1.2 常用逻辑用语

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模块导图

知识剖析

充分条件与必要条件

1 概念
一般地，”若\(p\)，则\(q\)”为真命题，是指由\(p\)通过推理可以得出\(q\).
这时，我们就说，由\(p\)可以推出\(q\)，记作\(p⇒q\)，并且说，\(p\)是\(q\)的充分条件，\(q\)是\(p\)的必要条件.
如果”若\(p\)，则\(q\)”和它的逆命题”若\(q\)，则\(p\)”均是真命题，
即既有\(p⇒q\)，又有\(q⇒p\)，就记作\(p⇔q\)，
此时\(p\)即是\(q\)的充分条件也是必要条件，我们说\(p\)是\(q\)的充要条件.
 

2 \(p\)是\(q\)的 \(\underline{\quad \quad}\) 条件 (填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若\(p⇒q\)则充分，若\(p⇏q\)则不充分；
从右到左，若\(q⇒p\)则必要，若\(q⇏p\)则不必要.
\({\color{Red}{ Eg }}\)：帅哥是男人的\(\underline{\quad \quad}\) 条件.
从左到右，显然若\(A\)是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若\(B\)是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
 

3 从集合的角度理解
(1) 小范围推得出大范围
命题\(p\)、\(q\)对应集合\(A、B\)，
若\(A \subseteq B\)，则\(p⇒q\)，即\(p\)是\(q\)的充分条件；
若\(A \nsubseteq B\)，则\(p⇏q\)，即\(p\)不是\(q\)的充分条件.
备注 若\(A⊆B\)，则称\(A\)为小范围，\(B\)为大范围.
\({\color{Red}{ Eg1 }}\)：帅哥是男人的 \(\underline{\quad \quad}\) 条件.
设集合\(A\)={帅哥}，集合\(B\)={男人}，显然\(A \subseteq B\)，{帅哥}是小范围，推得出{男人}这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
\({\color{Red}{ Eg2 }}\)：\(x>1\)是\(x>2\)的不充分必要条件，因为\(\{x \mid x>2\} \subsetneq\{x \mid x>1\}\).
(2) 结论
① 若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件，则\(A \subsetneq B\)；
② 若\(p\)是\(q\)的必要不充分条件，则\(B \subsetneq A\)；
③ 若\(p\)是\(q\)的充分条件，则\(A \subseteq B\)；
④ 若\(p\)是\(q\)的必要条件，则\(B \subseteq A\)；
⑤ 若\(p\)是\(q\)的充要条件，则\(A=B\).
 

全称量词与存在量词

1全称量词
(1) 短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“\(∀\)”表示．
(2) 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对\(M\)中任意一个\(x\)，有\(p(x)\)成立”，记作\(∀ x∈M ,p(x)\)．
\({\color{Red}{ Eg }}\)：对所有末位数是\(0\)的数能被\(5\)整除，\(\forall x>0, x+\dfrac{1}{x} \geq 2\).
 
2存在量词
(1) 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“\(∃\)”表示．
(2) 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在\(M\)中的一个\(x\)，使\(p(x)\)成立”，记作\(∃ x∈M ,p(x)\).
\({\color{Red}{ Eg }}\)：至少有一个质数是偶数，\(∃x>0,x^2-2x+3<0\).
 

3 否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
\({\color{Red}{ Eg }}\)：\(∀ x>1,x^2>1\)的否定是\(∃ x>1,x^2≤1\).
\(∀ x>1,x^2>1\)是真命题，\(∃ x>1,x^2≤1\)是假命题.

 

经典例题

【题型一】 充分条件与必要条件

【典题1】 设\(a>0\),\(b>0\)，则\(“a+b≥2”\)是\(“a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)的 (　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】\(\because a+b \geq 2\)可知\(\dfrac{(a+b)^{2}}{2} \geq 2\)，
而\(a^{2}+b^{2} \geq \dfrac{(a+b)^{2}}{2}\)，\(\therefore a^{2}+b^{2} \geq 2\)．
反之不成立，例如\(a=\sqrt{3}\)，\(b＝0\)，满足\(a^{2}+b^{2} \geq 2\)，但\(a+b≥2\)不成立.
\(“a+b≥2”\)是\(“a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)的 充分不必要条件．故选：\(A\)．
 

【点拨】
① 以\(“a+b≥2”\)为已知，可以推出\(" a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)这个结论，所以\(“a+b≥2”\)是\(“a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它；
② 证明\(“a^{2}+b^{2} \geq 2 "\)推不出\(“a+b≥2”\)，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为"取特殊值否定法"；
③ 思考：本题可从集合的角度去判断么？
 

【典题2】 若\(a ,b\)是正整数，则\(a+b>ab\)充要条件是(　　)
A．\(a=b=1\)
B．\(a ,b\)有一个为\(1\)
C．\(a=b=2\)
D．\(a>1\)且\(b>1\)
【解析】\(∵a+b>ab\)，
\(∴ab-a-b<0\)\(⇒ab-a-b+1<1⇒(a－1)(b－1)<1\)，
\(∵a ,b\)是正整数，\(∴a≥1，b≥1\)，
则\(a-1≥0\)，\(b-1≥0\)，
\(∴(-1)(b-1)≥0\)，
若\((a-1)(b-1)<1\)，则\((a-1)(b-1)=0\)，
即\(a=1\)或\(b=1\)，即\(a ,b\)有一个为\(1\)，
即\(a+b>ab\)充要条件是\(a ,b\)有一个为\(1\)，故选\(B\)
【点拨】
① 本题求充要条件就相当于“当\(a ,b\)是正整数，由\(a+b>ab\)可以等价推导出什么结论”；
②\(p\)是\(q\)充要条件就是相当于两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做“等价转化”，在推导问题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析.
 

【典题3】若\(“x^{2}-3 x-4>0 "\)是\(“x^{2}-3 a x-10 a^{2}>0 "\)的必要不充分条件，求实数\(a\)的取值范围.
【解析】由\(x^{2}-3 x-4>0\)得\(x>4\)或\(x<-1\)，
即不等式的解集为\(A＝\{x|x>4或x<-1\}\)，
由\(x^2-3ax-10a^2>0\)得\((x+2a)(x-5a)>0\)，
若\(a=0\)，则不等式的解为\(a>0\)，
此时不等式的解集为为\(B＝\{x|x≠0\}\)，
若\(a>0\)，则不等式的解集为\(B＝\{x|x>5a或x<-2a\}\)，
若\(a<0\)，不等式的解集为\(B＝\{x|x>-2a或x<5a\}\)，
\({\color{Red}{(求解含参的不等式，注意分类讨论) }}\)
若\(“x^{2}-3 x-4>0 "\)是\(“x^{2}-3 a x-10 a^{2}>0 "\)的必要不充分条件，则\(B\subseteq A\)，
\({\color{Red}{(从集合的角度去思考充分必要条件问题) }}\)
则当\(a＝0\)时，不满足条件．
当\(a>0\)时，则满足\(\left\{\begin{array}{l} 5 a \geq 4 \\ -2 a<-1 \end{array}\right.\)，解得\(a \geq \dfrac{4}{5}\)，
当\(a<0\)时，则满足\(\left\{\begin{array}{l} -2 a \geq 4 \\ 5 a \leq-1 \end{array}\right.\)，解得\(a≤-2\)．
综上实数\(a\)的取值范围\(\left\{a \mid a \leq-2 \text { 或 } a \geq \dfrac{4}{5}\right\}\).
【点拨】
① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根\(“5a ,-2a”\)的大小比较，才有了\(“a=0 ,a>0 ,a<0"\)的分类；
② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”.
 

巩固练习

1(★★) 已知\(a>0\),\(b>0\),\(m∈R\), 则\(“a≤b”\)的一个必要不充分条件是 (　　)
A．\(a^{m} \leq b^{m}\)
B．\(\dfrac{a}{m^{2}} \leq \dfrac{b}{m^{2}}\)
C．\(a m^{2} \leq b m^{2}\)
D．\(a+m^2≤b+m^2\)
 

2(★★★) 设\(a ,b∈R\)，命\(题p：a>b\)，命题\(q：a|a|>b|b|\)，则\(p\)是\(q\)的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
 

3 (★★) 在关于\(x\)的不等式\(ax^2+2x+1>0\)中，\(“a>1”\)是\(“ax^2+2x+1>0\)恒成立”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
 

4(★★★) 已知命题\(p：x<2m+1\),\(q：x^2－5x+6<0\)，且\(p\)是\(q\)的必要不充分条件，则实数\(m\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
 

5(★★★) 已知\(p：(x+1)(2－x)≥0\)，\(q：\)关于\(x\)的不等式\(x^2+2mx－m+6>0\)恒成立．
(1)当\(x∈R\)时\(q\)成立，求实数\(m\)的取值范围；
(2)若\(p\)是\(q\)的充分不必要条件，求实数\(m\)的取值范围．
 
 

答案

1.\(C\)
2.\(C\)
3.\(C\)
4.\(m≥1\)
5.\((1) (－3 ,2)\)\(\text { (2) }-\dfrac{10}{3}<m<\dfrac{7}{3}\)

 

【题型二】 全称量词与存在量词

【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)\(\forall x \in \boldsymbol{N}, x^{3}>x^{2}\)；
(2)所有可以被\(5\)整除的整数，末位数字都是\(0\)；
(3)\(∃x_0∈R ,x_0^2－x_0+1≤0\)；
(4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【解析】(1)全称命题，当\(x＝0\)时，结论不成立，所以为假命题．
命题的否定：\(∃x∈N ,x^3≤x^2.\).
(2)全称命题，所有可以被\(5\)整除的整数，末位数字都是\(0\)或\(5\)；为假命题．
命题的否定：存在可以被\(5\)整除的整数，末位数字不都是\(0\)；(这里不能写“都不是”)
(3)特称命题，\(x_{0}^{2}-x_{0}+1=\left(x_{0}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4} \geq \dfrac{3}{4}\)，所以结论不成立，为假命题．
命题的否定：\(∀x∈R ,x^2－x+1>0\)．
(4)特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．
命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．
【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
 

【典题2】若命题“\(∀x∈[1 ,4]\)时，\(x^2-4x-m≠0\)”是假命题，则\(m\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】\(∵“∀x∈[1 ,4] ,x^2-4x-m≠0”\)是假命题，
\(∴\)该命题的否定\("∃x_0∈[1 ,4] ,x_0^2-4x_0-m=0"\)是真命题，
即方程\(x^2-4x-m=0\)在\([1 ,4]\)上有解，
\(∴(1-4-m)(16-16-m)≤0\)，解得\(-4≤m≤0\).
【点拨】
① 命题与命题的否定的真假性相反；
② 正面不好证明，可从反面入手.
 

巩固练习

1(★) 命题\(“∃x∈R ,x^2-x+1<0”\)的否定是\(\underline{\quad \quad}\).
 
2(★★) 若命题\(“∃x_0∈R，3x_0^2+2ax_0+1<0”\)是假命题，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
 
3(★★) 已知命题\(“∃x_0∈[-1 ,1] ,-x_0^2+3x_0+a>0”\)为真命题，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

挑战学霸
设数集\(S=\{a ,b ,c ,d\}\)满足下列两个条件：
(1)\(∀x ,y∈S\)，\(xy∈S\)；
(2)\(∀x ,y ,z∈S\)或\(x≠y\)，则\(xz≠yz\)．
现给出如下论断：
①\(a ,b ,c ,d\)中必有一个为\(0\)；
②\(a ,b ,c ,d\)中必有一个为\(1\)；
③若\(x∈S\)且\(xy=1\)，则\(y∈S\)；
④存在互不相等的\(x ,y ,z∈S\)，使得\(x^2=y\)，\(y^2=z\)．
其中正确论断的个数是\(\underline{\quad \quad}\).
 
 

参考答案

1.\(∀x∈R ,x^2-x+1≥0\)
2.\([-\sqrt{3}, \sqrt{3}]\)
3.\((-2 ,+∞)\)
 
挑战学霸
解 由(2)知\(0\)不属于\(S\)(①不成立)，
由(1)可推出对于任意\(a ,b ,c ,d∈S\),\(abcd∈S\)，
\(∴abcd\)等于\(a ,b ,c ,d\)中的某一个，
不妨设\(abcd=a\)，
\(∵a≠0\)，\(∴bcd=1\)(由(1)知②成立)，
\(∴\)若③中\(x=b\)，则\(y=cd\)，
由(1)知\(cd∈S\)，即\(y∈S\)，
\(∴x=b\)时③成立，
同理有\(x=c\)时③成立和\(x=d\)时③成立，
下面讨论\(x=a\)时，
\(∵1∈S\)，\(∴\)若\(a=1\)，则\(y=1∈S\)，③成立(最后会证到\(a\)即\(abcd\)不可能等于\(1\))，
若\(a≠1\)，则\(b ,c ,d\)中的某个等于\(1\)，
不妨设\(b=1\)，由\(bcd=1\)知\(cd=1\)，
由(1)知\(ac∈S\)，又\(∵ac≠a\)(即\(c≠1\))，\(ac≠b\)(即\(a≠d\))，\(ac≠c\)(即\(a≠1\))，
\(∴ac=d\)，
同理有\(ad=c\)，
\(∴ac\cdot ad=d\cdot c\)，\(∴a^2=1\)，\(∴a=-1\)，
\(∴y=-1∈S\)，\(∴\)③成立，
综上，对于任意\(x∈S\),\(xy=1\)，有\(y∈S\)成立，即③成立，
由\(a≠1\)即\(abcd≠1\)的讨论可知
当\(abcd≠1\)时，\(S=\{1 ,-1 ,i ,-i\}\)，
(联立\(cd=1\),\(ac=d\),\(ad=c\)解出\(a ,c ,d\))
此时，④成立，
若\(a=1\)即\(abcd=1\)，则\(bcd=1=a\)，由1知\(cd∈S\)，
若\(cd=a=1\)，则\(b=bcd=a\)，不可能，
若\(cd=c\)，则\(d=1=a\)，不可能，
若\(cd=d\)，则\(c=1=a\)，不可能，
\(∴cd=b\)，
\(∴b^2=b\cdot cd=a\)，
同理有\(c^2=a ,d^2=a\)，
\(∵a\)的平方根有且只有两个值，
那么\(b ,c ,d\)中至少有两个相同，这与\(b ,c ,d\)同属于\(S\)矛盾，
\(∴\)不存在\(a=1\)即\(abcd=1\)的情况，
\(∴\)④成立．
故选正确\(3\)个．