1.1 集合
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[ 【高分突破系列】高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习]
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模块导图
集合的含义与表示
知识剖析
1 元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员).
2 集合的元素特征
①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
\({\color{Red}{ Eg }}\)：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故“帅哥”不能组成集合.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
\({\color{Red}{ Eg }}\)：两个学生名字都是“熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别.
若集合\(A=\{1，2，a\}\)，就意味\(a\neq1\)且\(a\neq2\).
③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
\({\color{Red}{ Eg }}\)：高一(1)班每月都换座位也改变不了它是(1)班的事实，\(\{1，2，3\}=\{2，3，1\}\).
3 元素与集合的关系
若\(a\)是集合\(A\)的元素，则称\(a\)属于集合\(A\)，记作\(a\in A\)；
若\(a\)不是集合\(A\)的元素，则称\(a\)不属于集合\(A\)，记作\(a\notin A\).
\({\color{Red}{ Eg }}\)：菱形\(\notin \{\)平行四边形\(\}\)，\(0\in N\)，\(0\notin \{1，2，3，4\}\).
\({\color{Red}{ 脑筋急转弯}}\)你能证明上帝不是万能的么？
答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)
4 常用数集
自然数集(或非负整数集)，记作\(N\)；正整数集，记作\(N^*\)或\(N_+\)；整数集，记作\(Z\)；
有理数集，记作\(Q\)；实数集，记作\(R\).
5 集合的分类
有限集，无限集，空集\(\emptyset\).
\({\color{Red}{ Eg }}\)：奇数集\(\{x \mid x=2 n+1, n \in Z\}\)属于无限集，\(\left\{x \in R \mid x^{2}+1=0\right\}=\emptyset\).
6 集合的表示方法
①列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.
②描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式：\(\{x \in A \mid p(x)\}\).
用符号描述法表示集合时应注意：
\((1)\)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式？
\((2)\)元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
\({\color{Red}{ Eg }}\)：
\((1)A=\{x|x^2-x-2=0\}\)——方程\(x^2-x-2=0\)的解，即\(A=\{-1，2\}\)；
\((2)B=\{x|x^2-x-2<0\}\)——不等式\(x^2-x-2<0\)的解集，即\(B=\{x|-1<x<2\}\)；
\((3)C=\{x|y=x^2-x-2\}\)——函数\(y=x^2-x-2\)的定义域，即\(C=R\)；
\((4)D=\{y|y=x^2-x-2\}\)———函数\(y=x^2-x-2\)的值域，即\(D=\{y|y>\dfrac{9}{4}\}\)；
\((5)E=\{(x，y)|y=x^2-x-2\}\)———函数\(y=x^2-x-2\)的图像，它是个点集.
经典例题
【典题1】下列说法正确的是 ( )
A 某个村子里的高个子组成一个集合；
B 所有小的正数组成的集合；
C 集合\(\{1,2,3,4,5\}\)和\(\{5,4,3,2,1\}\)表示同一个集合；
D\(1,0.5,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{6}{4},\sqrt{\dfrac{1}{4}}\)这些数组成的集合有五个元素.
【解析】由于"高个子"、"小的"没有一个明确的标准，\(A,B\)的对象不具备确定性；
\(D\)中的三个数\(0.5,\dfrac{1}{2},\sqrt{\dfrac{1}{4}}\)相等，\(\dfrac{3}{2},\dfrac{6}{4}\)相等，故集合只有\(3\)个元素；集合具有无序性，所以是正确的；
故选\(C\).
【点拨】本题考核集合元素的三要素.
【典题2】设集合\(A=\left\{2,1-a, a^{2}-a+2\right\}\)，若\(4\in A\)，则\(a=\)\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(\because 4 \in A\)，
\(\therefore 1-a=4\)或\(a^2-a+2=4\)，
①若\(1-a=4\)，则\(a=-3\)，
此时\(a^2-a+2=14\)，\(\therefore A=\{2,4,14\}\)；
②若\(a^2-a+2=4\)，则\(a=2\)或\(a=-1\)
\(a=2\)时，\(A=\{2,-1,4\}\)；
\(a=-1\)时，\(A=\{2,2,4\}\)，不符合集合的互异性，故\(a\neq-1\).
综上\(a=2\)或\(a=-3\)．
【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；当\(a=-1\)时，\(A=\{2,2,4\}\)，不符合集合的互异性，故求出集合后最好做下检查.
【典题3】用列举法表示集合\(A=\left\{\dfrac{6}{x-2} \in Z \mid x \in N\right\}=\)\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】根据\(x\in N\)，且\(\dfrac{6}{x-2} \in Z\)可得：
\(x=0\)时，\(\dfrac{6}{x-2}=-3\)；
\(x=1\)时，\(\dfrac{6}{x-2}=-6\)；
\(x=3\)时，\(\dfrac{6}{x-2}=6\)；
\(x=4\)时，\(\dfrac{6}{x-2}=3\)；
\(x=5\)时，\(\dfrac{6}{x-2}=2\)；
\(x=8\)时，\(\dfrac{6}{x-2}=1\)．
所以\(A=\{-3,-6,6,3,2,1\}\).
【点拨】
①看集合先确定元素类型(本题中元素是“\(\dfrac{6}{x-2}\)”，而不是“\(x\)”)，再看元素需要满足的条件；
②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.
【典题4】若集合\(A=\left\{x \mid a x^{2}+2 x+1=0, a \in \boldsymbol{R}\right\}\)至多有一个元素，则\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】因为集合\(A=\left\{x \mid a x^{2}+2 x+1=0, a \in \boldsymbol{R}\right\}\)至多有一个元素，
所以\(a=0\)或\(\left\{\begin{array}{l}
a \neq 0 \\
\triangle=4-4 a \leq 0
\end{array}\right.\)，
解得\(a=0\)或\(a \geq 1\).
所以\(a\)的取值范围是\(\{a \mid a=0 \text { 或 } a \geq 1\}\)．
【点拨】注意二次项系数是否等于\(0\)，先确认函数类型.
巩固练习
1 (★★) 设集合\(M=\{x \mid x=3 k, k \in Z\}\)，\(P=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}\)，\(Q=\{x \mid x=3 k-1, k \in Z\}\)，若\(a \in M, b \in P, c \in Q\)，则\(a+b-c \in\)( )
A.\(M\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B. \(P\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(Q\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D.\(M UP\)
2 (★★) 若集合\(A=\left\{x \mid k x^{2}+4 x+4=0, x \in R\right\}\)中只有一个元素，则实数\(k\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
3 (★★) 用列举法表示集合\(\left\{m \mid \dfrac{m-2}{3} \in N, m \in N, m \leq 10\right\}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
答案
1.\(A\)
2.\(0或1\)
3.\(\{2 ,5 ,8\}\)
集合间的关系
知识剖析
1 子集
①概念
对于两个集合\(A,B\)，如果集合\(A\)的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合\(A\)是集合\(B\)的子集.
记作：\(A \subseteq B\)(或\(B \supseteq A\))，读作：\(A\)包含于\(B\)，或\(B\)包含\(A\).
当集合\(A\)不包含于集合\(B\)时，记作(\(A \nsubseteq B\)或\(B \nsupseteq A\)).
②\(Venn\)图
2 真子集
概念：若集合\(A \subseteq B\)，但存在元素\(x \in B\)且\(x \notin A\)，则称集合\(A\)是集合\(B\)的真子集.
记作：\(A \subset B\)(或\(B \supset A\))
读作：\(A\)真包含于\(B\)(或\(B\)真包含)
\({\color{Red}{类比 }}\) \(\subseteq\)与\(\subset\)的关系就好比\(\leq\)与\(<\)的关系，“\(\leq\)”是小于或等于，“\(\subseteq\)”是真包含或相等；
\({\color{Red}{ Eg }}\)：\(3\leq3\)是对的，而是\(3<3\)错的，若\(a<b\)，则\(a\leq b\)也成立；
对比下，\(A\subseteq A\)是对的，但是\(A\subset A\)错的，若\(A\subset B\)，则\(A\subseteq B\)也成立.
3 集合相等
如果\(A\)是集合\(B\)的子集，且集合\(B\)是集合\(A\)的子集，则集合\(A\)与集合\(B\)相等．
即\(A \subseteq B\)且\(B \subseteq A\)\(\Leftrightarrow A=B\).
4 几个结论
① 空集是任何集合的子集：\(\emptyset \subseteq A\)；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合\(A,B,C\)，如果\(A \subseteq B\)且\(B \subseteq C\)，那么\(A \subseteq C\)；
⑤ 集合中有\(n\)个元素，则子集的个数为\(2^n\)，真子集的个数为\(2^n-1\).
经典例题
【典题1】求集合\(A=\{x \in N \mid 0<x<4\}\)的子集个数.
【解析】集合\(A=\{x \in N \mid 0<x<4\}=\{1,2,3\}\)，
\({\color{Red}{ (先化简集合) }}\)
则其子集有\(\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\}\)，\(\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\)共\(2^3=8\)个．
【点拨】
①讨论集合的子集，不要漏了空集与自身；
②集合中有\(n\)个元素，则子集的个数为\(2^n\)，真子集的个数为\(2^n-1\).
【典题2】已知集合\(A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\}\)，\(B=\left\{x \mid x^{2}+2(a+1) x+a^{2}-5=0\right\}\)，若\(B \subseteq A\)，则\(a\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】由题得\(A=\{1,2\}\)，因为\(B \subseteq A\)，则\(B=\emptyset\)或\(\{1\}\)或\(\{2\}\)或\(\{1,2\}\)，
①当\(B=\emptyset\)，所以\(\Delta=4(a+1)^{2}-4\left(a^{2}-5\right)=8 a+24<0\)，解得\(a<-3\)；
②当\(B=\{1\}\)，则\(\left\{\begin{array}{l}
\triangle=8 a+24=0 \\
1+2(a+1)+a^{2}-5=0
\end{array}\right.\)，无解；
\({\color{Red}{ (不要漏了\Delta=0)}}\)
③当\(B=\{2\}\)，则\(\left\{\begin{array}{l}
\Delta=8 a+24=0 \\
4+4(a+1)+a^{2}-5=0
\end{array}\right.\)，解得\(a=3\)；
④当\(B=\{1,2\}\)，则无解．
综上．
【点拨】若\(B \subseteq A\)，注意不能忽略了\(B=\emptyset\)这种情况.
【典题3】已知\(A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+4 \leq 0\right\}\)，\(B=\left\{x \mid x^{2}-2 a x+a+2 \leq 0\right\}\)且\(B \subseteq A\)，
则\(a\)的取值范围为 \(\underline{\quad \quad}\).
【解析】由题意\(A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+4 \leq 0\right\}=\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}\)，
\(B=\left\{x \mid x^{2}-2 a x+a+2 \leq 0\right\}\)
\(\because B \subseteq A\)
\({\color{Red}{ (分B=\emptyset或B \neq \emptyset两种情况讨论)}}\)
\(∴(i)\)当\(B=\emptyset\)时，\(x^{2}-2 a x+a+2 \leq 0\)无解，
即\(\Delta<0 \Rightarrow 4 a^{2}-4(a+2)<0\)，解得\(-1<a<2\)．
\((ii)\)当\(B \neq \emptyset\)时，要使\(B \subseteq A\)成立，
令\(f(x)=x^{2}-2 a x+a+2\)，
要满足题意，由二次函数的图像可知\(\left\{\begin{array}{c}
\Delta \geq 0 \\
1<-\dfrac{-2 a}{2}<4 \\
f(1) \geq 0 \\
f(4) \geq 0
\end{array}\right.\)，解得\(2 \leq a \leq \dfrac{18}{7}\)，
(\({\color{Red}{如图所示 }}\)
）
综上可得\(-1<a \leq \dfrac{18}{7}\)．
【点拨】本题涉及到二次函数零点的分布问题，注意利用数形结合的方法进行求解.
巩固练习
1(★★)已知集合\(A=\left\{x \mid x=k+\dfrac{1}{6}, k \in N\right\}\)，\(B=\left\{x \mid x=\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{3}, m \in N\right\}\)，\(C=\left\{x \mid x=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{6}, n \in N\right\}\)，则集合\(A\)、\(B\)、\(C\)的大小关系是( )
A．\(A⫋C⫋B\) \(\qquad \qquad\) B．\(C⫋A⫋B\) \(\qquad \qquad\)C．\(A⫋B=C\)\(\qquad \qquad\) D．\(A⫋B⫋C\)
2(★★)已知集合\(A=\{x|x>1\}\),\(B=\{x \mid a x>1\}\)，若\(B⊆A\)，则实数\(a\)的取值范围\(\underline{\quad \quad}\).
3(★★★)已知集合\(A=\{x \mid 1 \leq x \leq 2\}\),\(B=\left\{x \mid x^{2}-a x+4 \geq 0\right\}\), 若\(A⊆B\)，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
1.\(A\)
2.\([0 ,1]\)
3.\(a<4.\)
集合的基本运算
知识剖析
1 并集、交集、补集
2 结论
若\(A \cap B=A\)，则\(A \subseteq B\)；
若\(A \cup B=A\)，则\(B \subseteq A\).
3 运算律
① 交换律\(A \cup B=B \cup A\)，\(A \cap B=B \cap A\)；
② 结合律\((A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)\)，\((A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)\)；
③ 分配律\((A \cap B) \cup C=(A \cap C) \cup(B \cap C)\)，\((A \cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C)\)；
④ 德摩根律\(\mathrm{C}_{U}(A \cup B)=\left(\mathrm{C}_{U} A\right) \cap\left(\mathrm{C}_{U} B\right)\)，\(C_{U}(A \cap B)=\left(C_{U} A\right) \cup\left(C_{U} B\right)\).
经典例题
【典题1】离散型集合运算
已知集合\(U=\{x \in Z \mid-3<x<8\}\),\(C_{U} M=\{-2,1,3,4,7\}\)} ,\(N=\{-2,-1,2,4,5,7\}\)
则\(M \cap N\)的元素个数为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(U=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\)，
则\(M=\{-1,0,2,5,6\}\),
\(\therefore M \cap N=\{-1,2,5\}\)，
\(\therefore M \cap N\)的元素个数为\(3\)．
【典题2】连续型集合运算
已知全集\(U=R\), 集合\(A=\{x|x^2-3x-4<0\}\),\(B=\{x|x-1≤0\}\), 则集合\(A \cap C_{U} B=\)\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(\because A=\{x \mid-1<x<4\}\)，\(B=\{x \mid x \leq 1\}\)，\(U=R\)
\(\therefore C_{U} B=\{x \mid x>1\}\)，\(\therefore A \cap C_{U} B=\{x \mid 1<x<4\}\)．
【点拨】关于集合的运算，先看清楚集合的元素，把集合化简成最简单的形式，当涉及到不等式可以借助数轴.
【典题3】设\(A=\left\{x \mid x^{2}+8 x=0\right\}\),\(B=\left\{x \mid x^{2}+2(a+2) x+a^{2}-4=0\right\}\)，其中\(a∈R\)，
如果\(A \cup B=A\)，求实数\(a\)的取值范围.
【解析】\(∵x^2+8x=0\)，\(∴x(x+8)=0\)，
解得\(x=0\)或\(x=-8\)，\(∴A=\{0 ,-8\}\)．
\(\because A \cup B=A\),\(\therefore B \subseteq A\)
\({\color{Red}{ (利用venn图理解下这个结论) }}\)
\(∴B\)可能为\(∅ ,\{0\} ,\{-8\} ,\{0 ,-8\}\)．
方程\(x^{2}+2(a+2) x+a^{2}-4=0(\otimes)\)的\(\Delta=4(a+2)^{2}-4\left(a^{2}-4\right)=16(a+2)\)．
①当\(\Delta=0\)，即\(a=-2\)时，此时\(B=\{0\}\)，适合题意．
②当\(△＜0\)，即\(a＜-2\)时，得\(B=∅\)，适合题意．
③当\(△＞0\)，即\(a＞-2\)时，方程(⊗)由两个不等根，若为\(0 ,-8\)，
则必须满足\(\left\{\begin{array}{l}
-8+0=-2(a+2) \\
-8 \times 0=a^{2}-4
\end{array}\right.\)，解得\(a=2\)． \({\color{Red}{ (韦达定理) }}\)
综上可知：实数\(a\)的取值范围是\(\{a|a=2或a≤-2\}\)．
【点拨】遇到子集的问题:\(B⊆A\)，不要漏了\(B=∅\)的情况.
【典题4】已知\(A=\{x|x^2-4x+3≤0\}\),\(B=\{x|x^2+mx+n<0\}\), 且\(A \cap B \neq \emptyset\)，
\(A \cup B=\{x \mid 1 \leq x<4\}\)，求\(m\)的取值范围.
【解析】由题意\(A=\{x|1≤x≤3\}\)， \(\because A \cap B \neq \emptyset\)，\(A \cup B=\{x \mid 1 \leq x<4\}\)
(\({\color{Red}{此时画数轴分析下，会清晰很多 }}\)
）
\({\color{Red}{ 则易知a、4是方程x^2+mx+n=0的根，且1≤a<3}}\))
\(∴x=4\)是方程\(x^2+mx+n=0\)的一个根，
即\(16+4m+n=0\), 并且另一个根在\([1 ,3)\)上，
(\({\color{Red}{此时还是试试画出满足条件的f(x)=x^2+mx+n函数图象，体会下数形结合的威力 }}\)
）
\(∴\)设函数\(f(x)=x^2+mx+n\), 则\(f(1)f(3)≤0\), 其中\(f(3)≠0\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l}
16+4 m+n=0 \\
(1+m+n)(9+3 m+n) \leq 0 \\
9+3 m+n \neq 0
\end{array}\right.\)，
解得\(-7<m≤-5\).
【点拨】在处理类似本题集合综合运算时，多结合图象进行思考.
巩固练习
1(★)设集合\(P=\{x|x+2≥x^2\}\)，\(Q=\{x∈N||x|≤3\}\)，则\(P \cap Q=\)\(\underline{\quad \quad}\).
2(★)已知集合\(A=\{x|x^2-x-2<0\}\)，\(B=\{x|a-2<x<a\}\), 若\(A \cap B=\{x \mid-1<x<0\}\)，则\(A \cup B=\)\(\underline{\quad \quad}\).
3(★★)已知集合\(A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+6=0\right\}\),\(B=\{x│mx+1=0\}\),若\(A \cup B=A\), 则实数\(m\)的取值集合为\(\underline{\quad \quad}\) .
挑战学霸
1已知集合\(A=\{x \mid x=m+n \sqrt{3}\)\(，且\left.m^{2}-3 n^{2}=1, m, n \in Z\right\}\)．
(1)证明：若\(x∈A\)，则\(x+\dfrac{1}{x}\)是偶数；
(2)设\(a∈A\)，且\(1<a<4\)，求实数\(a\)的值；
(3)设\(c∈A\)，求证：\(\dfrac{c}{2+\sqrt{3}} \in A\)；并求满足\(2+\sqrt{3}<c \leq(2+\sqrt{3})^{2}\)的\(c\)的值．
2 (清华大学自招真题)
集合\(A=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\}\)，任取\(1 \leq i<j<k \leq n\)，\(a_i+a_j∈A\),\(a_j+a_k∈A ,a_i+a_k∈A\),
这三个式子中至少有一个成立，则\(n\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
1.\({0 ,1 ,2}\)
2.\((-2 ,2)\)
3.\(\left\{-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, 0\right\}\)
挑战学霸
-
解 (1)因为\(x∈A\), 不妨设\(x=m+n \sqrt{3}\),
则\(x+\dfrac{1}{x}=(m+n \sqrt{3})+\dfrac{1}{m+\sqrt{3} n}\)\(=m+\sqrt{3} n+\dfrac{m-\sqrt{3} n}{m^{2}-3 n^{2}}\)，
由\(m^{2}-3 n^{2}=1\)可得\(x+\dfrac{1}{x}=2 m\)
因为\(m∈Z\), 所以\(x+\dfrac{1}{x}\)为偶数．
(2)因为\(x∈A\), 不妨设\(x=m+n \sqrt{3}\)，
由\(1<a<4\)可得\(\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{a}<1\)，
由(1)可得\(a+\dfrac{1}{a}=2 m\)，
所以\(\dfrac{5}{4}<2 m<5\)，即\(\dfrac{5}{8}<m<\dfrac{5}{2}\)
又因为\(m^{2}-3 n^{2}=1\)，\(m ,n∈Z\), 则\(m=1\)或\(2\)
当\(m=1\)时\(n=0\)不符合，
当\(m=2\)时，\(n=1\)符合题意，即\(a=2+\sqrt{3}\)，
(3)证明：因为\(c∈A\)， 则设\(c=m+n \sqrt{3}\)，
则\(\dfrac{c}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{m+\sqrt{3} n}{2+\sqrt{3}}\)\(=\dfrac{(m+\sqrt{3} n)(2-\sqrt{3})}{4-3}=(2 m-3 n)+\sqrt{3}(2 n-m)\)
显然\(2m-3n、2n-m∈Z\),
此时\((2 m+3 n)^{2}-3(2 n-m)^{2}=1\)符合集合\(A\)定义，
因为\(2+\sqrt{3}<c \leq(2+\sqrt{3})^{2}\)
推出\(1<\dfrac{c}{2+\sqrt{3}} \leq 2+\sqrt{3}\)
可得\(\dfrac{c}{2+\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}\)，
故\(c=(2+\sqrt{3})^{2}=7+4 \sqrt{3}\)．
-
解 不妨假设\(a_1>a_2>⋯>a_n\)，若集合\(A\)中的正数个数大于等于\(4\)，由于\(a_2+a_3\)和\(a_2+a_4\)均大于\(a_2\)，于是有\(a_2+a_3=a_2+a_4=a_1\)，从而\(a_3=a_4\)，矛盾！
所以集合\(A\)中至多有\(3\)个正数，
同理集合\(A\)中最多有\(3\)个负数，
取\(A=\{-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3\}\)，满足题意，所以\(n\)的最大值为\(7\).
