1.1 集合

${\color {Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}$
[【高分突破系列】高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习]
(https://www.zxxk.com/docpack/2783085.html)
${\color {Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}$

必修第一册同步拔高练习，难度 2 颗星！

模块导图

 

集合的含义与表示

知识剖析

1 元素与集合的概念
一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合 (或集)，构成集合的每个对象叫做这个集合的元素 (或成员).
 

2 集合的元素特征
①确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
${\color{Red}{ Eg }}$：街上叫声帅哥，是男的都回个头，帅哥没有明确的标准，故 “帅哥” 不能组成集合.
②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.
${\color{Red}{ Eg }}$：两个学生名字都是 “熊涛”，老师也要给他们起小名熊大熊二，以视区别.
若集合 $A=\{1，2，a\}$，就意味 $a\neq1$ 且 $a\neq2$.
③无序性：集合中的元素无顺序，可以任意排列、调换.
${\color{Red}{ Eg }}$：高一 (1) 班每月都换座位也改变不了它是 (1) 班的事实，$\{1，2，3\}=\{2，3，1\}$.

 

3 元素与集合的关系
若 $a$ 是集合 $A$ 的元素，则称 $a$ 属于集合 $A$，记作 $a\in A$；
若 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，则称 $a$ 不属于集合 $A$，记作 $a\notin A$.
${\color{Red}{ Eg }}$：菱形 $\notin \{$ 平行四边形 $\}$，$0\in N$，$0\notin \{1，2，3，4\}$.
${\color {Red}{ 脑筋急转弯}}$ 你能证明上帝不是万能的么？
答案：如果上帝万能，他能否创造一块他举不起来的石头么？(这跟集合有什么关系呢？)
 

4 常用数集
自然数集 (或非负整数集)，记作 $N$；正整数集，记作 $N^*$ 或 $N_+$；整数集，记作 $Z$；
有理数集，记作 $Q$；实数集，记作 $R$.
 

5 集合的分类
有限集，无限集，空集 $\emptyset$.
${\color{Red}{ Eg }}$：奇数集 $\{x \mid x=2 n+1, n \in Z\}$ 属于无限集，$\left\{x \in R \mid x^{2}+1=0\right\}=\emptyset$.

 

6 集合的表示方法
①列举法
把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法.
②描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法.
方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 (或变化) 范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：$\{x \in A \mid p(x)\}$.
用符号描述法表示集合时应注意：
$(1)$ 弄清元素所具有的形式 (即代表元素是什么) 是数还是点、还是集合、还是其他形式？
$(2)$ 元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.
${\color{Red}{ Eg }}$：
$(1)A=\{x|x^2-x-2=0\}$—— 方程 $x^2-x-2=0$ 的解，即 $A=\{-1，2\}$；
$(2)B=\{x|x^2-x-2<0\}$—— 不等式 $x^2-x-2<0$ 的解集，即 $B=\{x|-1<x<2\}$；
$(3)C=\{x|y=x^2-x-2\}$—— 函数 $y=x^2-x-2$ 的定义域，即 $C=R$；
$(4)D=\{y|y=x^2-x-2\}$——— 函数 $y=x^2-x-2$ 的值域，即 $D=\{y|y>\dfrac{9}{4}\}$；
$(5)E=\{(x，y)|y=x^2-x-2\}$——— 函数 $y=x^2-x-2$ 的图像，它是个点集.
 

经典例题

【典题 1】下列说法正确的是 ( )
A 某个村子里的高个子组成一个集合；
B 所有小的正数组成的集合；
C 集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 和 $\{5,4,3,2,1\}$ 表示同一个集合；
D$1,0.5,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2},\dfrac{6}{4},\sqrt{\dfrac{1}{4}}$ 这些数组成的集合有五个元素.
【解析】由于 "高个子"、"小的" 没有一个明确的标准，$A,B$ 的对象不具备确定性；
$D$ 中的三个数 $0.5,\dfrac{1}{2},\sqrt{\dfrac{1}{4}}$ 相等，$\dfrac{3}{2},\dfrac{6}{4}$ 相等，故集合只有 $3$ 个元素；集合具有无序性，所以是正确的；
故选 $C$.
【点拨】本题考核集合元素的三要素.
 

【典题 2】设集合 $A=\left\{2,1-a, a^{2}-a+2\right\}$，若 $4\in A$，则 $a=$$\underline{\quad \quad}$.
【解析】$\because 4 \in A$，
$\therefore 1-a=4$ 或 $a^2-a+2=4$，
①若 $1-a=4$，则 $a=-3$，
此时 $a^2-a+2=14$，$\therefore A=\{2,4,14\}$；
②若 $a^2-a+2=4$，则 $a=2$ 或 $a=-1$
$a=2$ 时，$A=\{2,-1,4\}$；
$a=-1$ 时，$A=\{2,2,4\}$，不符合集合的互异性，故 $a\neq-1$.
综上 $a=2$ 或 $a=-3$．
【点拨】本题考核集合元素的特征和元素与集合的关系；当 $a=-1$ 时，$A=\{2,2,4\}$，不符合集合的互异性，故求出集合后最好做下检查.
 

【典题 3】用列举法表示集合 $A=\left\{\dfrac{6}{x-2} \in Z \mid x \in N\right\}=$$\underline{\quad \quad}$.
【解析】根据 $x\in N$，且 $\dfrac{6}{x-2} \in Z$ 可得：
$x=0$ 时，$\dfrac{6}{x-2}=-3$；
$x=1$ 时，$\dfrac{6}{x-2}=-6$；
$x=3$ 时，$\dfrac{6}{x-2}=6$；
$x=4$ 时，$\dfrac{6}{x-2}=3$；
$x=5$ 时，$\dfrac{6}{x-2}=2$；
$x=8$ 时，$\dfrac{6}{x-2}=1$．
所以 $A=\{-3,-6,6,3,2,1\}$.
【点拨】
①看集合先确定元素类型 (本题中元素是 “$\dfrac{6}{x-2}$”，而不是 “$x$”)，再看元素需要满足的条件；
②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合.
 

【典题 4】若集合 $A=\left\{x \mid a x^{2}+2 x+1=0, a \in \boldsymbol{R}\right\}$ 至多有一个元素，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$．
【解析】因为集合 $A=\left\{x \mid a x^{2}+2 x+1=0, a \in \boldsymbol{R}\right\}$ 至多有一个元素，
所以 $a=0$ 或 $\left\{\begin{array}{l} a \neq 0 \\ \triangle=4-4 a \leq 0 \end{array}\right.$，
解得 $a=0$ 或 $a \geq 1$.
所以 $a$ 的取值范围是 $\{a \mid a=0 \text { 或} a \geq 1\}$．
【点拨】注意二次项系数是否等于 $0$，先确认函数类型.
 

巩固练习

1 (★★) 设集合 $M=\{x \mid x=3 k, k \in Z\}$，$P=\{x \mid x=3 k+1, k \in Z\}$，$Q=\{x \mid x=3 k-1, k \in Z\}$，若 $a \in M, b \in P, c \in Q$，则 $a+b-c \in$(　　)
  A.$M$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B. $P$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C.$Q$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$D.$M UP$
 
2 (★★) 若集合 $A=\left\{x \mid k x^{2}+4 x+4=0, x \in R\right\}$ 中只有一个元素，则实数 $k$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$．
 
3 (★★) 用列举法表示集合 $\left\{m \mid \dfrac{m-2}{3} \in N, m \in N, m \leq 10\right\}=$$\underline{\quad \quad}$．
 

答案

1.$A$
2.$0 或 1$
3.$\{2 ,5 ,8\}$
 

集合间的关系

知识剖析

1 子集
①概念
对于两个集合 $A,B$，如果集合 $A$ 的任何一个元素都是集合的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集.
记作：$A \subseteq B$(或 $B \supseteq A$)，读作：$A$ 包含于 $B$，或 $B$ 包含 $A$.
当集合 $A$ 不包含于集合 $B$ 时，记作 ($A \nsubseteq B$ 或 $B \nsupseteq A$).
 

②$Venn$ 图

 

2 真子集
概念：若集合 $A \subseteq B$，但存在元素 $x \in B$ 且 $x \notin A$，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集.
记作：$A \subset B$(或 $B \supset A$)
读作：$A$ 真包含于 $B$(或 $B$ 真包含)
${\color {Red}{类比 }}$ $\subseteq$ 与 $\subset$ 的关系就好比 $\leq$ 与 $<$ 的关系，“$\leq$” 是小于或等于，“$\subseteq$” 是真包含或相等；
${\color{Red}{ Eg }}$：$3\leq3$ 是对的，而是 $3<3$ 错的，若 $a<b$，则 $a\leq b$ 也成立；
对比下，$A\subseteq A$ 是对的，但是 $A\subset A$ 错的，若 $A\subset B$，则 $A\subseteq B$ 也成立.
 
3 集合相等
如果 $A$ 是集合 $B$ 的子集，且集合 $B$ 是集合 $A$ 的子集，则集合 $A$ 与集合 $B$ 相等．
即 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$$\Leftrightarrow A=B$.
 

4 几个结论
① 空集是任何集合的子集：$\emptyset \subseteq A$；
② 空集是任何非空集合的真子集；
③ 任何一个集合是它本身的子集；
④ 对于集合 $A,B,C$，如果 $A \subseteq B$ 且 $B \subseteq C$，那么 $A \subseteq C$；
⑤ 集合中有 $n$ 个元素，则子集的个数为 $2^n$，真子集的个数为 $2^n-1$.
 

经典例题

【典题 1】求集合 $A=\{x \in N \mid 0<x<4\}$ 的子集个数.
【解析】集合 $A=\{x \in N \mid 0<x<4\}=\{1,2,3\}$，
${\color {Red}{ (先化简集合) }}$
则其子集有 $\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\}$，$\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$ 共 $2^3=8$ 个．
【点拨】
①讨论集合的子集，不要漏了空集与自身；
②集合中有 $n$ 个元素，则子集的个数为 $2^n$，真子集的个数为 $2^n-1$.
 

【典题 2】已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\}$，$B=\left\{x \mid x^{2}+2(a+1) x+a^{2}-5=0\right\}$，若 $B \subseteq A$，则 $a$ 的取值范围 $\underline{\quad \quad}$．
【解析】由题得 $A=\{1,2\}$，因为 $B \subseteq A$，则 $B=\emptyset$ 或 $\{1\}$ 或 $\{2\}$ 或 $\{1,2\}$，
①当 $B=\emptyset$，所以 $\Delta=4(a+1)^{2}-4\left(a^{2}-5\right)=8 a+24<0$，解得 $a<-3$；
②当 $B=\{1\}$，则 $\left\{\begin{array}{l} \triangle=8 a+24=0 \\ 1+2(a+1)+a^{2}-5=0 \end{array}\right.$，无解；
${\color {Red}{ (不要漏了 \Delta=0)}}$
③当 $B=\{2\}$，则 $\left\{\begin{array}{l} \Delta=8 a+24=0 \\ 4+4(a+1)+a^{2}-5=0 \end{array}\right.$，解得 $a=3$；
④当 $B=\{1,2\}$，则无解．
综上．
【点拨】若 $B \subseteq A$，注意不能忽略了 $B=\emptyset$ 这种情况.
 

【典题 3】已知 $A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+4 \leq 0\right\}$，$B=\left\{x \mid x^{2}-2 a x+a+2 \leq 0\right\}$ 且 $B \subseteq A$，
则 $a$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$.
【解析】由题意 $A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+4 \leq 0\right\}=\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}$，
$B=\left\{x \mid x^{2}-2 a x+a+2 \leq 0\right\}$
$\because B \subseteq A$
${\color {Red}{ (分 B=\emptyset 或 B \neq \emptyset 两种情况讨论)}}$
$∴(i)$ 当 $B=\emptyset$ 时，$x^{2}-2 a x+a+2 \leq 0$ 无解，
即 $\Delta<0 \Rightarrow 4 a^{2}-4(a+2)<0$，解得 $-1<a<2$．
$(ii)$ 当 $B \neq \emptyset$ 时，要使 $B \subseteq A$ 成立，
令 $f(x)=x^{2}-2 a x+a+2$，
要满足题意，由二次函数的图像可知 $\left\{\begin{array}{c} \Delta \geq 0 \\ 1<-\dfrac{-2 a}{2}<4 \\ f(1) \geq 0 \\ f(4) \geq 0 \end{array}\right.$，解得 $2 \leq a \leq \dfrac{18}{7}$，
(${\color {Red}{如图所示 }}$ ）

综上可得 $-1<a \leq \dfrac{18}{7}$．
【点拨】本题涉及到二次函数零点的分布问题，注意利用数形结合的方法进行求解.
 

巩固练习

1(★★) 已知集合 $A=\left\{x \mid x=k+\dfrac{1}{6}, k \in N\right\}$，$B=\left\{x \mid x=\dfrac{m}{2}-\dfrac{1}{3}, m \in N\right\}$，$C=\left\{x \mid x=\dfrac{n}{2}+\dfrac{1}{6}, n \in N\right\}$，则集合 $A$、$B$、$C$ 的大小关系是 (　　)
  A．$A⫋C⫋B$ $\qquad \qquad$ B．$C⫋A⫋B$ $\qquad \qquad$C．$A⫋B=C$$\qquad \qquad$ D．$A⫋B⫋C$
 

2(★★) 已知集合 $A=\{x|x>1\}$,$B=\{x \mid a x>1\}$，若 $B⊆A$，则实数 $a$ 的取值范围 $\underline{\quad \quad}$.
 
　
3(★★★) 已知集合 $A=\{x \mid 1 \leq x \leq 2\}$,$B=\left\{x \mid x^{2}-a x+4 \geq 0\right\}$, 若 $A⊆B$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1.$A$
2.$[0 ,1]$
3.$a<4.$
 

集合的基本运算

知识剖析

1 并集、交集、补集

 

2 结论
若 $A \cap B=A$，则 $A \subseteq B$；
若 $A \cup B=A$，则 $B \subseteq A$.
 

3 运算律
① 交换律 $A \cup B=B \cup A$，$A \cap B=B \cap A$；
② 结合律 $(A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C)$，$(A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C)$；
③ 分配律 $(A \cap B) \cup C=(A \cap C) \cup(B \cap C)$，$(A \cup B) \cap C=(A \cap C) \cup(B \cap C)$；
④ 德摩根律 $\mathrm{C}_{U}(A \cup B)=\left(\mathrm{C}_{U} A\right) \cap\left(\mathrm{C}_{U} B\right)$，$C_{U}(A \cap B)=\left(C_{U} A\right) \cup\left(C_{U} B\right)$.
 

经典例题

【典题 1】离散型集合运算
已知集合 $U=\{x \in Z \mid-3<x<8\}$,$C_{U} M=\{-2,1,3,4,7\}$} ,$N=\{-2,-1,2,4,5,7\}$
则 $M \cap N$ 的元素个数为 $\underline{\quad \quad}$.
【解析】$U=\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}$，
则 $M=\{-1,0,2,5,6\}$,
$\therefore M \cap N=\{-1,2,5\}$，
$\therefore M \cap N$ 的元素个数为 $3$．
 

【典题 2】连续型集合运算
已知全集 $U=R$, 集合 $A=\{x|x^2-3x-4<0\}$,$B=\{x|x-1≤0\}$, 则集合 $A \cap C_{U} B=$$\underline{\quad \quad}$.
【解析】$\because A=\{x \mid-1<x<4\}$，$B=\{x \mid x \leq 1\}$，$U=R$
$\therefore C_{U} B=\{x \mid x>1\}$，$\therefore A \cap C_{U} B=\{x \mid 1<x<4\}$．
【点拨】关于集合的运算，先看清楚集合的元素，把集合化简成最简单的形式，当涉及到不等式可以借助数轴.
 

【典题 3】设 $A=\left\{x \mid x^{2}+8 x=0\right\}$,$B=\left\{x \mid x^{2}+2(a+2) x+a^{2}-4=0\right\}$，其中 $a∈R$，
如果 $A \cup B=A$，求实数 $a$ 的取值范围.
【解析】$∵x^2+8x=0$，$∴x(x+8)=0$，
解得 $x=0$ 或 $x=-8$，$∴A=\{0 ,-8\}$．
$\because A \cup B=A$,$\therefore B \subseteq A$
${\color {Red}{ (利用 venn 图理解下这个结论) }}$
$∴B$ 可能为 $∅ ,\{0\} ,\{-8\} ,\{0 ,-8\}$．
方程 $x^{2}+2(a+2) x+a^{2}-4=0(\otimes)$ 的 $\Delta=4(a+2)^{2}-4\left(a^{2}-4\right)=16(a+2)$．
①当 $\Delta=0$，即 $a=-2$ 时，此时 $B=\{0\}$，适合题意．
②当 $△＜0$，即 $a＜-2$ 时，得 $B=∅$，适合题意．
③当 $△＞0$，即 $a＞-2$ 时，方程 (⊗) 由两个不等根，若为 $0 ,-8$，
则必须满足 $\left\{\begin{array}{l} -8+0=-2(a+2) \\ -8 \times 0=a^{2}-4 \end{array}\right.$，解得 $a=2$． ${\color {Red}{ (韦达定理) }}$
综上可知：实数 $a$ 的取值范围是 $\{a|a=2 或 a≤-2\}$．
【点拨】遇到子集的问题:$B⊆A$，不要漏了 $B=∅$ 的情况.
 

【典题 4】已知 $A=\{x|x^2-4x+3≤0\}$,$B=\{x|x^2+mx+n<0\}$, 且 $A \cap B \neq \emptyset$，
$A \cup B=\{x \mid 1 \leq x<4\}$，求 $m$ 的取值范围.
【解析】由题意 $A=\{x|1≤x≤3\}$， $\because A \cap B \neq \emptyset$，$A \cup B=\{x \mid 1 \leq x<4\}$
(${\color {Red}{此时画数轴分析下，会清晰很多 }}$）
${\color {Red}{ 则易知 a、4 是方程 x^2+mx+n=0 的根，且 1≤a<3}}$)
$∴x=4$ 是方程 $x^2+mx+n=0$ 的一个根，
即 $16+4m+n=0$, 并且另一个根在 $[1 ,3)$ 上，
(${\color {Red}{此时还是试试画出满足条件的 f (x)=x^2+mx+n 函数图象，体会下数形结合的威力 }}$
）
$∴$ 设函数 $f(x)=x^2+mx+n$, 则 $f(1)f(3)≤0$, 其中 $f(3)≠0$,
$\therefore\left\{\begin{array}{l} 16+4 m+n=0 \\ (1+m+n)(9+3 m+n) \leq 0 \\ 9+3 m+n \neq 0 \end{array}\right.$，
解得 $-7<m≤-5$.

【点拨】在处理类似本题集合综合运算时，多结合图象进行思考.
 

巩固练习

1(★) 设集合 $P=\{x|x+2≥x^2\}$，$Q=\{x∈N||x|≤3\}$，则 $P \cap Q=$$\underline{\quad \quad}$.
 

2(★) 已知集合 $A=\{x|x^2-x-2<0\}$，$B=\{x|a-2<x<a\}$, 若 $A \cap B=\{x \mid-1<x<0\}$，则 $A \cup B=$$\underline{\quad \quad}$.
 

3(★★) 已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-5 x+6=0\right\}$,$B=\{x│mx+1=0\}$, 若 $A \cup B=A$, 则实数 $m$ 的取值集合为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

挑战学霸
1 已知集合 $A=\{x \mid x=m+n \sqrt{3}$$，且 \left.m^{2}-3 n^{2}=1, m, n \in Z\right\}$．
(1) 证明：若 $x∈A$，则 $x+\dfrac{1}{x}$ 是偶数；
(2) 设 $a∈A$，且 $1<a<4$，求实数 $a$ 的值；
(3) 设 $c∈A$，求证：$\dfrac{c}{2+\sqrt{3}} \in A$；并求满足 $2+\sqrt{3}<c \leq(2+\sqrt{3})^{2}$ 的 $c$ 的值．
 
 

2 (清华大学自招真题)
集合 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\}$，任取 $1 \leq i<j<k \leq n$，$a_i+a_j∈A$,$a_j+a_k∈A ,a_i+a_k∈A$,
这三个式子中至少有一个成立，则 $n$ 的最大值为 $\underline{\quad \quad}$ .
 
 
 

参考答案

1.${0 ,1 ,2}$
2.$(-2 ,2)$
3.$\left\{-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, 0\right\}$
 

挑战学霸

1. 解 (1) 因为 $x∈A$, 不妨设 $x=m+n \sqrt{3}$,
   则 $x+\dfrac{1}{x}=(m+n \sqrt{3})+\dfrac{1}{m+\sqrt{3} n}$$=m+\sqrt{3} n+\dfrac{m-\sqrt{3} n}{m^{2}-3 n^{2}}$，
   由 $m^{2}-3 n^{2}=1$ 可得 $x+\dfrac{1}{x}=2 m$
   因为 $m∈Z$, 所以 $x+\dfrac{1}{x}$ 为偶数．
   (2) 因为 $x∈A$, 不妨设 $x=m+n \sqrt{3}$，
   由 $1<a<4$ 可得 $\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{a}<1$，
   由 (1) 可得 $a+\dfrac{1}{a}=2 m$，
   所以 $\dfrac{5}{4}<2 m<5$，即 $\dfrac{5}{8}<m<\dfrac{5}{2}$
   又因为 $m^{2}-3 n^{2}=1$，$m ,n∈Z$, 则 $m=1$ 或 $2$
   当 $m=1$ 时 $n=0$ 不符合，
   当 $m=2$ 时，$n=1$ 符合题意，即 $a=2+\sqrt{3}$，
   (3) 证明：因为 $c∈A$， 则设 $c=m+n \sqrt{3}$，
   则 $\dfrac{c}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{m+\sqrt{3} n}{2+\sqrt{3}}$$=\dfrac{(m+\sqrt{3} n)(2-\sqrt{3})}{4-3}=(2 m-3 n)+\sqrt{3}(2 n-m)$
   显然 $2m-3n、2n-m∈Z$,
   此时 $(2 m+3 n)^{2}-3(2 n-m)^{2}=1$ 符合集合 $A$ 定义，
   因为 $2+\sqrt{3}<c \leq(2+\sqrt{3})^{2}$
   推出 $1<\dfrac{c}{2+\sqrt{3}} \leq 2+\sqrt{3}$
   可得 $\dfrac{c}{2+\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$，
   故 $c=(2+\sqrt{3})^{2}=7+4 \sqrt{3}$．
    

2. 解 不妨假设 $a_1>a_2>⋯>a_n$，若集合 $A$ 中的正数个数大于等于 $4$，由于 $a_2+a_3$ 和 $a_2+a_4$ 均大于 $a_2$，于是有 $a_2+a_3=a_2+a_4=a_1$，从而 $a_3=a_4$，矛盾！
   所以集合 $A$ 中至多有 $3$ 个正数，
   同理集合 $A$ 中最多有 $3$ 个负数，
   取 $A=\{-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3\}$，满足题意，所以 $n$ 的最大值为 $7$.