p(x)\).
\({\color{Red}{ Eg }}\):对所有末位数是\(0\)的数能被\(5\)整除,\(\forall x>0, x+\dfrac{1}{x} \geq 2\).
2存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“\(∃\)”表示.
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在\(M\)中的一个\(x\),使\(p(x)\)成立”,记作\(∃ x∈M ,p(x)\).
\({\color{Red}{ Eg }}\):至少有一个质数是偶数,\(∃x>0,x^2-2x+3<0\).
3 否定
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,它们的真假性是相反的.
\({\color{Red}{ Eg }}\):\(∀ x>1,x^2>1\)的否定是\(∃ x>1,x^2≤1\).
\(∀ x>1,x^2>1\)是真命题,\(∃ x>1,x^2≤1\)是假命题.
经典例题
【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设\(a>0\),\(b>0\),则\(“a+b≥2”\)是\(“a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】\(\because a+b \geq 2\)可知\(\dfrac{(a+b)^{2}}{2} \geq 2\),
而\(a^{2}+b^{2} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}\),\(\therefore a^{2}+b^{2} \geq 2\).
反之不成立,例如\(a=\sqrt{3}\),\(b=0\),满足\(a^{2}+b^{2} \geq 2\),但\(a+b≥2\)不成立.
\(“a+b≥2”\)是\(“a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)的 充分不必要条件.故选:\(A\).
【点拨】
① 以\(“a+b≥2”\)为已知,可以推出\(" a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)这个结论,所以\(“a+b≥2”\)是\(“a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)的充分条件;若要判断某个命题是对的,只能去证明它;
② 证明\(“a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)推不出\(“a+b≥2”\),即判断某个命题是错的,举一个反例就行,这点做非解答题时多多注意,可称之为"取特殊值否定法";
③ 思考:本题可从集合的角度去判断么?
【典题2】 若\(a ,b\)是正整数,则\(a+b>ab\)充要条件是( )
A.\(a=b=1\)
B.\(a ,b\)有一个为\(1\)
C.\(a=b=2\)
D.\(a>1\)且\(b>1\)
【解析】\(∵a+b>ab\),
\(∴ab-a-b<0\)\(⇒ab-a-b+1<1⇒(a-1)(b-1)<1\),
\(∵a ,b\)是正整数,\(∴a≥1,b≥1\),
则\(a-1≥0\),\(b-1≥0\),
\(∴(-1)(b-1)≥0\),
若\((a-1)(b-1)<1\),则\((a-1)(b-1)=0\),
即\(a=1\)或\(b=1\),即\(a ,b\)有一个为\(1\),
即\(a+b>ab\)充要条件是\(a ,b\)有一个为\(1\),故选\(B\)
【点拨】
① 本题求充要条件就相当于“当\(a ,b\)是正整数,由\(a+b>ab\)可以等价推导出什么结论”;
②\(p\)是\(q\)充要条件就是相当于两个命题是等价的,这个很重要,有一种数学思想叫做“等价转化”,在推导问题的过程中经常遇到它,这需要严谨的逻辑分析.
【典题3】若\(“x^{2}-3 x-4>0 "\)是\(“x^{2}-3 a x-10 a^{2}>0 "\)的必要不充分条件,求实数\(a\)的取值范围.
【解析】由\(x^{2}-3 x-4>0\)得\(x>4\)或\(x<-1\),
即不等式的解集为\(A=\{x|x>4或x<-1\}\),
由\(x^2-3ax-10a^2>0\)得\((x+2a)(x-5a)>0\),
若\(a=0\),则不等式的解为\(a>0\),
此时不等式的解集为为\(B=\{x|x≠0\}\),
若\(a>0\),则不等式的解集为\(B=\{x|x>5a或x<-2a\}\),
若\(a<0\),不等式的解集为\(B=\{x|x>-2a或x<5a\}\),
\({\color{Red}{(求解含参的不等式,注意分类讨论) }}\)
若\(“x^{2}-3 x-4>0 "\)是\(“x^{2}-3 a x-10 a^{2}>0 "\)的必要不充分条件,则\(B\subseteq A\),
\({\color{Red}{(从集合的角度去思考充分必要条件问题) }}\)
则当\(a=0\)时,不满足条件.
当\(a>0\)时,则满足\(\left\{\begin{array}{l}
5 a \geq 4 \\
-2 a<-1
\end{array}\right.\),解得\(a \geq \dfrac{4}{5}\),
当\(a<0\)时,则满足\(\left\{\begin{array}{l}
-2 a \geq 4 \\
5 a \leq-1
\end{array}\right.\),解得\(a≤-2\).
综上实数\(a\)的取值范围\(\left\{a \mid a \leq-2 \text { 或 } a \geq \dfrac{4}{5}\right\}\).
【点拨】
① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解,要注意两个根\(“5a ,-2a”\)的大小比较,才有了\(“a=0 ,a>0 ,a<0"\)的分类;
② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件,记住“小范围推得出大范围”.
巩固练习
1(★★) 已知\(a>0\),\(b>0\),\(m∈R\), 则\(“a≤b”\)的一个必要不充分条件是 ( )
A.\(a^{m} \leq b^{m}\)
B.\(\dfrac{a}{m^{2}} \leq \dfrac{b}{m^{2}}\)
C.\(a m^{2} \leq b m^{2}\)
D.\(a+m^2≤b+m^2\)
2(★★★) 设\(a ,b∈R\),命\(题p:a>b\),命题\(q:a|a|>b|b|\),则\(p\)是\(q\)的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
3 (★★) 在关于\(x\)的不等式\(ax^2+2x+1>0\)中,\(“a>1”\)是\(“ax^2+2x+1>0\)恒成立”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4(★★★) 已知命题\(p:x<2m+1\),\(q:x^2-5x+6<0\),且\(p\)是\(q\)的必要不充分条件,则实数\(m\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
5(★★★) 已知\(p:(x+1)(2-x)≥0\),\(q:\)关于\(x\)的不等式\(x^2+2mx-m+6>0\)恒成立.
(1)当\(x∈R\)时\(q\)成立,求实数\(m\)的取值范围;
(2)若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件,求实数\(m\)的取值范围.
答案
1.\(C\)
2.\(C\)
3.\(C\)
4.\(m≥1\)
5.\((1) (-3 ,2)\)\(\text { (2) }-\dfrac{10}{3}<m<\dfrac{7}{3}\)
【题型二】 全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)\(\forall x \in \boldsymbol{N}, x^{3}>x^{2}\);
(2)所有可以被\(5\)整除的整数,末位数字都是\(0\);
(3)\(∃x_0∈R ,x_0^2-x_0+1≤0\);
(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
【解析】(1)全称命题,当\(x=0\)时,结论不成立,所以为假命题.
命题的否定:\(∃x∈N ,x^3≤x^2.\).
(2)全称命题,所有可以被\(5\)整除的整数,末位数字都是\(0\)或\(5\);为假命题.
命题的否定:存在可以被\(5\)整除的整数,末位数字不都是\(0\);(这里不能写“都不是”)
(3)特称命题,\(x_{0}^{2}-x_{0}+1=\left(x_{0}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}\),所以结论不成立,为假命题.
命题的否定:\(∀x∈R ,x^2-x+1>0\).
(4)特称命题,菱形的对角线互相垂直,真命题.
命题的否定:任意的四边形,它的对角线不互相垂直.
【点拨】全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.
【典题2】若命题“\(∀x∈[1 ,4]\)时,\(x^2-4x-m≠0\)”是假命题,则\(m\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(∵“∀x∈[1 ,4] ,x^2-4x-m≠0”\)是假命题,
\(∴\)该命题的否定\("∃x_0∈[1 ,4] ,x_0^2-4x_0-m=0"\)是真命题,
即方程\(x^2-4x-m=0\)在\([1 ,4]\)上有解,
\(∴(1-4-m)(16-16-m)≤0\),解得\(-4≤m≤0\).
【点拨】
① 命题与命题的否定的真假性相反;
② 正面不好证明,可从反面入手.
巩固练习
1(★) 命题\(“∃x∈R ,x^2-x+1<0”\)的否定是\(\underline{\quad \quad}\).
2(★★) 若命题\(“∃x_0∈R,3x_0^2+2ax_0+1<0”\)是假命题,则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
3(★★) 已知命题\(“∃x_0∈[-1 ,1] ,-x_0^2+3x_0+a>0”\)为真命题,则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
挑战学霸
设数集\(S=\{a ,b ,c ,d\}\)满足下列两个条件:
(1)\(∀x ,y∈S\),\(xy∈S\);
(2)\(∀x ,y ,z∈S\)或\(x≠y\),则\(xz≠yz\).
现给出如下论断:
①\(a ,b ,c ,d\)中必有一个为\(0\);
②\(a ,b ,c ,d\)中必有一个为\(1\);
③若\(x∈S\)且\(xy=1\),则\(y∈S\);
④存在互不相等的\(x ,y ,z∈S\),使得\(x^2=y\),\(y^2=z\).
其中正确论断的个数是\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
1.\(∀x∈R ,x^2-x+1≥0\)
2.\([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)
3.\((-2 ,+∞)\)
挑战学霸
解 由(2)知\(0\)不属于\(S\)(①不成立),
由(1)可推出对于任意\(a ,b ,c ,d∈S\),\(abcd∈S\),
\(∴abcd\)等于\(a ,b ,c ,d\)中的某一个,
不妨设\(abcd=a\),
\(∵a≠0\),\(∴bcd=1\)(由(1)知②成立),
\(∴\)若③中\(x=b\),则\(y=cd\),
由(1)知\(cd∈S\),即\(y∈S\),
\(∴x=b\)时③成立,
同理有\(x=c\)时③成立和\(x=d\)时③成立,
下面讨论\(x=a\)时,
\(∵1∈S\),\(∴\)若\(a=1\),则\(y=1∈S\),③成立(最后会证到\(a\)即\(abcd\)不可能等于\(1\)),
若\(a≠1\),则\(b ,c ,d\)中的某个等于\(1\),
不妨设\(b=1\),由\(bcd=1\)知\(cd=1\),
由(1)知\(ac∈S\),又\(∵ac≠a\)(即\(c≠1\)),\(ac≠b\)(即\(a≠d\)),\(ac≠c\)(即\(a≠1\)),
\(∴ac=d\),
同理有\(ad=c\),
\(∴ac\cdot ad=d\cdot c\),\(∴a^2=1\),\(∴a=-1\),
\(∴y=-1∈S\),\(∴\)③成立,
综上,对于任意\(x∈S\),\(xy=1\),有\(y∈S\)成立,即③成立,
由\(a≠1\)即\(abcd≠1\)的讨论可知
当\(abcd≠1\)时,\(S=\{1 ,-1 ,i ,-i\}\),
(联立\(cd=1\),\(ac=d\),\(ad=c\)解出\(a ,c ,d\))
此时,④成立,
若\(a=1\)即\(abcd=1\),则\(bcd=1=a\),由1知\(cd∈S\),
若\(cd=a=1\),则\(b=bcd=a\),不可能,
若\(cd=c\),则\(d=1=a\),不可能,
若\(cd=d\),则\(c=1=a\),不可能,
\(∴cd=b\),
\(∴b^2=b\cdot cd=a\),
同理有\(c^2=a ,d^2=a\),
\(∵a\)的平方根有且只有两个值,
那么\(b ,c ,d\)中至少有两个相同,这与\(b ,c ,d\)同属于\(S\)矛盾,
\(∴\)不存在\(a=1\)即\(abcd=1\)的情况,
\(∴\)④成立.
故选正确\(3\)个.