1.3.(2) 建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法

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模块导图

知识剖析

1空间向量的直角坐标系

(1) 空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系 $O-xyz$ 中，对空间任一点 $A$，存在唯一的有序实数组 $(x,y,z)$，使 $\overrightarrow{O A}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath}+z \vec{k}$，有序实数组 $(x,y,z)$ 叫作向量 $A$ 在空间直角坐标系中的坐标，记作 $A(x,y,z)$，$x$ 叫横坐标，$y$ 叫纵坐标，$z$ 叫竖坐标.

 

(2) 空间向量的直角坐标运算律
① 若 $: \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$，$\vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$，
则 $\vec{a}+\vec{b}=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\right)$，$\vec{a}-\vec{b}=\left(a_{1}-b_{1}, a_{2}-b_{2}, a_{3}-b_{3}\right)$，
$\lambda \vec{a}=\left(\lambda a_{1}, \lambda a_{2}, \lambda a_{3}\right) \quad(\lambda \in R)$，
$\vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$，
$\vec{a} \| \vec{b} \Rightarrow a_{1}=\lambda b_{1}$,$a_{2}=\lambda b_{2}$，$a_{3}=\lambda b_{3}(\lambda \in R)$，
$\vec{a} \perp \vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}=0$，
② 若 $A(x_1,y_1,z_1 )$,$B(x_2,y_2,z_2 )$，则 $\overrightarrow{A B}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right)$.
③ 模长公式
若 $\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$，则 $|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$.
④ 夹角公式
$\cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=\dfrac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$
$∆ABC$ 中，$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}>0 \Rightarrow$$A$ 为锐角，$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}<0 \Rightarrow$$A$ 为钝角.
⑤ 两点间的距离公式
若 $A(x_1,y_1,z_1)$,$B(x_2,y_2,z_2)$
则 $|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{\overrightarrow{A B}^{2}}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$
或 $d_{A B}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$.
 

2 建立直角坐标系的方法

$(1)$ 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
$(2)$ 利用线面垂直关系构建直角坐标系
$(3)$ 利用面面垂直关系构建直角坐标系
 

3 确定空间直角坐标系中点坐标的方法

求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下
(1) 射影法
看所求点分别在 $x$，$y$，$z$ 轴的投影对应的数值.
如求点 $P$ 横坐标 $x$，过点 $P$ 作 $PP_1⊥$ 平面 $xoy$，再过点 $P_1$ 作 $P_1 P_2⊥x$ 轴，看点 $P_2$ 对应数值即是 $x$；
或直接构造长方体 $OP$，即求出线段 $P_1 P_3$、$P_1 P_2$、$PP_1$ 长度，再注意下正负号可得点 $B$ 坐标.

一般地，点在平面 $xOy$、$xOz$、$yOz$ 或易得点在 $x$，$y$，$z$ 轴的投影均适合射影法；
 

(2) 公式法
对中点、$n$ 等分点、重心等点可用公式求解；
若点 $A(x_1,y_1,z_1 )$，$B(x_2,y_2,z_2 )$，$C(x_3,y_3,z_3 )$，
则线段 $AB$ 的中点坐标 $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}, \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}, \dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)$；三角形 $ABC$ 的重心 $\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{3}, \dfrac{y_{1}+y_{2}}{3}, \dfrac{z_{1}+z_{2}}{3}\right)$；
点 $P$ 在线段 $AB$ 上且 $AP=λPB$，则 $P\left(\dfrac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda}, \dfrac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda}, \dfrac{z_{1}+\lambda z_{2}}{1+\lambda}\right)$.
 

(3) 向量法
$(i)$ 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标；
$(ii)$ 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标；
$(iii)$ 三点共线问题：如若点 $A(x_1,y_1,z_1 )$,$B(x_2,y_2,z_2 )$，若点 $C$ 在线段 $AB$ 上，则可设 $\overrightarrow{A C}=\lambda \overrightarrow{A B}$，利用待定系数法 $C(x,y,z)$ 求出 $x$，$y$，$z$！
 

(4) 几何法 把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质.
 

(5) 待定系数法 设点 $P(x,y,z)$，利用已知条件求出 $x$，$y$，$z$.
 

(6) 函数法 常用于设动点坐标；
动点 $P(a,b,c)$ 在定直线 $AB$ 上，把 $AB$ 投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面 $xoy$，得到投影直线 $A'B'$ 方程，从而达到动点 $P$ 投影 $P'(a,b)$ 中 $a$，$b$ 的关系.
以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法 (比如平移法等)，都需要理解再灵活运用.
 

经典例题

【题型一】建立直角坐标系的方法

利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系

【典题 1】如图，已知直四棱柱 $ABCD－A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$AA_1=2$，底面 $ABCD$ 是直角梯形，$∠A$ 为直角，$AB∥CD$，$AB=4$，$AD=2$，$DC=1$，求异面直线 $BC_1$ 与 $DC$ 所成角的余弦值．

【解析】易得 $DA$、$DC$、$DD_1$ 三线两两垂直，
如图，以 $D$ 为坐标原点，分别以 $DA$、$DC$、$DD_1$ 所在直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建立空间直角坐标系.
(后面解析省略)

 

利用线面垂直关系构建直角坐标系

【典题 2】如图，在三棱柱 $ABC－A_1 B_1 C_1$ 中，$AB⊥$ 侧面 $BB_1 C_1 C$，$E$ 为棱 $CC_1$ 上异于 $C$、$C_1$ 的一点，$EA⊥EB_1$．已知 $A B=\sqrt{2}$，$BB_1=2,BC=1$，$\angle B C C_{1}=\dfrac{\pi}{3}$．求二面角 $A－EB_1－A_1$ 的平面角的正切值．

【解析】$AB⊥$ 侧面 $BB_1 C_1 C$，而 $BC$ 与 $BB_1$ 不垂直，原图没三条两两垂直直线，此时在平面 $BB_1 C_1 C$ 上过 $B$ 点作垂直 $BB_1$ 的直线，便得 $BD$、$BB_1$、$BA$ 三线两两垂直，
如图，以 $B$ 为原点，分别以 $BD$、$BB_1$、$BA$ 所所在直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建立空间直角坐标系．
(后面解析省略)

 

利用面面垂直关系构建直角坐标系

【典题 3】如图，在四棱锥 $V－ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧面 $VAD$ 是正三角形，平面 $VAD⊥$ 底面 $ABCD$．求面 $VAD$ 与面 $VDB$ 所成的二面角的余弦值．

【解析】取 $AD$ 的中点 $O$，连接 $VO$，
$∵∆VAD$ 是正三角形，$∴VO⊥AD$
又 $∵$ 平面 $VAD⊥$ 底面 $ABCD$$∴VO⊥$ 平面 $ABCD$
则以点 $O$ 为原点，分别以 $OA$、$OV$ 所在直线为 $x$、$z$ 轴，以过点 $O$ 作 $AD$ 的垂线所在直线为 $y$ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

【点拨】
① 同一道题目中建系的方法不是唯一，是优是劣取决于关键点的坐标是否好求；
② 建系最根本的想法是找到两两垂直的三线，多关注题中有垂直关系的量，
(1) 垂直关系：长方体模型、等腰三角形的三线合一、菱形对角线相互垂直等；
(2) 若有线面垂直，则可考虑该面为平面 $xOy$、$xOz$、$yOz$ 之一；
(3) 若有面面垂直，则可考虑两面为平面 $xOy$、$xOz$、$yOz$ 其中两个.
③ 若是分别以 $OA$、$OB$、$OC$ 所所在直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建立空间直角坐标系，则要先证明 $OA$、$OB$、$OC$ 三线两两垂直，需要严谨些，不能想当然.
 

巩固练习

1(★) 如图，在直三棱柱 $ABC－A_1 B_1 C_1$ 中，$A_1 B_1=A_1 C_1$，$F$ 为 $B_1 C_1$ 的中点，$D$，$E$ 分别是棱 $BC$，$CC_1$ 上的点，且 $AD⊥BC$，如何建立空间直角坐标系呢？

 

2(★) 如图，已知四棱锥 $P－ABCD$ 的底面 $ABCD$ 为等腰梯形，$AB∥DC$，$AC⊥BD$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，且顶点 $P$ 在底面上的射影恰为 $O$ 点，如何建立空间直角坐标系呢？

 

3(★★) 如图，三棱锥 $V－ABC$ 的侧棱长都相等，底面 $ABC$ 与侧面 $VAC$ 都是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形，如何建立空间直角坐标系呢？

 

参考答案

1. 以 $D$ 为原点，分别以 $BD$、$DA$、$DF$ 所在的直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建立空间直角坐标系.
2. 以 $O$ 为原点，分别以 $OB$、$OA$、$OP$ 所在的直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建立空间直角坐标系.
3. 取 $AC$ 中点 $E$，以 $E$ 为原点，分别以 $EB$、$EC$、$EV$ 所在的直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建立空间直角坐标系.
    

【题型二】确定空间直角坐标系中点坐标的方法

情况1 求点的坐标

【典题 1】在平行六面体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$AB=4$，$AD=2$， 平行六面体高为 $2 \sqrt{3}$，顶点 $D$ 在底面 $A_1 B_1 C_1 D_1$ 的射影 $O$ 是 $C_1 D_1$ 中点，设 $△AB_1 D_1$ 的重心 $G$，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.
(1)$A_1$、$B_1$、$A$、$D_1$；
(2)$G$；
(3)$B$；
(4) 若 $N$ 为 $DD_1$ 上点，且 $ON⊥ DD_1$ 写出 $N$ 坐标；

【解析】如图，以 $O$ 为坐标原点，分别以 $OC_1$、$OD$ 所在直线为 $y$，$z$ 轴，以过点 $O$ 作 $B_1 C_1$ 的平行线为 $x$ 轴建立空间直角坐标系．

${\color {Red}{ (1) 射影法 }}$
求点 $A_1 (x,y,z)$，在平面 $xoy$ 上则 $z=0$，
由图可知它到 $y$ 轴投影 $D_1$ 对应数值 $-2$，则 $y=-2$，
到 $x$ 轴投影对应数值为 $2$，则 $x=2$，即 $A_1 (2,-2,0)$；
同理得 $B_1 (2,2,0)$、$A(2,0,2 \sqrt{3})$、$D_1 (0,-2,0)$；
${\color {Red}{ (2) 公式法}}$
$∵G$ 是 $△AB_1 D_1$ 的重心，
$\therefore G=\left(\dfrac{2+2+0}{3}, \dfrac{2+0-2}{3}, \dfrac{0+2 \sqrt{3}+0}{3}\right)=\left(\dfrac{4}{3}, 0, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\right)$
${\color {Red}{(由三角形重心公式 \left (\dfrac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \dfrac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \dfrac {z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right) 可得) }}$
${\color {Red}{ (3) 向量法}}$
设 $B ( x,y,z )$，则 $\overrightarrow{B_{1} B}=(x-2, y-2, z)$，$\overrightarrow{D_{1} D}=(0,2,2 \sqrt{3})$，
又 $\because \overrightarrow{B_{1} B}=\overrightarrow{D_{1} D}$，
${\color {Red}{ (利用向量平行关系)}}$
比较得 $x=2$，$y=4$，$z=2 \sqrt{3}$，
$∴$ 点 $B$ 坐标为 $(2,4,2 \sqrt{3})$ ${\color {Red}{ (投影法也可以)}}$
(4)$∵D_1$、$N$、$D$ 三点共线，可设 $\overrightarrow{D_{1} N}=\lambda \overrightarrow{D D_{1}}$，
${\color {Red}{(某点在一直线上常用向量法) }}$
即 $\overrightarrow{D_{1} N}=\lambda(0,2,2 \sqrt{3})=(0,2 \lambda, 2 \sqrt{3} \lambda)$，
$\therefore \overrightarrow{O N}=\overrightarrow{O D_{1}}+\overrightarrow{D_{1} N}=(0,2 \lambda-2,2 \sqrt{3} \lambda)$，
$\therefore N(0,2 \lambda-2,2 \sqrt{3} \lambda)$，
$\because \overrightarrow{O N} \cdot \overrightarrow{D_{1} D}=0$，
$\therefore 0+4(\lambda-1)+12 \lambda=0$，解得 $\lambda=\dfrac{1}{4}$，
故 $N\left(0,-\dfrac{3}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
${\color {Red}{ (几何法也可以，求出点 N 到 y，z 轴的距离) }}$
【点拨】
(1) 射影法：看所求点分别在 $x$，$y$，$z$ 轴的投影对应的数值；
一般地，点在平面 $xOy$、$xOz$、$yOz$ 或易得点在 $x$，$y$，$z$ 轴的投影均适合射影法；
② 公式法：对中点、$n$ 等分点、重心等点可用公式求解；
③ 向量法：常用于涉及到平行、垂直、共线等向量关系中的点.
各方法之间也是相通的，需要理解再灵活运用.
 

【典题 2】如图，矩形 $ABCD$ 中，$2BC=CD$，$E$ 为 $CD$ 的中点，以 $BE$ 为折痕把四边形 $ABED$ 折起，使 $A$ 达到 $P$ 的位置，且 $PC⊥BC$,$M$，$N$，$F$ 分别为 $PB$，$BC$，$EC$ 的中点．建系求点 $P$ 的坐标.

【解析】设 $BC=2$，则 $BN=CN=1$，$CF=EF=1$，
以 $C$ 为原点，$CB$ 为 $x$ 轴，$CE$ 为 $y$ 轴，过 $C$ 作平面 $BCE$ 的垂直 $CQ$ 为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，

则 $B(2,0,0)$，$E(0,2,0)$，$F(0,1,0)$，
设 $P(x,y,z)$，$PB=CD=2BC=4$，
则 $J P E=\sqrt{P D^{2}+D E^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}$，$P C=\sqrt{P B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2 \sqrt{3}$，
$\therefore\left\{\begin{array}{l} (x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=16 \\ x^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=8 \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=12 \end{array}\right.$，解得 $x=0$，$y=2$，$z=2 \sqrt{2}$，
$\therefore P(0,2,2 \sqrt{2})$.
${\color {Red}{(不同的建系，坐标当然不同，这里主要介绍待定系数法求点坐标) }}$
【点拨】利用待定系数法，设 $P(x,y,z)$，再利用两点距离公式求得点的坐标.
 

情况2 设点坐标

【典题 3】长方形 $ABCD$ 中，$AB=2AD$，$M$ 是 $CD$ 中点 (图 1)，将 $∆ADM$ 沿 $AM$ 折起，使得 $AD⊥BM$(图 $2$) 在图 $2$ 中

(1) 求证：平面 $ADM⊥$ 平面 $ABCM$；
(2) 在线段 $BD$ 上是否存点 $E$，使得二面角 $E-AM-D$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，说明理由．
【解析】(1) 证明：在长方形 $ABCD$ 中，由 $A B=2 A D=2 \sqrt{2}$，$M$ 是 $DC$ 中点，
得 $AM=BM=2$，而 $A B=2 \sqrt{2}$，
$∴AM^2+BM^2=AB^2$，得 $BM⊥AM$，
又 $AD⊥BM$，且 $AD∩AM=A$，$∴BM⊥$ 平面 $ADM$，
而 $BM⊂$ 平面 $ABCD$，
$∴$ 平面 $ADM⊥$ 平面 $ABCM$；
(2) ${\color {Red}{思路：先根据 “点 E (a,b,c) 在线段 BD 上”，得到其坐标形式 (即找到 a,b,c 的关系)，再利用二面角余弦值求出点 E 的坐标；那怎么引入参数设出点 E 坐标呢？ }}$
解：取 $AB$ 中点 $N$，以 $M$ 为坐标原点，分别以 $MN$，$MC$ 所在直线为 $x$，$y$ 轴，
在平面 $ADM$ 内，过 $M$ 作底面垂线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系，

则 $M(0,0,0)$，$A(\sqrt{2},-1,0)$，$D\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{1}{2}, 1\right)$，$B(\sqrt{2}, 1,0)$，
$\overrightarrow{M A}=(\sqrt{2},-1,0)$，$\overrightarrow{M D}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{1}{2}, 1\right)$，
${\color {Red}{方法 1 \quad 向量法 }}$
设 $E$ 为线段 $BD$ 上的点，
则 $\overrightarrow{D E}=\lambda \overrightarrow{D B}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lambda, \dfrac{3}{2} \lambda,-\lambda\right)(0 \leq \lambda \leq 1)$，
$\overrightarrow{M E}=\overrightarrow{D E}-\overrightarrow{D M}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lambda+\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{3}{2} \lambda-\dfrac{1}{2}, 1-\lambda\right)$，
${\color {Red}{ (即得到点 E 坐标)}}$
${\color {Red}{(以上是由共线关系利用向量法引入参数 λ 设点 E 坐标) }}$
${\color {Red}{(PS 以下求 λ 的过程学完求二面角的向量法方能理解) }}$
设平面 $AMD$ 的一个法向量为 $\vec{m}=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$，平面 $EAM$ 的一个法向量为 $\vec{n}=\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$，
由 $\left\{\begin{array}{l} \vec{m} \cdot \overrightarrow{M A}=\sqrt{2} x_{1}-y_{1}=0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{M D}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} x_{1}-\dfrac{1}{2} y_{1}+z_{1}=0 \end{array}\right.$，
取 $y_{1}=\sqrt{2}$，得 $\vec{m}=(1, \sqrt{2}, 0)$；
由 $\left\{\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overrightarrow{M A}=\sqrt{2} x_{2}-y_{2}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{M E}=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \lambda+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) x_{2}+\left(\dfrac{3}{2} \lambda-\dfrac{1}{2}\right) y_{2}+(1-\lambda) z_{2}=0 \end{array}\right.$，
取 $y_{2}=\sqrt{2}$，得 $\vec{n}=\left(1, \sqrt{2}, \dfrac{2 \sqrt{2} \lambda}{\lambda-1}\right)$．
由 $\cos <\vec{m}, \vec{n}>=\dfrac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\dfrac{3}{\sqrt{3} \times \sqrt{3+\dfrac{8 \lambda^{2}}{(\lambda-1)^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，
解得 $\lambda=3+\sqrt{6}$(舍) 或 $\lambda=3-\sqrt{6} \in[0,1]$．
$∴$ 在线段 $BD$ 上存点 $E$，使得二面角 $E-AM-D$ 的余弦值为 $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$．
${\color {Red}{方法 2 \quad 函数法 }}$
设 $E(a,b,c)$，
$\because D\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{1}{2}, 1\right)$，$B(\sqrt{2}, 1,0)$，
$∴$ 点 $B$、$D$、$E$ 在平面 $xoy$ 上投影为 $B^{\prime}(\sqrt{2}, 1)$、$D^{\prime}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{1}{2}\right)$，$E^{\prime}(a, b)$，
${\color {Red}{(相当于把直线 BD 投影到平面 xoy 上，空间问题化为平面问题，降维处理) }}$

求得直线 $B'D'$ 的方程为 $y=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} x-2$，则 $b=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2} a-2$；
点 $B$、$D$、$E$ 在平面 $yoz$ 上投影为 $B^{\prime \prime}(1,0)$、$D^{\prime \prime}\left(-\dfrac{1}{2}, 1\right)$，$E^{\prime \prime}(b, c)$，

求得直线 $B^{\prime \prime} D^{\prime \prime}$ 的方程为 $z=-\dfrac{2}{3} y+\dfrac{2}{3}$，
则 $c=-\dfrac{2}{3} b+\dfrac{2}{3}$，即 $c=-\sqrt{2} a+2$；
所以 $E$ 的坐标可设为 $\left(a, \dfrac{3 \sqrt{2}}{2} a-2,-\sqrt{2} a+2\right)$，
以下求解类似方法 1！
【点拨】
① 本题在处理 “点 $E$ 在线段 $BD$ 上” 这一条件时，想设点 $E(a,b,c)$ 找到 $a$,$b$,$c$ 的关系，介绍了向量法和函数法，而向量法引入变量 $λ$ 表示 $a$,$b$,$c$，而函数法变量是 $a$，用其表示 $b$,$c$ 便可；
② 有时也可用几何法相似求解，
比如在方法 2 中求 $E(a,b,c)$ 中 $b$、$c$ 的关系，
如下图，过点 $D^{\prime \prime}$、$E$ 分别作 $D^{\prime \prime} H \perp x$ 轴，$EG⊥x$ 轴，
由 $\Delta D^{\prime \prime} H B^{\prime \prime} \sim \Delta E G B^{\prime \prime}$ 得 $\dfrac{D^{\prime \prime} H}{E G}=\dfrac{B^{\prime \prime} H}{B^{\prime \prime} G} \Rightarrow \dfrac{1}{c}=\dfrac{3}{2(1-b)} \Rightarrow c=-\dfrac{2}{3} b+\dfrac{2}{3}$.

 

巩固练习

1(★★) 一张平行四边形的硬纸 $ABC_0 D$ 中，$AD=BD=1$，$A B=\sqrt{2}$. 沿它的对角线 $BD$ 折起，使点 $C_0$ 到达平面外 $C$ 点的位置。若 $\cos \angle C A B=\dfrac{3}{4}$，建系求点 $C$ 的坐标.
 

2(★★) 四棱锥 $S-ABCD$ 中，$AB∥CD$，$BC⊥CD$，侧面 $SAB$ 为等边三角形，$AB=BC=2$，$CD=SD=1$. 建系求点 $S$ 的坐标.
 

3(★★) 在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，侧棱 $PD$ 垂直于底面 $ABCD$，$PD=DC$,$E$ 是 $PC$ 的中点，$F$ 在 $PB$ 上，若 $EF⊥PB$ 于点 $F$，试求点 $F$ 的坐标.

 

参考答案

1. ， 如图建系，则 $C\left(\dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

2. ， 如图建系，则 $S\left(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

3. 如图建系，则 $F\left (\dfrac {2}{3}, \dfrac {2}{3}, \dfrac {4}{3}\right)$.

   (点的坐标与建系的方法有关)