2.3 直线的交点与距离

\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义！
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选择性必修第一册同步提高，难度3颗星！

模块导图

知识剖析

1两条直线的交点

设两条直线的方程是\(l_1 ∶ A_1 x+B_1 y+C_1=0\),\(l_2 ∶ A_2 x+B_2 y+C_2=0\)，
两条直线的交点坐标就是方程组\(\left\{\begin{array}{l} A_{1} x+B_{1} y+C_{1}=0 \\ A_{2} x+B_{2} y+C_{2}=0 \end{array}\right.\)的解.
\((1)\)若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
\((2)\)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；
\((3)\)若方程组有无数个解，则两条直线重合.
 

2几种距离

(1) 两点距离公式
平面上的两点\(P_1 (x_1 ,y_1)\),\(P_2 (x_2 ,y_2)\)间的距离公式\(\left|P_{1} P_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\).
 

(2) 点到直线的距离公式
点\(P_0 (x_0 ,y_0)\)到直线\(A x+B y+C=0\)的距离\(d=\dfrac{\left|A x_{0}+B y_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\).
 

(3) 两平行直线间的距离
两条平行线\(A x+B y+C_1=0\)与\(A x+B y+C_2=0\)间的距离\(d=\dfrac{\left|C_{1}-C_{2}\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\).
 

经典例题

【题型一】 直线交点问题

【典题1】若关于\(x\)、\(y\)的方程组\(\left\{\begin{array}{l} x+y=m \\ x+n y=1 \end{array}\right.\)有无穷多组解，则\(m+n\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】关于\(x\)、\(y\)的方程组\(\left\{\begin{array}{l} x+y=m \\ x+n y=1 \end{array}\right.\)有无穷多组解，
则直线\(x+y=m\)和直线\(x+ny=1\)重合，
故\(m=1\)，\(n=1\)，所以\(m+n=2\)．
 

【典题2】已知直线\(kx-y+1=0\)和\(x-ky=0\)相交，且交点在第二象限，则实数\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】联立方程\(\left\{\begin{array}{l} k x-y+1=0 \\ x-k y=0 \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{k}{1-k^{2}} \\ y=\dfrac{1}{1-k^{2}} \end{array}\right.\)， \({\color{Red}{(由于两直线相交，故k≠±1) }}\)
因为交点在第二象限，所以\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{k}{1-k^{2}}<0 \\ \dfrac{1}{1-k^{2}}>0 \end{array}\right.\)，解得\(－1<k<0\)，
故实数\(k\)的取值范围为\((-1 ,0)\)．
 

【典题3】求过直线\(x+2y+1=0\)与直线\(2x-y+1=0\)的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【解析】\({\color{Red}{ 方法1\quad (求出交点，再用截距式求解) }}\)
由\(\left\{\begin{array}{l} x+2 y+1=0 \\ 2 x-y+1=0 \end{array}\right.\)得交点坐标\(P\left(-\dfrac{3}{5},-\dfrac{1}{5}\right)\)，
由于直线在两坐标轴上截距相等， \({\color{Red}{(截距相等要注意是否为0) }}\)
\((i)\)当截距为\(0\)，此时直线方程为\(y=kx\)，代入点P得\(k=\dfrac{1}{3}\)，
即所求直线方程为\(x-3y=0\).
\((ii)\)当截距不等于\(0\)，设直线方程为\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1\)，代入点\(P\)得\(a=-\dfrac{4}{5}\)，
此时所求直线方程为\(5x+5y+4=0\)，
综上所述，所求直线方程为\(x-3y=0\)或\(5x+5y+4=0\).
\({\color{Red}{方法2 }}\) 设所求直线方程为\(x+2y+1+λ(2x-y+1)=0\)，
\((i)\)当直线过原点时，则\(1+λ=0\)，则\(λ=-1\)，
此时所求直线方程为\(x-3y=0\).
\((ii)\)当直线不过原点时，令\(x=0\)，解得\(y=\dfrac{\lambda+1}{\lambda-2}\)，令\(y=0\)，解得\(x=-\dfrac{\lambda+1}{2 \lambda+1}\)，
由题意得\(\dfrac{\lambda+1}{\lambda-2}=-\dfrac{\lambda+1}{2 \lambda+1}\)，解得\(\lambda=\dfrac{1}{3}\)，此时所求直线方程为\(5x+5y+4=0\),
\((*)\)中不包括直线\(2x-y+1=0\)，而它显然不满足题意，
综上所述，所求直线方程为\(x-3y=0\)或\(5x+5y+4=0\).
【点拨】本题中方法2采取了直线系方程的方法.
过两条已知直线\(l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0\)和\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)交点的直线系方程\(A_1 x+B_1 y+C_1+λ(A_2 x+B_2 y+C_2 )=0\)
(\(λ∈R\), 这个直线系下不包括直线\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)，解题时注意检验\(l_2\)是否满足题意)
 

【典题4】若\(k>4\)，直线\(kx-2y-2k+8=0\)与\(2x+k^2 y-4k^2-4=0\)和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】\({\color{Red}{(确定所求的四边形面积，要四边形的图象，即了解两条直线与坐标轴的交点与两直线的交点) }}\)
由\(\left\{\begin{array}{c} k x-2 y-2 k+8=0 \\ 2 x+k^{2} y-4 k^{2}-4=0 \end{array}\right.\)得\(\left\{\begin{array}{l} x=2 \\ y=4 \end{array}\right.\)，即两直线的交点为定点\(B(2 ,4)\)，
而直线\(L：kx-2y-2k+8=0\)与\(x\)轴的交点\(A\left(2-\dfrac{8}{k}, 0\right)\)，与\(y\)轴的交点\(D(0 ,4-k)\)，
直线\(M：2x+k^2 y-4k^2-4=0\)与\(x\)轴的交点\(E(2k^2+2 ,0)\)，与\(y\)轴的交点\(C\left(0,4+\dfrac{4}{k^{2}}\right)\)，
\({\color{Red}{ (由k>4，很容易确定各点的位置) }}\)
如图所示，

\(\therefore S_{\text {四边形 } O A B C}=S_{\triangle O C E}-S_{\triangle A B E}\)
\(=\dfrac{1}{2} \times\left(4+\dfrac{4}{k^{2}}\right)\left(2 k^{2}+2\right)-\dfrac{1}{2} \times 4 \times\left(2 k^{2}+2-2+\dfrac{8}{k}\right)\)
\(=\dfrac{4}{k^{2}}-\dfrac{16}{k}+8=4\left(\dfrac{1}{k}-2\right)^{2}-8\)，
\(∵k>4\)，\(\therefore 0<\dfrac{1}{k}<\dfrac{1}{4}\)，
则\(\dfrac{17}{4}<S<8\)，
故\(k>4\)时，所求面积的取值范围是\(\left(\dfrac{17}{4}, 8\right)\)．
【点拨】
① 根据题意画出正确的图象是正确求解的基础，对于含参的直线，要注意它是否存在定点、斜率的正负、与\(x\)、\(y\)轴交点的位置等.
② 而定点如何确定，如直线\(M：2x+k^2 y-4k^2-4=0\)变式为\(k^2 (y-4)+(2x-4)=0\)易得过定点\(B(2 ,4)\).

 

巩固练习

1(★)曲线\(y=|x|\)与\(y=kx+1\)的交点的情况是(　　)
A．最多有两个交点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．两个交点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．一个交点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．无交点
 

2(★)关于\(x\)、\(y\)的二元一次方程组\(\left\{\begin{array}{l} m x+y=-1 \\ 3 m x-m y=2 m+3 \end{array}\right.\)无解，则\(m=\) \(\underline{\quad \quad}\)．
 

3(★)若三条直线\(2x+3y+8=0\)，\(x-y-1=0\)和\(x+ky=0\)交于一点，则\(k\)的值为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

4(★★)直线\(kx-y-1=0\)与直线\(x+2y-2=0\)的交点在第四象限，则实数\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

5(★★★)在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(A(1 ,2)\)，点\(M(4 ,2)\)，点\(N\)在线段\(OA\)的延长线上．设直线\(MN\)与直线\(OA\)及\(x\)轴围成的三角形面积为\(S\)，则\(S\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

参考答案

1.\(A\)
2.\(0\)
3.\(-\dfrac{1}{2}\)
4.\(\left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)
5.\(12\)

 

【题型二】 距离问题

情况1 两点间的距离

【典题1】在平面直角坐标系内，到点\(A(1 ,2)\)，\(B(1 ,5)\)，\(C(3 ,6)\)，\(D(7 ,-1)\)的距离之和最小的点的坐标是\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点\(P\)，

\(P\)到点\(A(1 ,2)\)，\(B(1 ,5)\)，\(C(3 ,6)\)，\(D(7 ,-1)\)的距离之和为：
\(PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC\)\(≥BD+AC=QA+QB+QC+QD\)，
故四边形\(ABCD\)对角线的交点\(Q\)即为所求距离之和最小的点．
\(∵A(1 ,2)\)，\(B(1 ,5)\)，\(C(3 ,6)\)，\(D(7 ,-1)\)，
\(∴AC\),\(BD\)的方程分别为\(\dfrac{y-2}{6-2}=\dfrac{x-1}{3-1}\)，\(\dfrac{y-5}{-1-5}=\dfrac{x-1}{7-1}\)，
即\(2x-y=0\)，\(x+y-6=0\)．
解方程组\(\left\{\begin{array}{l} 2 x-y=0 \\ x+y-6=0 \end{array}\right.\)得\(Q(2 ,4)\)．
【点拨】本题是从几何方法入手，利用“一点到两定点距离之和最小值为两定点距离”的三点共线最值模型求解.
 

【典题2】设\(a\),\(b∈R\)，\(\sqrt{(a-1)^{2}+(b-1)^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+(b+1)^{2}}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】从几何意义看，
\(\sqrt{(a-1)^{2}+(b-1)^{2}}+\sqrt{(a+1)^{2}+(b+1)^{2}}\)表示点\((a ,b)\)到点\((1 ,1)\)和\((-1 ,-1)\)距离的和，
其最小值为\((1 ,1)\)和\((-1 ,-1)\)两点间的距离\(2 \sqrt{2}\).
【点拨】本题是函数最值问题，但很巧妙的使用了两点距离公式从而化为几何最值问题.平面上的两点\(P_1 (x_1 ,y_1)\),\(P_2 (x_2 ,y_2)\)间的距离\(\left|P_{1} P_{2}\right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}\)，若给两点坐标我们用此公式很容易得到两点距离，若给了\(\sqrt{(a-1)^{2}+(b-1)^{2}}\)能够联想到两点距离公式呢？这里就提醒我们在掌握知识的“直用”也要会“逆用”.
 
【典题3】已知\(m∈R\)，动直线\(l_1：x+my-2=0\)过定点\(A\)，动直线\(l_2：mx-y-2m+3=0\)过定点\(B\)，若\(l_1\)与\(l_2\)交于点\(P\)(异于点\(A\),\(B\))，则\(|PA|+|PB|\)的最大值为\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】\(l_1:x+my-2=0\)可变形为\((x-2)+my=0\)，过定点\(A(2 ,0)\)，
\(l_2：mx-y-2m+3=0\)可变形为\(m(x-2)-(y-3)=0\)，过定点\(B(2 ,3)\)，

\({\color{Red}{方法1\quad 代数法 }}\)
由\(\left\{\begin{array}{c} x+m y-2=0 \\ m x-y-2 m+3=0 \end{array}\right.\)可得交点\(P\left(2-\dfrac{3 m}{m^{2}+1}, \dfrac{3}{m^{2}+1}\right)\)，
则\(|P A|=\sqrt{\left(\dfrac{3 m}{m^{2}+1}\right)^{2}+\left(\dfrac{3}{m^{2}+1}\right)^{2}}=\dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+1}}\)，\(|P B|=\sqrt{\left(\dfrac{3 m}{m^{2}+1}\right)^{2}+\left(\dfrac{3}{m^{2}+1}-3\right)^{2}}=\dfrac{3 \sqrt{2}|m|}{m^{2}+1}\)
设\(a=\dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+1}}\)，\(b=\dfrac{3 \sqrt{2}|m|}{m^{2}+1}\)，则\(a^2+b^2=9\)， \({\color{Red}{(发现这关系是关键) }}\)
则\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{2} \leq \dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}=\dfrac{9}{2} \Rightarrow a+b \leq 3 \sqrt{2}\)，当\(a=b=\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\)时取到等号，
即\(|PA|+|PB|\)的最大值为\(3 \sqrt{2}\)，当\(m=±1\)时取到最值.
\({\color{Red}{ 方法2 \quad 几何法}}\)
观察直线斜率可知直线\(l_1\)与直线\(l_2\)垂直， \({\color{Red}{ (发现这一隐含条件是关键) }}\)
则有\(PA⊥PB\)，且\(|PA|^2+|PB|^2=|AB|^2=9\)，
\({\color{Red}{(相当于方法1的a^2+b^2=9，此时题目转化为“已知|PA|^2+|PB|^2=9，求|PA|+|PB|的最大值”，想到基本不等式) }}\)
由\(|P A|^{2}+|P B|^{2} \geq 2|P A| \cdot|P B| \Rightarrow|P A| \cdot|P B| \leq \dfrac{9}{2}\)
所以\((|P A|+|P B|)^{2}=|P A|^{2}+|P B|^{2}+2|P A| \cdot|P B| \leq 18\)，
即\(|P A|+|P B| \leq 3 \sqrt{2}\)，当且仅当\(|PA|=|PB|\)时取等号，
所以\(|PA|+|PB|\)的最大值为\(3 \sqrt{2}\)．
【思考】体会下两种方法的异同与优劣性，方法\(1\)中\(|P A|+|P B|=\dfrac{3}{\sqrt{m^{2}+1}}+\dfrac{3 \sqrt{2}|m|}{m^{2}+1}\)还能转化为函数最值求解么？
 

【典题4】已知点\(A(4 ,0)\),\(B(0 ,2)\)，对于直线\(l：x-y+m=0\)的任意一点\(P\)，都有\(|PA|^2+|PB|^2>18\)，则实数\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】根据题意，点\(P\)在直线\(l：x-y+m=0\)上，设\(P\)的坐标为\((x ,x+m)\)，
则有\(|PA|^2+|PB|^2\)
\(=(x-4)^{2}+(x+m-0)^{2}+(x-0)^{2}+(x+m-2)^{2}\)
\(=4 x^{2}+(4 m-12) x+\left(2 m^{2}-4 m+20\right)\)，
若对于直线\(l：x-y+m=0\)上的任意一点\(P\)，都有\(|PA|^2+|PB|^2>18\)，
则\(4x^2+(4m-12)x+(2m^2-4m+20)>18\)恒成立，
即\(4x^2+(4m-12)x+(2m^2-4m+2)>0\)对于\(R\)恒成立，
则有\(△=（4m-12）^2－16(2m^2-4m+2)<0\)，即\(m^2+2m-7>0\)，
解可得\(m>-1+2 \sqrt{2}\)或\(m<-1-2 \sqrt{2}\)，
即\(m\)的取值范围为\((-\infty,-1-2 \sqrt{2}) \cup(-1+2 \sqrt{2},+\infty)\).
【点拨】本题采取设元的方法，把\(|PA|^2+|PB|^2>18\)转化为恒成立问题处理.这是典型的代数方法，又是否存在几何的思路呢？
 

情况2 点到直线的距离

【典题1】已知曲线\(C：xy=27\)和直线\(l：3x+4y=0\)，点\(M\)在曲线\(C\)上，点\(N\)在直线\(l\)上，则\(|MN|\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．
【解析】设点\(M(a ,b)\)，则\(ab=27\)，\(|MN|\)取到最小值时是点\(M\)到直线\(l\)的距离，
点\(M\)到直线\(l\)的距离为\(d=\dfrac{|3 a+4 b|}{5}\)，
\(\therefore d^{2}=\dfrac{9 a^{2}+16 b^{2}+24 a b}{25} \geq \dfrac{24 a b+24 a b}{25}=\dfrac{48 \times 27}{25}\)\(\Rightarrow d \geq \dfrac{36}{5}\)，
\(∴|MN|\)的最小值是\(\dfrac{36}{5}\).
 

【典题2】已知直线\(l\)方程为\((2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0\)．那\(m\)为何值时，点\(Q(3 ,4)\)到直线的距离最大，最大值为多少？

【解析】\({\color{Red}{方法一\quad 函数法 }}\)
点\(Q\)到直线\(l\)的距离\(d=\dfrac{3(2+m)+4(1-2 m)+4-3 m}{\sqrt{(2+m)^{2}+(1-2 m)^{2}}}=\dfrac{14-8 m}{\sqrt{5\left(m^{2}+1\right)}}\)，
则\(d^{2}=\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{(7-4 m)^{2}}{m^{2}+1}=\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{16 m^{2}-56 m+49}{m^{2}+1}\)\(=\dfrac{4}{5} \cdot\left(16+\dfrac{-56 m+33}{m^{2}+1}\right)\)
令\(t=-56m+33\)，
则\(\dfrac{-56 m+33}{m^{2}+1}=\dfrac{3136 t}{t^{2}-66 t+4225}=\left\{\begin{array}{c} 0, t=0 \\ \dfrac{3136}{t+\dfrac{4225}{t}-66}, t \neq 0 \end{array}\right.\)，
由对勾函数易得\(t+\dfrac{4225}{t}-66 \geq 64\)(当\(t=65\)时取到等号)，\(t+\dfrac{4225}{t}-66 \leq-196\)，
则\(0 \leq \dfrac{3136 t}{t^{2}-66 t+4225} \leq 49\)或\(-\dfrac{3136}{196}<\dfrac{3136 t}{t^{2}-66 t+4225}<0\)
故当\(t=65\)，即\(m=-\dfrac{4}{7}\)时，\(d^2\)取到最大值\(\dfrac{4}{5} \cdot(16+49)=52\)，即\(d_{\max }=2 \sqrt{13}\).
\({\color{Red}{方法二\quad 几何法 }}\)
直线\((2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0\)化为\((x-2y-3)m=-2x-y-4\)．
由\(\left\{\begin{array}{l} x-2 y-3=0 \\ -2 x-y-4=0 \end{array}\right.\)，得\(\left\{\begin{array}{l} x=-1 \\ y=-2 \end{array}\right.\)，
\(∴\)直线必过定点\((-1 ,-2)\)．
当点\(Q(3 ,4)\)到直线的距离最大时，\(QP\)垂直于已知的直线，
即点\(Q\)与定点\(P(-1 ,-2)\)的连线就是所求最大值，
此时直线\(PQ\)与直线\((2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0\)垂直，
\(\because k_{P Q}=\dfrac{-2-4}{-1-3}=\dfrac{3}{2}\)，\(\therefore \dfrac{2+m}{2 m-1}=-\dfrac{2}{3}\)，解得\(m=-\dfrac{4}{7}\)，
此时，点\(Q(3 ,4)\)到直线的最大距离是\(\sqrt{(3+1)^{2}+(4+2)^{2}}=2 \sqrt{13}\)．
综上所述，\(m=-\dfrac{4}{7}\)时，点\(Q(3 ,4)\)到直线的距离最大，最大值为\(2 \sqrt{13}\)．
【点拨】体会下两种方法的优劣性.
 

【典题3】设直线\(l_1：y=k_1 x+1\)，\(l_2：y=k_2 x-1\), 其中实数\(k_1\),\(k_2\)满足\(k_1 k_2+1=0\)．
(1)证明：直线\(l_1\)与\(l_2\)相交；
(2)试用解析几何的方法证明：直线\(l_1\)与\(l_2\)的交点到原点距离为定值；
(3)设原点到\(l_1\)与\(l_2\)的距离分别为\(d_1\)和\(d_2\)，求\(d_1+d_2\)的最大值．
【解析】证明：(1) \({\color{Red}{ (只需证明 k_1≠k_2) }}\)
反证法：假设\(l_1\)与\(l_2\)不相交，\({\color{Red}{(若从正面入手较难，可考虑“反证法”) }}\)
则\(l_1\)与\(l_2\)平行，有\(k_1=k_2\)，
代入\(k_1 k_2+1=0\)，得\(k_1^2+1=0\)，
这与\(k_1\)为实数的事实相矛盾，\(∴k_1≠k_2\)，故\(l_1\)与\(l_2\)相交．
(2)由(1)知\(k_1≠k_2\)，由方程组\(\left\{\begin{array}{l} y=k_{1} x+1 \\ y=k_{2} x-1 \end{array}\right.\)
解得交点\(P\)的坐标\((x ,y)\)为\(\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{2}{k_{2}-k_{1}} \\ y=\dfrac{k_{2}+k_{1}}{k_{2}-k_{1}} \end{array}\right.\)，
而\(x^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{2}{k_{2}-k_{1}}\right)^{2}+\left(\dfrac{k_{2}+k_{1}}{k_{2}-k_{1}}\right)^{2}\)\(=\dfrac{4+k_{2}^{2}+k_{1}^{2}+2 k_{1} k_{2}}{k_{2}^{2}+k_{1}^{2}-2 k_{1} k_{2}}=\dfrac{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+2}{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+2}=1\)．
即\(l_1\)与\(l_2\)的交点到原点距离为\(1\)．
（3）\(d_{1}+d_{2}=\dfrac{1}{\sqrt{1+k_{1}^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+k_{2}^{2}}}\)
\({\color{Red}{(从函数的角度思考，遇到二元，要不基本不等式，要不消元) }}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{1+k_{1}^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{k_{1}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+k_{1}^{2}}}+\dfrac{\left|k_{1}\right|}{\sqrt{1+k_{1}^{2}}}\)
\(=\dfrac{1+\left|k_{1}\right|}{\sqrt{1+k_{1}^{2}}}\)\({\color{Red}{(遇到根号，基本思路是考虑平方，换元) }}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(1+\left|k_{1}\right|\right)^{2}}{1+k_{1}^{2}}}\)
\({\color{Red}{ (遇到y=\dfrac{a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}}{a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}}形式，利用分离常数法、基本不等式) }}\)
\(=\sqrt{1+\dfrac{2\left|k_{1}\right|}{1+k_{1}^{2}}}=\sqrt{1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{\left|k_{1}\right|}+\left|k_{1}\right|}} \leq \sqrt{2}\)，
当\(|k_1 |=1\)即\(k_1=±1\)时，\(d_1+d_2\)的最大值是\(\sqrt{2}\)．
【点拨】对于一些常见的式子(或模型)的处理手段要掌握好，这是基本功.
 

情况3 两平行线间的距离

【典题1】若平面内两条平行线\(l_1：x+(a-1)y+2=0\)，\(l_2：ax+2y+1=0\)间的距离为\(\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}\)，则实数\(a=\) \(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(∵\)平面内两条平行线\(l_1：x+(a-1)y+2=0\)，\(l_2：ax+2y+1=0\)，
\(\therefore \dfrac{1}{a}=\dfrac{a-1}{2} \neq \dfrac{2}{1}\)，\(∴a=2\)或\(a=-1\)．
当\(a=2\)时，两条平行直线即\(l_1：2x+2y+4=0\)，\(l_2：2x+2y+1=0\)，
它们之间的距离为\(\dfrac{|4-1|}{\sqrt{4+4}}=\dfrac{3}{2 \sqrt{2}}\)，不满足条件．
当\(a=-1\)时，两条平行直线即\(l_1：x-2y+2=0\)，\(l_2：x-2y-1=0\)，
它们之间的距离为\(\dfrac{|2+1|}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}\)，满足条件，
故实数\(a=-1\)．
【点拨】用两平行直线距离公式时，要确定\(x\)、\(y\)前的系数一致后才能使用.
 

【典题2】正方形\(ABCD\)一条边\(AB\)所在方程为\(x+3y-5=0\)，另一边\(CD\)所在直线方程为\(x+3y+7=0\)，
(1)求正方形中心\(G\)所在的直线方程；
(2)设正方形中心\(G(x_0 ,y_0)\)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求\(x_0\)的取值范围．

【解析】(1) 由于正方形中心\(G\)所在直线平行于直线\(x+3y-5=0\)，
设中心所在直线为\(x+3y+c=0\)，
由平行线间的距离公式得\(\dfrac{|c+5|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\dfrac{|c-7|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}\)，解得\(c=1\)．
则正方形中心\(G\)所在的直线方程为\(x+3y+1=0\)；
(2) 正方形的边长即为平行直线\(AB\)与\(CD\)间的距离\(d=\dfrac{|7+5|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\dfrac{12}{\sqrt{10}}\)，
设正方形\(BC\)所在直线方程为\(3x-y+m=0\)， \({\color{Red}{(用到了正方形内角是直角的性质) }}\)
由于中心\(G(x_0 ,y_0)\)到\(BC\)的距离均等于\(\dfrac{d}{2}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}\)， \({\color{Red}{(相当用到了正方形四边相等的性质) }}\)
那么\(\dfrac{\left|3 x_{0}-y_{0}+m\right|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\dfrac{6}{\sqrt{10}}\)，解得\(m=±6-3x_0+y_0\)①，
又因为\(G\)在直线\(x+3y+1=0\)上，那么\(x_0+3y_0+1=0\)，即\(y_{0}=-\dfrac{x_{0}+1}{3}\)②，
把②代入①得\(m=\pm 6-\dfrac{10 x_{0}+1}{3}\)③，
联立方程\(\left\{\begin{array}{l} x+3 y-5=0 \\ 3 x-y+m=0 \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{-3 m+5}{10} \\ y=\dfrac{m+15}{10} \end{array}\right.\)，
由于正方形只有两个点在第一象限，
那么\(\left\{\begin{array}{l} x>0 \\ y>0 \end{array},\right.\)，就是\(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{-3 m+5}{10}>0 \\ \dfrac{m+15}{10}>0 \end{array}\right.\)，解得\(-15<m<\dfrac{5}{3}\)④，
把③代入④得到\(-15<\pm 6-\dfrac{10 x_{0}+1}{3}<\dfrac{5}{3}\)，解得\(\dfrac{6}{5}<x_{0}<\dfrac{13}{5}\)．
故\(x_0\)的取值范围为\(\left(\dfrac{6}{5}, \dfrac{13}{5}\right)\)．
【点拨】结合图象，充分利用图象的性质得到变量的限制要求，从而求出变量范围.
 

巩固练习

1(★)已知\(△ABC\)的顶点为\(A(2 ,1)\)，\(B(-2 ,3)\)，\(C(0 ,-1)\)，则\(AC\)边上的中线长为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

2(★)点\(P(\cosθ ,\sinθ)\)到直线\(3x+4y-12=0\)的距离的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

3(★)到直线\(3x－4y+1=0\)的距离为\(3\)且与此直线平行的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

4(★★)两条平行线\(l_1\),\(l_2\)分别过点\(P(-1 ,2)\)，\(Q(2 ,-3)\)，它们分别绕\(P\),\(Q\)旋转，但始终保持平行，则\(l_1\),\(l_2\)之间距离的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

5(★)已知直线\(l\)经过点\(P(5 ,10)\)，且原点到它的距离为\(5\)，则直\(线l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

6(★★)已知点\(M(a ,b)\)在直线\(l：3x+4y=25\)上，则\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

7(★★)若直线\(m\)被两平行线\(l_{1}: x-\sqrt{3} y+1=0\)与\(l_{2}: x-\sqrt{3} y+3=0\)所截得的线段的长为\(1\)，则直线\(m\)的倾斜角的大小为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

8(★★)已知实数\(a\),\(b\),\(c\)成等差数列，则点\(P(2 ,-1)\)到直线\(ax+by+c=0\)的最大距离是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

9(★★)平面直角坐标系内，动点\(P(a ,b)\)到直线\(l_{1}: y=\dfrac{1}{2} x\)和\(l_2：y=-2x\)的距离之和是\(4\)，则\(a^2+b^2\)的最小值是\(\underline{\quad \quad}\)．
 

10(★★★)在平面直角坐标系\(xOy\)中，设定点\(A(a ,a)\)，\(P\)是函数\(y=\dfrac{1}{x}(x>0)\)图象上一动点．若点\(P\)，\(A\)之间的最短距离为\(2 \sqrt{2}\)，则满足条件的实数\(a\)的所有值为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

11(★★★)已知点\(P\),\(Q\)分别在直线\(l_1：x+y+2=0\)与直线\(l_2：x+y-1=0\)上，且\(PQ⊥l_1\)，点\(A(-3 ,-3)\)，\(B\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}\right)\)，则\(|AP|+|PQ|+|QB|\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\)．
 

参考答案

1.\(3 \sqrt{2}\)
2.\(\left[\dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{5}\right]\)
3.\(3x－4y+16=0\)或\(3x－4y－14=0\)
4.\((0, \sqrt{34}]\)
5.\(x=5\)或\(3x-4y+25=0\)
6.\(5\)
7.\(120°\)
8.\(\sqrt{2}\)
9.\(8\)
10.\(a=\sqrt{10}\)或\(a=-1\)
11.\(\sqrt{13}+\dfrac{3 \sqrt{2}}{2}\)